Утверждение
Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то
\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
Доказательство
Пусть \(M(a;b)\).
1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.
Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).
2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.
3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).
Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).
Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).
\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]
Лемма
Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).
Доказательство
1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).
Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).
2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).
Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).
Определение
Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta
\overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).
\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.
Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.
Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).
Свойства координат вектора
1. Равные векторы имеют равные координаты.
2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).
2}\).
\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]
Определение
Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами
Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot
|\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a,
\overrightarrow b)}\]
Следствия
1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.
2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.
2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).
3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).
4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).
| Интегрированный урок по физике и математике «Векторы». 9 класс Повторение и закрепление основных понятий в математике и физике, связанных с векторами. Повторить и закрепить основные понятия, связанные с векторами, закрепить умение решать задачи, применяя теоретический материал геометрии и физики. Применение темы «Векторы» при решении задач практического содержания. Цель урока:
Задачи урока:
Ученик должен знать:
Ученик должен уметь:
Тип урока: Личностно-ориентированная, информационно-коммуникативная. КЭС: векторы, сумма, разность, умножение вектора на число, координаты вектора, скалярное произведение двух векторов, вычисление значений угла между векторами, радиус-вектор, практическая значимость понятия «вектор».
Сценарий урока: 1. Подготовка к восприятию материала: Вступительное слово учителя математики: «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И.Лобачевский -Мы изучаем векторы. А где это применяется? Векторная история это пограничная история, между математикой и физикой. Геометрический подход к физическим задачам наследуется еще от древних греков. Смещение от числовых, или скалярных, координат из аналитической геометрии к житейскому понятию «направление», смешанному с иллюстративно-художественным подходом, постепенно трансформировало образы мышления физиков. Прежде, чем говорить об использовании векторов при решении физических задач, вспомним действия, которые можно выполнять с векторами. (Задавая вопросы, учитель может использовать игровой компонент: бросая мячик, формулировать вопрос, принимая его, получать ответ). — Какие способы сложения векторов вам известны? (Правило треугольника и правило параллелограмма) — В чем принципиальное отличие этих правил? ( При сложении по правилу треугольника начало второго вектора совмещается с концом первого (слайд 2), а при сложении по правилу параллелограмма начала обоих векторов совпадают (слайд 3).) — Что будет вектором суммы при сложении векторов по правилу треугольника? (Вектор, берущий начало в начале первого и заканчивающийся в конце второго вектора.) — Что будет вектором суммы при сложении векторов по правилу параллелограмма? (Вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на исходных векторах, исходящий из общего начала слагаемых векторов. — Что будет вектором разности двух векторов? (Вектор, соединяющий концы векторов и идущий в направлении уменьшаемого (слайд 4)). — А если нужно выполнить действие с векторами, которые не выходят из одной точки? (Один из векторов параллельным переносом перенести так, чтобы начала их совпали.) — Что происходит при умножении вектора на положительное число? (Длина вектора изменяется во столько раз, на какое число выполняется умножение, а направление не изменяется). — А если выполняем умножение на отрицательное число? (Направление меняется на противоположное (слайд 5)). — Как называются получившиеся векторы? (Коллинеарные (сонаправленные и противоположно направленные)). Задача 1. Построить вектор , равный сумме трех заданных векторов (слайд 6). Решение (слайд 7): Задача 2. Построить вектор . (слайд 8). Решение (слайд 9). Задача 3 (слайд 10). Решение (слайд 11). Задача 4 (слайд 12). Решение (слайд 13). — Как найти координаты вектора, зная координаты его начала и его конца (слайд 14)? (Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала вектора (слайд 15)). — Как найти длину вектора, зная координаты его начала и его конца (слайд 16)? ( Длина вектора равна корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат начала и конца вектора) . Задача 5(слайд 17). Решение (слайд 18). — Как найти координаты суммы двух векторов? (Найти сумму соответствующих координат (слайд 19)). — Как найти координаты разности двух векторов? (Найти разность соответствующих координат (слайд 20)). — Что называют «скаляром»? (Скаляр – это физический термин, обозначающий число). -Почему умножение векторов называется скалярным? (Потому что в результате умножения двух векторов получается число). — А что получается при умножении вектора на число (скаляр)? (Вектор). — Как найти в этой ситуации координаты нового вектора? (Координаты исходного вектора умножить на скаляр (слайд 21)). — Модуль вектора – это скаляр или вектор? (Скаляр, так как модуль – это длина вектора). — Чему равен модуль вектора? (Корню из квадрата этого вектора (слайд 22)). — Как найти модуль вектора, если нам известны его координаты? (Извлечь корень из суммы квадратов координат этого вектора (слайд 23)). — Как найти скалярное произведение векторов, зная их координаты? (Сложить произведения соответствующих координат этих векторов (слайд 24)). — Как найти скалярное произведение векторов другим способом? (Умножить произведение длин этих векторов на косинус угла между ними (слайд 25)). В физике дается определение радиус-вектора. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку пространства. Если противоречие между двумя определениями, сформулированными в математике и физике? (В любом случае, сделать акцент на идею направления в обоих определениях) Многие физические величины характеризуются подобно радиус-вектору не только числовым значением, но и направлением. Например: скорость, перемещение, импульс, напряженность электрического поля, сила и др. Эти физические величины называют векторными. Длину такого вектора называют модулем вектора. Законы сложения и вычитания векторов мы будем использовать с вами на уроках физики неоднократно, изучая разные темы. Сейчас мы рассматриваем задачи по теме «Относительность механического движения, законы сложения скоростей и перемещений». Данные задачи обязательно встретятся вам на ГИА в этом году и при сдаче ЕГЭ по физике в 11 классе. Рассмотрим сегодня на уроке задачи практического содержания по этой теме. Парашютист опускается вертикально вниз со скоростью 4 м/с в безветренную погоду. С какой скоростью он будет двигаться при горизонтальном ветре, скорость которого относительно Земли 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения, если он спускается с высоты 2км? Работа над задачей.
Задача 2. Штурман пытается провести судно в тумане через узкий проход между рифами. Представьте себе, что проход между рифами идет в северном направлении, Скорость океанского течения равна 5м/с, направлено оно на восток, а скорость, сообщаемая винтом судну 9 м/с. Идет аналогичная работа над задачей. (Слайды 30 – 32) Задача 3. Скорость лодки 4 м/с, скорость течения 2 м/с. Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж. (Слайды 33 – 35) В конце урока предлагается тест по материалам урока. Вопросы теста по карточкам, которые выдают каждому обучающемуся. Тест на тему «Векторы» ученика 9 класса гимназии №1799 «Экополис» _______________________________________________.
3. Лодка должна попасть на противоположный берег реки кратчайшим путем в системе отсчета, связанной с берегом.  Скорость течения реки, а скорость лодки относительно воды . Модуль скорости лодки относительно берега должен быть равен1) 2) 3) 4) Ответ: 4 4. Два автомобиля движутся по прямой дороге: один — со скоростью (–10 м/с), другой – со скоростью (–25 м/с). Скорость второго автомобиля относительно первого равна 1) –35 м/с 2) –15 м/с 3) –20 м/с 4) 35 м/с Ответ: 2 5. Пилот поднялся на воздушном шаре на высоту 800м, за это время шар был отнесен ветром в горизонтальном направлении на 600м. Найдите перемещение шара относительно земли? 1) 1400м 2)200м 3)1000м 4) 800м Ответ: 3 Заключительная часть урока. Подводится итог. Выставляются оценки за урок. Идет обобщение материала. Домашнее задание. 1. Лодка с туристами потерпела крушение в 40 м от берега, налетев на пороги. Туристы поплыли к берегу со скоростью 2 м/с, относительно воды перпендикулярно линии берега, но быстрое течение со скоростью 10 м/с сносило их в сторону. 2. Вертолет летел на юг со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к меридиану будет лететь вертолет, если подует восточный ветер со скоростью 10 м/с? 3. Задачник Степановой Г.Н. №№ 61, 60,59. Интегрированные уроки имеют огромное значение для создания предметных, метапредметных и личностных компетенции обучающихся, являются мощным мотивом к интеллектуальному труду, способствуют более глубокому усвоению материала, расширению границ изученного материала, развитию творческих способностей учащихся, которые развиваются в рамках двух дисциплин, умению логично, научно и доступно излагать свои мысли, математически грамотно говорить. Литература:
|
) 
-16514862781047694405626fae46d14c5.jpg)
Выполните построение и покажите в каком направлении штурман должен вести судно по компасу.
С какой реальной скоростью относительно берега двигались туристы? На какое расстояние их снесло, когда они выплыли на берег? Сделайте чертежи.
Дидактические материалы для 8 класса. Просвещение,2006java — Математическое умножение векторной матрицы
спросил
Изменено 7 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 254 раза
Насколько я знаю, система координат окна просмотра opengl является двумерной и находится в диапазоне от -1 до 1 по осям x и y.0005
«gl_position=uModelViewProjectionMatrix * vPosition » в вашем фрагментном шейдере.
Мой вопрос заключается в том, как вы можете умножить 3DVector на 4D Matrix и получить в результате 2DVector и, что более важно, есть ли функция для этого на стороне процессора (особенно библиотека/класс для java в Android)
- Java
- Опенгл
1
Просто поясню несколько терминов:
- Окно просмотра — это область внутри окна, в которую вы рисуете.
Он указывается в пикселях. - Растеризатору нужны координаты в нормализованных координатах устройства , что составляет от -1 до 1. Затем он сопоставляет их с областью окна просмотра.
-
gl_Positionдолжен принимать 4D-вектор в пространстве клипаpos /= pos.w, но при этом теряется часть информации, необходимой OpenGL для обрезки, глубины и интерполяции.
Он указывается в пикселях. Это подводит меня к ответу. Вы правы, вы не можете умножить трехмерный вектор на матрицу 4×4. На самом деле он использует однородных координат , а вектор представляет собой 4D с 1 в конце. Результат 4D для клипового пространства. Растеризатор создает фрагменты только с 2D-положением, но z интерполируется для проверки глубины.
Наконец, матрица ModelViewProjection подразумевает введение еще трех пробелов. Это чисто условность, но на то есть веские причины. Вершины сетки задаются в пространстве объектов. Вы можете размещать объекты в мире с помощью матрицы преобразования модели . Вы предоставляете положение и вращение камеры в мире с помощью матрицы вида. Затем матрица проекции определяет объем просмотра, масштабируя все для пространства клипа. Причиной разделения матриц вида и проекции являются операции в пространстве глаза, такие как расчеты освещения.
Не буду вдаваться в подробности, но, надеюсь, это направит вас на верный путь.
Насколько мне известно, система координат окна просмотра opengl является двумерной и находится в диапазоне от -1 до 1 по осям x и y.
Вроде того, но не совсем так.
С математической точки зрения важен размер ядра. Когда дело доходит до фреймбуфера, координаты области просмотра не заканчиваются. Оттуда все становится «разделенным», координата (x, y) используется для определения того, к какому фрагменту прикоснуться, а координаты (z, w) обычно используются для вычислений, которые в конечном итоге заканчиваются в буфере глубины.
Мой вопрос: как можно умножить 3DVector на 4D Matrix и получить в результате 2DVector
Путем дополнения трехмерного вектора к четырехмерным элементам; с точки зрения однородных координат дополните его нулями, за исключением последнего элемента, который установлен в 1. Это позволяет вам умножать на матрицу n × 4. И чтобы вернуться к 2d, вы проецируете его в векторное пространство более низкого измерения; это похоже на то, как 3D-объект проецирует 2D-тень на поверхность. Самая простая проекция — это просто опустить измерения, которые вас не интересуют, например, отбрасывание z и w при переходе в окно просмотра.
есть ли функция для этого на стороне процессора
Существует несколько библиотек линейной алгебры. Просто дополните векторы соответствующим образом, чтобы преобразовать их с помощью матриц более высокого размера, и спроецируйте их, чтобы перейти к более низким измерениям.
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Умножение векторов — Nexus Wiki
До сих пор мы сосредоточились на том, как складывать и вычитать векторы.
Это просто, поскольку векторы — это математические структуры, которые ведут себя как пространственные смещения. Добавление означает просто выполнение одного за другим, точно так же, как прохождение последовательных смещений. Вычитание означает изменение направления (умножение на -1) и сложение. Но можем ли мы умножать векторы?
Оказывается, мы можем, и что различные способы умножения векторов служат для выбора физически существенных элементов пар векторов, которые объединяются для получения важного физического результата. Два примера включают:
- Понятие работы — когда сила перемещает объект, что приводит к изменению его энергии движения (кинетической энергии). В этом случае имеет значение та часть силы, которая направлена вдоль (или против) смещения. (Требуется скалярное произведение)
- Понятие крутящего момента — когда сила перемещает объект, заставляя его вращаться вокруг центра на некотором расстоянии. В данном случае имеет значение та часть силы, которая перпендикулярна смещению к центру вращения. (Требуется перекрестное произведение)
(Требуется перекрестное произведение)Мы предпочитаем вводить математику там, где это необходимо, поэтому мы будем обсуждать концептуальные идеи, лежащие в основе точечного и перекрестного произведений, когда мы будем обсуждать работу (и теорему о работе-энергии) и вращательное движение. Здесь мы представляем математические определения точечных и перекрестных произведений, которые служат справочными материалами, когда эти темы представляются в контексте физики.
Математика умножения матриц
Предположим, у нас есть два трехмерных вектора, которые мы запишем в виде троек $(a_x, a_y, a_z)$ и $(b_x, b_y, b_z)$, опустив пока $\hat{i }, \hat{j}$ и $\hat{k}$, определяющие направления $x$, $y$ и $z$ соответственно. Можем ли мы перемножить эти векторы?
Каждый вектор состоит из трех чисел, поэтому в принципе мы можем умножать их девятью различными способами. Мы могли бы создать девять продуктов $a_xb_x, a_xb_y, a_xb_z, a_yb_x,..,a_zb_z$. Это в значительной степени математический ответ, но нас интересует не просто «что мы можем сделать», а «что имеет физический смысл».
Оказывается, комбинации этих девяти продуктов имеют важное физическое значение.
Скалярное произведение
Комбинация произведений трех пар
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z $$
обладает приятным (хотя и удивительным) свойством, состоящим в том, что на самом деле это скаляр : то есть изменение нашего выбор осей изменяет каждое из чисел, которые входят в этот расчет, но комбинация остается прежней! (Это верно даже в том случае, если мы находимся в 2D и имеем только первые два члена.) Эта комбинация называется скалярным произведением двух векторов. Он возникает, когда мы хотим взять компонент одного вектора в направлении другого.
Физически скалярное произведение полезно, когда мы хотим использовать часть второго закона Ньютона, которая говорит нам о том, как объект меняет свою скорость. Мы знаем, что силы, действующие в направлении движения или против него, изменяют скорость — силы, перпендикулярные движению, изменяют только направление.
Итак, мы хотим взять скалярное произведение векторной формы второго закона Ньютона со скоростью (или смещением). Это дает теорему о работе и энергии, ключ к нашему развитию концепции энергии.
Скалярное произведение также появляется, когда мы хотим рассчитать поток через поверхность, которая не перпендикулярна к ней. Только поток, перпендикулярный поверхности (в том же направлении, что и нормаль к поверхности), пропускает жидкость. Поток, параллельный поверхности (перпендикулярный нормали к поверхности), просто течет жидкость параллельно поверхности.
Перекрестное произведение
Другие комбинации наших 9 произведений из наших двух векторов могут быть объединены для создания вектора, известного как перекрестное произведение . Компонент x вектора состоит из компонентов y и z двух векторов и так далее, например:
$$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})_x = a_yb_z — a_zb_y $ $
$$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})_y = a_zb_x — a_zb_x $$
$$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})_z = a_xb_y — a_yb_x $ $
Эти три комбинации ведут себя как компоненты вектора, когда мы меняем системы координат.
(Хотя они ведут себя иначе, когда вы смотрите на них в зеркало.)
Перекрестное произведение используется в физике, когда нам нужна составляющая вектора, перпендикулярная другому вектору, например, когда мы рассматриваем силы, воздействующие на протяженные объекты. Составляющая силы, направленная вдоль линии от точки вращения, пытается растянуть или сжать объект, но не стремится повернуть его вокруг точки вращения. Только компонент, перпендикулярный линии от точки опоры, стремится повернуть объект. Это мотивация для введения понятия крутящего момента. Взаимное произведение также появляется при построении магнитных сил.
А что насчет остальных?
Мы сочли полезными 4 комбинации произведений компонент вектора, но начали с 9 объектов. Разве не должно быть еще 5 комбинаций? На самом деле есть. Они образуют не скаляр и не вектор, а нечто иное — симметричную бесследовую матрицу. Эти математические структуры полезны при преобразовании векторов, но выходят за рамки этого класса.
