Открыть полный текст документа

Схема ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ | Техника и Программы

Для вентилей И, И-НЕ и др. удобно использовать символы, поскольку они позволяют более наглядно представлять входные и выходные логические сигналы и рабочие характеристики та­ких вентилей. Поэтому, хотя и известны различные способы реализации схемы ИЛИ (на диодах, резисторах и диодах, на транзисторах), для их обозначения используется один символ.

Иногда используемую комбинацию логических схем можно представить одним символом, определяющим все свойства ком­бинированной сложной схемы, что делает ненужным изображе­ние четырех, пяти или даже большего числа символических обо­значений отдельных схем, применяемых для реализации неко­торой операции. Примером может служить полусумматор, схе­ма которого показана на рис. 8.8. По существу полусумматор состоит из схемы ИЛИ и двух схем И, одна из которых имеет инвертированный вход. Последняя схема является схемой ИС­КЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ (ЗАПРЕТ). Эти три логические схе­мы связаны между собой, как показано на рис. 8.8, а, хотя для индикации комбинации схем И и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ, но без выхода для цифры переноса часто используют один сим­вол, изображенный на рис. 8.8, б. Этот символ соответствует схеме ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ [Эта логическая схема известна под названием схемы неравнозначности или двухвходовой суммы суммирования по модулю 2. — Прим. ред.]. Если после схемы, показан­ной на рис. 8.8,6, следует инвертор (рис. 8.8, в), то получаем схему ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ (схема эквивалентности или равнозначности), символ которой изображен на рис.8.8,г.

Полные сумматоры (последовательного типа) могут быть получены путем использования двух полусумматоров, показан­ных на рис. 8.8, а. Полусумматоры применяются также для це­лей переключений и для преобразования кодов.

Рис. 8.8. Полусумматор (а) и условные обозначения схем ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (б), НЕ (в) и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ (г).

Если на .входы схемы ИЛИ поступают два импульса, то они одновременно появятся и на схеме И. Тогда на выходе этой схемы И возникает импульс, который поступает на вход схемы ЗАПРЕТ и закрывает эту схему, препятствуя вводу сигналов от схемы ИЛИ. Следовательно, логика работы данной схемы такова: когда на обоих входах схемы ИЛИ действуют 1, то на выходе «Сумма» появляется 0, а на выходе «Перенос» — 1.

Таблица 8.5

При подаче импульса только на один какой-нибудь вход схемы ИЛИ импульс запрета не формируется. В этом случае импульс, соответствующий 1, образуется только на выходе «Сумма». Выполняемая логическая операция соответствует правилу двоичного сложения 1 + 1 = 10 (двоичное число два). Поэтому, если на входах А и В действуют единичные сигналы, то выходной сигнал на выходе «Сумма» соответствует 0 (им­пульс отсутствует), но возникает импульс переноса на выходе «Перенос» представляемый 1 старшего разряда в двоичном числе 10.

Рис. 8.9. Преобразователь кода Грея в двоичный код.

На основе описания данной логической схемы может быть составлена таблица истинности (табл. 8.5), иллюстрирующая операции, выполняемые схемой (полусумматором).

Комбинацию схем ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ можно исполь­зовать для преобразования кода Грея в двоичный код (рис. 8.9). Код Грея называют также циклическим кодом или кодом с ми­нимальными ошибками. Код Грея широко применяется в вы­числительных и управляющих системах, поскольку при этом уменьшаются случайные ошибки в дроцессе работы. Это объ­ясняется тем, что по мере возрастания чисел в коде Грея в не­который момент времени изменяется только одна цифра. В дво­ичном коде это не так (табл. 8.6).

В преобразователе, показанном на рис. 8.9, количество логи­ческих схем ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ равно количеству разря­дов преобразуемых чисел. Предположим, что слева в схему вво­дится число в коде Грея 1010 (01010). [Заметим, что на выхо­дах схем сигнала переноса не образуется (1 + 1=0).] Нуль, цо-ступающий на верхний вход схемы А, передается и на выход, поскольку вход непосредственно соединен с выходом. При по­даче 1 на нижний вход схемы А на выходе этой схемы также формируется 1. Но выход этой схемы связан с входом схе­мы В. Поскольку на нижний вход схемы В сигнал не поступа­ет (подается сигнал, соответствующий нулю), на выходе фор­мируется 1. Эта 1 подается на верхний вход схемы С и так как на нижний вход этой схемы также поступает 1, то на ее выхо­де получаем 0. Аналогично этому, поскольку на входы схемы D сигналы не поступают (подаются нули) , то на выходе также получается 0. Таким образом, число 1010 в коде Грея преобра­зуется в двоичное число 1100 (табл. 8.6).

Таблица 8.6

Рис. 8.10. Схема считывания двоичного числа в прямом и обратном кодах.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Более сложные логические элементы

Аннотация: В лекции рассказывается о принципах работы, характеристиках и типовых схемах включения логических элементов, выполняющих сравнительно сложные функции – элементов Исключающее ИЛИ, И-ИЛИ-НЕ, триггеров Шмитта, а также приводятся схемотехнические решения, позволяющие реализовать на их основе часто встречающиеся функции.

Элементы Исключающее ИЛИ

Элементы Исключающее ИЛИ (по-английски — Exclusive-OR) также можно было бы отнести к простейшим элементам, но функция, выполняемая ими, несколько сложнее, чем в случае элемента И или элемента ИЛИ. Все входы элементов Исключающее ИЛИ равноправны, однако ни один из входов не может заблокировать другие входы, установив выходной сигнал в уровень единицы или нуля.

Под функцией Исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль. Таблица истинности двухвходового элемента Исключающее ИЛИ приведена в табл. 4.1. Обозначения, принятые в отечественных и зарубежных схемах, показаны на рис. 4.1. Надпись на отечественном обозначении элемента Исключающее ИЛИ «=1» как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.

Элементов Исключающее ИЛИ в стандартных сериях немного. Отечественные серии предлагают микросхемы ЛП5 (четыре двухвходовых элемента с выходом 2С), ЛЛ3 и ЛП12, отличающиеся от ЛП5 выходом ОК. Слишком уж специфическая функция реализуется этими элементами.

С точки зрения математики, элемент Исключающее ИЛИ выполняет операцию так называемого суммирования по модулю 2. Поэтому эти элементы также называются сумматорами по модулю два. Как уже отмечалось в предыдущей лекции, обозначается суммирование по модулю 2 знаком плюса, заключенного в кружок.

Основное применение элементов Исключающее ИЛИ, прямо следующее из таблицы истинности, состоит в сравнении двух входных сигналов. В случае, когда на входы приходят две единицы или два нуля (сигналы совпадают), на выходе формируется нуль (см. табл. 4.1). Обычно при таком применении на один вход элемента подается постоянный уровень, с которым сравнивается изменяющийся во времени сигнал, приходящий на другой вход. Но значительно чаще для сравнения сигналов и кодов применяются специальные микросхемы компараторов кодов, которые будут рассмотрены в следующей лекции.

В качестве сумматора по модулю 2 элемент Исключающее ИЛИ используется также в параллельных и последовательных делителях по модулю 2, служащих для вычисления циклических контрольных сумм. Но подробно эти схемы будут рассмотрены в лекциях 14,15.

Важное применение элементов Исключающее ИЛИ — это управляемый инвертор (рис. 4.2). В этом случае один из входов элемента используется в качестве управляющего, а на другой вход элемента поступает информационный сигнал. Если на управляющем входе единица, то входной сигнал инвертируется, если же нуль — не инвертируется. Чаще всего управляющий сигнал задается постоянным уровнем, определяя режим работы элемента, а информационный сигнал является импульсным. То есть элемент Исключающее ИЛИ может изменять полярность входного сигнала или фронта, а может и не изменять в зависимости от управляющего сигнала.

В случае, когда имеется два сигнала одинаковой полярности (положительные или отрицательные), и при этом их одновременный приход исключается, элемент Исключающее ИЛИ может быть использован для смешивания этих сигналов (рис. 4.3). При любой полярности входных сигналов выходные сигналы элемента будут положительными. При положительных входных сигналах элемент Исключающее ИЛИ будет работать как элемент 2ИЛИ, а при отрицательных он будет заменять элемент 2И-НЕ. Такие замены могут быть полезны в тех случаях, когда в схеме остаются неиспользованными некоторые элементы Исключающее ИЛИ. Правда, при этом надо учитывать, что задержка распространения сигнала в элементе Исключающее ИЛИ обычно несколько больше (примерно в 1,5 раза), чем задержка в простейших элементах И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ.

Еще одно важнейшее применение элемента Исключающее ИЛИ — формирование коротких импульсов по любому фронту входного сигнала (рис. 4.4). В данном случае не важно, положительный фронт входного сигнала или отрицательный, на выходе все равно формируется положительный импульс. Входной сигнал задерживается с помощью конденсатора или цепочки элементов, а затем исходный сигнал и его задержанная копия поступают на входы элемента Исключающее ИЛИ. В обеих схемах в качестве элементов задержки используются также двувходовые элементы Исключающее ИЛИ в неинвертирующем включении (на неиспользуемый вход подается нуль). В результате такого преобразования можно говорить об удвоении частоты входного сигнала, так как выходные импульсы следуют вдвое чаще, чем входные.

Данную особенность элементов Исключающее ИЛИ надо учитывать в том случае, когда на оба входа элемента поступают изменяющиеся одновременно сигналы. При этом на выходе элемента возможно появление коротких паразитных импульсов по любому из фронтов входных сигналов. Исключить их влияние на дальнейшую схему можно, например, с помощью синхронизации, подобной рассмотренной в предыдущем разделе.

Исключающее или, используя математические операторы

TL;DR

XOR любой числовой ввод

a + b - ab(1 + a + b - ab)

XOR двоичный вход

a + b - 2ab or (a-b)²

Вывод

Основные Логические Операторы

NOT = (1-x)

AND = x*y

От тех операторов, которых мы можем получить…

OR = (1-(1-a)(1-b)) = a + b - ab

Примечание: Если a и b являются взаимоисключающими, то их условие and всегда будет равно нулю — с точки зрения диаграммы Венна это означает, что перекрытия нет. В этом случае мы могли бы написать OR = a + b, так как a*b = 0 для всех значений a & b.

2-Фактор XOR

Определение XOR как (a OR B) AND (NOT (a AND b)) :

(a OR B) —> (a + b - ab)

(NOT (a AND b)) —> (1 - ab)

AND these conditions together to get…

(a + b - ab)(1 - ab) = a + b - ab(1 + a + b - ab)

Вычислительные альтернативы

Если входные значения являются двоичными, то термины мощности можно игнорировать, чтобы получить упрощенные вычислительно эквивалентные формы.

a + b - ab(1 + a + b - ab) = a + b - ab - a²b - ab² + a²b²

Если x является двоичным (либо 1, либо 0), то мы можем пренебречь степенями, начиная с 1² = 1 и 0² = 0 …

a + b - ab - a²b - ab² + a²b² — remove powers —> a + b - 2ab

XOR (binary) = a + b - 2ab

Двоичный также позволяет другим уравнениям быть вычислительно эквивалентными приведенному выше. Например…

Дано (a-b)² = a² + b² - 2ab

Если входные данные являются двоичными, мы можем игнорировать полномочия, так что…

a² + b² - 2ab — remove powers —> a + b - 2ab

Позволяет нам писать…

XOR (binary) = (a-b)²

Многофакторный XOR

XOR = (1 - A*B*C...)(1 - (1-A)(1-B)(1-C)...)

А как насчет того,когда вы хотите XOR(A,B, C…)? Проблема здесь в том, что если мы попытаемся распознать все условия истинности, как мы это сделали в составной логике для 2-факторного XOR, это не очень хорошо масштабируется, так как вам придется добавлять каждую перестановку истины. Однако, поскольку логика такова, как она есть, мы можем прийти к XOR следующим образом…

XOR = !(A & B & C...) & !(!A & !B & !C...)

Из которого вы можете построить арифметическое XOR для любого числа факторов в виде…

(1 - A*B*C...)(1 - (1-A)(1-B)(1-C)...)

Вот от Excel VBA до XOR целый ряд ячеек…

Function ArithmeticXOR(R As Range, Optional EvaluateEquation = True)

Dim AndOfNots As String
Dim AndGate As String
For Each c In R
    AndOfNots = AndOfNots & "*(1-" & c.Address & ")"
    AndGate = AndGate & "*" & c.Address
Next
AndOfNots = Mid(AndOfNots, 2)
AndGate = Mid(AndGate, 2)

'Now all we want is (Not(AndGate) AND Not(AndOfNots))
ArithmeticXOR = "(1 - " & AndOfNots & ")*(1 - " & AndGate & ")"
If EvaluateEquation Then
    ArithmeticXOR = Application.Evaluate(xor2)
End If

End Function

Любое n из k

И последний лакомый кусочек. Иногда вы хотите, чтобы условие было истинным, если любое n число входных данных истинно. Это можно рассматривать как расслабленное условие AND , при котором вы готовы принять, например, a&b, a&c или b&c. Это можно арифметически смоделировать на основе составной логики…

(a && b) || (a && c) || (b && c) ...

и применение наших переводов…

1 — (1-ab)(1-ac)(1-bc)…

Это полезно само по себе, но есть также интересная закономерность, когда вы расширяете термины. Существует шаблон комбинаций переменных и экспонент, но это становится очень длинным; однако вы можете упростить, игнорируя полномочия для двоичного контекста. Точная закономерность зависит от того, как n соотносится с k. Для n = k-1, где k-общее количество проверяемых условий, результат выглядит следующим образом:

c1 + c2 + c3 … ck — n*∏

Где c1 — ck-все комбинации n-переменных.

Например, true, если 3 из 4 условий выполнены, будет

abc + abe + ace + bce — 3abce

Это имеет идеальный логический смысл, поскольку то, что мы имеем, — это аддитивное OR из AND условий минус перекрывающееся условие AND .

Если вы начнете смотреть на n = k-2, k-3 и т. Д. Картина становится более сложной, потому что у нас есть больше совпадений, которые нужно вычесть. Если это полностью расширить до наименьшего значения n = 1, то мы получим не более чем обычное условие OR .

Размышление о недвоичных значениях и нечеткой области

Фактическое алгебраическое уравнение XOR a + b - ab(1 + a + b - ab) намного сложнее, чем вычислительно эквивалентные двоичные уравнения, такие как x + y - 2xy и (x-y)² . Означает ли это что-нибудь, и есть ли какая-то ценность в этой дополнительной сложности?

Очевидно, что для того, чтобы это имело значение, вам придется заботиться о десятичных значениях за пределами дискретных точек (0,0), (0,1), (1,0), и (1,1). Почему это вообще имеет значение? Иногда вы хотите ослабить целочисленное ограничение для дискретной задачи. В этом случае вы должны посмотреть на предпосылки, используемые для преобразования логических операторов в уравнения.

Когда дело доходит до перевода булевой логики в арифметику, вашими основными строительными блоками являются операторы AND и NOT , с помощью которых вы можете построить как OR , так и XOR .

OR = (1-(1-a)(1-b)(1-c)...)

XOR = (1 - a*b*c...)(1 - (1-a)(1-b)(1-c)...)

Поэтому, если вы думаете о десятичной области, то стоит подумать о том, как мы определили эти операторы и как они ведут себя в этой области.

Недвоичное значение NOT

Мы выразили NOT как 1-x . Очевидно, что это простое уравнение работает для двоичных значений 0 и 1, но самое классное в нем то, что оно также обеспечивает дробный или процентный комплимент для значений от 0 до 1. Это полезно, так как NOT также известен как Compliment в логической логике, и когда дело доходит до наборов, NOT относится ко всему, что находится за пределами текущего набора.

Недвоичное значение AND

Мы выразили AND как x*y . Опять же, очевидно, что он работает для 0 и 1, но его эффект немного более произволен для значений от 0 до 1, где умножение приводит к частичным истинам (десятичным значениям), уменьшающим друг друга. Можно представить, что вы хотели бы смоделировать истину как усредненную или накопительную в этой области. Например, если два условия гипотетически наполовину истинны, является ли условие AND истинным только на четверть (0.5 * 0.5), или оно полностью истинно (0.5 + 0.5 = 1), или оно остается наполовину истинным ((0.5 + 0.5) / 2)? Как оказалось, четвертая истина на самом деле верна для условий, которые полностью дискретны, а частичная истина представляет вероятность. Например, будете ли вы переворачивать хвосты (двоичное условие, вероятность 50%) и теперь AND снова во второй раз? Ответ: 0.5 * 0.5 = 0.25 или 25% верно. Накопление на самом деле не имеет смысла, потому что оно в основном моделирует условие OR (помните, что OR может быть смоделирован + , когда условие AND отсутствует, поэтому суммирование характерно OR ). Среднее значение имеет смысл, если вы смотрите на согласие и измерения, но на самом деле это моделирование гибрида AND и OR . Например, попросите 2 человек сказать по шкале от 1 до 10, насколько они согласны с утверждением «It холодно outside»?, Если они оба говорят 5, то истинность утверждения «It холодно outside» равно 50%.

Недвоичные значения в сводке

Вывод из этого взгляда на недвоичные значения заключается в том, что мы можем уловить фактическую логику в нашем выборе операторов и построить уравнения с нуля, но мы должны иметь в виду численное поведение.) (C ++ / CLI и C ++ / CX). . В C альтернативное написание предоставляется в виде макроса в заголовке . В C ++ альтернативное написание — ключевое слово; использование или его эквивалента в C ++ не рекомендуется. В Microsoft C ++ параметр компилятора / permissive- или / Za требуется для включения альтернативного написания.

Пример

  // expre_Bitwise_Exclusive_OR_Operator.cpp
// компилировать с помощью: / EHsc
// Продемонстрируем побитовое исключающее ИЛИ
#include 
используя пространство имен std;
int main () {
   беззнаковый короткий a = 0x5555; // шаблон 0101.б) << endl; // выводит шаблон "aaaa" 1010 ...
}
  

См. Также

Встроенные операторы C ++, приоритет и ассоциативность

exclusive-OR - Глоссарий | CSRC

Операция исключающее ИЛИ.
Источник (и):
FIPS 197 под XOR
FIPS 197 под ⊕

Поразрядное логическое «исключающее ИЛИ», где 0⊕ 0 = 0, 0⊕ 1 = 1, 1⊕ 0 = 1 и 1⊕ 1 = 0.Например: 01101⊕ 11010 = 10111.
Источник (и):
NIST SP 800-106 под ⊕

Побитовое исключающее ИЛИ. Математическая операция, которая определяется как: 0⊕ 0 = 0 0⊕ 1 = 1 1⊕ 0 = 1 и 1⊕ 1 = 0
Источник (и):
НИСТ СП 800-133 [Заменено] под ⊕

Поразрядная логическая операция, такая, что 1⊕ 1 = 0, 1⊕ 0 = 1, 0⊕ 0 = 0 и 0⊕ 1 = 1.Например, для строки A = 10 и строки B = 11, тогда A⊕ B = (1⊕ 1) || (0⊕ 1) = 01.
Источник (и):
NIST SP 800-135 Ред. 1 под ⊕

A XOR B эквивалентно A ⊕ B.См. Определение побитовой логической операции ⊕ выше.
Источник (и):
NIST SP 800-135 Ред. 1 под XOR

Побитовое сложение по модулю 2 двоичных векторов одинаковой длины.
Источник (и):
NIST SP 800-20 под Exclusive-OR
NIST SP 800-67 Ред. 2 под Exclusive-OR
NIST SP 800-67 Ред. 1 [Заменено] под Exclusive-OR

Поразрядное сложение по модулю 2 двух битовых строк одинаковой длины.
Источник (и):
NIST SP 800-38A под Exclusive-OR
NIST SP 800-38B под Exclusive-OR
NIST SP 800-38C под Exclusive-OR
NIST SP 800-38D под Exclusive-OR
NIST SP 800-38F

Эксклюзив-ИЛИ.
Источник (и):
NIST SP 800-38D под XOR

Математическая операция; символ, определяемый как: 0⊕ 0 = 0 1⊕ 0 = 1 0⊕ 1 = 1 1⊕ 1 = 0 Эквивалентно двоичному сложению без переноса.
Источник (и):
NIST SP 800-90A Ред. 1 под Exclusive-or

Операция исключающего ИЛИ (XOR), определяемая как побитовая арифметика по модулю 2 без переноса.
Источник (и):
NIST SP 800-56B Ред.2 под Ꚛ

Побитовое исключающее ИЛИ. Математическая операция, которая определяется как: 0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1 и 1 1 = 0
Источник (и):
NIST SP 800-133 Ред.1 [Заменено] под ⊕
NIST SP 800-133 Ред.2 под ⊕

Оператор исключающего ИЛИ (XOR), определенный как побитовая арифметика по модулю 2 без переноса.
Источник (и):
NIST SP 800-56B Ред. 1 [Заменено] под ⊕

Является или включающим, или эксклюзивным, или? - Дэвид Ричсон: деление на ноль

(это было забавное название!)

В начале нашего курса дискретной математики мы говорим о символической логике.Студентов часто сбивает с толку логический оператор «ИЛИ».

Если p и q - утверждения, то p OR q истинно, если либо p истинно, либо q истинно, либо если оба p и q истинны. Это легко выразить в таблице истинности:

Причина, по которой это сбивает учеников с толку, заключается в том, что иногда, когда мы говорим «или» в повседневном разговоре, мы имеем в виду, что p истинно или q истинно, но p и q одновременно не верны.(Например, «дверь открыта или дверь закрыта».)

Это напоминает логическую операцию исключающее или , «XOR» (обычное «или» - это включительно или ). Таблица истинности для XOR показана ниже.

Кажется, что мы иногда используем «или» как исключительное, а иногда как включающее.

Мы с коллегами говорили об этом на днях за обеденным столом. Один из моих коллег представил простой пример, иллюстрирующий эту путаницу.

Официант: «Хотите чай или кофе?» (без учета или)

Покровитель: «Кофе, пожалуйста».

Официант: «Хотите сливок или сахара?» (включительно или)

Покровитель: «Спасибо, мне оба понравятся».

Я подумал, что это отличный пример.

Другой мой товарищ по обеду - лингвист, и он утверждал, что когда мы говорим «или», мы всегда означает включающее или - даже если кажется, что мы используем исключающее или.Например, вышеупомянутый покровитель мог попросить и кофе, и чай, но обычно этого не делают.

Как насчет примера открытия / закрытия двери? Дверь не может быть одновременно открытой и закрытой. В частности, «дверь открыта» и «дверь закрыта» не могут быть истинными одновременно. Но это не означает, что использование «или» является исключающим «или». Исключающее или означает, что когда оба утверждения p и q истинны, p XOR q ложно. В примере с дверью мы никогда не сталкиваемся с ситуацией «правда или правда»!

Согласно Википедии, источником этого аргумента является статья Барретта и Стеннера 1971 года под названием «Миф об исключительном« Или »» (Mind, 80 (317), 116–121).

Ни один автор не представил пример предложения or на английском языке, которое кажется ложным, потому что оба его ввода верны. Конечно, есть много or-предложений, таких как «Лампочка горит или выключена», в которых очевидно, что оба дизъюнкта не могут быть истинными. Но не очевидно, что это связано с природой слова «или», а не с конкретными фактами о мире.

  истина ИЛИ истина = ложь
истина ИЛИ ложь = истина
ложь ИЛИ ложь = ложь