Формула Гаусса-Остроградского — это… Что такое Формула Гаусса-Остроградского?

Формула Гаусса-Остроградского

Теорема Остроградского — Гаусса — утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n-кратным интегралом по области и (n − 1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v₁,v₂,…,v_n) есть векторное поле на , такое что функции v_i вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области Ω, граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n − 1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали ν.

Тогда формула Остроградского имеет вид

где

есть дивергенция поля V.

---

Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме

имеет вид

,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объём, то есть замкнутых, таких как поверхность воздушного шарика, и не применима к поверхностям, таким как воздушный шар с подогревом.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде,

,

где ω и s дифференциалы объёма и поверхности. В современной записи ω = dΩ — элемент объема, s = dS — элемент поверхности.  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

История

Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На n-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла. При n = 3 для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813, поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Что интересно, в западной литературе порядок фамилий изменён — она именуется как «теорема Гаусса — Остроградского». Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Литература

• Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)

Wikimedia Foundation. 2010.

• Формула Бине
• Формула Гаусса—Бонне

Полезное

Смотреть что такое «Формула Гаусса-Остроградского» в других словарях:

• Формула Гаусса—Остроградского — Формула Остроградского  математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного… …   Википедия

• ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА — одна из основных интегральных теорем векторного анализа, связывающая объемный интеграл с поверхностным: Здесь замкнутая поверхность, ограничивающая 3 мерную область V, а п проекция вектора на внеш. нормаль к поверхности. Получена Дж. Грином (G.… …   Физическая энциклопедия

• Остроградского формула — Теорема Остроградского  Гаусса  утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n кратным интегралом по области и (n − 1) кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,…,vn) есть векторное поле… …   Википедия

• Формула Остроградского — Формула Остроградского  формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного поля ,… …   Википедия

• ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА — формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n кратным интегралом по области и ( п 1) кратным интегралом но ее границе. Пусть функции Xi=Xi(x1,x2,…, х п).вместе со своими частными производными , i=1, 2 …   Математическая энциклопедия

• Теорема Гаусса —     Классическая электродинамика …   Википедия

• Теорема Гаусса (значения) — Существует несколько утверждений, называемых теоремой Гаусса: Теорема Гаусса (закон Гаусса) в электростатике и электродинамике и общая формулировка ее формальной части Теорема Гаусса Остроградского в векторном анализе. Теорема Гаусса Ванцеля о… …   Википедия

• Магнитный закон Гаусса — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона …   Википедия

• Остроградский, Михаил Васильевич — профессор математики, ординарный академик Императорской Академии Наук. М. В. Остроградский родился 12 сентября 1801 года в принадлежавшей его отцу деревне Пашенной, Кобелякского уезда, Полтавской губернии, где и провел свои детские годы.… …   Большая биографическая энциклопедия

• СТОКСА ТЕОРЕМА — обобщение Стокса формулы, утверждениео равенстве интеграла от внеш. дифференциала dw дифференциальной формы поориентированному компактному многообразию М интегралу от самой формыпо ориентированному (согласованно с ориентацией многообразия М )краю …   Физическая энциклопедия

Формула Остроградского-Гаусса

Доказательство.

\(\circ\) Докажем сначала формулу Остроградского Гаусса в одном важном частном случае, когда область \(G\) еще и элементарна относительно всех трех координатных осей.{\psi(x, y)}\frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dz =\\=\iint\limits_{\Omega} R(x, y, \psi(x, y))\ dx\ dy-\iint\limits_{\Omega} R(x, y, \varphi(x, y))\ dx\ dy =\\= \iint\limits_{\Sigma_{1}} R(x, y, z)\ dx\ dy+\iint\limits_{\Sigma_{2}} R(x, y, z)\ dx\ dy.\label{ref3}
$$

Здесь \(\Sigma_{1}\) — поверхность, являющаяся графиком функции \(\psi(x, y)\), a \(\Sigma_{2}\) — поверхность, являющаяся графиком функции \(\varphi(x, y)\).

Мы воспользовались выражением поверхностного интеграла второго рода через двойной интеграл и тем, что поверхность \(\Sigma_{1}\) ориентирована внешними к \(\partial G\) нормалями, которые составляют с осью \(z\) острый угол, а на поверхности \(\Sigma_{2}\) внешние к \(\partial G\) нормали составляют с осью \(z\) тупой угол (рис. 56.1). Добавляя к двум поверхностным интегралам в формуле \eqref{ref3} еще равный нулю интеграл \(\displaystyle\iint\limits_{\Sigma_{3}}R\ dx\ dy\) по куску цилиндрической поверхности, построенной на \(\partial G\), и замечая, что \(\partial G = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{3}\Sigma_{i}\), получаем
$$
\iiint\limits_{G} \frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} R\ dx\ dy.\label{ref4}
$$

Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относительно осей \(x\) и \(y\), докажем, что
$$
\iiint\limits_{G} \frac{\partial P}{\partial x} dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} P\ dy\ dz,\quad \iiint\limits_{G} \frac{\partial Q}{\partial y} dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} Q\ dz\ dx.\label{ref5}
$$
Складывая равенства \eqref{ref4} и \eqref{ref5}, получим формулу \eqref{ref2}.

Примерами областей, элементарных относительно всех трех координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получающаяся при пересечении четырех полупространств (рис. 56.2)).

Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины симплекса, треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) и \(BCD\) — грани симплекса.

Дальнейшая схема последовательного расширения класса областей, для которых справедлива формула \eqref{ref2}, такая же, как и при доказательстве формулы Грина на плоскости.

Будем называть область \(G\) объемно односвязной, если для любой ограниченной области \(\Omega\) из условия \(\partial \Omega \subset G\) следует, что и \(\Omega \subset G\).{3}\), являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая грань может быть общей не более чем для двух симплексов.

Предельный переход от многогранников к произвольной односвязной области с кусочно гладкой границей требует преодоления некоторых нетривиальных технических трудностей. \(\bullet\)

Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

В координатной форме. Рассмотрим тело (V) в пространстве с ограничивающей поверхностью (S).

Рассмотрим некую функцию R(x,y,z), заданную в области (V) и на границе, непрерывную в этой области и на границе вместе со своими частными производными первого порядка. Рассмотрим интеграл . Спроецируем тело на областьD. Возьмём точку (x,y).

Сделаем то же самое, но с проекцией на оси y и z.

Теперь спроектируем на оси x и z.

Складывая эти формулы, получаем формулу Остроградского-Гаусса: . Формула сводит интеграл от объёма к интегралу по границе.

Если иилииилии, тогда. А если,и, то:.

В общем виде теорема звучит так. Пусть в замкнутой ограниченной области (V) заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные на (V) вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место следующее тождество: .

Запись формулы в векторном виде. Пусть . В обычном виде формула выглядит так:

Левую часть можно записать так: ,,. Следовательно:, так как. Мы получилипоток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно записать как дивергенцию (расходимость): . В итогеформула Гаусса-Остроградского в векторном виде: . Читается так: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму от его дивергенции.

Дивергенцией векторного поля A в точке MÎV называется производная функции по объему в этой точке:.

14. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

. {ф. Грина}=

=

. Аналогично c,c.

Теорема: Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:

. (Формула Стокса).

.

Инвариантная запись формулы Стокса: Используя выражение для в ортогональном базисе ,:

. Укажем на поверхности S определенную сторону, т.е. укажем непрерывное поле единичных нормалей . Используя стандартное обозначениеcosx, cosy, cosдля координат единичного вектора нормалик поверхностиS получим: . Из соотношения видно, левая часть формулы Стокса может быть записана в виде. Скалярное произведение:и элемент площадиповерхности S не зависят от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, и при переходе к новому ортогональному базису’,левая часть формулы не изменит своего значения и формы –инвариантна.

Рассмотрим . Пусть– единичный вектор касательной в точках границы L поверхности S, cosa, cosb, cos– координаты этого вектора.,. Т.о– циркуляция векторного поля p по кривой L. —инвариант. Получаем =.

15. Условия того, что криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования.

Следствие из теоремы Стокса: Необходимым условием того, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, является условие:,,.

16. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.

Пусть D – область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в D задано скалярное поле, если каждой точке области D ставится в соответствие некая функция U(M).

Определение по-другому. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки , гдеM(x,y,z) – точка пространства, – её радиус-вектор.

Определение градиента. Градиентом скалярной функции u(M), определенной и дифф в некоторой области D, называется вектор .. Знак — этовектор Набла.

(– единичный вектор с координатами:).

Из последнего выражения видно, что максимально, когдасовпадает с направлением градиента. Следовательно, градиент показывает направление наибольшего изменения скорости функции.

Градиент скалярного поля – вектор.

Свойства градиента:

Гаусса Остроградского формула — Справочник химика 21

    В дальнейшем будет использована формула Гаусса — Остроградского в виде [c.19]

    Применяя формулу Гаусса—Остроградского [c.234]

    Формула (4.76) находится с помощью формулы Гаусса — Остроградского для тензорных нолей с использованием свойств симметрии тензоров Яда и е  [c.168]

    Для вычисления коэффициента В g) воспользуемся следующим приемом. Умножим правую и левую части формулы (18) на плотность пара р11 2 на границе с зародышем и преобразуем, воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, поверхностный интеграл по в в интеграл по объему, занятому газом  [c.153]

    На основании формулы Гаусса — Остроградского можно написать уравнение  [c.172]

    Между потоком вектора на замкнутую поверхность / ограничивающую обьем F, и дивергенцией (расходимостью) вектора существует связь, выражаемая формулой Гаусса — Остроградского  [c.381]

    Следующее предложение можно рассматривать как частный случай формулы Гаусса — Остроградского для конических областей ЙЗ ([О, Т] X Я ) и меры йх X л на них, поскольку оно связывает интегралы по D со значениями функций на боковых поверхностях 8(. [c.578]

    По формуле Гаусса — Остроградского [c.334]

    Интегральным соотношениям (1.1.9) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения импульсов каждой составляющей [c.20]

    Интегральным соотношениям (1.1.19) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения энергии составляющих [c.22]

    Из (1.1.25) после использования формулы Гаусса — Остроградского с учетом (1.1.6) следует выражение для субстанциональной производной ВФ/ВЬ через частные производные по времени и координатам или субстанциональные производные [c.23]

    Выведем дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса. Если внутри объема V нет разрывов, то справедлива формула Остроградского — Гаусса [c.20]

    Уравнения сохранения массы в дифференциальной форме для г-й й несущей фаз получаются на основании применения формулы Остроградского — Гаусса к интегральным уравнениям (. 3) и (1.6)  [c.20]

    В результате применения формулы Остроградского —Гаусса уравнение сохранения импульса для несущей фазы преобразуется к виду [c.21]

    Применяя формулу Остроградского — Гаусса к выражению (2.204), получим [c.201]

    Используя формулу Остроградского-Гаусса [c.98]

    Но по формуле Остроградского—Гаусса между интегралами по поверхности и по объему существует связь  [c.55]

    Интенсивность прохождения вещества А через поверхность за счет конвекции прн скорости для жидкой массы в соответствии с формулой Остроградского — Гаусса (см. стр. 226) будет  [c.369]

    Это уравнение легко преобразуется в дифференциальное уравнение диффузии с помощью формулы Остроградского — Гаусса. 

    Дифференциальные уравнения, описывающие изменение количества движения газа и твердых частиц, получим из соотношений (1.2-16) и (1.2-17) после применения формулы Остроградского— Гаусса. Они будут иметь вид  [c.15]

    Дифференциальные уравнения движения получаются из этой системы следующим образом все интегралы по поверхности преобразуются в интегралы по объему с помощью формулы Остроградского-Гаусса в силу [c.10]

    Если Р — площадь граничной поверхности контрольного объема V, то, применяя формулу Остроградского—Гаусса, получаем 

    Применение формулы Остроградского — Гаусса к входящему в (1) интегралу по поверхности дает [c.30]

    Обратный переход от уравнения (4.53) к задаче (4.45), (4,46) проводится с пснользованпом предположения о существовании вторых производных решения уравнения (4,53), формулы Гаусса — Остроградского и основной леммы варнацнонного исчисления. [c.166]

    Преобразуя интеграл правой части уравнения по формуле Гаусса-Остроградского, имеем  [c.57]

    Выведем одну формулу для среднего числа Шервуда, которая понадобится далее. Для этого проинтегрируем уравнение (6.1) по объему капли V = (г Гд с последующим переходом по формуле Остроградского — Гаусса к поверхностному интегралу (по г = Гд) с учетом того, что в силу несжимаемости жидкости (div v = 0) конвективный член может быть записан в дивергентном виде (г>-V) =div (w). Кроме того, используем условие ненро-текания жидкости через поверхность капли (vn)r=rs = 0. В результате получим 

    Преобразуя равенство (1.5) по формуле Остроградского — Гаусса [31, получим  [c.10]

    Для стационарных процессов первый интеграл в левой части (4.18а) равен нулю. Преобразуя по формуле Остроградского—Гаусса оставшиеся интегралы в поверхностные, получаем 

    Если тепфь воспользоваться формулой Остроградского — Гаусса [c.159]

    Аналогичным образом могут быть получены постановки сопряженных краевых задач и формулы для градиентов невязки применительно к другим экстремальным постановкам обратных задач. Для этого, следуя известной процедуре решения задач на условный экстремум, составляется расширенный функционал, учитывающий невязку и (с помощью неопределенных множителей Лагранжа) условия математической модели в виде дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий, условий сопряжения. Для расширенного функционала вычисляется главная линейная часть приращения, отвечающая вариациям исходных величин и, соответственно, вариациям переменных состояния. Полученная вариация функционала преобразуется с помощью операции, интегрирования по частям, а для многомерных областей с использова нием формулы Остроградского-Гаусса таким образом, чтобы выражения под знаками интегралов по областям задания уравнений не содержали частных производных от приращений переменных состояния. Затем, согласно необходимому условию стационарности расширенного функционала, его вариация приравнивается нулю. Учитывая произвольный характер приращений переменных состояния, приравниваются нулю коэффициенты при соответствующих приращениях. Получившиеся равенства представляют собой условия для определения множителей Лагранжа, которыми в зависимости от учитываемого условия математической модели могут быть функции и константы. Совокупность этих равенств и дает искомую постановку сопряженной краевой задачи. [c.188]

    Рассмотрим теперь начальную стадию процесса, соответствующую малым значениям безразмерного времени. Проинтегрируем уравнение (4.2.1) по объему, занятому телом v. Учитывая тождество АТ = div (gradT), с помощью формулы Остроградского — Гаусса перейдем в правой части полученного выражения от объемного интеграла к поверхностному. В результате имеем [c.140]

Теорема остроградского — гаусса — справочник студента

Формула Остроградського-Гауса применяют для преобразования объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), превращения объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), и наоборот: Другое приложение формулы это вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность с помощью интеграла от дивергенции этого поля по объему, что ограничен этой поверхностью. Дальше будут приведены примеры перехода от двойного к тройному интегралу, расстановки пределов и вычисления объемных интегралов.

Пример 1 Используя формулу Остроградського-Гауса, превратить поверхностный интеграл если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Решение: Поверхностный интеграл 2-го рода сводится к тройному интегралу с помощью формулы Остроградського-Гауса: где P, Q, R выписываем из заданного интеграла 

Далее повторно вычисляем производные, чтобы получить направляющие косинусы в направлении каждой из осей

• Можем перейти от двойного интеграла к тройному здесь обозначили Δu — дельта оператор Лапласа На этом все объяснения к первому примеру.
• Пример 2 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
• Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к трехмерному интегралу, используя формулы Гауса-Остроградського:
• где P=P(x, y, z)=x3, P=P(x, y, z)=y3, P=P(x, y, z)=z3 берем из условия. Вычисляем вторые производные по «икс, игрек, зет»
• Значительное количество ждет при необходимости расставить пределы интегрирования и найти тройной интеграл.
• Пример 3 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
• Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к тройному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського :
• где P=P(x, y, z)=yz, Q=Q(x, y, z)=xz, R=R(x, y, z)=xy. Частичные производные второго порядка от P, Q, R Поэтому тройной интеграл равен нулю
• Пример 4 Используя формулу Гауса-Остроградського, вычислить поверхностный интеграл int[x3dydz+y3dzdx+z3dxdy, S] где S- внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2.

Записываем формулу перехода от двойного интеграла к тройному   На этом примере Вы видите, что сам переход между кратными и тройными интегралами найти не трудно.

Решение: Поверхностный интеграл ІІ рода сводим к трехкратному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: Выписываем P=P(x, y, z)=x3, Q=Q(x, y, z)=y3, R=R(x, y, z)=z3.

Тогда частичные производные от P, Q, R равны Область S ограничивает сфера V уравнением: x2+y2+z2=a2.

В декартовой системе координат вычислять тройной интеграл когда объем ограничен сферой нецелесообразно, поскольку будем иметь корневые функции в пределах интеграла. Поэтому всюду перейдем к сферической системе координат:

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

1. Находим частичные производные первого порядка по углам от параметризующих координат
2. Дополнительно необходимо найти якобиан перехода:
3. Он служит дополнительным множителем в интеграле. Вычислим подынтегральное выражение в новых координатах:
4. Дальше используя формулу Остроградського-Гауса находим поверхностный интеграл второго рода: Внимательно пересмотрите как раскрывали внутренние интегралы в тройном.
5. Пример 5 Используя формулу Гаусса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
6. Решение: Имеем поверхностный интеграл ІІ рода
7. Сведем к объемному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: 
8. В соответствии с условием функции P, Q, R принимают значение
9. Вычисляем частичные производные второго порядка за переменными x, y, z
10. Подставляем и сводим интегрирование по площади на интегрирование по объему

На сайте размещены сотни развязанных примеров из интегрирования, которые охватывают весь курс из интегралов. Все что нужно для учебы Вы можете пересмотреть в категории интегрирования!

Источник: https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/perekhod-ot-poverkhnostnogo-integrala-ii-roda-k-trojnomu-formula-gaussa-ostrogradskogo.html

Теорема и формула Остроградского — Гаусса :: SYL.ru

М.В. Остроградский — российский математик и физик времен Российской империи, академик. Внес огромный вклад в развитие математического анализа, теории вероятностей, механики (раздела физики), теории чисел. В 1826 году вывел формулу, называемую сейчас формулой Остроградского — Гаусса.

История открытия

Впервые формула Остроградского — Гаусса была упомянута Жозефом Лагранжем в 1762 году.

Далее основной способ приведения тройного интеграла к поверхностному был доказан Карлом Гауссом , который использовал в качестве основы для доказательства решение проблем в электродинамике. Произошло это в первой половине XIX века.

Далее формула в общем виде была представлена Михаилом Остроградским. С ее помощью стало возможно выразить значение дифференциала по параметру от N-кратного интеграла.

Смысл формулы Остроградского

Формула Остроградского-Гаусса соотносит тройной интеграл по пространственному объему с интегралом по поверхности на его грани. Она является аналогом формулы Грина, которая соотносит двойной интеграл по плоскости с криволинейным по ее границам.

Вывод формулы

Формула Остроградского — Гаусса: вывод. Допустим, что в области W определена подынтегральная функция R (x, y, z), которая является определенной и непрерывной. Аналогичной является и ее производная во всей области W, включая ее границу. В таком виде известна сейчас теорема Остроградского — Гаусса (формула приведена ниже).

• Причем S — поверхность, которая ограничивает тело, а интеграл справа распространен на ее внешнюю сторону.
• И абсолютно верно,

1. Если аналогично брать во внимание и интегралы по поверхности, то

• при этом справа находится сумма двух интегралов — первый из них соотносится с верхней частью поверхности (S2), а второй — с нижней частью поверхности (S1). Если приписать к данному равенству справа интеграл, указанный ниже, то его справедливость не будет нарушена:

1. Он соотносится с внешней частью поверхности S3 по причине равенства нулю.
2. Если объединить все три вышеуказанных интеграла в один, будет получен частный случай формулы Остроградского.
3. Несложно осознать, что данная формула верна для более широкого класса тел и справедлива так же для фигур, ограниченных абсолютно любыми нелинейными поверхностями.
4. Аналогично справедливы и следующие формулы:

если функции Q и P непрерывны в области вместе со своими производными dP/dx и dQ/dy.

Если сложить оба равенства, будет получено выражение формулы Остроградского. Она отображает интеграл по поверхности, соотнесенный с внешней частью поверхности, через тройной интеграл, который берется по самому телу, границей которого является вышеуказанная поверхность.

Следует понимать, что формулы Грина, Стокса и Остроградского выражают интеграл, связанный с некоторым геометрическим телом, через интеграл, который берется на его границе. Формула Грина используется только в случае двумерности пространства, формула Стокса — к искривленному двумерному пространству.

Формулу Ньютона-Лейбница можно также рассматривать как некоторый аналог этих формул, но для одномерного пространства.

Применение данной формулы

Пусть в какой-либо незамкнутой области пространства заданы непрерывные функции A, B и C. Взяв любую замкнутую поверхность, находящуюся в данной области и ограничивающую некоторое тело, можно рассмотреть следующий интеграл по поверхности:

Необходимо найти такие значения A, B и C, чтобы при любых x, y и z данный интеграл оказывался равен нулю.

Для этого необходимо использовать формулу Остроградского-Гаусса. Одним из подразумеваемых условий является определенность и непрерывность функций A, B и C и их производных.

Так же требуется специально ввести наиболее данное для данного случая ограничение: и тело, и ограничивающая его поверхность должны содержаться одновременно в конкретной и указанной области, называемую односвязной. Основная его особенность заключается в отсутствии пустого пространства (в том числе и точечного). Таким образом, границей тела будет являться одна и при том единственная поверхность.

После применения формулы возможно получение следующего условия, которое является достаточным:

• Чтобы доказать, что условие является так же и необходимым, достаточно воспользоваться дифференцированием тройного интеграла.
• В заключении необходимо сказать об областях использования.

Как же применяется на практике формула Остроградского-Гаусса? Примеры использования можно обнаружить в самых разных сферах: для вывода некоторых формул в физике (например, уравнение диффузии), преобразования интегралов, вычисления интегралов Гаусса, доказательства некоторых формул и многого иного.

Источник: https://www.syl.ru/article/303849/teorema-i-formula-ostrogradskogo—gaussa

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса одна из важнейших для практики теорем электродинамики. Доказанная в ней формула устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и источниками этого поля, находящимися в объёме, ограниченном этой поверхностью.

Краткая история. Теорема сформулирована французским математиком Лагранжем в 1762 году. Применительно к электрическому полю теорему доказал российский математик и механик Остроградский Михаил Васильевич в 1826 году, а в 1831 году опубликовал результаты, представив формулу в дифференциальной форме.

Доказанная им теорема получила название основной теоремы электростатики в дифференциальной форме.

Примерно одновременно с этим немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс разработал общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному на примере решения задач электродинамики, а затем в 1839 году получил результат в интегральной форме и опубликовал его.

Суть теоремы. Полное векторное поле в любой точке является векторной суммой (интегралом) вкладов всех источников. Однако, за исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму, как поверхностный интеграл крайне сложно. Тогда как, пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, удается рассчитать гораздо проще и изящнее.

Приведем формулу Остроградского-Гаусса без доказательств, поскольку это задача интересна только математикам.

Формулировка задачи. Пусть в некоторой области трехмерного пространства V, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S, задано непрерывно-дифференцируемого векторное поле . Тогда, как установлено ранее, поток векторного поля  через внешнюю сторону замкнутой поверхности S равен поверхностному интегралу первого рода по поверхности S от скалярного произведения вектора нормали к этой поверхности и вектора-функции поля.

Формула Остроградского-Гаусса позволяет математически выразить поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность более простым интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула Остроградского-Гаусса в инвариантной и координатной форме соответственно имеет следующий вид:

Из этих выражений становится понятным, почему теорему Остроградского-Гаусса иногда называют терему о дивергенции.

Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема. Произведение дает мощность источников в элементарном объеме dV, поэтому полная мощность источников поля в объеме V определяется объемным интегралом в правой части формулы (17) или (18). Поток через замкнутую поверхность состоит из суммы входящего и выходящего потоков (точнее из разности выходящего и входящего из-за противоположных направлений нормалей к S). Итоговый поток будет положительным, если в объеме преобладают источники поля, и отрицательным, если преобладают «стоки». Следовательно, выходящий наружу поток равен интегральной мощности источников в объеме V.

Таким образом, формула (23) позволяет свести задачу вычисления поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности S к более простой: вычислению тройного интеграла по области V.

Основная ценность теоремы в области электродинамики состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядами и полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем, т.е. для замкнутых полупространств с границей.

Теорема Кельвина-Стокса

Другой не менее важной теоремой электродинамики является теорема Кельвина-Стокса, которую применительно к электродинамики часто, не совсем заслужено, называют теоремой Стокса.

Данная теорема в обобщенном виде называется теоремой об интегрировании дифференциальных форм.

В частотном случае теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Историческая справка. Формула, устанавливающая данную взаимосвязь, была получена в 1949 году британским математиком и физиком Уильямом Томсоном лордом Кельвин.

Тогда как, английским математиком, механиком и физиком-теоретиком ирландского происхождения Джорджем Стоксом она использовалась в качестве задачи на олимпиадах, проводимых в Кембриджском университете, а также была включена в обобщенную теорему в качестве частного случая.

Стоит отметить, что главный приз за 1854 год достался 23-летнему английскому математику Джеймсу Максвеллу, который в последствие заложил основы электродинамики (уравнения Максвелла). Есть основания считать, что оно справился с этой теоремой.

Вместе с тем, первое доказательство формулы Стокса было опубликовано только в 1861 году немецким математиком Германом Ганкелем.

Теорема Кельвина-Стокса позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Формулировка теоремы: Циркуляция векторного поля  по замкнутому положительно ориентированному контуру L (т.е. направление нормали выбрано) равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся (натянутую) на данный контур.

Формула Кельвина-Стокса в инвариантной и координатной форме соответственно имеет следующий вид:

Для доказательства теоремы рассмотрим контур ABCA с охватываемой им площадью S (см. рис. 6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации AB0A, A0CA, BC0B, площадь которых равна dS.

Рис. 6 – Пояснение к криволинейному интегрированию

Для вычисления интеграла по контуру ABCA, воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла второго рода, и представим интеграл по замкнутому контуру ABCA в виде суммы интегралов по контурам AB0A, BC0B и CA0C, лежащим в координатных плоскостях (см. рис. 6).

Легко убедиться что это действительно так, поскольку отрезки А0, В0 и С0 вносят нулевой вклад в суммарную циркуляцию, т.к.

интегрирование по ним производится дважды, по в противоположных направлениях, следовательно циркуляция всех этих внутренних участков взаимно компенсируется.

Некомпенсированными остаются только внешние участки принадлежащие контуру АВСА (контуру L в общем виде), что в итоге и дает формулу Кельвина-Стокса.

Формулы (19) и (20) позволяют свести вычисление более сложного криволинейного интеграла второго рода к вычислению более простого двойного интеграла по поверхности S.

Доказательство формулы Кельвина-Стокса, строго подтверждает критерий потенциальности полей, согласно которому необходимым и достаточным условием (критерием) того, что векторное поле является потенциальным, оказывается тождественное равенство нулю его ротора.

Частным случаем теоремы Кельвина-Стокса является теорема Грина, устанавливающая связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по односвязной области, ограниченной этим контуром. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Формула Кельвина-Стокса находит широкое применение в гидро- и аэродинамике, электродинамике и т.д.

• Заключение
• Итак, в ходе лекции рассмотрены дифференциальные операции в скалярных и векторных полях, раскрыта сущность таких дифференциальных операторов, как градиент, лапласиан, дивергенция и ротор, приведен их физический смысл.
• Векторные операторы ротор и дивергенция наиболее часто применяются для векторных полей, тогда как градиент и лапласиан – для скалярных полей.
• Приведённая ниже таблица содержит все данные, относящиеся к дифференциальным операциям над векторными и скалярными полями.
• Рассмотернные в лекции основные теоерем электродинамики Остроградского-Гаусса и Кельвина-Стокса имеют большую практическую значимость, поскольку сводят сложные задачи вычисления соответственно поверхностного интеграла и криволинейного интегралов второго рода к вычислению более простых интегралов.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 691;

Источник: https://studopedia.net/5_51682_teorema-ostrogradskogo-gaussa.html

ПОИСК

    Формула Гаусса-Остроградского позволяет преобразовать интеграл по замкнутой поверхности X в интеграл по объему V, ограниченному этой поверхностью. Если величина а-вектор с компонентами д1,а2,аз , то эта формула примет вид [c.410]

    В дальнейшем будет использована формула Гаусса — Остроградского в виде [c.19]

    Применяя формулу Гаусса—Остроградского [c.234]

    Формула (4.76) находится с помощью формулы Гаусса — Остроградского для тензорных нолей с использованием свойств симметрии тензоров Яда и е  [c.168]

    Уравнения сохранения массы целевого компонента и энергии получаются на основании применения формулы Гаусса — Остроградского к интегральным уравнениям (1.137) и (1.138) при Av ->0  [c.77]

    Для вычисления коэффициента В g) воспользуемся следующим приемом. Умножим правую и левую части формулы (18) на плотность пара р11 2 на границе с зародышем и преобразуем, воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, поверхностный интеграл по в в интеграл по объему, занятому газом  [c.153]

    На основании формулы Гаусса — Остроградского можно написать уравнение  [c.172]

    Между потоком вектора на замкнутую поверхность / ограничивающую обьем F, и дивергенцией (расходимостью) вектора существует связь, выражаемая формулой Гаусса — Остроградского  [c.381]

    Следующее предложение можно рассматривать как частный случай формулы Гаусса — Остроградского для конических областей ЙЗ ([О, Т] X Я ) и меры йх X л на них, поскольку оно связывает интегралы по D со значениями функций на боковых поверхностях 8(. [c.578]

    По формуле Гаусса — Остроградского [c.334]

    Интегральным соотношениям (1.1.9) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения импульсов каждой составляющей [c.20]

    Интегральным соотношениям (1.1.19) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения энергии составляющих [c.22]

    Из (1.1.25) после использования формулы Гаусса — Остроградского с учетом (1.1.6) следует выражение для субстанциональной производной ВФ/ВЬ через частные производные по времени и координатам или субстанциональные производные [c.23]

    Выведем дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса. Если внутри объема V нет разрывов, то справедлива формула Остроградского — Гаусса [c.20]

    Уравнения сохранения массы в дифференциальной форме для г-й й несущей фаз получаются на основании применения формулы Остроградского — Гаусса к интегральным уравнениям (. 3) и (1.6)  [c.20]

    В результате применения формулы Остроградского —Гаусса уравнение сохранения импульса для несущей фазы преобразуется к виду [c.21]

    Применяя формулу Остроградского — Гаусса к выражению (2.204), получим [c.201]

    Используя формулу Остроградского-Гаусса [c.98]

    Но по формуле Остроградского—Гаусса между интегралами по поверхности и по объему существует связь  [c.55]

    Интенсивность прохождения вещества А через поверхность за счет конвекции прн скорости для жидкой массы в соответствии с формулой Остроградского — Гаусса (см. стр. 226) будет  [c.369]

    Это уравнение легко преобразуется в дифференциальное уравнение диффузии с помощью формулы Остроградского — Гаусса. [c.25]

    Дифференциальные уравнения, описывающие изменение количества движения газа и твердых частиц, получим из соотношений (1.2-16) и (1.2-17) после применения формулы Остроградского— Гаусса. Они будут иметь вид  [c.15]

•     Напомним, что для векторного поля А(х, у, 2)==1Аж+ — — Ay- -VAz справедлива формула Остроградского — Гаусса [c.13]
•     Дифференциальные уравнения движения получаются из этой системы следующим образом все интегралы по поверхности преобразуются в интегралы по объему с помощью формулы Остроградского-Гаусса в силу [c.10]
•     Если Р — площадь граничной поверхности контрольного объема V, то, применяя формулу Остроградского—Гаусса, получаем [c.130]
•     Применение формулы Остроградского — Гаусса к входящему в (1) интегралу по поверхности дает [c.30]

    Обратный переход от уравнения (4.53) к задаче (4.45), (4,46) проводится с пснользованпом предположения о существовании вторых производных решения уравнения (4,53), формулы Гаусса — Остроградского и основной леммы варнацнонного исчисления. [c.166]

    Преобразуя интеграл правой части уравнения по формуле Гаусса-Остроградского, имеем  [c.57]

    Выведем одну формулу для среднего числа Шервуда, которая понадобится далее. Для этого проинтегрируем уравнение (6.

1) по объему капли V = (г Гд с последующим переходом по формуле Остроградского — Гаусса к поверхностному интегралу (по г = Гд) с учетом того, что в силу несжимаемости жидкости (div v = 0) конвективный член может быть записан в дивергентном виде (г>-V) =div (w).

Кроме того, используем условие ненро-текания жидкости через поверхность капли (vn)r=rs = 0. В результате получим [c.197]

    Преобразуя равенство (1.5) по формуле Остроградского — Гаусса [31, получим  [c.10]

    Для стационарных процессов первый интеграл в левой части (4.18а) равен нулю. Преобразуя по формуле Остроградского—Гаусса оставшиеся интегралы в поверхностные, получаем [c.138]

    Если тепфь воспользоваться формулой Остроградского — Гаусса [c.159]

    Аналогичным образом могут быть получены постановки сопряженных краевых задач и формулы для градиентов невязки применительно к другим экстремальным постановкам обратных задач.

Для этого, следуя известной процедуре решения задач на условный экстремум, составляется расширенный функционал, учитывающий невязку и (с помощью неопределенных множителей Лагранжа) условия математической модели в виде дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий, условий сопряжения.

Для расширенного функционала вычисляется главная линейная часть приращения, отвечающая вариациям исходных величин и, соответственно, вариациям переменных состояния.

Полученная вариация функционала преобразуется с помощью операции, интегрирования по частям, а для многомерных областей с использова нием формулы Остроградского-Гаусса таким образом, чтобы выражения под знаками интегралов по областям задания уравнений не содержали частных производных от приращений переменных состояния.

Затем, согласно необходимому условию стационарности расширенного функционала, его вариация приравнивается нулю. Учитывая произвольный характер приращений переменных состояния, приравниваются нулю коэффициенты при соответствующих приращениях. Получившиеся равенства представляют собой условия для определения множителей Лагранжа, которыми в зависимости от учитываемого условия математической модели могут быть функции и константы. Совокупность этих равенств и дает искомую постановку сопряженной краевой задачи. [c.188]

    Рассмотрим теперь начальную стадию процесса, соответствующую малым значениям безразмерного времени. Проинтегрируем уравнение (4.2.1) по объему, занятому телом v. Учитывая тождество АТ = div (gradT), с помощью формулы Остроградского — Гаусса перейдем в правой части полученного выражения от объемного интеграла к поверхностному. В результате имеем [c.140]

Источник: https://www.chem21.info/info/145971/

Теорема Остроградского — Гаусса

Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского — Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского — Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

где $dq$ — заряд, который можно считать точечным, $dV$ — малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

Теорема Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского — Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ — дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ — оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) — дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

Выражение (10) — теорема Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Пример 1

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b.3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Формула Гаусса-Остроградского – В помощь студентам БНТУ – курсовые, рефераты, лабораторные !

Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1, заданную уравнением    z = f1(x, y), S2 ( z = f2 (x, y) ) и S3 – цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-ной оси Oz (рис.1).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1

cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением  dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

                                        Дивергенция векторного поля.   

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 15.1. Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (15.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой – поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:

   Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (15.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

                                                    Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:

так как

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

                                             Ротор векторного поля.

Определение 15.2. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.

Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.

Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:

Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.

(PDF) Теорема о расходимости (Гаусса-Остроградского)

Пусть — гладкое (дифференцируемое) трехкомпонентное векторное поле в трехмерном пространстве и

— его дивергенция, тогда интеграл дивергенции поля по произвольному трехмерному объему равен интеграл по поверхности

, само поле, проецируемое на векторное поле единичной длины, всегда перпендикулярное поверхности и направленное за пределы поверхности, которая содержит этот объем или, иначе,

, внутренние значения дивергенции поля практически не вносят вклад в интеграл по том i.е.

где и заворачивает.

Мы можем аппроксимировать интеграл расходимости по объему конечной суммой, плотно разделив пространство внутри объема на маленькие кубики с ребрами

и углами, а также аппроксимировав три производные координат их разностными частными. Мы сохраним имена координат ребер

для удобства, даже если они равны. Получаем

Давайте сосредоточимся на единственном вкладе в эту сумму, связанном с производной по выбранной координате, например i.е. например

. Для фиксированного мы имеем

. Обратите внимание, что из-за чередования знаков подавляющее большинство членов в правой сумме исчезают, и мы имеем

, которое сокращается только до двух членов, или

, где граница и первая координата явно зависят от выбор и таковы, что эти точки являются замкнутыми к поверхности

, содержащей объем.

Также обратите внимание, что while является бесконечно малым (маленьким) элементом поверхности, параллельным плоскости, а для объединенного вектора перпендикулярно ей

, и поэтому для второй точки правая часть приближается к росту поверхностного интеграла i. .е.

,

,

Повторяя оценку для двух других измерений и возвращаясь к исходной сумме, мы получаем

, поэтому правая часть представляет собой приблизительный поверхностный интеграл (сумма по поверхностям кубиков, ближайших к поверхности) само поле проецируется на внешнее единичное векторное поле

, что доказывает это, т.е.

.

Получено с https://en.wikiversity.org/w/index.php?title=Divergence_(Gauss-Ostrogradsky)_theorem&oldid=1925383 «

Последний раз эта страница была отредактирована 29 сентября 2018 в 22:31.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; могут применяться дополнительные условия. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с Условиями использования и Политикой конфиденциальности

.

Доказательство

Закон Гаусса для магнитных полей — электромагнитная геофизика

Рис. 35 Если стержневой магнит разрезать пополам, вы получите два стержневых магнита.

Закон Гаусса для магнетизма гласит, что магнитных монополей не существует и что полный поток через замкнутую поверхность должен быть равен нулю.Эта страница описывает интегральные и дифференциальные формы закона Гаусса для магнетизма и как можно вывести закон. Также приводится уравнение для частотной области. В В конце страницы краткая история закона Гаусса для магнетизма предоставлена.

Интегральное уравнение

Закон Гаусса для магнитных полей в интегральной форме имеет вид:

где:

Уравнение утверждает, что нет чистого магнитного потока \ (\ mathbf {b} \) (которое можно представить как количество силовых линий магнитного поля, проходящих через площадь), проходящую через произвольную замкнутую поверхность \ (S \).Это означает количество силовых линий магнитного поля, которые входят и выходят через этот замкнутый поверхность \ (S \) такая же. Это объясняется концепцией магнита. у которого есть северный и южный полюс, где сила северного полюса равной силе южного полюса (рис. 35). Это эквивалентно утверждению, что магнитный монополь, имея в виду одинокий север или южного полюса не существует, потому что для каждого положительного магнитного полюса существует должно быть равное количество отрицательных магнитных полюсов.

Дифференциальное уравнение

Закон Гаусса для магнитных полей в дифференциальной форме может быть получен с использованием теорема расходимости.Теорема о расходимости утверждает:

\ [\ int_V (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {f}) dv = \ oint_S \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {da}, \]

где \ (\ mathbf {f} \) — вектор. Правая часть выглядит очень похоже уравнению (48). Используя теорему о расходимости, Уравнение (48) переписывается следующим образом:

Поскольку выражение установлено в ноль, подынтегральное выражение \ ((\ nabla \ cdot \ mathbf {b}) \) также должен быть равен нулю.2}, \]

где:

• \ (\ mathbf {b} (\ mathbf {r}) \) — магнитный поток в точке \ (\ mathbf {r} \)

• \ (\ mathbf {j} (\ mathbf {r ‘}) \) — плотность тока в точке \ (\ mathbf {r’} \)

• \ (\ mu_0 \) — магнитная проницаемость свободного пространства.

Взяв расхождение обеих частей уравнения (51), получаем:

\ [\ nabla \ cdot \ mathbf {b} (\ mathbf {r}) = 0, \]

, который является законом Гаусса для магнетизма в дифференциальной форме.

Дифференциальное уравнение в частотной области

Уравнение также можно записать в частотной области как:

Первооткрыватели закона

Закон Гаусса для магнетизма является физическим приложением теоремы Гаусса (также известная как теорема расходимости) в исчислении, которая была независимо открыт Лагранжем в 1762 г., Гауссом в 1813 г., Остроградским в 1826 г. и Зеленым в 1828 году. Закон Гаусса для магнетизма просто описывает одно физическое явление что магнитного монополя на самом деле не существует. Так что этот закон еще называют «Отсутствие свободных магнитных полюсов».

Люди давно замечали, что когда стержневой магнит делится на два штук, создаются два небольших магнита с их собственными южным и северным полюсами. Это можно объяснить законом движения Ампера: стержневой магнит состоит из множество круговых токовых колец, каждое из которых по существу является магнитным диполем; макроскопический магнетизм происходит от выравнивания микроскопического магнитного диполи. Поскольку небольшое токовое кольцо всегда генерирует эквивалентный магнитный диполь, нет никакого способа произвести свободный магнитный заряд.Пока нет магнитный монополь был обнаружен экспериментально, несмотря на то, что многие теоретики считают, что магнитный монополь существует, и все еще ищут его.

Однако, как указал Пьер Кюри в 1894 году, магнитные монополи могут существовать. возможно. Представляя фиктивные магнитные заряды Максвеллу уравнения могут дать закон Гаусса для магнетизма такой же вид, как и закон Гаусса закон для электричества, и математика может стать симметричной.

Интеграл в замкнутом контуре, формула Грина, примеры.Формулы Грина, Стокса, Остоградского-Гаусса Примеры решения формул Грина Остоградского

(в связи с непрерывностью функции P). Получили формулу (5). Формула (6) получается аналогично.

Докажем, что из.

Приведена формула

dF (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy.

Очевидно, = P (x, y). Тогда

По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) являются непрерывными функциями, то по теореме о равенстве смешанных производных левые части также будут равны, т.е.е., что

Докажем, что из 41.

Выберем любой замкнутый контур из области D, ограничивающий область D 1.

Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина:

В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, что означает, что правая часть равенства также равна

Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулирована в виде трех независимых теорем

Теорема 1 *. Для инт.не зависит от пути интегрирования, так что выполняется условие (.1), т.е.

Теорема 2 *. Для инт. не зависела от пути интегрирования, так что условие (3) выполнено:

дифференциальная форма P (x, y) dx + Q (x, y) dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D.

Теорема 3 *. Для инт. не зависела от пути интегрирования, так что условие (4) выполнено:

Замечание 2. В теореме 2 * область D также может быть многосвязной.

Связь между двухобластными интегралами D и криволинейным интегралом по границе L эта область устанавливается формулой Остроградского-Грина, которая широко используется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Ooh задана область D , ограниченная кривой, пересекающейся прямыми линиями, параллельными осям координат не более чем в двух точках, т.е. область D — правильная.

Теорема 10.2. Если функции P ( x ; y ) и Q ( x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными и в области D , то формула

(10,8)

где L — граница площади D и интегрирование по кривой L равно выполняется в положительном направлении (т. е. при движении по кривой область D остается слева).

Формула (10.8) называется формулой Остроградского — Грина.

NS ust
— уравнение дуги AnB , a
— уравнение дуги AmB (см. Рис. 8). Найдем сначала
. По правилу вычисления двойного интеграла имеем:

Или по формуле (10.6), рис. 8.

Аналогично доказывается, что
(10.10)

Если вычесть равенство (10.9) из равенства (10.10), то получим формулу (10.8).

Комментарий. Формула (10.8) также верна для произвольной области, которую можно разделить на конечное число регулярных областей.

Пример 10.3. По формуле Остроградского — Грина вычислить

, где L — контур прямоугольника с вершинами A ( 3; 2 ) , В ( 6; 2 ) , С ( 6; 4 ) , г. D ( 3; 4 ).

○ Решение: На рисунке 9 показан контур интеграции.Поскольку

по формуле (10.8) имеем:

10.4. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

NS
ust A ( x 1 ; y 1) и B ( x 2 ; y 2) — две произвольные точки односвязной области D плоскость Ooh (плоскость D называется односвязная , если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости полностью принадлежит D (область без «отверстий»)).Точки A и V могут быть соединены различными линиями (на рис.10 это L 1 , л 2 и л 3). Для каждой из этих кривых интеграл
имеет, вообще говоря, свой смысл.

Если его значения по всем возможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от типа пути интегрирования.

Рис. 10. В этом случае для интеграла I достаточно отметить только его начальную точку A ( x 1 ; y 1 ) и его конечная точка B ( x 2 ; y 2 ) пути.Записывают:

(10.11)

При каких условиях криволинейный интеграл второго рода не зависит от вида пути интегрирования?

Теорема 10.3. Для криволинейного интеграла
не зависит от пути интегрирования в односвязной области D , в которой функции P ( x ; y ), Q ( x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие = (10.12)

Докажем достаточность условия (10.12). Рассмотрим произвольный замкнутый круг AmBnA (или L ) в области D (см. Рис. 11). Для него справедлива формула Остроградского — Грина (10.8). В силу условия (10.12) имеем:
, или
… С учетом свойств криволинейного интеграла имеем:

, т.е.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит на пути интеграции.

Рис. 11. В ходе доказательства теоремы было получено, что если условие =, то интеграл по замкнутой окружности равен нулю:

Верно и обратное.

Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции u знак равно u ( x ; y ), т.е.

Тогда (см. (10.11))

Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона — Лейбница для криволинейного интеграла полного дифференциала.

Следствие 10.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнут, затем
.

Примечания:

В качестве отправной точки ( x 0 ; y 0) обычно принимают точку (0; 0) — начало координат (см. Пример 10.5).

= , =, =;

Пример 10.4. Найдите

Решение: Здесь P знак равно y , К знак равно х , == 1. Согласно приведенной выше теореме интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y знак равно x , дуга параболы y знак равно x 2 и т. Д.или воспользуйтесь формулой (10.14). Поскольку ydx + xdy = d (xy) , то

Пример 10.5. Убедитесь, что выражение является полным дифференциалом функции U ( х ; y ) и найдите его.

Решение: Чтобы указанное выражение было полным дифференциалом, должны быть выполнены условия (10.12):

Условия выполнены, следовательно, A, поскольку полный дифференциал имеет вид

,

, то отношения верны

(10.16)

Мы интегрируем по NS первое из уравнений, принимая при постоянной ; в этом случае вместо постоянного интегрирования следует поставить
— неизвестную функцию, зависящую только от на :

. Подставляя полученное выражение во второе уравнение (10.16), находим
:

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти по формуле (10.15).

(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) — русский математик,

Академик СПб.Петербург. А. Н.)

(Джордж Грин (1793 — 1841) — английский математик)

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако Дж. Грин в 1828 г. предложил лишь частный случай формулы.

Формула Остроградского — Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, то есть дает выражение для интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по площади, ограниченной этим контуром.

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать как:

Если сечения AB и CD контура принять как произвольные кривые, то, произведя аналогичные преобразования, получим формулу контура произвольной формы:

Эта формула называется Формула Остроградского — Грина .

Формула Остроградского — Грина справедлива и в случае многосвязной области, т. Е. Области, внутри которой есть исключенные области. В этом случае правая часть формулы будет суммой интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, и каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, что область D всегда остается слева от обходной линии.

Пример. Решим рассмотренный выше пример по формуле Остроградского — Грина.

Формула Остроградского — Грина позволяет существенно упростить вычисление криволинейного интеграла.

Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он имеет одинаковое значение на всех участках, соединяющих начальную и конечную точки.

Условие независимости криволинейного интеграла от формы траектории эквивалентно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.

Пусть π — плоскость в, — единичный вектор нормали к π, D — односвязная область на π (т. Е. Кусочно гладкая замкнутая кривая без самопересечений, расположенная в D, ограничивает площадь, все точки из них также D ) . Пусть будет D удовлетворяет условиям:

1) граница С площадей D — замкнутая кусочно-гладкая кривая без особых точек;

2) на π можно выбрать такую ​​декартову прямоугольную систему координат, чтобы все прямые, параллельные осям координат, пересекали D не более чем в 2 точках.

Пусть будет t — СО, согласовано с, т.е. положительным направлением пересечения кривой СО t с направлением t СО

T1 (формула Грина). Пусть будет — 1), 2), направление непрерывно в … Тогда действительна следующая формула

Справа — циркуляция векторного поля по кривой С , слева — поток векторного поля через D.

Док. Все функции, входящие в (1), непрерывны => оба интеграла. Интегралы слева и справа в (1) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, так как и инвариантны, элементы площади и длины дуги не зависят от выбора декартовой системы координат => достаточно доказать (1) в любой специально выбранной системе.

Выберем декартову прямоугольную систему координат Ohyz так, чтобы выполнялось условие 2), и прямую Oz .Поскольку векторное поле плоское, то =>

Для плоского участка и, где l — длина дуги С , выбранный в качестве параметра, увеличение которого согласуется с направлением обхода С =>

Чтобы доказать формулу Грина, достаточно доказать 2 равенства:

Пусть прямая, параллельная оси OU, пересекает С в точках . Пусть будет — наименьшая и наибольшая абсциссы точек площади, кривая С 1 соединяется с, а кривая С 2 — с и, ориентированы согласованно с C => согласно формуле приведения двойного интеграла к повторный:

Цельный Дж .

З1 … Из doc => формулу (1) можно записать в виде (1 «):

О «у»; a имеет координаты R « и Q «, затем

Преобразование Якобиана при переходе в новую систему координат по модулю = 1, параметризация с использованием длины дуги не связана с системой координат =>

Пусть будет D — односвязная область в (т.е. для кусочно-гладкой замкнутой кривой C , расположенной в D, , можно указать ориентируемую кусочно-гладкую поверхность G , расположенную в D, , граничащую с WITH ) , г. поверхность S — ее граница, удовлетворяющая условиям:

1) S — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченно замкнутая и без особых точек;

2) прямоугольная декартова система координат может быть выбрана так, чтобы для каждой из осей координат прямая линия, параллельная этой оси, пересекала S не более чем в 2 точках.

Пусть будет n — это единичный вектор внешней нормали к S .

T2 ( Формула Остроградского — Гаусса ). Пусть будет a — это дифференциал векторного поля в D, удовлетворяющий условиям 1), 2), и такой, что производная по направлению непрерывна в … Тогда

Справа — поток векторного поля по поверхности S , слева — объемный интеграл векторной дивергенции по площади D => Объемный интеграл векторной дивергенции по площади D равен векторному полю поток через поверхность S — границу этой области.

Doc Все функции, включенные в (2), являются непрерывными => оба интеграла. Формула (2) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в нее величины являются инвариантами => достаточно доказать (2) для некоторого 1 выбора декартовой системы. Выберем декартову прямоугольную систему координат Ohyz так, чтобы выполнялось условие 2); пусть => дано:

Необходимо доказать:

Докажем для L, других ан-но.Пусть будет D «- проекция D на плоскость Ohhu. Через граничные точки D» проведите прямые, параллельные Oz. Каждый из них пересекается с S только в 1 точке. Набор этих точек разделяет S на 2 части: Если провести прямую линию от внутренней точки D «, параллельно Oz, , то она пересечет S, в 2 точках: и . и кусочно-непрерывно дифференциальные функции в D «. По формуле приведения тройного интеграла к повторяющемуся:

Мы воспользовались тем, что, а соотношение

справедливо, потому что внешняя нормаль к образует тупой угол с Оз (=>).

Z2 … Из дока => формулу (2) можно записать:

Документация без Z1.

Формула Стокса.

Пусть будет S односвязная (т.е. кусочно-гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная на S, ограничивает многие, все точки из которых S ) поверхности в , удовлетворяющие условиям:

1) S — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; его граница представляет собой замкнутый кусочно-гладкий контур С ;

2) декартова система координат может быть выбрана так, чтобы S однозначно проецировался на 3 координатные плоскости.

Пусть будет n — единичный вектор нормали к S , t — единичный вектор касательной к C согласован с n, то есть положительное направление пересечения кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направлением t , а если смотреть с торца, то контур СО ориентирован положительно (обходя его против часовой стрелки).

Т (формула Стокса). Пусть будет векторное поле — , непрерывно дифференцирующее в некоторой окрестности поверхности S ( то есть на некотором открытом мн-ве в , содержащем S). Тогда

Или: Векторный поток через поверхность S равен циркуляции вектора a по замкнутому контуру C.

Doc … В силу условий теоремы интегралы в (1) существуют.Формула (1) инвариантна относительно выбора базиса => достаточно доказать для какого-то одного выбора базиса. Выберем прямоугольную декартову систему координат Ohyz так, чтобы S однозначно проектировался для всех трех координатных плоскостей … Пусть будет

Договоримся о выборе системы координат так, чтобы вектор нормали образовывал острые углы с осями координат. Учитывая выражение для в декартовой системе координат

Достаточно доказать:

S — кусочно-гладкая и однозначно спроецированная на Ohhu. Пусть будет D — его проекция, G — проекция С на плоскость Ooh => diff-may f-i, которая определяет уравнение поверхности S … При этом

и поверхностный интеграл по S = двойной интеграл по D … По формуле Грина *:

З1 . δ> 0 таким образом, что для частей F S размера (он может быть расположен в сфере радиуса δ / 2) можно выбрать декартову систему координат таким образом, чтобы F однозначно проецировался на все координаты самолеты. Пусть будет — фиксированная точка S … Проведем касательную плоскость, пусть это будет единичный вектор нормали к поверхности в . Давайте выберем прямоугольную систему координат, чтобы оси осей были острыми. Поскольку нормальное поле непрерывно, то окрестность такова, что все нормали в точках этой окрестности образуют острые углы с осями => некоторая окрестность радиуса δ / 2 точки , , который однозначно проецируется на все координатные плоскости.

Можно выбрать универсальное число, не зависящее от δ> 0. Пусть такое δ =>, для каждого можно указать часть поверхности S , размеры которой

Выберем в каждой точке , из полученной последовательности выбираем следствие, сходящееся к некоторому M S … Имеем M окрестность, однозначно спроецированную на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы. Эта окрестность для некоторого числа NS содержит часть, которая также будет однозначно спроецирована на все три координатные плоскости => противоречие с выбором.

Разобьем S на конечное число гладких частей, размер каждой из которых формула Стокса верна для каждой. Подведем итог левой и правой части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сокращаются => слева мы получаем интеграл по поверхности, а справа — интеграл по границе С от, то есть Стокса Формула для общего случая => Формула Стокса справедлива для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2).

Z 2 … Формула Стокса верна для поверхностей S , которые можно разбить кусочно-гладкими кривыми на конечное число односвязных поверхностей со свойством 1). Доказательство: просуммируйте интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и примите во внимание, что интегралы по кривым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сокращаются.

З3 … Из doc => формулу (1) можно записать в виде (1 «):

Интегралы слева и справа в (1 «) инвариантны, поскольку значения подынтегральных выражений равны, соответственно, и являются инвариантными величинами.Форма подынтегральных выражений в формуле (1 «) также не меняется при переходе к новой системе Oh» y «z»; если в новом базисе векторное поле a имеет координаты R «, Q » и R «, то

Преобразование Якоби при переходе в новую систему координат по модулю = 1, параметризация с использованием длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1 «) не меняют своего значения и формы.

*: π — плоскость в, — единичный вектор нормали к π, D — односвязная область на π . Пусть будет D удовлетворяет условиям: 1) граница С площадей D представляет собой замкнутую кусочно-гладкую кривую без особых точек; 2) на π можно выбрать такую ​​декартову прямоугольную систему координат, чтобы все прямые, параллельные осям координат, пересекали D не более чем в 2 точках.

Пусть будет t — единичный касательный вектор к кривой СО, согласовано с.

T1 (формула Грина). Пусть будет a — дифференциал векторного поля в D, удовлетворяющий условиям 1), 2), и такой, что его производная по направлению непрерывна в … Тогда следующая формула действителен

Остроградский Михаил Васильевич — Academic Kids

, параллельная оси z, пересекает поверхность S только на
одна точка, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть
рассчитывается по формуле
(* 'y) dx dlJ-
S (а)
Пример 1.Вычислить поверхностный интеграл
где S - поверхность куба 0  ec.(jc
2
cosa-t y
2
cos p + 2
2
cos y) d5, где S - внешнее
о
конечная общая поверхность конуса
2369. Докажите, что если S - замкнутая поверхность и / - любое фиксированное
направление, тогда
где n - внешняя нормаль к поверхности S.
2370. Докажите, что объем тела V, ограниченный
поверхность S равна
знак равно
-3
M
где cose, cosp, cosy - направляющие косинусы внешнего
перпендикулярно поверхности S.
288 Кратные и линейные интегралы [гл. 7
П. 12. Основы теории поля.
1. Скалярные и векторные поля. Скалярное поле определяется скалярной функцией
точки = / (/>) = / (*, t /, z), где P (x, y, z) - точка пространства.В
поверхности f (x, y, z) = C, где C = const, называются поверхностями уровня скалярной
поле.
Векторное поле определяется вектор-функцией точки а = а (Р) ~
a (r), где P - точка пространства, а r = xi - \ - yj + zk - радиус-вектор
точки P. В координатной форме акси + avj - \ - azk, где ax ~ ax (x, y, z),
ay ay (x, y, z) и az
= а
z (x, //, z) - проекции вектора a на
оси координат. Векторные линии (силовые линии, линии тока) векторного поля имеют вид
находится из следующей системы дифференциальных уравнений
dx__dy_dz
~~~ '
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t, называется
'ry; если это зависит от t
Градиент. Va.Вращение (ротор) векторного поля a (P) = axi + ayj + azk - это вектор
даз
день
4. Поток вектора. Поток векторного поля a (P) через поверхности
в направлении, определяемом единичным вектором нормали ujcosa, cos p, COSY}
к поверхности S - интеграл
\ \ an dS = \ \ an dS \ \ (ax cos a - | - ay cos p + az cos Y) dS.
S s S
Если S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а n - единичный вектор
внешняя нормаль к поверхности S, то справедлива формула Остроградского-Гаусса,
П. 12] Основы теории поля 289
который в векторной форме имеет вид
ff (\ r \ r *
div a dx dy dz.5. Циркуляция вектора, работа Хелда. Линейный интеграл от
вектор a вдоль кривой C определяется формулой
f a dr = \ as ds V ax dx -f- aydy -f az dz
С С С
(0
и представляет собой работу, проделанную полем