Напряжения и расчеты на прочность при изгибе.

Сопротивление материалов



Нормальные напряжения при чистом изгибе

Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис 1). Радиус кривизны нейтрального слоя балки обозначим ρ.

Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину nn₁. Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (n₁F || mE):

Δ OEF ~ Δ Fnn₁.

Из подобия треугольников запишем равенство:

nn₁ / ds = y / ρ.

Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т. е. nn₁ / ds = ε, то y / ρ = ε.

Применив закон Гука при растяжении и сжатии σ = Еε, получим:

σ = Еy / ρ.

Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Распределение нормальных напряжений изображено на рис. 2.

Полученная формула для определения нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя.
Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 3.

В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA, в пределах которой будем считать нормальные напряжения σ постоянными; тогда нормальная сила dN, действующая на площадку dA, будет равна:

dN = σdA.

Составим уравнения равновесия:

1.    Σ Z = 0;    ∫dN = 0,     или:     ∫σ dA = ∫Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y dA = 0.

(ρ для данного сечения, а также модуль упругости Е – величины постоянные, поэтому вынесены за знак интеграла). Поскольку ρ и Е не равны нулю, значит, ∫y dA = 0. Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси

x, т. е. нейтральной оси бруса (балки). Равенство нулю статического момента инерции означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;

2.    Σ М_и = 0; — m + ∫y dN = 0.

Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту М_и = m, то

М_и = ∫y dN = ∫y dA = ∫y Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y² dA,

откуда:

М_и = Е I / ρ,

где:

I = ∫y² dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе.

Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения М_и = const, то:

ρ = EI / М_и = const.

Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда:

σ = Еy / ρ = Ey / EI / М_и = М_и y / I.

Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:

σ_max = М_и y_max / I = М_и / I / y_max = М_и / W,

где W = I / y_max – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м³.

Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляются по формуле

σ_max = М_и / W.

Нетрудно заметить, что эта формула по своей структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.

***



Касательные напряжения при изгибе

Очевидно, что при поперечном изгибе, вызванном приложением к балке поперечной силы, в сечениях балки должны возникнуть касательные напряжения.
Определением зависимости между внешними нагрузками, геометрическими и физическими параметрами балок и касательными напряжениями, возникающими в них, занимался русский мостостроитель Д. И. Журавский, который в 1855 году предложил следующую формулу:

τ = QS / (I d).

Эта формула называется формулой Журавского и читается так:
касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы

Q на статический момент S относительно центральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.

По формуле Журавского можно вывести зависимости для определения касательных напряжений в балках, имеющих разную форму поперечного сечения (прямоугольную, круглую и т. п.).
Например, для балки круглого сечения формула Журавского в результате преобразований выглядит так:

τ_max = 4Q / (3A) = 4τ

сред / 3,

где Q – поперечная сила, вызывающая изгиб, А – площадь сечения балки.

Большинство балок в конструкциях рассчитывается только по нормальным напряжениям, и только три вида балок проверяют по касательным напряжениям:

— деревянные балки, т. к. древесина плохо работает на скалывание;
— узкие балки (например, двутавровые), поскольку максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
— короткие балки, так как при относительно небольшом изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровой балке определяется по формуле Журавского, при этом геометрические характеристики таких балок берутся из справочных таблиц .

***

Расчеты на прочность при изгибе

Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.
Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:

σ_max = Ми_max / W ≤ [σ]

и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σ_max = Ми_max / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.
Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.
Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом.
Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса.

Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:

1. Прямоугольное сечение размером

b x h:    W_пр = bh² / 6.

2. Круглое сечение диаметром d:    W_круг = π d³ / 32 ≈ 0,1d³

3. Кольцо размером D x d:    W_кольца = ≈ 0,1 (D⁴ – d⁴) / D; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов).

***

Материалы раздела «Изгиб»:

• Понятие деформации изгиба.
• Дифференциальные зависимости при изгибе. Теорема Журавского.

Деформации растяжения и сжатия



Главная страница

• Страничка абитуриента

Дистанционное образование

• Группа ТО-81
• Группа М-81
• Группа ТО-71
  

Специальности

• Ветеринария
• Механизация сельского хозяйства
• Коммерция
• Техническое обслуживание и ремонт автотранспорта

Учебные дисциплины

• Инженерная графика
• МДК. 01.01. «Устройство автомобилей»
•    Карта раздела
•       Общее устройство автомобиля
•       Автомобильный двигатель
•       Трансмиссия автомобиля
•       Рулевое управление
•       Тормозная система
•       Подвеска
•       Колеса
•       Кузов
•       Электрооборудование автомобиля
•       Основы теории автомобиля
•       Основы технической диагностики
• Основы гидравлики и теплотехники
• Метрология и стандартизация
• Сельскохозяйственные машины
• Основы агрономии
• Перевозка опасных грузов
• Материаловедение
• Менеджмент
• Техническая механика
• Советы дипломнику

Олимпиады и тесты

• «Инженерная графика»
• «Техническая механика»
• «Двигатель и его системы»
• «Шасси автомобиля»
• «Электрооборудование автомобиля»

Нормальные напряжения при изгибе | ПроСопромат.

ру

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1)   Выполняется гипотеза плоских сечений.   2)   Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия.  3)   Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.    4)   Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.   5)   Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.   6)   Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде:  (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения. 

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок  длиной dz, подвергающийся изгибу.  Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где  -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

 Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта  формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.  

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3),т.е.  нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим  (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь  как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение  — это осевой момент инерции сечения относительно оси х  — I_х. Его размерность см⁴, м⁴

Тогда ,откуда (4) ,где — это кривизна изогнутой оси балки, а — жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5) 

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение  (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения:  (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии. 

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что  этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие  (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у  равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр  прямом изгибе взаимно перпендикулярны. 

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0

Как рассчитать и решить нормальное напряжение | Rock Mechanics

Изображение выше представляет нормальное напряжение.

Для расчета нормального напряжения необходимы два основных параметра: нормальная сила (ΔN), и площадь (ΔA).

Формула расчета нормального напряжения:

σ _n  =  ^ΔN  /  _ΔA

Где;

σ _n  = нормальное напряжение
ΔN = нормальное усилие
ΔA = Площадь

Давайте решим пример;
Рассчитайте нормальное напряжение с нормальной силой 12 и площадью 22.

Отсюда следует, что;

ΔN = Normal Force = 12
ΔA = Area = 22

σ _n  =  ^ΔN  /  _ΔA
σ _n  =  ¹²  /  ₂₂
σ _n  = 0.54

Следовательно, нормальное напряжение равно 0,54 Па.

Расчет нормальной силы при заданных нормальном напряжении и площади.

ΔN = σ _n x ΔA

Где;

ΔN = нормальная сила
σ _n = нормальное напряжение
ΔA = площадь

Давайте решим пример;
Рассчитайте нормальную силу, когда нормальное напряжение равно 25, а площадь равна 10.

Отсюда следует, что;

σ _N = нормальное напряжение = 25
ΔA = область = 10

ΔN = σ _N x ΔA
ΔN = 25 x 10
Δn = 250

Следовательно, нормальная сила —
Δ = 250

, нормальная сила — 9008 Δ = 250

, нормальная сила —

, нормальная сила -0007 250.

Расчет площади при заданных нормальном напряжении и нормальной силе.

ΔA = ^ΔN / _{σ n}

Где;

ΔA = площадь
ΔN = нормальная сила
σ _n = нормальное напряжение

Давайте решим пример;
Учитывая, что нормальное напряжение равно 20, а нормальная сила равна 240. Найдите площадь?

Это означает, что;

σ _n = нормальное напряжение = 20
ΔN = нормальное усилие = 240

ΔA = ^ΔN / _{σ N}
ΔA = ²⁴⁰ / ₂₀
ΔA = 12

. Следовательно, Область IS 12,

— . способен рассчитать нормальное напряжение.

Чтобы получить ответ и расчет нормального стресса, используйте калькулятор Nickzom – The Calculator Encyclopedia. Во-первых, вам нужно получить приложение.

Вы можете получить это приложение любым из следующих способов:

Web  – https://www. nickzom.org/calculator-plus

Чтобы получить доступ к профессиональной версии через Интернет, вам необходимо зарегистрироваться и подписаться за 90 008 , 5 0007 0NGN. annum  , чтобы иметь полный доступ ко всем функциям.
Вы также можете попробовать демо-версию через https://www.nickzom.org/calculator

Android (платная)  – https://play.google.com/store/apps/details?id=org .nickzom.nickzomcalculator
Android (бесплатно)  – https://play.google.com/store/apps/details?id=com.nickzom.nickzomcalculator
Apple (платно)  – https://itunes.apple.com/us /app/nickzom-calculator/id1331162702?mt=8
После того, как вы получили приложение энциклопедии калькулятора, перейдите к карте калькулятора , , затем нажмите Geology   в разделе надстройки .

Теперь нажмите Механика горных пород   под  Геология

Теперь нажмите Нормальное напряжение под Rock Mechanics

На приведенном ниже снимке экрана показана страница или действие для ввода ваших значений, чтобы получить ответ для нормального напряжения в соответствии с соответствующими параметрами, которые нормальная сила (ΔN) и площадь (ΔA).