Site Loader

Содержание

Нулевой вектор — Википедия

Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается 0→{\displaystyle {\vec {0}}} или 0{\displaystyle \mathbf {0} }.

Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Можно считать, что нулевой вектор одновременно коллинеарен и ортогонален любому вектору пространства (легко выводится из определения).

Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю.

С точки зрения линейной алгебры, в линейном пространстве должен существовать специальный вектор 0→{\displaystyle {\vec {0}}}, обладающий следующими свойствами:

a→+0→=a→{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}}

Для любого вещественного числа c{\displaystyle c}

c⋅0→=0→{\displaystyle c\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}}

Для всякого вектора a→{\displaystyle {\vec {a}}}, найдется такой вектор −a→{\displaystyle -{\vec {a}}}, что:

a→+(−a→)=0→{\displaystyle {\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0}}}.
  • Нейтральный элемент
  • Ноль
  • Винберг Э.Б. курс высшей алгебры. М.: Факториал, 2001
Формула Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.
⛭

Векторы и матрицы

Векторы
Основные понятия
  • Вектор в геометрии
  • Базис
  • Ортогональный базис
  • Координаты вектора
  • Коллинеарность
  • Ортогональность
  • Линейная зависимость
  • Пространство столбцов
Виды векторов
  • Единичный вектор
  • Аксиальный вектор
  • Изотропный вектор
  • Нормаль
  • Коллинеарность
  • Нулевой вектор
  • Радиус-вектор
  • Собственный вектор
Операции над векторами
  • Скалярное произведение
  • Векторное произведение
  • Смешанное произведение
  • Псевдоскалярное произведение
  • Двойное векторное произведение
Типы пространств
  • Векторное пространство
  • Аффинное пространство
  • Евклидово пространство
  • Псевдоевклидово пространство
  • Нормированное пространство
  • Пространство Минковского
Матрицы
Основные понятия
  • Умножение матриц
  • Транспонированная матрица
  • Эрмитово-сопряжённая матрица
  • Симметричная матрица
  • Обратная матрица
  • Собственное значение
  • Характеристический многочлен матрицы
Специальные матрицы
  • Единичная матрица
  • Нулевая матрица
  • Диагональная матрица
  • Лямбда-матрица
Разложения матриц
  • LU-разложение
  • Разложение Холецкого
  • QR-разложение
  • LUP-разложение
  • Сингулярное разложение
  • Спектральное разложение матрицы
Другое
  • Векторное исчисление
  • Система линейных алгебраических уравнений
  • Векторная функция
  • Билинейная форма
  • Квадратичная форма

Векторы на плоскости, формулы и примеры

Если начало и конец вектора – это точки и , то вектор обозначается как . Также для обозначения векторов используются строчные латинские буквы:

   

Нулевой вектор

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом (рис. 1).

Длинойили модулем вектора называется неотрицательное число, равное длине отрезка , который задает вектор.

   

Коллинеарные и неколлинеарные векторы на плоскости

Два вектора на плоскости называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2). В противном случае векторы называются

неколлинеарными.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы на плоскости

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: . Два коллинеарные вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны. Обозначение .

Два вектора плоскости называются равными, если они сонаправлены и их длины равны (рис. 3):

   

Вектор называется противоположным к вектору , если эти векторы противоположно направлены и их длины равны.

Отложим от некоторой точки на плоскости два произвольных вектора и (рис. 4). Лучи, исходящие из этой точки образуют угол , который называется углом между векторами

и :

   

Два вектора и называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол между ними равен ( радиан) (рис. 5).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Презентация на тему: ВЕКТОРЫ.

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ.

История возникновения

понятия вектора

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике. Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение. Почти одновременно с ним

исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман . Англичанин Уильям Клиффорд сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу. Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной математике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением.

Векторы вокруг нас.

Векторы в повседневной жизни.С уверенностью можно сказать,что мало кто из людей задумывается о том,что векторы окружают нас повсюду и помогают нам повседневной жизни.Так например, ель можно рассматривать как пример вектора в пространстве:нижняя её часть- начало вектора,а верхушка дерева является концом вектора

Векторы вокруг нас.

Векторы в знаках дорожного движения.

Каждый день ,выходя из дома,мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителей.В жизни всё взаимосвязано и,даже в простейших предписываюших знаках дорожного движения,мы видим указательные стрелки движения,в математике называемые-ВЕКТОРАМИ

Векторы на плоскости

Отрезок,для которого указано,какая его граничная точка является началом,а какая –концом,называется направленным отрезком или вектором

Если начало и конец вектора – это точки А и B,то вектор обозначается

как AB. Также для обозначения

векторов используются строчные латинские буквы: AB=а

1. Нулевым вектором 0 называется вектор, у которого начало совпадает с

концом.ПРИМЕЧАНИЕ!!!

Нулевому вектору 0 придают любое

направление на плоскости. Длиной или

модулем AB вектора AB называется неотрицательное число, равное длине

отрезка AB который задаёт вектор.

ПРИМЕЧАНИЕ!!!

Длина нулевого вектора равна нулю.

2.Коллинеарные и неколлинеарные векторы на плоскости

Два вектора на плоскости называют коллинеарными ,если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2). В противном случае векторы называются неколлинеарными.

В противном случае векторы называются неколлинеарными.

ПРИМЕЧАНИЕ!!!

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору плоскости.

3. Сонаправленные и противоположно направленные векторы на плоскости. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными

когда и только тогда, если их направления совпадают. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом:а b.

Свойства векторов

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}↑↑\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↑↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов $\overline{a+b}$ будем называть вектор $\overline{c}=\overline{AC}$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $\overline{AB}=\overline{a}$, далее от точки $B$ отложем $\overline{BC}=\overline{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора $\overline{a}$ на $k∈R$ будем называть вектор $\overline{b}$ который будет удовлетворять условиям:

  1. $|\overline{b}|=|k||\overline{a}|$;
  2. $\overline{a}↑↑\overline{b}$ при $k≥0$ и, $\overline{a}↑↓\overline{b}$ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$:

  1. Коммутативность сложения векторов:

    $\overline{α}+\overline{β}=\overline{β}+\overline{α}$

  2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

    $(\overline{α}+\overline{β})+\overline{γ}=\overline{α}+(\overline{β}+\overline{γ})$

  3. Сложение с нулевым вектором:

    $\overline{α}+\overline{0}=\overline{α}$

  4. Сложение противоположных векторов

    $\overline{α}+(\overline{-α})=\overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и чисел $a$ и $b$.

  1. $a(\overline{α}+\overline{β})=a\overline{α}+a\overline{β}$
  2. $\overline{α}(a+b)=\overline{α}a+\overline{α}b$
  3. $(ab)\overline{α}=a(b\overline{α})=b(a\overline{α})$
  4. $1\cdot \overline{α}=\overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})$

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})=(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}$

Используя свойство умножения на число 1, получим:

$(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}=2(\overline{AB}+\overline{BC})+3\overline{AC}=2\overline{BC}+3\overline{AC}=5\overline{AC}$

Ответ: $5\overline{AC}$.

Нулевой вектор, формулы и примеры

Определение и формулы нулевого вектора

Длина нулевого вектора равна нулю:

   

С нулевым вектором не связано никакое направление в пространстве. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору. Нулевой вектор одновременно коллинеарен и ортогонален любому вектору пространства.

Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю. Например, в трехмерном пространстве

   

Свойства нулевого вектора

Нулевой вектор обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) для любого вектора существует такой вектор , что

   

Вектор называется противоположным к вектору .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *