Site Loader

Содержание

Что такое векторы? — презентация онлайн

1. Презентация на тему :

2. Что такое векторы?

Физические величины например сила ,
перемещения материальной точки, скорость и т.д.,
характеризуются не только своим числовым
значением , но и направлением в пространстве.
Подобные величины называются векторными
величинами или просто векторами.
Любой направленный отрезок называется
вектором.

3. Таким образом выглядят векторы

4. Перпендикулярные и противоположно направленные векторы

Если векторы a и b лежат на перпендикулярных
прямых , то их называют перпендикулярными
(ортогональными) векторами.
Если векторы a и b коллинеарны и имеют разные
направления ,то их называют противоположно
направлеными

5. Перпендикулярные и противоположно направленные векторы.

6. Равные векторы

Векторы называются равными, если они
сонаправлены и их модули равны.

7. Коллинеарные и сонаправленые векторы.

Если 2 вектора лежат на одной прямой или
на параллельных прямых ,то такие векторы
называют коллинеарными.
Если коллинеарные векторы имеют
одинаковые направления , то их называют
сонаправлеными векторами.

8. Коллинеарные и сонаправленые векторы.

9. Сложение векторов

Пусть
даны векторы a и b. Отметим на плоскости
точку A и отложим от этой точки вектор AB
,равный вектору a ,а от точки B отложим вектор
BC,равный вектору b . Полученный вектор AC
называют суммой векторов a и b.(Такой способправило треугольника)
b
a
a+b

10. Вычитание векторов

Разностью векторов a и b называется
вектор , который в сумме с вектором b
равен вектору a.
Разность векторов a и b обозначаются так :
a-b
a
a-b
О
b
B

11. Скалярное произведение векторов.

Скалярным
произведением двух векторов
называется число , равное произведению
модулей этих векторов на косинус угла между
ними , т.е. скалярное произведение векторов
равно числу a • b • cos

12. Направляющий вектор прямой

Вектор, который параллелен прямой,
называется направляющим вектором данной
прямой. Очевидно, что у любой прямой
бесконечно много направляющих векторов,
причём все они будут коллинеарны
(сонаправлены или нет – не важно).

13. Вектор нормали

Нормаль — это прямая, ортогональная
касательному пространству.

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Смотреть что такое «угол» в других словарях Что называют углом между двумя пересекающимися

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Тогда справедливо следующее определение.

Определение.

Углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB .

Угол между векторами и будем обозначать как .

Угол между векторами может принимать значения от

0 до или, что то же самое, от до .

Когда векторы и сонаправленные, когда векторы и противоположно направленные.

Определение.

Векторы и называются перпендикулярными , если угол между ними равен ( радиан).

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол не определен.

Нахождение угла между векторами, примеры и решения.

Косинус угла между векторами и , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах и .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть . Если векторы и ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов и , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами : . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Пример.

Вычислите косинус угла между векторами и , а также найдите сам угол, если длины векторов и равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9 .

Решение.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы . Вычисляем косинус угла между векторами и : .

Теперь находим угол между векторами: .

Ответ :

Существуют задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу , но в координатной форме. Получим ее.

Длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами на плоскости имеет вид , а для векторов в трехмерном пространстве — .

Пример.

Найдите угол между векторами , заданными в прямоугольной системе координат.

Решение .

Можно сразу воспользоваться формулой :

А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу , предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам:

Ответ:

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А , В и С ) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, ).

Действительно, угол равен углу между векторами и . Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора .

Пример .

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите косинус угла между векторами и .

Решение .

Определим координаты векторов и по координатам заданных точек:

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах:

Ответ:

Угол между векторами и также можно вычислить по теореме косинусов . Если отложить от точки O векторы и , то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать , что эквивалентно равенству , откуда находим косинус угла между векторами . Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов и , которые легко находятся по координатам векторов и . Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле .

Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции):

Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр cosφ.

Док-во: Если φ=

Если φ> (φ≤ ), то пр l =- =- * cos( -φ) = cosφ (см.рис10)

Если φ= , то пр l = 0 = соs φ.

Следствие : Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нуле, если этот угол — прямой.

Следствие : Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Вычисление ортогональной проекции суммы векторов (сво-во проекции):

Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Док-во: Пусть, например, = + + . Имеем пр l =+ =+ + — , т.е. пр l ( + + ) = пр l + пр l + пр l (см.рис11)

РИС. 11

Вычисление произведения вектора на число:

При умножеии вектора на число λ его проекция на ось так же умножается на это число, т.е. пр l (λ* )= λ* пр l .

Док-во: При λ > 0 имеем пр l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*пр l

При λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *пр l .

Свойство справедливо и при

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.

Определение 1

Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.

Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

Допустим, нам известно, что один из углов равен α . В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α . Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180 ° — α . Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).

Взгляните на рисунок:

Перейдем к формулированию основного определения.

Определение 2

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4 -х углов, которые образуют две эти прямые.

Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0 , 90 ] . Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.

Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.

Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.

Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.

У нас есть прямоугольная (декартова) система координат O x y , в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b . Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M . Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?

Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.

Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.

Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:

  • угла между направляющими векторами;
  • ­угла между нормальными векторами;
  • угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.

Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.

1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a → = (a x , a y) и прямая b с направляющим вектором b → (b x , b y) . Теперь отложим два вектора a → и b → от точки пересечения. a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:

cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:

α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Здесь a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) – это направляющие векторы заданных прямых.

Приведем пример решения задачи.

Пример 1

В прямоугольной системе координат на плоскости заданы две пересекающиеся прямые a и b . Их можно описать параметрическими уравнениями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y — 6 — 3 . Вычислите угол между этими прямыми.

Решение

У нас в условии есть параметрическое уравнение, значит, для этой прямой мы сразу можем записать координаты ее направляющего вектора. Для этого нам нужно взять значения коэффициентов при параметре, т.е. прямая x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R будет иметь направляющий вектор a → = (4 , 1) .

Вторая прямая описана с помощью канонического уравнения x 5 = y — 6 — 3 . Здесь координаты мы можем взять из знаменателей. Таким образом, у этой прямой есть направляющий вектор b → = (5 , — 3) .

Далее переходим непосредственно к нахождению угла. Для этого просто подставляем имеющиеся координаты двух векторов в приведенную выше формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Получаем следующее:

α = a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 · 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Ответ : данные прямые образуют угол в 45 градусов.

Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая a с нормальным вектором n a → = (n a x , n a y) и прямая b с нормальным вектором n b → = (n b x , n b y) , то угол между ними будет равен углу между n a → и n b → либо углу, который будет смежным с n a → , n b → ^ . = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34

Если нам известен косинус угла, то мы можем вычислить его синус, используя основное тригонометрическое тождество. Поскольку угол α , образованный прямыми, не является тупым, то sin α = 1 — cos 2 α = 1 — 23 2 34 2 = 7 2 34 .

В таком случае α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Ответ: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.

Допустим, что прямая a имеет направляющий вектор a → = (a x , a y) , а прямая b – нормальный вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:

Если величина угла между заданными векторами не более 90 градусов, получается, что он будет дополнять угол между a и b до прямого угла. = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Нахождение самого угла:

α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Здесь a → является направляющим вектором первой прямой, а n b → – нормальным вектором второй.

Пример 3

Две пересекающиеся прямые заданы уравнениями x — 5 = y — 6 3 и x + 4 y — 17 = 0 . Найдите угол пересечения.

Решение

Берем координаты направляющего и нормального вектора из заданных уравнений. Получается a → = (- 5 , 3) и n → b = (1 , 4) . Берем формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 и считаем:

α = a r c sin = — 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Обратите внимание, что мы взяли уравнения из предыдущей задачи и получили точно такой же результат, но другим способом.

Ответ: α = a r c sin 7 2 34

Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.

У нас есть прямая a , которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения y = k 1 · x + b 1 , и прямая b , заданная как y = k 2 · x + b 2 . Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 , где k 1 и k 2 являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.

Пример 4

Есть две пересекающиеся на плоскости прямые, заданные уравнениями y = — 3 5 x + 6 и y = — 1 4 x + 17 4 . Вычислите величину угла пересечения.

Решение

Угловые коэффициенты наших прямых равны k 1 = — 3 5 и k 2 = — 1 4 . Добавим их в формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 и подсчитаем:

α = a r c cos — 3 5 · — 1 4 + 1 — 3 5 2 + 1 · — 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Ответ: α = a r c cos 23 2 34

В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. = a → , k → a → · k → = 1 · 0 — 3 · 0 — 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен a r c cos 1 2 = 45 ° .

Ответ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи наз. сторонами У., а их общее начало — вершиной У. Пусть [ ВА ),[ ВС ) стороны угла, В — его вершина, — плоскость, определяемая сторонами У. Фигура делит плоскость на две фигуры Фигура i==l, 2, также наз. У. или плоским углом, наз. внутренней областью плоского У.
Два угла наз. равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их соответствующие стороны и вершины. От любого луча на плоскости в данную сторону от него можно отложить единственный У., равный данному У. Сравнение У. осуществляется двумя способами. Если У. рассматривается как пара лучей с общим началом, то для выяснения вопроса, какой из двух У. больше, необходимо совместить в одной плоскости вершины У. и одну пару их сторон (см. рис. 1). Если вторая сторона одного У. окажется расположенной внутри другого У., то говорят, что первый У. меньше, чем второй. Второй способ сравнения У. основан на сопоставлении каждому У. нек-рого числа. Равным У. будет соответствовать одинаковое градусов или (см. ниже), большему У.- большее число, меньшему -меньшее.

Два У. наз. смежными, если у них общая вершина и одна сторона, а две другие стороны образуют прямую (см. рис. 2). Вообще, У., имеющие общую вершину и одну общую сторону, наз. прилежащими. У. наз. вертикальными, если стороны одного являются продолжениями за вершину сторон другого У. Вертикальные У. равны между собой. У., у к-рого стороны образуют прямую, наз. развернутым. Половина развернутого У. наз. прямым У. Прямой У. можно эквивалентно определить иначе: У., равный своему смежному, наз. прямым. Внутренняя плоского У., не превосходящего развернутого, является выпуклой областью на плоскости. За единицу измерения У. принимается 90-я доля прямого У., наз. градусом.

Используется и т. мера У. Числовое значение радианной меры У. равно длине дуги, высекаемой сторонами У. из единичной окружности. Один радиан приписывается У., соответствующему дуге, к-рой равна ее радиусу. Развернутый У. равен радиан.
При пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей прямой образуются У. (см. рис. 3): 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, З и 7 — наз. соответственными; 2 и 5, 3 и 8 — внутренними односторонними; 1 и 6, 4 и 7 — внешними односторонними; 3 и 5, 2 и 8- внутренними накрест лежащими; 1 и 7, 4 и 6 — внешними накрест лежащими.

В практич. задачах целесообразно рассматривать У. как меру поворота фиксированного луча вокруг его начала до заданного положения. В зависимости от направления поворота У. в этом случае можно рассматривать как положительные, так и отрицательные. Тем самым У. в этом смысле может иметь своей величиной любое . У. как поворота луча рассматривается в теории тригонометрич. функций: для любых значений аргумента (У.) можно определить значения тригонометрич. функций. Понятие У. в геометрич. системе, в основу к-рой положена точечно-векторная аксиоматика, в корне отличается от определений У. как фигуры — в этой аксиоматике под У. понимают определенную метрич. величину, связанную с двумя векторами с помощью операции скалярного умножения векторов. Именно, каждая пара векторов аи bопределяет нек-рый угол — число, связанное с векторами формулой

где (a, b ) скалярное произведение векторов.
Понятие У. как плоской фигуры и как нек-рой числовой величины применяется в различных геометрич. задачах, в к-рых У. определяется специальным образом. Так, под У. между пересекающимися кривыми, имеющими определенные касательные в точке пересечения, понимают У., образованный этими касательными.
За угол между прямой и плоскостью принимается У., образованный прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; он измеряется в пределах от 0

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Синонимы :

Смотреть что такое «УГОЛ» в других словарях:

    уголёк — угол/ёк/ … Морфемно-орфографический словарь

    Муж. перелом, излом, колено, локоть, выступ или залом (впадина) об одной грани. Угол линейный, всякие две встречные черты и промежуток их; угол плоскостной или в плоскостях, встреча двух плоскостей или стен; угол толстый, теловой, встреча в одной … Толковый словарь Даля

    Угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, м. 1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол. (менее 90°). Тупой угол.… … Толковый словарь Ушакова

    УГОЛ — (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… … Большая политехническая энциклопедия

    — (плоский) геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Всякий угол с вершиной в центре некоторой окружности (центральный угол) определяет на окружности дугу АВ, ограниченную точками… … Большой Энциклопедический словарь

    Глава угла, из за угла, медвежий угол, непочатый угол, по всем углам.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. угол вершина, угловая точка; пеленг, пристанище, девятина, румб,… … Словарь синонимов

    угол — угол, род. угла; предл. об угле, в (на) углу и в речи математиков в угле; мн. углы, род. углов. В предложных и устойчивых сочетаниях: за угол и допустимо за угол (зайти, завернуть и т. п.), с угла на угол (двигаться, располагаться и т. п.), угол… … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

    УГОЛ, угла, об угле, на (в) углу, муж. 1. (в угле.). В геометрии: плоская фигура, образованная двумя лучами (в 3 знач.), исходящими из одной точки. Вершина угла. Прямой у. (90°). Острый у. (меньше 90°). Тупой у. (более 90°). Внешние и внутренние… … Толковый словарь Ожегова

    угол — УГОЛ, угла, м. Четверть ставки, при объявлении которой загибается край карты. ◘ Туз и дама пик с углом // Убиты. А.И.Полежаев. День в Москве, 1832. ◘ После обеда рассыпает он червонцы на стол, тасует карты; понтёры трещат колодами,… … Карточная терминология и жаргон XIX века

Векторы. Начальные сведения

Определения

Вектор – это направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
Если \(A\) – начало вектора, \(B\) – его конец, то вектор обозначается как \(\overrightarrow{AB}\). Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой: \(\overrightarrow{a}\).


 

Иногда говорят, что вектор – это перемещение из точки \(A\) в точку \(B\).

 

Длина (или модуль) вектора \(\overrightarrow{AB}\) – это длина соответствующего отрезка \(AB\).
Обозначение: \(|\overrightarrow{AB}|=AB\).

 

Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.

 

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (\(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) и \(\overrightarrow c\)).

В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow d\)).


 

Причем если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow c\)). В противном случае векторы называются противоположно направленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\)).
Обозначение: \(\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow c\), \(\overrightarrow a \uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

 

Правила сложения коллинеарных векторов:

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).


 

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

 

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

 

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

 

Определение

Вектор \(\overrightarrow {-b}\) – это вектор, противоположно направленный с вектором \(\overrightarrow {b}\) и совпадающий с ним по длине.

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\):   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).


 

Свойства сложения векторов

1. Наличие нейтрального вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено: \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{a}\).

2. Наличие обратного вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + (-\overset{\rightarrow}{a}) = \overset{\rightarrow}{0}\).

3. Ассоциативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\), \(\overset{\rightarrow}{b}\) и \(\overset{\rightarrow}{c}\) выполнено \((\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}) + \overset{\rightarrow}{c} = \overset{\rightarrow}{a} + (\overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c})\)

4. Коммутативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\) и \(\overset{\rightarrow}{b}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} = \overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{a}\).

 

Замечание

Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: \[\overrightarrow {a_1}+\overrightarrow {a_2}+\overrightarrow {a_3}+ \overrightarrow {a_4}=\overrightarrow {a}\]

 

Определение

Произведением ненулевого вектора \(\overrightarrow {a}\) на число \(\lambda\) называется такой вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\), длина которого равна \(|\lambda|\cdot |\overrightarrow {a}|\), причем векторы \(\overrightarrow {a}\) и \(\lambda \overrightarrow {a}\) сонаправлены, если \(\lambda>0\), и противоположно направлены, если \(\lambda<0\). Если \(\lambda=0\), то вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\) равен нулевому вектору.

 

Свойства произведения вектора на число

1. Сочетательный закон: \(k(\lambda\overrightarrow {a})=(k\lambda)\overrightarrow {a}\);

 

2. Распределительный закон 1: \((k+\lambda)\overrightarrow {a}=k\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {a}\);

 

2. Распределительный закон 2: \(\lambda(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})=\lambda\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {b}\).

 

Теорема

Если \(M\) – середина отрезка \(PQ\), \(O\) – произвольная точка плоскости, то \[\overrightarrow {OM}=\dfrac12 \left(\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}\right)\]

Урок 4: Вектора в пространстве

План урока:

Понятие векторов в пространстве

Операции над векторами

Компланарные векторы

Разложение вектора на некомпланарные вектора

 

Понятие вектора в пространстве

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:

Здесь показаны сразу три вектора:

У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора СD точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:


Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.

Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:

Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:


Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.

Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.

Рассмотрим несколько простейших задач.

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известны три его измерения:

Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB1. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВCD:


 

Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВСD. Точки M, N, P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?

Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC. Тогда эти вектора по определению равны:


Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.

Теперь заметим, что отрезки MN, MQ, PQ и NP – это средние линии в ∆ABD, ∆АВС, ∆BCD и ∆ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN||BD, PQ||BD, MQ||АС и NP||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN||PQ и MQ||NP. Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:


 

Операции над векторами

Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b. Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b, его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой a и b:

Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:

Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:

Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:


Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:


C помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b, надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b:

Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k. В результате получается новый вектор b, причем

1) b и a будут коллинеарными векторами;

2) b будет в k раз длиннее, чем вектор a.

Если k – положительное число, то вектора a и b будут сонаправленными. Если же k< 0, то a и b будут направлены противоположно.

Уточним, что если |k| < 1, то фактически b будет не длиннее, а короче вектора a. Наконец, если k = 0, то и b будет иметь нулевую длину, то есть b окажется нулевым вектором.

 

Задание. Дан параллелепипед АВС1В1С1D1. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:

Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.

В задании а) вектор А1Dзаменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.

В задании б) заменяем АDна вектор ВС1. Также можно было бы заменить АВ на D1C1. В обоих случаях сумма окажется равной АС1.

В задании в) удобно DA заменить на C1В1, тогда искомой суммой будет вектор С1В.

В задании г) производим замену DDна равный ему вектор BB1. Тогда сумма DB и BB1– это вектор DB1.

В задании д) необходимо заменить ВС на В1С1. В итоге получаем вектор DC:

 

Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D. Выразите вектор АВ через вектора:


Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:


Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:

Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:

Теперь можно составить и выражение для АВ:

Аналогично решаем и задания б) и в):

 

 

Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.

Решение. Обозначим вершины буквами А1, А2, … А6, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н1, Н2, … Н6, как это показано на рисунке:

Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:


Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:

Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):

Так как точки Н1, Н2, … Н6 – середины сторона, то вектора Н6А6, Н5А5,…Н1А1 будут вдвое короче векторов А1А6, А6А5, … А2А1. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:

Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.

 

Задание. Упростите выражения:

Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:

 

 

Компланарные векторы

Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.

Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.

Рассмотрим для примера параллелепипед:

Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и ААнекомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.

Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.

Существует признак компланарности векторов:

Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство

то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.

Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что


Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А1 и В1:

Естественно, что вектора ОА1 и ОВ1 также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:

В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.

Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.

Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:

 

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:

Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р1. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р1 совпадут, то есть вектор Р1Р будет нулевым).

Далее через точку Р1 в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р2. Заметим, что вектор ОР2 находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х1, у1 и z1:

В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:

Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.

 

Задание. АВСD и А1В1С1D1 – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ1, СС1 и DD1 компланарна.

Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:

Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.


В результате нам удалось разложить СС1 на вектора BBи CC1. Значит, эти три вектора коллинеарны.

 

Задание. В параллелепипеде АВСDA1B1C1Dзапишите разложение вектора BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

Решение. Сначала представим вектор BD1 как сумму трех векторов:


Теперь заметим, что вектора С1Dи ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС1 и ВВ1:


 

Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.

Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:


 

Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.

Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА1, то есть А1 – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:

Сначала разложим вектор ОА1 на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА1 – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА1||ОС и КА1 вдвое короче ОС. Это значит, что


Так как АА1 – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:

Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.

 

Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВС1В1С1Dплос-ти А1ВD и СB1D1 делят диагональ АС1 на три равных отрезка.

Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А1ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что


Это соотношение означает, что вектора АК и АС1 коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС1, и отрезок АК втрое короче диагонали.

Аналогично можно показать, что и

Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС1, и МС1 втрое короче АС1. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.

Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.

Как проверить параллельность векторов

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .

По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

  1. ​​​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
  2. Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1

Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7

тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .

Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .

Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 = 2 .
4 8
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 2 .
5 9
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 9 .
4 8

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Общие сведения

Вектором называют направленный отрезок, который имеет начало и конец. Обозначают его либо большими буквами, либо маленькими, например, АБ или a. Над буквой ставится знак вектора — стрелка. Любой отрезок характеризуется длиной, которую называют модулем. Если начало и конец прямой совпадают, то такой вектор носит название нулевой и обозначается в виде точки. При этом его модуль будет равняться нулю.

Для равенства векторов необходимо выполнение двух условий:

  • модули отрезков должны быть равны;
  • сравниваемые отрезки должны быть направлены в одну сторону.

Равные вектора могут быть совмещены параллельным переносом, при этом начало и конец отрезков должны совпадать. Если ограниченные линии не являются равными, но лежат на параллельных прямых, то их называют коллинеарными, то есть, по определению коллинеарных векторов, их направление для определения признака не является важным.

Коллинеарность является одним из признаков сонаправленности, но для выполнения последнего они должны ещё и совпадать по направлению. Наглядным понятием, объясняющим сонаправленность, является прямое движение транспорта или пешехода. Например, если рассматривать две траектории движения как векторы АБ и СД, лежащие на плоскости, при этом их лучи лежат в одной полуплоскости и перпендикулярны её границам, то их можно назвать сонаправленными.

Поэтому параллельные отрезки будут направлены в одну сторону лишь тогда, когда их лучи находятся по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. При этом если векторы коллинеарны, но не сонаправлены, то они будут являться противоположными.

С векторами можно выполнять любые простейшие арифметические операции. При сложении используют правила параллелограмма и треугольника. Пусть есть два отрезка, имеющие общее начало. Для того чтобы найти их сумму, необходимо фигуру достроить до параллелограмма. Диагональ этой фигуры и будет искомой величиной. Когда же конец одного отрезка является началом другого, то, соединив свободные точки, можно получить треугольник. Новая прямая и будет являться вектором суммы. Следует отметить, что эти правила равнозначны друг другу. Вычитание отрезков находится аналогично.

Вектор можно и умножить на число, то есть длина отрезка увеличивается на значение множителя. Если в произведении стоит отрицательное число, то характеристика меняет направление.

Критерии коллинеарности

Теорема критерия коллинеарности представляет собой утверждение, которое сообщает, что если есть два не ортогональных отрезка, одинаковых по длине, a и b, то вектор a может быть выражен через формулу a || b = a = y * b. При этом y обозначает любое произвольное число. Есть и обратное утверждение: если вектор b умножить на число и получится отрезок a, то тогда a и b будут коллинеарными.

Эти два правила тождественны и называются критериями коллинеарности. Для их доказательства нужно знать правило арифметических действий с параллельными и перпендикулярными векторами, а также понимать основной базис. Заключается он в том, что если имеются три отрезка a, b и c, при этом верной является следующая комбинация a || b и a || c, то справедливо утверждать, что b || c.

Для того чтобы доказать свойство a || b = a = y * b, нужно воспользоваться определением коллинеарности. Из него следует, что если a || b, то отрезки могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Таким образом, необходимо проверить утверждение для двух случаев:

Если предположения окажутся верными, то можно будет сделать вывод о справедливости записи для других случаев. То есть к любым параллельным отрезкам можно применить равенство a = u * b. Этот критерий занимает важное место в геометрии наряду со свойствами перпендикулярности (ортогональности) прямых.

Сонаправленные вектора

Пусть a и b однонаправленные. Введём число y, равное отношению a на b. Так как длина вектора может быть только положительной, то и y = a /b > 0. Состояние вектора, когда он нулевой, является частным случаем и его можно не рассматривать, так как при этом получится равенство 0 = 0. Если длину b умножить на число, то получится новый вектор. Пусть это будет отрезок c, то есть с = y * b. Учитывая свойство коллинеарности, можно утверждать, что между c и b останется параллельность.

По условию известно, что a || b. Исходя из транзитивности отрезков, можно заключить, что и c || b. Теперь необходимо установить их направление. Изначально a и b направлены в одну сторону. Ведённый множитель больше нуля. Это значит, что после умножения направление вектора не изменится, то есть c будет иметь то же направление что и b. Тогда получается, что a || b и c || b. Отсюда следует, что a || с.

Длина вектора c равняется |c| = |u| * |b|. Вместо u можно подставить a / b. В итоге получится |a| * |b| / |b| = |a|. Таким образом, два условия выполняются, и можно утверждать, что с = a. Получается, что для двух любых однонаправленных векторов будет выполняться правило a = u * b.

Противоположные отрезки

Пусть имеется два отрезка a и b, при этом их направления противоположны друг другу. Можно ввести переменную u, которая будет меньше нуля. Тогда справедливо записать u = — |a| / |b| 0, так как |m| ↑↑ |n|. Отсюда u = 240 / 12 = 20.

  • Требуется доказать, что если отрезки a и b не коллинеарны, то a + b и a — b не коллинеарны тоже. Такие задачи решаются методом от обратного. Для повышения комфортности решения рекомендуется выполнить векторный рисунок в линейных координатах. Делают предположение, что a + b и a — b коллинеарны. Тогда должно выполняться следующее равенство: a + b = u (a — b). При этом u не должно равняться нулю. В выражении можно раскрыть скобки: a + b = u * a — u * b, а затем перенести в левую часть равенства одночлены, содержащие вектор a, а в правую часть — b: a — u * a = — u * b — b. Используя законы умножения, выражение можно преобразовать до вида: (1-u) * a = (-u — 1) * b. После ряда стандартных упрощений получится: a = (-u — 1) * b / 1- u, a b = (u + 1) * b / 1- u. Изучив полученное выражение, можно отметить, что u = 1 противоречит условию, так как a + b = a — b, то b = -b = 0.
  • Установить, являются ли отрезки с1 и с2 коллинеарными по векторам a и b при условии a = <1; 4; -2>, b = <1; 1; -1>; c 1 = a + b, c 2 = 4 a +2 b. Решение выполняют следующим образом. Если векторы коллинеарны, то будет существовать такое число, при котором будет верным равенство: c 1 = u * c 2. Иными словами, векторы коллинеарны если их координаты пропорциональны. Используя исходные данные, получим: c 1 = a + b = <1+1; 4+1; -2+(-1)>= <2; 5; -3>; c 2 = 4 * a + 2 * b = <4*1 + 2*1; 4*4 + 2*1; 4 * (-2) + 2 * (-1)>= <6; 18; -10>. В результате: 2/6 ≠ 5/18 ≠ -3/-10. Отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемые отрезки не коллинеарны.
  • Использование онлайн-калькулятора

    Решение простых заданий из школьного курса обычно не вызывает сложностей. Но на практике приходится сталкиваться со сложными выражениями. Для их вычисления нужно проявить усидчивость и при этом быть предельно внимательным. Кроме этого, расчёт занимает довольно много времени, а любая, казалось бы, незначительная оплошность, приведёт к неправильному решению.

    Поэтому условие коллинеарности векторов удобно проверять на так называемых онлайн-калькуляторах. Это обычно мощные сервисы, основная деятельность которых заключается в предоставлении услуг по автоматизации вычислений. Среди них попадаются и сайты, умеющие вычислять и вектора.

    Для того чтобы выполнить на них математические операции, необходимо иметь доступ к интернету и установленный веб-обозреватель. Всё, что требуется от пользователя, это просто зайти на сайт и выбрать раздел, связанный с операциями над векторами. Затем в предложенную форму вести условие задания и запустить расчёт нажатием одной кнопки.

    Из множества онлайн-расчётчиков, доступных в секторе рунета, можно выделить следующие:

    • SolverBook — это простой на вид сайт, содержащий на своей странице приложение, позволяющее выполнять любые действия над отрезками, а также определять их вид. Кроме непосредственного предоставления ответа, сервис выдаёт пошаговое решение. При этом каждый этап будет детально расписан.
    • O nlineMSchool — сайт помогает найти коллинеарные отрезки для любой сложности примеров. На страницах сервиса находится вся необходимая теория и примеры решения заданий. Поэтому даже слабо подготовленный пользователь сможет разобраться во всех нюансах решения нужных ему задач.
    • Kontrolnaya-rabota — отличительной его чертой является возможность отправления подробного решения на указанную электронную почту. Сайт умеет работать как с парой векторов, так и попарной системой.

    Все указанные сервисы предоставляют доступ к услугам бесплатно и без регистрации. Воспользовавшись онлайн-калькуляторами, даже слабо подготовленный пользователь научится самостоятельно определять коллинеарность. Такие расчётчики будут полезны и учащимся, и инженерам.

    Дії над векторами 9 клас

    Скачать дії над векторами 9 клас djvu

    Векторы, дейсвия над векторами, проекция вектора на координатные оси, умножение вектора на скаляр, решение задач. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА геометрия векторы 9 класс урок 1 Атанасян. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. Aufrufe 67 100letvam.ru 4 years.  сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия Атанасян. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. Aufrufe 65 100letvam.ru 4 years.

    На уроке дифференциация построена по уровню мыслительной деятельности. Пары учащихся организованны по схеме «Сильный – слабый», это позволяет учащимся. Примеры решения задач с векторами. Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.

    Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню. Координаты вектора. Теоретический материал по теме — координаты вектора. Пример.

    Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху. Определение 2. Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху. Определение 3. Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.  Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

    Исходные данные: векторы. a→. Вопросы занятия: · вспомнить, как выполняют сложение векторов; · назвать законы сложения векторов; · поговорить о разности векторов; · вспомнить, как выполняется умножение вектора на число. Материал урока. Начнём с понятия суммы двух векторов. Итак, рассмотрим два ненулевых вектора: и. Отметим произвольную точку А и отложим от неё вектор. Далее от точки отложим вектор.

    Изобразим вектор. Этот вектор и есть сумма векторов. Сумму векторов обозначают так: Напомним, что данное правило сложения векторов называют правилом треугольника.

    Вы могли усомниться, что точку А, действительно, можно выбир.

    «Понятие вектора» 9 класс. Материал туралы қысқаша түсінік. «Понятие вектора» 9 класс. Ташмаганбетов Мурат Игибаевич. 06 Желтоқсан   ввести понятие вектора, рассмотреть две основные характеристики вектора – абсолютная величина (модуль) и направление; определить равенство векторов.

    рассмотреть одинаково направленные и противоположно направленные вектора, равные вектора; научить изображать и обозначать вектор, различать начало и конец в записи и на чертеже, распознавать, изображать и записывать сонаправленные и противоположно направленные векторы, откладывать от любой точки вектор, равный данному, применять полученные знания при решении задач.

    Ход урока. •Дії над векторами в координатній формі. •Скалярний добуток векторів. •Основні властивості скалярного добутку векторів. •Векторний добуток векторів. •Основні властивості векторного добутку векторів. •Мішаний добуток векторів. •Основні властивості мішаного добутку векторів.

    • Пряма на площині.  Добутком числа на вектор називають вектор, який має довжину, що дорівнює добутку модуля на абсолютну величину: ; є колінеарним вектору і має однаковий напрямок з для і протилежний для. Властивості лінійних операцій над векторами. 1). ; 2). Урок з теми Вектори. Теоретичні матеріали та завдання Геометрія, 9 клас.

    МiйКлас — онлайн школа нового покоління.  Накреслимо якийсь відрізок \(AB.\) Один кінець \(A\) назвемо початковою точкою, а другий \(B\) — кінцевою точкою.

    doc, PDF, djvu, txt

    Похожее:

  • Англійська мова 7 клас 2015 скачати
  • Історія україни нова програма 7 клас скачать
  • Гдз 8 клас біляніна алгебра
  • Мова паскаль реферат
  • Укр мова сичова 9 класс
  • Тести 9 клас 2016
  • Українська зірка упаковки
  • Аналіз плану виховної роботи 2 клас
  • Дії над векторами 9 клас

    Скачать дії над векторами 9 клас EPUB

    Понятие вектора является одним из основных в математике, объединяющим такие ее разделы, как геометрия, алгебре, математический анализ.

    Оно имеет большое прикладное значение, так как многие физические величины (сила, скорость и другие) характеризуются не только величиной, но и направлением, то есть являются векторными величинами. В стереометрии изучаются векторы в пространстве. Их определение и свойства аналогичны определению и свойствам векторов на плоскости. Геометрия классы. § 1. Понятие вектора. Эта глава посвящена разработке векторного аппарата геометрии.

    С помощью векторов можно доказывать теоремы и решать геометрические задачи. Примеры такого применения векторов приведены в данной главе. Но изучение векторов полезно ещё и потому, что они широко используются в физике для описания различных физических величин, таких, например, как скорость, ускорение, сила. Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве.

    Такие физически. Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

    Определение 2. Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху. Определение 3. Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.  Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

    Исходные данные: векторы. a→. Вектора и операции над векторами.  СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс Атанасян. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. Векторы, дейсвия над векторами, проекция вектора на координатные оси, умножение вектора на скаляр, решение задач. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА геометрия векторы 9 класс урок 1 Атанасян. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. Aufrufe 67 crystal-zvon.ru 4 years.  сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия Атанасян.

    физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. Aufrufe 65 crystal-zvon.ru 4 years.

    «Понятие вектора» 9 класс. Материал туралы қысқаша түсінік. «Понятие вектора» 9 класс. Ташмаганбетов Мурат Игибаевич. 06 Желтоқсан   ввести понятие вектора, рассмотреть две основные характеристики вектора – абсолютная величина (модуль) и направление; определить равенство векторов.

    рассмотреть одинаково направленные и противоположно направленные вектора, равные вектора; научить изображать и обозначать вектор, различать начало и конец в записи и на чертеже, распознавать, изображать и записывать сонаправленные и противоположно направленные векторы, откладывать от любой точки вектор, равный данному, применять полученные знания при решении задач.

    Ход урока. Підручник Геометрія 9 клас — М. І. Бурда — Оріон рік. Розділ 2 Вектори на площині. § 8. дії над векторами. Вектори можна додавати, віднімати та множити на число.

    Дії над векторами виконують за особливими правилами. Розглянемо їх. 1. ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ. Правило трикутника. Для будь-якого вектора та деякої точки О існує лише одна точка М, така, що = (мал. 79). Побудову точки М називають відкладанням. вектора від точки О. Мал. В ролике рассказывает, что такое вектор, какие операции можно совершать над векторами, и зачем они нужны в физике.

    Другие видеоуроки по физике 9 класс. Поступательное движение. Материальная точка. Свободное падение тел. Система отсчета. Определение координат тела. Перемещение, траектория и пройденный путь.

    fb2, fb2, PDF, EPUB

    Похожее:

  • Українська література 9 клас ткачук скачати
  • Перелесник українська міфологія
  • Електронний підручник з німецької мови 11 клас сотникова
  • Українська сучасна дитяча література
  • Відповіді дпа 2015 математика 11 клас
  • Збірник задач з фізики 9 клас відповіді ненашев онлайн гдз
  • Я у світі 4 клас бібік 2015 рік повна версія
  • Прописи 1 клас на українській мові
  • линейная алгебра — Как определить, что два трехмерных вектора направлены в одном направлении?

    Я не знаю, насколько глубоко вы уже знакомы с теорией векторов, поэтому нижеследующее может быть слишком простым и слишком простым. Но в любом случае, думаю, не помешает освежить эти знания.

    Остальные ответы верны. Если $ AB $ и $ CD $ имеют одинаковое направление, то $ r \ cdot AB = CD $ для некоторого действительного числа $ r \ geq 0 $ (если такое $ r $ есть, но оно отрицательное, то они точно в в противоположных направлениях! Иногда, когда люди говорят «в том же направлении», они включают в себя случай $ r <0 $, который может сбивать с толку...). В вашем случае это означает $ r \ cdot \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \ end {pmatrix} $, что означает $ \ begin {pmatrix} r \ cdot 2 \\ r \ cdot 1 \\ r \ cdot 3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \ end {pmatrix} $, поэтому должен быть $ r \ geq 0 $ такое, что $$ \ begin {align *} 2r & = 4 \\ r & = 3 \\ 3r & = 6 \ end {align *} $$ держать при этом. Что ж, это невозможно, потому что если $ r = 3 $, то $ 2r = 6 \ neq 4 $.

    Просто для иллюстрации, почему это правильный способ (только 2D, работает и для 3D):

    Итак, если мы хотим знать, совпадают ли направления $ AB $ и $ CD $, мы фиксируем начальную точку $ AB $ и $ CD $ в одном месте (обычно $ (0,0) $, поэтому конечная точка векторов такая же, как и в векторном представлении, но это не имеет особого значения).Векторы (и их направление) не меняются, когда мы «перемещаем» их, как это важно в концепции векторов. Затем мы ясно видим, что в этом примере они не в одном направлении. (И мы замечаем, что не существует такого $ r $, что $ r \ cdot AB = CD $, что вы можете доказать так же, как я сделал с вашим примером выше.)

    Другой пример:

    Делая здесь то же самое, что объяснялось ранее, мы видим, что эти двое движутся в одном направлении.А если посчитать, то можно заметить, что $ 2 \ cdot AB = CD $.

    (При этом $ AB $ и $ CD $ — векторы, $ A, B, C $ и $ D $ — точки.)

    Альтернативный способ (также упомянутый в другом ответе):

    Как вы, вероятно, знаете, произведение двух векторов $ v_1, v_2 $ дает третий вектор $ w $, который перпендикулярен двум начальным векторам, а длина этого вектора равна площади параллелограмма со сторонами $ v_1 $ и $ v_2 $. Таким образом, если перекрестное произведение между двумя векторами равно $ 0 $ (поэтому длина также равна $ 0 $), можно сказать, что площадь указанного параллелограмма равна $ 0 $, поэтому $ v_1 $ и $ v_2 $ находятся в одном направлении.(Рассматривая определяющую формулу перекрестного произведения, которую вы можете увидеть в ответе Мхенни, можно заметить, что в этом случае угол между двумя векторами составляет 0 ° или 180 °, что дает тот же результат — два вектора находятся в «одном и том же направление «.)

    Определение сонаправленного движения по Merriam-Webster

    сонаправленный | \ ¦kō + \

    : совпадающие по направлению

    Кросс-произведение векторов

    — обзор

    1.3 Основные концепции релятивистской квантовой механики

    Третий вопрос, поставленный выше: «Как нужно модифицировать квантовую теорию, изучаемую на студенческих курсах химии, чтобы учесть релятивистские эффекты?», Требует более подробного ответа. Рассмотрим нерелятивистский не зависящий от времени СЭ для электрона с потенциальной энергией В ,

    (11) hˆnrelψnrel = V + Tˆψnrel = V + 12mepˆ⋅pˆψnrel = ψnrelEnrel

    Как уже упоминалось, член кинетической энергии получается путем квантования нерелятивистская кинетическая энергия T = p 2 / (2 m e ), используя pˆ = −iℏ∇.Проблема с релятивистским случаем заключается в следующем: как квантовать выражение квадратного корня (6) для релятивистской энергии? Одна из возможностей — использовать расширение корня в c — 2 , как в уравнении. (7), а затем квантовать импульс. Однако это приводит к сильно сингулярным операторам, и спин, естественно, не возникает из этого подхода. Другая возможность заключается в квантовании W 2 уравнения. (5) и решим уравнение типа Hˆ2ψ = ψE2. Это действительно представляет собой релятивистское квантово-теоретическое уравнение (названное в честь Клейна и Гордона).Оказалось, что это неправильное уравнение для частиц со спином 1/2 (таких как электроны), и есть другие проблемы, связанные с уравнением, связанным с тем фактом, что в его зависящей от времени версии производные по времени имеют второй заказ [11].

    Дирак утверждал, что релятивистский квантовый гамильтониан должен быть линейным по импульсу, так что временные и пространственные производные появляются в первом порядке в зависящем от времени волновом уравнении. 9 Соответственно, он предложил линеаризацию квадратного корня выражения (6) в виде

    (12) W = me2c4 + c2p2 = mec2β + cα · p

    Это приводит к гамильтониану Дирака при квантовании

    (13 ) hˆD = V + mec2β + cα⋅pˆ

    Тогда возникает вопрос: что такое β и вектор 10 α = ( α x , α y , α z )? Взяв квадрат с обеих сторон уравнения.(12) и предполагая, что p коммутирует с β и α , получаем ( u , v ∈ { x , y , z })

    (14 ) m2c4 + c2p2 = me2c4β4 + c2∑u, vpupvαuαv + mec3∑upuβαu + αuβ

    Отсюда следует, что 11

    (15) β2 = 1, αuαv + αvαu = 2δuv, βαu + α39β2, что правая часть уравнения. (14) равна левой части. Эти условия не могут быть выполнены, если β и α u являются числами.Вместо этого можно удовлетворить условиям с набором матриц 4 × 4 (или с матрицами более высокой четной размерности), потому что матричные произведения, в отличие от чисел, обычно не коммутируют. Стандартное представление матриц Дирака:

    (16) β = 1000010000−10000−1, αx = 0001001001001000, αy = 000 − i00i00 − i00i000, αz = 0010000−110000−100

    В уравнении. (15), тогда «0» следует интерпретировать как матрицу, заполненную нулями, а «1» соответствует единичной матрице 4 × 4 (1 на диагонали, ноль в другом месте).См. Также упражнение 2.

    Возможно, читатель заметил, что недиагональные блоки 2 × 2 матрицы α — это спиновые матрицы Паули

    (17) σx = 0110, σy = 0 − ii0, σz = 100−1

    , которые можно сгруппировать в векторный оператор σ = ( σ x , σ y , σ z ). Оператор электронного спина Sˆ = 1 / 2σℏ. Существует удобное обозначение матриц Дирака в виде блоков 2 × 2, в которых используются матрицы Паули:

    (18) β = 100-1, α = 0σσ0

    Каждый элемент матриц в уравнении.(18) представляет собой блок 2 × 2, где «0» представляет блок нулей, а «1» представляет единичную матрицу (а не блок 2 × 2, заполненный единицей). В этих разделенных обозначениях одноэлектронный гамильтониан Дирака уравнения (13) читается как

    (19) hˆD = V + mec2β + cα · pˆ = V + mec2cσ · pˆcσ⋅pˆV − mec2

    Этот вид сильно отличается от нерелятивистской SE. Более того, поскольку гамильтониан Дирака имеет матричную структуру 4 × 4, волновая функция должна быть четырехкомпонентным объектом. i — это функция трехмерного пространства.Квадратные скобки указывают разделение обозначений, соответствующих формуле. (19), где U обозначает два верхних, а L обозначает два нижних из четырех компонентов волновой функции. Обозначения, обозначающие «большую» и «малую» составляющие, чаще используются в соответствующей литературе, при этом для электронных состояний малой составляющей является ψ L . Волновая функция нормирована,

    (21) 1 = ∫ψ † ψdV = ∫ (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) ⁎ψ1ψ2ψ3ψ4dV = ∫ψU † ψU + ψL † ψLdV

    ψ i не являются независимыми. друг от друга, но взаимосвязаны пространственной и спиновой симметрией физической задачи и матричной структурой hˆD.Наличие оператора спина в hˆD указывает на то, что многокомпонентный характер оператора и волновой функции так или иначе связан со спиновыми степенями свободы электрона. Поэтому четырехкомпонентная волновая функция Дирака также называется четырехспинором. Верхняя и нижняя компоненты, ψ U , ψ L , являются двухспинорами.

    Прежде чем продолжить, мы установили нуль шкалы энергии на + мк 2 , как в уравнении.(8). Для согласованности нам нужно вычесть мк 2 из потенциальной энергии в уравнении. (19), что эквивалентно замене

    (22) β = 100−1 → β ′ = 000−2

    в уравнении. (19). В конечном итоге ДЭ для электрона составляет

    (23) hˆDψD = Vcσ · pˆcσ · pˆV − 2mec2ψUψL = ψUψLE

    Это уравнение может не иметь четко определенного нерелятивистского предела, c → ∞, потому что скорость света не фигурируют в знаменателях. Похоже, что весь оператор просто уходит в бесконечность при c → ∞.Однако нерелятивистский предел действительно содержится в формуле. (23). Давайте сначала напишем два уравнения для ψ U и ψ L явно:

    (24a) VψU + cσ · pˆψL = ψUE

    (24b) cσ · pˆψU + V − 2mec2ψL = ψLE

    Из второго уравнения получаем

    (25) ψL = XˆψU, ψU = Xˆ − 1ψL, где Xˆ = 12meckσ · pˆ

    , где

    (26) k = 1 − V − E2mec2−1 = 1 + ∑n = 1∞V − E2mec2n

    Из-за множителя 1 / (2 c ) в уравнении. (25), ψ L традиционно называют «малым» компонентом.Это действительно обычно намного меньше, чем верхний компонент ψ U . Мы подставляем уравнение. (25) в уравнение. (24a) и получить релятивистское уравнение для верхних компонент

    (27) hˆESCψU = V + 12meσ · pˆkcσ · pˆψU = ψUE

    Исключаются нижние (малые) компоненты четырехкомпонентной волновой функции. Поэтому процедуру часто называют удалением мелких компонентов (ESC). Процедура показывает, что в принципе можно проводить релятивистские квантовые вычисления только с одной из двухспинорных компонент, ψ U или ψ L , поскольку другая компонента может быть создана с помощью оператора Xˆ или Xˆ − 1, как в уравнении.(25). Уравнение ESC не имеет большого практического значения, поскольку оператор зависит от энергии. Кроме того, нормализация волновой функции требует учета вкладов от обоих компонентов в уравнение. (21).

    В последние годы был достигнут огромный прогресс в разработке процедур, позволяющих строить не зависящие от энергии формально точные двухкомпонентные релятивистские одноэлектронные гамильтонианы, которые можно использовать для релятивистских вычислений. Этот маршрут может быть более эффективным при четырехкомпонентных вычислениях, потому что нужно оптимизировать и хранить только две компоненты волновой функции вместо четырех, хотя четырехкомпонентные методы также становятся очень быстрыми. 12 Кроме того, существует множество эффективных с вычислительной точки зрения приближенных («квазирелятивистских») двухкомпонентных гамильтонианов, доступных в пакетах программ для квантовой химии, которые позволяют исследователям выполнять достаточно точные релятивистские вычисления для атомов и молекул. Как это часто бывает, эффективность достигается за счет введения приближений.

    Для конечного потенциала В (конечные ядра) k стремится к 1, когда скорость света стремится к бесконечности.Позже мы можем взять предел точечного ядра, что оставляет k → 1 в качестве нерелятивистского предела. Из уравнения. (27), тогда получаем

    (28) hˆnrelψ = V + 12meσ⋅pˆσ⋅pˆψ = ψE

    Читателю предлагается (Упражнение 3) использовать определение матриц Паули, чтобы подтвердить, что

    (29) σ ⋅pˆσ⋅pˆ = 1001pˆ⋅pˆ

    Следовательно, уравнение. (28) во многом эквивалентно нерелятивистской СЭ. Волновые функции могут быть выбраны в качестве собственных функций σ z или любой другой линейной комбинации матриц Паули, а двухспинорная природа имеет отношение только к спинорным факторам.При σ z собственных функций,

    ψr, «спин» = ψrtimes10or01

    , где ψ ( r ) является решением уравнения. (11). Следовательно, ДЭ действительно включает нерелятивистский предел, хотя и не очевидным образом. Спин электрона естественным образом возникает из релятивистской теории электрона и входит в нерелятивистский предел по формуле. (28).

    Вместо того, чтобы идти за нерелятивистским пределом, сохраняя некоторые члены в разложении k в уравнении.(26) дает приближенные двухкомпонентные релятивистские гамильтонианы. Например, в порядке c — 2 получается (см. Упражнения 4 и 5) 13

    (30) hˆrel = hˆnrel + 14me2c2pˆV − Epˆ + i4me2c2σ⋅pˆV × pˆ

    . Порядок c — 2 представляет собой скалярные релятивистские поправки. Последний член, зависящий от спина, отвечает за спин-орбитальное взаимодействие. Приближенный гамильтониан зависит от энергии и поэтому не имеет большого практического применения.Однако можно подумать об использовании его для теории возмущений, где сначала вычисляется нормализованная нерелятивистская волновая функция, а затем используется уравнение. (30) с нерелятивистской энергией E для вычисления младшего порядка c — 2 поправки к энергии. В порядке возмущения выше, чем самый низкий, необходимо учитывать как расширения c — 2 от ψ L и ψ U , так и члены более высокого порядка в операторе.

    С учетом перенормировки верхних компонент волновой функции (см. [12], глава 17) релятивистский двухкомпонентный гамильтониан порядка c — 2 превращается в оператор Паули

    (31 ) hˆPauli = hˆnrel − pˆ48me3c2 + ℏ2∇2V8mec2 + i4me2c2σ⋅pˆV × pˆ

    Энергия возмущения первого порядка, взятая с нерелятивистской волновой функцией, 〈ψnrel | hˆrel − hˆnrel | ψnrel | . (30) и (31) (операторы SO идентичны).Стоит выделить несколько особенностей оператора Pauli. Первый член, называемый членом массы-скорости, может рассматриваться как квантованная версия члена квадратного корня разложения в уравнении (1). (7). Этот термин обычно интерпретируется как поправка к кинетической энергии, связанной с релятивистским увеличением массы электрона (член массы-скорости). Второй оператор в правой части уравнения. (31) можно рассматривать как поправку к потенциальной энергии, которая возникает из-за того факта, что электростатическое взаимодействие между электроном и ядром не является мгновенным (термин Дарвина).Последний член — это оператор связи SO. Оператор Паули содержит сильно сингулярные члены, которые приводят к вариационному коллапсу и вызывают проблемы также при расчетах по теории возмущений, за исключением низшего порядка. Поэтому его использование не рекомендуется. Однако он имеет характерные компоненты двухкомпонентных релятивистских гамильтонианов, которые часто используются: есть скалярные релятивистские (бессиновые) члены и есть SO-связь. Для многоэлектронных систем есть дополнительные члены, похожие на члены одноэлектронного гамильтониана, но с потенциалом отталкивания электронов, заменяющим V , и новые спин-зависимые члены, которые возникают из релятивистских поправок к электрон-электронному взаимодействию.

    Пример для вариационно устойчивого приближенного двухкомпонентного оператора получается следующим образом: Переписывая безразмерный объект k уравнения. (26) как

    (32) k = 1 − V − E2mec2−1 = 2mec22mec2 − V1 + E2mec2 − V − 1

    и аппроксимируем k как

    (33) K = 2mec22mec2 − V≈k

    взяв только нулевой порядок разложения правой части уравнения. (32) дает гамильтониан, который часто используется для релятивистских расчетов ЯМР. Это называется регулярным приближением нулевого порядка (ZORA) или гамильтонианом Чанга – Пелисье – Дюрана [13,14].Его версия без полей 14 читает

    (34a) hˆZORA = V + 12meσ⋅pˆKσ⋅pˆ

    (34b) = V + 12mepˆ⋅Kpˆ + i2meσ⋅pˆK × pˆ

    Как и другие двухкомпонентные релятивистские операторы, гамильтониан ZORA можно разделить на скалярную и SO-часть (переходя от уравнений 34a к 34b, см. упражнение 4). Нерелятивистский предел дается K → 1. Из-за потенциала V в выражении K зависит от положения. На рис. 3 показан график Kr для атома Hg. Видно, что K сильно отличается от K в областях, близких к ядру, где потенциал достигает значений, сравнимых с mc 2 .Для точечного ядра K → 0 при r → 0. Для конечного ядра K остается конечным, но небольшим, вблизи и внутри ядра. Видно, что электронный потенциал, экранирующий ядерный заряд, имеет значение для значений , соответствующих внутреннему и внешнему ядру, валентной оболочке и далее. 15

    Рис. 3. Кинематический фактор ZORA K для атома Hg как функция расстояния от ядра. Синий (сплошной): используется V ( r ) из численного расчета DFT с конечным ядром.Красный (пунктир): Использование V ( r ) = потенциал только ядра для точечного ядра с зарядом Z = 80 в выражении для K. Среднеквадратичный радиус ядра составляет 5,5 × 10 — 5 Å. [4].

    ZORA, как известно, является хорошим приближением для валентных орбиталей в HAs, а также для связывания и орбиталей неподеленных пар в молекулах с HAs. Из уравнения. (32) обрезание правой части нулевого порядка оправдано, пока E мало. Это верно для валентных орбиталей, даже в HAs, но не верно для глубоких ядерных орбиталей в тяжелых элементах.Для расчетов молекулярных свойств, которые являются «химическими» в том смысле, что они определяются валентными орбиталями, ZORA является подходящим приближенным релятивистским методом. Существуют и другие вариационно устойчивые приближенные, а также формально точные двухкомпонентные подходы, которые используются для расчетов ЯМР (избранные ссылки см. В разделе 2.2). Эти операторы, как правило, не имеют компактных простых операторных представлений, в частности, для членов, зависящих от магнитного поля. Поэтому для целей этой главы структура ZORA, хотя и приблизительная, используется для иллюстрации различий между четырехкомпонентными, двухкомпонентными релятивистскими и нерелятивистскими операторами.

    Прежде чем перейти к обсуждению параметров ЯМР, мы кратко обсудим еще несколько аспектов одноэлектронного SO-оператора. Для сферически-симметричного ядерного потенциала V ( r ) = — Ze 2 / (4 πε 0 r ) (т.е. для атомов 16 ) в операторе Паули СО

    pˆV = −iℏ∇V = iℏZe24πε0rr3

    (см. Упражнение 6). Напомним, что оператор углового момента имеет вид Lˆ = r × pˆ. Кроме того, σℏ = 2Sˆ.Таким образом, SO-оператор электрона для атома может быть записан как

    (35) hˆSO = Ze28πε0me2c2Sˆ⋅Lˆr3 = Ze28πε0me2c2Lˆ⋅Sˆr3

    В упражнениях 7 и 8 свойства этого оператора исследуются более подробно. В упражнении 9 читатель может рассчитать влияние взаимодействия SO на энергию атомизации молекулы TlH. Как уже упоминалось в разделе 1.2, оператор SO приводит к расщеплению вырожденных состояний в атомной оболочке с заданным угловым моментом . Собственные функции больше не являются проекциями спина в чистом виде, а смешивают спин α (↑) со спином β (↓).SO-взаимодействие в атомах также смешивает состояния с разными магнитными квантовыми числами m . Как будет показано ниже, сочетание SO может иметь сильное влияние на химические сдвиги ЯМР в системах с тяжелыми элементами.

    Наконец, необходимо отметить, что рассмотрение электронной корреляции в теории релятивистской электронной структуры является очень активной областью исследований (см. [15] и обзоры, перечисленные в разделе 6), как и расчет спектроскопические свойства, такие как параметры ЯМР с помощью методов релятивистской квантовой химии.В тематических исследованиях, представленных в этой главе, использовалась некоторая форма приближения к проблеме электронной корреляции. Для выбранных примеров этому способствовало использование ДПФ, а приближенный двухкомпонентный гамильтониан использовался для учета релятивистских эффектов в расчетах. Относительно конкретных вопросов ДПФ в релятивистских вычислениях, в частности, общего использования нерелятивистских функционалов в сочетании с релятивистскими плотностями, см. [16].

    Подводя итог этому разделу:

    Релятивистское квантовое уравнение для электрона, разработанное Дираком, является четырехкомпонентным уравнением.Электронный спин естественно возникает из релятивистской теории.

    Уравнения можно преобразовать в двухкомпонентную форму. Для релятивистских квантово-химических расчетов доступны приближенные и (в принципе) точные двухкомпонентные гамильтонианы.

    Для c → ∞ решения ДУ и его двухкомпонентных версий становятся эквивалентными решениям ДЭ (со спином).

    Для многоэлектронных систем необходимо также учитывать релятивистские эффекты для электрон-электронного взаимодействия.Это активный объект исследований, наряду с разработкой точных и эффективных четырех- и двухкомпонентных релятивистских методов для расчета спектроскопических свойств, таких как параметры ЯМР.

    Обычно существует различие между скалярными релятивистскими эффектами (от бессиновых операторов) и SO-связью. Часто для квантово-химических расчетов используются приближенные скалярно-релятивистские методы (без учета SO-связи). В этом случае вычислительная установка очень похожа на обычные нерелятивистские вычисления с реальными «однокомпонентными» спиновыми орбиталями.К этой категории также относятся расчеты со свободными от спина эффективными потенциалами ядра, которые имитируют скалярные релятивистские эффекты на валентных оболочках.

    Что такое вектор? — Объяснение и примеры

    Векторы эффективно передают информацию о математическом или физическом элементе. В частности:

    Векторы — это математические величины, используемые для представления объектов, имеющих как величину, так и направление.

    Вы когда-нибудь задумывались, что отличает скорость от скорости или массу от веса? Подсказка: ответ связан с векторами! Мы рассмотрим эти и другие вопросы, когда будем обсуждать следующие темы в этой статье:

    • Определение вектора
    • Введение в векторы

    Определение вектора

    В физике и математике вектор определяется как:

    «Объект или физическая величина, которые могут быть представлены как величиной, так и направлением.

    Используя приведенное выше определение, мы можем видеть, что представление векторов требует наличия двух компонентов, а именно:

    • Величина (или размер)
    • Направление

    Введение в векторы

    Исторически сложилось так, что векторы использовались в геометрии, физике и механике. Однако со временем векторы стали широко использоваться во многих областях, включая линейную алгебру, инженерию, информатику, структурный анализ и навигацию.

    Так как векторы выражают два понятия, а именно величину и направление, они могут создавать широкий спектр математических моделей для различных задач и сценариев.

    В этом разделе мы узнаем о следующих важных векторных концепциях:

    • Геометрические и математические представления векторов
    • Скаляры и векторы
    • Различные типы векторов

    Геометрическое и математическое представление векторов

    Векторы могут быть геометрически представленными прямыми стрелками определенной длины, указывающими в определенном направлении с определенными начальной и конечной точками.Длина вектора представляет его величину, тогда как направление указывает его направление относительно набора координат. На изображении ниже показан пример геометрического представления вектора.

    Рассмотрим следующий рисунок, где A — вектор. | A | представляет его длину (или величину), а стрелка, указывающая от точки a к точке b, представляет его направление. Точка a называется начальной или начальной точкой, а точка b называется конечной или конечной точкой вектора A .Хотя этот пример показывает вектор в двух измерениях, он также может иметь трех-, четырех- или более высокие измерения.

    Величина вектора в основном такая же, как длина отрезка ab. Направление вектора в основном такое же, как направление стрелки.

    Алгебраически вектор может быть выражен как упорядоченная пара. Это представление называется вектором-столбцом. На изображении ниже вектор OA представлен как вектор-столбец.

    OA = (2,3)

    Это означает, что вектор смещен от начала координат на две точки по горизонтали (ось x) и четыре точки по вертикальной оси (ось y).

    Векторы часто обозначаются жирным шрифтом, например a или A. Если полужирный шрифт невозможен, например, при написании заметок от руки, вектор представлен буквой со стрелкой над ним.

    Векторы и скаляры

    Физические и математические величины классифицируются как векторы или скаляры.Хотя они связаны, векторы и скаляры используются в разных ситуациях.

    Скалярная величина

    Скалярная величина имеет величину, но не имеет направления.

    Скаляры представлены простыми буквами, такими как a или A, и обычно состоят из действительных чисел. Некоторые общие примеры скаляров: время, скорость, энергия, масса, объем, площадь и высота.

    Векторная величина

    Векторная величина имеет как величину, так и направление.

    В отличие от скалярных величин, которые имеют только одну составляющую, векторные величины состоят из двух составляющих.Некоторые общие примеры векторов включают скорость, смещение и ускорение.

    Чтобы лучше понять разницу между скалярными и векторными величинами, давайте рассмотрим несколько примеров:

    Определите, является ли данная величина векторной или скалярной.

    V = 10 м, восток

    Чтобы классифицировать эту величину, нам нужно рассмотреть определения векторов и скаляров и выяснить, сколько в ней компонентов. Сначала разложим данное количество на части.Данная величина имеет составляющую величины | V | = 10м. Он также указывает на восток. Таким образом, можно сделать вывод, что данная величина является вектором, поскольку она имеет две составные части.

    A = 5 см

    В этом примере присутствует только составляющая величины. Поскольку направление не упоминается, эта величина является скаляром.

    Величина скаляра A равна 5 см.

    Различные типы векторов

    В математике используются различные типы векторов:

    • Нулевой вектор
    • Единичные векторы
    • Равные векторы
    • Векторы смещения
    • Отрицательный вектор
    • Векторы положения Совместные инициалы векторов
    • Коллинеарные векторы
    • Копланарные векторы

    Каждый из этих типов векторов очень важен и имеет различные приложения.Их описание можно найти ниже.

    Нулевой вектор

    Вектор называется нулевым вектором, если его величина равна нулю. Нулевой вектор начинается и заканчивается в одной и той же точке, что означает, что он имеет координаты (0,0). У него также нет определенного направления. Например: A, = (0,0) и A = 0, — разные способы записи нулевых векторов.

    Единичный вектор

    Единичный вектор — это вектор, длина или величина которого равна 1. Нахождение единичного вектора с тем же направлением, что и другой вектор, может быть полезным инструментом, и мы называем его нормализованным вектором.Такой вектор находится делением данного вектора на его величину:

    Y hat = Y / | Y |

    Примечание. Помните, что единичные векторы равны друг другу, только если они указывают в одном направлении.

    Равный вектор

    Два или более вектора считаются равными, если они имеют одинаковую величину и указывают в одном направлении. Два вектора, A и B, на изображении, показанном ниже, равны, поскольку их величина и направление одинаковы.

    Вектор смещения

    Если точка X смещается (перемещается) из одного положения в другое, Y, то смещение между двумя точками может быть представлено в виде вектора смещения.В этом случае вектор смещения будет записан как XY.

    Отрицательный вектор

    Два вектора с одинаковой величиной, но противоположным направлением называются отрицательными друг друга. Пусть a и b — два вектора с одинаковой величиной. Если направление b противоположно направлению a, , тогда a и b являются отрицаниями друг друга. Связь между этими двумя векторами следующая:

    a = -b

    Вектор положения

    Вектор положения используется для обозначения положения объекта в трехмерных декартовых координатах относительно указанной опорной точки.

    Совокупные векторы

    Два или более вектора, имеющих одинаковую начальную или начальную точку, называются ко-начальными векторами. На изображении, приведенном ниже, векторы AC и AB являются совпадающими с начальными векторами.

    Коллинеарные векторы

    Векторы, которые параллельны друг другу или лежат на одной прямой, называются коллинеарными векторами.

    Копланарные векторы

    Два или более трехмерных вектора, лежащих в одной плоскости, называются копланарными векторами.

    Примеры

    В этом разделе мы обсудим некоторые векторные примеры задач и их пошаговые решения.

    Пример 1

    Выразите данный вектор AD , как показано на изображении ниже, как вектор-столбец.

    Решение

    По определению вектор-столбец выражается как упорядоченная пара. Из рисунка видно, что AD начинается в точке A и заканчивается в точке D.Он смещен на 3 единицы вправо по оси x и на 4 единицы вверх по оси y.

    Таким образом, данный вектор AD , записанный как вектор-столбец:

    AD = (3,4)

    Пример 2

    Выразите данный вектор UV , как показано на изображении ниже как вектор-столбец.

    Решение

    По определению вектор-столбец выражается как упорядоченная пара.Из рисунка видно, что UV начинается в точке U и заканчивается в точке V. Он смещен на 3 единицы вправо по оси x и на 2 единицы вниз по оси y.

    Таким образом, данный вектор UV , записанный как вектор-столбец:

    UV = (5, -2)

    Обратите внимание, что отрицательный знак указывает, что вектор движется вниз по оси y.

    Пример 3

    Определите данную величину как скаляр или вектор.

    S = 40 минут

    Решение

    Данная величина является скаляром, потому что она имеет только величину и не имеет направления. Его величина | S | = 40.

    Пример 4

    Определите данную величину как скаляр или вектор.

    OW = (2, -3)

    Решение

    Данная величина является вектором. Он выражается как вектор-столбец, OW, , где O — начальная точка, а W — конечная точка.Это показывает, что перевод от O к W составляет 2 точки вправо по горизонтальной оси и 3 точки вниз по оси y.

    Пример 5

    Определите данную величину как скаляр или вектор.

    V = 0

    Решение

    Данная величина является вектором. Величина вектора V задается как | V | = 0, так что это фактически нулевой вектор. Следовательно, направление этого вектора не определено, поскольку нулевой вектор не имеет направления.

    Пример 6

    Определите данную величину как скаляр или вектор.

    F = 20N, вниз

    Решение

    Данная величина является вектором. Величина вектора F, равна | F | = 20, а направление указано вниз.

    Практические вопросы

    Определите следующие величины как векторы или скаляры и определите их величины и направления.2, вертикально вверх.

  • S = 20 см при 60 градусах
  • W = (2,5)
  • V = 20 миль в час, северо-восток
  • Выразите данный вектор PQ , как показано на изображении ниже, в виде столбца вектор.
  • Выразите данный вектор MN , как показано на изображении ниже, как вектор-столбец.
  • Ответы

    1. Вектор: величина | X | = 2 м, а направление указано как север.
    2. Скаляр: | X | = 250 кг, и дана только величина.2)
    3. Вектор: величина | V | = 20 миль в час, направление указано как северо-восток.
    4. Вектор PQ может быть выражен в виде упорядоченной пары:

    PQ = (5,5).

    Это означает, что вектор PQ начинается в точке P и заканчивается в точке Q. Он перемещается на 5 точек вправо по горизонтальной оси и на 5 точек вверх.

    1. Вектор MN может быть выражен в виде упорядоченной пары:

    MN = (-2, -4).

    Это означает, что вектор MN начинается в точке M и заканчивается в точке N.Он перемещается на 2 точки влево по горизонтальной оси и на 4 точки вниз по оси Y.

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Типы векторов — Введение, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы по математике

    Что такое векторы?

    Напомним, что в математике физическая величина, имеющая как величину, так и направление, называется вектором. В строке длина линии — это величина, а стрелка — ее направление. Начальная точка — это его хвост, а конечная — его голова.

    Повышение и понижение температуры — лучший пример вектора, он имеет как величину, так и направление.

    10 типов векторов

    Здесь мы обсудим различные типы векторов. Обычно в математике используются 10 различных типов векторов. Десять типов векторов:

    1. Нулевой вектор

    2. Единичный вектор

    3. Вектор положения

    4. Вектор со начальным вектором

    5. Векторы как и в отличие от векторов

    6. Коллинеарный вектор

    7. Равный вектор

    8. Вектор смещения

    9. Отрицательный вектор

    Давайте обсудим их в деталях

      Zero 9097

      Null Вектор

        Zero
      1. вектор называется нулевым вектором, когда величина вектора равна нулю, а начальная и конечная точки вектора совпадают.Например, PQ — это отрезок прямой, координаты точки P такие же, как и у точки Q. Нулевой вектор обозначается 0. Нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления.

        1. Единичный вектор

        Вектор называется единичным вектором, если величина вектора равна 1 единице длины. Предположим, что если x — вектор, имеющий величину x, то единичный вектор обозначается x̂ в направлении вектора, и он имеет величину, равную 1.

        Но два единичных вектора не могут быть равными, поскольку они могут иметь разные направления.

        1. Вектор положения

        Любая точка X, взятая на плоскости, называется вектором положения. Он просто обозначает позицию. Пусть OX — точка на плоскости относительно ее начала.

        Давайте рассмотрим, что O берется за начало отсчета, а X — произвольная точка на плоскости, тогда вектор называется вектором положения точки.

        1. Векторы со-инициализации

        Вектор называется ко-начальным векторами, когда два или более вектора имеют одну и ту же начальную точку, например, векторы AB и AC называются ко-начальными векторами, потому что они имеют та же отправная точка А.

        1. Похожие и непохожие векторы

        Векторы, имеющие одинаковые направления, называются одинаковыми векторами, тогда как векторы, имеющие противоположные направления, называются разными векторами.

        1. Копланарные векторы

        Три или более вектора, лежащих в одной плоскости, называются копланарными векторами.

        1. Коллинеарные векторы

        Векторы, которые лежат на параллельной линии или на одной линии относительно их величины и направления, известны как коллинеарные векторы, также известные как параллельные векторы.

        1. Равные векторы

        Два вектора называются равными векторами, если их направление и величина равны, даже если они имеют разные начальные точки.

        1. Вектор смещения

        Вектор AB представляет вектор смещения, если точка смещается из положения A в B.

        1. Отрицательное значение вектора

        Предположим, что вектор задан с той же величиной и направление, теперь, если задан какой-либо вектор с той же величиной, но в противоположном направлении, то этот вектор называется отрицательным по отношению к этому вектору.

        Рассмотрим два вектора a и b, такие, что они имеют одинаковую величину, но противоположны по направлению, тогда эти векторы можно записать как

        a = — b

        Давайте посмотрим некоторые примеры, чтобы понять типы векторов.

        Решенные примеры:

        Пример 1:

        Определите векторы

        Решение:

        Векторы a и c являются единичными векторами, потому что они имеют величину 1.

        Векторы a и c являются равными векторами, потому что они имеют одинаковую величину и в том же направлении

        Векторы b, c и d имеют одинаковую начальную точку, поэтому они являются совместно начальными векторами.

        Пример 2:

        Возьмем точки P (1, 0, 0), Q (0, 1, 0) и R (0, 0, 1) на оси x, оси y и z- оси соответственно. Определите векторы.

        Решение:

        OP = 1; OQ = 1; 0R = 1;

        Следовательно, векторы OP, OQ и OR называются единичными векторами.

        Время викторины

        Определите векторы

        Решение:

        1. одинаковые векторы

        2. противоположные векторы

        3. непохожие векторы

        4. равные векторы

        A Базовое, но всеобъемлющее введение

        Это базовое, хотя, надеюсь, довольно исчерпывающее введение в работу с векторами.Векторы проявляются по-разному: от смещения, скорости и ускорения до сил и полей. Эта статья посвящена математике векторов; их применение в конкретных ситуациях будет рассмотрено в другом месте.

        Векторы и скаляры

        Векторная величина или вектор предоставляет информацию не только о величине, но и о направлении величины. При указании направления к дому недостаточно сказать, что он находится на расстоянии 10 миль, но также необходимо указать направление этих 10 миль, чтобы информация была полезной.Переменные, которые являются векторами, будут обозначены полужирным шрифтом, хотя обычно можно видеть векторы, обозначенные маленькими стрелками над переменной.

        Точно так же, как мы не говорим, что другой дом находится на расстоянии -10 миль, величина вектора всегда является положительным числом или, скорее, абсолютным значением «длины» вектора (хотя величина может и не быть длиной, это может быть скорость, ускорение, сила и т. д.) Отрицательный знак перед вектором не указывает на изменение величины, а скорее в направлении вектора.) над ним, чтобы указать единичный характер переменной. Единичный вектор x , записанный в каратах, обычно читается как «х-шляпа», потому что карат выглядит как шляпа на переменной.

        Нулевой вектор или нулевой вектор — это вектор с нулевой величиной. В этой статье он записывается как 0 .

        Компоненты вектора

        Векторы обычно ориентируются в системе координат, наиболее популярной из которых является двумерная декартова плоскость.Декартова плоскость имеет горизонтальную ось, обозначенную x, и вертикальную ось, обозначенную y. Некоторые передовые приложения векторов в физике требуют использования трехмерного пространства с осями x, y и z. Эта статья будет посвящена в основном двухмерной системе, хотя концепции могут быть расширены с некоторой осторожностью до трех измерений без особых проблем.

        Векторы в многомерных системах координат можно разбить на их компонентных векторов .В двумерном случае это приводит к x-компоненту и y-компоненту . При разбиении вектора на компоненты вектор представляет собой сумму компонентов:

        F = F x + F y

        тета F x F y F

        F x / F = cos theta и F y / F = sin theta , что дает нам
        F x
        = F cos theta и F y = F sin theta

        Обратите внимание, что числа здесь — это величины векторов.Нам известно направление компонентов, но мы пытаемся найти их величину, поэтому мы отбрасываем информацию о направлении и выполняем эти скалярные вычисления, чтобы определить величину. Дальнейшее применение тригонометрии может быть использовано для нахождения других отношений (например, касательной) между некоторыми из этих величин, но я думаю, что на данный момент этого достаточно.

        В течение многих лет единственной математикой, которую изучает ученик, является скалярная математика. Если вы путешествуете на 5 миль на север и на 5 миль на восток, вы проехали 10 миль.Добавление скалярных величин игнорирует всю информацию о направлениях.

        С векторами манипулируют несколько иначе. При манипулировании ими всегда необходимо учитывать направление.

        Добавление компонентов

        Когда вы складываете два вектора, это как если бы вы взяли векторы, разместили их встык и создали новый вектор, идущий от начальной до конечной точки. Если векторы имеют одинаковое направление, это просто означает сложение величин, но если они имеют разные направления, это может стать более сложным.

        Вы добавляете векторы, разбивая их на компоненты, а затем добавляя компоненты, как показано ниже:

        a + b = c
        a x
        + a y + b x + b y =
        ( a x + b x ) + ( a y + b y ) = c x + c y

        Два x-компонента приведут к x-компоненту новой переменной, а два y-компонента приведут к y-компоненту новой переменной.

        Свойства сложения векторов

        Порядок, в котором вы добавляете векторы, не имеет значения. Фактически, для сложения векторов сохраняются несколько свойств скалярного сложения:

        Свойство идентичности сложения вектора
        a
        + 0 = a
        Обратное свойство сложения вектора
        a
        + — a = a a = 0
        Отражающее свойство сложения вектора
        a
        = a
        Коммутативное свойство сложения векторов
        a
        + b = b + a
        Ассоциативное свойство сложения векторов

        ( a + b ) + c = a + ( b + c )
        Переходное свойство сложения векторов

        Если a = b и c = b , то a = c

        Самая простая операция, которую можно выполнить с вектором, — это умножить его на скаляр.Это скалярное умножение изменяет величину вектора. Другими словами, он делает вектор длиннее или короче.

        При умножении на отрицательный скаляр результирующий вектор будет указывать в противоположном направлении.

        Скалярное произведение двух векторов — это способ их умножения для получения скалярной величины. Это записывается как умножение двух векторов с точкой в ​​середине, представляющей умножение. Таким образом, его часто называют скалярным произведением двух векторов .

        Чтобы вычислить скалярное произведение двух векторов, вы учитываете угол между ними. Другими словами, если бы у них была одна и та же начальная точка, каков был бы угол между ними ( тета, ). Скалярный продукт определяется как:

        a * b = ab cos theta

        ab abba

        В случаях, когда векторы перпендикулярны (или theta = 90 градусов), cos theta будет равен нулю.Следовательно, скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю . Когда векторы параллельны (или theta = 0 градусов), cos theta равен 1, поэтому скалярное произведение — это просто произведение величин.

        Эти изящные факты можно использовать, чтобы доказать, что, зная компоненты, вы можете полностью исключить необходимость в тэте с помощью (двумерного) уравнения:

        a * b = a x b x + a y b y

        Векторное произведение записывается в форме a x b и обычно называется перекрестным произведением двух векторов.В этом случае мы перемножаем векторы, и вместо скалярной величины мы получим векторную величину. Это самое сложное из векторных вычислений, с которыми мы будем иметь дело, поскольку оно является коммутативным , а не , и включает использование ужасного правила правой руки , к которому я скоро вернусь.

        Расчет звездной величины

        Опять же, мы рассматриваем два вектора, нарисованные из одной и той же точки с углом theta между ними.Мы всегда берем наименьший угол, поэтому theta всегда будет в диапазоне от 0 до 180, и поэтому результат никогда не будет отрицательным. Величина результирующего вектора определяется следующим образом:

        Если c = a x b , то c = ab sin theta

        Векторное произведение параллельных (или антипараллельных) векторов всегда равно нулю

        Направление вектора

        Векторное произведение будет перпендикулярно плоскости, созданной из этих двух векторов.Если вы представляете плоскость плоской на столе, возникает вопрос, идет ли результирующий вектор вверх (наш «выход» из таблицы, с нашей точки зрения) или вниз (или «в» стол, с нашей точки зрения).

        Ужасное правило правой руки

        Чтобы понять это, вы должны применить так называемое правило правой руки . Когда я изучал физику в школе, я ненавидел правило правой руки. Каждый раз, когда я использовал его, мне приходилось вытаскивать книгу, чтобы посмотреть, как она работает.Надеюсь, мое описание будет немного более интуитивным, чем то, с которым меня познакомили.

        Если у вас a x b , поместите правую руку вдоль длины b так, чтобы ваши пальцы (кроме большого пальца) могли изгибаться вдоль a . Другими словами, вы как бы пытаетесь сделать угол тета между ладонью и четырьмя пальцами правой руки. Большой палец в этом случае будет торчать прямо вверх (или за пределы экрана, если вы попытаетесь сделать это до компьютера).Ваши суставы будут примерно на одной линии с начальной точкой двух векторов. Точность не важна, но я хочу, чтобы вы уловили идею, поскольку у меня нет ее изображения.

        Однако если вы рассматриваете b x a , вы сделаете обратное. Положите правую руку на a и покажите пальцами на b . Если вы попытаетесь сделать это на экране компьютера, то обнаружите, что это невозможно, поэтому используйте свое воображение. Вы обнаружите, что в этом случае ваш воображаемый большой палец указывает на экран компьютера.Это направление результирующего вектора.

        Правило правой руки показывает следующие отношения:

        a x b = — b x a

        cabc

        c x = a y b z a z b y
        c y
        = a z b x a x b z
        c z
        = a x b y a y b x

        ab c x c y c

        Заключительные слова

        На более высоких уровнях работать с векторами может быть очень сложно.Целые курсы в колледже, такие как линейная алгебра, посвящают много времени матрицам (которых я любезно избегал в этом введении), векторам и векторным пространствам . Такой уровень детализации выходит за рамки данной статьи, но он должен обеспечить основу, необходимую для большинства векторных манипуляций, которые выполняются в классе физики. Если вы собираетесь изучать физику более глубоко, вы познакомитесь с более сложными векторными концепциями по мере прохождения обучения.

        Малые высокоурожайные бинарные Ti-векторы pLSU с сонаправленными репликонами для Agrobacterium tumefaciens-опосредованной трансформации высших растений

        Бинарный вектор был изобретен вскоре после того, как выяснилось, что онкогенез коронковой галлы был вызван генетической трансформацией растительных клеток с фрагмент ДНК, Т-ДНК для перенесенной ДНК, из плазмиды Ti (индуцирующей опухоль плазмиды), содержащейся в почвенной бактерии Agrobacterium tumefaciens (Fraley et al., 1986). Ключевым открытием стало то, что гены вирулентности, которые участвуют в переносе Т-ДНК, могут быть размещены на репликоне, отдельном от репликона с Т-ДНК (Hoekema et al., 1983). Таким образом, комбинация «обезоруженного» штамма, несущего плазмиду Ti без Т-ДНК дикого типа, и искусственной Т-ДНК в плазмиде, которая может реплицироваться как в Escherichia coli, так и в A. tumefaciens, оказалась полностью функционирует в трансформации растений. Термин «бинарный вектор» буквально относится ко всей комбинации, но плазмида, несущая искусственную Т-ДНК, обычно называется бинарным вектором. Сейчас бинарные векторы — самые популярные инструменты в сообществе специалистов по растениям.Одним из бинарных векторов, сконструированных в первые дни, был pBin19 (Bevan, 1984), а pBI121 был создан вскоре после добавления маркерного гена к pBin19 (Jefferson, 1987). Вскоре эти векторы и их производные получили широкое распространение среди ученых-растениеводов. Другой популярной серией векторов являются векторы pPZP (Hajdukiewicz et al., 1994) и векторы pCAMBIA (www.cambia.org), которые модифицированы из векторов pPZP. Последние модификации бинарных векторов предоставляют ряд удобных для пользователя функций, таких как широкий выбор сайтов клонирования, высокое количество копий в E.coli, высокая способность к клонированию, улучшенная совместимость с выбранными штаммами, широкий пул селектируемых маркеров для растений и высокая частота трансформации растений. Наш быстрый обзор 180 недавно опубликованных работ, в которых описана трансформация высших растений, опосредованная A. tumefaciens, показал, что производные pBin19 использовались в 40% исследований, а производные векторов pPZP — в 30% из них (Таблица I). . Таким образом, хотя недавние улучшения очень полезны, классическая векторная конфигурация во многих случаях оказывается достаточно хорошей.Таблица I. Хорошо известные двоичные и супербинарные векторы Обнаружение того, что некоторые из генов вирулентности проявляют эффекты дозировки генов (Jin et al., 1987), привело к разработке супербинарного вектора, несущего дополнительные гены вирулентности (Komari, 1990). Супербинарный вектор оказался высокоэффективным при трансформации различных растений и особенно полезен при трансформации устойчивых растений, таких как важные злаки (Hiei et al.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *