ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

Цель работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения b от момента силы натяжения М_н и определить из него момент силы трения М_тр и момент инерции маховика J.

Оборудование: маховик, штангенциркуль, набор грузов, секундомер, линейка.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения угловое ускорение прямо пропорционально сумме моментов внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции

. (1)

Здесь — векторная сумма моментов сил, которую называют результирующим моментом сил; J — момент инерции тела.

В настоящей работе экспериментально изучается эта зависимость.

Описание установки и метода измерений

Маховик состоит из диска 1 и шкива 2, насаженных на вал (рис. 1). Вал может вращаться около горизонтальной оси OO’. На шкив намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз 3.

При падении груза маховик начинает вращаться с угловым ускорением b.

Результирующий момент, создающий это ускорение, складывается из момента М_н силы натяжения нити и момента М_тр силы трения в подшипниках вала. Так как направления этих моментов противоположны, то уравнение (1) можно представить в виде

. (2)

Если момент инерции маховика и момент силы трения остаются постоянными, то зависимость углового ускорения от момента силы натяжения линейная и графически изображается прямой линией (рис 2).

Из уравнения (2) следует, что при покоящемся маховике (b=0) М_н = М_тр. Только когда момент силы натяжения становится больше максимального момента силы трения покоя, маховик начинает вращаться равноускоренно. Прямая на графике пересекает ось абсцисс (рис. 2) в точке, которая определяет М_тр. Угловое ускорение маховика b можно найти, зная тангенциальное ускорение a_t точек боковой поверхности шкива, которое равно ускорению a падающего груза:

, (3)

где r и D — радиус и диаметр шкива.

, (4)

где h – путь, пройденный грузом за время t.

Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим формулу, по которой можно рассчитать на опыте угловое ускорение маховика

. ( 5)

Модуль момента силы натяжения числено равен произведению силы натяжения F_н на плечо силы, которое является радиусом шкива:

.

Силу натяжения нити найдем, рассматривая движение груза3. На него действуют сила тяжести P и сила реакции нити F₁. По второму закону Ньютона , где

Учитывая, что сила натяжения нити, действующая на шкив и сила реакции, действующая на груз, одинаковы по величине (F_н = F₁), получим

.

Тогда

. (6)

Подставив в уравнение (6) выражение (4) для ускорения a, получим формулу

, (7)

по которой можно рассчитать на опыте момент силы натяжения нити, действующей на маховик.

Порядок выполнения работы

1. Измерить штангенциркулем диаметр

2. Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по нижнему основанию груза).

3. Отпустив маховик и, одновременно включив секундомер, определить время t опускания груза с высоты h. Измерение времени провести три раза. Результаты опыта занести в табл. 1.

Таблица 1

4. Повторить опыт с пятью различными грузами. Массы грузов указаны на них.

5. По формулам (5) и (7) вычислить для каждого груза угловое ускорение b и момент силы натяжения М_н, их значения записать в табл. 1. (При вычислении в формулы подставлять среднее значение времени <t>).

6. Результаты опыта изобразить графически на листе миллиметровой бумаги. Для этого по оси ординат в определенном масштабе отложить значения b, а по оси абсцисс также в определенном масштабе — значения

7. Продлить прямую до пересечения с осью абсцисс, определить по графику момент силы трения.

Для определения момента инерции маховика нужно на экспериментальной прямой взять точки

.

Записать окончательные результаты опыта

М_тр = …..; J = ….. .

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки? Единицы его измерения. От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?

2. Что называется моментом силы относительно точки, неподвижной оси? Как определить направление момента силы? В каких единицах он измеряется?

3. Дать определения угловой скорости и углового ускорения. Как определить их направления?

4. Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями?

5. Вывести основное уравнение динамики вращательного движения.

6. Какие силы сообщают вращающий момент маховику?

7. Почему движение подвешенного к нити груза и вращение маховика являются равноускоренными?

8. Вывести расчетные формулы (5) и (7).

9. Объяснить, как графически находят момент силы трения и момент инерции маховика.

10. Проведите аналогию между величинами и формулами, описывающими поступательное и вращательное движение.

Библиографический список

1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.1–4.3.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 6, 16, 18.

3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38, 39.

4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.

5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 30, 32–38.

6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.31– 1.34.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека. | Учителю.

Изучение закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека.

ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, линейка, набор грузов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Основные кинематические и динамические параметры вращательного движения:

и модуль тангенциального ускорения:

Модуль момента силы натяжения нити, намотанной на шкив радиуса r,

Модуль момента импульса материальной точки массы m, которая движется со скоростью , на расстоянии r от оси вращения:

Для тела с моментом инерции I, вращающегося со скоростью ω, модуль момента импульса:

Момент инерции материальной точки массы m, удалённой от оси вращения на расстояние r, J = m•r2.
Момент инерции тела относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции всех N точек тела:

Закон динамики вращательного движения:

Если момент инерции вращающегося тела остаётся постоянным, то закон динамики принимает вид:

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Основной частью установки является крестообразный маятник, который может вращаться с малым трением вокруг оси О (см. рис.1). По стержням крестовины могут перемещаться подвижные цилиндры 3 массой т0. На одной оси с крестовиной насажены шкивы 1 и 2 разного радиуса г. К концу нити, намотанной на один из шкивов и перекинутой через невесомый блок 4, прикрепляется груз 5 массой m, приводящий маятник во вращательное движение. Время прохождения грузом расстояния h измеряют секундомером. Маятник в исходном положении удерживается электромагнитом, при нажатии клавиши «Пуск» секундомера электромагнит отключается, груз начинает двигаться и одновременно включается секундомер. Счёт времени заканчивается при достижении грузом нижнего положения. Для того, чтобы секундомер сработал, необходимо установке с помощью винтов в основании платформы придать такое положение, при котором груз опускался бы точно в отмеченный круг. В этот круг вмонтирован датчик, выключающий секундомер.
Расстояние h отмечается по линейке, установленной в верхней части установки, на которой указывается расстояние груза в начальном положении от основания установки.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Приняв, что нить невесома, не растяжима, считаем движение грузов равноускоренным. Ускорение груза а определяют, измерив время его движения и пройденный путь h:

Угловое ускорение маятника ε выразим через линейное ускорение и радиус шкива r:

Силу натяжения нити Т можно определить, применив к движению груза массой m закон Ньютона (пренебрегая при этом сопротивлением воздуха), так как обычно а « g:

Таким образом, измерив для груза массой m время t прохождения им расстояния h, можно рассчитать угловое ускорение ε (формула 10) маятника и определить момент силы, действующий на маятник:

При вращении маятника на него действует также тормозящий момент сил трения Мтр, и поэтому закон динамики принимает вид:

Это уравнение позволяет найти момент инерции блока J динамическим методом, измерив ряд величин ε и М. Для более точного определения величины J в опыте получают зависимость ε = f(M), линейный характер которой (при Mтр= const позволяет рассчитать среднее значение J по угловому коэффициенту опытной прямой.

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ

1. Дайте определение величины углового ускорения.
2. Что называют моментом силы?
3. Что такое момент импульса тела?
4. Какая величина является моментом инерции материальной точки?
5. Чему равен момент инерции тела?
6. В каких единицах измеряют угловое ускорение, момент силы, момент инерции, момент импульса?
7. Сформулируйте закон динамики вращательного движения
8. Запишите закон динамики вращательного движения.
9. Какое вращение тела называют равноускоренным, каковы его условия?
10. Как направлены векторы ε, М и момент импульса тела L?
11. От чего зависят: а) угловое ускорение маятника, б) момент инерции маятника, в) момент силы, действующий на маятник?
12. Какая зависимость лежит в основе динамического метода измерения момента инерции ?
13. Какие величины определяют наклон прямой на графике ε = f(M)?
14. Как в работе изменяют момент силы?
15. Какие величины в работе измеряют для определения величин ε и М?
16. Как можно изменять момент инерции маятника в данной работе?
17. Запишите закон динамики вращательного движения для случая, когда момент инерции вращающегося тела не изменяется.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Опишите метод изучения закона динамики вращательного движения.
2. Чем обусловлена погрешность в этой работе?
3. Для каких целей используются графики?
4. Из каких соображений выбирают для графика размер осей?
5. Что указывают на осях графика?
6. Как выбирают границы интервалов на графиках?
7. Как выбирают масштаб числовых осей графика? Как его указывают?
8. Как проводят экспериментальную кривую на графике?
9. Через какую точку необходимо провести прямую на графике, если зависимость линейная?
10. Как определяют угловой коэффициент линейной зависимости?
11. Как находят случайную погрешность углового коэффициента?
12. Какие источники случайной погрешности приводят к «разбросу» точек на графиках при изучении движения?
13. Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.
14. Найти момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра a.

2.6.6 Эффект прилипания-скольжения в микромасштабе

Flash model

Introduction.

Микротрибология рассматривает трение тела с позиции сплошных сред. В отличие от нанотрибологии не учитывается атомарная структура вещества. Размер эффективной контактной площадки, характерной для микротрибологии, составляет 100 нм. При этом в молекулярном взаимодействии участвуют тысячи атомов и периодические особенности потенциала кристаллической решетки, играющие важную роль на наномасштабе, в микротрибологии несущественны, они становятся неразличимы.

Нашей задачей будет построение теоретической модели трения на микромасштабе и создание расчетной схемы. Во встроенной программе, реализующей данную одномерную численную модель, Вы сможете варьировать параметры задачи и следить, как при этом изменяется сила трения во время сканирования.

Причем мы не будем стремиться решить точную количественную задачу, предсказывающую результаты эксперимента, а построим принципиальную модель, объясняющую характер движения, в частности, так называемое явление «прилипания-скольжения».

Поэтому некоторые параметры будут привноситься в модель без их численных значений, а лишь из соображений адекватности получающих результатов.

В качестве модельных объектов возьмем образец с плоской поверхностью и зонд, находящийся с ним в контакте. Сканирование происходит в контактном режиме в направлении, перпендикулярном оси кантилевера.

Как моделируется кантилевер.

Рис. 1.  Модель кантилевера.

Кантилевер (вернее, его остриё) моделируется линейным двумерным осциллятором с затуханием (рис. 1). Так как мы строим одномерную модель, а сканирование происходит в поперечном направлении, нас будут интересовать только боковые отклонения зонда, которые преимущественно определяются торсионной деформацией (см. пункт 2.1.4). Кантилевер в этом случае описывается тремя параметрами: жесткостью торсионной деформации, коэффициентом затухания колебаний в данном направлении и эффективной массой осциллятора .

Торсионную жесткость кантилевера можно вычислить на основе его геометрических характеристик (см. пункт 2.1.4). Масса определяется из соотношения

(1)

где – частота первой моды торсионных колебаний.

Для коэффициента затухания можно принять значение, полученное из добротности тех же колебаний:

(2)

Физическая основа модели.

Кантилевер при движении по поверхности образца испытывает адгезионное притяжение. Происхождение этого взаимодействия в модели не обсуждается, и его характер просто постулируется. Природа адгезии при этом может быть различной – от взаимной диффузии длинных органических молекул до образования капиллярных пленок. Сила адгезии может меняться от некоторого минимального значения до максимального . Также вводится время релаксации , в течении которого, если неподвижный зонд привели в контакт с поверхностью, сила притяжения нарастает от до [1]:

(3)

Другими словами, чем дольше в данном месте находится кантилевер, тем сильнее он «приклеивается». Именно благодаря постулированию такого вида силы трения возникает нетривиальный эффект прилипания-скольжения, который обсудим ниже.

Введем понятие «возраста контакта» – эффективного времени, в течении которого зонд находился в контакте в данной точке. Возраст контакта (по определению) задается интегралом

(4)

В этой формуле – это функция, описывающая положение (координату) зонда при сканировании в предыдущие моменты времени. Интегрирование производится от возникновения контакта до текущего момента. Эффективный радиус взаимодействия – это расстояние, на которое надо сместить закрепленный конец кантилевера, чтобы разорвать связь между зондом и точкой поверхности. Несмотря на то, что возраст контакта зависит от всей предыстории сканирования, из-за наличия экспоненты существенный вклад в интеграл дают лишь те моменты времени, когда зонд находился в -окрестности данной точки. Таким образом, время, когда кантилевер находился далеко вне рассматриваемой окрестности, «забывается».

Для неподвижного зонда возраст контакта, естественно, совпадает со временем, прошедшим с момента соприкосновения. Если зонд движется по образцу равномерно со скоростью , то возраст контакта во всех точках одинаков и равен, как следует ожидать,

(5)

Уравнения модели.

Движение зонда подчиняется второму закону Ньютона [1, 5]:

(6)

где зависит от возраста контакта (3):

(7)

Левая часть включает собственную силу упругости кантилевера, возникающую за счет отклонении зонда от недеформированного состояния во время сканирования, а также затухание. Внешняя сила – правая часть уравнения – есть микроскопическая сила трения, обсуждаемая выше.

Система уравнений (6) и (7) полностью описывает построенную модель. Для удобства построения численной схемы можно заменить интегральное уравнение (4) на эквивалентное дифференциальное:

(8)

Для численного решения система (6-7) сводится к системе трех дифференциальных уравнений, а далее используется явная схема.

Эффект прилипания-скольжения.

В построенной модели при некоторых параметрах может проявляться эффект прилипания-скольжения – пилообразного изменения силы трения со временем. В системе уравнений (6-7) возникает неустойчивость решения по отношению к малым возмущениям. Характерный профиль силы трения при неустойчивом движении приведён на рис. 2 [1-5]. Он соответствуют прилипанию-скольжению: зонд задерживается в определённых точках, сила трения начинает возрастать, пока не произойдёт отрыв, и сила трения скачком упадёт до некоторого минимального значения.

Рис. 2.  Зависимость силы трения от времени.

Спектральный анализ линейных устойчивостей нелинейной системы уравнений, описывающей модель, позволяет определить критическое соотношение параметров задачи, при которых наступает переход от стабильного движения к неравномерному прилипанию-скольжению:

(9)

Важно то, что характер движения, устойчивый или неустойчивый, зависит от скорости сканирования. Существует некоторая критическая скорость , ниже которой равномерное скольжение переходит в прилипание-скольжение. В плоскости параметров при фиксированных остальных параметрах кривая , изображенная красной линией, разграничивает области стабильного и нестабильного движения.

Рис. 3.  Области стабильного движения и прилипания-скольжения.

График позволяет сделать вывод, что для любой жесткости существует некоторое значение скорости , выше которой прилипания-скольжения не наблюдается. Причём существует наибольшее значение , при котором (если взять предельно «мягкий» кантилевер ) возможен эффект прилипания-скольжения.

Однако в выражение (4) входят и другие параметры модели. Важно обсудить, как они влияют на возникновение неустойчивости. При изменении времени релаксации , радиуса взаимодействия , вариации силы , критическая кривая на рис. 3 будет смещаться. Можно показать, что при выполнении неравенства

(10)

область нестабильного движения на графике вообще исчезнет. Это означает, что при любой скорости сканирования скольжение будет равномерным. Поэтому для получения эффекта прилипания-скольжения мало подобрать скорость, необходимо, чтобы время релаксации и вариация силы были достаточно велики, а и наоборот малы.

Особенности численной реализации модели.

Проделав несложный анализ, можно убедиться, что уравнение (2) имеет недостаток. Если привести в контакт с образцом покоящийся зонд, то само собой за счет силы трения возникнет движение, что физически ошибочно. Подобные неприятности возникают при покое или очень низких скоростях движения зонда, поэтому в численную модель заложен «стабилизатор», направление силы трения выбирается исходя из следующих критериев:

(11)

Другая особенность состоит в том, что решение имеет как участки стабильного хода решения, так и скачки, которые для корректного расчета требуют весьма малый шаг интегрирования по времени. Для оптимизации вычислительных затрат был реализован алгоритм с адаптивным шагом. В случае сильного изменения решения, шаг интегрирования разностных уравнений уменьшается вдвое, в противоположном случае – возрастает.

Выбор параметров задачи.

Получение параметров кантилевера было обсуждено выше. Выбор остальных параметров, , , , , делается эмпирически, так, чтобы результаты моделирования были наиболее адекватны эксперименту. Нашей целью не является решение точной количественной задачи, позволяющей предсказывать результаты эксперимента, а построение принципиальной модели, объясняющей явление прилипания-скольжения.

Значение эффективного радиуса прилипания (адгезии) для широкого спектра материалов следует принимать равным ~ 0.2 нм, а время релаксации ~ 5 мс. В свою очередь, минимальная сила и вариация силы задаются, исходя из наблюдаемого коэффициента трения материалов, а также проявления эффекта прилипания-скольжения.

Во встроенной программе (см. Flash модель) по умолчанию задаются наиболее характерные значения перечисленных параметров, которые позволяют увидеть главные особенности модели микротрения:

скорость
область сканирования
частота первой торсионной моды (кантилевер типа CSC12(B))
эффективная масса
добротность
затухание
минимальное значение силы
вариация силы трения
время релаксации
радиус взаимодействия

Сравним результаты численного моделирования с экспериментальными данными. Параметры численного моделирования (рис. 4):

скорость
область сканирования
кантилевер
минимальное значение силы
вариация силы трения
время релаксации
радиус взаимодействия

Рис. 4.  Результаты численного моделирования.

Параметры эксперимента (рис. 5):

скорость
область сканирования
кантилевер
образец
SetPoint = 0.36 нА (сила придавливания 2.1 нН)

Рис. 5а.  Экспериментальные результаты при направлении сканирования слева направо.

Рис. 5б.  Экспериментальные результаты при направлении сканирования справа налево.

Силу трения найдем по формуле (1) пункта 2.6.4: = 170 нН, = 500 нН.

Видно, что при смене направления сканирования изменяется знак сигнала LAT, это означает, что кантилевер закручивается в разные стороны при разных направлениях сканирования.

Периоды пиков залипания в результатах моделирования и в эксперименте совпадают и равны ~ 1 мкм. Однако следует отметить, что при этом сила отличается на два порядка величины.

Что позволяет встроенная программа.

Встроенная программа расчёта (см. Flash модель) позволяет задать параметры задачи и получить зависимость сигнала LAT от времени, который пропорционален силе трения, а также увидеть возраст контакта для каждого момента времени. Выбрать ту или иную зависимость для просмотра можно при помощи выпадающего меню в правом верхнем углу после окончания расчёта.

Вы можете изменять параметры (значение которых установлено по умолчанию):

Рассмотрим результаты.

Рассмотрим несколько примеров. Воспользуемся установленными по умолчанию значениями параметров и будем менять только скорость сканирования и время релаксации.

Случай 1.

Параметры: = 5 мс; = 5 мкм/с; = 500 нм.

Это типичный случай прилипания-скольжения. Точка параметров находится в области неустойчивости графика рис. 3.

Сила (вернее сигнал LAT, описывающий упругое отклонение зонда под действием трения) имеет пилообразный профиль. Возраст контакта также изменяется неравномерно, что говорит о том, что зонд движется рывками, задерживаясь в точках прилипания.

Случай 2.

Параметры: = 5 мкс; = 5 мкм/с; = 100 нм.

Стартовав, зонд движется равномерно, прилипания-скольжения нет. При столь малом времени релаксации выполняется условие (10) отсутствия области неустойчивости на графике вида рис. 3. Фактически это означает, что при равномерном движении зонда во всех точках успевает произойти релаксация, т.к. возраст контакта ( = 40 мкс) много больше . Кантилевер при этом испытывает максимальную силу трения . Если взглянуть на график возраста контакта, то видно, что после задержки в начальной точке, пока кантилевер переходил в деформированное состояние, возраст контакта становится постоянным и равным .

Случай 3.

Параметры: = 20 мс; = 5 мкм/с; = 100 нм.

После того, как закончились установочные процессы, в ходе которых зонд рывками «отлеплялся» от начальной точки, где успел основательно «приклеиться» к поверхности, зонд движется равномерно. Из-за изменения критическая кривая графика рис. 3 опустилась вниз, и точка параметров оказалась в области устойчивости. Уменьшив скорость, например, до = 1 мкм/сек, можно снова наблюдать эффект прилипания-скольжения. Вместо уменьшения скорости можно выбрать более длинный кантилевер, например CSC12(D), имеющий из-за этого меньшую жесткость. Это опять-таки обеспечит попадание в область параметров, при которых наблюдается неустойчивое движение.

Случай 4.

Параметры: = 20 мс; = 25 мкм/с; = 100 нм.

Скорость сканирования высока настолько, что возраст контакта оказывается равным всего = 8 мкс, поэтому ни о какой релаксации, на которую требуется 20 мс, речи не идет. Сила трения равна своему минимальному значению .

Литература.

1. Persson B.N.J., in: Micro/Nanotribology and its Applications, ed. B. Bhushan (Kluwer, Dordrecht, 1997).
2. Meurk A., Tribology Letters 8 (2000) 161-169.
3. Scherge Matthias. Biological micro-and nanotribology: Nature’s solutions / Scherge Matthias, Gorb Stanislav N. — Berlin etc.: Springer, 2001. — XIII, 304.
4. Handbook of micro/nanotribology/ Ed. by Bhushan Bharat . — 2d ed. — Boca Raton etc.: CRC press, 1999. — 859.
5. Batista A.A., Carlson J.M., Physical Review E 57 (1998) 4986-4996.

границ | Переходное и устойчивое трение скольжения эластомеров: влияние вертикального подъема

Введение

Хорошо известно, что скользящий контакт эластомеров включает в себя различные типы динамики из-за трения. Физические явления, такие как распространение волн (Schallamach, 1971; Barquins, 1985; Rubinstein et al., 2004; Maegawa, Nakano, 2010), образование структур износа (Schallamach, 1957; Fukahori, Yamazaki, 1994) и нелинейные колебания (Nakano and Maegawa, 2009; Yamaguchi et al., 2011; Nakano et al., 2019) привлекли внимание многих научных и инженерных исследователей. Среди различных эластомеров резина является материалом, которому уделяется наибольшее внимание в различных практических приложениях (например, в шинах, уплотнениях и обуви). Со времени исследования, проведенного Грошем (1963), показывающего эталонную кривую коэффициента трения в соответствии с теорией Вильямса – Ланделя – Ферри (WLF) (Williams et al., 1955), важность вязкоупругости была признана, а зависимость трения коэффициент по температуре и скорости был исследован [e.г., Попов и др. (2018)]. Совсем недавно было обнаружено несколько набухших полимеров, демонстрирующих высокую эластичность и сверхнизкое трение (например, гидрогели и полимерные щетки) (Gong et al., 2001; Nomura et al., 2011), некоторые из которых разрабатываются для практического применения. (Belin et al., 2018; Tadokoro et al., 2020), и их трибологические свойства также обсуждались в связи с их вязкоупругими свойствами (Mizukami et al., 2019).

Чтобы понять трение скольжения эластомеров, были предложены различные типы методов моделирования.Среди них те, у которых есть «вязкоупругая основа», как известно, обладают сильными преимуществами не только в том, что они позволяют избежать трудностей теории упругого контактного напряжения, но также в предоставлении интуитивно понятных изображений того, как происходит диссипация энергии внутри контакта. Первым было расширение упругого основания (т. Е. Основания Винклера) от задач стационарного контакта тонких пленок до задач устойчивого скользящего контакта эластомеров (May et al., 1959; Johnson, 1985). Затем, недавно, в новой структуре «метода уменьшения размерности», изобретенной Поповым и его коллегами, метод моделирования получил прогресс, позволив нам анализировать истинный трехмерный контакт с высокой точностью (Popov, 2010; Popov and Heß, 2015; Куще, 2017).Например, Ли и др. (2015) численно и теоретически исследовали кинетику коэффициента трения для скользящего контакта между плоским эластомером (смоделированным на основе Кельвина – Фойгта) и грубым жестким индентором (смоделированным самоаффинным фракталом) при резком изменении скорости движения двигателя. . В результате они обнаружили интересные временные изменения (то есть скачки и релаксации) коэффициента трения в зависимости от скорости движения и показателя Херста самоаффинного фрактала при рассмотрении квазистатических процессов.

Основываясь на вышеизложенном, цель этого исследования состояла в том, чтобы найти ответ на следующий вопрос: каковы минимальные требования для моделирования с использованием вязкоупругих оснований для описания переходного трения, возникающего в начале скольжения между эластомером и индентором? В этой статье, чтобы дать возможный ответ в минимальной ситуации, мы рассматриваем простой линейный контакт между плоским эластомером и цилиндрическим жестким индентором, уделяя особое внимание граничному условию жесткого индентора в вертикальном направлении при ограничении, что эластомер моделируется традиционным фундаментом Кельвина – Фойгта.Два типа моделей с различными граничными условиями показывают, что вертикальная динамика жесткого индентора сильно влияет не только на возникновение переходного трения скольжения, но и на характеристики установившегося трения скольжения.

Обратите внимание, что вышеупомянутое представление о граничном условии в вертикальном направлении происходит из типичной структуры систем скольжения при смазке жидкой пленкой, поскольку, когда смазка жидкой пленкой рассматривается теоретически, естественно предположить, что «ползун» (соответствующий к «индентору» в этом исследовании) сдвигается по вертикали, чтобы найти положение для балансировки с приложенной нормальной нагрузкой.Также обратите внимание, что в целом известно, что трение эластомеров возникает в результате двух различных механизмов. Один из них — это «адгезия», рассеяние энергии которой происходит на поверхности контакта между эластомером и индентором [то есть адгезионное трение (например, Мур и Гейер (1972))], а другой — «вязкоупругость». диссипация энергии, которая происходит внутри эластомеров [т. е. гистерезисное трение (например, Мур и Гейер (1974))]. Хотя оба механизма важны и должны быть взаимосвязаны, в данном исследовании первый игнорируется, а основное внимание уделяется второму.

Модели

Конструкции

На рисунке 1 показаны два типа моделей трения скольжения эластомеров, рассматриваемых в данном исследовании. Левая часть называется «моделью фиксированного индентора (FI)», а правая — «моделью подвижного индентора (MI)». Это модели, описывающие двумерный скользящий контакт между жестким индентором и вязкоупругим основанием в плоскости x z ​​, где оси x и z взяты в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.

Рисунок 1 . Два типа моделей для скользящего контакта между жестким цилиндрическим индентором и плоским эластомером (моделируются вязкоупругим основанием). (слева) Модель фиксированного индентора (FI). (Справа) Модель подвижного индентора (MI).

Жесткий индентор (масса на единицу ширины: M ) имеет цилиндрическую форму (радиус кривизны: R ), нижняя поверхность которого контактирует с вязкоупругим основанием. В модели FI жесткий индентор закреплен на жестких стенках, чтобы он не мог двигаться в любом направлении.В модели MI, с другой стороны, жесткий индентор поддерживается линейным подшипником без трения, чтобы иметь возможность перемещаться только в вертикальном направлении. Обратите внимание, что граничное условие жесткого индентора — единственное различие между ними.

Вязкоупругая основа состоит из бесконечного числа вязкоупругих элементов, установленных на жестком основании через равные промежутки времени в горизонтальном направлении. Каждый вязкоупругий элемент представляет собой элемент Кельвина – Фойгта с одной степенью свободы, состоящий из вертикальной пружины (жесткость на единицу ширины: k ) и вертикального демпфера (коэффициент демпфирования на единицу ширины: c ) с таким же естественным длина; в результате его невозмущенная поверхность представляет собой горизонтальную плоскость z = 0.Обратите внимание, что при использовании жесткости на единицу площади ( K ) и коэффициента демпфирования на единицу площади ( C ) вязкоупругого основания, k и c даются как k = K / Н и c = C / N соответственно, где N — количество вязкоупругих элементов на единицу длины. Также обратите внимание, что здесь мы предполагаем, что верхний конец каждого вязкоупругого элемента контактирует с жесткой поверхностью индентора без сцепления и без трения.

Благодаря вышеупомянутым конструкциям нормальная нагрузка на единицу ширины ( W ) модели FI определяется глубиной вдавливания δ [то есть W = W (δ), где δ является постоянным], в то время как модель MI определяется силой тяжести [т.е. W = Mg , где g — гравитационная постоянная]. Кроме того, в обеих моделях жесткое основание приводится в движение горизонтально со скоростью V . Таким образом, мы можем сказать, что модель FI представляет собой «систему скольжения с постоянным зазором», а модель MI представляет собой «систему скольжения с собственным весом.Или мы можем также сказать, что модели FI и MI представляют два предельных случая, соответствующих «очень жесткому предмету» и «очень мягкому предмету» соответственно.

Управляющие уравнения

Когда жесткий индентор проникает в вязкоупругое основание на δ> 0, поверхности индентора в моделях FI и MI имеют значение

соответственно, где t — время, а h ( x ) — функция формы индентора:

Предположим, что вязкоупругий элемент и при x = x _i ( t ) контактирует с поверхностью индентора (см. Рисунок 2).Степень сжатия и сжатия вязкоупругого элемента и в модели FI составляет

соответственно, а в модели MI —

соответственно, где ( ^· ) и (‘) — производные по отношению к t и x соответственно. Затем, как показано слева на рисунке 2, на подэлемент PQR действуют четыре типа местных сил: нормальная сила f _Ni в точке P (от жесткого индентора), восстанавливающая сила ку _i при Q (от пружины) демпфирующая сила куб.i в R (от демпфера), и горизонтальная сдерживающая сила f _Ci (от пружины и демпфера). Учитывая, что подэлемент PQR безмассовый, получаем следующие уравнения баланса сил в вертикальном и горизонтальном направлениях:

соответственно, где

при –π / 2 <θ _i <π / 2, и из уравнения (8)

Теперь, как показано справа на рисунке 2, нормальная сила действует на жесткий индентор в точке P со стороны вязкоупругого элемента и , которая является силой реакции нормальной силы f _Ni слева от Фигура 2.Следовательно, вертикальная и горизонтальная составляющие нормальной силы равны

соответственно. Обратите внимание, что из уравнений (9) и (13) горизонтальная ограничивающая сила определяется как f _Ci = f _xi . Следовательно, общая вертикальная сила F ​​ _z и полная горизонтальная сила F ​​ _x , действующая на жесткий индентор со стороны вязкоупругого основания, равны

соответственно.Наконец, вертикальное положение дна индентора A в модели FI равно

, а в модели MI он определяется уравнением движения:

, который определяет δ и δ. в уравнениях (6) и (7) следующим образом:

Обратите внимание, что когда вязкоупругий элемент i не контактирует с поверхностью индентора, очевидно, что f _Ni = 0 и, следовательно, f _zi = f _xi = 0.Тогда степень сжатия бесконтактного элемента равна

, где τ — время замедления вязкоупругого элемента, определяемое как

или, используя макроскопические свойства вязкоупругого основания,

Следовательно, при нарушении контактным элементом следующего условия:

отрывается от жесткой поверхности индентора. Отметим, что дифференциальное уравнение первого порядка (20) для бесконтактного элемента имеет следующее решение:

, где t ₀ — постоянная.

Рисунок 2 . Местные силы на вязкоупругом элементе – (Кельвина – Фойгта). (слева) Местные силы, действующие на подэлемент PQR в вязкоупругом элементе и . (Справа) Местная сила, действующая на жесткий индентор со стороны вязкоупругого элемента и .

Методы

Системы основных уравнений в предыдущем разделе были решены численно для моделей FI и MI. Для решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (17) для модели MI использовался метод Рунге – Кутта, в котором дискретизация по времени определялась как Δ t = 2Δ x / V = 2/ NV .

Стандартные значения параметров для численного моделирования перечислены в таблице 1. Обратите внимание, что обе модели включают шесть независимых параметров ( R, K , τ, N , δ и V в модели FI; R, M , K , τ, N и V в модели MI). Однако, поскольку N (= 1 / Δ x ) является параметром пространственной дискретизации, количество основных параметров равно пяти для каждой модели. Также обратите внимание, что если мы представим «тонкий» эластичный лист толщиной h = 1 мм в качестве вязкоупругого основания, можно сказать, что жесткость на единицу площади K = 10 Гн / м ³ соответствует эффективный модуль упругости E ~ Kh = 10 МПа, хотя он сильно зависит от граничных условий крепления эластомера на жестком основании [т.е.г., Попов (2010)].

Таблица 1 . Стандартные значения параметров для численного моделирования.

Результаты

На рисунке 3 показаны численные результаты временных изменений репрезентативных переменных для модели FI (левый столбец) и модели MI (правый столбец) при стандартных условиях (таблица 1). Обратите внимание, что, как показано синими линиями в верхнем ряду, скорость привода резко увеличилась с V = 0 до 100 мм / с при t = 0.

Рисунок 3 .Численные результаты для модели фиксированного индентора (слева) и модели подвижного индентора (справа) : временные изменения скорости движения V (верхний ряд), положение индентора z _A (второй ряд), общая вертикальная сила F ​​ _z (третий ряд) и общая горизонтальная сила F ​​ _x (нижний ряд) при стандартных условиях (значения параметров см. В таблице 1).

Во-первых, из результатов для модели FI мы находим, что положение индентора обеспечивало начальное условие ( z _A = -0.3 мм, F ​​ _z ~ 10 Н / мм и F ​​ _x = 0). Затем F ​​ _z и F ​​ _x были немедленно увеличены на t = 0 и сохранили увеличенные значения ( z _A = -0,3 мм, F ​​ _z ~ 35 Н / мм и F ​​ _x ~ 5 Н / мм).

Затем, исходя из результатов для модели MI, мы находим, что сила тяжести обеспечивала то же начальное состояние, что и в предыдущей модели.Однако ответы были совершенно разными, показывая отчетливое «переходное скольжение» к «устойчивому скольжению». Жесткий индентор начал двигаться «вверх» при t = 0, а затем постепенно приблизился к z _A ~ -0,1 мм с постоянной времени порядка «10 мс» (вторая строка). Отклик F ​​ _z был резким: он сразу увеличился до F ​​ _z ~ 30 Н / мм при t = 0, затем быстро снизился до F ​​ _z ~ 9 Н / мм с постоянной времени порядка «1 мс» и постепенно возвращается к F ​​ _z ~ 10 Н / мм (третья строка).Отклик F ​​ _x также был резким: он сразу увеличился до F ​​ _x ~ 5 Н / мм при t = 0, затем быстро снизился до F ​​ _x ~ 2 Н / мм с постоянной времени «1 мс» и постепенно приближается к F ​​ _x ~ 1 Н / мм с постоянной времени «10 мс» (нижний ряд). Следует отметить, что реакция F ​​ _x напоминает типичный переход от статического трения к кинетическому трению, хотя статическое трение не учитывалось.Это переходное поведение будет обсуждаться в следующем разделе.

На рисунке 4 показаны численные результаты пространственно-временных изменений контактного давления p ( x, t ) = Nf _N ( x, t ) при тех же условиях, что и на предыдущем рисунке, где абсцисса — горизонтальное положение x , ордината — время t , а величина p представлена ​​оттенком красного цвета. Синие линии показывают временные изменения горизонтальных положений передней и задней кромок области контакта, обозначенные как x _LE ( t ) и x _TE ( t ) соответственно.

Рисунок 4 . Численные результаты для модели фиксированного индентора (слева) и подвижного индентора модели (справа) : пространственно-временные изменения контактного давления p ( x, t ) при стандартных условиях (значения параметров см. В таблице 1). LE, передний край контакта; TE, задний край контакта.

Во-первых, из результатов для модели FI мы снова находим, что реакция не сопровождалась какими-либо переходными процессами. Что касается краев, то они были расположены на x _LE = −2.4 мм и x _TE = 2,4 мм в качестве исходного состояния. После t = 0 передняя кромка сохранила положение, в то время как задняя кромка сразу сместилась влево до x _TE = 0,3 мм при t = 0 и сохраняла положение для t > 0 ( что наблюдается как отслаивание контактной поверхности на выходной стороне). Что касается контактного давления, оно было симметричным для t <0, показывая максимальное p _max ~ 3 МПа в контактном центре и минимальное p _min = 0 на обоих краях.После t = 0 он показал максимальное значение p _max > 20 МПа на передней кромке и минимальное значение p _min = 0 на задней кромке.

Затем, исходя из результатов для модели MI, мы снова обнаруживаем, что реакция сопровождалась отчетливыми переходными процессами. Что касается краев, то они были расположены на тех же позициях, что и у предыдущей модели. Однако после t = 0 сместилась не только задняя кромка, но и передняя кромка (что наблюдается как одновременное отслаивание контактной площадки с обеих сторон).Передняя кромка начала двигаться вправо при t = 0, а затем постепенно приблизилась к x _LE = -1,3 мм с постоянной времени «10 мс». Между тем, задняя кромка сразу переместилась влево до x _TE ~ 0 при t = 0, затем продолжила движение влево до x _TE ~ -1 мм с постоянной времени «1. мс », а затем постепенно приблизился к предельному значению x _TE = 0,1 мм с постоянной времени« 10 мс.Что касается контактного давления, начиная с того же начального состояния, что и у предыдущей модели, после t = 0 оно показало максимум на передней кромке и минимум на задней кромке. Например, при устойчивом скольжении p _max ~ 14 МПа на передней кромке и p _min = 0 на задней кромке.

Обсуждение

Переходное трение скольжения

Путем прямого сравнения численных результатов для двух типов моделей (рис. 1) мы обнаружили, что граничные условия жесткого индентора являются критическими для возникновения переходного скольжения.Вертикальное перемещение жесткого индентора вызывает его движение вверх (называемое «вертикальным подъемом» жесткого индентора) при приложении скорости движения (Рисунок 3), что приводит к резкому пространственно-временному изменению площади и давления контакта (Рисунок 4).

Во-первых, в модели FI горизонтальные положения передней и задней кромок задаются

соответственно, где a — половина длины неподвижного контакта, а l _r — длина запаздывания, определяемая как

соответственно.Обратите внимание, что x _LE является постоянным, а x _TE является функцией l _r . Из уравнений (26) и (27) мы находим, что существует два предельных случая:

, где первое означает «не отслаивание» всей площади контакта, а последнее означает «полное отслаивание» зоны контакта на выходной стороне. Следовательно, например, когда скорость привода увеличивается, площадь контакта изменяется с «симметричной» [уравнение (30)] на «асимметричную» [уравнение (31)].Обратите внимание, что x _TE , заданное уравнением (27), сразу же определяется при приложении скорости привода, что является причиной того, почему реакция модели FI не сопровождается какими-либо переходными процессами.

Тогда в модели MI горизонтальные положения передней и задней кромок задаются как

соответственно, где δ = δ ( t ) и, следовательно, a = a (δ) = a ( t ), что является причиной того, почему модель MI создает переходные процессы.В уравнениях (32) и (33) мы находим два источника, создающих временные изменения. Один из них — a ~ δ ^1/2 , который сжимает площадь контакта симметрично за счет вертикального подъема жесткого индентора. По временному изменению x _LE справа на рисунке 4, мы можем сказать, что в стандартных условиях постоянная времени «10 мс» была вызвана этим эффектом. (Кроме того, изменение во времени z _A справа на рисунке 3 подтверждает этот вывод.Другой — δ. / Δ, расположенный под знаком квадратного корня в уравнении (33), работает только для задней кромки, которая асимметрично деформирует контактную площадку. По временному изменению x _TE справа на рисунке 4, мы можем сказать, что в стандартных условиях постоянная времени «1 мс» была вызвана этим эффектом.

На основании вышеизложенного, давайте рассмотрим резкий отклик F ​​ _x справа на рисунке 3. Как мы видели в предыдущем разделе, временное изменение F ​​ _x в Модель MI очень похожа на типичный переход от статического трения к кинетическому, несмотря на то, что статическое трение не учитывается при моделировании.Если мы наблюдали этот тип реакции в экспериментах, мы, вероятно, полагали, что это вызвано типичным адгезионным трением, состоящим из двух типов трения. Фактически, острая реакция состоит из следующих трех частей. Первый — это немедленное увеличение в ответ на резкое увеличение скорости движения при t = 0. Это, очевидно, вызвано демпфированием C основания Кельвина – Фойгта, которое по существу идентично отклику, наблюдаемому в FI. модель при т = 0.Второй — быстрое уменьшение с постоянной времени «1 мс». Рассматривая обсуждение в предыдущем абзаце, мы можем сделать вывод, что быстрое уменьшение вызвано быстрым движением задней кромки для уменьшения площади контакта. Третий — постепенное уменьшение с постоянной времени «10 мс». Принимая во внимание обсуждение в предыдущем абзаце, естественно сказать, что постепенное уменьшение F ​​ _x вызвано постепенным перемещением обоих краев. Однако, учитывая также, что контактное давление принимает максимальное значение p _max на передней кромке и минимальное p _min = 0 на задней кромке (Рисунок 4), мы можем сделать вывод, что постепенное уменьшение F _x в основном вызвано постепенным перемещением передней кромки.Снова обратите внимание, что вторая и третья части F ​​ _x в модели MI никогда не появляются в модели FI, что говорит нам о том, что вертикальный подъем жесткого индентора важен для колючего ответа.

Устойчивое трение скольжения

Путем численного моделирования для изучения реакции на резкое увеличение скорости привода мы обнаружили, что реакция модели FI не сопровождается какими-либо переходными процессами (что означает, что установившееся трение скольжения возникает немедленно), в то время как реакция модели МИ сопровождается отчетливыми переходными процессами, за которыми следует установившееся трение скольжения.В этом разделе мы сосредоточимся на устойчивом трении скольжения.

Ситуацию устойчивого скольжения дает

, который сводит основные уравнения для модели MI к уравнениям для модели FI. Например,

Однако, как видно из численных результатов для t > 100 мс на Рисунке 3, нормальная нагрузка W (= F ​​ _z при установившемся скольжении) и сила трения F ​​ (= F _x в устойчивом скольжении) для модели MI значительно отличаются от таковых для модели FI (т.е.е., Вт, ~ 35 Н / мм и F, ~ 5 Н / мм для модели FI, в то время как Вт, ~ 10 Н / мм и F ​​ ~ 1 Н / мм для модели MI). Обратите внимание, что разница вызвана граничным условием жесткого индентора: модель FI представляет собой «систему скольжения с постоянным зазором», в которой контролируется глубина вдавливания δ, а модель MI представляет собой «систему скольжения с собственным весом» в которой регулируется нормальная нагрузка Вт, (= Мг, ). Поэтому, когда кто-то пытается измерить трение скольжения эластомеров, обязательно уделять много внимания граничному условию встречной поверхности: в противном случае измеренные значения могут потерять свой смысл.

Приведенное выше обсуждение подтверждается рисунком 5, на котором показаны численные результаты устойчивого скольжения для модели FI (левый столбец) и модели MI (правый столбец). Обобщены зависимости δ (верхний ряд), W (второй ряд), F ​​ (третий ряд) и μ (нижний ряд) от V в установившемся скольжении, где μ — коэффициент трения при установившемся скольжении. скольжение, определяется как

Значения τ: 10 ⁻² с (черный), 10 ⁻¹ с (синий) и 10 ⁰ с (красный), а значения других параметров такие же, как и в стандартных условиях. (Таблица 1).Из-за различия граничных условий зависимости μ от скорости для моделей FI и MI отличаются друг от друга: при высоких- V модель FI показывает предельное значение μ ~ 0,2, а модель MI показывает отрицательная зависимость μ от В с наклоном −0,5. Кроме того, обнаружено, что три кривые на каждом графике на рисунке 5 расположены через равные промежутки времени, что означает, что произведение V и τ (т.е. l _r = Vτ ) является важным параметром. для обеих моделей.

Рисунок 5 . Результаты расчетов в установившемся скольжении для фиксированного индентора модели (слева) и подвижного индентора модели (справа) : влияние времени задержки τ на скоростные зависимости глубины вдавливания δ (вверху) , нормальной нагрузки Вт (второй ряд ), силу трения F ​​ (третий ряд) и коэффициент трения μ (нижний ряд). Черные линии, τ = 10 ⁻² с; синие линии, τ = 10 ⁻¹ с; красные линии, τ = 10 ⁰ с (другие значения параметров см. в таблице).

Посредством серии численного моделирования при различных наборах параметров были получены эталонные кривые по μ в установившемся скольжении для двух типов моделей (см. Рисунок 6). Красная кривая на левом графике — эталонная кривая для модели FI, ордината и абсцисса которой — μ ( R / δ) ^1/2 и В τ ( R δ) ^{−1. / 2} , соответственно, а красная кривая на правом графике — эталонная кривая для модели MI, ордината и абсцисса которой — μ ( KR ² / W ) ^1/3 и V τ ( K / RW ) ^1/3 соответственно.Следует подчеркнуть, что каждая величина, присвоенная осям на рисунке 6, безразмерна.

Рисунок 6 . Основные кривые коэффициента трения μ при устойчивом скольжении для фиксированного индентора модели (слева) и подвижного индентора модели (справа) . Красные сплошные линии: эталонные кривые, полученные численно, черные пунктирные линии: асимптоты, полученные теоретически.

Чтобы исследовать асимптоты мастер-кривых, мы снова рассмотрим два предельных случая:

, где опять же, первое означает «не отслаивание» всей области контакта, а последнее означает «полное отслаивание» области контакта на выходной стороне.Во-первых, когда l _r ≪ a , W и F ​​ можно оценить на

соответственно, где α = 22/3. Следовательно, μ для первого предельного случая [Уравнение (38)] равно

Тогда, когда l _r ≫ a , W и F ​​ можно оценить как

соответственно. Следовательно, μ для второго предельного случая [Уравнение (39)] равно

или, используя уравнение (43),

Черные пунктирные линии на рисунке 6 — это асимптоты, указанные выше. Теперь мы находим отличное согласие асимптот с мастер кривыми. Обратите внимание, что уравнения (42) и (46) такие же, как и у Попова (2010).

Зависимость коэффициента трения от скорости

В этом разделе, основываясь на рисунке 6, рассмотрим зависимости коэффициента трения от скорости.На рисунке 6 скорость привода V включена только по оси абсцисс. Поэтому, исходя из пересечения двух асимптот, мы вводим критическую скорость V ^* , определяемую как

При использовании V ^* формулы для оценки коэффициента трения приведены в таблице 2.

Таблица 2 . Зависимости коэффициента трения при установившемся скольжении от скорости (α = 22/3).

Сначала рассмотрим случай В ≪ В ^* . Из третьей строки таблицы 2 мы находим, что формулы для обеих моделей одинаковы, что означает, что при V ≪ V ^* эффект вертикального подъема незначителен, хотя жесткий индентор может перемещаться вертикально в модель MI. Кроме того, учитывая предположение, данное уравнением (38), мы обнаруживаем, что при В ≪ В ^* отслаивание контактной области на выходной стороне также незначительно в обеих моделях.Зависимость μ от скорости равна μ ~ В ¹ , что означает, что она вызвана демпфированием фундамента Кельвина – Фойгта.

Далее рассмотрим случай В ≫ В ^* . Из нижнего ряда таблицы 2 мы видим, что формулы для двух типов моделей различаются, что означает, что когда V ≫ V ^* , эффект вертикального подъема сильно проявляется в модели MI. Из уравнения (43) мы находим, что эффект вертикального подъема появляется согласно

, что подтверждается численными результатами, показанными на верхнем правом графике рисунка 5, где уменьшение δ означает увеличение z _A (= –δ): то есть вертикального подъема жесткого индентора.Кроме того, учитывая предположение, данное уравнением (39), мы обнаруживаем, что при В ≫ В ^* в обеих моделях происходит полное отслаивание контактной области на выходной стороне. Что касается зависимости μ от скорости в модели FI, то это μ ~ V ⁰ (т.е. μ является постоянным). Это связано с тем, что, когда V ≫ V ^* , демпфирование становится доминирующим, и, следовательно, восстановление становится незначительным, что приводит к ситуации, когда оба значения W и F ​​ пропорциональны V , поскольку показано в уравнениях (43) и (44).Что касается зависимости μ от скорости в модели MI, с другой стороны, она показывает отрицательную зависимость μ ~ V ^−1/2 , которая вызвана вертикальным подъемом жесткого индентора.

В результате мы находим, что в модели MI функция μ = μ ( В ) имеет локальный максимум при В ~ В ^* . Обратите внимание, что в течение многих десятилетий этот тип зависимости от скорости наблюдался и обсуждался рядом исследователей для трения скольжения эластомеров, которое, по-видимому, в основном понимается как частотная зависимость вязкоупругости (Persson, 2001; Momozono et al., 2010; Карбоне и Путиньяно, 2013). Однако модель MI дает качественно аналогичную зависимость, хотя частотная зависимость фундамента Кельвина – Фойгта не имеет локального максимума, где он вызван вертикальным подъемом жесткого индентора.

Также отметим, что отрицательная зависимость μ ~ В ^−1/2 означает

, что дает нам представление о сверхнизком трении. Если мы попытаемся воплотить ситуацию Уравнения (50) в реальных системах, не только увеличение В, , но также уменьшение В, ^* будет многообещающим, способ которого показан Уравнением (48).Вероятно, наиболее эффективным параметром является демпфирование C (или время замедления τ = C / K ). Согласно уравнению, увеличение C приводит к уменьшению V ^* , что приводит к приближению к ситуации уравнения (50). Следует отметить, что эта концепция никогда не может быть воплощена в модели FI, потому что увеличение C при постоянном δ просто линейно увеличивает F ​​, как показано в уравнении (44). Следовательно, ключевым является эффект вертикальной подъемной силы, возникающий при подвижном граничном условии жесткого индентора.

Недавно внимание привлекли несколько набухших полимеров со сверхнизким трением (например, гидрогели и полимерные щетки), вдохновленные естественными трибосистемами в человеческих телах (например, глазами и суставами) (Klein et al., 1994; Lee and Spencer, 2008 г.). Важным аспектом, очевидно, являются низкие адгезионные свойства поверхностей, обусловленные их «микроскопической» структурой. Однако, как еще один важный аспект, также необходимы надлежащие «макроскопические» структуры для их правильного использования в различных условиях.По крайней мере, вспоминая результаты по переходному скольжению (рис. 3), мы можем сказать, что при смазанном скольжении эластомеров макроскопические структуры, использующие эффект вертикального подъема за счет вязкоупругости, по-видимому, имеют сильные преимущества для плавного перехода к режиму смазки жидкой пленкой. особенно в начале скольжения.

Выводы

В этом исследовании трение скольжения эластомеров было исследовано численно и теоретически для линейного контакта между цилиндрическим жестким индентором и «бесфрикционным» фундаментом Кельвина – Фойгта.Начало скольжения при резком увеличении скорости привода моделировалось с различными граничными условиями жесткого индентора. Основные выводы таковы:

1. Когда жесткий индентор не может двигаться в любом направлении, возникает резкое изменение силы трения, не сопровождающееся какими-либо переходными процессами. Однако, когда жесткий индентор может перемещаться в вертикальном направлении, появляется переходное трение скольжения, включающее три различные постоянные времени, напоминающее типичный переход от статического трения к кинетическому трению, несмотря на отсутствие статического трения, учитываемого при моделировании.Вышеупомянутая резкая разница вызвана «вертикальным подъемом» жесткого индентора, вызванным демпфированием фундамента Кельвина – Фойгта.

2. Когда скорость движения достаточно низкая, эффект вертикального подъема незначителен, когда восстановление преобладает над демпфированием, что приводит к небольшому отслаиванию всей площади контакта и коэффициенту трения, пропорциональному скорости движения. С другой стороны, когда скорость привода достаточно высока, эффект вертикального подъема становится сильным, когда демпфирование преобладает над восстановлением, что приводит к полному отслаиванию контактной области на выходной стороне.Вертикальный подъем жесткого индентора сильно влияет на характеристики установившегося трения скольжения, что хорошо объясняется использованием критической скорости, определяемой из асимптот на эталонной кривой коэффициента трения.

В конце еще раз отметим, что приведенные выше выводы получены для фундамента Кельвина – Фойгта против цилиндрического жесткого индентора. В целом, поскольку на поведение сильно влияет реология вязкоупругого основания или форма жесткого индентора (Popov and Heß, 2015), необходимы дальнейшие исследования.

Заявление о доступности данных

Все наборы данных, созданные для этого исследования, включены в статью / дополнительный материал.

Авторские взносы

К.Н. разработал исследование и написал рукопись. МК провел симуляции. KN и MK проанализировали результаты. Все авторы внесли свой вклад в статью и одобрили представленную версию.

Финансирование

Это исследование было частично поддержано ACCEL (Инициатива ускоренных инновационных исследований, превращающая науку и идеи в высокоэффективные ценности) в рамках гранта No.JPMJAC1503 спонсируется Японским агентством науки и технологий.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Авторы выражают благодарность профессору Валентину Л. Попову и профессору Хироши Ватанабэ за плодотворные и стимулирующие обсуждения.

Список литературы

Баркинс, М.(1985). Трение скольжения резины и волны Шалламаха: обзор. Mater. Sci. Англ. 73, 45–63. DOI: 10.1016 / 0025-5416 (85) -2

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Белин, М., Арафуне, Х., Камиджо, Т., Перре-Лиоде, Дж., Моринага, Т., Хонма, С. и др. (2018). Низкое трение, смазывающая способность и долговечность покрытий из полимерных щеток, охарактеризованные с помощью релаксационного трибометра. Смазочные материалы 6:52. DOI: 10.3390 / смазочные материалы6020052

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Карбоне, Г., и Путиньяно, К. (2013). Новая методология прогнозирования трения скольжения и качения вязкоупругих материалов: теория и эксперименты. J. Mech. Phys. Твердые тела 61, 1822–1834. DOI: 10.1016 / j.jmps.2013.03.005

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Fukahori, Y., and Yamazaki, H. (1994). Механизм истирания резины: часть I: формирование картины истирания в вулканизате натурального каучука. Износ 171, 195–202. DOI: 10.1016 / 0043-1648 (94) -X

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Гонг, Дж.П., Курокава, Т., Нарита, Т., Кагата, Г., Осада, Ю., Нишимура, Г. и др. (2001). Синтез гидрогелей с чрезвычайно низким поверхностным трением. J. Am. Chem. Soc. 123, 5582–5583. DOI: 10.1021 / ja003794q

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Грош, К. А. (1963). Связь между трением и вязкоупругими свойствами резины. Proc. Рой. Soc. Сер. А 274, 21–39. DOI: 10.1098 / RSPA.1963.0112

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кляйн, Дж., Кумачева, Э., Махалу, Д., Перахиа, Д., и Феттерс, Л. Дж. (1994). Снижение сил трения между твердыми поверхностями, несущими полимерные щетки. Природа 370, 634–636. DOI: 10.1038 / 370634a0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Куше, К. (2017). Сила трения между осесимметричным индентором и вязкоупругим полупространством. Z. Angew. Математика. Мех. 97, 226–239. DOI: 10.1002 / zamm.201500169

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Маэгава, С., и Накано, К. (2010). Механизм скачкообразного движения, связанный с волнами Шалламаха. Износ 268, 924–930. DOI: 10.1016 / j.wear.2009.12.018

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мэй У. Д., Моррис Э. Л. и Атак Д. (1959). Трение качения твердого цилиндра по вязкоупругому материалу. J. Appl. Phys . 30, 1713–1724. DOI: 10.1063 / 1.1735042

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мизуками, М., Ген, М., Сюй, С. Ю., Цуджи, Ю., и Курихара, К. (2019). Динамика смазанных концентрированных щеточных слоев ПММА изучается с помощью измерений поверхностных сил и резонансного сдвига. Мягкое вещество . 15, 7765–7776. DOI: 10.1039 / C9SM01133A

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Момозоно С., Накаяма К. и Кёгоку К. (2010). Теоретическая модель адгезионного трения между эластомерами и шероховатыми твердыми поверхностями. J. Chem. Phys. 132: 114105. DOI: 10.1063 / 1.3356220

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мур, Д.Ф. и Гейер В. А. (1972). Обзор теорий адгезии эластомеров. Износ 22, 113–141. DOI: 10.1016 / 0043-1648 (72) -2

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мур, Д. Ф., и Гейер, В. А. (1974). Обзор теорий гистерезиса эластомеров. Износ 30, 1–34. DOI: 10.1016 / 0043-1648 (74) -6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Накано, К., Кавагути, К., Такешима, К., Сираиси, Ю., Форсбах, Ф., Бенад, Дж., и другие. (2019). Исследование динамического отклика резины при фрикционном контакте. Фронт. Мех. Англ. 5: 9. DOI: 10.3389 / fmech.2019.00009

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Накано К. и Маэгава С. (2009). Прерывистое скольжение в системах скольжения с тангенциальной контактной податливостью. Tribol. Int. 42, 1771–1780. DOI: 10.1016 / j.triboint.2009.04.039

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Номура, А., Окаясу, К., Оно, К., Фукуда, Т., и Tsujii, Y. (2011). Механизм смазки щеток из концентрированного полимера в растворителях: влияние качества растворителя и, как следствие, состояние набухания. Макромолекулы 44, 5013–5019. DOI: 10.1021 / ma200340d

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Перссон, Б. Н. Дж. (2001). Теория трения резины и механика контакта. J. Chem. Phys. 115, 3840–3861. DOI: 10.1063 / 1.1388626

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Попов, В.Л.(2010). Контактная механика и трение: физические принципы и приложения . Берлин: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-642-10803-7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Попов В. Л., Хесс М. (2015). Метод уменьшения размерности в контактной механике и трении. Берлин: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-642-53876-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Попов В. Л., Фолль Л., Куше С., Ли К., Рожкова С.В. (2018). Обобщенная процедура эталонной кривой для трения эластомера, учитывающая зависимости от скорости, температуры и нормальной силы. Tribol. Int. 120, 376–380. DOI: 10.1016 / j.triboint.2017.12.047

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Тадокоро Т., Сато К., Нагамин Т., Накано К., Сасаки С., Сато Т. и др. (2020). Концентрированная полимерная щетка в качестве материала уплотнения возвратно-поступательного действия для снижения утечки и низкого трения. Tribol.Пер. 63, 20–27. DOI: 10.1080 / 10402004.2019.1650213

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Уильямс, М. Л., Лэндел, Р. Ф., и Ферри, Дж. Д. (1955). Температурная зависимость механизмов релаксации в аморфных полимерах и других стеклообразующих жидкостях. J. Am. Chem. Soc. 77, 3701–3707. DOI: 10.1021 / ja01619a008

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ямагути, Т., Моришита, М., Дои, М., Хори, Т., Сакагути, Х., и Ампуэро, Дж.П. (2011). Закон Гутенберга-Рихтера в трении скольжения гелей. J. Geophys. Res. 116, B12306. DOI: 10.1029 / 2011JB008415

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Удивительно крутая физика толкания блока к стене

Это здорово. Верно? Но опять же, мы должны проверить это уравнение. Есть ли у него правильные единицы? Да, знаменатель этого выражения содержит только μ _s и триггерные функции, не имеющие единиц измерения. Это означает, что в целом выражение имеет единицы измерения в Ньютонах.Это хорошо. Что произойдет, если я толкну под углом в ноль градусов? Подставляя ноль для θ в этом выражении, я получаю тот же ответ, что и на первый вопрос (нажатие горизонтально) — так что это имеет смысл. Наконец, что, если я буду толкать вверх с θ, равным 90 градусам? Это дало бы величину силы, равную весу блока — опять же, это кажется разумным.

Но подождите! Как насчет ответа на вопрос о том, чтобы толкать горизонтально по сравнению с толканием под углом? Что требует больше силы? Пока угол составляет от 0 до 90 градусов, значение в знаменателе будет больше, чем просто μ _s , так что сила будет меньше под углом.Есть ли «лучший» угол, требующий наименьшего усилия? Да! Давай найдем.

Конечно, вы можете взять уравнение силы как функции от θ, приведенное выше, взять производную по θ, а затем установить ее равной нулю. Это будет ваша стандартная задача max-min из класса исчисления.

Что, если я просто использую грубую силу для решения этой проблемы? Я могу вычислить требуемую силу и множество разных углов, а затем просто найти угол с наименьшей силой.Поскольку на самом деле я не хочу делать это вручную — я буду использовать Python. А вот и эта программа (так что с ней тоже можно поиграться).

Просто нажмите кнопку «Выполнить», чтобы запустить его, а затем вы можете вернуться и отредактировать код, если хотите поиграть с ним. Не волнуйтесь, вы действительно ничего не сломаете. Это довольно простая программа. Но круто то, что под некоторым углом толкающая сила минимальна. Это легче увидеть с большими значениями коэффициента трения, поэтому в приведенном выше коде я установил его на 0.6. При этом значении угол толкания около 59,9 ° дает минимально возможное усилие. Эта сила меньше, чем при горизонтальном толчке, и меньше, чем при прямом толчке. Фактически, каждый угол дает меньшую силу, чем толкание его по горизонтали.

Что происходит при изменении коэффициента трения? Ради интереса я немного усложнил программу, чтобы создать этот сюжет. (Вот код, если хотите)

Мне все равно, что вы думаете. Это круто. Понимаете, вы думали, что это скучная физическая задача, но ошибались.О, для чего это хорошо в реальной жизни? Неважно. Я до сих пор считаю, что это круто.

Домашнее задание

Помимо игры с кодом, у меня есть для вас один вопрос домашнего задания. Учитывая те же значения массы, коэффициента статического трения и угла толкания — какова максимальная сила для , которую вы можете приложить к блоку, прежде чем он сдвинет вверх на ? Подсказка: вам нужно будет изменить направление силы трения. Кроме того, вы должны попробовать изменить угол и посмотреть, что произойдет — вы знаете… ради забавы.

More Great WIRED Stories

Измерение коэффициента трения фигуриста на льду

Сводка

Студенты используют видеоклип скользящего фигуриста для определения коэффициента трения фигуриста на льду. Инструменты видеоанализа Vernier LoggerPro используются для построения графика зависимости скорости от времени. По наклону этой линии учащиеся могут определить ускорение и использовать Второй закон Ньютона для расчета коэффициента трения скольжения между коньками и льдом.

Цели обучения

 

    (м  2  - м  1 ) г
a = ——————————
     м  1  + м  2  
 

 

    (м  2  - м  1 ) г - ж
a = ——————————————
     м  1  + м  2  + м  экв  
 

 

     (m  2  - m  1 ) g - m  f  g (m  2  - m  1  - m  f ) g
a = ——————————————— = ————————————————
      м  1  + м  2  + м  экв  м  1  + м  2  + м  экв  
 

 

          1 2
y = v t + - при
     o 2
 
 

 

    1 2 2 года
y = - at или a = ——
    2 т  2  
 

 

    (м  2  - м  1  - м  f ) г
a = ———————————————
 т м  1  + м  2  + м  экв  
 

 

    (m  2  - m  1 ) г m  f  г
a = ———————————————————————————
 т м  1  + м  2  + м  экв  м  1  + м  2  + м  экв  
 

 

1 (м  1  + м  2 ) м  экв 
- = —————————————— + ———————————————
a  t  (m  2  - m  1  - m  f ) g (m  2  - m  1  - m  f ) g