Инерция моменті — Студопедия

Денені? массасы мен оны? айналу центрінен денеге дейінгі ара ?ашы?ты?ыны? квадратыны? к?бейтіндісіне те? шаманы инерция моменті деп атайды.

Денені? инерция моменті, ол денені? ?андай оське ?атысты айнал?анына ж?не денені? массасыны? к?леміне ?алай орналас?анына байланысты. Инерция моменті ?р т?рлі пішіндегі денелерде ?рт?рлі болады.

Массасы барлы? к?лемге бірдей орналас?ан ж?не д?рыс геометриялы?

пішіні бар массасы m біртекті денелерді? инерция моменттері

Бір инерция моментінен екіншісіне ?ту Штейнер-Гюйгенс теоремасы бойынша орындалады, кез келген айналыс осіне ?атысты инерция моменті, сол оське ?атысты ауырлы? центрі ар?ылы ?тетін инерция моменті мен дене массасыны? осьтерді? ара ?ашы?ты?ыны? квадратына к?бейтіндісіне ?осындысын айтады:

Айналмалы ?оз?алыста?ы ?атты денені? кинетикалы? энергиясы:

Егер дене ?рі ілгерлемелі, ?рі айналмалы ?оз?алыста болса, онда толы? кинетикалы? энергия:

Айналмалы ?атты денені? динамикасыны? негізгі те?деуі.

Дене Dj б?рыш?а б?рыл?анда к?ш т?сірілген А н?ктесі DS до?асыны? ?зынды?ына жылжиды, сонда F к?шіні? істеген ж?мысы: ; м?нда?ы ; сонда

болады.

Егер M=Fr , болса ; б?дан денені? айналдыру ж?мысы кинетикалы? энергияны ?л?айту?а кетеді:

; я?ни ?орыта келгенде мына т?рдегі те?деу шы?ады: M=Je.

б?л те?деу айналмалы ?атты денені? ?оз?алыс динамикасыны? негізгі те?деуі болып табылады.

Импульс моменті ж?не са?талу за?дары.

Импульс моменті, ол векторлы? к?бейтіндісімен аны?талатын шама

?оз?алмайтын осьтен айнал?ан абсолют ?атты денені? ?рбір н?ктесіні? жылдамды?ы v_i, импульс моменті болса, барлы? денені? импульс моменті:

ал к?ш моменті импульс моментіні? уа?ыт бойынша бірінші туындысы:

Т?йы? ж?йе ?шін импульс моменті уа?ыт а?ынымен ?згермейді:

Денені? ілгерлемелі ?оз?алысы мен ?атты денені?

айналмалы ?оз?алысын салыстырайы?:

?атты денені? деформациясы.

?атты денелерді? сырт?ы к?шті? ?серінен пішіні мен ?лшемін ?згертуін деформация деп атайды.

Серіппені? деформациясын ?арастыр?анда, оны? бірлік ауданына келетін к?шті? к?лдене? ?има?а ?атынасын кернеу деп атайды.

Денені? б?лшектеріні? бір-бірімен ?серлесуі н?тижесінде серіппені? барлы? к?лемі ?згеріске ?шырайды. Егер ?сер ететін к?ш бетке нормаль ба?ыттал?ан болса, кернеуді ?алыпты немесе нормаль кернеу деп атайды.

Егер к?ш бетке жанама ба?ыттал?ан болса, онда кернеу тангенсиал деп аталады.

Серіппені? деформациядан кейінгі ?заруын Dl, деформация?а дейінгі ?зынды?ына б?лсек, денені? салыстырмалы деформациясы шы?ады:

немесе салыстырмалы деформация кернеуге тура пропорционал: .

Материалды? серпімді ?асиеттерін ?арастыр?анда: деген шама ?олданылады, б?л шама серпімді модулі немесе Юнг модулі деп аталады.

Юнг модулін ?олданып салыстырмалы деформацияны мына т?рде жазу?а болады:

м?нда?ы a — материалды? таби?атына байланысты пропорционалды? коэффициенті, ол Пуассон коэффициенті деп аталады.

Юнг модуліні? ?лшем бірлігі – (Па)

Енді те?деуді те?естіре отырып, былай жазу?а болады:

б?дан — б?л Гук за?ы болып табылады.

Б?дан серпімді деформация кезінде серппені? ?заруы ?сер етуші к?шке тура пропорционал екендігі шы?ады, м?нда?ы k – пропорционалды? коэффициент немесе серпімділік коэффициенті деп аталады

Б?кіл?лемдік тартылыс за?ы.

Таби?атта барлы? денелер бірін-бірі тартады. Осы тартылу за?ын Ньютон аш?ан ж?не б?кіл?лемдік тартылыс за?ы деп атайды.

Б?л за? бойынша: екі материалды? н?ктені? тартылыс к?ші, осы н?ктені? массаларына тура пропорционал ж?не ара ?ашы?ты?ыны? квадратына кері пропорционал.

м?нда?ы g — пропорционалды? коэффициент, гравитациялы? т?ра?ты деп аталады, оны? шамасы g=6.672·10^-11 H·м²/кг², m₁ ж?не m₂ – денелерді? массалары, r – денелерді? ара ?ашы?ты?ы.

Космосты? жылдамды?тар.

Жерді айналып ?шу ?шін денені? ?зіндік жылдамды?ы болуы керек.

Бірінші космосты? жылдамды?: км/с

Екінші космосты? жылдамды?: км/с

?шінші космосты? жылдамды?: км/с,

Дене импульсінің моменті деп қандай шаманы айтады? Гироскоп дегеніміз не?

Гироскоп – шапшаң айналатын және айналу осі (симметрия осі) өзінің кеңістіктегі бағытын өзгерте алатын симметриялы қатты дене. Оның қарапайым мысалына балалар ойнайтын зырылдауық жатады. Гироскоптық әсер аспан денелерінде, кемеге орнатылған турбина роторында, ұшақ винтінде, т.б. байқалады.[1] Гироскоп — 1. өзі байланысқан айналымның санау жүйесін табуына арналған құрал; 2. тез айналатын қатты дене, оның айналу өсі кеңістікте өзінің жағдайын өзгерте алады.[2] Егер гироскоптың осіне моменті M=Ph-қа тең Р қос күші (h – қос күштің иіні) түсірілсе, онда гироскоп х осінің бағытымен емес, күтпеген бағытта, яғни у осінің бағытымен айнала бастайды. Сыртқы күштер әсер етпесе, гироскоп (грекше gyros – дөңгелек, gyruo – айналамын және skop – көремін, бақылаймын) еркін гироскоп деп аталады. Мысалы, ұшақпен, кемемен, ракетамен, т.б. қатынас көліктерімен тек кардан ілмесінің сақиналары арқылы байланысатын гироскоп еркін гироскоп болып саналады. Гироскопты әр түрлі қозғалыстарды басқару үшін қолдануға болады. Бірақ дәл теңгерілген гироскопты жасау – өте күрделі жұмыс. Гироскопты теңгеру, яғни оның ауырлық центрін кардан ілмесінің центрімен бір нүктеге келтіру өте үлкен дәлдікті қажет етеді. Қосымша жүк арқылы гироскоптың горизонталь осінің дүние тараптарына қарағандағы бағытын өзгертпеуге болады. Гироазимут деп аталатын мұндай гироскоп компас қызметін атқара алады. Гироазимут ұшақтарда, дәлірек айтқанда, магниттік компастың көрсетуі сенімсіз болатын полярлық аймақтарда ұшатын ұшақтарда (полярлық авиацияда) кеңінен қолданылады. Гироскоп ракета жылдамдығын анықтау үшін де пайдаланылады. Ішпектегі үйкеліс әсерінен дәл теңгерілген гироскопта да прецессия құбылысы пайда болады. Бұл прецессияның бұрыштық жылдамдығы ілме осіне әсер ететін үйкеліс моментінің шамасымен анықталады. Гироскоптың ең маңызды қызметінің бірі – оның көмегімен қозғалыстағы нысан үстіндегі денелердің ырғалуын тыныштандыру. Гироскоптық тыныштандырғыш құрылғылар автоұшқыштар мен авторульдерде пайдаланылады. Күрделі гироскоптар кеме сияқты үлкен нысандардың ырғалуын тыныштандыру үшін қолданылады.

І. Ұйымдастыру кезеңі. ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап

Есептер шығару.

Сабақ мақсаты:

1. Оқушылардың «Кинематика» тарауы бойынша алған білімдерін есеп шығару барысында қолдана білуге үйрету.

2. Оқушыларды ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.

3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: сұрақ-жауап, өз бетімен жұмыс, тақтада жұмыс.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Өткен тарауға шолу, формулаларды еске түсіру.

ІІІ. Есептер шығару.

1-жаттығу. №5.

№6.

№7.

2-жаттығу. №1.

№2.

№3.

V. Қорытындылау.

VІ. Ба,ғалау.

VІІ. Үйге тапсырма: тарауды қайталау.
10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §§2.3. 2.4. Айналмалы қозғалыстың энергиясы. Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның ІІ заңы.Импульс моментінің сақталу заңы.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Оқушыларға айналмалы қозғалыстың энергиясы, инерция моменті, Штейнер теоремасы, айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның ІІ заңы, импульстің сақталу заңы туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.
   
3. 
   Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеомагнитафон

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ.

Инерция моменті дене массасының аналогі, оның инерттілігінің өлшемі

IV. Есептер шығару.

5-жаттығу.

№3.

Берілгені: шешуі

m=100 кг әсерінен белдік үдеумен бірқалыпты

R=5 см кемімелі қозғалатын болады. М=FּμּR –үйкеліс күшінің

ν₀=8 Гц моменті;

μ=0,3 -цилиндрдің инерция моменті.

F=40 H . Бірқалыпты кемімелі қозғалыс кезінде бұрыштық

жылдамдық заң бойынша өзгереді. Себебі :ω=0

t-? болғандықтан t=ω₀/_ε=10,5 c

Берілгені шешуі

R=1 м адам платформаның шетінен оның центріне өткенде, айналу жиілігін

ν=6 айн/мин анықтау үшін импульс моментінің сақталу заңы осы жағдайда

m=80 кг мына түрде жазылады:

J=120 кгּм ² mR² – адамның бастапқы күйдегі инерция моменті. ν=0,1 c^-1

ω=? ескергенде:

№6.

Берілгені: шешуі

R=10 см Энергияның сақталу заңы бойынша жұмсалатын бұл жағдайдағы

υ₁=2 айн/сек жұмыс шардың кинетикалық энергиясының артуына кетеді:

υ =2 υ₁

ρ=8900 кг/м³ Шардың инерция моменті , , еске-

ріп,

А=?
V. Қорытындылау.

VІ. Ба,ғалау.

VІІ. Үйге тапсырма:§2.3. 2.4. 5-жаттығу. №1, №2.
10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.5. Айналмалы қозғалыс үшін импульстік түрдегі Ньютонның екінші заңы. Импульс моментінің сақталу заңы.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Оқушыларға дене импульсінің моменті, имульс моментінің сақталу заңы, гироскоп туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.
   
3. 
   Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеомагнитафон.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.

1. 
   Инерция моменті дегеніміз не?
   
2. 
   Штейнер теоремасы дегеніміз не?
   
3. 
   Дененің инерция моменті қандай параметрлерге тәуелді?
   
4. 
   Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның екінші заңы қалай айтылады?
   

дененің импульс моменті.

дененің импульс моменті. қорытқы импульс моменті

Айнымалы қозғалыс үшін импульс түріндегі Ньютонның екінші заңы: денелер жүйесіне түсірілген барлық сыртқы күштердің қорытқы импульс моменті жүйенің импульс моментінің өзгерісіне тең.

Импульс моментің сақталу заңы: тұйық жүйедегі импульс моменттерінің векторлық қосындысы тұрақты шама.

IV. Есептер шығару.5-ж. №5.

V. Қорытындылау.

VІ. Бағалау.

VІІ. Үйге тапсырма:§2.3. 2.4. 5-ж.№7

10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.6. Бүкіл әлемдік тартылыс заңы.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Оқушыларға бүкіл әлемдік тартылыс заңы, гравитациялық тұрақтының физикалық мағынасы туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.
   
3. 
   Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеомагнитафон.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.

1. 
   Дене импульсінің моменті деп қандай шаманы айтады?
   
2. 
   Импульс моментінің сақталу заңы қалай тұжырымдалады?
   
3. 
   Айналып тұрған платформаның шетіне ауыр дене қойғанда, оның бұрыштық жылдамдығы қалай өзгереді?
   
4. 
   Гироскоп деген не?
   
5. 
   Есептерді тексеру.
   

-Жер радиусы

-Жерден Айға дейін қашықтық.

тәулік

; , осыдан ; R мен Т-ның мәндерін қойсақ, онда

; ал ,

осыдан немесе , демек центрге тартықш үдеу Жердің центріне дейінгі қашықтықтың квадратына кері пропорционал кемиді. Сонымен қатар F~Mm

~

немесе

G-гравитациялық тұрақты. G=6,673ּ10^-11Нּм²/кг²

Бүкіл әлемдік тартылыс заңы: екі нүктелік денелер арасындағы өзара әрекеттесу күші олардың массаларының көбейтіедісіне тура пропорционал, ал ара қашықтығының квадратына кері пропорционал.

IV. Есептер шығару. Р:, 172, 173

V. Қорытындылау.

VI. Бағалау.

VII. Үйге тапсырма: §2.6. №169, №170

10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.7. Гравитациялық өрістегі дененің потенциалдық энергиясы.

§2.8.Кеплер заңдары.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Оқушыларға ауырлық күшінің жұмысы мен гравитациялық өзара әрекетесудің потенциалдық энергиясымен байланысы, Кеплер заңдары туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге дағдыландыру.
   
3. 
   Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, жауапкершілікке, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап.

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай орындап келгендерін тексеру.

1. 
   Бүкіл әлемдік тартылыс заңы қалай тұжырымдалады?
   
2. 
   Гравитациялық тұрақтының физикалық мағынасы қандай?
   
3. 
   Айдың Жерді айнала қозғалысын бақылай отырып, бүкіләлемдік тартылыс заңының дұрыстығын қалай дәлелдеуге болады?
   
4. 
   Есептердің шығарылуын тексеру.
   

гравитациялық өзара әректтесудің

потенциалдық энергиясы. Сонда немесе яғни ауырлық күшінің жұмысы қарама-қарсы таңбамен алынған потенциалдық энергияның өзгерісіне тең.

Ауырлық күшінің жұмысы дененің гравитациялық өрістегі қозғалыс траекториясының түріне тәуелсіз, тек оның бастапқы және соңғы орындарына ғана тәуелді.

Әртекті гравитациялық өрісте атқарылған жұмыс:

Массасы m₀ дене Жер бер бетінен R₁ қашықтықта болсын. күштің әрекетінен 2-орынға өтсін, онда оған күш әрекет етеді. деп алып, аурылқ күшінің жұмысын табамыз: . және . Сонда немесе
немесе

2-жағдайда ,

ендеше

Кеплер заңдары.

1. Әрбір планета Күнді эллипстік орбита бойымен айналып жүреді және оның фокустарының бірінде Күн тұрады.

2. Күнді планетамен жалғастырып тұратын түзу, бірдей уақыт аралығында бірдей аудандарды қамтып өтеді.

3. Барлық планеталар үшін эллипстің үлкен жарты осі кубының планетаның Күнді айналу периодының квадратына қатынасы бірдей болады:

IV. Есептер шығару. 6-ж. №1.

1. Берілгені Шешуі

Т₁=365 тәулік Жердің Күнге құлаған уақытын табу үшін Кеплердің

үшінші заңын қолданайық. Осы жағдайда Жердің түсу

сызығы ε=1 қатты “сызылған» эллипстің шекті жағдайы

t=? деп санайық. Бұл жағдайда ;

R-Жер орбитасының радиусы, Т₂-сығылған

эллипс бойынша Жердің айналу периоды.

тәулік, ал Жердің Күнге құлаған

уақыты тәулік.

VI. Бағалау.

VII. Үйге тапсырма: §2.7. Гравитациялық өрістегі дененің потенциалдық энергиясы.

§2.8.Кеплер заңдары. 6-ж. №2.

2. Берілгені : шешуі

периодын Кеплердің үшінші заңынан анықтаймыз:

R_ж=1 аст. бір.

R_м=1,5 астр. бір.
t=?

, зымыранның Марсқа жету уақыты:

күн.

10-сынып.

Сабақ тақырыбы: §2.9. Кеплер заңдарының математикалық негіздемесі.

Сабақ тақырыбы:

1. Планеталардың ортақ күштердің әрекетінен тек шеңбер бойымен ғана емес, сонымен қатар эллипс бойымен қозғала алатынын математикалық түрде негіздеу.

2. Оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастыру, ой-өрісін дамыту.

3. Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу.

Сабақ түрі: аралас

Сабақ әдісі: сұрақ-жауап, баяндау.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Үй тапсырмасы бойынша сұрақтар:

1. Пифагордың жақтаушыларына дүниенің құрылымы қандай болып көрінді?

2. Птолеймейше дүние қалай құрылған?

3. Коперник бойынша дүниенің гелиоцентрлік жүйесі дегеніміз не?

4. Кеплер заңдарын тұжырымдаңдар.

ІІІ. Жаңа сабақ түсіндіру.

Элиппстің негізгі қасиеттері.

Эллипс дегеніміз – берілген екі Ғ₁, Ғ₂ нүктелерден қашықтарының қосындысы тұрақты болып қалатын нүктелердің геометриялық орны.

МҒ₁+МҒ₂=2а – эллипстің үлкен осінің ұзындығы. А – эллипстің үлкен жарты осі.

│Ғ₁Ғ₂│=2с фокустардың ара қашықтығы фокус аралығы деп аталады. ВD=2b кесіндісі – эллипстің кіші осі.

ε=2с/2а немесе ε=с/а – эллипстің эксцентриситеті.

Егер энергияның және импульс моментінің сақталу заңдарын пайдалансақ, онда Кеплердің екінші заңын жеңіл математикалық негіздеуге болады.

егер сыртқы күштердің импульс моменті нольге айналса, яғни жүйе «Күн-планеталар», «планеталар-серіктер» жүйесін қанағаттандыратын тұйық болса, онда ∆L=0. ал бұл тұйық жүйеде импульс моменті шама жағынан да, бағыты жағынан да тұрақты дегенді білдіреді. Дөңгелек орбита үшін импульс моменті L=Rmυ. Бұл жағдайда R мен υ арасындағы бұрыш 90⁰. Планетаның эллипс бойымен қозғалысы кезінде де импульс моментінің анықтамасы сол күйінде қалады, яғни L=Rmυ₁, υ₁₌υsinα

∆МАС үшбұрыштың ауданы Осыдан

;

болғандықтан, немесе .

Бұл планетаның радиус векторын сызып өтетін ауданы. Ол секторлық жылдамдық деп аталады. Сонымен, плаетаның радиус векторы бірдей уақыт аралығында бірдей аудандарды сызып өтеді. Бұл Кеплердің ІІ заңы.

Кеплердің ІІІ заңын шеңбер бойымен қозғалыс үшін математикалық тұрғыдан негіздеу жеңіл. Массасы m планета Күнді айнала радиусы R шеңбер бойымен қозғалсын және М››m. Серіктің Жерді айналу периодын табайық.

, сонда

—бұл Кеплердің ІІІ заңы.

ІV. Пысықтау.

V. Есептер шығару. 6-ж. №3.

VІ Үйге тапсырма.§2.9. 6-ж №4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.1. Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Оқушыларға тербелмелі контур, электромагниттік тербелістер, тербелмелі контурда электромагниттік тербелістердің пайда болу себептері туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.
   
3. 
   Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, видеокассеталар, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Жаңа сабақ.

Тербелмелі контур.

Тербелмелі контурда электромагниттік тербелістердің пайда болуы.

Идеал тербелмелі контурда энергия шығыны болмайды, сондықтан тербелістер өшпейді. Толық энергия сақталады және кез келген мезетте ол мынаған тең:

.

Бірақ, шын мәнінде R≠0, сондықтан өткізгіштер қызып энергия шығын болады. Біртіндеп электромагниттік тербелістердің энергиясы катушка мен жалғастырғыш сымдардың ішкі энергиясына айналады, энергия өшеді.

IV. Пысықтау.

1. 
   Тербелмелі контур деген не?
   
2. 
   Идеал тербелмелі контур дегеніміз не?
   
3. 
   Электромагниттік тербелістердің анықтамасын беріңдер.
   
4. 
   Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістердің толық энергиясы неге тең?
   
5. 
   Тербелмелі контурда электромагниттік тербелістер қалай пайда болады?
   
6. 
   Кедергісі нольге тең емес нақты тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер неге өшеді?
   

VI. Қорытындылау.

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.1. Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер. №1.1.1, №1.1.2, №1.1.3 №1.1.4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.2. Еркін электромагниттік тербелістерді сипаттайтын теңдеулер.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, еркін тербелістер, электромагниттік тербелістерді сипаттайтын негізгі теңдеу, гармоникалық тербелістер және оны сипаттайтын шамалар туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.
   
3. 
   Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай меңгергендерін тексеру.

1. 
   Тербелмелі контур деген не?
   
2. 
   Идеал тербелмелі контур дегеніміз не?
   
3. 
   Электромагниттік тербелістердің анықтамасын беріңдер.
   
4. 
   Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістердің толық энергиясы неге тең?
   
5. 
   Тербелмелі контурда электромагниттік тербелістер қалай пайда болады?
   
6. 
   Кедергісі нольге тең емес нақты тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістер неге өшеді?
   
7. 
   Есептерді тексеру.
   

Сыртқы әрекет жоқ кезде пайда болатын тербелістерді еркін тербелістер деп атайды.

Идеал тербелмелі контурдағы еркін электромагниттік тербелістердің теңдеуін қорытайық.

— заряд тербел. дифференциалдық теңдеуі.

—зарядтың уақыт бойынша екінші туындысы кері таңбамен алынған зарядтың өзіне тура пропорционал.

Тербелмелі контурда конденсатордың астарларындағы заряд шамасы уақытқа тәуелді косинус заңы бойынша өзгереді.

Физикалық шаманың синус немесе косинус заңы бойынша өтетін уақытқа тәуелді периодты өзгерісі гармоникалық тербелістер деп аталады.

Тербелістегі щаманың ең үлкен мәнінің модулі тербеліс амплитудасы деп аталады.

Тербелістегі физикалық шаманың мәні қайталанып отыратын ең аз уақыт аралығын Т тербеліс периоды деп атайды.

Тербеліс жиілігі деп бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санына тең шаманы айтады.

— Томсон формуласы.

Тербелмелі контурда жоғары жиіліктегі электромагниттік тербелістер өндіріледі.

Тербеліс фазасы деп косинустың, не синустың аргументін айтады.

IV. Пысықтау.

1. 
   Еркін тербелістер дегеніміз не?
   
2. 
   Тербелмелі контурдағы заряд тербелістерінің дифференциалдық теңдеуін жазыңдар.
   
3. 
   Гармоникалық тербелістер деген не?
   
4. 
   Гармоникалық тербелістер теңдеулерін жазыңдар.
   
5. 
   Тербелмелі жүйенің меншікті циклдік жиілігі деп нені айтады?
   
6. 
   Тербеліс амплитудасы деген не?
   
7. 
   Тербеліс периоды деген не?
   
8. 
   Тербеліс жиілігі деген не?
   
9. 
   Томсон формуласын жазыңдар.
   
10. 
    Тербеліс фазасы деген не?
    

VI. Қорытындылау.

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.2. Еркін электромагниттік тербелістерді сипаттайтын теңдеулер.. №1.2.1, №1.2.2, №1.2.3 №1.2.4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.3. Механикалық және электромагниттік тербелістер арасындағы ұқсастық.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, тербелмелі процестер кезіндегі электр және механикалық шамалардың арасындағы сәйкестік туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.
   
3. 
   Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай меңгергендерін тексеру.

1. 
   Еркін тербелістер дегеніміз не?
   
2. 
   Тербелмелі контурдағы заряд тербелістерінің дифференциалдық теңдеуін жазыңдар.
   
3. 
   Гармоникалық тербелістер деген не?
   
4. 
   Гармоникалық тербелістер теңдеулерін жазыңдар.
   
5. 
   Тербелмелі жүйенің меншікті циклдік жиілігі деп нені айтады?
   
6. 
   Тербеліс амплитудасы деген не?
   
7. 
   Тербеліс периоды деген не?
   
8. 
   Тербеліс жиілігі деген не?
   
9. 
   Томсон формуласын жазыңдар.
   
10. 
    Тербеліс фазасы деген не?
    
11. 
    Есептердің шығарылуын тексеру.
    

IV. Пысықтау.

1. 
   Серіппелі маятниктің қатаңдық коэффициентінің артуы тербелмелі контурдағы қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?
   
2. 
   Тербелмелі контурда индуктивтіліктің кемуі қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?
   
3. 
   Математикалық маятниктің тербелістерін тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістермен салыстырыңдар.
   
4. 
   Серіппелі маятниктің механикалық тербелістерінің теңдеуін (1.6) теңдеуіне ұқсас түрде жазыңдар.
   

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.3. Механикалық және электромагниттік тербелістер арасындағы ұқсастық.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.4. §1.5. Векторлық диаграммалар тәсілі. Гармоникалық тербелістердің графиктері.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, векторлық диаграммалар тәсілі, гармоникалық тербелістер графиктері туралы түсінік беру.
   
2. 
   Оқушыларды өз бетімен ғылыми ой қорытындыларын жасай білуге жетелеу.
   
3. 
   Жауапкершілікке, тиянақтылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиелеу. Ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.
   

Сабақ әдісі: баяндау, сұрақ-жауап

Құрал-жабдықтар: компьютер, видеопроектор, слайдтар.

Сабақ барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Оқушылардың үй тапсырмасын қалай меңгергендерін тексеру.

1. 
   Серіппелі маятниктің қатаңдық коэффициентіның артуы тербелмелі контурдағы қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?
   
2. 
   Тербелмелі контурда индуктивтіліктің кемуі қандай шаманың өзгерісіне ұқсас болады?
   
3. 
   Математикалық маятниктің тербелістерін тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістермен салыстырыңдар.
   
4. 
   Серіппелі маятниктің механикалық тербелістерінің теңдеуін (1.6) теңдеуіне ұқсас түрде жазыңдар.
   
5. 
   ІІІ. Жаңа сабақ.
   

Фаза дегеніміз – тербелістің басынан есептелінетін уақыттың бұрыштық өлшемі.

IV. Пысықтау.

1. 
   Векторлық диагарммалр тәсілі туралы айтып беріңдер.
   
2. 
   Векторлық диаграммалар тәсілімен бастапқы фазаны қалай анықтауға болады?
   
3. 
   Тербеліс амплитудасы мен бастапқы фазаны бастапқы шарттар арқылы өрнектеңдер.
   
4. 
   Бастапқы фаза π/2 деп алып, идеал тербелмелі контур үшін зарядтың және ток күшінің уақытқа тәуелділік теңдеуін жазыңдар.
   

VII.Бағалау.

VШ. Үйге тапсырма: §1.4. §1.5. Векторлық диаграммалар тәсілі. Гармоникалық тербелістердің графиктері. №2, №3, №4.

11-сынып.

Сабақ тақырыбы: §1.6. Еріксіз тербелістер. Автотербелістер.

Сабақ мақсаты:

1. 
   Электромагниттік тербелістер ұғымын қалыптастыруды жалғастыру, еріксіз тербелістер, автотербелмелі жүйе, оның негізгі элементтері, автотербелістер туралы түсінік беру.
   

Инерция моменті. Кейбір егжей-қатты дене механикасының

негізгі физикалық принциптерін өзара іс-қимыл қатты денелер болып табылады, инерция заңы, қисынға келтірілген тағы ұлы Исааком Ньютон. Осы ұғымымен біз бетпе-бет, іс жүзінде тұрақты, себебі ол көрсетеді өте үлкен әсер етті барлық материалдық заттар біздің әлем, соның ішінде адам. Өз кезегінде, мұндай физикалық шама ретінде инерция моменті, тығыз байланысты жоғарыда аталған заңда анықтай отырып, күші мен ұзақтығы, оның әсерінен қатты дене.

тұрғысынан механика кез келген материалдық объект сипаттау ретінде өзгермейтін және нақты құрылымдалған (идеализированную) жүйесі нүктелердің өзара қашықтық арасындағы олар өзгермейді сипатына қарай қозғалыс. Мұндай тәсіл мүмкіндік береді дәл есептеуге арнайы формулалар инерция моменті дерлік барлық қатты тел. Тағы бір қызықты нюансом бұл жерде болып табылады, яғни кез келген күрделі бар ең замысловатую траекториясын қозғалысы түрінде көруге болады жиынтығы қарапайым кеңістікте орын ауыстыру: айналмалы және ілгерілемелі. Бұл да айтарлықтай жеңілдетеді өмір ядрошы есептеу кезінде осы физикалық шама.

Түсіну дегеніміз не инерция моменті және оның қандай әсері бізді қоршаған әлем, оңай мысалында күрт жылдамдығын өзгерту жолаушылар көлік құралдары (тежеу). Бұл жағдайда аяқ тұрған жолаушының үйкелісті туралы жынысы увлечет болып табылады. Бірақ бұл кезде дене тұрқы және басқа ешқандай ықпал көрсетілді, соның салдарынан олар бір уақытта жалғастыра отырып, бұрынғы берілген жылдамдықпен. Нәтижесінде жолаушы наклонится алға немесе төмендейді. Басқаша айтқанда, инерция моменті аяқ, өтелген үйкеліс күшімен туралы жынысы, айтарлықтай аз қалған нүктелерінің дене. Қарама-қарсы жағдай байқалады күрт ұлғайған кезде жылдамдықты автобус немесе трамвай вагонының.

Көп:

Нервтік импульс, оның түрлендіру және беру тетігі

Жүйке жүйесі адам ретінде өзіндік үйлестірушісі біздің ағзамызда. Ол деп хабарлайды команданың ми мускулатуре, органдарға, тіндерге және өңдейді сигналдар шыққан олардан. Ретінде өзіндік тасығыштың деректер пайдаланылады жүйке серпін. Ол нені білдіре…

Мыс гидроксиді

Біріктіру гидроксиді, мыс (ІІ) « білдіреді және ашық-көк түсті кристалдар, сондай-ақ болуы аморфную (порошковидную) құрылымы. Ол нерастворимо суда, бағалау бойынша тізілім қауіпсіздік орта. Химиялық формуласы заттар — Cu(OH)₂, ол болып табылады…

инерция Моменті тұжырымдауға болады ретінде физикалық шама сомасына тең шығармаларының қарапайым масс (сол ең жекелеген нүктелерінің қатты дене) квадрат олардың айналу осінен қашықтығына байланысты. Осы орайда, бұл сипаттамасы шама болып табылады аддитивті түзетудің. Басқаша айтқанда, инерция моменті материалдық дененің сомасына тең ұқсас көрсеткіштер оның бөліктерін: J = J₁ + J₂ + J₃ +_…

Бұл көрсеткіш үшін тел күрделі геометрия орналасқан эксперименттік жолмен. Ескеру керек, тым көп әр түрлі физикалық параметрлерді қоса алғанда, тығыздығы объектісінің болуы мүмкін неоднородной әртүрлі нүктелерінде, бұл жасайды аталатын өлшемді айырмашылықты масс түрлі сегменттерінде дене. Тиісінше, және стандартты формулалар мұнда жарамайды. Мысалы, сақинаның инерция моменті белгілі бір радиусы және біртекті тығыздығы бар айналу осі, ол арқылы өтеді, оның орталығы, есептеуге болады мынадай формула бойынша есептеледі: J = mR². Бірақ осындай тәсілмен болса, вычислить осы шамаға үшін шеңбер, барлық бөліктері, оның жасалуы әр түрлі материалдардан.

Ал инерция моменті шарының тұтас және біртекті құрылымын келесі формула бойынша есептеуге болады: J = 2/5mR². Есептеу кезінде осы көрсеткіш үшін тел қатысты екі параллель осьтерге айналу формуласына алғаш қосымша параметр « ара қашықтығы, обозначаемое а литері бар. Екінші айналу осі белгіленеді бұл ретте әрпімен L. Мысалы, формула болуы мүмкін келесі түрі: J = L + ma².

тәжірибелер Мұқият зерделеу бойынша инерциялық қозғалыс тел сипатын және олардың өзара іс-қимылын алғаш рет жүргізілген Галилео соломон де каус та бар тоғысында он алтыншы және он жетінші ғасырларда. Олар мүмкіндік берді ұлы ғалым, опередившему өз уақыты белгіленсін, негізгі заң сақтау туралы жеке тұрғыдан зерттеледі тыныштық күйін немесе түзу сызықты қозғалысын жерге қатысты болмаған жағдайда, ықпал етудің басқа да тел. инерция Заңы бірінші қадам белгілеу негізгі физикалық принциптері механика, тағы мүлдем смутных, невнятных және түсініксіз. Кейіннен Ньютон, формулируя жалпы заңдарын денелердің қозғалысын тіркеп, олардың саны және инерция заңы.

Момент инерции: площадь или масса?

Момент инерции является важным параметром при определении размеров и выборе линейной системы. Но очень важно знать, какой тип инерции — планарный момент инерции или момент инерции массы — задан и как он влияет на производительность системы.

Планарный момент инерции

Планарный момент инерции (также называемый вторым моментом площади или моментом инерции площади) определяет, как точки области распределяются относительно базовой оси (обычно центральной оси) и, следовательно, ее сопротивление изгибу.Терминология для плоского момента и момента инерции массы варьируется, а иногда и перекрывается. Если неясно, какой тип момента указан, просто посмотрите на единицы измерения. Планарный момент инерции выражается длиной в четвертой степени (фут ⁴ , м ⁴ ).

I = ∫∫ x ² d A

I = планарный момент инерции

x = расстояние до оси отсчета

d A = элемент площади

Второй момент площади может быть плоским или полярным.Полярный момент инерции описывает сопротивление объекта крутящему моменту или кручению и используется только для цилиндрических объектов. Уравнение для полярного момента инерции по существу такое же, как и для плоского момента инерции, но используемое расстояние — это расстояние до оси, параллельной поперечному сечению области.

I = ∫∫ r ² d A

I = полярный момент инерции

r = расстояние до оси отсчета

d A = элемент площади

Планарный момент инерции поперечного сечения балки является важным фактором при расчетах прогиба балки, а также используется для расчета напряжения, вызываемого моментом в балке.В линейных системах модели отклонения балки используются для определения отклонения консольных осей в многокоординатных системах. Вал без опоры также анализируется с помощью расчетов прогиба балки.

P = нагрузка

l = длина балки (расстояние до груза)

E = модуль упругости

I = планарный момент инерции

Момент инерции массы

Момент инерции массы (также называемый вторым моментом массы, угловой массой или инерцией вращения) определяет крутящий момент, необходимый для создания желаемого углового ускорения вокруг оси вращения, и зависит от распределения массы объекта (т.е.е. его форма) вокруг оси. У него такое же отношение к угловому ускорению, как у массы к линейному ускорению. Момент инерции массы, как и планарный момент, обычно обозначается «I», но, в отличие от плоского момента, единицы для момента инерции массы представляют собой квадрат массы-расстояния (снаряд-фут ² , кгм ² ).

Уравнение массового момента инерции для точечной массы просто:

I = mr ²

I = момент инерции массы

м = точечная масса

r = расстояние до оси вращения

Для твердого тела момент инерции массы рассчитывается путем интегрирования момента массы каждого элемента массы тела:

I = ∫ r ² d м

I = момент инерции массы

d м = элемент массы

r = расстояние до оси вращения

При определении размеров линейных систем наиболее важным моментом инерции массы, вероятно, является выбор двигателя, где соотношение между инерцией нагрузки и инерцией двигателя является критическим фактором производительности.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

моментов инерции и матрица инерции

Момент инерции

Момент инерции следует указывать относительно выбранная ось вращения.

(A)

(B)

Инерция Матрица

(C) (см. PDF для объяснения того, как это получается)

Где Матрица инерции

Проблемы где вектор момента импульса, час параллельно легче решить, поэтому момент импульса можно выразить как

Если это выражение для подставляется в уравнение (С) тогда получается следующее выражение.

Это возможно рассматривается как проблема собственных значений, три собственные значения из определить ось, вокруг которой тело может вращаться, сохраняя h параллельно

Три собственных значения: принцип моменты инерции и известны как A B и C

Три собственных вектора являются главной осью инерции и ортогональны.
Когда ось совмещена с основной осью, Ip может быть выражается как

Следовательно оси, согласованные с принципом, полезны при решении практичный задачи

Моменты инерции гироскопа

, в котором говорится, что импульс pp пропорционален скорости vv. Точно так же во вращательной динамике имеем аналогичную формулу

, где LL — угловой момент, Ω \ Omega — угловая скорость, а II — момент инерции .

Однако уравнение вращения несколько сложнее линейного: во-первых, потому что LL и Ω \ Omega не являются естественными векторами, а являются бивекторами; и во-вторых, потому что они не обязательно пропорциональны, так что II не может быть скаляром.n, поэтому его можно представить в координатах симметричным n (n − 1) 2 × n (n − 1) 2 \ frac {n (n-1)} {2} \ times \ frac {n (n-1 )} {2} матрица.

Аналогичным образом, дифференцируя это уравнение один раз по времени (и предполагая, что II постоянен, как и для твердого тела), мы имеем

относительно общего крутящего момента? τ \ tau к угловому ускорению? α \ alpha — вращательный аналог второго закона Ньютона F = maF = m a (где мм должно быть постоянным).

с малыми размерами

Для малых размеров ситуация может быть (и обычно так) упрощается.\ infty (G)} \ Gamma (T G)

, следовательно, билинейная невырожденная форма на алгебре Ли 𝔰𝔬 (n) \ mathfrak {so} (n) (не обязательно форма Киллинга).

Эта билинейная форма представляет собой момент инерции . (Например, AbrahamMarsden, раздел 4.6.)

По массовой плотности

Если твердое тело имеет плотность массы? ρ \ rho, то его угловой момент определяется через Ω \ Omega nn-мерным интегралом

по всему пространству, где x → \ vec {x} — вектор от начала координат до точки интегрирования, ⋅ \ cdot обозначает внутренний продукт? вектора с бивектором (дающим вектор), а ∧ \ wedge обозначает внешнее произведение двух векторов (дающее бивектор).

Когда Ω \ Omega везде одинаково (как для твердого тела), то мы можем рассматривать это как функцию от Ω \ Omega к LL; эта функция — это момент инерции .

Связанные страницы

Список литературы

Классическое обсуждение в учебнике, например, раздел 4.6 документа

Обычное обсуждение момента инерции в терминах бивекторов, применимых в любом измерении пространства (пространства-времени), находится на странице 74 из

• Крис Доран, Энтони Ласенби, Геометрическая алгебра для физиков Cambridge University Press

или около страницы 56 из

• Крис Доран, Энтони Ласенби, Физические приложения геометрической алгебры (pdf)

и около слайда 6 из

• Энтони Ласенби, Крис Доран и Роберт Ласенби, Динамика твердого тела и конформная геометрическая алгебра (pdf)

Эти авторы усиливают каноническое вложение бивекторов в алгебру Клиффорда, которую они называют «геометрической алгеброй».

— Какова причина использования «момента» в «моменте инерции»?

Если Эйлер ввел этот термин и не объяснил свои рассуждения, мы можем только предполагать, что он имел в виду. Сам Эйлер следовал за многими обозначениями и терминологией просто потому, что он собрал их воедино в хорошо структурированных и всеобъемлющих книгах.

Но Эйлер, вероятно, последовал прецеденту с «моментом силы». Согласно «Динамике вращения» Уортингтона (1900), это произошло в результате любопытной метаморфозы значения слова «момент» (первоначально кратковременного), и старое значение все еще было живым, по крайней мере, во время написания Уортингтона.Согласно EtymOnline, «момент» используется в старофранцузском языке как «важность» с 12 века (в английском языке с 1520-х годов думайте о «важном»), такое использование на латыни должно было появиться еще раньше.

В «О равновесии плоскостей» Архимед упомянул о совместной «важности» силы и месте ее применения для поддержания равновесия. Латинский перевод Архимеда Коммандино в Liber De Centro Gravitatis Solidorum (1565) звучал так: « Центр тяжести каждой твердой фигуры — это та точка внутри нее, вокруг которой со всех сторон стоят равные моменты ».Здесь «момент» можно прочитать как «важность», но можно также прочитать это как относящееся к какой-то определенной величине.

И, видимо, так его и стали читать. «Момент» в физике теперь обычно относится к величинам, которые в некоторой степени умножены на расстояние, а также к их суммам или интегралам. Высшие моменты вовлекают силу расстояния. «Момент» в математике имеет аналогичное значение, но применяется более абстрактно. Вот Уортингтон:

« Слово» момент «впервые было использовано в механике в его теперь уже довольно старомодном чувство «важности» или «последствия» и момент сила вокруг оси означала важность силы с относительно его способности генерировать при вращении материи вокруг ось; и снова момент инерции тела относительно к оси — это фраза, придуманная, чтобы выразить важность инерция тела, когда мы пытаемся повернуть его ось.Когда мы говорим, что момент силы о ось изменяется в зависимости от силы и расстояния ее линии действия от оси, мы не столько определяем фразу «момент силы» как выражение результата экспериментов сделано с целью выяснения обстоятельств какие силы эквивалентны друг другу по своему поворотная мощность. Важно, чтобы учащийся имея в виду это первоначальное значение слова, так что такие фразы как «момент силы» и «момент инерции» могут сразу вызовите идею, а не просто количество.

Но слово «момент» также стало использоваться по аналогии в чисто техническом смысле, в таких выражениях, как «момент массы вокруг оси» или «момент площади с по отношению к плоскости », которые требуют определения в каждом случае. В этим экземплярам не всегда есть соответствующие физические идея, и такие фразы стоят, как исторически, так и с научной точки зрения, на другой основе. «

Момент инерции — wikidoc

Эта статья о моменте инерции вращающегося объекта .Что касается момента инерции при изгибе плоскости, см. Второй момент площади.

Момент инерции , также называемый моментом инерции массы или угловой массой , (единицы СИ кг · м ² , бывшие британские единицы slug ft ² ), является вращательным аналогом массы. . То есть это инерция твердого вращающегося тела по отношению к его вращению. Момент инерции играет во вращательной динамике почти ту же роль, что и масса в базовой динамике, определяя взаимосвязь между угловым моментом и угловой скоростью, крутящим моментом и угловым ускорением, а также рядом других величин.В то время как простая скалярная обработка момента инерции достаточна для многих ситуаций, более продвинутая тензорная обработка позволяет анализировать такие сложные системы, как волчки и движение гироскопа.

Символы I {\ displaystyle I} и иногда J {\ displaystyle J} обычно используются для обозначения момента инерции.

Момент инерции был введен Эйлером в его книге a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum в 1730 году. В этой книге он подробно обсудил момент инерции и многие концепции, такие как главная ось инерции, связанные с моментом инерции.

Обзор

Момент инерции объекта относительно данной оси описывает, насколько сложно изменить его угловое движение вокруг этой оси. Например, рассмотрим два диска (A и B) одинаковой массы. Диск A имеет больший радиус, чем диск B. Предполагая, что существует однородная толщина и распределение массы, требуется больше усилий для ускорения диска A (изменения его угловой скорости), потому что его масса распределена дальше от его оси вращения: масса, которая находится дальше выходящая из этой оси должна при данной угловой скорости двигаться быстрее, чем масса ближе внутрь.В этом случае диск A имеет больший момент инерции, чем диск B.

Дайверы минимизируют моменты инерции для увеличения скорости вращения.

Момент инерции объекта может измениться при изменении его формы. Фигурист, начинающий вращение с вытянутыми руками, — яркий тому пример. Обнимая ее, она уменьшает свой момент инерции, заставляя ее вращаться быстрее (за счет сохранения углового момента).

Момент инерции имеет две формы: скалярную форму I {\ displaystyle I} (используется, когда известна ось вращения) и более общую тензорную форму, которая не требует знания оси вращения.Скалярный момент инерции I {\ displaystyle I} (часто называемый просто «моментом инерции») позволяет кратко проанализировать многие простые проблемы динамики вращения, такие как скатывание объектов по склону и поведение шкивов. Например, в то время как блок любой формы будет скользить вниз по склону без трения с одинаковой скоростью, катящиеся объекты могут спускаться с разной скоростью, в зависимости от их моментов инерции. Обруч будет опускаться медленнее, чем твердый диск того же диаметра, потому что большая часть его массы расположена далеко от оси вращения, и, следовательно, ему нужно двигаться быстрее, если обруч катится с той же угловой скоростью.Однако для (более сложных) задач, в которых ось вращения может измениться, скалярная обработка неадекватна, и необходимо использовать тензорную обработку (хотя в особых случаях возможны сокращения). Примеры, требующие такой обработки, включают гироскопы, вершины и даже спутники, все объекты, выравнивание которых может изменяться.

Момент инерции можно также назвать моментом инерции массы (особенно инженерами-механиками), чтобы избежать путаницы со вторым моментом площади, который иногда называют моментом инерции (особенно инженерами-строителями) и обозначают тот же символ I {\ displaystyle I}.{2} \, \ rho ({\ boldsymbol {r}}) \, dV \!}

где

В — объем, занимаемый объектом.

ρ — пространственная функция плотности объекта, а

( x, y, z) или (r, \ theta, z)} — координаты точки внутри тела.

Схема для расчета момента инерции диска. Здесь k — 1/2, а r — радиус, используемый для определения момента.{2} \, \!}

где

M — масса

R — радиус объекта от центра масс (в некоторых случаях вместо него используется длина объекта).

k — это безразмерная константа, называемая постоянной инерции , которая изменяется в зависимости от рассматриваемого объекта.

Инерционные константы используются для учета различий в размещении массы относительно центра вращения.Примеры включают:

• k = 1, тонкое кольцо или тонкостенный цилиндр вокруг его центра,
• k = 2/5, сплошная сфера вокруг центра
• k = 1/2, сплошной цилиндр или диск вокруг его центра.

Дополнительные примеры см. В Списке моментов инерции.

Теорема о параллельной оси

После того, как момент инерции был вычислен для вращений вокруг центра масс твердого тела, можно удобно пересчитать момент инерции для всех параллельных осей вращения, не прибегая к формальному определению.{2} \, \!}

Эта теорема также известна как правило о параллельных осях и является частным случаем теоремы Штейнера о параллельных осях .

Композитные тела

Если тело можно разложить (физически или концептуально) на несколько составных частей, то момент инерции тела относительно данной оси получается путем суммирования моментов инерции каждой составной части вокруг той же заданной оси ^{[1 ]} .

Уравнения, учитывающие момент инерции

Кинетическая энергия вращения твердого тела может быть выражена через его момент инерции.{2} \, \!} Также выполняется для непрерывного распределения массы с обобщением приведенного выше вывода от дискретного суммирования к интегрированию.

В частном случае, когда вектор углового момента параллелен вектору угловой скорости, их можно связать уравнением

L = Iω {\ displaystyle L = I \ omega \;}

, где L — угловой момент, а ω {\ displaystyle \ omega} — угловая скорость. Однако это уравнение не выполняется во многих интересных случаях, таких как прецессия вращающегося объекта без крутящего момента, хотя его более общая тензорная форма всегда верна.

Когда момент инерции постоянен, можно также связать крутящий момент на объекте и его угловое ускорение аналогичным уравнением:

τ = Iα {\ displaystyle \ tau = I \ alpha \!}

, где τ {\ displaystyle \ tau} — крутящий момент, а α {\ displaystyle \ alpha} — угловое ускорение.

Тензор момента инерции

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей.В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Тензор момента инерции — удобный способ суммировать все моменты инерции объекта одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки в пространстве, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение

Для жесткого объекта с точечными массами N {\ displaystyle N} mk {\ displaystyle m_ {k}} тензор момента инерции определяется выражением

I = [IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz] {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I\_ {yy} & I_ {yz} & I_ {yz} I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}}. | {\ displaystyle | \ mathbf {x} — (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \ mathbf {\ hat {n}} | }.. {\ displaystyle I = \ mathbf {I} \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}.}

Основные моменты инерции

Поскольку тензор момента инерции действительный и симметричный, можно найти декартову систему координат, в которой он диагонален, имеющий вид

I = [I1000I2000I3] {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}}

где оси координат называются главными осями и осями Константы I1 {\ displaystyle I_ {1}}, I2 {\ displaystyle I_ {2}} и I3 {\ displaystyle I_ {3}} называются основными моментами инерции .Единичные векторы вдоль главных осей обычно обозначаются как (e1, e2, e3) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3 })}.

Когда все главные моменты инерции различны, главные оси задаются однозначно. Если два основных момента одинаковы, твердое тело называется симметричной вершиной , и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три основных момента одинаковы, твердое тело называется сферической вершиной (хотя она не обязательно должна быть сферической), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков для любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка m {\ displaystyle m}, то есть симметрично при поворотах на 360 ° / m вокруг данной оси, ось симметрии является главной осью. Когда m> 2 {\ displaystyle m> 2}, твердое тело представляет собой симметричную вершину. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, это сферическая вершина, например куб или любое другое платоново твердое тело.Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины, что в основном означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью, чтобы колесо не качалось. {2}}

и угловой момент можно записать как произведение

L = Iω = ω1I1e1 + ω2I2e2 + ω3I3e3 {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \, {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega _ {1} I_ {1} \ mathbf {e } _ {1} + \ omega _ {2} I_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ omega _ {3} I_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

Взято вместе, можно выразить кинетическую энергию вращения через угловой момент (L1, L2, L3) {\ displaystyle (L_ {1}, L_ {2}, L_ {3})} в кадре главной оси как

Т = L122I1 + L222I2 + L322I3.{2}} {2I_ {3}}}. \, \!}

Кинетическая энергия вращения и угловой момент являются константами движения (сохраняющимися величинами) в отсутствие общего крутящего момента. Угловая скорость ω непостоянна ; даже без крутящего момента конечная точка этого вектора может двигаться в плоскости (см. конструкцию Пуансо).

См. Статью о жестком роторе, чтобы узнать больше о способах выражения кинетической энергии твердого тела.

См. Также

Список литературы

• Гольдштейн Х.(1980) Классическая механика , 2-й. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9

• Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-й. изд., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка).

• Marion JB и Thornton ST. (1995) Классическая динамика систем и частиц , 4-я. изд., Томсон. ISBN 0-03-097302-3

• Symon KR. (1971) Механика , 3-й. изд., Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7

• Тененбаум, РА. (2004) Основы прикладной динамики , Springer. ISBN 0-387-00887-X

Внешние ссылки

cs: Moment setrvačnosti da: Inertimoment de: Trägheitsmoment et: Inertsimoment eu: Inertzia momentua ко: 관성 모멘트 hr: Moment inercije it: Momento di inerzia он: מומנט התמד lt: Inercijos momentas мс: мама инерсия nl: Traagheidsmoment sk: Момент zotrvačnosti sl: Взрывностный момент fi: Hitausmomentti sv: Tröghetsmoment uk: Момент інерції

Шаблон: WH

Шаблон: WS

Момент инерции бейсбольных бит

Измерение момента инерции бейсбольной биты для софтбольной биты

Список литературы

Моменты инерции, произведения инерции и тензор инерции • Наджам Р.Сайед

Если вы изучали динамику или моделировали что-либо, связанное с вращением, движения, вы, вероятно, сталкивались с концепцией момент инерции массы, скорее всего в виде уравнения \ (T = I \ alpha \), которое связывает крутящий момент \ (T \) воздействует на объект до его углового ускорения \ (\ alpha \) через его момент инерции \ (I \). В этом типе проблема, крутящий момент и угловое ускорение действуют вокруг одной оси, и момент инерции неявно относится к моменту инерции примерно того же ось.Момент инерции по существу описывает сопротивление объекта. к вращательному движению в ответ на крутящий момент. Это вращательный аналог масса. Однако это всего лишь упрощенный случай трехмерного вращательного движения. Если вы имели дело с трехмерным вращательным движением, вы, наверное, слышали о тензор инерции, также известный как матрица инерции, который содержит моменты инерция и продукты инерции относительно всех трех осей объекта, однако вы выберите ориентацию этих осей. В этом посте мы увидим, где инерция тензора, моментов инерции и произведений инерции, а также попытаться получить некоторую интуицию в том, что они означают.

Предполагается, что вы знакомы с кросс-продуктами, базовыми исчисление и умножение матриц.

Мы начинаем со Второго закона Ньютона, \ (\ mathbf {F} = m \ mathbf {a} \), который должен кажутся вам знакомыми (мы будем использовать жирных букв для обозначения векторов и матрицы). Мы можем написать второй закон Ньютона по-другому, если вспомним что ускорение — это скорость изменения скорости во времени:

\ [\ mathbf {F} = m \ frac {d} {dt} \ mathbf {v} = \ frac {d} {dt} m \ mathbf {v} \]

Вы можете узнать \ (m \ mathbf {v} \) как определение линейного количества движения: \ (\ mathbf {p} = m \ mathbf {v} \).{N} m_i \ mathbf {r_i} \ times (\ mathbf {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) \) (Уравнение 2)

Обратите внимание, что я переместил \ (m_i \) в начало суммы, так как это скаляр, и умножение кросс-произведений является распределительным (т. е. не имеет значения, куда мы положили \ (m_i \)). Также обратите внимание на то, как \ (\ mathbf {\ omega} \) без нижнего индекса, то есть мы не писали \ (\ mathbf {\ omega_i} \). Это потому, что мы предполагаем, что вся система и каждая частица в нем имеет такую ​​же угловую скорость.

Следующим шагом является вычисление перекрестных произведений. Для этого мы должны помнить что это векторы. Мы рассмотрим вектор положения каждого частица в системе, определяемая ее компонентами x, y и z в декартовой системе координат. координаты: \ (\ mathbf {r_i} = x \ pmb {\ hat {\ imath}} + y \ pmb {\ hat {\ jmath}} + z \ mathbf {\ hat {k}} \). Точно так же угловая скорость также имеет \ (x \), \ (y \) и \ (z \) компоненты: \ (\ pmb {\ omega} = \ omega_x \ pmb {\ hat {\ imath}} + \ omega_y \ pmb {\ hat {\ jmath}} + \ omega_z \ mathbf {\ hat {k}} \).Затем, написав определяющая форма перекрестного произведения имеем:

\ [(\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {vmatrix} \ pmb {\ hat {\ imath}} & \ pmb {\ hat {\ jmath}} & \ mathbf {\ hat {k}} \\ \ omega_x & \ omega_y & \ omega_z \\ x & y & z \ end {vmatrix} \]

Если мы посчитаем, это перекрестное произведение окажется:

\ [(\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {bmatrix} \ omega_y z — \ omega_z y \\ — \ omega_x z + \ omega_z x \\ \ omega_x y — \ omega_y x \ end {bmatrix} \]

Подходя к крестному произведению этого с положением таким же образом, находим:

\ [\ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {vmatrix} \ pmb {\ hat {\ imath}} & \ pmb {\ hat {\ jmath}} & \ mathbf {\ hat {k}} \\ х & у & z \\ \ omega_y z — \ omega_z y & — \ omega_x z + \ omega_z x & \ omega_x у — \ omega_y x \ end {vmatrix} \]

Выполнение умножения и группировки как терминов:

\ (\ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {bmatrix} \ omega_x (y ^ 2 + z ^ 2) — \ omega_y xy — \ omega_z xz \\ — \ omega_x xy + \ omega_y (x ^ 2 + z ^ 2) — \ omega_z yz \\ — \ omega_x xz — \ omega_y yz + \ omega_z (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {bmatrix} \) (Уравнение 3a)

Если у вас есть опыт работы с линейной алгеброй, вы можете увидеть, что предыдущий уравнение 3a хорошо записывается в виде матрицы и вектор, где вектор — это просто вектор угловой скорости, упомянутый в последний абзац:

\ (\ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ begin {bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ -xy & (х ^ 2 + z ^ 2) & -yz \\ -xz & -yz & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \) (Уравнение 3b)

После вычисления перекрестных произведений давайте вернем уравнение 3b в Уравнение 2:

\ (\ mathbf {L} = \ sum \ limits_ {i} ^ {N} m_i \ mathbf {r_i} \ times (\ pmb {\ omega} \ times \ mathbf {r_i}) = \ сумма \ limits_ {i} ^ {N} m_i \ begin {bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ -xy & (х ^ 2 + z ^ 2) & -yz \\ -xz & -yz & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \) (Уравнение 4)

В уравнении 4 выше суммирование матрицы аналогично суммированию каждого элемента матрица.2) m_i \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \]

Здесь важно отметить, что «система частицы »не обязательно означает группу отдельных частиц или отдельные объекты. Вообще говоря, любое твердое тело или объект можно представить как систему частиц, если представить ее состоящей из \ (N \) меньших связанные части (или «частицы»). Те из вас, кто знает свой исчисление, вероятно, увидит, к чему я веду. Если мы подумаем о жестком тело как состоящее из бесконечного числа бесконечно малых частей, т.е.2) дм \]

Недиагональные элементы матрицы называются «произведениями инерция ». Хотя есть шесть недиагональных элементов, есть только три различных продукта инерции. Это потому, что матрица симметрична, то есть \ (I_ {ij} = I_ {ji} \). Эти продукты инерции обозначаются аббревиатурой следует:

\ [I_ {xy} = I_ {yx} = — \ int \ limits_ {m} (xy) dm \]

\ [I_ {xz} = I_ {zx} = — \ int \ limits_ {m} (xz) dm \]

\ [I_ {yz} = I_ {zy} = — \ int \ limits_ {m} (yz) dm \]

Переписываем тензор инерции (матрицу инерции) \ (\ mathbf {I} \) с использованием этих сокращенные определения:

\ (\ mathbf {I} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} и I_ {zy} и I_ {zz} \ end {bmatrix} \) (Уравнение 6)

Теперь, переписав уравнение 2, уравнение для углового момента, с определение из уравнения 6 выше:

\ (\ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ pmb {\ omega} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} и I_ {zy} и I_ {zz} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z \ end {bmatrix} \) (Уравнение 7)

Наконец, подставляя приведенное выше уравнение 7 обратно в уравнение 1, мы получаем полное круг:

\ [\ mathbf {T} = \ mathbf {\ dot {L}} = \ frac {d} {dt} \ mathbf {I} \ pmb {\ omega} \]

\ (\ mathbf {T} = \ mathbf {I} \ pmb {\ dot {\ omega}} = \ mathbf {I} \ pmb {\ alpha} \) (Уравнение 8)

Надеюсь, уравнение 8 покажется вам знакомым, если вы изучали динамику.это вращательный аналог \ (\ mathbf {F} = m \ mathbf {a} \), полученный с использованием определения крутящего момента, с тензором инерции (а также моменты инерции и произведения инерция в нем), получаемые в процессе.

Математика — это хорошо, но что это на самом деле означает? Давайте развернуть Уравнение 8:

\ [\ mathbf {T} = \ mathbf {I} \ pmb {\ alpha} \]

\ [\ begin {bmatrix} T_x \\ T_y \\ T_z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} и I_ {zy} и I_ {zz} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha_x \\ \ alpha_y \\ \ alpha_z \ end {bmatrix} \]

где \ (\ pmb {\ alpha} = \ alpha_x \ pmb {\ hat {\ imath}} + \ alpha_y \ pmb {\ hat {\ jmath}} + \ alpha_z \ mathbf {\ hat {k}} \) — угловое ускорение.Примечание как мы также разделили крутящий момент на соответствующие компоненты. Как Например, рассмотрим результат умножения первой строки матрицы инерции с вектором углового ускорения:

\ [T_x = I_ {xx} \ alpha_x + I_ {xy} \ alpha_y + I_ {xz} \ alpha_z \]

По сути, моменты инерции говорят нам, как объект вращается вокруг оси. когда крутящий момент прикладывается к той же оси, например, если вы прикладываете крутящий момент около ось x, \ (I_ {xx} \) говорит нам, как это влияет на угловое ускорение около ось x, основанная на распределении массы объекта.Продукция инерция сообщает нам, как объект вращается вокруг оси при приложении крутящего момента о другой оси . В приведенном выше примере произведение инерции \ (I_ {xy} \) говорит нам, как крутящий момент вокруг оси x влияет на угловое ускорение. относительно оси Y на основе распределения массы объекта. Сходным образом, \ (I_ {xz} \) говорит нам, как крутящий момент вокруг оси x влияет на угловое ускорение. вокруг оси z.

Имея это в виду, становится легче интерпретировать обозначение на мгновение или продукт инерции.Момент инерции или произведение инерции \ (I_ {ij} \) (где \ (i \) может быть x, y или z, а \ (j \) может быть x, y или z) говорит нам, как крутящий момент примененный к оси \ (i \) влияет на угловое ускорение относительно оси \ (j \).

Поскольку моменты инерции и произведения инерции полностью зависят от массы распределения объекта относительно оси вращения, они могут измениться, если либо а) изменяется распределение массы, либо б) объект вращается вокруг другой набор осей xyz. Фактически для любого объекта можно найти набор осей, для которых распределение массы симметрично относительно каждой оси.Они называются «главными осями», и когда вы вычисляете элементы тензора инерции с использованием главных осей, произведения инерции все вышло на ноль:

\ (\ mathbf {I} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {zz} \ end {bmatrix} \) (главные оси)

Вообще говоря, это так для большинства проблем — вы будете обычно имеют дело с вращением вокруг осей, проходящих через центр масс и относительно которого объект симметричен.Однако при отклонении от такого В некоторых случаях практическое знание тензора инерции может быть неоценимым.