Site Loader

Содержание

Сложение и вычитание векторов

На уроках геометрии вы уже познакомились с простейшими операциями над векторами: нахождением их суммы и разности. Напомним это.

Сложение векторов. Чтобы найти сумму двух векторов, необходимо: а) параллельным переносом совместить начала векторов; б) дополнить чертёж двумя отрезками так, чтобы получился параллелограмм; в) провести вектор суммы из точки начал векторов в точку соединения дополняющих отрезков (по диагонали параллелограмма).

Проиллюстрируем это правило на примере из § 12-в, когда автомобиль перемещается сначала по вектору AВ1 и затем по вектору В1В2 до поворота на мост (см. чертёж слева). Другими словами, мы ищем вектор суммы или, что то же самое, сумму векторов AВ1 и В1В2.

Сделаем новые чертежи обсуждаемых векторов (см. ниже). На чертеже «а» применим параллельный перенос и переместим вектор В1В2 началом в точку А (то есть совместим начала векторов). Чертёж «б» дополним двумя отрезками СВ2 и В1В2 до образования параллелограмма. На чертеже «в» проведём вектор суммы из точки А начал векторов в точку В2 соединения дополняющих отрезков (по диагонали параллелограмма).

Итак, мы нашли вектор суммы или сумму векторов:

Проверим правильность результата: автомобиль, переместившись из точки А в точку В1, затем переместился из точки В1 в точку В2. Иначе говоря, он совершил перемещение «по» вектору АВ2, который мы только что построили, применив правило паралеллограмма.

Вычитание векторов. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: а) параллельным переносом совместить начала векторов; б) дополнить чертёж отрезком так, чтобы получился треугольник; в) придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому, создав вектор разности.

Проиллюстрируем это правило на том же примере из § 12-в, когда автомобиль подъезжает к середине моста. Для этого из вектора полного перемещения АВ3 вычтем перемещение на третьем этапе, вектор B2В3.

Другими словами, сейчас мы ищем вектор разности:

На чертеже «а» применим параллельный перенос и переместим вектор В2В3 началом в точку А (то есть совместим начала векторов). Чертёж «б» дополним отрезком DВ3 до образования треугольника. На чертеже «в» придадим отрезку направление от вычитаемого (синего вектора) к уменьшаемому (красному вектору), создав вектор разности DВ3.

Контурной стрелкой показан параллельный перенос найденного вектора разности в точку А. Важно: построенный вектор DВ3 равен искомому вектору разности АВ2. Это, по сути, проверка правильности результата, поскольку этот вектор мы уже находили по правилу параллелограмма.

Заметим, что векторы можно складывать и «треугольником», а вычитать «параллелограммом». Но мы рекомендуем запомнить именно правило параллелограмма для суммы векторов и правило треугольника для разности векторов, поскольку в дальнейшем эти правила понадобятся нам именно в таком виде.

8.2. Векторы и векторные пространства

Рассматривая, как развивалось то или иное матема­тическое понятие, мы учимся понимать роль и значение всей математики. Наряду с кольцами и полями, одним из важнейших понятий в математике, физике и технике является Вектор. Эволюция этого понятия — от На­правленного отрезка до сложнейших Векторных про­странств — история интересная и поучительная.

Первоначально вектором называли направленный отрезок, прикрепленный к какой-либо точке. С помо­щью направленных отрезков удобно иллюстрировать физические величины, которые характеризуются не только величиной, но и направлением: силу, скорость, напряженность электрического поля и т. д.

Векторы, прикрепленные к одной точке, можно скла­дывать по правилу параллелограмма. С физической точки зрения сумма двух или более векторов представляет собой равнодействующую сил, действующих на точку (рис. 35).

Векторы, прикрепленные к одной точке, можно не только складывать, но и вычитать, умножать на числа. Разностью двух векторов

и называется вектор — , Определяемый равенством + ( – ) = . Произведением вектора на число K называется вектор = K, при­крепленный к той же точке, что и вектор ; длина век­тора Определяется равенством | | = |K| • ||, а направле­ние совпадает с направлением вектора ||, если K число положительное, и противоположно вектору , если K — Число отрицательное (рис. 35). При этом, каковы бы ни были векторы , , и числа K, I, всегда выполняются следующие равенства:

Математиков, которые рассматривают векторы вне их связи с физическим содержанием, не удовлетворяло, что нельзя складывать векторы, прикрепленные к разным точкам. Выход нашелся в том, чтобы сделать векторы свободными от точки прикрепления и разрешить им пе­редвигаться параллельно исходному положению. Иными словами,

Свободный вектор можно представлять себе в виде совокупности всевозможных направленных отрез­ков, параллельных между собой, имеющих одну и ту же длину и одно и то же направление. Такие отрезки назы­вают Эквивалентными.

Свободные векторы просто задавать с помощью координат. Напомним, что Координатами вектора — на­правленного отрезка на плоскости называются его проекции на координатные оси Х и Y (см. рис. 36). Очевид­но, что все эквивалентные направленные отрезки имеют одинаковые координаты. Поэтому последние можно счи­тать координатами соответствующего свободного вектора.

В пространстве направленный отрезок имеет три ко­ординаты: проекции на координатные оси X, Y и Z. Следовательно, свободный вектор в пространстве имеет также три координаты.

Итак, теперь вектор можно заменить эквивалентным объектом — совокупностью его координат. Вектор на плос­кости — это пара чисел (а1,а2), вектор в пространстве — тройка чисел (а1, а2, а3). Сложение векторов и умножение их на числа теперь осуществляется также просто. Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствую­щие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно умножить на это число его координаты. Напри­мер, (1,2,–3) + (–4,6,4) = (–3,8,1), 2 • (1,2,–3) = (2,4,–6).

Такая точка зрения на векторы оказалась исключи­тельно плодотворной. Под определение вектора сразу по­пало много физических и математических объектов. На­пример, всякое элементарное событие, происходящее в пространстве в точке с координатами (х, у,z) в момент вре­мени T, можно рассматривать как четырехмерный вектор (X,Y,Z,T). Так мы приходим к Пространству событий — Одному из основных понятий современной физики. Дру­гой пример. Всякий технологический процесс характеризуется набором различных параметров, которые фикси­руются приборами, показывающими время, скорость процесса, давление, вязкость и т. п. Допустим, что таких параметров 10. Тогда состояние процесса определяется набором из десяти чисел, т. е. десятимерным вектором.

Количество координат вектора называется Размерностью. Векторы одной и той же размерности можно складывать и умножать на числа по тем же правилам, что двумерные и трехмерные. И при любой размерности будут выполняться свойства (2). Таким образом, мы приходим к наиболее общему аксиоматическому опреде­лению векторного пространства:

Векторным пространством называется всякое мно­жество, для элементов которого определена операция сложения и определено умножение элементов на числа таким образом, что выполняются свойства (2).

Свободный вектор называют еще Параллельным векторным полем. Термин «векторное поле» возник в фи­зике, и его смысл вполне соответствует значению этого слова в обычном языке. Мы представляем себе поле как некоторый участок земли, засеянный, скажем, пшени­цей. Теперь представим себе, что колос пшеницы — это вектор, и что колосья (векторы) растут в каждой точке участка. Это и будет векторное поле, причем не обяза­тельно параллельное. Параллельное поле получается в случае, когда все «колоски» параллельны и имеют оди­наковую длину.

Множество примеров векторных полей мы находим в физике: электрические и магнитные поля, поле тяготе­ния. Поток жидкости или газа в трубе порождает вектор­ное поле скоростей: в каждой точке потока определен вектор скорости.

Математики иногда рассматривают векторное поле как функцию, которая каждой точке пространства сопоставля­ет некоторый вектор, как бы прикрепленный к этой точке. Векторные поля представляют собой один из важнейших объектов изучения в современной физике и математике.

< Предыдущая   Следующая >

Законы сложения сил в механике

При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под действием каждой силы в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке, складываются по правилу сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно действующих на тело, называется равнодействующей силой и определяется правилом векторного сложения сил: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+\dots +{\overrightarrow{F}}_n=\sum^n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}$.2{cos \alpha \ }}\]

Если нужно сложить более двух сил, приложенных в одной точке, то пользуются правилом многоугольника:~ из конца первой силы проводят вектор, равный и параллельный второй силе; из конца второй силы — вектор, равный и параллельный третьей силе и так далее.

Рисунок 2. Сложение сил по правилу многоугольника

Замыкающий вектор, проведённый из точки приложения сил к концу последней силы, по величине и направлению равен равнодействующей. На рис.2 это правило проиллюстрировано на примере нахождения равнодействующей~~четырёх сил ${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2,{\overrightarrow{F}}_3,{\overrightarrow{F}}_4$. Заметим, что при этом складываемые векторы не обязательно должны принадлежать одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку зависит только от ее модуля и направления. Твердое же тело имеет определенные размеры. Поэтому одинаковые по модулю и направлению силы вызывают различные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}=\overrightarrow{0}$. В этом случае равна нулю и сумма проекций этих сил на любую ось координат.

Замену одной силы двумя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила, называют разложением сил. Разложение сил производят, как и их сложение, по правилу параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой известны) на две, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, если известны:

  1. направления обеих составляющих сил;
  2. модуль и направление одной из составляющих сил;
  3. модули обеих составляющих сил.

Пусть, например, мы хотим разложить силу $F$ на две составляющие, лежащие в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых а и b (рис.4). Для этого достаточно из конца вектора, изображающего F, провести две прямые, параллельные a и b. Отрезки $F_A$ и $F_B$ изобразят искомые силы.

Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

Другой вариант этой задачи — нахождение одной из проекций вектора силы по заданным векторам силы и второй проекции. (рис.5 а).

Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Задача сводится к построению параллелограмма по диагонали и одной из сторон, известному из планиметрии. На рис.5б построен такой параллелограмм и указана искомая составляющая ${\overrightarrow{F}}_2$ силы ${\overrightarrow{F}}$.

Второй способ решения: прибавить к силе силу, равную — ${\overrightarrow{F}}_1$ (рис.5в).В результате получим искомую силу ${\overrightarrow{F}}_2$.

Статьи — Abitu.net

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Вектор пред­ставляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а). 

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

`vec c = vec a + vec b = vec b + vec a`.                                                 (1)

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6). 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`. Тогда  полученный  вектор `vec f = vec c + vec d` и  будет представлять собой сумму  трёх  векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго — откладывают третий, из конца третьего  — четвёртый  и  т[email protected]`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).

Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`

 и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.

Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + … = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и  силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …`; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.

Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это

не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость — не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.

Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова — величина аддитивная.

В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен

 `b = |k| a`                                                                                (2)

где `|k|` — абсолютная величина числа `k`. 

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).

При `k = — 1` получим `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).

Два  вектора,  противоположно  направленные и имеющие  равные длины, называются противоположными.

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + … = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + …`.

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

5. Разность двух векторов.

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

`vec a — vec b = vec a + (- vec b)`;

см. рис.  9а, 9б.

Вектор

В математике и физике, вектор является величиной, которая характеризуется своим направлением, а также численным значением. Когда же используются векторы и зачем они нужны? Векторы используют для записи тех величин, которые обыкновенными числами записать невозможно. Допустим, нам необходимо описать положение предмета относительно некоторой точки. Разумеется, мы можем вычислить расстояние между точкой и предметов и записать его обыкновенным числом, но это не будет полной характеристикой. А вот если мы запишем данную величину вектором, то помимо расстояния, мы будем еще знать направление, в котором данный предмет находится относительно заданной точки.

Графически все векторы изображаются, как направленные отрезки определенной заданной длины.

Что же такое свободные векторы? По-другому свободные векторы можно еще назвать и равными. Это такие векторы, у которых совпадает, как модульная величина (то есть отрезок по значению одинаковый), так и направление.

А теперь поговорим не много о действиях над векторами. Зачем вообще придумали слаживать вектора? На самом-то деле, просто решили, что можно вывести один вектор, который бы оказывал тоже воздействие, что и два других вектора. Как вы догадались, два других вектора, это наши слагаемые, а один вектор, который оказывает такое же воздействие – это наша сумма. Вектора складываются несколькими способами, в математики они называются «правилами». Первый – «правило треугольника», второй – «правило «параллелограмма». Стоит отметить и то, что мы можем сложить и три, и четыре , и пять векторов, но делать это надо постепенно, то есть попарно.

Векторы


Координаты вектора с началом в точке A(x 
1
, y 
1
, z 
1
)
и концом в точке B(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

AB
 
(x 
2
— x 
1
, y 
2
— y 
1
, z 
2
— z 
1
)
Координаты суммы векторов
a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
+
b
 
=
c
 
(x 
1
+ x 
2
, y 
1
+ y 
2
, z 
1
+ z 
2
)

Свойства сложения векторов

a
 
+
b
 
=
b
 
+
a
 
(
a
 
+
b
 
) +
c
 
=
a
 
+ (
b
 
+
c
 
)

a
 
+ (-
a
 
) =
0
 

Координаты произведения вектора на число
λ *
a
 
(x, y, z) =
c
 
(λx, λy, λz)

Свойства умножения
(λμ)
a
 
= λ(μ
a
 
)
(λ + μ) *
a
 
= λ
a
 
+ μ
a
 
λ(
a
 
+
b
 
) = λ
a
 
+ λ
b
 
0 *
a
 
= λ
0
 
=
0
 

Скалярное произведение векторов

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
*
b
 
= x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
= |
a
 
| * |
b
 
| * cos(
a
 
,
b
 
)

Косинус угла между векторами

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)
= =
x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
x2
1
+ y2
1
+ z2
1
* x2
2
+ y2
2
+ z2
2

Свойства скалярного произведения

a
 
*
b
 
=
b
 
*
a
 

a
 
*
a
 
= |
a
 
|2
 

a
 
(
b
 
+
c
 
) =
a
 
*
b
 
+
a
 
*
c
 

a
 
)
b
 
= λ(
a
 

b
 
)
Длина вектора
a
 
(x, y, z)
|
a
 
| = x2
 
+ y2
 
+ z2
 

Скаляры и вектора. Радиус-вектор. Операции над векторами

Все величины, изучаемые в курсе физики, делятся на два класса: скалярные и векторные, или скаляры и вектора. Скаляр – это физическая величина, которой в каждой системе отсчета соответствует определенное число, зависящее от выбора системы единиц. Например, скаляром является длина, площадь, время, масса. Скаляры обычно обозначают прописными или строчными латинскими буквами – L, S, t, m и т.д. Сумма, разность, произведение и отношение скаляров тоже является скаляром, при этом складывать и вычитать можно только величины, имеющие одинаковую размерность. Нельзя сложить, например, длину платформы и массу груза.

Вектор – это физическая величина, которой в каждой системе отсчета соответствует отрезок, имеющий начало и конец. Длина этого отрезка, зависящая от системы единиц, называется модулем вектора, а точка, являющаяся началом отрезка – точкой приложения вектора. Важным примером вектора является радиус-вектор некоторой точки – это вектор с началом в начале координат и с концом в месте расположения этой точки. Вектора обычно обозначают строчными латинскими буквами со стрелкой сверху –

и т.д.

Если ввести систему координат, то можно определить проекции вектора на оси. Проекции обозначаются , где нижний индекс обозначает ось, на которую проецируется вектор. Проекция вектора является скаляром. Для вычисления проекции вектора нужно из соответствующей координаты конца вычесть координату начала

Можно выразить модуль вектора через его проекции

Операции над векторами:

  1. Суммой двух векторов называется вектор, проекции которого являются суммой проекций складываемых векторов, т.е.

по определению значит, что

Из этого определения следуют правила сложения векторов:

Правило треугольника: чтобы посчитать сумму векторов

 с концом вектора , тогда вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомой суммой.

Правило параллелограмма: чтобы посчитать сумму векторов

+, можно совместить начала векторов  и , тогда вектор , являющийся диагональю параллелограмма, натянутого на вектора  и  с началом, совпадающим с началами векторов  и , и будет искомой суммой.

Переместительный закон:

.

Сочетательный закон:

.

2. Разностью двух векторов называется вектор, построенный следующим образом – совмещаются начала уменьшаемого

 и вычитаемого , и тогда вектор , начало которого совпадает с концом вычитаемого, а конец – с концом уменьшаемого, и будет искомой разностью.

Проекции этого вектора:

Произведением вектора

 на скаляр p называется вектор =p, все проекции которого являются проекциями вектора , умноженными на p:

Пример-задача

Найти модуль вектора, являющегося суммой радиус-вектора

точки с координатами (-1, 1, 1) см и вектора  с проекциями (1, 2, 3) см.

Решение:

Проекции радиус-вектора совпадают с координатами точки (x, y, z), к которой он относится, так как координаты его начала (0, 0, 0).

Проекции суммы

=+ :

Модуль суммы векторов

Ответ: 5 см.

Введение

Введение

В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников

Суперобложка / Обложка / Содержание

 

 

Эта книга о тензорах, но не только о них. Еще никому не удавалось написать книгу только о тензорах, потому что «тензор» – это общее название для векторов, линейных операторов и даже для скаляров. В книгах о тензорах, по необходимости, приходится говорить об этом всем и еще, обычно, о матрицах, поскольку тензоры удобно представлять в матричной форме. Поразмыслив над этой проблемой, мы решили, что будем писать просто о векторах, как о самых понятных тензорах, вводя постепенно и естественно, в связи с решаемыми задачами, все необходимые атрибуты тензорной алгебры. И только в конце книги мы приходим к общему определению тензора. И в тот момент, когда мы это определение даем, оказывается, что все, что хотелось бы сказать о тензорах в книге для начинающих, уже сказано раньше.

Тензоры широко применяются в дифференциальной геометрии, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки. В последнее время предпринимаются попытки использовать теорию тензоров в экономических науках. Интерес к теории тензоров возник в связи с работами А. Эйнштейна по общей теории относительности и не угасает уже почти сто лет. Конечно, за такое время было написано достаточно хороших книг по этой теории. Есть книги для самых начинающих, и для продвинутых, и для продолжающих, а глас вопиющего: «ну объясните же в конце концов, что такое тензор, и как его можно представить», – не умолкает.

Наша книга предназначена для тех, кто еще не знает, что такое тензор, но по каким-то причинам хочет это узнать. Мы стремились более объяснять, чем доказывать; постепенно и не спеша, подходить к понятиям и их определениям, нежели с них начинать. Следовательно, эта книга скорее для будущих инженеров и физиков, нежели для математиков.

Объектом внимания физиков и инженеров является природа, а не умозрительные построения, и, поэтому, формализм и строгость в рассуждениях – непременные атрибуты любой книги по математике – не являются для них самоцелью. Они всего лишь средство, которое используется ровно в той степени, в которой это бывает необходимо для правильного понимания природы. Выразив свойства физических или технических объектов при помощи математических понятий, физик и инженер наделяют эти понятия более богатым содержанием, по сравнению с их математическими определениями. В математике это недопустимо, в физике и технике иначе просто не бывает.

Мы стремились сделать эту книгу полезной прежде всего для будущих инженеров и физиков. Насколько нам удалось, судить Вам, Читатель.

 

 

Физическая наука изучает строение и свойства неживой природы. Объектами внимания физических теорий являются физические системы, явления или процессы. Количественные характеристики свойств физических объектов называются физическими величинами. Физические величины обладают различным уровнем сложности. Простые физические величины могут быть заданы числовым значением и называются скалярными. Примерами скалярных величин являются температура, масса, объем, площадь, длина, плотность и т.д.

Сложные физические величины не могут быть заданы одним числовым значением. Например, для того, чтобы определить такие величины как сила, скорость, ускорение нам необходимо задать по три числовых значения для каждой величины. Эти величины и аналогичные им мы называем векторными.

Векторные величины весьма разнообразны. Кроме силы, скорости и ускорения, о которых мы уже упомянули, к векторным величинам относятся перемещение, импульс силы, импульс тела, угловая скорость и ускорение, момент силы и момент импульса и многие другие.

Сконцентрировав внимание на наиболее общих свойствах, присущих всем без исключения векторным величинам безотносительно к их физической и геометрической природе, мы приходим к понятию вектора. Теория векторов, как отвлеченных идеальных объектов, является разделом математики.

Скалярные и векторные величины не исчерпывают всего многообразия величин, которые необходимы современной науке. В чем-то родственными векторам, но в общем случае более сложными являются тензорные величины. Примерами тензорных величин являются напряженное состояние в точке, упругость твердого тела, момент инерции, диэлектрическая проницаемость… Для определения таких величин необходимо задать целую таблицу числовых значений. Абстрагируясь от конкретного физического и геометрического содержания таких величин, мы приходим к понятию тензора. Тензор, как и вектор, является математическим понятием и предметом изучения тензорной и векторной алгебры. Понятие тензора настолько крепко связано с идеями векторной алгебры, что, допустив однажды в теорию векторные величины, мы были обречены, в конце концов, прийти к тензорам. Открыв для себя тензоры, мы обнаружили, что все физические величины, так или иначе, являются тензорными, даже самые привычные из них. А мы, постоянно пользуясь ими, даже и не догадывались об этом. Это открытие можно сравнить разве что с открытием господина Журдена из знаменитой комедии Мольера, который был потрясен, когда узнал, что более сорока лет говорит прозой, не подозревая об этом.

Векторная и тензорная алгебры очень тесно связаны. Тензорная алгебра, являясь непосредственным развитием и обобщением векторной, включает ее в себя как важный частный случай. Векторная алгебра, став частью тензорной, серьезно изменила свой облик за счет появления новых выразительных средств. К тому же в ней пришлось изменить некоторые акценты. Поэтому изучение тензорной алгебры логично и удобно начинать с самого начала – с векторов. К тензорам мы придем постепенно, сделав при этом экскурсы в теорию матриц и рассмотрев некоторые содержательные примеры.

.Геометрическое определение вектора

Вектор традиционно определяется как направленный отрезок [1, 9, 12,14]. Например, А.Н. Рублев дает такое определение:

«Вектор представляет собой геометрический объект, характеризуемый длиной и направлением» [14, с. 88].

Это определение фокусирует внимание на двух, несомненно важных свойствах всех физических векторных величин, – они все характеризуются некоторым количественным значением, которое отождествляется с длиной отрезка, и направлением в пространстве. При своих несомненных достоинствах – простота и наглядность – это определение не отражает в полной мере существа понятия «вектор».

Во-первых, у физических и геометрических объектов можно обнаружить немало свойств, которые характеризуются величиной и направлением, но, тем не менее, не являющихся векторными. Например, положение транспортных средств на карте города можно показать при помощи направленных отрезков, связав их длину с длиной транспортного средства. Такие направленные отрезки будут в целом правильно отражать движение транспортных потоков, но для них нельзя разумным образом ввести традиционные для векторной алгебры алгебраические операции.

Еще один пример. Для того, чтобы однозначно задать величину и направление поворота твердого тела, можно воспользоваться направленным отрезком. Для этого достаточно длину отрезка отождествить с величиной угла поворота и направить его вдоль оси поворота в сторону, откуда вращение видно против часовой стрелки.

Если мы совершаем последовательно несколько поворотов тела относительно различных осей, то каждый такой поворот может быть задан соответствующим направленным отрезком. Если эти направленные отрезки сложить по правилам векторной алгебры, то мы снова получим направленный отрезок. К сожалению, его нельзя интерпретировать как результат последовательных поворотов тела. Операция сложения таких геометрических отрезков не имеет геометрического смысла.

Точно так же как «короля делает свита», алгебраические операции превращают направленный отрезок в вектор. До тех пор, пока мы такие операции не ввели и не изучили их свойства, мы не можем, строго говоря, утверждать, что направленный отрезок является вектором.

Во-вторых, нельзя утверждать также, что вектор является геометрическим объектом. Направленный отрезок, несомненно, является геометрическим объектом, хотя и малоинтересным. Над геометрическими объектами нельзя выполнять алгебраические действия. Нельзя, скажем, сложить трапецию с пирамидой или умножить шар на квадрат. Вводя алгебраические операции над направленными отрезками, мы определяем новый математический объект, который не является больше объектом геометрическим. Направленный отрезок превращается при этом в условное изображение этого нового объекта. Между тем, нельзя недооценивать практическое значение этого образа. Он придает конкретный геометрический смысл алгебраическим преобразованиям. Видимо, правильнее считать, что вектор имеет двойственную природу – он одновременно является и алгебраическим и геометрическим объектом.

Если мы согласны с предыдущими рассуждениями, то мы должны и согласиться с тем, что определение вектора задача непростая, и к ней лучше подойти постепенно и осторожно, начиная издалека, хотя бы с уточнения понятия направленного отрезка.

Определение (1)

Под направленным отрезком будем понимать определенным образом ориентированный в пространстве отрезок, один из концов которого называется началом, а второй его концом.

 

Рис. 1

Обозначение:

направленный отрезок будем обозначать буквой любого алфавита с чертой, например, . Если A начальная точка отрезка, а B конечная, то направленный отрезок можно обозначить как .

Определение (2)

Длина направленного отрезка называется его модулем.

Обозначение:

модуль вектора обозначается или просто a , а модуль вектора обозначается .

Определение (3)

Два направленных отрезка будем считать равными, если они могут быть совмещены при помощи параллельного переноса и при этом начало одного совпадает с началом другого.

Определение (4)

Если отрезки могут быть совмещены при помощи параллельного переноса, но при этом начало одного совмещается с концом другого, то такие отрезки будем называть противоположными.

Другими словами, одинаковые направленные отрезки имеют одинаковые модули или длины, параллельны между собой и одинаково направлены. При этом они могут занимать различные положения в пространстве.

Определение (5)

Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком.

Нулевой направленный отрезок может быть назван отрезком лишь с большой натяжкой. Раз его начало и конец совпадают, то это скорее точка, а не отрезок. Да и направления никакого он не имеет. Однако, для полноты картины он весьма полезен, в чем мы убедимся в дальнейшем. Обозначается нулевой отрезок нулем с чертой – . Модуль нулевого отрезка естественно равен нулю – .

.Алгебраические операции над направленными отрезками

До сих пор мы стремились найти однозначное отображение в научном языке очевидных фактов из жизни направленных отрезков. Любая научная теория начинается с этого. Любая теория начинается с научных фактов, которые должны быть ясно и однозначно сформулированы. Направленный отрезок – это относительно простой объект, и все что о нем можно было сказать, мы уже сказали. Теперь нам предстоит решить важную задачу – превратить хоть и направленный, но все еще простой, отрезок в вектор. Для этого необходимо ввести над направленными отрезками алгебраические операции.

Правила действий, которые мы собираемся ввести, не являются ни очевидными, ни произвольными. Свое обоснование они имеют в реальных свойствах физических величин, таких как сила, скорость и ускорение.

..Сложение направленных отрезков

Определение (6)

Направленные отрезки складываются по правилу параллелограмма или, что одно и то же, по правилу треугольника. Несколько направленных отрезков можно складывать по правилу многоугольника (рис. 2).

 

Рис. 2

Свойства операции сложения

1. Перестановочность (коммутативность)

2. Сочетательность (ассоциативность)

Свойства непосредственно следуют из определения.

..Умножение направленных отрезков на число

Определение (7)

Произведением направленного отрезка на число является отрезок , модуль которого равен произведению модуля на модуль , а направление совпадает с направлением отрезка , если , и противоположно , если . При или считаем, что .

Из определения сразу вытекает, что .

Обратный или противоположный отрезок мы определили как отрезок равный по модулю, но противоположный данному. Если , то отрезок противоположный ему будет . То есть отрезок противоположный отрезку есть отрезок . А по определению нулевого отрезка мы получаем (рис.3).

 

Рис. 3

Между прочим, вполне обычные алгебраические свойства. Но в том то вся и прелесть, что для таких необычных объектов, как направленные отрезки, мы получили привычные и давно известные из повседневного опыта обращения с обычными числами алгебраические свойства. Следующие свойства также являются вполне очевидными.

Свойства операции умножения

1. Сочетательность (ассоциативность)

2. Распределительность (дистрибутивность) относительно чисел

3. Распределительность (дистрибутивность) относительно направленных отрезков

Разобравшись с действиями, которые можно выполнять с направленными отрезками, мы готовы дать определение геометрического вектора.

Определение геометрического вектора (8)

Направленные отрезки, для которых определены операции сложения и умножения на число в соответствии с определениями 6 и 7, называются геометрическими векторами.

Наверное, стул, кресло, табуретку, пуфик и скамейку можно назвать одним общим словом седалище. (Вообще-то, в современном языке смысл этого слова другой, а в древности так называли место для сидения.) Если мы так поступим, то на вопрос – как представить седалище? На что оно похоже? – мы сможем только пожать плечами. Каждый раз, переходя к более общим понятиям, мы теряем в образности представлений. Мы только что определили геометрический вектор. Физика дает нам другие многочисленные примеры векторов: вектор скорости, ускорения, силы, напряженности поля и т.д. Выделив в этих понятиях наиболее важное и общее и отвлекаясь от частного конкретного содержания, мы приходим к общему определению вектора. Но что есть общего между всеми этими примерами конкретных векторов? Все эти векторы имеют размер, направление и для них определены операции сложения и умножения на число. Оказывается, однако, что свойства связанные с размерами векторов, и свойства, вытекающие из их алгебраической природы, являются независимыми. Поэтому, все, что связано с размерами, математики предпочитают изучать отдельно, в так называемых метрических теориях. Алгебраические же свойства векторов становятся при этом предметом изучения теории линейных или векторных пространств. В результате, мы приходим к следующему определению вектора.

Общее определение вектора (9)

Объекты любой природы, для которых определены операции сложения и умножения на число, и, которые в свою очередь обладают следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ,

называются векторами.

В свете данного определения, векторами могут считаться многочлены , вектор-строки и вектор-столбцы .

Такая «всеядность» нового определения не может не сказаться на пищеварении и, при неумелом обращении, может грозить расстройством желудка. В дальнейшем мы будем оставаться в рамках геометрической теории векторов, однако, связь между векторами и матрицами, которую устанавливает общее определение, мы не будем упускать из вида.

 

 


Веб-сайт класса физики

Добавление вектора: порядок не имеет значения

Суммарный результат двух или более векторов может быть определен путем сложения векторов. Наиболее распространенный метод сложения векторов — это графический метод сложения «голова к хвосту». Этот метод включает в себя выбор масштаба (например, 1 см = 5 км) и последующее рисование каждого вектора для масштабирования в определенном направлении. Хвост каждого последовательного вектора начинается с головы самого последнего вектора.Результирующий вектор (суммарный результат сложения заданных векторов) затем рисуется от хвоста первого вектора к голове последнего вектора. Величина и направление полученного результата затем определяется с помощью транспортира, линейки и указанной шкалы.

Часто возникает вопрос о важности порядка добавления векторов. Например, если складываются пять векторов — назовем их векторами A, B, C, D и E — тогда будет получен другой результат, если используется другой порядок сложения.Будет ли A + B + C + D + E давать тот же результат, что и C + B + A + D + E или D + E + A + B + C? Анимация ниже дает ответ. Понаблюдайте за анимацией пару раз и посмотрите, какой будет ответ.

Как показано на приведенной выше анимации, порядок, в котором добавляются два или более вектора, не влияет на результат. Добавление A + B + C + D + E дает тот же результат, что и добавление C + B + A + D + E или D + E + A + B + C! Результирующий, обозначенный зеленым вектором, имеет одинаковую величину и направление независимо от порядка, в котором добавляются пять отдельных векторов.


Для получения дополнительной информации о физических описаниях движения посетите The Physics Classroom Tutorial. Подробная информация доступна по следующим темам:

Векторы и направление

Сложение векторов

Результат

Что такое результат?

Результат — это векторная сумма двух или более векторов. Это результат сложения двух или более векторов вместе.Если векторы смещения A, B и C складываются вместе, результатом будет вектор R. Как показано на диаграмме, вектор R может быть определен с помощью точно нарисованной, масштабированной диаграммы сложения векторов.

Сказать, что вектор R — это результирующего смещения векторов смещения A, B и C, значит сказать, что человек, который шел со смещениями A, затем B и затем C, будет смещен на ту же величину, что и человек, который ходил со смещением Р.Вектор смещения R дает тот же результат , что и векторы смещения A + B + C. Поэтому можно сказать, что

A + B + C = рэндов

Вышеупомянутое обсуждение относится к результату добавления векторов смещения. Когда векторы смещения добавляются, результатом является результирующее смещение . Но любые два вектора могут быть добавлены, если они являются одной и той же векторной величиной. Если добавлены два или более вектора скорости, результатом будет результирующая скорость .Если добавить два или более вектора силы, то результатом будет равнодействующая сила . Если сложить два или более вектора импульса, то результат будет …

Во всех таких случаях результирующий вектор (вектор смещения, вектор силы, вектор скорости и т. Д.) Является результатом сложения отдельных векторов. Это то же самое, что добавить A + B + C + …. «Выполнить A + B + C — это то же самое, что сделать R.» В качестве примера рассмотрим футболиста, которого одновременно ударили три игрока противоположной команды (игроки A, B и C).Футболист испытывает три различных приложенных силы. Каждая приложенная сила вносит свой вклад в общую или результирующую силу. Если эти три силы складываются вместе с использованием методов сложения векторов (обсужденных ранее), то можно определить результирующий вектор R. В этом случае испытать три силы A, B и C — это то же самое, что испытать силу R. Попадание по игрокам A, B и C приведет к той же силе, что и удар одного игрока, применяющего силу R. » Выполнить A + B + C — это то же самое, что сделать R.»Вектор R — тот же результат, что и векторы A + B + C !!

Таким образом, результат — это векторная сумма всех отдельных векторов. Результирующий результат является результатом объединения отдельных векторов вместе. Результирующая может быть определена путем сложения отдельных сил вместе с использованием методов сложения векторов.


Хотим предложить… Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», нашего интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.


Обзор векторов и кулоновская сила

Дополнительный раздаточный материал 1 по физике колледжа: Векторы обзора и кулоновская сила

Добавление векторов:

Векторов, в отличие от таких скалярных величин, как время, масса, заряд и т. д., которые не имеют направления, но имеют только величину, являются величинами которые имеют направление , а также звездную величину (размер, сила).При сложении или вычитании, умножении или делении векторов мы используем скалярная алгебра для компонент вектора. Другими словами, сложение двух векторов не похоже на сложение двух. скаляры. Вот пример того, что контрастирует с добавлением двух величин.

Добавление векторов (Геометрический метод):

Чтобы сложить два вектора графически, например, , поднесите хвост Bs к голове A без изменения направления Б.Нарисуйте стрелку от хвоста A к кончик (или голова) B. Это Head to Метод хвоста или пальца! Вы также можете использовать метод параллелограмма, чтобы получить тот же результат. Оба метода показаны ниже.

Сложение векторов (алгебраические методы):

Добавьте два расстояния : Движение на 3 мили на север, чем на 4 мили на восток.Результирующее общее расстояние (добавляя два расстояния) составляет 7 ми. Здесь расстояние — скаляр. Поэтому мы использовали скаляр (тот, который вы выучили в средней школе) алгебру, чтобы добавить их

Складываем два вектора : Смещение на 3 мили к северу, затем второе смещение на 4 мили Восток. Результирующее смещение не 7 миль! Вместо этого мы должны учитывать направления, а также величины.

В примере выше слева результирующий вектор C равен полученный сложением двух векторов A и B.Стрелки над каждым символом показывают, что эти величины имеют назначенные им направления. Обратите внимание, что результат находится в общем направлении на северо-восток и 5 миль ( ). Когда нам нужно разложить вектор на компоненты, который попадает в два вектора взаимно перпендикулярно друг другу, нам нужно отменить то, что мы сделали в приведенном выше пример. Для этого нам понадобится немного тригонометрия, а именно синус, косинус и котангенс.

Вот определения синуса и косинуса.

Мы можем применить это к вектору. Предположим, у нас есть сила 20 Н в направлении 30o к северу от Восток. Разложим этот вектор на его декартовы компоненты (компонент направления x и направление y составная часть).

Следовательно, сила 20 Н эквивалентна силе 17,3 Н в северное направление (направление y и сила 10 Н в восточном направлении (направление x).

Что, если бы направление силы было противоположным, то есть SW? Давайте разберемся с этим случаем, имея в виду компоненты вектора на юге (отрицательное направление y) и западе (отрицательное x направление) после использования процесс выше.

Обратите внимание, что расчеты такие же,

кроме знаков,

На математическом языке это записывается как

, где знаки над x и y означают шляпы,

обозначают направления x и y.

Когда мы складываем несколько векторов, эти знаки

будет важным (см. Следующий пример).

Применение закона Кулона:

Три заряда 1 C, 2 C и -3 C расположены по углам. прямоугольного треугольника, как показано. Найди чистая сила на 1 зарядке C.

Сначала нам нужно вычислить величину сил F 2 , и F -3 . Расстояние необходимо для F -3 можно получить из определения синуса,

противоположная сторона = 10xSin (30) = 10 (0.5) = 5 м

Суммарная сила не 1,8х10 +8 + 10,8х10 +8 Н !!! Потому что эти силы не в одном направлении. Мы найдем полную силу в классе! Видеть ваши заметки.

графических методов — физика колледжа: OpenStax

Сводка

  • Ознакомьтесь с правилами сложения, вычитания и умножения векторов.
  • Применяйте графические методы сложения и вычитания векторов для определения смещения движущихся объектов.
Рис. 1. Смещение может быть определено графически с помощью масштабной карты, такой как эта одна из Гавайских островов. Путешествие с Гавайев на Молокаи состоит из нескольких этапов или сегментов пути. Эти сегменты могут быть добавлены графически с помощью линейки для определения общего двухмерного смещения маршрута. (Источник: Геологическая служба США).

Вектор — величина, имеющая величину и направление. Например, смещение, скорость, ускорение и сила — это векторы.В одномерном или прямолинейном движении направление вектора может быть задано просто знаком плюс или минус. Однако в двух измерениях (2-d) мы указываем направление вектора относительно некоторой системы отсчета (то есть системы координат), используя стрелку, имеющую длину, пропорциональную величине вектора, и указывающую в направлении вектора.

На рисунке 2 показано такое графическое представление вектора , используя в качестве примера полное смещение человека, идущего по городу, рассмотренному в главе 3.1 Кинематика в двух измерениях: введение. Мы будем использовать обозначение, что жирный символ, такой как [latex] \ textbf {D} [/ latex], обозначает вектор. Его величина обозначается курсивом [латекс] \ boldsymbol {D}, [/ latex], а направление — [латексом] \ boldsymbol {\ theta}. [/ Latex]

ВЕКТОРОВ В ЭТОМ ТЕКСТЕ

В этом тексте мы представим вектор с переменной жирным шрифтом. Например, мы представим количественную силу вектором [latex] \ textbf {F}, [/ latex], который имеет как величину, так и направление.Величина вектора будет представлена ​​переменной курсивом, например [latex] \ boldsymbol {F}, [/ latex], а направление переменной будет задано углом [latex] \ boldsymbol {\ theta}. . [/ латекс]

Рис. 2. Человек идет 9 кварталов на восток и 5 кварталов на север. Смещение составляет 10,3 блока под углом 29,1 o к северу от востока. Рис. 3. Чтобы графически описать результирующий вектор для человека, идущего по городу, рассматриваемому на рис. 2, нарисуйте стрелку, представляющую вектор полного смещения D .Используя транспортир, нарисуйте линию под углом θ относительно оси восток-запад. Длина D стрелки пропорциональна величине вектора и измеряется по линии линейкой. В этом примере величина вектора D составляет 10,3 единицы, а направление θ составляет 29,1 o к северу от востока.

Метод «голова к хвосту» — это графический способ добавления векторов, описанный на рисунке 4 ниже и в следующих шагах.Хвост , вектора является начальной точкой вектора, а конец , (или острие) вектора является конечным заостренным концом стрелки.

Рис. 4. Метод «голова к хвосту»: метод «голова к хвосту» графического сложения векторов проиллюстрирован для двух перемещений человека, идущего по городу, рассмотренного на рисунке 2. (a) Нарисуйте вектор, представляющий перемещение на восток. (b) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на север. Хвост этого вектора должен исходить из головы первого вектора, направленного на восток.(c) Проведите линию от хвоста вектора, указывающего на восток, до начала вектора, указывающего на север, чтобы сформировать сумму или результирующего вектора D . Длина стрелки D пропорциональна величине вектора и составляет 10,3 единицы. Его направление, описываемое как угол относительно востока (или горизонтальной оси) θ , измеренное с помощью транспортира, составляет 29,1 0 .

Шаг 1. Нарисуйте стрелку для обозначения первого вектора (9 блоков на восток) с помощью линейки и транспортира .

Рисунок 5.

Шаг 2. Теперь нарисуйте стрелку, представляющую второй вектор (5 блоков к северу). Поместите хвост второго вектора в начало первого вектора .

Рисунок 6.

Шаг 3. Если имеется более двух векторов, продолжить этот процесс для каждого добавляемого вектора. Обратите внимание, что в нашем примере у нас есть только два вектора, поэтому мы закончили размещать стрелки от конца к хвосту .

Шаг 4. Нарисуйте стрелку от хвоста первого вектора к началу последнего вектора . Это результат или сумма других векторов.

Рис. 7.

Шаг 5. Чтобы получить величину полученного результата, измерьте его длину линейкой. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать теорему Пифагора для определения этой длины.)

Шаг 6. Чтобы получить направление , результирующего, , измерьте угол, который он образует с опорной рамкой, с помощью транспортира. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать тригонометрические отношения для определения этого угла.)

Графическое сложение векторов ограничено по точности только точностью, с которой могут быть сделаны чертежи, и точностью измерительных инструментов. Это справедливо для любого количества векторов.

Пример 1: Добавление векторов графическим методом «голова к хвосту»: женщина на прогулке

Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле.о} [/ латекс] к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.

Стратегия

Изобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый [latex] \ textbf {A}, [/ latex], второй [latex] \ textbf {B}, [/ latex] и третий [latex] \ textbf { C}, [/ latex] делая длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад. Описанный выше метод «голова к хвосту» дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенного [latex] \ textbf {R}.[/ латекс]

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

Рис. 8.

(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя как их начальную величину, так и направление.

Рис. 9.

(3) Нарисуйте результирующий вектор [latex] \ textbf {R}. [/ Latex]

Рис. 10.

(4) Используйте линейку для измерения величины [latex] \ textbf {R}, [/ latex] и транспортир для измерения направления [latex] \ textbf {R}. [/ Latex ] Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью.о} [/ латекс] к югу от востока.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.

Рис. 12.

Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же.Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — это коммутативное . Векторы можно добавлять в любом порядке.

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} = \ textbf {B} + \ textbf {A}}. [/ Latex]

(Это верно и для сложения обычных чисел — вы получите тот же результат независимо от того, добавляете ли вы [латекс] \ boldsymbol {2 + 3} [/ latex] или [латекс] \ boldsymbol {3 + 2}, [/ латекс] например).

Вычитание векторов — это прямое расширение векторного сложения.Чтобы определить вычитание (скажем, мы хотим вычесть [latex] \ textbf {B} [/ latex] из [latex] \ textbf {A}, [/ latex] написано [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B}} [/ latex], мы должны сначала определить, что мы подразумеваем под вычитанием. Отрицательное вектора [latex] \ textbf {B} [/ latex] определяется как [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}; [/ latex] то есть графически негатив любого вектора имеет ту же величину, но противоположное направление , как показано на рисунке 13. Другими словами, [latex] \ textbf {B} [/ latex] имеет ту же длину, что и [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}, [/ latex], но указывает в противоположном направлении.По сути, мы просто переворачиваем вектор, чтобы он указывал в противоположном направлении.

Рис. 13. Негатив вектора — это просто еще один вектор такой же величины, но направленный в противоположном направлении. Итак, B — это отрицательное значение -B ; он имеет ту же длину, но противоположное направление.

Затем вычитание вектора [latex] \ textbf {B} [/ latex] из вектора [latex] \ textbf {A} [/ latex] просто определяется как добавление [latex] \ boldsymbol { — \ textbf {B}} [/ latex] в [latex] \ textbf {A}.[/ latex] Обратите внимание, что вычитание вектора — это сложение отрицательного вектора. Порядок вычитания не влияет на результаты.

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B} = \ textbf {A} + (- \ textbf {B})}. [/ Latex]

Аналогично вычитанию скаляров (где, например, [latex] \ boldsymbol {5-2 = 5 + (- 2)} [/ latex]). Опять же, результат не зависит от порядка, в котором выполняется вычитание. Когда векторы вычитаются графически, используются описанные выше методы, как показано в следующем примере.о} [/ латекс] к западу от севера). Если женщина совершит ошибку и поедет в направлении , противоположном направлению , на втором этапе пути, где она окажется? Сравните это местоположение с расположением дока.

Рисунок 14.

Стратегия

Мы можем представить первый этап путешествия вектором [latex] \ textbf {A}, [/ latex], а второй этап путешествия вектором [latex] \ textbf {B}. [/ Latex] док-станция расположена по адресу [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} \: + \: \ textbf {B}}.о} [/ латекс] к югу от востока. Мы представляем это как [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}, [/ latex], как показано ниже. Вектор [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}} [/ latex] имеет ту же величину, что и [latex] \ textbf {B} [/ latex], но в противоположном направлении. Таким образом, она окажется в местоположении [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + (- \ textbf {B})}, [/ latex] или [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B}}. [/ Латекс]

Рис. 15.

Мы выполним векторное сложение, чтобы сравнить местоположение док-станции, [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B}}, [/ latex] с местоположением, в котором ошибочно женщина прибывает, [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {A} + (- \ textbf {B})}.[/ латекс]

Решение

(1) Чтобы определить место, куда случайно попала женщина, нарисуйте векторы [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}. [/ Latex]

(2) Поместите векторы голова к хвосту.

(3) Нарисуйте результирующий вектор [latex] \ textbf {R}. [/ Latex]

(4) Используйте линейку и транспортир, чтобы измерить величину и направление [латекса] \ textbf {R}. [/ Latex]

Рис. 16.

В данном случае [latex] \ boldsymbol {\ textbf {R} = 23.о} [/ латекс] к северу от востока.

Мы видим, что женщина окажется на значительном расстоянии от пристани, если она поедет в противоположном направлении на втором этапе пути.

Обсуждение

Поскольку вычитание вектора аналогично сложению вектора с противоположным направлением, графический метод вычитания векторов работает так же, как и для сложения.

Если бы мы решили пройти в три раза дальше на первом отрезке пути, рассмотренном в предыдущем примере, то мы прошли бы [латекс] \ boldsymbol {3 \ times 27.о} [/ латекс] к северу от востока. Это пример умножения вектора на положительный скаляр . Обратите внимание, что величина меняется, но направление остается прежним.

Если скаляр отрицательный, то умножение вектора на него изменяет величину вектора и дает новому вектору в противоположном направлении . Например, если вы умножите на –2, величина удвоится, но направление изменится. Мы можем резюмировать эти правила следующим образом: Когда вектор [latex] \ textbf {A} [/ latex] умножается на скаляр [latex] \ boldsymbol {c}, [/ latex]

  • величина вектора становится абсолютным значением [latex] \ boldsymbol {cA}, [/ latex]
  • если [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] положительный, направление вектора не меняется,
  • , если [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] отрицательно, направление меняется на противоположное.

В нашем случае [latex] \ boldsymbol {c = 3} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} = 27.5 \ textbf {m}}. [/ Latex] Векторы умножаются на скаляры во многих ситуациях. Обратите внимание, что деление — это обратное умножение. Например, деление на 2 аналогично умножению на значение (1/2). Правила умножения векторов на скаляры такие же, как и для деления; просто рассматривайте делитель как скаляр от 0 до 1.

В приведенных выше примерах мы добавляли векторы для определения результирующего вектора.Однако во многих случаях нам нужно будет сделать наоборот. Нам нужно будет взять один вектор и найти, какие другие векторы, сложенные вместе, производят его. В большинстве случаев это включает определение перпендикулярных компонентов одного вектора, например компонентов x и y или компонентов север-юг и восток-запад.

Например, мы можем знать, что общее перемещение человека, идущего по городу, равно 10.o} [/ latex] к северу от востока и хотите узнать, сколько кварталов на восток и север нужно было пройти. Этот метод называется , , поиск компонентов (или частей) , смещения в восточном и северном направлениях, и это процесс, обратный процессу, которому следуют, чтобы найти полное смещение. Это один из примеров нахождения компонентов вектора. В физике есть много приложений, в которых это полезно. Мы скоро увидим это в главе 3.4 «Движение снаряда» и многое другое, когда мы рассмотрим сил и в главе 4 «Динамика: законы движения Ньютона».Большинство из них включает поиск компонентов вдоль перпендикулярных осей (например, север и восток), так что задействованы прямоугольные треугольники. Аналитические методы, представленные в главе 3.3 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы, идеально подходят для поиска компонентов вектора.

ИССЛЕДОВАНИЯ ФЕТА: ИГРА В ЛАБИРИНТ

Узнайте о положении, скорости и ускорении в «Arena of Pain». Используйте зеленую стрелку, чтобы переместить мяч. Добавьте больше стен на арену, чтобы усложнить игру.Постарайтесь достичь цели как можно быстрее.

Рисунок 18. Игра в лабиринт
  • Графический метод добавления векторов [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B} [/ latex] включает рисование векторов на графике и добавление их с помощью команды head-to- хвостовой метод. Результирующий вектор [latex] \ textbf {R} [/ latex] определяется таким образом, что [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} = \ textbf {R}}. [/ Latex] Величина и направление [latex] \ textbf {R} [/ latex] затем определяется с помощью линейки и транспортира соответственно.
  • Графический метод вычитания вектора [latex] \ textbf {B} [/ latex] из [latex] \ textbf {A} [/ latex] включает добавление противоположности вектора [latex] \ textbf {B}, [ / latex], который определяется как [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}. [/ latex] В этом случае [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B} = \ textbf { A} + (- \ textbf {B}) = \ textbf {R}}. [/ Latex] Затем метод сложения «голова к хвосту» выполняется обычным способом для получения результирующего вектора [latex] \ textbf {R}. [/ Латекс]
  • Сложение векторов — это коммутативный такой, что [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} = \ textbf {B} + \ textbf {A}}.[/ латекс]
  • Метод «голова к хвосту» добавления векторов включает в себя рисование первого вектора на графике с последующим помещением хвоста каждого последующего вектора в начало предыдущего вектора. Результирующий вектор затем рисуется от хвоста первого вектора к голове последнего вектора.
  • Если вектор [latex] \ textbf {A} [/ latex] умножается на скалярную величину [latex] \ boldsymbol {c}, [/ latex], величина продукта определяется как [latex] \ boldsymbol {cA }. [/ latex] Если [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] положительное значение, направление продукта указывает в том же направлении, что и [latex] \ textbf {A}; [/ latex] if [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] имеет отрицательное значение, товар указывает в противоположном направлении, как [latex] \ textbf {A}.[/ латекс]

Концептуальные вопросы

1: Что из следующего является вектором: рост человека, высота на Эвересте, возраст Земли, температура кипения воды, стоимость этой книги, население Земли, ускорение свободного падения. ?

2: Приведите конкретный пример вектора, указав его величину, единицы измерения и направление.

3: Что общего у векторов и скаляров? Чем они отличаются?

4: Два отдыхающих в национальном парке выходят из своей хижины в одно и то же место на озере, каждый идет своим путем, как показано ниже.Общее расстояние, пройденное по пути 1, составляет 7,5 км, а по маршруту 2 — 8,2 км. Каково окончательное смещение каждого кемпера?

Рисунок 19.

5: Если пилоту самолета приказывают пролететь 123 км по прямой, чтобы добраться из Сан-Франциско в Сакраменто, объясните, почему он может оказаться в любом месте круга, показанного на рисунке 20. Какую еще информацию ему потребуется получить. в Сакраменто?

Рисунок 20.

6: Предположим, вы сделали два шага [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B} [/ latex] (то есть два ненулевых смещения).При каких обстоятельствах вы можете оказаться в исходной точке? В более общем плане, при каких обстоятельствах два ненулевых вектора могут складываться, чтобы дать ноль? Максимальное расстояние, которое вы можете пройти от начальной точки [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B}} [/ latex], является суммой длин двух шагов?

7: Объясните, почему нельзя добавить скаляр к вектору.

8: Если вы сделаете два шага разного размера, сможете ли вы прийти к исходной точке? В более общем смысле, могут ли два вектора с разными величинами складываться к нулю? Можно трое и больше?

Задачи и упражнения

Используйте графические методы для решения этих проблем.Вы можете предположить, что данные, взятые с графиков, имеют точность до трех цифр.

1: Найдите следующее для пути A на рисунке 21: (a) общее пройденное расстояние и (b) величину и направление смещения от начала до конца.

Рис. 21. Различные линии представляют собой пути, по которым идут разные люди в городе. Все блоки имеют ширину 120 м.

2: Найдите следующее для пути B на рисунке 21: (a) общее пройденное расстояние и (b) величину и направление смещения от начала до конца.

3: Найдите северную и восточную составляющие смещения для туристов, показанных на рисунке 19.

4: Предположим, вы идете 18,0 м прямо на запад, а затем 25,0 м прямо на север. Как далеко вы находитесь от начальной точки и каково направление по компасу линии, соединяющей вашу отправную точку с конечным положением? (Если вы представляете две части прогулки как векторные смещения [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B}, [/ latex], как на рисунке 22, то эта задача требует от вас найдите их сумму [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {R} = \ textbf {A} + \ textbf {B}} [/ latex].о} [/ латекс] к югу от запада. Как далеко вы находитесь от начальной точки и каково направление по компасу линии, соединяющей вашу отправную точку с конечным положением? (Если вы представите две части прогулки как векторные смещения [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B}, [/ latex], как на рисунке 23, то эта задача находит их сумму [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {R} = \ textbf {A} + \ textbf {B}} [/ latex].)

Рисунок 23.

6: Повторите описанную выше задачу, но поменяйте порядок двух этапов ходьбы; покажите, что вы получите тот же конечный результат.{\ prime}} [/ latex]). Покажи, что это так.

8: Покажите, что порядок сложения трех векторов не влияет на их сумму. Покажите это свойство, выбрав любые три вектора [latex] \ textbf {A}, \: \ textbf {B}, [/ latex] и [latex] \ textbf {C}, [/ latex], имеющих разную длину и направление. Найдите сумму [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} + \ textbf {C}} [/ latex], затем найдите их сумму при добавлении в другом порядке и покажите, что результат тот же.(Есть пять других порядков, в которые можно добавить [latex] \ textbf {A}, \ textbf {B}, [/ latex] и [latex] \ textbf {C} [/ latex]; выберите только один.)

9: Покажите, что сумма векторов, рассмотренных в примере 2, дает результат, показанный на рисунке 17.

10: Найдите величины скоростей [latex] \ boldsymbol {v_A} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {v_B} [/ latex] на Рисунке 24

Рис. 24. Две скорости v A и v B складываются, чтобы получить общее v к .o} [/ latex] против часовой стрелки относительно изображений на Рисунке 24.

Глоссарий

компонент (двумерного вектора)
кусок вектора, указывающий либо в вертикальном, либо в горизонтальном направлении; каждый двумерный вектор может быть выражен как сумма двух вертикальных и горизонтальных компонент вектора
коммутативный
относится к взаимозаменяемости порядка в функции; сложение векторов коммутативно, потому что порядок, в котором векторы складываются вместе, не влияет на окончательную сумму
направление (вектора)
ориентация вектора в пространстве
голова (вектора)
конечная точка вектора; расположение кончика стрелки вектора; также называется «наконечник»
метод «голова к хвосту»
метод сложения векторов, в котором хвост каждого вектора помещается в начало предыдущего вектора
величина (вектора)
длина или размер вектора; величина — скалярная величина
результат
сумма двух или более векторов
результирующий вектор
векторная сумма двух или более векторов
скаляр
величина с величиной, но без направления
хвост
начальная точка вектора; напротив наконечника или наконечника стрелки

Решения

Задачи и упражнения

1:

(а) [латекс] \ boldsymbol {480 \ textbf {m}} [/ латекс]

(b) [латекс] \ boldsymbol {379 \ textbf {m}}, \ boldsymbol {18.o} [/ latex] относительно оси x .

11:

x -компонент 4,41 м / с

y -компонент 5,07 м / с

Веб-сайт открытых дверей: IB Physics: ДОБАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Чтобы проиллюстрировать, как сложить два вектора, начните с «простейшего» вектора, смещение.
Должно быть ясно, что очевидный способ добавить два смещения вместе можно нарисовать масштабную диаграмму, как показано ниже.
Тело первым переместилось из точки А в точку Б.
Затем он переместился из точки B к точке C.
Эти два смещения приводят к в теле, начиная с A и заканчивая C и, следовательно, может быть заменен на смещение с (если вы не хотите особенно оглянитесь вокруг B на пути к C!)
s называется результирующим смещением .
Это сложение или сумма двух смещений.
Использование жирных букв для представляют векторы, процесс представлен как
Смещение — это векторная величина.
Это означает, что полностью описать смещение, вы должны указать величину, направление и чувство смещения (вверх или вниз, вправо или влево и т. д.).
Казалось бы разумным предположить, что другие векторные величины (например, скорость, ускорение, сила и т. д.) могут быть добавлены с использованием того же метода.
Это Допущение легко проверить для сил: см. эксперимент 9М
Рассмотрим две силы, представленные стрелками, показанными здесь.
ср. Предположим, что эти стрелки нарисованы в масштабе .
То есть длина каждой стрелки указывает величину каждой из сил.
Например, стрелка длиной 1 см может обозначать усилие 10 Н.
Рисование стрелок «голова к хвосту», как в примере добавления смещений. выше, дает нам эту диаграмму (иногда называемую треугольником сил … по довольно очевидным причинам!)
Измерение длины красной стрелки (и используя коэффициент масштабирования) дает нам равнодействующую двух сил.
Опять же, это будет символически представлено как:
(снова жирные символы для векторов).
Однако на практике, когда у нас есть две силы , которые нужно сложить вместе, они часто действуют в одной и той же точке .
По этой причине мы обычно рисуем схему немного иначе, чтобы это выглядело более похоже на ситуацию который применяется.
Сначала представьте, что перемещаете стрелку, представляющую F 2 как показано здесь.
Теперь мы завершаем параллелограмм вокруг сил (эта диаграмма часто называют… угадайте что … да, параллелограмм силы!)
Теперь величина результирующей силы определяется путем измерения длина диагонали параллелограмма.
Это, конечно, дает тот же результат, что и метод треугольника, но имеет то преимущество, что немного больше похоже на практическую ситуацию, к которой он относится.

Сложение и вычитание векторов графически

Сложение и вычитание векторов

Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы можно складывать друг с другом. Поскольку векторы представляют собой графические визуализации, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.

Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту».Для начала нарисуйте набор осей координат. Затем нарисуйте первый вектор с его хвостом (основанием) в начале координат осей. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение коммутативно, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, — это тот, который вы вычитаете из . Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (сторона стрелки). Продолжайте помещать каждый вектор в начало предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут объединены.Наконец, проведите прямую линию от начала координат до головы последнего вектора в цепочке. Эта новая линия является векторным результатом сложения этих векторов вместе.

Графическое сложение векторов

Метод сложения векторов «голова к хвосту» требует, чтобы вы расположили первый вектор вдоль набора осей координат. Затем поместите хвост следующего вектора на голову первого. Нарисуйте новый вектор от начала до конца последнего вектора. Этот новый вектор представляет собой сумму двух исходных.

Метод вычитания векторов аналогичен. Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, — это тот, из которого нужно вычесть. Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так, как если бы добавляли напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как будто складывая. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову на место хвоста, а хвост на место головы.

Как решать задачи кинематики: руководство по векторам

Эта статья является третьей главой в серии о том, как понимать и подходить к задачам кинематики.Первая глава посвящена положению, скорости и ускорению. Вторая глава посвящена решению кинематики в одном измерении. Теперь мы собираемся сделать небольшой крюк в векторную страну, чтобы подготовиться к рассмотрению кинематики в двух (и даже трех) измерениях.

Что такое вектор?

Есть много способов думать о векторах, но основное определение — это величина (число) и направление. Итак, «четыре метра к востоку» — это просто вектор в словесной форме. Вы также можете думать о векторе как о стрелке; он указывает на определенное расстояние в определенном направлении.

Все это векторы, причем красивые векторы.

Добавление векторов

Сложение векторов не работает так же, как сложение чисел. Мы не можем просто суммировать величины (это распространенная ошибка), потому что это не учитывает направление. В конце концов, если вы пройдете 8 метров на восток, а затем на 5 метров на запад, вы не окажетесь на расстоянии 13 метров от того места, откуда начали; вам было бы всего 3 года (мы видели вариант этой идеи в главе 1, посвященной смещению)

При сложении векторов вместо суммирования величин мы наклеиваем один на конец другого и смотрим, где они заканчиваются.

Итак, если я хочу добавить этот вектор к этому вектору

Я могу склеить их вместе, чтобы получить:

Мы называем красный вектор «результирующим», потому что это вектор, полученный в результате сложения двух векторов вместе

Векторные компоненты

Чтобы прояснить векторы, мы часто записываем их как сумму их «компонентов». Каждый компонент сообщает, как далеко уходят векторы в определенном направлении.Обычно согласованный набор направлений составляет x̂, ŷ , . В книгах по физике эти направления иногда называются î , ĵ , , потому что они глупы (на самом деле, это делается для упрощения векторных полей, когда вещи становятся более продвинутыми).

Почему это работает? Векторное сложение! Поскольку векторы складываются, мы можем думать о каждом векторе как о сумме 2 (в 2-D) или 3 (в 3-D) векторов, которые движутся только в направлениях x, y или z.

Выписка компонентов

Есть много способов выписать компоненты.обозначает единичный вектор, который является просто вектором, который указывает в определенном направлении (например, x̂ точек в направлении x) и имеет длину, равную единице. Умножая этот единичный вектор на число, вы создаете более длинный вектор в том же направлении.

Нахождение компонентов вектора

Допустим, вы получили вектор с определенной величиной и углом от горизонтали (также известный как ось x) и хотите найти составляющие векторы. Это очень распространено в кинематике и за ее пределами, но как это сделать? Ответ тот же, что и у любой успешной фолк-рок-группы: правильное использование треугольников.

Помните, как мы разделили вектор на компоненты? Вы могли заметить, что компоненты и исходный вектор образовали прямоугольный треугольник. Это связано с тем, что оси x и y по определению всегда расположены на 90 ° друг от друга. Вы также можете вспомнить из геометрии, что если у нас есть угол и гипотенуза для прямоугольного треугольника, то мы можем найти другие стороны (называемые катетами), используя SOH-CAH-TOA.

Краткий обзор SOH-CAH-TOA

Вы можете найти более подробные обзоры в Интернете, но основная идея SOH-CAH-TOA заключается в том, что синус угла равен стороне, противоположной углу, деленной на гипотенузу (таким образом, S = O / H или SOH) .Точно так же косинус равен смежной стороне над гипотенузой (C = A / H), а касательная равна противоположной стороне над смежной стороной (T = O / A). Используя это, легко доказать, что вертикальный отрезок, направление y, нашего составного треугольника будет гипотенузой * sin (угол). Или, поскольку гипотенуза — это наш исходный вектор, величина вектора * sin (угол). Аналогично, направление x будет просто величиной вектора * cos (угол).

Пример: Поиск компонентов вектора

У меня есть вектор величиной 5 метров, который направлен вверх и вправо под углом 37 градусов от оси x.Я хочу знать форму компонента. Давай поработаем над этим.

Шагов:

  1. Нарисуйте вектор.
  2. Добавьте ножки треугольника.
  3. Math

    Y-направление = величина * sin (угол) = 5 метров * sin (37) = 3 метра

    x-direction = величина * cos (угол) = 5 метров * cos (37) = 4 метра

  4. Подставьте решения в определение вектора

    Vector = 3x̂ + 4 ŷ

    Tada, easy as π!

Определение величины и направления с помощью компонентов

Иногда вам могут быть даны компоненты вектора и вы хотите найти общую величину и угловое направление этого вектора.Опять же, на помощь приходят треугольники.

Величину вектора легко вычислить с помощью теоремы Пифагора. Из теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 , поэтому, когда мы применим это к векторам:

(величина вектора) 2 = (x-составляющая) 2 + (y-составляющая) 2 .

Чтобы найти угловое направление вектора, мы можем использовать арктангенс. Поскольку касательная равна противоположной стороне по соседней стороне (T = O / A):

tan (угол вектора) = (y-компонента) / (x-component)

Затем используйте функцию invtan на вашем калькуляторе, чтобы найти обратную величину касательной, которая дает вам угол.

Добавление векторов с компонентами

Самое лучшее в векторных компонентах — это то, что они упрощают добавление векторов. Пока наши компоненты x, y и z различны, мы можем просто добавлять компоненты. Таким образом, если V 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) и V 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ), то вектор их сумма равна V 1 + V 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).Когда у вас есть этот новый вектор, вы можете использовать предыдущий раздел, чтобы найти величину и угловое направление.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *