В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Таким образом, получаем следующую теорему.

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.

Правила сложение векторов по физике

Тестирование онлайн

Вектор

Вектор – это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало – точка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c – это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение – в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: s_x=x-x_{, на ось ОУ: sy=y-y.}

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма – сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов – это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + >
ight) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec – vec = vec <0>)

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec <0>
ight| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec – vec = left( <– , – , – >
ight) )

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrow
ight|=left|k
ight||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Векторы можно складывать способом параллелограмма и способом многоугольника.

Сложение векторов способом параллелограмма: сумма двух векторов а и Ъ, направленных под углом а (рис. 1.1, а), равна диагонали параллелограмма, сторонами которого являются складываемые векторы (т. е. векторы складываются геометрически).

С помощью символов эта операция записывается так: а + Ь = с.

При сложении этих векторов можно пользоваться правилом «треугольника». В этом случае к концу одного вектора приставляют начало второго (порядок сложения векторов не существен), тогда их суммой будет вектор с, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго вектора (рис. 1.2, б).

Длину вектора суммы (его модуль) определяют по теореме косинусов (рис. 1.2):

А= tJo 2 +b 2 -2abcos(180-a) = %/a 2 +b 2 + 2abcosa,

где a — угол между векторами а и Б.

Сложение векторов способом многоугольника (чаще применяется при сложении трех и более векторов): к концу первого вектора а приставляют начало второго Б, к концу второго — начало третьего сит. д., тогда результирующий вектор ё представляет собой направленный отрезок, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последне-

го d (рис. 1.3). Результирующий вектор ё не зависит от последовательности, в котором складываются заданные векторы.

Вычитание векторов — действие, обратное сложению векторов. Действительно, разность векторов а и Б можно представить как с = а -Ь = а + (-Б), т. е. для нахождения вектора разности необходимо сложить два вектора d и -Б, где -Б — противоположный вектор (рис. 1.4, а).

Другое правило вычитания векторов: чтобы произвести вычитание векторов а и Б (рис. 1.4, б), нужно совместить их начала и провести результирующий вектор с = а – Б из конца вычитаемого вектора – Б в конец уменьшаемого вектора а.

Как складывать векторы

Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:

• параллельно,
• не параллельно.

Складываем параллельные векторы

Если векторы параллельны, складывать так:

• А) К концу первого вектора приложить начало второго вектора
• Б) из начала первого вектора к концу второго вектора провести новый вектор

Рис. 1. Складываем параллельные векторы

\( \vec{a} + \vec{c} = \vec{g} \)

Примечание:

В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.

Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.

Это можно пояснить так:

• сложив два числа 3 и 4 получим только одно решение (3 + 4 = 7).
• складывая два вектора с длинами 3 и 4, можно в результате получить вектор, длина которого лежит в диапазоне от «1» до «7».

1. Если векторы, которые складываем, были направлены в противоположные стороны, получим вектор, длина которого равняется единице.
2. А если векторы были сонаправленными – то длина результирующего вектора будет равна семи.
3. Ну а, если векторы были препендикулярными, то конечный вектор будет иметь длину, равную пяти.

Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.

Рис. 2. Складываем параллельные противоположно направленные векторы

\( \vec{a} + \vec{s} = \vec{w} \)

Складываем не параллельные векторы

Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:

1. правило треугольника;
2. правило параллелограмма;

Рис. 3. Не параллельные векторы

Примечание:

Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).

Правило треугольника

К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Рис. 4. Располагаем не параллельные векторы, чтобы сложить их по правилу треугольника

Из свободного начала к свободному концу провести вектор

Рис. 5. Складываем не параллельные векторы по правилу треугольника

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

Правило параллелограмма

Совместить начала векторов

Рис. 6. Совмещаем начала не параллельных векторов, чтобы сложить их по правилу параллелограмма

Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм

Рис. 7. Достраиваем пунктирами параллелограмм, чтобы сложить векторы

Из точки, в которой находятся начала провести диагональ

Рис. 8. Проводим диагональ параллелограмма, чтобы сложить векторы

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

Как вычитать векторы

Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.

Вектор «\( -\vec{b} \)» — это вектор «\( \vec{b} \)», развернутый в противоположную сторону.

Рис. 9. Вектор и противоположно направленный ему вектор

Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.

Ведь \( \vec{a}-\vec{b} \) то же, что и \( \vec{a}+ \left(-\vec{b} \right)\).

Рис. 10. Складываем вектор «a» и противоположно направленный вектор «-b»

\( \vec{a} + \left(-\vec{b} \right) = \vec{g} \)

Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты

Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.

\( \vec{a} = \left\{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} ;\right\} \)

\( \vec{b} = \left\{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} ;\right\} \)

Рассмотрим примеры:

1. Сложение.

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

\( \vec{c} = \left\{ a_{x}+ b_{x} ; a_{y}+ b_{y} ; a_{z} + b_{z} \right\} \)

2. Вычитание.

\( \vec{a} — \vec{b} = \vec{d} \)

\( \vec{d} = \left\{ a_{x}- b_{x} ; a_{y}- b_{y} ; a_{z} — b_{z} \right\} \)

Примеры сложения векторов в физике

Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.

Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
\( \vec{v} = \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \)

Скорость \( \vec{v} \)измеряют в метрах деленых на секунду, а ускорение \( \vec{a} \) – в метрах, деленых на секунду в квадрате.
Размерность векторов \( \vec{v} \) и \( \vec{a} \) отличается. Значит, выполнять математические действия совместно над ними нельзя.

Если преобразовать вектор \( \vec{a} \) ускорения так, что он получит размерность скорости, тогда можно будет складывать его с вектором скорости.
Чтобы из размерности ускорения получить метры, деленные на секунду, нужно размерность ускорения домножить на секунду.

Поэтому, в формулу для равноускоренного движения входит \( \vec{a} \cdot t \) — ускорение, домноженное на время.
Теперь векторы \( \vec{v_{0}} \) и \( \vec{a} \cdot t \) имеют одинаковую размерность и их можно складывать, или вычитать.

Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).
— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).

Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.

Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость \( \vec{v} \), начальная скорость \( \vec{v_{0}} \) и ускорение \( \vec{a} \) могут иметь различные направления.

Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула \( \vec{v} = \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \) записана в векторном виде.

Операции над векторами в numpy. Анализ данных. Евгений Зятев

Рассмотрим некоторые общие функции линейной алгебры и их применение на чистом Python и numpy. Все примеры — на Jupyter Notebook.

Списки в Python не являются векторами, по умолчанию над ними нельзя производить поэлементные операции.

В Python необходимо определять собственные функции, чтобы оперировать списками как векторами. Для сравнения: в numpy для аналогичных операций достаточно одной строки кода.

Сложение векторов

In [1]:

python_list_1 = [40, 50, 60]
python_list_2 = [10, 20, 30]
python_list_3 = [35, 5, 40]

# Ожидаемый результат сложения векторов: [50, 70, 90]
# Но операция сложения двух списков возвращает объединенный список

added_list = python_list_1 + python_list_2
added_list

Out[1]:

In [2]:

def add_vectors(v, w):
    return [vi + wi for vi, wi in zip(v, w)]

def sum_of_all_vectors(vecs):
    return reduce(add_vectors, vecs)

In [3]:

add_vectors(python_list_1, python_list_2)

Out[3]:

In [4]:

sum_of_all_vectors([python_list_1, python_list_2, python_list_3])

Out[4]:

Но, конечно, в numpy это можно сделать с помощью оператора + на numpy-массивах или с помощью метода sum().

In [5]:

import numpy as np
numpy_array_1 = np.array([40, 50, 60])
numpy_array_2 = np.array([10, 20, 30])
numpy_array_3 = np.array([35, 5, 40])

numpy_array_1 + numpy_array_2

Out[5]:

In [6]:

np.sum([numpy_array_1, numpy_array_2, numpy_array_3])

Out[6]:

Вычитание векторов

In [7]:

def subtract_vectors(v, w):
    return [vi - wi for vi, wi in zip(v, w)]

In [8]:

# [40 - 35, 50 - 5, 60 - 40]
subtract_vectors(python_list_1, python_list_3)

Out[8]:

In [9]:

numpy_array_1 - numpy_array_3

Out[9]:

Скалярное умножение

In [10]:

def scalar_multiply(c, v):
    return [c * vi for vi in v]

In [11]:

scalar_multiply(10, python_list_1)

Out[11]:

In [12]:

Out[12]:

Среднее значение вектора

In [13]:

def vector_mean(vecs):
    n = len(vecs)
    return scalar_multiply(1/float(n), sum_of_all_vectors(vecs))

In [14]:

vector_mean([python_list_1, python_list_2, python_list_3])

Out[14]:

[28.333333333333332, 25.0, 43.33333333333333]

In [15]:

np.mean([numpy_array_1, numpy_array_2, numpy_array_3], axis=0)

Out[15]:

array([ 28.33333333,  25.        ,  43.33333333])

Скалярное произведение

In [16]:

def dot_product(v, w):
    """v1 * w1 + .. + vn * wn"""
    return sum(vi * wi for vi, wi in zip(v, w))

In [17]:

dot_product(python_list_1, python_list_2)

Out[17]:

In [18]:

np.sum(numpy_array_1 * numpy_array_2)

Out[18]:

Сумма квадратов

In [19]:

def sum_of_squares(v):
    """ v1 * v1 + v2 * v2 ... + vn * vn"""
    # или return dot_product(v, v)
    return sum(vi ** 2 for vi in v)

In [20]:

sum_of_squares(python_list_1)

Out[20]:

In [21]:

np.sum(numpy_array_1 ** 2)

Out[21]:

Величина вектора

In [22]:

import math

def magnitude(v):
    return math.sqrt(sum_of_squares(v))

In [23]:

Out[23]:

In [24]:

np.linalg.norm(numpy_array_1)

Out[24]:

Расстояние между двумя векторами

In [25]:

# sqrt((v1 - w1) **2 + ... + (vn - wn) ** 2)

In [26]:

def distance(v, w):
    return magnitude(subtract_vectors(v, w))

In [27]:

distance(python_list_1, python_list_2)

Out[27]:

In [28]:

np.linalg.norm(numpy_array_1 - numpy_array_2)

Out[28]:

На заметку

В ряде рассмотренных примеров используется sum(). Чем отличается встроенная Python-функция sum() от numpy.sum()? Например тем, что numpy.sum() быстрее обрабатывает numpy-массивы, но медленнее Python-списки.

Проверим в Python 2.7.2 и Numpy 1.6.1:

import numpy as np
import timeit

x = range(1000)
# or 
#x = np.random.standard_normal(1000)

def pure_sum():
    return sum(x)

def numpy_sum():
    return np.sum(x)

n = 10000

t1 = timeit.timeit(pure_sum, number = n)
print 'Pure Python Sum:', t1
t2 = timeit.timeit(numpy_sum, number = n)
print 'Numpy Sum:', t2

Результат при x = range(1000):

Pure Python Sum: 0.445913167735
Numpy Sum: 8.54926219673

Результат при x = np.random.standard_normal(1000):

Pure Python Sum: 12.1442425643
Numpy Sum: 0.303303771848

Согласитесь, имеет смысл учитывать контекст использования.

В основе статьи — материал Бена Алекса Кина. Мой небольшой вклад — перевод, идиоматический код numpy-примеров и дополнительные пояснения.

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

Рассмотрим следующий рисунок:

Рисунок 2.

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OC}$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OB}$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

Так как векторы $\overrightarrow{OP_2}$ и $\overrightarrow{OA}$ коллинеарны, то

Так как векторы $\overrightarrow{P_2P_1}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то

Так как векторы $\overrightarrow{P_1P}$ и $\overrightarrow{OC}$ коллинеарны, то

Тогда, получаем, что

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $\overrightarrow{p}$ по векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$:

Вычтем эти разложения друг из друга

Из этого получаем

Следовательно

Теорема доказана.

Графическое сложение и вычитание векторов

Физика > Графическое добавление и вычитание векторов

Векторы можно добавлять и отнимать на графике при помощи прикладывания их к концам осей.

Задача обучения

• Научиться разбираться в процессе сложения и вычитания векторов на графике.

Основные пункты

• Чтобы добавить вектор, приложите первый набор осей с концом вначале координат. Отправьте вектор в голову предыдущего вектора. Когда закончите, проведите прямую линию от начала координат к голове последнего вектора. Эта линия отображает сумму векторов.
• Чтобы отнять векторы, проделайте все с предыдущего пункта, но переверните вектор, который собираетесь убрать по осям, а затем прибавьте его к голове.
• Сложение или вычитание предоставляет результирующий вектор.

Термины

• Начало – центр координатной оси, отображенный как 0 по всем осям.
• Оси координат – набор перпендикулярных линий, отображающих координаты с горизонтальным и вертикальным положениями.

Пример

В методе векторного сложения от головы до хвоста необходимо поставить первый вектор вдоль набора осей координат. Затем добавьте хвост следующего к голове первого. Нарисуйте новый вектор от начала координат к голове последнего. Этот новый вектор выступает суммой двух изначальных.

Добавление и вычитание векторов

Анализировать физические величины проще всего через добавление векторов. Так как это графические визуализации, то и операции с ними можно проводить прямо на графике.

Добавление часто называют «голова-хвост». Главное следовать правилам сложения векторов. Все начинается с изображения набора осей координат. Далее вычеркните первый вектор с хвостом (базой) в начале системы координат. Если добавляете, то неважно, какой вектор отобразите первым, но для отнимания проверьте, чтобы первый вектор был изначальным.

Дальше нужно нарисовать следующий вектор так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего (со стороны стрелки). Продолжайте повторять это с каждым вектором, пока они все не объединятся. В итоге, проведите прямую линию от начала координат к голове последнего вектора. Вы получили векторную сумму.

Важно выложить первый вектор вдоль набора оси координат. Далее поставьте хвост следующего к голове первого. Изобразите новый вектор от начала координат к голове последнего. Получившаяся линия отображает общую сумму

В случае с правилом вычитания векторов схема та же. Проверьте, что первый вектор выступает тем, от которого нужно отнимать. Далее добавляйте векторы, но обратной стороной. То есть, переверните вычитаемый вектор относительно осей и присоедините хвост к голове. Чтобы сделать переворот, определите голову туда, где располагался хвост, а хвост поставьте на место головы.

Вычитание векторов — объяснения и примеры

Между скалярами и векторами есть много параллелей, и вычитание векторов не исключение. В частности, вычитание вектора:

«Сложение вектора с отрицательным значением другого вектора».

Из приведенного выше определения ясно, что вычитание вектора означает просто сложение отрицательных векторов. Поэтому перед обучением вычитанию векторов важно просмотреть отрицательные векторы.

Как известно, отрицательный вектор получается умножением заданного вектора на -1. Это меняет направление вектора на противоположное.

Допустим, — вектор, указывающий слева направо. Умножение вектора A на -1 дает нам -A, , который является отрицательным вектором A. Хотя величина двух векторов A и — A останется прежней, отрицательный вектор — A будет указывать справа налево.

В этом разделе мы дополнительно обсудим следующие аспекты вычитания векторов:

• Как вычесть векторы
• Вычитание векторов графически

Как вычесть векторы

Мы знаем, что два вектора, A и B , можно сложить вместе с помощью сложения векторов, а результирующий вектор можно записать как R = A + B .Точно так же, если мы хотим вычесть два вектора, A и B математически выражаются как:

R = A — B

Альтернативно как:

R = A + (- B )

Таким образом, вычитание двух векторов аналогично сложению вектора A и отрицательного вектора B (т. Е. B ). Векторы B и — B будут иметь одинаковую величину, но направление -B ’ s будет противоположным направлению вектора B.

Вычитание вектора также работает, когда два вектора заданы в компонентной форме или как векторы-столбцы. Если A = (ax1, ay1) и B = (bx1, by1), то разница между ними составляет:

R = A — B

Где горизонтальная и вертикальная составляющие результирующего вектора R можно выразить как:

Rx = ax1 — bx1

и

Ry = ay1 — by1.

Таким образом, результирующий вектор может быть вычислен простым вычислением разности соответствующих горизонтальных и вертикальных компонентов двух исходных векторов.

Вычитание векторов графически

Графически правило «голова к хвосту», используемое при сложении векторов, может быть адаптировано для вычитания векторов. Например, рассмотрим два вектора P и Q , как показано на изображении ниже. Обратите внимание, что вектор — Q получается изменением направления Q.

Затем мы складываем векторы P и — Q , используя правило «голова к хвосту» следующим образом:

Сначала нарисуйте вектор P, , а затем поместите вектор — Q так, чтобы его хвост был соединен с головой вектора P .Теперь, чтобы найти сумму P и — Q , нарисуйте результирующий вектор R так, чтобы он соединял хвост вектора P с головой вектора — Q , как показано на изображении ниже. .

Математически результирующий вектор может быть выражен как:

R = P — Q

Примеры

В этом разделе мы будем практиковать вычитание векторов с различными примерами и их пошаговыми инструкциями. пошаговые решения с использованием различных методов, как описано выше.

Пример 1

Вычтите графически данные векторы A и B, показанные на изображении ниже, используя метод «голова к хвосту».

Решение
Сначала мы рисуем негатив вектора B , меняя его направление, то есть -B . Затем мы складываем векторы A и — B , применяя метод «голова к хвосту».

Сначала мы размещаем данные векторы A и — B так, чтобы хвост вектора -B соединялся с головой вектора A , как показано на изображении ниже.Затем, чтобы найти их сумму, мы рисуем результирующий вектор R так, чтобы он соединял хвост вектора A с головой вектора — B . Математически результат может быть выражен как:
R = A + (- B )

Пример 2

Даны два вектора AB = (3, 2) и BC = (2, 2), алгебраически вычтите два вектора. Затем определите величину и угол результирующего вектора:

S = AB + (- BC )

Решение

Сначала определите отрицательное значение вектора BC . умножив его на -1:

-BC = (-2, -2).2

| S | = √ 1

| S | = 1 единица

Угол результирующего вектора S может быть найден следующим образом:

Φ = tan ^-1 (Sy / Sx)

Φ = tan ^-1 (0/1)

Φ = tan ^-1 (0)

Φ = 0 градусов

Пример 3

Учитывая два вектора S = 10 м, Φ = 30 градусов и T = 20 м, Φ = 60 градусов. Вычтите два вектора, затем вычислите величину и угол результирующего вектора, используя метод компонентов.

Решение

Пусть R будет результирующим вектором, равным сумме данных векторов S и — T. Его можно выразить как:

R = S + (- T )

Чтобы использовать метод компонентов, мы сначала разбиваем данные векторы на их соответствующие горизонтальные и вертикальные компоненты:

Sx = S Cos Φ

Sx = 10 Cos 30

Sx = 8,660 м ( Примерно)

Аналогично для вертикальной составляющей:

Sy = S Sin Φ

Sy = 10 Sin 30

Sy = 5 м

Далее вычисляем компоненты вектора T:

Tx = T Cos Φ

Ty = T Sin Φ

Где,

Tx = 20 Cos 60

Tx = 10 м

Ty = 20 Sin 60

Ty = 17.320 (приблизительно)

Теперь мы можем вычислить вектор разности, вычислив разность отдельных компонентов x и y вектора S и — T как:

Rx = Sx + ( -Tx )

Rx = 8,660 + (-10)

Rx = -1,34 м

Ry = Sy + ( -Ty )

+ 5 Ry = 5 -17,32)

Ry = -12.2

| R | = 12,392 м

Φ = загар ^-1 ( Ry / Rx )

Φ = загар ^-1 (-12,32 / -1,34)

Φ = 83,79 градуса (приблизительно)

Таким образом , результирующий вектор суммы может быть выражен как:

R = 12,392 м, Φ = 83,79 градуса

Пример 4

Определить вектор результирующей суммы для двух векторов A = (-5, -1 ) и — B = (2, -1).

Решение

Указанные векторы уже находятся в их составных формах, поэтому сначала мы определяем их углы.

Для вектора A:

Φ = tan ^-1 ( Ay / Ax )

Φ = tan ^-1 (-1 / -5)

Φ = 11,309 градусов

Для вектора — B:

Φ = tan ^-1 ( By / Bx )

Φ = tan ^-1 (-1/2)

Φ = -26.56 градусов

Затем мы находим результирующий вектор, складывая отдельные компоненты:

S = A + (- B )

Sx = Ax + ( -Bx )

Sx = -5 + 2

Sx = -3

Sy = Ay + ( -По )

Sy = -1-1

Sy = — 2

Результирующий вектор S может быть выражен как вектор-столбец:

S = (-3, -2).2

| S | = 3,605 единиц

Φ = tan ^-1 ( Sy / Sx )

Φ = tan ^-1 (-2 / -3)

Φ = 33,69 градусов

Таким образом, результат вектор суммы может быть выражен как:

S = 3,605 единиц, Φ = 33,69 градуса

Пример 5

Учитывая три вектора A = (-20, -1), X = (5 , -4) и Y = (2,6), определить вектор Z = A — X — Y .

Решение

Z = A — X — Y

Z = (-20, -1) — (5, -4) — (2, 6)

Z = (-20-5-2, -1 + 4-6)

Z = (-27, -3)

1. Даны два вектора V = (2, 5 ) и C = (3, -2), определите A = V — C . Затем определите величину и угол результирующего вектора A .
2. Для двух векторов G = (5, 5) и — H = (4, -10), определите их сумму, используя правило «голова к хвосту». Затем определите величину и угол результирующего вектора P = G — H .
3. Рассмотрим вектор OA, , где O = (-1, 3) и A = (5,2), и вектор UV, , где U = (1, -2) и V = (-2, 2). Вычтите два вектора, затем дайте величину и угол результирующего вектора S .

4. M = 10 м прямо на восток и N = 15 м прямо на север. Вычтите два вектора, а затем укажите величину и угол результирующего вектора.

5. Учитывая два вектора A = (10, 2, 5) и M = (5, 0, -4), определите вектор B = M — A .

Ответы

1. Результирующий вектор A равен A = (-1, 7), величина A равна | A | = 7.079 единиц (приблизительно), а угол Φ = -81,86 градуса.
2. Результирующий вектор P равен: P = (9, -5), величина P равна | P | = 10. 30 единиц (приблизительно), а угол Φ = -29,05 градуса.
3. Векторы: OA = (6, -1) и — UV = (3, -4), результирующий вектор S равен S = (9, -5), величина S есть | S | = 10. 30 единиц (приблизительно), а угол Φ = -29.05 градусов.
4. Результат двух векторов:

   R = M + (- N )

   | R | = 18,027 м (приблизительно)

   И угол:

   Φ = tan ^-1 (15/10)

   Φ = 56,30 градусов

   Таким образом, результирующий вектор R равен R = 18,027 м , Φ = 56,30 град. к северо-востоку.

5. B = M — A

   B = (10, 2, 5) — (5, 0, -4)

   B = (10-5, 2- 0, 5 + 4)

   B = (5, 2, 9)

Сложение и вычитание векторов: графические методы

Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле.Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0º к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м в направлении 15,0º к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.

Изобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый A , второй B и третий C , сделав длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад.Описанный выше метод «голова к хвосту» дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенное R .

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя их начальную величину и направление.

(3) Нарисуйте результирующий вектор, R .

(4) Используйте линейку, чтобы измерить звездную величину R , и транспортир, чтобы измерить направление R .Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх ногами и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.

Рисунок 11

В этом случае видно, что полное смещение R имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7.0º к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R = 50,0 м и θ = 7,0º к югу от востока.

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.

Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же. Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — , коммутативное . Векторы можно добавлять в любом порядке.

A + B = B + A.

(Это также верно и для сложения обычных чисел — вы получите тот же результат, прибавляете ли вы, например, 2 + 3 или 3 + 2 ).

Вот как работает вычитание вектора

Вектор — это термин, используемый для определения любых отрезков линии с указанной начальной и конечной точкой.Все векторы нарисованы под углом и имеют заданное направление. Научиться вычитать векторы полезно, когда вам нужно увидеть, сколько должен пройти один вектор, чтобы добраться до другого.

Вычитание вектора — это процесс вычитания координат одного вектора из координат второго вектора.

См. Пример ниже. Координаты вектора a обозначены как (3,3), а координаты вектора b как (1, 2).

При вычитании векторов необходимо взять первые векторные величины и вычесть вторую величину.Вычтем вектор b из вектора a:

Ваши результирующие векторные координаты для этого конкретного примера — (2, 1).

Сложение векторов, величина и направление

Каждый вектор имеет форму стрелки и имеет величину и направление. Фактическая длина стрелки, величина, пройденная от одной координаты до другой, и есть ее величина. Направление вектора — это угол, на который он указывает.

При добавлении векторов вы соединяете хвост вектора (конечные координаты) с головой вектора (начальные координаты).

См. Пример ниже. Начальные точки — (4, 4) и (2, 3), а конечная — (6, 7)

Из этого примера мы можем видеть, что величина результирующего вектора и направление результирующего вектора отличаются от таковых из начальных точек.

Вычитание вектора с разбивкой

При вычитании векторов направление вычитаемого вектора должно быть изменено на противоположное. Это указывает на то, что длина одного вектора вычитается из другого вектора.См. Пример ниже. Вектор v показан движущимся в противоположном направлении, чтобы указать, что он вычитается из длины вектора u. Когда вы меняете направление вектора, вы превращаете его в отрицательный вектор.

На рисунке ниже показаны координаты (-6,1), вычитаемые из (4, -2). Давайте выполним этот процесс вычитания векторов:

Вы можете видеть, что, поскольку мы вычитаем x-значение -6 из 4, два отрицательных значения уравновешиваются.Это как если бы вы взяли абсолютное значение числа, то есть удалили все его отрицательные значения и превратили его в положительное.

Освоение векторного вычитания упрощает понимание других концепций тригонометрии. Это дает вам лучшее понимание разницы между величиной и направлением вектора и того, как два отрицательных значения компенсируют друг друга и приводят к положительному значению.

Дополнительные домашние задания по математике

Как складывать и вычитать векторы (с диаграммами)

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Автор GAYLE TOWELL

Вектор — это величина, с которой связаны как величина, так и направление.Это отличается от скалярного числа , которое соответствует только величине. Скорость — это пример векторной величины. Он имеет как величину (скорость движения объекта), так и направление (направление движения).

Векторы часто изображаются в виде стрелок. Длина стрелки соответствует величине вектора, а острие стрелки указывает направление.

Есть два способа работы с векторным сложением и вычитанием. Первый — графически, манипулируя стрелочными диаграммами самих векторов.Второй — математический, который дает точные результаты.

Сложение и вычитание графических векторов в одном измерении

При сложении двух векторов вы помещаете хвост второго вектора на вершину первого вектора, сохраняя ориентацию вектора. Результирующий вектор — это вектор, который начинается в хвосте первого вектора и указывает по прямой линии до конца второго вектора.

Например, рассмотрите возможность сложения векторов A и B , которые указывают в одном направлении вдоль линии.Мы размещаем их «кончик к хвосту», и результирующий вектор C указывает в одном направлении и имеет длину, которая является суммой длин A и B .

Вычитание векторов в одном измерении по сути то же самое, что и сложение, за исключением того, что вы «переворачиваете» второй вектор. Это напрямую связано с тем, что вычитание — это то же самое, что и добавление отрицательного числа.

Математическое сложение и вычитание векторов в одном измерении

При работе в одном измерении направление вектора может быть указано знаком.Мы выбираем одно направление в качестве положительного (обычно «вверх» или «вправо» выбираются как положительные) и назначаем любой вектор, указывающий в этом направлении, как положительную величину. Любой вектор, указывающий в отрицательном направлении, является отрицательной величиной. При сложении или вычитании векторов складывайте или вычитайте их величины с соответствующими знаками.

Предположим, что в предыдущем разделе вектор A имел величину 3, а вектор B имел величину 5. Тогда результирующий вектор C = A + B = 8, вектор величина 8 указывает в положительном направлении, и результирующий вектор D = A — B = -2, вектор величины 2 указывает в отрицательном направлении.Обратите внимание, что это согласуется с предыдущими графическими результатами.

Совет: будьте осторожны, складывайте только векторы одного и того же типа: скорость + скорость, сила + сила и т. Д. Как и во всей математике в физике, единицы должны совпадать!

Сложение и вычитание графических векторов в двух измерениях

Если первый вектор и второй вектор не находятся на одной линии в декартовом пространстве, вы можете использовать тот же метод «кончик к хвосту», чтобы сложить или вычесть их. Чтобы сложить два вектора, просто представьте, что вы поднимаете второй и кладете его хвост на кончик первого, сохраняя его ориентацию, как показано.Результирующий вектор представляет собой стрелку, начинающуюся в конце первого вектора и заканчивающуюся на вершине второго вектора:

Как и в одном измерении, вычитание одного вектора из другого эквивалентно переворачиванию и сложению. Графически это выглядит следующим образом:

••• Дана Чен | Sciencing

Примечание: Иногда сложение векторов отображается графически, складывая хвосты двух слагаемых векторов вместе и создавая параллелограмм. Результирующий вектор будет диагональю этого параллелограмма.

Математическое сложение и вычитание векторов в двух измерениях

Чтобы математически сложить и вычесть векторы в двух измерениях, выполните следующие действия:

Разложите каждый вектор на компонент размером x , иногда называемый горизонтальным компонентом, и компонент y , иногда называемый вертикальным компонентом, с использованием тригонометрии. (Обратите внимание, что компоненты могут быть либо отрицательными, либо положительными, в зависимости от того, в каком направлении указывает вектор)

Сложите компоненты x обоих векторов вместе, а затем сложите компоненты y обоих векторов вместе .Этот результат дает вам компоненты x и y результирующего вектора.

Величину результирующего вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Направление результирующего вектора можно найти с помощью тригонометрии с помощью функции арктангенса. Это направление обычно задается как угол по отношению к положительной оси x .

Тригонометрия в сложении векторов

Вспомните отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника из тригонометрии.2

Движение снаряда дает классические примеры того, как мы можем использовать эти отношения как для разложения вектора, так и для определения окончательной величины и направления вектора.

Представьте, что два человека играют в мяч. Предположим, вам говорят, что мяч брошен с высоты 1,3 м со скоростью 16 м / с под углом 50 градусов к горизонту. Чтобы начать анализ этой проблемы, вам необходимо разложить этот вектор начальной скорости на компоненты x и y , как показано:

v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ раз \ cos (50) = 10.{-1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = — 52,2 \ градус

Пример сложения и вычитания векторов

Представьте, что автомобиль скручивает угол. Предположим, что v _i для автомобиля находится в направлении x- с величиной 10 м / с, а v _f находится под углом 45 градусов к положительному значению . x — ось с магнитудой 10 м / с. Если это изменение движения происходит через 3 секунды, какова величина и направление ускорения автомобиля при повороте?

Напомним, что ускорение a — это векторная величина, определяемая как:

a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}

Где v _f и v _i — конечная и начальная скорости соответственно (и, следовательно, также векторные величины).

Чтобы вычислить разность векторов v _f — v _i , , мы должны сначала разложить начальный и конечный векторы скорости:

v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}

Затем мы вычитаем окончательные компоненты x и y из исходных компонентов x и y . чтобы получить компоненты v _f — v _i :

Затем мы вычитаем компоненты x и y :

(v_f- v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.{-1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ градус

Урок 22. Сложение и вычитание векторов

Во многих вопросах вам будет предложено добавить два или более векторов.

• Ваша первая реакция может заключаться в том, чтобы просто взять два числа и сложить их (как если бы вы сложили 3 + 2 = 5).
• Вы абсолютно точно можете , а не !!! Вы должны помнить, что векторы большую часть времени будут указывать в разных направлениях под странными углами. Вы должны «сложить» их с помощью тригонометрии и указать направление в конце.

Добавление A + B

Давайте посмотрим на действительно простой пример добавления векторов. Пока у нас даже чисел не будет, только нарисованные векторы с именами A и B.

Рисунок 1

Если вас попросят сложить A и B, вам нужно сначала расположить их в виде диаграммы, которая показывает A + B.

• Вы можете подбирать и перемещать векторы, при условии, что когда вы их кладете, они все еще одного размера и указывают в одном направлении.
• Добавляемые векторы всегда должны касаться головы к хвосту.
• Вы должны быть в состоянии начать с хвоста первого вектора и следовать указаниям стрелок, пока не дойдете до начала последнего вектора.
  • Я часто предлагаю людям смотреть на это, как на игру в Pac Man (я знаю, я стар!), И что Pac Man может двигаться только в направлении, указанном стрелками.

Когда мы следуем этим правилам и рисуем A + B, у нас должно получиться что-то вроде этого …

Рисунок 2

• Обратите внимание, что вы начнете с хвоста A, а затем продвинетесь вверх по направлению к B и последуете за ним до его головы.’
• Я также нарисовал результирующую (помните ее из прошлого урока?), Которая касается хвоста к хвосту и головы к голове. Результирующее действительно то, чему равны A + B.

Добавление B + A

Теперь должен возникнуть удивительный вопрос: «Получите ли вы такой же ответ, если сложите B + A?»

• Быстрый ответ — «Да!» так как вы можете добавлять векторы в любом порядке и при этом получать тот же ответ.
• В математике с обычными скучными старыми числами определенно можно сказать A + B = B + A… не имеет значения, в каком порядке вы добавляете числа.
  • Это называется коммутативным свойством.
• Диаграмма будет выглядеть немного иначе, но результат будет таким же, как на , рис. 2, приведенном выше, . Взгляните на Рисунок 3 ниже, который показывает это.

Рисунок 3

• Этот показывает B + A, потому что мы начинаем с B, который указывает на A и продолжается до конца.
• Даже если мы проследим от хвоста результирующего (B + A) к его голове, мы все равно придем к тому же месту в конце.

Это означает, что вы можете добавлять векторы в любом порядке. Вы можете измерить угол под другим углом, чем кто-то другой, поскольку ваша диаграмма отличается, и вы собираетесь использовать другие опорные точки.

• Это похоже на предыдущий урок, где мы видели, что [N30 ° E] то же самое, что сказать [E60 ° N].

Вычесть A — B

Здесь все становится немного интереснее.

• Здесь нам нужно помнить, что в физике отрицательный знак просто означает «в противоположном направлении».«
• Мы можем взять A — B и просто заменить его на A + -B
• Отрицательный знак на B просто означает, что нам нужно будет взять исходный вектор B и направить его точно в противоположном направлении (180 ° от того места, где он указывает прямо сейчас.
• Затем мы просто добавим их, как мы это делали на предыдущих диаграммах (касаясь, конечно, головы к хвосту!)

Рисунок 4

Вы можете видеть, что результат, который мы получаем, отличается от того, который показан на рис. 2 и 3 .

• Также будьте осторожны, вычитание не коммутативное (это просто означает, что A — B ≠ B — A).

Решение прямоугольных (90 °) треугольников

Большинство треугольников, с которыми вы будете иметь дело, будут прямоугольными.

• Если да, просто используйте обычный триггер (SOH CAH TOA) и пифагор (c ² = a ² + b ² ).
• Обычно вы хотите думать о физике, когда настраиваете свою диаграмму (чтобы все указывало прямо на хвост и так далее), а затем переключитесь на выполнение этого, как в любой математической триггерной задаче.s

Пример 1: Автомобиль проезжает 10 км [E], а затем 7 км [N]. Определите его смещение.

Сначала нарисуйте правильную диаграмму:

Обратите внимание, как это даже показывает, что векторы добавляются в правильном порядке в соответствии с вопросом.

• 10 км [E] показаны до 7 км [N]. Начните с конца красной стрелки и следуйте по пути, по которому она вас приведет.
• Если вы сложите их с 7 км [N], а затем с 10 км [E], вы все равно получите тот же окончательный ответ, только с другим углом из-за другой точки отсчета.

Это, безусловно, прямоугольный треугольник, поэтому просто используйте c ² = a ² + b ² , чтобы узнать величину (размер ) полученного результата.

• Попробуйте сами и посмотрите, получите ли вы около 12,21 (я не слишком осторожен с моими копиями сигн!)

Угол, который мы должны измерить, находится в нижнем левом углу.

В качестве подсказки, вам, вероятно, следует использовать загар, чтобы вычислить этот угол. Использование sin или cos потребует использования только что вычисленного результата.Если вы ошиблись в результате, вы тоже ошиблись бы в своем ракурсе.

• Обычно вы измеряете от начала результата до его хвоста.
• Это также дает нам хорошую справочную линию, так как мы сможем сказать, на сколько градусов к северу от востока мы находимся.
• Попытайтесь вычислить это и посмотрите, получится ли у вас около 35 °.

Добавление непрямоугольных треугольников

Если треугольник не является прямым, у вас есть два варианта:

1. Используйте закон косинусов или закон синусов, чтобы выяснить это.
   Это метод « сложных вычислений, если вы еще не сделали этого много в математике ». Если вы не знакомы с ними, нажмите здесь, чтобы посмотреть короткое видео, в котором я рассказываю вам об основах их использования.
2. Разбейте его на горизонтальные и вертикальные компоненты, затем используйте базовый триггер.
   Это требует больше вычислений, но каждое вычисление меньше. Подробнее об этом после того, как мы рассмотрим следующий урок … а пока просто держите это в памяти.

Видеоурок: Вычитание векторов | Нагва

Стенограмма видео

В этом уроке мы собираемся узнать, как вычесть один вектор из другого вектора, как графически, так и используя обозначение единичного вектора.

Начнем с графического метод. Прежде чем мы начнем узнавать, как графически вычитаем векторы. Давайте освежим в памяти, что такое вектор и как для графического представления вектора. Вектор — это величина, имеющая как по величине, так и по направлению. Приведем пример двух векторы 𝐀 и 𝐁. Сделаем так, чтобы вектор 𝐀 имел величиной пять единиц и ориентироваться по горизонтали справа от нашего экрана.Обратите внимание, что когда мы помечаем наш вектор 𝐀 рисуем полустрелку поверх буквы. Это обычное соглашение, чтобы показать что переменная — это вектор. В текстовой форме это обычное дело для переменная, которую нужно выделить жирным шрифтом. Мы увидим эту форму, когда сделаем примеры задач в конце нашего урока.

Мы можем нарисовать вектор 𝐁, чтобы та же величина в пять единиц, но мы можем ориентировать ее вертикально на верхушку нашего экран.Оба этих вектора имеют одинаковые величины, но движутся в разных направлениях. Нам нужно проявить особую осторожность и сделать убедитесь, что мы рисуем векторы правильной длины в представлении, потому что это повлияет на результат, когда мы их вычтем. Прежде чем мы перейдем к вычитанию наши векторы, давайте нарисуем последний вектор, который имеет компоненты вдоль обоих горизонтальная и вертикальная оси.

Графическое представление вектор 𝐂 имеет длину семь единиц по горизонтали справа от нашего screen и четыре единицы по вертикали вверху нашего экрана.Мы видим, что вектор 𝐂 имеет большая горизонтальная величина, чем вектор 𝐀, но меньшая вертикальная величина, чем вектор 𝐁. Теперь, когда мы сделали краткий обзор о том, что такое векторы и как их нарисовать графически, давайте рассмотрим, как графически вычесть векторы.

Когда мы вычитаем вектор 𝐁 из вектора 𝐀, мы можем записать это выражение как, результирующий вектор, равен к вектору 𝐀 минус вектор 𝐁.Подход, который мы будем использовать для графическое вычитание векторов означает прибавление отрицательного значения вектора 𝐁 к вектору 𝐀 и затем примените метод добавления векторов по принципу «кончик к хвосту». Мы можем это сделать, потому что вычитая вектор 𝐁 из вектора 𝐀 — это то же самое, что добавить отрицательный вектор 𝐁 к вектору 𝐀.

Когда мы говорим о негативе вектор, в данном случае отрицательный вектор 𝐁, это означает, что нам нужно повернуть наш вектор 180 градусов от исходного положения.Наш новый вектор будет указывать в полностью противоположное направление как по горизонтали, так и по вертикали, откуда вектор был изначально. В методе кончик к хвосту один вектор скользит, пока его хвост не окажется на кончике другого вектора. Результирующий извлекается из хвост неподвижного вектора к вершине перемещенного вектора. Вычтем вектор 𝐁 из вектор 𝐀, которые показаны на сетке.

Прежде чем мы вычтем наши векторы, давайте посмотрим как на их величину, так и на направление.Вектор 𝐀 имеет длину семь единиц по горизонтальной оси справа от экрана, а вектор 𝐁 имеет величина в три единицы по горизонтальной оси справа от экрана и четыре единицы по вертикали в верхнюю часть экрана. Чтобы найти вектор, который сформирован когда мы вычитаем вектор 𝐁 из вектора 𝐀, мы начинаем с рисования вектора, который представляет собой негатив вектора 𝐁. Для этого повернем вектор 𝐁 180 градусов, пока он не будет указывать в противоположном направлении по горизонтали и вертикально от того места, где он был нарисован.Длина вектора все равно будет быть таким же, даже если ориентация изменилась.

В нашем примере вектор 𝐁 был три единицы вправо и четыре единицы вверх. Следовательно, вектор отрицательный 𝐁 будет быть на три единицы слева и на четыре единицы ниже. Еще один способ нарисовать негатив вектор — это просто перевернуть кончик и хвост исходного вектора. В этом случае вектор отрицательный 𝐁 имел бы свой хвост на кончике вектора 𝐁, а кончик вектора отрицательного 𝐁 был бы быть в хвосте вектора 𝐁.Неважно, какой метод вы используйте, поскольку они оба приводят к отрицательному значению вектора 𝐁.

В этом примере мы будем использовать вектор отрицательный 𝐁, показанный желтой пунктирной линией. Теперь мы можем применить кончик к хвосту метод. Оставляем вектор 𝐀 на месте и сдвиньте отрицательный вектор 𝐁, пока хвост отрицательного вектора не окажется на кончике вектор 𝐀. Важно скользить вектор отрицательный 𝐁, а не вектор 𝐁, потому что в противном случае мы добавили бы наши исходные векторы вместе, а не их вычитание.Наш результат извлекается из хвост вектора 𝐀 к вершине отрицательного вектора. Направление наших результирующих точек in находится от начала координат или к вершине отрицательного вектора 𝐁. Мы можем пометить результирующий вектор 𝐕 как это то, что мы назвали нашим вектором в верхней части экрана. Наш результирующий вектор имеет длину из четырех блоков по горизонтали вправо и четырех блоков по вертикали снизу экран.

Другой способ вычитания векторов — использовать обозначение единичного вектора.Напомним, что единичный вектор вектор длины один. Давайте посмотрим на три векторы, которые мы нарисовали в начале нашего видео, когда обновляли наши память о том, что такое вектор и как его нарисовать графически. Начнем с вектора 𝐀. Мы сказали, что вектор 𝐀 имеет величина пять единиц по горизонтальной оси справа от экрана. В обозначении единичного вектора мы бы говорят, что вектор 𝐀 имеет значение пять 𝐢, где вектор 𝐢 указывает на горизонтальное направление.Выражение было бы векторным 𝐀 равно пяти 𝐢, где у 𝐢 есть небольшая шляпа, чтобы обозначить, что это единица вектор. Если бы это было в текстовой форме, наш 𝐢 можно выделить жирным шрифтом, чтобы показать, что это единичный вектор.

Вектор 𝐁 также имел величину пять единиц, кроме этого времени, это было по вертикальной оси. В обозначении единичного вектора мы бы говорят, что вектор 𝐁 имеет значение пять 𝐣, где вектор 𝐣 указывает на вертикальное направление.Выражение вектор 𝐁 равно равный пяти 𝐣, с с небольшой шляпкой над ним, чтобы представить его единицу векторные обозначения. Вектор 𝐂 имел величину семь. единицы вправо по горизонтальной оси и четыре единицы вверху экрана по вертикальной оси. В обозначении единичного вектора вектор 𝐂 будет иметь значение семь 𝐢 плюс четыре 𝐣, где вектор 𝐢 указывает на горизонтальное направление, а вектор 𝐣 указывает в вертикальном направлении.

Теперь, когда мы сделали краткий обзор на единичных векторах, давайте рассмотрим, как вычесть векторы, когда они находятся в единичном векторе обозначение. Когда мы вычитаем векторы, находятся в обозначении единичного вектора, нам нужно вычесть отдельные компоненты. Это означает, что мы должны вычесть 𝐢 шляпы друг от друга и 𝐣 шляпы отдельно друг от друга. Результирующий вектор 𝐕 будет иметь 𝐢-компонент, который был бы равен вычитанию индивидуального 𝐢-компоненты и 𝐣-компонента, которые были бы равны вычитанию отдельные 𝐣-компоненты.

Если у нас есть два вектора в единице векторная запись с вектором 𝐀, равным восьми 𝐢 плюс 10 𝐣, ​​и вектором 𝐁 равняется трем 𝐢 плюс два 𝐣, каким будет значение результирующего вектора это равно вектору 𝐀 минус вектор 𝐁? Вектор 𝐕 будет результирующим вектор вектора 𝐀 минус вектор 𝐁. Начнем с вычитания 𝐢-компоненты. Восемь 𝐢 минус три 𝐢 равно пяти 𝐢. Затем мы вычитаем 𝐣-компоненты.10𝐣 минус два 𝐣 равно восьми 𝐣. Наш результирующий вектор 𝐕 имеет значение из пяти 𝐢 плюс восемь 𝐣.

Теперь посмотрим, что происходит, когда мы меняем порядок вычитания, что означает, что на этот раз наш результирующий вектор 𝐕 будет равен вектору 𝐁 минус вектор 𝐀. Давайте посмотрим на это оба графически и в обозначении единичного вектора. Мы будем использовать те же векторы, что и сделал, когда мы вычитали графически. Вычитаем вектор 𝐀 из вектор 𝐁.Итак, начнем с написания вектора 𝐁 в обозначении единичного вектора. Вектор 𝐁 имеет горизонтальную компонент из трех единиц справа от экрана. Следовательно, 𝐢-компонента вектора 𝐁 будет три. Вектор 𝐁 также имеет вертикальную компонент из четырех единиц в верхнюю часть экрана. Итак, 𝐣-компонента вектора 𝐁 будет четыре. Вектор 𝐀 имеет значение семь. единиц вправо по горизонтали. В обозначении единичного вектора мы бы говорят, что вектор 𝐀 равен семи 𝐢 плюс ноль 𝐣.

Давайте вычтем наши векторы графически. Помните, что если мы вычитаем вектор 𝐀, это то же самое, что добавить отрицательный вектор 𝐀. Давайте вспомним с самого начала видео, что рисование вектора в негативе — это то же самое, что рисование в векторе под углом 180 градусов к оригиналу. Поскольку вектор 𝐀 имеет значение на семь единиц вправо по горизонтали, вектор отрицательный 𝐀 будет иметь значение семь единиц влево по горизонтали.Затем наносим кончик к хвосту методом скольжения вектора отрицательного 𝐀 до тех пор, пока хвост отрицательного вектора не окажется на кончик вектора 𝐁. Наш результирующий вектор взят из хвост вектора направлен к вершине отрицательного вектора и направлен от происхождение или к кончику отрицательного вектора 𝐀.

Мы видим, что наш результирующий вектор 𝐕 имеет длину четыре единицы по горизонтали слева от нашего экрана. и длиной четыре единицы по вертикали до верхнего края экрана.В обозначении единичного вектора наши результирующий вектор 𝐕 будет равен отрицательным четырем 𝐢 для четырех единиц слева от экрана по горизонтали плюс четыре 𝐣 для четырех блоков по вертикально вверху экрана. Мы можем проверить наш результирующий вектор путем вычитания вектора 𝐀 из вектора 𝐁, используя обозначение единичного вектора.

Три 𝐢 минус семь 𝐢 равно отрицательные четыре 𝐢 и четыре 𝐣 минус ноль 𝐣 равны четырем 𝐣.Это соответствует результатам, которые мы получили получил за графический метод. Теперь сравним результат вектор 𝐁 минус вектор 𝐀 к нашему предыдущему результату вектора 𝐀 минус вектор 𝐁. Мы нарисовали розовый пунктирный вектор для представления результирующего вектора 𝐀 минус 𝐁. Обратите внимание, что результирующий вектор Минус 𝐁 — это отрицательное значение вектора, представляющего минус 𝐀. Если бы мы написали это как выражения, мы могли бы сказать, что вектор 𝐀 минус вектор 𝐁 равен отрицательному значению вектор 𝐁 минус вектор 𝐀.

Сравнение результирующих векторов для вектор 𝐀 минус вектор 𝐁, который равен четырем 𝐢 минус четыре 𝐣, а вектор 𝐁 минус вектор 𝐀, который равен отрицательным четырем 𝐢 плюс четыре 𝐣. Мы еще раз видим, что вектор 𝐀 минус вектор 𝐁 равен отрицательному значению вектора 𝐁 минус вектора 𝐀. Теперь давайте посмотрим на два примеры вычитания векторов, один, где мы вычитаем векторы графически и тот, где мы вычитаем их, используя обозначение единичного вектора.

На схеме показаны семь векторов 𝐀, 𝐁, 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 и 𝐓. Какой из векторов равен 𝐀 минус 𝐁?

Нас просят найти вектор, равнодействующий вектора 𝐀 минус вектор 𝐁. Поскольку наши векторы были заданы нам графически, мы можем решить вычитание вектора с помощью графического метод. Нам нужно помнить об этом, когда мы вычитая вектор 𝐁 из вектора 𝐀, это то же самое, что прибавлять отрицательное значение вектор 𝐁 в вектор 𝐀.Чтобы решить нашу проблему, мы собираемся чтобы нарисовать вектор, отрицательный по отношению к вектору 𝐁. Отрицательный вектор — это вектор, который поворачивается на 180 градусов от исходного вектора. Вектор 𝐁 имел величину три. единицы справа от экрана. Следовательно, вектор отрицательный 𝐁 будет имеют значение три единицы слева от экрана. Вектор 𝐁 также имел длину пять единиц в верхнюю часть экрана, поэтому вектор отрицательный 𝐁 будет иметь значение пять единиц в нижнюю часть экрана.

Теперь, когда мы нарисовали вектор отрицательное 𝐁, мы можем сложить вектор 𝐀 и вектор отрицательный 𝐁 вместе, используя кончик к хвосту метод. В методе кончик к хвосту один вектор скользит, пока его хвост не окажется на кончике другого вектора. Результирующий извлекается из хвост неподвижного вектора к вершине перемещенного вектора. Для нашей проблемы мы будем скользить вектор отрицательный 𝐁, пока он не окажется на кончике вектора 𝐀.Затем мы рисуем результирующий вектор от хвоста вектора 𝐀 к вершине отрицательного вектора. Полученные точки вдали от начало координат к вершине отрицательного вектора 𝐁. Мы видим, что вектор 𝐐 перекрывается наш результат для вектора 𝐀 минус вектор 𝐁. Таким образом, можно сказать, что семь векторов показаны вектор 𝐐 равен вектору 𝐀 минус вектор 𝐁.

Теперь вычтем два вектора. используя обозначение единичного вектора.

Рассмотрим два вектора 𝐀 и 𝐁, где 𝐀 равно восьми 𝐢 плюс 10𝐣, а 𝐁 равно трем 𝐢 плюс два 𝐣. Вычислите 𝐀 минус 𝐁.

В нашей задаче задан вектор 𝐀 и 𝐁 в обозначении единичного вектора. Поэтому нужно помнить, что когда мы вычитаем векторы в обозначении единичного вектора, нам нужно вычесть отдельные составные части. Это означает, что мы вычтем и отдельно вычтем.Мы можем выровнять векторы по вертикали вместе со знаком вычитания, чтобы произвести вычитание компонентов Полегче. Мы надеваем шляпы на наш блок 𝐢 и 𝐣 векторов, пока мы пишем нашу тренировку вручную. Но в текстовой форме проблема, 𝐢 и 𝐣 были выделены жирным шрифтом, чтобы показать, что они являются единичными векторами.

Мы можем использовать вектор 𝐕 для представляют собой результирующий вектор 𝐀 минус 𝐁. Чтобы найти наш результат, мы начинаем с 𝐢-компонентами.Восемь 𝐢 минус три 𝐢 равно пяти 𝐢. Затем мы вычитаем. 10𝐣 минус два 𝐣 равно восьми 𝐣. Когда мы вычитаем два вектора 𝐀 и 𝐁, где 𝐀 равно восьми 𝐢 плюс 10𝐣, а 𝐁 равно трем 𝐢 плюс два 𝐣, мы получаем равнодействующую пять 𝐢 плюс восемь.

Ключевые моменты урока

При вычитании векторов графически нарисуйте отрицательный вектор для вычитаемого вектора, а затем примените метод кончик к хвосту.При вычитании векторов в единицу векторной записи, вычесть отдельные 𝐢-компоненты и индивидуальные 𝐣-компоненты отдельно. Вектор 𝐀 минус вектор 𝐁 равен в минус вектора 𝐁 минус вектор 𝐀.

Калькулятор вычитания векторов

Онлайн-калькулятор для вычитания одного вектора из другого с указанием компонентов результирующего, его величины и направления. . Пусть u и v — два вектора, заданные в компонентной форме формулой u = 1 , u 2 > и v = 1 , v 2 > Вычитание вектора v из вектора u определяется формулой u — v = 1 — v 1 , u 2 — v 2 > Использование калькулятора векторов вычитания Есть два калькулятора, которые можно использовать для вычитания одного вектора из другого в зависимости от того, знаете ли вы компоненты или величину и направление векторов для вычитания. 1 — Введите компоненты u 1 , u 2 и v 1 , v 2 двух векторов u и v соответственно как действительные числа и нажмите «Вычесть два вектора». Выходами являются компоненты вектора u — v, его величина и направление в градусах. 2 — Введите величины (неотрицательные действительные) и направления двух векторов u и v соответственно как действительные числа и нажмите «Вычесть два вектора». Выходами являются компоненты вектора u — v, его величина и направление в градусах. Дополнительные источники и ссылки Найдите величину и направление векторов. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника