Как производится сложение двух или нескольких векторов: Правило параллелограмма. Законы сложения векторов — урок. Геометрия, 9 класс. — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Комментарии преподавателя

Отметим, что сложение векторов производится аналогично планиметрии, только все действия выполняются в пространстве.

Итак, пусть заданы два произвольных вектора в пространстве (рис. 1):

Рис. 1. Произвольные векторы в пространстве

Определим, что же называется суммой двух этих векторов.

Точно так же, как в планиметрии, из любой удобной точки, назовем ее точкой А, можно единственным образом отложить вектор, равный вектору . Напомним, что заданные векторы, как и любые другие, свободны, важно лишь направление и длина, сам вектор можно параллельно переносить в любое место как на плоскости, так и в пространстве. Так, мы получили вектор – в результате действия вектора точка А переместилась в точку В. Теперь из точки В откладываем единственно возможным образом вектор , получаем вектор – так, в результате действия вектора точка В переместилась в точку С. В результате точка А переместилась в точку С, получен вектор , который и называется суммой векторов и (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух векторов в пространстве

Так, получено правило треугольника для сложения векторов в пространстве.

Правило треугольника

Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.

Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.

Определение

Разностью двух векторов называется такой третий вектор, который, будучи сложенным со вторым вектором, даст первый вектор.

Введем разность векторов и , для этого сложим вектор с противоположным вектором :

Итак, из произвольной точки А откладываем вектор , получаем точку В. Чтобы получить вектор мы строим вектор, равный вектору по длине, но противонаправленный. Полученный вектор откладываем из точки В – получаем точку D. Вектор и будет искомым вектором разности.

Проиллюстрируем (рис. 3):

Рис. 3. Вычитание двух векторов в пространстве

Построим на заданных векторах и параллелограмм (рис. 4):

Рис. 4. Параллелограмм на двух заданных векторах

Т. к. вектор ; аналогично .

По правилу треугольника:

Так, одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов.

Рассмотрим разность векторов. По правилу треугольника:

Так, вторая диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует разности этих векторов.

Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы и :

Рис. 5. Три вектора в пространстве

Необходимо построить вектор .

Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы и . Вектор сонаправлен с вектором , длина его в три раза больше. Вектор противонаправлен вектору , длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):

Рис. 6. Умножение вектора на число

Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор – получаем точку С. Из точки С откладываем вектор – получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор соответствует искомому вектору :

Рис. 7. Сложение векторов по правилу многоугольника

Задача 1:

Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:

Рис. 8. Тетраэдр, задача 1

Решение:

По правилу треугольника:

Аналогично:

, ч. т. д.

По правилу треугольника:

Аналогично: , ч. т. д.

Задача 2

Упростить выражение:

Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: , ее значение очевидно:

Проиллюстрируем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух векторов

Теперь сократим противоположные векторы:

Можно было сразу заметить:

В результате упрощения получено:

Итак, мы ввели операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число в стереометрии, отметили, что операции аналогичны таким же для планиметрии. Кроме того, решили несколько задач, базирующихся на описанных операциях.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo

http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0

http://www.youtube.com/watch?v=sKCfeWlmsLk

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt3.jpg

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2364/7703/4155

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt4.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/143950352.jpg?1445058118

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

Сложение — вектор — скорость

Cтраница 1

Сложение векторов скорости по данной формуле проводится последовательно но правилу параллелограмма. [1]

На рис. 89, б показана диаграмма сложения векторов скорости. Курс вертолета должен пролегать западнее меридиана под углом 15 к нему. [2]

Переправа через реку, скорость течения которой всюду равна v.| Сложение скоростей при переправе через реку.| Сложение скоростей при переправе поперек реки. [3]

Эту задачу легко решить и не прибегая к сложению векторов скоростей. [4]

Действие ветра на звук многосторонне, но прежде всего мы поговорим о сложении векторов скорости. На рис. 32 показан случай, когда звуковая волна бежит под небольшим углом к направлению ветра; результирующее направление распространения и скорость волны определяются по правилу параллелограмма. Другое действие ветра на распространение звука связано с тем, что скорость ветра у поверхности земли меньше, чем в более высоких слоях атмосферы. [5]

Скорость и ускорение — векторы, связанные с материальной точкой, движение которой они характеризуют. Сложение векторов скоростей материальной точки, участвующей в нескольких движениях, а также ее ускорений производится геометрически, как указано в § В. [6]

Измерительный участок является важнейшим элементом счетчика, обеспечивающим высокие метрологические характеристики счетчика. В измерительном участке происходит сложение векторов скоростей потока газа и распространения ультразвуковых сигналов. Для каждого типоразмера счетчика нормированы его геометрические размеры — внутренний диаметр D и расстояние L между торцами ПЭП. Обеспечение высокой повторяемости этих параметров является особенно важным при серийном производстве счетчиков. [7]

В этих, а также в механических форсунках воздух, необходимый для сгорания ( вторичный воздух), поступает через фурмы вследствие разрежения или чаще всего подается под некоторым давлением 500 — 1000 н / м2 ( 50 — 100 мм вод. ст.) вентилятором через завихривающие регистры. В последнем случае появляется дополнительный фактор распыления, поскольку можно достичь

сложения векторов скоростей распылителя и вторичного воздуха.

[8]

Переправа через реку, скорость течения которой всюду равна v.| Сложение скоростей при переправе через реку.| Сложение скоростей при переправе поперек реки. [9]

Однако уже при небольшом усложнении условия задачи становятся отчетливо видны преимущества первого способа, основанного на

сложении векторов скоростей. [10]

План скоростей диады с одним внешним шарниром.| Диада с одним внутренним шарниром. [11]

Точно так же введем две условные направляющие для группы ( рис. 4.15), имеющей один внутренний шарнир. В относительно двух условных направляющих, написать два уравнения, позволяющих определить ее скорость. При сложении векторов скоростей для двух последних видов двухповодко-вых групп нужно иметь в виду, что скорости относительного движения параллельны соответствующим направляющим.

[12]

План скоростей диады с одним внешним шарниром.| План скоростей. [13]

Точно так же введем две условные направляющие для группы ( рис. 4.15), имеющей один внутренний шарнир. Это дает возможность, рассматривая движение точки В относительно двух условных направляющих, написать два уравнения, позволяющие определить ее скорость. При сложении векторов скоростей для двух последних видов двухповодко-вых групп нужно иметь в виду, что скорости относительного движения параллельны соответствующим направляющим. [14]

Страницы: 1

Объяснение урока: Сложение векторов | Nagwa

В этом объяснении мы узнаем, как сложить два или более вектора в двух измерениях, используя как графические, так и алгебраические методы.

Напомним, что вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление.

В приведенной ниже сетке показаны два вектора, обозначенные стрелками.

Величина каждого вектора представлена длиной каждой стрелки. Две стрелки, показанные на диаграмме, имеют имеет одинаковую длину из четырех квадратов сетки, поэтому два вектора имеют одинаковую величину

. Однако они указывают в разных направлениях . Синий вектор указывает вдоль оси 𝑥, а красный вектор указывает вдоль оси 𝑦.

На приведенной ниже сетке показаны два разных вектора.

И зеленый вектор, и оранжевый вектор указывают в одном и том же направлении , но имеют различных длин . Оранжевый вектор имеет длину 3 квадрата сетки, а зеленый вектор имеет длину 6 квадратов сетки.

В этом эксплейнере символ вектора будет написан с полустрелкой сверху, например, ⃑𝐴. В других средах вы можете увидеть векторы, обозначенные по-разному, например, полужирным шрифтом типа A.

Теперь посмотрите на два вектора, показанные на сетке ниже.

Каким будет результат сложения векторов ⃑𝐴 и ⃑𝐵? Мы можем решить это, просто используя диаграмму.

Представьте себе движущийся вектор ⃑𝐵 так, что «хвост» стрелки (конец без наконечника стрелки) находится в той же точке сетки, что и «конец» стрелки (конец со стрелкой ), который представляет вектор ⃑𝐴. Это показано на диаграмме ниже.

Обратите внимание, что длина и направление вектора ⃑𝐵 не изменились. Это просто было , переведенное в по сети. Сумма двух векторов теперь задается вектором ⃑𝑉, который идет от «хвоста» вектора ⃑𝐴 к «концу» вектора ⃑𝐵, как показано пурпурной стрелкой на диаграмме ниже.

Мы могли бы сделать это и наоборот. Мы могли бы переместить хвост ⃑𝐴 на вершину вектора ⃑𝐵 и получить тот же результат, как показано ниже.

При добавлении векторов с помощью этого метода не имеет значения, в каком порядке мы их добавляем, пока мы размещаем векторы от кончика к хвосту, не изменяя длину или направление каждого вектора.

Мы также можем использовать этот метод, чтобы сложить больше , чем два вектора вместе. На диаграмме ниже показаны три вектора на сетке.

Мы можем найти сумму трех векторов ⃑𝑉, разместив их кончик к хвосту, как показано ниже.

Результирующий вектор ⃑𝑉 всегда идет от хвоста первого вектора к вершине последнего вектора. Этот метод можно использовать для добавления любого количества векторов.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример 1. Графическое сложение двух векторов

Какой из векторов ⃑𝑃, ⃑𝑄, ⃑𝑅, ⃑𝑆 и ⃑𝑇, показанных на диаграмме, равен ⃑𝐴+⃑𝐵?

Ответ

Начнем с того, что перерисуем диаграмму, выделив векторы ⃑𝐴 и ⃑𝐵 и затенив остальные.

Мы можем найти сумму ⃑𝐴 и ⃑𝐵 графически, переместив вектор ⃑𝐵 так, чтобы «хвост» стрелки оказался на «кончике» стрелки, представляющей вектор ⃑𝐴. Это показано ниже.

Результирующий вектор — это вектор, идущий от конца вектора ⃑𝐴 к вершине вектора ⃑𝐵, который является вектором ⃑𝑄.

Пример 2. Графическое сложение трех векторов

Какой из векторов ⃑𝑃, ⃑𝑄, ⃑𝑅, ⃑𝑆 и ⃑𝑇, показанных на диаграмме, равен ⃑𝐴+⃑𝐵+⃑𝐶?

Ответ

Начнем с того, что перерисуем диаграмму, выделив векторы ⃑𝐴, ⃑𝐵 и ⃑𝐶 и затенив остальные.

Мы можем найти сумму ⃑𝐴, ⃑𝐵 и ⃑𝐶 графически, перемещая векторы ⃑𝐵 и ⃑𝐶 так, чтобы «хвосты» каждой стрелки находились на «кончиках» каждой предыдущей стрелки. Это показано ниже.

Результирующий вектор — это вектор, идущий от конца вектора ⃑𝐴 к вершине вектора ⃑𝐶, который является вектором ⃑𝑄.

Напомним, что мы также можем представлять векторы алгебраически. На диаграмме ниже вектор ⃑𝐴 можно записать как 2⃑𝑖+3⃑𝑗, где ⃑𝑖 и ⃑𝑗 — единичных векторов . Единичный вектор — это вектор длины 1, который указывает вдоль одной из осей. Единичный вектор ⃑𝑖 указывает вдоль оси 𝑥, а единичный вектор ⃑𝑗 указывает вдоль оси 𝑦. Горизонтальная составляющая ⃑𝐴 имеет длину 2 квадрата сетки, поэтому ее горизонтальная составляющая может быть описана как 2⃑𝑖, или «удвоенный единичный вектор вдоль оси 𝑥». Вертикальная составляющая ⃑𝐴 имеет длину в 3 квадрата сетки, поэтому ее вертикальная составляющая может быть описана как 3⃑𝑗, или «тройной единичный вектор вдоль оси 𝑦». Таким образом, вектор ⃑𝐴=2⃑𝑖+3⃑𝑗.

Если мы знаем, каковы горизонтальные и вертикальные компоненты двух или более векторов, мы можем алгебраически найти сумму этих векторов.

На приведенной ниже диаграмме показаны два вектора.

Из диаграммы видно, что вектор ⃑𝐴 имеет длину 4 квадрата сетки в 𝑥-направлении и 1 квадрат сетки в 𝑦-направлении. Вектор ⃑𝐵 имеет длину 3 квадрата сетки в 𝑥-направлении и 3 квадрата сетки в 𝑦-направлении. Мы можем записать это как ⃑𝐴=4⃑𝑖+1⃑𝑗,⃑𝐵=3⃑𝑖+3⃑𝑗.

Чтобы найти, что такое ⃑𝐴+⃑𝐵, мы просто добавляем каждую из 𝑥-компонент и каждую из 𝑦-компонент, что дает нам ⃑𝐴+⃑𝐵=(4+3)⃑𝑖+(1+3)⃑𝑗⃑𝐴+⃑𝐵=7⃑𝑖+4⃑𝑗.

Обратите внимание, что если перед одним из компонентов вектора стоит знак минус, мы должны включать этот знак при сложении 𝑥- и 𝑦-компонентов двух или более векторов вместе. Например, если ⃑𝐴=4⃑𝑖−2⃑𝑗, мы должны думать об этом как о ⃑𝐴=4⃑𝑖+(−2)⃑𝑗. Итак, если бы мы сложили два вектора ⃑𝐴=4⃑𝑖−2⃑𝑗,⃑𝐵=3⃑𝑖+3⃑𝑗, для 𝑦-компонент мы бы добавили −2 и 3, и мы получили бы ⃑𝐴+⃑𝐵=(4+3)⃑𝑖+((−2)+3)⃑𝑗⃑𝐴+⃑𝐵=7⃑𝑖+1⃑𝑗.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров вопросов.

Пример 3. Сложение двух векторов, заданных в компонентной форме

Рассмотрим два вектора ⃑𝐴 и ⃑𝐵, где ⃑𝐴=2⃑𝑖+3⃑𝑗 и ⃑𝐵=7⃑𝑖+5⃑𝑗. Вычислите ⃑𝐴+⃑𝐵.

Ответ

Чтобы найти ⃑𝐴+⃑𝐵, мы должны сложить вместе 𝑥-компоненты каждого вектора и 𝑦-компоненты каждого вектора, поэтому ⃑𝐴+⃑𝐵=(2+7)⃑𝑖+(3+5)⃑𝑗⃑𝐴+⃑𝐵=9⃑𝑖+8⃑𝑗.

Теперь у нас есть сумма этих двух векторов, записанная в компонентной форме.

Пример 4: добавление двух векторов, заданных в форме компонента

Рассмотрим два вектора: ⃑𝐴 и ⃑𝐵. ⃑𝐴=3⃑𝑖−3⃑𝑗 и ⃑𝐵=−4⃑𝑖+9⃑𝑗. Вычислите ⃑𝐴+⃑𝐵.

Ответ

Чтобы найти ⃑𝐴+⃑𝐵, мы должны сложить вместе 𝑥-компоненты каждого вектора и 𝑦-компоненты каждого вектора. Мы не должны забывать включать знаки минус перед числами в нашем расчете. Делая это, мы получаем ⃑𝐴+⃑𝐵=(3+(−4))⃑𝑖+((−3)+9)⃑𝑗⃑𝐴+⃑𝐵=−1⃑𝑖+6⃑𝑗.

Теперь у нас есть сумма этих двух векторов, записанная в компонентной форме.

Мы также можем связать сложение двух векторов графически со сложением двух векторов алгебраически, как в случае следующего примерного вопроса.

Пример 5. Сложение двух векторов, показанных на диаграмме, и получение результата в форме компонента

На диаграмме показаны два вектора: ⃑𝐴 и ⃑𝐵. Квадраты сетки на диаграмме имеют длину стороны 1. Что такое ⃑𝐴+⃑𝐵 в компонентной форме?

Ответ

Есть два подхода к решению этой проблемы.

Первый способ заключается в том, что мы можем сложить векторы графически, а затем найти компоненты результата. На приведенной ниже диаграмме показаны два вектора, сложенные вместе, где вектор ⃑𝐵 перемещается так, что его хвост находится на кончике вектора ⃑𝐴. Вектор ⃑𝑉 является результатом.

Из диаграммы видно, что вектор ⃑𝑉 имеет горизонтальную составляющую −3⃑𝑖 и вертикальную составляющую 5⃑𝑗, поэтому его можно записать как ⃑𝑉=−3⃑𝑖+5⃑𝑗. Это наш ответ.

Второй способ, которым мы могли бы решить это, — просто найти компоненты векторов ⃑𝐴 и ⃑𝐵, а затем сложить вместе 𝑥-компоненты каждого вектора и 𝑦-компоненты каждого вектора. Из исходной схемы мы видим, что ⃑𝐴=2⃑𝑖+4⃑𝑗,⃑𝐵=−5⃑𝑖+1⃑𝑗, так ⃑𝐴+⃑𝐵=(2+(−5))⃑𝑖+(4+1)⃑𝑗⃑𝐴+⃑𝐵=−3⃑𝑖+5⃑𝑗.

Как видите, мы получаем тот же результат. Добавляем ли мы два вектора графически или алгебраически, мы выполняем одну и ту же операцию над векторами.

Ключевые точки

Мы можем добавить два или более вектора графически, поместив каждый из векторов так, чтобы «хвост» каждого вектора располагался на «конце» предыдущего вектора.
Мы можем сложить два или более векторов алгебраически, складывая 𝑥-компоненты каждого вектора вместе и 𝑦-компоненты каждого вектора вместе.
Сложение векторов графически и алгебраически — это два разных способа выполнения одной и той же операции над векторами.

Графические методы – Колледж физики, главы 1-17

3 Двумерная кинематика

Резюме

Понимание правил сложения, вычитания и умножения векторов.
Применять графические методы сложения и вычитания векторов для определения смещения движущихся объектов.

Рисунок 1. Смещение можно определить графически с помощью масштабной карты, такой как карта Гавайских островов. Путешествие с Гавайев на Молокаи состоит из нескольких этапов или сегментов пути. Эти сегменты могут быть добавлены графически с помощью линейки, чтобы определить общее двухмерное перемещение пути. (кредит: Геологическая служба США).

Вектор — это величина, которая имеет величину и направление. Например, перемещение, скорость, ускорение и сила — все это векторы. В одномерном или прямолинейном движении направление вектора может быть задано просто знаком плюс или минус. Однако в двух измерениях (2-d) мы указываем направление вектора относительно некоторой системы отсчета (т. е. системы координат), используя стрелку, длина которой пропорциональна величине вектора и указывает направление вектора.

На рис. 2 показано такое графическое представление вектора на примере полного перемещения человека, идущего по городу, рассмотренного в главе 3. 1 «Кинематика в двух измерениях: введение». Мы будем использовать обозначение, что жирный шрифт, такой как [latex]\textbf{D}[/latex], обозначает вектор. Его величина представлена символом, выделенным курсивом, [латекс]\жирныйсимвол{D},[/латекс], а его направление — [латекс]\жирныйсимвол{\тета}.[/латекс]

ВЕКТОРОВ В ЭТОМ ТЕКСТЕ

В этом тексте мы будем представлять вектор переменной, выделенной жирным шрифтом. Например, мы представим количественную силу вектором[latex]\textbf{F},[/latex], который имеет как величину, так и направление. Величина вектора будет представлена переменной, выделенной курсивом, например [латекс]\жирныйсимвол{F},[/латекс], а направление переменной будет задано углом[латекс]\жирныйсимвол{\тета} .[/латекс]

Рисунок 2. Человек проходит 9 кварталов на восток и 5 кварталов на север. Водоизмещение 10,3 блока под углом 29.1 ^o к северу от востока. Рисунок 3. Чтобы графически описать результирующий вектор для человека, идущего по городу, показанному на рисунке 2, нарисуйте стрелку, представляющую общий вектор смещения D .

С помощью транспортира начертите линию под углом 90 164 θ 90 165 относительно оси восток-запад. Длина D стрелки пропорциональна модулю вектора и измеряется линейкой вдоль линии. В этом примере магнитуда D вектора составляет 10,3 единицы, а направление θ равно 29,1 ^o к северу от востока.

Метод «голова к хвосту» представляет собой графический способ добавления векторов, описанный на рис. 4 ниже и в следующих шагах. Конец вектора является начальной точкой вектора, а наконечник (или кончик) вектора является конечным заостренным концом стрелки.

Рисунок 4. Метод «голова к хвосту»: метод «голова к хвосту» графического сложения векторов проиллюстрирован для двух перемещений человека, идущего по городу, рассмотренному на рисунке 2. (a) Нарисуйте вектор, представляющий перемещение на восток. (b) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на север.

Хвост этого вектора должен исходить из головы первого вектора, указывающего на восток. (c) Проведите линию от хвоста вектора, указывающего на восток, до начала вектора, указывающего на север, чтобы получить сумму или результирующий вектор D . Длина стрелки D пропорциональна модулю вектора и составляет 10,3 единицы. Его направление, описываемое как угол относительно востока (или горизонтальной оси) θ , измеренное с помощью транспортира, равно 29,1 ⁰ .

Шаг 1. Нарисуйте стрелку, представляющую первый вектор (9 блоков на восток), используя линейку и транспортир .

Рис. 5.

Шаг 2. Теперь нарисуйте стрелку, представляющую второй вектор (5 кварталов на север). Поместите конец второго вектора в начало первого вектора .

Рисунок 6.

Шаг 3. Если имеется более двух векторов, продолжайте этот процесс для каждого добавляемого вектора. Обратите внимание, что в нашем примере у нас есть только два вектора, поэтому мы закончили размещение стрелок от начала до конца .

Шаг 4. Проведите стрелку от конца первого вектора к началу последнего вектора . Это результирующее или сумма других векторов.

Рисунок 7.

Шаг 5. Чтобы получить величину равнодействующей, измерьте ее длину линейкой. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать теорему Пифагора для определения этой длины.)

Шаг 6. Чтобы получить направление равнодействующей, измерьте угол, который она образует с системой отсчета, используя транспортир. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать тригонометрические отношения для определения этого угла.)

Точность графического сложения векторов ограничена только точностью, с которой могут быть выполнены чертежи, и точностью измерительных инструментов. Это справедливо для любого количества векторов.

Пример 1. Графическое добавление векторов методом «голова к хвосту»: женщина на прогулке 9о}[/latex]северо-восток. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0° к югу от востока.

Стратегия

Представьте каждый вектор смещения графически со стрелкой, обозначив первый[latex]\textbf{A},[/latex]второй[latex]\textbf{B},[/latex]и третий [latex]\textbf{C},[/latex] делая длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад. Описанный выше метод «голова к хвосту» позволяет определить величину и направление результирующего смещения, обозначаемого[latex]\textbf{R}.[/latex]

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

Рис. 8.

(2) Разместите векторы от начала до конца, сохранив их первоначальную величину и направление.

Рисунок 9.

(3) Нарисуйте результирующий вектор,[latex]\textbf{R}. [/latex]

Рисунок 10.

(4) Используйте линейку для измерения величины[latex]\ textbf{R},[/latex]и транспортир для измерения направления[latex]\textbf{R}.[/latex]Хотя направление вектора можно задать разными способами, проще всего измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх ногами и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором. 9о}[/latex]юго-восток.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результирующая не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем добавлять векторы в любом порядке, как показано на рис. 12, и все равно получим то же решение.

Рисунок 12.

Здесь мы видим, что при сложении одних и тех же векторов в другом порядке результат будет тот же. Эта характеристика верна в любом случае и является важной характеристикой векторов. Сложение векторов равно коммутативный . Векторы можно добавлять в любом порядке.

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}+\textbf{B}=\textbf{B}+\textbf{A}}.[/latex]

(Это верно для сложения обычных чисел как хорошо — вы получите тот же результат, если вы добавите, например, [латекс]\жирныйсимвол{2+3}[/латекс]или [латекс]\жирныйсимвол{3+2},[/латекс]).

Вычитание векторов — это прямое расширение сложения векторов. Чтобы определить вычитание (скажем, мы хотим вычесть [латекс]\textbf{B}[/латекс]из [латекс]\текстбф{А},[/латекс]написанного[латекс]\жирныйсимвол{\текстбф{А}-\текстбф {B}}[/latex], мы должны сначала определить, что мы подразумеваем под вычитанием.0171 отрицательный вектора[latex]\textbf{B}[/latex] определяется как[latex]\boldsymbol{-\textbf{B}};[/latex]то есть графически отрицательный результат любого вектора имеет ту же величину, но в противоположном направлении , как показано на рисунке 13. Другими словами, [latex]\textbf{B}[/latex] имеет ту же длину, что и [latex]\boldsymbol{-\textbf{B}} ,[/latex], но указывает в противоположном направлении. По сути, мы просто переворачиваем вектор так, чтобы он указывал в противоположном направлении.

Рисунок 13. Отрицательное значение вектора — это просто другой вектор той же величины, но направленный в противоположном направлении. Так B является минусом -B ; он имеет ту же длину, но противоположное направление.

Затем вычитание вектора[latex]\textbf{B}[/latex]из vector[latex]\textbf{A}[/latex] просто определяется как сложение [latex]\boldsymbol{ -\textbf{B}}[/latex]to[latex]\textbf{A}.[/latex]Обратите внимание, что вычитание векторов — это добавление отрицательного вектора. Порядок вычитания не влияет на результат.

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}-\textbf{B}=\textbf{A}+(-\textbf{B})}.[/latex]

Это аналогично вычитанию скаляров (где, например, [латекс]\boldsymbol{5-2=5+(-2)}[/латекс]). o}[/latex]к западу от севера). Если женщина совершает ошибку и путешествует в в противоположном направлении для второго этапа поездки, где она окажется? Сравните это место с расположением дока.

Рисунок 14.

Стратегия

Мы можем представить первый этап пути с помощью вектора[latex]\textbf{A},[/latex], а второй этап пути с помощью вектора[latex] \textbf{B}.[/latex]Док расположен в месте[latex]\boldsymbol{\textbf{A}\:+\:\textbf{B}}.[/latex]Если женщина по ошибке путешествует в напротив 9о}[/latex]юго-восток. Мы представляем это как[latex]\boldsymbol{-\textbf{B}},[/latex], как показано ниже. Вектор[latex]\boldsymbol{-\textbf{B}}[/latex] имеет ту же величину, что и [latex]\textbf{B}[/latex], но направлен в противоположном направлении. Таким образом, она окажется в месте [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}+(-\textbf{B})},[/latex]или[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}-\textbf {B}}.[/latex]

Рисунок 15.
Выполним сложение векторов для сравнения расположения дока,[latex]\boldsymbol{\textbf{A}+\textbf{B}},[/ латекс]с местом, куда по ошибке прибыла женщина,[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}+(-\textbf{B})}. [/latex]
Решение
(1) Чтобы определить место, куда случайно попала женщина, нарисуйте векторы[latex]\textbf{A}[/latex]и[latex]\boldsymbol{-\textbf{B}} .[/latex]
(2) Поместите векторы от начала до конца.
(3) Нарисуйте результирующий вектор[latex]\textbf{R}.[/latex]
(4) Используйте линейку и транспортир для измерения величины и направления [latex]\textbf{R}.[/ латекс]
Рисунок 16.
о}[/latex]юго-восток. 9о}[/latex]северо-восток.
Мы видим, что женщина окажется на значительном расстоянии от причала, если она отправится в противоположном направлении на второй этап поездки.
Обсуждение
Поскольку вычитание вектора аналогично сложению вектора с противоположным направлением, графический метод вычитания векторов работает так же, как и сложение.
Если бы мы решили пройти в три раза больше первого этапа пути, рассмотренного в предыдущем примере, то мы бы прошли[latex]\boldsymbol{3 \times 27,5\textbf{ м}},[/latex]или 82,5 м, в направлении[латекс]\boldsymbol{66. o}[/латекс]северо-восток. Это пример умножения вектора на положительное число 9.0164 скаляр . Обратите внимание, что величина меняется, но направление остается прежним.
Если скаляр отрицательный, то умножение вектора на него изменяет величину вектора и дает новому вектору направление , противоположное . Например, если умножить на -2, величина удвоится, но изменится направление. Мы можем обобщить эти правила следующим образом: Когда вектор[латекс]\текстбф{А}[/латекс] умножается на скаляр[латекс]\жирныйсимвол{с},[/латекс]
модуль вектора становится абсолютным значением[latex]\boldsymbol{cA},[/latex]
, если [latex]\boldsymbol{c}[/latex] положительный, направление вектора не меняется,
, если [латекс]\boldsymbol{c}[/латекс]отрицательно, направление меняется на противоположное.
В нашем случае [латекс]\boldsymbol{c=3}[/latex]и[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}=27,5\textbf{м}}.[/latex]Вектора умножаются на скаляры во многих ситуациях. Обратите внимание, что деление является обратным умножению. Например, деление на 2 равносильно умножению на значение (1/2). Правила умножения векторов на скаляры такие же, как и при делении; просто рассматривайте делитель как скаляр между 0 и 1.
В приведенных выше примерах мы добавляли векторы для определения результирующего вектора. Однако во многих случаях нам нужно будет сделать обратное. Нам нужно будет взять один вектор и найти, какие другие векторы, сложенные вместе, дают его. В большинстве случаев это включает определение перпендикулярных компонентов одного вектора, например компонентов x – и y , или компонентов север-юг и восток-запад. 9o}[/latex]к северу от востока и хотите узнать, сколько кварталов нужно было пройти на восток и на север. Этот метод называется нахождением компонентов (или частей) смещения в восточном и северном направлениях, и он является обратным процессу, используемому для нахождения полного смещения. Это один из примеров нахождения компонентов вектора. В физике есть много приложений, где это может оказаться полезным. Мы скоро увидим это в главе 3.4 «Движение снаряда» и многое другое, когда мы рассмотрим 9.0164 заставляет в главе 4 Динамика: законы движения Ньютона. Большинство из них включают поиск компонентов вдоль перпендикулярных осей (например, север и восток), так что задействованы прямоугольные треугольники. Аналитические методы, представленные в главе 3.3 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы, идеально подходят для нахождения компонент вектора.
PHET EXPLORATIONS: MAZE GAME
Узнайте о положении, скорости и ускорении на «Арене боли». Используйте зеленую стрелку, чтобы переместить мяч. Добавьте больше стен на арену, чтобы усложнить игру. Постарайтесь достичь цели как можно быстрее.
Рисунок 18. Игра «Лабиринт»
Графический метод сложения векторов [latex]\textbf{A}[/latex]и[latex]\textbf{B}[/latex] включает в себя рисование векторов на графике и их сложение с использованием прямой метод хвоста. Результирующий вектор[latex]\textbf{R}[/latex] определяется таким образом, что[latex]\boldsymbol{\textbf{A}+\textbf{B}=\textbf{R}}.[/latex]Величина и направление[latex]\textbf{R}[/latex] затем определяются с помощью линейки и транспортира соответственно.
графический метод вычитания вектора [latex]\textbf{B}[/latex]из [latex]\textbf{A}[/latex] включает добавление противоположного вектора[latex]\textbf{B},[/latex ] который определяется как [латекс]\boldsymbol{-\textbf{B}}.[/latex]В этом случае [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}-\textbf{B}=\textbf{A} +(-\textbf{B})=\textbf{R}}.[/latex]Затем обычным методом сложения головы к хвосту получается результирующий вектор[latex]\textbf{R }.[/латекс]
Сложение векторов коммутативно , так что [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}+\textbf{B}=\textbf{B}+\textbf{A}}.[/latex]
Метод «голова к хвосту» сложения векторов включает рисование первого вектора на графике, а затем размещение хвоста каждого последующего вектора в начале предыдущего вектора.