Site Loader

Содержание

Как складывать векторы

Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:

  • параллельно,
  • не параллельно.

Складываем параллельные векторы

Если векторы параллельны, складывать так:

  • А) К концу первого вектора приложить начало второго вектора
  • Б) из начала первого вектора к концу второго вектора провести новый вектор

Рис. 1. Складываем параллельные векторы

\( \vec{a} + \vec{c} = \vec{g} \)

Примечание:

В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.

Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.

Это можно пояснить так:

  • сложив два числа 3 и 4 получим только одно решение (3 + 4 = 7).
  • складывая два вектора с длинами 3 и 4, можно в результате получить вектор, длина которого лежит в диапазоне от «1» до «7».
  1. Если векторы, которые складываем, были направлены в противоположные стороны, получим вектор, длина которого равняется единице.
  2. А если векторы были сонаправленными – то длина результирующего вектора будет равна семи.
  3. Ну а, если векторы были препендикулярными, то конечный вектор будет иметь длину, равную пяти.

Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.

Рис. 2. Складываем параллельные противоположно направленные векторы

\( \vec{a} + \vec{s} = \vec{w} \)

Складываем не параллельные векторы

Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:

  1. правило треугольника;
  2. правило параллелограмма;

Рис. 3. Не параллельные векторы

Примечание:

Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).

Правило треугольника

К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Рис. 4. Располагаем не параллельные векторы, чтобы сложить их по правилу треугольника

Из свободного начала к свободному концу провести вектор

Рис. 5. Складываем не параллельные векторы по правилу треугольника

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

Правило параллелограмма

Совместить начала векторов

Рис. 6. Совмещаем начала не параллельных векторов, чтобы сложить их по правилу параллелограмма

Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм

Рис. 7. Достраиваем пунктирами параллелограмм, чтобы сложить векторы

Из точки, в которой находятся начала провести диагональ

Рис. 8. Проводим диагональ параллелограмма, чтобы сложить векторы

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

Как вычитать векторы

Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.

Вектор «\( -\vec{b} \)» — это вектор «\( \vec{b} \)», развернутый в противоположную сторону.

Рис. 9. Вектор и противоположно направленный ему вектор

Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.

Ведь \( \vec{a}-\vec{b} \) то же, что и \( \vec{a}+ \left(-\vec{b} \right)\).

Рис. 10. Складываем вектор «a» и противоположно направленный вектор «-b»

\( \vec{a} + \left(-\vec{b} \right) = \vec{g} \)

Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты

Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.

\( \vec{a} = \left\{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} ;\right\} \)

\( \vec{b} = \left\{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} ;\right\} \)

Рассмотрим примеры:

1. Сложение.

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

\( \vec{c} = \left\{ a_{x}+ b_{x} ; a_{y}+ b_{y} ; a_{z} + b_{z} \right\} \)

2. Вычитание.

\( \vec{a} — \vec{b} = \vec{d} \)

\( \vec{d} = \left\{ a_{x}- b_{x} ; a_{y}- b_{y} ; a_{z} — b_{z} \right\} \)

Примеры сложения векторов в физике

Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.

Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
\( \vec{v} = \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \)

Скорость \( \vec{v} \)измеряют в метрах деленых на секунду, а ускорение \( \vec{a} \) – в метрах, деленых на секунду в квадрате.
Размерность векторов \( \vec{v} \) и \( \vec{a} \) отличается. Значит, выполнять математические действия совместно над ними нельзя.

Если преобразовать вектор \( \vec{a} \) ускорения так, что он получит размерность скорости, тогда можно будет складывать его с вектором скорости.
Чтобы из размерности ускорения получить метры, деленные на секунду, нужно размерность ускорения домножить на секунду.

Поэтому, в формулу для равноускоренного движения входит \( \vec{a} \cdot t \) — ускорение, домноженное на время.
Теперь векторы \( \vec{v_{0}} \) и \( \vec{a} \cdot t \) имеют одинаковую размерность и их можно складывать, или вычитать.

Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).

— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).

Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.

Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость \( \vec{v} \), начальная скорость \( \vec{v_{0}} \) и ускорение \( \vec{a} \) могут иметь различные направления.

Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула \( \vec{v} = \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \) записана в векторном виде.

Сумма нескольких векторов

Материал урока.

Вам уже известны правила сложения и вычитания двух векторов.

Чтобы сложить два неколлинеарных вектора  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор  равен сумме векторов  и .

Также вам уже знакомы законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.

Ну, а убедившись в том, что разность векторов  и  равна сумме вектора  и вектора, противоположного вектору , мы получили два способа построения вектора разности двух векторов.

Сегодня мы будем учиться складывать несколько векторов в пространстве. Но сначала вспомним, как мы это делали на плоскости.

Построим вектор суммы векторов ,  и .

От некоторой точки А отложим вектор , равный вектору . Далее от точки B отложим вектор , равный вектору . А от точки C отложим вектор , равный вектору .

Будем последовательно складывать наши векторы, пользуясь правилом треугольника.

Сумма векторов  и   равна вектору .

Теперь к вектору  добавим вектор . В результате мы получаем вектор .

Тогда можем сказать, что сумма векторов ,  и . равна вектору .

 

Так, последовательно складывая первый вектор со вторым, затем их сумму с третьим и так далее, можно найти суммы четырёх, пяти и большего числа векторов.

Такое правило построения суммы векторов называют правилом многоугольника, и оно позволяет построить вектор суммы неограниченного количества векторов.

Задача. Построить вектор суммы попарно неколлинеарных векторов , , ,  и .

Построение.

 

Примеры, приведённые нами, подходят для векторов, лежащих в одной плоскости. А мы, изучая стереометрию, находимся в пространстве, поэтому правило многоугольника сложения векторов в пространстве может иметь и другую иллюстрацию.

 

Задача. Рассмотрим векторы ,  и , такие, что ,  лежат в одной плоскости, а вектор  не лежит в этой плоскости. Найдём сумму этих векторов.

Решение.

Выберем любую удобную точку О в пространстве и отложим от неё вектор , равный вектору , а от точки А отложим вектор , равный вектору . Понятно, что через проведённые векторы можно провести плоскости. Далее, от точки B отложим вектор , равный вектору . Вектором суммы данных векторов является вектор .

Вы видите, что многоугольник сложения в данном случае является пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.

Сформулируем правило многоугольника для произвольных точек пространства А1, А2 ,…, Аn.

Это равенство справедливо для любых точек А1, А2, …, An. И, в частности, для случая, когда некоторые из них совпадают.

Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна .

Задача. Упростить выражения

Выполним задание, где, пользуясь данной формулировкой, упростим выражения.

а)

б)

в)

г) =

Так мы с вами рассмотрели примеры преобразования выражений с векторами, представленных в виде алгебраической суммы.

Задача. , , ,  произвольные точки пространства.

Представить вектор  в виде алгебраической суммы векторов:

а) , ,                            б) , ,                             в) , ,

Решение.

В последнем задании рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

 Нужно указать вектор , начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда. И чтобы истинными были данные равенства.

Сумма векторов .

По рисунку понятно, чтобы восстановить правило многоугольника, не достает вектора . Значит, вектор .

Далее рассмотрим выражение, где сумма векторов .

 

По рисунку понятно, что сумма известных векторов из левой части равенства равна вектору . И чтобы вся сумма равнялась вектору , вектор  должен быть равен вектору .

Перейдём к следующему равенству.

Чтобы восстановить правило многоугольника, вектор  удобнее заменить равным ему вектором . Тогда становится понятно, что вектор «-» равен вектору . А вектор  отсюда равен вектору .

Разберёмся с последним равенством. .

Левую часть представим в виде суммы и заменим вектор «– » на .

Изобразим данные векторы. Видим, что искомый вектор  равен вектору .

Подведём итоги урока.

Сегодня мы сформулировали правило многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве. И нашли его отличие от того же правила на плоскости.

Оно заключается в том, что полученный многоугольник может являться пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.

Также мы сформулировали правило многоугольника для произвольных точек пространства А1, А2 …, Аn.

Сумма векторов + ,+ =  ,.

И если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна .

Эти знания мы смогли применить при выполнении заданий.

длина суммы векторов и теорема косинусов

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

.

Перейдём к примерам.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение


Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

Решение.

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Продолжение темы «Векторы»

Сложение и вычитание векторов [wiki.eduVdom.com]

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).


Сложение двух векторов

Рис.1

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .



Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).


Сложение трех векторов

Рис.2

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,,\,\overrightarrow{b}\,,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\,,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).


Вычитание векторов

Рис.3

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .


Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).


Умножение вектора на число

Рис.4

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .


Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Таким образом, получаем следующую теорему.


Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.



алгебраическое сложение векторов

Вы искали алгебраическое сложение векторов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вектор правило треугольника, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «алгебраическое сложение векторов».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как алгебраическое сложение векторов,вектор правило треугольника,вектор суммы,вектор суммы двух векторов,вектор формулы,вектора вычитание,вектора вычитание и сложение,вектора правило треугольника,вектора сложение,вектора сумма,векторная сумма,векторное сложение,векторное сложение векторов,векторов формула,векторы вычитание,векторы вычитание и сложение,векторы по правилу треугольника,векторы правила треугольника,векторы правило треугольника,векторы сложение,векторы сложение правило треугольника,выполните сложение векторов а и б,вычитание вектора,вычитание векторов,вычитание векторов примеры,вычитание двух векторов,вычитание сонаправленных векторов,вычитания векторов,вычитания векторов примеры,геометрия сложение векторов,геометрия формулы векторов,для того чтобы сложить два вектора нужно,задачи на вычитание и сложение векторов,задачи на сложение векторов,задачи сложение векторов,как производится вычитание векторов,как складывать вектора в геометрии,как сложить 3 вектора,как сложить вектора по координатам,как сложить векторы по координатам,как сложить векторы по правилу треугольника,как сложить три вектора,какие правила сложения векторов вы знаете,какие правила сложения двух и нескольких векторов вы знаете,когда сумма векторов равна 0,когда сумма векторов равна нулю,методы сложения векторов,на рисунке даны векторы а и б какой из векторов c равен сумме этих векторов,определение сложение векторов,определение сумма векторов,определение суммы векторов,по каким правилам можно выполнять сложение векторов,построить сумму векторов,правила вычитания векторов,правила сложения векторов,правила сложения векторов в геометрии,правила треугольника векторы,правило вектора треугольника,правило разности векторов,правило сложение векторов правило треугольника,правило сложения векторов по правилу треугольника,правило сложения векторов треугольника,правило сумма векторов,правило треугольника вектор,правило треугольника векторы,правило треугольника векторы определение,правило треугольника для векторов,примеры вычитание векторов,примеры вычитания векторов,примеры сложение векторов,разница векторов,разность векторов формула,решение векторов сложение и вычитание векторов,складывание векторов,сложение 3 векторов,сложение вектора,сложение векторов,сложение векторов геометрия,сложение векторов задачи,сложение векторов из одной точки,сложение векторов координат,сложение векторов координаты,сложение векторов методом треугольника,сложение векторов определение,сложение векторов параллельных,сложение векторов по координатам формула,сложение векторов по правилу,сложение векторов по правилу треугольника,сложение векторов правило,сложение векторов правило треугольника,сложение векторов примеры,сложение векторов противоположно направленных,сложение векторов треугольником,сложение векторов формула,сложение векторов это,сложение векторы,сложение двух векторов,сложение и вычитание векторов примеры,сложение и вычитание векторов примеры с решением,сложение и вычитание коллинеарных векторов,сложение нескольких векторов,сложение параллельных векторов,сложение противоположно направленных векторов,сложение противоположных векторов,сложение сонаправленных векторов,сложение трех векторов,сложения векторов,способы сложения векторов,сумма 2 векторов,сумма 3 векторов,сумма вектора,сумма векторов,сумма векторов алгебраическая,сумма векторов определение,сумма векторов по правилу треугольника,сумма векторов правило,сумма векторов правило треугольника,сумма векторов треугольника,сумма векторов формула,сумма векторов формула по координатам,сумма векторов формула через координаты,сумма векторов что такое,сумма векторов это,сумма векторов это определение,сумма двух векторов,сумма и вычитание векторов,сумма противоположных векторов,суммы векторов,суммы векторов определение,суммы векторов формула,формула сложения векторов,формула сумма векторов,формула суммы векторов,формулы сложения векторов,чему равна сумма векторов,чему равна сумма противоположных векторов,что такое сумма векторов. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и алгебраическое сложение векторов. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вектор суммы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же алгебраическое сложение векторов Онлайн?

Решить задачу алгебраическое сложение векторов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Вектор, действия с векторами, сложение и вычитание

Тестирование онлайн

  • Проекция вектора

  • Сложение и вычитание векторов

Вектор

Вектор — это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало — точка. Модуль вектора (абсолютная величина) — длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c — это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение — в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: sx=x-x0, на ось ОУ: sy=y-y0.

Рассмотрим примеры

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма — сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов — это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?


Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?


Законы сложения сил в механике

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Определение 1

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R→=F1→+F2→+F3→+…+Fn→=∑i=1nFi→.

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Определение 2

Для сложения 2-х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1).

Рисунок 1. Сложение 2-х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R→=F1→2+F2→2+2F1→2F2→2cos α

Определение 3

При необходимости сложения более 2-х сил используют правило многоугольника: от конца
1-й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2-й силе; от конца 2-й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3-й силе и т.д.

Рисунок 2. Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4-х сил: F1→, F2→, F3→, F4→. Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Определение 4

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы. 

Рисунок 3. Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0: ∑i=1nFi→=0→. В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Разложение вектора силы по направлениям

Определение 5

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2-мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

  • направления 2-х составляющих сил;
  • модуль и направление одной из составляющих сил;
  • модули 2-х составляющих сил.
Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b. Отрезок FA и отрезок FB изображают искомые силы.

Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

Пример 2

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2-й проекции (рисунок 5 а ).

Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F2→ силы F→.

Итак, 2-й способ решения: прибавим к силе силу, равную -F1→ (рисунок 5 в). В итоге получаем искомую силу F→.

Пример 3

Три силы F1→=1 Н; F2→=2 Н; F3→= 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а) и составляют углы с горизонталью α=0°; β=60°; γ=30° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6. Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY таким образом, чтобы ось ОХ совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F1→. Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б). Проекции F2y и F2x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось ОХ равняется проекции на данную ось равнодействующей: F1+F2cosβ-F3cosγ=Fx=4-332≈-0,6 Н.

Точно также для проекций на ось OY: -F2sin β+F3sin γ=Fy=3-232≈-0,2 Н.

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F=Fx2+Fy2=0,36+0,04≈0,64 Н.

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в):

tg φ=FyFx=3-234-33≈0,4.

Пример 4

Сила F=1 кН приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7. Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F=1 кН=1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С. На рисунке 7 б изображено разложение силы F→ на составляющие вдоль направлений АВ и ВС. Отсюда понятно, что

F1→=Ftg β≈577 Н;

F2→=Fcos β≈1155 Н.

Ответ: F1→=557 Н; F2→=1155 Н.

Сложение векторов

С векторами и над векторами можно выполнять множество математических операций. Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результирующий). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что чистая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект.То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы. Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:

Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.


В этом блоке, задача суммирования векторов будет распространена на более сложные случаи, в которых векторы направлены в других, чем чисто вертикальном и горизонтальном направлениях направлениях. Например, вектор, направленный вверх и вправо будет добавлен в вектор, направленном вверх и влево. векторная сумма будет определяться для более сложных случаев, показанных на схемах ниже.

Есть различные методы для определения величины и направления результата сложения двух или более векторов.В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:


Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу. Этот метод не применим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу.Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.


Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:

Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток. Определите результирующее смещение Эрика.

В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу.Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).

Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.

Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.


Использование тригонометрии для определения направления вектора

Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Функция синуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.

Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ​​ниже.

После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор совершает относительно востока.)


Расчетный угол не всегда соответствует направлению

Мера угла, определенная с помощью SOH CAH TOA, равна , а не всегда направлению вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.

Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается добавлением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу .Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.

Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результата

Величину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторной прогулки . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с исходной базы , эти 18 векторов смещения могут быть добавлены вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».

Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова-к-хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. Как только результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.

Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.

  1. Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
  2. Укажите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
  3. Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор для масштабирования в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
  4. Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
  5. Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к началу последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
  6. Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
  7. Измерьте направление результирующей, используя условные обозначения против часовой стрелки, о которых говорилось ранее в этом уроке.

Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:

20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Метод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Интересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.

15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

При сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Дополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.


Что такое результат?

Результат — это векторная сумма двух или более векторов. Это результат сложения двух или более векторов вместе. Если векторы смещения A, B и C складываются вместе, результатом будет вектор R. Как показано на диаграмме, вектор R может быть определен с помощью точно нарисованной, масштабированной диаграммы сложения векторов.

Сказать, что вектор R представляет собой результирующего смещения векторов смещения A, B и C, значит сказать, что человек, который шел со смещениями A, затем B и затем C, будет смещен на ту же величину, что и человек, который шел со смещением R. Вектор смещения R дает тот же результат , что и векторы смещения A + B + C. Поэтому можно сказать, что

А + В + С = рэндов

Вышеупомянутое обсуждение относится к результату добавления векторов смещения.Когда векторы смещения добавлены, результатом будет результирующего смещения . Но любые два вектора могут быть добавлены, если они являются одной и той же векторной величиной. Если добавляются два или более вектора скорости, то результатом будет результирующей скорости . Если добавить два или более вектора силы, то результат будет равнодействующей силы . Если сложить два или более вектора импульса, то результат будет …

Во всех таких случаях результирующий вектор (будь то вектор смещения, вектор силы, вектор скорости и т. Д.) является результатом сложения отдельных векторов. Это то же самое, что добавить A + B + C + …. «Выполнить A + B + C — это то же самое, что сделать R.» В качестве примера рассмотрим футболиста, которого одновременно ударили три игрока противоположной команды (игроки A, B и C). Футболист испытывает три различных приложенных силы. Каждая приложенная сила вносит вклад в общую или результирующую силу. Если эти три силы складываются вместе с использованием методов сложения векторов (обсужденных ранее), то можно определить результирующий вектор R.В этом случае испытать три силы A, B и C — это то же самое, что испытать силу R. Попадание по игрокам A, B и C приведет к той же силе, что и удар одного игрока, применяющего силу R. » Выполнить A + B + C — это то же самое, что выполнить R. » Вектор R — это тот же результат, что и векторы A + B + C !!

Таким образом, результат — это векторная сумма всех отдельных векторов. Результирующий результат является результатом объединения отдельных векторов вместе.Результирующая может быть определена путем сложения отдельных сил вместе с использованием методов сложения векторов.


Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», нашего интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов».Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.


Веб-сайт класса физики

Добавление вектора: порядок не имеет значения

Суммарный результат двух или более векторов может быть определен путем сложения векторов.Наиболее распространенный метод сложения векторов — это графический метод сложения «голова к хвосту». Этот метод включает в себя выбор масштаба (например, 1 см = 5 км) и последующее рисование каждого вектора для масштабирования в определенном направлении. Хвост каждого последовательного вектора начинается с головы самого последнего вектора. Результирующий вектор (суммарный результат сложения заданных векторов) затем рисуется от хвоста первого вектора к голове последнего вектора. Величина и направление полученного результата затем определяются с помощью транспортира, линейки и указанной шкалы.

Часто возникает вопрос о важности порядка добавления векторов. Например, если складываются пять векторов — назовем их векторами A, B, C, D и E — тогда будет получен другой результат, если используется другой порядок сложения. Будет ли A + B + C + D + E давать тот же результат, что и C + B + A + D + E или D + E + A + B + C? Анимация ниже дает ответ. Понаблюдайте за анимацией пару раз и посмотрите, какой будет ответ.

Как показано на анимации выше, порядок, в котором добавляются два или более вектора, не влияет на результат.Добавление A + B + C + D + E дает тот же результат, что и добавление C + B + A + D + E или D + E + A + B + C! Результирующий, обозначенный зеленым вектором, имеет одинаковую величину и направление независимо от порядка, в котором добавляются пять отдельных векторов.


Для получения дополнительной информации о физических описаниях движения посетите The Physics Classroom Tutorial. Подробная информация доступна по следующим темам:

Векторы и направление

Сложение векторов

Результат

Сложение и вычитание векторов: графические методы

Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле.Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0º к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м в направлении 15,0º к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.

Стратегия

Изобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый A , второй B и третий C , сделав длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад.Описанный выше метод «голова к хвосту» дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенное R .

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя их начальную величину и направление.

(3) Нарисуйте результирующий вектор, R .

(4) Используйте линейку, чтобы измерить звездную величину R , и транспортир, чтобы измерить направление R .Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх дном и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.

Рисунок 11

В этом случае видно, что полное смещение R имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7.0º к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R = 50,0 м и θ = 7,0º к югу от востока.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.

Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же. Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — , коммутативное . Векторы можно добавлять в любом порядке.

A + B = B + A.

(Это верно и для сложения обычных чисел — например, вы получите тот же результат, прибавляете ли вы 2 + 3 или 3 + 2 ).

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить или вычесть два вектора, сложите или вычтите соответствующие компоненты.

Позволять ты → знак равно 〈 ты 1 , ты 2 〉 а также v → знак равно 〈 v 1 , v 2 〉 быть двумя векторами.

Тогда сумма ты → а также v → это вектор

ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉

Разница ты → а также v → является

ты → — v → знак равно ты → + ( — v → ) знак равно 〈 ты 1 — v 1 , ты 2 — v 2 〉

Сумма двух или более векторов называется результирующей.Результат двух векторов можно найти, используя либо метод параллелограмма или метод треугольника .

Метод параллелограмма:

Нарисуйте векторы так, чтобы их начальные точки совпадали. Затем нарисуйте линии, чтобы сформировать полный параллелограмм. Диагональ от начальной точки до противоположной вершины параллелограмма и есть результирующая.

Добавление вектора:

  1. Поместите оба вектора ты → а также v → в той же начальной точке.

  2. Завершите параллелограмм. Результирующий вектор ты → + v → — диагональ параллелограмма.

Вычитание вектора:

  1. Завершите параллелограмм.

  2. От начальной точки начертите диагонали параллелограмма.

Метод треугольника:

Нарисуйте векторы один за другим, помещая начальную точку каждого последующего вектора в конечную точку предыдущего вектора.Затем проведите результат от начальной точки первого вектора к конечной точке последнего вектора. Этот метод также называют метод «голова к хвосту» .

Добавление вектора:

Вычитание вектора:

Пример:

Найти) ты → + v → и (б) ты → — v → если ты → знак равно 〈 3 , 4 〉 а также v → знак равно 〈 5 , — 1 〉 .

Подставьте указанные значения ты 1 , ты 2 , v 1 а также v 2 в определение сложения векторов.

ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉 знак равно 〈 3 + 5 , 4 + ( — 1 ) 〉 знак равно 〈 8 , 3 〉

Перепиши разницу ты → — v → как сумма ты → + ( — v → ) .Нам нужно будет определить компоненты — v → .

Напомним, что — v → является скалярным кратным — 1 раз v . Из определения скалярного умножения имеем:

— v → знак равно — 1 〈 v 1 , v 2 〉 знак равно — 1 〈 5 , — 1 〉 знак равно 〈 — 5 , 1 〉

Теперь добавьте компоненты ты → а также — v → .

ты → + ( — v → ) знак равно 〈 3 + ( — 5 ) , 4 + 1 〉 знак равно 〈 — 2 , 5 〉

Результирующий вектор — объяснение и примеры

В векторной геометрии результирующий вектор определяется как:

«Результирующий вектор представляет собой комбинацию или, проще говоря, может быть определен как сумма двух или более векторов, которые имеют свою величину и направление.”

В этом разделе мы рассмотрим следующие концепции:

  • Что такое результирующий вектор?
  • Как найти результирующий вектор?
  • Как найти равнодействующую более трех векторов?
  • Как нарисовать результирующий вектор?
  • Какова формула и метод вычисления результирующего вектора?
  • Примеры
  • Практические вопросы.


Что такое результирующий вектор?

Результирующий вектор — это вектор, который дает комбинированный эффект всех векторов.Когда мы складываем два или более векторов, результатом является результирующий вектор.

Давайте рассмотрим эту концепцию на простом практическом примере. Предположим, есть балка с двумя лежащими на ней ящиками, как показано на рисунке ниже:

Сможете ли вы рассчитать вес балки и вес двух ящиков? Да! Вы можете это сделать, поскольку вы познакомитесь с концепцией результирующего вектора.

В этом случае результирующий вектор будет суммой сил, действующих на два блока, т.е.е., вес ящиков, который будет равен и противоположен весу балки. В этом случае результирующий вектор будет суммой двух сил, поскольку они параллельны и направлены в одном направлении.

Предположим, что есть три вектора в плоскости: вектор A, B и C. Результирующий R может быть вычислен путем сложения всех трех векторов. Результирующий R можно точно определить, нарисовав правильно масштабированную и точную диаграмму сложения векторов, показанную на рисунке ниже:

A + B + C = рэнд

Позвольте нам лучше понять концепцию на примере.

Пример 1

Рассчитайте результирующий вектор трех параллельных сил, направленных вверх. OA = 5N, OB = 10N и OC = 15N.

Решение

Как мы знаем, результирующий вектор имеет вид:

R = OA + OB + OC

R = 5 + 10 + 15

R = 30N

Пример 2

Найти результирующий вектор данных векторов OA = (3,4) и OB = (5,7).

Решение

Сложение x-компонентов для нахождения Rx и y-компонентов для вычисления RY.

RX = 3 + 5

RX = 8

Ry = 4 + 7

Ry = 11

Итак, результирующий вектор R = (8,11)

Как найти результирующие векторы

Векторы могут быть добавлены геометрически путем их рисования с использованием общего масштаба в соответствии с соглашением «голова к хвосту», которое определяется как

.

« Соедините хвост первого вектора с головой второго вектора, что даст другой вектор, голова которого соединена с головой второго вектора и хвостом первого вектора…»

… это называется результирующим вектором.

Шаги для определения результирующего вектора с использованием правила прямого обращения

Ниже приведены шаги, которые необходимо выполнить, чтобы сложить два вектора и найти результирующий вектор:

  1. Нарисуйте первый вектор в соответствии с выбранным масштабом в заданном направлении.
  2. Теперь соедините хвост второго вектора с головой первого вектора, нарисованного в соответствии с заданным масштабом и в заданном направлении.
  3. Чтобы нарисовать результирующий вектор, соедините хвост первого вектора с головой второго вектора и поместите острие стрелки.
  4. Чтобы определить величину, измерьте длину результирующей величины R, и, чтобы узнать направление, измерьте угол результирующей величины с осью x.

Пример 3

Рассмотрим корабль, плывущий под углом 45 ° к северо-востоку. Затем он меняет свой курс на 165o на север. Нарисуйте получившийся вектор.

Решение

Результирующий вектор из более чем двух векторов

Правила нахождения результирующего вектора или сложения более двух векторов могут быть распространены на любое количество векторов.

R = A + B + C + ………………………….

Предположим, что имеется три вектора A, B, и C , как показано на рисунках ниже. Чтобы сложить эти векторы, нарисуйте их в соответствии с правилом «голова к хвосту» так, чтобы голова одного вектора совпадала с другим вектором. Итак, результирующий вектор имеет следующий вид:

R = A + B + C

Примечание: Сложение векторов является коммутативным по своей природе; сумма не зависит от порядка добавления.

R = A + B + C = C + B + C

Расчет результирующего вектора с использованием прямоугольных компонентов

Нахождение результирующего вектора с использованием компонентов вектора известно как аналитический метод; этот метод более математический, чем геометрический, и его можно рассматривать как более точный и точный, чем геометрический метод, то есть конфигурирование с использованием правила «голова к хвосту».

Предположим, что есть два вектора A, и B, , образующие углы θA и θB соответственно с положительной осью x.Эти векторы будут разделены на их составляющие. Они будут использоваться для вычисления результирующих компонентов x и y результирующего вектора R, , который будет суммой двух компонентов x и y по отдельности.

R = A + B

R X = A X + B X экв. 1

R Y = A Y + B Y экв 2

Т.к., прямоугольными составляющими

R = R X + R X экв 3

Теперь, поместив значения уравнений 1 и 2 в уравнение 3

R = (A X + B X ) + (A Y + B Y )

Для прямоугольной составляющей величина результирующего вектора задается как

.

| R | = √ ((Rx) 2+ (Ry) 2)

| R | = √ ((Ax + BX) 2+ (Ay + BY) 2)

По прямоугольным компонентам направление результирующего вектора определяется как:

θ = тангенс-1 (RY / Rx)

Тот же метод будет применим для любого количества векторов A, B, C, D …… , чтобы найти результирующий вектор R.

R = A + B + C + ……

R X = A X + B X + C X + … ..

R Y = A Y + B Y + C Y + ……

R = R X + R X

θ = тангенс-1 (RY / Rx)

Нахождение результирующего вектора с помощью метода параллелограмма

По закону сложения векторов параллелограмма:

«Если два вектора, действующих одновременно в точке, могут быть представлены смежными сторонами параллелограмма, проведенного из точки, то результирующий вектор будет представлен диагональю параллелограмма, проходящей через эту точку.”

Рассмотрим два вектора A и B , действующих в точке и представленные двумя сторонами параллелограмма, как показано на рисунке.

θ — угол между векторами A, и B, и R называется результирующим вектором. Тогда, согласно закону сложения векторов параллелограмма, диагональ параллелограмма представляет собой результат векторов A и B .

Математические производные на

Ниже приводится математический вывод:

R = A + B

Теперь разверните S до T и нарисуйте QT перпендикулярно OT.

От треугольника OTQ,

SQ2 = OT2 + TQ2 экв. 1,4

SQ2 = (OS + ST) 2 + TQ2

В треугольнике STQ,

cosθ = ST / SQ

SQcosθ = ST

Также,

sinθ = TQ / SQ

TQ = SQsinθ

Вводя в уравнение 1.4 дает,

| SQ | = √ ((A + SQsinθ) 2+ (SQcosθ) 2)

Пусть, SQ = OP = D

| SQ || = √ ((A + Dsinθ) 2+ (Dcosθ) 2)

Решение вышеуказанного уравнения дает,

| SQ | = √ (A2 + 2ADcosθ + D2)

Итак, | SQ | дает величину результирующего вектора.

Теперь выясняем направление результирующего вектора,

tanφ = TQ / SQ

φ = тангенс-1 (TQ / OT)

tanφ = TQ / (OS + ST)

tanφ = Dsinθ / A + Dcosθ

φ = тангенс –1 (Dsinθ / A + Dcosθ)

Давайте разберемся на примере.

Пример 4

Сила 12 Н составляет угол 45o с положительной осью x, а вторая сила 24N составляет угол 120o с положительной осью x. Рассчитайте величину равнодействующей силы.

Решение

Разложив вектор на его прямоугольные составляющие, мы знаем, что

R X = F 1X + F 2X

R Y = F 1 год + F 2 года

| R | = √ ((Rx) 2+ (Ry) 2) уравнение 1.1

Расчет значений | RX | и | RY |,

| Rx | = | F1X | + | F2X | экв 1,2

| F1X | = F1cosθ1

| F1X | = 12cos45

| F1X | = 8,48N

| F2X | = F2cosθ2

| F2X | = 24cos120

| F2x | = -12N

Подставляем значения в уравнение 1.2 дает,

| Rx | = 8,48 + (- 12)

| Rx | = -3,52Н

Теперь находим y-компонент результирующего вектора

| RY | = | F1Y | + | F2Y | экв 1.3

| F1Y | = F1sinθ1

| F1Y | = 12sin45

| F1Y | = 8.48N

| F2Y | = F2 sinθ2

| F2Y | = 24sin120

| F2Y | = 20,78N

Подставляя значения в уравнение 1.2, получаем

| Ry | = 8,48 + 20,78

| Ry | = 29,26N

Теперь, подставив значения в уравнение 1.1 для вычисления величины результирующего вектора R ,

| R | = √ ((-3,52) 2+ (29,26) 2)

| R | = √ (12.4 + 856,14)

| R | = 29,5 Н

Итак, величина результирующего вектора R равна 29,5N.

Пример 5

Две силы величиной 5 и 10 Н наклонены под углом 30o. Вычислите величину и направление результирующего вектора, используя закон параллелограмма.

Решение

При наличии двух сил F 1 = 5 Н и F 2 = 10 Н и угла θ = 30o.

Используя формулу,

| R | = √ (F12 + 2F1F2cosθ + F22)

| R | = √ ((5) 2 + 2 (5) (10) cos30 + (10) 2)

| R | = 14.54N

φ = тангенс –1 (F2sinθ / F1 + F2cosθ)

φ = tan-1 (10sin30 / (5 + 10cos30))

φ = 20,1 °

Итак, величина результирующего вектора R равна 14,54N, а направление — 20,1o.

Практические задачи
  1. Найдите результирующий вектор следующих векторов, параллельных друг другу, указывающих в том же направлении
  1. OA = 12N, OB = 24N ( Ans: 36N)
  2. OA = 7N, OB = 10N ( Ans: 17N)
  3. PQ = (3,8) RQ = (2,4) ( Ответ: (5, 12)
  1. Сила 15 Н составляет угол 70o ​​с положительной осью x, а вторая сила 25N составляет угол 220o с положительной осью x.Рассчитайте величину равнодействующей силы. (Ответ : 37N)
  2. Вычислите направление результирующего вектора, определенного в задаче № 3. (Ответ : 21.80)
  3. Сила 30N действует под углом 25o к северо-востоку. Еще одна сила 45Н, действующая под углом 60o. Вычислите и нарисуйте получившийся вектор. (Ответ : 22N)
  4. Две силы величиной 12,7 Н и 35 Н наклонены под углом 345 °. Вычислите величину и направление результирующего вектора, используя закон параллелограмма.(Ответ : 38,3N)

Все векторные диаграммы построены с использованием GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Сложение векторов

Введение

Все измеримые величины могут быть классифицированы как векторные величины или как скалярные величины. Скалярные величины полностью описываются одним числом (с соответствующими единицами), представляющим величину величины; примерами являются масса, время, температура, энергия и объем.Для векторных величин, таких как скорость, сила и ускорение, величина сопровождается качеством направленности. (Векторы будут обозначены A , а единичные векторы .) Когда в вычислениях используются скалярные величины, применяются обычные правила арифметики; но когда задействованы векторные величины, процесс более сложен, поскольку необходимо учитывать направление вектора. В этом эксперименте будут рассмотрены три метода сложения векторов: графический, аналитический и экспериментальный.

Теория

Векторная величина может быть представлена ​​графически прямой линией со стрелкой на конце. Направление, в котором указывает стрелка, дает смысл вектора, а длина линии указывает величину вектора. Например, сила 3 ​​Н, действующая горизонтально, может быть описана линией длиной три единицы (каждая единица представляет 1 Н), как показано на рисунке 1. Когда два или более вектора используются для описания процесса, они могут быть заменены одним результирующим вектором, который несет эквивалентную информацию.В качестве примера рассмотрим автомобиль, который движется из точки O в точку P , сначала двигаясь на 50 км на северо-запад, затем на 20 км на запад и, наконец, на 40 км на север. Теперь, вместо того, чтобы двигаться к точке P в серии из трех шагов, представленных векторами A , B и C , автомобиль может следовать по более прямому пути, показанному вектором R . Этот вектор R , называемый результирующим, эквивалентен комбинации трех векторов A , B и C , поскольку автомобиль все еще начинается в точке O и заканчивается в точке P .Это можно символически записать как Следует отметить, что в этом случае все пути, которые представляют движение от O до P , эквивалентны R и друг другу. Итак, на рисунке 3

(2)

R = A + B + C = C + A + B = C + D . Хотя этот графический метод, в котором последовательные векторы помещаются лицом к хвосту, полезен в качестве визуального описания, его точность ограничена тем, что может быть получено с помощью инструментов рисования.Когда требуются результаты более точные, чем те, которые предоставлены графическим анализом, применяются аналитические методы. Чтобы использовать аналитические методы для сложения векторов, все векторы описываются с помощью единичных векторов. Единичный вектор — это вектор, имеющий величину один (без каких-либо единиц) с заданной ориентацией. Его единственное использование — это описание определенного направления в космосе. В системе координат xy обычно назначают единичный вектор î ​​ в направлении положительной оси x и единичный вектор ĵ в направлении положительной оси y . .Любой отдельный вектор может быть выражен как сумма двух (или более) компонентных векторов. На рисунке 4 вектор A имеет звездную величину A и ориентацию θ от оси x . Этот вектор можно рассматривать как результат двух компонентных векторов: A x = A x î ​​, указывающих вдоль направления î ​​ и A y 9000 = A y ĵ в направлении ĵ ; или символически следующим образом.Компонент A x является положительным или отрицательным, поскольку A x находится в направлении + î ​​ или — î ​​, а A y положительно или отрицательно как A y находится в направлении + ĵ или — ĵ . Величину компонентов A можно вычислить из определений тригонометрических функций. или же а также или же Кроме того, и по теореме Пифагора величина A равна

(11)

| A | =
A x 2 + A y 2
.Когда векторы добавляются аналитически, каждый вектор сначала записывается в его компонентной форме, затем компоненты x всех векторов складываются алгебраически (уделяя особое внимание знаку), чтобы получить результирующую компоненту x и y. -компоненты всех векторов складываются, чтобы получить результирующую и -компонент. Предположим, что добавлены два параллельных вектора. Для графического метода «голова к хвосту» вектор B помещается на острие стрелки вектора A (или наоборот), и результат, R , переносится от O к вершине . B , как показано на Рисунке 5.На рисунке 6 векторы C и D добавлены аналитически. Математически векторы можно записать Так как результат R является суммой векторов C и D

(16)

R = C x î ​​ + C y ĵ + D x î3 9000 9124 î3 9000 9124 9000 9000 9000 9124

(17)

R = ( C x + D x ) î ​​ + ( C y + D
28 4)Сравнение с уравнением (14) R = R x î ​​ + R y ĵ . дает значения для x и y -компонент результирующего: Из компонентов R величина и направление результирующего

(20)

| R | =
R x 2 + R y 2
Если добавляется более двух векторов, уравнения (18)

R x = C x + D x

и (19)

R y = C y + D y .

можно обобщить на

(22)

R x = A x + B x + C x + D x +

(23)

R y = A y + B y + C y + D y + и соотношения уравнений (20) | R | =
R x 2 + R y 2
и (21) могут применяться для получения величины и направления результирующего.Когда добавляемые векторы представляют силы, отрицательное значение результирующей называется уравновешивающей (или антирезультантной) сил. Равновесие — это единственная сила, которая в сочетании с другими силами приводит систему в равновесие. Обратите внимание, что равновесие равно по величине, но противоположно по направлению равнодействующей векторов.

Цель

Задача этой лаборатории — найти уравновешивающую силу для одной или нескольких известных сил с помощью таблицы сил и сравнить этот результат с результатами, полученными с использованием графических и аналитических методов.

Аппарат

  • Линейка транспортира
  • Три шкива
  • Набор шлицевых масс
  • Три массовых вешалки
  • Таблица сил с центральным штифтом и кольцом
  • Пузырьковый уровень

Процедура

Распечатайте лист для этой лабораторной работы. Этот лист понадобится вам для записи ваших данных.

Силовой стол состоит из горизонтально установленной поверхности, градуированной по периметру в градусах.Штифт, вставленный в центр стола, удерживает кольцо на месте, когда система не сбалансирована. Кольцо — это объект, который будет помещен в равновесие, и натяжение трех прикрепленных к нему струн будет обеспечивать силы, которые необходимо уравновесить. При условии, что трением в шкивах можно пренебречь, натяжение каждой струны равно весу груза, помещенного на ее концы, вниз (это будет темой дальнейшего обсуждения в классе). Шкивы могут быть зажаты под любым желаемым углом, и направление каждой силы указывается положением индексной метки шкива на круговой шкале стола.

A: Экспериментальный метод определения результата двух векторов

Перед использованием таблицы сил важно, чтобы она была ровной. Используйте пузырьковый уровень, чтобы проверить горизонтальность платформы силового стола. Если это не так, используйте регулировочные винты, чтобы отрегулировать поверхность до тех пор, пока поверхность не станет горизонтальной.

1

Используя значения, предоставленные WebAssign для случая 1, расположите шкивы в угловых положениях двух векторов, указанных на диаграмме.

Осторожно:
Обратите внимание, что очень легко перетянуть зажимы, удерживающие шкивы на поверхности стола, поэтому будьте осторожны, затягивайте эти зажимы только на долю оборота после того, как зажим коснется поверхности стола (затяните вручную) .

Подвесьте веса, указанные для каждого вектора, на соответствующий шкив. Обязательно учитывайте вес держателя при расчете массы струн. Как только эти веса установлены, используйте третью систему шкивов и весов, чтобы найти вектор равновесия, связанный с двумя векторами, которые вам были даны. Отрегулируйте угол силы на столе, а также массу, пока не найдете равновесную конфигурацию.

2

Осторожно постучите по кольцу, чтобы немного сместить его от центра; если кольцо возвращается в исходное положение, значит, оно находится в равновесии.Когда кажется, что кольцо находится в равновесии, осторожно снимите центральный штифт и еще раз постучите по кольцу, чтобы немного сместить его. Если кольцо не возвращается в центральное положение, замените центральный штифт и отрегулируйте массу и положение шкива для равновесия, пока не установится равновесие. Для тела в равновесии результирующая сила, действующая на тело, равна нулю. Для трех векторов, представленных в таблице сил,

A + B + C = 0

или

A + B = -C,

, где C является равновесным.Результирующее, R , из двух векторов на карте назначений равно

R = A + B

, поэтому

R = -C

, и результат является отрицательным для равновесия.

3

Запишите положение равновесия с точностью до долей градуса и запишите его величину с точностью до наименьшей доступной массы. Нарисуйте расположение векторов, как это показано на карточке заданий, и включите равновесие, найденное из таблицы сил, на диаграмму. Сохраняйте угол равновесия фиксированным.

4

Сохраняйте угол равновесия фиксированным. Чтобы найти экспериментальную неопределенность для величины равновесия, добавьте к шкиву (или снимите с него) достаточно веса, чтобы кольцо на силовом столе значительно отклонилось от своего положения равновесия. Величина, на которую была изменена масса, является мерой экспериментальной неопределенности в величине вектора. Запишите эту погрешность для наименьшей доступной массы (обязательно укажите правильные единицы).

5

Снова приведите кольцо в состояние равновесия.Удерживая величину равновесия фиксированной, найдите экспериментальную неопределенность в направлении равновесия, слегка перемещая шкив, пока кольцо не перестанет находиться в равновесии. Изменение угла, необходимого для вывода кольца из положения равновесия, представляет собой экспериментальную неопределенность в направлении равновесия. Запишите эту неопределенность с точностью до долей градуса.

6

Повторите процедуры 1–5 для случая 2.

B: Графический метод определения результата двух векторов

1

На листе линейной миллиметровой бумаги сложите два вектора, показанные в случае, используя метод «голова к хвосту», описанный на рисунке 3.

2

Нарисуйте векторы в масштабе (используя как можно больший масштаб) и точно измерьте угол с помощью транспортира.

3

Изобразите результирующее и равновесное на диаграмме, измерьте и запишите величину и направление двух векторов. Сделайте это в обоих случаях.

C: Аналитический метод определения результата двух векторов

1

На наборе из осей координат x-y нарисуйте приблизительно в масштабе и в любой удобной ориентации два вектора, перечисленные в этом случае.Разложите каждый вектор на его компоненты x и y и перечислите их в таблице над эскизом.

2

Из этих значений получите компоненты x и y для результирующего и, используя уравнения (20) | R | =
R x 2 + R y 2
и (21), определите величину и направление полученного результата и нарисуйте его на эскизе. Сделайте это в обоих случаях.

D: Расчеты

1

Определите% ошибки для величины результирующего, полученной экспериментальными и аналитическими методами.

2

Определите% разницы для величины результирующей, полученной экспериментальным и графическим методами.

E: Вопросы

1

Сопутствующие силы — это силы, действующие в одной точке. Карты назначений показывают параллельные силы, но силы в таблице сил действуют на кольцо, а не на точку.Тем не менее, силы по-прежнему совпадают. Объяснять.

2

Могут ли все три шкива на силовом столе быть размещены в одном квадранте и по-прежнему находиться в равновесии? Объяснять.

3

Предположим, что три силы с величинами 220 Н, 270 Н и 200 Н находятся в равновесии. Если сила 200 Н действует в направлении + y , какие две конфигурации в плоскости xy могут иметь оставшиеся силы? Приведите числовые значения углов и покажите результаты на эскизе.

4

Какое условие необходимо для равновесия (рассматривать только линейное движение)?

Авторские права © 2012-2013 Advanced Instructional Systems, Inc.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.