это современный музыкальный инструмент с древней историей

Гармоника — это термин, который имеет несколько определений. Данное слово используют музыканты, математики и физики. В математике гармоника — это простейшая периодическая функция. В физике — это колебание. В музыке — наука о гармонии. Также гармоникой назывались учебники, в которых был изложен курс гармонии.

Гармоника — это общее название для семейства различных музыкальных инструментов, которые издают звук посредством гибкой вибрирующей пластинки. Такие инструменты называются язычковыми. Чтобы привести язычок в действие, нужно на него дунуть, защипнуть или оттянуть.

Первые язычковые инструменты

Гармоника — достаточно древний инструмент. Его прообразы были известны еще до нашей эры. В Древнем Китае был инструмент, который напоминает современные гармоники. Назывался он шен. По своему внутреннему устройству больше напоминал губной орган. Его изготавливали из тростниковых или бамбуковых трубок.

Шен использовали для аккомпанемента музыкальных произведений придворных певцов и танцоров. Вскоре он стал популярен среди обычного народа.

Виды гармоник

• Ручная гармоника. В таких инструментах звуки издаются потоком воздуха, который приводит в действие язычки при помощи меха. В основном они имеют две клавиатуры: правую и левую. К ним относятся гармонь, аккордеон и баян.
• Ножная гармоника. Если в случае с предыдущим видом на мех воздействовали при помощи рук, то в ножных гармониках его приводят в действие ногами. Фисгармония — это инструмент, который внешне очень похож на пианино, но механизм подачи звука совсем другой. Если фортепиано — это струнно-клавишный инструмент (звук извлекается, когда молоточек бьет по струне), одна педаль которого отодвигает заглушающий механизм, а вторая наоборот его прижимает, то фисгармония — это язычковый духовой клавишный инструмент, а педали служат для закачивания воздуха, который приводит в действие механизм. К ножным гармоникам относится ногофон и органола.
• Губная гармоника — это один из самых компактных музыкальных инструментов. Здесь нет мехов, поэтому, чтобы приводить язычки в действие, нужен непосредственно рот.
• К другим видам гармоник можно отнести оркестрион, мультимонику и мелодическую гармонику.

История губной гармошки

Первая губная гармошка была создана в 1821 году. Она предназначалась, скорее, как камертон, чем музыкальный инструмент. Это была пластина с прорезями и язычками. Звук из нее извлечь было возможно только посредством выдоха. Автором творения стал часовой мастер.

Термин «губная гармоника» произошел от названия аккордеона, которого именовали «ручной гармошкой». Так как у них принцип действия похож, то компактный музыкальный инструмент начал носить название «губной гармошки» или «губной гармонии».

Этот маленький музыкальный инструмент распространился по миру очень быстро. Производство гармошек не прекратили даже во время войн, ими, наоборот, снабжали солдат. Губная гармошка даже засветилась в немом кино, конечно, там ее услышать было невозможно, но факт остался запечатлен на пленку.

Пик популярности маленькой гармонии припал на 1950-е годы, когда весь мир взорвала волна рок-н-рола. Сейчас инструмент тоже пользуется популярностью среди представителей разных музыкальных направлений.

Из ряда вон

Практически все гармоники можно отнести к духовым инструментам, но есть один вид гармоник — стеклянные — которые очень отличаются.

Этот инструмент являет собой усовершенствованный вид музыкальных стаканов. Все знают, что если намочить палец и поводить им по ободку стакана, будет издаваться звук.

Музыкальной гармоникой называют инструмент, который состоит из полусферических стеклянных чашек, нанизанных на металлический прут. Он вращается и окунает стаканчики в воду, что заставляет их хрустально звучать. Механизм приводит в действие педаль.

Этот музыкальный инструмент относят к идиофонам, то бишь, источником звука для них является само тело инструмента.

«Физика и анатомия музыки», 3й отрывок из книги. Гармонические ряды, тембр.

1.5. Гармонические ряды. Сложный и простой тон

Многие исторические личности, музыканты, математики или филосо- фы, уделяли большое внимание тому, как колеблется свободная стру- на. Или просто любая веревка, натянутая между двумя колышками. Все струнные музыкальные инструменты используют звук колеблю- щейся струны, усиливая и изменяя его тембр с помощью резонаторов и/или различных способов звукоизвлечения. Но сначала рассмотрим подробнее гармоники и обертоны свободно звучащей струны. Это по- может в понимании базовых концепций музыкальной гармонии. Как ни пафосно это звучит, так оно и есть.

Я нарисовал гениальный рисунок, иллюстрирующий то, как ко- леблется струна.

Верхняя полуволна на рисунке называется 1-й гармоникой, она определяет слышимую высоту музыкального тона. Вторая кривая (две полуволны) называется 2-й гармоникой и т.д.

Соотношение амплитуд гармоник определяет тембр звука.

Мы знаем, что если хорошенько дернуть струну, она начнет коле- баться. Причем колебаться сложным образом — ее колебания будут яв- ляться суммой более простых колебаний с определенными, заданными частотами и амплитудами. При этом при затухании звука соотношение амплитуд волн разных частот (а значит, и тембр звука) будет меняться.

Так вот, если длина струны L, то первое, самое сильное колебание (определяющее высоту основного тона звучащей струны) имеет такую длину волны, что половина длины волны равна L. Звуки в струне будут рождаться такие, чтобы колебания струны, которые им соответствуют, имели минимумы амплитуды, строго говоря — амплитуду, равную ну- лю («узлы») на концах струны, которые жестко закреплены и не мо- гут колебаться. (Высоту звука, производимого струной, определяет не только его длина, а еще и натяжение струны, которое влияет на упругие свойства струны и, как следствие, на скорость распространения попе- речной волны по струне

1

.) Кроме волны, имеющей «пучность» посре- дине струны (1-я гармоника), мы можем наблюдать еще волны других типов, у которых в длину струны L укладывается не половина волны, а две полуволны, три полуволны и т.д. (гармоники 2-я, 3-я и т.д.). На- блюдая за звучащей гитарной басовой струной или басовой струной рояля, можно заметить на ней, если внимательно присмотреться, та- кие же волны, «узлы» (минимумы амплитуды колебаний различных волн) и «пучности» (максимумы амплитуды колебаний), как и на пос- леднем рисунке. Амплитуды звуков высших гармоник (гармоник 2, 3 и т.д.) будут меньше, чем амплитуда основного тона (1-й гармоники, основной частоты). Соотношение амплитуд гармоник реальной струны будет определяться свойствами струны и музыкального инструмента, резонаторов инструмента (гитара, скрипка и пр.) и способом извлече- ния звука (где, как сильно и чем дернули за струну)

2

.

Собственно говоря, гармоники — это всего лишь устойчивые обер- тоны струны. Простое спектральное разложение полного, суммарного звука, исходящего от натянутой струны.

Например, любой гитарист знает, что из басовой струны легко по- лучить ясно звучащий обертон, гармонику, если использовать «флажо-

1

Конечно, в жизни все сложнее. Реальные струны имеют определенную толщину, материал, из кото- рого изготавливают струны, имеет свой предел прочности и коэффициенты упругости. То место, где струна крепится к колкам музыкального инструмента, не может колебаться так, как мы показали на идеальных, математически точных рисунках с гармониками струн. Вблизи мест крепления струн они вообще могут с трудом колебаться. Эти особенности реальной струны уменьшают эффективную длину волны струны и влияют на тембр, то есть на соотношение амплитуд гармоник струны, так как поперечным волнам высокой частоты очень тяжело колебаться на толстом, жестком, неподвижном цилиндре, который представляет из себя струна вблизи точки крепления. Подробно эти особенности реальных струн (наряду с реальными флейтами) описаны в замечательной книге Криса Форстера «Му- зыкальная математика» («Musical Mathematics» Cris Forster) и в книге Дейва Бенсона «Музыка: Взгляд с точки зрения математики» («Music: A Mathematical Offering» Dave Benson). К сожалению, пока обе эти книги доступны только на английском языке.

2

Если говорить языком математики, то решение уравнения колебательного движения струны будет определяться начальными условиями: первоначальными значениями координат и скорости каждого кусочка струны. 

лет». То есть слегка прижать «пучности» струны в определенной точке, погасив таким образом колебания 1-й или 2-й гармоники.

Но раз уж мы рассуждаем тут не о физике, а скорее о музыке, нужно более внимательно рассмотреть понятие гармонического ряда и тембра музыкального звука. Как уже говорилось, соотношение гар- моник, обертонов основного тона определяет тембр, интонацию звука.

Более 100 лет назад известный композитор С.М. Майкопар писал в своей книге «Музыкальный слух», что без гармонических рядов, без тембра вообще не существовало бы всей музыкальной системы.

Часто тембральную окраску звуков сравнивают с радугой. Но, смотря на белый цвет, мы не подозреваем о том, что он состоит из множества цветов радуги. Так же и слыша какой-то звук, мы не мо- жем с ходу определить, из совокупности скольких звуков, гармоник, обертонов он состоит. Мы можем слышать тембр звука, его окраску, интонацию. То есть тембр звука, музыкального инструмента или го- лоса человека у нас ассоциируется с неким устойчивым образом. Для музыкантов тембр звука имеет одно из самых важных значений.

Если ударить молоточком, скажем, по басовой струне

до

старого немецкого рояля, то родится не только звук

до

басового диапазона, а еще и звуки, длины волн которых «укладываются» целое количество раз в этой струне. Эти дополнительные звуки, гармоники, принято ну- меровать. Номер гармоники звука отражает число колебаний каждо- го гармонического тона, приходящееся на одно колебание основного тона. Длины волн гармоник, дополнительных колебаний, обертонов будут соотноситься как 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. Соответственно, частоты гар- моник относятся к частоте основного тона как 2/1, 3/1, 4/1 и т.д.

Гармоники ноты

до

басовой октавы (1-я гармоника) выглядят так:

до

малой октавы (2-я),

соль

малой октавы (3-я),

до

1-й октавы (4-я),

ми

1-й октавы (5-я) и т.д. При этом соответствие гармоник нотам рояля несколько условное, так как равномерно темперированный строй роя- ля лишь примерно соответствует различным, так называемым чистым, натуральным строям, к которым относится и настройка «по гармони- кам». 

То есть когда нам кажется, что мы слышим какую-либо ноту, взя- тую на рояле, гитаре и на любом ином инструменте, на самом деле мы слышим кроме основного тона звука, задающего высоту, еще и мно- жество обертонов, гармоник, определяющих тембр звука.

Интерес также представляет вопрос, не имеющий прямого отно- шения к музыке: а как же вообще может одна струна одновременно издавать несколько звуков? Поверим физикам — она может и не та- кое. Достаточно очевидным является замечание, что, в силу различ- ных физических параметров, колебания струны с разными частота- ми, гармоники свободно звучащей струны будут затухать по-разному. И тембр (соотношение гармоник струны) будет меняться во времени. Так что звук

до

сразу после взятия его на рояле и спустя 5 секунд будут отличаться. И человек с «правильным ухом» легко может это заметить.

Теперь — что касается «простых» и «сложных» тонов. «Простой», «чистый» тон — звук одной частоты, который можно издать лишь с помощью генератора частот. В природе таких звуков не существует. В природе и в музыке существуют только «сложные» тоны, состоящие из основного тона (если он вообще есть) и множества дополнительных гармоник, обертонов.

Многие люди считают, что есть «приятные» сочетания звуков, а есть «неприятные». Говоря об интервалах звуков, аккордах, их еще называют консонансными (благозвучными) и диссонансными (небла- гозвучными). И вот выяснили, что благозвучными являются сочета- ния звуков, частоты которых соотносятся как небольшие целые числа. В каком-то смысле это понятно.

Вот и в звуке одной струны очень даже благозвучно сочетают- ся как основной тон, так и все гармоники струны, а именно — звуки с удвоенной, утроенной, учетверенной и т.д. частотами основного то- на. Ведь к звуку-то одной струны у нас претензий вроде бы нет?! Нет! Потому и хочется сделать из этих гармонично сочетающихся звуков (гармоник) нечто такое, с помощью чего можно было бы играть на ба- лалайке или ситаре песенки и петь каноны в церкви.

Принципы построения звукорядов, музыкальных строев на осно- ве гармоник свободно звучащей струны я рассмотрю позже. Это отде- льный, очень интересный вопрос.

Поговорим теперь о тембре.

1.6. Звуковая краска. Тембр

Удивительно, но понятию «тембр» в различных книгах по музыке при- дается относительно малое значение. Чаще всего говорится о высоте ноты, ее громкости или длительности. Это представляется странным. Пожалуй, только тот же, упоминавшийся ранее, композитор С.М. Май- 

копар в книге «Музыкальный слух» уделил этому понятию достойное внимание.

Если сравнивать звук и цвет, то тембр звука подобен цветовому отличию разных мазков на картине художника. Ведь нам совсем не все равно, какими красками будут нарисованы солнце, трава и небо. Совсем не все равно. Живопись нельзя свести к графическому изобра- жению предметов. Иногда это бывает интересным, но лишь в редких случаях. Музыка, воспроизводимая без участия тембральной окраски звуков, на слух очень неприятна. Она похожа на звучание дешевых синтезаторов и детских звучащих книжек, которые, по мнению про- изводителей, должны развивать слух у ребенка, а по сути — губят его.

Самое часто встречающееся определение того, что означает тембр, примерно такое: «Тембр — это то, чем отличается звук скрипки от зву- ка рояля». Ну… Тембром они, конечно, тоже различаются. Однако при этом тембр каждой из струн рояля отличается, так же как и на скрипке одну и ту же ноту можно взять тысячью разных способов с различным тембром образующихся звуков. Многие знают, что звуки, извлекаемые из скрипки молодым музыкантом (а именно — тембральная окраска, интонация звука), совершенно невыносимы. И вообще молодые люди часто совершенно невыносимы.

Что же такое тембр? В XIX веке, когда еще не было компьютерных спектральных анализаторов звука, легко раскладывающих сложный звук на гармоники, акустический гуру Гельмгольц удивительно точно сформулировал основную идею: «Тембр звука характеризуется формой колебаний». А ведь и правда! Звуковая волна, состоящая из одной гар- моники, имеет форму синусоиды. Из двух — сложнее, из трех — еще сложнее. С точки зрения учения о гармонических рядах (и рядах Фу- рье), тембр звуков отличается различными сочетаниями гармоник и обертонов, их частот и амплитуд. Это сочетание может быть бесконеч- но разнообразным.

Если на следующем рисунке (см. с. 38) мы посмотрим на форму волны звука рояля и звука кларнета, на кривые звукового давления (эти кривые находятся над амплитудно-частотными характеристика- ми), то мы заметим, что кривые отличаются. Но при этом кривые со- вершенно неинформативны! Периодический сигнал, слегка похожий на синусоиду, весь покрыт какими-то зазубринами, большими и ма- ленькими впадинками, понять, что к чему, совершенно невозможно. Другое дело — спектральное разложение этих звуков, амплитудно-час- тотная характеристика. Видно, что амплитуда высших гармоник ро- яля более-менее плавно убывает с ростом частоты. И этих гармоник, обертонов довольно много. Спектр кларнета же гораздо менее богат на обертоны и гармоники. В области 2500 Гц — 3000 Гц обертоны образуют даже некую группу. Такие группы часто называют формантами или формантными группами. Тоже, конечно, непростые графики, но уж точно лучше, чем кривая давления звука рояля и кларнета. 

В природе не существует «простых», «чистых» звуков, тембраль- но не окрашенных. Наиболее «чистым», почти без примеси гармоник, по-видимому, является звук камертона. Форма его звука близка к си- нусоиде.

Соотношение частот и амплитуд гармоник музыкального инстру- мента определяется его устройством и, в принципе, может быть бес- 

конечно разнообразным. У некоторых типов инструментов есть общие особенности. В звуках кларнета и других закрытых духовых инстру- ментов отсутствуют четные гармоники основного звука. Просто в си- лу устройства инструмента. В звуках русских колоколов присутствует много некратных основному тону обертонов, поэтому звук колокола сложно напеть.

Если в звуке много гармоник, то он выглядит «богатым». Но если в нем слишком много дополнительных гармоник и обертонов, он вы- глядит «грязным», а если много верхних гармоник — резким, крикли- вым, неприятным.

Ну и, заканчивая говорить о тембре, нужно сделать еще два заме- чания. Первое касается того, что человеческое ухо не может слышать звуки выше некоторой граничной частоты, около 16–20 кГц. А часто- ты гармоник одной ноты отличаются от первой гармоники в 2, 3, 4 и более раз, практически до бесконечности. То есть начиная с какой-то гармоники человеческое ухо просто не слышит этот звук, его частоту. А чем больше человек слышит гармоник звука, тем более «богатым» и «интересным» ему кажется звук. Нетрудно догадаться, что наиболь- шее количество гармоник (самый «богатый» звук) мы сможем услы- шать у низких звуков. На рояле — у нот в басовом диапазоне. Верхние ноты на рояле звучат «бедненько», «плоско», «одинаково» по тембру. Но они не виноваты. Виноваты наши уши. Впрочем, они не очень-то и виноваты. Виновата природа. Да и она, по большому счету, ни в чем не виновата. Просто так все устроено.

Второе замечание, которое нужно сделать, касается того, что обер- тоны, определяющие тембр звука какого-либо музыкального инстру- мента, вовсе не должны быть кратными основному тону звука. Они могут иметь произвольную частоту. Это может определяться формой звучащего объекта (например — колокола, квадратной металлической пластинки), формой резонатора (скрипки или лютни) и многими дру- гими факторами. Некоторые инструменты специально изготавливали так, чтобы можно было услышать два ярких максимума звука, два яр- ко выраженных некратных обертона. Например, так конструировали в древности двухтоновые китайские колокола. Рисунок колебательных мод двухтоновых колоколов вы можете видеть на рисунке. Китайцы выделяли в звуке такого колокола два тона — su и gu, соответствующие двум базовым устойчивым модам колебания колокола. 

Тембр: как мы его различаем? Нестационарные фазы звука. Форманты

О чем этот раздел? Вроде бы уже поговорили о тембре звука, зачем еще что-то говорить? Однако меня часто интересовал вопрос: как человек может выделить и опознать тембр музыкального инструмента, даже ес- ли он плохо различим на фоне помех, как можно узнать голос человека (тембр его голоса) по телефону, когда голос или звук инструмента про- шел последовательно через плохие микрофоны, плохие провода и пло- хие динамики? Как человек может выделять голос своей любимой соба- ки, голос своего нелюбимого начальника на фоне общего шума и гама?

Долгое время, на протяжении 100–150 лет, начиная с акустичес- кого гуру Гельмгольца и до нашего времени, почти никто не подвергал сомнению тот факт, что тембр звука (голоса) определяется соотношени- ем гармоник, на которые раскладывается звук. Говорилось все это о так называемой стационарной части звука, то есть о том периоде, когда звук уже не меняется. И вот выяснилось, что человек (почти как лягушка) слабо — или, по крайней мере, в меньшей степени — реагирует на уста- новившиеся процессы, не очень хорошо выделяя их на фоне окружаю- щего мира. А обращает он внимание на нестационарные, динамические параметры звука, в том числе и на тембр.

В формировании любого звука (музыкального инструмента или голоса) можно выделить три фазы: атаку (процесс нарастания звука), стационарную часть и фазу спада звука. В различных инструментах, у человека и животных, в зависимости от используемых у них способов звукообразования, временные

́

интервалы этих фаз разные. У ударных и щипковых инструментов, например гитары, мы слышим короткий отрезок времени атаки и стационарной фазы и длинный — фазы зату- хания. В звуке органной трубы достаточно длинный отрезок стационар- ной фазы и короткий период затухания. Оказалось, что для быстрого опознания тембра инструмента или голоса человек больше внимания уделяет нестационарным фазам звучания: атаке и фазе затухания звука.

Флейта использует в качестве резонатора открытую с двух концов трубу, поэтому содержит в спектре все четные и нечетные гармоники. При этом уровень (амплитуда) гармоник быстро уменьшается с частотой. У кларнета в качестве резонатора используется труба, закрытая с одного конца, поэтому в спектре звука содержатся лишь нечетные гармоники. В звуке трубы мы слышим много высокочастотных гармоник. Тембры всех этих инструментов совершенно разные: у флейты — мягкий, не- жный, у кларнета — матовый, глуховатый, у трубы — яркий, резкий.

Наличие в звуке 5–7 первых гармоник с большими амплитудами делает звук полным, сочным. Большое число высокочастотных гар- моник с одновременным ослаблением первых гармоник делает звук резким, скрипучим. Разнообразие тембров велико, правда, сложно их 

как-то определенным и однозначно трактуемым образом называть. Вот и появляются определения-«уродцы»: малиновый, теплый, барха- тистый, металлический и т.п.

Интересной особенностью гармоник и обертонов является то, что они, как правило, не равномерно распределены по частотной шкале, а стремятся образовывать группы гармоник, называемые «формантны- ми группами». Расположение форматных областей служит главным критерием различимости звуков речи. То есть именно по формантным группам мы различаем звуки «а», «э», «и», «м» и др. Обертоны гласных звуков обычно образуют всего 2–3 формантные группы с частотами 0,5– 0,6 кГц, 1,1–1,3 кГц и 2,5–2,6 кГц. Такие группы связаны со строением нашей носоглотки, резонансными полостями. Чувствительность уха в области средних частот (голосовом диапазоне) чрезвычайно высока, что и понятно, ведь речь, понимание ее нюансов и улавливание ин- тонаций очень важны для людей. Особенно высока чувствительность уха к частотам 2,5–3 кГц. В эту область попадает верхняя формант- ная группа звуков нашей речи. Такая форманта называется «певческой формантой». Преподаватели пения стараются научить «закачивать» в нее максимум звуковой энергии. Получаемый при таких тренировках голос мы хорошо знаем, это так называемый оперный голос, он хорошо выделяется даже на фоне симфонического оркестра.

Тембр звучания музыки и речи изменяется в зависимости от изме- нения громкости и от транспонирования музыки, голоса, звуков по высо- те. Во-первых, при увеличении амплитуды колебаний источников звуков различных музыкальных инструментов (струн, мембран, дек) в них на- чинают проявляться нелинейные эффекты, что приводит к обогащению спектра дополнительными обертонами. На рисунке показан спектр звука рояля при разной силе удара по струне (piano, m. forte, forte), кроме выде- ленных обертонов на рисунке видно и шумовую часть спектра. 

Во-вторых, с увеличением уровня громкости изменяется чувстви- тельность слуховой системы к восприятию низких и высоких частот. Поэтому при повышении громкости (до разумного предела 90–92 дБ) тембр становится полнее, богаче, чем при тихих звуках. При дальней- шем увеличении громкости начинают сказываться сильные искажения в источниках звука и слуховой системе, что приводит к ухудшению тембра.

Вернемся к нестационарным фазам звука. Процесс атаки особенно важен для распознавания тембра еще и потому, что является устойчи- вой характеристикой звучания данного инструмента. Устойчив он для восприятия прежде всего потому, что менее всего подвержен «окраши- ванию» со стороны помещения, поскольку первые отражения поступа- ют к слушателю с определенным запаздыванием, после того как фаза атаки уже завершена и поступила к слушателю неокрашенной в виде прямого звука. Если бы этого не было, то распознать тембр инструмен- 

та при исполнении в различных помещениях было бы очень сложно или невозможно. Эксперименты показали, что слушатели не могут опознать музыкальный инструмент, если фаза атаки удалена или из- менена. Если поменять местами фазы атаки и спада (проиграть, на- пример, запись любого инструмента в обратном направлении), тембр меняется до неузнаваемости.

На рисунке приведены примеры зависимостей уровня звуково- го давления от времени и их спектрограмм (зависимостей амплитуд обертонов от времени) для начального периода установления колеба- ний (атаки) различных инструментов. Что это за непонятные графики? В действительности все просто. В верхних частях рисунков мы видим форму сигнала звука различных инструментов, график изменения зву- кового давления. Форма кривой со временем меняется, а потом стано- вится более-менее неизменной. То есть звук музыкального инструмен- та отличается во время фазы атаки, нарастания звука и стационарной фазы. Ниже кривых давления звука показаны спектры звука. Если бы спектр не менялся со временем, все палки, амплитуды соответствую- щих гармоник и обертонов, были бы одной длины. А так они меняются со временем. При этом меняется и тембр. Такие нестационарные фазы звука, фаза нарастания и фаза затухания, очень, даже принципиально, важны для опознания по тембру какого-то музыкального инструмента или звука речи. Об этом говорят экспериментальные исследования. 

Тембр и принципы распознавания слуховых образов

Современная психоакустика (наука на стыке физики, биологии и пси- хологии) утверждает, что тембр звуков, музыкальных или не-музы- кальных, лежит в основе принципов распознавания человеком зву- ковых образов. При этом гештальтпсихология (geschtalt,

нем

. «образ») и психоакустика считают, что для разделения и распознавания звуко- вой информации, приходящей к нам из множества источников в одно и то же время (игра оркестра, разговор многих собеседников), наша слуховая система использует некоторые общие принципы.

Первый принцип — сегрегация. То есть слуховой аппарат разде- ляет общий звук на отдельные звуковые потоки, субъективно выделяя определенные группы звуковых источников. Например, при музы- кальной полифонии слух может отслеживать развитие мелодий у от- дельных инструментов.

Второй принцип — подобие. Звуки, похожие по тембру, группи- руются вместе и приписываются одному источнику. Например, звуки речи с близкой высотой и похожим тембром считаются принадлежа- щими одному собеседнику. 

Третий принцип — непрерывность. Слуховая система может до- думывать (интерполировать, экстраполировать) звук. Например, если в речь или музыку вставить короткий отрезок шума, слуховая система может не заметить его, звуковой поток будет продолжать восприни- маться как непрерывный.

Еще один принцип — «общая судьба». Звуки, которые стартуют и останавливаются, изменяются по амплитуде или частоте в опреде- ленных, небольших пределах синхронно, приписываются одному ис- точнику.

Раздел науки, рассматривающий восприятие звуковых образов (так же как и визуальных, тактильных), чрезвычайно велик. Невоз- можно охватить его в какой-то заметной степени. Достаточно далеко в этой области продвинулись спецслужбы различных стран, приду- мывая анализаторы речи, которые могли бы помочь «исследователям» определить, где человек родился, какой у него родной язык, где он изу- чал иностранный язык, выявить его характерологические особенности и т.д. Совместно с фонетическим и лингвистическим такой анализ может дать информацию о возрасте человека, его социальном стату- се, образовании, текущем психоэмоциональном состоянии. Его можно использовать (и он используется) в рамках исследования человека на полиграфе, «детекторе лжи», он незаменим для поиска террористов и иностранных шпионов. Но, как и всякое оружие, такой анализ может быть направлен в любую сторону.

По пути исследования восприятия звуковых образов далеко про- двинулись и акустики — те, кто работает над акустикой музыкальных инструментов, изучает и придумывает микрофоны, усилители, акус- тические системы, занимается вопросами сжатия музыкальной ин- формации и т.д. 

«Глазами физика». Глава из книги

Глава 6. Гармонии ветра и струн

В возрасте десяти лет я брал уроки игры на скрипке, но все закончилось полной катастрофой, и спустя где-то год я это дело бросил. В двадцать лет я захотел научиться игре на фортепиано, и у меня опять ничего не получилось. Мне до сих пор непонятно, как люди читают ноты и превращают их в музыку, используя десять пальцев на обеих руках. И все же я обожаю музыку, и в дополнение к испытываемой мной с ней тесной эмоциональной связи решил постичь ее через физику. По сути, я обожаю физику музыки, которая, конечно же, начинается с физики звука.

Вы, наверное, знаете, что звук появляется в результате одного или нескольких очень быстрых колебаний объекта, скажем поверхности барабана, камертона или скрипичной строки. Эти вибрации довольно очевидны, не так ли? Но что же на самом деле происходит, когда объекты вибрируют не столь очевидно, ибо, как правило, это происходит невидимо.

Возвратно-поступательное движение камертона сначала сжимает воздух, находящийся к нему ближе всего, затем, перемещаясь в другую сторону, разрежает его. Такое поочередное отталкивание и притягивание создает в воздухе волну давления, которую мы называем звуковой. Она очень быстро достигает наших ушей, со скоростью, известной нам как скорость звука: около 340 метров в секунду (около километра за три секунды). Такова скорость звука в воздухе при комнатной температуре. Она может очень сильно варьироваться в зависимости от среды, в которой распространяется звук. Например, скорость звука в четыре раза быстрее в воде и в пятнадцать — в железе, чем в воздухе.

Скорость света (как и любое электромагнитное излучение) в вакууме является известной константой с и составляет около 300 тысяч километров в секунду, но в воде скорость видимого света примерно на треть ниже.

Но вернемся к камертону. Когда волна, которую он производит, ударяется в наши уши, она бьется в барабанные перепонки с точно такой же скоростью колебаний, с какой камертон давит на воздух. Далее, посредством почти абсурдно сложного процесса барабанная перепонка вибрирует косточками среднего уха, носящими, как это ни удивительно, названия молоточек, наковальня и стремя, а они, в свою очередь, производят волны в жидкости во внутреннем ухе. Затем эти волны преобразуются в электрические нервные импульсы, посылаемые в мозг, и наш мозг интерпретирует полученные сигналы как звук. Довольно непростой процесс.

Звуковые волны — а на самом деле любые волны — имеют три основные характеристики: частота, длина и амплитуда. Частота — это количество волн, проходящих через определенную точку за определенный период времени. Наблюдая за волнами в океане с лодки или круизного судна, вы можете заметить, что в минуту о дно ударяется, скажем, десять волн, следовательно, мы можем сказать, что их частота составляет десять волн в минуту. Но вообще-то мы чаще всего измеряем частоту в колебаниях в секунду, также известных как герц, сокращенно Гц; 200 колебаний в секунду — это 200 герц.

Длина волны — это расстояние между двумя гребнями или между двумя межгребневыми пространствами волн. Одной из основных особенностей волн является то, что чем больше частота волны, тем короче ее длина и чем больше длина волны, тем меньше ее частота. И тут мы подходим к чрезвычайно важному набору взаимоотношений в области физики — между скоростью, частотой и длиной волны. Длина волны — это ее скорость, поделенная на ее частоту. Это относится и к электромагнитной волне (рентгеновские лучи, видимый свет, инфракрасные и радиоволны), и к звуковым волнам, и к волнам в океане. Приведу пример: длина волны в воздухе звука в 440 герц (нота ля первой октавы) равна 340, поделенному на 440, то есть 0,77 метра.

Если задуматься хотя бы на минуту, понимаешь, что это абсолютно логично. Поскольку скорость звука постоянна в любой данной среде (за исключением газов, где она зависит от температуры), то чем больше звуковых волн за какой-то конкретный период времени, тем короче они должны быть, чтобы вписаться в это время. Очевидно, верно и обратное: чем меньше волн в определенный период времени, тем длиннее должна быть каждая из них. Что касается длины волны, мы используем разные единицы измерения для разных видов волн. Например, если длина звуковых волн измеряется в метрах, то длины волн света — в нанометрах (один нанометр равен одной миллиардной метра).

А что насчет амплитуды? Представьте опять, что смотрите с лодки на волны в океане. Заметили, что некоторые из них выше других, даже если их длина одинакова? Эта характеристика волны и называется амплитудой. Амплитуда звуковой волны определяет громкость звука: чем больше амплитуда, тем громче звук, и наоборот. Это происходит потому, что чем больше амплитуда, тем больше энергии несет волна. Как скажет вам любой серфер, чем выше океанская волна, тем больше в ней энергии. Энергичнее ударяя по гитарным струнам, вы придаете им больше энергии и производите более громкий звук. Амплитуда водяных волн измеряется в метрах и сантиметрах. Амплитуда звуковых волн в воздухе представляет собой расстояние, на которое молекулы воздуха перемещаются вперед и назад в волне давления, но мы никогда не выражаем ее таким образом. Вместо этого мы измеряем интенсивность звука, которая выражается в децибелах. Шкала децибелов довольно сложная; к счастью, вам не нужно разбираться в этом досконально.

С другой стороны, высота звука, определяющая, как высоко или низко он находится на музыкальной шкале, зависит от частоты. Чем больше частота звука, тем он выше; чем меньше частота, тем он ниже. Создавая музыку, мы постоянно изменяем частоту (и, следовательно, высоту).

Человеческое ухо способно воспринимать огромный диапазон частот, от около 20 герц (самая низкая нота на фортепиано — 27,5 герц) до примерно 20 тысяч герц. У меня, кстати, есть забавная демонстрация для студентов, в которой я использую специальный аппарат для измерения остроты слуха — аудиометр, умеющий транслировать различные частоты с различной интенсивностью. Я прошу студентов держать руку поднятой до тех пор, пока они слышат звук, и постепенно увеличиваю частоту. Старея, большинство людей теряют способность слышать высокие частоты. Например, мой лимит восприятия высокой частоты находится где-то на уровне 4 тысяч герц, на четыре октавы выше среднего до, в самом конце фортепианной клавиатуры. Но молодые студенты могут слышать гораздо более высокие ноты еще довольно долго после того, как я перестаю что-либо слышать. Я поворачиваю ручку аудиометра выше и выше, до 10 тысяч и 15 тысяч герц, и руки в аудитории постепенно начинают опускаться. На высоте 20 тысяч герц поднято уже не более половины рук. Тогда я несколько замедляю процесс: 21 тысяча, 22 тысячи, 23 тысячи. К тому времени, как я добираюсь до 24 тысяч герц, несколько рук, как правило, еще подняты. В этот момент я обычно прибегаю к небольшой шутке: выключаю аппарат, а сам делаю вид, будто еще повышаю частоту, до 27 тысяч герц. И знаете, всегда находится пара отчаянных душ, которые утверждают, что слышат эти сверхвысокие ноты — до тех пор, пока я не раскрываю свой обман. Получается довольно весело.

Теперь подумайте о том, как работает камертон. Если ударить по нему сильнее, число колебаний его зубцов в секунду не меняется, следовательно, частота производимых им звуковых волн остается неизменной. Именно поэтому он всегда играет ту же ноту. А вот амплитуда колебаний его зубцов при более сильном ударе возрастает. Это можно увидеть, если записать на пленку, как вы ударяете по камертону, а потом воспроизвести запись в замедленном движении. Вы увидите, как зубцы камертона колеблются, причем тем сильнее, чем сильнее вы по ним ударили. Поскольку амплитуда увеличивается, нота становится громче, но так как зубцы продолжают колебаться с той же частотой, она не меняется. Разве это не странно? Однако, если немного подумать, понимаешь, что тут все точно так же, как в маятнике (глава 3), период колебаний которого (то есть время одного полного колебания) не зависит от амплитуды.

Звуковые волны в космосе?

А сохраняются ли упомянутые выше взаимоотношения между характеристиками звука за пределами Земли? Вам когда-нибудь приходилось слышать, что в космосе нет звуков? То есть как бы энергично вы не стучали по клавишам пианино на поверхности Луны, оно не выдавало бы никаких звуков. Правда ли это? Да, на Луне нет атмосферы, там вместо нее вакуум. Так что вы вполне можете сделать вывод, что, к сожалению, даже самые зрелищные взрывы звезд или мощные столкновения галактик происходят в полной тишине. Можно также предположить, что даже Большой взрыв, первичный взрыв, приведший почти 14 миллиардов лет назад к созданию нашей Вселенной, случился в полной тишине. Но погодите минутку. Космос, как и львиная доля жизни как таковой, значительно запутаннее и сложнее, чем мы думали всего лишь несколько десятилетий назад.

Несмотря то что любой из нас, попытавшись дышать в космосе, быстро погибнет от недостатка кислорода, в действительности космическое пространство, даже глубокий космос, не является идеальным вакуумом. Термины вроде этого всегда относительны. Например, межзвездное и межгалактическое пространство в миллионы раз ближе к вакууму, чем самый идеальный вакуум, который мы можем создать на Земле. И тем не менее факт остается фактом: материя, парящая в космическом пространстве, имеет важные и идентифицируемые характеристики.

Большая ее часть называется плазмой: это ионизированные газы — газы, частично либо полностью состоящие из заряженных частиц, таких как ядра водорода (протоны) и электроны, различной плотности. Плазма присутствует в нашей Солнечной системе, и мы обычно называем ее солнечным ветром (явление, в изучении которого огромную роль сыграл Бруно Росси). Плазма также встречается в звездах, и между звездами в галактиках (где мы называем ее межзвездной средой), и даже между галактиками (в этом случае ее именуют межгалактической средой). Большинство астрофизиков считают, что более 99,9% всей наблюдаемой материи во Вселенной — это плазма.

Теперь подумайте вот о чем. Везде, где есть материя, можно получить волны давления (и, следовательно, звук), и они будут распространяться в пространстве. А поскольку плазма присутствует в космосе повсюду (в том числе в Солнечной системе), следовательно, там множество звуков, даже если мы и не способны их услышать. Наши уши слышат довольно широкий диапазон частот — фактически более чем в трех порядках величины, — но, к сожалению, природа не оснастила нас механизмами, позволяющими слышать музыку небесных сфер.

Позвольте привести один пример. Еще в 2003 году физики обнаружили рябь в сверхгорячем газе (плазме), окружающем сверхмассивную черную дыру в центре галактики в скоплении Персея, большом кластере из тысяч галактик, расположенном на расстоянии почти 250 миллионов световых лет от Земли. Эта рябь четко указывает на наличие звуковых волн, вызванных выделением большого количества энергии в момент поглощения материи черной дырой. (Черные дыры более подробно обсуждаются в главе 12.) Физики вычислили частоту волн и пришли к выводу, что это си-бемоль, но си-бемоль настолько низкая, что находится на 57 октав (примерно в 10¹⁷) ниже до первой октавы, частота которой составляет около 262 герц! Вы можете увидеть эти космические ряби на сайте NASA Science.

А теперь вернемся к Большому взрыву. Если этот первичный взрыв, приведший к рождению нашей Вселенной, создал волны давления в самой первой материи — которая затем расширилась и впоследствии охладилась, создавая галактики, звезды и со временем планеты, — то мы должны видеть остатки этих звуковых волн. Физики рассчитали, насколько далеко друг от друга должны были находиться ряби ранней плазмы (около 500 тысяч световых лет) и какое расстояние должно разделять их сейчас, после того как наша Вселенная расширяется вот уже более 13 миллиардов лет. Получилось расстояние примерно в 500 миллионов световых лет.

В данное время проводятся два широкомасштабных исследования изображений и спектров звезд и галактик: Слоуновский цифровой обзор неба (SDSS — Sloan Digital Sky Survey) в Нью-Мексико и Исследование красного смещения в двухградусном поле (Twodegree Field (2dF) Galaxy Redshift Survey) в Австралии. Оба проекта искали ряби в распределении галактик и независимо друг от друга обнаружили… угадайте, что? Что «в настоящее время галактики с чуть большей вероятностью находятся на расстоянии 500 миллионов световых лет друг от друга, нежели на каком-либо другом расстоянии». Так что Большой взрыв произвел такой звук, длина волны которого на сегодня составляет около 500 миллионов световых лет, а частота почти на пятьдесят октав (10¹⁵) ниже звука, воспринимаемого человеческим ухом. Астроном Марк Уиттл немного поиграл с тем, что он называет акустикой Большого взрыва; и вы тоже можете получить немалое удовольствие, пройдя по ссылке. Там вы увидите и услышите, как Уиттл одновременно сжимает время (превращая 100 миллионов лет в 10 секунд) и искусственно поднимает высоту звука ранней Вселенной на пятьдесят октав выше, благодаря чему вы можете слушать «музыку» Большого взрыва.

Чудеса резонанса

Явление под названием «резонанс» делает возможным огромное количество вещей, которые в противном случае либо не могли бы существовать вовсе, либо были бы намного менее интересным. Это касается не только музыки, но и радио, часов, батутов, детских качелей, компьютеров, гудков поезда, церковных колоколов и МРТ, которую вам вполне могли делать, исследуя больное колено или плечо (знаете ли вы, что буква «Р» в этой аббревиатуре обозначает слово «резонансная» — «магнитно-резонансная томография»?).

Что же такое резонанс? Это довольно легко понять, вспомнив о качании ребенка на качелях. Раскачивая малыша, вы на интуитивном уровне знаете, что можете достичь довольно больших амплитуд в результате очень небольших усилий. Поскольку качели, по сути, не что иное, как маятник, и, следовательно, имеют четко определенную частоту (глава 3), то, если вы точно рассчитаете время своих толчков, синхронизируя их с частотой качели, совсем несильные дополнительные толчки будут оказывать значительный кумулятивный эффект на амплитуду качания качелей. Иными словами, ваш ребенок будет взлетать все выше и выше, а вы — всего лишь легонько толкать качели кончиками пальцев.

В этом случае вы пользуетесь преимуществами резонанса. Резонанс в физике представляет собой тенденцию чего-либо — будь то маятник, камертон, струна, винный бокал, барабанная кожа, стальная балка, атом, электрон, ядро или даже столб воздуха — сильнее вибрировать при определенных частотах. Мы называем их резонансными частотами (или частотами собственных колебаний).

Камертон, например, сконструирован так, чтобы всегда вибрировать на своей резонансной частоте колебаний. Если она равна 440 герц, камертон издает ноту, известную как ля основной октавы. Практически независимо от того, каким способом вы заставляете камертон вибрировать, его зубцы будут колебаться, то есть двигаться взад-вперед, с частотой 440 раз в секунду.

Все материалы имеют свои резонансные частоты, и если у вас есть возможность добавить энергию в систему или объект, он может начать вибрировать на этих частотах и вам потребуется затратить относительно немного энергии, чтобы получить весьма существенный результат. Например, если легонько постучать по пустому бокалу ложечкой или потереть обод мокрым пальцем, он отреагирует определенным звуком, то есть резонансной частотой колебаний. Конечно, резонанс — это вам не какая-то дармовщина, хотя иногда все выглядит именно так. Но на резонансных частотах объекты действительно с наибольшей эффективностью используют прилагаемую к ним энергию.

По этому же принципу работает скакалка. Если вы когда-нибудь держали ее за один конец, то знаете, что чтобы раскрутить скакалку ровной красивой дугой, потребуется некоторое время — и хотя, чтобы получить такую дугу, вы, возможно, крутили рукой с зажатой в ней ручкой, главное в этом движении то, что вы раскачиваете скакалку вверх-вниз или взад-вперед, производя колебания. В определенный момент скакалка начинает легко вертеться красивой дугой, и чтобы поддерживать этот процесс, вам достаточно едва двигать кистью, а друзья могут начать прыгать в середине этой дуги, интуитивно синхронизируя свои прыжки с резонансной частотой колебаний скакалки.

Возможно, вы этого не знали, играя в свое время на детской площадке, но вертеть рукой достаточно только одному человеку — второй может просто держаться за другой конец и скакалка все равно будет отлично крутиться. Разгадка в том, что в определенный момент крутящие достигают самой низкой резонансной частоты колебания, также называемой резонансом на основной частоте. Без него игра, известная как прыжки через двойную скакалку — когда два человека крутят скакалку в противоположных направлениях, а третий прыгает, — была бы практически невозможной. Две скакалки движутся в противоположных направлениях в руках одних и тех же людей благодаря тому, что для продолжения процесса каждому из них достаточно затратить совсем немного энергии. Поскольку тяговым усилием в данном случае являются кисти рук, скакалка становится тем, что мы называем совершающим вынужденные колебания осциллятором. Достигнув этого резонанса скакалки, вы на интуитивном уровне знаете, что вам нужно оставаться на этой частоте, и больше не ускоряете движение кисти.

Если же вы это сделаете, то красивая вращающаяся дуга скакалки разобьется на отдельные загогулины, и прыгающий вряд ли этому обрадуется. Но если ваша скакалка достаточно длинная и вы сможете крутить свой конец быстрее, то увидите, что вскоре появятся две дуги в противофазе — когда одна идет вниз, а вторая вверх, а посередине веревка будет оставаться неподвижной. Мы называем эту среднюю точку узлом. При таком раскладе прыгать через скакалку могут двое ваших друзей — каждый через свою дугу. Возможно, вы видели такое в цирке. Что же в данном случае происходит? Вы достигли второй резонансной частоты. Практически все, что может вибрировать, имеет несколько резонансных частот, которые мы вскоре обсудим подробнее. Кроме того, у скакалки есть и более высокие резонансные частоты, что я могу продемонстрировать без особого труда.

Чтобы показать множественные резонансные частоты студентам, я натягиваю прямо в аудитории веревку длиной около трех метров между двумя вертикальными стержнями. Когда я передвигаю один конец веревки вверх и вниз (всего на пару сантиметров), производя ее колебания на стержне с помощью небольшого двигателя, частоту которого я могу изменять, она вскоре достигает своей самой низкой резонансной частоты колебаний, называемой первой гармоникой (ее еще называют основной), и выгибается дугой, как скакалка. Я раскачиваю конец веревки быстрее, и через какое-то время видим уже две дуги, представляющие собой зеркальные изображения друг друга. Это явление называется второй гармоникой, и она возникает, когда веревка начинает колебаться со скоростью, в два раза превышающей первую гармонику. Таким образом, если первая гармоника составляет 2 герца, два колебания в секунду, то вторая — 4 герца. Если мы продолжим раскачивать конец веревки еще быстрее, то достигнем третьей гармоники, которая, соответственно, будет в три раза больше первой, в нашем случае 6 герц. В этот момент мы увидим, что веревка разделилась поровну на три части с двумя неподвижными точками (узлами) на ней и с дугами, поочередно идущими вверх и вниз по мере движения вверх-вниз конца веревки с частотой шесть раз в секунду.

Помните, я говорил, что самый низкий звук, который способно уловить человеческое ухо, составляет около 20 герц? Вот почему вы не слышите музыку скакалки — ее частота слишком низкая. Но если воздействовать на струны иного рода — скажем, скрипичные или гитарные, — происходит нечто совершенно другое. Например, возьмите, скрипку. (Вы же не хотите, чтобы это сделал я? Поверьте, за последние шестьдесят лет я так и не добился никаких успехов на ниве музицирования…)

Чтобы мы могли услышать один-единственный долгий, красивый, пронзительный звук скрипки, должно произойти немало физических процессов. Звук струны скрипки, виолончели, арфы или гитары — любой струны или даже просто веревки — зависит от трех факторов: длины, силы натяжения и веса. Чем длиннее струна, чем слабее ее натяжение и чем она тяжелее — тем ниже тон. И, конечно же, наоборот: чем короче струна, чем сильнее ее натяжение и чем она легче, тем тон выше. Вот почему музыкантам, играющим на струнных инструментах, время от времени приходится настраивать их, регулируя натяжение струн, чтобы они издавали звуки нужной частоты, или ноты.

Вот тут и начинается магия. Когда скрипач проводит смычком по струне, он передает ей энергию и струна каким-то образом выбирает свои собственные резонансные частоты (из всех возможных колебаний) и — что еще более удивительно, хоть мы и не можем этого видеть — вибрирует одновременно на нескольких разных резонансных частотах (с несколькими гармониками). Совсем не похоже на камертон, который способен вибрировать только на одной частоте.

Эти дополнительные гармоники (с частотами выше основной) обычно называют обертонами. Взаимодействие резонансных частот (одни звучат сильнее, другие слабее) — этакий коктейль из гармоник — и дает скрипке или виолончели то, что специалисты называют техническим термином «тембр» и что воспринимается как уникальный характер звучания инструмента. Именно этим объясняется и очевидная разница между звуком одной единственной частоты камертона, аудиометра или аварийной сирены и гораздо более сложным звучанием музыкальных инструментов, издающих звук одновременно на нескольких частотах гармоник. Характерные звуки трубы, гобоя, банджо, фортепиано или скрипки обусловлены разными «коктейлями» гармонических частот, которые производит каждый из этих инструментов. Мне лично ужасно нравится образ такого невидимого космического бармена, истинного эксперта в смешивании сотен разных коктейлей из гармоник, который подает звучание банджо одному клиенту, звук литавр — другому, а арфы или тромбона — третьему.

Создатели первых музыкальных инструментов были несомненными гениями в деле разработки их еще одной чрезвычайно важной характеристики, позволяющей нам сегодня наслаждаться прекрасными звуками музыки. Чтобы мы могли слышать музыку, звуковые волны должны не только находиться в пределах диапазона частот, воспринимаемых человеческим ухом, но и быть достаточно громкими. Например, если просто тихонько дернуть струну, звук будет недостаточно громким для того, чтобы его можно было услышать на расстоянии. Конечно, вы можете передать струне (а, следовательно, и звуковым волнам, которые она производит) намного больше энергии, дернув за нее гораздо сильнее, но это отнюдь не значит, что у вас получится четкий, качественный и приятный для уха звук. На наше счастье, люди очень давно, как минимум тысячи лет назад, нашли способ сделать так, чтобы струнные инструменты звучали достаточно громко и были слышны на довольно большом расстоянии.

Сегодня вы можете точно воспроизвести проблему, с которой столкнулись тогда наши гениальные предки, и без особого труда решить ее. Возьмите кусок струны длиной сантиметров в тридцать, привяжите один конец к дверной ручке или ящику стола, сильно натяните, держа за другой конец, а потом дерните за нее. Не слишком впечатляющий результат, верно? Вы, конечно, услышите какой-то звук, который может быть вполне различим в зависимости от длины струны, ее толщины и силы натяжения. Но, скорее всего, он будет не слишком сильным. Даже из соседней комнаты его никто не услышит. Теперь возьмите пластиковый стакан, нанижите его на струну, удерживая ее под углом к ручке, к которой она привязана (но так, чтобы стакан не соскользнул к вашей руке), и опять дерните за струну. Вы услышите куда более явный звук. Почему? Потому что струна передает часть своей энергии стакану, который теперь вибрирует с той же частотой, но имеет гораздо большую площадь поверхности, через которую вибрация передается в воздух. В результате вы слышите более громкий звук.

Вот так, с помощью банального пластикового стакана, вы продемонстрировали принцип деки, жизненно важный для всех струнных инструментов, от гитары и контрабаса до скрипки и фортепиано. Эти инструменты, как правило, сделаны из дерева и принимают колебания струн и передают эти частоты в воздух, многократно усиливая их звук.

Деки лучше всего видны в гитарах и скрипках. В рояле дека плоская, горизонтальная и находится под струнами, которые монтируются на ней; она стоит за струнами вертикально. В арфе дека представляет собой основание, к которому крепятся струны.

В аудитории я показываю студентам разные способы функционирования дек. Для одной из таких демонстраций я использую музыкальный инструмент, который смастерила в детском саду моя дочь Эмма. Он состоит из одной самой обычной струны, прикрепленной к картонной коробке из ресторана Kentucky Fried Chicken. Вы можете изменить натяжение струны с помощью деревянного брусочка. Это действительно ужасно забавно: я увеличиваю натяжение, и звук заметно меняется. Коробка KFC — просто идеальная дека, и студенты слышат звук легонько пощипываемой мной струны с довольно большого расстояния. Другая моя любимая демонстрация предполагает использование музыкальной шкатулки, купленной мною много лет назад в Австрии; она размером не больше спичечного коробка, и никакой деки к ней не прикреплено. Вы крутите рукоятку, и шкатулка благодаря вибрирующим зубчикам издает очень тихие мелодичные звуки. Я начинаю крутить рукоятку в аудитории, держа шкатулку в руках, и никто ничего не слышит, даже я сам! Тогда я ставлю шкатулку на лабораторный стол и кручу снова. Теперь звуки слышат все, даже студенты, сидящие в задней части нашего довольно большого лекционного зала. Меня не перестает поражать, насколько эффективной может быть даже самая простая дека.

Но некоторые деки — истинные произведения искусства. Всем известно, что изготовление высококачественных музыкальных инструментов окружено строжайшей секретностью, и в Steinway & Sons вам вряд ли расскажут, как они создают деки для своих всемирно известных роялей! Вы, вероятно, слышали о знаменитой семье Страдивари, изготавливавшей в XVII и XVIII веках самые лучшие в мире скрипки, мечту любого скрипача. Сегодня специалистам известно о существовании всего 540 скрипок Страдивари; один такой инструмент был продан в 2006 году за 3,5 миллиона долларов. В надежде разгадать «секреты Страдивари», чтобы в результате изготавливать дешевые скрипки с таким же волшебным звучанием, физики всесторонне исследовали старинные инструменты. Если интересно, можете прочитать о некоторых таких исследованиях на сайте Science Daily.

То, насколько приятны те или иные комбинации звуков для человеческого уха, во многом зависит от их частот и гармоник. Наиболее известная разновидность комбинации звуков, во всяком случае, в западной музыке, предполагает объединение двух звуков, у которых частота одного ровно в два раза больше частоты другого. Мы говорим, что они разделены одной октавой. Но есть и много других мелодичных комбинаций: терции, кварты, квинты и так далее.

Математики и естествоиспытатели очарованы красотой числовых взаимоотношений между разными частотами еще со времен древнегреческого философа и математика Пифагора. Историки расходятся во мнениях, что именно Пифагор открыл сам, а что позаимствовал у вавилонян и какова в этом роль его последователей, но, судя по всему, именно этому ученому принадлежит идея, что струны разной длины и натяжения производят различные звуки в предсказуемых и приятных уху соотношениях. В связи с этим современным физикам очень нравится называть Пифагора первым автором теории струн.

Производители музыкальных инструментов используют эти ценные знания с огромной эффективностью. Например, разные струны на скрипке имеют разный вес и по-разному натянуты, что позволяет им производить более высокие и более низкие частоты и гармоники, даже если все они примерно одинаковой длины. Скрипач изменяет длину струн, перемещая пальцы вверх и вниз по грифу скрипки. Когда пальцы двигаются по направлению к подбородку, длина струны уменьшается, увеличивая частоту первой гармоники, так же как и всех других, более высоких гармоник. Это может быть довольно сложно. Некоторые струнные инструменты, например индийский ситар, имеют так называемые симпатические струны — дополнительные струны, расположенные рядом или под основными и вибрирующие на собственных резонансных частотах.

Увидеть разные частоты гармоник на струнах музыкального инструмента трудно, а то и невозможно, но я могу наглядно продемонстрировать их, подключив микрофон к осциллографу, который вы, вероятно, видели хотя бы по телевизору. Осциллограф отображает вибрации — или колебания — на экране в виде линии, идущей вверх и вниз, выше и ниже центральной горизонтальной линии. В отделениях интенсивной терапии и реанимациях эти приборы используют для измерения сердцебиения пациентов.

Я всегда предлагаю студентам принести в аудиторию свои музыкальные инструменты, чтобы мы могли оценить различные коктейли гармоник, которые производит каждый из них.

Когда я подношу к микрофону камертон для получения концертного ля, на экране появляется обычная синусоида частотой 440 герц. Линия четкая и чрезвычайно правильная, потому что, как мы уже знаем, камертон генерирует только одну частоту. Но когда я прошу студента, принесшего на лекцию скрипку, сыграть ту же ля, картинка на экране становится куда интереснее. По сути, мы видим то же самое: на экране явно доминирует синусоида, но теперь кривая гораздо сложнее из-за более высоких гармоник. А если сыграть ля на виолончели, картинка опять поменяется. А представляете, что происходит, если скрипач играет две ноты одновременно!

Когда физику резонанса демонстрируют певцы, пропуская воздух через голосовые связки (кстати, куда более точным и описательным был бы термин «голосовые складки»), мембраны вибрируют и создают звуковые волны. На лекции я прошу кого-либо из студентов спеть, и осциллограф рассказывает такую же историю — на экране громоздятся не менее сложные кривые линии.

Во время игры на пианино клавиша, на которую вы нажимаете, заставляет молоточек ударять по струне — проволоке, — длина, вес и натяжение которой настроены так, чтобы она вибрировала при заданной первой частоте гармоники. Но каким-то образом, как и в случае со скрипичными струнами и голосовыми связками, струны пианино вибрируют одновременно и на более высоких гармонических частотах.

А теперь сделайте огромный мысленный прыжок, чтобы перескочить из мира музыки в субатомный мир, и представьте себе сверхкрошечные струны, похожие на скрипичные, но намного меньше атомного ядра, которые колеблются на разных частотах и с разными гармониками. Иными словами, подумайте о том, что фундаментальными строительными блоками материи являются эти крошечные вибрирующие струны, которые генерируют так называемые элементарные частицы — кварки, глюоны, нейтрино и электроны, — вибрируя на разных гармонических частотах и в разных направлениях. Если вам удалось совершить этот непростой шаг, считайте, что вы только что постигли основное положение «теории струн» — обобщающий термин, используемый для описания усилий, предпринимаемых физиками-теоретиками на протяжении последних сорока лет с тем, чтобы предложить единую теорию, которая бы позволила объяснить все элементарные частицы и силы, действующие во Вселенной. То есть в некотором смысле они хотят предложить теорию «всего».

Сегодня никто не имеет ни малейшего представления, удастся ли подтвердить эту теорию, а нобелевский лауреат Шелдон Глэшоу вообще задался вопросом, является ли она «физической или философской». Но если она верна, и базовыми элементами Вселенной действительно являются различные резонансные уровни невообразимо крошечных струн, значит, наша Вселенная, равно как и ее силы и элементарные частицы, представляет собой своего рода космическую версию замечательных, постепенно усложняющихся вариаций Моцарта на тему старинной английской детской песенки «Сияй, малютка звездочка».

Все объекты имеют свои резонансные частоты, от бутылки кетчупа в вашем холодильнике до высочайших небоскребов; многие из них таинственны и крайне трудно предсказуемы. Если вы водите автомобиль, вам наверняка приходилось слышать и его резонансы, хотя вряд они приносили усладу вашим ушам. Почти все водители во время вождения слышали шум, который исчезает, когда авто набирает скорость.

В моей последней машине, стоило мне остановиться на светофоре на холостом ходу, приборная панель, казалось, сразу же переходила на свою основную частоту. А если я жал на газ, разгоняя двигатель, то, даже не двигаясь с места, изменял частоту вибрации автомобиля и шум исчезал. Иногда какое-то время я слышал новый шум, который обычно прекращался, когда я начинал ехать быстрее либо медленнее. На разных скоростях, приводящих к разным частотам вибраций, мой автомобиль — и тысячи его частей, порой, увы, довольно разболтанных, — достигал резонансной частоты, скажем, немного отвинтившегося глушителя или разболтавшихся монтажных опор двигателя, и те начинали со мной разговаривать. Все они упорно твердили одно и то же: «Покажи меня механику, покажи меня механику». Но я упорно игнорировал эти просьбы до тех пор, пока не довел дело до серьезного ущерба, нанесенного этими резонансами. А когда мне в конце концов пришлось тащить машину в ремонт на буксире, я не смог воспроизвести эти ужасные звуки механику и чувствовал себя довольно глупо.

Помнится, в мою бытность студентом, когда во время официального обеда в моем братстве начинал выступать нежелательный оратор, мы брали свои бокалы и водили мокрыми пальцами вокруг обода, генерируя довольно громкий звук (можете попробовать сделать это дома). Это была основная частота наших винных бокалов. Понятно, что когда это одновременно делали сотни студентов (в конце концов, на то оно и братство), звук получался весьма сильным и противным, зато способ работал безотказно, и говорящий быстро понимал «тонкий» намек.

Вы наверняка слышали, что оперный певец, громко взяв ноту, может голосом разбить стеклянный бокал. Теперь, зная кое-что о резонансе, подумайте, как такое возможно? Довольно просто, по крайней мере теоретически, верно? Что произойдет, если взять бокал, измерить его основную частоту, а затем генерировать на ней звук? По моему опыту, в большинстве случаев ровным счетом ничего. Я лично никогда не видел оперного певца, разбивающего голосом бокал, поэтому и не привлекаю их к своим экспериментам. Я беру бокал, легонько стучу по нему ложкой и измеряю его основную частоту с помощью осциллографа — понятно, что она варьируется от бокала к бокалу, но для тех, которые я использую, всегда колеблется где-то в диапазоне от 440 до 480 герц. Затем я электронным способом генерирую звук точно такой же частоты (ну, совсем точно, конечно, это сделать невозможно, но я стараюсь получить максимально близкое значение). Я прикладываю бокал к усилителю и медленно увеличиваю громкость. Зачем я это делаю? Потому что чем громче звук, тем больше энергии в виде звуковой волны будет ударяться в стекло. И чем больше амплитуда колебаний в бокале, тем больше стекло будет прогибаться внутрь и выгибаться обратно — до тех пор, пока не разобьется (на что я и рассчитываю, проводя демонстрацию).

Чтобы показать, что стекло вибрирует, я крупно навожу на него камеру и подсвечиваю лучом стробоскопа, отрегулированным на несколько иную частоту, нежели звук. Это просто невероятно! Вы видите, как бокал начинает вибрировать; его две противоположные стороны сначала сходятся, а затем расходятся, и расстояние, на которое они смещаются, растет и растет по мере увеличения громкости динамика. Иногда мне приходится немного настроить частоту, а потом — бац! — и стеклянные осколки. Эта часть эксперимента особенно нравится студентам; они просто дождаться не могут, пока стекло лопнет.

А еще я обожаю показывать студентам штуки под названием «пластины Хладни», позволяющие демонстрировать резонанс невероятно причудливым и красивым способом. Это металлические пластины сантиметров тридцать в диаметре, которые бывают квадратными, прямоугольными или даже круглыми, но лучше всего квадратные. Они насаживаются в месте центра на стержень, или основание. Далее мы насыпаем на них мелкий порошок, а затем проводим скрипичным смычком вдоль одной из сторон, всей длиной смычка. Пластина начинает колебаться с одной или несколькими ее резонансными частотами. На пиках и падениях колеблющихся волн на пластине порошок будет стряхиваться, оставляя на металле прогалины, а в узлах, где пластина не вибрирует вообще, порошок будет, наоборот, накапливаться. (Струны имеют узловые точки, а двумерные объекты, такие как пластины Хладни, — узловые линии.)

В зависимости от того, как и где вы «играете» на пластине, проводя по ней смычком, вы будете возбуждать различные резонансные частоты и получите на ее поверхности удивительные, совершенно непредсказуемые узоры. В аудитории я использую более эффективную, но гораздо менее романтичную методику — вместо смычка прикрепляю пластину к вибратору и, изменяя его частоту, генерирую на пластине разные потрясающие узоры. Вы можете увидеть то, о чем я говорю, на YouTube. Просто представьте себе математические принципы, лежащие в основе всех этих красот!

На публичных лекциях, которые я читаю маленьким детям, я обычно приглашаю малышей самих водить смычком по краю пластины — они просто обожают создавать красивые и загадочные узоры. Именно такие чувства к физике я стремлюсь пробудить во всех своих учениках.

Музыка ветров

Однако мы с вами забыли о доброй половине оркестра! Как насчет флейты, гобоя или тромбона? Конечно, у этих инструментов нет ни вибрирующих струн, ни дек, на которые проецируется звук. Но духовые инструменты невероятно древние — недавно я видел в газете фотографию вырезанной из кости грифа флейты, возраст которой 35 тысяч лет, — и немного более загадочные, чем струнные, отчасти потому, что их механизм невидим.

Существуют различные виды духовых инструментов. Одни, такие как свирель и блок-флейта (старинный вариант флейты), открыты с обоих концов, другие, как кларнет, гобой и тромбон, закрыты с одного конца (хотя в них и есть отверстие, в которое дует музыкант). Но все они создают музыку, когда вдуваемый ртом воздух порождает вибрацию воздушного столба внутри инструмента.

Когда вы дуете или нагнетаете воздух внутрь духового инструмента, это, по сути, то же самое, как когда вы пощипываете гитарные струны или проводите смычком по струнам скрипки. Придавая энергию столбу воздуха, вы сбрасываете в эту воздушную полость весь спектр частот, а столб воздуха сам выбирает частоту, с которой он хочет резонировать, главным образом в зависимости от длины. Хотя это довольно трудно себе представить (но относительно несложно рассчитать), столб воздуха внутри прибора выбирает свою основную частоту и некоторые из более высоких гармоник и начинает вибрировать на них, после чего выталкивает и втягивает воздух, практически так же, как вибрируют зубцы камертона, посылая звуковые волны в сторону ушей слушателей.

В случае с гобоем, кларнетом и саксофоном вы дуете в так называемую трость, которая передает энергию столба воздуха и заставляет его резонировать. Играя на флейте и блок-флейте, музыкант дует в отверстие или через дульце, создающее резонанс. А при игре на медных духовых инструментах вы должны плотно сжать губы и издать в инструмент вибрирующий звук, и если вы этому не учились, то у вас, скорее всего, ничего не получится. Я, например, однажды попробовав сделать это, в итоге только наплевал в трубу!

Если инструмент открыт с обоих концов, как, например, флейта, столб воздуха может вибрировать на своих гармониках, каждая из которых кратна основной частоте, — точно также, как в случае со струнами. Что касается деревянных духовых инструментов, закрытых с одного конца и открытых с другого, то тут все зависит от формы отверстия. Если оно имеет форму конуса, как у гобоя или саксофона, инструмент будет генерировать все гармоники, подобно флейте. Но если оно цилиндрическое, как, скажем, у кларнета, столб воздуха будет резонировать только на нечетных, кратных основной частоте: три, пять, семь и так далее. По довольно трудно объяснимым причинам все медные духовые инструменты резонируют на всех гармониках, как флейта.

Гораздо понятнее, хотя и на чисто интуитивном уровне, что чем длиннее столб воздуха, тем ниже частота (и высота) производимого инструментом звука. При уменьшении длины трубы в два раза частота первой гармоники удваивается. Вот почему маленькая флейта-пикколо выдает высокие ноты, а фагот — низкие. Этим общим принципом также объясняется, почему орган состоит из огромного диапазона трубок разной длины — некоторые органы могут издавать звуки в целых девяти октавах. Чтобы произвести основную частоту около 8,7 герца, которая вообще-то даже ниже того, что воспринимает человеческое ухо, хотя мы и можем чувствовать вибрацию, требуется огромная труба длиной 19,5 метра, открытая с обеих сторон. В мире всего две такие огромные органные трубы, уж очень они непрактичны. Труба в десять раз короче вырабатывает основную частоту в десять раз выше, то есть 87 герц; а труба в сто раз короче — около 870 герц.

Музыканты, играющие на духовых инструментах, не просто дуют в них. Они также открывают или закрывают отверстия, которые служат для эффективного сокращения или удлинения столба воздуха, тем самым повышая либо понижая частоту генерируемого инструментом звука. Вот почему, когда дуешь в игрушечную дудочку, самые низкие тона получаются, если заткнуть все отверстия, удлинив в результате столб воздуха. Тот же принцип используется и в медных духовых инструментах. Чем длиннее столб воздуха, даже если он должен идти по кругу, тем ниже звук. Самый низкий звук издает труба длиной около 5,5 метра, известная как труба си-бемоль, с основной частотой около 30 герц; дополнительные, так называемые поворотные, клапаны позволяют понижать тон до 20 герц. Клапаны на трубе открывают или закрывают дополнительные трубки, изменяя высоту резонансных частот. Наиболее прост для визуального понимания тромбон. Сдвигая подвижную часть этого инструмента, называемую кулисой, музыкант увеличивает длину столба воздуха, понижая его резонансные частоты.

Я играю на лекции простенькую мелодию на деревянном слайд-тромбоне, и студентам моя игра очень нравится — я же не говорю им, что это единственная мелодия, которую я умею играть. На самом деле я настолько безнадежен как музыкант, что хоть и читал эту лекцию много-много раз, перед ней непременно репетирую музыкальный номер. Я даже сделал специальные пометки на кулисе тромбона — по сути, ноты, — обозначенные номерами 1, 2, 3 и так далее, ведь я даже не научился читать с нотного листа. Но, как я уже говорил, полное отсутствие музыкальных талантов вовсе не мешает мне высоко ценить красоту музыки и получать огромное удовольствие от экспериментов со звуками.

На момент написания этих строк я развлекаюсь, экспериментируя со столбом воздуха внутри литровой пластиковой бутылки с газировкой. Это отнюдь не идеальный столб, ибо узкое горлышко бутылки постепенно расширяется до ее полного диаметра. Поэтому физика горлышка, как вы можете себе представить, очень сложна. Однако основной принцип духовой музыки — чем длиннее столб воздуха, тем ниже резонансные частоты — по-прежнему сохраняется. Вы можете тоже попробовать провести этот эксперимент.

Заполните бутылку из-под содовой или вина водой почти до верха и подуйте в горлышко. Это потребует некоторой практики, но довольно скоро вы наверняка «нащупаете» столб воздуха, вибрирующий на своих резонансных частотах. Сначала звук будет высокий, но чем больше вы отпиваете из бутылки (теперь понимаете, почему я настаивал на воде?), тем больше становится столб воздуха, а высота тона снижается. Я также обнаружил, что чем длиннее столб воздуха, тем звук приятнее. Чем ниже частота первой гармоники, тем выше вероятность того, что я буду генерировать дополнительные гармоники на более высоких частотах и звук будет иметь более сложный и интересный тембр.

Вам может показаться, что этот звук, вибрируя, издает бутылка, точно так же как струна, и вы на самом деле почувствуете, что бутылка вибрирует — именно так, как вибрировал бы саксофон, если бы вы держали его в руках и дули в него. Но резонирует воздушный столб внутри бутылки. Чтобы лучше в этом разобраться, попробуйте разгадать следующую загадку. Если взять два одинаковых бокала, один пустой, а второй наполовину полный, и возбудить в обоих первые гармоники, легонько постучав по бокалам ложкой или потерев обод мокрым пальцем, частота какого будет выше и почему? Признаться, с моей стороны формулировать вопрос таким образом не совсем корректно, поскольку в нем я даю установку на неправильный ответ, но уж извините! Надеюсь, вы справитесь с этим.

Тот же принцип применяется и в забавных игрушках — двадцатисантиметровых гибких гофрированных пластиковых цветных трубках. Вы наверняка их видели или играли с ними. Помните, как они работают? Начав крутить такую трубу над головой, сначала слышишь низкочастотный тон. Конечно, вы ожидаете, что это будет первая гармоника, как сделал и я, когда впервые играл с такой игрушкой. А между тем у меня почему-то так ни разу и не получилось возбудить первую гармонику. Я всегда сразу слышу вторую. А раскрутив трубку быстрее, переходишь на все более и более высокие гармоники. В рекламе игрушки в интернете утверждается, что из трубки можно получить четыре тона, хотя на самом деле только три — четвертый тон, то есть пятая гармоника, очевидно, предполагает действительно уж очень быстрое кручение. Я подсчитал частоты первых пяти гармоник для трубы длиной 20 сантиметров и выяснил, что они составляют 223 (как вы помните, я никогда не получал этой гармоники), 446, 669, 892 и 1115 герц соответственно. Высота тона растет довольно быстро.

Опасный резонанс

Безусловно, физика резонанса отнюдь не ограничивается рамками учебных демонстраций. Подумайте хотя бы о том невероятном множестве различных настроений, которые порождает музыка, извлекаемая из разных инструментов. Музыкальный резонанс апеллирует к нашим эмоциям, пробуждая в нас веселье и тревогу, спокойствие и благоговение, страх, радость, печаль и многие-многие другие чувства. Неудивительно, что мы говорим о переживаемом людьми эмоциональном резонансе, способном создавать взаимоотношения, наполненные богатством и глубиной, и тончайшие обертона понимания, нежности и желания. Едва ли это случайно, что каждый человек стремится быть «настроенным на чью-то волну». И как нам больно, когда мы теряем этот резонанс, временно или навсегда, и то, что прежде ощущалось как гармония, превращается в нестройный шум и полную эмоциональную какофонию. Помните персонажей пьесы Эдварда Олби «Кто боится Вирджинии Вульф?», супругов Джорджа и Марту? Они постоянно скандалят. Пока они воюют друг с другом, они остаются просто «шоу» для своих гостей, но пара становится гораздо опаснее, когда объединяет усилия, чтобы втянуть в свои «игры» гостя. Но опасен не только эмоциональный резонанс; в физике он тоже может быть поистине разрушительной силой.

Наиболее ярким примером разрушительного резонанса в новейшей истории считается событие, произошедшее в ноябре 1940 года, когда сильнейший порыв ветра ударил прямо в главный пролет висячего моста Такома-Нэрроуз. В результате чудо инженерной мысли (которое из-за того, что в ветреную погоду дорожное полотно сильно раскачивалось, строители еще на этапе возведения прозвали Галопирующей Герти) начало мощно резонировать. Боковой ветер увеличил амплитуду колебаний моста, структура начала вибрировать и раскачиваться все более и более интенсивно, и в итоге мост разрушился и рухнул в воду. Вы можете «полюбоваться» на сей захватывающий крах на YouTube.

А девяноста годами ранее в Анже во Франции рухнул подвесной мост через Мейн-Ривер, когда 478 солдат переходили по нему строем, шагая в ногу. Строевой шаг привел к резонансу, который передался на проржавевшие стропы; более двухсот солдат погибли, упав в реку в результате обрушения моста. Эта катастрофа привела к отказу от строительства подвесных мостов во Франции на целых двадцать лет. В 1831 году английские войска строем переходили висячий мост Бротон, и вследствие резонанса вывернулся болт на одном из его концов. Мост рухнул. На этот раз никто не погиб, но британское армейское начальство выпустило для всех родов войск специальную инструкцию — пересекая мосты, солдаты обязаны шагать вразнобой, не строевым шагом.

Еще один пример. Мост Тысячелетия в Лондоне был открыт в 2000 году, и тысячи пешеходов сразу заметили, что его довольно сильно болтает (инженеры называют этот эффект резонансом изгибных колебаний). Уже через несколько дней власти закрыли мост на два года, чтобы установить на нем демпферы, «гасящие» движения моста, порождаемые шагами пешеходов. Даже великий Бруклинский мост в Нью-Йорке однажды страшно напугал людей, которые столпились на нем во время отключения электроэнергии в 2003 году и почувствовали раскачивание; некоторым даже стало плохо.

В подобных ситуациях пешеходы воздействуют на мост большим весом, чем автомобили, обычно проезжающие по нему довольно быстро, а движения человеческих ног, даже несинхронное, в совокупности могут возбудить резонирующее колебание — вибрацию — в покрытии моста. Когда мост качается в одну сторону, люди компенсируют его движение, переступая на другую сторону и тем самым только увеличивая амплитуду колебания. Даже современные инженеры признают, что недостаточно хорошо представляют возможное влияние человеческой толпы на мосты. На наше счастье, они достаточно знают о строительстве небоскребов, способных выдерживать сильный ветер и землетрясения, которые несут в себе угрозу генерации резонансных частот, в противном случае наверняка уничтоживших бы их творения. Вы только представьте — те же принципы, некогда порождавшие нежные звуки древнейшей флейты наших предков, могут угрожать разрушением массивному Бруклинскому мосту и высочайшим зданиям в мире.

В честь немецкого ученого-физика XIX века Генриха Герца, внесшего важный вклад в развитие электродинамики. — Прим. ред.

От земных гармоник до гармонии вселенной

‹

›

Специалисты ИФА РАН им. А. М. Обухова моделируют изменения климата, изучают взаимодействие атмосферы и океана, процессы распространения волн в атмосфере, состав атмосферы и его изменения. И эти работы не ограничиваются атмосферой Земли: объектами исследования стали другие планеты Солнечной системы и более того — планеты других звёзд.

О разных сторонах атмосферной науки и многом другом рассказывает научный руководитель Института физики атмосферы академик Г. С. ГОЛИЦЫН, в недавнем прошлом — директор ИФА РАН. Георгий Сергеевич начинал своё служение науке рядовым научным сотрудником. В Институте физики атмосферы он работает всю жизнь (см. статью: Владимир Губарев. Академик Г. С. Голицын: Волнения моря и земли, «Наука и жизнь» № 3, 2001 г.).

Беседу ведёт Наталия Лескова.

С научным руководителем Института физики атмосферы РАН академиком Георгием Сергеевичем Голицыным мы начинали беседовать в Лаборатории теории климата, куда он зашёл попить чаю. Более молодые коллеги усадили своего гуру в самое лучшее кресло, какое здесь нашлось. Павел Демченко, доктор физико-математических наук, учёный секретарь Научного совета РАН по теории климата Земли, вспомнил, как пришёл сюда студентом на защиту диплома и познакомился с Георгием Сергеевичем: тот привёз из Америки невиданные заморские сигареты «Мальборо» и решил дать мастер-класс по их тушению об подошву. «В этот момент я понял: с выбором научного руководителя я не ошибся» — заключил Демченко…

Учебное пособие по физике: гармоники и паттерны

Как упоминалось ранее в Уроке 4, модели стоячих волн — это волновые структуры, возникающие в среде, когда две волны одинаковой частоты интерферируют таким образом, чтобы образовать точки вдоль среды, которые всегда кажутся неподвижными. Эти точки, которые кажутся неподвижными, называются узлами. Стоячие волны часто демонстрируются на уроках физики с помощью змеи, которую учитель вибрирует на одном конце и удерживает фиксированной на другом конце учеником.Волны отражаются от фиксированного конца и мешают волнам, вводимым учителем, создавая этот регулярный и повторяющийся узор, известный как узор стоячей волны. Можно было создать множество реальных волновых паттернов, каждый из которых характеризовался бы совершенно разным количеством узлов. Такие модели стоячих волн могут возникать только в среде, когда она вибрирует на определенных частотах. Есть несколько частот, с которыми змея может вибрировать для создания узоров.Каждая частота связана с разным характером стоячей волны. Эти частоты и связанные с ними волновые структуры называются гармониками .

Как обсуждалось ранее в Уроке 4, создание моделей стоячих волн требует, чтобы введение гребней и впадин в среду было точно по времени. Если синхронизация не точна, то регулярный и повторяющийся волновой узор не будет различаться в среде — гармоники на такой частоте не существует.При точном отсчете времени отраженные колебания от противоположного конца среды будут мешать вибрациям, вносимым в среду, таким образом, что есть точки, которые всегда кажутся стоящими на месте. Эти точки отсутствия смещения называются узлами. Между каждым узлом расположена точка, которая подвергается максимальному смещению из положительного положения в отрицательное. Эти точки максимального смещения называются пучностями.

Простейший образец стоячей волны, который может быть создан внутри змеи, — это такой, который имеет точки отсутствия смещения (узлы) на двух концах змеи и одну точку максимального смещения (пучности) в середине.На анимации ниже показан образец колебаний, наблюдаемый, когда среда колеблется таким образом.

Вышеупомянутая диаграмма стоячей волны известна как первая гармоника . Это простейший волновой узор, создаваемый змеей, который получается, когда учитель вводит колебания в конец среды на низких частотах.

Другие волновые структуры могут наблюдаться внутри змеи, когда она вибрирует на более высоких частотах.Например, если учитель вибрирует концом с частотой, в два раза превышающей частоту, связанную с первой гармоникой, то может быть получен второй образец стоячей волны. Этот рисунок стоячей волны характеризуется узлами на двух концах змеи и дополнительным узлом в точном центре змеи. Как и во всех схемах стоячей волны, каждый узел разделен пучностью. Этот паттерн с тремя узлами и двумя пучностями называется второй гармоникой и изображен на анимации, показанной ниже.

Если частота, с которой учитель вибрирует змею, увеличится еще больше, то внутри змея может образоваться волновая картина третьей гармоники. Картина стоячей волны для третьей гармоники имеет дополнительный узел и пучность между концами змейки. Узор изображен на анимации, показанной ниже.

Обратите внимание, что каждая последующая гармоника характеризуется наличием одного дополнительного узла и пучности по сравнению с предыдущим.В таблице ниже приведены характеристики диаграмм стоячих волн для нескольких первых гармоник.

По мере изучения гармоник и их моделей стоячих волн становится очевидным, что они предсказуемы. Неудивительно, что эта предсказуемость выражается в ряде математических соотношений, которые связывают длину волны волнового рисунка с длиной среды. Кроме того, частота каждой гармоники математически связана с частотой первой гармоники.В следующей части Урока 4 мы исследуем эти математические отношения.

Стоячие волны — Гипертекст по физике

Обсуждение

введение

Может быть, вы заметили, а может, нет. Иногда, когда вы вибрируете струну, шнур, цепь или кабель, можно заставить его вибрировать таким образом, что вы генерируете волну, но волна не распространяется. Он просто сидит там, вибрируя вверх и вниз на месте.Такая волна называется стоячей волной и должна быть замечена, чтобы ее можно было оценить.

Бегущая волна в действии, стоячая волна в действии

Я впервые обнаружил стоячие волны (или я впервые помню, что видел их), когда играл с телефонным шнуром. Если вы встряхнете телефонный шнур правильно, можно сделать волну, которая, кажется, остановится. Если вы встряхнете телефонный шнур любым другим способом, вы получите волну, которая ведет себя как все другие волны, описанные в этой главе; распространяющиеся волны — бегущие волны .У бегущих волн есть высокие точки, называемые гребнями, и низкие точки, называемые впадинами (в поперечном случае), или точки сжатия, называемые сжатием, и точки растяжения, называемые разрежениями (в продольном случае), которые проходят через среду. Стоячие волны никуда не уходят, но у них есть области, где возмущение волны довольно мало, почти нулевое. Эти местоположения называются узлами . Есть также области, где возмущение достаточно интенсивное, большее, чем где-либо еще в среде, называемое пучностями .

Стоячие волны могут образовываться в различных условиях, но они легко проявляются в конечной или ограниченной среде. Телефонный шнур начинается у базы и заканчивается у трубки. (Или наоборот?) Другими простыми примерами конечных носителей являются гитарная струна (она проходит от лада до бриджа), пластина барабана (она ограничена ободом), воздух в комнате (она ограничена стены), вода в озере Мичиган (оно ограничено берегами) или поверхность Земли (хотя и не ограничена, поверхность Земли конечна).В общем, стоячие волны могут быть созданы любыми двумя одинаковыми волнами, распространяющимися в противоположных направлениях и имеющими правильную длину волны. В ограниченной среде стоячие волны возникают, когда волна с правильной длиной волны встречает свое отражение. Интерференция этих двух волн создает результирующую волну, которая не движется.

Стоячие волны не образуются ни при каких обстоятельствах. Они требуют, чтобы энергия подавалась в систему с соответствующей частотой. То есть, когда частота возбуждения , применяемая к системе, равна ее собственной частоте .Это состояние известно как резонанс . Стоячие волны всегда связаны с резонансом. Резонанс можно определить по резкому увеличению амплитуды возникающих колебаний. По сравнению с бегущими волнами той же амплитуды создание стоячих волн относительно не требует усилий. В случае телефонного шнура небольшие движения руки приводят к гораздо большим движениям телефонного шнура.

Любая система, в которой могут образовываться стоячие волны, имеет множество собственных частот.Набор всех возможных стоячих волн известен как гармоники системы. Самая простая из гармоник называется основной гармоникой или первой гармоникой. Последующие стоячие волны называются второй гармоникой, третьей гармоникой и т. Д. Гармоники выше основной гармоники, особенно в теории музыки, иногда также называют обертонами . Какие длины волн будут формировать стоячие волны в простой одномерной системе? Есть три простых случая.

одно измерение: два фиксированных конца

Если среда ограничена так, что ее противоположные концы можно считать фиксированными, узлы будут найдены на концах.Простейшая стоячая волна, которая может образоваться в этих условиях, имеет одну пучность посередине. Это половина длины волны. Чтобы сделать следующую возможную стоячую волну, поместите узел в центр. Теперь у нас есть одна целая длина волны. Чтобы сделать третью возможную стоячую волну, разделите длину на три части, добавив еще один узел. Это дает нам полторы длины волны. Должно стать очевидным, что для продолжения все, что нужно, — это продолжать добавлять узлы, разделяя среду на четверти, затем пятые, шестые и т. Д.Для этой системы существует бесконечное количество гармоник, но сколько бы раз мы ни делили среду, мы всегда получаем целое число половин длин волн ( ¹ ₂ λ, ² ₂ λ, ³ ₂ λ,…, ⁿ ₂ λ).

Между самими гармониками в этой последовательности есть важные отношения. Длины волн гармоник — это простые доли основной длины волны. Если бы длина основной волны составляла 1 м, длина волны второй гармоники была бы ¹ ₂ м, третья гармоника была бы ¹ ₃ м, четвертая ¹ ₄ м и т. Д.Поскольку частота обратно пропорциональна длине волны, частоты также связаны. Частоты гармоник кратны основной частоте. Если бы основная частота составляла 1 Гц, частота второй гармоники была бы 2 Гц, третьей гармоники — 3 Гц, четвертой — 4 Гц и так далее.

одно измерение: два свободных конца

Если среда ограничена так, что ее противоположные концы могут считаться свободными, то на концах будут найдены пучности.Простейшая стоячая волна, которая может образоваться при таких обстоятельствах, имеет один узел посередине. Это половина длины волны. Чтобы сделать следующую возможную стоячую волну, поместите другую пучность в центре. Теперь у нас есть одна целая длина волны. Чтобы получить третью возможную стоячую волну, разделите длину на три части, добавив еще одну пучность. Это дает нам полторы длины волны. Должно стать очевидным, что мы получим те же отношения для стоячих волн, образованных между двумя свободными концами, что и для двух фиксированных концов.Единственное отличие состоит в том, что узлы заменены пучностями и наоборот. Таким образом, когда стоячие волны образуются в линейной среде, которая имеет два свободных конца, целое число половин длин волн помещается внутри среды, а обертоны являются целым числом, кратным основной частоте

одно измерение: один фиксированный конец — один свободный конец

Когда носитель имеет один фиксированный конец и один свободный конец, ситуация меняется интересным образом. Узел всегда будет формироваться на фиксированном конце, в то время как пучность всегда будет формироваться на свободном конце.Простейшая стоячая волна, которая может образоваться в этих условиях, имеет длину четверть длины волны. Чтобы сделать следующую возможную стоячую волну, добавьте и узел, и пучность, разделив рисунок пополам. Теперь у нас есть три четверти длины волны. Повторяя эту процедуру, мы получаем пять четвертей длины волны, затем семь четвертей и т. Д. В этой схеме всегда присутствует нечетное количество четвертей длины волны. Таким образом, длины волн гармоник всегда кратны основной длине волны с нечетным числом в знаменателе.Точно так же частоты гармоник всегда кратны основной частоте.

Три приведенных выше случая показывают, что, хотя не все частоты будут приводить к стоячим волнам, простая одномерная система обладает бесконечным числом собственных частот, которые будут. Это также показывает, что эти частоты просто кратны некоторой основной частоте. Однако для любой реальной системы возникновение стоячих волн более высокой частоты затруднительно, если вообще возможно.Камертоны, например, сильно вибрируют на основной частоте, очень слабо на второй гармонике и практически совсем не вибрируют на высших гармониках.

фильтрация

Лучшая часть стоячей волны не в том, что она кажется неподвижной, а в том, что амплитуда стоячей волны намного больше, чем амплитуда вызывающего ее возмущения. Вроде как получить что-то даром. Вложите немного энергии с правильной скоростью и наблюдайте, как она накапливается во что-то с большим количеством энергии.Эта способность усиливать волну одной конкретной частоты по сравнению с волной любой другой частоты имеет множество применений.

• По сути, все нецифровые музыкальные инструменты работают непосредственно по этому принципу. В музыкальный инструмент вкладываются колебания или волны, охватывающие широкий диапазон частот (для духовых — это жужжание губ; для язычков — это хриплый крик язычка; для перкуссии это относительно беспорядочный удар; для струнных — это хриплый звук язычка. это щипание или царапание; для флейт и органных труб это вызванная турбулентностью дуновения).Усиливается основная частота плюс ее кратные. Эти частоты громче остальных и слышны. Все остальные частоты сохраняют свои первоначальные амплитуды, а некоторые даже деусилены. Эти другие частоты тише по сравнению и не слышны.
• Чтобы проиллюстрировать этот принцип, вам не нужен музыкальный инструмент. Слегка сложите руки вместе и держите их рядом с ухом, образуя небольшую камеру. Вы заметите, что одна частота усиливается из-за фонового шума в пространстве вокруг вас.Измените размер и форму этой камеры. Усиленная высота тона изменяется в ответ. Это то, что люди слышат, поднося к ушам ракушку. Это не «океан», а несколько избранных частот, усиленных шумом, который всегда нас окружает.
• Во время речи человеческие голосовые связки колеблются в гораздо меньшем диапазоне, чем при пении. Как же тогда отличить звук одной гласной от другой? Английский не является тональным языком (в отличие от китайского и многих африканских языков).Существует небольшая разница в основной частоте голосовых связок для говорящих по-английски во время декларативного предложения. (Вопросительные предложения повышаются по высоте ближе к концу. Не так ли?) Голосовые связки колеблются не только с одной частотой, но со всеми гармоническими частотами. Различное расположение частей рта (зубы, губы, передняя и задняя часть языка и т. Д.) Сложным образом благоприятствует разным гармоникам. Это усиливает одни частоты и ослабляет другие. Это делает «EE» похожим на «EE», а «OO» — на «OO».
• Эффект фильтрации резонанса не всегда полезен или полезен. Люди, работающие с механизмами, подвергаются воздействию различных частот. (Это то, что такое шум и ). Из-за резонанса в слуховом проходе звуки около 4000 Гц усиливаются и, таким образом, громче, чем другие звуки, попадающие в ухо. Каждый должен знать, что громкие звуки могут повредить слух. Но все могут не знать, что воздействие громких звуков только одной частоты повредит слух на этой частоте.Люди, подвергающиеся воздействию шума, часто теряют слух на частоте 4000 Гц. Люди, страдающие этим заболеванием, не слышат звуки около этой частоты с той же остротой, что и здоровые люди. Часто это предшествует более серьезным формам потери слуха.

два измерения

Тип рассуждений, использованный до сих пор, может быть применен к двумерным и трехмерным системам. Как и следовало ожидать, описания немного сложнее. Стоячие волны в двух измерениях находят множество применений в музыке.Круглая головка барабана — довольно простая система, на которой можно изучать стоячие волны. Вместо того, чтобы иметь узлы на противоположных концах, как это было в случае струн гитары и фортепиано, весь обод барабана является узлом. Остальные узлы — прямые и окружности. Частоты гармоник не кратны основной частоте.

На схеме выше показаны шесть простых режимов вибрации круглой головки барабана. Знаки плюс и минус показывают фазу пучностей в определенный момент.Номера соответствуют схеме именования (D, C), где D — количество узловых диаметров, а C — количество узловых окружностей.

Стоячие волны в двух измерениях широко применялись при изучении корпусов скрипок. Скрипки итальянского скрипичного мастера Антонио Страдивари (1644–1737) известны своей чистотой звука в широком динамическом диапазоне. Физики-акустики уже довольно давно работают над воспроизведением скрипок, не уступающих по качеству тем, которые производит Страдивари.Одна техника, разработанная немецким физиком Эрнстом Хладни (1756–1794), заключается в рассыпании песчинок на тарелке разобранной скрипки, которую затем зажимают и заставляют вибрировать смычком. Песчинки отскакивают от живых пучностей и накапливаются в тихих узлах. Затем можно было сравнить полученные паттернов Хладни от разных скрипок. Предположительно, образцы более звучащих скрипок будут чем-то похожи. Путем проб и ошибок дизайнер скрипки должен иметь возможность создавать компоненты, поведение которых имитирует поведение легендарного мастера.Это, конечно, лишь один из факторов конструкции скрипки.

три измерения

В одномерном случае узлы были точками (нульмерными). В двумерном случае узлы были кривыми (одномерными). Размер узлов всегда на единицу меньше размера системы. Таким образом, в трехмерной системе узлы будут двумерными поверхностями. Наиболее важным примером стоячих волн в трех измерениях являются орбитали электрона в атоме.В атомном масштабе обычно более уместно описывать электрон как волну, чем как частицу. Квадрат волнового уравнения электрона дает функцию вероятности нахождения электрона в любой конкретной области. Орбитали, используемые химиками, описывают форму области, где есть высокая вероятность найти конкретный электрон. Электроны ограничены пространством, окружающим ядро, примерно так же, как волны в гитарной струне ограничены внутри струны.Ограничение струны в гитаре заставляет струну вибрировать с определенными частотами. Точно так же электрон может колебаться только с определенными частотами. В случае электрона эти частоты называются собственными частотами , а состояния, связанные с этими частотами, называются собственными состояниями или собственными функциями . Набор всех собственных функций электрона составляет математический набор, называемый сферическими гармониками . Таких сферических гармоник бесконечное количество, но они специфичны и дискретны, .То есть промежуточных состояний нет. Таким образом, атомный электрон может поглощать и излучать энергию только в небольших пакетах, называемых квантами . Он делает это, совершая квантовый скачок из одного собственного состояния в другое. Этот термин был извращен в массовой культуре, чтобы обозначать любые внезапные большие перемены. В физике все наоборот. Квантовый скачок — это наименьшее возможное изменение системы, а не самое большое.

математика

В математике бесконечная последовательность дробей ¹ ₁ , ¹ ₂ , ¹ ₃ , ¹ ₄ ,… называется гармонической последовательностью .Удивительно, но существует точно такое же количество гармоник, описываемых гармонической последовательностью, как и гармоник, описываемых последовательностью «только нечетные»: ¹ ₁ , ¹ ₃ , ¹ ₅ , ¹ ₇ ,…. «Что? Очевидно, в гармонической последовательности больше чисел, чем в последовательности« только нечетные »». Неа. Там точно такое же количество. Вот доказательство. Я могу установить соответствие один-к-одному между целыми числами и нечетными числами.Наблюдать. (Однако мне придется поиграть с форматом чисел, чтобы они правильно выстроились на экране компьютера.)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09,…
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17,…

Это может продолжаться вечно. Это означает, что нечетных чисел ровно столько же, сколько целых. И целые, и нечетные числа являются примерами счетных бесконечных множеств.

Существует бесконечное количество возможных длин волн, которые могут образовывать стоячие волны при всех обстоятельствах, описанных выше, но есть еще большее количество длин волн, которые не могут образовывать стоячие волны.«Что? Как у вас может быть больше, чем бесконечное количество чего-либо?» Что ж, я не хочу доказывать это прямо сейчас, поэтому вам придется мне доверять, но существует больше вещественных чисел между 0 и 1, чем целых чисел между нулем и бесконечностью. У нас есть не только все рациональных чисел, меньше единицы ( ¹ ₂ , ³ ₅ , ⁷³³ ₂₇₄₁ и т. Д.), У нас также есть все возможные алгебраических чисел ( √2, 7 — √13 и т. Д.) и весь набор причудливых трансцендентных чисел (π, e, e ^π , число Фейгенбаума и т. д.). Все эти числа вместе образуют несчетное бесконечное множество , называемое действительными числами . Количество целых чисел — это бесконечность, называемая aleph null (ℵ ₀ ), количество действительных чисел — бесконечность, называемая c (для континуума ). Изучение бесконечно больших чисел известно как трансфинитная математика .В этом поле можно доказать, что ℵ ₀ меньше c . Между действительными числами и целыми числами нет однозначного соответствия. Таким образом, существует больше частот, которые не будут формировать стоячие волны, чем частот, которые будут формировать стоячие волны.

Гармоники и стоячие волны — AP Physics 1

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Обертон и гармоники (физика): определение, различия и частоты

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Автор GAYLE TOWELL

Обертоны и гармоники обычно рассматриваются в связи с источниками звука.Эти два понятия часто путают друг с другом и иногда используются как синонимы.

Это неудивительно, поскольку в определенных ситуациях они обращаются к одному и тому же набору частот. Однако, хотя гармоники могут быть обертонами, а обертоны могут быть гармониками, также возможно иметь гармоники, которые не являются обертонами, и обертоны, которые не являются гармониками.

Скорость волны, длина волны и частота

Прежде чем обсуждать гармоники и обертоны, важно понять основы волны.

Волны — это возмущение в среде, которое распространяется из одного места в другое посредством колебаний точек в среде. Звук — лишь один из примеров этого, но также и океанские волны, волны на струне и т. Д.

Длина волны — это расстояние между последовательными пиками волн. Частота волны — это количество циклов волны в секунду. А скорость волны является произведением длины волны и частоты.

Резонансные частоты

Если распространяющееся возмущение ограничено средой, оно может отражаться назад и создавать помехи самому себе.На определенных частотах это создает устойчивую стоячую волну. Это происходит, когда вы дергаете гитарную струну, дуетесь в свисток или даже роняете гаечный ключ на пол — удар от падения заставляет гаечный ключ «звенеть» с определенной частотой, поскольку он кратко вибрирует при ударе.

Частоты, на которых могут возникать такие стоячие волны, называются резонансными частотами, , и значения этих частот для данной среды зависят от свойств этой среды. Например, частота, с которой возникает стоячая волна на струне, зависит от плотности струны, натяжения струны и длины струны.

Как вы увидите в следующем разделе, большинство объектов имеют несколько разных частот, на которых они могут естественным образом вибрировать, и эти разные частоты часто связаны друг с другом и с геометрией самого объекта.

Что такое обертон?

Резонансная частота — это собственная частота колебаний объекта. Это частота, с которой что-то вибрирует, создавая узор стоячей волны. Для любого объекта обычно существует несколько частот, на которых это происходит.Самая низкая такая частота называется основной частотой и часто обозначается как f ₁ .

Обертон — это название любой резонансной частоты выше основной частоты или основного тона.

Список последовательных обертонов для объекта называется серией обертонов . Первый обертон, а также все последующие обертоны в серии могут быть или не быть целыми кратными основному тону.Иногда взаимосвязь бывает такой простой, а иногда более сложной, в зависимости от свойств и геометрии вибрирующего объекта.

Например, на круглой мембране, такой как головка барабана, есть обертоны на уровне 1,59 f ₁ , 2,14 f ₁ , 2,30 f ₁ , 2,65 f ₁ , 2,92 f ₁ и многие другие значения. Эти обертоны возникают на частотах, при которых на мембране может возникать двумерная стоячая волна.Как вы могли догадаться, математика для получения этих значений намного менее прямолинейна, чем для определения режимов стоячей волны на струне!

Что такое гармоники?

Частоты гармоник — это целые числа, кратные основной частоте или самой низкой частоте вибрации.

Рассмотрим вибрирующую струну. Все виды вибрации кратны основной и связаны с длиной струны и скоростью волны.Более высокие частоты находятся по соотношению

f_n = nf_1

\ lambda = \ frac {2L} {n}

, где L — длина строки.

Отсюда получаем гармонический ряд . Вторая гармоника f ₂ = 2f ₁ и третья гармоника f ₃ = 3f ₁ и так далее. Также обратите внимание, что скорость волны — произведение длины волны и частоты — одинакова для всех значений n .

В этом конкретном примере со струной все обертоны являются гармониками, а все гармоники являются обертонами. Однако это не всегда так, как показано в примере с барабанной пластиной, а также как вы увидите в следующем разделе.

Разница между обертонами и гармониками

Как обсуждалось ранее, гармоники — это целые числа, кратные основной частоте. На этих частотах объект может испытывать или не испытывать резонанс. Напротив, обертоны — это любая частота, на которой возникает резонанс выше основной гармоники.Это может происходить только с гармониками, или только с определенными гармониками, или с другими значениями полностью.

Рассмотрим пример стоячих звуковых волн в открытой трубе (или вибрирующей струне): в этом случае гармоники и обертоны совпадают. Однако при закрытой трубе обертоны возникают только на нечетных гармониках.

На прямоугольной или круглой мембране, такой как головка барабана, вы получите всего понемногу. На прямоугольной мембране некоторые обертоны также являются гармониками, а некоторые — нет.

Например, на прямоугольной мембране, длина которой в 1,41 раза больше ее ширины, обертоны возникают при 1,41 f ₁ , 1,73 f ₁ , 2,00 f ₁ , 2,38 f ₁ , 2,71 f ₁ , 3,00 f ₁ , 3,37 f ₁ и т. Д. На круговой мембране большинство или все гармоники не становятся обертонами.

Режимы вибрации барабанной пластинки являются примерами негармонических или негармонических обертонов.Они также встречаются в тарелках и других ударных инструментах.

Музыкальные инструменты

Музыкальные инструменты, включая духовые, медные, струнные и другие. Они предоставляют примеры применения резонанса и различия между обертонами и гармониками.

Некоторые инструменты имеют тенденцию делать ноты на гармониках, другие — на нечетных гармониках, а третьи имеют негармонические обертоны. Используя разные клавиши на фортепиано, разные струны на гитаре или меняя аппликатуру на флейте, также меняются возможные обертоны и гармоники.

Вот почему так важно периодически настраивать определенные инструменты. Нота, которую играет щипковая гитарная струна, зависит не только от плотности струны, но и от ее натяжения. После некоторой игры струна может немного растянуться, и натяжение может измениться. Путем повторной регулировки натяжения можно восстановить правильную основную частоту вибрации.

Тембр и качество звука

Тембр — это воспринимаемое качество звука ноты в музыке.Хотя вы можете сыграть на гитаре ту же ноту, что и на пианино, ваше ухо может заметить разницу. Почему это так, хотя частота такая же? Ответ связан с обертонами.

Когда гитарная струна дергается, создавая заданную ноту за счет вибрации на своей основной частоте, она одновременно вибрирует и на уровне обертона, но с гораздо меньшей амплитудой (меньшая громкость). Представьте себе знаковую волну, которая при увеличении масштаба выглядит «волнистой» или покрытой собственной кривой знака гораздо меньшего размера.

То же самое происходит при игре на клавиатуре фортепиано, и различия в физических свойствах этих инструментов приводят к различным комбинациям и относительной силе обертонов, создавая различный тембр или качество звука, что позволяет различать два инструмента.

Другими факторами, которые также могут повлиять на качество ноты, являются атака, затухание, сустейн и время восстановления. Когда играется нота, амплитуда подскакивает до пика, на некоторое время снижается до постоянного уровня, а затем падает до нуля, когда нота заканчивается.

Атака — это время между началом воспроизведения ноты до максимальной амплитуды. Decay — это время между пиковой амплитудой и устойчивой амплитудой, на которой играется нота. Сустейн — это время, в течение которого нота воспроизводится с постоянной амплитудой. Release — это время, необходимое для перехода от устойчивой амплитуды к нулю, когда нота заканчивается.

Классическая механика — О гармониках в физике

1) Представим, что у нас есть строка длиной $ L $, зафиксированная на обоих концах.Когда мы говорим о гармониках, мы говорим о стоячих волнах. Поскольку мы говорим о стоячих волнах, мы ограничены допустимыми длинами волн, которые могут иметь наши стоячие волны. (См. Рисунок ниже)

Как видите, первая гармоника имеет длину волны $ \ lambda = 2L $, вторая — длину волны $ \ lambda = L $, а третья — $ \ lambda = \ frac 23L $. В общем, наши разрешенные гармоники имеют $ \ lambda_n = \ frac 2nL $, где $ n $ — номер гармоники.

Так что насчет других свойств, таких как скорость и частота волны? Что ж, скорость волны в среде полностью зависит от свойств среды и «напряжения», которому она подвержена (что, как вы можете утверждать, является свойством конкретной среды, которую вы используете).Для волн на струне скорость определяется выражением $$ v = \ sqrt {\ frac T \ rho} $$, где $ T $ — это натяжение струны (которое легко контролируется), а $ \ rho $ — это линейная массовая плотность струны (то, что труднее контролировать, если у вас уже есть струна). Итак, как видите, после настройки струнной системы ваша скорость и допустимые длины волн в значительной степени уже установлены.

Имея все это в виду, теперь мы можем определить, на каких частотах нам нужно колебать один конец веревки, чтобы получить эти гармоники.Скорость, длина волны и частота волн связаны соотношением $ v = f \ lambda $, поэтому нам нужны частоты $$ f_n = \ frac v \ lambda_n = \ frac {n} {2L} \ sqrt {\ frac T \ rho} $$

Вот как вы «добираетесь до своих гармоник». Вы должны раскачивать конец вашей струны на одной из этих разрешенных частот. Конечно, вы можете изменить эти значения частоты, если измените такие параметры, как длина или натяжение струны, но после того, как струна физически настроена, вам просто нужно раскачать струну с правильной частотой.(Подобные аргументы верны для других сред и волн, но формы уравнений будут выглядеть несколько иначе).

2) Если вы просто воспользуетесь уравнением из предыдущего примера $ v = f \ lambda $, вы увидите, что если мы удвоим $ f $ и половину $ \ lambda $, то $ v $ останется прежним. Вы также можете возразить, что скорость не изменится, поскольку мы не меняем никаких физических свойств струны. Хотя другие вещи будут отличаться от указанных выше, поскольку веревка не закреплена на обоих концах, но вы не запрашивали подробностей, поэтому я не буду их обсуждать.

Генерация высоких гармоник из материала, близкого к эпсилону

Схема — простое гармоническое движение

Пружина, подчиняющаяся закону Гука, является примером простой гармонической движение.Если вы переместите пружину на максимальное значение x = A, амплитуды, освободить его от состояния покоя (v _o = 0), сфотографировать и нанесите на график положение как функцию времени, вы обнаружите, как показано на рис. 3а ниже x (t) = A cos (2pt / T), где T период — время одного полного колебания.

Для экономии времени напишу:

x (t) = A cos (2pt / T), так как
x (t) = A cos wt

, тогда

v (t) = dx / dt = — wA sin wt,
, как показано на рис.3b ниже:

Примечание: максимальное значение v = wA потому что максимальное значение синуса = 1.
a (t) = dv / dt = — w ² (A cos wt), как показано на рис. 3c ниже:

Примечание: максимальное значение a = w ² A потому что максимальное значение косинуса = 1.
a (t) = — [w ² ] x (t) ( Уравнение 2 )

A. Запишите x (t) для этого графика. Сначала найдите A, T, f и w. Из рис. 3а видно, что максимальное значение x или амплитуда А составляет 0,20 м. График повторяется через один период = T = 2 s, f = 1 / T = 0,5 с ^-1 и w = 2pf = p с ^-1 . В общем, x (t) = A cos wt. Для этого случая x (t) = 0,20 м cos p s ^-1 t

B. Найдите общее выражение для скорости, примените его к этому корпус и сверьтесь с рис.3b, чтобы убедиться, что это правильно. Что такое максимальное значение скорости для рис. 3б? Найдите x, когда v = -0,1 п. М / с. Поскольку x (t) = 0,20 м cos p s ^-1 t, dx / dt = v (t) = — (0.20p м / с) sin p s ^-1 т. На рис. 3b мы видим, что v как функция от t является отрицательным синусом. кривая с максимальным значением 0,2 (3,14) м / с. v = -0,1p м / с
= — (0,20p м / с) sin p с ^-1 т.Или 1/2 = sin p с ^-1 т. Синус угла равен 1/2, когда угол равно 30 ⁰ или p / 6 радиан. Итак, p / 6 = p с ^-1 t или t = 1/6 с. x (1/3 с)
= 0,20 м cos p / 6 = 0,173 см. Из рисунков 3a и 3b видно, что это правильные значения.

C. Найдите общее выражение для ускорения, примените его к в этом случае, и проверьте, правильно ли это, по рис. 3c.Какие максимальное значение ускорения для рис. 3b? Поскольку v (t) = — (0.20p м / с) sin p с ^-1 t, dv / dt = a (t) =
— (0.20p ² м / с) cos п с ^-1 т. На рис. 3c мы видим, что v как функция t является отрицательной косинусной кривой с максимальным значением 0,2 (3,14) ² м / с ² примерно
равно 2 м / с ² .