в чем заключается, как сложить векторы, сочетательный закон, определение

Правило параллелограмма — что это такое

Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.

Примечание Сложение векторов по правилу параллелограмма

Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:

1. Взять произвольную точку А.
2. Отложить от точки векторы a и b.
3. Построить на векторах a и b параллелограмм.
4. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов a+b

Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:

1. Правило треугольника.

Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.

2. Правило многоугольника.

Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.

Переместительный и сочетательный законы, доказательство

Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.

Теорема 1

Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.

Доказательство теоремы:

От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.

Построим параллелограмм ABCD.

По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.

AC=AB+BC, AC=a+b⇒ a+b=b+a.

С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.

Вывод: a+b=b+a.

Что и требовалось доказать.

Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма. 

Теорема 2

Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).

Доказательство теоремы:

От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.

Запишем сумму (a+b)+c через векторы:

(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AD.

Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).

Сумма AC+CD=AD.

Запишем сумму a+(b+c) через векторы:

AB+(BC+CD)=AD.

Сумма AB+BD=AD.

Получили: AC+CD=AB+BD=AD.

Вывод: (a+b)+c=a+(b+c)

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Задача

Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.

Решение:

По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.

BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:

BD=√(AB²+BC²-2*AB*BC*cosB).

ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.

BD=√(36+64)=10 см.

Ответ: 10 см.

Векторы — что это, определение и ответ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Вектор – отрезок, у которого есть начало и конец, то есть указано его направление.

Вектор обозначается через точки начала и конца вектора, например \(\overrightarrow{АВ}\) (первая буква – начало вектора, вторая – конец) или, если мы хотим обозначить вектор без указания точек, пишем просто \(\overrightarrow{a}\).

Точка тоже может быть вектором, в таком случае вектор называют нулевым, т.к. его началом и концом является одна и та же точка. Обозначаем нулевой вектор как, например, \(\overrightarrow{\text{MM}}\) или \(\overrightarrow{0}\).

Длина или модуль вектора – это длина отрезка (как если бы у него не было направления).

Длина вектора \(\overrightarrow{АВ}\) обозначается как \(\left| \overrightarrow{АВ} \right|\), длина вектора \(\overrightarrow{a}\ \)как \(\left| \overrightarrow{a} \right|\), а длина нулевого вектора всегда равна нулю:

\(\left| \overrightarrow{АВ} \right| = 7\)

\(\left| \overrightarrow{a} \right| = 3\)

\(\left| \overrightarrow{\text{MM}} \right| = \left| \overrightarrow{0} \right| = 0\)

РАСПОЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Коллинеарные векторы – это векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону.

Обозначается как \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\) (вектор \(\overrightarrow{a}\) сонаправлен вектору \(\overrightarrow{b}\))

Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны.

Обозначаются как \(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}\) (вектор \(\overrightarrow{a}\) противоположно напрвлен вектору \(\overrightarrow{b}\))

Равные векторы – это сонаправленные векторы, у которых равны длины, т.е. у них одинаковые и направление, и длина.

Например:

1. \(\overrightarrow{АВ}\) и \(\overrightarrow{a}\) – коллинеарны, при этом противоположно направлены, т.к. лежат параллельных прямых и направлены в разные стороны:

\(\overrightarrow{АВ} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}\)

2. \(\overrightarrow{\text{CD}}\) и \(\overrightarrow{b}\) – коллинеарны, при этом сонаправлены, т. к. лежат параллельных прямых и направлены в одну сторону:

\(\overrightarrow{\text{CD}} \upuparrows \overrightarrow{b}\)

3. \(\overrightarrow{\text{CD}}\) и \(\overrightarrow{b}\) – равны, т.к. сонаправлены (из п.2) и равны по модулю:

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{\text{CD}} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{\left| \text{CD} \right|} = 5 = \left| \overrightarrow{b} \right|} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{b}\)

4. \(\overrightarrow{М}\) коллинеарен всем векторам, и может являться им как сонаправленным, так и противоположно направленным, т.к. \(\overrightarrow{М} = \overrightarrow{0}\).

СВОЙСТВА НЕНУЛЕВЫХ КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ:

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \upuparrows c} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

Если \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{b} \upuparrows c\), то \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow c} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

Если \(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow c\), то \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c}\)

\(\left. \ \frac{\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}} \right\} \Longrightarrow \overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}\)

Если \(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}\), то \(\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}\)

ОТКЛАДЫВАЕНИЕ ВЕКТОРА ОТ ТОЧКИ:

Говорят, что вектор отложен от точки, если она является его началом. Например, \(\overrightarrow{АВ}\) отложен от точки А, \(\left| \text{CD} \right|\) отложен от точки С и так далее. Можно откладывать абсолютно любые векторы абсолютно из любых точек. Это описывается следующим правилом:

От любой точки можно отложить вектор, равный данному и при том только один.

Например, возьмем точку М и два вектора \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Мы можем отложить от точки М вектора, равные \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) всего один раз. Делается это параллельным переносом:

Таким образом \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a’}\), и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b’}\), при этом \(\overrightarrow{a’}\ и\ \overrightarrow{b’}\) отложены от точки М.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

При сложении векторов нужно учитывать их направления, поэтому проще всего складывать вектора визуально. Существуют два самых простых способа сложить два вектора – это правило треугольника и правило параллелограмма.

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

Если нужно найти сумму двух векторов, по правилу треугольника нужно:

1. Параллельным переносом перенести начало одного вектора в конец другого.

2. Пусть эти векторы будут сторонами треугольника, тогда третья его сторона – их сумма.

3. Обозначить направление получившегося вектора суммы – от начала первого вектора в конец второго (стрелка к стрелке).

Пример №1:

Найдите сумму векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по правилу треугольника:

1. Перенесем вектор \(\overrightarrow{b}\) так, чтобы он начинался там, где заканчивается вектор \(\overrightarrow{a}\).

2. Соединим эти векторы в треугольник, третьей стороной которой будет вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\).

3. Направление вектора \(\overrightarrow{c}\) будет идти от начала \(\overrightarrow{a}\) до конца \(\overrightarrow{b}\) (стрелка к стрелке)

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:

Если нужно найти сумму двух векторов, по правилу параллелограмма нужно:

1. Параллельным переносом перенести начала этих векторов в одну точку.

2. Пусть эти векторы будут сторонами параллелограмма, тогда диагональ этого параллелограмма – их сумма.

3. Обозначить направление получившегося вектора суммы – от начала векторов в противоположный конец параллелограмма (по диагонали).

Пример №2:

Найдите сумму векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по правилу параллелограмма:

1. Перенесем оба вектора параллельным переносом так, чтобы они начинались из одной точки.

2. Представим, что они являются сторонами параллелограмма.

3. Диагональ этого параллелограмма, которая начинается в точке начала векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) – это вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\).

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ:

1. Переместительное свойство:

\(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\)

2. Сочетательное свойство:

\((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})\)

СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ:

Чтобы сложить несколько векторов, нужно ставить их друг за другом, сохраняя их направление (используя параллельный перенос), тогда их суммой будет являться вектор, начала которого – это начало первого вектора, а конец – конец последнего вектора (как в правиле треугольника).

Пример №3:

Найдите сумму векторов \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{d}\) и \(\overrightarrow{e}\):

1. Поставим эти векторы как бы по порядку сохраняя их длину и направление. По переместительному свойству неважно, в каком порядке мы будем располагать вектора. Соединим их, например, в таком порядке — \(\overrightarrow{d}\), \(\overrightarrow{e}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{a}\).

2. Проведем вектор их суммы от начала первого вектора в конец второго:

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ:

Вычесть вектор – это то же самое, что прибавить отрицательный вектор:

\(\overrightarrow{a}\ –\ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (–\overrightarrow{b})\)

То есть и при вычитании можно использовать правила сложения. Главное – найти противоположный вектор.

Само словосочетание «противоположный вектор» говорит о том, что такие вектора направлены в разные стороны.

Значит вычесть вектор – значит прибавить вектор с противоположным ему направлением.

Мы можем проверить это свойство алгебраически. Мы знаем, что противоположные числа в сумме дают 0:

\(a + (–a) = a\ –\ a = 0\)

Тогда и сумма противоположных векторов дадут 0 (т.е. если мы «пойдем» от начала до конца \(\overrightarrow{a}\) и обратно по –\(\overrightarrow{a}\), то мы вернемся снова в начало \(\overrightarrow{a}\)):

Значит и для векторов справедливо это свойство:

\(\overrightarrow{a}\ + (–\ \overrightarrow{a}) = 0\)

Пример №4:

Найдите \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a}\ –\ \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\ –\ \overrightarrow{d}\ –\ \overrightarrow{e}\), если

1. Можем использовать сложение векторов, если мы найдем отрицательные векторы. В данном случае отрицательны векторы \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{d}\) и \(\overrightarrow{e}\). Тогда \(\overrightarrow{–b}\), \(–\overrightarrow{d}\) и \(–\overrightarrow{e}\) следующие:

2. Теперь сложим все векторы, учитывая отрицательные:

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА И ЧИСЛА:

Произведением ненулевого вектора и числа является вектор, коллинеарный данному, длина которого равна произведению длины данного вектора и числа:

\(k \bullet \overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{ka}}\)

где k – это число, при этом:

\(\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{\text{ka}}\) при \(k > 0\)

\(\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{\text{ka}}\) при \(k < 0\)

Произведением любого вектора на ноль является нулевой вектор.

Пример №5:

Найдите 5\(\overrightarrow{a}\) и –2\(\overrightarrow{a}\) , если:

1. Также можно представить произведение вектора и числа как сложение этого вектора несколько раз:

\(5\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}\):

\(5\overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{a}\), т.к 5 > 0

2. Аналогично поступим и с отрицательным числом, только теперь уже складываем противоположные векторы:

\(–2\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}\), т.к –2 < 0

СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА И ЧИСЛА:

1. Сочетательное свойство:

\(kl \bullet \overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a}) \)

2. Распределительный закон:

\(\overrightarrow{a}(k + l) = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}\)

и

\(k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\)

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ:

Используя векторы и связанные с ними свойства можно решать различные геометрические задачи.

Пример №6:

Точка С – середина отрезка АВ, О – произвольная точка на плоскости. Докажите, что

\(ОС = \frac{1}{2}(АО + ОВ)\)

1. По правилу треугольника:

\(\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АС}\)

\(\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС}\)

2. Сложим два этих выражения, получим:

\(2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{АС} + \overrightarrow{ВС}\)

3. При этом \(\overrightarrow{АС}\) и \(\overrightarrow{ВС}\) – противоположные векторы, т.к. равны по модулю (точка С середина АВ), и имеют противоположное направление, значит:

\(2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{АС} + \overrightarrow{ВС}\)

\(2\overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{ОВ} + 0\)

\(ОС = \frac{1}{2}(АО + ОВ)\)

Что и требовалось доказать.

Пример №7:

ABCD – трапеция. Точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Точка О – точка пересечения прямых AB и CD. Докажите, что О, M и N лежат на одной прямой.

1. Треугольники OAD и OBC подобны по двум углам:

\(\left. \ \frac{\angle\text{OBC} = \angle OAD\ как\ соответствующие\ углы}{\angle O\ — \ общий} \right\}\Delta\text{OAD}\sim\text{ΔOBC}\)

\(\frac{\text{OA}}{\text{OB}} = \frac{\text{OD}}{\text{OC}} = k\)

2. При этом соответствующие стороны коллинеарны, значит можем выразить их как произведение числа и вектора:

\(\overrightarrow{\text{OA}} \upuparrows \overrightarrow{\text{OB}} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{OA}} = k\overrightarrow{\text{OB}}\)

\(\overrightarrow{\text{OD}} \upuparrows \overrightarrow{\text{OC}} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{OD}} = k\overrightarrow{\text{OC}}\)

3. В данной задаче можем выразить \(\overrightarrow{\text{OM}}\) и \(\overrightarrow{ON}\) как

\(\overrightarrow{\text{OM}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OD}})\)

т. к. М – середина BC, а N – середина AD (аналогично вектору \(\overrightarrow{\text{OC}}\) из Примера №6).

4. Соединим выразим вектор \(\overrightarrow{\text{ON}}\) через \(\overrightarrow{\text{OA}}\) и \(\overrightarrow{\text{OD}}\) из пункта 3:

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OD}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}\left( k\overrightarrow{\text{OB}} + k\overrightarrow{\text{OC}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = \frac{1}{2}k\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)\)

\(\overrightarrow{\text{ON}} = k(\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}} \right)) = k\overrightarrow{\text{OM}}\)

5. Если вектор \(\overrightarrow{\text{ON}}\) можно представить как произведение числа k с вектором \(\overrightarrow{\text{OM}}\), значит \(\overrightarrow{\text{ON}}\) и \(\overrightarrow{\text{OM}}\) коллинеарны, а значит лежат на одной прямой (они не могут быть параллельны, т. к. уже пересекаются в точке О).

Что и требовалось доказать.

Комбинации векторов (сложение и вычитание векторов) — Криста Кинг Математика

Создание комбинации

Когда мы хотим найти комбинацию двух векторов, мы просто сопоставляем начальную точку второго вектора с конечной точкой первого вектора, а затем рисуем новый третий вектор из начальной точки первого до конечной точки второго. Другими словами, сочетание серого и синего — фиолетовый:

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

По сути, объединение двух векторов дает нам тот же результат, что и сложение векторов. В приведенном выше примере серый + синий = фиолетовый. Мы также можем вычитать векторы. Если вычитается вектор, мы движемся точно в направлении, противоположном исходному вектору. В приведенном ниже примере серый — синий = фиолетовый. Сплошной синий вектор — исходный вектор, но поскольку мы вычитаем, мы движемся в противоположном направлении.

Как рассчитать комбинацию векторов

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Узнать больше

Объединение трех векторов

Пример

Найдите комбинации векторов.

???\vec{AB}+\vec{BC}???

???\vec{BC}-\vec{AC}???

???\vec{AC}+\vec{CB}-\vec{DB}???

Для ???\vec{AB}+\vec{BC}???:

Начальная точка ???\vec{AB}??? ???A???, а его конечная точка ???B???. Начальная точка ???\vec{BC}??? это б??? (конечная точка ???A???), а его конечная точка ???C???. Следовательно, комбинация этих двух векторов от начальной точки первого до конечной точки последнего равна

???\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}???

Если вычитается вектор, мы движемся точно в направлении, противоположном исходному вектору.

Для ???\vec{BC}-\vec{AC}???:

Когда два вектора вычитаются, мы можем изменить отрицательный вектор на положительный, изменив направление вектора. В этом случае ???-\vec{AC}??? становится ???+\vec{CA}???. Затем мы просто объединяем их, как обычно.

???\vec{BC}-\vec{AC}=\vec{BC}+\vec{CA}???

???\vec{BC}-\vec{AC}=\vec{BA}???

Для ???\vec{AC}+\vec{CB}-\vec{DB}???:

Начнем с изменения отрицательного вектора на положительный, изменив направление вектора. В этом случае ???-\vec{DB}??? становится ???+\vec{BD}???. Мы избавимся от негатива, а затем объединим векторы по два за раз.

???\vec{AC}+\vec{CB}-\vec{DB}=\vec{AC}+\vec{CB}+\vec{BD}???

???\vec{AC}+\vec{CB}-\vec{DB}=\vec{AB}+\vec{BD}???

???\vec{AC}+\vec{CB}-\vec{DB}=\vec{AD}???

Получить доступ к полному курсу Calculus 3

Начать

Изучайте математикуКриста Кинг 10 октября 2020 г.

математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление 3, исчисление 3, исчисление iii, векторы, векторное исчисление, комбинации векторов, сложение векторов, вычитание векторов, объединение векторов

0 лайков

Добавление векторов | Суперпроф

В этой статье мы обсудим, как складывать и вычитать векторы. Но прежде чем перейти к обсуждению сложения и вычитания векторов, сначала давайте определим векторы.

Вектор относится к величине, которая описывается величиной, а также направлением. Он изображен алфавитом со стрелкой вправо вверху. Например, и т. д. используются для представления векторов.

Другими словами, мы можем сказать, что векторы относятся к геометрическим представлениям величины и направления. Величина и направление изображаются прямыми стрелками, которые начинаются с одной точки на оси координат и заканчиваются в другой точке. Величина векторов на самом деле является их длиной. Эта длина представляет некоторое значение, так что вектор сопоставим с другим вектором. Стрелки векторов показывают, что они имеют направление. Это основное различие между скаляром и вектором, поскольку скаляры — это величины без направления.

 

Ключевые моменты, которые следует помнить для векторов

Некоторые из ключевых моментов, которые вы должны помнить для векторов:

•  Двумя компонентами векторов являются величина и направление.
• Примеры векторов в реальной жизни включают ускорение, расстояние, силу и скорость, поскольку эти термины описываются как величиной, так и направлением.
• Мы определяем векторы не только по их величине, но и по их ориентации, соответствующей набору координат.
• Когда мы пытаемся анализировать векторы, мы часто разбиваем их на разные части или компоненты. Для двумерных векторов эти части являются горизонтальными и вертикальными. С другой стороны, для трехмерных векторов часть величины одинакова, однако мы изображаем часть направления в терминах x, y и z.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Сложение двух векторов

Для сложения двух векторов и , вы должны соединить хвост одного вектора с головой другого вектора, как показано на рисунке ниже .

Сумма вектора представлена, как на рисунке выше, и равна расстоянию от конца первого вектора до начала второго вектора.

Правило параллелограмма

Вы также можете использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Для этого нарисуйте векторы так, чтобы их хвосты (начальные точки) совпадали друг с другом. После этого следует начертить линии, чтобы получился параллелограмм. Диагональ, идущая от начальной точки к противоположной вершине параллелограмма, является результатом этого сложения.

Это правило показано на рисунке ниже.

 

Как видите, хвосты векторов и совпадают друг с другом. Затем из головок обоих векторов мы нарисовали линии, чтобы получить параллелограмм. В конце мы нарисовали диагональ от начальной точки до противоположной вершины, которая изображена зеленой линией. Эта диагональ является результатом сложения и математически представляется как .

Если вам даны два вектора и , то как вы будете складывать эти векторы?

Ну, дополнение простое. Все, что вам нужно сделать, это сложить компоненты векторов следующим образом:

Свойства сложения векторов

Некоторые свойства сложения векторов приведены ниже:

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство сложения векторов: математически обозначается как:

Коммутативность

Коммутативность сложения векторов математически представляется как:

Аддитивное свойство

Согласно аддитивному свойству сложения векторов, если к вектору добавить нулевой вектор, то результатом будет сам вектор:

Аддитивное обратное или противоположное свойство векторы говорят, что:

Вычитание векторов

Теперь, когда вы знаете, как сложить два вектора, вам может быть интересно, как вычесть два вектора, потому что сложение и вычитание векторов тесно связаны. Меняется только знак между компонентами. Изображение вычитания через треугольник показано на рисунке ниже:

Чтобы вычесть два вектора и , нужно сложить вектор с противоположностью вектора

Математически это представляется как:

             

В следующем разделе мы решим несколько примеров, связанных со сложением векторов.

Найдите рядом репетитора по математике на сайте Superprof.

Пример 1

Если и то найти и .

Решение

=

Теперь узнаем . Для этого перепишем как

Если , то

Пример 2

Если и то найти и .

Решение

=

Теперь узнаем . Для этого перепишем как

Если , то

Пример 3

Если и то найдем и .