Site Loader

Содержание

Инерция моменті Инерция тензоры | Презентация

әл Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университеті
Физика-техникалық факультеті

Инерция моменті
Инерция тензоры

Орындаған: Бижанова С.Б

Алматы 2015
Инерция моменті – денені құраушы әрбір бөлшектің массасы мен бөлшектен
оське дейінгі қашықтық квадраты көбейтінділерінің қосындысына тең
физикалық шама.
N
I mi Ri2
i 1

Инерция моменті – аддитивтік қасиеті бар скалярлық шама. Бұл кез – келген
дененің өзіндік ішкі қасиеті бар, яғни масса сияқты дененің айналануына
байланыссыз қолданылады. Кез келген дененің, оның тыныштық қалпына не
айналып тұрғанына қарамастан, анықталған оське сәйкес белгілі инерция
моменті бар.
Таңдап алған оське сәйкес инерция моменті тек дене массасына тәуелді
емес,сонымен қатар массаның оське салыстырмалы үлестірілуіне де тәуелді.
Мысалы дене бөлшектерін осьтен алыстата отырып, дене инерция моментін
өсіреміз.
Халықаралық бірліктер жүйесінде инерция моментінің өлшемдігі кг м

Осьтік инерция моменті
Механикалық жүйеде инерция моментін қозғалмайтын оське сәйкес
(Осьтік инерция моменті) Ja шамасымен белгілейді, Тұтас дененің
инерция моментін есептеу үшін оны әуелі жеткілікті кішкентай б өл-
шектерге бөліп, әр бөлшектің оське дейінгі қашықтығын анықтау
керек. Содан кейін әр бөлшектің массасын оське дейінгі сол б өлшек-
ке сәйкес қашықтық квадратына көбейтіп, барлық көбейтінділерді
қосу нәтижесінде толық инерция моментін аламыз.

мұнда mi — i-нүктесінің массасы,
ri -і-нүктесінен оське дейінгі қашықтық.
Қатты дене үшін инерция моменті:

мұнда r — dm масса элементінен айналу осіне дейінгі қашықты қ.
ρ – тығыздық,
Кейбір денелердің осьтік инерция моменті

Сыртқы күштер жоқ жағдайда дене айналғанда
өзінің кеңістіктегі орнын сақтайтын осьті дененің
еркін осі деп атайды.
Пішіні қандай болса да, массасы кездейсоқ
үлестірілген кез – келген дене үшін оның инерция
центрі арқылы өтетін және оның еркін осьтері бола
алатын үш өзара перпендикуляр осьті көрсетуге
болады. Оларды денеің центрлік бас инерция
осьтері деп атайды. Центрлік бас осьтерге сәйкес
инерция моменттерін дене инерциясының центрлік
бас моменттері деп атайды. Төменгі суретте
параллелепипед, цилиндр және шар үшін
бейнеленген.

Біртекті параллелепипед-
те центрлік бас инерция
осьтері қарсы жақтардың
центрлері арқылы өтеді,
яғни барлық үш ось
дененің анықталған
нүктелері арқылы жүреді.
Параллелепипедтің Параллелепипедтің центрлік
центрлік бас моменттері бас инерция осьтері

I1 I 2 I 3

Осьтік симметриясы бар
денеде (біртекті цилиндрде)
тек бір ось қана – симметрия
осі бекітілген. Қалған екі ось
ретінде дене инерция центрі
арқылы өтетін, симметрия
осіне перпендикуляр жазық
бетінде жатқан кез келген
өзара перпендикуляр екі
бағыт алынуы мүмкін.
Цилиндрдің центрлік бас
Цилиндрдің центрлік
моменттері I1 I 2 ; I 2 I 3 бас инерция осьтері

Шарда бас инерция
осьтері инерция центрі
арқылы өтіп, өзара
перпендикуляр үш
симметрия осі бойында
жатады. Шардың центрлік
бас моменттері I1 I 2 I 3

Шардың центрлік
бас инерция осьтері

ГЮЙГЕНС – ШТЕЙНЕР ТЕОРЕМАСЫ
Көптеген жағдайда инерция моментін есептеуді жеңілдету үшін
Гюйгенс – Штейнер теоремасын, нүктеге сәйкес иенрция
моменті түсінігін, массалардың жазық үлестірілуін, т.б.
Мүмкіндіктерді қолданған қолайлы. Бұл теорема бойынша, кез
келген оське салыстырмалы инерция моментін есептеу дененің
инерция центрі арқылы өткен оське сәйкес инерция моментін
есептеумен айырбасталады. Гюйгенс – Штейнер теоремасы
былай тұжырымдалады: Кез келген оське қарағандағы I
инерция- моменті сол оське параллель және дененің инерция
центрі арқылы өткен басқа өске сәйкес Iс инерция моменті
мен денеің m толық массасының осьтер арасындағы d
қашықтық квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең.

Мұнда m-дененің толық массасы

Кейбір симметриялы біртекті денелердің инерция моменттері

Импульс моменті мен инерция моменті арасындағы байланыс
N
L mi Ri2 — Импульс моменті (2)
i 1

L I (3)

Тұйық жүйелер үшін (3)-өрнек маңызды қорытындыларға әкеледі.
Мысалы, оқшауланған жү
Lйе үшін , яғни I
const const

Демек, жүйеде масса үлестірілуінің өзгеуі мүмкін болса, басқаша айтқанда,
инерция моменті өзгерсе, бұл бұрыштық жылдамдықтың өзгеруіне себеп
болады.

Мысалы, биші тік осьті баяу айнала бастасын. Бұл кезде
оның қолы мен аяғы айналу осіне перпендикуляр
жағдайда болады. Мұндай күйге бишінің шамасы үлкен
инерция моментіI1 мен кішкентай бұрыштық
жылдамдығы 1 сәйкес. Енді, егер биші бастапқыда
перпендикуляр орналасқан аяқ қолдарын айналу осіне
параллель қалыпқа келтірсе,I 2 оның инерция
моменті азайып, импульс моментінің сақталу заңына
сәйкес бұрыштық жылдамдығы өсуге тиіс. Осылай қол
мен аяқтың орналасуын өзгерте отырып, айналудың
бұрыштық жылдамдығын реттеуге болады.

Спасибо за внимание

Жай денелердің инерция моменттерін есептеу. Күш моменті және инерция моменті

Қозғалмайтын оське қатысты («инерцияның осьтік моменті») мән деп аталады J aбарлығының массаларының көбейтінділерінің қосындысына тең nжүйенің материалдық нүктелері олардың оське дейінгі арақашықтықтарының квадраттарына:

  • m i— салмақ мен-шы нүкте,
  • r i— қашықтық меноське дейінгі нүкте.

Осьтік инерция моментідене J a— дененің массасы трансляциялық қозғалыс кезінде оның инерциясының өлшемі сияқты, осьтің айналасында қозғалатын дененің инерциясының өлшемі.

Егер дене біртекті болса, яғни оның тығыздығы барлық жерде бірдей болса, онда

Гюйгенс-Штайнер теоремасы

Инерция моментікез-келген оське қатысты қатты дененің дененің массасына, формасына және мөлшеріне ғана емес, сонымен қатар дененің осы оське қатысты орналасуына байланысты болады. Штайнер теоремасы бойынша (Гюйгенс-Штайнер теоремасы) инерция моментідене Джерікті оське қатысты қосындыға тең инерция моменті

бұл дене J cқарастырылып отырған оське параллель дене массасының центрі арқылы өтетін оське және дене массасының көбейтіндісіне қатысты мшаршы қашықтыққа г.осьтер арасында:

жалпы дене салмағы қайда.

Мысалы, таяқтың оның ұшынан өтетін оське қатысты инерция моменті:

Кейбір денелердің осьтік инерция моменттері

Формулаларды шығару

Жіңішке қабырғалы цилиндр (сақина, шеңбер)

Формула шығару

Дененің инерция моменті оны құрайтын бөліктердің инерция моменттерінің қосындысына тең. Жіңішке қабырғалы цилиндрді массасы бар элементтерге бөліңіз дмжәне инерция моменттері dJ i… Содан кейін

Жұқа қабырғалы цилиндрдің барлық элементтері айналу осінен бірдей қашықтықта болғандықтан, формула (1) түрге айналады

Қалың қабырғалы цилиндр (сақина, шеңбер)

Формула шығару

Сыртқы радиусы бар біртекті сақина болсын R, ішкі радиус R 1, қалың сағжәне тығыздығы ρ. Енді оны жуан сақиналарға бөлейік доктор… Радиусы жіңішке сақинаның массасы мен инерция моменті рболады

Қалың сақинаның инерция моментін ажырамас ретінде табамыз

Сақинаның көлемі мен массасы тең болғандықтан

біз сақинаның инерция моментінің соңғы формуласын аламыз

Біртекті диск (қатты цилиндр)

Формула шығару

Цилиндрді (дискіні) нөлдік ішкі радиусы бар сақина ретінде қарастыру ( R 1 = 0), біз цилиндрдің (дискінің) инерция моментінің формуласын аламыз:

Қатты конус

Формула шығару

Конусты жуан дискілерге бөлейік dhконустың осіне перпендикуляр. Мұндай дискінің радиусы мынада

қайда R— конус табанының радиусы, H— конустың биіктігі, сағКонустың жоғарғы жағынан дискіге дейінгі арақашықтық. Мұндай дискінің массасы мен инерция моменті болады

Интеграциялау, біз аламыз

Қатты біртекті шар

Формула шығару

Допты жуан дискілерге бөлейік dhайналу осіне перпендикуляр. Биіктігінде орналасқан осындай дискінің радиусы сағсфера центрінен формула бойынша табамыз

Мұндай дискінің массасы мен инерция моменті болады

Сфераның инерция моментін интегралдау арқылы табамыз:

Жіңішке қабырғалы сфера

Формула шығару

Шығару үшін радиусы біртекті шардың инерция моментінің формуласын қолданамыз R:

Шардың инерция моменті қаншалықты өзгеретінін есептейік, егер ρ тұрақты тығыздығында оның радиусы шексіз аз мөлшерге ұлғаяды dR.

Жіңішке таяқша (ось центр арқылы өтеді)

Формула шығару

Өзекшені ұзындықтың кішкене бөліктеріне бөліңіз доктор… Мұндай фрагменттің инерция массасы мен моменті тең

Интеграциялау, біз аламыз

Жіңішке таяқша (ось соңынан өтеді)

Формула шығару

Айналу осін штанганың ортасынан аяғына дейін жылжытқанда, штанганың ауырлық центрі оське қатысты қашықтыққа қарай қозғалады

л/ 2. Штайнер теоремасы бойынша жаңа инерция моменті тең болады

Планеталар мен олардың серіктерінің өлшемсіз инерция моменттері

Өлшемсіз инерция моменттері планеталар мен олардың серіктерінің ішкі құрылысын зерттеу үшін үлкен маңызға ие. Радиус денесінің өлшемсіз инерция моменті ржәне бұқара моның айналу осіне қатысты инерция моментінің арақашықтықта орналасқан қозғалмайтын айналу осіне қатысты бірдей массалы материалды нүктенің инерция моментіне қатынасына тең р(тең Мырза 2). Бұл мән массаның тереңдікке бөлінуін көрсетеді. Оны планеталар мен жер серіктерінде өлшеу әдістерінің бірі — берілген планетаның немесе жер серігінің айналасында ұшып жүрген АМС тарататын радиосигналдың доплерлік ығысуын анықтау. Жіңішке қабырғалы сфера үшін өлшемсіз инерция моменті 2/3 (~ 0,67) құрайды, біртекті сфера үшін — 0,4, ал аз болған сайын дененің массасы оның центріне көп шоғырланған. Мысалы, Айдың 0,4-ке жақын өлшемсіз инерция моменті бар (0,391-ге тең), сондықтан оны салыстырмалы түрде біртектес деп болжайды, оның тығыздығы тереңдікке қарай аз өзгереді. Жердің өлшемсіз инерция моменті біртекті шарға қарағанда аз (0,355-ке тең), бұл ондағы тығыз ядро ​​болуын қолдайтын дәлел.

Центрден тепкіш инерция моменті

Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінің осьтеріне қатысты дененің центрден тепкіш инерция моменттері келесі шамалар:

қайда х, жжәне з— көлемді дененің кішкене элементінің координаттары dV, тығыздығы ρ және жаппай

дм.

OX осі деп аталады дененің негізгі инерция осіегер центрден тепкіш инерция моменттері болса J xyжәне J xzбір уақытта нөлге тең. Дененің әр нүктесі арқылы үш негізгі инерция осін жүргізуге болады. Бұл осьтер өзара перпендикуляр. Дененің инерция сәттеріерікті нүктеде тартылған үш негізгі инерция осіне қатысты Oденелер деп аталады дененің негізгі инерция моменттері.

Дене массасының центрі арқылы өтетін негізгі инерция осьтері деп аталады дененің негізгі орталық инерция осьтері, және осы осьтерге қатысты инерция моменттері оның инерцияның негізгі орталық моменттері… Біртекті дененің симметрия осі әрқашан оның негізгі инерция осьтерінің бірі болып табылады.

Инерцияның геометриялық моменті

Геометриялық инерция моменті — форма кесіндісінің геометриялық сипаттамасы

мұндағы бейтарап оське қатысты орталық осьтен кез-келген қарапайым аймаққа дейінгі қашықтық.

Геометриялық инерция моменті материалдың қозғалуымен байланысты емес, ол тек қиманың қаттылық дәрежесін көрсетеді. Ол гирацияның радиусын, сәуленің ауытқуын, бөренелер, бағаналар бөлігін таңдауды және т.б. есептеу үшін қолданылады.

SI бірлігі m 4. Құрылыс есептеулерінде, металдың прокатында, әдебиетінде және ассортиментінде, атап айтқанда, ол см 4-те көрсетілген.

Бөлімнің кедергі сәті одан көрінеді:

.
Кейбір фигуралардың геометриялық инерция моменттері
Тік төртбұрыштың биіктігі мен ені:
Биіктігі мен ені сыртқы контур бойымен және ішкі контур бойымен және сәйкесінше тікбұрышты қорап-бөлім
Шеңбер диаметрі

Инерцияның орталық моменті

Инерцияның орталық моменті(немесе О нүктесіне қатысты инерция моменті) — бұл шама

Инерцияның орталық моментін негізгі осьтік немесе центрифугалық инерция моменттері арқылы көрсетуге болады:.

Инерция тензоры және инерция эллипсоиды

Массаның центрі арқылы өтіп, бағыты бірліктің векторымен берілген ерікті оське қатысты дененің инерция моменті квадраттық (білінді) түрінде ұсынылуы мүмкін:

(1),

инерция тензоры қайда. Инерция тензорының матрицасы симметриялы, өлшемдері бар және центрден тепкіш моменттердің компоненттерінен тұрады:

,
.

Сәйкес координаттар жүйесін таңдау арқылы инерция тензорының матрицасын қиғаш түрге келтіруге болады. Ол үшін тензор матрицасының өзіндік мәні есебін шешу керек:
,
инерция тензорының тиісті негізіне өтудің ортогональ матрицасы қайда. Өзінің негізінде координаталық осьтер инерция тензорының негізгі осьтері бойымен бағытталады, сонымен қатар инерция тензоры эллипсоидының негізгі жарты нүктелерімен сәйкес келеді. Шамалар — инерцияның негізгі моменттері. Өрнек (1) өзінің координаттар жүйесінде келесі түрге ие:

,

теңдеу қайдан алынады

Біз «бұл инертті», «инерциямен қозғалу», «инерция моменті» деген тіркестерді жиі естиміз. Бейнелі мағынада «инерция» сөзін бастамасыздық пен әрекеттің жоқтығы деп түсіндіруге болады. Бізді тікелей мағына қызықтырады.

Инерция дегеніміз не?

Анықтамаға сәйкес инерцияфизикада бұл денелердің сыртқы күштер болмаған жағдайда тыныштық немесе қозғалыс күйін сақтау қабілеті.

Егер инерция ұғымының өзінде интуитивті деңгейде бәрі түсінікті болса, онда инерция моменті— жеке сұрақ. Келісіңіз, сіздің ойыңызда бұл не екенін елестету қиын. Бұл мақалада сіз тақырып бойынша негізгі мәселелерді қалай шешуге болатындығын білесіз

«Инерция сәті».

Инерция моментін анықтау

Бұл мектеп курсынан белгілі масса — дене инерциясының өлшемі… Егер біз әр түрлі массадағы екі арбаны итерсек, соғұрлым қиын тоқтату қиын болады. Яғни, масса неғұрлым көп болса, соғұрлым дененің қозғалысын өзгерту үшін сыртқы әсер қажет болады. Мысалдағы арба түзу сызық бойымен қозғалғанда, ілгерілемелі қозғалысқа жатады.

Массалық және трансляциялық қозғалыспен ұқсастығы бойынша инерция моменті дегеніміз — ось айналасында айналмалы қозғалыс кезінде дененің инерциясының өлшемі.

Инерция моментіБұл скаляр физикалық шама, осьтің айналасында дененің инерттігінің өлшемі. Хатпен белгіленеді Дж және жүйеде

SI шаршы метрге көбейтілген килограммен өлшенеді.

Инерция моменті қалай есептеледі? Физикада кез-келген дененің инерция моменті есептелетін жалпы формула бар. Егер дене массасы бар шексіз кішкене бөліктерге бөлінсе дм , онда инерция моменті айналу осіне дейінгі арақашықтықтың квадратына осы қарапайым массалардың көбейтінділерінің қосындысына тең болады.

Бұл физикадағы инерция моментінің жалпы формуласы. Массаның материалдық нүктесі үшін м қашықтықта осьтің айналасында айналу р осы формула келесі форманы алады:

Штайнер теоремасы

Инерция моменті неге байланысты? Массадан, айналу осінің орналасуынан, дененің пішіні мен өлшемінен.

Гюйгенс-Штайнер теоремасы — есептер шығару үшін жиі қолданылатын өте маңызды теорема.

Айтпақшы! Біздің оқырмандар үшін қазір 10% жеңілдік бар

Гюйгенс-Штайнер теоремасында:

Дененің ерікті оське қатысты инерция моменті ерікті оське параллель масса центрі арқылы өтетін дененің оське қатысты инерция моментінің және дененің массасының квадратына көбейтіндісіне тең. осьтер арасындағы қашықтық.

Инерция моментін табу мәселелерін шешкен кезде үнемі интеграцияланғысы келмейтіндер үшін есептерде жиі кездесетін кейбір біртекті денелердің инерция моменттерін көрсететін фигураны ұсынамыз:


Инерция моментін табу есебін шешудің мысалы

Енді екі мысалды қарастырайық. Бірінші міндет — инерция моментін табу. Екінші тапсырма — Гюйгенс-Штайнер теоремасын қолдану.

Есеп 1. Массасы m және радиусы R. біртекті дискінің инерция моментін табыңыз. Айналу осі дискінің центрі арқылы өтеді.

Шешім:

Біз дискіні радиусы өзгеретін шексіз сақиналарға бөлдік 0 бұрын Rжәне осындай сақиналардың бірін қарастырыңыз. Оның радиусы болсын р, және массасы дм… Сонда сақинаның инерция моменті:

Сақинаның массасы келесі түрде ұсынылуы мүмкін:

Мұнда dz— сақинаның биіктігі. Массаны инерция моментінің формуласына қойып, интегралда:

Нәтижесінде абсолютті жұқа дискінің немесе цилиндрдің инерция моментінің формуласы алынады.

Есеп 2. Массасы m және радиусы R диск қайтадан болсын. Енді дискінің осьтерге қатысты инерция моментін оның бір радиусының ортасынан өтетінін табу керек.

Шешім:

Массаның центрі арқылы өтетін оське қатысты дискінің инерция моменті алдыңғы есептерден белгілі болды. Біз Штайнер теоремасын қолданамыз және мыналарды табамыз:

Айтпақшы, біздің блогта сіз физика және басқа да пайдалы материалдарды таба аласыз.

Осы мақалада сізге пайдалы нәрсе табады деп үміттенеміз. Егер инерцияны есептеу процесінде қиындықтар туындаса, студенттерге қызмет көрсету туралы ұмытпаңыз. Біздің мамандар кез-келген мәселе бойынша кеңес беріп, мәселені бірнеше минут ішінде шешуге көмектеседі.

Қатты дене Z осінің айналасында айналсын (6-сурет). Оны әр түрлі радиусы бар шеңбер бойымен қозғалатын, уақыт бойынша өзгермейтін m i әртүрлі материалдық нүктелер жүйесі ретінде ұсынуға болады. r i Z осіне перпендикуляр жазықтықта жатқан.Барлық материалдық нүктелердің бұрыштық жылдамдықтары бірдей. Дененің Z осіне қатысты инерция моменті дегеніміз шама:

қайда — OZ осіне қатысты жеке материалдық нүктенің инерция моменті. Анықтамадан инерция моменті екендігі шығады қоспа мөлшері, яғни дененің бөлек бөліктерден тұратын инерция моменті бөліктердің инерция моменттерінің қосындысына тең.

6-сурет

Әрине, [ Мен] = кг × м 2… Инерция моментінің маңыздылығы үш формулада көрсетілген:

; ; .

Олардың біріншісі дененің қозғалмайтын Z осі бойынша айналатын бұрыштық импульсін білдіреді (бұл формуланы дененің импульсінің өрнегімен салыстыру пайдалы P = мВ c, қайда V cМасса центрінің жылдамдығы ма). Екінші формула дененің қозғалмайтын осьтің айналасында қозғалу динамикасының негізгі теңдеуі, яғни басқаша айтқанда, айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның екінші заңы деп аталады (масса центрінің қозғалыс заңымен салыстырыңыз: ). Үшінші формула қозғалмайтын осьтің айналасында айналатын дененің кинетикалық энергиясын білдіреді (бөлшектің кинетикалық энергиясының өрнегімен салыстыруға болады) ). Формулаларды салыстыру айналмалы қозғалыстағы инерция моменті дененің инерция моменті неғұрлым көп болса, бұрыштық үдеу аз болады, ал басқа заттар тең болса, ол ( денені, бейнелеп айтқанда, шешіп алу қиынырақ). Шындығында инерция моменттерін есептеу үштік интегралды есептеуге дейін азаяды және тек симметриялы денелердің шектеулі саны үшін және симметрия осьтері үшін ғана орындалуы мүмкін. Дене айнала алатын осьтер саны шексіз көп. Барлық осьтердің ішінде дененің керемет нүктесінен өтетін — масса орталығы (нүктенің қозғалысын сипаттау үшін жүйенің бүкіл массасы массаның центрінде шоғырланған және осы нүктеге барлық күштердің қосындысына тең күш түсірілген деп елестету жеткілікті). Сонымен қатар массалар центрі арқылы өтетін шексіз көп осьтер бар. Кез-келген еркін формадағы қатты дене үшін үш өзара перпендикуляр осьтер болады екен C x, C y, C zдеп аталады еркін айналу осьтері , керемет қасиетке ие: егер денені осы осьтердің кез-келгенін айналдырып, жоғары лақтырса, онда дененің келесі қозғалысымен ось өзіне параллель болып қалады, яғни. құламайды. Басқа осьтің айналасында бұралу мұндай қасиетке ие емес. Көрсетілген осьтерге қатысты типтік денелердің инерция моменттерінің мәні төменде келтірілген. Егер ось масса центрі арқылы өтсе, бірақ осьтермен а, b, g бұрыштарын жасаса C x, C y, C zсәйкес, осындай оське қатысты инерция моменті

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Ең қарапайым денелер үшін инерция моментін есептеуді қысқаша қарастырайық.

1.Ұзын жіңішке біртекті өзектің оське қатысты инерция моменті өзек массасының центрінен өтетін және оған перпендикуляр.

Болсын T —өзек массасы, л —оның ұзындығы.

,

Индекс « бірге«Инерция сәтінде Мен түсінемінбұл масса центрінің (дененің симметрия орталығы) нүктесінен өтетін оське қатысты инерция моменті, C (0,0,0).

2. Жіңішке тік бұрышты пластинаның инерция моменті.

; ;

3. Тік бұрышты параллелепипедтің инерция моменті.


, т.С (0,0,0)

4. Жіңішке сақинаның инерция моменті.

;

, т.С (0,0,0)

5. Жіңішке дискінің инерция моменті.

Симметрияға байланысты

; ;

6. Қатты цилиндрдің инерция моменті.

;

Симметрияға байланысты:


7. Қатты шардың инерция моменті.

, т.С (0,0,0)

8. Қатты конустық инерция моменті.


, т C (0,0,0)

қайда R— базалық радиус, сағ— конустың биіктігі.

Естеріңізге сала кетейік, cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Егер O осі масса центрінен өтпейтін болса, онда дененің инерция моментін Гюйгенс Штайнер теоремасы арқылы есептеуге болады.

Мен шамамен = I c + md 2, (**)

қайда Мен туралы— дененің ерікті оське қатысты инерция моменті, Мен— масса центрі арқылы өтетін параллель оське қатысты инерция моменті,
м
— дене массасы, г.— осьтер арасындағы қашықтық.

Ерікті оське қатысты стандартты пішіндегі денелер үшін инерция моменттерін есептеу процедурасы келесіге дейін азаяды.

Енді мәселені қарастырайық инерция моментін анықтауәртүрлі денелер. Жалпы инерция моментін табудың формуласы z осіне қатысты нысанның формасы болады

Басқаша айтқанда, олардың әрқайсысын оське дейінгі арақашықтықтың квадратына көбейтіп, барлық массаларды қосу керек (x 2 i + y 2 i). Бұл тіпті 3D қатты денеге де қатысты екенін ескеріңіз, бірақ қашықтық осындай «2D көрінісі» болса да. Алайда, көп жағдайда біз екі өлшемді денелермен шектелетін боламыз.

Қарапайым мысал ретінде, оның ұшынан өтетін және оған перпендикуляр болатын осьтің айналасында айналатын өзекшені қарастырайық (19.3-сурет). Біз енді x массаның квадраттарына көбейтілген барлық массаларды қорытындылауымыз керек (бұл жағдайда барлық у нөлге тең). Қосындысы бойынша, әрине, мен массаның «элементтеріне» көбейтілген х 2 интегралын айтамын. Егер таяқшаны dx ұзындық бөліктеріне бөлсек, онда сәйкес масса элементі dx-ке пропорционал болады, ал егер dx бүкіл өзектің ұзындығы болса, онда оның массасы М-ге тең болады.

Инерция моментінің өлшемі әрдайым ұзындықтың квадратының массаның көбейтіндісіне тең болады, сондықтан біз есептеген жалғыз маңызды шама 1/3 коэффициент болып табылады.

Ал егер айналу осі таяқшаның ортасынан өтсе, I инерция моменті қандай болады? Оны табу үшін қайтадан интегралды қабылдау керек, бірақ бұл жолы –1 / 2L-ден + 1 / 2L-ге дейін. Алайда, бұл істің бір ерекшелігіне назар аударыңыз. Орталықтан өтетін осі бар өзекшені ұшынан өтетін осьті екі өзек деп санауға болады, ал олардың әрқайсысының массасы M / 2-ге, ал ұзындығы L / 2-ге тең. Осындай екі өзекшенің инерция моменттері өзара тең және (19.5) формула бойынша есептеледі. Демек, бүкіл өзектің инерция моменті мынада

Осылайша, штанганы аяғына қарағанда ортасында бұрау әлдеқайда жеңіл.

Әрине, бізді қызықтыратын басқа денелердің инерция моменттерін есептеуді жалғастыра беруге болады. Бірақ мұндай есептеулер интегралдарды есептеудің үлкен тәжірибесін қажет ететіндіктен (бұл өте маңызды), сондықтан олар біз үшін онша қызық емес. Алайда мұнда өте қызықты және пайдалы теоремалар бар. Дене бар делік және біз оны білгіміз келеді оське қатысты инерция моменті… Демек, біз осы осьтің айналасында айналғанда оның инерциясын тапқымыз келеді. Егер денені өз массасының центрін қолдайтын таяқшамен осьтің айналасында айналмайтындай етіп қозғалсақ (бұл жағдайда оған инерция күштерінің моменттері әсер етпейді, сондықтан біз оны қозғала бастағанда дене айналмайды ), сондықтан оны айналдыру үшін сізге барлық бірдей масса массаның центрінде шоғырланған және инерция моменті I 1 = MR 2 c.m-ге тең болатындай күш қажет болады. , мұндағы R c.m — масса центрінен айналу осіне дейінгі қашықтық. Алайда, бұл формула, әрине, дұрыс емес. Бұл денеге дұрыс инерция моментін бермейді. Шынында да, шын мәнінде, бұрылыс кезінде дене айналады. Массаның центрі ғана айналмайды (бұл I 1 мәнін береді), дененің өзі де масса центрінде айналуы керек. Сонымен, I 1 инерция моментіне I c — масса центріне қатысты инерция моментін қосу керек. Дұрыс жауап кез-келген оське қатысты инерция моменті болады

Бұл теорема параллель осьті аудару теоремасы деп аталады. Дәлелдеу өте оңай. Кез келген оське қатысты инерция моменті x және y квадраттарының қосындысына көбейтілген массалардың қосындысына тең, яғни I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Енді біз x-ге назар аударамыз, бірақ y үшін бәрін қайталауға болады. Х координатасы берілген нақты нүктенің координаталардың басынан қашықтығы болсын; алайда, егер массаның центрінен x-нің басынан қашықтықты өлшеудің орнына заттардың қалай өзгеретінін көрейік. Мұны білу үшін біз жазуымыз керек
x i = x` i + X c.m.
Осы өрнекті квадраттау арқылы біз табамыз
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 ц.м.

Егер сіз оны m i-ге көбейтіп, барлық r-ді қоссаңыз не болады? Жиынтық белгісінен тыс тұрақтыларды алып, біз табамыз

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Im i

Үшінші соманы есептеу оңай; бұл жай MX 2 ц.м. … Екінші мүше екі фактордан тұрады, оның бірі Σm i x` i; ол масса центрінің x`-координатасына тең. Бірақ бұл нөлге тең болуы керек, өйткені x` масса центрінен өлшенеді, ал осы координаталық жүйеде барлық бөлшектердің олардың массаларымен өлшенген орташа жағдайы нөлге тең. Бірінші термин, анық, I-ден x-ге дейінгі бөлік. Осылайша, біз (19.7) формулаға келеміз.

(19.7) формуласын бір мысалмен тексерейік. Тек таяқшаға қатысты екенін тексерейік. Біз өзекшенің оның ұшына қатысты инерция моменті ML 2/3-ке тең болу керек екенін анықтадық. Ал таяқша массасының центрі, әрине, L / 2 қашықтықта орналасқан. Осылайша, біз ML 2/3 = ML 2/12 + M (L / 2) 2 болатынын алуымыз керек. Төрттен бірі + он екіншіден = үштен бірі болғандықтан, біз өрескел қателік жібермедік.

Айтпақшы, инерция моментін табу үшін (19,5) интегралды есептеу мүлдем қажет емес. Мұны ML 2-ге, белгісіз γ коэффициентіне көбейткенге тең деп қабылдауға болады. Осыдан кейін сіз екі жарты туралы пайымдауды қолданып, инерция моментіне (19.6) 1 / 4γ коэффициентін аласыз. Енді осьтің параллель аудармасы туралы теореманы қолданып, γ = 1 / 4γ + 1/4, мұндағы γ = 1/3 екенін дәлелдейміз. Сіз әрқашан айналма жолды таба аласыз!

Параллель осьтерге теореманы қолданғанда I q осі оське параллель болуы керек екенін ескерген жөн, оған қатысты біз инерция моментін есептегіміз келеді.

Мүмкін, денелердің кейбір түрлерінің инерция моментін табуда өте пайдалы тағы бір қасиетті атап өткен жөн шығар. Ол мыналардан тұрады: егер бізде жазық фигура және координаталық осьтердің үштігі осы жазықтықта орналасқан және z осі оған перпендикуляр бағытталған болса, онда бұл фигураның z осіне қатысты инерция моменті тең болады х және у осьтеріне қатысты инерция моменттерінің қосындысы … Дәлелдеу өте қарапайым. байқаңыз, сол

Біртекті тікбұрышты пластинаның инерция моменті, мысалы, массасы M, ені ω және ұзындығы L перпендикуляр осіне қатысты және оның центрінен өтетін оське қатысты

өйткені пластинаның жазықтығында жатқан және оның ұзындығына параллель орналасқан оське қатысты инерция моменті Mω 2/12-ге тең, яғни ω ұзындықтағы өзекшемен бірдей, ал басқа оське қатысты инерция моменті бірдей жазықтық ML 2/12 ұзындығы L штангаға тең.

Сонымен, z осі деп атайтын берілген оське қатысты инерция моментінің қасиеттерін келтірейік:

1. Инерция моменті болып табылады

2. Егер зат бірнеше бөліктен тұрса және олардың әрқайсысының инерция моменті белгілі болса, онда жалпы инерция моменті осы бөліктердің инерция моменттерінің қосындысына тең болады.
3. Кез келген берілген оське қатысты инерция моменті массаның центрінен өткен параллель оське қатысты инерция моментіне тең, осінің массасы берілген осьтің масса центрінен қашықтығының квадратына көбейтіндісін қосады. .
4. Жазық фигураның оның жазықтығына перпендикуляр оське қатысты инерция моменті фигура жазықтығында жатқан және перпендикуляр осьпен қиылысқан кез келген басқа екі перпендикуляр осьтерге қатысты инерция моменттерінің қосындысына тең.

Кесте 19.1 массаның тығыздығы біршама қарапайым кейбір фигуралардың инерция моменттерін кестеде көрсетеді. 19.2 — кестеден алуға болатын кейбір фигуралардың инерция моменттері. 19.1 жоғарыда аталған қасиеттерді пайдалану.

Дененің оське және нүктеге қатысты инерция моменті. Материалдық нүктенің оське қатысты инерция моменті нүктенің оське дейінгі арақашықтық квадратына көбейтіндісіне тең болады. Дененің оське қатысты инерция моментін табу үшін (материяның үздіксіз үлестірілуімен) оны ойша бөлшектеу керек, сондықтан оларды әрқайсысы шексіз аз массаның материалдық нүктесі деп санауға болады. дм = dV. Сонда дененің оське қатысты инерция моменті дененің көлемінің интегралына тең болады:

қайда р— элемент арақашықтық дмоське дейін.

Дененің оське қатысты инерция моментін есептеу, егер оны алдымен есептесеңіз, көбінесе жеңілдетіледі нүктеге қатысты инерция моменті. Ол (1) -ге ұқсас формула бойынша есептеледі:

(2)

қайда р— элемент арақашықтық дмтаңдалған нүктеге дейін (қатысты ). Осы нүкте координаталар жүйесінің бастауы болсын X, Y, З(сурет 1). Элемент арақашықтық дмосьтерді үйлестіру үшін X, Y, З және шығу тегі сәйкесінше тең ж 2 + з 2 , з 2 + х 2 , х 2 + ж 2 , х 2 + ж 2 + з 2 … Дененің осьтерге қатысты инерция моменттері X, Y, Зжәне шығу тегіне қатысты

Осы қатынастардан мыналар туындайды

Осылайша, дененің бір нүкте арқылы өтетін кез келген өзара перпендикуляр осьтерге қатысты инерция моменттерінің қосындысы дененің осы нүктеге қатысты инерция моментінің екі есе тең.

Жіңішке сақинаның инерция моменті. Сақинаның барлық элементтері дм(Cурет 2) сақина радиусына тең бірдей қашықтықта орналасқан R, оның симметрия осінен (Y осі) және оның ортасынан. Y осіне қатысты сақинаның инерция моменті

(4)

Жіңішке дискінің инерция моменті. Массасы жұқа біртекті диск болсын мконцентрлі тесікпен (3-сурет) ішкі және сыртқы радиустары бар R 1 және R 2 … Дискіні ойша радиустың жұқа сақиналарына бөлейік р, қалыңдық доктор… Осындай сақинаның оське қатысты инерция моменті Y(3-сурет, ол фигураға перпендикуляр және көрсетілген емес), (4) сәйкес:

Дискінің инерция моменті:

(6)

Атап айтқанда, (6) R 1 = 0, R 2 = R, жіңішке үздіксіз біртекті дискінің осіне қатысты инерция моментін есептеу формуласын аламыз:

Дискінің оның симметрия осіне қатысты инерция моменті дискінің қалыңдығына байланысты емес… Сондықтан (6) және (7) формулаларды қолдана отырып, сәйкес цилиндрлердің олардың симметрия осьтеріне қатысты инерция моменттерін есептеуге болады.

Жұқа дискінің центріне қатысты инерция моменті де (6) формуламен есептеледі, = Дж ж , және осьтерге қатысты инерция моменттері Xжәне Збір-біріне тең, Дж х = Дж з… Сондықтан, (3) сәйкес: 2 Дж х + Дж ж = 2 Дж ж , Дж х = Дж ж /2, немесе

(8)

Цилиндрдің инерция моменті. Массасы қуыс симметриялы цилиндр болсын м, ұзындығы сағ, ішкі және сыртқы радиустары тең R 1 және R 2 … Оның оське қатысты инерция моментін табайық Зцилиндр осіне перпендикуляр масса центрі арқылы жүргізілген (4-сурет). Мұны істеу үшін оны ойша ұсақ қалыңдығы бар дискілерге бөліңіз dy… Бұл дискілердің бірі, салмағы дм = mdy/ сағқашықтықта орналасқан жшығу тегінен күріш көрсетілген. 4. Оның оське қатысты инерция моменті З, (8) сәйкес және Гюйгенс — Штайнер теоремасы

Бүкіл цилиндрдің инерция моменті

Цилиндрдің оське қатысты инерция моменті З(маятниктің айналу осьтерін) Гюйгенс — Штайнер теоремасы табады

қайда г.— цилиндр массасының центрінен оське дейінгі арақашықтық З… 16 сілтемеде осы инерция моменті ретінде белгіленеді Дж c

(11)

КВАДРАТТАРДЫҢ ЕҢ ЖОҚ

Тәжірибелік нүктелерді салу және оларға «көзбен» графикті салу, сонымен қатар графиктен нүктелердің абциссасы мен ординаталарын анықтау жоғары дәлдікпен ерекшеленбейді. Оны аналитикалық әдісті қолдану арқылы жақсартуға болады. Графикті салудың математикалық ережесі форманың сызықтық қатынасында «а» және «б» параметрлерінің осындай мәндерін таңдау болып табылады y = ax + б квадраттық ауытқулардың қосындысы болатындай етіп кезінде мен (5-сурет) графикалық сызықтан барлық эксперименттік нүктелер ең кішісі болды ( ең кіші квадрат әдісі «), яғни сондықтан мән

(1)

Инерция моменті Инерция тензоры — PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

ДЕНЕЛЕРДІҢ ЕРКІН ТҮСУІ

ДЕНЕЛЕРДІҢ ЕРКІН ТҮСУІ Денелердің еркін түсуі деп ауа кедергісі болмағандағы денелердің Жерге түсуін айтады. XVI ғасырдың аяғында ұлы итальян Г. Галилей тәжірибелік жолмен сол заманға сай уақыт дәлдігімен

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНЫҢ ҚАУЫМДАСТЫҒЫ А. ТҮСІПОВ С. ТҮСІПОВА МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ ОҚУЛЫҚ Екінші басылым. Өңделген Алматы, 01 1 ƏОЖ 53 (075.8) КБЖ.3 я 73 Т90 Қазақстан Республикасының

Διαβάστε περισσότερα

Математика талапкерге

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Жәңгір хан атындағы Батыс Қазақстан аграрлықтехникалық университеті Математика талапкерге (Оқу-әдістемелік құрал) Орал 2013ж. УДК 1(0) ББК 22.1 М

Διαβάστε περισσότερα

ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛЫҚ

Әдістемелік нұсқаулық Нысан ПМУ ҰС Н 78/5 Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі С Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті Математика кафедрасы Математикалық талдау пәнді

Διαβάστε περισσότερα

Жарық Интерференциясын зерттеу

А.Байтұрсынов атындағы Қостанай мемлекеттік университеті Электроэнергетика және физика кафедрасы Г.Асанова Жарық Интерференциясын зерттеу Зертханалықжұмысты орындау бойынша әдістемелік нұсқаулары Қостанай,

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКАНЫҢ АРНАЙЫ ТАРАУЛАРЫ

Коммерциялық емес акционерлік қоғам АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ Физика кафедрасы ФИЗИКАНЫҢ АРНАЙЫ ТАРАУЛАРЫ 5В73- Ақпараттық жүйелер мамандықтарының студенттеріне арналған дәрістер жинағы

Διαβάστε περισσότερα

Өткен тақырыпты. қайталау.

Өткен тақырыпты Физикалық шамаларды өлшем бірліктерімен тұтастырыңдар. Еркін түсу үдеуі g Тұрақты шамалар V 9,8 Н/кг Дене көлемі м 3 Жылдамдық Күш Уақыт Ұзындық Тығыздық қайталау. t кг/м 3 ϑ м/с ρ м F

Διαβάστε περισσότερα

ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ ШӘКӘРІМ атындағы СЕМЕЙ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ 3 деңгейлі СМЖ қҧжаты ПОӘК ПОӘК студентке арналған пәннің бағдарламасы «Дискретті математикалық логика».09.04

Διαβάστε περισσότερα

АВТОМАТТЫ БАСҚАРУ ТЕОРИЯСЫ

Коммерциялық емес акционерлік қоғам АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ Өнеркәсіп қондырғыларының электржетегі және автоматтандыру кафедрасы АВТОМАТТЫ БАСҚАРУ ТЕОРИЯСЫ 5В78 Электр энергетикасы

Διαβάστε περισσότερα

Инерция моменті — Студопедия

Денені? массасы мен оны? айналу центрінен денеге дейінгі ара ?ашы?ты?ыны? квадратыны? к?бейтіндісіне те? шаманы инерция моменті деп атайды.

Денені? инерция моменті, ол денені? ?андай оське ?атысты айнал?анына ж?не денені? массасыны? к?леміне ?алай орналас?анына байланысты. Инерция моменті ?р т?рлі пішіндегі денелерде ?рт?рлі болады.

Массасы барлы? к?лемге бірдей орналас?ан ж?не д?рыс геометриялы?

пішіні бар массасы m біртекті денелерді? инерция моменттері

Бір инерция моментінен екіншісіне ?ту Штейнер-Гюйгенс теоремасы бойынша орындалады, кез келген айналыс осіне ?атысты инерция моменті, сол оське ?атысты ауырлы? центрі ар?ылы ?тетін инерция моменті мен дене массасыны? осьтерді? ара ?ашы?ты?ыны? квадратына к?бейтіндісіне ?осындысын айтады:

Айналмалы ?оз?алыста?ы ?атты денені? кинетикалы? энергиясы:

Егер дене ?рі ілгерлемелі, ?рі айналмалы ?оз?алыста болса, онда толы? кинетикалы? энергия:

Айналмалы ?атты денені? динамикасыны? негізгі те?деуі.

Дене Dj б?рыш?а б?рыл?анда к?ш т?сірілген А н?ктесі DS до?асыны? ?зынды?ына жылжиды, сонда F к?шіні? істеген ж?мысы: ; м?нда?ы ; сонда


болады.

Егер M=Fr , болса ; б?дан денені? айналдыру ж?мысы кинетикалы? энергияны ?л?айту?а кетеді:

; я?ни ?орыта келгенде мына т?рдегі те?деу шы?ады: M=Je.

б?л те?деу айналмалы ?атты денені? ?оз?алыс динамикасыны? негізгі те?деуі болып табылады.

Импульс моменті ж?не са?талу за?дары.

 

Импульс моменті, ол векторлы? к?бейтіндісімен аны?талатын шама

?оз?алмайтын осьтен айнал?ан абсолют ?атты денені? ?рбір н?ктесіні? жылдамды?ы vi, импульс моменті болса, барлы? денені? импульс моменті:

ал к?ш моменті импульс моментіні? уа?ыт бойынша бірінші туындысы:

Т?йы? ж?йе ?шін импульс моменті уа?ыт а?ынымен ?згермейді:

Денені? ілгерлемелі ?оз?алысы мен ?атты денені?

айналмалы ?оз?алысын салыстырайы?:

?атты денені? деформациясы.

?атты денелерді? сырт?ы к?шті? ?серінен пішіні мен ?лшемін ?згертуін деформация деп атайды.

Серіппені? деформациясын ?арастыр?анда, оны? бірлік ауданына келетін к?шті? к?лдене? ?има?а ?атынасын кернеу деп атайды.

Денені? б?лшектеріні? бір-бірімен ?серлесуі н?тижесінде серіппені? барлы? к?лемі ?згеріске ?шырайды. Егер ?сер ететін к?ш бетке нормаль ба?ыттал?ан болса, кернеуді ?алыпты немесе нормаль кернеу деп атайды.


Егер к?ш бетке жанама ба?ыттал?ан болса, онда кернеу тангенсиал деп аталады.

Серіппені? деформациядан кейінгі ?заруын Dl, деформация?а дейінгі ?зынды?ына б?лсек, денені? салыстырмалы деформациясы шы?ады:

немесе салыстырмалы деформация кернеуге тура пропорционал: .

Материалды? серпімді ?асиеттерін ?арастыр?анда: деген шама ?олданылады, б?л шама серпімді модулі немесе Юнг модулі деп аталады.

Юнг модулін ?олданып салыстырмалы деформацияны мына т?рде жазу?а болады:

м?нда?ы a — материалды? таби?атына байланысты пропорционалды? коэффициенті, ол Пуассон коэффициенті деп аталады.

Юнг модуліні? ?лшем бірлігі – (Па)

Енді те?деуді те?естіре отырып, былай жазу?а болады:

б?дан — б?л Гук за?ы болып табылады.

Б?дан серпімді деформация кезінде серппені? ?заруы ?сер етуші к?шке тура пропорционал екендігі шы?ады, м?нда?ы k – пропорционалды? коэффициент немесе серпімділік коэффициенті деп аталады

Б?кіл?лемдік тартылыс за?ы.

Таби?атта барлы? денелер бірін-бірі тартады. Осы тартылу за?ын Ньютон аш?ан ж?не б?кіл?лемдік тартылыс за?ы деп атайды.

Б?л за? бойынша: екі материалды? н?ктені? тартылыс к?ші, осы н?ктені? массаларына тура пропорционал ж?не ара ?ашы?ты?ыны? квадратына кері пропорционал.

м?нда?ы g — пропорционалды? коэффициент, гравитациялы? т?ра?ты деп аталады, оны? шамасы g=6.672·10-11 H·м2/кг2, m1 ж?не m2 – денелерді? массалары, r – денелерді? ара ?ашы?ты?ы.

Космосты? жылдамды?тар.

Жерді айналып ?шу ?шін денені? ?зіндік жылдамды?ы болуы керек.

Бірінші космосты? жылдамды?: км/с


Екінші космосты? жылдамды?: км/с

?шінші космосты? жылдамды?: км/с,

Дене импульсінің моменті деп қандай шаманы айтады? Гироскоп дегеніміз не?

Гироскоп – шапшаң айналатын және айналу осі (симметрия осі) өзінің кеңістіктегі бағытын өзгерте алатын симметриялы қатты дене. Оның қарапайым мысалына балалар ойнайтын зырылдауық жатады. Гироскоптық әсер аспан денелерінде, кемеге орнатылған турбина роторында, ұшақ винтінде, т.б. байқалады.[1] Гироскоп — 1. өзі байланысқан айналымның санау жүйесін табуына арналған құрал; 2. тез айналатын қатты дене, оның айналу өсі кеңістікте өзінің жағдайын өзгерте алады.[2] Егер гироскоптың осіне моменті M=Ph-қа тең Р қос күші (h – қос күштің иіні) түсірілсе, онда гироскоп х осінің бағытымен емес, күтпеген бағытта, яғни у осінің бағытымен айнала бастайды. Сыртқы күштер әсер етпесе, гироскоп (грекше gyros – дөңгелек, gyruo – айналамын және skop – көремін, бақылаймын) еркін гироскоп деп аталады. Мысалы, ұшақпен, кемемен, ракетамен, т.б. қатынас көліктерімен тек кардан ілмесінің сақиналары арқылы байланысатын гироскоп еркін гироскоп болып саналады. Гироскопты әр түрлі қозғалыстарды басқару үшін қолдануға болады. Бірақ дәл теңгерілген гироскопты жасау – өте күрделі жұмыс. Гироскопты теңгеру, яғни оның ауырлық центрін кардан ілмесінің центрімен бір нүктеге келтіру өте үлкен дәлдікті қажет етеді. Қосымша жүк арқылы гироскоптың горизонталь осінің дүние тараптарына қарағандағы бағытын өзгертпеуге болады. Гироазимут деп аталатын мұндай гироскоп компас қызметін атқара алады. Гироазимут ұшақтарда, дәлірек айтқанда, магниттік компастың көрсетуі сенімсіз болатын полярлық аймақтарда ұшатын ұшақтарда (полярлық авиацияда) кеңінен қолданылады. Гироскоп ракета жылдамдығын анықтау үшін де пайдаланылады. Ішпектегі үйкеліс әсерінен дәл теңгерілген гироскопта да прецессия құбылысы пайда болады. Бұл прецессияның бұрыштық жылдамдығы ілме осіне әсер ететін үйкеліс моментінің шамасымен анықталады. Гироскоптың ең маңызды қызметінің бірі – оның көмегімен қозғалыстағы нысан үстіндегі денелердің ырғалуын тыныштандыру. Гироскоптық тыныштандырғыш құрылғылар автоұшқыштар мен авторульдерде пайдаланылады. Күрделі гироскоптар кеме сияқты үлкен нысандардың ырғалуын тыныштандыру үшін қолданылады.

І. Ұйымдастыру кезеңі. ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап

ч. 1
10-сынып.

Есептер шығару.

Сабақ мақсаты:

1. Оқушылардың «Кинематика» тарауы бойынша алған білімдерін есеп шығару барысында қолдана білуге үйрету.

2. Оқушыларды ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.

3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: сұрақ-жауап, өз бетімен жұмыс, тақтада жұмыс.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Өткен тарауға шолу, формулаларды еске түсіру.

ІІІ. Есептер шығару.

1-жаттығу. №5.

6.

7.


2-жаттығу. №1.


2.

3.


V. Қорытындылау.

VІ. Ба,ғалау.

VІІ. Үйге тапсырма: тарауды қайталау.
10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §§2.3. 2.4. Айналмалы қозғалыстың энергиясы. Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның ІІ заңы.Импульс моментінің сақталу заңы.

Сабақ мақсаты:


  1. Оқушыларға айналмалы қозғалыстың энергиясы, инерция моменті, Штейнер теоремасы, айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның ІІ заңы, импульстің сақталу заңы туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.

  3. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеомагнитафон

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ.


Инерция моменті дене массасының аналогі, оның инерттілігінің өлшемі


IV. Есептер шығару.

5-жаттығу.

3.

Берілгені: шешуі

m=100 кг әсерінен белдік үдеумен бірқалыпты

R=5 см кемімелі қозғалатын болады. М=FּμּR –үйкеліс күшінің

ν0=8 Гц моменті;

μ=0,3 -цилиндрдің инерция моменті.

F=40 H . Бірқалыпты кемімелі қозғалыс кезінде бұрыштық

жылдамдық заң бойынша өзгереді. Себебі :ω=0

t-? болғандықтан t=ω0/_ε=10,5 c


4.

Берілгені шешуі

R=1 м адам платформаның шетінен оның центріне өткенде, айналу жиілігін

ν=6 айн/мин анықтау үшін импульс моментінің сақталу заңы осы жағдайда

m=80 кг мына түрде жазылады:

J=120 кгּм 2 mR2 – адамның бастапқы күйдегі инерция моменті. ν=0,1 c-1

ω=? ескергенде:

6.

Берілгені: шешуі

R=10 см Энергияның сақталу заңы бойынша жұмсалатын бұл жағдайдағы

υ1=2 айн/сек жұмыс шардың кинетикалық энергиясының артуына кетеді:

υ =2 υ1

ρ=8900 кг/м3 Шардың инерция моменті , , еске-

ріп,

А=?
V. Қорытындылау.

VІ. Ба,ғалау.

VІІ. Үйге тапсырма:§2.3. 2.4. 5-жаттығу. №1, №2.
10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.5. Айналмалы қозғалыс үшін импульстік түрдегі Ньютонның екінші заңы. Импульс моментінің сақталу заңы.

Сабақ мақсаты:


  1. Оқушыларға дене импульсінің моменті, имульс моментінің сақталу заңы, гироскоп туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.

  3. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеомагнитафон.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.


  1. Инерция моменті дегеніміз не?

  2. Штейнер теоремасы дегеніміз не?

  3. Дененің инерция моменті қандай параметрлерге тәуелді?

  4. Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның екінші заңы қалай айтылады?

ІІІ. Жаңа сабақ.


дененің импульс моменті.

дененің импульс моменті. қорытқы импульс моменті

Айнымалы қозғалыс үшін импульс түріндегі Ньютонның екінші заңы: денелер жүйесіне түсірілген барлық сыртқы күштердің қорытқы импульс моменті жүйенің импульс моментінің өзгерісіне тең.

Импульс моментің сақталу заңы: тұйық жүйедегі импульс моменттерінің векторлық қосындысы тұрақты шама.

IV. Есептер шығару.5-ж. №5.

V. Қорытындылау.

VІ. Бағалау.

VІІ. Үйге тапсырма:§2.3. 2.4. 5-ж.№7

10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.6. Бүкіл әлемдік тартылыс заңы.

Сабақ мақсаты:


  1. Оқушыларға бүкіл әлемдік тартылыс заңы, гравитациялық тұрақтының физикалық мағынасы туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.

  3. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеомагнитафон.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.


  1. Дене импульсінің моменті деп қандай шаманы айтады?

  2. Импульс моментінің сақталу заңы қалай тұжырымдалады?

  3. Айналып тұрған платформаның шетіне ауыр дене қойғанда, оның бұрыштық жылдамдығы қалай өзгереді?

  4. Гироскоп деген не?

  5. Есептерді тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ.

-Жер радиусы

-Жерден Айға дейін қашықтық.

тәулік

; , осыдан ; R мен Т-ның мәндерін қойсақ, онда

; ал ,

осыдан немесе , демек центрге тартықш үдеу Жердің центріне дейінгі қашықтықтың квадратына кері пропорционал кемиді. Сонымен қатар F~Mm

~

немесе

G-гравитациялық тұрақты. G=6,673ּ10-11Нּм2/кг2

Бүкіл әлемдік тартылыс заңы: екі нүктелік денелер арасындағы өзара әрекеттесу күші олардың массаларының көбейтіедісіне тура пропорционал, ал ара қашықтығының квадратына кері пропорционал.

IV. Есептер шығару. Р:, 172, 173

V. Қорытындылау.

VI. Бағалау.

VII. Үйге тапсырма: §2.6. №169, №170

10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.7. Гравитациялық өрістегі дененің потенциалдық энергиясы.

§2.8.Кеплер заңдары.

Сабақ мақсаты:


  1. Оқушыларға ауырлық күшінің жұмысы мен гравитациялық өзара әрекетесудің потенциалдық энергиясымен байланысы, Кеплер заңдары туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.

  3. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.


  1. Бүкіл әлемдік тартылыс заңы қалай тұжырымдалады?

  2. Гравитациялық тұрақтының физикалық мағынасы қандай?

  3. Айдың Жерді айнала қозғалысын бақылай отырып, бүкіләлемдік тартылыс заңының дұрыстығын қалай дәлелдеуге болады?

  4. Есептердің шығарылуын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ.

гравитациялық өзара әректтесудің

потенциалдық энергиясы. Сонда немесе яғни ауырлық күшінің жұмысы қарама-қарсы таңбамен алынған потенциалдық энергияның өзгерісіне тең.

Ауырлық күшінің жұмысы дененің гравитациялық өрістегі қозғалыс траекториясының түріне тәуелсіз, тек оның бастапқы және соңғы орындарына ғана тәуелді.

Әртекті гравитациялық өрісте атқарылған жұмыс:


Массасы m0 дене Жер бер бетінен R1 қашықтықта болсын. күштің әрекетінен 2-орынға өтсін, онда оған күш әрекет етеді. деп алып, аурылқ күшінің жұмысын табамыз: . және . Сонда немесе
немесе

2-жағдайда ,

ендеше

Кеплер заңдары.

1. Әрбір планета Күнді эллипстік орбита бойымен айналып жүреді және оның фокустарының бірінде Күн тұрады.

2. Күнді планетамен жалғастырып тұратын түзу, бірдей уақыт аралығында бірдей аудандарды қамтып өтеді.

3. Барлық планеталар үшін эллипстің үлкен жарты осі кубының планетаның Күнді айналу периодының квадратына қатынасы бірдей болады:

IV. Есептер шығару. 6-ж. №1.

1. Берілгені Шешуі

Т1=365 тәулік Жердің Күнге құлаған уақытын табу үшін Кеплердің

үшінші заңын қолданайық. Осы жағдайда Жердің түсу

сызығы ε=1 қатты “сызылған» эллипстің шекті жағдайы

t=? деп санайық. Бұл жағдайда ;

R-Жер орбитасының радиусы, Т2-сығылған

эллипс бойынша Жердің айналу периоды.

тәулік, ал Жердің Күнге құлаған

уақыты тәулік.


V. Қорытындылау.

VI. Бағалау.

VII. Үйге тапсырма: §2.7. Гравитациялық өрістегі дененің потенциалдық энергиясы.

§2.8.Кеплер заңдары. 6-ж. №2.

2. Берілгені : шешуі

периодын Кеплердің үшінші заңынан анықтаймыз:


Т0=365 күн

Rж=1 аст. бір.

Rм=1,5 астр. бір.
t=?

, зымыранның Марсқа жету уақыты:

күн.

10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.9. Кеплер заңдарының математикалық негіздемесі.

Сабақ тақырыбы:

1. Планеталардың ортақ күштердің әрекетінен тек шеңбер бойымен ғана емес, сонымен қатар эллипс бойымен қозғала алатынын математикалық түрде негіздеу.

2. Оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, ой-өрісін дамыту.

3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: сұрақ-жауап, баяндау.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Үй тапсырмасы бойынша сұрақтар:

1. Пифагордың жақтаушыларына дүниенің құрылымы қандай болып көрінді?

2. Птолеймейше дүние қалай құрылған?

3. Коперник бойынша дүниенің гелиоцентрлік жүйесі дегеніміз не?

4. Кеплер заңдарын тұжырымдаңдар.

ІІІ. Жаңа сабақ түсіндіру.

Элиппстің негізгі қасиеттері.

Эллипс дегеніміз – берілген екі Ғ1, Ғ2 нүктелерден қашықтарының қосындысы тұрақты болып қалатын нүктелердің геометриялық орны.


МҒ1+МҒ2=2а – эллипстің үлкен осінің ұзындығы. А – эллипстің үлкен жарты осі.

│Ғ1Ғ2│=2с фокустардың ара қашықтығы фокус аралығы деп аталады. ВD=2b кесіндісі – эллипстің кіші осі.

ε=2с/2а немесе ε=с/а – эллипстің эксцентриситеті.

Егер энергияның және импульс моментінің сақталу заңдарын пайдалансақ, онда Кеплердің екінші заңын жеңіл математикалық негіздеуге болады.

егер сыртқы күштердің импульс моменті нольге айналса, яғни жүйе «Күн-планеталар», «планеталар-серіктер» жүйесін қанағаттандыратын тұйық болса, онда ∆L=0. ал бұл тұйық жүйеде импульс моменті шама жағынан да, бағыты жағынан да тұрақты дегенді білдіреді. Дөңгелек орбита үшін импульс моменті L=Rmυ. Бұл жағдайда R мен υ арасындағы бұрыш 900. Планетаның эллипс бойымен қозғалысы кезінде де импульс моментінің анықтамасы сол күйінде қалады, яғни L=Rmυ1, υ1=υsinα

∆МАС үшбұрыштың ауданы Осыдан

;

болғандықтан, немесе .

Бұл планетаның радиус векторын сызып өтетін ауданы. Ол секторлық жылдамдық деп аталады. Сонымен, плаетаның радиус векторы бірдей уақыт аралығында бірдей аудандарды сызып өтеді. Бұл Кеплердің ІІ заңы.

Кеплердің ІІІ заңын шеңбер бойымен қозғалыс үшін математикалық тұрғыдан негіздеу жеңіл. Массасы m планета Күнді айнала радиусы R шеңбер бойымен қозғалсын және М››m. Серіктің Жерді айналу периодын табайық.

, сонда

бұл Кеплердің ІІІ заңы.

ІV. Пысықтау.

V. Есептер шығару. 6-ж. №3.

VІ Үйге тапсырма.§2.9. 6-ж №4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.1. Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер.

Сабақ мақсаты:


  1. Оқушыларға тербелмелі контур, электромагниттік тербелістер, тербелмелі контурда электромагниттік тербелістердің пайда болу себептері туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.

  3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеокассеталар, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Жаңа сабақ.

Тербелмелі контур.

Тербелмелі контурда электромагниттік тербелістердің пайда болуы.

Идеал тербелмелі контурда энергия шығыны болмайды, сондықтан тербелістер өшпейді. Толық энергия сақталады және кез келген мезетте ол мынаған тең:

.

Бірақ, шын мәнінде R≠0, сондықтан өткізгіштер қызып энергия шығын болады. Біртіндеп электромагниттік тербелістердің энергиясы катушка мен жалғастырғыш сымдардың ішкі энергиясына айналады, энергия өшеді.

IV. Пысықтау.


  1. Тербелмелі контур деген не?

  2. Идеал тербелмелі контур дегеніміз не?

  3. Электромагниттік тербелістердің анықтамасын беріңдер.

  4. Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістердің толық энергиясы неге тең?

  5. Тербелмелі контурда электромагниттік тербелістер қалай пайда болады?

  6. Кедергісі нольге тең емес нақты тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер неге өшеді?

V.Есептер шығару. №1.1.5, №1.1.6, №1.1.7

VI. Қорытындылау.

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.1. Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер. №1.1.1, №1.1.2, №1.1.3 №1.1.4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.2. Еркін электромагниттік тербелістерді сипаттайтын теңдеулер.

Сабақ мақсаты:


  1. Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, еркін тербелістер, электромагниттік тербелістерді сипаттайтын негізгі теңдеу, гармоникалық тербелістер және оны сипаттайтын шамалар туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.

  3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай меңгергендерін тексеру.


  1. Тербелмелі контур деген не?

  2. Идеал тербелмелі контур дегеніміз не?

  3. Электромагниттік тербелістердің анықтамасын беріңдер.

  4. Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістердің толық энергиясы неге тең?

  5. Тербелмелі контурда электромагниттік тербелістер қалай пайда болады?

  6. Кедергісі нольге тең емес нақты тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер неге өшеді?

  7. Есептерді тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ.

Сыртқы әрекет жоқ кезде пайда болатын тербелістерді еркін тербелістер деп атайды.

Идеал тербелмелі контурдағы еркін электромагниттік тербелістердің теңдеуін қорытайық.



заряд тербел. дифференциалдық теңдеуі.

зарядтың уақыт бойынша екінші туындысы кері таңбамен алынған зарядтың өзіне тура пропорционал.

Тербелмелі контурда конденсатордың астарларындағы заряд шамасы уақытқа тәуелді косинус заңы бойынша өзгереді.

Физикалық шаманың синус немесе косинус заңы бойынша өтетін уақытқа тәуелді периодты өзгерісі гармоникалық тербелістер деп аталады.

Тербелістегі щаманың ең үлкен мәнінің модулі тербеліс амплитудасы деп аталады.

Тербелістегі физикалық шаманың мәні қайталанып отыратын ең аз уақыт аралығын Т тербеліс периоды деп атайды.

Тербеліс жиілігі деп бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санына тең шаманы айтады.

— Томсон формуласы.

Тербелмелі контурда жоғары жиіліктегі электромагниттік тербелістер өндіріледі.

Тербеліс фазасы деп косинустың, не синустың аргументін айтады.

IV. Пысықтау.


  1. Еркін тербелістер дегеніміз не?

  2. Тербелмелі контурдағы заряд тербелістерінің дифференциалдық теңдеуін жазыңдар.

  3. Гармоникалық тербелістер деген не?

  4. Гармоникалық тербелістер теңдеулерін жазыңдар.

  5. Тербелмелі жүйенің меншікті циклдік жиілігі деп нені айтады?

  6. Тербеліс амплитудасы деген не?

  7. Тербеліс периоды деген не?

  8. Тербеліс жиілігі деген не?

  9. Томсон формуласын жазыңдар.

  10. Тербеліс фазасы деген не?

V.Есептер шығару. №1.2.5, №1.2.6, №1.2.7

VI. Қорытындылау.

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.2. Еркін электромагниттік тербелістерді сипаттайтын теңдеулер.. №1.2.1, №1.2.2, №1.2.3 №1.2.4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.3. Механикалық және электромагниттік тербелістер арасындағы ұқсастық.

Сабақ мақсаты:


  1. Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, тербелмелі процестер кезіндегі электр және механикалық шамалардың арасындағы сәйкестік туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.

  3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай меңгергендерін тексеру.


  1. Еркін тербелістер дегеніміз не?

  2. Тербелмелі контурдағы заряд тербелістерінің дифференциалдық теңдеуін жазыңдар.

  3. Гармоникалық тербелістер деген не?

  4. Гармоникалық тербелістер теңдеулерін жазыңдар.

  5. Тербелмелі жүйенің меншікті циклдік жиілігі деп нені айтады?

  6. Тербеліс амплитудасы деген не?

  7. Тербеліс периоды деген не?

  8. Тербеліс жиілігі деген не?

  9. Томсон формуласын жазыңдар.

  10. Тербеліс фазасы деген не?

  11. Есептердің шығарылуын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ.

IV. Пысықтау.


  1. Серіппелі маятниктің қатаңдық коэффициентінің артуы тербелмелі контурдағы қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?

  2. Тербелмелі контурда индуктивтіліктің кемуі қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?

  3. Математикалық маятниктің тербелістерін тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістермен салыстырыңдар.

  4. Серіппелі маятниктің механикалық тербелістерінің теңдеуін (1.6) теңдеуіне ұқсас түрде жазыңдар.

VI. Қорытындылау.

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.3. Механикалық және электромагниттік тербелістер арасындағы ұқсастық.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.4. §1.5. Векторлық диаграммалар тәсілі. Гармоникалық тербелістердің графиктері.

Сабақ мақсаты:


  1. Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, векторлық диаграммалар тәсілі, гармоникалық тербелістер графиктері туралы түсінік беру.

  2. Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.

  3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай меңгергендерін тексеру.


  1. Серіппелі маятниктің қатаңдық коэффициентіның артуы тербелмелі контурдағы қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?

  2. Тербелмелі контурда индуктивтіліктің кемуі қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?

  3. Математикалық маятниктің тербелістерін тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістермен салыстырыңдар.

  4. Серіппелі маятниктің механикалық тербелістерінің теңдеуін (1.6) теңдеуіне ұқсас түрде жазыңдар.

  5. ІІІ. Жаңа сабақ.


Фаза дегеніміз – тербелістің басынан есептелінетін уақыттың бұрыштық өлшемі.


IV. Пысықтау.


  1. Векторлық диагарммалр тәсілі туралы айтып беріңдер.

  2. Векторлық диаграммалар тәсілімен бастапқы фазаны қалай анықтауға болады?

  3. Тербеліс амплитудасы мен бастапқы фазаны бастапқы шарттар арқылы өрнектеңдер.

  4. Бастапқы фаза π/2 деп алып, идеал тербелмелі контур үшін зарядтың және ток күшінің уақытқа тәуелділік теңдеуін жазыңдар.

VI. Қорытындылау.

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.4. §1.5. Векторлық диаграммалар тәсілі. Гармоникалық тербелістердің графиктері. №2, №3, №4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.6. Еріксіз тербелістер. Автотербелістер.

Сабақ мақсаты:


  1. Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, еріксіз тербелістер, автотербелмелі жүйе, оның негізгі элементтері, автотербелістер туралы түсінік беру.

ч. 1

Инерция моменті. Кейбір егжей-қатты дене механикасының

негізгі физикалық принциптерін өзара іс-қимыл қатты денелер болып табылады, инерция заңы, қисынға келтірілген тағы ұлы Исааком Ньютон. Осы ұғымымен біз бетпе-бет, іс жүзінде тұрақты, себебі ол көрсетеді өте үлкен әсер етті барлық материалдық заттар біздің әлем, соның ішінде адам. Өз кезегінде, мұндай физикалық шама ретінде инерция моменті, тығыз байланысты жоғарыда аталған заңда анықтай отырып, күші мен ұзақтығы, оның әсерінен қатты дене.

тұрғысынан механика кез келген материалдық объект сипаттау ретінде өзгермейтін және нақты құрылымдалған (идеализированную) жүйесі нүктелердің өзара қашықтық арасындағы олар өзгермейді сипатына қарай қозғалыс. Мұндай тәсіл мүмкіндік береді дәл есептеуге арнайы формулалар инерция моменті дерлік барлық қатты тел. Тағы бір қызықты нюансом бұл жерде болып табылады, яғни кез келген күрделі бар ең замысловатую траекториясын қозғалысы түрінде көруге болады жиынтығы қарапайым кеңістікте орын ауыстыру: айналмалы және ілгерілемелі. Бұл да айтарлықтай жеңілдетеді өмір ядрошы есептеу кезінде осы физикалық шама.

Түсіну дегеніміз не инерция моменті және оның қандай әсері бізді қоршаған әлем, оңай мысалында күрт жылдамдығын өзгерту жолаушылар көлік құралдары (тежеу). Бұл жағдайда аяқ тұрған жолаушының үйкелісті туралы жынысы увлечет болып табылады. Бірақ бұл кезде дене тұрқы және басқа ешқандай ықпал көрсетілді, соның салдарынан олар бір уақытта жалғастыра отырып, бұрынғы берілген жылдамдықпен. Нәтижесінде жолаушы наклонится алға немесе төмендейді. Басқаша айтқанда, инерция моменті аяқ, өтелген үйкеліс күшімен туралы жынысы, айтарлықтай аз қалған нүктелерінің дене. Қарама-қарсы жағдай байқалады күрт ұлғайған кезде жылдамдықты автобус немесе трамвай вагонының.

Көп:

Нервтік импульс, оның түрлендіру және беру тетігі

Жүйке жүйесі адам ретінде өзіндік үйлестірушісі біздің ағзамызда. Ол деп хабарлайды команданың ми мускулатуре, органдарға, тіндерге және өңдейді сигналдар шыққан олардан. Ретінде өзіндік тасығыштың деректер пайдаланылады жүйке серпін. Ол нені білдіре…

Мыс гидроксиді

Біріктіру гидроксиді, мыс (ІІ) « білдіреді және ашық-көк түсті кристалдар, сондай-ақ болуы аморфную (порошковидную) құрылымы. Ол нерастворимо суда, бағалау бойынша тізілім қауіпсіздік орта. Химиялық формуласы заттар — Cu(OH)₂, ол болып табылады…

инерция Моменті тұжырымдауға болады ретінде физикалық шама сомасына тең шығармаларының қарапайым масс (сол ең жекелеген нүктелерінің қатты дене) квадрат олардың айналу осінен қашықтығына байланысты. Осы орайда, бұл сипаттамасы шама болып табылады аддитивті түзетудің. Басқаша айтқанда, инерция моменті материалдық дененің сомасына тең ұқсас көрсеткіштер оның бөліктерін: J = J1 + J2 + J3 +

Бұл көрсеткіш үшін тел күрделі геометрия орналасқан эксперименттік жолмен. Ескеру керек, тым көп әр түрлі физикалық параметрлерді қоса алғанда, тығыздығы объектісінің болуы мүмкін неоднородной әртүрлі нүктелерінде, бұл жасайды аталатын өлшемді айырмашылықты масс түрлі сегменттерінде дене. Тиісінше, және стандартты формулалар мұнда жарамайды. Мысалы, сақинаның инерция моменті белгілі бір радиусы және біртекті тығыздығы бар айналу осі, ол арқылы өтеді, оның орталығы, есептеуге болады мынадай формула бойынша есептеледі: J = mR2. Бірақ осындай тәсілмен болса, вычислить осы шамаға үшін шеңбер, барлық бөліктері, оның жасалуы әр түрлі материалдардан.

Ал инерция моменті шарының тұтас және біртекті құрылымын келесі формула бойынша есептеуге болады: J = 2/5mR2. Есептеу кезінде осы көрсеткіш үшін тел қатысты екі параллель осьтерге айналу формуласына алғаш қосымша параметр « ара қашықтығы, обозначаемое а литері бар. Екінші айналу осі белгіленеді бұл ретте әрпімен L. Мысалы, формула болуы мүмкін келесі түрі: J = L + ma2.

тәжірибелер Мұқият зерделеу бойынша инерциялық қозғалыс тел сипатын және олардың өзара іс-қимылын алғаш рет жүргізілген Галилео соломон де каус та бар тоғысында он алтыншы және он жетінші ғасырларда. Олар мүмкіндік берді ұлы ғалым, опередившему өз уақыты белгіленсін, негізгі заң сақтау туралы жеке тұрғыдан зерттеледі тыныштық күйін немесе түзу сызықты қозғалысын жерге қатысты болмаған жағдайда, ықпал етудің басқа да тел. инерция Заңы бірінші қадам белгілеу негізгі физикалық принциптері механика, тағы мүлдем смутных, невнятных және түсініксіз. Кейіннен Ньютон, формулируя жалпы заңдарын денелердің қозғалысын тіркеп, олардың саны және инерция заңы.

Момент инерции: площадь или масса?

Момент инерции является важным параметром при определении размеров и выборе линейной системы. Но очень важно знать, какой тип инерции — планарный момент инерции или момент инерции массы — задан и как он влияет на производительность системы.

Планарный момент инерции

Планарный момент инерции (также называемый вторым моментом площади или моментом инерции площади) определяет, как точки области распределяются относительно базовой оси (обычно центральной оси) и, следовательно, ее сопротивление изгибу.Терминология для плоского момента и момента инерции массы варьируется, а иногда и перекрывается. Если неясно, какой тип момента указан, просто посмотрите на единицы измерения. Планарный момент инерции выражается длиной в четвертой степени (фут 4 , м 4 ).

I = ∫∫ x 2 d A

I = планарный момент инерции

x = расстояние до оси отсчета

d A = элемент площади


Второй момент площади может быть плоским или полярным.Полярный момент инерции описывает сопротивление объекта крутящему моменту или кручению и используется только для цилиндрических объектов. Уравнение для полярного момента инерции по существу такое же, как и для плоского момента инерции, но используемое расстояние — это расстояние до оси, параллельной поперечному сечению области.

I = ∫∫ r 2 d A

I = полярный момент инерции

r = расстояние до оси отсчета

d A = элемент площади


Планарный момент инерции поперечного сечения балки является важным фактором при расчетах прогиба балки, а также используется для расчета напряжения, вызываемого моментом в балке.В линейных системах модели отклонения балки используются для определения отклонения консольных осей в многокоординатных системах. Вал без опоры также анализируется с помощью расчетов прогиба балки.

Консольная балка с сосредоточенной нагрузкой на свободном конце

P = нагрузка

l = длина балки (расстояние до груза)

E = модуль упругости

I = планарный момент инерции

Момент инерции массы

Момент инерции массы (также называемый вторым моментом массы, угловой массой или инерцией вращения) определяет крутящий момент, необходимый для создания желаемого углового ускорения вокруг оси вращения, и зависит от распределения массы объекта (т.е.е. его форма) вокруг оси. У него такое же отношение к угловому ускорению, как у массы к линейному ускорению. Момент инерции массы, как и планарный момент, обычно обозначается «I», но, в отличие от плоского момента, единицы для момента инерции массы представляют собой квадрат массы-расстояния (снаряд-фут 2 , кгм 2 ).

Уравнение массового момента инерции для точечной массы просто:

I = mr 2

I = момент инерции массы

м = точечная масса

r = расстояние до оси вращения

Для твердого тела момент инерции массы рассчитывается путем интегрирования момента массы каждого элемента массы тела:

I = ∫ r 2 d м

I = момент инерции массы

d м = элемент массы

r = расстояние до оси вращения

При определении размеров линейных систем наиболее важным моментом инерции массы, вероятно, является выбор двигателя, где соотношение между инерцией нагрузки и инерцией двигателя является критическим фактором производительности.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

моментов инерции и матрица инерции

Момент инерции

Момент инерции — вращательный аналог массы. Массовый момент инерция относительно фиксированной оси — это свойство тела, которое измеряет сопротивление тела ускорению вращения. Чем больше его значение, тем больше момент, необходимый для обеспечения заданного ускорения около фиксированный стержень.

Момент инерции следует указывать относительно выбранная ось вращения.


Часто используются символы Ixx, Iyy и Izz. выразить моменты инерции трехмерного твердого тела около его три оси.

(A)

Продукты из Инерция данные Ixy, Ixz и Iyz, где

(B)



Инерция Матрица

Момент импульса может быть выражается как

(C) (см. PDF для объяснения того, как это получается)

Где Матрица инерции

Проблемы где вектор момента импульса, час параллельно легче решить, поэтому момент импульса можно выразить как

Если это выражение для подставляется в уравнение (С) тогда получается следующее выражение.

Это возможно рассматривается как проблема собственных значений, три собственные значения из определить ось, вокруг которой тело может вращаться, сохраняя h параллельно

Три собственных значения: принцип моменты инерции и известны как A B и C

Три собственных вектора являются главной осью инерции и ортогональны.
Когда ось совмещена с основной осью, Ip может быть выражается как

Следовательно оси, согласованные с принципом, полезны при решении практичный задачи

Моменты инерции гироскопа


Гироскоп — осесимметричный корпус


Должный к осесимметрия гироскопа по всей оси в i-j самолет принцип.n, момент инерции твердого тела является аналогом массы для динамики вращения ?. В линейной динамике? Имеем формулу

, в котором говорится, что импульс pp пропорционален скорости vv. Точно так же во вращательной динамике имеем аналогичную формулу

, где LL — угловой момент, Ω \ Omega — угловая скорость, а II — момент инерции .

Однако уравнение вращения несколько сложнее линейного: во-первых, потому что LL и Ω \ Omega не являются естественными векторами, а являются бивекторами; и во-вторых, потому что они не обязательно пропорциональны, так что II не может быть скаляром.n, поэтому его можно представить в координатах симметричным n (n − 1) 2 × n (n − 1) 2 \ frac {n (n-1)} {2} \ times \ frac {n (n-1 )} {2} матрица.

Аналогичным образом, дифференцируя это уравнение один раз по времени (и предполагая, что II постоянен, как и для твердого тела), мы имеем

τ = Iα, \ tau = I \ alpha,

относительно общего крутящего момента? τ \ tau к угловому ускорению? α \ alpha — вращательный аналог второго закона Ньютона F = maF = m a (где мм должно быть постоянным).

с малыми размерами

Для малых размеров ситуация может быть (и обычно так) упрощается.\ infty (G)} \ Gamma (T G)

, следовательно, билинейная невырожденная форма на алгебре Ли 𝔰𝔬 (n) \ mathfrak {so} (n) (не обязательно форма Киллинга).

Эта билинейная форма представляет собой момент инерции . (Например, AbrahamMarsden, раздел 4.6.)

По массовой плотности

Если твердое тело имеет плотность массы? ρ \ rho, то его угловой момент определяется через Ω \ Omega nn-мерным интегралом

L = ∫ρx → ∧ (x → ⋅Ω) dnx L = \ int \ rho \ vec {x} \ wedge (\ vec {x} \ cdot \ Omega) \, d ^ n x

по всему пространству, где x → \ vec {x} — вектор от начала координат до точки интегрирования, ⋅ \ cdot обозначает внутренний продукт? вектора с бивектором (дающим вектор), а ∧ \ wedge обозначает внешнее произведение двух векторов (дающее бивектор).

Когда Ω \ Omega везде одинаково (как для твердого тела), то мы можем рассматривать это как функцию от Ω \ Omega к LL; эта функция — это момент инерции .

Связанные страницы

Список литературы

Классическое обсуждение в учебнике, например, раздел 4.6 документа

.

Обычное обсуждение момента инерции в терминах бивекторов, применимых в любом измерении пространства (пространства-времени), находится на странице 74 из

.
  • Крис Доран, Энтони Ласенби, Геометрическая алгебра для физиков Cambridge University Press

или около страницы 56 из

  • Крис Доран, Энтони Ласенби, Физические приложения геометрической алгебры (pdf)

и около слайда 6 из

  • Энтони Ласенби, Крис Доран и Роберт Ласенби, Динамика твердого тела и конформная геометрическая алгебра (pdf)

Эти авторы усиливают каноническое вложение бивекторов в алгебру Клиффорда, которую они называют «геометрической алгеброй».

Терминология

— Какова причина использования «момента» в «моменте инерции»?

Если Эйлер ввел этот термин и не объяснил свои рассуждения, мы можем только предполагать, что он имел в виду. Сам Эйлер следовал за многими обозначениями и терминологией просто потому, что он собрал их воедино в хорошо структурированных и всеобъемлющих книгах.

Но Эйлер, вероятно, последовал прецеденту с «моментом силы». Согласно «Динамике вращения» Уортингтона (1900), это произошло в результате любопытной метаморфозы значения слова «момент» (первоначально кратковременного), и старое значение все еще было живым, по крайней мере, во время написания Уортингтона.Согласно EtymOnline, «момент» используется в старофранцузском языке как «важность» с 12 века (в английском языке с 1520-х годов думайте о «важном»), такое использование на латыни должно было появиться еще раньше.

В «О равновесии плоскостей» Архимед упомянул о совместной «важности» силы и месте ее применения для поддержания равновесия. Латинский перевод Архимеда Коммандино в Liber De Centro Gravitatis Solidorum (1565) звучал так: « Центр тяжести каждой твердой фигуры — это та точка внутри нее, вокруг которой со всех сторон стоят равные моменты ».Здесь «момент» можно прочитать как «важность», но можно также прочитать это как относящееся к какой-то определенной величине.

И, видимо, так его и стали читать. «Момент» в физике теперь обычно относится к величинам, которые в некоторой степени умножены на расстояние, а также к их суммам или интегралам. Высшие моменты вовлекают силу расстояния. «Момент» в математике имеет аналогичное значение, но применяется более абстрактно. Вот Уортингтон:

« Слово» момент «впервые было использовано в механике в его теперь уже довольно старомодном чувство «важности» или «последствия» и момент сила вокруг оси означала важность силы с относительно его способности генерировать при вращении материи вокруг ось; и снова момент инерции тела относительно к оси — это фраза, придуманная, чтобы выразить важность инерция тела, когда мы пытаемся повернуть его ось.Когда мы говорим, что момент силы о ось изменяется в зависимости от силы и расстояния ее линии действия от оси, мы не столько определяем фразу «момент силы» как выражение результата экспериментов сделано с целью выяснения обстоятельств какие силы эквивалентны друг другу по своему поворотная мощность. Важно, чтобы учащийся имея в виду это первоначальное значение слова, так что такие фразы как «момент силы» и «момент инерции» могут сразу вызовите идею, а не просто количество.

Но слово «момент» также стало использоваться по аналогии в чисто техническом смысле, в таких выражениях, как «момент массы вокруг оси» или «момент площади с по отношению к плоскости », которые требуют определения в каждом случае. В этим экземплярам не всегда есть соответствующие физические идея, и такие фразы стоят, как исторически, так и с научной точки зрения, на другой основе. «

Момент инерции — wikidoc

Эта статья о моменте инерции вращающегося объекта .Что касается момента инерции при изгибе плоскости, см. Второй момент площади.

Момент инерции , также называемый моментом инерции массы или угловой массой , (единицы СИ кг · м 2 , бывшие британские единицы slug ft 2 ), является вращательным аналогом массы. . То есть это инерция твердого вращающегося тела по отношению к его вращению. Момент инерции играет во вращательной динамике почти ту же роль, что и масса в базовой динамике, определяя взаимосвязь между угловым моментом и угловой скоростью, крутящим моментом и угловым ускорением, а также рядом других величин.В то время как простая скалярная обработка момента инерции достаточна для многих ситуаций, более продвинутая тензорная обработка позволяет анализировать такие сложные системы, как волчки и движение гироскопа.

Символы I {\ displaystyle I} и иногда J {\ displaystyle J} обычно используются для обозначения момента инерции.

Момент инерции был введен Эйлером в его книге a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum в 1730 году. В этой книге он подробно обсудил момент инерции и многие концепции, такие как главная ось инерции, связанные с моментом инерции.

Обзор

Момент инерции объекта относительно данной оси описывает, насколько сложно изменить его угловое движение вокруг этой оси. Например, рассмотрим два диска (A и B) одинаковой массы. Диск A имеет больший радиус, чем диск B. Предполагая, что существует однородная толщина и распределение массы, требуется больше усилий для ускорения диска A (изменения его угловой скорости), потому что его масса распределена дальше от его оси вращения: масса, которая находится дальше выходящая из этой оси должна при данной угловой скорости двигаться быстрее, чем масса ближе внутрь.В этом случае диск A имеет больший момент инерции, чем диск B.

Файл: Synchro.jpg

Дайверы минимизируют моменты инерции для увеличения скорости вращения.

Момент инерции объекта может измениться при изменении его формы. Фигурист, начинающий вращение с вытянутыми руками, — яркий тому пример. Обнимая ее, она уменьшает свой момент инерции, заставляя ее вращаться быстрее (за счет сохранения углового момента).

Момент инерции имеет две формы: скалярную форму I {\ displaystyle I} (используется, когда известна ось вращения) и более общую тензорную форму, которая не требует знания оси вращения.Скалярный момент инерции I {\ displaystyle I} (часто называемый просто «моментом инерции») позволяет кратко проанализировать многие простые проблемы динамики вращения, такие как скатывание объектов по склону и поведение шкивов. Например, в то время как блок любой формы будет скользить вниз по склону без трения с одинаковой скоростью, катящиеся объекты могут спускаться с разной скоростью, в зависимости от их моментов инерции. Обруч будет опускаться медленнее, чем твердый диск того же диаметра, потому что большая часть его массы расположена далеко от оси вращения, и, следовательно, ему нужно двигаться быстрее, если обруч катится с той же угловой скоростью.Однако для (более сложных) задач, в которых ось вращения может измениться, скалярная обработка неадекватна, и необходимо использовать тензорную обработку (хотя в особых случаях возможны сокращения). Примеры, требующие такой обработки, включают гироскопы, вершины и даже спутники, все объекты, выравнивание которых может изменяться.

Момент инерции можно также назвать моментом инерции массы (особенно инженерами-механиками), чтобы избежать путаницы со вторым моментом площади, который иногда называют моментом инерции (особенно инженерами-строителями) и обозначают тот же символ I {\ displaystyle I}.{2} \, \ rho ({\ boldsymbol {r}}) \, dV \!}

где

В — объем, занимаемый объектом.
ρ — пространственная функция плотности объекта, а
( x, y, z) или (r, \ theta, z)} — координаты точки внутри тела.
Файл: Moment of inertia disk.png

Схема для расчета момента инерции диска. Здесь k — 1/2, а r — радиус, используемый для определения момента.{2} \, \!}

где

M — масса
R — радиус объекта от центра масс (в некоторых случаях вместо него используется длина объекта).
k — это безразмерная константа, называемая постоянной инерции , которая изменяется в зависимости от рассматриваемого объекта.

Инерционные константы используются для учета различий в размещении массы относительно центра вращения.Примеры включают:

  • k = 1, тонкое кольцо или тонкостенный цилиндр вокруг его центра,
  • k = 2/5, сплошная сфера вокруг центра
  • k = 1/2, сплошной цилиндр или диск вокруг его центра.

Дополнительные примеры см. В Списке моментов инерции.

Теорема о параллельной оси

После того, как момент инерции был вычислен для вращений вокруг центра масс твердого тела, можно удобно пересчитать момент инерции для всех параллельных осей вращения, не прибегая к формальному определению.{2} \, \!}

Эта теорема также известна как правило о параллельных осях и является частным случаем теоремы Штейнера о параллельных осях .

Композитные тела

Если тело можно разложить (физически или концептуально) на несколько составных частей, то момент инерции тела относительно данной оси получается путем суммирования моментов инерции каждой составной части вокруг той же заданной оси [1 ] .

Уравнения, учитывающие момент инерции

Кинетическая энергия вращения твердого тела может быть выражена через его момент инерции.{2} \, \!} Также выполняется для непрерывного распределения массы с обобщением приведенного выше вывода от дискретного суммирования к интегрированию.

В частном случае, когда вектор углового момента параллелен вектору угловой скорости, их можно связать уравнением

L = Iω {\ displaystyle L = I \ omega \;}

, где L — угловой момент, а ω {\ displaystyle \ omega} — угловая скорость. Однако это уравнение не выполняется во многих интересных случаях, таких как прецессия вращающегося объекта без крутящего момента, хотя его более общая тензорная форма всегда верна.

Когда момент инерции постоянен, можно также связать крутящий момент на объекте и его угловое ускорение аналогичным уравнением:

τ = Iα {\ displaystyle \ tau = I \ alpha \!}

, где τ {\ displaystyle \ tau} — крутящий момент, а α {\ displaystyle \ alpha} — угловое ускорение.

Тензор момента инерции

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей.В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Тензор момента инерции — удобный способ суммировать все моменты инерции объекта одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки в пространстве, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение

Для жесткого объекта с точечными массами N {\ displaystyle N} mk {\ displaystyle m_ {k}} тензор момента инерции определяется выражением

I = [IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz] {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I\_ {yy} & I_ {yz} & I_ {yz} I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}}. | {\ displaystyle | \ mathbf {x} — (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \ mathbf {\ hat {n}} | }.. {\ displaystyle I = \ mathbf {I} \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}.}

Основные моменты инерции

Поскольку тензор момента инерции действительный и симметричный, можно найти декартову систему координат, в которой он диагонален, имеющий вид

I = [I1000I2000I3] {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}}

где оси координат называются главными осями и осями Константы I1 {\ displaystyle I_ {1}}, I2 {\ displaystyle I_ {2}} и I3 {\ displaystyle I_ {3}} называются основными моментами инерции .Единичные векторы вдоль главных осей обычно обозначаются как (e1, e2, e3) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3 })}.

Когда все главные моменты инерции различны, главные оси задаются однозначно. Если два основных момента одинаковы, твердое тело называется симметричной вершиной , и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три основных момента одинаковы, твердое тело называется сферической вершиной (хотя она не обязательно должна быть сферической), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков для любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка m {\ displaystyle m}, то есть симметрично при поворотах на 360 ° / m вокруг данной оси, ось симметрии является главной осью. Когда m> 2 {\ displaystyle m> 2}, твердое тело представляет собой симметричную вершину. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, это сферическая вершина, например куб или любое другое платоново твердое тело.Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины, что в основном означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью, чтобы колесо не качалось. {2}}

и угловой момент можно записать как произведение

L = Iω = ω1I1e1 + ω2I2e2 + ω3I3e3 {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \, {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega _ {1} I_ {1} \ mathbf {e } _ {1} + \ omega _ {2} I_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ omega _ {3} I_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

Взято вместе, можно выразить кинетическую энергию вращения через угловой момент (L1, L2, L3) {\ displaystyle (L_ {1}, L_ {2}, L_ {3})} в кадре главной оси как

Т = L122I1 + L222I2 + L322I3.{2}} {2I_ {3}}}. \, \!}

Кинетическая энергия вращения и угловой момент являются константами движения (сохраняющимися величинами) в отсутствие общего крутящего момента. Угловая скорость ω непостоянна ; даже без крутящего момента конечная точка этого вектора может двигаться в плоскости (см. конструкцию Пуансо).

См. Статью о жестком роторе, чтобы узнать больше о способах выражения кинетической энергии твердого тела.

См. Также

Список литературы

  • Гольдштейн Х.(1980) Классическая механика , 2-й. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9
  • Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-й. изд., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка).
  • Marion JB и Thornton ST. (1995) Классическая динамика систем и частиц , 4-я. изд., Томсон. ISBN 0-03-097302-3
  • Symon KR. (1971) Механика , 3-й. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7
  • Тененбаум, РА. (2004) Основы прикладной динамики , Springer. ISBN 0-387-00887-X

Внешние ссылки

cs: Moment setrvačnosti da: Inertimoment de: Trägheitsmoment et: Inertsimoment eu: Inertzia momentua ко: 관성 모멘트 hr: Moment inercije it: Momento di inerzia он: מומנט התמד lt: Inercijos momentas мс: мама инерсия nl: Traagheidsmoment sk: Момент zotrvačnosti sl: Взрывностный момент fi: Hitausmomentti sv: Tröghetsmoment uk: Момент інерції

Шаблон: WH

Шаблон: WS

Момент инерции бейсбольных бит

Момент инерции бейсбольных бит
Сегодня В последний раз содержимое этой страницы было изменено 4 сентября 2008 г.
Инерция — это мера того, насколько сложно изменить скорость объекта путем приложения силы, и обычно выражается в единицах массы.Чем больше инерция объекта (, т.е. , чем больше масса объекта), тем труднее изменить его скорость. Масса отличается от вес , хотя эти два термина часто используются как синонимы.
[Поскольку я профессор физики, я чувствую себя обязанным объяснить разницу между ними, прежде чем перейти к обсуждению бейсбольных и софтбольных бит. Масса — свойство объекта; данный объект будет иметь одинаковую массу независимо от того, где он находится во Вселенной.Шар для боулинга имеет точно такую ​​же массу на Земле, что и на Луне, или где-то в космосе, где он свободен от притяжения силы тяжести. Пытаться остановить движущийся шар для боулинга в космосе так же сложно, как и на Земле. Вес — это сила, а именно сила, которую испытывает объект, помещенный в гравитационное поле. Сила гравитационного поля зависит от массы объекта, создающего поле, а также от квадрата расстояния до этого объекта.Гравитационное поле Луны составляет лишь 1/6 от земного. Итак, хотя шар для боулинга имеет на Земле ту же массу, что и на Луне (и, следовательно, его скорость будет так же трудно изменить в обоих местах), вес шара на Луне будет 1/6 его веса. на земле.]
Инерция вращения или момент инерции (MOI) — это мера того, насколько сложно изменить скорость вращения объекта, который вращается вокруг точки поворота.Чем больше момент инерции, тем сложнее изменить скорость вращения объекта. Значение MOI зависит от общей массы объекта, а также от способа распределения этой массы вокруг точки поворота.

Рассмотрим сначала точечную массу м (маленький шарик), которая вращается параллельно земле на расстоянии x от фиксированной точки поворота, как показано на изображении вверху справа. MOI точечной массы — это произведение массы и квадрата расстояния от точки поворота:


Одноточечная масса, вращающаяся на фиксированном расстоянии от точки поворота.
Если есть несколько точечных объектов, которые вращаются вокруг одной и той же точки поворота, но на разных расстояниях от оси, то общий момент инерции системы является просто суммой отдельных моментов инерции.
Множественные точечные массы, вращающиеся на разном расстоянии от точки поворота.
В нашем случае вращающийся объект — летучая мышь, масса которой распределена по всей ее длине. Чтобы решить эту более сложную проблему, мы делаем вид, что летучая мышь состоит из очень большого количества очень маленьких кусочков, каждый из которых имеет свою инкрементную массу дм и каждый расположен на расстоянии x от точки поворота.Если бы мы знали, как масса дм изменяется в зависимости от положения, мы могли бы сложить все отдельные моменты инерции вместе, чтобы получить полную инерцию летучей мыши. Однако очень немногие люди фактически имеют под рукой функцию распределения массы дм для данной бейсбольной или софтбольной биты, поэтому вычисление момента инерции для летучей мыши не очень практично. Оказывается, момент инерции намного легче измерить, чем вычислить, поэтому я не буду пытаться объяснять, как мы будем вычислять инерцию, а вместо этого опишу, как он измеряется и что это означает.
Вытянутый объект (летучая мышь), вращающийся вокруг фиксированной оси, может быть разбит на множество мелких частей с разной массой и разным расстоянием от точки поворота.

Точка веса и баланса

Чтобы измерить вес летучей мыши, вы можете просто положить ее на весы и напрямую записать вес. Чтобы найти точку равновесия, вы можете использовать острие ножа и найти место, где летучая мышь точно балансирует. Это немного сложно, но работает довольно хорошо.Или вы можете следовать процедуре измерения веса и точки равновесия, изложенной в стандарте ASTM F2398-04 «Метод испытания для измерения момента инерции и центра удара бейсбольной биты софтбольной биты», что и делают производители летучих мышей и руководящие ассоциации. Этот стандарт испытаний требует использования двух весов, одна из которых поддерживает летучую мышь на расстоянии 6 дюймов от конца ручки, а другая поддерживает ствол летучей мыши на расстоянии 24 дюймов от ручки. Вес летучей мыши равен сумме двух показаний шкалы W = W 6 + W 24 , а точка равновесия рассчитывается из BP = (6 * W 6 + 24 * W 24 ) / (Вт 6 + Вт 24 )
Важно знать расположение точки баланса.Момент инерции всегда рассчитывается или измеряется относительно указанной точки поворота. В соответствии со стандартной практикой [1] , применяемой производителями, испытательными лабораториями и руководящими органами, точка поворота принимается на ручке на расстоянии 6 дюймов от конца ручки биты. В лабораторных испытаниях для измерения характеристик летучей мыши летучая мышь захватывается за 6-дюймовую точку рукоятки, поэтому момент инерции в этом месте имеет отношение к испытаниям. Однако в нескольких полевых исследованиях скорости взмаха летучей мыши использовался момент инерции летучей мыши по отношению к точке поворота на ручке.Значения MOI для двух точек поворота сильно различаются. Однако можно преобразовать одно в другое, если вы знаете одно из значений MOI и положение поворота, вес летучей мыши и положение точки баланса (центра масс). Теорема о параллельных осях утверждает, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс (I см ), и момент инерции относительно другой оси, которая параллельна оси, проходящей через центр -of-массы связаны между собой: где M — общая масса объекта, а h — расстояние между фактической осью вращения и центром масс.

Итак, если вы измеряете MOI для точки поворота в 6 дюймов от конца ручки, вы можете использовать теорему о параллельности оси для вычисления I см . Затем вы можете использовать значение I см и Теорема о параллельных осях снова используется для вычисления момента инерции относительно другой оси (скажем, вокруг ручки).


Центр масс или точка равновесия.
Еще одна дополнительная величина, которая часто упоминается вместе с моментом инерции, — это радиус вращения .Радиус вращения — это расстояние R от точки поворота, где будет находиться точечная масса (маленький шарик) с той же массой, что и общая масса M летучей мыши, так что момент инерции этого точечная масса шара будет такой же, как момент инерции реальной летучей мыши. I = MR 2
Радиус вращения по сравнению с точкой равновесия.

Измерение момента инерции бейсбольной биты для софтбольной биты

Стандартные отраслевые лабораторные испытания, которые в настоящее время используются для регулирования характеристик летучей мыши, требуют, чтобы момент инерции софтбольной или бейсбольной биты измерялся относительно точки поворота на рукоятке, в 6 дюймах от конца ручки летучей мыши.Бита держится за 6-дюймовую точку шарнирной опоры, которая позволяет летучей мыши раскачиваться вперед и назад, как маятник. Период (время одного полного колебания маятника) тщательно измеряется с помощью механизма синхронизации с инфракрасным датчиком. Зная период T , массу m , ускорение свободного падения g и расстояние d между точкой поворота и точкой равновесия, момент инерции вычисляется по формуле

Список литературы

Стандарт ASTM F2398-04 Метод испытаний для измерения момента инерции и центра удара бейсбольной биты софтбольной битой
 

Вернуться к Физика и акустика бейсбольных и софтбольных бит
 

Моменты инерции, произведения инерции и тензор инерции • Наджам Р.Сайед

Если вы изучали динамику или моделировали что-либо, связанное с вращением, движения, вы, вероятно, сталкивались с концепцией момент инерции массы, скорее всего в виде уравнения \ (T = I \ alpha \), которое связывает крутящий момент \ (T \) воздействует на объект до его углового ускорения \ (\ alpha \) через его момент инерции \ (I \). В этом типе проблема, крутящий момент и угловое ускорение действуют вокруг одной оси, и момент инерции неявно относится к моменту инерции примерно того же ось.Момент инерции по существу описывает сопротивление объекта. к вращательному движению в ответ на крутящий момент. Это вращательный аналог масса. Однако это всего лишь упрощенный случай трехмерного вращательного движения. Если вы имели дело с трехмерным вращательным движением, вы, наверное, слышали о тензор инерции, также известный как матрица инерции, который содержит моменты инерция и продукты инерции относительно всех трех осей объекта, однако вы выберите ориентацию этих осей. В этом посте мы увидим, где инерция тензора, моментов инерции и произведений инерции, а также попытаться получить некоторую интуицию в том, что они означают.

Предполагается, что вы знакомы с кросс-продуктами, базовыми исчисление и умножение матриц.

Мы начинаем со Второго закона Ньютона, \ (\ mathbf {F} = m \ mathbf {a} \), который должен кажутся вам знакомыми (мы будем использовать жирных букв для обозначения векторов и матрицы). Мы можем написать второй закон Ньютона по-другому, если вспомним что ускорение — это скорость изменения скорости во времени:

\ [\ mathbf {F} = m \ frac {d} {dt} \ mathbf {v} = \ frac {d} {dt} m \ mathbf {v} \]

Вы можете узнать \ (m \ mathbf {v} \) как определение линейного количества движения: \ (\ mathbf {p} = m \ mathbf {v} \).{N} m_i \ mathbf {r_i} \ times (\ mathbf {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) \) (Уравнение 2)

Обратите внимание, что я переместил \ (m_i \) в начало суммы, так как это скаляр, и умножение кросс-произведений является распределительным (т. е. не имеет значения, куда мы положили \ (m_i \)). Также обратите внимание на то, как \ (\ mathbf {\ omega} \) без нижнего индекса, то есть мы не писали \ (\ mathbf {\ omega_i} \). Это потому, что мы предполагаем, что вся система и каждая частица в нем имеет такую ​​же угловую скорость.

Следующим шагом является вычисление перекрестных произведений. Для этого мы должны помнить что это векторы. Мы рассмотрим вектор положения каждого частица в системе, определяемая ее компонентами x, y и z в декартовой системе координат. координаты: \ (\ mathbf {r_i} = x \ pmb {\ hat {\ imath}} + y \ pmb {\ hat {\ jmath}} + z \ mathbf {\ hat {k}} \). Точно так же угловая скорость также имеет \ (x \), \ (y \) и \ (z \) компоненты: \ (\ pmb {\ omega} = \ omega_x \ pmb {\ hat {\ imath}} + \ omega_y \ pmb {\ hat {\ jmath}} + \ omega_z \ mathbf {\ hat {k}} \).Затем, написав определяющая форма перекрестного произведения имеем:

\ [(\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {vmatrix} \ pmb {\ hat {\ imath}} & \ pmb {\ hat {\ jmath}} & \ mathbf {\ hat {k}} \\ \ omega_x & \ omega_y & \ omega_z \\ x & y & z \ end {vmatrix} \]

Если мы посчитаем, это перекрестное произведение окажется:

\ [(\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {bmatrix} \ omega_y z — \ omega_z y \\ — \ omega_x z + \ omega_z x \\ \ omega_x y — \ omega_y x \ end {bmatrix} \]

Подходя к крестному произведению этого с положением таким же образом, находим:

\ [\ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {vmatrix} \ pmb {\ hat {\ imath}} & \ pmb {\ hat {\ jmath}} & \ mathbf {\ hat {k}} \\ х & у & z \\ \ omega_y z — \ omega_z y & — \ omega_x z + \ omega_z x & \ omega_x у — \ omega_y x \ end {vmatrix} \]

Выполнение умножения и группировки как терминов:

\ (\ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {bmatrix} \ omega_x (y ^ 2 + z ^ 2) — \ omega_y xy — \ omega_z xz \\ — \ omega_x xy + \ omega_y (x ^ 2 + z ^ 2) — \ omega_z yz \\ — \ omega_x xz — \ omega_y yz + \ omega_z (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {bmatrix} \) (Уравнение 3a)

Если у вас есть опыт работы с линейной алгеброй, вы можете увидеть, что предыдущий уравнение 3a хорошо записывается в виде матрицы и вектор, где вектор — это просто вектор угловой скорости, упомянутый в последний абзац:

\ (\ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ -xy & (х ^ 2 + z ^ 2) & -yz \\ -xz & -yz & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \) (Уравнение 3b)

После вычисления перекрестных произведений давайте вернем уравнение 3b в Уравнение 2:

\ (\ mathbf {L} = \ sum \ limits_ {i} ^ {N} m_i \ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ сумма \ limits_ {i} ^ {N} m_i \ begin {bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ -xy & (х ^ 2 + z ^ 2) & -yz \\ -xz & -yz & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \) (Уравнение 4)

В уравнении 4 выше суммирование матрицы аналогично суммированию каждого элемента матрица.2) m_i \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \]

Здесь важно отметить, что «система частицы »не обязательно означает группу отдельных частиц или отдельные объекты. Вообще говоря, любое твердое тело или объект можно представить как систему частиц, если представить ее состоящей из \ (N \) меньших связанные части (или «частицы»). Те из вас, кто знает свой исчисление, вероятно, увидит, к чему я веду. Если мы подумаем о жестком тело как состоящее из бесконечного числа бесконечно малых частей, т.е.2) дм \]

Недиагональные элементы матрицы называются «произведениями инерция ». Хотя есть шесть недиагональных элементов, есть только три различных продукта инерции. Это потому, что матрица симметрична, то есть \ (I_ {ij} = I_ {ji} \). Эти продукты инерции обозначаются аббревиатурой следует:

\ [I_ {xy} = I_ {yx} = — \ int \ limits_ {m} (xy) dm \]

\ [I_ {xz} = I_ {zx} = — \ int \ limits_ {m} (xz) dm \]

\ [I_ {yz} = I_ {zy} = — \ int \ limits_ {m} (yz) dm \]

Переписываем тензор инерции (матрицу инерции) \ (\ mathbf {I} \) с использованием этих сокращенные определения:

\ (\ mathbf {I} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} и I_ {zy} и I_ {zz} \ end {bmatrix} \) (Уравнение 6)

Теперь, переписав уравнение 2, уравнение для углового момента, с определение из уравнения 6 выше:

\ (\ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ pmb {\ omega} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} и I_ {zy} и I_ {zz} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \) (Уравнение 7)

Наконец, подставляя приведенное выше уравнение 7 обратно в уравнение 1, мы получаем полное круг:

\ [\ mathbf {T} = \ mathbf {\ dot {L}} = \ frac {d} {dt} \ mathbf {I} \ pmb {\ omega} \]

\ (\ mathbf {T} = \ mathbf {I} \ pmb {\ dot {\ omega}} = \ mathbf {I} \ pmb {\ alpha} \) (Уравнение 8)

Надеюсь, уравнение 8 покажется вам знакомым, если вы изучали динамику.это вращательный аналог \ (\ mathbf {F} = m \ mathbf {a} \), полученный с использованием определения крутящего момента, с тензором инерции (а также моменты инерции и произведения инерция в нем), получаемые в процессе.

Математика — это хорошо, но что это на самом деле означает? Давайте развернуть Уравнение 8:

\ [\ mathbf {T} = \ mathbf {I} \ pmb {\ alpha} \]

\ [\ begin {bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} и I_ {zy} и I_ {zz} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha_x \\ \ alpha_y \\ \ alpha_z \ end {bmatrix} \]

где \ (\ pmb {\ alpha} = \ alpha_x \ pmb {\ hat {\ imath}} + \ alpha_y \ pmb {\ hat {\ jmath}} + \ alpha_z \ mathbf {\ hat {k}} \) — угловое ускорение.Примечание как мы также разделили крутящий момент на соответствующие компоненты. Как Например, рассмотрим результат умножения первой строки матрицы инерции с вектором углового ускорения:

\ [T_x = I_ {xx} \ alpha_x + I_ {xy} \ alpha_y + I_ {xz} \ alpha_z \]

По сути, моменты инерции говорят нам, как объект вращается вокруг оси. когда крутящий момент прикладывается к той же оси, например, если вы прикладываете крутящий момент около ось x, \ (I_ {xx} \) говорит нам, как это влияет на угловое ускорение около ось x, основанная на распределении массы объекта.Продукция инерция сообщает нам, как объект вращается вокруг оси при приложении крутящего момента о другой оси . В приведенном выше примере произведение инерции \ (I_ {xy} \) говорит нам, как крутящий момент вокруг оси x влияет на угловое ускорение. относительно оси Y на основе распределения массы объекта. Сходным образом, \ (I_ {xz} \) говорит нам, как крутящий момент вокруг оси x влияет на угловое ускорение. вокруг оси z.

Имея это в виду, становится легче интерпретировать обозначение на мгновение или продукт инерции.Момент инерции или произведение инерции \ (I_ {ij} \) (где \ (i \) может быть x, y или z, а \ (j \) может быть x, y или z) говорит нам, как крутящий момент примененный к оси \ (i \) влияет на угловое ускорение относительно оси \ (j \).

Поскольку моменты инерции и произведения инерции полностью зависят от массы распределения объекта относительно оси вращения, они могут измениться, если либо а) изменяется распределение массы, либо б) объект вращается вокруг другой набор осей xyz. Фактически для любого объекта можно найти набор осей, для которых распределение массы симметрично относительно каждой оси.Они называются «главными осями», и когда вы вычисляете элементы тензора инерции с использованием главных осей, произведения инерции все вышло на ноль:

\ (\ mathbf {I} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {zz} \ end {bmatrix} \) (главные оси)

Вообще говоря, это так для большинства проблем — вы будете обычно имеют дело с вращением вокруг осей, проходящих через центр масс и относительно которого объект симметричен.Однако при отклонении от такого В некоторых случаях практическое знание тензора инерции может быть неоценимым.

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.