Интегрирующая rl-цепь

Такая цель показана на рис 13-37, выходное напряжение (сигнал) снимается с индуктивности L.

Все рассуждения и выводы об интегрирующих RC– цепях можно сделать и дляRL- цепей. ИнтегрирующиеRL- цепи конструктивно сложнееRC- цепей.

Отметим, что для дифференцирование и интегрирование с помощью RC– иRL- цепей можно осуществлять и в случаях, когда сигнал имеет не прямоугольную, а другую форму, например, трапециидальную.

Так как интегрирующая электрическая цепь является четырехполюсником, то все расчеты ФНЧ аналогичны расчетам ФВЧ. Следует добавить, что на практике, кроме уровня используются дополнительные частоты, которые показывают границу полосы подавления частоты фильтром. АЧХ интегрирующей цепи показаны на рисунке 13-40.

Рис.13-40. Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ.

Активные фильтры.

В области частот порядка 100кГц необходимы электрические фильтры, требующие значительные электроемкости и индуктивности катушек. В связи с этим при построении электрических фильтров в качестве базовых элементов используют операционные усилители, тогда электрические фильтры называют активными. Следует добавить, что в его схеме присутствуют RC-цепи и операционные усилители. На рис. 13-41 приведена схема активного фильтра ФНЧ (фильтр низких частот).

Рис.13-41. Схема активного фильтра ФНЧ.

Коэффициент передачи активного фильтра с ФНЧ имеет вид:

(13.30)

В уравнении (13.30) подбором величин R,Cможно получить желаемый вид АЧХ.

Если в фильтрах нижних частот заменить сопротивления и конденсаторы, то можно получить схему активного фильтра высоких частот. Следует заметить, что если параметры схемы остаются прежними, то коэффициенты передачи и граничные частоты уже становятся нижними границами, а крутизна спада АЧХ остается прежней.

Интегральные микросхемы

Рассмотренные выше усилители нашли применение в интегральных аналоговых микросхемах (ИС), но отличаются тем, что дискретное исполнение элементов и функциональных узлов выполнено другими методами изготовления – методами интегральных схематичных микросхем (ИС). ИС – это микроэлектронное изделие (высокая степень миниатюризации ), которая выполняет выбранную функцию обработки электрического сигнала. Такие схемы имеют очень высокую степень упаковки соединений элементов и кристаллов. Интегральные схемы по технологиям изготовления разделяются на гибридные, полупроводниковые, пленочные.

Гибридные ИС содержат компоненты и отдельные кристаллы полупроводника. Полупроводниковая ИС- все элементы и их соединения выполнены в объеме или на поверхности полупроводника.

Пленочные ИС – все элементы и их соединения выполнены на поверхности диэлектрика.

Интегральные микросхемы имеют степени интеграции, показанные в таблице 13.1.

Таблица 13.1.

Название схем	ИС (простые интег- ральные схемы)	СИС (средние интег- ральные схемы)	БИС (большие интег- ральные схемы)	СБИС (сверхбольшие интегральные схемы)
Отдельные компоненты	10

При изготовлении интегральных микросхем используется способ обогащения отдельных участков полупроводниковой пластины донорными и акцепторными примесями с использованием высоких технологий.

В интегральных схемах для получения конденсаторов используют электроемкость p-nпереходов или наносят на поверхность металла слой диэлектрика, а затем наносят проводящий слой. Сопротивления могут быть получены в видеp-nпереходов, включаются в обратной полярности, а также в виде полупроводника, который находится между двумя полупроводниками с другой проводимостью. Индуктивность в схемах получают созданием эффекта отставания тока от напряжения (этот эффект наблюдается в реальной индуктивности), что может быть получено путем замедления движения носителей заряда в полупроводнике. Биполярные транзисторы (напримерn-p-nтипа) для интегральных микросхем создаются в основном следующим способом: на пластину полупроводника кремния при сложном техническом процессе () наносят диоксид кремния толщинойм, а затем почти при такой же температуре вводят бор(p-проводимость) и создается база транзистора, а затем вводят фосфор-эмиттер(n-проводимость), затем создаются контакты напряжениям алюминия в области базы и эмиттера, осаждают слой на область коллектора и присоединяют контакты, выполненные и проволоки. Чтобы оценить степень миниатюризации приведем пример: на кремниевой пластине можно выполнить около 50,000 транзисторов, а современные технологии повышают это число во много раз.

Приведем интегральную схему усилительного каскада(рис 13-43) и аналогичную этой схеме – принципиальную схему(рис 13-42).

Рис 13-42. Принципиальная схема усилительного каскада.

Рис 13-43. Интегральная схема усилительного каскада.

На схеме транзистор состоит из трех слоев, Э (эмиттер)- , Б (база)-, К (коллектор) -, сопротивлениеисозданы слоямии, слоии- изолируют резисторы от транзистора при запертыхp-nпереходах, слоииопределяют толщину слоеви, и , соответственно, величинуи. Включение усилительного каскада в электрическую цепь осуществляется с помощью контактов 1,2,Э,Б,К.

Дифференцирующая rl-цепь

Дифференцирующая RL-цепь показана на рис 2-33 б, выходное напряжение снимается с индуктивностьюL. В этом случае при рассмотрении процессов в цепи при дифференцировании прямоугольного импульса следует воспользоваться первым законом коммутации. Все рассуждения аналогичны тем, какие были при рассмотренииRC- цепей.

Следует отметить, что RL-цепи используются режеRC-цепей, так как конструктивно сложнее.

В связи с тем, что электрический фильтр является четырехполюсником, то для описания его используют коэффициент передачи(), с помощью которого можно определять диапазон пропускных частот. (рис 13-36).В том случае, если, то электрический импульс с высокой частотой будет пропускаться электрическим фильтром. Если, то электрический сигнал с низкой частотой будет подавляться.

Рис 13-36. Амплитудно-частотная характеристика ФВЧ.

Рассмотрим АЧХ интегрирующей RCцепи, изображённом на рис. 2-39а

Частный коэффициент передачи интегрирующей цепи равен

Если приравнять к 1/, то получают нижнюю границу полосы пропускания интегрирующейRC-цепи,

и это объясняет, что интегрирующая RCцепь не пропускает высокочастотных составляющих спектров входных сигналов. Также фильтры ещё называют сглаживающими или низкочастотными фильтрами

Интегрирующие цепи(фнч) (фильтр высоких частот)

Сигнал на выходе интегрирующей цепи пропорционален интегралу входного сигнала .

Схемы реальных интегрирующих цепей показаны на рис 13-37 а и 13-37 б. Коэффициент пропорциональности К в уравнении есть величина, обратная времени цепи(). Для цепиRC=RC, для цепиRL=L/R.

Рис 13-37. Схемы интегрирующих цепей.

Интегрирующая rc-цепь.

Эта цепь является также четырехполюсником.

В интегрирующий RC-цепи выходной сигнал (импульс напряжения) снимается с конденсатораC, то есть(смотри рис 13-37 а).

Рассмотрим, какую форму будет иметь сигнал на выходе, если интегрируемый сигнал (входной импульс) будет прямоугольной формы. При этом сначала, положим, что длительность входного импульса (смотри рис 13-38).

Рис 13-38. Интегрируемый сигнал (а) и сигнал на выходе интегрирующей RC-цепи (б),.

В момент включения цепи () напряжение на выходе в силу второго закона коммутации будет равно 0, а затем конденсатор будет заряжаться и напряжение на нем будет возрастать по экспоненциальному закону.

По истечению времени действия импульсов конденсатор полностью зарядится и в момент временинапряжение на нем достигнет. С этого момента действие импульса на цель прекращается, конденсатор начинает разряжаться по экспоненциальному законуи через время, равное, напряжение на нем спадет до 0.

Если , амплитуда и форма импульсов на выходе будут другими. Такие импульсы

Показаны на рис 2-39 б для случая, когда ,на рис 13-39 в для случая когдаи нас рис13-39 г.

Рис 13-39. Изменение формы импульса на выходе интегрирующей цепи в зависимости от соотношения между и.

Из формул и рис 13-39 следует, что в случае, если постоянная времени цепи , амплитуда выходного сигнала (импульса) будет меньше амплитуды входного сигнала. И она будет тем меньше, чем больше.

Для обеспечения более точного интегрирования постоянная времени цепи выбирается такой величины, чтобы она была значительно больше длительности интегрируемого импульса. При этом учитывается уменьшение амплитуды. Наиболее точное интегрирование, как и дифференцирование, можно осуществить с помощью операционных усилителей.

Интегрирующая цепь — Физическая энциклопедия

ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ

— электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U_вых(t) (или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U_вх(t) (или тока):


Рис. 1. Интегратор на операционном усилителе. В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью С под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R, равен току заряда

конденсатора С, а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. Широко используется простейшая RC-И. ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений [i_C=(Uвх-U_вых)/R] поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т (рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.

Рис. 3. 1 — входной прямоугольный импульс; 2 — выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.

И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования. Лит.: Титце У., Шенк К., Полупроводниковая схемотехника, пер. с нем., М., 1982. А. В. Степанов.

      Предметный указатель      >>   

Интегрирующая и дифференцирующая цепи RC. Дифференцирующие и интегрирующие RC-цепи Интегральная цепь

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.20,а. Пусть на входе этой цепи действует напряжение u1(t).

Рис. 3.20. Дифференцирующие RC-(а) и RL-(б) цепи.

Тогда для этой цепи справедливо соотношение

и с учетом преобразований будем иметь

Если для данного сигнала выбрать постоянную времени цепи τ=RC настолько большим, что вкладом второго члена правой части (3.114) можно пренебречь, то переменная составляющая напряжения uR≈u1. Это значит, что при больших постоянных времени напряжение на сопротивлении R повторяет входное напряжение. Такую цепь применяют тогда, когда необходимо передать изменения сигнала без передачи постоянной составляющей.

При очень малых значениях τ в (3.114) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда

т. е. при малых постоянных времени τ RC-цепь (рис. 3.20,а) осуществляет дифференцирование входного сигнала, поэтому такую цепь называют дифференцирующей RC-цепью.

Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь (рис. 3.20,б).

Рис. 3.21. Частотные (а) и переходная (б) характеристики дифференцирующих цепей.

Сигналы при прохождении через RС- и RL-цепи называют быстрыми, если

или медленными, если

Отсюда следует, что рассмотренная RC-цепь дифференцирует медленные и пропускает без искажения быстрые сигналы.

Для гармонической э. д. с. аналогичный результат легко получить, вычисляя коэффициент передачи цепи (рис. 3.20,а) как коэффициент передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениямиR и XC=1/ωC:

При малых τ, а именно когда τ

При этом фаза выходного напряжения (аргумент K) равна π/2. Сдвиг гармонического сигнала по фазе на π/2 эквивалентен его дифференцированию. При τ>>1/ω коэффициент передачи K≈1.

В общем случае модуль коэффициента передачи (3.116), или частотная характеристика цепи (рис. 3.20,а):

а аргумент K, или фазовая характеристика этой цепи:

Эти зависимости показаны на рис. 3.21,а.

Такими же характеристиками обладает RL-цепь на рис. 3.20,б с постоянной времени τ=L/R.

Если в качестве выходного сигнала взять единичный скачок напряжения , то интегрированием уравнения (3.114) можно получить переходную характеристику дифференцирующей цепи, или временную зависимость выходного сигнала при единичном скачке напряжения на входе:

График переходной характеристики показан на рис. 3.21,б.

Рис. 3.22. Интегрииующие RC-(а) и LC-(б) цепи.

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.22,а. Она описывается уравнением

При малых τ=RC (для «медленных» сигналов) uC≈u1. Для «быстрых» сигналов напряжение u1 интегрируется:

Поэтому RC-цепь, выходное напряжение которого снимается с емкости C называют интегрирующей цепью.

Коэффициент передачи интегрирующей цепи определяется выражением

При ω

Частотная и фазовая характеристики описываются соответственно выражениями

Рис. 3.23. Частотные (а) и переходная (б) характеристики интегрирующих цепей.

и изображены на рис. 3.23,а. Переходная характеристика (рис. 3.23,б) получается интегрированием (3.121) при :

При равных постоянных времени такими же свойствами обладает RL-цепь, изображенная на рис. 3.22,б.

Электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U вых (t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U вх (t) (или тока):

Рис. 1. Интегратор на операционном усилителе. С под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. R, равен току заряда

конденсатора С, а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. RC-И. ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т(рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.

Рис. 3. 1 — входной прямоугольный импульс; 2 — выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.

И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования.

53.Переходные процессы. Законы коммутации и их применение.

Перехо́дные проце́ссы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

• неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
• линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.

Математически эта формулировка может быть записана следующим образом

Для емкости;

Для индуктивности.

Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.

Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости – противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.

54.Вихревые токи, их проявления и использование.

Вихревые токи или токи Фуко́ (в честь Ж. Б. Л. Фуко) — вихревые индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного поля.

Впервые вихревые токи были обнаружены французским учёным Д. Ф. Араго (1786-1853) в 1824 г. в медном диске, расположенном на оси под вращающейся магнитной стрелкой. За счёт вихревых токов диск приходил во вращение. Это явление, названное явлением Араго, было объяснено несколько лет спустя M. Фарадеем с позиций открытого им закона электромагнитной индукции: вращаемое магнитное поле наводит в медном диске вихревые токи, которые взаимодействуют с магнитной стрелкой. Вихревые токи были подробно исследованы французским физиком Фуко (1819-1868) и названы его именем. Он открыл явление нагревания металлических тел, вращаемых в магнитном поле, вихревыми токами.

Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце.

Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах — в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в нём возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления.

С помощью токов Фуко осуществляется прогрев металлических частей вакуумных установок для их дегазации.

Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.

Вихретоковый контроль — один из методов неразрушающего контроля изделий из токопроводящих материалов.

55. Трансформатор, основные свойства и виды конструкции.

Во многих радиотехнических устройствах используются простейшие цепи, выполняющие функцию дифференцирования или интегрирования входного сигнала, либо преобразующие спектральный состав этого сигнала. Цепи первого типа называются, соответственно, дифференцирующими и интегрирующими, а цепи второго типа называются фильтрами . К фильтрам относятся цепи, способные пропускать лишь сигналы определенного диапазона частот, и не пропускать (значительно ослаблять) сигналы не принадлежащие к этому диапазону. Если цепь пропускает все сигналы с частотами, меньшими некоторой граничной частоты f гр, то ее называют фильтром нижних частот (ФНЧ). Цепь, пропускающую практически без ослабления все сигналы с частотами большими некоторой граничной частоты f гр, называют фильтром верхних частот (ФВЧ ) . Кроме них существуют еще фильтры, пропускающие только сигналы, принадлежащие определенному частотному диапазону от f гр1 до f гр2 и ослабляющие сигналы всех частот f f гр2 . Такие фильтры называются полосовыми (ПФ). Фильтры, пропускающие сигналы всех частот, кроме заданного диапазона, ограниченного частотами f гр1 и f гр2 , называются режекторными (заградительными).

На рис.3. показаны простейшие дифференцирующие цепи.

Коэффициент передачи цепи на рис.3,а равен:

Обозначим: и (2.4)

Тогда (2.3.) можно переписать:

(2.5)

Модуль коэффициента передачи напряжения:

(2.6)

При частоте активное сопротивление цепи R и реактивное равны и , (2.7)

т.е. на этой частоте выходное напряжение по модулю в раз меньше входного.

Для цепи на рис.3,б аналогично можно получить:

(2.8)

Обозначив или , (2.9)

Выражение (2.8.) приведем к виду:

,

который полностью совпадает с (2.5.). Поэтому и модуль коэффициента передачи напряжения будет определяться тоже соотношением (2.6). На частоте , определяемой по (2.9) активное и реактивное сопротивления цепи также будут равны, следовательно, будет справедливо и соотношение (2.7).

Преобразуем выражение (2.5):

(2.10)

Комплексный коэффициент передачи напряжения , определяет соотношение не только амплитуд входного и выходного напряжений по формуле (2.6), но и сдвиг фазы между ними. Из (2.10) очевидно, что откуда

Выражение (2.6.) определяет амплитудно – частотнуюхарактеристику (АЧХ), а (2.11.) – фазо – частотную характеристику (ФЧХ) дифференцирующих цепей. Вид этих характеристик представлен на рис.4.

На частотах , как следует из рис.5, представляющего собой частотную зависимость активного и реактивного сопротивлений цепи,

, и

поэтому ток в цепи можно определить

Выходное напряжение при этом условии будет

(2.12)

Соотношение (2.12) показывает, что цепь рис.3,а действительно выполняет функцию дифференцирования входного напряжения, если выполняется условие .

А вместе они образуют RC-цепь, то есть это цепь, которая состоит из конденсатора и резистора. Все просто;-)

Как вы помните, конденсатор представляет из себя две обкладки на некотором расстоянии друг от друга.

Вы, наверное, помните, что его емкость зависит от площади обкладок, от расстояния между ними, а также от вещества, которое находится между обкладками. Или формулой для плоского конденсатора:

где

Ладно, ближе к делу. Пусть у нас имеется конденсатор. Что с ним можно сделать? Правильно, зарядить;-) Для этого берем источник постоянного напряжения и подаем заряд на конденсатор, тем самым заряжая его:

В результате, у нас конденсатор зарядится. На одной обкладке будет положительный заряд, а на другой обкладке – отрицательный:

Даже если убрать батарею, у нас заряд на конденсаторе все равно сохранится в течение какого-то времени.

Сохранность заряда зависит от сопротивления материала между пластинами. Чем оно меньше, тем быстрее со временем будет разряжаться конденсатор, создавая ток утечки . Поэтому самыми плохими, в плане сохранности заряда, являются электролитические конденсаторы, или в народе – электролиты:

Но что произойдет, если к конденсатору мы подсоединим резистор?

Конденсатор разрядится, так как цепь станет замкнутой.

Постоянная времени RC-цепи

Кто хоть чуть-чуть шарит в электронике, прекрасно понимает эти процессы. Это все банальщина. Но дело в том, что мы не можем наблюдать процесс разрядки конденсатора, просто посмотрев на цепь. Для этого нам понадобится с функцией записи сигнала. Благо на моем рабочем столе уже есть место этому прибору:

Итак, план действий будет такой: мы будем заряжать конденсатор с помощью блока питания, а потом разряжать его на резисторе и смотреть осциллограмму, как разряжается конденсатор. Соберем классическую схему, которая есть в любом учебнике по электронике:

в этот момент мы заряжаем конденсатор

потом переключаем тумблер S в другое положение и разряжаем конденсатор, наблюдая процесс разряда конденсатора на осциллографе

Думаю, с этим все понятно. Ну что же, приступим к сборке.

Берем макетную плату и собираем схемку. Конденсатор я взял емкостью в 100мкФ, а резистор 1 КилоОм.

Вместо тумблера S я буду вручную перекидывать желтый проводок.

Ну все, цепляемся щупом осциллографа к резистору

и смотрим осциллограмму, как разряжается конденсатор.

Те, кто впервые читает про RC-цепи, думаю, немного удивлены. По логике, разряд должен проходить прямолинейно, но здесь мы видим загибулину. Разряд происходит по так называемой экспоненте . Так как я не люблю алгебру и матанализ, то не буду приводить различные математические выкладки. Кстати, а что такое экспонента? Ну экспонента – это график функции “е в степени икс”. Короче, все учились в школе, вам лучше знать;-)

Так как при замыкании тумблера у нас получилась RC-цепь, то у нее есть такой параметр, как постоянная времени RC-цепи . Постоянная времени RC-цепи обозначается буквой t , в другой литературе обозначают большой буквой T. Чтобы было проще для понимания, давайте также будем обозначать постоянную времени RC цепи большой буквой Т.

Итак, думаю стоит запомнить, что постоянная времени RC-цепи равняется произведению номиналов сопротивления и емкости и выражается в секундах, или формулой:

T=RC

где T – постоянная времени, Секунды

R – сопротивление, Ом

С – емкость, Фарады

Давайте посчитаем, чему равняется постоянная времени нашей цепи. Так как у меня конденсатор емкостью в 100 мкФ, а резистор 1 кОм, то постоянная времени равняется T=100 x 10 -6 x 1 х 10 3 =100 x 10 -3 = 100 миллисекунд.

Для тех, кто любит считать глазами, можно построить уровень в 37% от амплитуды сигнала и затем уже аппроксимировать на ось времени. Это и будет постоянная времени RC-цепи. Как вы видите, наши алгебраические расчеты почти полностью сошлись с геометрическими, так как цена деления стороны одного квадратика по времени равняется 50 миллисекундам.

В идеальном случае конденсатор сразу же заряжается, если на него подать напряжение. Но в реальном все-таки есть некоторое сопротивление ножек, но все равно можно считать, что заряд происходит почти мгновенно. Но что будет, если заряжать конденсатор через резистор? Разбираем прошлую схему и стряпаем новую:

исходное положение

как только мы замыкаем ключ S, у нас конденсатор начинает заряжаться от нуля и до значения 10 Вольт, то есть до значения, которое мы выставили на блоке питания

Наблюдаем осциллограмму, снятую с конденсатора

Ничего общего не увидели с прошлой осциллограммой, где мы разряжали конденсатор на резистор? Да, все верно. Заряд тоже идет по экспоненте;-). Так как радиодетали у нас одинаковые, то и постоянная времени тоже одинаковая. Графическим способом она высчитывается как 63% от амплитуды сигнала

Как вы видите, мы получили те же самые 100 миллисекунд.

По формуле постоянной времени RC-цепи, нетрудно догадаться, что изменение номиналов сопротивления и конденсатора повлечет за собой изменение и постоянной времени. Поэтому, чем меньше емкость и сопротивление, тем короче по времени постоянная времени. Следовательно, заряд или разряд будет происходить быстрее.

Для примера, давайте поменяем значение емкости конденсатора в меньшую сторону. Итак, у нас был конденсатора номиналом в 100 мкФ, а мы поставим 10 мкФ, резистор оставляем такого же номинала в 1 кОм. Посмотрим еще раз на графики заряда и разряда.

Вот так заряжается наш конденсатор номиналом в 10 мкФ

А вот так он разряжается

Как вы видите, постоянная времени цепи в разы сократилась. Судя по моим расчетам она стала равняться T=10 x 10 -6 x 1000 = 10 x 10 -3 = 10 миллисекунд. Давайте проверим графо-аналитическим способом, так ли это?

Строим на графике заряда или разряда прямую на соответствующем уровне и аппроксимируем ее на ось времени. На графике разряда будет проще;-)

Одна сторона квадратика по оси времени у нас 10 миллисекунд (чуть ниже рабочего поля написано M:10 ms), поэтому нетрудно посчитать, что постоянная времени у нас 10 миллисекунд;-). Все элементарно и просто.

То же самое можно сказать и про сопротивление. Емкость я оставляю такой же, то есть 10 мкФ, резистор меняю с 1 кОм на 10 кОм. Смотрим, что получилось:

По расчетам постоянная времени должна быть T=10 x 10 -6 x 10 x 10 3 = 10 x 10 -2 = 0,1 секунда или 100 миллисекунд. Смотрим графо-аналитическим способом:

100 миллисекунд;-)

Вывод: чем больше номинал конденсатора и резистора, тем больше постоянная времени, и наоборот, чем меньше номиналы этих радиоэлементов, тем меньше постоянная времени. Все просто;-)

Ладно, думаю, с этим все понятно. Но куда можно применить этот принцип зарядки и разрядки конденсатора? Оказывается, применение нашлось…

Интегрирующая цепь

Собственно сама схема:

А что будет, если мы на нее будем подавать прямоугольный сигнал с разной частотой? В дело идет китайский генератор функций :

Выставляем на нем частоту 1 Герц и размахом в 5 Вольт

Желтая осциллограмма – это сигнал с генератора функций, который подается на вход интегрирующей цепи на клеммы Х1, Х2, а с выхода мы снимаем красную осциллограмму, то есть с клемм Х3, Х4:

Как вы могли заметить, конденсатор почти полностью успевает зарядиться и разрядиться.

Но что будет, если мы добавим частоту? Выставляю на генераторе частоту в 10 Герц. Смотрим что у нас получилось:

Конденсатор не успевает заряжаться и разряжаться как уже приходит новый прямоугольный импульс. Как мы видим, амплитуда выходного сигнала очень сильно просела, можно сказать, он скукожился ближе к нулю.

А сигнал в 100 Герц вообще не оставил ничего от сигнала, кроме малозаметных волн

Сигнал в 1 Килогерц на выходе вообще не дал ничего…

Еще бы! Попробуй-ка с такой частотой перезаряжать конденсатор:-)

Все то же самое касается и других сигналов: синусоиды и треугольного. везде выходной сигнал почти равен нулю на частоте 1 Килогерц и выше.

“И это все, на что способна интегрирующая цепь?” – спросите вы. Конечно нет! Это было только начало.

Давайте разберемся… Почему у нас с возрастанием частоты сигнал стал прижиматься к нулю и потом вообще пропал?

Итак, во-первых, эта цепь у нас получается как делитель напряжения , и во-вторых, конденсатор – это частотно-зависимый радиоэлемент. Его сопротивление зависит от частоты. Про это можно прочитать в статье конденсатор в цепи постоянного и переменного тока . Следовательно, если бы мы подавали постоянный ток на вход (у постоянного тока частота 0 Герц), то и на выходе бы тоже получили тот же самый постоянный ток такого же значения, которое загоняли на вход. В это случае конденсатору ведь по барабану. Все что он сможет сделать в этой ситуации – тупо зарядиться по экспоненте и все. На этом его участь в цепи постоянного тока заканчивается и он стает диэлектриком для постоянного тока.

Но как только в цепь подается переменный сигнал, конденсатор вступает в игру. Тут его сопротивление уже зависит от частоты. И чем она больше, тем меньшим сопротивлением обладает конденсатор. Формула сопротивления конденсатора от частоты:

где

Х С – это сопротивление конденсатора, Ом

П – постоянная и равняется приблизительно 3,14

F – частота, Герц

С – емкость конденсатора, Фарад

Итак, что в результате получается? А получается то, что чем больше частота, тем меньше сопротивление конденсатора. На нулевой частоте у нас сопротивление конденсатора в идеале стает равно бесконечности (поставьте в формулу 0 Герц частоту). А так как у нас получился делитель напряжения

следовательно, на меньшем сопротивлении падает меньшее напряжение. С ростом частоты сопротивление конденсатора очень сильно уменьшается и поэтому падение напряжения на нем стает почти 0 Вольт, что мы и наблюдали на осциллограмме.

Но на этом ништяки не заканчиваются.

Давайте вспомним, что из себя представляет сигнал с постоянной составляющей. Это есть ничто иное, как сумма переменного сигнала и постоянного напряжения. Взглянув на рисунок ниже, вам все станет ясно.

То есть в нашем случае можно сказать, этот сигнал (ниже на картинке) имеет в своем составе постоянную составляющую, другими словами, постоянное напряжение

Для того, чтобы выделить постоянную составляющую из этого сигнала, нам достаточно прогнать его через нашу интегрирующую цепь. Давайте рассмотрим все это на примере. С помощью нашего генератора функций мы поднимем нашу синусоиду “над полом”, то есть сделаем вот так:

Итак, все как обычно, желтый входной сигнал цепи, красный – выходной. Простая двухполярная синусоида дает нам на выходе RC интегрирующей цепи 0 Вольт:

Чтобы понять, где нулевой уровень сигналов, я их пометил квадратиком:

Теперь давайте я добавлю постоянную составляющую в синусоиду, а точнее – постоянное напряжение, благо это сделать мне позволяет генератор функций:

Как вы видите, как только я поднял синус “над полом”, на выходе цепи я получил постоянное напряжение величиной в 5 Вольт. Именно на 5 Вольт я поднимал сигнал в генераторе функций;-). Цепочка выделила постоянную составляющую из синусоидального приподнятого сигнала без проблем. Чудеса!

Но мы так и не разобрались, почему цепь называется интегрирующей? Кто хорошо учился в школе, в классе эдак 8-9, то наверняка помнит геометрический смысл интеграла – это есть ничто иное, как площадь под кривой.

Давайте рассмотрим тазик с кубиками льда в двухмерной плоскости:

Что будет, если весь лед растает и превратится в воду? Все верно, вода ровным слоем покроет тазик одной плоскостью:

Но какой будет этот уровень воды? Вот именно – средний. Это среднее значение этих башен из кубиков льда. Так вот, интегрирующая цепочка делает то же самое! Тупо усредняет значение сигналов до одного постоянного уровня! Можно сказать, усредняет площадь до одного постоянного уровня.

Но самый смак получается тогда, когда мы подаем на вход прямоугольный сигнал. Давайте так и сделаем. Подадим положительный меандр на RC интегрирующую цепь.

Как вы видите, постоянная составляющая меандра равна половине его амплитуды. Думаю, вы уже и сами догадались, если бы представили тазик с кубиками льда). Или просто подсчитайте площадь каждого импульса и размажьте его равномерным слоем по осциллограмме, как гов… как сливочное масло по хлебу;-)

Ну а теперь самое веселое. Сейчас я буду менять скважность нашего прямоугольного сигнала, так как скважность – это ничто иное, как отношение периода на длительность импульса, следовательно, мы будем менять длительность импульсов.

Уменьшаю длительность импульсов

Увеличиваю длительность импульсов

Если никто ничего до сих пор не заметил, просто взгляните на уровень красной осциллограммы и все станет понятно. Вывод: управляя скважностью, мы можем менять уровень постоянной составляющей. Именно этот принцип и заложен в ШИМ (Широтно-Импульсной Модуляции). О ней как-нибудь поговорим в отдельной статье.

Дифференцирующая цепь

Еще одно ругательное слово, которое пришло с математики – дифференцирующий. Башка начинает сразу же болеть от одного только их произношения. Но, куда деваться? Электроника и математика неразлучные друзья.

А вот и сама дифференциальная цепочка

В схеме мы только переставили резистор и конденсатор местами

Ну а теперь проведем также все опыты, как мы делали с интегрирующей цепью. Для начала подаем на вход дифференциальной цепи низкочастотный двухполярный меандр с частотой в 1,5 Герца и с размахом в 5 Вольт. Желтый сигнал – это сигнал с генератора частоты, красный – с выхода дифференциальной цепочки:

Как вы видите, конденсатор успевает почти полностью разрядится, поэтому у нас получилась вот такая красивая осциллограмма.

Давайте увеличим частоту до 10 Герц

Как видите, конденсатор не успевает разрядиться, как уже приходит новый импульс.

Сигнал в 100 Герц сделал кривую разряда еще менее заметной.

Ну и добавим частоту до 1 Килогерца

Какой на входе, такой и на выходе;-) С такой частотой конденсатор вообще не успевает разряжаться, поэтому вершинки выходных импульсов гладкие и ровные.

Но и на этом тоже ништяки не заканчиваются.

Давайте я подниму входной сигнал над “уровнем моря”, то есть выведу его в положительную часть полностью. Смотрим, что получается на выходе (красный сигнал)

Ничего себе, красный сигнал по форме и по положению остался таким же, посмотрите – в нем нет постоянной составляющей, как в желтом сигнале, который мы подавали из нашего генератора функций.

Могу даже желтый сигнал вывести в отрицательную область, но на выходе мы все равно получим переменную составляющую сигнала без всяких хлопот:

Да и вообще пусть сигнал будет с небольшой отрицательной постоянной составляющей, все равно на выходе мы получим переменную составляющую:

Все то же самое касается и любых других сигналов:

В результате опытов мы видим, что основная функция дифференциальной цепи – это выделение переменной составляющей из сигнала, который содержит в себе как переменную, так и постоянную составляющую. Иными словами – выделение переменного тока из сигнала, который состоит из суммы переменного тока и постоянного тока.

Почему так происходит? Давайте разберемся. Рассмотрим нашу дифференциальную цепь:

Если внимательно рассмотреть эту схему, то мы можем увидеть тот же самый делитель напряжения, как и в интегрирующей цепи. Конденсатор – частотно-зависимый радиоэлемент. Итак, если подать сигнал с частотой в 0 Герц (постоянный ток), то у нас конденсатор тупо зарядится и потом вообще перестанет пропускать через себя ток. Цепь будет в обрыве. Но если мы будем подавать переменный ток, то и через конденсатор он тоже начнет проходить. Чем больше частота – тем меньше сопротивление конденсатора. Следовательно, весь переменный сигнал будет падать на резисторе, с которого мы как раз и снимаем сигнал.

Но если мы будем подавать смешанный сигнал, то есть переменный ток + постоянный ток, то на выходе мы получим просто переменный ток. В этом мы с вами уже убеждались на опыте. Почему так произошло? Да потому что конденсатор не пропускает через себя постоянный ток!

Заключение

Интегрирующую цепь также называют фильтром низких частот (ФНЧ), а дифференцирующую – фильтром высоких частот (ФВЧ). Более подробно про фильтры . Чтобы точнее их сделать, нужно провести расчет на нужную вам частоту. RC цепи используются везде, где надо выделить постоянную составляющую (ШИМ), переменную составляющую (межкаскадное соединение усилителей), выделить фронт сигнала, сделать задержку и тд… По мере глубины погружения в электронику вы будете часто встречаться с ними.

Сложные радиоэлектронные устройства состоят из простых цепей. Рассмотрим цепь, состоящую из резистора и конденсатора, включенных последовательно с идеальным генератором напряжения, показанную на рис. 3.3.

Рис.3.3. Дифференцирующая цепь

Если выходное напряжение снимается с резистора, то цепь называется дифференцирующей, если с конденсатора – интегрирующей. Эти линейные цепи характеризуются стационарными и переходными характеристиками. Это связано с тем, что изменение величины действующего в цепи напряжения приводит к тому, что токи и напряжения в различных участках цепи приобретают новые значения. Изменение состояния цепи происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени. Поэтому различают установившееся и переходное состояние электрической цепи.

Электрические процессы считаются установившимися (стационарными), если закон изменения всех напряжений и токов совпадает с точностью до постоянных величин с законом изменения действующего в цепи напряжения от внешнего источника. В противном случае считают, что цепь находится в переходном (нестационарном) состоянии.

К стационарным характеристикам относятся амплитудно-частотная и фазовая характеристики линейной цепи.

Нестационарное состояние линейной цепи описывается переходной характеристикой.

Будем считать, что к входу цепи подключен идеальный генератор напряжения . На основании второго закона Кирхгофа для дифференцирующей цепи можно записать дифференциальное уравнение, связывающее напряжения и ток в ветвях цепи:

(3.2)

Так как напряжение на выходе цепи , то:

(3.3)

Подставляя в интеграл значение тока, получим:

(3.4)

Продифференцируем левую и правую части последнего уравнения по времени:

(3.5)

Перепишем это уравнение, в следующем виде:

, (3.6)

Где =— параметр цепи называемый постоянной времени цепи.

В зависимости от величины постоянной времени возможны два различных соотношения между первым и вторым слагаемыми правой части уравнения.

Если постоянная времени большая по сравнению с периодом гармонических сигналов >>Или с длительностью импульсов >>, которые можно подавать на вход этой цепи, то

И напряжение на выходе цепи с небольшими искажениями повторяет входное напряжение:

Если же постоянная времени мала по сравнению с периодом гармонических сигналов

Отсюда напряжение на выходе равно:

Таким образом, в зависимости от величины постоянной времени такая -цепь может либо с определенными искажениями передавать входной сигнал на выход, либо с определенной степенью точности его дифференцировать. При этом форма выходного сигнала будет разной. Ниже на рис. 3.4 представлены входное напряжение, напряжения на резисторе и конденсаторе для случаев, когда постоянная времени велика и постоянная времени мала .

А Б

Рис. 3.4. Напряжения на элементах дифференцирующей цепи при (А ) и (Б )

В начальный момент времени на резисторе появляется скачок напряжения, равный амплитуде входного сигнала, а затем начинается заряд конденсатора, во время которого напряжение на резисторе будет уменьшаться.

Когда постоянная времени , конденсатор не успевает зарядиться до амплитуды входного импульса и -цепь с небольшими искажениями передает входной сигнал на выход. При

Теперь определим коэффициент передачи дифференцирующей цепи. Комплексный коэффициент передачи дифференцирующей цепи при подаче на вход гармонического сигнала равен:

. (3.11)

Обозначим отношение , где — граничная частота полосы пропускания дифференцирующей цепи.

Выражение для коэффициента передачи примет вид:

Модуль коэффициента передачи равен:

. (3.13)

— граничная частота полосы пропускания, на которой модуль реактивного сопротивления становится равным величине активного сопротивления, а коэффициент передачи цепи равен . Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты называется амплитудно–частотной характеристикой (АЧХ).

Зависимость угла сдвига фаз между выходным и входным напряжениями от частоты называется фазовой характеристикой (ФЧХ). Фазовая характеристика:

Ниже на рис. 3.5 представлены АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепи:

Рис. 3.5. Амплитудно–частотная и фазовая характеристики

Дифференцирующей цепи

Из амплитудно-частотной характеристики видно, что прохождение сигналов через дифференцирующую цепь сопровождается уменьшением амплитуд низкочастотных составляющих его спектра. Дифференцирующая цепь является фильтром высоких частот.

Из фазовой характеристики видно, что фазы низкочастотных составляющих сдвигаются на больший угол, чем фазы высокочастотных составляющих.

Переходную характеристику дифференцирующей цепи можно получить, если на вход подать напряжение в виде единичного скачка. Комплексный коэффициент передачи равен

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C , представленную на рисунке.

Элементы R и C соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R . Напряжение на выводах резистора обозначим U R .
Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение . Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const . Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC вынесем за знак интеграла:

В итоге получилось, что выходное напряжение U out прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in .
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.

Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out от интеграла входного U in , необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.

Нелинейное соотношение U in /I in во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e -t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1, то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ .
Здесь t — время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ = RC — постоянная времени — произведение величин R и C .
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t , тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ ) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.

Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R .
В таком случае выходное напряжение U out будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in .
Чем больше величины номиналов RC , тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.

В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const , тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора — положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:
R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a ), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const . Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const .
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции — парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const .
Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.

С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:

I in = I R = U in /R = — I C .

Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = — U in .
Следовательно, U out определится, исходя из тока общей цепи.

При номиналах элементов RC , когда τ = 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.

Дифференцирующая цепь RC

Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.

Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I R = — I C по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U out = U R = — U in = — U C .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:

U out = RI R = — RI C = — RC(dU C /dt) = — RC(dU in /dt)

Отсюда видим, что выходное напряжение U out пропорционально производной заряда конденсатора dU in /dt , как скорости изменения входного напряжения.

При величине постоянной времени RC , равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.

Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.

В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы. На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e -t/ RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T i на выходе интегрирующей цепочки увеличится на время 3τ . Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

Здесь 5% — величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Дифференцирующие и интегрирующие цепи — Студопедия

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.20,а. Пусть на входе этой цепи действует напряжение u1(t).

Рис. 3.20. Дифференцирующие RC-(а) и RL-(б) цепи.

Тогда для этой цепи справедливо соотношение

и с учетом преобразований будем иметь

(3.114)

Если для данного сигнала выбрать постоянную времени цепи τ=RC настолько большим, что вкладом второго члена правой части (3.114) можно пренебречь, то переменная составляющая напряжения uR≈u1. Это значит, что при больших постоянных времени напряжение на сопротивлении R повторяет входное напряжение. Такую цепь применяют тогда, когда необходимо передать изменения сигнала без передачи постоянной составляющей.

При очень малых значениях τ в (3.114) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда

(3.115)

т. е. при малых постоянных времени τ RC-цепь (рис. 3.20,а) осуществляет дифференцирование входного сигнала, поэтому такую цепь называют дифференцирующей RC-цепью.

Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь (рис. 3.20,б).

Рис. 3.21. Частотные (а) и переходная (б) характеристики дифференцирующих цепей.

Сигналы при прохождении через RС- и RL-цепи называют быстрыми, если

,

или медленными, если

.

Отсюда следует, что рассмотренная RC-цепь дифференцирует медленные и пропускает без искажения быстрые сигналы.

Для гармонической э. д. с. аналогичный результат легко получить, вычисляя коэффициент передачи цепи (рис. 3.20,а) как коэффициент передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениями R и XC=1/ωC:

(3.116)

При малых τ, а именно когда τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в

.

При этом фаза выходного напряжения (аргумент K) равна π/2. Сдвиг гармонического сигнала по фазе на π/2 эквивалентен его дифференцированию. При τ>>1/ω коэффициент передачи K≈1.

В общем случае модуль коэффициента передачи (3.116), или частотная характеристика цепи (рис. 3.20,а):

(3.118)

а аргумент K, или фазовая характеристика этой цепи:

(3.119)

Эти зависимости показаны на рис. 3.21,а.

Такими же характеристиками обладает RL-цепь на рис. 3.20,б с постоянной времени τ=L/R.

Если в качестве выходного сигнала взять единичный скачок напряжения , то интегрированием уравнения (3.114) можно получить переходную характеристику дифференцирующей цепи, или временную зависимость выходного сигнала при единичном скачке напряжения на входе:

(3.120)

График переходной характеристики показан на рис. 3.21,б.

Рис. 3.22. Интегрииующие RC-(а) и LC-(б) цепи.

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.22,а. Она описывается уравнением

или

(3.121)

При малых τ=RC (для «медленных» сигналов) uC≈u1. Для «быстрых» сигналов напряжение u1 интегрируется:

(3.122)

Поэтому RC-цепь, выходное напряжение которого снимается с емкости C называют интегрирующей цепью.

Коэффициент передачи интегрирующей цепи определяется выражением

(3.123)

При ω<<1/τ K≈1.

Частотная и фазовая характеристики описываются соответственно выражениями

(3.124)

(3.125)

Рис. 3.23. Частотные (а) и переходная (б) характеристики интегрирующих цепей.

и изображены на рис. 3.23,а. Переходная характеристика (рис. 3.23,б) получается интегрированием (3.121) при :

(3.126)

При равных постоянных времени такими же свойствами обладает RL-цепь, изображенная на рис. 3.22,б.

— электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U _вых(t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U _вх(t) (или тока):


Рис. 1. Интегратор на операционном усилителе. <В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью С под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. <С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R, равен току заряда

конденсатора С, а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. <Широко используется простейшая RC-И. ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений [i_C=(Uвх-U _вых)/R] поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т(рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.

Рис. 3. 1 — входной прямоугольный импульс; 2 — выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.

И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования.

53. Переходные процессы. Законы коммутации и их применение.

Перехо?дные проце?ссы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

• неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
• линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Будем считать, что коммутация происходит в момент , а все переходные процессы в цепи начинаются с момента , т. е. непосредственно после коммутации. Состояние цепи до коммутации оценивается в момент .

Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.

Математически эта формулировка может быть записана следующим образом

для емкости;

для индуктивности.

Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.

Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости – противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.

54. Вихревые токи, их проявления и использование.

Вихревые токи или токи Фуко? (в честь Ж. Б. Л. Фуко) — вихревые индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного поля.

Впервые вихревые токи были обнаружены французским учёным Д. Ф. Араго (1786—1853) в 1824 г. в медном диске, расположенном на оси под вращающейся магнитной стрелкой. За счёт вихревых токов диск приходил во вращение. Это явление, названное явлением Араго, было объяснено несколько лет спустя M. Фарадеем с позиций открытого им закона электромагнитной индукции: вращаемое магнитное поле наводит в медном диске вихревые токи, которые взаимодействуют с магнитной стрелкой. Вихревые токи были подробно исследованы французским физиком Фуко (1819—1868) и названы его именем. Он открыл явление нагревания металлических тел, вращаемых в магнитном поле, вихревыми токами.

Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце.

Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах — в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в нём возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления.

С помощью токов Фуко осуществляется прогрев металлических частей вакуумных установок для их дегазации.

Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.

Вихретоковый контроль — один из методов неразрушающего контроля изделий из токопроводящих материалов.

55. Трансформатор, основные свойства и виды конструкции.

Дифференцирующие и интегрирующие цепи.

Проанализированные выше RL – и RС – цепи широко используются в вычислительной и импульсной технике в качестве цепей, позволяющих получать таки и напряжения, пропорциональные производным и интегралам от входного напряжения, а также для преобразования формы входных импульсов.

Дифференцирующие цепи имеют вид, соответствующий рис. (2.29,а) интегрирующие цепи соответствуют рис. (2.29,б).

Рис. 2.29

Для цепей рис. 2.29,а справедливы соотношения:

для цепи RС: u_вх = u_С + u_выхC

для цепи RL: u_вх = u_R + u_выхL

Но:

, (2.64)

а u_C= u_вх – u_выхC. (2.64,а)

Соответственно:

 

, (2.65)

а u_R = u_вх – u_выхL = i_L R, поэтому (2.65,а)

Подставив (2.64,а) в (2.64), а (2.65,а) в (2.65), получим:

 

Таким образом, очевидно, что для обеих цепей выходное напряжение может быть записано в общем виде

(2.66)

где τ — постоянная времени цепи.

Из выражения (2.66) следует, что дифференцирование входного напряжения u_вх тем точнее, чем меньше u_вых по сравнению с u_вх, т. е. при u_вх >> u_вых. Анализ показывает, что это неравенство выполняется, когда постоянная времени τ значительно меньше длительности входного сигнал u_вх или его дифференцируемой части.

Для цепей, изображённых на рис 2.29,б справедливы следующие соотношения:

для цепи RС: u_вх = u_R + u_выхC

для цепи RL u_вх = u_L + u_выхL

Но для цепи RС:

, (2.67)

где , (2.67,а)

поэтому

Аналогично для цепи RL

, (2.68)

где u_L = u_вх – u_выхL(2.68,а)

Подставив (2.28,а) в (2.68), получим:

Очевидно, что также, как и в случае дифференцирования, для обеих цепей выходное напряжение может быть записано в общем виде

, (2.69)

откуда следует, что интегрирование входного напряжения u_вх тем точнее, чем меньше u_вых по сравнению с u_вх, как и в случае дифференцирующих цепей. Анализ показывает, что для интегрирующих цепей это условие выполняется, когда постоянная времени τ значительно больше длительности входного сигнала или его интегрируемой части.

Дляu_вх, представляющего собой идеальный прямоугольный импульс, выходное напряжение дифференцирующих цепей имеет вид двух коротких импульсов, соответствующих фронту и срезу импульса (см. рис. 2.30,а), выходное напряжение интегрирующих цепей имеет форму треугольных импульсов, нарастающая и спадающая части которых приблизительно линейны (см. рис. 2.30,б).

Рис.2.30

Получаемая форма выходного напряжения дифференцирующих и интегрирующих цепей легко объясняется с помощью соотношений, приведенных выше при анализе переходных процессов в RL – и RC – цепях. Реальная, экспериментально полученная, форма выходных импульсов интегрирующих RL – цепей искажается в результате влияния собственной паразитной емкости катушек индуктивности, как показано на рис.2.30,б. Отмеченное влияние паразитной ёмкости ограничивает применение интегрирующих и дифференцирующих RL – цепей по сравнению с RC – цепями.

 

 

 

 

---

Дифференцирующие цепи. Дифференцирующая цепь Активные интегрирующие и дифференцирующие цепи

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.20,а. Пусть на входе этой цепи действует напряжение u1(t).

Рис. 3.20. Дифференцирующие RC-(а) и RL-(б) цепи.

Тогда для этой цепи справедливо соотношение

и с учетом преобразований будем иметь

Если для данного сигнала выбрать постоянную времени цепи τ=RC настолько большим, что вкладом второго члена правой части (3.114) можно пренебречь, то переменная составляющая напряжения uR≈u1. Это значит, что при больших постоянных времени напряжение на сопротивлении R повторяет входное напряжение. Такую цепь применяют тогда, когда необходимо передать изменения сигнала без передачи постоянной составляющей.

При очень малых значениях τ в (3.114) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда

т. е. при малых постоянных времени τ RC-цепь (рис. 3.20,а) осуществляет дифференцирование входного сигнала, поэтому такую цепь называют дифференцирующей RC-цепью.

Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь (рис. 3.20,б).

Рис. 3.21. Частотные (а) и переходная (б) характеристики дифференцирующих цепей.

Сигналы при прохождении через RС- и RL-цепи называют быстрыми, если

или медленными, если

Отсюда следует, что рассмотренная RC-цепь дифференцирует медленные и пропускает без искажения быстрые сигналы.

Для гармонической э. д. с. аналогичный результат легко получить, вычисляя коэффициент передачи цепи (рис. 3.20,а) как коэффициент передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениямиR и XC=1/ωC:

При малых τ, а именно когда τ

При этом фаза выходного напряжения (аргумент K) равна π/2. Сдвиг гармонического сигнала по фазе на π/2 эквивалентен его дифференцированию. При τ>>1/ω коэффициент передачи K≈1.

В общем случае модуль коэффициента передачи (3.116), или частотная характеристика цепи (рис. 3.20,а):

а аргумент K, или фазовая характеристика этой цепи:

Эти зависимости показаны на рис. 3.21,а.

Такими же характеристиками обладает RL-цепь на рис. 3.20,б с постоянной времени τ=L/R.

Если в качестве выходного сигнала взять единичный скачок напряжения , то интегрированием уравнения (3.114) можно получить переходную характеристику дифференцирующей цепи, или временную зависимость выходного сигнала при единичном скачке напряжения на входе:

График переходной характеристики показан на рис. 3.21,б.

Рис. 3.22. Интегрииующие RC-(а) и LC-(б) цепи.

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.22,а. Она описывается уравнением

При малых τ=RC (для «медленных» сигналов) uC≈u1. Для «быстрых» сигналов напряжение u1 интегрируется:

Поэтому RC-цепь, выходное напряжение которого снимается с емкости C называют интегрирующей цепью.

Коэффициент передачи интегрирующей цепи определяется выражением

При ω

Частотная и фазовая характеристики описываются соответственно выражениями

Рис. 3.23. Частотные (а) и переходная (б) характеристики интегрирующих цепей.

и изображены на рис. 3.23,а. Переходная характеристика (рис. 3.23,б) получается интегрированием (3.121) при :

При равных постоянных времени такими же свойствами обладает RL-цепь, изображенная на рис. 3.22,б.

Электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U вых (t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U вх (t) (или тока):

Рис. 1. Интегратор на операционном усилителе. С под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. R, равен току заряда

конденсатора С, а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. RC-И. ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т(рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.

Рис. 3. 1 — входной прямоугольный импульс; 2 — выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.

И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования.

53.Переходные процессы. Законы коммутации и их применение.

Перехо́дные проце́ссы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

• неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
• линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.

Математически эта формулировка может быть записана следующим образом

Для емкости;

Для индуктивности.

Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.

Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости – противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.

54.Вихревые токи, их проявления и использование.

Вихревые токи или токи Фуко́ (в честь Ж. Б. Л. Фуко) — вихревые индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного поля.

Впервые вихревые токи были обнаружены французским учёным Д. Ф. Араго (1786-1853) в 1824 г. в медном диске, расположенном на оси под вращающейся магнитной стрелкой. За счёт вихревых токов диск приходил во вращение. Это явление, названное явлением Араго, было объяснено несколько лет спустя M. Фарадеем с позиций открытого им закона электромагнитной индукции: вращаемое магнитное поле наводит в медном диске вихревые токи, которые взаимодействуют с магнитной стрелкой. Вихревые токи были подробно исследованы французским физиком Фуко (1819-1868) и названы его именем. Он открыл явление нагревания металлических тел, вращаемых в магнитном поле, вихревыми токами.

Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце.

Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах — в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в нём возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления.

С помощью токов Фуко осуществляется прогрев металлических частей вакуумных установок для их дегазации.

Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.

Вихретоковый контроль — один из методов неразрушающего контроля изделий из токопроводящих материалов.

55. Трансформатор, основные свойства и виды конструкции.

В импульсных устройствах задающий генератор часто вырабатывает импульсы прямоугольной формы определенной длительности и амплитуды, которые предназначаются для представления чисел и управления элементами вычислительных устройств, устройств обработки информации и др. Однако для правильного функционирования различных элементов в общем случае требуются импульсы вполне определенной формы, отличной от прямоугольной, имеющие заданные длительность и амплитуду. Вследствие этого возникает необходимость предварительно преобразовывать импульсы задающего генератора. Характер преобразования может быть разным. Так, может потребоваться изменить амплитуду или полярность, длительность задающих импульсов, осуществить их задержку во времени.

Преобразования в основном осуществляются с помощью линейных цепей — четырехполюсников, которые могут быть пассивными и актив­ными. В рассматриваемых цепях пассивные четырехполюсники не содер­жат в своем составе источников питания, активные используют энергию внутренних или внешних источников питания. С помощью линейных цепей осуществляются такие преобразования, как дифференцирование, интегрирование, укорочение импульсов, изменение амплитуды и поляр­ности, задержка импульсов во времени. Операции дифференцирования, интегрирования и укорочения импульсов выполняются соответственно дифференцирующими, интегрирующими и укорачивающими цепями. Изменение амплитуды и полярности импульса может производиться с помощью импульсного трансформатора, а задержка его во времени — линией задержки.

Интегрирующая цепь . На рис. 19.5 приведена схема простейшей цепи (пассивного четырехполюсника), с помощью которой можно выполнить операцию интегрирования входного электрического сигнала, подан­ного на зажимы 1-1 | , если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2″.

Составим уравнение цепи для мгновенных значений токов и напря­жений по второму закону Кирхгофа:

Отсюда следует, что ток цепи будет изменяться по закону

Если выбрать постоянную временидостаточно большой, то вторым слагаемым в последнем уравнении можно пренебречь, тогдаi(t) = u вх (t)/R.

Напряжение на конденсаторе (на зажимах 2-2″) будет равно

(19.1)

Из (19.1) видно, что цепь, приведенная на рис. 19.5, выполняет опе­рацию интегрирования входного напряжения и умножения его на коэф­фициент пропорциональности, равный обратному значению постоянной времени цепи:

Временная диаграмма выходного напряжения интегрирующей цепи при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов показана на рис. 19.6.

Дифференцирующая цепь . С помощью цепи, схема которой приведена на рис. 19.7 (пассивного четырехполюсника), можно выполнять операцию дифференцирования входного электрического сигнала, поданного на зажимы 1-1″, если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2″. Составим уравнение цепи для мгновенных значений тока и напряжений по второму закону Кирхгофа:

Если сопротивление R мало и членом i(t)R можно пренебречь, то ток в цепи и выходное напряжение цепи, снимаемое с R,

(19.2)

Анализируя (19.2), можно видеть, что с помощью рассматриваемой цепи выполняют операции дифференцирования входного напряжения и умножения его на коэффициент пропорциональности, равный постоян­ной времени τ = RC. Форма выходного напряжения дифференцирующей цепи при подаче на вход серии прямоугольных импульсов приведена на рис. 19.8. В этом случае теоретически выходное напряжение должно представлять собой знакопеременные импульсы бесконечно большой амплитуды и малой (близкой к нулю) длительности.

Однако вследствие различия свойств реальной и идеальной диф­ференцирующих цепей, а также конечной крутизны фронта импульса на выходе получают импульсы, амплитуда которых меньше амплитуды входного сигнала, а длительность их определяется как t и = (3 ÷ 4) τ = (3 ÷ 4)RС.

В общем случае форма выходного напряжения зависит от соотно­шения длительности импульса входного сигнала t и и постоянной вре­мени дифференцирующей цепи τ. В момент t 1 входное напряжение при­ложено к резистору R, так как напряжение на конденсаторе скачком изменяться не может. Затем напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону, а напряжение на резисторе R, т. е. выходное напряжение, снижается по экспоненциальному закону и становится рав­ным нулю в момент t 2 , когда зарядка конденсатора закончится. При малых значениях τ длительность выходного напряжения мала. Когда напряжение u BX (t) становится равным нулю, конденсатор начинает разряжаться через резистор R. Таким образом формируется импульс обратной полярности.

П
ассивные интегрирующие и дифференцирующие цепи имеют сле­дующие недостатки: обе математические операции реализуются прибли­женно, с известными погрешностями. Приходится вводить корректи­рующие звенья, которые, в свою очередь, сильно снижают амплитуду выходного импульса, т. е. без промежуточного усиления сигналов практически невозможныn-кратные дифференцирование и интегриро­вание.

Эти недостатки не свойственны активным дифференцирующему и интегрирующему устройствам. Одним из возможных способов реали­зации этих устройств является применение операционных усилителей (см. гл. 18).

Активное дифференцирующее устройство . Схема такого устройства на операционном усилителе приведена на рис. 19.9. Ко входу 1 подключен конденсатор С, а в цепь обратной связи включен резистор R oc . Так как входное сопротивление чрезвычайно велико (R вх -> ∞), то входной ток обтекает схему по пути, указанному пунктиром. С другой сторо­ны, напряжение и вхОУ в этом включении очень мало, так как К u -> ∞, поэтому потенциал точки В схемы практически равен нулю. Следовательно, ток на входе

(19.3)

Ток на выходе i(t) одновременно является зарядным током кон­денсатора С: dq= Сdu BX (t), откуда

(19.4)

Приравнивая левые части уравнений (19.3) и (19.4), можно написать -и вых (t)/R oc = С du вх (t)/dt, откуда

(19.5)

Таким образом, выходное напряжение операционного усилителя является произведением производной входного напряжения по времени, умноженной на постоянную времени τ = R ОС С.

А
ктивное интегрирующее устройство . Схема интегрирующего устройст­ва на операционном усилителе, приведенная на рис. 19.10, отличается от дифференцирующего устройства рис. 19.9 только тем, что конденсатор С и резистор R oc (на рис. 19.10 -R 1) поменялись местами. По-прежнему R вх -> ∞ и коэффициент усиления по напряжению К u -> ∞. Следовательно, в устройстве конденсатор С заряжается током i(t) =u BX (t)/R 1 . Так как напряжение на конденсаторе практически равно выходному напряжению (φ B = 0), а операционный усилитель изменяет фазу входного сигнала на выходе на угол π, имеем

(19.6)

Таким образом, выходное напряжение активного интегрирующего устройства есть произведение определенного интеграла от входного напряжения по времени на коэффициент 1/τ.

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C , представленную на рисунке.

Элементы R и C соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R . Напряжение на выводах резистора обозначим U R .
Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение . Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const . Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC вынесем за знак интеграла:

В итоге получилось, что выходное напряжение U out прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in .
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.

Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out от интеграла входного U in , необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.

Нелинейное соотношение U in /I in во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e -t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1, то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ .
Здесь t — время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ = RC — постоянная времени — произведение величин R и C .
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t , тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ ) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.

Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R .
В таком случае выходное напряжение U out будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in .
Чем больше величины номиналов RC , тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.

В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const , тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора — положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:
R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a ), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const . Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const .
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции — парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const .
Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.

С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:

I in = I R = U in /R = — I C .

Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = — U in .
Следовательно, U out определится, исходя из тока общей цепи.

При номиналах элементов RC , когда τ = 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.

Дифференцирующая цепь RC

Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.

Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I R = — I C по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U out = U R = — U in = — U C .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:

U out = RI R = — RI C = — RC(dU C /dt) = — RC(dU in /dt)

Отсюда видим, что выходное напряжение U out пропорционально производной заряда конденсатора dU in /dt , как скорости изменения входного напряжения.

При величине постоянной времени RC , равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.

Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.

В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы. На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e -t/ RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T i на выходе интегрирующей цепочки увеличится на время 3τ . Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

Здесь 5% — величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Дифференцирующей называется цепь, сигнал на выходе которой пропорционален производной от входного сигнала.

Сигналом называют физическую величину, несущую информацию. Нижу будем рассматривать импульсивные сигналы напряжения – импульсы напряжения.

Схема реальных дифференцирующих цепей показана на рис 13-33 а и 13-33 б.

Коэффициент пропорциональности М представляет собой постоянную времени цепи .

Для цепи RC=RC, для цепиRL=L/R.

Рис 13-33. Схема дифференцирующих цепей.

Дифференцирующая RC-цепь. (фильтр нижних частот)

Эта цепь является также четырехполюсником. В дифференцирующей RC-цепи сигнал снимается с резистораR, то есть
(см рис 13-33 а). Дифференцирующий (входной) сигнал имеет прямоугольную форму(см ниже рис 13-33 а).

Рассмотрим действие такого сигнала (импульса напряжения) на дифференцирующую RC-цепь.

Рис 13-34. Дифференцируемый сигнал (а) и сигнал на выходе дифференцирующей RC-цепи (б),

В момент (включение цепи) напряжение на выходе
. Это следует из того, что в момент включения в цепи по второму закону коммутации напряжение на конденсаторе сохраняет свое значение, которое было до коммутации, то есть равно 0, следовательно, все напряжение будет приложено к резисторуR(
).

Затем
будет уменьшаться по экспоненциальному закону

(13.29)

Если
,за время действия входного импульса (
)конденсатор почти полностью зарядится и в момент, когда действие импульса закончится
0, напряжение на конденсаторестанет равно(на рис 13-34 бпоказано пунктиром), а в напряжение на резистореRупадет до 0. Так как теперь цепь отключена от входного напряжения (
=0,
), конденсатор начнет разряжаться и через время
напряжение на нем станет равно 0. Ток в цепи с моментаизменит направление, а напряжение на резистореRв моментскачком станет равно
и начнет спадать по экспоненте
, а через время
станет равно 0.

Таким образом, на выходе цепи образуется два остроконечных импульса положительной и отрицательной полярностей, площади которых равны, а амплитуда равна
.

Если
форма выходного импульса
будет иметь другой вид, чем на рис

Рассмотрим два крайних случая:
и
(смотри рис 13-35 б и 13-35 в)

Рис 13-35. Изменение формы импульса на выходе дифференцирующей цепи в зависимости от соотношения между и.

А.
(см рис 13-35 б)

В этом случае за время длительности импульса конденсатор успевает полностью зарядиться еще до того, как окончится действие импульса. На резисторе в момент включения получается скачок напряжения положительной полярности, равный амплитуде прямоугольного импульса , а затем напряжение убывает по крутой экспоненте и по мере зарядки конденсатора спадает до нуля до окончания действия импульса. По окончании действия импульса (в момент) конденсатор начнет разряжаться, а за счет прохождения тока через резисторRна входе образуется импульс отрицательной полярности амплитудной -. Площадь этого импульса будет равна площади положительного импульса. Такие цепи называются дифференцирующими укорачивающими.

Б.
(см рис 13-35).

Так как время зарядки конденсатора примерно равно
, конденсатор успеет зарядиться не ранее, чем через
. Следовательно, и напряжение на резисторе
, равное в момент, уменьшится по экспоненте, станет равно нулю через
. Поэтому за время
импульс
на сопротивлениеRпрактически не искажается и повторяет по форме импульс на входе.

Такая цепь используется как переходная между усилительными каскадами и предназначается для исключения влияния действия постоянной составляющей напряжение с коллектора транзистора предшествующего каскада на последующий.

Из формул и рис 13-34 и 13-35 можно заключить, что амплитуда выходных импульсов при различных соотношениях между иостается неизменной и равной, а длительность их с уменьшениемуменьшается. Точность дифференцирования будет тем выше, чем меньшепо сравнению с.

Наиболее точное дифференцирование можно получиться с помощью операционных усилителей.

Рассмотрим АЧХ дифференцирующей RC-цепи, изображённой на рис. 13-35а.

Рис. 13-35 а. АЧХ дифференцирующей цепи RC-цепи.

Частотный коэффициент передачи дифференцирующей RC-цепи равен:

Если приравнять
к 1/
, то получают нижнюю границу полосы пропускания дефференцирующейRC-цепи
.

Из графика 2-35а видно, что полоса пропускания дифференцирующей RC-цепи ограничена только со стороны нижних частот.

Дифференцирующие цепи используют тогда, когда требуется преобразовать напряжение заданной формы в сигнал ипых , изменяющийся по закону

где — коэффициент пропорциональности.

Простейшая дифференцирующая RС-цепь аналогична интегрирующей RС-цепи и отличается только тем, что выходное напряжения снимается не с конденсатора, а с активного сопротивления (рис. 6.19, а). Напряжение на ее выходе

Напряжение на конденсаторе .

Если т. е. -цепь успешно выполняет дифференцирование только в этом случае.

Оценим приближенно погрешность, вносимую членом , для чего продифференцируем выражение для , считая

Подставив (6.98) в (6.96), получим

Таким образом, для улучшения дифференцирования надо, чтобы

(6.100)

т. е. необходимо уменьшать постоянную времени -цепи ). Это требование противоположно требованию к интегрирующей цепи, где для точного интегрирования увеличивали постоянную времени.

Выходной сигнал в дифференцирующей цепи, так же как и в интегрирующей, уменьшается при повышении точности выполнения соответствующего преобразования. Действительно, уменьшение постоянной времени в дифференцирующей цепи приводит к уменьшению члена , вызывающего погрешность дифференцирования. При этом уровень выходного сигнала снижается пропорционально уменьшению .

При дифференцировании наибольшая погрешность получается в течение времени нарастания (или среза) импульса. Это обусловлено тем, что при этих процессах вторая производная, выражающая скорость изменения крутизны фронта (или среза), имеет наибольшее значение.

Наименьшая погрешность имеет место в те промежутки времени, в которых скорость изменения входного напряжения постоянна.

Рис. 6.19. Дифференцирующая -цепь (а) и диаграммы изменения напряжения на ее отдельных участках (б, в, г)

Выясним возможности и условия дифференцирования -цепью синусоидального изменяющегося напряжения .

При точном дифференцировании этот сигнал должен изменяться по закону

(6.101)

Таким образом, выходное напряжение должно быть сдвинуто по фазе на 90° относительно входного. В реальной RС-цепи амплитуда и фаза отличаются от соответствующих значений идеальной дифференцирующей цепи. Выходное напряжение

а фазовый угол

(6.103)

Для того чтобы иметь возможность дифференцировать синусоидально изменяющееся напряжение частотой , необходимо выполнить условие Однако при этом уменьшается и значение выходного сигнала. Поэтому приходится ограничиваться компромиссным решением, при котором выходной сигнал и фазовая погрешность не выходят за пределы допустимых значений.

Если, например, принять , то фазовая погрешность дифференцирования 14°. Такие фазовые искажения выходного сигнала в ряде случаев общего применения можно считать приемлемыми. При этом значение выходного сигнала мало зависит от , так как да 1, поэтому его можно считать близким к теоретическому.

При дифференцировании импульса активная ширина его спектра ограничена частотой . Если неравенство выполняется при , то оно будет обязательно выполняться и при . Это позволяет исходя из активной ширины спектра определить требования к постоянной времени дифференцирующей цепи:

Для грубой оценки активной ширины спектра при равных длительностях фронта и среза импульса можно использовать приближенное выражение

(6.105)

где для импульсов, у которых , т. е. для наиболее часто встречающихся.

Тогда, подставив в (6.104) значение , получим

Таким образом, постоянная времени дифференцирующей -цепи общего применения должна быть примерно в десять раз меньше активной длительности фронта дифференцируемого импульса.

При дифференцировании однополярного импульса на выходе дифференцирующей цепи образуется двухполярный импульс Следовательно, длительность выходного импульса напряжения одной какой-либо полярности меньше длительности дифференцируемого импульса и рассматриваемая цепь обеспечивает выполнение операции укорочения.

Пусть на входе RС-цепи (рис. 6.19, а) действует идеальный прямоугольный импульс, который приходит в момент времени (рис. ). При этом конденсатор С начинает заряжаться и напряжение на нем изменяется по закону

Зарядный ток , протекающий через сопротивление R, создает на выходе RС-цепи экспоненциальный импульс ивых положительной полярности, который полностью затухает до окончания действия входного импульса. После окончания входного импульса равновесие, достигнутое в цепи , нарушается. Происходит разряда конденсатора через резистор R и источник импульсов. Выходной импульс отрицательной полярности, возникающий при разрядке конденсатора, отличается от рассмотренного только полярностью.

Таким образом, при укорочении прямоугольного импульса на выходе цепи получаются экспоненциальные импульсы напряжения положительной и отрицательной полярности, высота которых равна высоте входных импульсов . Длительность выходных импульсов определяется постоянной времени . Если ее измерять на уровне , то она определяется из выражения

Иногда активную длительность импульса измеряют на уровне :

Постоянную времени дифференцирующей цепи при ее использовании для укорочения импульсов выбирают значительно большей, чем при выполнении операции точного дифференцирования.

Ее значение находят исходя из требуемой активной длительности импульса, определенной на уровне .

В реальных случаях приходится учитывать внутреннее сопротивление источника, к которому рассматриваемая цепь подключена (рис. 6.20, я). При этом характер процессов в -цепи не меняется. Однако увеличение активного сопротивления цепи приводит к возрастанию постоянной времени . Это ограничивает возможность получения коротких импульсов. Кроме того, уменьшаются зарядный и разрядный токи i конденсатора, что приводит к уменьшению выходного напряжения . Максимальное значение выходного напряжения находят из уравнения

5. Применение ODE: Серия RL Circuit

Принципиальная схема RL

Цепь RL на показанном выше резисторе и катушке индуктивности соединены последовательно. Постоянное напряжение В подается, когда переключатель находится в закрыто.

(переменное) напряжение на резисторе определяется по формуле:

`V_R = iR`

(переменное) напряжение на катушке индуктивности определяется по формуле:

`V_L = L (di) / (dt)`

Закон Кирхгофа по напряжению гласит, что направленная сумма напряжений в цепи должна быть равна нулю.(- (R «/» L) t)) `

Проба

Начнем с:

`Ri + L (di) / (dt) = V`

Вычитая Ri с обеих сторон:

`L (di) / (dt) = V-Ri`

Разделите обе стороны на L :

`(di) / (dt) = (V-Ri) / L`

Умножьте обе стороны на dt и разделите обе на ( V — Ri ):

`(ди) / (V-Ri) = (dt) / L`

Интеграция (см. Интеграция: основная форма логарифма):

`int (di) / (V-Ri) = int (dt) / L`

`- (ln (V-Ri)) / R = 1 / Lt + K`

Теперь, поскольку `i = 0` при` t = 0`, мы имеем:

`К = — (ln \ V) / R`

Подставляя K обратно в наше выражение:

`- (ln (V-Ri)) / R = 1 / Lt- (ln V) / R`

Перестановка:

`(ln \ V) / R- (ln (V-Ri)) / R = 1 / Lt`

Умножение на — R :

`-ln \ V + ln (V-Ri) = — R / Lt`

Собираем части логарифма вместе:

`ln ((V-Ri) / V) = — R / Lt`

Принимая « e в обе стороны»:

`(V-Ri) / V = ​​e ^ (- (R» / «L) t`

`1-R / Vi = e ^ (- (R» / «L) t`

Вычитая 1 с обеих сторон:

`-R / Vi = -1 + e ^ (- (R» / «L) t`

Умножение обеих сторон на `- (V / R)`:

`i = V / R (1-e ^ (- (R» / «L) t))`

[Мы сделали ту же проблему, но с определенными значениями в разделе 2.(-t «/» \ tau)) `

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров схем RL.

Пример 1

Цепь RL имеет ЭДС 5 В, сопротивление 50 Ом, индуктивность 1 Гн, начальный ток отсутствует.

Найти ток в цепи в любой момент t . Различают переходный и установившийся ток.

Ответ

Метод 1 — Решение DE

Формула: `Ri + L (di) / (dt) = V`

После замены: `50i + (di) / (dt) = 5`

Мы перестраиваем, чтобы получить:

`(di) / (dt) + 50i = 5`

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.(-50т)) `.

В этом примере постоянная времени TC равна

`тау = L / R = 1/50 = 0,02`

Итак, мы видим, что ток достиг установившегося состояния к `t = 0,02 \ times 5 = 0,1 \» с «.`

Метод 3: Использование решения ODE

от Scientific Notebook

Если у вас есть Scientific Notebook, выполните следующие действия:

Этот DE имеет начальное условие i (0) = 0. (- 5t)) `.(-5t) `(серым цветом).

Постоянная времени TC для этого примера:

`тау = L / R = 10/50 = 0,2`

ПРИМЕЧАНИЕ (только для интереса и сравнения): Если бы мы не могли использовать формулу в (a) и не использовали разделение переменных, мы могли бы признать, что DE является линейным 1-го порядка, и поэтому мы могли бы решить его, используя интегрирующий фактор.

Используем формулу:

`Ri + L (di) / (dt) = V`

Требуемый DE:

`10 (di) / (dt) + 50i = 100`

`(di) / (dt) + 5i = 10`

«» И.(-5т)) `

Работает 🙂

Цепи с двумя ячейками

Следующие два примера относятся к типам с двумя сетками, в которых дифференциальные уравнения становятся более сложными. Мы будем использовать Scientific Notebook для выполнения основной работы после того, как составим правильные уравнения.

Пример 3

В сети с двумя ячейками, показанной ниже, коммутатор замкнут в t = 0 и источник напряжения равен В = 150 sin 1000 t В. Найти сеточные токи i ₁ и i ₂ , как показано на диаграмме.

Ответ

Раньше мы не видели, как решать «2-ячеистые» сети. Мы рассматриваем полное напряжение внутреннего контура и полное напряжение внешнего контура. Затем мы решаем полученные два уравнения одновременно.

Используем основную формулу: `Ri + L (di) / (dt) = V`

С учетом внутреннего цикла:

`10 (i_1 + i_2) + 5i_1 + 0,01 (di_1) / (dt) =` 150 sin 1000t`

`15 \ i_1 + 10 \ i_2 + 0,01 (di_1) / (dt) =` 150 sin 1000t`

`3i_1 + 2i_2 + 0.002 (di_1) / (dt) = « 30 sin 1000t \ \ \ … (1) `

Теперь, учитывая внешний цикл:

`10 (i_1 + i_2) + 5i_2 = 150 sin 1000t`

`10i_1 + 15i_2 = 150 sin 1000t`

`2i_1 + 3i_2 = 30 sin 1000t \ \ \ … (2)`

Теперь мы решаем (1) и (2) одновременно:

(1) × 3 — (2) × 2 дает:

`5i_1 + 0.006 (di_1) / (dt) = 30 sin 1000t`

Решение этой проблемы с использованием SNB с граничным условием i ₁ (0) = 0 дает:

`i_1 (t) = — 2.(-833т) `

График i ₂ :

График текущего `i_2` в момент` t`. Он также находится в устойчивом состоянии примерно на «t = 0,007».

Пример 4

Коммутатор замкнут при t = 0 в сети с двумя ячейками показано ниже. Источник напряжения равен В = 30 sin 100 t В. Найдите сеточные токи i ₁ и i ₂ , как показано на диаграмме.

Ответ

Решаем 2 способами:

1.Составление уравнений и получение помощи SNB для их решения.

2. Непосредственное использование SNB для одновременного решения 2 уравнений.

Решение 1

Используем основную формулу: `Ri + L (di) / (dt) = V`

Рассматривая левую петлю, ток через резистор 8 Ом противоположен для «i_1» и «i_2». Мы рассматриваем i_1 как имеющее положительное направление:

`0,2 (di_1) / (dt) +8 (i_1-i_2) =` `30 sin 100t \ \ \ … (1)`

Теперь мы рассматриваем правую петлю и считаем направление i_2 положительным:

`8 (i_2-i_1) + 4i_2 = 0`

`12i_2-8i_1 = 0`

`i_2 = 2 / 3i_1 \ \ \.(-13,3 т) `

Это, конечно, тот же график, только это «2/3» амплитуды:

График текущего `i_2` в момент` t`. Он также находится в устойчивом состоянии примерно на t = 0,25.

Решение 2. Прямое использование SNB

Если мы попытаемся решить его с помощью Scientific Notebook следующим образом, он не сможет выполнить , потому что он может решить только 2 дифференциальных уравнения одновременно (вторая строка не является дифференциальным уравнением):

`0,2 (di_1) / (dt) +8 (i_1-i_2) = 30 sin 100t`

`i_2 = 2 / 3i_1`

`i_1 (0) = 0`

`i_2 (0) = 0`

Но если мы дифференцируем вторую строку следующим образом (превращая ее в дифференциальное уравнение, чтобы у нас было 2 DE с 2 неизвестными), SNB с радостью решит его с помощью команды Compute → Solve ODE.-9`.

RL Circuits — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

Начните с правила схемы Кирхгофа.

Разделите переменные.

В — ИК = dI л дт В / R — I = dI л / правый дт — дт = dI л / правый I — В / R

— ИК = dI л дт — я = dI л / правый дт — дт = dI л / правый я

Объедините обе стороны в допустимых пределах.

т я — ⌠ ⎮ дт = ⌠ ⎮ dI л / правый I — В / R 0 0 – т = ln ⎛ ⎜ I — В / R ⎞ ⎟ л / правый — В / R

т я — ⌠ ⎮ дт = ⌠ ⎮ dI л / правый я 0 I 0 – т = ln ⎛ ⎜ я ⎞ ⎟ л / правый I 0

Превратите обе стороны в степень e .

e — Rt / L = 1- ИК В

Найдите значение тока как функцию времени.

I = В ⎛ ⎜ 1 — e — Rt / L ⎞ ⎟ р

Конец.

Анализ цепи серии

RL (векторная диаграмма, примеры и вывод)

Что такое цепь RL?

Цепь RL (также известная как фильтр RL или сеть RL) определяется как электрическая цепь, состоящая из пассивных элементов цепи резистора (R) и катушки индуктивности (L), соединенных вместе и приводимых в действие источником напряжения или тока. источник.

Из-за наличия резистора в идеальной форме цепи, цепь RL будет потреблять энергию, как RC-цепь или RLC-цепь.

Это не похоже на идеальную форму LC-цепи, которая не потребляет энергии из-за отсутствия резистора. Хотя это только в идеальной форме схемы, и на практике даже LC-цепь будет потреблять некоторую энергию из-за ненулевого сопротивления компонентов и соединительных проводов.

Рассмотрим простую цепь RL, в которой резистор R и индуктор L соединены последовательно с источником напряжения V вольт. Предположим, что ток, протекающий в цепи, равен I (ампер), а ток через резистор и катушку индуктивности равен I _R и I _L соответственно.Поскольку сопротивление и катушка индуктивности соединены последовательно, ток в элементах и ​​цепи остается одинаковым. т.е. I _R = I _L = I. Пусть V _R и V _l будут падением напряжения на резисторе и катушке индуктивности.

Применяя к этой схеме закон напряжения Кирхгофа (т. Е. Сумма падений напряжения должна быть равна, чтобы приложить напряжение), мы получаем,

Фазорная диаграмма для цепи RL

Перед тем, как нарисовать векторную диаграмму последовательной цепи RL , нужно знать соотношение между напряжением и током в случае резистора и катушки индуктивности.

1. 1. Резистор
      В случае резистора напряжение и ток находятся в одной фазе, или мы можем сказать, что разность фаз между напряжением и током равна нулю.

1. 1. Катушка индуктивности
      В катушке индуктивности напряжение и ток не совпадают по фазе. Напряжение опережает текущее значение на 90 ^o или, другими словами, напряжение достигает своего максимального и нулевого значения 90 ^o до того, как его достигает ток.

1. RL Схема
   Для построения векторной диаграммы последовательной цепи RL; выполните следующие шаги:

Шаг I. В случае последовательной цепи RL резистор и индуктор соединены последовательно, поэтому ток, протекающий в обоих элементах, одинаков, т.е. I _R = I _L = I Итак, возьмите текущий вектор в качестве ориентира и нарисуйте его на горизонтальной оси, как показано на диаграмме.
Шаг-II. В случае резистора напряжение и ток находятся в одной фазе.Итак, нарисуйте вектор напряжения V _R вдоль той же оси или направления, что и вектор тока. т.е. V _R находится в фазе с I.

Шаг-III. Мы знаем, что в катушке индуктивности напряжение ведет ток на 90 ^o , поэтому нарисуйте V _L (падение напряжения на катушке индуктивности) перпендикулярно вектору тока.
Шаг IV. Теперь у нас есть два напряжения V _R и V _L . Изобразите результирующий вектор (V _G ) этих двух напряжений. Например,
и из прямоугольного треугольника получаем, фазовый угол


ВЫВОД: В случае чисто резистивной цепи фазовый угол между напряжением и током равен нулю, а в случае чисто индуктивной цепи фазовый угол составляет 90 ^o но когда мы объединяем и сопротивление, и индуктивность, фазовый угол последовательной цепи RL составляет от 0 ^o до 90 ^o .

Импеданс последовательной цепи RL

Импеданс последовательной цепи RL препятствует прохождению переменного тока. Импеданс последовательной цепи RL представляет собой не что иное, как комбинированный эффект сопротивления (R) и индуктивного реактивного сопротивления (X _L ) цепи в целом. Импеданс Z в омах определяется выражением
Z = (R ² + X _L ² ) ^0,5 , а для прямоугольного треугольника фазовый угол θ = tan ^{— 1} (X _L / Р).

Анализ цепи последовательного RL

В последовательной цепи RL значения частоты f, напряжения V, сопротивления R и индуктивности L известны, и нет прибора для прямого измерения значения индуктивного реактивного сопротивления и импеданса; Итак, для полного анализа цепи последовательного RL выполните следующие простые шаги:

Шаг 1. Поскольку значение частоты и индуктивности известны, сначала рассчитайте значение индуктивного реактивного сопротивления X _L : X _L = 2πfL Ом.
Шаг 2. Из значения X _L и R рассчитайте полное сопротивление цепи, которое определяется как

Шаг 3. Рассчитайте полный фазовый угол для цепи θ = tan ^{— 1} (X _L / R).
Шаг 4. Воспользуйтесь законом Ома и найдите значение полного тока: I = V / Z amp.
Шаг 5. Рассчитайте напряжения на резисторе R и индуктивности L, используя закон Ома. Поскольку резистор и катушка индуктивности включены последовательно, значит, ток в них остается прежним.

Мощность в цепи RL

В последовательной цепи RL часть энергии рассеивается резистором, а часть энергии поочередно накапливается и возвращается катушкой индуктивности —

1. Мгновенная мощность, выдаваемая источником напряжения V, равна P = VI ( Вт).
2. Мощность, рассеиваемая резистором в виде тепла, P = I ² R (Вт).
3. Скорость, с которой энергия накапливается в катушке индуктивности,

Итак, общая мощность в цепи последовательного RL определяется суммированием мощности, рассеиваемой резистором, и мощности, потребляемой катушкой индуктивности.

Треугольник мощности для последовательной цепи RL показан ниже:

Коэффициент электрической мощности cosθ определяется как отношение истинной мощности к полной мощности.

Изменение импеданса и фазового угла с частотой

На приведенной выше диаграмме показан треугольник импеданса.Основание этого треугольника импеданса представляет сопротивление. Сопротивление не зависит от частоты; Таким образом, если частота увеличивается или уменьшается, сопротивление остается постоянным. Формула для индуктивного реактивного сопротивления: X _L = 2πfL. Таким образом, если частота увеличивается, индуктивное реактивное сопротивление X _L также увеличивается, а если индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, полное сопротивление цепи также увеличивается, и это приводит к изменению фазового угла θ с частотой. Таким образом, в цепи последовательного RL, если частота увеличивается,

1. Индуктивное реактивное сопротивление также увеличивается, поскольку оно прямо пропорционально частоте.
2. Общий импеданс Z увеличивается.
3. Фазовый угол θ увеличивается.
4. Сопротивление остается постоянным.

Выражение для тока, протекающего в последовательной цепи RL

Рассмотрим схему, в которой сопротивление последовательно соединено с катушкой индуктивности, а к ней приложен источник напряжения в Вольт. Первоначально переключатель разомкнут. Допустим, в момент времени t мы замыкаем переключатель, и ток i начинает течь в цепи, но он не достигает своего максимального значения быстро из-за наличия индуктора в цепи, поскольку мы знаем, что индуктор имеет свойство противодействовать изменение тока, протекающего через него.

Примените закон напряжения Кирхгофа в приведенной выше последовательной цепи RL,

Преобразуя приведенное выше уравнение,

Интегрируя обе стороны, мы получаем

Теперь интегрируем правую часть, используя метод подстановки,

Подставляя полученные значения,

Мы знаем, что интеграция,

Итак, мы получаем,

Применяя ограничения, мы получаем,

Еще раз упрощая,

Принимая антилогарифмическую форму с обеих сторон,

Мы знаем, что e ^{ln x} = x, поэтому мы получаем ,

Перемещая член, содержащий ‘i’, на одну сторону, мы получаем,

Член L / R в уравнении называется постоянной времени (τ) последовательной схемы RL и определяется как затраченное время током для достижения максимального значения в установившемся режиме, а член V / R представляет собой окончательное значение тока в цепи в установившемся режиме.

Интеграторы RL

Схема RL также может использоваться как интегрирующая схема. Интегрированная форма волны может быть получена из последовательной цепи RL, если выходной сигнал будет подключен через резистор.

ИНТЕГРАТОРЫ RL:

Цепь RL может также использоваться как интегральная схема. Интегрированная форма волны может быть получена из серии RL. схему, перенеся выход через резистор.Характеристики индукторы таковы, что в первый момент времени, когда напряжение приложен, ток через катушку индуктивности минимален, а развиваемое напряжение по горизонтали максимум.

Следовательно, величина падения напряжения на последовательный резистор в этот первый момент должен быть 0 вольт, потому что нет ток через него. Со временем ток начинает течь через цепь и напряжение возникает на резисторе.Поскольку схема имеет долгую постоянная времени, напряжение на резисторе НЕ реагирует на быстрое изменения напряжения входной прямоугольной волны. Следовательно, условия для интеграция в цепи RL имеет длительную постоянную времени с принимаемым выходом через резистор.

Существуют различные диодные сети, называемые клиперы, которые могут «отсекать» часть входного сигнала без искажения остальной части переменного сигнала.Половина волновой выпрямитель является примером простейшей формы диодного ограничителя на одном резисторе и диод.

В зависимости от ориентации диода положительная или отрицательная область входного сигнала «отсекается». Есть две основные категории машинок для стрижки: последовательные и параллельные. Сериал конфигурация определяется как та, в которой диод включен последовательно с нагрузкой, в то время как параллельная разновидность имеет диод в ветви, параллельной нагрузке.

Учебные материалы, примечания к лекциям, задания, ссылки, объяснение описания вики, краткая информация

Интегралы в электрических цепях

Производные и интегралы широко используются для описания переходных процессов в электрических цепях. Ниже мы рассмотрим некоторые типичные проблемы, которые можно решить с помощью интеграции. Ограничимся рассмотрением схем первого порядка.

Связь между зарядом и током

Электрический ток \ (I \) определяется как скорость потока заряда \ (Q \) и выражается производной

\ [I \ left (t \ right) = \ frac {{dQ \ left (t \ right)}} {{dt}}.{{t_2}} {I \ left (t \ right) dt}, \]

, который представляет количество заряда, проходящего через провод между моментами времени \ (t = {t_1} \) и \ (t = {t_2}. \)

RC-схема

Простая последовательная RC-цепь — это электрическая цепь, состоящая из резистора и конденсатора.

Рисунок 1.

После того, как переключатель замкнут в момент времени \ (t = 0, \), ток начинает течь по цепи. Напряжение на резисторе определяется законом Ома:

.

\ [{V_R} \ left (t \ right) = I \ left (t \ right) R.{- \ frac {t} {{RC}}}}. \]

Рисунок 2.

Постоянная времени \ (\ tau = RC \) здесь определяет, насколько быстро происходит переходный процесс в цепи. {- \ frac {R} {L} t}}} \ right).\]

Рис. 4.

Мы видим, что постоянная времени для цепи RL определяется выражением \ (\ tau = \ large {\ frac {L} {R}} \ normalsize. \)

Мощность и энергия

Электрическая энергия \ (E, \), измеряемая в джоулях (Дж), представляет собой форму энергии, которая возникает из кинетической или потенциальной энергии, которой обладают электрические заряды.

Электрическая мощность \ (P, \), измеряемая в ваттах (Вт), представляет собой скорость, с которой электрическая энергия передается по электрической цепи.

Мощность, рассеиваемая в элементе цепи постоянного тока \ (\ left ({DC} \ right) \), определяется формулой

\ [P = VI, \]

где \ (V \) — напряжение на элементе, а \ (I \) — ток в цепи.t {V \ left (s \ right) I \ left (s \ right) ds}, \]

где \ (s \) — внутренняя переменная интегрирования.

Энергия, запасенная в конденсаторе

Перемещение небольшого заряда \ (dq \) с одной пластины конденсатора на другую требует работы

\ [dW = Vdq = \ frac {q} {C} dq, \]

где \ (C \) — емкость, а \ (q \) — текущий заряд конденсатора. 2}}} {2}.2} — 4, & t \ gt 3 \ end {case}, \] где ток \ (I \) измеряется в \ (A \), а время \ (t \) измеряется в \ ({сек}. \). Найдите общий заряд, попавший в элемент за время \ (T = 6 \, с. \)

Пример 2

Ток в цепи увеличивается линейно во времени как \ (I \ left (t \ right) = \ alpha t \) в течение временного интервала \ (\ left [{0, T} \ right] \) и вызывает резистор \ (R \), чтобы нагреться. Предполагая, что процесс нагрева является адиабатическим, определите, как изменение температуры резистора \ (\ Delta T \) зависит от скорости \ (\ alpha.\) Удельная теплоемкость материала резистора \ (c, \), масса резистора \ (m. \)

Пример 3

Предположим, конденсатор \ (C \) заряжается от источника с постоянной ЭДС \ (\ varepsilon. \). Вычислите тепловую энергию, рассеиваемую резистором \ (R \) за время зарядки.

Пример 4

Когда переключатель замкнут в момент времени \ (t = 0, \), начальный ток в цепи без источника \ (RL \) равен \ ({I_0} = 1 \, A. \) Найдите энергию \ ({E_R } \) рассеивается резистором между \ (t = 0 \) и \ (T = 1 \, ms, \), если \ (R = 50 \, k \ Omega, \) \ (L = 0.{- 100t}} \, \ left (V \ right).} \] Определите полную энергию, рассеиваемую элементом между \ (t = 0 \) и \ (t = 10 \, {ms}. \)

Пример 6

В момент времени \ (t = 0, \) ЭДС \ (\ varepsilon = 50 \, V \) применяется к первоначально незаряженному конденсатору \ (C = 10 \, \ mu F. \). Конденсатор начинает заряжаться через резистор \ (R = 100 \, k \ Omega. \) Определите количество электронов на отрицательной пластине конденсатора за \ (1 \) секунду.

Пример 7

Ток и напряжение на элементе схемы изменяются по синусоидальному закону: \ [{I \ left (t \ right) = {I_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right), \; \;} \ kern0pt { V \ left (t \ right) = {V_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}} \ right),} \] где \ (T \) — период колебаний, \ (\ theta \) — разность фаз, \ ({I_0} \) и \ ({V_0} \) — начальные значения тока и напряжения. 2} — 4, & t \ gt 3 \ end {case}, \] где ток \ (I \) измеряется в \ (A \), а время \ (t \) измеряется в \ ({сек}.6} = {9 + \ left ({\ frac {{216}} {3} — 4} \ right) — \ left ({3 — 12} \ right)} = {60 \, C}. \]

Пример 2.

Ток в цепи увеличивается линейно во времени как \ (I \ left (t \ right) = \ alpha t \) в течение временного интервала \ (\ left [{0, T} \ right] \) и вызывает резистор \ (R \), чтобы нагреться. Предполагая, что процесс нагрева является адиабатическим, определите, как изменение температуры резистора \ (\ Delta T \) зависит от скорости \ (\ alpha. \). Удельная теплоемкость материала резистора равна \ (c, \) масса резистора \ (м.2}. \]

Таким образом, изменение температуры \ (\ Delta \ theta \) пропорционально квадрату текущей скорости \ (\ alpha \).

Пример 3.

Предположим, конденсатор \ (C \) заряжается от источника с постоянной ЭДС \ (\ varepsilon. \). Вычислите тепловую энергию, рассеиваемую резистором \ (R \) за время зарядки. {- \ frac {t } {{RC}}}}.{15}}} \]

Пример 7.

Ток и напряжение на элементе схемы изменяются по синусоидальному закону: \ [{I \ left (t \ right) = {I_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right), \; \;} \ kern0pt { V \ left (t \ right) = {V_0} \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}} \ right),} \] где \ (T \) — период колебаний, \ (\ theta \) — разность фаз, \ ({I_0} \) и \ ({V_0} \) — начальные значения тока и напряжения. Найдите среднюю мощность, рассеиваемую в элементе схемы за период одного цикла.T {\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}} \ right ) dt}.} \]

Использование идентичности произведения на сумму

\ [{\ sin \ alpha \ sin \ beta \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {1} {2} \ left [{\ cos \ left ({\ alpha — \ beta} \ right) — \ cos \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} \ right],} \]

подынтегральное выражение можно переписать в виде

\ [{\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T} + \ theta} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi t}} {T}}) \ right)} = {\ frac {1} {2} \ left [{\ cos \ left ({- \ theta} \ right) — \ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi t}}} {T } + \ theta} \ right)} \ right]} = {\ frac {1} {2} \ left [{\ cos \ theta — \ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi t}}} {T } + \ theta} \ right)} \ right].T} = {\ frac {{{I_0} {V_0}}} {2} \ left [{\ cos \ theta — \ underbrace {\ frac {{\ sin \ left ({4 \ pi + \ theta} \ right ) — \ sin \ theta}} {{4 \ pi}}} _ 0} \ right]} = {\ frac {{{I_0} {V_0} \ cos \ theta}} {2}.} \]

Как видите, максимальная средняя мощность достигается при \ (\ theta = 0: \)

\ [{{\ bar P} _ {\ max}} = \ frac {{{I_0} {V_0}}} {2}. \]

Пример 8.

Источник постоянной ЭДС \ (\ varepsilon = 100 \, V \) подключается к цепи с начальным сопротивлением \ ({R_0} = 20 \, \ Omega.\) Рассчитайте заряд \ (Q \), который будет проходить в цепи в течение \ (T = 1 \, min, \), если сопротивление линейно увеличивается со скоростью \ (\ alpha = 1 \ large {\ frac {\ Омега} {s}} \ normalsize. \)

Решение.

Сопротивление \ (R \) цепи изменяется по закону

\ [R \ left (t \ right) = {R_0} + \ alpha t. \]

По закону Ома,

\ [I \ left (t \ right) = \ frac {\ varepsilon} {{R \ left (t \ right)}} = \ frac {\ varepsilon} {{{R_0} + \ alpha t}}. \ ]

Чтобы найти заряд \ (Q, \), мы интегрируем ток \ (I \ left (t \ right) \) по временному интервалу \ (\ left [{0, T} \ right], \), где \ ( T = 1 \, min = 60 \, с.T} = {\ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ left [{\ ln \ left ({{R_0} + \ alpha T} \ right) — \ ln {R_0}} \ right]} = {\ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ ln \ frac {{{R_0} + \ alpha T}} {{{R_0}}}} = {\ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ ln \ left ({1 + \ frac {{\ alpha T}} {{{R_0}}}} \ right).} \]

Подставив указанные значения, получаем

\ [{Q = \ frac {\ varepsilon} {\ alpha} \ ln \ left ({1 + \ frac {{\ alpha T}} {{{R_0}}}} \ right)} = {\ frac { {100}} {1} \ ln \ left ({1 + \ frac {{1 \ times 60}} {{20}}} \ right)} \ приблизительно {138.6 \, C} \]

RC-интегратор Теория последовательной RC-цепи

Для схемы пассивного RC-интегратора вход подключен к сопротивлению, в то время как выходное напряжение снимается через конденсатор, что является полной противоположностью цепи RC-дифференциатора . Конденсатор заряжается, когда на входе высокий уровень, и разряжается, когда на входе низкий.

В электронике основная схема последовательно соединенного резистора-конденсатора (RC) имеет множество применений и применений, от основных схем зарядки / разрядки до схем фильтров высокого порядка.Эта двухкомпонентная пассивная RC-схема может выглядеть достаточно простой, но в зависимости от типа и частоты подаваемого входного сигнала поведение и отклик этой базовой RC-цепи могут сильно отличаться.

Пассивная RC-цепь — это не что иное, как резистор, включенный последовательно с конденсатором, то есть постоянное сопротивление, подключенное последовательно с конденсатором, который имеет частотно-зависимое реактивное сопротивление, которое уменьшается по мере увеличения частоты на его пластинах. Таким образом, на низких частотах реактивное сопротивление конденсатора Xc высокое, в то время как на высоких частотах его реактивное сопротивление низкое из-за стандартной формулы емкостного реактивного сопротивления Xc = 1 / (2πƒC), и мы видели этот эффект в нашем руководстве о Passive Low Pass. Фильтры .

Если входной сигнал является синусоидальным, интегратор rc будет просто действовать как простой фильтр нижних частот (LPF) выше его точки отсечки с частотой отсечки или излома, соответствующей постоянной времени RC (тау, τ) последовательной сети. Таким образом, при подаче чистой синусоидальной волны RC-интегратор действует как пассивный фильтр нижних частот, уменьшая его выходную мощность выше точки среза частоты.

Как мы видели ранее, постоянная времени RC отражает взаимосвязь между сопротивлением и емкостью по отношению ко времени, причем количество времени, выраженное в секундах, прямо пропорционально сопротивлению R и емкости C.

Таким образом, скорость зарядки или разрядки зависит от постоянной времени RC, τ = RC. Рассмотрим схему ниже.

RC-интегратор

Для схемы интегратора RC входной сигнал подается на сопротивление, а выходное напряжение поступает на конденсатор, тогда V _OUT равно V _C . Поскольку конденсатор является элементом, зависящим от частоты, величина заряда, устанавливаемого на пластинах, равна интегралу тока во временной области.То есть для полной зарядки конденсатора требуется определенное время, поскольку конденсатор не может заряжаться мгновенно, а заряжается экспоненциально.

Следовательно, ток конденсатора можно записать как:

Это основное уравнение выше i _C = C (dVc / dt) также может быть выражено как мгновенная скорость изменения заряда Q относительно времени, давая нам следующее стандартное уравнение: i _C = dQ / dt, где заряд Q = C x Vc, то есть емкость, умноженная на напряжение.

Скорость, с которой конденсатор заряжается (или разряжается), прямо пропорциональна величине сопротивления и емкости, дающих постоянную времени цепи. Таким образом, постоянная времени схемы интегратора RC — это временной интервал, равный произведению R и C.

Поскольку емкость равна Q / Vc, где электрический заряд, Q — это протекание тока (i) за время (t), то есть произведение ixt в кулонах, а из закона Ома мы знаем, что напряжение (V) равно равно ix R, подставив их в уравнение для постоянной времени RC, получим:

Постоянная времени RC

Затем мы можем видеть, что, поскольку и i, и R взаимно сокращаются, остается только T, что указывает на то, что постоянная времени схемы интегратора RC имеет измерение времени в секундах, и это греческая буква tau, τ.Обратите внимание, что эта постоянная времени отражает время (в секундах), необходимое конденсатору для зарядки до 63,2% от максимального напряжения или разряда до 36,8% от максимального напряжения.

Напряжение конденсатора

Ранее мы говорили, что для RC-интегратора выходной сигнал равен напряжению на конденсаторе, то есть: V _OUT равно V _C . Это напряжение пропорционально заряду, Q сохраняется на конденсаторе и определяется выражением: Q = VxC.

В результате выходное напряжение является интегралом входного напряжения с величиной интегрирования, зависящей от значений R и C и, следовательно, постоянной времени сети.

Выше мы видели, что ток конденсаторов можно выразить как скорость изменения заряда Q во времени. Следовательно, из основного правила дифференциального исчисления производная Q по времени равна dQ / dt, а поскольку i = dQ / dt, мы получаем следующее соотношение:

Q = ∫idt (заряд Q на конденсаторе в любой момент времени)

Поскольку вход подключен к резистору, тот же ток, i должен проходить и через резистор, и через конденсатор (i _R = i _C ), создавая падение напряжения V _R на резисторе, поэтому ток, (i) поток через сеть RC этой серии определяется как:

следовательно:

Поскольку i = V _IN / R, замена и преобразование для решения для V _OUT как функции времени дает:

Другими словами, выход RC-интегратора, представляющий собой напряжение на конденсаторе, равен интегралу времени входного напряжения, V _IN , взвешенному на константу 1 / RC.Где RC представляет постоянную времени τ.

Тогда, предполагая, что начальный заряд конденсатора равен нулю, то есть V _OUT = 0, а входное напряжение V _IN является постоянным, выходное напряжение V _OUT выражается во временной области как:

Формула интегратора RC

Итак, схема интегратора RC — это такая схема, в которой выходное напряжение V _OUT пропорционально интегралу входного напряжения, и с учетом этого давайте посмотрим, что произойдет, когда мы подадим один положительный импульс в виде ступенчатое напряжение в цепи интегратора RC.

Одноимпульсный RC-интегратор

Когда на вход RC-интегратора подается одноступенчатый импульс напряжения, конденсатор заряжается через резистор в ответ на импульс. Однако выходной сигнал не является мгновенным, поскольку напряжение на конденсаторе не может изменяться мгновенно, а экспоненциально возрастает по мере того, как конденсатор заряжается со скоростью, определяемой постоянной времени RC, τ = RC.

Теперь мы знаем, что скорость, с которой конденсатор либо заряжается, либо разряжается, определяется постоянной времени RC цепи.Если применяется идеальный импульс ступенчатого напряжения, то есть с передним и задним фронтом, считающимся мгновенными, напряжение на конденсаторе будет увеличиваться при зарядке и уменьшаться при разрядке, экспоненциально с течением времени со скоростью, определяемой по формуле:

Зарядка конденсатора

Разрядный конденсатор

Итак, если мы предположим, что напряжение конденсатора равно одному вольт (1 В), мы можем построить график процентного заряда или разряда конденсатора для каждой отдельной постоянной времени R, как показано в следующей таблице.

Время Константа	Конденсатор Зарядный	Конденсатор Разрядный
τ	% Заряд	% разряжено
0,5	39,4%	60,6%
0,7	50%	50%
1	63,2%	36,7%
2	86,4%	13,5%
3	95.0%	4,9%
4	98,1%	1,8%
5	99,3%	0,67%

Обратите внимание, что при 5 постоянных времени или выше, конденсатор считается полностью заряженным или полностью разряженным.

Итак, теперь давайте предположим, что у нас есть схема интегратора RC, состоящая из резистора 100 кОм и конденсатора 1 мкФ, как показано.

Пример схемы интегратора RC

Постоянная времени τ цепи интегратора RC, таким образом, задается как: RC = 100 кОм x 1 мкФ = 100 мс.

Итак, если мы подадим импульс ступенчатого напряжения на вход с длительностью, скажем, с двумя постоянными времени (200 мс), то из приведенной выше таблицы мы увидим, что конденсатор будет заряжаться до 86,4% от своего полностью заряженного значения. Если этот импульс имеет амплитуду 10 вольт, то это равно 8,64 вольт, прежде чем конденсатор снова разрядится через резистор к источнику, когда входной импульс вернется к нулю.

Если предположить, что конденсатору позволено полностью разрядиться за время 5 постоянных времени, или за 500 мс до прихода следующего входного импульса, то график кривых зарядки и разрядки будет выглядеть примерно так:

Кривые зарядки / разрядки интегратора RC

Обратите внимание, что конденсатор разряжается с начального значения 8.64 вольта (2 постоянные времени), а не от входа 10 вольт.

Тогда мы можем видеть, что, поскольку постоянная времени RC фиксирована, любое изменение ширины входного импульса повлияет на выходной сигнал схемы интегратора RC. Если ширина импульса увеличивается и равна или больше 5RC, то форма выходного импульса будет аналогична форме входного, поскольку выходное напряжение достигает того же значения, что и входное.

Если, однако, ширина импульса уменьшается ниже 5RC, конденсатор будет заряжаться только частично и не достигнет максимального входного напряжения, что приведет к меньшему выходному напряжению, поскольку конденсатор не сможет заряжаться так сильно, что приведет к выходному напряжению, которое пропорционально интегралу от входное напряжение.

Итак, если мы предположим, что входной импульс равен одной постоянной времени, то есть 1RC, конденсатор будет заряжаться и разряжаться не между 0 и 10 вольт, а между 63,2 и 38,7% напряжения на конденсаторе в момент изменения. Обратите внимание, что эти значения определяются постоянной времени RC.

Постоянная времени фиксированного RC-интегратора

Таким образом, для непрерывного импульсного входа, правильное соотношение между периодическим временем входа и постоянной времени RC цепи, интеграция входа будет иметь место, производя своего рода нарастание, а затем выходное линейное замедление.Но для правильной работы схемы в качестве интегратора значение постоянной времени RC должно быть большим по сравнению с периодическим временем входов. То есть RC ≫ T, обычно в 10 раз больше.

Это означает, что величина выходного напряжения (которая была пропорциональна 1 / RC) будет очень мала между его высоким и низким напряжениями, сильно ослабляя выходное напряжение. Это связано с тем, что у конденсатора гораздо меньше времени для зарядки и разрядки между импульсами, но среднее выходное напряжение постоянного тока увеличится до половины величины входного, и в нашем примере импульсов выше оно будет составлять 5 вольт (10/2).

RC-интегратор как генератор синусоидальной волны

Выше мы видели, что схема интегратора RC может выполнять операцию интегрирования, применяя импульсный вход, приводящий к нарастанию и спаду треугольной волны на выходе из-за характеристик заряда и разряда конденсатора. Но что произойдет, если мы обратим процесс и подадим на вход треугольную форму волны, получим ли мы импульсный или прямоугольный выходной сигнал?

Когда входной сигнал в схему интегратора RC представляет собой вход импульсной формы, выход представляет собой треугольную волну.Но когда мы применяем треугольную волну, выходной сигнал становится синусоидальным из-за интегрирования во времени линейного сигнала.

Существует много способов получения синусоидальной формы волны, но один простой и дешевый способ получить электронную форму волны синусоидального типа — это использовать пару цепей пассивного RC-интегратора, соединенных последовательно, как показано.

Синусоидальный RC-интегратор

Здесь первый интегратор RC преобразует исходный импульсный входной сигнал в треугольную форму волны нарастания и спада, которая становится входом второго интегратора RC.Эта вторая схема интегратора RC округляет точки треугольной формы волны, преобразуя ее в синусоидальную волну, поскольку она эффективно выполняет двойное интегрирование исходного входного сигнала с постоянной времени RC, влияющей на степень интеграции.

Поскольку интегрирование пилообразного сигнала дает синусоидальную функцию (в основном округленную треугольную форму волны), его периодическая частота в герцах будет равна периоду T исходного импульса. Также обратите внимание, что если мы обратим этот сигнал, а входной сигнал будет синусоидальным, схема будет действовать не как интегратор, а как простой фильтр нижних частот (ФНЧ) с синусоидальной волной, поскольку чистая форма волны не меняет форму, влияет только его амплитуда.

Обзор интегратора RC

Здесь мы видели, что RC-интегратор в основном представляет собой схему последовательного RC-фильтра нижних частот, которая, когда на его вход подается импульс ступенчатого напряжения, выдает выходной сигнал, пропорциональный интегралу его входа. Это дает стандартное уравнение: Vo = Vi dt , где Vi — сигнал, подаваемый на интегратор, а Vo — интегрированный выходной сигнал.

Интегрирование входной ступенчатой ​​функции дает выходной сигнал, напоминающий треугольную линейную функцию с амплитудой, меньшей, чем у исходного импульсного входа, с величиной ослабления, определяемой постоянной времени.Таким образом, форма выходного сигнала зависит от соотношения между постоянной времени схемы и частотой (периодом) входного импульса.

Постоянная времени RC-интегратора всегда сравнивается с периодом T входа, поэтому большая постоянная времени RC будет давать треугольную форму волны с низкой амплитудой по сравнению с входным сигналом, поскольку у конденсатора меньше времени для полной зарядки или разрядки. . Короткая постоянная времени дает конденсатору больше времени для зарядки и разрядки, что дает более типичную округлую форму.

При параллельном соединении двух цепей интегратора RC происходит двойное интегрирование входного импульса. Результатом этого двойного интегрирования является то, что первая схема интегратора преобразует импульс ступенчатого напряжения в треугольную форму волны, а вторая схема интегратора преобразует форму треугольной формы волны, округляя точки треугольной формы волны, создавая синусоидальную форму выходного сигнала с сильно уменьшенным амплитуда.

Переходный отклик цепи RL [Analog Devices Wiki]

Цель:

Целью этой лабораторной работы является изучение переходной характеристики цепей индуктивности с использованием последовательной конфигурации RL и понимание концепции постоянной времени.

Примечания:

Как и во всех лабораториях ALM, мы используем следующую терминологию при описании подключений к разъему ALM1000 и настройке оборудования. Зеленые заштрихованные прямоугольники обозначают подключения к разъему аналогового ввода-вывода M1000. Контакты аналогового канала ввода / вывода обозначаются как CA и CB. При настройке для принудительного измерения напряжения / измерения тока — В, добавляется, как в CA-, V или когда настроено для принудительного измерения тока / измерения напряжения, добавляется -I, как в CA-I.Когда канал настроен в режиме высокого импеданса только для измерения напряжения, -H добавляется как CA-H.

Следы осциллографа аналогично обозначаются по каналу и напряжению / току. Например, CA- V , CB- V для сигналов напряжения и CA-I, CB-I для сигналов тока.

Фон:

Это лабораторное занятие аналогично занятию 5 RC Lab, за исключением того, что конденсатор заменен индуктором. В этом эксперименте вы примените прямоугольный сигнал к цепи RL, чтобы проанализировать переходную характеристику схемы.Ширина импульса относительно постоянной времени схемы определяет, как на нее влияет цепь RL.

Постоянная времени (t): это мера времени, необходимого для определенных изменений напряжений и токов в цепях RC и RL. Обычно, когда прошедшее время превышает пять постоянных времени (5t) после того, как произошло переключение, токи и напряжения достигли своего конечного значения, которое также называется установившейся реакцией.

Постоянная времени цепи RL — это эквивалентная индуктивность, деленная на сопротивление Тевенина, если смотреть с выводов эквивалентной катушки индуктивности.

(1)

Импульс — это напряжение или ток, которые меняются с одного уровня на другой и обратно. Если высокое время сигнала равно его низкому времени, это называется прямоугольной волной. Длина каждого цикла последовательности импульсов — это его период (T). Ширина импульса (tp) идеальной прямоугольной волны равна половине периода времени.

Соотношение между шириной и частотой импульса для прямоугольной волны определяется следующим образом:

(2)

Рисунок 1: Последовательная цепь RL

В цепи R-L напряжение на катушке индуктивности со временем уменьшается, в то время как в цепи RC напряжение на конденсаторе со временем увеличивается.Таким образом, ток в цепи RL имеет ту же форму, что и напряжение в цепи RC: они оба экспоненциально возрастают до своего конечного значения в соответствии с 1 — e ^{(-t * R / L)} .

Выражение для тока в индукторе определяется следующим образом:

(3)

где В — напряжение источника, приложенное к цепи для t = 0. Кривая отклика увеличивается и показана на рисунке 2.

Рисунок 2: Ток в индукторе, увеличивающийся в цепи последовательного RL.

(Ось времени нормирована на t)

Выражение для затухания тока через индуктор дается следующим образом:

(4)

куда,

I ₀ — начальный ток, сохраняемый в катушке индуктивности при t = 0

L / R = t — постоянная времени.

Кривая отклика представляет собой убывающую экспоненту и показана на рисунке 3.

Рисунок 3: Спад тока через индуктор для последовательной цепи RL.

Поскольку с помощью ALM1000 можно напрямую измерить ток через индуктор (ток, подаваемый источником возбуждения), мы будем измерять и сравнивать как ток, так и выходное напряжение на резисторе. Форма волны резистора должна быть похожа на ток катушки индуктивности: В _R = I * L _R . По осциллограммам на осциллографе мы должны иметь возможность измерить постоянную времени t, которая должна быть равна t = L / R _всего .

Здесь R _total — полное сопротивление и может быть рассчитано из R _total = R индуктивность + R.

Индуктивность R — это измеренное значение сопротивления катушки индуктивности, которое можно измерить, подключив индуктивность к омметру перед проведением эксперимента.

Материалы:

Аппаратный модуль ADALM1000
1 — Резистор 100 Ом
1 — Индуктор 7 мГн (6 обмоток HPh2-1400L последовательно) или аналогичное значение от 5 до 20 мГн

Процедура:

1. Измерьте общее сопротивление катушки индуктивности и резистора R _всего с помощью омметра.Для этого можно использовать прибор для измерения омметра ALM1000. Помните, что омметр измеряет сопротивление относительно земли, когда вы соединяете последовательно соединенные обмотки L ₁ и R ₁ .

2. Установите схему, показанную на рисунке 4, на беспаечной макетной плате со значениями компонентов R ₁ = 220 Ом и L ₁ = 20 мГн. Откройте программное обеспечение ALICE 1.2 Desktop.

Рисунок 4: Схема эксперимента

Рисунок 5: Подключения макетной платы

3.Установите минимальное значение AWG канала A на 0,5 и максимальное значение на 4,5 В, Freq = 350, чтобы подать прямоугольный сигнал 4 В (размах) с центром на 2,5 В в качестве входного напряжения в схему. В раскрывающемся меню AWG A Mode выберите режим SVMI. В раскрывающемся меню AWG A Shape выберите Square. В раскрывающемся меню AWG B Mode выберите режим Hi-Z.

Рассчитайте приложенную частоту, используя уравнение (2) для tp = 5t.

4. В раскрывающемся меню «Кривые ALICE» выберите для отображения CA- V , CA-I и CB- V .В раскрывающемся меню «Триггер» выберите CA- V и Auto Level. Отрегулируйте развертку до тех пор, пока на сетке дисплея не будет примерно двух периодов прямоугольной волны.

Рисунок 6: Конфигурация осциллографа.

Эта конфигурация позволяет осциллографу отслеживать входное напряжение цепи и ток через катушку индуктивности на канале A, а также выходное напряжение схемы на канале B. Убедитесь, что вы проверили селектор Sync AWG.

5. Сигнал V _R имеет ту же форму, что и сигнал I _L (t). Из В _R измерьте постоянную времени t и сравните с той, которую вы рассчитали из L / Rtotal.