Site Loader
Posted on 20.02.2018

Содержание

10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.

Тройка векторов ,иназывается правой, еслинаправлен так, что из его конца кратчайший поворот откпроисходит против часовой стрелки.

Векторным произведением вектора на вектор

называется третий векторкоторый обладает следующими свойствами:

  1. Его длина равна

  1. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектораи

  2. Вектор направлен так, что поворот от векторак векторуосуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора(тройка векторов,

    и– правая).

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторыиколлинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.

Смешанным произведением векторов ,,

называется число, равное (*)*= (,,)

Модуль смешанного произведения векторов

,,равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах,,.

Свойства:

1) (*

)*=*(*)

2) (,,) = (

,,) = (,) = — (,,
) = … циклически меняем

3) ,,– компланарны (,,) = 0

4)

,,– правая (,,) > 0

, ,

– левая (,,) < 0

5) (1+2,,

) = (1,,) + (2,,) (α*
,,) = α(,,)

Вычисление в координатах:

Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов :

Аналитическая геометрия

12. Виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Виды:

1) Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0

2) Уравнение прямой в отрезках:

3) Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b

4) Каноническое уравнение прямой на плоскости:

5) Параметрические уравнения прямой на плоскости:

6) Нормальное уравнение прямой: p— длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, β- угол наклона этого перпендикуляра к осиO.

Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле:

13. Взаимное расположение двух прямых на плоскости, угол между прямыми.

Если прямые изаданы общими уравнениямии,

 

тогда угол между ними находится по формуле:

–условие параллельности прямых и;

–условие перпендикулярности прямых и.

— прямые совпадают.

14. Виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Виды уравнений плоскости:

1) Общее: Ax + By + Cz + D = 0

2) В отрезках:

3) Нормальное:

Пусть плоскость задана уравнениемAx + By + Cz + D = 0 и дана точка . Тогда расстояниеp от точки Moдо плоскости определяется по формуле

15. Взаимное расположение двух плоскостей, угол между плоскостями.

Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями^

1) Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными

2) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися.

Пусть наши плоскости  изаданы уравнениями:

:  :

Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

1) Плоскости параллельны:

2) Плоскости совпадают, если выполняются следующие условия:

a2*x0 + b2*y0 + c2*z0 + d2 = 0

существует точка M0(x0,y0,z0), принадлежащая плоскости П1

Свойства векторного произведения

10 Векторное произведение равно нулю, если векторы коллинеарны или один из них равен нулю.

следует из определения модуля векторного произведения: .

Модуль равен нулю, если:

1) иливекторыколлинеарны.

2) или.

20, т.е. векторное произведение не коммутативно.

30(сочетательный закон относительно числового множителя).

40.(распределительный закон относительно суммы и произведения).

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть заданы векторы и.

Векторное произведение векторов, заданных координатами, равно определителю третьего порядка, первой строкой которого являются единичные векторы и, второй- координаты первого перемножаемого вектора, третьей – координаты второго вектора:

. (4.10)

. (4.11)

Практический способ вычисления векторного произведения

Записать векторы один под другим

и, вычёркивая последовательно столбцы одноимённых координат, получаем определители второго порядка, которые являются координатами векторного произведения. При вычислении второй координаты перед определителем изменить знак.

Составить выражение из координат:

. (4.12)

Для получения координат векторного произведения в выражении (4.12) поочередно вычеркивать столбцы.

Для получения первой координаты x вычеркнуть 1-й столбец:

Для получения y вычеркнуть второй столбец, перед оставшимся минором взять знак « — »:

.

Для z вычеркнуть 3-й столбец:

4.3 Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов, его геометрический смысл

Опр 4 Смешанным произведением векторов называется число, полученное в результате векторного произведения двух векторов, скалярно умноженного на третий.

Обозначается .(4.13)

Геометрический смысл его выражается теоремой.

Теорема. Смешанное произведение представляет собой число, абсолютная величина которого равна объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на составляющих, т.е.

. (4.14)

Подставляя эти значения в формулу (*), получим, что и требовалось доказать.

Свойства смешанного произведения

10 Смешанное произведение равно нулю, если векторы — компланарны, один из них нулевой или какие-либо два из них коллинеарные.

20 Можно ли переставлять местами сомножители в смешанном произведении?

Там, где произведение скалярное, там можно, а где векторное– нельзя.

;

;

; ;.

Если расположить векторы по координатным осям, то, делая круговой поворот их против часовой стрелки (рисунок 20), смешанное произведение не меняет знак.

.

Рис. 20

Если вращать векторы по ходу часовой стрелки, то смешанное произведение меняет знак на противоположный (рисунок 21).

.

Рис. 21

Смешанное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы заданы координатами , ,.

Тогда смешанное произведение их вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

. (4.15)

Векторное произведение

Ориентация тройки векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки (по часовой стрелке). Начала векторов тройки предполагаются при этом совмещенными. Очевидно, любая тройка некомпланарных векторов является либо правой, либо левой.

Векторное произведение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c , удовлетворяющий трем условиям:

1) , ,

2) и ,

3) если a не параллелен , то тройка векторов правая. Векторное произведение (рис. 5) векторовa и b обозначают или. Мы будем придерживаться первого обозначения.

Рис. 5. Векторное произведение

Понятие векторного произведения родилось в механике. Момент силы F, приложенной к точке , относительно точкиравен векторному произведению .

Геометрические свойства векторного произведения. Из определения векторного произведения нетрудно получить следующие свойства:

1. .

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах, приведенных к общему началу.

Докажем свойство 2). Для площади параллелограмма имеем , что и требовалось.

Алгебраические свойства векторного произведения. К таковым относят следующие свойства:

1) – антикоммутативность;

2) – однородность;

3) – дистрибутивность;

4) – идемпотентность.

Свойства 1, 2, 4 легко следуют из определения. Свойство 3 нуждается в доказательстве; мы получим его после введения базиса.

Получим на векторном языке выражение для площади параллелограмма , построенного на векторахa и b, приведенных к общему началу. С одной стороны, . С другой —

.

Или

. (2.15)

Таким образом,

. (2.16)

Определитель в правой части формулы (2.16) называется определителем Грама пары векторов a,b.

Полученный результат можно переписать в виде

.

Докажем известную со школы теорему синусов. Рассмотрим треугольник из векторов таких, что . Помножим векторно наобе части этого равенства:

.

Так как , то . Отсюда

,

,

что и требовалось.

Смешанное произведение

Смешанное произведение есть тернарная, т.е. трехместная, операция, в отличие, например, от двухместной операции скалярного произведения. Смешанное произведение (и это оправдывает название) определяется через векторное и скалярное произведения.

Смешанным произведением трех векторов называется число

.

Смешанное произведение имеет четкий геометрический смысл. Ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на упорядоченной тройке векторов , приведенных к общему началу, называется число, обозначаемое и равное объему этого параллелепипеда, взятому со знаком «плюс», если эта тройка правая, и со знаком «минус» – в противном случае.

Лемма. .

Доказательство. Объем параллелепипеда (рис.6) равен произведению площади его основания на высоту.

Поэтому

. 

Теперь вместо . Можно писать.

Рис. 6. Смешанное произведение

Следствие 1. .

Следствие 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда.

Предложение. Если вектора некомпланарные, то и вектора некомпланарные.

Доказательство. Предположим

и, например, . Умножив обе части равенства скалярно на, мы получим, что противоречит некомпланарности векторов базиса. 

4. Векторное произведение двух векторов

50. Теорема 6. Для того, чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т.е.. Докажем эту теорему.

  1. Необходимое условие.

Дано: компланарны,,,

Доказать: .

Доказательство. Из определения компланарности следует, что векторы лежат в одной плоскости, тогда один из векторов, например,линейно выражается через векорыи, т.е.. Тогда в определителе из координат векторов строки линейно зависимы. Следовательно, определитель равен нулю. Это означает, что, ч.т.д.

  1. Достаточное условие.

Дано: .

Доказать: копланарны.

Доказательство. Если , то определитель из координат векторов равен нулю. Из этого следует, что строки определителя линейно зависимы. Тогда векторы так же линейно зависимы, например,. Это возможно, лишь в случае, когда векторылежат в одной плоскости, т.е. компланарны, ч.т.д.

Свойства скалярного произведения.

  1. Скалярное произведение двух векторов обладает переместительным свойством:

.

  1. Скалярное произведение обладает распределительным свойством и сочетательным свойством относительно скалярного множителя:

,.

Пример 1.

Найти угол между векторами и.

Решение.

.

Пример 2.

Определить, при каком векторперпендикулярен вектору.

Решение.

Пример 3.

Вычислить проекцию вектора на вектор, еслии.

Решение.

Упражнения.

1.Векторы иобразуют угол; зная, что.

Вычислить: 1) ; 2); 3); 4);

5) ; 6).

2.Даны векторы .

Вычислить: 1) ; 2); 3); 4); 5); 6).

3. Вычислить косинус угла, образованного векторами и.

4. Даны вершины треугольника и.

Определить его внутренний угол при вершине А.

5. Вектор , коллинеарный вектору, образует острый угол с осьюOZ. Зная, что, найти его координаты.

6. Вычислить проекцию вектора на ось вектора.

7. Даны две точки и.

Вычислить проекцию вектора на ось вектора.

8.Найти модуль вектора , еслии векторыобразуют друг с другом углы.

9.При каких значениях mвекторыиперпендикулярны?

10. Даны три последовательные вершины параллелограмма: . Найти его четвертую вершинуDи угол между векторамии.

§6 . Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на векторназывается вектор обозначаемый символоми определяемый следующими тремя условиями:

  1. Модуль вектора равен, где— угол между векторамии, т.е.;

  1. вектор перпендикулярен к каждому из векторови;

  1. направление вектора таково, что упорядоченная тройка векторовявляется правой (т.е. если «смотреть» с конца вектора, то вращение откпо кратчайшему пути совершается против движения часовой стрелки).

Замечание.Если один из векторовинулевой, то полагаем

Свойства векторного произведения.

1. .

2. .

3.

  1. Если иколлинеарны, то

Геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площадипараллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах.

Пример 1.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах икак на сторонах, еслии угол между векторамииравен.

Решение.

Площадь Sискомого параллелограмма равна модулю векторного произведения.

Упражнения.

1. Векторы иобразуют угол. Зная, что, вычислить.

2. Даны и. Вычислить.

3. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что, вычислить:

1);

2) .

Векторное произведение в координатной форме.

Пусть даны два вектора и.

Векторное произведение равно:

Учитывая свойство 4,получаем

Тогда

Разности, стоящие в скобках, представляют собой определители второго порядка.

Поэтому

Полученное выражение на основании формулы разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки можно символически записать в виде:

.

Следствие.Площадьтреугольника, построенного на векторахикак на сторонах, определяется равенством:

.

Пример.

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках ,,.

Решение.

Рассмотрим векторы и, совпадающие со сторонами треугольника:;.

Найдем сначала их векторное произведение:

.

.

Упражнения.

1. Даны векторы и. Найти координаты векторных произведений:

1) ; 2); 3).

2. Даны точки и. Вычислить площадь треугольника.

3.Даны вершины треугольника и. Вычислить длину его высоты, опущенной из вершиныBна сторону АС.

4. Вычислить синус угла, образованного векторами и.

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

5.2. Векторное произведение двух векторов.

Определение векторного произведения.

Определение. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

а) вектор перпендикулярен плоскости векторов ии направлен так, что тройка векторов,,правая;

б) длина вектора численно равна площади

Рис. 2.19 параллелограмма, построенного на векторах и, т.е., где— угол между векторамии(рис. 2.19).

Очевидно, что ,,,,,.

Пример 11. Проверить справедливость равенства .

Решение. ,,

.

Метод Жуковского.

Рассмотрим метод Жуковского построения вектора .

Пусть угол между векторами иравен.

Векторы иприложим к общему началу(рис. 2.20). Через точкуперпендикулярно векторупроведем плоскость. Из конца вектораопустим перпендикуляр на плоскость. Точку пересечения этого перпендикуляра и плоскости обозначим через. Проведем в плоскостивектори построим вектор.

Рис. 2.20 Покажем, что вектор.

а) Из построения следует, что вектор перпендикулярен векторам,, и векторы,,образуют правую тройку.

б) .

Из а) и б) следует, что .

Если проекцию вектора на плоскостьобозначить через, то

.

Свойства векторного произведения.

Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) (векторное произведениеантикоммутативно, т.е. при перестановке сомножителей направление вектора меняется на противоположное, при этом его модуль остаётся неизменным).

Это свойство следует из определения векторного произведения. Если тройка векторов правая, то тройка— левая.

2) (ассоциативный закон). Это свойство легко доказывается из определения векторного произведения.

3) (дистрибутивный закон.) ►.◄

4) . Это свойство следует из определения векторного произведения, а именно из того, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторахи. Это свойство дает возможность записать в удобной форме параллельность двух векторов.

Например, означает, что векторколлинеарен биссектрисе первого координатного угла.

Векторное произведение в координатной форме.

Пользуясь свойствами векторного произведения и равенствами ,,,,,, вычислим

=

=

, т.е. или.

Применение векторного произведения.

Векторное произведение векторов иприменяется:

для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах и;

для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и;

для нахождения синуса угла между векторами и;

для нахождения вектора, перпендикулярного векторам и.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторахи, может быть вычислена по формуле, где- угол между векторамии.

Замечание. Если и, тои. Отсюда следует, чтомодуль определителя второго порядка численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и.

2) Площадь треугольника, построенного на векторахи, равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах, т.е., где— угол между векторамии.

3) Синус угла между векторами иможет быть вычислен по формуле.

4) Вектор перпендикулярен векторуи вектору.

Замечание. Векторное произведение может быть использовано при решении системы линейных однородных уравнений вида Если векторыинеколлинеарны, тоявляется решением исходной системы.

►Действительно, из системы уравнений следует, что вектор перпендикулярен векторами, а, следовательно,.◄

● Пример 12. Дано: ,,,,.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Найти синус угла между векторамии.

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах иравнамодулю векторного произведения векторов и, т.е...=.

.

Ответ: ,.

● Пример 13. Дано: ,,,,.

Найти значение параметра , при котором векторыиколлинеарны.

Решение. Первый способ. Так как векторы иколлинеарны, то их векторное произведение равно нулю.=0, а так как, тои.

Второй способ. Векторы исоставляют базис системы векторов,,и. В базисеи. Так как векторыиколлинеарны, то, откуда●

● Пример 14. Найти координаты вектора , длина которого равна 15, зная, что он перпендикулярен осии векторуи образует острый угол с осью.

Решение. и, поэтому.

, откуда

Так как вектор образует острый угол с осью, то вторая его координата положительна, тогдаи●

● Пример 15. Найти площадь параллелограмма , если известны координаты трёх его вершин,и.

Решение. .,,,.

● Пример 16. ,,— вершины треугольника. Найти недостающую координатуточки. если площадь треугольникаравна 3.

Решение. Площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторахи, т.е..

, ,., откуда16,и.

Ответ: или.

● Пример 17. Решить систему

Решение. Из уравнений системы следует, что вектор перпендикулярен векторами. Тогда— решение данной системы. ●

Векторное произведение векторов — это… Что такое Векторное произведение векторов?

Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов \mathbf{a, b, c} называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Определение

Векторным произведением вектора \mathbf a на вектор \mathbf b называется вектор \mathbf c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора \mathbf c равна произведению длин векторов \mathbf a и \mathbf b на синус угла \varphi; между ними
\left

Обозначение:

\mathbf c = \left[ \mathbf a \mathbf b \right] = \left[ \mathbf a,\; \mathbf b \right] = \mathbf a \times \mathbf b

В различных учебных заведениях определение векторного произведения даётся по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах. А далее выводится данное выше определение.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = S\, \mathbf e
\left[ \mathbf a,\; \mathbf c \right] = \mathrm{Pr}_{ \mathbf e }\, \mathbf a \left

Алгебраические свойства векторного произведения

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора \mathbf a и \mathbf b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

\mathbf a = (a_x,\; a_y,\; a_z)
\mathbf b = (b_x,\; b_y,\; b_z)

то их векторное произведение имеет вид

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

[ \mathbf a,\; \mathbf b ] = \begin{vmatrix} \mathbf i &amp;amp; \mathbf j &amp;amp; \mathbf k \\ a_x &amp;amp; a_y &amp;amp; a_z \\ b_x &amp;amp; b_y &amp;amp; b_z \end{vmatrix}

или

[ \mathbf a,\; \mathbf b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{i j k} a_j b_k,

где \varepsilon_{i j k} — символ Леви-Чивиты.

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k — стандартные обозначения для ортов в \R^3: они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между \mathbf i, \mathbf j и \mathbf k соответствуют правилам умножения для кватернионов i, j и k. Если представить вектор (a_1,\;a_2,\;a_3) как кватернион a1i + a2j + a3k, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}\,0&amp;amp;\!-a_3&amp;amp;\,\,a_2\\ \,\,a_3&amp;amp;0&amp;amp;\!-a_1\\-a_2&amp;amp;\,\,a_1&amp;amp;\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}
\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \mathbf{b}^T [\mathbf{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}b_1&amp;amp;b_2&amp;amp;b_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\,0&amp;amp;\!-a_3&amp;amp;\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&amp;amp;\,0&amp;amp;\!-a_1\\-a_2&amp;amp;\,\,a_1&amp;amp;\,0\end{bmatrix}

где

[\mathbf{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&amp;amp;\!-a_3&amp;amp;\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&amp;amp;0&amp;amp;\!-a_1\\\!-a_2&amp;amp;\,\,a_1&amp;amp;\,\,0\end{bmatrix}

Пусть \mathbf{a} равен векторному произведению:

\mathbf{a} = \mathbf{c} \times \mathbf{d}

тогда

[\mathbf{a}]_{\times} = (\mathbf{c}\mathbf{d}^T)^T - \mathbf{c}\mathbf{d}^T.

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n − 1) / 2 независимых компонент в n-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

[\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{a} = \mathbf{0}   и   \mathbf{a}^{T} \, [\mathbf{a}]_{\times} = \mathbf{0}

а так как [\mathbf{a}]_{\times} кососимметрична, то

\mathbf{b}^{T} \, [\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{b} = 0.

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В 3-хмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу A как столбец векторов, тогда

\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \times \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \times \vec b \\\vec a_2 \times \vec b \\\vec a_3 \times \vec b \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \cdot \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \cdot \vec b \\\vec a_2 \cdot \vec b \\\vec a_3 \cdot \vec b \end{bmatrix}

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (A — матрица, \mathbf x, \mathbf y — векторы):

A \cdot (\vec x \times \vec y) = (A \times \vec x) \cdot \vec y
A \times (\vec x \times \vec y) = \vec x (A \cdot \vec y)- \vec y (A \cdot \vec x)

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

\vec x \times \vec y = E \cdot (\vec x \times \vec y) = (E \times \vec x)\cdot \vec y

E — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в \R^3 примет вид:

\int\limits_{\Sigma}\operatorname{rot}\, \mathbf{A^T} \, \mathbf{d\Sigma} = \int\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{A}\cdot\, d \mathbf{r},

где ротор матрицы A вычисляется как векторное произведение матрицы A на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

\int\limits_{\Sigma}\operatorname{grad}\, u \times \, \mathbf{d\Sigma} = \int\limits_{\partial\Sigma} u\, d \mathbf{r},
\int\limits_{\Sigma} \left[ \mathbf{d\Sigma}; \left[ \nabla; \vec a \right] \right] = \int\limits_{\partial\Sigma} \vec a \times d \mathbf{r}.

Размерности, не равные трём

Пусть D — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение \mathbb{R}^D \times \mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^D, можно ввести только для размерности 3.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора (D − 1) векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в D-мерном пространстве на операцию с D сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \ldots i_D} с D индексами, можно явно записать такое (D − 1)-валентное векторное произведение как

P_i(\mathbf{a,\;b,\;c,\;\ldots}) = \sum_{i,\;j,\;k,\;m,\;\ldots=1}^D \varepsilon_{ijk\ldots} a_j b_k c_m \ldots

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности (D − 1).

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при D < > 3 не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

\ P_{ij}(\mathbf{a,b}) = a_i b_j - a_j b_i.

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая эта операция называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат можно отождествить с псевдоскаляром.

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на \mathbb{R}^3 структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению \R^3 с касательной алгеброй Ли so(3) к группе Ли SO(3) ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

Другое

Ссылки

Литература

  • Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Wikimedia Foundation. 2010.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *