свойства примеры и решения, геометрический смысл смешанного произведения векторов

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a→, b→ и d→ является та величина, которая равняется скалярному произведению a→×b→ и d→ , где a→×b→ — умножение a→ и b→ . Операцию умножения a→, b→ и d→ зачастую обозначают a→·b→·d→ . Можно преобразовать формулу так:a→·b→·d→=(a→×b→,d→) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i→, j→, k→

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx+ax·bz)·j→+(ax·by+ay·bx)·k→=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx+ax·bz)·j→+(ax·by+ay·bx)·k→=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a→×b→=( ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→, dx·i→+dy·j→+dz·k→)==ayazbybz·dx-axazbxbz·dy+axaybxby·dz=axayazbxbybzdxdydz

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a→·b→·d=a→×b→, d→=axayazbxbybzdxdydz

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a→·b→·d=a→×b→, d→=axayazbxbybzdxdydz .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

1. (λ·a→)·b→·d→=a→·(λ·b→)·d→=a→·b→·(λ·d→)=λ·a→·b→·d→    λ∈R ;
2. a→·b→·d→=d→·a→·b→=b→·d→·a→;   a→·d→·b→=b→·a→·d→=d→·b→·a→ ;
3. (a(1)→+a(2)→)·b→·d→=a(1)→·b→·d→+a(2)→·b→·d→a→·(b(1)→+b(2)→)·d→=a→·b(1)→·d→+a→·b(2)→·d→a→·b→·(d(1)→+d(2)→)=a→·b→·d(2)→+a→·b→·d(2)→

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a→=b→ , то, следуя определению векторного произведения [a→×b→]=a→·b→·sin 0 =0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([a→×b→], d→)=(0→, d→)=0 .

Если же a→=b→ или b→=d→ , то угол между векторами [a→×b→] и d→ равен π2 . По определению скалярного произведения векторов ([a→×b→], d→)=[a→×b→]·d→·cosπ2=0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([a→×b→], d→+λ·a→+b→)=([a→×b→], d→) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([a→×b→], d→+λ·a→+b→)=([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)+([a→×b→], b→)
Мы разобрали, что (([a→×b→], b→)=0. Из этого следует, что

([a→×b→], d→+λ·a→+b→)=([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)+([a→×b→], b→)==([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)+0=([a→×b→], d→)+([a→×b→], λ·a→)

Согласно первому свойству ([a⇀×b⇀], λ·a→)=λ·([a⇀×b⇀],a→) , а ([a⇀×b⇀], a→)=0 . Таким образом, ([a⇀×b⇀], λ·a→) . Поэтому,
([a⇀×b⇀], d→+λ·a→+b→)=([a⇀×b⇀], d→)+([a⇀×b⇀], λ·a→)==([a⇀×b⇀], d→)+0=([a⇀×b⇀], d→)

Равенство доказано., d→)≤≤a→·b→·1·d→·1=a→·b→·d→

Неравенство доказано.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a→·b→·d→=(a→×b→, d→)=axayazbxbybzdxdydz . 

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a→=(1, -2, 3),  b→(-2, 2, 1),  d→=(3,-2, 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a→·b→·d→ .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a→·b→·d→=(a→×b→, d→)=axayazbxbybzdxdydz=1-23-2213-25==1·2·5+(-1)·1·3+3·(-2)·(-2)-3·2·3-(-1)·(-2)·5-1·1·(-2)=-7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторовi→+j→, i→+j→-k→, i→+j→+2·k→ , где i→,j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.)=c→·npc→d→ , где npc→d→ — числовая проекция вектора d→ на направление вектора c→=[a→×b→] .

Абсолютная величина npc→d→ равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a→, b→ и d→ в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c→=[a→×b→] перпендикулярен a→ и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c→=a→xb→ равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a→ и b→ .

Делаем вывод, что модуль произведения a→·b→·d→=c→·npc→d→ равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a→, b→ и d→ .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда

: Vпараллелепипида=a→·b→·d→ .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра, который построен на a→,b→ и d→ , равняется 1/6 объема параллелепипеда Получаем, Vтэтраэда=16·Vпараллелепипида=16·a→·b→·d→ .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются AB→=(3, 6, 3), AC→=(1, 3, -2), AA1→=(2, 2, 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует:AB→·AC→·AA1→=36313-2222=3·3·2+6·(-2)·2+3·1·2-3·3·2-6·1·2-3·(-2)·2=-18

Тогда, Vпараллелепипеда=-18=18 .

Vпараллелепипида=18

Пример 7

В системе координат заданы точки A(0, 1,  0), B(3, -1, 5),  C(1, 0, 3), D(-2, 3, 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой Vтэтраэдра=16·AB→·AC→·AD→ . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: AB→=(3-0, -1-1, 5-0)=(3, -2, 5)AC→=(1-0, 0-1, 3-0) =(1,-1, 3)AD→=(-2-0, 3-1, 1-0)=(-2, 2, 1)

Дальше определяем смешанное произведение AB→·AC→·AD→ по координатам векторов: AB→·AC→·AD→=3-251-13-221=3·(-1)·1+(-2)·3·(-2)+5·1·2-5·(-1)·(-2)-(-2)·1·1-3·3·2=-7 Объем Vтэтраэдра=16·-7=76 .

Vтэтраэдра=76 .

аналитическая-геометрия — Как выводится формула скалярного произведения векторов?

Запишем векторы $$ \overrightarrow{a} =(x_1,y_1,z_1) ; \overrightarrow{b} =(x_2,y_2,z_2)$$ в виде разложения по базису , состоящему из единичных векторов $$ \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k} $$, т.е. получим равенства $$ \overrightarrow{a} =x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} ; \overrightarrow{b} =x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k} $$ ; Находим скалярное произведение $$ (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ) =(x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} ) (x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}) $$ ; Раскрываем скобки как с обычным произведением. Это позволяют сделать свойства скалярного произведения. Появятся скалярные произведения орт. Напомним, что эти произведения равны нулю для разных орт и единице для одинаковых.0)=1$$ Вернемся к произведению $$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ) =(x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} ) (x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k})$$Когда раскроем скобки , то разные орты в произведении дадут нули, а одинаковые орты будут вместе с произведением одноименных проекций. В итоге получаем $$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ) =x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3$$

отвечен 11 Янв ’12 10:28

04.13. Векторное произведение векторов — Контрольные работы по математике и другим предметам!

Векторное произведение векторов

Так же, как и скалярное произведение, векторное произведение своим появлением обязано необходимости решения физических задач. Рассмотрим одну из таких – задачу о вычислении момента силы.

Принято считать моментом силы , приложенной в точке А относительно точки О, вектор , имеющий модуль, равный произведению модуля силы на кратчайшее расстояние (плечо силы) от этой точки до линий действия силы (рис 3.33). Если вектор связывает точку О с началом вектора , а  – угол между векторами И , то .

Поэтому .

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат сила и точка О, и ориентирован в ту сторону, откуда вращение тела вокруг точки О видно как вращение, происходящее против часовой стрелки. Таким образом, двум векторным величинам И Ставится в соответствие тоже векторная величина. Это новый тип соответствия отличен от уже введенного скалярного произведения. Существуют разнообразные физические процессы, в которых соответствие между векторами осуществляется подобным образом. Вот почему в математике вводится еще одно действие умножения векторов – векторное произведение.

Рис. 3.33. Момент силы относительно точки О.

ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ вектора на вектор называется вектор , обозначаемый , обладающий следующими свойствами (рис. 3.34):

1. Его модуль равен произведению модулей данных векторов на синус угла между ними.

2. Он перпендикулярен плоскости, в которой располагаются данные векторы.

Рис. 3.34. Векторное произведение векторов.

3. Его ориентация такова, что векторы , и образуют правую координатную тройку (то есть из конца вектора поворот от вектора до совмещения с вектором на кратчайший угол виден как поворот, осуществляемый против часовой стрелки).

По определению имеем:

Справедливо ли утверждение ?

Геометрически это означает, что равняется площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Возвращаясь к задаче о вычислении момента силы, можно заключить, что

и .

Очевидно, что векторное произведение обращается в нуль , если векторы коллинеарны или же какой-нибудь из них нулевой.

Рассмотрим алгебраические свойства векторного произведения. Не все они сохраняются в том же виде, что и для скалярного произведения.

1.  – антипереместительный закон.

Объясните физический смысл антипереместительного закона

Действительно, векторы и перпендикулярны одной и той же плоскости, в которой располагаются векторы и , но ориентированы в противоположные стороны, так как, если векторы , , образуют правую тройку, то векторы , , будут образовывать уже левую тройку векторов, что и доказывает данный закон.

2.  – распределительный закон. Приведем его без доказательства.

3.  – сочетательный закон относительно скалярного множителя.

Найти

Действительно, векторы и (рис. 3.35) имеют одинаковые модули. Их ориентация совпадает с ориентацией вектора , если , и противоположны ему при .

Рис. 3.35. Сочетательный закон для векторного
произведения векторов относительно скалярного
Множителя.

Очевидно, что векторный квадрат вектора равен нулю:

Получим формулы векторного произведения в координатном виде. Пусть даны векторы:

Поэтому

Векторные квадраты координатных ортов равны нулю:

А произведения определяются следующим образом:

Тогда

Эта запись может быть представлена в компактной форме с помощью определителя третьего порядка.

Определителем третьего порядка, составленного из таблицы девяти элементов

Называется выражение

.

Произведения элементов определителя, которые берутся со знаком плюс, символично для запоминания могут быть представлены следующей схемой:

Последние три слагаемых определителя, имеющие знак минус, получаются по другой схеме:

В курсе алгебры при решении систем линейных уравнений рассматриваются определители различных порядков, элементами которого чаще всего являются числа, а потому и определитель есть число.

Легко проверить справедливость формулы:

В заключение получим интересную формулу, связывающую скалярное и векторное произведения.

Так как

То очевидно соотношение:

Отсюда можно получить два полезных неравенства:

< Предыдущая		Следующая >

Векторное произведение в EXCEL. Примеры и описание

Найдем векторное произведение 2-х векторов с помощью функций MS EXCEL. Также создадим таблицу для проверки векторов на коллинеарность.

Сначала немного теории. Векторным произведением двух векторов а и b , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор c , что:

1. он перпендикулярен обоим векторам а и b ;
2. длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними;
3. вектор с направлен так, что тройка векторов а , b и с является правой ( с конца вектора с кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки ).

Почему такое сложное определение? Дело в том, что результатом векторного произведения [ a х b ], в отличие от скалярного , является вектор. А для того, чтобы однозначно определить вектор нужно задать его длину (второй пункт определения) и направление (первый и третий пункты определения).

Векторное произведение двух векторов a = { a _x ; a _y ; a _z } и b = { b _x ; b _y ; b _z } в декартовой системе координат можно вычислить, используя формулы:

[ a х b ] = { a _y b _z — a _z b _y ; a _z b _x — a _x b _z ; a _x b _y — a _y b _x }

или в матричной форме:

Теперь вычислим векторное произведение в MS EXCEL. Встроенная функция к сожалению отсутствует. Кроме того, формула должна возвращать три значения, т.е. 3 координаты вектора. Это может быть реализовано только формулой массива (вариант, когда 3 координаты рассчитываются независимо, с использованием 3-х различных формул, очевиден, но не интересен, хотя и приведен файле примера ).

Пусть даны координаты векторов а и b , записанные в строках 8 и 9 (см. файл примера ).

Обратим внимание, что запись в матричной форме напоминает вычисление обратной матрицы методом алгебраических дополнений . Вместо единичных векторов i, j, k запишем вспомогательный вектор с координатами {1; 1; 1} и поместим его в строке 7 над векторами. Теперь у нас есть квадратная матрица А третьего порядка, для которой можно вычислить обратную матрицу.

Попробуем использовать функцию МОБР() для вычисления векторного произведения. Заметим, что три слагаемых из определения векторного произведения в матричной форме совпадают со значениями верхней строки матрицы алгебраических дополнений.

Примечание : Напомним, что алгебраическое дополнение A _ij вычисляется по формуле A _ij =(-1) ^i+j *М _ij (где М — соответствующий минор, т.е. определитель, состоящий из элементов матрицы А за исключением всех элементов, расположенных на строке i и в столбце j).

Так как обратная матрица вычисляется по формуле:

то имея обратную матрицу, для вычисления верхней строки матрицы алгебраических дополнений и, соответственно, координат вектора с , необходимо ее транспонировать , а затем умножить ее на определитель матрицы А (той, что содержит координаты наших векторов а и b и единичный вектор).

Это реализовано с помощью формулы массива =ТРАНСП(МОБР(B7:D9))*МОПРЕД(B7:D9)

Коллинеарность векторов

Если два вектора коллинеарны, т.е. лежат на параллельных прямых, то их векторное произведение равно 0. В файле примеров приведена таблица для проверки векторов на коллинеарность.

Нахождение длины вектора с — результата векторного произведения

Из определения векторного произведения длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними.

Примечание : Как вычислить длины векторов по их координатам показано в статье Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

Синус угла найдем через тригонометрическую формулe sin ² x+cos ² x=1

Конечно, можно также сначала найти векторное произведение, а затем длину полученного вектора. Естественно, оба метода расчета дают одинаковые результаты.

Как найти смешанное произведение векторов

Предварительные сведения

Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{α}\overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{α}\overline{β}=α_1 α_2+β_1 β_2$

Обозначение: $\overline{α}\cdot \overline{β}$.

Определение 2

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
2. $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
3. $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 1)

Готовые работы на аналогичную тему

Понятие смешанного произведения векторов

Определение 3

Смешанным произведением векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора $\overline{α}$ на вектор векторного произведения $\overline{β}х\overline{γ}$ двух других векторов.

Обозначение: $(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})$.

Математически это выглядит следующим образом:

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{β}х\overline{γ})$

Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:

1. Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.\circ=60$

   Ответ: $60$.

   Вычисление смешанного произведения по координатам векторов

   Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

   Пусть нам даны векторы $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ и $(γ_1,γ_2,γ_3)$, соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:

   $(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\begin{vmatrix}α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\\γ_1&γ_2&γ_3\end{vmatrix}$

   Иначе, получим

   $\overline{α}х\overline{β}=α_1 β_2 γ_3+α_3 β_1 γ_2+α_2 β_3 γ_1-α_3 β_2 γ_1-α_2 β_1 γ_3-α_1 β_3 γ_2$

   Пример 2

   Найти значение смешанного произведения векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ с координатами $(1,1,0)$, $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

   Решение.

   Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

   $(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=18+(-3)+0-0-6-0=18-9=9$

   Ответ: $9$.

   Свойства смешанного произведения векторов

   Для произвольных четырех векторов $\overline{α}, $\overline{β}$, $\overline{γ}$ и $\overline{δ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:

   1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой

   $(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{δ}х\overline{γ})=(\overline{α}х\overline{δ})\cdot \overline{γ}$

   2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически

   $(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=(\overline{δ},\overline{γ},\overline{α})=(\overline{γ},\overline{α},\overline{δ})$

   3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак

   $(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=-(\overline{β},\overline{α},\overline{γ})=-(\overline{γ},\overline{δ},\overline{α})=-(\overline{α},\overline{γ},\overline{δ})$

   4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:

   $(r\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

   $(\overline{α},r\overline{δ},\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

   $(overlie{α},\overline{δ},r\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

   5) Справедливы равенства:

   $(\overline{α}+\overline{β},\overline{δ},\overline{γ})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{β},\overline{δ},\overline{γ})$

   $(\overline{α},\overline{δ}+\overline{β},\overline{γ})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})$

   $(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ}+\overline{β})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{α},\overline{δ},\overline{β})$

   6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):

   $S=|(\overline{α},\overline{β},\overline{c})|$

   11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. — Скалярное произведение векторов.

   Комментарии преподавателя

   От­ло­жим от ка­кой-ни­будь точки O век­то­ры  и  (см. рис. 1). Если век­то­ры  и не яв­ля­ют­ся со­на­прав­лен­ны­ми, то лучи ОА и ОВ об­ра­зу­ют угол АОВ — угол между век­то­ра­ми, обо­зна­чим его . Если же век­то­ры  и  — со­на­прав­ле­ны, то будем счи­тать, что угол между ними равен 0°. Если угол между век­то­ра­ми ра­вен 90°, то век­то­ры на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми. На пись­ме угол между век­то­ра­ми обо­зна­ча­ют так: .

   Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров на­хо­дит­ся по фор­му­ле: .

   Рис. 1. Угол между век­то­ра­ми

   Ос­нов­ные свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров:

   1) 

   2) 

   3) 

   4) 

   Рас­смот­рим за­да­чу на на­хож­де­ние ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров.

   За­да­ча 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).

   Рис. 2.

   Найти ска­ляр­ные про­из­ве­де­ния век­то­ров:

   а) . На­хо­дим эти век­то­ра на ри­сун­ке, они со­на­прав­ле­ны, зна­чит угол между ними 0°, а эти век­то­ра равны a. По­лу­ча­ем: 

   б) . Эти век­то­ра па­рал­лель­ны и про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, зна­чит, угол между ними 180°. Мо­дуль век­то­ра  — это диа­го­наль квад­ра­та, , . По­лу­ча­ем: .

   в) . Так как эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны (по ри­сун­ку), то ко­си­нус угла между ними равен 0. Зна­чит, .

   г) . Мо­ду­ли этих век­то­ров равны  — это диа­го­на­ли квад­ра­тов. Чтобы найти угол между нуж­ны­ми век­то­ра­ми, рас­смот­рим тре­уголь­ник A1C1B. Этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, зна­чит, угол равен 60°.

   ·= — 2a2

   д) . Эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, .

   е) . Длины этих век­то­ров равны , так как они яв­ля­ют­ся по­ло­ви­на­ми диа­го­на­лей. Эти век­то­ры про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, угол между ними 180°.

   По­лу­ча­ем:.

   За­да­ча 2. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). До­ка­зать: ABCD – квад­рат.

   Ре­ше­ние:

   1) Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров, длины ко­то­рых сов­па­да­ют с дли­на­ми сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра – это раз­ность ко­ор­ди­нат конца и на­ча­ла от­рез­ка.

   , , , . По ко­ор­ди­на­там видно, что , . До­ка­за­но, что ABCD – па­рал­ле­ло­грамм.

   2) Най­дем мо­ду­ли эти век­то­ров по фор­му­ле: .

   По­лу­ча­ем: . До­ка­за­но, что ABCD – ромб.

   3) Най­дем один угол между век­то­ра­ми. .

   Сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны, сто­ро­ны равны, и один угол равен 90°, зна­чит осталь­ные углы тоже равны 90°. Сле­до­ва­тель­но, ABCD – квад­рат, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

   ИСТОЧНИК

   http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2

   http://www.youtube.com/watch?v=FhYroW_Ff6U

   http://www.youtube.com/watch?v=ArFqvLlMbE0

   http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img2.jpg

   http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/76c6ad7d219efe5add515e0e58a05100.jpg

   http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/757341327.jpg?1436847671

   http://fs1261.gavitex.com/get/2398829017/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.rar

   http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/824194016948.files/image252.png

   http://dok.opredelim.com/docs/index-42169.html

   http://www.metod-kopilka.ru/prezentaciya_k_zanyatiyu_po_teme_quotmetod_koordinat_v_prostranstvequot-42727.htm

   http://school35.tuapse.ru/school_life/school_laboratorii/shtl%20mathematics/%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%AD.%D0%93.%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%20%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.ppt

   Векторно-векторное произведение векторов — это… Что такое Векторно-векторное произведение векторов?

   Векторно-векторное произведение векторов

   Тройно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: двойное векторное произведение) векторов — векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и
   

   В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным^[1] (по числу векторов), так и двойным^[2] (по числу операций умножения).

   Свойства

   Формула Лагранжа

   Для тройного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,

   которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

   Доказательство  

   Тождество Якоби

   Для тройного векторного произведения выполняется тождество Якоби

   которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа

   Примечания

   1. ↑ См., например, Weisstein, Eric W. Vector Triple Product на сайте Wolfram MathWorld.(англ.).
   2. ↑ См., например, М. Я. Выгодский, Справочник по высшей математике, М., 1977, стр. 156.

   См. также

   Wikimedia Foundation. 2010.

   • Вектор (персонаж Battle Angel)
   • Векторно-полевой анализ

   Полезное

   
   

   Смотреть что такое «Векторно-векторное произведение векторов» в других словарях:

   • Векторное произведение векторов — Содержание 1 Правые и левые тройки векторов 2 Определение 3 Свойства …   Википедия

   • Векторное произведение — в трёхмерном пространстве. Векторное произведение  это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум …   Википедия

   • Векторное умножение — Содержание 1 Правые и левые тройки векторов 2 Определение 3 Свойства …   Википедия

   • Оператор набла — (оператор Гамильтона)  векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом …   Википедия

   • Момент силы — Размерность L2MT−2 Единицы измерения СИ Ньютон метр …   Википедия

   • Вращательный момент — Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент)  физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело. Момент силы приложенный к гаечному ключу Отношение между векторами силы, момента силы …   Википедия

   • Вращающий момент — Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент)  физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело. Момент силы приложенный к гаечному ключу Отношение между векторами силы, момента силы …   Википедия

   • Крутящий момент — Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент)  физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело. Момент силы приложенный к гаечному ключу Отношение между векторами силы, момента силы …   Википедия

   • Механический момент — Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент)  физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело. Момент силы приложенный к гаечному ключу Отношение между векторами силы, момента силы …   Википедия

   • Момент сил — Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент)  физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело. Момент силы приложенный к гаечному ключу Отношение между векторами силы, момента силы …   Википедия

   Формула для перекрестного произведения

   Геометрическое определение векторного произведения хорошо для понимания свойств перекрестного произведения. Однако геометрическое определение не так полезно для вычисления векторное произведение векторов. 3 $.(Мы определяем векторное произведение только в трех измерениях. Обратите внимание, что мы предполагаем правую систему координат.)

   Загрузка апплета

   Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях: $ \ vc {i} $ (зеленый), $ \ vc {j} $ (синий) и $ \ vc {k} $ (красный) — это векторы длины 1, которые указывают параллельно оси $ x $, ось $ y $ и ось $ z $ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет векторы, так как они всегда указывают в положительном направлении их соответствующей оси.

   Подробнее об апплете.

   Параллелограмм, натянутый на любые два из этих стандартных единичных векторов, равен единичный квадрат, площадь которого равна единице. Следовательно, по геометрическое определение, крест product должен быть единичным вектором. Поскольку перекрестное произведение должно быть перпендикулярно двум единичным векторам, он должен быть равен другому единичный вектор или противоположность этого единичного вектора. Глядя на вышеизложенное график, вы можете использовать правило правой руки, чтобы определить следующие полученные результаты.\ begin {align *} \ vc {i} \ times \ vc {j} & = \ vc {k} \\ \ vc {j} \ times \ vc {k} & = \ vc {i} \\ \ vc {k} \ times \ vc {i} & = \ vc {j} \ end {выровнять *} Эта небольшая диаграмма цикла поможет вам запомнить эти результаты.

   А как насчет $ \ vc {i} \ times \ vc {k} $? По правилу правой руки это должно быть $ — \ vc {j} $. Помня, что $ \ vc {b} \ times \ vc {a} = — \ vc {a} \ times \ vc {b} $, вы можете сделать вывод, что \ begin {align *} \ vc {j} \ times \ vc {i} & = — \ vc {k} \\ \ vc {k} \ times \ vc {j} & = — \ vc {i} \\ \ vc {i} \ times \ vc {k} & = — \ vc {j}.\ end {выровнять *}

   Наконец, произведение любого вектора на себя — это ноль. вектор ($ \ vc {a} \ times \ vc {a} = \ vc {0} $). В частности, перекрестное произведение любого стандартный единичный вектор сам с собой является нулевым вектором.

   Общие векторы

   За исключением двух особых свойств, упомянутых выше ($ \ vc {b} \ times \ vc {a} = — \ vc {a} \ times \ vc {b} $, и $ \ vc {a} \ times \ vc {a} = \ vc {0} $), мы просто утверждаем, что перекрестное произведение ведет себя как обычное умножение.3 $ и $ y $ — это скаляр. (Эти свойства означают, что перекрестное произведение линейно.) Мы можем использовать эти свойства вместе с перекрестным произведением стандартных единичных векторов, чтобы написать формулу для креста продукт с точки зрения компонентов.

   Запишем компоненты $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ как: \ begin {align *} \ vc {a} = (a_1, a_2, a_3) = a_1 \ vc {i} + a_2 \ vc {j} + a_3 \ vc {k} \\ \ vc {b} = (b_1, b_2, b_3) = b_1 \ vc {i} + b_2 \ vc {j} + b_3 \ vc {k} \ end {выровнять *}

   Сначала предположим, что $ a_3 = b_3 = 0 $.(Тогда манипуляции намного проще.) Рассчитываем: \ begin {align *} \ vc {a} \ times \ vc {b} & = (a_1 \ vc {i} + a_2 \ vc {j}) \ times (b_1 \ vc {i} + b_2 \ vc {j}) \\ & = a_1b_1 (\ vc {i} \ times \ vc {i}) + a_1b_2 (\ vc {i} \ times \ vc {j}) + a_2b_1 (\ vc {j} \ times \ vc {i}) + a_2b_2 (\ vc {j} \ times \ vc {j}) \ end {выровнять *} Поскольку мы знаем, что $ \ vc {i} \ times \ vc {i} = \ vc {0} = \ vc {j} \ times \ vc {j} $ и что $ \ vc {i} \ times \ vc {j} = \ vc {k} = — \ vc {j} \ times \ vc {i} $, это быстро упрощается до \ begin {align *} \ vc {a} \ times \ vc {b} & = (a_1b_2-a_2b_1) \ vc {k} \\ & = \ left | \ begin {array} {cc} а_1 и а_2 \\ b_1 и b_2 \ end {массив} \ право | \ vc {k}.\ end {выровнять *} Запись результата в виде детерминант, как мы это делали в последний шаг — удобный способ запомнить результат.

   Общий случай, когда $ a_3 $ и $ b_3 $ не равны нулю, немного сложнее. Однако это просто вопрос повторения тех же манипуляций, описанных выше, с использованием векторного произведения единичных векторов и свойств этого произведения.

   Начнем с расширения продукта \ begin {align *} \ vc {a} \ times \ vc {b} & = (a_1 \ vc {i} + a_2 \ vc {j} + a_3 \ vc {k}) \ times (b_1 \ vc {i} + b_2 \ vc {j} + b_3 \ vc {k}) \\ & = a_1b_1 (\ vc {i} \ times \ vc {i}) + a_1b_2 (\ vc {i} \ times \ vc {j}) + a_1b_3 (\ vc {i} \ times \ vc {k}) \\ & \ quad + a_2b_1 (\ vc {j} \ times \ vc {i}) + a_2b_2 (\ vc {j} \ times \ vc {j}) + a_2b_3 (\ vc {j} \ times \ vc {k}) \\ & \ quad + a_3b_1 (\ vc {k} \ times \ vc {i}) + a_3b_2 (\ vc {k} \ times \ vc {j}) + a_3b_3 (\ vc {k} \ times \ vc {k}) \ end {выровнять *} а затем вычислить все перекрестные произведения единичных векторов \ begin {align *} \ vc {a} \ times \ vc {b} & = a_1b_2 \ vc {k} — a_1b_3 \ vc {j} — a_2b_1 \ vc {k} + a_2b_3 \ vc {i} + a_3b_1 \ vc {j} — a_3b_2 \ vc {i} \\ знак равно (a_2b_3-a_3b_2) \ vc {i} — (a_1b_3-a_3b_1) \ vc {j} + (a_1b_2-a_2b_1) \ vc {k}.\ end {выровнять *} Используя определители, мы можем записать результат в виде \ begin {align *} \ vc {a} \ times \ vc {b} & = \ left | \ begin {array} {cc} а_2 и а_3 \\ b_2 и b_3 \ end {массив} \ право | \ vc {i} — \ left | \ begin {array} {cc} а_1 и а_3 \\ b_1 и b_3 \ end {массив} \ право | \ vc {j} + \ left | \ begin {array} {cc} а_1 и а_2 \\ b_1 и b_2 \ end {массив} \ право | \ vc {k}.\ end {выровнять *}

   Глядя на формулу для определителя $ 3 \ times 3 $, мы видим, что формула для кросс-произведение очень похоже на формулу для $ 3 \ times 3 $ определитель. Если мы позволим матрице иметь вектор $ \ vc {i} $, $ \ vc {j} $ и $ \ vc {k} $ в качестве записей (хорошо, может быть, это не имеет смысла, но это просто инструмент для запоминания перекрестного произведения), Определитель \ times 3 $ дает удобную мнемонику для запоминания креста продукт: \ begin {align *} \ vc {a} \ times \ vc {b} = \ left | \ begin {array} {ccc} \ vc {i} & \ vc {j} & \ vc {k} \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ b_1 и b_2 и b_3 \ end {массив} \ право |.\ end {выровнять *} Это компактный способ запомнить, как вычислять перекрестное произведение.

   Формула перекрестного произведения

   Векторное произведение или перекрестное произведение — это бинарная операция между двумя векторами в трехмерном пространстве. В результате получается вектор, перпендикулярный векторам, которые умножаются, и, следовательно, нормальный к плоскости, которая их содержит. Благодаря способности получать вектор, перпендикулярный двум другим векторам, направление которых изменяется в зависимости от угла, образованного между этими двумя векторами, эта операция часто применяется для решения математических, физических или инженерных задач.

   вектор a X вектор b = модуль вектора a * модуль вектора b * синус угла между векторами a и b * нормаль плоскости, образованной векторами a и b.

   Уравнение:

   ,

   у нас,

   вектор а.

   вектор b.

   модуль вектора a.

   модуль вектора b.

   = угол между векторами a и b.

   = * нормаль к плоскости, образованной векторами a и b.

   Другой способ вычисления векторного произведения в декартовом пространстве R3 — через определитель следующей матрицы.

   | I j k |

   | a _x a _y a _z |

   | b _x b _y b _z |

   И определитель:

   = (a _y * b _z — a _z * b _y ) i + (a _z * b _x — a _x * b _z ) j + (a _x * b _y — a _y * b _x ) k

   Вопросы по перекрестному продукту:

   1) Учитывая вектор a = 1i-3j и вектор b = -3i + 2, и угол между ними равен 134.69 °, вычислите векторное произведение между a и b.

   Ответ: Первое, что нужно сделать, это вычислить модуль обоих векторов.

   | а | = ((1) ² + (- 3) ² ) ^-1/2 = 3,16

   | b | = ((- 3) ² + (2) ² ) = 3,6

   , то нормаль к плоскости, образованной векторами a и b, равна k, потому что они находятся в плоскости xy. Затем мы вычисляем перекрестное произведение между a и b:

   = 3,16 * 3,6 * sin (134,69 °) k = 8.09 к.

   a x b = 8,09 к.

   2) Учитывая вектор a = 4i + 3j-2k и вектор b = i-2j-4k, вычислите векторное произведение между a и b.

   Ответ: поскольку мы не знаем угол, образованный векторами a и b, воспользуемся формулой определителя:

   a _x = 4.

   a _y = 3.

   a _z = -2.

   b _x = 1.

   b _y = -2.

   b _z = -4.

   = (a _y * b _z — a _z * b _y ) i + (a _z * b _x — a _x * b _z ) j + (a _x * b _y — a _y * b _x ) k = (3 * (- 4) — (-2) * (- 2)) i + ((-2) * 1-4 * (-4)) j + (4 * (- 2) — 3 * 1) k = -16i + 14j-11k.

   axb = -16i + 14j — 11k.

   Как найти векторный продукт?

   Векторное произведение двух векторов A, и B , также называемое перекрестным произведением, обозначается как A X B, , а величина векторного произведения находится по формуле AB sinφ.Здесь A и B — величины векторов A, и B, соответственно, а φ — угол между двумя векторами. Направление векторного произведения определяется с помощью правила правой руки.

   Как следует из названия, векторное произведение само является вектором. Мы используем это векторное произведение для описания крутящего момента и углового момента; Мы также используем его для описания магнитных полей и сил.

   Что такое векторный продукт?

   Мы определяем векторное произведение как векторную величину с направлением, перпендикулярным этой плоскости (то есть перпендикулярным как A и B ), и величиной, равной AB sinφ.То есть, если C = AxB , то C = AB sinφ ……………… .. (уравнение 1)
   [Здесь A и B — величины векторов A и B соответственно.
   C — величина вектора C .
   А, C = (перекрестное) произведение A и B ]

   Также читайте: Скалярное произведение

   Примеры векторного произведения

   Мы используем это векторное произведение для описания крутящего момента и углового момента; Мы также используем его для описания магнитных полей и сил.

   Как определить векторное произведение?

   Для определения векторного произведения A X B , мы рисуем два вектора A и B с их хвостами в одной точке (рис. 1 (a)). Тогда два вектора лежат в плоскости.

   Мы измеряем угол φ от A к B и принимаем его меньшим из двух возможных углов, поэтому φ изменяется от 0 ° до 180 ° Затем sin φ ≥ 0 и C в уравнении.(1) никогда не бывает отрицательным, как и должно быть для величины вектора.

   рисунок 1 (a и b): правая линейка

   Отметим также, что когда A и B параллельны или антипараллельны, φ = 0 или 180 ° и C = 0. То есть векторное произведение двух параллельных или антипараллельных векторов равно всегда ноль. В частности, векторное произведение любого вектора на себя равно нулю.

   Как найти направление векторного произведения по правилу правой руки?

   Всегда есть два направления , перпендикулярных данной плоскости, по одному с каждой стороны от плоскости.Выбираем, какое из них является направлением A × B . Нам нужно принять правило правой руки и выполнить шаги, чтобы определить это направление.

   рисунок 2: Определение направления векторного произведения | линейка правая

   Определение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

   1. Поместите векторы A, и B, хвост к хвосту.
   2. Чтобы найти A × B , укажите пальцами правой руки вдоль вектора A ладонью к вектору B .
   3. Согните пальцы в направлении B
   4. Большой палец правой руки указывает в направлении A x B .

   Аналогичным образом мы определяем направление B × A путем поворота B в A , как на рис.1b. Результатом является вектор, который находится на напротив вектора A × B . Векторное произведение , а не коммутативное !
   Фактически, для любых двух векторов A и B , A × B = — B × A … . (уравнение 2)

   Величина векторного произведения никогда не равна нулю

   Мы измеряем угол φ от A к B и принимаем его меньшим из двух возможных углов, поэтому φ изменяется от 0 ° до 180 ° Затем sin φ ≥ 0 и C в уравнении.(1) никогда не бывает отрицательным, как и должно быть для величины вектора.

   Векторное произведение двух параллельных или антипараллельных векторов всегда равно нулю

   Отметим также, что когда A и B параллельны или антипараллельны, φ = 0 или 180 ° и C = 0. То есть векторное произведение двух параллельных или антипараллельных векторов равно всегда ноль. В частности, векторное произведение любого вектора на себя равно нулю.

   Векторное произведение любого вектора на себя равно нулю — как?

   По мере того, как мы переходим к векторному произведению любого вектора на себя, мы получаем φ = 0. И, sinφ = sin 0 градусов = 0. В результате результат AB sinφ становится 0.

   Вычисление векторного произведения с использованием компонентов и единичных векторов

   Если нам известны компоненты A и B , мы можем вычислить компоненты векторного произведения, используя процедуру, аналогичную процедуре для скалярного произведения.Сначала мы составляем таблицу умножения единичных векторов î, ĵ, kˆ, и, все три из которых перпендикулярны друг другу (рис. 3).

   Рисунок 3: Правая система координат для вычисления векторного произведения

   Векторное произведение любого вектора на себя равно нулю, поэтому
   

   Также читайте : Vector Physics

   Расскажите о Physicsteacher.in

   векторных пространств — Почему кросс-произведение содержит n в формуле? $ a \ times b = \ vert a \ vert \ vert b \ vert \ sin (\ theta) n $

   Вашими основными аргументами против определения $ a \ times b: = | a || b | \ sin (\ theta) \ hat n $, по-видимому, являются (1) то, что для использования этого определения мы должны уметь найти правый нормальный вектор $ \ hat n $ первым.Я не вижу в этом большой проблемы. Существует несколько известных методов поиска такого вектора нормали. И (2) вы, кажется, верите, что перекрестное произведение полезно только для поиска вектора нормали. Я не согласен. Неполный список некоторых других полезных приложений кросс-продукта включает

   • нахождение площади параллелограмма со сторонами в качестве векторов.
   • , описывающий различные физические величины, включая крутящий момент и магнитное поле.
   • вместе со скалярным произведением в виде тройного скалярного произведения, находим объем параллелепипеда.
   • , описывающая (/ моделирующая) алгебру Ли $ \ mathfrak {so} (3) $.

   Теперь вот некоторые аргументы для , что конкретное определение перекрестного произведения (Кстати, есть и другие определения):

   1. Это полностью не зависит от координат. Таким образом, при использовании этого определения не только не нужно будет беспокоиться о необходимости изменить наши координаты в какой-то момент в середине работы над проблемой, но это сделает обозначение намного более компактным, чем, скажем, формулы в сообщениях user247327 и Роберта Израэля. .
   2. Это очень геометрическое определение. Он имеет форму (скалярное), умноженное на (единичный вектор), поэтому мы сразу узнаем, глядя на эту формулу, что длина векторного произведения равна $ | a || b | \ sin (\ theta) $ и направление, в котором оно указывает. — правостороннее нормальное направление. Опять же, сравните это с формулами, приведенными в сообщениях пользователя 247327 и Роберта Исраэля. Совершенно неясно, просто глядя на эти определения, какова длина или направление $ a \ times b $.
   3. Он предполагает связь со скалярным произведением, как определено в $ a \ cdot b: = | a || b | \ cos (\ theta) $.2} $$

   ---

   Постскриптум:

   Обратите внимание, что определение объекта не всегда будет лучшим способом вычислить его на практике. Теперь, когда у нас есть это определение, мы можем показать, что оно подразумевает формулы в сообщениях user247327 и Роберта Израэля при умеренных предположениях. Поэтому, если мы хотим добавить к нему какие-то числа, нет причин не использовать эти формулы вместо них.

   Сравните это с интегралом Римана. Определение интеграла Римана довольно сложно, не так ли? Но, к счастью, нам редко приходится использовать это определение для фактического вычисления интеграла — мы используем основную теорему исчисления.

   То же самое и с кросс-произведением. Это определение может быть немного сложнее в использовании, но по причинам, указанным выше (и некоторым более сложным причинам, которые я не затронул), это довольно хорошее определение для доказательства теорем и других вещей, которые нам, возможно, придется сделать с определением. Но совершенно нормально использовать какой-нибудь другой метод для его вычисления.

   Перекрестное произведение | Brilliant Math & Science Wiki

   Все эти свойства могут быть выведены из определения перекрестного произведения и оставлены читателям в качестве упражнений для проверки.

   Для двух векторов v⃗ = 3i − 2j − k \ vec {v} = 3i-2j-kv = 3i − 2j − k и w⃗ = 4i + 3j + 2k \ vec {w} = 4i + 3j + 2kw = 4i + 3j + 2к, найти

   A) v⃗ × w⃗ \ \ vec {v} \ times \ vec {w} v × w
   B) w⃗ × v⃗ \ \ vec {w} \ times \ vec {v} w × v.

   ---

   A) v⃗ × w⃗: \ \ vec {v} \ times \ vec {w}: v × w:
   Мы можем получить векторное произведение, вычислив определитель: ∣ijk3−2−1432∣ = (- 2 (2) −3 (−1)) i− (3 (2) −4 (−1)) j + (3 (3) −4 (−2)) k = −i − 10j + 17k. \ Begin {align} \ begin {vmatrix} i & j & k \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \ end {vmatrix} & = \ big (-2 (2) -3 (-1) \ big) i- \ big (3 (2) -4 (-1) \ big) j + \ big (3 (3) -4 (-2 ) \ большой) к \\ & = — i-10j + 17к.\ end {align} ∣∣∣∣∣∣ i34 j − 23 k − 12 ∣∣∣∣∣∣ = (- 2 (2) −3 (−1)) i− (3 (2 ) −4 (−1)) j + (3 (3) −4 (−2)) k = −i − 10j + 17k.

   B) w⃗ × v⃗: \ \ vec {w} \ times \ vec {v}: w × v:
   Мы могли бы просто выполнить те же шаги, но более быстрым способом было бы использовать теорему 1 выше: w⃗ × v⃗ = — (v⃗ × w⃗) = — (- i − 10j + 17k) = i + 10j − 17k. □ \ begin {align} \ vec {w} \ times \ vec {v} & = — (\ vec {v} \ times \ vec {w}) \\ & = — (- i-10j + 17k) \\ & = i + 10j-17k. \ _ \ квадрат \ end {align} w × v = — (v × w) = — (- i − 10j + 17k) = i + 10j − 17k. □

   Есть также некоторые свойства, которые связывают перекрестное произведение и скалярное произведение:

   Первые два свойства легко понять, если мы поймем, что перекрестное произведение выводит вектор, перпендикулярный обоим векторам, и что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.Остальные похожи на первые два из-за свойств скалярных и перекрестных произведений, и читатель должен их доказать.

   Для векторов a⃗ = (- 1,2,2), b⃗ = (0,3,4), c⃗ = (1, −2,0), \ vec {a} = (- 1,2,2), \ vec {b} = (0,3,4), \ vec {c} = (1, -2,0), a = (- 1,2,2), b = (0,3,4), c = (1, −2,0), покажем, что они действительно удовлетворяют указанным выше четырем свойствам с A) по D).

   ---

   A) a⃗⋅ (a⃗ × b⃗): \ \ vec {a} \ cdot \ big (\ vec {a} \ times \ vec {b} \ big): a⋅ (a × b):
   У нас есть a⃗ × b⃗ = [ijk − 122034] = (2,4, −3) ⟹ a⃗⋅ (a⃗ × b⃗) = (- 1) (2) +2 (4) +2 (−3) = 0.\ begin {align} \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ begin {bmatrix} i & j & k \\ -1 \ quad & 2 \ quad & 2 \ quad \\ 0 & 3 & 4 \ конец {bmatrix} = (2,4, -3) \ подразумевает \ vec {a} \ cdot \ big (\ vec {a} \ times \ vec {b} \ big) = (- 1) (2) +2 (4) +2 (-3) = 0. \ end {align} a × b = ⎣⎡ i − 10 j23 k24 ⎦⎤ = (2,4, −3) ⟹a⋅ (a × b) = (- 1) (2) +2 (4) +2 (−3) = 0,

   B) b⃗⋅ (a⃗ × b⃗): \ \ vec {b} \ cdot \ big (\ vec {a} \ times \ vec {b} \ big): b⋅ (a × b):
   Мы имеют a⃗ × b⃗ = [ijk − 122034] = (2,4, −3) ⟹ b⃗⋅ (a⃗ × b⃗) = 0 (2) +3 (4) +4 (−3) = 0.\ begin {align} \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ begin {bmatrix} i & j & k \\ -1 \ quad & 2 \ quad & 2 \ quad \\ 0 & 3 & 4 \ end {bmatrix} = (2,4, -3) \ подразумевает \ vec {b} \ cdot \ big (\ vec {a} \ times \ vec {b} \ big) = 0 (2) +3 (4) +4 (-3) = 0. \ end {align} a × b = ⎣⎡ i − 10 j23 k24 ⎦⎤ = (2,4, −3) ⟹b⋅ (a × b) = 0 (2) +3 (4) +4 (−3) = 0,

   C) a⃗ × (b⃗ × c⃗) = (a⃗⋅c⃗) b⃗− (a⃗⋅b⃗) c⃗: \ \ vec {a} \ times \ big (\ vec {b} \ times \ vec {c} \ big) = (\ vec {a} \ cdot \ vec {c}) \ vec {b} — \ big (\ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ big) \ vec {c}: a × (b × c) = (a⋅c) b− (a⋅b) c:
   Имеем a⃗ × (b⃗ × c⃗) = (- 14,13, −20) \ vec {a} \ times \ big ( \ vec {b} \ times \ vec {c} \ big) = (- 14,13, -20) a × (b × c) = (- 14,13, −20), что останется для читателей чтобы показать, как.потом a⃗⋅c⃗ = −1 (1) +2 (−2) +2 (0) = — 5a⃗⋅b⃗ = −1 (0) +2 (3) +2 (4) = 14a⃗ × (b⃗ × c⃗) = (a⃗⋅c⃗) b⃗− (a⃗⋅b⃗) c⃗⇒ (−14,13, −20) = — 5 (0,3,4) −14 (1, −2,0) = (0,15, — 20) — (14, −28,0) = (- 14,13, −20). \ Begin {align} \ vec {a} \ cdot \ vec {c} & = — 1 (1) +2 (-2) +2 (0) \\ & = — 5 \\ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = — 1 (0) +2 (3) +2 (4) \\ & = 14 \\ \ vec {a} \ times \ big (\ vec {b} \ times \ vec {c} \ big) & = (\ vec {a} \ cdot \ vec {c}) \ vec {b} — \ big (\ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ big) \ vec {c} \\ \ Rightarrow (-14,13, -20) & = — 5 (0,3,4) -14 (1, -2,0) \\ & = (0,15, -20) — (14, -28,0) \\ & = (- 14,13, -20).\ end {align} a⋅ca⋅ba × (b × c) ⇒ (−14,13, −20) = −1 (1) +2 (−2) +2 (0) = — 5 = −1 (0) +2 (3) +2 (4) = 14 = (a⋅c) b− (a⋅b) c = −5 (0,3,4) −14 (1, −2,0) = (0,15, −20) — (14, −28,0) = (- 14,13, −20).

   D) (a⃗ × b⃗) × c⃗ = (a⃗⋅c⃗) b⃗− (b⃗⋅c⃗) a⃗: \ \ big (\ vec {a} \ times \ vec {b} \ big) \ times \ vec {c} = (\ vec {a} \ cdot \ vec {c}) \ vec {b} — \ big (\ vec {b} \ cdot \ vec {c} \ big) \ vec {a}: (a × b) × c = (a⋅c) b− (b⋅c) a:
   Имеем a⃗⋅c⃗ = −1 (1) +2 (−2) +2 (0) = — 5b⃗⋅c⃗ = 0 (1) +3 (−2) +4 (0) = — 6 (a⃗ × b⃗) × c⃗ = (a⃗⋅c⃗) b⃗− (b⃗⋅c⃗) a⃗⇒ (−6, −3, −8) = — 5 (0,3,4) — (- 6) (- 1,2,2) = (0, −15,20) — (6, −12, −12) = (- 6, −3, −8).□ \ begin {align} \ vec {a} \ cdot \ vec {c} & = — 1 (1) +2 (-2) +2 (0) \\ & = — 5 \\ \ vec {b} \ cdot \ vec {c} & = 0 (1) +3 (-2) +4 (0) \\ & = — 6 \\ \ big (\ vec {a} \ times \ vec {b} \ big) \ times \ vec {c} & = (\ vec {a} \ cdot \ vec {c}) \ vec {b} — \ big (\ vec {b} \ cdot \ vec {c} \ big) \ vec {a} \\ \ Rightarrow (-6, -3, -8) & = — 5 (0,3,4) — (- 6) (- 1,2,2) \\ & = (0, -15,20) — (6, -12, -12) \\ & = (- 6, -3, -8). \ _ \ Квадрат \ end {align} a⋅cb⋅c (a × b) × c⇒ (−6, −3, −8) = −1 (1) +2 (−2) +2 (0) = — 5 = 0 (1) +3 (−2) +4 (0) = — 6 = (a⋅c) b− (b⋅c) a = −5 (0,3,4) — (- 6) (- 1 , 2,2) = (0, −15,20) — (6, −12, −12) = (- 6, −3, −8).□

   Калькулятор перекрестных произведений | Формула, определение, виды использования

   Без калькулятора векторного векторного произведения сложно научиться вычислять векторное произведение. К счастью для вас, мы создали инструмент, который поможет вам понять формулу взаимного произведения двух векторов. Мы также будем сравнивать определения скалярного произведения и перекрестного произведения и объясним, почему это разные операции. И в качестве бонуса у нас также есть список практических приемов, таких как правило правой руки, так что вы можете стать мастером в том, как сделать перекрестное произведение двух векторов.

   Определение векторных кросс-произведений

   Вектор — это математический инструмент , широко используемый в физике . Он позволяет очень эффективно работать с наборами чисел (каждое из которых представляет собой измерение). Набор операций, правил и свойств для работы с векторами называется векторной алгеброй и, как и алгебра чисел, включает умножение. Однако векторы сложнее, чем числа , поскольку они несут в себе гораздо больше информации, с которой нужно более тщательно манипулировать.Это одна из причин, почему в векторной алгебре есть два разных типа операций умножения или произведения: перекрестное произведение и скалярное произведение.

   Определение, как правило, в математике, очень техническое. Тем не менее, мы объясним, что это означает в терминах непрофессионала (и менее точных), так что, даже если у вас нет сильного математического образования, все будет иметь смысл для вас .

   Одно из определений перекрестного произведения, также называемого векторным произведением :

   Двоичная операция над двумя векторами в трехмерном пространстве, обозначаемая символом ×.Учитывая два линейно независимых вектора, a и b , перекрестное произведение, a × b , представляет собой вектор, перпендикулярный обоим a и b и, следовательно, перпендикулярный плоскости, содержащей их.

   Это действительно полнота рта, но мы можем перевести это с математического жаргона на повседневное объяснение. Прежде всего, определение говорит о трехмерном пространстве , таком как то, в котором мы живем, потому что это наиболее распространенное использование перекрестного произведения, но перекрестное произведение может быть расширено до большего количества измерений; то есть, однако, выходит за рамки этого текста и большинство связанных с математикой степеней.

   Определение говорит нам, что векторное произведение любых двух векторов является третьим вектором , который перпендикулярен обоим из них (и плоскости, которая их содержит). Это возможно в трехмерном пространстве, потому что в таком пространстве есть 3 независимых направления. Вы можете думать об этих трех направлениях как о высоте , ширине и глубине .

   Чтобы узнать, как этот новый третий вектор будет выглядеть с точки зрения величины и математического описания, мы можем использовать формулу для взаимного произведения двух векторов .В следующем разделе вам будет представлена ​​формальная математическая формула, которая расскажет вам, как произвести перекрестное произведение любых двух векторов. Мы также объясним , что означает это уравнение и как его использовать простым, но точным способом.

   Формула перекрестного произведения

   Прежде чем мы представим формулу для векторного произведения, нам понадобятся два вектора, которые мы назовем a и b . Эти два вектора не должны быть коллинеарными (иначе говоря, не должны быть параллельны) по причинам, которые мы объясним позже.

   Итак, без лишних слов, давайте посмотрим на формулу:

   c = a × b = | a | * | b | * sinθ * п

   Эта формула состоит из:

   • c — новый вектор, полученный в результате перекрестного произведения,
   • a — один из исходных векторов,
   • b — второй из начальных векторов,
   • θ — угол между обоими векторами,
   • n — единичный вектор, перпендикулярный a и b одновременно.

   Фактор перпендикулярности вместе с синусоидальной функцией, присутствующей в формуле, являются хорошими индикаторами геометрической интерпретации векторного векторного произведения. Мы поговорим об этом подробнее в следующих разделах.

   Вы также можете понять, почему так важно, чтобы два вектора a и b не были параллельны. Если бы они были параллельны, это привело бы к нулевому углу между ними ( θ = 0 ). Следовательно, и sin θ , и c будут равны нулю, что является очень неинтересным результатом .Также интересно отметить тот факт, что простая перестановка a и b изменила бы только направление c , поскольку -sin (θ) = sin (-θ) .

   Как вычислить произведение двух векторов

   Мы видели математическую формулу для векторного векторного произведения, но вы все еще можете думать: « Это все хорошо, но как мне на самом деле вычислить новый вектор? » И это отличный вопрос! Самым быстрым и простым решением является использование нашего векторного калькулятора кросс-произведения, но, если вы дочитали до этого места, вы, вероятно, ищете не только результаты, но и знания .

   Мы можем разделить процесс на 3 разных этапа: вычисление модуля вектора, вычисление угла между двумя векторами и вычисление перпендикулярного унитарного вектора. Соединение всех этих трех промежуточных результатов вместе посредством простого умножения даст желаемый вектор.

   Вычисление углов между векторами может оказаться слишком сложным в трехмерном пространстве ; и, если все, что нам нужно, — это знать, как вычислить перекрестное произведение двух векторов, это может не стоить хлопот.Вместо этого давайте рассмотрим более простой и практичный способ вычисления векторного векторного произведения с помощью другой формулы перекрестного произведения.

   Эта новая формула использует разложение трехмерного вектора на его 3 компонента. Это очень распространенный способ описания и работы с векторами, в которых каждый компонент представляет направление в пространстве , а число, сопровождающее его, представляет длину вектора в определенном направлении. Канонически три измерения трехмерного пространства, с которым мы работаем, называются x , y и z и представлены унитарными векторами i , j и k соответственно.

   Следуя этой номенклатуре, каждый вектор может быть представлен суммой этих трех унитарных векторов. Векторы обычно опускаются для краткости, но все же подразумеваются и имеют большое значение для результата перекрестного произведения. Таким образом, вектор v может быть выражен как: v = (3i + 4j + 1k) или, вкратце: v = (3, 4, 1) , где положение чисел имеет значение. Используя эти обозначения, мы теперь можем понять, как вычислить векторное произведение двух векторов.

   Мы назовем наши два вектора: v = (v₁, v₂, v₃) и w = (w₁, w₂, w₃) . Для этих двух векторов формула выглядит так:

   v × w = (v₂w₃ - v₃w₂, v₃w₁ - v₁w₃, v₁w₂ - v₂w₁)

   Этот результат может выглядеть как случайный набор операций между компонентами каждого вектора, но это далеко от реальности. Для тех из вас, кто задается вопросом, откуда все это взялось, мы рекомендуем попробовать открыть для себя это самостоятельно. Все, что вам нужно сделать, это начать с обоих векторов, выраженных как: v = v₁i + v₂j + v₃k и w = w₁i + w₂j + w₃k , и умножить каждый компонент вектора на все компоненты другого.В качестве небольшой подсказки мы можем сказать вам, что при умножении перекрестного произведения векторов на числа результатом является произведение « обычных » чисел, умноженное на перекрестное произведение между векторами. Также будет полезно помнить, что перекрестное произведение параллельных векторов (и, следовательно, вектора на себя) всегда равно 0 .

   Как пользоваться калькулятором векторного векторного произведения

   После всего, о чем мы говорили, пришло время изучить , как использовать наш калькулятор перекрестного произведения, чтобы сэкономить время и получить результаты для любых двух векторов в трехмерном пространстве.Как видите, переменные разделены на 3 раздела, по одному для каждого вектора, участвующего в вычислении перекрестного произведения. Из этих трех векторов, c , вероятно, тот, о котором вам следует заботиться больше всего, поскольку он является результатом перекрестного произведения. Каждый вектор имеет 3 компонента, как упоминалось ранее: x , y и z , относящиеся к каждому из трех измерений: глубина, ширина и высота.

   Когда мы поймем, что делает каждое из полей, давайте быстро рассмотрим типичный вариант использования этого калькулятора.Чтобы включить пример вычисления перекрестного произведения двух векторов, мы будем использовать векторы a = (2, 3, 7) и b = (1, 2, 4) .

   1. Первый шаг — ввести компоненты вектора a . То есть: x = 2 , y = 3 и `z = 7 ‘.
   2. Далее следует ввести компоненты вектора b . То есть: x = 1 , y = 2 и z = 4 .
   3. Теперь калькулятор обрабатывает информацию, применяет формулу, которую мы видели раньше, и…
   4. Вуаля! вы только что вычислили c = a × b = (-2, -1, 1) .
   5. Повторите эти действия до тех пор, пока не вычислите все необходимые вам перекрестные произведения.
   6. Поделитесь с друзьями впечатляющим опытом вычисления векторных перекрестных произведений. 😉

   Вы можете вычислить перекрестное произведение любых векторов, даже не задумываясь об этом. Тем не менее, мы настоятельно рекомендуем использовать свойства, упомянутые выше, для сложных операций, чтобы сэкономить ваше время и нервы .Например, если один из векторов просто кратен другому, вам даже не нужно использовать наш калькулятор, вы можете просто предсказать, что результат будет равен нулю, поскольку эти два вектора коллинеарны.

   Точечное произведение и кросс-произведение

   Мы исследовали наиболее важные математические аспекты взаимного произведения двух векторов в трехмерном пространстве, так что пришло время поговорить о некоторых интересных фактах и использовании этой векторной операции . Для начала мы поговорим о двоюродном брате перекрестного произведения: скалярном произведении.

   Эти две операции имеют обманчиво похожие названия, но на самом деле представляют разные концепции в геометрии. Вдобавок ко всему, вычисление скалярного произведения, возможно, проще, чем вычисление перекрестного произведения; тем не менее, мы также сделали калькулятор, который поможет вам вычислить скалярное произведение двух векторов, также , называемое скалярным произведением .

   Не отставая от тенденции очевидного сходства между скалярным произведением и кросс-произведением, мы можем внимательно изучить формулу для скалярного произведения:

   v = a · b = | a | * | b | * cosθ

   Единственное различие между перекрестным произведением и скалярным произведением — это тригонометрическая функция, используемая в формуле, и тот факт, что здесь результат представляет собой число (скаляр, отсюда и название), а не вектор.

   Эти небольшие различия могут заставить вас поверить в то, что обе операции очень похожи, но они очень различаются по своей природе . Для начала, перекрестное произведение — это операция, которая берет два вектора и возвращает другой вектор, перпендикулярный обоим, в то время как скалярное произведение дает число без направления. Скалярное произведение более легко обобщается на более высокие или более низкие измерения, в то время как перекрестное произведение даже не существует в 2-D . Их геометрическая интерпретация также очень отличается, поскольку вы можете думать о скалярном произведении как о длине проекции одного из векторов на другой .

   Все эти различия делают их концептуально очень разными операциями. Таким образом, эти две операции не являются взаимозаменяемыми или переводимыми. Как мы увидим в следующих разделах, обе операции важны как для математики, так и для физики.

   Смешанное произведение и физика: Лучшие друзья навсегда

   Большинство из нас интересуются не только чисто математическими свойствами и использованием перекрестного произведения, но и практическим применением в реальном мире.И что может быть лучше для практического применения математических понятий, чем через физику? Перекрестное произведение не исключение; это очень полезная операция в физике. Мы могли бы углубиться в квантовую теорию поля, где широко используются как скалярное произведение, так и перекрестное произведение. Тем не менее, мы будем оставаться в сфере материальных и математически совершенных теорий и рассматривать примеры в местах и ​​событиях, к которым мы все можем иметь отношение.

   Электромагнетизм — это первая область, которую мы обсудим, в которой широко используются свойства перекрестного произведения .В природе электрические и магнитные поля обычно перпендикулярны друг другу, что идеально соответствует способу выражения перекрестного произведения двух векторов. Такие вещи, как вычисление магнитных сил на проводе с током или вычисление магнитного момента системы, требуют использования операции перекрестного произведения. Другой пример, который нельзя не упомянуть, — это так называемый эффект Холла, очень важный в физике твердого тела.

   Наиболее распространенные применения кросс-произведения включают исследование момента инерции и вращающихся объектов.Мы могли бы бесконечно говорить о том, насколько умопомрачительна эта часть физики. Вместо этого лучше, если вы посмотрите видео, где Уолтер Левин (один из лучших преподавателей физики) объясняет и демонстрирует все об этом явлении.

   Правило правой руки в физике: чем оно так полезно?

   Векторы повсеместны в физике, от скорости до веса или даже площади, кажется, все имеет вектор, связанный с этим. Вот почему векторное произведение очень важно в физическом мире.

   Одна из самых страшных частей физики — это осмысление всей математической работы, которую нужно проделать, чтобы вычислить почти что угодно. Поскольку мы включаем векторы и несколько измерений, это может быстро превратиться в неконтролируемый беспорядок, который, кажется, не имеет ничего общего с реальностью. Чтобы решить эти проблемы, физики разработали несколько уловок, которые помогут вам ориентироваться в этих мутных водах . Вероятно, наиболее известным из них является «Правило правой руки », которое помогает в вычислении векторного произведения.Это правило позволяет вам предсказать, куда будет направлен результирующий вектор перекрестного произведения, используя только вашу руку.

   Есть две версии правила правой руки в физике : одна с вытянутыми пальцами и неподвижной рукой, а другая с переходом от открытой руки к сжатому кулаку.

   Первый (более распространенный) состоит из разведения среднего и указательного пальцев, как показано на рисунке выше. Вытянув большой палец, вы должны стремиться совместить указательный палец с первым вектором, а средний палец — со вторым.В этом положении расширенный ползунок будет показывать направление результирующего вектора , полученного при вычислении векторного произведения.

   Второй способ, на наш взгляд, проще в использовании . Открытой рукой вы выравниваете пальцы по первому вектору. Затем вы сжимаете руку в кулак по направлению ко второму вектору. После выполнения этих действий у вас будет рука с большим пальцем вверх или вниз. Как и в предыдущем случае, указание большого пальца будет указывать направление вектора, полученного в результате операции перекрестного произведения.

   Все эти могут показаться детскими играми , но это мощные уловки. С помощью простого жеста руки вы можете получить не искаженное представление о том, как будет выглядеть векторное перекрестное произведение. Для вас может даже стать сюрпризом, что эти уловки постоянно используются исследователями всякий раз, когда их работа связана с какими-либо вычислениями кросс-произведений, например, при вычислении магнитных сил между проводами.

   Векторное произведение двух векторов

   Вектор используется для определения местоположения точки в пространстве относительно другой и представляет собой величину, имеющую величину и направление.В геометрическом представлении это может быть изображено в виде стрелки или отрезка прямой с направлением. Здесь длина стрелки указывает величину этого вектора.

   [Изображение будет загружено в ближайшее время]

   Умножение двух векторов может быть выполнено двумя способами.

   1. Точечное произведение или скалярное произведение

   2. Кросс-произведение или векторное произведение

   Здесь мы подробно обсудим кросс-произведение.

   Векторное произведение двух векторов

   Перекрестное произведение или векторное произведение, полученное из двух векторов в трехмерном пространстве, обрабатывается как двоичная операция и обозначается x.Результирующий продукт в этом случае всегда является другим вектором, имеющим некоторую величину и направление.

   Давайте рассмотрим два вектора величин a и b, как показано на этом изображении ниже.

   [Изображение будет загружено в ближайшее время]

   На рисунке показаны два вектора a и b. Чтобы ответить, что такое векторное произведение, посмотрите расчеты ниже.

   a x b = | a | . | б | . Sin (Ꝋ) n

   Где,

   • | a | — длина или величина вектора a.

   • | b | — длина или величина вектора b.

   • Ꝋ — угол между векторами b и a.

   • n — единичный вектор, перпендикулярный обоим векторам a и b.

   [Изображение будет загружено в ближайшее время]

   Как показано на рисунке выше, если хвост векторов b и a начинается с начала координат (0,0,0), то произведение двух векторов может быть представлено как

   Cx = ay. бз — аз. по

   Cy = az. bx — топор. bz

   Cz = ax. пользователем — ay. bx

   Пример

   Давайте определим векторное произведение на примере.Рассмотрим вектор a = (2,3,4) и b = (5,6,7). Здесь ax = 2, ay = 3 и az = 4. bx = 5, by = 6, bz = 7. Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение и вычисляя, мы получаем Cx = -3, Cy = 6 и Cz. = -3.

   Направление вектора произведения

   Хотя вы можете определить векторное произведение двух векторов и его величину из приведенного выше уравнения, направление его вектора произведения можно определить с помощью правила большого пальца правой руки.

   [Изображение будет загружено в ближайшее время]

   Согласно этому правилу большого пальца правой руки, нам нужно согнуть пальцы правой руки от вектора a к вектору b, а затем большой палец будет направлен в направлении вектора произведения .

   Свойства векторного произведения

   В то время как результат скалярного произведения или скалярного произведения двух векторов показывает свойство коммутативности, а перекрестное произведение не является коммутативным по своей природе.