Умножение вектора на число

Материал урока.

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего. Причём полученный многоугольник может быть не только плоским, но и пространственным.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора  и вектора, противоположного вектору  .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору «- », по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Как и на плоскости в пространстве вектор можно умножать на число. На этом-то уроке мы и поговорим об умножении вектора на число в пространстве.

Рассмотрим пример, который поможет нам вспомнить, что представляет собой произведение вектора на число.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором , то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость  умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор  умножением на -5.

Определение. Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение числа k на вектор  в пространстве обозначают так же как и на плоскости.

Имеют место такие следствия из определения.

Действительно, по определению длина этого вектора равна произведению длины вектора  на 0, то есть равна 0. Значит, получаем нулевой вектор.

Вторым следствием из определения является то, что ненулевой вектор

 коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k.

Ведь, если k≥0, то полученный вектор сонаправлен вектору , а если k<0, то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

Свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве. Напомним их.

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел k и l, можно вектор  сначала умножить на число l, а затем на число k. Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Вторым свойством запишем, что произведение вектора  на сумму чисел k и l равно сумме произведений «вектора  на число k» и «вектора  на число l». Это

первый распределительный закон.

Запишем второй распределительный закон.

Произведение суммы векторов  и  на число k равно сумме произведений «вектора  на число k» и «вектора  на число k».

Стоит также напомнить, что эти свойства позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Упростим следующие выражения.

Выполним задание, где рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁, диагонали которого пересекаются в точке О. Для каждого из равенств нужно найти такое число k, чтобы равенства были верными.

Рассмотрим первое равенство, .

Для наглядности, изобразим каждый из данных векторов.

Рассмотрим грань ABCD, которая является квадратом, так как перед нами куб.

Это значит, что стороны AB и CD параллельны и равны.

Рассмотрим следующее равенство . Изобразим векторы  и .

Понятно, что диагонали куба точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим последнее равенство .

Изобразим векторы  и .

Так мы с вами нашли значение числа k для каждого из равенств.

Выполним ещё одно задание.

Задача.  параллелограмм. Точки  и  середины сторон  и  соответственно.

 произвольная точка пространства. Выразить:

а)  через                                              б)  через

Решение.

Обратимся к пункту А.

Обратим своё внимание на пункт Б.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы сформулировали определение произведения вектора на число в пространстве, которое ничем не отличается от аналогичного определения для векторов на плоскости.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k≥0, и противоположно направлены, если k<0.

Мы вспомнили свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, которые имеют место и для векторов в пространстве.

А также отметили, что, как и на плоскости, в пространстве любой ненулевой вектор пространства можно представить в виде произведения коллинеарного ему вектора на некоторое число k.

Все эти знания мы применили при выполнении заданий уже не на плоскости, а в пределах пространства.

Вектор умножить на ноль

В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.

Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы – основные определения.

Навигация по странице.

Операция сложения двух векторов – правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой

сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Сложение нескольких векторов – правило многоугольника.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B – это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число

.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

1. Свойство коммутативности .
2. Свойство ассоциативности сложения .
3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.
4. Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.
5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.
6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.
7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.

Упростите выражение, содержащее векторы .

Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим .

В силу сочетательного свойства умножения имеем .

Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые , а по первому распределительному свойству имеем .

А теперь запишем кратко: .

.

Произведением вектора x на число β (x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен |x||β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β 1

На рисунке Рис. 1 вектор x умножен на число 1.5. Полученный вектор y’ имеет то же направление, что и x т.к 1.5>0, и имеет длину 1.5 раз превысшающее длину x.

Вектор q имеет противополжное к p направление, т.к. вектор p умножено на отрицательное число -0.5, и имеет длину 2 раза меньше длины p.

Рассмотрим процесс умножения вектора на число.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть имеется вектор

где координаты вектора x, и пусть β некоторое число. Тогда

То есть для умножения вектора на число достаточно умножить каждый координат данного вектора на это число.

На рисунке Рис. 1 вектор x имеет координаты x=(6,4). Для умножения вектора x на число 1.5, умножим каждый координат вектора x на число 1.5:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть имеется вектор x, с начальной точкой и конечной точкой . Умножим вектор x на число β. Для этого проще всего параллельно переместить вектор x на начало координат, умножить на число, после чего параллельно переместить началную точку полученного вектора на точку A.

Переместим вектор x на начало координат. Получим новый вектор x’ с начальными и конечными точками:

Параллельно переместив начальную точку вектора x’ на точку A, получим вектор x” с начальными и конечными точками:

На рисунке Рис. 1 вектор p= AB имеет координаты A(2,3) и B(8,1). Для умножения вектора p на число -0.5, сначала переместим параллельно вектор p так, чтобы начальная точка вектора p совпала с началом координат. Получим вектор p’= A’B’ с координатами A’(0,0) и B’(8-2, 1-3)=B’(6,-2). Умножим вектор p’ с числом -0.5:

Перемесив начальную точку вектора q’ на точку A, получим вектор q= AE, где точка E имеет координаты:

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.β(x+y)=βx+βy (дистрибутивность относительно сложения векторов).

2. (α+β)a=αa+βa (дистрибутивность относительно сложения чисел).

3. α(βa)=(αβ)a (ассоциативность).

4. 1·a=a (умножение на единицу).

Примеры умножения вектора на число

Пример 1. Умножить вектор y=(3,5,-6) на число 2.5.

Для умножения вектора y на число 2.5, просто умножаем каждый координат вектора y на данное число:

Пример 2. Умножить вектор x= AB на число 3 , где A(2,2), B(7,6).

Переместим вектор AB на начало координат. Начальное и конечное точки перемещенного вектора будут:

Умножив полученный вектор на число 3, изменяется расположение конечной точки B’:

.

Переместив вектор на точку A, получим вектор 3·x, со следующими начальной и конечной точками:

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки undefined отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

– для неколлинеарных векторов:

– для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и – b → .

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
– если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
– если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
– если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
– если k = 1 , то вектор остается прежним;
– если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = – 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
   
2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор – a → и верным является равенство: a → + ( – a → ) = 0 → . Указанное свойство – очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → – 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
– используя второе распределительное свойство, получим: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → )
– задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → ) = a → – 2 · b → – ( 2 · 3 ) · a → = a → – 2 · b → – 6 · a →
– используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → – 2 · b → – 6 · a → = a → – 6 · a → – 2 · b →
– затем по первому распределительному свойству получаем: a → – 6 · a → – 2 · b → = ( 1 – 6 ) · a → – 2 · b → = – 5 · a → – 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · 3 · a → = 5 · a → – 2 · b →
Ответ: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = – 5 · a → – 2 · b →

Базис (Лекция №17)

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если .

   Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь

   .

   При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если .

   Доказательство очевидно.

   Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.

   Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то.

   Доказательство:

   1. Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
   2. Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, , т.е. . Теорема доказана.

      Пример.

      1. Даны векторы . Найти вектор .

         .

      2. Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами , , .

         Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:

         Итак, .

      Рассмотрим две произвольные точки и . Найдем координаты вектора .

      Очевидно, что . Но по определению координат вектора и . Следовательно,

      Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

      Примеры.

      1. Заданы точкиA(1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор .

      2. Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти .

      3. Известно, что. Найти координаты точки D, если

         А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).

         Пусть тогда

         . С другой стороны . Следовательно, должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда

         x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

   Очевидно, из определения скалярного произведения:

   .

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

   .

   Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и совпадает с углом между векторами и , .

   Поэтому . Откуда

   Аналогично доказывается и равенство .

   Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

3. Для любых векторов выполняется равенство .

   Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

4. Для любого вектора выполняется соотношение.

   Действительно, так как , то .

   Из этого свойства в частности следует .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

   Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

   Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

   Пример. Дан вектор . Известно, что

   Найти .

   Имеем, т.е. .

   Найдем:

   Следовательно, .

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора и .

Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.

Поэтому

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .

Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:

.

Далее из определения скалярного произведения находим

.

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами

.

Условие ортогональности двух векторов:

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Примеры.

1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:
   1. ;
   2. и ;
   3. .
      1. .
      2. .
      3. .
2. Найти в , если известны координаты его вершин A(1; 5; 6),

   B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).

3. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

   Условие ортогональности двух векторов .

   . Следовательно, m = 15.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

   .

   Таким образом, и .

2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

   Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

   .

   Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения

   Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .

   Поэтому .

   Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.

4. Для любых векторов имеет место равенство

   .

   Примем без доказательства.

5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

   Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

   Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

   В частности .

Примеры.

1. Раскрыть скобки

   .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если известно, что и .

   .

   Найдем .

   .

Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:

.

Примеры.

1. Найти векторное произведение векторов и .

   .

2. Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

3. Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а векторы и ортогональны.

   Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений

Планиметрия. Страница 8

	Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 8
	1.Вектор и его абсолютная величина. 2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов. 6.Примеры.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
	1.Вектор и его абсолютная величина
	Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор АВ . Сам вектор обозначается прописной буквой, например: а, с, k. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора k и m имеют одинаковое направление. А вектора m и n противоположное. (Рис.1)    Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.    Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.    Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.		Рис.1 Обозначение векторов.
	Координаты вектора    Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора e с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут: e = (4-1; 3-1), т.е. е(3;2) (Рис.2).    Координаты нулевого вектора равны нулю.    Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.    Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.		Рис.2 Координаты вектора.
	2.Сложение векторов
	Пусть заданы два вектора со своими координатами a(a1;a2) и b(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами с(a1+b1;a2+b2) = c(c1;c2). (Рис.3)    В векторной форме можно записать так:    Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.    Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор а параллельным переносом так, чтобы конец вектора а совпадал с началом вектора b. Тогда начало вектора а и конец вектора b и будет сумма векторов а и b, т.е. вектор с.    По методу параллелограмма, если два вектора a и b имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор c.    Разностью двух векторов b — a называется такой вектор с, который нужно прибавить к вектору а, чтобы получить вектор b.		Рис.3 Сложение векторов.
	3.Умножение вектора на число
	Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:    Для любых двух векторов а и b число λ можно вынести за скобку λ (а + b) = λa + λb.    Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ    Докажем эти утверждения.    Доказательство. Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задан вектор ОА с координатами (x;y). Тогда, эти координаты удовлетворяют уравнению прямой y = kx. Если каждую координату вектора OA умножить на число λ, то получим вектор ОВ с координатами (λx;λy). Подставим координаты вектора ОВ в уравнение — λy = λkx. Перенесем правую часть уравнения в левую сторону получим: λ(y — kx) = 0. Отсюда можно сделать вывод, что координаты вектора ОВ также удовлетворяют уравнению прямой, т.е. вектор ОВ лежит на прямой ОА и имеет то же направление, что и вектор ОА. Т.к. точка В лежит на той же полупрямой, что и точка А. Если число λ отрицательное, координаты вектора ОС отрицательны и сам вектор будет лежать на дополнительной к ОА полупрямой и иметь противоположное направление.    Абсолютная величина вектора равна:		Рис.3 Умножение вектора на число.
	4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
	Пусть даны два вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Тогда такие вектора будут называться коллинеарными. Если направление двух векторов совпадает, то такие вектора одинаково направлены. Если направления противоположные, то противоположно направлены. (Рис.4)     Если два вектора отличны от нуля и коллинеарны, то можно записать следующие уравнение:     Отсюда можно сделать вывод, что любой вектор можно разложить на два неколлинеарных вектора.		Рис.4 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
	5.Скалярное произведение векторов
	Скалярное произведение двух векторов а (a1;a2) и b (b1;b2) называется число, которое равно сумме произведений соответствующих координат, т.е. a1b1 + a2b2.     Если b = a, то скалярное произведение aa обозначается как a2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что a2 = |a| 2     Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.     Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:    Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)    Так как координаты вектора а (а;0), а вектора b (b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов a и b равно:		Рис.5 Скалярное произведение векторов.
	Отсюда вытекает следующий вывод:     если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.    И наоборот:     если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
	6.Пример 1
	Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов AB и DC.
	Доказательство:    Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора AB и DC равны.    Подвергнем вектор AB параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.    Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор AB переходит в вектор DC. А это значит, что эти вектора равны.    Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору AB. Следовательно, вектор AB = DC.		Рис.6 Задача. Четырехугольник ABCD — параллелограмм…
	Пример 2
	Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов AB и СD.
	Доказательство:    Найдем координаты векторов АВ (xAB;yAB) и СD (xCD;yCD):    xAB = xB — xA = 3 — 1 = 2    yAB = yB — yA = 1 — 1 = 0    xCD = xD — xD = 4 — 2 = 2    yCD = yD — yC = -2 — (- 2) = 0    Таким образом, координаты векторов следующие:    AB (2;0), CD (2;0). (Рис. 7)    А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и xAB = xCD, yAB = yCD, то вектора AB и СD равны.		Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2)…
	Пример 3
	В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что АМ = 1/2 (АВ + AC).
	Доказательство:    Отложим вектор A’B’, равный и параллельный вектору АВ от точки С. И отложим вектор A’С’, равный и параллельный вектору АС от точки В (Рис.8).     Тодга получим параллелограмм, в котором вектор AB'(С’) = AC + CB’ , так же как вектор AB'(С’) = AВ + ВC’. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то    AМ = 1/2 * AB'(С’)    Отсюда можно сделать вывод: так как AМ = 1/2 * AB'(С’), то     AМ = 1/2 * (AВ + ВC’) = 1/2 * (AC + CB’)    А так как СВ’ = AВ и ВС’ = AC, то     AМ = 1/2 * (AВ + АC).		Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM…
	Пример 4
	Даны векторы a (4;1) и b (-3;-2). Найдите вектор с = 2 a + 3 b и его абсолютную величину.
	Решение:    Так как вектор с = 2 a + 3 b, то найдем его координаты:     сx = 2 * 4 + 3 * (-3) = -1     сy = 2 * 1 + 3 * (-2) = -4    Следовательно, вектор c имеет координаты: c (-1;-4). (Рис.9)    Теперь найдем его абсолютную величину:     |c|2 = (-1)2 + (-4)2 = 17     |c| =		Рис.9 Задача. Даны векторы a (4;1) и b (-3;-2)…
	Пример 5
	Найдите угол между векторами a (1;-1) и b (2;0).
	Решение:    По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:        Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /    Таким образом, угол между векторами a и b составляет 45°.		Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами a (1;-1) и b (2;0).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
	Содержание
	Страница 1		Страница 7
	1.Основные фигуры планиметрии. 2.Аксиомы планиметрии. 3.Смежные углы. 4.Вертикальные углы. 5.Перпендикулярные прямые. 6.Признаки равенства треугольников.		1.Движение и его свойства. 2.Симметрия относительно точки. 3.Симметрия относительно прямой. 4.Параллельный перенос и его свойства.
	Страница 2		Страница 8
	1.Параллельность прямых. 2.Признаки параллельности прямых. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых. 4.Сумма углов треугольника. 5.Единственность перпендикуляра к прямой. 6.Высота, биссектриса и медиана треугольника. 7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.		1.Вектор и его абсолютная величина. 2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов.
	Страница 3		Страница 9
	1.Окружность. 2.Окружность описанная около треугольника. 3.Окружность вписанная в треугольник. 4.Геометрическое место точек.		1.Преобразование подобия и его свойства. 2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников.
	Страница 4		Страница 10
	1.Параллелограмм. 2.Свойства диагоналей параллелограмма. 3.Ромб. 4.Теорема Фалеса. 5.Средняя линия треугольника. 6.Трапеция. 7.Теорема о пропорциональных отрезках.		1.Углы, вписанные в окружность. 2.Пропорциональность хорд и секущих окружности. 3.Теорема косинусов. 4.Теорема синусов. 5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
	Страница 5		Страница 11
	1.Теорема Пифагора. 2.Египетский треугольник. 3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества.		1.Многоугольники. Правильные многоугольники. 2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников. 3.Подобие многоугольников. 4.Длина окружности.
	Страница 6		Страница 12
	1.Декартова система координат. 2.Расстояние между точками. 3.Уравнение окружности. 4.Уравнение прямой. 5.Координаты точки пересечения.		1.Площадь прямоугольника. 2.Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника. 4.Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур. 6.Площадь трапеции.

Что произойдет, если умножить вектор на? — Mvorganizing.org

Что произойдет, если умножить вектор на?

Когда вектор умножается на скаляр, размер вектора «масштабируется» в большую или меньшую сторону. Умножение вектора на положительный скаляр изменит только его величину, но не направление. Когда вектор умножается на отрицательный скаляр, направление меняется на противоположное.

Что произойдет, если вектор умножить на действительное число?

Его направление никогда не изменится.

Может ли вектор быть любым действительным числом?

Итак, если мы возьмем V = R и определим сложение как обычное сложение в области действительных чисел, ve может построить несколько векторных пространств, в которых действительные числа являются векторами. Если мы выберем F = R, мы получим векторное пространство, в котором также скаляры являются действительными числами: так называемое векторное пространство R над R. Это векторное пространство R над Q.

Что произойдет, если вектор умножить на число 2?

Когда вектор умножается на {-2}, результирующий вектор оказывается в противоположном направлении, а величина удваивается.

Что произойдет, если вектор умножить на 4?

Когда вектор умножается на 4, поскольку 4 является положительным числом, величина станет в 4 раза больше вектора. Отрицательный изменит направление вектора на противоположное. Но в заявлении вектор положительный, направление остается прежним, и величина вектора будет в 4 раза больше вектора.

Можно ли умножить вектор на вектор?

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и скалярное произведение) Скаляр или скалярное произведение (результат — скаляр).Вектор или перекрестное произведение (результат — вектор).

Когда вектор умножается на нулевой вектор, получаем?

Если вектор умножается на ноль, результатом является нулевой вектор. Если a = −b →, то a + b = 0. Важно отметить, что мы не можем считать приведенный выше результат числом, результат должен быть вектором, и в этом заключается важность нулевого или нулевого вектора.

Может ли база векторного пространства содержать нулевой вектор?

Базис, ортогональный или нет, не может содержать нулевой вектор.Набор векторов охватывает пространство, если каждый вектор в пространстве может быть записан как сумма формы (это набор скалярных коэффициентов).

Что такое векторное пространство F?

Векторное пространство над F — также известное как F-пространство — это набор (часто обозначаемый V), на котором определена бинарная операция + V (сложение векторов) и операция · F, V (скалярное умножение), определенная из F × V в V. (Таким образом, для любых v, w ∈ V, v + V w принадлежит V, и для любых α ∈ F и v ∈ V α · F, V v ∈ V.

Является ли R2 векторным пространством?

Векторное пространство R2 представлено обычной плоскостью xy.Каждый вектор v в R2 имеет две компоненты. Слово «пространство» просит нас подумать обо всех этих векторах — о всей плоскости. Каждый вектор дает координаты x и y точки на плоскости: v D.

Могут ли 2 вектора охватывать R3?

Нет. Два вектора не могут охватывать R3.

Является ли C 2 над векторным пространством Z?

Например, множество C2 также является вещественным векторным пространством при том же сложении, что и раньше, но с умножением только на вещественные скаляры, операцию, которую мы могли бы обозначить ⋅R.

Векторное умножение — обзор

5.1.1.1 Декларативное программирование и императивное программирование

Декларативное программирование, также известное как символическое программирование, часто сравнивают с императивным программированием. Первому нужно только определить операции, и когда программа выполняется, она явно или неявно компилируется и преобразуется в фактические вызовы функций ядра низкого уровня. Таким образом, этапы определения графа вычислений могут быть отделены от фактических этапов компиляции и выполнения. Напротив, последний начнет вычисление немедленно, как только будет выполнена каждая строка кода.

Код Python, показанный в Code 5.1, использует императивный стиль программирования. Он реализует векторное умножение и сложение с использованием библиотеки NumPy ^и . Когда программа выполняется для любой строки, соответствующая операция выполняется немедленно. Если взять в качестве примера c = a * b , когда программа выполняется в этой строке, компьютер немедленно выполняет соответствующую операцию умножения векторов и возвращает результат c. В этом случае, если используется функция печати, результат можно распечатать.

Код 5.1

Код Python императивного стиля программирования (NumPy API).

import numpy as np

# Начать вычисления

a = np.ones (10)

b = np.ones (10)

c = a * b

d = c + 1

print (d)

Код TensorFlow в коде 5.2 показывает реализацию тех же операций векторного умножения и сложения векторов в стиле декларативного программирования.Когда приложение выполняет строку C = tf.multiply (A, B, ‘Mult’), компьютер не выполняет вычисления сразу, а строит соответствующую структуру графа в памяти. В этом случае при вызове функции печати вместо фактического результата вычислений будет возвращена только информация об объекте данных. Это связано с тем, что расчет не выполняется до тех пор, пока не будет выполнена последняя строка кода sess.run (). Затем возвращается соответствующий результат.

Код 5.2

Код Python в декларативном стиле программирования (TensorFlow API).

import numpy as np

import tensorflow as tf

# Определите граф вычислений

A = tf.placeholder (tf.int32, 10, ‘A’)

B = tf.placeholder (tf.int32, 10, ‘B’)

C = tf.multiply (A, B, ‘Mult’)

D = tf.add (C, tf.constant (1 , tf.int32), ‘Add’)

# Запустить граф вычислений

с tf.Session () as sessions:

print (sessions.run (D, feed_dict = {A: np.ones (10), B: np.ones (10)}))

Короче говоря, декларативное программирование сообщает компьютеру, что делать (что), и позволяет компьютеру решать, что делать (как). А императивное программирование подробно сообщает компьютеру, как это делать (как) и какую задачу выполнять (что).

Почему декларативное программирование и императивное программирование являются наиболее важными концепциями в структуре глубокого обучения? Потому что разные стили программирования приносят разработчикам разную гибкость программирования и эффективность разработки.В целом декларативное программирование обеспечивает лучшую эффективность работы, а императивное программирование обеспечивает большую гибкость.

Например, в коде TensorFlow кода 5.2, поскольку граф вычислений определяется первым, вся информация о графе известна во время работы программы. Здесь вычислительный граф называется статическим графом. Затем структура может оптимизировать вычислительный граф, включая объединение операторов, повторное использование памяти и разделение вычислительных задач. При необходимости, JIT-компиляция также может использоваться для дальнейшей оптимизации графа вычислений.Благодаря относительно небольшим накладным расходам на планирование, он больше подходит для развертывания приложений.

Однако предварительное определение графа вычислений также значительно усложняет пошаговую отладку по сравнению с кодами в Code 5.1, что является большой проблемой для разработчиков. Кроме того, символьная программа не обязательно поддерживает такие функции, как цикл и ветвление, что очень затрудняет реализацию определенных функций.

С другой стороны, в Code 5.1 вычисления выполняются мгновенно, и граф вычислений может быть сгенерирован динамически.В то же время поддерживаются различные функции расширенных языков, такие как отладка и цикл, что приносит большое удобство разработчикам. Как следствие, вводятся дополнительные накладные расходы на планирование, и граф вычислений должен быть построен для каждого запуска, в то время как производительность графа часто не так хороша, как у статического графа.

В текущих средах глубокого обучения и Caffe, и TensorFlow являются типичными представителями декларативного программирования.Несмотря на то, что их языки программирования, методы программирования и реализации различны, обе эти платформы по существу используют конструктивную идею определения графа вычислений перед выполнением. Напротив, другой популярный фреймворк глубокого обучения PyTorch имеет типичный императивный стиль программирования, а его вычислительный граф строится во время выполнения. Фактически, разные фреймворки глубокого обучения также учатся друг у друга, даже если стили программирования различаются. Например, TensorFlow представляет механизм динамического графа (Eager Execution), а PyTorch представляет JIT-компиляцию для компиляции графа вычислений во время выполнения для повышения производительности вычислений.Более того, MXNet имеет два механизма: граф динамических вычислений и граф статических вычислений.

Итак, как разработчики выбирают платформу глубокого обучения? Для исследователей глубокого обучения выбор PyTorch будет лучшим вариантом, если больше внимания уделяется гибкости разработки. Для разработчиков, которые стремятся к повышению производительности или хотят развернуть приложения для глубокого обучения, TensorFlow, основанный на статических графиках, может быть лучшим выбором. Предоставленные TensorFlow XLA и TensorFlow Lite могут помочь эффективно развертывать приложения.Фактически, в отрасли также представлены фреймворки логического вывода, такие как TensorRT, с упором на модели логического вывода глубокого обучения. Они часто обеспечивают увеличение скорости в несколько раз по сравнению с логическим выводом в фреймворках глубокого обучения и больше подходят для развертывания приложений.

УМНОЖЕНИЕ И РАЗДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА НОМЕР (СКАЛЯР)

УМНОЖЕНИЕ И РАЗДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (СКАЛЯРНОЕ)
	УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА СКАЛЯРНО
	Когда вектор умножается на положительное число (например, 2, 3, 5, 60 единиц и т. Д.)) или скаляр, изменяется только его величина, но его направление остается таким же, как и у исходного вектора. Однако если вектор умножается на отрицательное число (например, -2, -3, -5, -60 единиц и т. Д.) Или скаляр, изменяется не только его величина, но и его направление на противоположное.
	Произведение вектора на скалярную величину (m) подчиняется следующим правилам:
	(м) = (м) , что называется коммутативным законом умножения .
	m (n ) = (mn) , что называется ассоциативным законом умножения .
	(m + n) = m + n, что называется распределительным законом умножения .
	РАЗДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКАЛЯРНО
	Деление вектора на скалярное число (n) включает в себя умножение вектора на обратную величину числа (n) , что создает новый вектор.
	Пусть n представляет собой число или скаляр, а m — его обратная величина, тогда новый вектор задается следующим образом:
	где m = 1 / n
	, а его величина определяется по формуле:
	Направление такое же, как и у if (n) — положительное число. Направление противоположно направлению if (n) — отрицательное число.

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение — это более сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, разумеется, .А как насчет 8 i ² ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i ² равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu — yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть продукт, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C на коэффициент 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было действительным числом u чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | ² = | z | ² | w | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда, согласно формуле умножения, zw равно ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | ² = x ² + y ²

Аналогично имеем

| w | ² = и ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ²

Итак, чтобы показать | zw | ² = | z | ² | w | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ² = ( x ² + y ² ) ( u ² + v ² )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. В следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = –1. А как насчет i ³ ? Это всего лишь i ² умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i ³ = — i. Это интересно: куб i — это собственное отрицание.Затем рассмотрим i ⁴ . Это квадрат i ² , то есть квадрат –1. Итак, i ⁴ = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i легко найти теперь, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i умноженное на i ⁴ , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменять результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = — i.

Как насчет отрицательной степени i ? Что является обратным для i, то есть i ^–1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ^–1 = i ³ = — i. Таким образом, i обратное — i. Представьте себе — число, обратное значение которого есть собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными величинами.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по фундаментальной теореме алгебры количество корней n -й степени из единицы равно n, , поскольку существует n корней уравнения n -й степени z ^u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно распределены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = — y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что умножение на i повернулось в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на — i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке вокруг 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w будут точками на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | Вт |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.)

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

Умножение матриц

в R -% *% Оператор

Матрицы

— полезный инструмент в любое время, когда у вас есть данные, разбросанные по связанным категориям.Такие данные часто встречаются в статистике, что делает их важной частью науки о данных. Есть несколько операций, которые вы можете выполнять с матрицами в R, и они включают способы умножения матриц вместе.

Матрицы в R

Обработка матриц — важная часть науки о данных, и R — отличный инструмент для работы с ними. Одним из практических примеров может быть случай, когда у вас есть три модели автомобилей, которые используют три двигателя одного типа. Для этого можно легко изготовить две матрицы.Один будет размер бензобака, который есть у каждой модели для каждого размера двигателя. Другой — это расход бензина, который каждая модель автомобиля получает с двигателем каждого размера. R упрощает настройку каждой матрицы, а затем выполнение операций с ними.

Как создать матрицу.

Создание матрицы в R довольно просто, оно включает функцию Matrix, которая имеет формат матрицы (вектор, ncol = columes, nrow = rows2), и она берет вектор и преобразует его в указанное количество строк и столбцов. Теперь количество строк, умноженное на количество столбцов, должно равняться общему количеству элементов в векторе.Например.

  # умножение матриц в R - настройка
> матрица (c (1,5,3,8), ncol = 2, nrow = 2)
      [, 1] [, 2]
 [1,] 1 3
 [2,] 5 8  

Теперь столбцы или строки можно опустить, и они будут вычисляться с помощью R, однако заданное значение должно быть кратным общему количеству элементов.

Операторы умножения

Умножение матриц с помощью оператора умножения в R является одним из огромного массива матричных операций и матричной алгебры, которые вы можете выполнять в R.В R есть два оператора умножения для матриц. Первый обозначается *, что соответствует простому знаку умножения. Эта операция выполняет простое поэлементное умножение до матриц.

  # умножение матриц в R - поэлементно
> a = матрица (c (1,3,5,7), ncol = 2, nrow = 2)
 > а
      [, 1] [, 2]
 [1,] 1 5
 [2,] 3 7
 > b = матрица (c (2,4,6,8), ncol = 2, nrow = 2)
 > б
      [, 1] [, 2]
 [1,] 2 6
 [2,] 4 8
 >
 > а * б
      [, 1] [, 2]
 [1,] 2 30
 [2,] 12 56  

Второй оператор обозначается% *% и выполняет матричное умножение между двумя матрицами.

  # умножение матриц в R - алгебраическое
> а% *% b
      [, 1] [, 2]
 [1,] 22 46
 [2,] 34 74

> b% *% a
      [, 1] [, 2]
 [1,] 20 52
 [2,] 28 76
  

Обратите внимание, что порядок матриц влияет на результаты умножения матриц. Исходная матрица и вторая матрица идентифицируются оператором умножения матриц и объединяются для получения результата матрицы произведения. Если вы измените порядок исходной матрицы и второй матрицы, матрица результатов будет немного отличаться от матричного произведения первой операции.

Приложения

Хорошим примером уравнения умножения элементарной матрицы является уравнение, которое использовалось выше для трех моделей автомобилей, которые используют три двигателя одного типа. Поэлементное умножение берет каждый вектор-столбец и вектор-строку и умножает их вместе, чтобы получить произведение векторов матрицы. Один будет размером бензобака, который есть у каждой модели для каждого объема двигателя в галлонах. Каждый столбец относится к модели, в каждой строке — к двигателю.

  # умножение матриц в R - пример
> gt = matrix (c (15,20,25,15,20,25,15,20,25), ncol = 3, nrow = 3)
 > gt
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 15 15 15
 [2,] 20 20 20
 [3,] 25 25 25  

Другой — это пробег, который каждая модель автомобиля получает с двигателем каждого размера.Точно так же каждый столбец относится к модели, в каждой строке — к двигателю.

  # умножение матриц в R - пример
> m = матрица (c (35,26,18,30,25,17,37,28,20), ncol = 3, nrow = 3)
 > м
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 35 30 37
 [2,] 26 25 28
 [3,] 18 17 20  

Когда вы перемножаете эти две матрицы поэлементно, вы получаете общее количество миль, которое каждое транспортное средство проедет с одним баком бензина.

  # умножение матриц в R - пример
> gt * m
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 525 450 555
 [2,] 520 500 560
 [3,] 450 425 500  

Применения матричного и скалярного умножения безграничны.Одним из распространенных применений умножения матриц является преобразование между системами координат, где матрица представляет собой координаты единичных векторов из одной системы координат в другую. Вы переносите координаты из матрицы A в матрицу B для линейного преобразования из одной системы координат в другую в матрице продукта. Эти приложения используются в физике и науке о данных, поэтому R предназначен для упрощения этих вычислений.

Умножение матриц в R невероятно просто.В большинстве языков программирования для выполнения этих вычислений требуется несколько строк кода для обработки каждой части операции. В умножении матрицы R это выполняется с помощью одной операции. Хотя у вас есть две разные операции для двух разных типов умножения, работайте вместе, чтобы сделать процесс как можно более простым.

сообщить об этом объявлении

Умножение (и типы данных R)

[Эта статья была впервые опубликована на сайте The Practical R и любезно предоставлена ​​R-блогерам].(Вы можете сообщить о проблеме с содержанием на этой странице здесь)

---

Хотите поделиться своим контентом на R-блоггерах? щелкните здесь, если у вас есть блог, или здесь, если у вас его нет.

Это базовая статья об операциях умножения в R. Мы рассматриваем поэлементное умножение и матричное умножение . Сначала давайте сделаем некоторые данные:

 # Сделать данные
а = с (1,2,3)
б = с (2,4,6)
с = cbind (а, б)
х = с (2,2,2)
 

Если мы посмотрим на выходные данные (c и x), мы увидим, что c — это матрица 3 × 2, а x — это матрица 1 × 3 (которую я также назову вектором).

 # Посмотреть наши данные
c
## a b
## [1,] 1 2
## [2,] 2 4
## [3,] 3 6
Икс
## [1] 2 2 2
 

В языке R звездочка (*) используется для поэлементного умножения. Здесь элементы в одном ряду умножаются друг на друга.

 # Это даст тот же результат
с * х
х * с
 

Мы видим, что выходные данные c * x и x * c одинаковы, а вектор x удваивает матрицу c.

 # Посмотреть наши результаты поэлементного умножения
## a b
## [1,] 2 4
## [2,] 4 8
## [3,] 6 12

## a b
## [1,] 2 4
## [2,] 4 8
## [3,] 6 12
 

В R знаки процента в сочетании со звездочками используются для умножения матриц (% *%).

 # Это работает (умножение матриц)
х% *% c
## a b
## [1,] 12 24
 

Если вы копнетесь и вспомните умножение матриц, вы обнаружите, что матрица 1 × 3, умноженная на матрицу 3 × 2, дает матрицу 1 × 2. В ней будет такое же количество строк, что и в первой матрице (x имеет 1 строку), и такое же количество столбцов, что и во второй матрице (c имеет 2 столбца). Теперь давайте попробуем это с перевернутыми x и c.

 # Это не работает. Неправильные размеры.
c% *% x
## Ошибка в c% *% x: несоответствующие аргументы
 

R дает нам ошибку, потому что вы не можете умножить матрицу 3 × 2 и 1 × 3.Чтобы умножение матриц работало, количество столбцов в первой матрице (c = 3 столбца) должно быть равно количеству строк во второй матрице (x = 1 строка).

Предыдущие операции были выполнены с использованием массивов R по умолчанию, которые являются матрицами. Мы можем подтвердить это, используя команду class и type of ниже:

 # Получить тип данных
класс (c)
typeof (c)
класс (x)
typeof (x)
 

Вот результат работы этих функций.

 # Вывод
## [1] "матрица"
## [1] "двойной"
## [1] "числовой"
## [1] "двойной"
 

Это показывает нам, что наша матрица c имеет тип данных R матрицы с форматированием «double», что означает, что это числа (в отличие от чего-то вроде «символа»).Это также показывает нам, что наша матрица или вектор размером 1 × 3 имеет тип данных R «числовой», а также имеет форматирование «двойное».

Теперь предположим, что ваши данные находятся во фрейме данных, а не в матрице. Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы произведем умножение на фреймы данных. Помните, что фреймы данных в R могут содержать разные типы данных (числа, буквы и т. Д.), В то время как матрицы могут иметь только один тип данных.
*** Для получения дополнительной информации об этом см. Мой пост под названием CBIND2 ***
Давайте преобразуем наши матрицы во фреймы данных, используя данные функции.Рамка.

 c1 = data.frame (c)
x1 = data.frame (x)
 

Теперь посмотрим на наши данные. Обратите внимание, что для c1 и x1 есть дополнительный столбец чисел от 1 до 3. Это просто функция вывода кадра данных в R, где подсчитываются строки с 1 по 3.

 c1
## a b
## 1 1 2
## 2 2 4
## 3 3 6

x1
##   Икс
## 1 2
## 2 2
## 3 2
 

И чтобы быть внимательным, давайте проверим тип данных R, чтобы убедиться, что они не являются матрицами.

 # Проверить тип данных
класс (c1)
typeof (c1)
класс (x1)
typeof (x1)
 

Вот результат этих типов данных.Обратите внимание, что класс теперь называется data.frame вместо matrix или numeric.

 # Вывод
## [1] "data.frame"
## [1] "список"
## [1] "data.frame"
## [1] "список"
 

Теперь давайте снова попробуем наше простое поэлементное умножение. Возможно, вы уже догадались, но эти функции больше не будут работать.

 # Они оба не работают
c1 * x1
x1 * c1
 

Вот результат умножения (т. Е. Ошибки, которые дает R).

 ## Ошибка в Ops.data.frame (c1, x1):
## ‘*’ определено только для кадров данных одинакового размера

## Ошибка в Ops.data.frame (c1, x1):
## ‘*’ определено только для кадров данных одинакового размера
 

В соответствии с ошибкой, которую предоставляет R, мы можем умножать только кадры данных одинакового размера. Итак, давайте попробуем это, создав новые данные.

 # Сделать данные
в = с (2,2)
к = с (4,4)
j = cbind (h, k)
l = j * 2

df1 = data.frame (j)
df2 = data.frame (l)
 

Теперь давайте посмотрим на данные, чтобы увидеть, что у нас есть

 # Просмотр новых фреймов данных
df1
## h k
## 1 2 4
## 2 2 4

df2
## h k
## 1 4 8
## 2 4 8
 

Наконец, давайте умножим df1 * df2 и посмотрим, что получится.