Site Loader

Содержание

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

 

Цель работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения b от момента силы натяжения Мн и определить из него момент силы трения Мтр и момент инерции маховика J.

Оборудование: маховик, штангенциркуль, набор грузов, секундомер, линейка.

 

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения угловое ускорение прямо пропорционально сумме моментов внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции

 

. (1)

 

Здесь — векторная сумма моментов сил, которую называют результирующим моментом сил; J — момент инерции тела.

В настоящей работе экспериментально изучается эта зависимость.

 

Описание установки и метода измерений

 

Маховик состоит из диска 1 и шкива 2, насаженных на вал (рис. 1). Вал может вращаться около горизонтальной оси OO’. На шкив намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз 3.

При падении груза маховик начинает вращаться с угловым ускорением b.

Результирующий момент, создающий это ускорение, складывается из момента Мн силы натяжения нити и момента Мтр силы трения в подшипниках вала. Так как направления этих моментов противоположны, то уравнение (1) можно представить в виде

 

. (2)

 

Если момент инерции маховика и момент силы трения остаются постоянными, то зависимость углового ускорения от момента силы натяжения линейная и графически изображается прямой линией (рис 2).

Из уравнения (2) следует, что при покоящемся маховике (b=0) Мн = Мтр. Только когда момент силы натяжения становится больше максимального момента силы трения покоя, маховик начинает вращаться равноускоренно. Прямая на графике пересекает ось абсцисс (рис. 2) в точке, которая определяет Мтр. Угловое ускорение маховика b можно найти, зная тангенциальное ускорение at точек боковой поверхности шкива, которое равно ускорению a падающего груза:



 

, (3)

 

где r и D — радиус и диаметр шкива.

Так как груз движется из состояния покоя равноускоренно, то

 

, (4)

 

где h – путь, пройденный грузом за время t.

Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим формулу, по которой можно рассчитать на опыте угловое ускорение маховика

 

. ( 5)

 

Модуль момента силы натяжения числено равен произведению силы натяжения Fн на плечо силы, которое является радиусом шкива:

.

Силу натяжения нити найдем, рассматривая движение груза3. На него действуют сила тяжести P и сила реакции нити F1. По второму закону Ньютона , где

m — масса подвешенного к нити груза.

Учитывая, что сила натяжения нити, действующая на шкив и сила реакции, действующая на груз, одинаковы по величине (Fн = F1), получим

 

.

 

Тогда

. (6)

 

Подставив в уравнение (6) выражение (4) для ускорения a, получим формулу

, (7)

 

по которой можно рассчитать на опыте момент силы натяжения нити, действующей на маховик.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Измерить штангенциркулем диаметр

D шкива.

2. Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по нижнему основанию груза).

3. Отпустив маховик и, одновременно включив секундомер, определить время t опускания груза с высоты h. Измерение времени провести три раза. Результаты опыта занести в табл. 1.

 

Таблица 1

 

Номер опыта i Масса m, кг Высота h, м   Время t, c Момент силы натяжения Мн, Н·м Угловое ускорение b, с
-2
t1 t2 t3 <t>
               
               
               
               
               

 

4. Повторить опыт с пятью различными грузами. Массы грузов указаны на них.

5. По формулам (5) и (7) вычислить для каждого груза угловое ускорение b и момент силы натяжения Мн, их значения записать в табл. 1. (При вычислении в формулы подставлять среднее значение времени <t>).

6. Результаты опыта изобразить графически на листе миллиметровой бумаги. Для этого по оси ординат в определенном масштабе отложить значения b, а по оси абсцисс также в определенном масштабе — значения

Мн (масштабы по осям координат выбираются независимо друг от друга и должны быть нанесены на координатные оси). Полученные точки соединить прямой линией. Проводить прямую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам и по обе ее стороны оказывалось приблизительно равное их количество (см. рис. 3).

7. Продлить прямую до пересечения с осью абсцисс, определить по графику момент силы трения.

Для определения момента инерции маховика нужно на экспериментальной прямой взять точки

A и B и провести через них прямые, параллельные осям координат (рис. 3). Момент инерции рассчитать по формуле

 

 

.

 

Записать окончательные результаты опыта

 

Мтр = …..; J = ….. .

 

Контрольные вопросы

 

1. Что называется моментом инерции материальной точки? Единицы его измерения. От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2. Что называется моментом силы относительно точки, неподвижной оси? Как определить направление момента силы? В каких единицах он измеряется?

3. Дать определения угловой скорости и углового ускорения. Как определить их направления?

4. Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями?

5. Вывести основное уравнение динамики вращательного движения.

6. Какие силы сообщают вращающий момент маховику?

7. Почему движение подвешенного к нити груза и вращение маховика являются равноускоренными?

8. Вывести расчетные формулы (5) и (7).

9. Объяснить, как графически находят момент силы трения и момент инерции маховика.

10. Проведите аналогию между величинами и формулами, описывающими поступательное и вращательное движение.

 

Библиографический список

 

1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.1–4.3.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 6, 16, 18.

3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38, 39.

4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.

5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 30, 32–38.

6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.31– 1.34.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9


Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека. | Учителю.

Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека.

ЦЕЛЬ: изучение закона динамики вращательного движения, графическое представление и обработка результатов измерений, получить экспериментальную зависимость углового ускорения от момента силы и определить момент инерции маятника динамическим методом.

ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, линейка, набор грузов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Основные кинематические и динамические параметры вращательного движения:

φ — угловой путь, или угол поворота;
ω = dφ / dt — модуль угловой скорости тела;
ε =dω / dt — модуль углового ускорения тела.
Для произвольной точки вращающегося тела, расположенной на расстоянии r от оси вращения, модуль линейной скорости:

и модуль тангенциального ускорения:

Модуль момента силы натяжения нити, намотанной на шкив радиуса r,

Модуль момента импульса материальной точки массы m, которая движется со скоростью , на расстоянии r от оси вращения:

Для тела с моментом инерции I, вращающегося со скоростью ω, модуль момента импульса:

Момент инерции материальной точки массы m, удалённой от оси вращения на расстояние r, J = m•r2.
Момент инерции тела относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции всех N точек тела:

Закон динамики вращательного движения:

Если момент инерции вращающегося тела остаётся постоянным, то закон динамики принимает вид:

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Основной частью установки является крестообразный маятник, который может вращаться с малым трением вокруг оси О (см. рис.1). По стержням крестовины могут перемещаться подвижные цилиндры 3 массой т0. На одной оси с крестовиной насажены шкивы 1 и 2 разного радиуса г. К концу нити, намотанной на один из шкивов и перекинутой через невесомый блок 4, прикрепляется груз 5 массой m, приводящий маятник во вращательное движение. Время прохождения грузом расстояния h измеряют секундомером. Маятник в исходном положении удерживается электромагнитом, при нажатии клавиши «Пуск» секундомера электромагнит отключается, груз начинает двигаться и одновременно включается секундомер. Счёт времени заканчивается при достижении грузом нижнего положения. Для того, чтобы секундомер сработал, необходимо установке с помощью винтов в основании платформы придать такое положение, при котором груз опускался бы точно в отмеченный круг. В этот круг вмонтирован датчик, выключающий секундомер.
Расстояние h отмечается по линейке, установленной в верхней части установки, на которой указывается расстояние груза в начальном положении от основания установки.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Приняв, что нить невесома, не растяжима, считаем движение грузов равноускоренным. Ускорение груза а определяют, измерив время его движения и пройденный путь h:

Угловое ускорение маятника ε выразим через линейное ускорение и радиус шкива r:

Силу натяжения нити Т можно определить, применив к движению груза массой m закон Ньютона (пренебрегая при этом сопротивлением воздуха), так как обычно а « g:

Таким образом, измерив для груза массой m время t прохождения им расстояния h, можно рассчитать угловое ускорение ε (формула 10) маятника и определить момент силы, действующий на маятник:

При вращении маятника на него действует также тормозящий момент сил трения Мтр, и поэтому закон динамики принимает вид:

Это уравнение позволяет найти момент инерции блока J динамическим методом, измерив ряд величин ε и М. Для более точного определения величины J в опыте получают зависимость ε = f(M), линейный характер которой (при Mтр= const позволяет рассчитать среднее значение J по угловому коэффициенту опытной прямой.

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ

1. Дайте определение величины углового ускорения.
2. Что называют моментом силы?
3. Что такое момент импульса тела?
4. Какая величина является моментом инерции материальной точки?
5. Чему равен момент инерции тела?
6. В каких единицах измеряют угловое ускорение, момент силы, момент инерции, момент импульса?
7. Сформулируйте закон динамики вращательного движения
8. Запишите закон динамики вращательного движения.
9. Какое вращение тела называют равноускоренным, каковы его условия?
10. Как направлены векторы ε, М и момент импульса тела L?
11. От чего зависят: а) угловое ускорение маятника, б) момент инерции маятника, в) момент силы, действующий на маятник?
12. Какая зависимость лежит в основе динамического метода измерения момента инерции ?
13. Какие величины определяют наклон прямой на графике ε = f(M)?
14. Как в работе изменяют момент силы?
15. Какие величины в работе измеряют для определения величин ε и М?
16. Как можно изменять момент инерции маятника в данной работе?
17. Запишите закон динамики вращательного движения для случая, когда момент инерции вращающегося тела не изменяется.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Опишите метод изучения закона динамики вращательного движения.
2. Чем обусловлена погрешность в этой работе?
3. Для каких целей используются графики?
4. Из каких соображений выбирают для графика размер осей?
5. Что указывают на осях графика?
6. Как выбирают границы интервалов на графиках?
7. Как выбирают масштаб числовых осей графика? Как его указывают?
8. Как проводят экспериментальную кривую на графике?
9. Через какую точку необходимо провести прямую на графике, если зависимость линейная?
10. Как определяют угловой коэффициент линейной зависимости?
11. Как находят случайную погрешность углового коэффициента?
12. Какие источники случайной погрешности приводят к «разбросу» точек на графиках при изучении движения?
13. Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.
14. Найти момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра a.

2.6.6 Эффект прилипания-скольжения в микромасштабе

Flash model

Introduction.

Микротрибология рассматривает трение тела с позиции сплошных сред. В отличие от нанотрибологии не учитывается атомарная структура вещества. Размер эффективной контактной площадки, характерной для микротрибологии, составляет 100 нм. При этом в молекулярном взаимодействии участвуют тысячи атомов и периодические особенности потенциала кристаллической решетки, играющие важную роль на наномасштабе, в микротрибологии несущественны, они становятся неразличимы.

Нашей задачей будет построение теоретической модели трения на микромасштабе и создание расчетной схемы. Во встроенной программе, реализующей данную одномерную численную модель, Вы сможете варьировать параметры задачи и следить, как при этом изменяется сила трения во время сканирования.

Причем мы не будем стремиться решить точную количественную задачу, предсказывающую результаты эксперимента, а построим принципиальную модель, объясняющую характер движения, в частности, так называемое явление «прилипания-скольжения».

Поэтому некоторые параметры будут привноситься в модель без их численных значений, а лишь из соображений адекватности получающих результатов.

В качестве модельных объектов возьмем образец с плоской поверхностью и зонд, находящийся с ним в контакте. Сканирование происходит в контактном режиме в направлении, перпендикулярном оси кантилевера.


Как моделируется кантилевер.

Рис. 1.  Модель кантилевера.

Кантилевер (вернее, его остриё) моделируется линейным двумерным осциллятором с затуханием (рис. 1). Так как мы строим одномерную модель, а сканирование происходит в поперечном направлении, нас будут интересовать только боковые отклонения зонда, которые преимущественно определяются торсионной деформацией (см. пункт 2.1.4). Кантилевер в этом случае описывается тремя параметрами: жесткостью торсионной деформации, коэффициентом затухания колебаний в данном направлении и эффективной массой осциллятора .

Торсионную жесткость кантилевера можно вычислить на основе его геометрических характеристик (см. пункт 2.1.4). Масса определяется из соотношения

(1)

где – частота первой моды торсионных колебаний.

Для коэффициента затухания можно принять значение, полученное из добротности тех же колебаний:

(2)


Физическая основа модели.

Кантилевер при движении по поверхности образца испытывает адгезионное притяжение. Происхождение этого взаимодействия в модели не обсуждается, и его характер просто постулируется. Природа адгезии при этом может быть различной – от взаимной диффузии длинных органических молекул до образования капиллярных пленок. Сила адгезии может меняться от некоторого минимального значения до максимального . Также вводится время релаксации , в течении которого, если неподвижный зонд привели в контакт с поверхностью, сила притяжения нарастает от до [1]:

(3)

Другими словами, чем дольше в данном месте находится кантилевер, тем сильнее он «приклеивается». Именно благодаря постулированию такого вида силы трения возникает нетривиальный эффект прилипания-скольжения, который обсудим ниже.

Введем понятие «возраста контакта» – эффективного времени, в течении которого зонд находился в контакте в данной точке. Возраст контакта (по определению) задается интегралом

(4)

В этой формуле – это функция, описывающая положение (координату) зонда при сканировании в предыдущие моменты времени. Интегрирование производится от возникновения контакта до текущего момента. Эффективный радиус взаимодействия – это расстояние, на которое надо сместить закрепленный конец кантилевера, чтобы разорвать связь между зондом и точкой поверхности. Несмотря на то, что возраст контакта зависит от всей предыстории сканирования, из-за наличия экспоненты существенный вклад в интеграл дают лишь те моменты времени, когда зонд находился в -окрестности данной точки. Таким образом, время, когда кантилевер находился далеко вне рассматриваемой окрестности, «забывается».

Для неподвижного зонда возраст контакта, естественно, совпадает со временем, прошедшим с момента соприкосновения. Если зонд движется по образцу равномерно со скоростью , то возраст контакта во всех точках одинаков и равен, как следует ожидать,

(5)


Уравнения модели.

Движение зонда подчиняется второму закону Ньютона [1, 5]:

(6)

где зависит от возраста контакта (3):

(7)

Левая часть включает собственную силу упругости кантилевера, возникающую за счет отклонении зонда от недеформированного состояния во время сканирования, а также затухание. Внешняя сила – правая часть уравнения – есть микроскопическая сила трения, обсуждаемая выше.

Система уравнений (6) и (7) полностью описывает построенную модель. Для удобства построения численной схемы можно заменить интегральное уравнение (4) на эквивалентное дифференциальное:

(8)

Для численного решения система (6-7) сводится к системе трех дифференциальных уравнений, а далее используется явная схема.


Эффект прилипания-скольжения.

В построенной модели при некоторых параметрах может проявляться эффект прилипания-скольжения – пилообразного изменения силы трения со временем. В системе уравнений (6-7) возникает неустойчивость решения по отношению к малым возмущениям. Характерный профиль силы трения при неустойчивом движении приведён на рис. 2 [1-5]. Он соответствуют прилипанию-скольжению: зонд задерживается в определённых точках, сила трения начинает возрастать, пока не произойдёт отрыв, и сила трения скачком упадёт до некоторого минимального значения.

Рис. 2.  Зависимость силы трения от времени.

Спектральный анализ линейных устойчивостей нелинейной системы уравнений, описывающей модель, позволяет определить критическое соотношение параметров задачи, при которых наступает переход от стабильного движения к неравномерному прилипанию-скольжению:

(9)

Важно то, что характер движения, устойчивый или неустойчивый, зависит от скорости сканирования. Существует некоторая критическая скорость , ниже которой равномерное скольжение переходит в прилипание-скольжение. В плоскости параметров при фиксированных остальных параметрах кривая , изображенная красной линией, разграничивает области стабильного и нестабильного движения.

Рис. 3.  Области стабильного движения и прилипания-скольжения.

График позволяет сделать вывод, что для любой жесткости существует некоторое значение скорости , выше которой прилипания-скольжения не наблюдается. Причём существует наибольшее значение , при котором (если взять предельно «мягкий» кантилевер ) возможен эффект прилипания-скольжения.

Однако в выражение (4) входят и другие параметры модели. Важно обсудить, как они влияют на возникновение неустойчивости. При изменении времени релаксации , радиуса взаимодействия , вариации силы , критическая кривая на рис. 3 будет смещаться. Можно показать, что при выполнении неравенства

(10)

область нестабильного движения на графике вообще исчезнет. Это означает, что при любой скорости сканирования скольжение будет равномерным. Поэтому для получения эффекта прилипания-скольжения мало подобрать скорость, необходимо, чтобы время релаксации и вариация силы были достаточно велики, а и наоборот малы.


Особенности численной реализации модели.

Проделав несложный анализ, можно убедиться, что уравнение (2) имеет недостаток. Если привести в контакт с образцом покоящийся зонд, то само собой за счет силы трения возникнет движение, что физически ошибочно. Подобные неприятности возникают при покое или очень низких скоростях движения зонда, поэтому в численную модель заложен «стабилизатор», направление силы трения выбирается исходя из следующих критериев:

(11)

Другая особенность состоит в том, что решение имеет как участки стабильного хода решения, так и скачки, которые для корректного расчета требуют весьма малый шаг интегрирования по времени. Для оптимизации вычислительных затрат был реализован алгоритм с адаптивным шагом. В случае сильного изменения решения, шаг интегрирования разностных уравнений уменьшается вдвое, в противоположном случае – возрастает.


Выбор параметров задачи.

Получение параметров кантилевера было обсуждено выше. Выбор остальных параметров, , , , , делается эмпирически, так, чтобы результаты моделирования были наиболее адекватны эксперименту. Нашей целью не является решение точной количественной задачи, позволяющей предсказывать результаты эксперимента, а построение принципиальной модели, объясняющей явление прилипания-скольжения.

Значение эффективного радиуса прилипания (адгезии) для широкого спектра материалов следует принимать равным ~ 0.2 нм, а время релаксации ~ 5 мс. В свою очередь, минимальная сила и вариация силы задаются, исходя из наблюдаемого коэффициента трения материалов, а также проявления эффекта прилипания-скольжения.

Во встроенной программе (см. Flash модель) по умолчанию задаются наиболее характерные значения перечисленных параметров, которые позволяют увидеть главные особенности модели микротрения:

скорость
область сканирования
частота первой торсионной моды (кантилевер типа CSC12(B))
эффективная масса
добротность
затухание
минимальное значение силы
вариация силы трения
время релаксации
радиус взаимодействия


Сравним результаты численного моделирования с экспериментальными данными. Параметры численного моделирования (рис. 4):

скорость
область сканирования
кантилевер
минимальное значение силы
вариация силы трения
время релаксации
радиус взаимодействия


Рис. 4.  Результаты численного моделирования.

Параметры эксперимента (рис. 5):

скорость
область сканирования
кантилевер
образец
SetPoint = 0.36 нА (сила придавливания 2.1 нН)


= 110 мкм/с
= 11 мкм
типа CSC12(B)
гладкий кремний

Рис. 5а.  Экспериментальные результаты при направлении сканирования слева направо.

Рис. 5б.  Экспериментальные результаты при направлении сканирования справа налево.

Силу трения найдем по формуле (1) пункта 2.6.4: = 170 нН, = 500 нН.

Видно, что при смене направления сканирования изменяется знак сигнала LAT, это означает, что кантилевер закручивается в разные стороны при разных направлениях сканирования.

Периоды пиков залипания в результатах моделирования и в эксперименте совпадают и равны ~ 1 мкм. Однако следует отметить, что при этом сила отличается на два порядка величины.


Что позволяет встроенная программа.

Встроенная программа расчёта (см. Flash модель) позволяет задать параметры задачи и получить зависимость сигнала LAT от времени, который пропорционален силе трения, а также увидеть возраст контакта для каждого момента времени. Выбрать ту или иную зависимость для просмотра можно при помощи выпадающего меню в правом верхнем углу после окончания расчёта.

Вы можете изменять параметры (значение которых установлено по умолчанию):


Рассмотрим результаты.

Рассмотрим несколько примеров. Воспользуемся установленными по умолчанию значениями параметров и будем менять только скорость сканирования и время релаксации.

Случай 1.

Параметры: = 5 мс; = 5 мкм/с; = 500 нм.

Это типичный случай прилипания-скольжения. Точка параметров находится в области неустойчивости графика рис. 3.

Сила (вернее сигнал LAT, описывающий упругое отклонение зонда под действием трения) имеет пилообразный профиль. Возраст контакта также изменяется неравномерно, что говорит о том, что зонд движется рывками, задерживаясь в точках прилипания.

Случай 2.

Параметры: = 5 мкс; = 5 мкм/с; = 100 нм.

Стартовав, зонд движется равномерно, прилипания-скольжения нет. При столь малом времени релаксации выполняется условие (10) отсутствия области неустойчивости на графике вида рис. 3. Фактически это означает, что при равномерном движении зонда во всех точках успевает произойти релаксация, т.к. возраст контакта ( = 40 мкс) много больше . Кантилевер при этом испытывает максимальную силу трения . Если взглянуть на график возраста контакта, то видно, что после задержки в начальной точке, пока кантилевер переходил в деформированное состояние, возраст контакта становится постоянным и равным .

Случай 3.

Параметры: = 20 мс; = 5 мкм/с; = 100 нм.

После того, как закончились установочные процессы, в ходе которых зонд рывками «отлеплялся» от начальной точки, где успел основательно «приклеиться» к поверхности, зонд движется равномерно. Из-за изменения критическая кривая графика рис. 3 опустилась вниз, и точка параметров оказалась в области устойчивости. Уменьшив скорость, например, до = 1 мкм/сек, можно снова наблюдать эффект прилипания-скольжения. Вместо уменьшения скорости можно выбрать более длинный кантилевер, например CSC12(D), имеющий из-за этого меньшую жесткость. Это опять-таки обеспечит попадание в область параметров, при которых наблюдается неустойчивое движение.

Случай 4.

Параметры: = 20 мс; = 25 мкм/с; = 100 нм.

Скорость сканирования высока настолько, что возраст контакта оказывается равным всего = 8 мкс, поэтому ни о какой релаксации, на которую требуется 20 мс, речи не идет. Сила трения равна своему минимальному значению .


Литература.

  1. Persson B.N.J., in: Micro/Nanotribology and its Applications, ed. B. Bhushan (Kluwer, Dordrecht, 1997).
  2. Meurk A., Tribology Letters 8 (2000) 161-169.
  3. Scherge Matthias. Biological micro-and nanotribology: Nature’s solutions / Scherge Matthias, Gorb Stanislav N. — Berlin etc.: Springer, 2001. — XIII, 304.
  4. Handbook of micro/nanotribology/ Ed. by Bhushan Bharat . — 2d ed. — Boca Raton etc.: CRC press, 1999. — 859.
  5. Batista A.A., Carlson J.M., Physical Review E 57 (1998) 4986-4996.

границ | Переходное и устойчивое трение скольжения эластомеров: влияние вертикального подъема

Введение

Хорошо известно, что скользящий контакт эластомеров включает в себя различные типы динамики из-за трения. Физические явления, такие как распространение волн (Schallamach, 1971; Barquins, 1985; Rubinstein et al., 2004; Maegawa, Nakano, 2010), образование структур износа (Schallamach, 1957; Fukahori, Yamazaki, 1994) и нелинейные колебания (Nakano and Maegawa, 2009; Yamaguchi et al., 2011; Nakano et al., 2019) привлекли внимание многих научных и инженерных исследователей. Среди различных эластомеров резина является материалом, которому уделяется наибольшее внимание в различных практических приложениях (например, в шинах, уплотнениях и обуви). Со времени исследования, проведенного Грошем (1963), показывающего эталонную кривую коэффициента трения в соответствии с теорией Вильямса – Ланделя – Ферри (WLF) (Williams et al., 1955), важность вязкоупругости была признана, а зависимость трения коэффициент по температуре и скорости был исследован [e.г., Попов и др. (2018)]. Совсем недавно было обнаружено несколько набухших полимеров, демонстрирующих высокую эластичность и сверхнизкое трение (например, гидрогели и полимерные щетки) (Gong et al., 2001; Nomura et al., 2011), некоторые из которых разрабатываются для практического применения. (Belin et al., 2018; Tadokoro et al., 2020), и их трибологические свойства также обсуждались в связи с их вязкоупругими свойствами (Mizukami et al., 2019).

Чтобы понять трение скольжения эластомеров, были предложены различные типы методов моделирования.Среди них те, у которых есть «вязкоупругая основа», как известно, обладают сильными преимуществами не только в том, что они позволяют избежать трудностей теории упругого контактного напряжения, но также в предоставлении интуитивно понятных изображений того, как происходит диссипация энергии внутри контакта. Первым было расширение упругого основания (т. Е. Основания Винклера) от задач стационарного контакта тонких пленок до задач устойчивого скользящего контакта эластомеров (May et al., 1959; Johnson, 1985). Затем, недавно, в новой структуре «метода уменьшения размерности», изобретенной Поповым и его коллегами, метод моделирования получил прогресс, позволив нам анализировать истинный трехмерный контакт с высокой точностью (Popov, 2010; Popov and Heß, 2015; Куще, 2017).Например, Ли и др. (2015) численно и теоретически исследовали кинетику коэффициента трения для скользящего контакта между плоским эластомером (смоделированным на основе Кельвина – Фойгта) и грубым жестким индентором (смоделированным самоаффинным фракталом) при резком изменении скорости движения двигателя. . В результате они обнаружили интересные временные изменения (то есть скачки и релаксации) коэффициента трения в зависимости от скорости движения и показателя Херста самоаффинного фрактала при рассмотрении квазистатических процессов.

Основываясь на вышеизложенном, цель этого исследования состояла в том, чтобы найти ответ на следующий вопрос: каковы минимальные требования для моделирования с использованием вязкоупругих оснований для описания переходного трения, возникающего в начале скольжения между эластомером и индентором? В этой статье, чтобы дать возможный ответ в минимальной ситуации, мы рассматриваем простой линейный контакт между плоским эластомером и цилиндрическим жестким индентором, уделяя особое внимание граничному условию жесткого индентора в вертикальном направлении при ограничении, что эластомер моделируется традиционным фундаментом Кельвина – Фойгта.Два типа моделей с различными граничными условиями показывают, что вертикальная динамика жесткого индентора сильно влияет не только на возникновение переходного трения скольжения, но и на характеристики установившегося трения скольжения.

Обратите внимание, что вышеупомянутое представление о граничном условии в вертикальном направлении происходит из типичной структуры систем скольжения при смазке жидкой пленкой, поскольку, когда смазка жидкой пленкой рассматривается теоретически, естественно предположить, что «ползун» (соответствующий к «индентору» в этом исследовании) сдвигается по вертикали, чтобы найти положение для балансировки с приложенной нормальной нагрузкой.Также обратите внимание, что в целом известно, что трение эластомеров возникает в результате двух различных механизмов. Один из них — это «адгезия», рассеяние энергии которой происходит на поверхности контакта между эластомером и индентором [то есть адгезионное трение (например, Мур и Гейер (1972))], а другой — «вязкоупругость». диссипация энергии, которая происходит внутри эластомеров [т. е. гистерезисное трение (например, Мур и Гейер (1974))]. Хотя оба механизма важны и должны быть взаимосвязаны, в данном исследовании первый игнорируется, а основное внимание уделяется второму.

Модели

Конструкции

На рисунке 1 показаны два типа моделей трения скольжения эластомеров, рассматриваемых в данном исследовании. Левая часть называется «моделью фиксированного индентора (FI)», а правая — «моделью подвижного индентора (MI)». Это модели, описывающие двумерный скользящий контакт между жестким индентором и вязкоупругим основанием в плоскости x z ​​, где оси x и z взяты в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.

Рисунок 1 . Два типа моделей для скользящего контакта между жестким цилиндрическим индентором и плоским эластомером (моделируются вязкоупругим основанием). (слева) Модель фиксированного индентора (FI). (Справа) Модель подвижного индентора (MI).

Жесткий индентор (масса на единицу ширины: M ) имеет цилиндрическую форму (радиус кривизны: R ), нижняя поверхность которого контактирует с вязкоупругим основанием. В модели FI жесткий индентор закреплен на жестких стенках, чтобы он не мог двигаться в любом направлении.В модели MI, с другой стороны, жесткий индентор поддерживается линейным подшипником без трения, чтобы иметь возможность перемещаться только в вертикальном направлении. Обратите внимание, что граничное условие жесткого индентора — единственное различие между ними.

Вязкоупругая основа состоит из бесконечного числа вязкоупругих элементов, установленных на жестком основании через равные промежутки времени в горизонтальном направлении. Каждый вязкоупругий элемент представляет собой элемент Кельвина – Фойгта с одной степенью свободы, состоящий из вертикальной пружины (жесткость на единицу ширины: k ) и вертикального демпфера (коэффициент демпфирования на единицу ширины: c ) с таким же естественным длина; в результате его невозмущенная поверхность представляет собой горизонтальную плоскость z = 0.Обратите внимание, что при использовании жесткости на единицу площади ( K ) и коэффициента демпфирования на единицу площади ( C ) вязкоупругого основания, k и c даются как k = K / Н и c = C / N соответственно, где N — количество вязкоупругих элементов на единицу длины. Также обратите внимание, что здесь мы предполагаем, что верхний конец каждого вязкоупругого элемента контактирует с жесткой поверхностью индентора без сцепления и без трения.

Благодаря вышеупомянутым конструкциям нормальная нагрузка на единицу ширины ( W ) модели FI определяется глубиной вдавливания δ [то есть W = W (δ), где δ является постоянным], в то время как модель MI определяется силой тяжести [т.е. W = Mg , где g — гравитационная постоянная]. Кроме того, в обеих моделях жесткое основание приводится в движение горизонтально со скоростью V . Таким образом, мы можем сказать, что модель FI представляет собой «систему скольжения с постоянным зазором», а модель MI представляет собой «систему скольжения с собственным весом.Или мы можем также сказать, что модели FI и MI представляют два предельных случая, соответствующих «очень жесткому предмету» и «очень мягкому предмету» соответственно.

Управляющие уравнения

Когда жесткий индентор проникает в вязкоупругое основание на δ> 0, поверхности индентора в моделях FI и MI имеют значение

. z = h (x) -δ (модель FI) (1) z = h (x) -δ (t) (модель MI) (2)

соответственно, где t — время, а h ( x ) — функция формы индентора:

Предположим, что вязкоупругий элемент и при x = x i ( t ) контактирует с поверхностью индентора (см. Рисунок 2).Степень сжатия и сжатия вязкоупругого элемента и в модели FI составляет

. ui (t) = — h (xi) + δ (модель ФИ) (4) u.i (t) = — h ′ (xi) V (модель ФИ) (5)

соответственно, а в модели MI —

ui (t) = — h (xi) + δ (t) (модель MI) (6) u.i (t) = — h ′ (xi) V + δ. (t) (модель MI) (7)

соответственно, где ( · ) и (‘) — производные по отношению к t и x соответственно. Затем, как показано слева на рисунке 2, на подэлемент PQR действуют четыре типа местных сил: нормальная сила f Ni в точке P (от жесткого индентора), восстанавливающая сила ку i при Q (от пружины) демпфирующая сила куб.i в R (от демпфера), и горизонтальная сдерживающая сила f Ci (от пружины и демпфера). Учитывая, что подэлемент PQR безмассовый, получаем следующие уравнения баланса сил в вертикальном и горизонтальном направлениях:

kui + cu.i = fNi cos θi (8) fCi = fNi sin θi (9)

соответственно, где

загар θi = -h ′ (xi) (10)

при –π / 2 <θ i <π / 2, и из уравнения (8)

fNi = kui + cu.icos θi (11)

Теперь, как показано справа на рисунке 2, нормальная сила действует на жесткий индентор в точке P со стороны вязкоупругого элемента и , которая является силой реакции нормальной силы f Ni слева от Фигура 2.Следовательно, вертикальная и горизонтальная составляющие нормальной силы равны

. fzi = fNi cos θi = kui + cu.i (12) fxi = fNi sin θi = -h ′ (xi) fzi (13)

соответственно. Обратите внимание, что из уравнений (9) и (13) горизонтальная ограничивающая сила определяется как f Ci = f xi . Следовательно, общая вертикальная сила F ​​ z и полная горизонтальная сила F ​​ x , действующая на жесткий индентор со стороны вязкоупругого основания, равны

.

соответственно.Наконец, вертикальное положение дна индентора A в модели FI равно

zA = -δ (модель FI) (16)

, а в модели MI он определяется уравнением движения:

Mz¨A = Fz-Mg (модель MI) (17)

, который определяет δ и δ. в уравнениях (6) и (7) следующим образом:

δ (t) = — zA (t) (модель MI) (18) δ. (t) = — z.A (t) (модель MI) (19)

Обратите внимание, что когда вязкоупругий элемент i не контактирует с поверхностью индентора, очевидно, что f Ni = 0 и, следовательно, f zi = f xi = 0.Тогда степень сжатия бесконтактного элемента равна

u.i = -uiτ (бесконтактный) (20)

, где τ — время замедления вязкоупругого элемента, определяемое как

.

или, используя макроскопические свойства вязкоупругого основания,

Следовательно, при нарушении контактным элементом следующего условия:

ui≥h ′ (xi) Vτ (модель ФИ) (23) ui≥h ′ (xi) Vτ + z˙Aτ (модель MI) (24)

отрывается от жесткой поверхности индентора. Отметим, что дифференциальное уравнение первого порядка (20) для бесконтактного элемента имеет следующее решение:

ui (t) = ui (t0) exp (-t-t0τ) (бесконтактный) (25)

, где t 0 — постоянная.

Рисунок 2 . Местные силы на вязкоупругом элементе (Кельвина – Фойгта). (слева) Местные силы, действующие на подэлемент PQR в вязкоупругом элементе и . (Справа) Местная сила, действующая на жесткий индентор со стороны вязкоупругого элемента и .

Методы

Системы основных уравнений в предыдущем разделе были решены численно для моделей FI и MI. Для решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (17) для модели MI использовался метод Рунге – Кутта, в котором дискретизация по времени определялась как Δ t = 2Δ x / V = 2/ NV .

Стандартные значения параметров для численного моделирования перечислены в таблице 1. Обратите внимание, что обе модели включают шесть независимых параметров ( R, K , τ, N , δ и V в модели FI; R, M , K , τ, N и V в модели MI). Однако, поскольку N (= 1 / Δ x ) является параметром пространственной дискретизации, количество основных параметров равно пяти для каждой модели. Также обратите внимание, что если мы представим «тонкий» эластичный лист толщиной h = 1 мм в качестве вязкоупругого основания, можно сказать, что жесткость на единицу площади K = 10 Гн / м 3 соответствует эффективный модуль упругости E ~ Kh = 10 МПа, хотя он сильно зависит от граничных условий крепления эластомера на жестком основании [т.е.г., Попов (2010)].

Таблица 1 . Стандартные значения параметров для численного моделирования.

Результаты

На рисунке 3 показаны численные результаты временных изменений репрезентативных переменных для модели FI (левый столбец) и модели MI (правый столбец) при стандартных условиях (таблица 1). Обратите внимание, что, как показано синими линиями в верхнем ряду, скорость привода резко увеличилась с V = 0 до 100 мм / с при t = 0.

Рисунок 3 .Численные результаты для модели фиксированного индентора (слева) и модели подвижного индентора (справа) : временные изменения скорости движения V (верхний ряд), положение индентора z A (второй ряд), общая вертикальная сила F ​​ z (третий ряд) и общая горизонтальная сила F ​​ x (нижний ряд) при стандартных условиях (значения параметров см. В таблице 1).

Во-первых, из результатов для модели FI мы находим, что положение индентора обеспечивало начальное условие ( z A = -0.3 мм, F ​​ z ~ 10 Н / мм и F ​​ x = 0). Затем F ​​ z и F ​​ x были немедленно увеличены на t = 0 и сохранили увеличенные значения ( z A = -0,3 мм, F ​​ z ~ 35 Н / мм и F ​​ x ~ 5 Н / мм).

Затем, исходя из результатов для модели MI, мы находим, что сила тяжести обеспечивала то же начальное состояние, что и в предыдущей модели.Однако ответы были совершенно разными, показывая отчетливое «переходное скольжение» к «устойчивому скольжению». Жесткий индентор начал двигаться «вверх» при t = 0, а затем постепенно приблизился к z A ~ -0,1 мм с постоянной времени порядка «10 мс» (вторая строка). Отклик F ​​ z был резким: он сразу увеличился до F ​​ z ~ 30 Н / мм при t = 0, затем быстро снизился до F ​​ z ~ 9 Н / мм с постоянной времени порядка «1 мс» и постепенно возвращается к F ​​ z ~ 10 Н / мм (третья строка).Отклик F ​​ x также был резким: он сразу увеличился до F ​​ x ~ 5 Н / мм при t = 0, затем быстро снизился до F ​​ x ~ 2 Н / мм с постоянной времени «1 мс» и постепенно приближается к F ​​ x ~ 1 Н / мм с постоянной времени «10 мс» (нижний ряд). Следует отметить, что реакция F ​​ x напоминает типичный переход от статического трения к кинетическому трению, хотя статическое трение не учитывалось.Это переходное поведение будет обсуждаться в следующем разделе.

На рисунке 4 показаны численные результаты пространственно-временных изменений контактного давления p ( x, t ) = Nf N ( x, t ) при тех же условиях, что и на предыдущем рисунке, где абсцисса — горизонтальное положение x , ордината — время t , а величина p представлена ​​оттенком красного цвета. Синие линии показывают временные изменения горизонтальных положений передней и задней кромок области контакта, обозначенные как x LE ( t ) и x TE ( t ) соответственно.

Рисунок 4 . Численные результаты для модели фиксированного индентора (слева) и подвижного индентора модели (справа) : пространственно-временные изменения контактного давления p ( x, t ) при стандартных условиях (значения параметров см. В таблице 1). LE, передний край контакта; TE, задний край контакта.

Во-первых, из результатов для модели FI мы снова находим, что реакция не сопровождалась какими-либо переходными процессами. Что касается краев, то они были расположены на x LE = −2.4 мм и x TE = 2,4 мм в качестве исходного состояния. После t = 0 передняя кромка сохранила положение, в то время как задняя кромка сразу сместилась влево до x TE = 0,3 мм при t = 0 и сохраняла положение для t > 0 ( что наблюдается как отслаивание контактной поверхности на выходной стороне). Что касается контактного давления, оно было симметричным для t <0, показывая максимальное p max ~ 3 МПа в контактном центре и минимальное p min = 0 на обоих краях.После t = 0 он показал максимальное значение p max > 20 МПа на передней кромке и минимальное значение p min = 0 на задней кромке.

Затем, исходя из результатов для модели MI, мы снова обнаруживаем, что реакция сопровождалась отчетливыми переходными процессами. Что касается краев, то они были расположены на тех же позициях, что и у предыдущей модели. Однако после t = 0 сместилась не только задняя кромка, но и передняя кромка (что наблюдается как одновременное отслаивание контактной площадки с обеих сторон).Передняя кромка начала двигаться вправо при t = 0, а затем постепенно приблизилась к x LE = -1,3 мм с постоянной времени «10 мс». Между тем, задняя кромка сразу переместилась влево до x TE ~ 0 при t = 0, затем продолжила движение влево до x TE ~ -1 мм с постоянной времени «1. мс », а затем постепенно приблизился к предельному значению x TE = 0,1 мм с постоянной времени« 10 мс.Что касается контактного давления, начиная с того же начального состояния, что и у предыдущей модели, после t = 0 оно показало максимум на передней кромке и минимум на задней кромке. Например, при устойчивом скольжении p max ~ 14 МПа на передней кромке и p min = 0 на задней кромке.

Обсуждение

Переходное трение скольжения

Путем прямого сравнения численных результатов для двух типов моделей (рис. 1) мы обнаружили, что граничные условия жесткого индентора являются критическими для возникновения переходного скольжения.Вертикальное перемещение жесткого индентора вызывает его движение вверх (называемое «вертикальным подъемом» жесткого индентора) при приложении скорости движения (Рисунок 3), что приводит к резкому пространственно-временному изменению площади и давления контакта (Рисунок 4).

Во-первых, в модели FI горизонтальные положения передней и задней кромок задаются

xLE = -a (модель FI) (26) xTE = a2 + lr2-lr (модель FI) (27)

соответственно, где a — половина длины неподвижного контакта, а l r — длина запаздывания, определяемая как

соответственно.Обратите внимание, что x LE является постоянным, а x TE является функцией l r . Из уравнений (26) и (27) мы находим, что существует два предельных случая:

(xLE, xTE) = (- a, a) для lr≪a (модель FI) (30) (xLE, xTE) = (- a, 0) для lr≫a (модель FI) (31)

, где первое означает «не отслаивание» всей площади контакта, а последнее означает «полное отслаивание» зоны контакта на выходной стороне. Следовательно, например, когда скорость привода увеличивается, площадь контакта изменяется с «симметричной» [уравнение (30)] на «асимметричную» [уравнение (31)].Обратите внимание, что x TE , заданное уравнением (27), сразу же определяется при приложении скорости привода, что является причиной того, почему реакция модели FI не сопровождается какими-либо переходными процессами.

Тогда в модели MI горизонтальные положения передней и задней кромок задаются как

xLE = -a (модель MI) (32) xTE = a2 (1 + τδ.δ) + lr2-lr (модель MI) (33)

соответственно, где δ = δ ( t ) и, следовательно, a = a (δ) = a ( t ), что является причиной того, почему модель MI создает переходные процессы.В уравнениях (32) и (33) мы находим два источника, создающих временные изменения. Один из них — a ~ δ 1/2 , который сжимает площадь контакта симметрично за счет вертикального подъема жесткого индентора. По временному изменению x LE справа на рисунке 4, мы можем сказать, что в стандартных условиях постоянная времени «10 мс» была вызвана этим эффектом. (Кроме того, изменение во времени z A справа на рисунке 3 подтверждает этот вывод.Другой — δ. / Δ, расположенный под знаком квадратного корня в уравнении (33), работает только для задней кромки, которая асимметрично деформирует контактную площадку. По временному изменению x TE справа на рисунке 4, мы можем сказать, что в стандартных условиях постоянная времени «1 мс» была вызвана этим эффектом.

На основании вышеизложенного, давайте рассмотрим резкий отклик F ​​ x справа на рисунке 3. Как мы видели в предыдущем разделе, временное изменение F ​​ x в Модель MI очень похожа на типичный переход от статического трения к кинетическому, несмотря на то, что статическое трение не учитывается при моделировании.Если мы наблюдали этот тип реакции в экспериментах, мы, вероятно, полагали, что это вызвано типичным адгезионным трением, состоящим из двух типов трения. Фактически, острая реакция состоит из следующих трех частей. Первый — это немедленное увеличение в ответ на резкое увеличение скорости движения при t = 0. Это, очевидно, вызвано демпфированием C основания Кельвина – Фойгта, которое по существу идентично отклику, наблюдаемому в FI. модель при т = 0.Второй — быстрое уменьшение с постоянной времени «1 мс». Рассматривая обсуждение в предыдущем абзаце, мы можем сделать вывод, что быстрое уменьшение вызвано быстрым движением задней кромки для уменьшения площади контакта. Третий — постепенное уменьшение с постоянной времени «10 мс». Принимая во внимание обсуждение в предыдущем абзаце, естественно сказать, что постепенное уменьшение F ​​ x вызвано постепенным перемещением обоих краев. Однако, учитывая также, что контактное давление принимает максимальное значение p max на передней кромке и минимальное p min = 0 на задней кромке (Рисунок 4), мы можем сделать вывод, что постепенное уменьшение F x в основном вызвано постепенным перемещением передней кромки.Снова обратите внимание, что вторая и третья части F ​​ x в модели MI никогда не появляются в модели FI, что говорит нам о том, что вертикальный подъем жесткого индентора важен для колючего ответа.

Устойчивое трение скольжения

Путем численного моделирования для изучения реакции на резкое увеличение скорости привода мы обнаружили, что реакция модели FI не сопровождается какими-либо переходными процессами (что означает, что установившееся трение скольжения возникает немедленно), в то время как реакция модели МИ сопровождается отчетливыми переходными процессами, за которыми следует установившееся трение скольжения.В этом разделе мы сосредоточимся на устойчивом трении скольжения.

Ситуацию устойчивого скольжения дает

δ. = 0 (установившееся скольжение) (34)

, который сводит основные уравнения для модели MI к уравнениям для модели FI. Например,

ui (t) = — h (xi) + δ (установившееся скольжение) (35) u.i (t) = — h ′ (xi) V (установившееся скольжение) (36)

Однако, как видно из численных результатов для t > 100 мс на Рисунке 3, нормальная нагрузка W (= F ​​ z при установившемся скольжении) и сила трения F ​​ (= F x в устойчивом скольжении) для модели MI значительно отличаются от таковых для модели FI (т.е.е., Вт, ~ 35 Н / мм и F, ~ 5 Н / мм для модели FI, в то время как Вт, ~ 10 Н / мм и F ​​ ~ 1 Н / мм для модели MI). Обратите внимание, что разница вызвана граничным условием жесткого индентора: модель FI представляет собой «систему скольжения с постоянным зазором», в которой контролируется глубина вдавливания δ, а модель MI представляет собой «систему скольжения с собственным весом» в которой регулируется нормальная нагрузка Вт, (= Мг, ). Поэтому, когда кто-то пытается измерить трение скольжения эластомеров, обязательно уделять много внимания граничному условию встречной поверхности: в противном случае измеренные значения могут потерять свой смысл.

Приведенное выше обсуждение подтверждается рисунком 5, на котором показаны численные результаты устойчивого скольжения для модели FI (левый столбец) и модели MI (правый столбец). Обобщены зависимости δ (верхний ряд), W (второй ряд), F ​​ (третий ряд) и μ (нижний ряд) от V в установившемся скольжении, где μ — коэффициент трения при установившемся скольжении. скольжение, определяется как

μ = FW (устойчивое скольжение) (37)

Значения τ: 10 −2 с (черный), 10 −1 с (синий) и 10 0 с (красный), а значения других параметров такие же, как и в стандартных условиях. (Таблица 1).Из-за различия граничных условий зависимости μ от скорости для моделей FI и MI отличаются друг от друга: при высоких- V модель FI показывает предельное значение μ ~ 0,2, а модель MI показывает отрицательная зависимость μ от В с наклоном −0,5. Кроме того, обнаружено, что три кривые на каждом графике на рисунке 5 расположены через равные промежутки времени, что означает, что произведение V и τ (т.е. l r = ) является важным параметром. для обеих моделей.

Рисунок 5 . Результаты расчетов в установившемся скольжении для фиксированного индентора модели (слева) и подвижного индентора модели (справа) : влияние времени задержки τ на скоростные зависимости глубины вдавливания δ (вверху) , нормальной нагрузки Вт (второй ряд ), силу трения F ​​ (третий ряд) и коэффициент трения μ (нижний ряд). Черные линии, τ = 10 −2 с; синие линии, τ = 10 −1 с; красные линии, τ = 10 0 с (другие значения параметров см. в таблице).

Посредством серии численного моделирования при различных наборах параметров были получены эталонные кривые по μ в установившемся скольжении для двух типов моделей (см. Рисунок 6). Красная кривая на левом графике — эталонная кривая для модели FI, ордината и абсцисса которой — μ ( R / δ) 1/2 и В τ ( R δ) −1. / 2 , соответственно, а красная кривая на правом графике — эталонная кривая для модели MI, ордината и абсцисса которой — μ ( KR 2 / W ) 1/3 и V τ ( K / RW ) 1/3 соответственно.Следует подчеркнуть, что каждая величина, присвоенная осям на рисунке 6, безразмерна.

Рисунок 6 . Основные кривые коэффициента трения μ при устойчивом скольжении для фиксированного индентора модели (слева) и подвижного индентора модели (справа) . Красные сплошные линии: эталонные кривые, полученные численно, черные пунктирные линии: асимптоты, полученные теоретически.

Чтобы исследовать асимптоты мастер-кривых, мы снова рассмотрим два предельных случая:

(xLE, xTE) = (- a, a) для lr≪a (устойчивое скольжение) (38) (xLE, xTE) = (- a, 0) для lr≫a (устойчивое скольжение) (39)

, где опять же, первое означает «не отслаивание» всей области контакта, а последнее означает «полное отслаивание» области контакта на выходной стороне.Во-первых, когда l r a , W и F ​​ можно оценить на

W ~ ∫-aaKu (x) dx = 2αR1 / 2Kδ3 / 2 (40) F ~ ∫-aa-h ′ (x) Cu. (х) dx = 2αR-1 / 2CVδ3 / 2 (41)

соответственно, где α = 22/3. Следовательно, μ для первого предельного случая [Уравнение (38)] равно

μ = CVRK (асимптоты L1-FI и L1-MI) (42)

Тогда, когда l r a , W и F ​​ можно оценить как

W ~ ∫-a0Cu.(x) dx = CVδ (43) F ~ ∫-a0-h ′ (x) Cu. (х) dx = αR-1 / 2CVδ3 / 2 (44)

соответственно. Следовательно, μ для второго предельного случая [Уравнение (39)] равно

μ = αδR (асимптота L2-FI) (45)

или, используя уравнение (43),

μ = αWRCV (асимптота L2-MI) (46)

Черные пунктирные линии на рисунке 6 — это асимптоты, указанные выше. Теперь мы находим отличное согласие асимптот с мастер кривыми. Обратите внимание, что уравнения (42) и (46) такие же, как и у Попова (2010).

Зависимость коэффициента трения от скорости

В этом разделе, основываясь на рисунке 6, рассмотрим зависимости коэффициента трения от скорости.На рисунке 6 скорость привода V включена только по оси абсцисс. Поэтому, исходя из пересечения двух асимптот, мы вводим критическую скорость V * , определяемую как

V * ~ KRδC (модель FI) (47) V * ~ RK2W3C (модель MI) (48)

При использовании V * формулы для оценки коэффициента трения приведены в таблице 2.

Таблица 2 . Зависимости коэффициента трения при установившемся скольжении от скорости (α = 22/3).

Сначала рассмотрим случай В В * . Из третьей строки таблицы 2 мы находим, что формулы для обеих моделей одинаковы, что означает, что при V V * эффект вертикального подъема незначителен, хотя жесткий индентор может перемещаться вертикально в модель MI. Кроме того, учитывая предположение, данное уравнением (38), мы обнаруживаем, что при В В * отслаивание контактной области на выходной стороне также незначительно в обеих моделях.Зависимость μ от скорости равна μ ~ В 1 , что означает, что она вызвана демпфированием фундамента Кельвина – Фойгта.

Далее рассмотрим случай В В * . Из нижнего ряда таблицы 2 мы видим, что формулы для двух типов моделей различаются, что означает, что когда V V * , эффект вертикального подъема сильно проявляется в модели MI. Из уравнения (43) мы находим, что эффект вертикального подъема появляется согласно

δ ~ V-1 для V≫V * (модель MI) (49)

, что подтверждается численными результатами, показанными на верхнем правом графике рисунка 5, где уменьшение δ означает увеличение z A (= –δ): то есть вертикального подъема жесткого индентора.Кроме того, учитывая предположение, данное уравнением (39), мы обнаруживаем, что при В В * в обеих моделях происходит полное отслаивание контактной области на выходной стороне. Что касается зависимости μ от скорости в модели FI, то это μ ~ V 0 (т.е. μ является постоянным). Это связано с тем, что, когда V V * , демпфирование становится доминирующим, и, следовательно, восстановление становится незначительным, что приводит к ситуации, когда оба значения W и F ​​ пропорциональны V , поскольку показано в уравнениях (43) и (44).Что касается зависимости μ от скорости в модели MI, с другой стороны, она показывает отрицательную зависимость μ ~ V −1/2 , которая вызвана вертикальным подъемом жесткого индентора.

В результате мы находим, что в модели MI функция μ = μ ( В ) имеет локальный максимум при В ~ В * . Обратите внимание, что в течение многих десятилетий этот тип зависимости от скорости наблюдался и обсуждался рядом исследователей для трения скольжения эластомеров, которое, по-видимому, в основном понимается как частотная зависимость вязкоупругости (Persson, 2001; Momozono et al., 2010; Карбоне и Путиньяно, 2013). Однако модель MI дает качественно аналогичную зависимость, хотя частотная зависимость фундамента Кельвина – Фойгта не имеет локального максимума, где он вызван вертикальным подъемом жесткого индентора.

Также отметим, что отрицательная зависимость μ ~ В −1/2 означает

μ → 0 для VV * → ∞ (модель MI) (50)

, что дает нам представление о сверхнизком трении. Если мы попытаемся воплотить ситуацию Уравнения (50) в реальных системах, не только увеличение В, , но также уменьшение В, * будет многообещающим, способ которого показан Уравнением (48).Вероятно, наиболее эффективным параметром является демпфирование C (или время замедления τ = C / K ). Согласно уравнению, увеличение C приводит к уменьшению V * , что приводит к приближению к ситуации уравнения (50). Следует отметить, что эта концепция никогда не может быть воплощена в модели FI, потому что увеличение C при постоянном δ просто линейно увеличивает F ​​, как показано в уравнении (44). Следовательно, ключевым является эффект вертикальной подъемной силы, возникающий при подвижном граничном условии жесткого индентора.

Недавно внимание привлекли несколько набухших полимеров со сверхнизким трением (например, гидрогели и полимерные щетки), вдохновленные естественными трибосистемами в человеческих телах (например, глазами и суставами) (Klein et al., 1994; Lee and Spencer, 2008 г.). Важным аспектом, очевидно, являются низкие адгезионные свойства поверхностей, обусловленные их «микроскопической» структурой. Однако, как еще один важный аспект, также необходимы надлежащие «макроскопические» структуры для их правильного использования в различных условиях.По крайней мере, вспоминая результаты по переходному скольжению (рис. 3), мы можем сказать, что при смазанном скольжении эластомеров макроскопические структуры, использующие эффект вертикального подъема за счет вязкоупругости, по-видимому, имеют сильные преимущества для плавного перехода к режиму смазки жидкой пленкой. особенно в начале скольжения.

Выводы

В этом исследовании трение скольжения эластомеров было исследовано численно и теоретически для линейного контакта между цилиндрическим жестким индентором и «бесфрикционным» фундаментом Кельвина – Фойгта.Начало скольжения при резком увеличении скорости привода моделировалось с различными граничными условиями жесткого индентора. Основные выводы таковы:

1. Когда жесткий индентор не может двигаться в любом направлении, возникает резкое изменение силы трения, не сопровождающееся какими-либо переходными процессами. Однако, когда жесткий индентор может перемещаться в вертикальном направлении, появляется переходное трение скольжения, включающее три различные постоянные времени, напоминающее типичный переход от статического трения к кинетическому трению, несмотря на отсутствие статического трения, учитываемого при моделировании.Вышеупомянутая резкая разница вызвана «вертикальным подъемом» жесткого индентора, вызванным демпфированием фундамента Кельвина – Фойгта.

2. Когда скорость движения достаточно низкая, эффект вертикального подъема незначителен, когда восстановление преобладает над демпфированием, что приводит к небольшому отслаиванию всей площади контакта и коэффициенту трения, пропорциональному скорости движения. С другой стороны, когда скорость привода достаточно высока, эффект вертикального подъема становится сильным, когда демпфирование преобладает над восстановлением, что приводит к полному отслаиванию контактной области на выходной стороне.Вертикальный подъем жесткого индентора сильно влияет на характеристики установившегося трения скольжения, что хорошо объясняется использованием критической скорости, определяемой из асимптот на эталонной кривой коэффициента трения.

В конце еще раз отметим, что приведенные выше выводы получены для фундамента Кельвина – Фойгта против цилиндрического жесткого индентора. В целом, поскольку на поведение сильно влияет реология вязкоупругого основания или форма жесткого индентора (Popov and Heß, 2015), необходимы дальнейшие исследования.

Заявление о доступности данных

Все наборы данных, созданные для этого исследования, включены в статью / дополнительный материал.

Авторские взносы

К.Н. разработал исследование и написал рукопись. МК провел симуляции. KN и MK проанализировали результаты. Все авторы внесли свой вклад в статью и одобрили представленную версию.

Финансирование

Это исследование было частично поддержано ACCEL (Инициатива ускоренных инновационных исследований, превращающая науку и идеи в высокоэффективные ценности) в рамках гранта No.JPMJAC1503 спонсируется Японским агентством науки и технологий.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Авторы выражают благодарность профессору Валентину Л. Попову и профессору Хироши Ватанабэ за плодотворные и стимулирующие обсуждения.

Список литературы

Баркинс, М.(1985). Трение скольжения резины и волны Шалламаха: обзор. Mater. Sci. Англ. 73, 45–63. DOI: 10.1016 / 0025-5416 (85) -2

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Белин, М., Арафуне, Х., Камиджо, Т., Перре-Лиоде, Дж., Моринага, Т., Хонма, С. и др. (2018). Низкое трение, смазывающая способность и долговечность покрытий из полимерных щеток, охарактеризованные с помощью релаксационного трибометра. Смазочные материалы 6:52. DOI: 10.3390 / смазочные материалы6020052

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Карбоне, Г., и Путиньяно, К. (2013). Новая методология прогнозирования трения скольжения и качения вязкоупругих материалов: теория и эксперименты. J. Mech. Phys. Твердые тела 61, 1822–1834. DOI: 10.1016 / j.jmps.2013.03.005

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Fukahori, Y., and Yamazaki, H. (1994). Механизм истирания резины: часть I: формирование картины истирания в вулканизате натурального каучука. Износ 171, 195–202. DOI: 10.1016 / 0043-1648 (94) -X

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Гонг, Дж.П., Курокава, Т., Нарита, Т., Кагата, Г., Осада, Ю., Нишимура, Г. и др. (2001). Синтез гидрогелей с чрезвычайно низким поверхностным трением. J. Am. Chem. Soc. 123, 5582–5583. DOI: 10.1021 / ja003794q

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Грош, К. А. (1963). Связь между трением и вязкоупругими свойствами резины. Proc. Рой. Soc. Сер. А 274, 21–39. DOI: 10.1098 / RSPA.1963.0112

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кляйн, Дж., Кумачева, Э., Махалу, Д., Перахиа, Д., и Феттерс, Л. Дж. (1994). Снижение сил трения между твердыми поверхностями, несущими полимерные щетки. Природа 370, 634–636. DOI: 10.1038 / 370634a0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Куше, К. (2017). Сила трения между осесимметричным индентором и вязкоупругим полупространством. Z. Angew. Математика. Мех. 97, 226–239. DOI: 10.1002 / zamm.201500169

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Маэгава, С., и Накано, К. (2010). Механизм скачкообразного движения, связанный с волнами Шалламаха. Износ 268, 924–930. DOI: 10.1016 / j.wear.2009.12.018

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мэй У. Д., Моррис Э. Л. и Атак Д. (1959). Трение качения твердого цилиндра по вязкоупругому материалу. J. Appl. Phys . 30, 1713–1724. DOI: 10.1063 / 1.1735042

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мизуками, М., Ген, М., Сюй, С. Ю., Цуджи, Ю., и Курихара, К. (2019). Динамика смазанных концентрированных щеточных слоев ПММА изучается с помощью измерений поверхностных сил и резонансного сдвига. Мягкое вещество . 15, 7765–7776. DOI: 10.1039 / C9SM01133A

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Момозоно С., Накаяма К. и Кёгоку К. (2010). Теоретическая модель адгезионного трения между эластомерами и шероховатыми твердыми поверхностями. J. Chem. Phys. 132: 114105. DOI: 10.1063 / 1.3356220

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мур, Д.Ф. и Гейер В. А. (1972). Обзор теорий адгезии эластомеров. Износ 22, 113–141. DOI: 10.1016 / 0043-1648 (72) -2

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мур, Д. Ф., и Гейер, В. А. (1974). Обзор теорий гистерезиса эластомеров. Износ 30, 1–34. DOI: 10.1016 / 0043-1648 (74) -6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Накано, К., Кавагути, К., Такешима, К., Сираиси, Ю., Форсбах, Ф., Бенад, Дж., и другие. (2019). Исследование динамического отклика резины при фрикционном контакте. Фронт. Мех. Англ. 5: 9. DOI: 10.3389 / fmech.2019.00009

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Накано К. и Маэгава С. (2009). Прерывистое скольжение в системах скольжения с тангенциальной контактной податливостью. Tribol. Int. 42, 1771–1780. DOI: 10.1016 / j.triboint.2009.04.039

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Номура, А., Окаясу, К., Оно, К., Фукуда, Т., и Tsujii, Y. (2011). Механизм смазки щеток из концентрированного полимера в растворителях: влияние качества растворителя и, как следствие, состояние набухания. Макромолекулы 44, 5013–5019. DOI: 10.1021 / ma200340d

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Перссон, Б. Н. Дж. (2001). Теория трения резины и механика контакта. J. Chem. Phys. 115, 3840–3861. DOI: 10.1063 / 1.1388626

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Попов, В.Л.(2010). Контактная механика и трение: физические принципы и приложения . Берлин: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-642-10803-7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Попов В. Л., Хесс М. (2015). Метод уменьшения размерности в контактной механике и трении. Берлин: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-642-53876-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Попов В. Л., Фолль Л., Куше С., Ли К., Рожкова С.В. (2018). Обобщенная процедура эталонной кривой для трения эластомера, учитывающая зависимости от скорости, температуры и нормальной силы. Tribol. Int. 120, 376–380. DOI: 10.1016 / j.triboint.2017.12.047

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Тадокоро Т., Сато К., Нагамин Т., Накано К., Сасаки С., Сато Т. и др. (2020). Концентрированная полимерная щетка в качестве материала уплотнения возвратно-поступательного действия для снижения утечки и низкого трения. Tribol.Пер. 63, 20–27. DOI: 10.1080 / 10402004.2019.1650213

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Уильямс, М. Л., Лэндел, Р. Ф., и Ферри, Дж. Д. (1955). Температурная зависимость механизмов релаксации в аморфных полимерах и других стеклообразующих жидкостях. J. Am. Chem. Soc. 77, 3701–3707. DOI: 10.1021 / ja01619a008

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ямагути, Т., Моришита, М., Дои, М., Хори, Т., Сакагути, Х., и Ампуэро, Дж.П. (2011). Закон Гутенберга-Рихтера в трении скольжения гелей. J. Geophys. Res. 116, B12306. DOI: 10.1029 / 2011JB008415

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Удивительно крутая физика толкания блока к стене

Это здорово. Верно? Но опять же, мы должны проверить это уравнение. Есть ли у него правильные единицы? Да, знаменатель этого выражения содержит только μ s и триггерные функции, не имеющие единиц измерения. Это означает, что в целом выражение имеет единицы измерения в Ньютонах.Это хорошо. Что произойдет, если я толкну под углом в ноль градусов? Подставляя ноль для θ в этом выражении, я получаю тот же ответ, что и на первый вопрос (нажатие горизонтально) — так что это имеет смысл. Наконец, что, если я буду толкать вверх с θ, равным 90 градусам? Это дало бы величину силы, равную весу блока — опять же, это кажется разумным.

Но подождите! Как насчет ответа на вопрос о том, чтобы толкать горизонтально по сравнению с толканием под углом? Что требует больше силы? Пока угол составляет от 0 до 90 градусов, значение в знаменателе будет больше, чем просто μ s , так что сила будет меньше под углом.Есть ли «лучший» угол, требующий наименьшего усилия? Да! Давай найдем.

Конечно, вы можете взять уравнение силы как функции от θ, приведенное выше, взять производную по θ, а затем установить ее равной нулю. Это будет ваша стандартная задача max-min из класса исчисления.

Что, если я просто использую грубую силу для решения этой проблемы? Я могу вычислить требуемую силу и множество разных углов, а затем просто найти угол с наименьшей силой.Поскольку на самом деле я не хочу делать это вручную — я буду использовать Python. А вот и эта программа (так что с ней тоже можно поиграться).

Просто нажмите кнопку «Выполнить», чтобы запустить его, а затем вы можете вернуться и отредактировать код, если хотите поиграть с ним. Не волнуйтесь, вы действительно ничего не сломаете. Это довольно простая программа. Но круто то, что под некоторым углом толкающая сила минимальна. Это легче увидеть с большими значениями коэффициента трения, поэтому в приведенном выше коде я установил его на 0.6. При этом значении угол толкания около 59,9 ° дает минимально возможное усилие. Эта сила меньше, чем при горизонтальном толчке, и меньше, чем при прямом толчке. Фактически, каждый угол дает меньшую силу, чем толкание его по горизонтали.

Что происходит при изменении коэффициента трения? Ради интереса я немного усложнил программу, чтобы создать этот сюжет. (Вот код, если хотите)

Мне все равно, что вы думаете. Это круто. Понимаете, вы думали, что это скучная физическая задача, но ошибались.О, для чего это хорошо в реальной жизни? Неважно. Я до сих пор считаю, что это круто.

Домашнее задание

Помимо игры с кодом, у меня есть для вас один вопрос домашнего задания. Учитывая те же значения массы, коэффициента статического трения и угла толкания — какова максимальная сила для , которую вы можете приложить к блоку, прежде чем он сдвинет вверх на ? Подсказка: вам нужно будет изменить направление силы трения. Кроме того, вы должны попробовать изменить угол и посмотреть, что произойдет — вы знаете… ради забавы.


More Great WIRED Stories

Измерение коэффициента трения фигуриста на льду

Сводка

Студенты используют видеоклип скользящего фигуриста для определения коэффициента трения фигуриста на льду. Инструменты видеоанализа Vernier LoggerPro используются для построения графика зависимости скорости от времени. По наклону этой линии учащиеся могут определить ускорение и использовать Второй закон Ньютона для расчета коэффициента трения скольжения между коньками и льдом.

Цели обучения


Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5

Видеоклип детей, скользящих по льду, содержит всю информацию, необходимую для определения коэффициента трения между коньками и льдом. Студенты узнают, что они могут извлечь достаточно данных из простого видеоклипа, в котором фигурист скользит по льду, чтобы определить коэффициент трения скольжения. . Этот вид деятельности является отходом от обычных вопросов из учебников, где все необходимые количества указаны в явном виде.

Студенты также практикуют навыки видеоанализа, построения графиков, интерпретации данных и ньютоновской механики.

Контекст использования

Это задание подходит для вводного курса физики в средней школе или колледже. Его лучше всего использовать со студентами, имеющими некоторый опыт использования инструментов видеоанализа Vernier’s LoggerPro. Раздаточный материал для учащихся содержит пошаговые инструкции, но упражнение также может быть представлено как неограниченное занятие.

Описание и учебные материалы

Направление деятельности:
  1. Студенты загрузят одно из шести видео, представленных ниже.
  2. Студенты импортируют видео в LoggerPro, используют инструменты видеоанализа для записи покадровых данных о движении фигуриста.
  3. Затем ученики строят график зависимости горизонтальной скорости фигуриста от времени в течение периода, когда фигурист скользит. Наклон этого графика показывает ускорение — скорость, с которой фигурист замедляется из-за силы трения льда о коньки.
  4. Затем студенты используют второй закон Ньютона вместе с определением коэффициента трения, чтобы установить взаимосвязь между ускорением объекта, замедляемого трением, и коэффициентом трения.
  5. Наконец, ученик использует это соотношение и ускорение из своего графика, чтобы вычислить коэффициент трения между коньками и льдом.

Материалы:

  • Текстовый документ, описывающий процесс. инструкции по трению на коньках (Microsoft Word 44kB, 19 августа 10) Обратите внимание, что в этом документе представлены конкретные пошаговые инструкции. Возможно, вы захотите представить это как нерешенную проблему.
  • Шесть видеороликов о детском скольжении на коньках.Видеоклипы содержат эталонный объект, который можно использовать для масштабирования видео. Видеоклипы показывают, как ученики скользят по льду в обоих направлениях, поэтому ученики могут сравнить значения для фигуристов, идущих вправо, и для фигуристов, идущих влево, чтобы определить, повлияли ли такие факторы, как уклон или ветер, на результаты.
  1. Мари скользит вправо, катание на коньках, видео 1 (Quicktime Video 883kB, 19 августа 10)
  2. Мари скользит влево, катание на коньках, видео 2 (Quicktime Video 870kB, 19 августа 10)
  3. Siri скользит вправо, катание на коньках, видео 3 (Quicktime Video 811kB, 19 августа 10)
  4. Siri скользит влево, катание на коньках, видео 4 (Quicktime Video 865kB, 19 августа 10)
  5. Карл скользит вправо, катание на коньках, видео 5 (Quicktime Video 772kB, 19 августа)
  6. Карл скользит влево, катание на коньках, видео 6 (Quicktime Video 763kB, 19 августа 10)
  • Образец файла LoggerPro, показывающий процесс анализа видео.Файл трения коньков LoggerPro (34kB 19 августа 10)

  • Нажмите для увеличения. Образец графика зависимости скорости от времени для скользящего спортсмена, показывающий наклон (ускорение). График показывает зависимость скорости от времени для фигуриста, скользящего по льду. Наклон этого графика — это скорость ускорения, с которой фигурист замедляется из-за силы трения. Это ускорение можно использовать для расчета коэффициента трения между коньками и льдом.

Учебные заметки и советы

  • Учащимся необходимо иметь доступ к программному обеспечению для анализа данных Vernier’s LoggerPro.Это программное обеспечение доступно на Vernier.com и стоит 189 долларов за лицензию на школьный сайт (включая персональные компьютеры учащихся) на момент написания этой статьи.
  • В идеале, это задание должно проводиться в среде, в которой каждый ученик имеет доступ к своему компьютеру. Учащиеся загружают один из предоставленных видеофайлов и проводят собственный анализ. Студенты представляли и сравнивали свои результаты.
  • Обратите внимание, что это можно было бы преподавать как более открытое упражнение, чем показано в текстовом документе.Например, учащимся можно показать один из видеоклипов и предложить разработать метод определения коэффициента трения между коньками и льдом.
  • См. Полное описание того, как преподавать, с помощью видеоклипов, включая педагогические стратегии и коллекцию образцов видео.

Оценка

Возможные оценки включают:
  • студентов пишут традиционный лабораторный отчет
  • студентов подготовили короткий видеоотчет лаборатории, описывающий процесс и его результаты
  • учеников заполняют набор вопросов (см. Рабочий лист ученика в учебных материалах)

Ссылки и ресурсы

Вернье (подробнее), производитель программного обеспечения для анализа данных LoggerPro
Инструкции по анализу видео с помощью LoggerPro (файл в формате pdf)
Описание аналогичной проблемы.В показанной задаче мы находим максимальное ускорение автомобиля на поверхности с заданным коэффициентом трения. В описанном здесь упражнении мы используем ускорение для расчета коэффициента трения.

Оценка силы трения во время введения иглы с использованием наблюдателя возмущений и рекурсивного метода наименьших квадратов | ROBOMECH Journal

Модель силы введения

Усилие введения иглы следует моделировать в соответствии с фазой I, фазой II и фазой III, как объяснялось в предыдущей главе, обнаружение каждой фазы оказалось трудным.Фаза II была важна, потому что она включала момент, когда игла проникает с противоположной стороны образца. Мы выяснили, что сила динамического трения в однослойной ткани представлена ​​как произведение давления, прикладываемого тканью к игле, коэффициента динамического трения и площади контакта иглы с тканью [10]. Мы предположили, что влияние вязкости было незначительным в текущем эксперименте. Heverly et al. [14] провел эксперименты по определению зависимости силы кончика иглы от скорости с использованием свиного сердца.Мы смоделировали силу введения в однослойной ткани фазы II, как показано ниже.

fneedlex = mx¨ + sx˙ + μPdπx + ω

(1)

, где

ffrictionx = μPdπxftipx = sx˙.

(2)

Здесь масса иглы была определена как м , коэффициент μ был динамическим коэффициентом трения, давление P было приложено к игле тканью, диаметр d был диаметром Для иглы вектор ω был вектором возмущения, который действовал на систему, а коэффициент скорости введения s был коэффициентом, который определял, как сила на конце иглы изменяется со скоростью введения.Уравнение (1) объясняет силу, действующую на иглу, вставленную в силикон. Если уравнение (1) применяется к ребрышкам свинины, возмущение ω включает в себя отклонение параметра от заданного значения уравнения (1). Умено и др. . [7] представил метод оценки изменения параметров с использованием RLS и наблюдателя возмущений, как упоминалось во введении. Обычно возмущение ω может оценить наблюдатель возмущения. Усилие на кончике иглы имело постоянное значение, в то время как игла разрезала ткань с фиксированной скоростью, как показано в главе II.Величина изменения — это только сила трения в уравнении (2) при фиксированной скорости. Следовательно, если бы RLS и наблюдатель возмущений могли спроектировать, силу трения в ребра спинки свинины при постоянной скорости вставки можно было бы оценить. В этой статье наблюдатель возмущений использовался для оценки возмущения ω , а параметр вариации ΔμP в уравнении (1) был получен с использованием RLS.

Конструкция наблюдателя возмущений

Уравнение (1) было преобразовано в линейную инвариантную во времени систему следующим образом.

ddtxx˙ = 01 − μPdπ / м − с / mxx˙ + 01 / mλ + 0−1 / mω

(3)

Здесь входным вектором λ была полная сила вставки f игла . y — управляющий выходной вектор. Переменные состояния были установлены как расстояние вставки x и скорость вставки x˙. Матрица переменных состояния X , матрица системных коэффициентов A , управляемая матрица B , выходная матрица C и матрица D коэффициентов вектора возмущения ω , которая была определяющей матрицей для маршрут вторжения возмущений был определен как

X = xx˙A = 01-μPdπ / м − с / м = A11A12A21A22B = 01 / mC = 10D = 0−1 / m = D11D21.

(5)

Здесь, если система изменилась, возмущение было включено в компоненты шума системы и флуктуации. Итак, мы разработали систему для оценки ω .

Если предполагалось, что скорость оценки наблюдателя достаточно высока, уравнения (3) и (4) были деформированы как расширенные системы, выражающие уравнения (6) и (7).

ddtxx˙ω = A11A210A12A220D11D210xx˙ω + 01 / m0λ.

(6)

В расширенной системе матрица переменных состояния Z , матрица системных коэффициентов M , управляемая матрица N и выходная матрица O были определены как

Z = xx˙ω = XωM = A11A210A12A220D11D210N = 01 / m0 = B0O = 100 = C0.

(8)

Таким образом, мы могли сконструировать наблюдателя для оценки неизмеряемого состояния и возмущения ω .

Существует несколько типов наблюдателей возмущений, например, наблюдатель минимального порядка и наблюдатель полного порядка. В этом исследовании мы использовали наблюдателя полного порядка для сравнения реального состояния ( x и x˙) с предполагаемым состоянием X . Наблюдатель полного порядка был разработан, как показано уравнениями (9) и (10).было расчетное значение выходного уравнения Y .

Разработка метода изменения параметров с использованием RLS

Метод изменения параметров был разработан с применением результатов исследования Umeno et al . [7]. Система общего состояния была определена, как показано ниже, включая вход λ , белый шум d и переменную состояния X . Матрицы A, и B, были вышеуказанными матрицами в уравнении (5).

Если матрицы параметров A, и B колеблются, система после колебания задается как

X˙ = AX + Bλ + ΔAX + ΔBλ + dX˙ = AX + Bλ + Dω.было изменяющееся оценочное значение матрицы A , K было коэффициентом забывания, а n было номером данных выборки.

Значение флуктуации Δ A , полученное с помощью предложенного способа, было значением флуктуации системной матрицы A от начального значения в уравнении (5). Таким образом, представленный метод позволяет одновременно оценивать значения изменяющихся параметров μ , P и s в уравнении (1). Эти коэффициенты определяют соотношение между силой трения и силой на кончике иглы.В главе II сила на конце иглы оставалась постоянной во время увеличения общего усилия введения. Это означало, что параметр, определяющий взаимосвязь с изменением силы на кончике иглы, не может быть сгенерирован. Таким образом, в этом исследовании мы предположили, что флуктуация параметра, связанная с силой на конце иглы, была незначительной, и что флуктуирующий параметр можно отнести к флуктуации P и μ . Рисунок 7 — это блок-схема вышеупомянутого. Наблюдатель за возмущением оценил возмущение и переменную состояния.Расчетное возмущение включало флуктуирующие параметры, такие как μ и P . Колеблющиеся параметры были оценены RLS с использованием оцененного возмущения. Параметр начальной настройки включал ошибку измерения. Предложенный метод компенсировал эту ошибку измерения.

Рисунок 7

Блок-схема предлагаемого метода.

Условия моделирования

Мы оценили расчетную силу трения и измеренную силу трения, полученную с помощью коаксиальной иглы. n-1 и восприимчива к шуму.Таким образом, коэффициент забывания K был установлен равным 0,80. Полюс уравнения (3) был [-1,09 -89,3 0,00] T . Усиление наблюдателя L должно иметь отрицательное значение, чем полюс уравнения (3) на комплексной плоскости. Коэффициент усиления наблюдателя L был установлен на [5,90 × 10 3 1,14 × 10 7 -1,74 × 10 10 ] T . Полюс предлагаемого метода с включенным наблюдателем был установлен на [-2,0 × 10 3 -2,0 × 10 3 -2,0 × 10 3 ].

Таблица 1 Начальное значение для метода оценки силы трения во время введения иглы

1. НАЗНАЧЕНИЕ:

(1) Для изучения ускорения устройства Этвуда массы и шкив.

(2) Для исследования влияния момента инерции шкива и трение.

(3) Определить момент инерции шкива по двум методы.

(4) Для определения трения подшипника в шкиве и проверки наличия это зависит от массовой загрузки системы.

2. АППАРАТ:

Cenco 75746 Алюминиевое колесо и ось (шкив с несколькими разными радиусов),
световая струна,
две подвески для грузов,
набор для грузов с прорезями,
метр, секундомер
или другой таймер.

Можно использовать любой шкив, включая шкивы с шарикоподшипниками.

3. ПРОЦЕДУРА:

«Колесо и ось» — это коммерчески доступный прибор, предназначенный для очень другой эксперимент (механическое преимущество). Для этого у него есть несколько преимуществ. эксперимент:

(1) Для использования в станке Атвуда доступны несколько различных радиусов. договоренность.

(2) Шкив легко снимается с конических подшипников для взвешивание. После снятия его можно приостановить и повернуть как физический маятник, чтобы самостоятельно определить его момент инерции.

[Будет использоваться подвеска на острие ножа, сразу под внешней частью шкив, и период, определенный для малых колебаний шкив.]

Разработайте экспериментальную процедуру для достижения экспериментальных целей. Ищите графический метод анализа. Анализ распространения ошибки может быть беспорядочным , поэтому выработайте уравнение ошибок для нескольких методов с до , выбор стратегии и сбор данных.С участием с этим устройством вы сможете получить момент инерции шкива лучше 10%. В определение трения подшипника может быть не таким хорошим.

ПОДСКАЗКИ:

  • Избегайте соблазна использовать большой дисбаланс веса, так как это приводит к высоким скоростям, которые труднее отсчитывать с помощью секундомера, и очень вероятно, что держатели грузов упадут на пол и разлетятся.
  • Шкив обладает как моментом инерции, так и сопротивлением, которые могут возникать по нескольким причинам.Они объединены как I и τ. Предлагаемый метод предлагается в разделах «метод» ниже с использованием «эквивалентной массы» момента interia.
  • Сохранение постоянных условий шкива во время всех испытаний может быть большим преимуществом. Таким образом, общую нагрузку на шкив можно поддерживать постоянной, поддерживая постоянным общий вес на подвесках, перенося веса с одной стороны на другую.
  • Один практический метод хронометража требует умной модификации оборудования.Цифровые секундомеры и электрические таймеры легко открываются, что позволяет припаять два провода к кнопке «пуск». Затем они соединяются с двумя металлическими шкивами, один из которых изолирован. Вместо веревки используйте очень легкую, прочную и гибкую проволоку для подвешенных грузов, проходящую через металлические шкивы. Этот провод замыкает цепь отсчета времени для работы секундомера. На каждом конце проволоки есть струна, так что проволока контактирует со шкивами только на части падения, но это постоянная длина, которую легко измерить.
МЕТОД 1:

Этот метод соответствует лабораторному руководству Вильсона.

С массами m 1 и m 2 в качестве восходящей и нисходящей частей системы, результирующая сила, действующая на систему, составляет:

когда трение шкива и момент инерции не учитываются.

По второму закону Ньютона,

, где m = m 1 + m 2 — полная масса движущейся системы.Затем, приравнивая уравнения (1) и (w) имеем

или

 

2 - м 1 ) г a = —————————— м 1 + м 2

До сих пор анализ был идеализирован для ясности. На самом деле есть сила трения f связанный со шкивом, противодействующий движению. [f = t / R, где t — момент трения.] Шкив также имеет момент инерции, который можно представить как дополнительный «эквивалентная» масса мэкв.[m eq = I / R 2 , где I — момент инерции шкива, а R — его радиус.] Следовательно, для большей точности уравнения. 2 и 4 следует изменить следующим образом:

или

 

2 - м 1 ) г - ж a = —————————————— м 1 + м 2 + м экв

Если система масс машины Атвуда движется с постоянной скоростью, ускорение системы равно нулю (в уравнении.6) и, следовательно:

который обеспечивает метод определения величины силы трения системы. Мы использовали f = m f a, где m f — эффект трения в единицах массы. Уравнение 6 может быть записано

 

(m 2 - m 1 ) g - m f g (m 2 - m 1 - m f ) g a = ——————————————— = ———————————————— м 1 + м 2 + м экв м 1 + м 2 + м экв

Экспериментально определите ускорение системы, измерив время t, за которое нисходящая масса упала на заданное расстояние y.Это ускорение можно сравнить с предсказанным уравнением. 8.

Использование кинематического уравнения

 

1 2 y = v t + - при o 2

с массой, исходящей из состояния покоя (vo = 0), имеем

 

1 2 2 года y = - at или a = —— 2 т 2

(1) Установите станок Атвуда, как показано на рис.1. Используйте достаточно веревки, чтобы нисходящая масса может начинаться около шкива и спускаться на пол. Это должно быть 1,5 до 2 метров падения. Положите груз на вешалки так, чтобы поднимающийся и опускающийся массы по 200 гр.

(2) При равных массах система находится в равновесии. При отсутствии трения небольшое вертикальная сила, приложенная пальцем к одной массе, приводит систему в равномерное движение (Почему?). Однако из-за противоположной силы трения движение не будет продолжаться.Добавлять небольшие гири в сторону нисходящей массы, пока легкое нажатие не заставит гирю опускаться с равномерное движение (постоянная скорость) Вес добавленной массы (или разница масс между нисходящей и восходящей массами) тогда равна силе трения:

Сила трения будет считаться постоянной, и m f будет вычтено в теоретических расчетах ускорения системы.

(3) Эффекты ускорения системы будут исследованы отдельно варьируя (а) неуравновешенную силу и (б) общую массу, сохраняя при этом другую величину постоянный.

Изменение неуравновешенной силы (общая масса m 1 + m 2 = постоянная.)

1. Для поддержания постоянной общей массы при изменении неуравновешенной силы массы перемещался с одной стороны шкива на другую. После начала масса не добавляется в систему. брать данные.

2. Разместите порядка 200 г с каждой стороны системы. Включите несколько небольшие массы (5, 2 и 1 г) с одной стороны, которые можно переносить на другую сторону.В процедура будет заключаться в переносе массы с одной стороны на другую для получения четырех различных значений м 2 — м 1 . Сделайте три независимых измерения времени, необходимого для опускания массы. пройти расстояние y от места покоя (рис. 1) для каждого случая.

Четыре различных значения m 2 — m 1 должны быть небольшими, чтобы ускорение не было слишком большим. Начните со значения m 2 — m 1 , которое просто заставляет систему медленно ускоряться от состояния равновесия.Следует проявлять осторожность, когда нисходящая масса ударяется об пол. Если его скорость слишком велика, удар может привести к тому, что грузы оторвутся от подвески.

3. Вычислите ускорение для каждого случая, используя расстояние и среднее время. измерения в формуле. 10б. и вычислить предсказанное ускорение по второму закону Ньютона (Уравнение 5). Не забудьте вычесть m f в уравнении. 5, поскольку вес этой массы эквивалентен силе трения шкива.

Изменение общей массы (неуравновешенная сила остается постоянной).

1. Для поддержания постоянной неуравновешенной (чистой) силы сохраняется разность масс m 2 -m 1 постоянный. Общая масса m 1 + m 2 изменяется путем добавления весов к системе, при этом m 2 — m 1 остается постоянным.

2. Нанесите примерно 200 г с каждой стороны. Прибавьте грузики с одной стороны до тех пор, пока система приводится в движение.Сделайте три независимых измерения времени для спуска. масса, чтобы пройти расстояние y от места покоя. Повторите процедуру еще для трех значений итога. массы, добавляя по 100 г с каждой стороны для каждого нового значения (т. е. оставьте m 2 — m 1 постоянным, добавив одинаковая масса с каждой стороны шкива.)

3. АНАЛИЗ

Метод постоянной массы. Здесь вы изобразили то подмножество ваших данных, в котором общая движущаяся масса оставалась постоянной.График t в сравнении с (m 2 — m 1 ). Как вы интерпретируете график, , в частности, как вы осмысленно сравниваете его с формулой. 8? Переставить Уравнение 8 в форме пересечения наклона (y = sx + b).

 

2 - м 1 - м f ) г a = ——————————————— т м 1 + м 2 + м экв

После преобразования в форму пересечения наклона получаем:

 

(m 2 - m 1 ) г m f г a = ——————————————————————————— т м 1 + м 2 + м экв м 1 + м 2 + м экв

Сравните это с уравнением прямой:

Второй член справа представляет константу b (имеет отрицательный знак).Первый срок справа представляет sx, где s представляет собой константу g / (m 1 + m 2 + m eq ) и x представляет (m 2 — m 1 ). y представляет собой, конечно, t . Теперь, когда вы построите график, вы получить почти линейную зависимость с наклоном s и точкой пересечения y b. Нанесите ускорение на «y» ось, а разность масс по оси «x». Тогда наклон линии s позволяет вам вычислите meq, так как вы знаете все остальные константы.Пересечение оси y (где x = 0; нет ускорение) затем позволяет рассчитать m f . (Это значение должно хорошо сравниваться с величина массового дисбаланса, которую вы экспериментально обнаружили, просто инициирует ускорение системы.) Эти расчеты следуют непосредственно из данных и этого графика. Затем вам следует сравнить эти рассчитанные значения с теми, которые вы ранее определяется экспериментально (и грубо). Эти будут хорошо согласованы с , если у вас есть следовал инструкциям! Вопрос: Почему мы можем принять здесь постоянную m eq ?

Постоянная неуравновешенная масса. Здесь вы изобразили это подмножество ваши данные, в которых неуравновешенная сила оставалась постоянной (но общая движущаяся масса не). Вы изобразили обратную величину ускорения системы по отношению к общей массе. на (включительно) вешалках. Следовательно, чтобы провести осмысленное сравнение, вы должны переставим уравнение 8 другим способом, чтобы получить форму y = sx + b.

 

1 (м 1 + м 2 ) м экв - = —————————————— + ——————————————— a t (m 2 - m 1 - m f ) g (m 2 - m 1 - m f ) g

МЕТОД 2:

Одни и те же данные можно анализировать по-разному.Это функционально эквивалентно к методу 1, но эта обработка явно включает в себя момент трения шкива t и момент инерции шкива I, и находит значения обоих посредством графического анализа.

Уравнение крутящего момента:

где T 1 и T 2 — натяжения струны по обе стороны от шкива (не равны), I — момент инерции шкива, t — тормозящий момент из-за трения шкива и а — угловое ускорение шкива.Применяется aR = a, где R — радиус шкив. Закон Ньютона дает:

и

Мы предполагаем, что m 2 является более тяжелой массой. Уравнение 11-13 необходимо решить, исключив T 1 и T 2 и a. Вывод без пояснительных комментариев:

Наконец (!) Это было отлито в форме, пригодной для графического анализа. Он имеет форму прямой y = sx + b, где y равно (m 2 -m 1 ), x равно a, наклон s равен […] / g, а точка пересечения b равна t / Rg.

Если (m 1 + m 2 ) оставалось постоянным, все выражение […] / g будет постоянным, и момент трения будет постоянным.

Это означает, что можно определить момент инерции по наклону графика, и момент трения от точки пересечения.

4. ВОПРОСЫ

1. В расчетах этого эксперимента была бы значительно большая определяющая ошибка результат пренебрежения массой струны? Дайте количественный ответ.

2. Британский ученый Джордж Этвуд (1746–1807) использовал это устройство для измерения ускорение силы тяжести. Вы использовали его для других целей, рассматривая г как известное количество. Разработайте экспериментальную процедуру использования машины Атвуда для измерения г и расскажите, как это значение может быть получено из измерений. Какие экспериментальные Можно ли ожидать неопределенности в г от вашей процедуры? Очевидно ускорение из-за силы тяжести может быть определено по вашим данным.Сделайте это и прокомментируйте метод и результат.

3. Переработайте вывод уравнений для случая, когда имеется значительно большая сопротивление трения, действующее на движущиеся массы. (Представьте, что машина Этвуда работает под водой.) Как вам нужно изменить процедуру, чтобы отделить это трение от подшипник трения шкива, так что размер каждого можно определить?

5. При выводе уравнений для машины Атвуда мы обычно объединяем уравнения чтобы исключить переменные, представляющие натяжение струны, чтобы получить уравнение для ускорение.Рассмотрим простейшую форму машины Атвуда, без трения и без массы. шкив. Напишите два уравнения свободного тела. Устраните обычное ускорение и решите натяжение струн. Во время ускорения шкив должен прикладывать направленную вверх силу, равную сумма этих двух напряжений. Почему эта сила просто не равна общему весу движущегося массы? Подсказка: Что происходит с центром масс системы как с системой ускоряется?

Текст и диаграммы © 1997, 1998, 2004, 2014 Дональд Э.Симанек.

факторов, влияющих на трение — Урок

(0 Рейтинги)

Быстрый просмотр

Уровень оценки: 7 (6-9)

Требуемое время: 3 часа

(можно разбить на разные сеансы)

Зависимость уроков:

Тематические области: Измерения, Физические науки

Ожидаемые характеристики NGSS:


Поделиться:

Резюме

На основе того, что студенты уже узнали о трении, они формулируют гипотезы о влиянии веса и площади контакта на величину трения между двумя поверхностями.В сопутствующих упражнениях (Имеет ли значение вес? И Имеет ли значение площадь?) Учащиеся разрабатывают и проводят простые эксперименты для проверки своих гипотез, используя процедуры, аналогичные тем, которые использовались в предыдущем уроке (Выявление трения). Их анализ данных показывает важность веса для нормального трения (трения, возникающего в результате шероховатости поверхности) и важность площади поверхности для трения, возникающего между гладкими поверхностями из-за молекулярного притяжения. Студенты также используют свои данные для расчета коэффициентов трения для тестируемых материалов и сравнения их с опубликованными значениями для различных материалов. Эта инженерная программа соответствует научным стандартам нового поколения (NGSS).

Инженерное соединение

Инженеры должны понимать, как трение влияет на ряд ситуаций: от подошвы лыж, где трение является недостатком, до походных ботинок, где трение обеспечивает сцепление. Ученые должны мыслить как инженеры при разработке экспериментов, как они думают в обоих связанных действиях.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь:

  • Опишите влияние веса на нормальное трение, то есть трение из-за шероховатости поверхности.
  • Опишите влияние площади контакта на трение, возникающее в результате молекулярного притяжения.

Образовательные стандарты

Каждый урок или действие программы TeachEngineering соотносится с одним или несколькими научными дисциплинами K-12, образовательные стандарты в области технологий, инженерии или математики (STEM).

Все 100000+ стандартов K-12 STEM, охватываемых TeachEngineering , собираются, обслуживаются и упаковываются сетью стандартов Achievement Standards Network (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты иерархически структурированы: сначала по источникам; например , по штатам; внутри источника по типу; например — естественные науки или математика; внутри типа по подтипу, затем по классу, и т. д. .

NGSS: научные стандарты нового поколения — наука
Ожидаемые характеристики NGSS

МС-ПС2-2. Запланируйте расследование, чтобы получить доказательства того, что изменение движения объекта зависит от суммы сил, действующих на объект, и массы объекта.(6-8 классы)

Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Нажмите, чтобы просмотреть другие учебные программы, соответствующие этим ожиданиям от результатов.
Этот урок посвящен следующим аспектам трехмерного обучения NGSS:
Наука и инженерная практика Основные дисциплинарные идеи Сквозные концепции
Планируйте расследование индивидуально и совместно, а также в процессе разработки: определите независимые и зависимые переменные и элементы управления, какие инструменты необходимы для сбора данных, как будут регистрироваться измерения и сколько данных необходимо для подтверждения претензии.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Научные знания основаны на логических и концептуальных связях между доказательствами и объяснениями.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Движение объекта определяется суммой действующих на него сил; если общая сила, действующая на объект, не равна нулю, его движение изменится. Чем больше масса объекта, тем больше сила, необходимая для достижения такого же изменения движения.Для любого данного объекта большая сила вызывает большее изменение в движении.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Все положения объектов и направления сил и движений должны быть описаны в произвольно выбранной системе отсчета и произвольно выбранных единицах размера. Чтобы делиться информацией с другими людьми, необходимо также поделиться этим выбором.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Объяснения стабильности и изменений в естественных или спроектированных системах могут быть построены путем изучения изменений во времени и сил в различных масштабах.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Общие основные государственные стандарты — математика
  • Бегло складывайте, вычитайте, умножайте и делите десятичные дроби, используя стандартный алгоритм для каждой операции. (Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решайте реальные и математические задачи, касающиеся площади, площади поверхности и объема.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Используйте рассуждения о соотношении и скорости для решения реальных и математических задач, e.g., рассуждая о таблицах эквивалентных соотношений, ленточных диаграммах, линейных диаграммах с двойными числами или уравнениях. (Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Отображение числовых данных в виде графиков в виде числовой линии, включая точечные диаграммы, гистограммы и прямоугольные диаграммы.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, e.g. путем проверки эквивалентных соотношений в таблице или построения графика на координатной плоскости и наблюдения за тем, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат. (Оценка 7) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Постройте и интерпретируйте графики разброса для данных двумерных измерений, чтобы исследовать закономерности связи между двумя величинами.Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная ассоциация, линейная ассоциация и нелинейная ассоциация. (Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решите линейные уравнения с одной переменной.(Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Обобщение, представление и интерпретация данных по одному счету или измеряемой переменной (Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии — Технология
  • Мозговой штурм — это процесс группового решения проблем, в ходе которого каждый член группы представляет свои идеи на открытом форуме.(Оценки 6 — 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Моделирование, тестирование, оценка и модификация используются для преобразования идей в практические решения.(Оценки 6 — 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

ГОСТ
Северная Каролина — Математика
  • Решайте реальные и математические задачи, касающиеся площади, площади поверхности и объема.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Используйте рассуждения о соотношении и скорости для решения реальных и математических задач, e.g., рассуждая о таблицах эквивалентных соотношений, ленточных диаграммах, линейных диаграммах с двойными числами или уравнениях. (Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Отображение числовых данных в виде графиков в виде числовой линии, включая точечные диаграммы, гистограммы и прямоугольные диаграммы.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Бегло складывайте, вычитайте, умножайте и делите десятичные дроби, используя стандартный алгоритм для каждой операции.(Оценка 6) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, e.g. путем проверки эквивалентных соотношений в таблице или построения графика на координатной плоскости и наблюдения за тем, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат. (Оценка 7) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решите линейные уравнения с одной переменной.(Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Постройте и интерпретируйте графики разброса для данных двумерных измерений, чтобы исследовать закономерности связи между двумя величинами.Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная ассоциация, линейная ассоциация и нелинейная ассоциация. (Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Обобщение, представление и интерпретация данных по одному счету или измеряемой переменной (Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Северная Каролина — наука
  • Предскажите влияние заданной силы или изменения массы на движение объекта.(Оценка 5) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Понять движение, влияние сил на движение и графические представления движения.(Оценка 7) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Объясните эффекты сбалансированных и несбалансированных сил, действующих на объект (включая трение, гравитацию и магниты).(Оценка 7) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Поймите взаимосвязь между силами и движением.(Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Силы трения можно разделить на четыре типа: статические, скольжение, качение и текучая среда.(Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Объясните работу с точки зрения взаимосвязи между силой, приложенной к объекту, результирующим смещением объекта и энергией, передаваемой объекту.(Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Предложите выравнивание, не указанное выше

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Больше подобной программы

Предварительные знания

  • Знакомство с информацией о трении, изложенной в уроке «Обнаружение трения», и экспериментальным методом измерения трения, используемым в связанном упражнении «Скольжение» и «Заикание».
  • Также полезно, если учащиеся знают, как подготовить линейный график из данных, состоящих из двух переменных.

Введение / Мотивация

На предыдущем уроке (Обнаружение трения) и связанном с ним задании (Скольжение и заикание) ученики обнаружили, что трение — это сила, препятствующая движению, и что трение покоя больше, чем кинетическое трение. Они также обнаружили, что шероховатость поверхности может быть важным источником трения, но их эксперименты должны были показать, что большое трение может также возникать между двумя очень гладкими поверхностями.Обсуждение после экспериментов также должно было вызвать вопросы о роли веса и площади контакта в количестве трения, возникающего между двумя поверхностями. Чтобы ввести этот урок, напомните учащимся об этих наблюдениях и вопросах из предыдущего урока.

Затем попросите их собраться в группах и сформулировать две гипотезы. Первая гипотеза должна указывать на то, что, по их мнению, будет иметь эффект прибавления веса к чашке, когда она скользит по поверхности. Примером такой гипотезы может быть: «Когда к чашке добавляется больше веса, будет измеряться большее трение, когда мы перемещаем ее по столу» или «Вес не повлияет на измеренное трение.«Попросите учащихся также записать аргументы, лежащие в основе их гипотез. В первом примере учащиеся могут сказать:« Мы думаем, что мы измерим большее трение, потому что дополнительный вес заставит чашку сильнее прижиматься к поверхности, поэтому большая часть крошечной поверхности неровности будут соприкасаться ». В отношении второго примера ученики могут возразить:« Вес не влияет на величину трения, потому что такое же количество поверхности на дне чашки будет контактировать с поверхностью стола. Мы думаем, что для получения большего трения требуется большая площадь соприкосновения.«

Вторая гипотеза, которую должна выдвинуть каждая группа, касается влияния площади контакта на измеряемое трение. Студенты, вероятно, предложат: «Чем больше площадь соприкосновения, тем большее трение мы будем измерять». Их рассуждения, скорее всего, будут такими: «Чем больше площадь поверхности соприкасается, тем больше будет крошечных ударов, которые могут мешать друг другу между двумя поверхностями». Или, если они знакомы с понятием трения из-за молекулярного притяжения, они могут также возразить, что «Чем больше площадь поверхности соприкасается, тем больше мест существует для молекул двух поверхностей, которые могут притягиваться друг к другу.«

На этом этапе вам не нужно обсуждать их гипотезы или их рассуждения. Тем не менее, убедитесь, что объяснения, которые они дают для своих гипотез, достаточно полны.

После того, как группы сформулировали свои гипотезы и объяснили свои рассуждения (в письменной форме), дайте им знать, что они смогут проверить свои гипотезы, используя тот же основной метод, который они использовали на предыдущем уроке.

Предпосылки и концепции урока для учителей

Влияние веса и площади контакта на трение сложно, потому что действуют два основных механизма трения.Классический взгляд на трение состоит в том, что оно вызывается исключительно неровностями поверхности, называемыми «неровностями», и что вес напрямую коррелирует с величиной возникающего трения. Обратитесь к разделу «Имеет ли значение вес?» деятельность, чтобы помочь студентам проиллюстрировать эту взаимосвязь. Для одиночного объекта, движущегося по одной поверхности, когда к объекту добавляется дополнительный вес, измеренная сила трения прямо пропорциональна его общему весу. График зависимости измеренного трения от общего веса будет иметь достаточно прямую линию, такую ​​как линия, построенная по данным учащихся, показанным ниже.Это будет верно как для статического, так и для кинетического трения, хотя линия статического трения должна быть немного круче, чем линия кинетического трения.

Трение между кофейной кружкой и столешницей из формики. Авторское право

Copyright © Мэри Хебранк, Университет Дьюка

Наклон линии соответствует коэффициенту трения для двух конкретных поверхностей. В физике и технике коэффициент трения обозначается греческой буквой мю (μ), за которой следует индекс s или k.Таким образом, μs и μk представляют собой коэффициенты статического и кинетического трения соответственно. Сила F, необходимая для преодоления трения и приведения тела веса W в движение по плоской поверхности, равна F = μsW. Точно так же, когда тело находится в движении, сила, необходимая для его движения, равна F = мкВт.

Каждая пара поверхностей имеет уникальный набор коэффициентов, полученный эмпирическим путем. Например, сухая сталь на сухой стали имеет статический коэффициент около 0,6 и кинетический коэффициент 0,4. При добавлении масла или смазки коэффициенты падают примерно до 0.1 и 0,05 соответственно. Эти коэффициенты были получены путем измерения силы, необходимой для перемещения объекта из стали, лежащего на плоской стальной поверхности, а затем деления этой силы на вес стального объекта. Другими словами, приведенное выше уравнение было преобразовано, чтобы дать μ = F / W.

В таблице ниже приведены некоторые примеры коэффициентов трения. Поскольку эти значения используют в основном инженеры, большинство коэффициентов, которые можно найти в справочных материалах, относятся к машинному оборудованию и автомобильным приложениям.

несколько примеров коэффициентов трения. авторское право

Copyright © 2000 Мэри Хебранк, Центр обучения на основе запросов при Дьюке http://www.biology.duke.edu/cibl/exercises/factors_affecting_friction.htm

Поскольку измеренная сила трения изменяется прямо пропорционально весу перемещаемого объекта, в основе этого наблюдения должен лежать какой-то физический механизм. Учитывая, что это трение происходит из-за неровностей поверхности, имеет смысл, что дополнительный вес более плотно прижимает выступы и впадины одной поверхности к впадинам и вершинам другой поверхности, поэтому требуется больше силы, чтобы расцепить их и привести тело в движение. .Точно так же требуется больше силы, чтобы удерживать тело в движении, когда сила тяжести, действующая на добавленный вес, имеет тенденцию повторно взаимодействовать с пиками и впадинами.

А как насчет контактной площадки? Как это влияет на трение? Возвращаясь к уравнениям для трения, приведенным выше, F = μsW и F = μkW, мы видим, что трение зависит только от веса перемещаемого объекта и коэффициента трения, который существует между двумя поверхностями. Количество соприкасающейся поверхности нигде не фигурирует в уравнениях.Таким образом, площадь контакта не имеет значения, когда дело доходит до трения. Обратитесь к разделу «Имеет ли значение контактная зона»? деятельность, чтобы укрепить понимание студентами этой концепции.

Сначала может показаться, что это не имеет смысла. Однако учтите, что до тех пор, пока на одной или обеих поверхностях присутствуют некоторые дефекты, будет возникать трение. И пока несколько пиков и впадин зацикливаются друг на друге, не имеет значения, будут ли одновременно зависать и другие пики и впадины — до тех пор, пока эти дополнительные пики и впадины не больше, чем исходный набор некоторых из них. пики и впадины.Сила, необходимая для освобождения любого количества пиков и впадин, — это сила, необходимая для освобождения самых больших пиков и впадин. Независимо от того, сколько существует меньших пиков и впадин, большей силы достаточно, чтобы освободить их все. Коэффициент трения между двумя поверхностями, поскольку он получен эмпирическим путем и основан на многочисленных экспериментах, отражает самые большие пики и впадины, типичные для двух задействованных поверхностей. Таким образом, до тех пор, пока поверхности относительно однородны, что означает, что они не меняют микроскопическую текстуру от одной области к другой, величина площади контакта не влияет на силу трения.

По крайней мере, это теория, и фактически она верна для классического типа трения, иногда известного как «нормальное» трение, которое является результатом шероховатости поверхности. Однако за последние несколько десятилетий был изобретен и изготовлен совершенно новый класс очень гладких, легких синтетических материалов для множества применений. И хотя они могут быть очень гладкими даже на микроскопическом уровне, некоторые из этих современных материалов (в основном пластмассы) демонстрируют поразительное трение.Для этих материалов классический взгляд на трение не применим полностью. Хотя на величину измеренного трения все же может влиять вес, трение из-за молекулярного притяжения между двумя поверхностями, по-видимому, не менее важно. Для этих материалов величина возникающего трения может фактически зависеть от площади соприкасающейся поверхности, хотя на данный момент природа задействованных молекулярных притяжений плохо изучена. Пример графика, созданного на основе данных учащихся, показывающий влияние площади контакта на трение между двумя гладкими синтетическими поверхностями, показан ниже.

Трение для различных контактных поверхностей глянцевого картона на столешнице из пластика Formica — две гладкие синтетические поверхности. Авторское право

Copyright © 2000 Мэри Хебранк, Университет Дьюка

Сопутствующие мероприятия

  • Имеет ли значение вес? — Работая в небольших группах, учащиеся разрабатывают и проводят простые эксперименты, чтобы проверить влияние веса на трение.
  • Имеет ли значение контактная зона? — В небольших группах учащиеся разрабатывают и проводят простые эксперименты, чтобы проверить влияние площади контакта на трение.

Закрытие урока

Также попросите учащихся рассчитать коэффициенты трения между тестируемыми поверхностями, используя метод, описанный в разделе «Предпосылки и концепции урока для учителей». Покажите учащимся копию таблицы коэффициентов трения, включенной в этот раздел, для сравнения. Обязательно укажите, как снижается коэффициент трения между шинами автомобиля и дорожным покрытием, когда дорожное покрытие мокрое, поэтому умные (и безопасные) водители снижают скорость на мокрой дороге, чтобы избежать заноса.Посоветуйте студентам запомнить этот факт после получения водительских прав!

Студенты могут найти удивительные некоторые другие коэффициенты трения, например, сравнение стекла и алмаза. Попросите учащихся поразмышлять о том, почему эти два схожих по внешнему виду материала имеют такие разные коэффициенты трения. Возможно, они захотят провести небольшое исследование, чтобы выяснить, почему. Они должны легко найти информацию о том, из чего сделаны эти материалы, но маловероятно, что они смогут много узнать о том, как они ведут себя в отношении трения.Укажите студентам, что многие аспекты трения до сих пор плохо изучены и исследуются учеными и инженерами по всему миру. Тем не менее, сходства и различия между стеклом и алмазом таковы, что студенты должны быть в состоянии придумать некоторые правдоподобные объяснения или гипотезы, тем более что они вооружены знаниями о важности молекулярного притяжения в трении гладких поверхностей.

Словарь / Определения

коэффициент трения: величина, полученная эмпирическим путем для пары поверхностей, равная измеренному трению, деленному на вес перемещаемого объекта.

трение А: сопротивление движению, возникающее при контакте двух поверхностей друг с другом.

кинетическое трение: сопротивление движению, которое возникает, когда одна поверхность движется, скользя по другой поверхности.

статическое трение: сопротивление движению, которое необходимо преодолеть, чтобы позволить одной поверхности начать скольжение по другой поверхности.

Оценка

Writing : Попросите учащихся индивидуально написать абзацы, объясняющие, как и почему вес влияет на нормальное трение и как и почему площадь контакта влияет на трение из-за молекулярного притяжения.

Расчеты : Дайте учащимся некоторые данные, состоящие из весов и сил трения, измеренных для нескольких пар поверхностей, и попросите их вычислить коэффициент трения для каждой из них.

Мероприятия по продлению урока

Трение качения — это еще один тип трения, и оно, как правило, намного ниже, чем трение скольжения, с которым студенты экспериментировали на этом и предыдущем уроках.Попросите студентов провести дополнительные исследования, как в форме библиотечных / интернет-исследований, так и экспериментальных исследований, чтобы узнать об этом типе трения.

авторское право

© 2013 Регенты Университета Колорадо; оригинал © 2004 Duke University

Авторы

Мэри Р. Хебранк

Программа поддержки

Программа Techtronics, Инженерная школа Пратта, Университет Дьюка

Благодарности

Этот контент был разработан программой MUSIC (Понимание математики через науку, интегрированную с учебным планом) в Pratt School of Engineering в Университете Дьюка в рамках гранта GK-12 Национального научного фонда.DGE 0338262. Однако это содержание не обязательно отражает политику NSF, и вам не следует предполагать, что оно одобрено федеральным правительством.

Этот урок и связанное с ним задание были первоначально опубликованы в слегка измененной форме Центром обучения на основе запросов (CIBL) Университета Дьюка.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.