Site Loader

Содержание

Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести

Исходя из трактовки второго закона Ньютона, можно сделать вывод, что изменение движения происходит посредствам силы. Механика рассматривает силы различной физической природы. Многие из них определяются с помощью действия сил тяготения.

Закон всемирного тяготения. Формулы

В 1862 году был открыт закон всемирного тяготения И. Ньютоном. Он предположил, что силы, удерживающие Луну, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. Смысл гипотезы состоит в наличии действия сил притяжения, направленных по линии и соединяющих центры масс, как изображено на рисунке 1.10.1. Шаровидное тело имеет центр массы, совпадающий с центром шара.

Рисунок 1.10.1. Гравитационные силы притяжения между телами. F1→=-F2→.

Далее, Ньютон искал физическое объяснение законам движения планет, которые открыл И. Кеплер в начале XVII века, и давал количественное выражение для гравитационных сил.

Определение 1

При известных направлениях движений планет Ньютон пытался выяснить, какие силы действуют на них. Этот процесс получил название обратной задачи механики.

Основная задача механики – определение координат тела известной массы с его скоростью в любой момент времени при помощи известных сил, действующих на тело, и заданным условием (прямая задача). Обратная же выполняется с определением действующих сил на тело с известным его направлением. Такие задачи привели ученого к открытию определения закона всемирного тяготения.

Ускорение свободного падения

Определение 2

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

F=Gm1m2r2.

Значение G определяет коэффициент пропорциональности всех тел в природе, называемое гравитационной постоянной и обозначаемое по формуле G=6,67·10-11 Н·м2/кг2 (СИ).

Большинство явлений в природе объясняются наличием действия силы всемирного тяготения. Движение планет, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все объясняется законом тяготения и динамики.

Определение 3

Проявлении силы тяготения характеризуется наличием силы тяжести. Так называется сила притяжения тел к Земле и вблизи ее поверхности.

Когда М обозначается как масса Земли, RЗ– радиус, m – масса тела, то формула силы тяжести принимает вид:

F=GMRЗ2m=mg.

Где g – ускорение свободного падения, равняющееся g=GMRЗ2.

Сила тяжести направлена к центру Земли, как показано в примере Луна-Земля. При отсутствии действия других сил тело движется с ускорением свободного падения. Его среднее значение равняется 9,81 м/с2. При известном G и радиусе R3=6,38·106 м производятся вычисления массы Земли М по формуле:

M=gR32G=5,98·1024 кг.

Если тело удаляется от поверхности Земли, тогда действие силы тяготения и ускорения свободного падения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния r к центру. Рисунок 1.10.2 показывает, как изменяется сила тяготения, действующая на космонавта корабля, при удалении от Земли. Очевидно, что F притягивания его к Земле равняется 700 Н.

Рисунок 1.10.2. Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Пример 1

Земля-Луна подходит в качестве примера взаимодействия системы двух тел.

Расстояние до Луны – rЛ=3,84·106 м. Оно в 60 раз больше радиуса Земли RЗ. Значит, при наличии земного притяжения, ускорение свободного падения αЛ орбиты Луны составит αЛ=gRЗrЛ2=9,81 м/с2602=0,0027 м/с2.

Оно направлено к центру Земли и получило название центростремительного. Расчет производится по формуле aЛ=υ2rЛ=4π2rЛT2=0,0027 м/с2, где Т =27,3 суток – период обращения Луны вокруг Земли. Результаты и расчеты, выполненные разными способами, говорят о том, что Ньютон был прав в своем предположении единой природы силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Луна имеет собственное гравитационное поле, которое определяет ускорение свободного падения gЛ на поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус в 3,7 раза. Отсюда видно, что ускорение gЛ следует определять из выражения:

gЛ=GMЛRЛ2=GMЗ3,72T32=0,17 g=1,66 м/с2.

Такая слабая гравитация характерна для космонавтов, находящихся на Луне. Поэтому можно совершать огромные прыжки и шаги. Прыжок вверх на метр на Земле соответствует семиметровому на Луне.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Искусственные спутники Земли

Движение искусственных спутников зафиксировано за пределами земной атмосферы, поэтому на них оказывают действие силы тяготения Земли. Траектория космического тела может изменяться в зависимости от начальной скорости. Движение искусственного спутника по околоземной орбите приближенно принимается  в качестве расстояния до центра Земли, равняющемуся радиусу RЗ. Они летают на высотах 200-300 км. 

Определение 4

Отсюда следует, что центростремительное ускорение спутника, которое сообщается силами тяготения, равняется ускорению свободного падения g. Скорость спутника примет обозначение υ1. Ее называют

первой космической скоростью.

Применив кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получаем

an=υ12RЗ=g, υ1=gRЗ=7, 91·103 м/с.

При такой скорости спутник смог облететь Землю за время, равное T1=2πRЗυ1=84 мин 12 с.

Но период обращения спутника по круговой орбите вблизи Земли намного больше, чем указано выше, так как существует различие между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Спутник движется по принципу свободного падения, отдаленно похожее на траекторию снаряда или баллистической ракеты. Разница заключается в большой скорости спутника, причем радиус кривизны его траектории достигает длины радиуса Земли.

Спутники, которые движутся по круговым траекториям на больших расстояниях, имеют ослабленное земное притяжение, обратно пропорциональное квадрату радиуса r траектории. Тогда нахождение скорости спутника следует по условию:

υ2к=gR32r2, υ=gR3RЗr=υ1R3r.

Поэтому, наличие спутников на высоких орбитах говорит о меньшей скорости их движения, чем с околоземной орбиты. Формула периода обращения равняется:

T=2πrυ=2πrυ1rRЗ=2πRзυ1rR33/2=T12πRЗ.

T1 принимает значение периода обращения спутника по околоземной орбите. Т возрастает с размерами радиуса орбиты. Если r имеет значение 6,6 R3 то Т спутника равняется 24 часам. При его запуске в плоскости экватора, будет наблюдаться, как висит над некоторой точкой земной поверхности. Применение таких спутников известно в системе космической радиосвязи. Орбиту, имеющую радиус r=6,6 RЗ, называют геостационарной.

Рисунок 1.10.3.Модель движения спутников.

Закон всемирного тяготения: определение и формула

 

Все мы ходим по Земле потому, что она нас притягивает. Если бы Земля не притягивала все находящиеся на ее поверхности тела, то мы, оттолкнувшись от нее, улетели бы в космос. Но этого не происходит, и всем известно о существовании земного притяжения.

Притягиваем ли мы Землю? Притягивает Луна!

А притягиваем ли мы сами к себе Землю? Смешной вопрос, правда? Но давайте разберемся. Вы знаете, что такое приливы и отливы в морях и океанах? Каждый день вода уходит от берегов, неизвестно где шляется несколько часов, а потом, как ни в чем не бывало, возвращается обратно.

Так вот вода в это время находится не неизвестно где, а примерно посредине океана. Там образуется что-то наподобие горы из воды. Невероятно, правда? Вода, которая имеет свойство растекаться, сама не просто стекается, а еще и образует горы. И в этих горах сосредоточена огромная масса воды.

Просто прикиньте весь объем воды, который отходит от берегов во время отливов, и вы поймете, что речь идет о гигантских количествах. Но раз такое происходит, должна же быть какая-то причина. И причина есть. Причина кроется в том, что эту воду притягивает к себе Луна.

Вращаясь вокруг Земли, Луна проходит над океанами и притягивает к себе океанические воды. Луна вращается вокруг Земли, потому что она притягивается Землей. Но, выходит, что она и сама при этом притягивает к себе Землю. Земля, правда, для нее великовата, но ее влияние оказывается достаточным для перемещения воды в океанах.

Сила и закон всемирного тяготения: понятие и формула

А теперь пойдем дальше и подумаем: если два громадных тела, находясь неподалеку, оба притягивают друг друга, не логично ли предположить, что и тела поменьше тоже будут притягивать друг друга? Просто они намного меньше и сила их притяжения будет маленькой?

Оказывается, что такое предположение абсолютно верно. Абсолютно между всеми телами во Вселенной существуют силы притяжения или, другими словами, силы всемирного тяготения.

Первым такое явление обнаружил и сформулировал в виде закона Исаак Ньютон. Закон всемирного тяготения гласит: все тела притягиваются друг к другу, при этом сила их притяжения прямо пропорциональна массе каждого из тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F = G * ( m_1 * m_2 ) / r^2   ,

где F величина вектора силы притяжения между телами, m_1  и m_2 массы этих тел, r расстояние между телами, G гравитационная постоянная.2 .

Возвращаясь к нашему исходному вопросу: «притягиваем ли мы Землю?», мы можем с уверенностью ответить: «да». Согласно третьему закону Ньютона мы притягиваем Землю ровно с такой же силой, с какой Земля притягивает нас. Силу эту можно рассчитать из закона всемирного тяготения.

А согласно второму закону Ньютона воздействие тел друг на друга какой-либо силой выражается в виде придаваемого ими друг другу  ускорения. Но придаваемое ускорение зависит от массы тела.

Масса Земли велика, и она придает нам ускорение свободного падения. А наша масса ничтожно мала по сравнению с Землей, и поэтому ускорение, которое мы придаем Земле, практически равно нулю. Именно поэтому мы притягиваемся к Земле и ходим по ней, а не наоборот.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Движение тела, брошенного вертикально вверх: суть и как решать задачи
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspУскорение свободного падения на Земле и других небесных телах

Закон всемирного тяготения :: Класс!ная физика

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Великий закон Всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном.
Ученому было всего 23 года !

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.


Силы тяготения или иначе гравитационные силы, действующие между двумя телами:
— дальнодействующие;
— для них не существует преград;
— направлены вдоль прямой, соединяющей тела;
— равны по величине;
— противоположны по направлению.

ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ

Физический смысл гравитационной постоянной:
гравитационная постоянная численно равна модулю силы тяготения, действующей между двумя точечными телами массой по 1 кг каждое, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

1. если размеры тел много меньше, чем расстояния между ними;

2. если оба тела шары и они однородны;

;

3. если одно тело большой шар , а другое находится вблизи него


( планета Земля и тела у ее поверхности).

Гравитационное взаимодействие ощутимо проявляется при взаимодействии тел большой массы.

КАВЕРЗНАЯ ЗАДАЧКА НА ПРЕДЫДУЩУЮ ТЕМУ

Сумеешь решить?
Молодец!
(как всегда «5»)

За последние 0,5 секунд свободно падающее тело пролетает 30 метров.
Найдите скорость тела в момент приземления.

Устали? — Отдыхаем!

Закон всемирного тяготения: формула, определение

Тяготение – привычное явление для каждого живого существа на Земле, на первый взгляд, не требующее объяснений. Описывает это явление закон всемирного тяготения. Однако стоит углубиться в данную тему чуть больше, так сразу возникает ряд вопросов, для ответа на которые потребуются постулаты классической механики Ньютона, а также теории относительности и базирующейся на ней теории квантовой гравитации.

Что такое всемирное тяготение

Земля — это большой магнит, который притягивает к себе всё, что находится рядом: и карандаш, случайно выскользнувший из пальцев рук, и астероид, пролетающий мимо. С начала развития науки учёные давали своё видение и определение явлению всемирного тяготения, но только в 1687 году в фундаментальной работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» было доказано его существование и воздействие на окружающие объекты.

математические начала натуральной философии

Интересный факт. Одно из первых изданий книги «Principia Mathematica» было продано на аукционных торгах за 3,7 миллиона долларов.

Основываясь на известные к тому времени эмпирические соотношения Иоганна Кеплера, описывающие гелиоцентрическую картину мира, Ньютон определил закон, согласно которому все тела притягиваются друг к другу.

гелиоцентрическая система мира

Причём сила взаимодействия растёт с увеличением массы и в то же время связана с расстоянием между объектами обратной квадратичной зависимостью, т.е.:

F = G∙(m1∙m2/ r2)

Несмотря на то, что объектами относительно небольшой массы данное явление практически не воспринимается, именно гравитация управляет движением астрономических тел, а формулировка закона позволяет объяснить, почему планеты движутся вокруг Солнца, а Луна – вокруг Земли.

Природа силы всемирного тяготения

Если важная роль гравитации в работе Вселенной понятна и неоспорима, то дать чёткий ответ на вопрос, откуда эта сила появляется, гораздо сложнее. В первой половине XX века Альберт Эйнштейн предложил специальную и общую теории относительности, в которых раскрыл своё видение природы всемирного тяготения. Согласно учёному, пространство и время представляют собой пространственно-временной континуум – четырёхмерное пространство, одно из измерений которого – время. Но так как люди воспринимают окружающее их пространство и течение времени в отдельности друг от друга, то они видят лишь проекцию континуума. Эйнштейн предположил, что гравитация возникает вследствие того, что тела, обладающие массой, вызывают деформацию пространства при проецировании на него четырёхмерного континуума.

деформация пространства телом большой массы

Более понятной идея учёного будет выглядеть, если проиллюстрировать её с помощью двух шаров разной массы и обычного листа бумаги. Допустим, что лист держат за края в горизонтальном положении, а в его центр помещают один из шаров, более тяжёлый. Естественно, бумага прогнётся. Покатив по прямой линии лёгкий шарик, наблюдатель обнаружит, что его траектория является дугообразной, стремящейся к первому, более тяжёлому шару. Причём, с позиции шара меньшей массы, его движение продолжает быть прямолинейным. В этой иллюстрации и заключено упрощённое видение возникновения гравитации как явления.

История открытия закона всемирного тяготения

Существует легенда, согласно которой Ньютон, прогуливаясь по саду и наблюдая за луной, увидел, как падает на землю яблоко (в другой версии, это яблоко упало на голову учёного). В этот же момент он подумал, что, есть вероятность, что одна и та же сила удерживает спутник на небе и заставляет фрукты падать с веток деревьев. Эта догадка и послужила началом работы над законом притяжения.

Сегодня историки сомневаются в этом мифе, что вполне объяснимо, однако главным фактом в истории остаётся то, что Ньютон был первым учёным, который осознал, что тела на Земле и в космосе испытывают на себе воздействие одной и той же силы. До этого момента люди делили гравитацию на два типа: первый отвечал за земное, несовершенное взаимодействие, второй – за небесное, заставляющее планеты двигаться по круговым, совершенным, траекториям.

Ньютон математически связал гравитацию и соотношения движения планет, выведенные Кеплером, прекращая тем самым ложное разделение физических устоев Земли и остальной Вселенной.

Интересный факт: существует мнение, что Ньютон вывел закон всемирного тяготения гораздо раньше публикации «Начал». Однако известное на тот момент расстояние от Земли до Луны не подтверждало его теорию, но как только цифры были уточнены и исправлены, всё подтвердилось.

Вывод закона всемирного тяготения

Исаак Ньютон описал свою математическую модель гравитационного воздействия, рассматривая движение Луны вокруг Земли.

Притяжение тел к земле

 

Известно, что радиус Земли составляет RЗ = 6370 километров, а всякий объект на её поверхности, обладает ускорением свободного падения g = 9,81 м/с2.

Интересный факт: учёными выявлена зависимость g от широты: на экваторе значение меньше принятого – 9,79 м/с2, а на полюсах достигает 9,83 м/с2.

Притяжение Земли и Луны

Известно, что Луна вращается вокруг Земли, двигаясь по круговой орбите радиусом RЛ = 384000 километров, период обращения при этом равен T = 27,3 суток. Для того чтобы численно прикинуть, насколько орбита Луны больше радиуса Земли, требуется разделить имеющиеся величины друг на друга, то есть:

RЛ / RЗ = 384000 / 6370 ≈ 60.

По полученным результатам очевидно, что путь от планеты до спутника включает в себя 60 радиусов Земли.

Ускорение в формуле всемирного тяготения

Луна притягивается к ней с ускорением, которое называют центростремительным. Известно, что центростремительное ускорение находят по формуле:

a = ω2∙R,

где ω – угловая скорость движения;

R – радиус окружности, по которой происходит движение.

Угловая скорость ω и период обращения Т связаны между собой соотношением:

ω = 2π / T.

центростремительное ускорение

Подставляя это равенство в формулу ускорения и преобразуя её путём подстановки индексов к некоторым величинам, получаем:

aЛ = (2π/T)2∙ RЛ,

где aЛ – ускорение Луны;

RЛ – орбита Луны или расстояние от неё до Земли.

Перед тем, как получить численное значение искомого ускорения, требуется перевести размерности всех компонентов в соответствии с Международной системой единиц (СИ):

  • период Т = 27,3 суток = 655,2 часа = 39312 минут = 2358720 секунд;
  • расстояние R = 384000 километров = 384 ∙106 метров.

Таким образом, спутник движется с ускорением:

aЛ = (2∙3,14 / 2358720)2∙ 384 ∙106 = 2,72∙10-3 м/с2.

ускорение движения луны

Сравнивая полученную величину со значением g, получаем:

g/ aЛ = 9,81 / 2,72∙10-3 ≈ 3600 = 602.

То есть ускорение, получаемое на орбите Луны, в 602 раз меньше ускорения, которое приобретается на поверхности Земли, при этом спутник находится в 60 раз дальше, то есть напрашивается предположение, согласно которому ускорение обратно пропорционально значению расстояния, возведённому в квадрат:

aЛ ~ 1/ (RЛ)2.

Второй и третий законы Ньютона в выводе формулы тяготения

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение a, которое получает тело, прямо пропорционально зависит от равнодействующей сил F, которые приложены к этому телу, и находится в обратной зависимости от его массы m:

a= F / m.

Исходя из этого, напрашивается утверждение, что характер приращения силы идентичен характеру приращения ускорения, то есть:

F ~ a.

второй закон ньютона

А так как уже было выдвинуто предположение, что ускорение имеет обратно пропорциональную зависимость от квадрата расстояния, то у силы, действующей на тело, такой же характер, то есть:

F~ 1/ (RЛ)2.

В это же время известно, что по третьему закону Ньютона взаимодействие тел между собой становится причиной возникновения сил, направленных в противоположные стороны, но одинаковых по модулю:

где F12 – сила, с которой первое тело воздействует на второе;

F21 – сила, действия второго тела на первое.

третий закон ньютона

Таким образом, не только Земля притягивает к себе свой спутник, но и наоборот. А так как по второму закону Ньютона приращение силы прямо зависит не только от приращения ускорения, но и массы, то можно утверждать, что притяжение между Луной и Землёй соответствует записи:

F ~ mЛ∙mЗ,

где mЛ – масса Луны;

mЗ – масса Земли.

Знак умножения здесь получен в результате конъюнкции – логической операции, синонимами которой являются «логическое умножение» и «И» (потому что на притяжение влияет и масса Луны, и масса Земли).

Формула всемирного тяготения

Суммируя полученные вычисления и предположения, можно вывести запись:

F ~ mЛ∙mЗ/ (RЛ)2.

Но так как данное соотношение действует не только на нашу планету и её спутник, а на все объекты, то полученный вид следует слегка преобразовать:

F ~ m1∙m2/ R2,

где F – сила притяжения, возникающая при взаимодействии двух тел;

m1,2 – масса первого и второго тела;

R – расстояние.

определение закона всемирного тяготения

Для того чтобы пропорциональность стала равенством, требуется специальный коэффициент G, называемый гравитационной постоянной. После его введения итог совершённых преобразований получает название формулы закона всемирного тяготения:

F = G∙(m1∙m2/ R2)

В чём измеряется сила притяжения

В СИ размерность любой силы — это ньютоны (Н), следовательно, сила притяжения измеряется в тех же величинах. Ньютоны считаются производными единицами, которые формируются установленными основными. Таким образом, ньютон это отношение килограмма (кг) к отношению метра (м) на секунду в квадрате (с2), то есть Н = кг / (м/с2) .

До 1960 года (дата принятия СИ) использовали СГС (сантиметр-грамм-секунда или абсолютная физическая система единиц), а сила имела размерность дины. По определению 1 дина = 1 г/ (см/с2), следовательно, ньютоны и дины отличаются на пять порядков, то есть: 1 Н = 105 дин.

Гравитационная постоянная

Значение постоянной G приравнивается силе притяжения двух точечных тел, обладающих массой один килограмм и расположенных в одном метре. Согласно СИ,

G = 6,67∙10-11 Н∙м²·кг−2.

Интересный факт: значение коэффициента пропорциональности было определено Генри Кавендишем только в 1798 году, спустя 111 лет после опубликования труда Ньютона.

Опыт Кавендиша

Чтобы определить гравитационную постоянную, был проведён эксперимент, где главную роль играли крутильные весы – устройства, представляющего собой прочную стальную проволоку, на которой расположено горизонтальное коромысло, утяжелённое по краям двумя одинаковыми шарами из свинца. Масса каждого составляла 730 грамм.

В ходе эксперимента Кавендиш приближал к маленьким шарикам большие, весом 158 килограмм, подвешенные также на коромысле. При подведении тяжёлых шаров возникала сила взаимного притяжения, поворачивающая коромысло и закручивающая проволоку, что вызывало появление силы упругости, противодействующей притяжению шаров. В определённый момент сила гравитационного взаимодействия уравновешивалась с силой упругости закрученной проволоки. Регистрируя оптическими устройствами отклонения шаров и сравнивая силы, действующие на систему, Кавендиш вычислил значение коэффициента.

Инфографика-вывод закона всемирного тяготения

Сила тяжести как частный случай закона всемирного тяготения

Создав математическую модель притяжения, Ньютон установил, что сила тяжести, чьё влияние видел и испытывал на себе каждый, является лишь одним из проявлений всемирного тяготения, которое утверждает, что все тела во Вселенной, включая планеты, звёзды, астероиды и т.д., воздействуют друг на друга с определённой силой.

Чтобы узнать значение этой силы, исходящей от Земли, нужно воспользоваться формулой, выражающей прямо пропорциональную зависимость воздействия и массы объекта:

Fтяж = g∙m,

где g = G∙(mЗ / RЗ2),

сила тяжести

На поверхности значение ускорения свободного падения принимают равным 9,81 м/с2. Если же тело удалено от поверхности Земли, значение g можно найти по формуле:

g = G∙(mЗ / (RЗ+h)2),

где h – расстояние до земли.

Таким образом, действие силы тяжести на тело уменьшается с увеличением высоты.

Интересный факт: если принять силу тяжести, действующую на Земле, за единицу, то можно проанализировать значение притяжения на поверхности других небесных тел. Так, самое большое воздествие тяготения испытает на себе тело на поверхности Юпитера – 2,442, а самое маленькое – на Луне (0,165).

В каких случаях справедлив закон всемирного тяготения

Выявленная Ньютоном зависимость имеет ограничения в области применения. Так, закон справедлив только в случаях, когда:

  1. тела можно принять материальными точками, то есть их размеры настолько малы по отношению к расстоянию, что ими можно пренебречь;
  2. тела обладают сферической формой, что свидетельствует об однородном распределении массы внутри них;
  3. одно из тел – шар большого диаметра, а второе имеет несопоставимо маленькие размеры.

когда справедлив закон всемирного тяготения

Соотношение неприменимо, если требуется описать взаимодействие шара и стержня бесконечной длины. В этом случае сила притяжения будет пропорциональна не квадрату расстоянию, а его модулю. А если существует потребность определить тяготение между бесконечной плоскостью и телом, расстояние вообще не будет иметь влияния.

Применение закона всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения – это фундаментальный закон механики, после формулировки которого стало возможно объяснение и предсказание множества природных явлений. К ним относятся:

  • приливы и отливы;
  • точное время и место лунных и солнечных затмений;
  • масса Солнца и других астрономических тел;
  • орбиты движения планет и их спутников.

Открытие планет с использованием закона всемирного тяготения

После открытия явления притяжения астрономы и физики могли, опираясь на закон Ньютона и соотношения Кеплера, определять траектории движения наблюдаемых планет Солнечной системы и указывать их координаты в любой момент времени, причём правильность вычислений подтверждалась эмпирически – результатами астрономических наблюдений.

В 1781 году Уильямом Гершелем была открыта седьмая планета Солнечной системы – Уран. Следуя отработанному алгоритму, астроном рассчитал траекторию своего открытия и его орбиту, однако в первой половине XIX века учёные обнаружили несоответствие вычисленных и реальных координат. Возникло предположение, что, помимо Солнца и шести других планет, на Уран воздействует ещё одна планета, находящаяся за ним.

В 1846 году ночью 23 сентября на основании теоретических расчётов, выполненных по имеющимся отклонениям Урана от рассчитанной траектории, молодым сотрудником Британской обсерватории Иоганном Галле была обнаружена предсказанная планета, названная Нептуном.

планета Нептун

Интересный факт: расчёты, после проведения которых стало возможно открытие, в одно и то же время совершили два учёных, независимо друг от друга – Джон Адамс и Урбен Леверье.

Спустя практически 100 лет, 18 февраля 1930 года, подобным образом была открыта девятая планета – Плутон, которая из-за относительно небольших размеров и массы считается карликовой.

Закон всемирного тяготения. Примеры из жизни

Притяжение испытывает на себе любой объект во Вселенной. В обычной жизни действие этого закона можно наблюдать в каждом явлении падения тел с высоты, будь то листок с дерева, камень, капли дождя, горные обвалы и оползни.

приливы в мировом океане

Кроме этого, тяготение проявляется в наличии веса у каждого объекта – силы, с которой тело воздействует на опору, препятствующую его дальнейшему падению к центру Земли.

Границы применимости

Несмотря на то, что закон всемирного тяготения Ньютона объясняет работу множества явлений, в конце XIX века было выявлено несоответствие наблюдаемого и рассчитанного смещения перигелия Меркурия. Эта особенность движения планеты не объяснялась известным законом, что потребовало новое понимание гравитации.

Кроме того, на рубеже веков применимость классической механики, основанной на законах Ньютона, подверглась ограничениям. Получение точных результатов с её помощью возможно только в случаях, когда:

  • скорость тел гораздо меньше скорости звука;
  • размеры объектов гораздо больше размеров атомов и молекул;
  • скорость распространения гравитации считается бесконечной.

Дальнейшее развитие

С момента создания теории притяжения многие учёные, не разделявшие научных взглядов Ньютона, стремились усовершенствовать его закон. А возникновение трудностей XIX века, подвергших сомнению основы, потребовало внесение коррективов, которые могли бы объяснить расхождение наблюдаемого и рассчитанного. В 1915 году Альберт Эйнштейн создал общую теорию относительности (ОТО), которая объяснила смещение перигелия Меркурия и сегодня является самой перспективной теорией гравитации, доказанной множеством экспериментов.

ОТО имеет чётко выраженные границы применимости, что выражается, например, в невозможности её применения при рассмотрении квантовых эффектов. Поэтому потребовалась новая теория, в которой уже сегодня стремятся объединить теорию относительности Эйнштейна и квантовую механику. Две указанные теории основываются на различных наборах постулатов, но, несмотря на это, квантовая гравитация – одно из основных и перспективных направлений для физических исследований.

Выводы

Все тела во Вселенной взаимно притягиваются, это явление называется гравитацией. Сила притяжения, которая действует между двумя объектами, тем больше, чем больше их массы, в то же время тяготение уменьшается с увеличением расстояния.

После прочтения данной статьи ответ на вопрос, как формулируется закон всемирного тяготения, обязательно будет быстрым и правильным. Однако важно не забывать, что формула, описанная Ньютоном, справедлива только для конкретно описанных случаев.

Более того, несмотря на существование и подтверждение новых гипотез, ньютоновская механика, включая закон всемирного тяготения, является наиболее простой из существующих теорий и верно описывает природные явления в своих границах.

Богданов К.Ю. — учебник по физике для 10 класса -§11

§ 11. ГРАВИТАЦИОННЫЕ СИЛЫ: ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна массам обоих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.                                          

Этот закон, называемый законом всемирного тяготения, в математической форме записывается следующим образом:

где m1 и m2 – массы тел, R – расстояние между ними (см. рис. 11а), а Gгравитационная постоянная, равная 6,67.10-11 Н.м2/кг2.


Закон всемирного тяготения был впервые сформулирован И. Ньютоном, когда он пытался объяснить один из законов И. Кеплера, утверждающий, что для всех планет отношение куба их расстояния R до Солнца к квадрату периода  T обращения вокруг него одинаково, т.е.


Выведем закон всемирного тяготения так, как сделал это Ньютон, считая, что планеты движутся по окружностям. Тогда по второму закону Ньютона на планету массой mПл, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью v и центростремительным ускорением v2/R должна действовать сила F, направленная к Солнцу (см. рис. 11б) и равная:


 

Скорость v планеты можно выразить через радиус R орбиты и период обращения T:


Подставляя (11.4) в (11.3) получаем следующее выражение для F:


Из закона Кеплера (11.2) следует, что T2 = const.R3 . Следовательно, (11.5) можно преобразовать в:


Таким образом, Солнце притягивает планету с силой прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Формула (11.6) очень похожа на (11.1), не хватает лишь массы Солнца в числителе дроби справа. Однако если сила притяжения между Солнцем и планетой зависит от массы планеты, то эта сила должна зависеть также и от массы Солнца, а значит, константа в правой части (11.6) содержит массу Солнца в качестве одного из сомножителей. Поэтому Ньютон выдвинул своё знаменитое предположение, что гравитационная сила должна зависеть от произведения масс тел и закон стал таким, каким мы его записали в (11.1).

Закон всемирного тяготения и третий закон Ньютона не противоречат друг другу. По формуле (11.1) сила, с которой тело 1 притягивает тело 2, равно силе, с которой тело 2 притягивает тело 1.   

Для тел обычных размеров гравитационные силы очень малы. Так, два рядом стоящих легковых автомобиля притягиваются друг к другу с силой, равной весу капли дождя. С тех пор, как Г. Кавендиш в 1798 г. определил значение гравитационной постоянной, формула (11.1) помогла совершить очень много открытий в «мире огромных масс и расстояний». Например, зная величину ускорения свободного падения (g=9,8 м/с2) и радиус Земли (R=6,4.106 м), можно вычислить её массу mЗ следующим образом. На каждое тело массой m1 вблизи поверхности Земли (т.е. на расстоянии R от её центра) действует гравитационная сила её притяжения, равная m1g, подстановка которой в (11.1) вместо F даёт:


откуда получаем, что mЗ = 6.1024 кг.

Вопросы для повторения:

·        Сформулируйте закон всемирного тяготения?

·        Что такое гравитационная постоянная?

 


Рис. 11. (а) – к формулировке закона всемирного тяготения; (б) – к выводу закона всемирного тяготения из закона Кеплера.

масса, можно записать в виде, формула всемирного расстояния, определение гравитации, виды сил

Сила гравитации или тяготения – это одна из важнейших в природе сил. Впервые к выводу, что она все же существует, пришел Исаак Ньютон, когда изучал, как движутся планеты вокруг Солнца и Луна вокруг Земли. Существует легенда, что свой закон всемирного тяготения он открыл, когда вечером гулял по саду и на его голову упало яблоко. Правда это или вымысел – неважно. Главное, что ученому удалось создать формулу, позволяющую производить расчет силы гравитационного воздействия.

Все во Вселенной движется. Гравитация – привычное явление для всех людей с самого детства, мы родились в гравитационном поле нашей планеты, это физическое явление воспринимается нами на самом глубоком интуитивном уровне и, казалось бы, даже не требует изучения.

Быть может, изучение этого явления стало началом натуральной философии (науки о понимании сути вещей), быть может, натуральная философия породила вопрос о его сущности, но, так или иначе, вопросом притяжения объектов заинтересовались еще в Древней Греции, задолго до того момента, когда Ньютон открыл свой закон всемирного тяготения.

Движение понималось как суть чувственной характеристики объекта, а точнее, объект двигался, пока наблюдатель это видит. Если мы не можем явление измерить, взвесить, ощутить, значит ли это, что этого явления не существует? Естественно, не значит. И с тех пор, как Аристотель понял это, начались размышления о сути притяжения.

Как оказалось в наши дни, спустя многие десятки веков, гравитация является основой не только земного притяжения и притяжения нашей планеты к Солнцу, но и основой зарождения Вселенной, почти всех имеющихся элементарных частиц. Именно поэтому так важен закон всемирного тяготения.

Задача движения

Перед тем, как заняться непосредственно изучением закона всемирно тяготения, необходимо определить некоторые важные моменты. В этому поможет небольшой эксперимент. Возьмем в левую руку небольшой шарик. В правую возьмем такой же. Отпустим правый — он начнет падать вниз. Левый при этом остается в руке, он по-прежнему недвижим.

Остановим мысленно ход времени. Падающий правый шарик «зависает» в воздухе, левый все также остается в руке. Правый наделен «энергией» движения, левый – нет. Но в чем глубокая, осмысленная разница между ними?

Где, в какой части падающего шарика прописано, что он должен двигаться? У него такой же вес, такой же объем. Он обладает такими же атомами, они ничем не отличаются от атомов покоящегося шарика. Он обладает потенциальной энергией? Да, это правильный ответ, но откуда ему известно, что обладает потенциальной энергией, где это зафиксировано в нем?

Именно эту задачу ставили перед собой Аристотель, Ньютон, Альберт Эйнштейн. Все три гениальных мыслителя отчасти решили для себя эту проблему, но на сегодняшний день существует ряд вопросов, требующих разрешения.

Закон всемирного тяготения Ньютона

В 1666 году величайшим английским физиком И. Ньютоном открыт закон всемирного тяготения, способный количественно посчитать силу, благодаря которой вся материя во Вселенной стремится друг к другу.

[colored]Сила гравитационного взаимодействия, способствующая притяжению двух тел, находится в прямой пропорциональной связи с массами этих тел и в обратной пропорциональной связи с расстоянием между ними.[/colored]

Существует красивая легенда, что закон всемирного тяготения был открыт ученым во время прогулки по вечернему саду. Ньютон размышлял о строении Вселенной, движении небесных тел, когда ему на голову упало яблоко. Его сразу посетила гениальная идея. Так родился закон всемирного тяготения. По другой версии яблоко просто упало рядом, что не помешало ученому сделать открытие. Сейчас же многие «светлые» умы современность опровергают то, что такая история могла произойти на самом деле. Но факт остается фактом — закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном.

В законе всемирного тяготения Ньютона используется термин «расстояние». Под этим термином следует понимать не дистанцию между поверхностями объектов, а расстояние между их центрами тяжести. К примеру, если два шара радиусами r1 и r2 лежат друг на друге, то дистанция между их поверхностями равна нулю, однако сила притяжения есть. Все дело в том, что расстояние между их центрами r1+r2 отлично от нуля. В космических масштабах это уточнение не суть важно, но для спутника на орбите данная дистанция равна высоте над поверхностью плюс радиус нашей планеты. Расстояние между нашей планетой и Луной также измеряется как расстояние между их центрами, а не поверхностями.

Для закона всемирного тяготения формула выглядит следующим образом:

где:

  • F – сила притяжения;
  • m1, m2– массы;
  • r – расстояние;
  • G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10−11 м³/(кг·с²).

F является векторной величиной, однако в законе всемирного тяготения она традиционно записана как скаляр. В векторной картине закон всемирного тяготения Ньютона будет выглядеть таким образом:

Но это не означает, что F обратно пропорциональна кубу дистанции между центрами. Отношение следует воспринимать как единичный вектор, направленный от одного центра к другому:

Вес и гравитация

Рассмотрев закон всемирного тяготения, можно понять, что нет ничего удивительного в том, что лично мы ощущаем притяжение Солнца намного слабее, чем земное. Массивное Солнце имеет большую массу, однако оно очень далеко от нас. Земля тоже далеко от него, однако она притягивается к нему, так как обладает большой массой.

Сила тяжести равна: P = mg, где m – наша масса, а g – ускорение свободного падения планеты (9,81 м/с2).

[stop]Не бывает двух, трех, десяти видов сил притяжения. Гравитация – единственная сила, дающая количественную характеристику притяжения. Вес (P = mg) и сила гравитации – одно и то же. И эти величины учитывает закон всемирного тяготения.[/stop]

Если m – наша масса, M – масса планеты, R – ее радиус, то, опираясь на закон всемирного тяготения, можно рассчитать гравитационную силу, которая равна:

Таким образом, поскольку F = mg:

Массы m сокращаются, остается выражение для ускорения свободного падения:

Ускорение свободного падения – действительно постоянная величина, поскольку в ее формулу входят величины постоянные — радиус, масса, гравитационная постоянная. Подставив значения этих констант, мы убедимся, что ускорение свободного падения равно 9,81 м/с2.

На разных широтах радиус планеты несколько отличается, поскольку она все-таки не идеальный шар. Из-за этого ускорение свободного падения в отдельных точках на поверхности разное.

Вернемся к притяжению Земли и Солнца. Постараемся на примере доказать, что земной шар притягивает нас с вами сильнее, чем Солнце (опираясь на закон всемирного тяготения).

Примем для удобства массу человека: m = 100 кг. Тогда:

  • Расстояние человек-земной шар равно радиусу планеты: R = 6,4∙106 м.
  • Масса Земли равна: M ≈ 6∙1024 кг.
  • Масса Солнца равна: Mc ≈ 2∙1030 кг.
  • Дистанция от планеты до Солнца: r=15∙1010 м.

Гравитационное притяжение между человеком и Землей:

Данный результат довольно очевиден из более простого выражения для веса (P = mg).

Сила гравитационного притяжения между человеком и Солнцем:

Как видим, наша планета притягивает нас почти в 2000 раз сильнее.

Как найти силу притяжения между Землей и Солнцем? Следующим образом:

Теперь мы видим, что Солнце притягивает нашу планету более чем в миллиард миллиардов раз сильнее, чем она притягивает нас с вами. И все это удалось определить благодаря закону всемирного тяготения.

Первая космическая скорость

После того как Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения, ему стало интересно, с какой скоростью нужно бросить объект, чтобы он, преодолев гравитационное поле, навсегда покинул земной шар.

Правда, он представлял себе это несколько иначе, в его понимании была не вертикально стоящая ракета, устремленная в небо, а тело, которое горизонтально совершает прыжок с вершины горы. Это была логичная иллюстрация, поскольку на вершине горы сила гравитации немного меньше.

Так, на вершине Эвереста ускорение свободного падения будет равно не привычные 9,8 м/с2, а 9,77 м/с2. Именно по этой причине там настолько разряженный воздух, частицы воздуха уже не так привязаны к гравитации, как те, которые «упали» к поверхности. Постараемся узнать, что такое космическая скорость.

Первая космическая скорость v1 (КС) – это такая скорость, при которой тело (объект) покинет поверхность Земли (или другого небесного тела), после чего перейдет на круговую орбиту.

Узнаем численной значение этой величины для нашей планеты. Запишем второй закон Ньютона для тела, которое вращается по круговой орбите:

где h — высота тела над поверхностью, R — радиус Земли.

На орбите на объект действует центробежное ускорение:

Таким образом:

Массы сокращаются, получаем:

,

.

Данная скорость называется первой космической скоростью:

Как можно заметить, она абсолютно не зависит от массы объекта. Таким образом, любой предмет, разогнанный до скорости 7,9 км/с, покинет нашу планету, после чего перейдет на ее орбиту.

Первая космическая скорость

Вторая космическая скорость

Однако, даже разогнав объект до первой КС, нам не удастся полностью разорвать его гравитационную связь с Землей. Для этого нужна вторая КС. При достижении ее тело покидает гравитационное поле планеты, а также все возможные замкнутые орбиты.

[stop]По ошибке часто считается, что для того чтобы попасть на Луну, космонавтам приходилось достигать второй КС, ведь нужно было сперва «разъединиться» с гравитационным полем. Это не так: пара «Земля — Луна» находятся в гравитационном поле Земли. Их общий центр тяжести находится внутри земного шара.[/stop]

Вторая космическая скорость

Запишем закон сохранения энергии:

,

где в правой части равенства стоит работа силы тяжести: A = Fs.

Отсюда получаем, что вторая КС равна:

Таким образом, вторая КС

раз больше первой:

.

Закон Всемирного тяготения в видео по теме:

Закон всемирного тяготения и сопутствующий ему математический аппарат стали основой астрономии и небесной механики. Он позволил объяснить природу движения всех небесных тел, а также что представляет собой невесомость. Закон всемирного тяготения является одним из краеугольных камней физики и астрономии. Но без него человечество бы не смогло объяснить основные механизмы во Вселенной.

 

Всемирный закон тяготения: точная формула силы всемирного притяжения, определение гравитации

Самым главным явлением, постоянно изучаемым физиками, является движение. Электромагнитные явления, законы механики, термодинамические и квантовые процессы – все это широкий спектр изучаемых физикой фрагментов мироздания. И все эти процессы сводятся, так или иначе, к одному – к движению тел….

Все во Вселенной движется. Гравитация – привычное явление для всех людей с самого детства, мы родились в гравитационном поле нашей планеты, это физическое явление воспринимается нами на самом глубоком интуитивном уровне и, казалось бы, даже не требует изучения.

Но, увы, вопрос, почему и каким образом все тела притягиваются друг к другу, остается и на сегодняшний день не до конца раскрытым, хотя и изучен вдоль и поперек.

В этой статье мы рассмотрим, что такое всемирное притяжение по Ньютону – классическую теорию гравитации. Однако прежде чем перейти к формулам и примерам, расскажем о сути проблемы притяжения и дадим ему определение.

Быть может, изучение гравитации стало началом натуральной философии (науки о понимании сути вещей), быть может, натуральная философия породила вопрос о сущности гравитации, но, так или иначе, вопросом тяготения тел заинтересовались еще в Древней Греции.

Движение понималось как суть чувственной характеристики тела, а точнее, тело двигалось, пока наблюдатель это видит. Если мы не можем явление измерить, взвесить, ощутить, значит ли это, что этого явления не существует? Естественно, не значит. И с тех пор, как Аристотель понял это, начались размышления о сути гравитации.

Как оказалось в наши дни, спустя многие десятки веков, гравитация является основой не только земного притяжения и притяжения нашей планеты к Солнцу, но и основой зарождения Вселенной и почти всех имеющихся элементарных частиц.

Задача движения

Проведем мысленный эксперимент. Возьмем в левую руку небольшой шарик. В правую возьмем такой же. Отпустим правый шарик, и он начнет падать вниз. Левый при этом остается в руке, он по-прежнему недвижим.

Остановим мысленно ход времени. Падающий правый шарик зависает в воздухе, левый все также остается в руке. Правый шарик наделен энергией движения, левый – нет. Но в чем глубокая, осмысленная разница между ними?

Где, в какой части падающего шарика прописано, что он должен двигаться? У него такая же масса, такой же объем. Он обладает такими же атомами, и они ничем не отличаются от атомов покоящегося шарика. Шарик обладает потенциальной энергией? Да, это правильный ответ, но откуда шарику известно, что обладает потенциальной энергией, где это зафиксировано в нем?

Именно эту задачу ставили перед собой Аристотель, Ньютон и Альберт Эйнштейн. И все три гениальных мыслителя отчасти решили для себя эту проблему, но на сегодняшний день существует ряд вопросов, требующих разрешения.

Гравитация Ньютона

В 1666 году величайшим английским физиком и механиком И. Ньютоном открыт закон, способный количественно посчитать силу, благодаря которой вся материя во Вселенной стремится друг к другу. Это явление получило название всемирное тяготение. Когда вас просят: Сформулируйте закон всемирного тяготения, ваш ответ должен звучать так:

Сила гравитационного взаимодействия, способствующая притяжению двух тел, находится в прямой пропорциональной связи с массами этих тел и в обратной пропорциональной связи с расстоянием между ними.

Важно! В законе притяжения Ньютона используется термин расстояние. Под этим термином следует понимать не дистанцию между поверхностями тел, а расстояние между их центрами тяжести. К примеру, если два шара радиусами r1 и r2 лежат друг на друге, то дистанция между их поверхностями равна нулю, однако сила притяжения есть. Все дело в том, что расстояние между их центрами r1+r2 отлично от нуля. В космических масштабах это уточнение не суть важно, но для спутника на орбите данная дистанция равна высоте над поверхностью плюс радиус нашей планеты. Расстояние между Землей и Луной также измеряется как расстояние между их центрами, а не поверхностями.

Для закона тяготения формула выглядит следующим образом:

,

где:

  • F – сила притяжения,
  • – массы,
  • r – расстояние,
  • G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10−11 м³/(кг·с²).

Что же представляет собой вес, если только что мы рассмотрели силу притяжения?

Сила является векторной величиной, однако в законе всемирного тяготения она традиционно записана как скаляр. В векторной картине закон будет выглядеть таким образом:

.

Но это не означает, что сила обратно пропорциональна кубу дистанции между центрами. Отношение следует воспринимать как единичный вектор, направленный от одного центра к другому:

.

Закон гравитационного взаимодействия

Вес и гравитация

Рассмотрев закон гравитации, можно понять, что нет ничего удивительного в том, что лично мы ощущаем притяжение Солнца намного слабее, чем земное. Массивное Солнце хоть и имеет большую массу, однако оно очень далеко от нас. Земля тоже далеко от Солнца, однако она притягивается к нему, так как обладает большой массой. Каким образом найти силу притяжения двух тел, а именно как вычислить силу тяготения Солнца, Земли и нас с вами – с этим вопросом мы разберемся чуть позже.

Насколько нам известно, сила тяжести равна:

P = mg,

где m – наша масса, а g – ускорение свободного падения Земли (9,81 м/с2).

Важно! Не бывает двух, трех, десяти видов сил притяжения. Гравитация – единственная сила, дающая количественную характеристику притяжения. Вес (P = mg) и сила гравитации – одно и то же.

Если m – наша масса, M – масса земного шара, R – его радиус, то гравитационная сила, действующая на нас, равна:

.

Таким образом, поскольку F = mg:

.

Массы m сокращаются, и остается выражение для ускорения свободного падения:

.

Как видим, ускорение свободного падения – действительно постоянная величина, поскольку в ее формулу входят величины постоянные радиус, масса Земли и гравитационная постоянная. Подставив значения этих констант, мы убедимся, что ускорение свободного падения равно 9,81 м/с2.

На разных широтах радиус планеты несколько отличается, поскольку Земля все-таки не идеальный шар. Из-за этого ускорение свободного падения в отдельных точках земного шара разное.

Вернемся к притяжению Земли и Солнца. Постараемся на примере доказать, что земной шар притягивает нас с вами сильнее, чем Солнце.

Примем для удобства массу человека: m = 100 кг. Тогда:

  • Расстояние между человеком и земным шаром равно радиусу планеты: R = 6,4∙106 м.
  • Масса Земли равна: M ≈ 6∙1024 кг.
  • Масса Солнца равна: Mc ≈ 2∙1030 кг.
  • Дистанция между нашей планетой и Солнцем (между Солнцем и человеком): r=15∙1010 м.

Гравитационное притяжение между человеком и Землей:

.

Данный результат довольно очевиден из более простого выражения для веса (P = mg).

Сила гравитационного притяжения между человеком и Солнцем:

.

Как видим, наша планета притягивает нас почти в 2000 раз сильнее.

Как найти силу притяжения между Землей и Солнцем? Следующим образом:

.

Теперь мы видим, что Солнце притягивает нашу планету более чем в миллиард миллиардов раз сильнее, чем планета притягивает нас с вами.

Первая космическая скорость

После того как Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения, ему стало интересно, с какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно, преодолев гравитационное поле, навсегда покинуло земной шар.

Правда, он представлял себе это несколько иначе, в его понимании была не вертикально стоящая ракета, устремленная в небо, а тело, которое горизонтально совершает прыжок с вершины горы. Это была логичная иллюстрация, поскольку на вершине горы сила притяжения немного меньше.

Так, на вершине Эвереста ускорение свободного падения будет равно не привычные 9,8 м/с2, а почти м/с2. Именно по этой причине там настолько разряженный воздух, частицы воздуха уже не так привязаны к гравитации, как те, которые упали к поверхности.

Постараемся узнать, что такое космическая скорость.

Первая космическая скорость v1 – это такая скорость, при которой тело покинет поверхность Земли (или другой планеты) и перейдет на круговую орбиту.

Постараемся узнать численной значение этой величины для нашей планеты.

Запишем второй закон Ньютона для тела, которое вращается вокруг планеты по круговой орбите:

,

где h высота тела над поверхностью, R радиус Земли.

На орбите на тело действует центробежное ускорение , таким образом:

.

Массы сокращаются, получаем:

,

.

Данная скорость называется первой космической скоростью:

Как можно заметить, космическая скорость абсолютно не зависит от массы тела. Таким образом, любой предмет, разогнанный до скорости 7,9 км/с, покинет нашу планету и перейдет на ее орбиту.

Первая космическая скорость

Вторая космическая скорость

Однако, даже разогнав тело до первой космической скорости, нам не удастся полностью разорвать его гравитационную связь с Землей. Для этого и нужна вторая космическая скорость. При достижении этой скорости тело покидает гравитационное поле планеты и все возможные замкнутые орбиты.

Важно! По ошибке часто считается, что для того чтобы попасть на Луну, космонавтам приходилось достигать второй космической скорости, ведь нужно было сперва разъединиться с гравитационным полем планеты. Это не так: пара Земля Луна находятся в гравитационном поле Земли. Их общий центр тяжести находится внутри земного шара.

Для того чтобы найти эту скорость, поставим задачу немного иначе. Допустим, тело летит из бесконечности на планету. Вопрос: какая скорость будет достигнута на поверхности при приземлении (без учета атмосферы, разумеется)? Именно такая скорость и потребуется телу, чтобы покинуть планету.

Вторая космическая скорость

Запишем закон сохранения энергии:

,

где в правой части равенства стоит работа силы тяжести: A = Fs.

Отсюда получаем, что вторая космическая скорость равна:

Таким образом, вторая космическая скорость в   раз больше первой:

.

Закон всемирного тяготения. Физика 9 класс

Закон Всемирного тяготения.

Вывод

Мы с вами узнали, что хотя гравитация является основной силой во Вселенной, многие причины этого явления до сих пор остались загадкой. Мы узнали, что такое сила всемирного тяготения Ньютона, научились считать ее для различных тел, а также изучили некоторые полезные следствия, которые вытекают из такого явления, как всемирный закон тяготения.

Формула силы тяжести Исаака Ньютона: определение и пример — стенограмма видео и урока

Два объекта

Но знаете ли вы, что эта сила присутствует между любыми двумя телами? Верно; вы сами проявляете силу притяжения ко всему, что вас окружает. Итак, почему к вам не тянутся? Поскольку Земля намного больше, она оказывает еще большую силу притяжения, которая притягивает вещи с большей силой, чем вы. В некотором смысле Земля выигрывает, когда дело доходит до привлечения на нее вещей.Вы не можете победить Землю.

Это сила, формулу которой создал сэр Исаак Ньютон. Итак, сегодня у нас есть способ вычислить силу или притяжение между двумя объектами. Мы можем использовать эту формулу, чтобы увидеть, насколько больше сила тяжести между баскетбольным мячом и землей и между баскетбольным мячом и нами, чтобы увидеть, кто победит. 2), где F — сила притяжения между двумя телами, G — универсальная гравитационная постоянная, м, sub 1 — масса первого объекта, m, sub 2 — масса второго объекта, а r — расстояние между центрами каждого объекта.Обратите внимание, как я использовал слово «масса» вместо «вес». Это потому, что масса отличается от веса.

Видите ли, ваш вес зависит от силы тяжести, которая тянет вас вниз. Вот почему в космосе вы невесомы. Теперь у вас другой вес, но ваша масса остается прежней, независимо от того, какая сила тяжести вас тянет вниз. Ваша масса говорит вам, из какого количества материала вы сделаны. Независимо от того, где вы находитесь, количество материала, из которого вы сделаны, остается неизменным, и это ваша масса.-23 Н. Ух ты, это крошечное число!

Сравнивая эти два числа, я вижу, что, вау, сила между землей и баскетбольным мячом намного больше, чем сила между маленьким человечком и баскетбольным мячом. Неудивительно, что каждый раз земля побеждает, и вещи не прилипают ко мне волшебным образом.

Краткое содержание урока

Давайте подведем итоги тому, что мы узнали сейчас. Сила, известная нам как гравитация, на самом деле закон всемирного тяготения Ньютона , который объясняет притяжение или силу, существующую между любыми двумя массами или объектами.2, где N — Ньютон, мера силы. Используя эту формулу, мы понимаем, почему Земля оказывает достаточно сильную силу, чтобы не дать нам уплыть.

Результаты обучения

После того, как вы закончите этот урок, вы должны иметь возможность:

  • Определить формулу закона всемирного тяготения Ньютона
  • Используйте эту формулу, чтобы найти силу тяжести между объектами
  • Разница между массой и весом
  • Объясните, почему Земля оказывает такое сильное воздействие на объекты с помощью этой формулы

* Описание и уравнения гравитации

Примечание: это многостраничная статья.
Для навигации используйте раскрывающиеся списки и клавиши со стрелками вверху и внизу каждой страницы.

Этот набор статей представляет собой ресурс по гравитации — удобный сборник описаний, методов и уравнений гравитационной физики с некоторыми связанными темами, такими как инерция и центростремительная сила. В нем рассматривается ньютоновская гравитация, классическое приближение первого порядка релятивистской гравитации, которое наиболее полезно в повседневных расчетах гравитации.Некоторые факты относительности включаются, когда они необходимы для завершения мысли, например, в отношении энергии, но относительность не является основной темой.

Многие из представленных здесь гравитационных объяснений взяты из других моих статей. Эта статья объединяет их по темам и дает повествовательный обзор.

Прежде чем переходить к конкретным темам, давайте подготовим почву для некоторых ключевых констант и идей. Ньютоновскую гравитацию довольно легко понять — она ​​вращается вокруг нескольких значений и одного уравнения, из которого выводятся многие другие:

г

G — универсальная гравитационная постоянная. 2} $

Где:

  • f = Сила между массами $ m_1 $ и $ m_2 $ в ньютонах.
  • G = Универсальная гравитационная постоянная, описанная выше.
  • $ m_1, m_2 $ = Две массы при взаимном притяжении, единицы килограммы.
  • r = расстояние между $ m_1 $ и $ m_2 $, в метрах.

Обратите внимание, что гравитационные силы почти всегда вычисляются относительно центров объектов. Например, гравитацию Земли можно рассчитать так, как если бы вся ее масса находилась в точке в ее центре. По причинам, выходящим за рамки данной статьи, для однородной массы это вполне допустимое упрощающее предположение.

Литтл-г

«Little — g » — это производное значение ускорения свободного падения на поверхности Земли. Вот как вычисляется мало — г :

Первый член: ускорение свободного падения ($ a_g $ на рисунке 1)

Рисунок 1: Факторы в little-g

Начнем с формы уравнения (1) и следующих констант:

  • $ e_m $ = Масса Земли: 5.2} $ для малых масс.

Причина, по которой в уравнении (2) нет второго массового члена, заключается в том, что движущаяся масса при ускорении под действием силы тяжести испытывает сокращение своей собственной массы в соответствии с принципом эквивалентности, который гласит, что гравитационная сила и сила инерции равны. Это означает, что масса Земли — единственный фактор в движении малой массы, и это объясняет, почему большие и малые массы падают с одинаковой скоростью в гравитационном поле.Это означает, что всякий раз, когда вычисляется ускорение, и за редким исключением, меньшая масса исключается из исходного уравнения (1).

Второй член: Центростремительная сила ($ a_c $ на рисунке 1)

Первый член выше вычисляет ускорение свободного падения на поверхности Земли, но необходимо учитывать еще один фактор — вращение Земли создает центростремительную силу.{2}} {r} $

Результат: $ g = a_g — a_c $

Для этой задачи нам нужно написать уравнение (3) таким образом, чтобы вычислить ускорение (так, как и раньше, мы опускаем m , массу движущегося объекта). Затем нам нужно учесть тот факт, что и эффективный радиус, и скорость вращения изменяются на разных широтах, и, наконец, нам нужно учесть тот факт, что гравитационная сила и векторы центростремительной силы не выровнены нигде, кроме экватора, как показано на рисунке 1. .2} $

Прочие факторы

Вышеупомянутое ни в коем случае не является исчерпывающим обсуждением вопросов, связанных с вычислением little-g. Есть высота, которая заставляет гравитацию уменьшаться как обратный квадрат расстояния, и тот факт, что Земля не является сферической, среди прочего. Но приведенный выше результат подходит для вычисления поверхностных сил и ускорений.

Примечания к проекту

Вместо использования графических изображений уравнений в этой статье используется схема визуализации LaTeX под названием MathJax. Это моя первая статья, использующая этот метод. Его преимущество в том, что я могу просто ввести уравнения и увидеть их визуализацию через несколько секунд (или я могу посетить свой редактор LaTeX для более сложных уравнений). Еще одно преимущество состоит в том, что при увеличении масштаба страницы уравнения выглядят лучше, а не хуже, чем при графическом рендеринге.

Список литературы

Это список литературы для всего набора статей.

Примечание: это многостраничная статья.
Для навигации используйте раскрывающиеся списки и клавиши со стрелками вверху и внизу каждой страницы.

Universal Gravitation — обзор

1.1 Что такое прикладная математика?

Прикладная математика — это использование математики для решения задач или понимания явлений, которые возникают за пределами математики.

Простое число — это целое число больше единицы, единственными делителями которого являются само число и единица. Например, 2, 3, 5 и 7 — первые четыре простых числа. Сколько целых чисел являются простыми числами? Этот вопрос возник внутри математики .

Вспомните второй закон движения Ньютона: скорость изменения количества движения частицы — это сумма сил, действующих на нее.Закон всемирного тяготения Ньютона можно описать следующими двумя утверждениями: (1) Величина гравитационной силы, которую одна масса оказывает на вторую массу, прямо пропорциональна (с универсальной константой пропорциональности) произведению масс и обратно пропорциональна пропорциональны квадрату расстояния между их центрами масс; и (2) направление силы вдоль линии, соединяющей центры масс со второй массой. Эти законы предписывают относительное движение двух масс, на каждую из которых влияет только сила тяжести другой.Задача определения движения двух масс — проблема двух тел Ньютона — является прототипом прикладной математики. Оно возникает за пределами математики.

Задача двух тел — основной вопрос небесной механики. Используя теорию Ньютона, мы можем построить математическую модель: пусть m 1 и m 2 будут точечными массами в трехмерном евклидовом пространстве, движущимися согласно второму закону движения Ньютона и его закону всемирного тяготения.Обозначим их положения в пространстве векторами положения R 1 и R 2 , определим вектор R = R 2 R 1 , расстояние между их центрами r = | R |, и пусть G 0 обозначает универсальную гравитационную постоянную. Уравнения движения двух тел:

m1R¨1 = G0m1m2r3R, m2R¨2 = G0m1m2r3R.

Эта математическая модель состоит из пары обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, что типично для классической механики.Теперь мы можем, , делать прогнозы о движении двух тел без дальнейших ссылок на физику или наблюдения за природой , делая математические выводы из этих уравнений движения . Когда эта модель была впервые предложена — на не столь компактном языке, — Ньютон с помощью математических выводов показал, что эти уравнения движения предсказывают три закона движения планет Кеплера, которые были получены непосредственно из наблюдений за движением планет в солнечной системе.Например, Кеплер заявил, что каждая планета движется в плоскости по эллиптической орбите с Солнцем в одном фокусе эллипса. Кеплер описал движения планет; Ньютон объяснил их движение, сделав законы Кеплера частными случаями более общей теории. Законы Кеплера применимы только к движениям наблюдаемых планет; Закон тяготения Ньютона одинаково хорошо применим к движению Луны или падающих тел вблизи Земли, а его второй закон применим ко всем силам, а не только к силе гравитации.Эти поразительные успехи и многие другие подтвердили, что законы Ньютона (близкие аппроксимации) фундаментальных законов природы. Не менее важно, что эти приложения укрепили представление о том, что математические выводы из фундаментальных законов являются предсказательными. Хотя эти события были продолжены развитием и важными приложениями алгебры, геометрии и теории вероятностей, развитие исчисления и законов Ньютона (особенно его второго закона) является основой современного математического моделирования и прикладной математики.

Почему математические выводы из физических законов предсказывают явления природы — это глубокий философский вопрос, но этот факт является фундаментальным. Рациональность и детерминизм природы лежат в основе научного метода, силы математического моделирования и прикладной математики.

Несмотря на то, что существует множество убедительных аргументов в пользу ценности чистой математики как предмета, достойного изучения сама по себе, эффективность математики, применяемой для понимания природы и создания жизнеспособных предсказаний, узаконивает всю математическую деятельность.

Трудно переоценить предсказательную силу математических выводов из законов Ньютона. Комета Галлея появляется в небе. Используя исходные данные, полученные в результате наблюдений, вы решаете проблему двух тел для Солнца и этого небесного объекта и предсказываете, что комета вернется примерно через 75 лет. Вы ждете 75 лет, и в небе появляется комета. Какая еще существует методология, позволяющая с уверенностью предсказать событие на 75 лет вперед? Комбинация законов физики, математического моделирования, математического анализа и вычислений может использоваться для предсказания многих других природных явлений.

Как вы, возможно, знаете, законы Ньютона — отличное приближение к реальности, но они не верны. Истинная природа гравитации намного сложнее, и второй закон Ньютона не действует для масс, относительные скорости которых приближаются к скорости света. Простой мысленный эксперимент должен убедить вас в том, что закон всемирного тяготения не является идеальной моделью гравитации. Просто обратите внимание, что гравитационная сила ощущается мгновенно при изменении расстояния между двумя массами. Если бы Солнце начало колебаться, это сразу же повлияло бы на движение Земли.По той же причине сообщение может быть отправлено мгновенно в любую точку Вселенной: представьте, что встряхивание солнца на секунду представляет собой единицу, и приостанавливает встряхивание на секунду, чтобы представить ноль. Закон всемирного тяготения Ньютона предсказывает мгновенное действие на расстоянии. Конечно, Ньютон это прекрасно понимал. Хотя теория гравитации была изменена Альбертом Эйнштейном и, вероятно, будет изменена в будущем, чтобы более точно соответствовать наблюдениям, модель движения Ньютона из-за гравитационного взаимодействия является предсказуемой с точностью большинства практических измерений до тех пор, пока относительная скорость массы намного меньше скорости света.Это прототип превосходной модели прогнозирования, которая обычно используется во многих важных приложениях; например, планирование космических полетов. Главное здесь то, что модель Ньютона не точна, но полезна. Полезность — это мера качества в области прикладной математики. Совершенных математических моделей реальности не существует. К счастью, утилитарность не требует совершенства. Основные цели прикладной математики — разрабатывать, анализировать и использовать математические модели, чтобы делать полезные прогнозы, проверять гипотезы и объяснять природные явления.

Важные формулы гравитации для JEE

Гравитация, также называемая гравитацией, — это универсальная сила притяжения, которая действует на все вещества, присутствующие на Земле. Его основал Исаак Ньютон. Это считается естественным явлением, из-за которого все объекты, обладающие массой или энергией, включая планеты, звезды, галактики и даже свет, притягиваются друг к другу. Гравитация Земли определяет вес всех физических объектов, но гравитация Луны является причиной океанских приливов.Проще говоря, это сила притяжения, которую тела разных объектов оказывают друг на друга из-за своей массы. Единица силы тяжести в системе СИ — килограмм — вес. Студенты обычно изучают все это в главе JEE по физике гравитации.

(изображение скоро будет загружено)

Что такое гравитационная сила?

Гравитационная сила — это сила, которая вызывает притяжение между любыми двумя объектами, имеющими определенную массу. Люди обычно называют гравитационные силы притягивающими, потому что они всегда притягивают массы друг к другу, но никогда не отделяют эти массы друг от друга.Это доказывает тот факт, что каждый объект, включая нас, притягивает каждый другой объект, присутствующий во Вселенной.

Свойства силы тяжести

Свойства силы тяжести следующие:

  • Сила тяжести рассматривается как сила дальнего действия, существующая между двумя объектами без учета разделяющей их среды.

  • Сила тяжести прямо пропорциональна произведению массы двух объектов.Это означает, что предмет с большей массой создаст большую силу.

  • Сила подчиняется закону обратных квадратов. Гравитационная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между двумя объектами, чем больше расстояние, тем меньше сила.

  • На поверхности Земли сила тяжести вызывает постоянное ускорение, которое, по расчетам, составляет g = 9,8 м / с 2 .

  • Гравитационная сила всегда была силой притяжения, которая всегда притягивает два объекта вместе и никогда не отрывает их друг от друга.

  • Сила тяжести всегда не зависит от разделяющей среды.

  • Среди четырех основных сил гравитационная сила является самой слабой из всех.

  • Гравитационная сила всегда действует вдоль линии, соединяющей центры двух объектов, поэтому ее называют центральной силой.

  • Сила тяжести прямо пропорциональна весу объектов.

  • Сила тяжести также действует, даже если объекты не находятся в физическом контакте.

Все эти свойства описаны в главе JEE по физике гравитации.

Преимущества и недостатки силы тяжести

Преимущества силы тяжести:

  • Гравитация вызывает водопады, которые помогают нам вырабатывать электричество.

  • Гравитация также вызывает дождь, который необходим для уравновешивания окружающей среды Земли для живых существ.

Недостатки гравитации:

  • Гравитация Земли может тянуть из космоса большие камни, известные как астероиды.Если эти астероиды войдут в атмосферу Земли, они могут стать причиной значительных катастрофических повреждений. Большие астероиды привлекают больше из-за своей массы, и они также наносят больший ущерб.

  • Гравитация вызывает падение объекта с большой высоты, что может стать причиной многих несчастных случаев со смертельным исходом для людей.

Важные формулы гравитации

Гравитация все формулы имеют следующий вид.

  1. Гравитационная сила

F = Gm₁m₂ / r 2

G — гравитационная постоянная.{2}} \] — x)

iv) Равномерная тонкая сферическая оболочка

V out = -GM / r

V поверхность = -GM / R

V in = -GM / R

  1. Ускорение силы тяжести

g = GM / R 2

  1. Изменение g с глубиной

g внутри ≈ g [(1 — h) / r4

  • Изменение g с высотой

  • g снаружи ≈ g [(1 — 2H) / R]

    1. Влияние несферической формы Земли на g

    G на полюсе> g на экваторе ( с Re — Rp ≈ 21 км)

    1. Влияние вращения Земли на кажущуюся массу

    mg’θ = mg = mw 2 Rcos 2 θ

    1. Орбитальная скорость спутника 9

      2
    2. V₀ = \ [\ sqrt {GM / R} \]

      1. Скорость выхода

      Vℯ = \ [\ sqrt {2GM / R} \]

      1. Закон Кеплера

      Первый закон

      Эллиптическая орбита с Солнцем в одном из фокусов

      Второй закон

      Ареальная скорость постоянна ( dA / dt = 0)

      Третий закон

      T 2 ⋉R 3

      Все эти важные формулы можно узнать из глав, посвященных гравитации.

      Решенный Пример:

      Пример 1:

      Какая сила тяжести действует на объект, находящийся на поверхности Земли? Масса Земли = 5,98 x 10 24 кг, масса объекта = 10 3 кг, радиус Земли = 6,38 x 10 6 м.

      Решение:

      F = Gm₁m₂ / r 2 = [(6,67 x 10 -11 ) (5,98 x 10 24 ) (10 3 )] / (6,38 x 10 6 ) 2

      Вращение и гравитация

      Вращение и гравитация

      Равномерное круговое движение означает, что частица движется с постоянной скоростью по кругу.

      Для такого случая скорость не является постоянным , даже если скорость постоянна. Следовательно, частица имеет ускорение. Почему?

      Ответ : ускорение возникает из-за того, что направление v постоянно меняется как v остается параллельным касательной к окружности.

      На основании свойств подобных треугольников (т.е. соотношение соответствующие стороны равны), докажем, что величина ускорения равна предоставлено,

      a = v 2 / r, где r — радиус окружности.

      Это называется центростремительный (поиск по центру) ускорение, потому что a всегда указывает на центр круга. В приведенной выше формуле скорость определяется выражением

      .

      в = 2пр / Т,

      , где T — период движения, т.е.е. время один раз обойти круг.

      Вооружен приведенными выше формулами центростремительного ускорения и скорость, второй закон Ньютона движения, и третий закон Кеплера движения планет (T 2 пропорциональна r 3 ),

      Ньютона Вселенский закон всемирного тяготения следует,

      F = G M m / r 2 .

      Эта формула дает величину гравитационной силы, F, одна масса, M, действует на другую массу, m, когда две массы находятся на расстоянии из r друг от друга. Символ G называется всемирным тяготением. постоянный. Его значение

      G = 6,67×10 -11 Н-м 2 / кг 2 .

      Примеры [ в классе]

      Гравитационная потенциальная энергия — Гипертекст по физике

      Обсуждение

      введение

      Короткий фрагмент исчисления.

      U г = —
      F · d s
      r
      U г = —

      Гм 1 м 2 др
      r 2
      U г = — Gm 1 m 2

      1 1

      r

      и вот она…

      где…

      U г = гравитационная потенциальная энергия
      м 1 м 2 = массы любых двух объектов
      r = разделения между их центрами
      G = универсальная гравитационная постоянная (6.67 × 10 −11 Н м 2 / кг 2 )

      Обратите внимание, что в этом выражении нет ∆. Обсуди здесь.

      Где-нибудь обсудите потенциальную и потенциальную энергию.

      А как насчет старого уравнения?

      U г = мг ч

      Это скрыто в новом уравнении.

      Позвольте мне показать вам.

      U г = U f U i
      U г = U г ( r + ∆ h ) U г ( r )
      U г = Гм 1 м 2 + Гм 1 м 2
      r + ∆ h r

      Объедините члены с общим знаменателем.

      U г =
      Gm 1 м 2 (( r + ∆ h ) — r )
      r ( r + ∆ h )
      U г =

      Умножить на «единицу».

      U г = Gm 1 м 2 h r
      r ( r + ∆ h ) r

      Условия обмена в знаменателях.

      U г = Gm 1 м 2 h r
      r 2 r + ∆ h

      Выносим за скобки некоторые вещи из числителя.

      U г = м 2 h Гм 1 r
      r 2 r + ∆ h

      Вы это видите? Если r — радиус Земли, м 1 — масса Земли, а м 2 — масса поднимаемого объекта, то…

      — ускорение свободного падения на поверхности Земли.Сделав эту замену (и отбросив нижний индекс, так как у нас осталась только одна масса), получаем…

      U г = мг h r
      r + ∆ h

      Первая часть этого выражения — наш старый друг, исходное уравнение для гравитационной потенциальной энергии. Второй член — поправочный коэффициент. Для обычных высот этот член по сути один.Подтвердим это на действительно высокой высоте — вершине шпиля Бурдж-Халифа в Объединенных Арабских Эмиратах (818 м).

      r = 6 371 000 м
      r + ∆ h 6 371 000 м + 818 м
      r = 0,999872
      r + ∆ h

      У инженеров, проектировавших Бурдж, в расчетах была ошибка в четвертом десятичном разряде.Это отклонение, вероятно, меньше, чем погрешность в массе балок, использованных для строительства этого здания, поэтому ∆ U г = мг h вполне приемлемо для большинства наземных применений

      А теперь попробуем что-нибудь астрономическое. Можно ли использовать ∆ U g = мг h для измерения гравитационной потенциальной энергии Луны? Расстояние Земля-Луна (384 400 000 м) измеряется от центра Земли, а не от ее поверхности.В этом случае r + ∆ h фактически будет разницей в двух числах.

      r = 6,371000 м
      r + ∆ h 384 400 000 м — 6 371 000 м
      r = 0,016853
      r + ∆ h

      Это число явно ближе к нулю, чем к единице, поэтому…

      используется для астрономических приложений.

      Скорость эвакуации

      Что идет вверх, должно падать. Верно?

      Умм. Нет. Не обязательно.

      Если объект бросить вверх достаточно быстро, он поднимется и никогда не опустится. Минимальная скорость, необходимая для этого, называется второй скоростью .

      Ни один человек никогда не путешествовал со скоростью, превышающей скорость убегания Земли. Астронавты Аполлона подошли очень близко, но они направлялись к Луне, которая удерживается земной гравитацией на замкнутой орбите.В каком-то смысле они действительно не хотели сбегать с Земли. Однако им удалось путешествовать быстрее, чем космическая скорость Луны, поэтому они смогли вернуться на Землю.

      Любой космический корабль, который когда-либо побывал на другой планете или астероиде, смог превысить космическую скорость Земли. Подсчитать их всех — слишком большая работа. Это где-то в нескольких сотнях.

      Пять космических аппаратов в настоящее время находятся на траекториях, которые выведут их за пределы Солнечной системы, что означает, что они превысили скорость убегания Солнца.Это миссии Pioneer 10 и 11 к Юпитеру и Сатурну, миссии Voyager 1 и 2 ко всем четырем планетам Юпитера (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) и миссия New Horizons к Плутону. В 2012 году «Вояджер-1» стал первым созданным человеком объектом, пересекшим межзвездное пространство на расстоянии 120 астрономических единиц от Солнца (в 120 раз больше расстояния Земля-Солнце или в 4 раза больше расстояния Нептун-Солнце).

      Давайте рассмотрим факторы, влияющие на скорость убегания.

      • Все объекты с массой имеют убегающую скорость, но этот термин обычно используется только для астрономических объектов — вещей с большой массой.Скорость убегания Земли довольно высока (11 км / с), поэтому большинство людей никогда не видели, чтобы объект покидал Землю. Скорость убегания человека незаметно мала (0,3 мм / с), поэтому все, что кто-либо когда-либо отпускал, никогда не возвращалось к нему из-за их гравитационного притяжения. Скорость убегания увеличивается с массой (но эти две величины не прямо пропорциональны).
      • Скорость убегания иногда называют скоростью, необходимой для того, чтобы избежать гравитации объекта, но это не совсем так.Вы никогда не сможете избежать притяжения силы тяжести. Никогда! Гравитация уменьшается с увеличением расстояния между объектами, но никогда не равна нулю. Гравитация безгранична. Поскольку сила тяжести уменьшается с разделением , убегающая скорость также уменьшается (но эти две величины не обратно пропорциональны).

      Время для математики. Начните с закона сохранения энергии — полная энергия в начале равна полной энергии в конце.

      E 0 = E

      Для объекта, подброшенного вверх, соответствующие энергии — кинетический и гравитационный потенциал.

      K 0 + U 0 = K + U

      Замените символы энергии их уравнениями. (Помните, что кинетическая энергия всегда положительна, а гравитационная энергия всегда отрицательна.)

      ½ м 1 v 0 2 Гм 1 м 2 = ½ м 1 v 2 Гм 1 м 2
      r 0 r

      Пусть…

      м 1 = — масса объекта, который совершает побег (космический корабль, обломки взрыва, обломки падения метеорита и т. Д.))
      м 2 = масса астрономического объекта, от которого он убегает (Земля, Солнце, Млечный Путь и т. Д.)
      v 0 = начальная скорость убегающего объекта
      против = скорость убегающего объекта в более позднее время
      r 0 = начальное разделение между двумя объектами
      r = разделение между двумя объектами в более позднее время
      G = всемирная гравитационная постоянная

      Бросьте предмет вверх и что произойдет? Гравитация тянет его, замедляя его подъем.В конце концов объект остановится, развернется и упадет обратно на Землю. Бросьте быстрее, и этот срок будет выше. Бросьте еще быстрее, и этот балл будет еще выше. Возьмите эту ситуацию и доведите ее до крайности. Сделайте так, чтобы этот поворотный момент был бесконечно далеким. На языке пределов пусть r → ∞ и v → 0. Когда мы это сделаем, оба члена справа от знака равенства исчезнут. Если вы хотите сбежать с Земли, Солнца или Млечного Пути, просто имейте нулевую общую энергию.

      ½ м 1 v 0 2 Гм 1 м 2 + = 0 -0
      r 0

      Алгебра говорит, что мы можем исключить m 1 , поскольку оно встречается в каждом члене. Поскольку осталась только одна масса, я не вижу смысла писать индекс больше. Мы также можем сделать то же самое для индексов на v 0 и r 0 .Если нет других значений скорости или разделения, о которых нужно беспокоиться, зачем возиться с индексами? Давайте также сделаем небольшую перестановку, чтобы уменьшить количество терминов и убрать знак минус.

      Решение для v дает нам следующее уравнение для космической скорости…

      где…

      против = космическая скорость (минимальная скорость, необходимая объекту для бесконечно удаленного от астрономического объекта в определенном месте)
      G = универсальная гравитационная постоянная
      м = Масса астрономического объекта
      r = начальное разделение между двумя объектами

      Обратите внимание, что, хотя это называется escape speed , на самом деле это escape speed .Это не вектор, это скаляр. Пока вы направляетесь не в астрономический объект, убегающий объект ускользнет. Мы подошли к этому как к проблеме сохранения энергии, а энергия — это скалярная величина. Его не волнует направление. Вспомните также, что гравитация описывается как консервативная сила, что означает, что ее не волнует ваш путь.

      горизонт событий

      Черная дыра — это звезда, схлопнувшаяся до точки. В пределах определенного радиуса, известного как горизонт событий, убегающая скорость больше скорости света.Поскольку ничто не может превысить скорость света, все, что пересекает горизонт событий, навсегда остается в ловушке черной дыры.

      Черные дыры разрушают объем, но не массу, энергию, угловой момент, заряд, энтропию и т. Д.

      Горизонт событий или радиус Шварцшильда. Точка невозврата.

      Впервые теоретизирован Джоном Мишелем в 1784 году

      Исходя из формулы космической скорости, выведите уравнение для радиуса горизонта событий в виде м (масса черной дыры), G (гравитационная постоянная) и c (скорость свет).

      Перефразируя это, «можно было бы создать черную дыру в лаборатории, ничто легче 10 мкг не может создать черную дыру, эта энергия все еще находится за пределами диапазона современных коллайдеров частиц, но не очень энергичных космических лучей, поскольку Земля не была поглощена детскими черными дырами, мы можем предположить, что они нестабильны ».

      космическое расширение

      Закон Хаббла

      Когда мы смотрим на галактики и другие объекты за пределами нашего Млечного Пути, мы видим, что они обычно удаляются от нас и что их скорости удаления от нас почти прямо пропорциональны их расстоянию.То есть чем дальше от нас находится конкретная галактика, тем быстрее она убегает от нас. Если одна галактика находится вдвое дальше от Млечного Пути, чем другая, ее скорость также будет вдвое выше. Три раза дальше — значит в три раза быстрее и так далее. Это наблюдение было впервые сделано в 1929 году американским астрономом Эдвином Хабблом (1889–1953), и с тех пор оно стало известно как закон Хаббла . Математически закон Хаббла записывается как…

      v = часов

      где…

      Константа пропорциональности
      против = скорость разбегания (составляющая скорости объекта от Млечного Пути)
      r = расстояние от Млечного Пути
      H = , известная как постоянная Хаббла .Предполагается, что эта постоянная изменяется со временем. При ссылке на его текущее значение мы используем H 0

      Закон Хаббла важен, потому что он говорит нам, что Вселенная расширяется и, если мы экстраполируем назад во времени, что Вселенная изначально была бесконечно маленькой и бесконечно плотной. Это одно из многих доказательств теории большого взрыва . Пространство-время возникло около 13,8 миллиардов лет назад, было заполнено всей массой-энергией, которая существует сейчас и когда-либо будет существовать, а затем быстро раздулось из области, намного меньшей, чем протон, до области размером с грейпфрут в мире. невероятно малое время 10 −32 секунды.Этот первоначальный выброс пространства-времени, наполненного массой-энергией, переносился его собственным «импульсом» (за неимением лучшего слова) до тех пор, пока наблюдаемая Вселенная не выросла до размеров, которые мы сейчас видим — примерно 13,8 миллиарда световых лет во всех направлениях.

      Постоянная Хаббла

      В астрономии расстояния настолько велики, что метр настолько мал, что становится бесполезным. (Префиксы, обозначающие кратные метры, достаточно большие, чтобы их можно было использовать для постоянной Хаббла, были изобретены лишь десятилетия спустя.) Чтобы обойти это, астрономы изобрели две единицы: световой год и парсек. Из двух наиболее интуитивно понятным для меня является световой год , то есть расстояние, которое луч света пройдет за один год (9,46 × 10 15 м).

      Другая единица, парсек, является скорее геометрической, чем физической единицей. Астрономические тела, находящиеся рядом с нами (ну, в астрономических терминах, рядом), будут казаться изменяющими свое положение в небе по мере того, как Земля движется по своей орбите. Слово «парсек» означает «параллакс в одну угловую секунду».Таким образом, объект, который сдвигается на одну угловую секунду ( 1 3600 °), когда Земля перемещается с одной стороны Солнца на другую шесть месяцев спустя, считается удаленным на парсек на парсек. Для астрономов-наблюдателей девятнадцатого и начала двадцатого веков парсек был более удобной единицей для профессионального использования, чем световой год. Один парсек [пк] составляет приблизительно 3,26 светового года или 3,09 × 10 16 м. Ближайшие к Земле звезды, кроме Солнца, находятся на расстоянии чуть более одного парсека.Край Млечного Пути находится в нескольких тысячах парсеков — несколько килопарсеков [кпк]. Космические расстояния, как и расстояния между галактиками, измеряются в миллионах парсеков или мегапарсек [Мпк]. Это устройство, которое Хаббл использовал в своей работе.

      В оригинальной статье Хаббла 1929 года он сообщил значение своей постоянной примерно 500 км / с / Мпк. Я включил его исходные данные в раздел этой книги, озаглавленный «Подбор кривой». При желании вы можете сами проанализировать данные. Используя стандартный линейный регрессионный анализ, я получил значение H = 463 км / с / Мпк.Что интересно в этой ценности, так это то, что теперь она общепризнана как ужасно неправильная. Позднее было обнаружено, что измерения расстояний до внегалактических тел в эпоху Хаббла имели серьезные ошибки. Тем не менее, теория оказалась верной, даже если данные, использованные для ее вывода, были недооценены.

      Определение H медленно, но верно продвигалось с начала 20 века, и константа претерпела несколько изменений. Текущее наиболее точное значение получено с помощью зонда Уилкинсона для микроволновой анизотропии НАСА (WMAP).По состоянию на 2014 год ученые WMAP пришли к значению H 0 = 69,3 ± 0,8 км / с / Мпк. Для некоторой перспективы переведем это значение в единицы СИ…

      H 0 = 2,25 × 10 −18 1
      с

      Просмотр постоянной Хаббла в инверсной второй форме делает ее немного более доступной. Пространство вокруг нас расширяется примерно на одну часть из 10 18 каждую секунду.Учитывая, что диаметр протона или нейтрона составляет примерно 10 −15 м, и что на 18 порядков больше, чем эти 1000 метров, хорошей фразой, которую можно сказать вашей семье, друзьям и соседям, является то, что один километр пространства расширяется на скорость, эквивалентная диаметру одного протона каждую секунду. Если хотите, мы можем немного увеличить это по времени.

      H 0 = 2,25 × 10 −18 10 × 365.25 × 24 × 3600 с
      с декада
      H 0 = 7,09 × 10 −10 1
      дека

      Это немного больше диаметра обычного атома. Таким образом, каждые десять лет один метр пространства расширяется со скоростью, эквивалентной диаметру атома. Такое медленное расширение незаметно в тех масштабах, к которым мы, люди, привыкли. Наша жизнь слишком коротка, а размеры, с которыми нам приходится иметь дело ежедневно, слишком малы.

      Чтобы начать оценивать постоянную Хаббла, нам нужно немного увеличить масштаб — очень немного — на 23 порядка и выше. Нам нужно смотреть на Вселенную как на совокупность галактик; Ближайшие из них находятся на расстоянии нескольких миллионов световых лет (10 23 м), а самые дальние — в десяти миллиардах световых лет (10 26 м). В настоящее время наиболее далекие известные объекты — квазары. Квазар — это галактика со сверхмассивной черной дырой в ядре, которая активно поглощает звезды.Самый далекий квазар удаляется от нас со скоростью 90% скорости света. Используя закон Хаббла, это дает нам расстояние в 12,7 миллиарда световых лет.

      r = v = 0,90 в
      H 0 2,25 × 10 −18 с −1
      r = 4,01 × 10 17 световые секунды
      r = 4.01 × 10 17 световые секунды
      365,25 × 24 × 3600 с
      r = 12,7 × 10 9 световых года
      Конечная судьба вселенной

      Вселенная началась с Большого взрыва и все еще растет, хотя и гораздо медленнее, чем в ранние годы. Инфляционный период, когда космос рос экспоненциально, был довольно коротким.Подавляющая часть истории Вселенной была периодом почти постоянного роста в целом, усыпанного очагами локального сжатия. Звезды сжимаются, галактики сталкиваются и сливаются, но расстояние между скоплениями галактик становится все больше и больше. Увеличение общего размера Вселенной означает, что сила тяжести в космическом масштабе становится все слабее и слабее.

      У нас есть достаточно доказательств, подтверждающих рождение Вселенной в результате Большого взрыва, но окончательная судьба Вселенной все еще остается открытым вопросом.Сможет ли расширение разнести галактики так далеко друг от друга, что они больше не будут оказывать существенного гравитационного притяжения друг на друга? Этот возможный исход известен как тепловая смерть — несколько неуместное название, поскольку впоследствии изолированные галактики не будут содержать ничего, кроме холодных мертвых звезд. Или гравитация возьмет верх, и все рухнет само на себя? (К черту расширение.) Этот космический разворот Большого взрыва известен как большой кризис , .

      Ответ на этот вопрос можно найти, объединив закон Хаббла с формулой для космической скорости.Вселенная, которая расширяется вечно, будет иметь плотность, обеспечивающую скорость убегания меньше, чем у наблюдаемого расширения. Вселенная, которая обрушивается на себя, будет иметь скорость побольше, чем эта.

      Начните с того, что задайте формулу космической скорости равной скорости из закона Хаббла.

      Возвести в квадрат обе стороны, чтобы исключить квадратный корень.

      А вот и сложная часть. Какая масса у Вселенной? Определить это число довольно сложно, но, глядя на большую часть Вселенной, мы можем определить ее плотность.Умножение плотности на объемы дает нам массу. Глядя с нашей точки зрения на Млечный Путь, мы можем одинаково хорошо видеть почти во всех направлениях. (Млечный Путь довольно перегружен, что мешает нам видеть те части Вселенной, которые лежат вдоль его плоскости, но это не сильно повредит.) Географическое место всех точек, равноудаленных от фиксированной точки, образует сферу в пространстве. Умножение плотности наблюдаемой Вселенной на объем содержащейся в ней сферы дает нам ее массу.

      м = ρ V = ρ ( 4 3 π r 3 ) = 4 3 πρ r 3

      Подставить это выражение в полученное над ним…

      H 0 2 r 2 = 2 G 4πρ r 3
      r 3

      и решите плотность.

      Это критическая плотность, отделяющая вечное расширение от возможного коллапса. Давайте вычислим его значение, используя текущую наилучшую оценку постоянной Хаббла в единицах СИ.

      ρ 0 = 3 (2,25 × 10 −18 с −1 ) 2
      8π (6,67 × 10 −11 Н м 2 / кг 2 )
      ρ 0 = 9.02 × 10 −27 кг / м 3

      Все, что превышает эту плотность, будет сопротивляться расширению пространства. Вы, я и все, что мы видим в нашей обычной жизни, имеет плотность намного выше, чем эта, и будет сохранять свою форму и размер до тех пор, пока все остальное остается неизменным. У людей и других животных плотность примерно такая же, как у воды — 10 3 кг / м 3 или на 30 порядков больше критической плотности.

      Однако, если посмотреть на Вселенную в целом, ситуация несколько иная. Учитывая, что большая часть Вселенной состоит из водорода и что масса одного атома водорода составляет 1,67 × 10 −27 кг, это соответствует плотности полдюжины атомов водорода на кубический метр.

      ρ 0 = 9,02 × 10 −27 кг / м 3
      1,67 × 10 −27 кг / ч атом
      ρ 0 = 5.40 атом H
      м 3

      Наша галактика и, вероятно, любая другая галактика в поле зрения, имеет плотность примерно один атом водорода на кубический сантиметр. Поскольку в кубическом метре миллион кубических сантиметров, галактики более чем достаточно плотные. Единственное, что не может противостоять расширению пространства, — это пространство между галактиками, где плотность, по-видимому, порядка одного атома водорода на каждые четыре кубических метра.

      Третий возможный исход

      Постоянная Хаббла кажется постоянной , а не . Наблюдения, впервые сделанные в 1998 году, показывают, что скорость расширения Вселенной увеличивается. Если Вселенная началась с большого взрыва 13,8 миллиарда лет назад, она могла бы закончиться большим разрывом , через 20 миллиардов лет в будущем. Причина в том, что во Вселенной есть нечто большее, чем кажется на первый взгляд. Намного больше.

      То, что вы видите, не то, что вы получаете.

      Франк Вильчек, 2006

      Считается, что только 4% Вселенной состоит из обычных веществ — атомов, ядер, электронов, фотонов и нейтрино.Еще 23% составляет темная материя, — «темная», потому что она взаимодействует гравитационно, как обычная материя, но не электромагнитно. Таким образом, его нельзя «увидеть» с помощью электромагнитного излучения, такого как свет, рентгеновские лучи или радиоволны. (Темная материя обсуждается более подробно в предыдущем разделе этой книги.) Остальные 73% Вселенной — подавляющее большинство — находятся в форме темной энергии . Темная энергия действительно странная не только потому, что ее нельзя увидеть, но и потому, что она действует как отрицательная масса.То есть стремится не сжимать, а расширять пространство. Несмотря на свое превосходство, темная энергия оказывает лишь самое слабое влияние на локальное пространство вокруг нас. (В этом контексте «местный» относится ко всему в пределах нашей галактики и почти ко всему от здесь до ближайшей тысячи галактик.) Этот крошечный эффект, хотя он и мал, складывается, пока он не доминирует над поведением пространства во Вселенной в целом. Темная энергия может быть крошечной, но она повсюду. Подобно рою комаров на летнем пикнике, темная энергия имеет достаточно воздействия, чтобы испортить всю вечеринку.

      По мере развития событий через десять миллиардов лет или около того расстояние между галактиками увеличится до такой степени, что свет не сможет проходить пространство между ними достаточно быстро. Космос будет расширяться так быстро, что каждая галактика будет независимой и невидимой для всех остальных галактик. Тогда наша видимая Вселенная уменьшится с нынешних 100 000 галактик до одной — нашего Млечного Пути.

      Теперь все становится действительно странно. Если ничто не остановит ускорение расширения, рано или поздно сами галактики начнут разрушаться.(Это так называемый сценарий с фантомной энергией .) Во-первых, 100 миллиардов звезд Млечного Пути разделятся, образуя изолированные вселенные Солнечной системы. Тогда пространство внутри этих солнечных систем начнет заметно увеличиваться. Земля и другие планеты будут удаляться друг от друга в нашей солнечной системе. Солнце в небе становилось все меньше, пока не исчезло. В этот момент жизнь на Земле станет совсем плохой. (Если предположить, что Земля все еще существует.) Хуже мысли об изоляции от остальной Вселенной является мысль о потере связи с Солнцем.Это был бы наш эффективный конец. Если бы кто-нибудь был рядом и стал свидетелем того, что произошло дальше, они в конечном итоге увидели бы увеличение скорости расширения до точки, где Земля взорвалась, затем все на Земле превратилось бы в пар, затем молекулы потеряли бы когерентность, а затем атомы и ядра. Окончательный конец всего этого наступит, когда сами элементарные частицы будут разорваны в клочья, и от Вселенной не останется ничего, чтобы сказать, что она когда-либо существовала.

      Я расскажу, что мне нравится в этой штуке.Это заставляет думать за пределами себя. Как будет выглядеть мир, когда ты умрешь? Ответ на этот вопрос совершенно иной в культурном отношении (такова природа времени, в котором мы живем), но физически почти такой же. Умножьте это на десять, на сотню, на тысячу, на миллион жизней! Хотите сделать прогноз? Продолжать идти. Миллиард. Триллион жизней. Теперь масштабы времени стали настолько обширными, что лишь немногие захотят строить догадки. Это область теоретической физики, и, что удивительно, это , а не за пределами нашего понимания.

      7.2 Закон всемирного тяготения Ньютона и общая теория относительности Эйнштейна — Физика

      Концепции, относящиеся к закону всемирного тяготения Ньютона

      Сэр Исаак Ньютон был первым ученым, который точно определил силу гравитации и показал, что она может объяснить как падающие тела, так и астрономические движения. См. Рисунок 7.7. Но Ньютон был не первым, кто подозревал, что одна и та же сила вызывает и наш вес, и движение планет. Его предшественник, Галилео Галилей, утверждал, что падающие тела и движения планет имеют одну и ту же причину.Некоторые современники Ньютона, такие как Роберт Гук, Кристофер Рен и Эдмунд Галлей, также достигли некоторого прогресса в понимании гравитации. Но Ньютон был первым, кто предложил точную математическую форму и использовал ее, чтобы показать, что движение небесных тел должно иметь конические сечения — окружности, эллипсы, параболы и гиперболы. Это теоретическое предсказание стало большим триумфом. В течение некоторого времени было известно, что луны, планеты и кометы следуют по таким путям, но никто не смог предложить объяснения механизма, который заставил их следовать по этим путям, а не по другим.

      Рис. 7.7 В популярной легенде о том, что Ньютон внезапно открыл закон всемирного тяготения, когда яблоко упало с дерева и ударило его по голове, есть доля правды. Более вероятно, что он шел через фруктовый сад и задавался вопросом, почему все яблоки падают в одном направлении с одинаковым ускорением. Этому придается большое значение, потому что универсальный закон тяготения Ньютона и его законы движения ответили на очень старые вопросы о природе и дали огромную поддержку понятию лежащей в основе простоты и единства в природе.Ученые по-прежнему ожидают, что простота, лежащая в основе, возникнет в результате их постоянных исследований в природе.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      [BL] [OL] Спросите учащихся, действительно ли очевидно, почему все предметы падают прямо вниз. Попросите их подтвердить свои причины. Спросите, звонит ли имя Галлей.

      [OL] [AL] Спросите, не кажется ли кому-то странным или даже загадочным, что сила может действовать на расстоянии в пустом пространстве. Попросите учащихся сравнить и сопоставить гравитационную силу с магнитными и электростатическими силами.Обратите внимание, сколько силы на расстоянии похоже на магию или суперсилу.

      Гравитационная сила относительно проста. Это всегда привлекательно, и это зависит только от вовлеченных масс и расстояния между ними. Выраженный современным языком, универсальный закон тяготения Ньютона гласит, что каждый объект во Вселенной притягивает любой другой объект с силой, которая направлена ​​вдоль соединяющей их линии. Сила прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.Эта привлекательность проиллюстрирована рис. 7.8.

      Рис. 7.8 Гравитационное притяжение происходит вдоль линии, соединяющей центры масс (ЦМ) двух тел. Величина силы, действующей на каждое тело, одинакова, что соответствует третьему закону Ньютона (действие-противодействие).

      Для двух тел массой m и M с расстоянием r между их центрами масс уравнение универсального закона всемирного тяготения Ньютона составляет

      , где F, — величина силы тяжести, а G — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. G — универсальная константа, означающая, что она считается одинаковой во всей Вселенной. Экспериментально определено, что G = 6,673 × 10-11 Н⋅м2 / кг2G = 6,673 × 10-11Н⋅м2 / кг2.

      Если человек имеет массу 60,0 кг, какой будет сила гравитационного притяжения на нем у поверхности Земли? G приведено выше, масса Земли M составляет 5,97 × 10 24 кг, а радиус r Земли составляет 6,38 × 10 6 м. Помещение этих значений в универсальный закон всемирного тяготения Ньютона дает

      F = GmMr2 = (6.673 × 10-11 Н · м2 кг2) ((60,0 кг) (5,97 · 1024 кг) (6,38 · 106 м) 2) = 584 NF = GmMr2 = (6,673 · 10-11 Н · м2 кг2) ((60,0 кг) (5,97 × 1024 кг) (6,38 × 106 м) 2) = 584 Н

      Мы можем проверить этот результат с помощью соотношения: F = мг = (60 кг) (9,8 м / с2) = 588 НФ = мг = (60 кг) (9,8 м / с2 ) = 588N

      Вы можете помнить, что g , ускорение свободного падения, является еще одной важной константой, связанной с гравитацией. Подставляя г на a в уравнении для второго закона движения Ньютона, мы получаем F = mgF = mg. Объединение этого с уравнением всемирного тяготения дает

      . Сокращение массы м с обеих сторон уравнения и заполнение значений гравитационной постоянной, массы и радиуса Земли дает значение г, , которое может выглядит знакомо.

      g = GMr2 = (6,67 × 10-11 Нм2 кг2) (5,98 × 1024 кг (6,38 × 106 м) 2) = 9,80 м / с2g = GMr2 = (6,67 × 10-11 Нм2 кг2) (5,98 × 1024 кг (6,38 × 106 м) 2) = 9,80 м / с2

      Это хороший момент, чтобы вспомнить разницу между массой и весом. Масса — это количество вещества в объекте; Вес — это сила притяжения между массой двух объектов. Вес может измениться, потому что г различается на каждой луне и планете. Масса объекта м не меняется, но его вес м г может.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      [BL] [OL] Убедитесь, что никто не путает G с g .

      [AL] Спросите, может ли кто-нибудь объяснить, почему G — универсальная константа, применимая в любой точке Вселенной. Предложите им обсудить идею о том, что законы физики везде одинаковы и что когда-то люди не были так уверены в этом. Подчеркните, что г — это , а не — универсальная константа.

      Виртуальная физика

      Гравитация и орбиты

      Переместите Солнце, Землю, Луну и космическую станцию ​​в этом симуляторе, чтобы увидеть, как это влияет на их гравитационные силы и орбитальные траектории.Визуализируйте размеры и расстояния между разными небесными телами. Отключите гравитацию и посмотрите, что будет без нее!

      Проверка захвата

      Почему Луна не движется по плавному кругу вокруг Солнца?

      1. На Луну не действует гравитационное поле Солнца.
      2. На Луну не действует гравитационное поле Земли.
      3. На Луну действуют гравитационные поля Земли и Солнца, которые всегда аддитивны.
      4. На Луну действуют гравитационные поля Земли и Солнца, которые иногда складываются, а иногда противоположны.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      Это хорошая анимация системы Земля-Луна-Солнце. Попросите учащихся попробовать все кнопки. Это покажет пути Земли и Луны по отдельности и вместе. Объясните векторы гравитационной силы и скорости. Обратите внимание на интересную форму лунного пути вокруг солнца.Объясните: вектор скорости Луны меняется, потому что иногда Луна движется в направлении орбиты Земли, а иногда — в противоположном направлении.

      Snap Lab

      Эксперимент на вынос: падающие предметы

      В этом упражнении вы изучите влияние массы и сопротивления воздуха на ускорение падающих предметов. Сделайте прогнозы (гипотезы) об исходе этого эксперимента. Запишите их, чтобы потом сравнить с результатами.

      • Четыре листа бумаги 8-1 / 2 × 118-1 / 2 × 11 дюймов

      Процедура

      • Возьмите четыре одинаковых листа бумаги.
        • Скомкайте один в маленький шар.
        • Оставьте один без мятого.
        • Возьмите два других и скомкайте их вместе, чтобы получился шар, в два раза превышающий массу другого скомканного шара.
        • Теперь сравните, какой шарик из бумаги приземляется первым при одновременном падении с одной и той же высоты.
          1. Сравните скомканный шарик из одной бумаги со скомканным шариком из двух листов.
          2. Сравните скомканный бумажный шарик с немятой бумагой.

      Проверка захвата

      Почему одни объекты падают быстрее других у поверхности земли, если вся масса одинаково притягивается силой тяжести?

      1. Некоторые объекты падают быстрее из-за сопротивления воздуха, которое действует в направлении движения объекта и оказывает большую силу на объекты с меньшей площадью поверхности.
      2. Некоторые объекты падают быстрее из-за сопротивления воздуха, которое действует в направлении, противоположном движению объекта, и оказывает большую силу на объекты с меньшей площадью поверхности.
      3. Некоторые объекты падают быстрее из-за сопротивления воздуха, которое действует в направлении движения объекта и оказывает большую силу на объекты с большей площадью поверхности.
      4. Некоторые объекты падают быстрее из-за сопротивления воздуха, которое действует в направлении, противоположном движению объекта, и оказывает большую силу на объекты с большей площадью поверхности.
      Поддержка учителей
      Поддержка учителей

      Спросите прогнозы (гипотезы) об исходе этого эксперимента.Попросите учащихся записать их, чтобы потом сравнить с результатами.

      Третий закон Кеплера можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона. Применение второго закона Ньютона к угловому движению дает выражение для центростремительной силы, которое можно приравнять к выражению для силы в уравнении всемирного тяготения. Этим выражением можно манипулировать, чтобы получить уравнение третьего закона Кеплера. Ранее мы видели, что выражение r 3 / T 2 является константой для спутников, вращающихся вокруг одного и того же массивного объекта.Вывод третьего закона Кеплера из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона движения Ньютона дает эту постоянную:

      , где M — масса центрального тела, вокруг которого вращаются спутники (например, Солнце в нашей солнечной системе). Полезность этого уравнения будет видно позже.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      [OL] Это уравнение иллюстрирует разницу между работами Кеплера и Ньютона. Попросите студентов объяснить, почему это так.

      [AL] Спросите учащихся, какой будет аттракцион между двумя шариками по 10 кг, разделенными расстоянием 1,0 м. Могли ли они это почувствовать? Позже попросите их рассчитать это после того, как они сделают аналогичные вычисления. Решение:

      F = GmMr2 = (6,67 × 10−11N⋅m2kg2) (10 кг × 10 кг (1 м) 2) = 6,67 × 10−9 NF = GmMr2 = (6,67 × 10−11N⋅m2kg2) (10 кг × 10 кг (1 м) 2) = 6,67 × 10-9 Н

      Универсальная гравитационная постоянная G определена экспериментально. Это определение было впервые дано точно в 1798 году английским ученым Генри Кавендишем (1731–1810), более чем через 100 лет после того, как Ньютон опубликовал свой универсальный закон всемирного тяготения.Измерение G очень простое и важное, поскольку оно определяет силу одной из четырех сил в природе. Эксперимент Кавендиша был очень трудным, потому что он измерил крошечное гравитационное притяжение между двумя массами обычного размера (максимум десятки килограммов) с помощью прибора, подобного показанному на рис. 7.9. Примечательно, что его стоимость для G отличается от современного значения менее чем на 1%.

      Рис. 7.9 Кавендиш использовал подобное устройство для измерения гравитационного притяжения между двумя подвешенными сферами ( м ) и двумя сферами на подставке ( M ), наблюдая за величиной скручивания (скручивания), создаваемого в волокне.Расстояние между массами можно варьировать, чтобы проверить зависимость силы от расстояния. Современные эксперименты этого типа продолжают исследовать гравитацию.

      Общая теория относительности Эйнштейна

      Общая теория относительности Эйнштейна объяснила некоторые интересные свойства гравитации, не охваченные теорией Ньютона. Эйнштейн основал свою теорию на постулате о том, что ускорение и гравитация имеют одинаковый эффект и их нельзя отличить друг от друга. Он пришел к выводу, что свет должен падать как в гравитационном поле, так и в ускоряющейся системе отсчета.На рис. 7.10 показан этот эффект (сильно преувеличенный) в ускоряющемся лифте. На рис. 7.10 (a) лифт ускоряется вверх в невесомости. На Рисунке 7.10 (b) комната не ускоряется, но подвержена действию силы тяжести. Эффект на свет одинаков: в обоих случаях он «падает» вниз. Человек в лифте не может определить, ускоряется ли лифт в условиях невесомости или он неподвижен и подвержен действию силы тяжести. Таким образом, гравитация влияет на путь света, даже если мы думаем, что гравитация действует между массами, в то время как фотоны безмассовые.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      [BL] [OL] Попросите учащихся обсудить постулат. Могут ли они связать тождество гравитации и ускорения с опытом?

      Рис. 7.10 (a) Луч света выходит из фонарика в лифте, ускоряющемся вверх. Поскольку лифт движется вверх в течение времени, которое требуется свету, чтобы достичь стены, луч падает ниже, чем если бы лифт не был ускорен. (b) Гравитация должна иметь такое же влияние на свет, поскольку невозможно определить, ускоряется ли лифт вверх или неподвижен и на него действует сила тяжести.

      Общая теория относительности Эйнштейна получила свое первое подтверждение в 1919 году, когда во время солнечного затмения наблюдали свет звезд, проходящий около Солнца. (См. Рис. 7.11.) Во время затмения небо темнеет, и мы можем ненадолго увидеть звезды. Те, кто находится на линии прямой видимости, ближайшей к солнцу, должны иметь смещение в их видимом положении. Этот сдвиг не только наблюдался, но и хорошо согласовывался с предсказаниями Эйнштейна в пределах экспериментальных неопределенностей. Это открытие произвело фурор в науке и общественности.Эйнштейн теперь стал народным героем, а также очень великим ученым. Искривление света материей эквивалентно искривлению самого пространства, когда свет движется по кривой. Это еще одно радикальное изменение в нашем представлении о пространстве и времени. Это также еще одна связь, что на любую частицу с массой или энергии (например, безмассовые фотоны) действует сила тяжести.

      Рис. 7.11 На этой схеме показано, как свет, проходящий рядом с массивным телом, таким как солнце, изгибается к нему. Тогда кажется, что свет, достигающий Земли, исходит из разных мест, отличных от известных положений исходящих звезд.Не только наблюдался этот эффект, но и величина изгиба была в точности тем, что Эйнштейн предсказал в своей общей теории относительности.

      Чтобы суммировать два взгляда на гравитацию, Ньютон представил гравитацию как перетягивание каната вдоль линии, соединяющей любые два объекта во Вселенной. Напротив, Эйнштейн представлял гравитацию как искривление пространства-времени массой.

      Boundless Physics

      Гравитационный зонд НАСА B

      Миссия НАСА Gravity Probe B (GP-B) подтвердила два ключевых предсказания, основанных на общей теории относительности Альберта Эйнштейна.Зонд, показанный на рис. 7.12, был запущен в 2004 году. На нем было четыре сверхточных гироскопа, предназначенных для измерения двух эффектов, предполагаемых теорией Эйнштейна:

      • Геодезический эффект, который представляет собой искривление пространства и времени гравитационным полем массивного тела (в данном случае Земли)
      • Эффект перетаскивания кадра, который представляет собой величину, на которую вращающийся объект тянет за собой пространство и время при вращении.

      Рис. 7.12 Художественная концепция космического корабля Gravity Probe B на орбите вокруг Земли.(кредит: NASA / MSFC)

      Оба эффекта были измерены с беспрецедентной точностью. Это было сделано путем наведения гироскопов на одиночную звезду, вращаясь вокруг Земли по полярной орбите. Согласно теории относительности, гироскопы испытали очень небольшие, но измеримые изменения направления вращения, вызванные притяжением Земли.

      Главный исследователь предложил представить себе Землю, вращающуюся в меде. Когда Земля вращается, она увлекает за собой пространство и время, как окружающее море меда.

      Проверка захвата

      Согласно общей теории относительности, гравитационное поле искривляет свет. При чем здесь время и пространство?

      1. Гравитация не влияет на пространственно-временной континуум, а гравитация влияет только на движение света.
      2. Пространственно-временной континуум искажен гравитацией, и гравитация не влияет на движение света.
      3. Гравитация не влияет ни на пространственно-временной континуум, ни на движение света.
      4. Пространственно-временной континуум искажен гравитацией, и гравитация влияет на движение света.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      Объясните: это очень интересно, когда предсказания теории относительности успешно проверяются. Некоторые прогнозы подвергались сомнению, потому что звучали очень странно.

      Расчеты, основанные на законе всемирного тяготения Ньютона

      Советы для успеха

      При выполнении расчетов с использованием уравнений в этой главе используйте килограммы для массы, метры для расстояния, ньютоны для силы и секунды для времени.

      Масса объекта постоянна, но его вес зависит от силы гравитационного поля. Это означает, что значение г варьируется от места к месту во Вселенной. Связь между силой, массой и ускорением из второго закона движения может быть записана в терминах г .

      В данном случае сила — это вес объекта, который вызван гравитационным притяжением планеты или луны, на которых расположен объект. Мы можем использовать это выражение для сравнения веса объекта на разных лунах и планетах.

      Поддержка учителя

      Поддержка учителя

      [BL] Убедитесь, что ученики четко понимают разницу между массой и весом.

      [OL] Вспомните проделки астронавтов на Луне, чтобы проиллюстрировать влияние другого значения для г .

      Watch Physics

      Уточнение по массе и весу

      В этом видео показаны математические основы взаимосвязи между массой и весом. Четко объяснено различие между массой и весом.Математическая взаимосвязь между массой и весом показана математически в терминах уравнения для закона всемирного тяготения Ньютона и в терминах его второго закона движения.

      Проверка захвата

      Будет ли у вас такая же масса на Луне, как и на Земле? Был бы у вас такой же вес?

      1. Вы будете весить на Луне больше, чем на Земле, потому что гравитация на Луне сильнее, чем на Земле.
      2. Вы бы весили на Луне меньше, чем на Земле, потому что гравитация на Луне слабее, чем на Земле.
      3. Вы будете весить на Луне меньше, чем на Земле, потому что гравитация на Луне сильнее, чем на Земле.
      4. Вы будете весить на Луне больше, чем на Земле, потому что гравитация на Луне слабее, чем на Земле.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      Возможно, это довольно длинное объяснение различия между массой и весом, но оно должно помочь понять суть.

      Часто полезны два уравнения, включающие гравитационную постоянную, G .Первое — это уравнение Ньютона: F = GmMr2F = GmMr2. Некоторые значения в этом уравнении либо постоянные, либо легко достижимые. F часто представляет собой вес объекта на поверхности большого объекта с массой M , которая обычно известна. Масса меньшего объекта, м , часто известна, а G — универсальная постоянная с таким же значением в любой точке Вселенной. Это уравнение можно использовать для решения задач, связанных с объектом, находящимся на Земле или вращающемся вокруг нее, или другим массивным небесным объектом.Иногда полезно приравнять правую часть уравнения к m g и исключить m с обеих сторон.

      Уравнение r3T2 = GM4π2r3T2 = GM4π2 также полезно для задач, связанных с объектами на орбите. Обратите внимание, что нет необходимости знать массу объекта. Часто мы знаем радиус r или период T и хотим найти другой. Если оба они известны, мы можем использовать это уравнение для вычисления массы планеты или звезды.

      Watch Physics

      Уточнение массы и веса

      Это видео демонстрирует вычисления с использованием универсального закона всемирного тяготения Ньютона.

      Проверка захвата

      В чем разница между g и G ?

      1. g и G являются неизменными константами, но имеют разные единицы измерения.
      2. G — универсальная константа, которая связывает силу с парой масс на расстоянии, а g связывает силу с массой и изменяется в зависимости от местоположения.
      3. g описывает ускорение, а G описывает силу тяжести.
      4. g описывает силу тяжести, а G описывает ускорение.

      Поддержка учителя

      Поддержка учителя

      Это видео является полной демонстрацией многих вычислений, которые необходимо изучить в этом подразделе.

      Рабочий пример

      Изменение
      г

      Значение г на планете Марс равно 3.71 м / с 2 . Если бы ваша масса на Земле составляла 60,0 кг, какой была бы ваша масса на Марсе? Какой у вас был бы вес на Марсе?

      Стратегия

      Вес равен ускорению свободного падения, умноженному на массу: W = mgW = mg. Масса объекта постоянна. Вызовите ускорение свободного падения на Марсе g M и вес на Марсе W M .

      Решение

      Масса на Марсе будет такой же, 60 кг.

      WM = мгМ = (60,0 кг) (3,71 м / с2) = 223 NWM = мгМ = (60,0 кг) (3,71 м / с2) = 223N

      7,4

      Обсуждение

      Значение г на любой планете зависит от массы планеты и расстояния от ее центра. Если материал под поверхностью меняется от точки к точке, значение г также будет немного отличаться.

      Поддержка учителя

      Поддержка учителя

      Это типичный расчет массы и веса.

      Рабочий пример

      g Земли на Луне

      Найдите ускорение свободного падения Земли на расстоянии до Луны.

      G = 6,67 × 10–11 Н · м2 / кг2 Расстояние Земля-Луна = 3,84 × 108 м Масса Земли = 5,98 × 1024 кг G = 6,67 × 10–11 Н · м2 / кг2 Расстояние Земля-Луна = 3,84 × 108 м Масса Земли = 5,98 × 1024 кг

      7,5

      Выразите силу тяжести через г .

      F = W = ma = mgF = W = ma = mg

      7,6

      Объедините с уравнением всемирного тяготения.

      Решение

      Отменить м и заменить.

      g = GMr2 = (6.67 × 10-11 Н · м2 кг2) (5,98 · 1024 кг (3,84 · 108 м) 2) = 2,70 · 10−3 м / с2g = GMr2 = (6,67 · 10-11 Н · м2 кг2) (5,98 · 1024 кг (3,84 · 108 м) 2) = 2,70 × 10−3 м / с2

      7,8

      Обсуждение

      Значение г для Луны составляет 1,62 м / с 2 . Сравнивая это значение с ответом, мы видим, что гравитационное влияние Земли на объект на поверхности Луны будет незначительным.

      Поддержка учителей

      Поддержка учителей

      [BL] [OL] Просмотрите значения всех символов в этих уравнениях: F , G , m , M , r , T , и ππ.

      [OL] [AL] Попросите учащихся запомнить значения G , g и π до трех значащих цифр.

      .

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *