Расчет добротности контура

8. По резонансным кривым, снятым экспериментально, определите частоты f₁ и f₂, соответствующие границам полосы пропускания контура и их разность f  f₂  f₁. Результаты измерений занесите в табл. 2.

Таблица 2

Сопротивление контура, Ом	R1	R2
U0 РЕЗ, В
0,7U0 РЕЗ, В
fРЕЗ, МГц
f1, МГц
f2, МГц
f, МГц
Q1
E0, В
Q2
QСР(Q1  Q 2)/2
QТЕОРQ

9. Вычислите значения добротности Q₁ и Q₂ по формулам (10) и (12) для различных значений сопротивлений контура. Результаты занесите в табл. 2.

10. Определите среднее арифметическое значение добротности при различных фиксированных значениях сопротивлений контура:

Q_СР  (Q₁  Q₂)/2.

11. Оцените относительную погрешность определения добротности по косвенным измерениям:

Q₁     ,

Q₂   ,

где f_РЕЗ, f₁, f₂, U_{0 РЕЗ}, E₀ – ошибки в определении соответствующих значений f_РЕЗ, f₁, f₂, U_{0 РЕЗ}, E₀.

Вычислите теоретическое значение добротности контура по формуле (9) и сравните его с результатами расчета по формулам (10) и (12). Объясните возможные причины расхождения результатов измерений и расчета.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются вынужденными?

2. В чем заключается явление резонанса?

3. От чего зависит добротность контура?

4. Перечислите методы определения добротности контура.

5. Дайте определение полосы пропускания контура.

6. Чему равна частота вынуждающей э. д. с. в момент резонанса?

7. Каким образом снимается резонансная кривая в данной работе?

Список литературы

3. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: – Наука, 2005. – 496 с.

4. Селезнёв В.А., Тимофеев Ю.П. Методические указания к вводному занятию в лабораториях кафедры физики. – М.: МИИТ, 2006. – 30 с.

Работа 129

Изучение затухающих электромагнитных колебаний в колебательном контуре с помощью осциллографа

Цель работы. Изучение с помощью электронного осциллографа электромагнитных колебаний, возникающих в колебательном контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление; изучение условий возникновения затухающих колебаний в контуре; расчет основных физических величин, характеризующих эти колебания.

Введение

На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего последовательно соединённые конденсатор емкостью

C, катушку индуктивностью L и активное сопротивление R.

Если в какой-либо момент времени одной из обкладок конденсатора сообщить электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке электродвижущей силы (э.д. с.) индукции, а затем отключить источники возбуждения, в контуре начнутся свободные электромагнитные колебания.

Исследуем характер колебаний, возникающих в идеализированном колебательном контуре в отсутствие сопротивления R  0 при сообщении конденсатору заряда q₀.

Вначале энергия электрического поля конденсатора емкостью C

равна:

W_C q₀²/2C  CU₀²/2,

где U₀  q₀/С – максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора. Под действием электрического поля начинается движение зарядов и конденсатор разряжается. В контуре возникает электрический ток:

I(t)   dq(t)/dt, (1)

где dq(t) – изменение заряда на обкладках конденсатора. Знак минус показывает, что возникновение тока сопровождается уменьшением заряда на обкладках конденсатора (

dq < 0).

Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. Возрастание тока (dI > 0) в катушке индуктивностью L приводит к появлению в ней электродвижущей силы (э. д. с.) самоиндукции Et), препятствующей изменению тока (E < 0):

E(t)  – L(dI/dt).

При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а ток в контуре, наоборот, достигает максимального значения I₀. Максимального значения достигает и энергия магнитного поля в катушке:

W_L  LI₀²/2.

С этого момента начинается перезарядка конденсатора под действием э. д. с. самоиндукции. Ток в контуре начинает убывать, вследствие чего э. д. с. самоиндукции изменяет знак, препятствуя убыванию тока. Энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растет, стремясь к максимальному значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора. В тот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращаются в нуль. Далее процесс повторяется в обратном порядке. В контуре устанавливаются незатухающие электромагнитные колебания.

Интервал времени между двумя последовательными максимальными значениями колеблющейся величины называется периодом колебаний T.

Заметим, что описанные выше колебания происходили бы бесконечно долго лишь при отсутствии испускания таким контуром электромагнитного излучения.

Если колебательный контур содержит активное сопротивление R, то при протекании по нему тока часть общей энергии контура W выделяется в виде тепла:

Q = W_R  I²Rt.

При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обкладках конденсатора. Колебания затухают.

Временная зависимость разности потенциалов на обкладках конденсатора U(t)  ₁ ₂ наблюдается в данной работе на экране осциллографа. Эту зависимость можно получить теоретическим путем, используя закон Ома для участка цепи, содержащей э. д. с. Для мгновенных значений токов и напряжений в таком контуре закон Ома запишется в виде:

IR  ₁ – ₂  E  U – L(dI/dt). (2)

Преобразуем это уравнение, используя формулу (1) и соотношение q  CU

. Тогда уравнение (2) примет вид:

LC(d²U/dt²)  RC(dU/dt)  U  0. (3)

Разделив обе части уравнения (3) на LC и введя обозначения

R/2L = , 1/LC  ₀²,

где ₀ называется собственной циклической (круговой) частотой контура, а  – коэффициентом затухания, получим дифференциальное уравнение:

d²U/dt²  2(dU/dt)  ₀²U  0, (4)

решение которого дает искомую зависимость U(t).

Следует отметить, что аналогичные дифференциальные уравнения могут быть получены для различного рода механических, электромеханических и других колебательных систем, в которых отсутствуют внешние вынуждающие воздействия, а силы сопротивления при малых скоростях движения (скоростях изменения параметра системы, совершающей колебания) линейно зависят от скорости.

При этом энергия, внесенная в сиcтему извне, непрерывно уменьшается в процессе колебаний, переходя, в конечном счете, в тепловую энергию. Уравнение (4) есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для частного случая, когда  < ₀, его решение имеет вид:

U(t)  U₀e^βtcos(t  ₀), (5)

где ₀ – начальная фаза колебаний;  – циклическая частота затухающих колебаний:

= (6)

На рис. 2 приведены примеры графиков зависимости U(t) для различных типов колебаний в контуре.

Выражение (5) описывает затухающий колебательный процесс (рис. 2б) с периодом колебаний

T  . (7)

Амплитудой затухающих колебаний называют величину

A(t)  U₀e^t, (8)

где U₀ – максимально возможное значение амплитуды напряжения:

U₀  A(t  0).

Вообще говоря, при  0 разность потенциалов U(t) не является строго периодической функцией времени: U(t)U(t  T). Периодом колебаний в этом случае принято считать минимальные промежутки времени между наибольшими значениями напряжения одного знака.

Как следует из формул (5) и (8), изменение амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания . Согласно (8) коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:

U₀/A()  e при t    1/.

Таким образом, характер колебательного процесса определяется соотношениями между электрическими параметрами контура R, L и C. Так, при   0 в контуре устанавливаются свободные незатухающие гармонические (колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса) колебания (рис. 2а):

U(t)  U₀cos(₀t  ₀)

с периодом T₀  2/₀  2(формула У.Томсона).

При критическом сопротивлении (см. формулы (6) и (7))

R  R_КР  2

  ₀, и период колебаний становится бесконечным. В контуре возникает апериодический процесс, когда напряжение на конденсаторе постепенно уменьшается, не совершая при этом колебаний (рис. 2в).

При R < R_КР (т. е. при  < ₀) в контуре реализуется затухающий колебательный процесс (рис. 2б).

При R > R_КР (  ₀) циклическая частота  и период колебаний Т становятся мнимыми величинами. Это соответствует апериодическому процессу разряда конденсатора на большое активное сопротивление (рис. 2г).

Для характеристики затухающих колебаний наряду с коэффициентом затухания  используются и другие параметры: логарифмический декремент  и добротность контура Q.

Логарифмический декремент вводится как натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, разделенных во времени на период Т (рис. 2):

  ln ln T  T/  1/N, (9)

т.е. он равен величине, обратной числу колебаний (периодов), за которое амплитуда уменьшается в е раз (N  ).

Из соотношения между  и 

  T  RT/(2L) (10)

при малых затуханиях (  ₀): T  T₀  2можно, зная , определить коэффициент затухания :

  /T₀  /(2 

Добротность контура Q – важный параметр, характеризующий быстроту потери энергии, запасенной в контуре. Добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе превышает амплитуду внешней прикладываемой электродвижущей силы, и определяется формулой:

Q  ₀/2.

Для колебаний при малых  частота затухающих колебаний ω приблизительно равна собственной частоте колебаний ₀ (см. формулу (6)) и тогда, учитывая формулу (9), величина добротности:

Q  ₀/2 ≈ /2 = 2/2βT  /. (12)

Для колебательного контура:

R/2L, и ₀  1/.

Добротность в этом случае:

Q  ₀/2   /R. (13)

Физическую величину   называют волновым или характеристическим сопротивлением колебательного контура.

Из соотношения (13) следует, что контур, имеющий большое активное сопротивление, обладает малой добротностью и интенсивно теряет электромагнитную энергию, колебания быстро затухают.

Все рассмотренные процессы относятся к колебательному контуру с сосредоточенными параметрами R, L и C. В реальных колебательных контурах нельзя выделить ни одного участка цепи, не обладающего активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью, т. е. параметры R, L и С не являются сосредоточенными, а распределены по участкам цепи, что усложняет анализ колебательных процессов. При этом также необходимо учитывать входные электрические параметры измерительных приборов.

6. Добротность и полоса пропускания резонансной цепи | 6. Резонанс | Часть2

6. Добротность и полоса пропускания резонансной цепи

Добротность и полоса пропускания резонансной цепи

Добротность (Q) резонансной цепи характеризует ее качество. Более высокое значение этого показателя соответствует более узкой полосе пропускания (что весьма желательно для многих схем). Если говорить проще, то добротность представляет собой отношение энергии, накопленной в реактивном сопротивлении цепи, к энергии, рассеиваемой активным сопротивлением этой цепи:

 

 

Данная формула применима к последовательным резонансным цепям, а также к параллельным резонансным цепям, если сопротивление в них включено последовательно с катушкой индуктивности. Действительно, в практических схемах нас часто беспокоит сопротивление катушки индуктивности, которое ограничивает добротность. Заметьте: Некоторые учебники в формуле «Q» для параллельных резонансных схем меняют местами X и R. Это верно для большого значения R, включенного параллельно с C и L. Наша формула верна для небольшого значения R, включенного последовательно с L.

Практическое применение добротности (Q) заключается в том, что напряжение на L или С в последовательной резонансной цепи в Q раз больше общего приложенного напряжения. В параллельной резонансной цепи ток через L или С в Q раз больше общего приложенного тока.

 

Последовательные резонансные цепи.

 

Резонанс последовательной LC цепи выражается в том, что полный импеданс этой цепи становится наименьшим и равным активному сопротивлению  (которое имеет сравнительно небольшую величину), а ток становится максимальным. Условием резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений X_L = X_C. Когда частота генератора больше частоты контура, индуктивное сопротивление преобладает над емкостным и контур представляет для генератора сопротивление индуктивного характера. Если частота генератора меньше частоты контура, то емкостное сопротивление больше индуктивного и контур для генератора является сопротивлением емкостного характера.

 

 

Ток при резонансе имеет максимальное значение, а импеданс — минимальное. Величина тока определяется величиной сопротивления. На частоте, выше или ниже резонансной, импеданс увеличивается.

 

 

Пиковое значение тока при резонансе можно изменить путем подбора величины последовательного резистора, которая, в свою очередь, изменяет добротность. Все эти значения оказывают влияние на ширину полосы пропускания. Контур с низким сопротивлением и высокой добротностью имеет более узкую полосу пропускания, чем контур с высоким сопротивлением и низкой добротностью. Зависимость полосы пропускания контура от его резонансной частоты и добротности определяется следующей простой формулой:

 

 

 

Ширина полосы пропускания обычно определяется на уровне 0,707 от максимальной амплитуды тока. Уровню 0,707 соответствуют точки половинной мощности, равные P = I²R, (0,707)² = (0,5)

 

 

           Ппр = Δf = fв-fн = fc/Q 
           Где: fв = верхняя граница полосы пропускания,  
fн = нижняя граница полосы пропускания 
 
           fн = fc - Δf/2 
           fв = fc + Δf/2
           Где:  fc = резонансная частота

 

На представленном выше графике 100% тока — это 50мА. Уровню 70,7% соответствует величина тока 0,707(50мА) = 35,4 мА. Верхняя и нижняя границы полосы пропускания составляют 355 и 291 Гц соответственно. Ширина полосы пропускания равна 64 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 32 Гц от центра резонансной частоты:

 

           Ппр = Δf = fв-fн = 355-291 = 64 
           fн = fc - Δf/2 = 323-32 = 291 
           fв = fc + Δf/2 = 323+32 = 355 

 

Поскольку П_пр = f_c/Q:

 

           Q = fc/Ппр = (323 Гц)/(64 Гц) = 5

 

Параллельные резонансные цепи

 

Резонанс параллельной LC цепи выражается в том, что полный импеданс этой цепи (между точками разветвления) становится максимальным, а ток принимает минимальное значение. Условием резонанса, как и в последовательной LC цепи,  является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений X_L = X_C. Когда частота генератора больше частоты контура, емкостное сопротивление преобладает над индуктивным и контур представляет для генератора сопротивление емкостного характера. Если частота генератора меньше частоты контура, то индуктивное сопротивление больше емкостного и контур для генератора является сопротивлением индуктивного характера.

 

 

Импеданс при резонансе имеет максимальное значение, но на частотах, выше или ниже резонансной, он уменьшается. Поскольку напряжение пропорционально импедансу (U = IZ), при резонансе оно также имеет максимальное значение.

 

 

Низкая добротность (Q), обусловленная высоким сопротивлением (последовательно с катушкой индуктивности), производит низкий пик с широкой полосой пропускания. И наоборот, высокая добротность, обусловленная низким сопротивлением, производит высокий пик с узкой полосой пропускания. Высокая добротность достигается применением катушек индуктивности имеющих большой диаметр и малое сопротивление провода.

 

 

Ширина полосы пропускания кривой параллельного резонанса измеряется между точками половинной мощности. Поскольку мощность пропорциональна U², этим точкам соответствует уровень 70,7% от максимальной амплитуды напряжения ^{((0,707)2 = 0,5). Так как напряжение пропорционально импедансу, мы можем воспользоваться графиком импеданса.}

 

 

На представленном выше графике 100% сопротивления — это 500 Ом. Уровню 70,7% соответствует величина сопротивления 0,707(500) = 354 Ом. Верхняя и нижняя границы полосы пропускания составляют 343 и 281 Гц соответственно. Ширина полосы пропускания равна 62 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 31 Гц от центра резонансной частоты:

 

           Ппр = Δf = fв-fн  = 343-281 = 62 
           fн = fc - Δf/2 = 312-31 = 281 
           fв = fc + Δf/2 = 312+31 = 343 

           Q = fc/Ппр = (312 Гц)/(62 Гц) = 5

К конденсатору колебательного контура последовательно подключают

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

В колебательном контуре, состоящем из двух параллельно соединенных конденсаторов и подключенной к ним катушки индуктивности, происходят свободные электромагнитные колебания. В момент, когда конденсаторы разряжены, один из них отсоединяют. Как после этого изменятся следующие физические величины: запасенная в контуре энергия, частота свободных электромагнитных колебаний, амплитуда напряжения между пластинами второго конденсатора?

Для каждой величины определите соотвествующий характер изменения. Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ	ИХ ИЗМЕНЕНИЕ

А) Запасенная в контуре энергия

Б) Частота свободных электромагнитных колебаний

В) Амплитуда напряжения между пластинами второго конденсатора

3) Не изменится

При отсоединении одного из параллельно соединенных одинаковых конденсаторов общая емкость колебательного контура уменьшается в два раз (при параллельном соединении емкости складываются). Частота свободных колебаний связана с емкостью контура соотношением Следовательно, уменьшение емкости контура приводит к увеличению частоты (Б — 1).

В момент отсоединения конденсатора вся энергия запасена в катушке индуктивности, конденсаторы разряжены. Следовательно, отсоединенный конденсатора не уносит с собой никакой энергии. А потому, изменение емкости контура не приводит к изменению запасенной в контуре энергии (А — 3).

Энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, связана с напряжением на нем соотношением Поскольку энергия колебаний не изменяется, максимальное значение энергии электрического поля в контуре сохраняется. Следовательно, уменьшение емкости контура приводит к увеличению напряжения на втором конденсаторе (В — 1):

В статье расскажем что такое колебательный контур. Последовательный и параллельный колебательный контур.

Колебательный контур — устройство или электрическая цепь, содержащее необходимые радиоэлектронные элементы для создания электромагнитных колебаний. Разделяется на два типа в зависимости от соединения элементов: последовательный и параллельный.

Основная радиоэлементная база колебательного контура: Конденсатор, источник питания и катушка индуктивности.

Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур является простейшей резонансной (колебательной) цепью. Состоит последовательный колебательный контур, из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина которого вычисляется по закону Ома: I = U / Х_Σ , где Х_Σ — сумма реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора (используется модуль суммы).

Для освежения памяти, вспомним как зависят реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности от частоты приложенного переменного напряжения. Для катушки индуктивности, эта зависимость будет иметь вид:

Из формулы видно, что при увеличении частоты, реактивное сопротивление катушки индуктивности увеличивается. Для конденсатора зависимость его реактивного сопротивления от частоты будет выглядеть следующим образом:

В отличии от индуктивности, у конденсатора всё происходит наоборот — при увеличении частоты, реактивное сопротивление уменьшается. На следующем рисунке графически представлены зависимости реактивных сопротивлений катушки X_L и конденсатора Х_C от циклической (круговой) частоты ω, а также график зависимости от частоты ω их алгебраической суммы Х_Σ. График, по сути, показывает зависимость от частоты общего реактивного сопротивления последовательного колебательного контура.

Из графика видно, что на некоторой частоте ω=ω_р , на которой реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю (равны по значению, но противоположны по знаку), общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическими потерями в катушке индуктивности (т.е. активным сопротивлением провода обмотки катушки) и внутренним сопротивлением источника тока (генератора). Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление, называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной частотой колебаний цепи. Также из графика видно, что на частотах, ниже частоты резонанса реактивное сопротивление последовательного колебательного контура носит емкостной характер, а на более высоких частотах — индуктивный. Что касается самой резонансной частоты, то она может быть вычислена при помощи формулы Томсона, которую мы можем вывести из формул реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора, приравняв их реактивные сопротивления друг к другу:

На рисунке справа, изображена эквивалентная схема последовательного резонансного контура с учетом омических потерь R, подключенного к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой U. Полное сопротивление (импеданс) такой цепи определяется: Z = √(R 2 +X_Σ 2 ), где X_Σ = ω L-1/ωC. На резонансной частоте, когда величины реактивных сопротивлений катушки X_L = ωL и конденсатора Х_С= 1/ωС равны по модулю, величина X_Σ обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к сопротивлению омических потерь: I= U/R. При этом на катушке и на конденсаторе, в которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение U_L = U_С = IX_L = IX_С.

На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на катушке и конденсаторе неодинаковы — они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений X_L и X_С.Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом напряжений. Резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер. Условие резонанса — это равенство величин реактивных сопротивлений катушки индуктивности и ёмкости.

Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое (или волновое) сопротивление ρ и добротность контура Q. Характеристическим (волновым) сопротивлением контура ρ называется величина реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = Х_L = Х_C при ω =ω_р . Характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(L/C). Характеристическое сопротивление ρ является количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура — катушкой (энергия магнитного поля) W_L = (LI 2 )/2 и конденсатором (энергия электрического поля) W_C=(CU 2 )/2. Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает «качество».

Добротность колебательного контура — характеристика, определяющая амплитуду и ширину АЧХ резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в контуре больше, чем потери энергии за один период колебаний. Добротность учитывает наличие активного сопротивления нагрузки R.

Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно, добротность вычисляется:

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Величину, обратную добротности d = 1 / Q называют затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q = ρ / R, где R-сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р = I 2 R. Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), при этом сами цепи рассматривают как четырёхполюсники. На рисунках ниже представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур и АЧХ этих цепей, которые приведены (показаны сплошными линями). По вертикальной оси графиков АЧХ отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному.

Для пассивных цепей (т.е. не содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Сопротивление переменному току изображённой на рисунке цепи, будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля.

При резонансе в этой цепи, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. За полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение — в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительно его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,7 (3дБ).

Пунктирными линиями на графиках показаны АЧХ точно таких же цепей, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рисунков, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.

Параллельный колебательный контур

В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (даже чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры На рисунке приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура. Здесь параллельно включены два реактивных элемента с разным характером реактивности Как известно, при параллельном включении элементов складывать их сопротивления нельзя — можно лишь складывать проводимости. На рисунке приведены графические зависимости реактивных проводимостей катушки индуктивности B_L = 1/ωL, конденсатора В_C = -ωC, а также суммарной проводимости В_Σ, этих двух элементов, являющаяся реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. Аналогично, как и для последовательного колебательного контура, имеется некоторая частота, называемая резонансной, на которой реактивные сопротивления (а значит и проводимости) катушки и конденсатора одинаковы. На этой частоте суммарная проводимость параллельного колебательного контура без потерь обращается в нуль. Это значит, что на этой частоте колебательный контур обладает бесконечно большим сопротивлением переменному току.

Если построить зависимость реактивного сопротивления контура от частоты X_Σ = 1/B_Σ, эта кривая, изображённая на следующем рисунке, в точке ω = ω_р будет иметь разрыв второго рода. Сопротивление реального параллельного колебательного контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности — оно тем меньше, чем больше омическое сопротивление потерь в контуре, т.е уменьшается прямо пропорционально уменьшению добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности, характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.

Для параллельного колебательного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивление включены параллельно, добротность вычисляется:

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний и параллельного колебательного контура. В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, в следствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми. В этом случае говорят, что в цепи имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивности катушки и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление R_экв = Q·ρ. На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает реактивный характер на более низких частотах — индуктивный (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких — наоборот, емкостной (т к реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты).

В процессе работы контура, дважды за период колебаний, происходит энергетический обмен между катушкой и конденсатором (смотри рисунок). Энергия поочередно накапливается, то в виде энергии электрического поля заряженного конденсатора, то в виде энергии магнитного поля катушки индуктивности. При этом в контуре протекает собственный контурный ток I_к, превосходящий по величине ток во внешней цепи I в Q раз. В случае идеального контура (без потерь), добротность которого теоретически бесконечна, величина контурного тока также будет бесконечно большой. Но на практике, такого не бывает. В любом случае, качество элементов контура, их паразитные характеристики, электрические цепи, служащие для подвода энергии и отбора энергии из контура, не позволят контурному току расти.

Рассмотрим, как зависят коэффициенты передачи четырехполюсников от частоты, при включении в них не последовательных колебательных контуров, а параллельных.

Четырехполюсник, изображенный на рисунке, на резонансной частоте контура представляет собой огромное сопротивление току, поэтому при ω=ω_р его коэффициент передачи будет близок к нулю (с учетом омических потерь). На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура будет уменьшатся, а коэффициент передачи четырехполюсника — возрастать.

Для четырехполюсника, приведенного на рисунке выше, ситуация будет противоположной — на резонансной частоте контур будет представлять собой очень большое сопротивление и практически все входное напряжение поступит на выходные клеммы (т.е коэффициент передачи будет максимален и близок к единице). При значительном отличии частоты входного воздействия от резонансной частоты контура, источник сигнала, подключаемый к входным клеммам четырехполюсника, окажется практически закороченном накоротко, а коэффициент передачи будет близок к нулю.

Видео по теме: Колебательный контур

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

Обозначение на схеме

Последовательный колебательный контур – это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно. На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:

Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:

L – собственно сама индуктивность катушки

С – собственно сама емкость конденсатора

Колебательный контур и генератор частоты

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно “прячется” внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта U_ш, а также снимая осциллограмму с самого генератора U_ГЕН.

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

Влияние частоты на сопротивление колебательного контура

Итак, погнали. В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма – это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма – отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600 Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Резонанс

Давайте подробнее рассмотрим тот самый момент, когда сдвиг фаз был равен нулю и сила тока, проходящая через последовательный колебательный, контур была максимальна:

Это явление носит название резонанса.

Не будем углубляться в теорию высшей математики и комплексных чисел. Дело в том, что в этот самый момент реактивное сопротивление катушки и конденсатора становятся равными, но противоположными по знаку. Поэтому, эти реактивные сопротивления как-бы вычитаются друг из друга, что в сумме дает ноль, и в цепи остается только активная составляющая сопротивления, то есть то самое паразитное сопротивление катушки и конденсатора, или иначе, сопротивление потерь R.

Как вы помните, если у нас сопротивление становится малым, а в данном случае сопротивления потерь катушки и конденсатора очень маленькие, то в цепи начинает течь большая сила тока согласно закону Ома: I=U/R. Если генератор мощный, то напряжение на нем не меняется, а сопротивление становится пренебрежимо малым и вуаля! Ток растет как грибы после дождя, что мы и увидели, посмотрев на желтую осциллограмму при резонансе.

Формула Томсона

Если при резонансе у нас реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора X_L=X_C , то можно уравнять их реактивные сопротивления и уже отсюда вычислить частоту, на которой произошел резонанс. Итак, реактивное сопротивление катушки у нас выражается формулой:

Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле:

Приравниваем обе части и вычисляем отсюда F:

В данном случае мы получили формулу резонансной частоты. Это формула по другому называется формулой Томсона, как вы поняли, в честь ученого, который ее вывел.

Давайте по формуле Томсона посчитаем резонансную частоту нашего последовательного колебательного контура. Для этого я буду использовать свой RLC-транзисторметр.

Замеряем индуктивность катушки:

И замеряем нашу емкость:

Высчитываем по формуле нашу резонансную частоту:

У меня получилось 5, 09 Килогерц.

С помощью регулировки частоты и осциллографа я поймал резонанс на частоте 4,78 Килогерц (написано в нижнем левом углу)

Спишем погрешность в 200 с копейками Герц на погрешность измерений приборов. Как вы видите, формула Томпсона работает.

Резонанс напряжений

Давайте возьмем другие параметры катушки и конденсатора и посмотрим, что у нас происходит на самих радиоэлементах. Нам ведь надо досконально все выяснить ;-). Беру катушку индуктивности с индуктивностью в 22 микрогенри:

и конденсатор в 1000 пФ

Итак, чтобы поймать резонанс, я не буду в схему добавлять резистор. Поступлю более хитрее.

Так как мой генератор частоты китайский и маломощный, то при резонансе у нас в цепи остается только активное сопротивление потерь R. В сумме получается все равно маленькое значение сопротивления, поэтому ток при резонансе достигает максимальных значений. В результате этого, на внутреннем сопротивлении генератора частоты падает приличное напряжение и выдаваемая амплитуда частоты генератора падает. Я буду ловить минимальное значение этой амплитуды. Следовательно это и будет резонанс колебательного контура. Перегружать генератор – это не есть хорошо, но что не сделаешь ради науки!

Ну что же, приступим ;-). Давайте сначала посчитаем резонансную частоту по формуле Томсона. Для этого я открываю онлайн калькулятор на просторах интернета и быстренько высчитываю эту частоту. У меня получилось 1,073 Мегагерц.

Ловлю резонанс на генераторе частоты по его минимальным значениям амплитуды. Получилось как-то вот так:

Размах амплитуды 4 Вольта

Хотя на генераторе частоты размах более 17 Вольт! Вот так вот сильно просело напряжение. И как видите, резонансная частота получилась чуток другая, чем расчетная: 1,109 Мегагерц.

Теперь небольшой прикол 😉

Вот этот сигнал мы подаем на наш последовательный колебательный контур:

Как видите, мой генератор не в силах выдать большую силу тока в колебательный контур на резонансной частоте, поэтому сигнал получился даже чуть искаженным на пиках.

Ну а теперь самое интересное. Давайте замеряем падение напряжения на конденсаторе и катушке на резонансной частоте. То есть это будет выглядеть вот так:

Смотрим напряжение на конденсаторе:

Размах амплитуды 20 Вольт (5х4)! Откуда? Ведь подавали мы на колебательный контур синус с частотой в 2 Вольта!

Ладно, может с осциллографом что-то произошло?. Давайте замеряем напряжение на катушке:

Народ! Халява. Подали 2 Вольта с генератора, а получили 20 Вольт и на катушке и на конденсаторе! Выигрыш энергии в 10 раз! Успевай только снимать энергию или с конденсатора или с катушки!

Ну ладно раз такое дело… беру лампочку от мопеда на 12 Вольт и цепляю ее к конденсатору или катушке. Лампочке ведь вроде как по-барабану на какой частоте работать и какой ток кушать. Выставляю амплитуду, чтобы на катушке или конденсаторе было где то Вольт 20 так как среднеквадратичное напряжение будет где-то Вольт 14, и цепляю поочередно к ним лампочку:

Как видите – полный ноль. Лампочка гореть не собирается, так что побрейтесь фанаты халявной энергии). Вы ведь не забыли, что мощность определяется произведением силы тока на напряжение? Напряжения вроде как-бы хватает, а вот силы тока – увы! Поэтому последовательный колебательный контур носит также название узкополосного (резонансного) усилителя напряжения, а не мощности!

Давайте обобщим, что у нас получилось в этих опытах.

При резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе оказались намного больше, чем то, которое мы подавали на колебательный контур. В данном случае у нас получилось в 10 раз больше. Почему же напряжение на катушке при резонансе равняется напряжению на конденсаторе. Это легко объясняется. Так как в последовательном колебательном контуре катушка и кондер идут друг за другом, следовательно, в цепи протекает одна и та же сила тока.

При резонансе реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора. Получаем по правилу шунта, что на катушке у нас падает напряжение U_L = IX_L, а на конденсаторе U_C = IX_C. А так как при резонансе у нас X_L = X_C, то получаем что U_L = U_C , ток ведь в цепи один и тот же ;-). Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют также резонансом напряжений, так как напряжение на катушке на резонансной частоте равняется напряжению на конденсаторе.

Добротность

Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:

Давайте посчитаем добротность в нашем случае.

Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала генератора частоты 2 Вольта.

А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.

Считаем по формуле добротности:

Q=20/2=10. В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.

Есть также вторая формула для вычисления добротности.

R – сопротивление потерь в контуре, Ом

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.

Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура – это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.

Резюме

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных последовательно.

Катушка и конденсатор имеют паразитные омические потери, так как не являются идеальными радиоэлементами. Сумма этих потерь называется сопротивлением потерь R последовательного колебательного контура.

На какой-то частоте реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора и в цепи последовательного колебательного контура наступает такое явление, как резонанс.

При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому они вычитается и в сумме дают ноль. В цепи остается только активное сопротивление потерь R.

При резонансе сила тока в цепи становится максимальной, так как сопротивление потерь катушки и конденсатора R в сумме дают малое значение.

При резонансе напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе и превышает напряжение на генераторе.

Коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение на катушке либо на конденсаторе превышает напряжение на генераторе, называется добротностью Q последовательного колебательного контура и показывает качественную оценку колебательного контура. В основном стараются сделать Q как можно больше.

На низких частотах колебательный контур имеет емкостную составляющую тока до резонанса, а после резонанса – индуктивную составляющую тока.

Резонансная частота, добротность последовательного контура

Выведем формулу резонансной частоты:

Вывод: резонанс напряжений наступает тогда, когда частота питающего напряжения равна частоте собственных колебаний контура .

Настроить контур в резонанс можно:

1) изменяя L или C, при этом подгоняем частоту собственных колебаний под частоту питающего напряжения;

2) можно изменять частоту питания, подгоняя её под частоту собственных колебаний контура.

Т. к. , то можно записать, что .

Сопротивление катушки и конденсатора на резонансной частоте равно характеристическому сопротивлению контура.

Формула добротности:

Вывод:добротность в последовательном контуре показывает, во сколько раз напряжение на выходе больше, чем на входе в момент резонанса.

Расстройка колебательного контура. Виды расстроек. Входные АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура. Характер реактивного сопротивления последовательного колебательного контура на резонансной частоте и на частотах больше и меньше резонансной

Расстройка — отклонение частоты от резонансной. Различают:

1) Абсолютная расстройка — разность текущей частоты и резонансной:

Расстройка может и положительной и отрицательной.

2) Относительная расстройка — отношение абсолютной расстройки к резонансной частоте:

3) Обобщённая расстройка — отношение реактивного сопротивления x к резистивному:

Обычно входные характеристики строят от расстройки.

 

Входные АЧХ и ФЧХ последовательного контура

, где

— формула входной АЧХ последовательного контура

(на резонансной частоте все расстройки равны 0)

Вывод: на резонансной частоте сопротивление последовательного контура имеет наименьшее значение . По мере увеличения расстройки сопротивление контура возрастает.

ФЧХ:

— формула входной ФЧХ последовательного контура

Вывод: на резонансной частоте последовательный контур имеет чисто активное сопротивление: . На частотах меньше резонансной характер сопротивления активно-емкостной, т. к. . На частотах больше резонансной характер сопротивления активно-индуктивный: .

Передаточные АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура, его избирательные свойства. Полоса пропускания. Прохождение через колебательный контур сигналов негармонической формы

Обычно спектр частот радиосигнала составляет 2-3% от несущей частоты, поэтому можно приблизительно считать

— передаточная АЧХ последовательного контура в абсолютных координатах

Вывод: на резонансной частоте коэффициент передачи последовательного контура максимальный: .

ФЧХ:

На выходе стоит конденсатор, поэтому напряжение выхода отстаёт от тока на 90°. Угол практически равен углу выходного напряжения, поэтому характеристику сдвигаем на 90° вниз:

Передаточная ФЧХ имеет линейный участок при расстройках от до .

 

Прохождение через колебательный контур сигналов негармонической формы. Избирательные свойства последовательного контура

Избирательность — способность цепи различать сигналы по частоте. Подадим на последовательный контур сигнал, который состоит из 5 гармоник одинаковой амплитуды.

На выходе амплитуда сигнала не резонансной частоте будет максимальной, т. к. , и на этой частоте самый большой коэффициент передачи.

Вывод: последовательный контур обладает избирательностью по напряжению. Он выделяет сигнал резонансной частоты.

 

Полоса пропускания контура — область частот, на границах которой модуль комплексного коэффициента передач уменьшается в раз по сравнению с резонансным.

На уровне полосы пропускания коэффициент обозначается :

Нарисуем передаточную характеристику :

Вывод: чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

1)

2)

Кривые тока и напряжения такого вида называются резонансными.

Примечание:

При малых расстройках напряжение на катушке и конденсаторе можно рассчитать по формуле:

Принципиальная схема параллельного колебательного контура. Резонанс токов в параллельном колебательном контуре, условие резонанса. Свойства электрической цепи при резонансе токов. Резонансная частота, добротность

Контур называется параллельным, если катушка, конденсатор и источник соединены параллельно.

В параллельном контуре может возникнуть резонанс токов, когда напряжение и ток на входе совпадают по фазе: .

— условие резонанса токов

Проводимость индуктивная равна проводимости емкостной.

При резонансе токов сопротивление параллельного контура максимально.

 

Свойства цепи при резонансе токов:

1. Ток в момент резонанса:

При резонансе токов общий ток минимальный.

2. На практике ,

При резонансе токов токи ветвей приблизительно равны.

3. Построим векторную диаграмму для резонанса токов:

Если бы (контур идеальный), то токи , и общий ток был бы равен 0, но т. к. есть небольшое , то существует активная составляющая тока (маленькая) и общий ток равен этой активной составляющей.

4. Выведем формулу резонансной частоты. Для этого

Вывод: резонанс токов наступает тогда, когда частота питающего напряжения равна частоте собственных колебаний контура.

Получить резонанс токов можно, изменяя L или C, или частоту питающего напряжения.

5. Энергетический процесс при резонансе токов такой же, как и при резонансе напряжений:

 

Рассчитаем токи в момент резонанса:

Вывод: добротность в параллельном контуре показывает, во сколько раз токи ветвей больше общего тока в момент резонанса, поэтому это явление и называется резонанс тока.

 

Добротность резонанса. Повышение Q контура. Модификации схемы РЧ-делителя

Работая с эквалайзерами, мы чаще всего пользуемся всего двумя параметрами – Freq , который определяет центральную частоту фильтра и Gain , который определяет коэффициент усиления на центральной частоте фильтра. К этому списку можно добавить еще выбор типа фильтров эквалайзера, но практически во всех современных программных эквалайзерах этот выбор происходит автоматически и зависит от первоначального места размещения узла на частотном диапазоне. Если вы щелкнете мышью в области 20-30 Гц, скорее всего будет создан фильтр верхних частот; если создать узел в районе 60-70 Гц, скорее всего будет создана низкочастотная полка; если создать узел выше 100 Гц, будет создан колокол, и т.д. Конечно, для каждого эквалайзера значения частоты для определения типа фильтров будут разными, но тенденция рынка такова – современный эквалайзер должен определять типы кривых фильтров эквалайзера автоматически. Таким образом, у нас с вами остается всего два параметра (Freq, Gain), с которыми мы и осуществляем манипуляции. В этом списке чего-то не хватает, не так ли?

Наравне с параметрами центральной частоты и коэффициента усиления фильтров, существует еще один крайне важный параметр – добротность фильтров (Q ), который определяет ширину усиливаемой или ослабляемой полосы частот и определяется как отношение центральной частоты к ширине этой полосы, лежащей в пределах 3 дБ от коэффициента усиления на центральной частоте. Проще говоря, чем выше значение добротности, тем уже полоса частот, и чем ниже значение добротности, тем полоса частот шире. Все это, в первую очередь, касается колоколообразных фильтров. Для полочных и обрезных фильтров значение добротности определяет крутизну спада фильтров на центральной частоте. Таким образом, в ваших руках появляется инструмент, способный формировать частотные ландшафты – от пологих возвышенностей до отвесных скал.

Как же использовать параметр добротности (Q) на практике?

Существует несколько важных вещей, которые стоит учитывать при настройке параметра добротности:

1. Усиливая полосу частот, уменьшаем значение добротности

Основной задачей эквализации является, в первую очередь, получение оптимального баланса частот внутри отдельных инструментов, что в итоге способствует балансировке всего микса. Исходя из этого, любое усиление частот должно быть мягким и аккуратным. Человеческий слух очень цепко реагирует на слишком громкие диапазоны частот, поэтому для сохранения баланса звучания при усилении частот важно использовать именно широкие полосы, соответствующие низким значениям добротности.

2. Ослабляя полосу частот, увеличиваем значение добротности

Любой срез или ослабление частот влечет за собой достаточно существенное изменение внутреннего баланса инструмента и, соответственно, его звучания. С помощью ослабления частотных полос можно решить множество вопросов, включая подавление грязи, шума, бубнения, гула, ватности, свиста и других нежелательных призвуков, но в то же время при неправильной настройке добротности фильтров можно существенно навредить инструменту, сделав его звучание тусклым, тонким и вялым. Чтобы избежать этих неприятных вещей, достаточно увеличить значение добротности фильтров и ослаблять достаточно узкие диапазоны частот. Таким образом вы уберете лишнее, оставив при этом все полезные частоты. При использовании экстремально высоких значений добротности колоколообразного фильтра, можно создать режекторный фильтр, который отлично подходит для подавления какой-то конкретной частоты или узкой полосы частот. Это бывает полезно, когда нужно подавить очень сильные резонансы или же удалить статичный шум, например, гул от электросети на 50 или 60 Гц, в зависимости от региона, в котором была осуществлена запись.

3. Не используйте слишком высокие значения крутизны спада для обрезных фильтров

В свое время я мечтал найти такой эквалайзер, в котором был бы обрезной фильтр, способный срезать частоты под углом 90 градусов, то есть такой себе brickwall-фильтр. Но когда я нашел такой фильтр в IZotope Ozone и включил его, я понял, что он звучит очень немузыкально. Действительно, подавление частот ниже центральной частоты фильтра было впечатляющим – фильтр резал все, но это ли мне было нужно на самом деле? Я хотел получить чистый, аккуратный, точный и приятный для слуха срез, а в итоге получил красивую картинку для глаз и ужасный сдвиг фазы для ушей. Таким образом, я понял, что при настройке добротности (крутизны) обрезных фильтров нужно учитывать скорее не степень подавления частот, а скорее тандем подавление/музыкальность. Наиболее музыкально звучат обрезные фильтры с подавлением в 6 и 12 дБ на октаву. Если нужно использовать фильтры с подавлением в 24 дБ на октаву или выше, лучше применить линейнофазовые фильтры, которые не создают фазовых искажений. При использовании обрезных фильтров с высокой крутизной на отдельных дорожках особых проблем может и не возникнуть, но если вы используете такие фильтры на подгруппах или тем более на мастер-канале – будьте готовы к тому, что инструменты могут потерять локализацию, а стереокартина «поплыть».

4. Изучите документацию к вашим эквалайзерам

Во многих классических аналоговых эквалайзерах (например, API 550), и их эмуляциях соответственно, используется не постоянное значение добротности относительно усиления, а пропорциональное, то есть чем меньше коэффициент усиления, тем меньше значение добротности, и наоборот, чем выше коэффициент усиления, тем выше значение добротности. Учитывайте такие особенности в поведении отдельных приборов, чтобы процесс сведения был осмысленным, а не работой вслепую. Зависимость параметра Q от Gain также можно найти во многих программных эквалайзерах — Type 3 и Type 4 в Sonnox Oxford EQ работают «аналоговым» образом: различие этих режимов заключается в том, что при одинаковом уровне усиления, ширина полосы при низких значениях Gain для Type 3 будет уже, чем для Type 4, но при максимальном значении Gain ширина полосы для Type 3 будет такой же, как и для Type 4.

5. Полоса частот с низкой добротностью затрагивает не только узкую область вокруг центральной частоты фильтра

Вы задумывались когда-нибудь о том, почему при использовании высокочастотной полки на 10 кГц инструменты начинают звучать очень сочно, а не просто воздушно? Все дело в том, что чем сильнее вы будете усиливать высокочастотную полку с центральной частотой на 10 кГц, тем сильнее она будет захватывать нижестоящие частоты, тем самым усиливая не только высокие частоты, но и высокую средину. Усиление именно этих, более низких частот, а не верха от 10 кГц, и дает этот эффект яркости и сочности. Чем более пологие склоны полочных фильтров, тем больше будет захвачено частот в стороне от центральной частоты фильтра. Помните об этом и всегда спрашивайте себя о том, что же вы хотите усилить или ослабить в действительности? Вы хотите манипулировать всем этим огромным частотным диапазоном внутри полки или же на самом деле вас интересует какая-то конкретная частота рядом с ней?

Экспериментальный Q-метр

Lloyd Butler, VK5BR
В статье описывается фактор добротности Q, методика измерения добротности, индуктивности, ёмкости с использованием Q-метра и разработка экспериментального измерителя Q.

Введение

Много лет Q-метр (измеритель добротности) остаётся нужным прибором в лабораториях, занимающихся исследованием радиочастотных схем. В современных лабораториях Q-метр заменяют, в большинстве случаев, более экзотичные (и более дорогие) приборы для измерения импедансов и сегодня уже невозможно найти производителя, который бы всё ещё выпускал Q-метры. Для радиолюбителя Q-метр является очень важной частью необходимого набора измерительной аппаратуры, и автор излагает несколько своих соображений о том, как можно сделать для своей лаборатории простой Q-метр. Для тех, кто незнаком с этим устройством, включены некоторые вводные понятия о добротности Q и её измерении.

Что такое добротность (Q) и как её измеряют?

Фактор Q или добротность катушки индуктивности обычно выражается как отношение её последовательного реактивного сопротивления к активному. Мы также можем выразить добротность конденсатора через отношение его последовательного реактивного сопротивления к активному, хотя конденсаторы, обычно, характеризуются фактором D или рассеянием, который является величиной обратной Q.

Настроенный контур при резонансе характеризуется величиной добротности (которая обозначается) Q. В этом случае, Q равна отношению реактивного сопротивления индуктивного или ёмкостного характера к полному последовательному сопротивлению потерь в резонансном контуре. Чем больше сопротивление потерь и ниже добротность Q, тем больше потери мощности на каждом цикле генерации в резонансном контуре и, отсюда, больше мощность, необходимая для возникновения генерации.

Другим способом добротность Q можно вывести так:

Q = fo/Δf, где fo — резонансная частота, Δf полоса по уровню — 3 дБ
(См. Примечание)

Порой мы употребляем выражение: “нагруженная добротность”, например, в случае контуров передатчика, и, в этом случае, активное сопротивление для расчёта величины добротности (Q) является величиной последовательного активного сопротивления ненагруженного резонансного контура плюс дополнительное активное сопротивление потерь, отражённое, в свою очередь, обратно в контур из связанной с ним нагрузки.

Существуют и другие способы выражения Q. Добротность может быть выражена как отношение эквивалентного параллельного (контуру) активного сопротивления к реактивному сопротивлению индуктивного или ёмкостного характера. Последовательное сопротивление потерь может быть преобразовано в эквивалентное параллельное сопротивление по следующей формуле:

R(shunt) = R (series). (Q² + 1)

Наконец, Q или добротность резонансного контура равна фактору увеличения напряжения и Q может также быть выражена отношением напряжения, развиваемого на реактивных элементах к напряжению, поданному последовательно с контуром, для получения действующего напряжения. Для измерения добротности, Q-метры используют, именно, этот принцип.

Основная схема Q-метра показана на Рис. 1. Выходные зажимы служат для подключения испытуемых индуктивностей (Lx), которые в схеме контура на резонансную частоту настраиваются с помощью КПЕ (C). Зажимы также предусмотрены и для дополнительного подключения емкостей (Cx), если это необходимо. Резонансный контур возбуждается от перестраиваемого источника сигнала, который развивает напряжение на резисторе, включенном последовательно с контуром. Резистор должен иметь малое, по сравнению с сопротивлением потерь измеряемых компонентов, сопротивление, такое, чтобы им можно было пренебречь. Необходимая величина сопротивления составляет малую долю Ома. Измерения производятся для установления величины подводимого напряжения переменного тока на последовательно включенном резисторе и величины выходного переменного напряжения на зажимах КПЕ настройки. Для измерения на выходе необходимо применять схему с высоким входным импедансом, чтобы не нагружать резонансный контур измерительной схемой.

Рис. 1. Структурная схема Q-метра.
При резонансе Lx и Cx, Q = V2/V1
*Измеритель V2 откалиброван для считывания напряжения на конденсаторе С.

Добротность измеряется при настройке генератора сигналов и/или установке КПЕ настройки прибора в положение резонанса контура, соответствующее максимальному выходному напряжению. Добротность Q рассчитывается как отношение выходного напряжения на резонансном контуре к напряжению, поданному на него. На практике, уровень источника сигнала (генератора сигнала) настраивается на калибрационную точку по шкале измерителя, который измеряет приложенное напряжение, а Q прямо считывается с калиброванной шкалы прибора измеряющего выходное напряжение контура.

Некоторые применения Q-метра

Q-метр может быть применён для многих целей. Как следует из его названия, он может применяться для измерения добротности Q и обычно применяется при измерении добротности катушек индуктивности. Поскольку внутренний конденсатор имеет воздушный диэлектрик, его сопротивление потерь ничтожно по сравнению с таковым у катушек индуктивности и поэтому добротность измеряется у них.

Значение Q может измеряться в значительных пределах у разных типов катушек и в разных диапазонах частот. Миниатюрные катушки промышленного изготовления, такие как Siemens B78108 или типов Lenox-Fugal Nanored, выполненные на ферритовых сердечниках и работающие на частотах до 1 МГц, имеют типовую добротность Q в районе от 50 до 100. Бескаркасные катушки, намотанные с шагом, такие как контуры на выходе передатчика и работающие на частотах выше 10 МГц имеют ожидаемое значение Q в области 200…500. У некоторых катушек добротность довольно низка и составляет на некоторых частотах 5…10, такие катушки обычно не применяют в избирательных системах или узкополосных фильтрах. Неоценимую помощь окажет здесь Q-метр.

(В своё время, ко мне обратился один коротковолновик, у которого во вновь построенном трансивере не настраивался полосовой диапазонный фильтр. Добротность его катушек оказалось настолько низкой, что поймать какие-либо резонансы оказалось невозможным. При ближайшем рассмотрении оказалось, что катушки ПФ были намотаны проводом не ПЭЛШО, а ПЭЛШКО, т.е., константановым! Добротность катушек сильно зависит и от активного сопротивления провода, чем оно меньше, тем выше добротность катушки при прочих равных условиях. Будь тогда под руками Q-метр, не пришлось бы долго ломать голову и анализировать причину – UA9LAQ).

Конденсатор настройки (C) Q-метра имеет градуированную шкалу в пикофарадах (пФ), так что в союзе с калиброванным сигнал — генератором, с которого напряжение для производства измерений подаётся на Q-метр, может быть определено и значение индуктивности (Lx). Колебательный контур просто настраивается в резонанс на частоту сигнал-генератора или изменением частоты последнего или/и с помощью КПЕ в Q-метре (или внешнего в контуре) по максимуму напряжения, который регистрируется на измерителе прибора, искомая индуктивность (Lx) затем высчитывается по известной формуле:

Lx = 1/4π²f²C

Если взять L, мкГн, C, пФ и f, МГц, то формула превратится в:

25330/f²C

Другим применением Q-метра может быть измерение значений ёмкости небольших (в смысле ёмкости) конденсаторов. При условии, что ёмкость измеряемого конденсатора меньше максимальной ёмкости внутреннего КПЕ, её очень легко измерить. Во-первых, подключаемый конденсатор резонирует с выбранной индуктивностью на определённой частоте, — определяется при настройке напряжением от сигнал-генератора, при КПЕ настройки прибора, установленном на отметку минимума его ёмкости по калиброванной шкале. Затем, испытуемый конденсатор отключается, при той же частоте от сигнал-генератора, КПЕ настройки устанавливается в положение резонанса вновь (увеличением его ёмкости). Разница в ёмкости между двумя значениями по шкале КПЕ и будет равна ёмкости подключаемого для определения ёмкости конденсатора (т. е., измерение ёмкости производится методом замещения в резонансном контуре – UA9LAQ). Большие значения емкостей могут быть измерены при смене частоты сигнал-генератора для достижения резонанса и использовании соответствующей формулы для резонанса.

Не только выбор “неважной” катушки индуктивности приводит к низкой добротности контура, некоторые типы конденсаторов (и экземпляры), применяемые в контурах, имеют большое сопротивление потерь, что также приводит к снижению добротности контура. Небольшие керамические конденсаторы часто используют в резонансных контурах, но многие из них имеют высокие сопротивления потерь, изменяющиеся в широких пределах внутри одного типа. Если необходимо, чтобы в высокодобротном резонансном контуре были применены керамические конденсаторы, благоразумно, подобрать их по наименьшему сопротивлению потерь и Q-метр может оказать здесь неоценимую услугу. Чтобы это осуществить, необходимо взять высокодобротную катушку (с Q не менее 200) и подключив к прибору, ввести её в резонанс с имеющимся в составе Q-метра КПЕ (C), а затем, с отдельными, взятыми для проверки конденсаторами, подключаемыми параллельно. Большая потеря добротности контура, при подключении конденсаторов, позволит быстро выявить экземпляры непригодные для использования.

Распределённая ёмкость катушки

Прямое измерение добротности катушек индуктивности, упомянутое выше, основано на схеме, состоящей из двух компонентов: индуктивности и ёмкости. Катушки также имеют распределённую (межвитковую) ёмкость (C d), и, если эта ёмкость составляет значительную часть от настроечной (сосредоточенной), то мы получим меньшее значение добротности контура, чем ожидали. Большое значение распределённой ёмкости – обычное явление, когда мы имеем значение с многовитковыми катушками, намотанными виток к витку и многослойными катушками.

Действительное значение добротности может быть вычислено из Q e , как явствует из следующего:

Q = Q e (1 + C d /C)
где C d = распределённая ёмкость
C = ёмкость настройки

Ошибка в значении Q уменьшается, при резонансе с большим значением ёмкости настроечного конденсатора, или распределённая ёмкость может быть измерена и подставлена в вышеприведённую формулу. Два метода измерения распределённой ёмкости описаны в «Boonton Q Meter Handbook». Самый простой из них считается довольно точным для распределённых емкостей превосходящих 10 пФ и он описывается таким образом:

1. С помощью конденсатора настройки прибора (C) установите значение C1 (скажем, 50 пФ), введите колебательный контур, образованный совместно с образцовой индуктивностью, в резонанс подстройкой частоты сигнал — генератора.

2. Установите частоту сигнал — генератора на половинную от частоты резонанса и снова настройте контур в резонанс, вращая ротор С для получения нового значения ёмкости С2.

3. Распределённую ёмкость посчитайте по формуле: C d = (C2 -4C1) /3

Другим проявлением распределённой ёмкости в катушке индуктивности является получение величины индуктивности (вычисленной по установкам конденсатора настройки и сигнал — генератора) выше, чем есть на самом деле. И, снова, значение ошибки может быть уменьшено, если использовать большее значение ёмкости настроечного конденсатора С и/или добавить в расчёте к С, вычисленную отдельно ёмкость C d.

Экспериментальный экземпляр

От небольшой схемки и экспериментов переёдём к практической схеме Q-метра, показанной на Рис. 2. Источник сигнала здесь не приводится, так как лаборатория экспериментатора в области радио немыслима без таких приборов как сигнал – генератор, ГСС и их можно использовать с Q-метром в качестве приставки. Добавление источника сигнала внутрь корпуса (как это было бы в случае Q-метра промышленного изготовления) приведёт к усложнению схемы и размеров устройства, что нежелательно, особенно, на начальной стадии конструкторской деятельности.

Рис. 2. Схема Q- метра.
К выводам 1-4 подключаются тестируемые индуктивности Lx и ёмкости Cx.
R13 (0,2 Ом) состоит из пяти 1-омных резисторов, соединённых параллельно. Для калибровки установите уровень сигнала ГСС на середину шкалы М1.

В разработке схемы, наибольшей проблемой явилось: как измерять напряжение источника сигнала на сопротивлении в малые доли Ома. Первой мыслью было: использовать многопроводный тороидальный понижающий трансформатор, подключаемый к источнику с высоким сопротивлением. (В таком трансформаторе коэффициент связи высок, а индуктивность утечки (leakage inductance) — низка). Но, в этом случае, индуктивность утечки, отражённая последовательно со вторичной обмоткой оказывается, всё-таки, большой и от идеи пришлось отказаться.

Другой идеей было: воспользоваться низким сопротивлением источника мощного повторителя напряжения для прямого инжектирования сигнала в измерительный контур. Для этих целей была использована схема повторителя, который обозначен как V2-V3 на Рис. 2. Этот тип схемы имеет широкую полосу пропускаемых частот с очень низким сопротивлением источника и был использован ранее как буферный для передачи видеосигналов в низкоомную линию передачи. Для достижения низкого сопротивления источника, повторитель установлен в режим со значительным током коллектора – 100 мА. Отсюда транзисторы V2 и V3 в корпусах ТО5 довольно сильно греются. Схема работает хорошо на низких частотах, а на высоких (10…30 МГц) сопротивление источника начинает расти, что сказывается на значениях Q, которые становятся ниже ожидаемых.

В схеме Рис. 2 применён каскад повторителя напряжения, но каскад использован для получения напряжения на резисторе R13, сопротивление которого составляет лишь доли Ома, о чём уже упоминалось ранее. Значение сопротивления действительно составляет 0,2 Ом. Конечно же, повторитель не может работать прямо на такую низкоомную нагрузку, которая подключается через резисторы R11 и R12 (сумма сопротивления которых составляет 25 Ом), так что выходное напряжение в 125 раз меньше инжектированного в резонансный контур.

Предоконечный каскад усилителя мощности раскачивается эмиттерным повторителем (V1). У него высокое входное сопротивление и, отсюда, сопротивление нагрузки, прилагаемое к внешнему источнику сигнала, в основном, определяется включенными параллельно резисторами Rl и R3 (примерно 2300 Ом).

Тестируемая индуктивность (Lx) присоединяется к зажимам 1 и 2, а внешняя ёмкость (Cx), если нужно, присоединяется к зажимам 3 и 4. Настройка осуществляется КПЕ Ca, обычным секционным конденсатором от радиовещательного приёмника, с секциями соединёнными параллельно для получения общей максимальной ёмкости порядка 800 пФ.

Высокоимпедансный вход вольтметру обеспечивает каскад на полевом транзисторе V4, включенный истоковым повторителем, пиковый детектор (C6, D1, R17, C8, R20) и операционный усилитель N1-A обеспечивают работу прибора с максимальным током отклонения стрелки 100 мкА. Второй ОУ NI-B в корпусе uA747 обеспечивает сдвиг напряжения для N1-A.

Переключатель (S1) имеет три положения. Первое положение, обозначенное CAL, используется для установки уровня сигнала, который устанавливается по отклонению стрелки прибора М1 в среднее положение. (На входе V1 уровень сигнала должен составлять порядка 1 Врр). Если уровень сигнала установлен правильно, положение 2 переключателя обеспечивает прямое считывание Q от 0 до 100 по шкале прибора, а положение 3 переключателя обеспечивает прямой отсчёт Q от 0 до 500. Для низких значений Q калибрационный уровень в положении 1 переключателя устанавливается на всю шкалу прибора, так что в положении 2 переключателя можно измерять величины добротности Q в пределах 0…50.

Уровни сигналов, подаваемых на схему вольтметра переменного тока пропорционализированы так, чтобы находиться над нелинейным участком диодных характеристик, но в пределах размаха напряжения сигнала, обусловленного напряжением питания. В положении 1 переключателя (CAL)- “Калибровка” усиление N1-A по напряжению равно 2, в положении 2 – 5, в положении 3 – 1.

Напряжение питания выбрано равным 12 В, но точное значение его некритично. Потребляемый по питанию ток достаточно велик (примерно 100 мА) из-за большого потребления повторителя на V2-V3.

Работа

Сравнивая значения Q со значениями, полученными на других приборах, обнаруживаем, что Q-метр довольно точен и вполне подходит для радиолюбительских измерений. Для очень больших значений добротности (примерно, 400), при Са, установленном на минимум, значение добротности получается на немного ниже. Это происходит из-за потерь в резисторе R14, соединённым последовательно со входной ёмкостью V4. (Получаемый результат может быть увеличен исключением R14, но, без него, V4 склонен к нестабильности, когда Са подключен непосредственно к его входу). Для большего значения Ca, входная ёмкость V4 маскируется, так как ошибка, в этом случае, составляет меньший процент и меньше заметна.

Точность измерения индуктивности и ёмкости обусловлена точностью источника сигнала и точностью градуировки шкалы конденсатора прибора. Для того, кто заинтересуется изготовлением прибора, калибровку шкалы можно провести прямым измерением ёмкости с использованием емкостного моста или другого Q-метра. Другой метод – использование калибровки источника сигнала в союзе с калиброванной катушкой индуктивности. Для различных положений ротора КПЕ, частота источника сигнала устанавливается так, чтобы получить резонанс в контуре с калиброванной катушкой индуктивности, затем, ёмкость высчитывается по формуле. Приняв значение индуктивности эталонной катушки и частоту сигнал-генератора за прецизионные величины, мы получим, таким образом, наверное, самый лучший способ, так как это учитывает и дополнительную ёмкость проводов и активную входную ёмкость V4.

Устройство работало отлично в диапазоне частот 100 кГц…40 МГц. Попытка использовать устройство на частотах выше 40 МГц приводила к получению ложных результатов, но эксплуатацию прибора в УКВ-диапазоне, наверное, можно осуществить, применив соответствующий монтаж, детали, возможно, поправочные градуировочные таблицы.

Примечания по сборке

Транзисторы V2-V3 (типа 2N2218) имеют максимальную рабочую частоту 250 МГц и рассеиваемую мощность 680 мВт при 50 градусах Цельсия. Они могут быть заменены другими транзисторами с идентичными характеристиками. Таким же образом, транзисторы: V1 (2N3563) и V4 (FET (ПТ) — 2N3819) могут быть заменены другими малосигнальными транзисторами, имеющими высокую граничную частоту.

Итоги

В статье представлены идеи о том, как построить простой Q-метр и как его запустить в дело. О других применениях этого универсального прибора можно прочитать на страницах справочников, таких, например, как подготовленные Boonton Radio Corporation.

Литература:

1. Manual of Radio Frequency Measurements for the Q Meter. Boonton Radio Corporation.

Приложение. Предусилитель источника сигнала

Экспериментальный Q-метр, схема которого приведена выше, требует уровень входного сигнала генератора около 1 Врр. Не все сигнал — генераторы обеспечивают такой уровень на своём выходе, для работы с такими генераторами, на сигнальном входе прибора требуется включение предусилителя.

Рис. 3. Предусилитель измерителя добротности (100 кГц…40 МГц).

Широкополосный усилитель, показанный на Рис. 3, обеспечивает усиление примерно 10 на протяжении рабочего диапазона Q-метра, равного 100 кГц…40 МГц. Установленный на входе Q-метра он увеличивает чувствительность его входа до примерно 0,1 Врр, что расширяет парк подключаемых источников сигнала, генераторов. В приборе нет регуляторов усиления, так как обычно в генераторах таковые имеются: регулируемые аттенюаторы для установки уровня выходного сигнала.

Для тех, кто будет повторять Q-метр: предусилитель явится полезным добавлением при работе с сигнал – генераторами, имеющими низкий уровень выходного напряжения.

Модификации схемы РЧ-делителя

Схема делителя в оригинале на Рис. 1 состоит из R11, R12 и R13. С помощью этого делителя производится деление РЧ напряжения на 125, так что напряжение на резисторе R13 (0,2 Ома) составляет 1/125 от напряжения поступающего с усилителя мощности. Всё это прекрасно работает на низких частотах, но с ростом частоты, фактор сдвига (смещения) уменьшается (частотная зависимость делителя напряжения в союзе с соединительными проводами – UA9LAQ), что даёт завышение показаний величины добротности Q, по отношению к действительным.

Объяснение этому заключается в следующем: схема от вывода 1, через R13 к выводу 3 является коротким проводником, который обладает конечной величиной индуктивности. Если мы примем длину проводника, равной 5 см, то его индуктивность будет равна примерно 0,02…0.03 мкГн, в зависимости от диаметра проводника. Если эта индуктивность имеет небольшую величину, то её реактивное сопротивление на частотах 6…8 МГц составит примерно 1 Ом. Совершенно ясно, что такое высокое реактивное сопротивление, включенное последовательно с резистором R13 сопротивлением 0,2 Ом, увеличивает пропорцию напряжения на выводах 1 и 3 с ростом частоты.

Чтобы нивелировать этот эффект, была проведена модификация схемы, показанная на Рис. 4. Идея заключается в создании противополя вокруг R13 током, текущим по нему, при этом, имеющаяся индуктивность уничтожается (компенсация индуктивности, вроде компенсации сопротивления соединительных проводов с акустическими системами в УЗЧ, частный случай – UA9LAQ). Чтобы получить поле достаточной величины, три последовательно соединённых проводника, несущих входной ток, прикреплены к пяти параллельно соединённым резисторам, образующим R13 сопротивлением 0,2 Ом.

Другим дополнением является резистор R25 сопротивлением 43 Ом. Провода, свёрнутые вокруг R13, образуют катушку, и резистор R43 добавляется, чтобы снизить Q (добротность) этой катушки и предотвратить нестабильность в цепях усилителя, которая появляется, если не добавить резистор R25.

Проверено, в Q-метре отношение смещения сохранялось, практически неизменным до 40 МГц, с небольшими колебаниями в районе частот 20…30 МГц. Модификация значительно увеличивает точность прямого измерения Q.

Рис. 4. Модификации схемы РЧ делителя

Q – метр у меня всё ещё трудится, но для повышения точности установки частоты, я подключаю к сигнал — генератору (ГСС) частотомер. Контур вводится в резонанс и прибор M1 устанавливается на последнюю отметку шкалы (полная шкала) путём регулировки напряжения, поступающего от ГСС. Частоты устанавливаются, затем, по показаниям прибора М1 на уровне 0,7 от максимума по одну и другую сторону от резонансной, их значения считываются со шкалы частотомера и записываются. Отношение центральной частоты (резонансной) к разнице между двумя боковыми (записанными по уровню 0,7) высчитывается как Q.

(Ко мне приходят письма с просьбой выдать универсальную формулу для подсчёта индуктивности катушек, так как, всё чаще, в описаниях конструкций даются не намоточные данные, а индуктивности этих элементов схем. Отвечаю, что универсальной формулы не существует, так как индуктивность катушки зависит от многих факторов и, пользуясь моментом, хотел бы предложить использовать вышеописанный прибор для предварительной подгонки катушек, выполненных из имеющихся у Вас материалов, с контурными конденсаторами на нужные Вам частоты – UA9LAQ).

(Из австралийского журнала “Amateur Radio” за ноябрь 1988 г)

Свободный перевод с английского с разрешения автора: Виктор Беседин (UA9LAQ) [email protected]
г. Тюмень апрель, 2005 г

В статье расскажем что такое колебательный контур. Последовательный и параллельный колебательный контур.

Колебательный контур — устройство или электрическая цепь, содержащее необходимые радиоэлектронные элементы для создания электромагнитных колебаний. Разделяется на два типа в зависимости от соединения элементов: последовательный и параллельный .

Основная радиоэлементная база колебательного контура : Конденсатор, источник питания и катушка индуктивности.

Последовательный колебательный контур является простейшей резонансной (колебательной) цепью. Состоит последовательный колебательный контур, из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина которого вычисляется по закону Ома: I = U / Х Σ , где Х Σ — сумма реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора (используется модуль суммы).

Для освежения памяти, вспомним как зависят реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности от частоты приложенного переменного напряжения. Для катушки индуктивности, эта зависимость будет иметь вид:

Из формулы видно, что при увеличении частоты, реактивное сопротивление катушки индуктивности увеличивается. Для конденсатора зависимость его реактивного сопротивления от частоты будет выглядеть следующим образом:

В отличии от индуктивности, у конденсатора всё происходит наоборот — при увеличении частоты, реактивное сопротивление уменьшается. На следующем рисунке графически представлены зависимости реактивных сопротивлений катушки X L и конденсатора Х C от циклической (круговой) частоты ω , а также график зависимости от частоты ω их алгебраической суммы Х Σ . График, по сути, показывает зависимость от частоты общего реактивного сопротивления последовательного колебательного контура.

Из графика видно, что на некоторой частоте ω=ω р , на которой реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю (равны по значению, но противоположны по знаку), общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическими потерями в катушке индуктивности (т.е. активным сопротивлением провода обмотки катушки) и внутренним сопротивлением источника тока (генератора). Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление, называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной частотой колебаний цепи. Также из графика видно, что на частотах, ниже частоты резонанса реактивное сопротивление последовательного колебательного контура носит емкостной характер, а на более высоких частотах — индуктивный. Что касается самой резонансной частоты, то она может быть вычислена при помощи формулы Томсона, которую мы можем вывести из формул реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора, приравняв их реактивные сопротивления друг к другу:

На рисунке справа, изображена эквивалентная схема последовательного резонансного контура с учетом омических потерь R , подключенного к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой U . Полное сопротивление (импеданс) такой цепи определяется: Z = √(R 2 +X Σ 2) , где X Σ = ω L-1/ωC . На резонансной частоте, когда величины реактивных сопротивлений катушки X L = ωL и конденсатора Х С = 1/ωС равны по модулю, величина X Σ обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к сопротивлению омических потерь: I= U/R . При этом на катушке и на конденсаторе, в которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение U L = U С = IX L = IX С .

На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на катушке и конденсаторе неодинаковы — они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений X L и X С .Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом напряжений. Резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер. Условие резонанса — это равенство величин реактивных сопротивлений катушки индуктивности и ёмкости.

Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое (или волновое) сопротивление ρ и добротность контура Q . Характеристическим (волновым) сопротивлением контура ρ называется величина реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = Х L = Х C при ω =ω р . Характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(L/C) . Характеристическое сопротивление ρ является количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура — катушкой (энергия магнитного поля) W L = (LI 2)/2 и конденсатором (энергия электрического поля) W C =(CU 2)/2 . Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает «качество».

Добротность колебательного контура — характеристика, определяющая амплитуду и ширину АЧХ резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в контуре больше, чем потери энергии за один период колебаний. Добротность учитывает наличие активного сопротивления нагрузки R .

Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно, добротность вычисляется:

где R , L и C

Величину, обратную добротности d = 1 / Q называют затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q = ρ / R , где R -сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р = I 2 R . Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), при этом сами цепи рассматривают как четырёхполюсники. На рисунках ниже представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур и АЧХ этих цепей, которые приведены (показаны сплошными линями). По вертикальной оси графиков АЧХ отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному.

Для пассивных цепей (т.е. не содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Сопротивление переменному току изображённой на рисунке цепи, будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля.

При резонансе в этой цепи, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. За полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение — в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительно его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,7 (3дБ).

Пунктирными линиями на графиках показаны АЧХ точно таких же цепей, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рисунков, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.

Параллельный колебательный контур

В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (даже чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры На рисунке приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура. Здесь параллельно включены два реактивных элемента с разным характером реактивности Как известно, при параллельном включении элементов складывать их сопротивления нельзя — можно лишь складывать проводимости. На рисунке приведены графические зависимости реактивных проводимостей катушки индуктивности B L = 1/ωL , конденсатора В C = -ωC , а также суммарной проводимости В Σ , этих двух элементов, являющаяся реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. Аналогично, как и для последовательного колебательного контура, имеется некоторая частота, называемая резонансной, на которой реактивные сопротивления (а значит и проводимости) катушки и конденсатора одинаковы. На этой частоте суммарная проводимость параллельного колебательного контура без потерь обращается в нуль. Это значит, что на этой частоте колебательный контур обладает бесконечно большим сопротивлением переменному току.

Если построить зависимость реактивного сопротивления контура от частоты X Σ = 1/B Σ , эта кривая, изображённая на следующем рисунке, в точке ω = ω р будет иметь разрыв второго рода. Сопротивление реального параллельного колебательного контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности — оно тем меньше, чем больше омическое сопротивление потерь в контуре, т.е уменьшается прямо пропорционально уменьшению добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности, характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.

Для параллельного колебательного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивление включены параллельно, добротность вычисляется:

где R , L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний и параллельного колебательного контура. В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, в следствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми. В этом случае говорят, что в цепи имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивности катушки и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление R экв = Q·ρ . На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает реактивный характер на более низких частотах — индуктивный (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких — наоборот, емкостной (т к реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты).

Рассмотрим, как зависят коэффициенты передачи четырехполюсников от частоты, при включении в них не последовательных колебательных контуров, а параллельных.

Четырехполюсник, изображенный на рисунке, на резонансной частоте контура представляет собой огромное сопротивление току, поэтому при ω=ω р его коэффициент передачи будет близок к нулю (с учетом омических потерь). На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура будет уменьшатся, а коэффициент передачи четырехполюсника — возрастать.

Для четырехполюсника, приведенного на рисунке выше, ситуация будет противоположной — на резонансной частоте контур будет представлять собой очень большое сопротивление и практически все входное напряжение поступит на выходные клеммы (т.е коэффициент передачи будет максимален и близок к единице). При значительном отличии частоты входного воздействия от резонансной частоты контура, источник сигнала, подключаемый к входным клеммам четырехполюсника, окажется практически закороченном накоротко, а коэффициент передачи будет близок к нулю.

В основе любого радиоприемника лежит принцип избирательного воспроизведения сигнала, модулированного определенной несущей частотой, которая, в свою очередь, определяется резонансом колебательного контура, являющегося основным элементом схемы ресивера. От того, насколько правильно будет выбрана эта частота, зависит качество принимаемого сигнала.

Избирательность, или селективность приемника определяется тем, насколько сигналы, мешающие устойчивому приему, будут ослаблены, а полезные — усилены. Добротность контура — это величина, объективно демонстрирующая в числовом выражении успешность решения этой задачи.

Резонансная частота контура определяется по формуле Томпсона:

f=1/(2π√LC), в которой

L — величина индуктивности;

Для того чтобы понять, каким образом происходят колебания в контуре, следует разобраться в том, как он работает.

И емкостная, и индуктивная нагрузки препятствуют возникновению электрического тока, но делают это в противофазе. Таким образом, они создают условия для возникновения колебательного процесса, примерно так же, как это происходит на качелях, когда двое катающихся толкают их в разные стороны попеременно. Теоретически, меняя величину емкости конденсатора или катушки, можно добиться того, что резонансная частота контура совпадет с несущей частотой передающей радиостанции. Чем они больше будут отличаться, тем менее качественным будет сигнал. На практике приемник настраивают, меняя

Весь вопрос состоит в том, насколько острым будет пик на графике частотной характеристики приемного устройства. Именно так зрительно можно понять, как будет усилен полезный сигнал, насколько подавлены помехи. Добротность контура и является тем параметром, который определяет избирательность приема.

Определяется она по формуле:

Q=2πFW/P, где

F — резонансная частота контура;

W — энергия в колебательном контуре;

P — мощность рассеивания.

Добротность контура при параллельном включении конденсатора и индуктивности определяется по такой формуле:

С величинами индуктивности и емкости конденсатора все понятно, а что касается R, то оно напоминает, что кроме катушка имеет и активную составляющую. Поэтому схему контура часто изображают, включая в нее три элемента: емкость С, индуктивность L и R.

Добротность контура является величиной, обратно пропорциональной скорости затухания в нем колебаний. Чем она больше, тем медленнее происходит релаксация системы.

На практике самым значительным фактором, влияющим на добротность контура, является качество катушки, зависящее от ее сердечника, от числа витков, степени изолированности провода, и от ее сопротивления, а также от потерь при прохождении токов высокой частоты. Поэтому для регулировки частоты приема обычно применяют конденсаторы переменной величины, представляющие собой два набора пластин, входящих и выходящих друг из друга при вращении. Такая система характерна для практически всех нецифровых радиоприёмников.

Впрочем, и в ресиверах с цифровой настройкой также есть свои колебательные контуры, просто их резонансная частота меняется иначе.

Любой резонансный контур, в том числе и последовательный принято характеризовать добротностью Q и характеристическим сопротивлением .

Напомним, что в данном случае будем рассматривать определение добротности контура при изменении частоты источника питания.

При резонансе
.

Добротность контура определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного или емкостного элемента сопротивления при резонансе над напряжением всей цепи U = U R .

В электротехнических и радиотехнических установках добротности могут быть любого порядка, вплоть до десятков тысяч. При больших добротностях (50–500) U L 0 >> U R , U R = U ВХ = U , т. е. напряжение на индуктивности (или на емкости) во много раз больше приложенного напряжения.

Выясним влияние добротности на резонансные кривые при последовательном соединении

R, L, С. Ток в цепи равен

Относительное значение тока:
, т.е.
.

Пои выводе этой формулы учитывалось, что
.

Иногда вводят понятие относительной частоты
.

Тогда предыдущая формула запишется так

Построим резонансные кривые в относительных (по току) единицах (рис. 7.8) для трех добротностей. Рассматривая три резонансные кривые, видим, что чем больше добротность, тем острее получается резонансная кривая. Полоса пропускания контура определяется разностью частот, которые получатся при пересечении резонансной кривой горизонтальной линией на уровне .

Из рис. 7.8 видно, что чем меньше добротность, тем шире полоса пропускания. В радиоприемниках колебательные контуры имеют большие добротности (500–1000), поэтому эти контуры обладают достаточно узкими полосами пропускания, что способствует избирательному радиоприему только одной станции.

7.6. Определение добротности по резонансной кривой

На практике резонансные частотные характеристики реальных контуров можно получать, изменяя частоту генератора в определенных пределах и снимая показания вольтаметра, подключенного параллельно резистору (см. рис. 7.9 а ). Строят экспериментальную резонансную кривую и по этой кривой определяют полосу пропускания. Выведем соответствующую формулу для расчета добротности по резонансной кривой, снятой экспериментально.

Из рис. 7.9 б следует:

.

В этом равенстве знаменатели равны, поэтому

Отсюда
.

Запишем дважды: при итакие выражения
;
.

После сложения последних выражений получим

или

Отсюда

Очень важно: добротность обратно пропорциональна
.

Для последовательного контура R , L, С построена резонансная кривая тока при изменении

емкости С (рис. 7.10).

Пользуясь этой кривой, определим добротность контура. Выражение для тока

Выполним ряд преобразований последней формулы

;

.

Проведем горизонтальную прямую на уровне
.

Отметим значения емкости C 1 и С 2 .

емкости С 1 и С 2 . Запишем

Найдем сумму и разность емкостей

Запишем отношение
.

Напомним, что добротность контура определяется превышением напряжения на индуктивном (или емкостном) сопротивлении при резонансе над напряжением всей цепи (или напряжением на активном сопротивлении), т. е.

Таким образом,

Кроме этого результата, представляется возможным получить значения параметров катушки индуктивности (L и R)

.

Откуда
;
.

Откуда
.

Величина емкости С 0 , при которой наступает резонанс, определится так:

;
;
;
.

Откуда
.

Резонанс напряжений может наблюдаться в схеме, показанной на рис. 7.11.

Входное сопротивление такой схемы

При резонансе реактивная составляющая входного сопротивления должна быть равна нулю, т. е.

Эквивалентная добротность — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Эквивалентная добротность

Cтраница 3

Необходимая полоса пропускания контуров ( их эквивалентная добротность) может быть обеспечена изменением величины связи электронного прибора с контуром.  [31]

Очевидно, что в этом случае эквивалентная добротность контура уменьшится вдвое по сравнению с его собственной добротностью.  [32]

Для обеспечения необходимых фазовых условий и эквивалентной добротности возбудители с контурами RC выполняются обыч-но не менее чем с двумя ступенями усиления.  [33]

Как следует из формулы, уменьшение эквивалентной добротности Qa по сравнению с собственной добротностью контура Q обусловлено увеличением активных потерь, вносимых в контур из це — пи антенны и цепи входа последующего каскада.  [34]

Произведение / CoPoQi Q9 e представляет собой эквивалентную добротность усилителя.  [35]

Как видно из формулы (13.22), значение эквивалентной добротности в схеме с неполным включением может быть значительно увеличено по сравнению со схемой с полным влючением путем изменения коэффициента включения рс.  [36]

Очевидно, первым условием эквивалентности является равенство эквивалентных добротностей указанных контуров.  [38]

В широкополосных схемах иногда приходится искусственно снижать эквивалентную добротность контура. Это осуществляют включением активного сопротивления параллельно контуру.  [39]

В широкополосных схемах иногда приходится искусственно снижать эквивалентную добротность контура, для чего параллельно контуру включают активное сопротивление.  [40]

Выражение ( 2) позволяет произвести количественную оценку эквивалентной добротности и диапазонных характеристик усилителей с различными четырехполюсниками.  [41]

Последнее выражение показывает, что монтажная емкость уменьшает величину максимальной эквивалентной добротности.  [42]

Избирательность и полоса пропускания одноконтурной входной цепи однозначно определяются эквивалентной добротностью кон тура. Поэтому, определив зависимость этой добротности от часто ты, можно легко найти частотную характеристику избирательности и полосы пропускания рассматриваемой здесь одноконтурной схемы входной цепи.  [43]

Если при яс 3 QH Qn или невозможно практически осуществить конструктивную эквивалентную добротность контуров Q3K Qii, то необходимо повысить промежуточную частоту и повторить пп.  [44]

Согласно формуле ( 9 — 1) при контурах с эквивалентной добротностью, равной 75, полосу пропускания в 6 кгц при рабочей частоте 460 кгц можно получить всего при одном каскаде.  [45]

Страницы:      1    2    3    4    5

Умножение добротности колебательного контура

Вначале небольшой экскурс в теоретические основы радиотехники, без которого трудно понимать дальнейшее. Радиоволны, излучаемые передатчиками, распространяются во все стороны от передающих антенн со скоростью света. С увеличением расстояния от антенны мощность электромагнитных волн уменьшается, в простейшем случае, обратно пропорционально квадрату расстояния:

где Р — излучаемая передатчиком мощность;

r — расстояние до точки приема;

р — плотность потока мощности (мощность, проходящая через квадратную площадку в 1м2, находящуюся на расстоянии r от передатчика). Очевидно, каким бы ни было большим расстояние r, плотность потока мощности никогда не обратится в ноль. Это означает, что в любой точке пространства присутствует излучение абсолютно всех радиостанций, работающих на земном шаре, что само по себе достаточно интересно. Электромагнитная волна представляет собой чередующиеся во времени и пространстве переменные электрические и магнитные поля. В любом проводнике, ориентированном параллельно силовым линиям напряженности электрического поля (Е), наводится ЭДС (Е) в соответствии с правилом

где hд — действующая высота проводника. При размерах проводника, существенно меньших длины волны, действующая высота равна половине геометрической длины проводника. Если теперь к проводнику, являющемуся фактически приемной антенной, подключить настроенный на частоту какой-либо радиостанции колебательный контур так, как это показано на рис.1, то на его выходе выделится некоторое напряжение Uc. Выясним, от чего зависит величина этого напряжения, обратив внимание на то, что фактически — это напряжение на конденсаторе С1.

Для простоты будем полагать, что соотношение числа витков в катушках L1, L2 и связь между ними таковы, что ЭДС взаимной индукции, наводимая в катушке L2, будет равна ЭДС, наведенной в антенне (формула 2). Под действием этой ЭДС ток в контуре будет протекать последовательно через катушку L2 и конденсатор С1. Эквивалентную схему колебательного контура при этом можно представить в виде, изображенном на рис.2.

ЭДС, наводимая в контуре, учтена источником Е, а резистор rп учитывает активные потери в контуре. Эти потери обусловлены расходом энергии на нагревание проводника катушки и переизлучением части энергии элементами контура. Подробнее об этих процессах можно прочитать, например, в [2]. Из рис.2 видно, что по отношению к эквивалентному источнику Е колебательный контур теперь является последовательным. В таком контуре, как известно, существует резонанс напряжений, при котором напряжения на реактивных элементах контура в Q раз больше ЭДС, введенной в контур. На основании этого можно записать

где

р — характеристическое сопротивление контура;

?0 — его резонансная частота.

Формула (3) показывает, что увеличением Q можно теоретически получить сколь угодно большое значение напряжения Uс, доведя тем самым принятый сигнал до величины, необходимой для нормальной работы последующих каскадов. К сожалению, на практике сложно получить добротность контура выше 200…350. Кроме того, в реальных схемах к контуру, параллельно конденсатору С1, подключается остальная часть приемника, которую можно учесть ее входным сопротивлением Rвх. Очевидно, и в этом сопротивлении будет рассеиваться часть принятой мощности. Возникающие дополнительные потери принято учитывать эквивалентным увеличением сопротивления потерь rп в контуре на величину rдоп. Формула для пересчета имеет вид

Результирующая добротность контура, называемая эквивалентной (Qэ), уменьшается:

и в практических конструкциях составляет величину 50… 120. Чтобы картина была полной, необходимо было бы в знаменатель формулы (5) добавить еще третье слагаемое, учитывающее потери энергии в контуре за счет шунтирующего действия антенны. Для простоты дальнейшего изложения будем полагать эти потери равными нулю.

Существует давно известный способ повышения (умножения) добротности, подробно описанный в [2]. Суть его заключается в том, что потери в контуре компенсируются за счет энергии источника питания. Механизм компенсации понятен из рис.3.

К конденсатору контура подключен транзистор VT1. Напряжение Uc с конденсатора поступает на базу транзистора VT1, что вызывает изменение тока, протекающего в коллекторной цепи за счет источника питания G1. Амплитуда изменений определяется выражением

где S — крутизна транзистора в рабочей точке.

Протекая по катушке L2, этот ток наводит в катушке L1 ЭДС взаимной индукции (обратной связи)

где М — взаимоиндукция катушек L1 и L2.

Фазировка катушек выбирается таким образом, чтобы ЕОС была синфазна с колебаниями, происходящими в контуре, т.е. обратная связь была положительной. Ток I в контуре теперь течет под действием суммы Е+Еос, и амплитуда колебаний нарастает. Обратим внимание на то, что амплитуда возрастает, в конечном счете, за счет энергии источника питания.

Поскольку при резонансе суммарное сопротивление реактивных элементов контура равно нулю, для входного контура справедливо выражение

Напряжение на конденсаторе теперь можно записать в виде

Откуда

Подставив правые части выражений для I и IK в предыдущую формулу, получим

Выражение (3) справедливо и для рассматриваемого случая, с той лишь разницей, что здесь имеется в виду эквивалентная добротность Qэ, учитывающая компенсацию потерь в контуре за счет положительной обратной связи. Воспользовавшись (3), предыдущее выражение перепишем в виде

Сократив обе части равенства на Е, выразим в явном виде эквивалентную добротность

Пользуясь тем, что при резонансе

окончательно запишем

Сравнивая выражения (5) и (6), можно сделать следующие полезные для практики выводы:

— в знаменателе формулы (6) за счет положительной обратной связи появилось дополнительное слагаемое MS/C1, имеющее размерность сопротивления;

— знак этого сопротивления отрицательный, что уменьшает общее сопротивление потерь контура;

— манипулируя величиной М или S, можно сделать сопротивление потерь контура сколь угодно малым, в том числе и равным нулю;

— увеличивая Qэ, в соответствии с формулой (3) можно получать в контуре колебания любой желаемой амплитуды.

Физический смысл отрицательного сопротивления, уменьшающего общее сопротивление потерь, заключается в том, что в контур, за счет положительной обратной связи, вносится из коллекторной цепи энергия источника питания, компенсирующая потери энергии сигнала в контуре. Энергия вносится в виде колебаний той же частоты, что и у поступивших в контур из антенны. Происходящая компенсация потерь, или, другими словами, восстановление энергии сигнала называется регенерацией, а приемники, использующие рассмотренный принцип для повышения коэффициента усиления — регенеративными. Конкретные схемы регенеративных приемников можно посмотреть в [2].

Добротность компланарного волноводного резонатора, связанного с линией передачи | EPJ Quantum Technology

Конформное отображение связанных CPW

Здесь мы следуем общему аналитическому методу [16] для расчета матриц емкости и индуктивности на единицу длины двух связанных CPW с произвольными поперечными размерами и бесконечной заземляющей поверхностью.

Рассчитываем столбцы матрицы емкости и обратной индуктивности отдельно друг от друга. Геометрия поперечного сечения муфты показана на рисунке 1.В верхней полуплоскости относительная диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вакуума равны единице. В нижней полуплоскости диэлектрическая проницаемость подложки составляет , а магнитная проницаемость составляет мкм . На проводниках между вакуумом и подложкой тангенциальная составляющая электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля равны нулю. Из-за симметрии задачи нормальная составляющая электрического поля и тангенциальная составляющая магнитного поля на границе раздела вакуум-подложка также равны нулю.Последнее свойство делает уравнения для верхней полуплоскости и нижней полуплоскости независимыми друг от друга. В любой из полуплоскостей электрическое и магнитное поля могут быть выражены через электростатический потенциал и компонент магнитостатического векторного потенциала вдоль ЛЭП, которые с точностью до константы равны друг другу. В любой из полуплоскостей оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа:

$$ \ Delta \ phi (x, y) = 0. $$

(16)

Мы устанавливаем \ (a_ {j} \) и \ (b_ {j} \) как координаты x правой и левой границ поперечных сечений проводника, так что \ (a_ {0} i -й проводник имеет ненулевой электрический потенциал \ (\ phi_ {i} \), а все остальные заземлены, граничные условия на границе раздела задаются следующим образом:

$$ \ begin {gather} \ phi (x, 0) = \ phi_ {i}, \ quad a_ {i}

(17)

С точки зрения магнитного скалярного потенциала эти граничные условия соответствуют ненулевому магнитному потоку \ (\ phi_ {i} \) через любой луч, исходящий из – -го проводника, и нулевому магнитному потоку через любой луч, исходящий из от любого другого проводника.Для конформного отображения введем комплексную переменную \ (z = x + iy \). Следуя общему подходу, мы определяем точки \ ({c_ {j}}, j \ in \ {1, \ ldots, n \} \ setminus \ {i, i + 1 \} \) такие, что \ (a_ { j} j -м и \ (j + 1 \) -м проводниках соответственно, оба из которых заземлены, поэтому интеграл электрического поля по любому соединяющему их контуру должен быть равен нулю.{1/2}}} \, \ mathrm {d} z, $$

(18)

преобразует поперечные сечения поверхности проводника в линии, параллельные действительной оси плоскости w , и границу раздела вакуум-поверхность в линии, параллельные мнимой оси плоскости w . В силу своего аналитического свойства \ (\ operatorname {Im} {w (z)} \) удовлетворяет (16). Значения \ (c_ {j} \) неявно определяются граничными условиями на заземленных проводниках:

$$ \ operatorname {Im} w (a_ {j}) = 0, \ quad j \ in \ {1, \ ldots, n \} \ setminus \ {i \}.$

(19)

Рисунок 1

Конформное отображение поперечного сечения муфты. (a) Оригинальный z — самолет. Все точки \ (a_ {j} \), \ (b_ {j} \) и \ (c_ {j} \) действительны и расположены на действительной оси. (б) Преобразованный самолет w . Точки \ (a ‘_ {j} \), \ (b’ _ {j} \) и \ (c ‘_ {j} \) являются преобразованиями \ (a_ {j} \), \ (b_ {j} \) и \ (c_ {j} \) соответственно. В конфигурации порта с вырезом проводник 1 является линией питания, проводник 2 заземлен, а проводник 3 является резонатором, и и линия питания, и резонатор могут проходить от обоих концов ответвителя.В конфигурации стыкового порта проводники 1 и 3 оканчиваются на одном конце ответвителя. На другом конце проводник 2 оканчивается, а проводники 1 и 3 соединены друг с другом.

Заряды, индуцируемые на каждом из проводников электрическим потенциалом \ (\ phi_ {i} = \ operatorname {Im} {w (a_ {i})} \), пропорциональны их длине в плоскости w . . После учета полуплоскостей подложки и вакуума и умножения на диэлектрическую проницаемость (магнитную проницаемость) вакуума получаем для матрицы емкости и матрицы обратной индуктивности

$$ \ begin {gather} C_ {ij} = (\ epsilon + 1) \ epsilon_ {0} \ frac {\ operatorname {Re} w (b_ {j + 1}) — \ operatorname {Re} w ( a_ {j})} {\ operatorname {Im} w (a_ {i})}, \\ L ^ {- 1} _ {ij} = \ biggl (\ frac {1} {\ mu \ mu_ {0} } + \ frac {1} {\ mu_ {0}} \ biggr) \ frac {\ operatorname {Re} w (b_ {j + 1}) — \ operatorname {Re} w (a_ {j})} {\ имя оператора {Im} w (a_ {i})}.{-1} \ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}}. $

(21)

Конечные размеры структуры, в частности конечная толщина проводника, рассматривались с помощью дополнительного конформного отображения совместимым образом в другом месте [18]. Мы не рассматриваем здесь этот случай, поскольку он привносит две дополнительные ключевые сложности. Первая сложность связана с самим конформным отображением, поскольку в этом случае краевая задача не может быть точно разделена для верхней и нижней полуплоскостей.Вторая сложность состоит в том, что соотношение (11) больше не выполняется, и разные режимы распространения больше не имеют одинаковой фазовой скорости.

В приложениях копланарный волноводный соединитель используется либо в конфигурациях с вырезом, либо в конфигурации стыкового порта (см. Рисунок 2). Если длина ответвителя короче, чем характерная длина волны устройства, одной из мод можно пренебречь и можно ввести эффективные двухпроводные матрицы емкости и индуктивности на единицу длины. Эффективная матрица емкости порта с вырезом на единицу длины может быть записана в терминах полной трехпроводной картины как

$$ \ begin {выровнено} \ mathbf {C} _ {\ mathrm {n}} = \ begin {pmatrix} C_ {11} & C_ {13} \\ C_ {31} & C_ {33} \ end {pmatrix}.\ end {align} $$

(22)

Для конфигурации стыкового порта матрица эффективных емкостей выражается как

$$ \ begin {align} \ mathbf {C} _ {\ mathrm {b}} = \ begin {pmatrix} C_ {11} + C_ {13} + C_ {31} + C_ {33} & C_ { 12} + C_ {32} \\ C_ {21} + C_ {23} & C_ {22} \ end {pmatrix}. \ end {align} $$

(23)

Эффективные матрицы индуктивности двухпроводников могут быть получены из (11).Качественно основной эффект от конечной толщины проводника — это увеличение взаимной емкости соседних проводников и соответствующее уменьшение индуктивности. Таким образом, в геометрии порта с вырезом это приводит к уменьшению прочности соединения, а в отверстии стыка — к увеличению прочности соединения.

Рис. 2

Схема резонаторов, связанных с пазом и встык. Вид сверху вниз. Металлизированные участки конструкции показаны серым цветом, неметаллизированные — розовым.Фидер соединен с линиями передачи с импедансами \ (Z _ {\ mathrm {i}} \) и \ (Z _ {\ mathrm {o}} \) (не в масштабе). Длина соединительной муфты, открытых и закороченных участков составляет \ (l _ {\ mathrm {c}} \), \ (l _ {\ mathrm {o}} \), \ (l _ {\ mathrm {s}} \), соответственно. (а) \ (\ lambda / 4 \) Паз-порт резонатора CPW, соединенный с линией передачи, (b) \ (\ lambda / 4 \) Резонатор CPW, индуктивно стыкующийся с линией передачи, (c) \ (\ lambda / 4 \) CPW-резонатор с емкостным стыковым соединением с линией передачи с входным сопротивлением \ (Z _ {\ mathrm {i}} \). (d) TL Схема общего случая с произвольными окончаниями резонатора \ (Z _ {\ mathrm {t1}} \) и \ (Z _ {\ mathrm {t2}} \) и фидерной линии \ (Z _ {\ mathrm {o}} \) и \ (Z _ {\ mathrm {i}} \).

Матрица уравнения граничных условий модели ЛЭП и пертурбативный анализ

Для получения аналитических выражений для резонансных частот системы ЛЭП мы выводим систему линейных уравнений с неизвестными, соответствующими всем токам ветви и узловым напряжениям, а также амплитудам волн в элементах TL.Число мод, сосуществующих на одной частоте внутри многопроводной ЛЭП, равно размерности (8), что в два раза больше числа проводников. На каждом порте два граничных условия связывают сумму комплексных амплитуд волн с узловыми напряжениями и токами ответвлений. Чтобы связать токи ответвления вместе, в систему добавляется закон Кирхгофа для каждого узла. Наконец, порты добавляются к системе как TL с единственной (исходящей) внутренней степенью свободы с их характеристическим импедансом, связывающим амплитуды напряжения и тока этой степени свободы.Набегающие волны добавляются к системе уравнений в виде неоднородности. Собственные моды системы являются решениями уравнения

$$ \ mathbf {M} \ mathbf {a} = 0, $$

(24)

, где M — квадратная матрица порядка r , a — узловое напряжение, ток ветви и вектор амплитуды внутренней степени свободы. Полюса \ (f_ {p} \) S-матрицы как функция частоты внешнего возмущения f появляются всякий раз, когда определитель M равен нулю:

$$ \ Delta (f) = \ vert \ mathbf {M} \ vert = 0.$

(25)

Численное вычисление этого определителя очень эффективно. Однако точное аналитическое вычисление определителя становится трудновыполнимым даже для относительно небольших систем. Для системы, состоящей из независимых подсистем, столбцы и строки M могут быть переставлены так, что она становится блочно-диагональной матрицей, где каждый блок соответствует своей собственной подсистеме. В этом случае определитель всей матрицы является произведением определителей блоков и может быть эффективно вычислен при условии, что блоки достаточно малы.

Coupling вводит ненулевые члены в недиагональные блоки. При условии слабой связи между подсистемами определитель можно разложить по некоторым параметрам κ , характеризующим силу связи. m -й порядок расширения может быть выражен как сумма детерминантов \ (C (m, r) \) M , где все, кроме m из r строк κ равно нулю. Такие детерминанты труднее вычислить, поскольку м блоков сливаются вместе, однако, если м и отдельные блоки достаточно малы, вычисление все еще эффективно.{m}}} {\ frac {\ partial \ Delta} {\ partial f}}. $

(26)

В отличие от традиционной теории связанных мод [21], представленный здесь подход не использует скалярные произведения амплитуд мод. Его можно напрямую применить к негамильтоновым системам, где определение скалярного произведения нетривиально. Как следствие, он, естественно, может обрабатывать случаи, когда связь происходит с потерями. С другой стороны, коэффициенты связи голых мод не могут быть вычислены напрямую в нашем подходе.

Аналитическая формула для коэффициентов рассеяния, узловых напряжений и токов ветвления, индуцированных внешними сигналами, включает матрицу кофакторов для M и может быть вычислена аналогичным образом. {i 2 \ pi f l_ { s} / c_ {l}} \) — это векторы, соответствующие распространению микроволн через открытый и закороченный концы резонатора.{(j)}, \ quad i = 1, \ ldots, 5, j = 1,2; \\ I_ {6}, \\ V_ {k}, \ quad k = 1, \ ldots, 6, \\ A_ {l}, \ quad l = 1, \ ldots, 10. \ end {собрано} $$

(34)

Матрица системы с 27 неизвестными и 27 уравнениями является квадратной.

Добротность и частотный сдвиг резонатора, подключенного к линии передачи

Мы рассматриваем общие случаи подключения резонатора CPW к ЛЭП (рис. 2 (d)) с оконечным сопротивлением (a) \ (Z_ {t1} = 0 \), \ (Z_ {t2} = \ infty \), (b) \ (Z_ {t1} = 0 \), \ (Z_ {t2} = 0 \) и (c) \ (Z_ {t1} = \ infty \), \ (Z_ {t2} = \ infty \).На этой схеме описаны как насечка-порт, так и емкостные и индуктивные резонаторы CPW, соединенные встык.

Следуя подходу, представленному в предыдущем разделе, мы расширяем определитель Δ до первого порядка в \ (Z_ {2} -Z_ {r} \) и до второго порядка в κ .

В нулевом порядке решение \ (\ Delta = 0 \) дает полюса изолированного резонатора (5) и полюса, соответствующие стоячим волнам в фиде, которые возникают из-за несоответствия импеданса между фидером и входом. и выходные порты.{2} {\ theta}} {\ pi p}. \ end {собрано} $$

(42)

В случае согласования импедансов входного и выходного портов добротность не имеет зависимости ведущего порядка от положения секции ответвителя. Этот результат возникает из-за равного вклада индуктивной и емкостной связи в (11) и равных амплитуд тока и напряжения в линии питания. Для несовпадающих портов эта симметрия нарушена, и стоячие волны в секции ответвителя фидерной линии могут как увеличивать, так и уменьшать добротность резонатора.

Сравнение с численным моделированием

Чтобы проверить и обосновать теоретический результат, полученный выше, мы выполнили конечно-элементное трехмерное электромагнитное моделирование параметра рассеяния цепи, содержащей резонатор \ (\ lambda / 4 \) CPW на кремнии. подложки, показанной на рисунке 3, в зависимости от ширины электрода между резонатором и фидерной линией \ (w_ {3} \) с коммерческим решателем «HFSS». Для моделирования мы устанавливаем числовые значения свойств материала \ (\ frac {\ epsilon + 1} {2} = 6.225 \) и \ (\ mu = 1 \). Ширина проводника и зазора фидера составляет \ (w_ {1} = 16 ~ \ mu \ mathrm {m} \) и \ (s_ {1} = 8 ~ \ mu \ mathrm {m} \), а вход и выходные порты согласованы по сопротивлению (\ (Z_ {i} = Z_ {o} = 48,33 ~ \ Omega \)). Ширина проводника и зазора резонатора составляла \ (w_ {2} = 7 ~ \ mu \ mathrm {m} \) и \ (s_ {2} = 4 ~ \ mu \ mathrm {m} \), что соответствует \ (Z_ {r} = 50,22 ~ \ Omega \). Длина секции ответвителя составляет \ (l_ {c} = 400 ~ \ mu \ mathrm {m} \), длина закороченной части резонаторной CPW составляет \ (l_ {s} = 3600 ~ \ mu \ mathrm {m} \) и открытого конца \ (l_ {o} = 1000 ~ \ mu \ mathrm {m} \).Чтобы получить добротность и резонансную частоту резонатора, мы аппроксимировали смоделированный параметр рассеяния как функцию частоты по формуле (4) в соответствии с процедурой, описанной в [19].

Рисунок 3

Модель резонатора CPW и фидерной линии, использованная для численного 3D-моделирования. Изолированные участки волновода резонатора согнуты в виде меандра для компактности. В \ (l_ {c} \) включена только длина прямой секции муфты. Длины дуг входят в длины закороченных и открытых концов резонатора \ (l_ {s} \) и \ (l_ {o} \).

Для расчета модели TL были извлечены матрицы индуктивности и емкости секции ответвителя по формулам (20) и (22). Сравнение результатов трехмерного моделирования, численного решения уравнения (25) и приближенных формул (38) для основной моды резонанса показано на рисунке 4. Аналитическое приближение первого порядка к модели TL показывает мало отклонение от точного численного результата для TL.

Рисунок 4

Сравнение с полным трехмерным электромагнитным моделированием. Добротность и резонансная частота основной моды, рассчитанные с помощью полного трехмерного моделирования (HFSS), с использованием формулы 38 (формула TL) и численного решения (25).

По сравнению с трехмерным моделированием модель TL дает систематически более высокие оценки фактора качества. Это может быть связано с наличием паразитной связи между резонатором и фидерной линией, в первую очередь дуг проводников резонатора, прикрепленных к ответвителю, что приводит к большей эффективной длине ответвителя \ (l_ {c} \).Ошибка вычисления добротности находится в пределах 70% во всем диапазоне смоделированных добротностей, который охватывает более трех порядков величины от 10 ³ до 10 ⁶ . Отклонение можно уменьшить, увеличив длину секции ответвителя при одновременном уменьшении ширины проводника \ (w_ {3} \) и уменьшении радиуса дуги. Небольшая зависимость сдвига частоты от \ (w_ {3} \), предсказываемая нашей аналитической моделью, не может быть надежно воспроизведена с помощью нашего 3D-моделирования из-за проблем с точностью и сеткой даже для больших размеров моделирования.

Помимо ошибок, которые можно идентифицировать и количественно оценить с помощью электромагнитного моделирования, практические устройства также страдают от печально известной проблемы стоячих волн. Неидеальные разъемы приводят к зависящим от частоты импедансам портов, которые, в свою очередь, входят в формулы (36), (39), (41) и приводят к непредсказуемым изменениям добротности. Эта проблема, если она не решена должным образом с помощью входных и выходных ВЧ-циркуляторов или изоляторов, или при использовании высокоточных разъемов, возможно, является основным источником отклонений добротности устройств.

Квантовый предел качества в кремниевых микро- и нано-механических резонаторах

Nguyen, C.T.-C. Технология MEMS для управления синхронизацией и частотой. IEEE Trans. Ультразвуковой. Ферроэлектрик. Freq. Contr. 54, 251–270 (2007).

Артикул Google ученый

ван Бик, Дж. Т. М. и Пуэрс, Р. Обзор генераторов MEMS для приложений опорной частоты и синхронизации. J. Micromech. Microeng. 22, 013001 (2011).

Артикул Google ученый

Nguyen, C. T-C. Интегрированные микромеханические радиоприемники. Proc. IEEE Int. Symp. СБИС-АСП. 3–4 (2008).

Salvia, J. C. et al. Температурная компенсация в реальном времени осцилляторов МЭМС с использованием встроенной микропечати и цепи фазовой синхронизации. J. Micorelectromech. Syst. 19, 192–201 (2010).

Артикул Google ученый

Кэндлер Р.N. et al. Инкапсуляция МЭМС-устройств на одной пластине. IEEE Trans. Adv. Packag. 26. С. 227–232 (2003).

CAS Статья Google ученый

Wang, J., Ren, Z. & Nguyen, C. T.-C. Самовыравнивающийся вибрационный микромеханический дисковый резонатор с частотой 1,156 ГГц. IEEE Trans. Ультразвуковой. Ферроэлектрик. Freq. Contr. 51, 1607–1628 (2004).

Артикул Google ученый

Ван Дж., Батлер, Дж. Э., Фейгельсон, Т. и Нгуен, К. Т.-К. Микромеханический дисковый резонатор из нанокристаллического алмаза с частотой 1,51 ГГц и изолирующей опорой из несоответствующего материала. Proc. IEEE Int. Конф. MEMS, 641–644 (2004).

Khine, L. & Palaniapan, M. Высокодобротные квадратные КНИ резонаторы с объемным режимом и прямыми якорями. J. Micromech. Microeng. 19, 015017 (2009).

ADS Статья Google ученый

Li, S.-S. и другие.Микромеханические кольцевые резонаторы типа «полый диск». Proc. IEEE Int. Конф. MEMS, 821–824 (2004).

Хао, З., Поуркамали, С. и Аязи, Ф. Монокристаллические кремниевые эллиптические емкостные емкостные дисковые резонаторы объемного режима в УКВ-диапазоне — часть I: проектирование и моделирование. J. Microelectromech. Syst. 13, 1043–1053 (2004).

CAS Статья Google ученый

Новацки В. Термоупругость. (Пергамон, Элмсфорд, Нью-Йорк, 1962 г.).

Duwel, A., Кэндлер Р. Н., Кенни Т. В. и Варгезе М. Разработка резонаторов МЭМС с низким термоупругим демпфированием. J. Microelectromech. Syst. 15. С. 1437–1445 (2006).

Артикул Google ученый

Чандоркар, С.А. и др. Пределы добротности в объемных микромеханических резонаторах. Proc. IEEE Int. Конф. МЭМС, 74–77 (2008).

Киттель К. и Кремер Х. Теплофизика. (2), (John Wiley & Sons, Inc., США, 1980).

Киттель К. Введение в физику твердого тела. (John Wiley & Sons, Inc., США, 1986).

Чой, К. Л., Вонг, С. П. и Янг, К. Параметры теплового расширения и Грюнайзена для анизотропных твердых тел. Phys. Ред. B 29, 1741–1747 (1984).

CAS ОБЪЯВЛЕНИЯ Статья Google ученый

Ридли Б.К. Электроны и фононы в многослойных полупроводниках. (Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Англия, 1997).

Candler, R. N. et al. Влияние геометрии на термоупругую диссипацию в микромеханических резонансных пучках. J MEMS 15, 927–934 (2006).

Артикул Google ученый

Поуркамали, С., Хо, Г. К. и Аязи, Ф. Низкоимпедансные ОВЧ и УВЧ емкостные кремниевые объемные акустические волновые резонаторы — Часть II: Измерение и определение характеристик. IEEE Trans. Электронные девиес 54, 2024–2030 (2007).

CAS ОБЪЯВЛЕНИЯ Статья Google ученый

Ахиезер, А.О поглощении звука твердыми телами. J. Phys. (Академия наук-Ленинград) 1, 277–287 (1939).

Google ученый

Вудрафф, Т. О. и Эренрайх, Х. Поглощение звука в изоляторах. Phys. Ред. 123, 1553–1559 (1961).

ADS Статья Google ученый

Барретт Х. и Холланд М.Г. Критика современных теорий демпфирования Ахиезера в твердых телах.Phys Rev. B1, 2538–2544 (1970).

Марис, Х. Взаимодействие звуковых волн с тепловыми фононами в диэлектрических кристаллах. Физическая акустика. (Академик Пресс, Нью-Йорк, 1971).

Google ученый

Duwel, A. E. et al. Механизмы потери тепловой энергии в устройствах микро- и нано-масштаба. Proc. SPIE, 8031 ​​(2011).

Ландау Л. и Румер Г. Поглощение звука твердыми телами. Phys. Z. Sowjetunion 11, 18 (1937).

MATH Google ученый

Табризиан Р., Раис-Заде М. и Аязи Ф. Влияние фононных взаимодействий на ограничение произведения f.Q микромеханических резонаторов. Proc. IEEE Int. Конф. Solid State Sens., Актуатор Microsyst. 2131–2134 (2009).

Hwang, E. & Bhave, S.A. Экспериментальная проверка внутреннего трения на частотах ГГц в легированном монокристаллическом кремнии. Proc. IEEE Int. Конф. МЭМС, 424–427 (2011).

Wu, G., Xu, D., Xiong, B. & Wang, Y. Высокодобротный микромашинный монокристаллический кремниевый резонатор для объемных мод с предварительно протравленной полостью. Микросист. Tech. 18, 25–30 (2012).

Артикул Google ученый

Wu, G., Xu, D., Xiong, B., Wang, Y. & High, Q. Монокристаллические кремниевые микромеханические резонаторы с гибридным процессом травления. Сенсоры J. 12, 2414–2415 (2012).

CAS ОБЪЯВЛЕНИЯ Статья Google ученый

Colinet, E.и другие. Генератор 100 МГц на основе емкостного МЭМС-резонатора с низким напряжением поляризации. Proc. IEEE Int. Конф. Freq. Продолж. Symp. (ФТС), 174–178 (2010).

Ли, Дж. Э.-Й. & Seshia, A.A. Квадратный резонатор в режиме бокала с добротностью 4 миллиона. Датчики, 1257–1260 (2008).

Ли, Дж. Э.-Й., Бахрейни, Б., Чжу, Ю., Сешия, А. А. Монокристаллический кремниевый микрорезонатор с объемным акустическим режимом. IEEE Electron Device Lett. 29, 701–703 (2008).

CAS ОБЪЯВЛЕНИЯ Статья Google ученый

Tu, C. & Lee, J. E.-Y. Повышенное рассеяние из распределенных отверстий травления в кремниевом микромеханическом резонаторе с боковым дыханием. Прил. Phys. Lett. 101, 023504 (2012).

ADS Статья Google ученый

Kaajakari, V. et al. Монокристаллический кремниевый микромеханический резонатор прямоугольной формы для применения в генераторах с низким фазовым шумом.IEEE Electron Device Lett. 25, 173–175 (2004).

CAS ОБЪЯВЛЕНИЯ Статья Google ученый

Jaakkola, A. et al. Пьезоэлектрически преобразованные пластинчатые монокристаллические кремниевые резонаторы. Proc. IEEE Int. Конф. Ultrasonics Symp. (IUS), 717–720 (2008).

Rantakari, P. et al. Малошумный микромеханический осциллятор с низким энергопотреблением. Proc. IEEE Int. Конф. Solid State Sens., Актуатор Microsyst. 2135–2138 (2005).

Самарао, А. К., Казинови, Г. и Аязи, Ф. Пассивная компенсация TCF в кремниевых микромеханических резонаторах с высокой добротностью. Proc. IEEE Int. Конф. МЭМС, 116–119 (2010).

Lavasani, H. M., Samarao, A. K., Casinovi, G. & Ayazi, F. Емкостной кремниевый микромеханический генератор с низким фазовым шумом 145 МГц. Встреча электронных устройств. (IEDM), IEEE Int. Конф. 1–4 (2008).

Sworowski, M. et al. Изготовление дисковых резонаторов на 24 МГц с использованием кремниевой технологии пассивной интеграции.Электронное устройство Lett. 31, 23–25 (2010).

CAS ОБЪЯВЛЕНИЯ Статья Google ученый

Кларк, Дж. Р., Хсу, В.-Т., Абдельмонеум, М. А. и Нгуен, К. Т.-К. Высокодобротные УВЧ микромеханические дисковые резонаторы с радиально-контурной модой. J. Microelectromech. Syst. 14, 1298–1310 (2005).

Артикул Google ученый

Акгул М. и др. Снижение фазового шума генератора вдали от несущей за счет наномасштабной настройки зазора микромеханических резонаторов.Proc. IEEE Int. Конф. Solid State Sens., Актуатор Microsyst. 798–801 (2009).

Pourkamali, S., Hao, Z. & Ayazi, F. Монокристаллические кремниевые емкостные эллиптические дисковые резонаторы объемного режима VHF — часть II: реализация и характеристика. J. Microelectromech. Syst. 13, 1054–1062 (2004).

CAS Статья Google ученый

Ли, Дж. Э.-. Y. & Seshia, A.A. Монокристаллический кремниевый винный стеклянный монокристаллический дисковый резонатор на 5,4 МГц с добротностью 2 миллиона.Датчики и исполнительные механизмы A: Physical 156, 28–35 (2009).

CAS Статья Google ученый

Оценка общего качества контура туннеля с использованием метода динамической кластеризации проекционного преследования

Полное понимание общего качества контура туннеля после плавного взрывания является весьма ценной задачей для точной оценки стоимости и темпов строительства. Традиционная оценка качества контура туннеля, которая всегда основывается на одном показателе, таком как перекрытие / недобор, может быть недостаточно рациональной, поскольку качество контура в определенных местах не может полностью соответствовать качеству контура в целом.Необоснованная оценка качества контура может вызвать задержку строительства или завышение бюджета, а также проблемы, связанные с безопасностью и стабильностью, или даже катастрофические аварии при определенных условиях. В этом случае оценка общего качества контура туннеля с учетом всех влияющих факторов имеет значение для сглаживания туннелирования. Целью данной статьи является разработка системы множественных показателей, которая может представлять общее качество контура с различных аспектов, а затем метод динамического кластера преследования проекции (PPDC) используется для количественной оценки общего качества контура туннеля.Множественные индексы проверяются с помощью анализа главных компонентов (PCA) и анализа корреляции серого (GCA). Выбранные 9 индексов для формирования системы множественных индексов включают максимальный перерыв, средний перерыв, максимальный перерыв, максимальный размер шага между двумя пушками, площадь перерыва, измеренную площадь, скорость перебоя, объем перерыва и коэффициент использования взрывной скважины. Общее качество контура туннеля количественно определяется с помощью 5 уровней с помощью динамического кластерного (DC) анализа.С помощью полученных значений 9 показателей общее качество контура туннеля может быть определено количественно в соответствии с рассчитанными собственными значениями проекции. Результат по общему качеству контура туннеля, полученный с помощью предлагаемого метода, намного лучше соответствует участку, чем результат, основанный на едином оценочном индексе. Предлагаемый метод станет многообещающей альтернативой для полного понимания общего качества контура туннеля.

1. Введение

Хорошо известно, что качество контура тоннеля после плавных взрывных работ всегда коррелирует с безопасностью проходки и стоимостью строительства, а также скоростью проходки [1–5].Следовательно, соответствующая оценка общего качества контура туннеля имеет жизненно важное значение для продвижения буровзрывных работ. В целом качество контура зависит от сложности геологических условий и буровзрывных работ, которые могут отрицательно сказаться на целостности и устойчивости окружающего массива горных пород [2, 6, 7]. С точки зрения применимости качество контура туннеля в настоящее время в основном определяется превышением рейтинга качества [8, 9].

Было предпринято множество попыток предсказать масштаб перебоя / недобоя и диапазон повреждений, вызванных взрывом, для оптимизации конструкции / эксплуатации взрыва и улучшения качества контура при проходке туннелей D&B [10–15]. Однако из-за неопределенности геологии площадки и разнообразия факторов, влияющих на работу D&B, большая часть исследований по оценке качества контура в основном была сосредоточена на перекрытиях в определенных местах контура. На данный момент было приложено очень мало усилий для количественной оценки состояния контура всего туннеля после цикла операции D&B.Янкюн Ким [16] предложил индекс под названием Индекс качества контура туннеля (TCI) для количественной оценки общих геометрических характеристик контура туннеля после плавных взрывных работ, учитывая среднюю глубину прорыва и среднее отношение фактической длины контура к планируемой длине контура (RCL). в двух поперечных сечениях витка и среднее значение абсолютной разницы глубины перекрытия между двумя соседними участками в продольном направлении. Элиза Костаманья и др. [2] провели оценку передержки и TCI, а затем сравнили ее со значениями Q-системы.Они предположили, что индекс TCI может быть выбран в качестве количественного и применимого инструмента для оценки качества контура туннеля в некоторой степени. Следуя своей предыдущей работе, Янкюн Ким и Амунд Бруланд [8] также установили другой индекс, названный Индексом качества контуров туннелей для затрат на строительство (TCIC), для оценки качества контуров и затрат. Хотя индексы TCI и TCIC предлагали способ количественной оценки качества контура туннеля после плавных взрывных работ, учитывались только перерывы в некоторых конкретных линейных направлениях в выбранных поперечных / продольных сечениях.Фактически, общее качество контура туннеля не только зависит от глубины пересечений / недр в некоторых конкретных местах, но также определяется общими масштабными характеристиками с точки зрения площади и объема избыточных / недоэкскаваций. Koopialipoor et al. [17] проанализировали превышение с помощью как искусственной нейронной сети (ИНС), так и гибридного генетического алгоритма (GA) -ANN и обнаружили, что GA-ИНС более надежна для прогнозирования превышения. Учитывая множество факторов, вызывающих чрезмерное нарушение, и сложность взаимодействия между этими факторами, Koopialipoor et al.[18] попытались разработать новый метод прогнозирования превышения допустимого уровня с помощью искусственной нейронной сети. Наварро и др. [19] сообщили об инженерном инструменте для прогнозирования высокого риска зон перекрытия на основе данных MWD. Дэй [20] указал, что хрупкий перекрытие в неоднородном массиве горных пород, содержащем гидротермальные жилы и брекчию, может вести себя совершенно иначе, чем однородный массив горных пород, что приводит к традиционным прогнозам глубины хрупкого перекрытия, которые будут неэффективными. Jang et al.[21] определили коэффициент сопротивления чрезмерному разрушению для разработки эмпирического метода оценки превышения допустимого сопротивления. Foderà et al. [22] предложили оперативную методологию для оценки объемов перекрытия и выделения технического перекрытия на основе исследований туннельного лазерного сканирования и изображений вынутых грунтов с высоким разрешением, а влияние влияющих параметров оценивается с помощью множественного регрессионного анализа. Делонка и Валлехос [23] представили обобщенный критерий разрушения, который включает эффект масштаба для прогнозирования чрезмерного разрушения, вызванного напряжением, для всех диаметров выемки.Было обнаружено, что большое внимание было уделено оценке глубины прорыва и прогнозированию зоны повреждения. Однако качество контура зависит не только от глубины перерыва в некоторых конкретных местах.

В инженерных приложениях большинство методов оценки качества контура туннеля после плавного взрывания основано на эмпирических или полуэмпирических формулах, инженерных аналогиях и полевых испытаниях [2, 24, 25]. В последнее время были опробованы некоторые подходы к интеллектуальному анализу данных для оценки зоны перекрытия и повреждения окружающих пород, включая адаптивный метод конечных элементов, теорию фракталов, технику обработки изображений, вейвлет-анализ, тестирование модели, искусственную нейронную сеть и множественный регрессионный анализ.Но большинство этих методов, как правило, качественные и основаны на едином оценочном индексе, который может быть применим только при определенных условиях [7, 26–29]. Все еще недоступна комплексная система индексов, включающая несколько индексов, которые можно использовать для количественной характеристики общего качества контура. В реальности строительства туннеля с использованием метода D&B, различные отделы могут использовать различные индексы для оценки качества контура туннеля в соответствии с их проблемами. Например, глубина перекрытия / недораздела часто выбирается в качестве показателя для оценки качества контура в китайских правилах строительства железнодорожных туннелей [30] и в правилах строительных технических условий для автомобильных туннелей [31].Другими факторами, включая площадь и объем перекрытия / перекрытия, не учитываются на практике. Однако влияние этих факторов на оценку качества контура туннеля во многих случаях нельзя игнорировать. Таким образом, для рационального понимания и оценки безопасности строительства и времени, разработка комплексного метода оценки для количественной оценки общего качества контура туннеля после гладких взрывных работ является очень перспективной при проходке туннелей D&B.

Целью данной статьи является разработка подхода к количественной оценке с использованием нескольких индексов для полного понимания общего качества контура туннеля на основе метода динамического кластера прогнозирования (PPDC).В предлагаемый подход к оценке включены как инженерный практический опыт, так и размеры площадки, технические стандарты, знания экспертов и соответствующая литература. Влияние чрезмерного / недоразведанного грунта в трех измерениях, включая глубину, площадь и объем, учитывается при оценке, чтобы полностью понять общее качество контура туннеля после плавных взрывных работ.

2. Принципы оценки качества

2.1. Выбор показателей оценки

Показатели, представляющие качество контура туннеля, могут отличаться друг от друга в зависимости от основной цели оценки.Как известно, учесть все факторы при анализе сложной проблемы зачастую невозможно. Правильное определение показателей оценки практически играет очень важную роль в достоверности оценки. Определение правильных индексов — это первый, но также самый важный шаг. В данной работе определение показателей следует следующим принципам: высокая корреляция с качеством контура, применимость к получению с учетом как качественных, так и количественных факторов и простота использования.

2.2. Структура системы множественных индексов

Чтобы полностью понять общее качество контура, следует установить систему множественных индексов. Следуя концепции метода аналитического иерархического процесса (AHP) для сложных проблем [32], используется модель иерархической структуры предложенной системы множественных индексов для оценки качества контура туннеля, как показано на рисунке 1. Она может ясно показать влиятельные факторы, участвующие в этом исследовании, и корреляции между различными факторами.

3. Сбор данных

Данные означают значения потенциальных факторов, которые могут повлиять на общее качество контура туннеля. Идентификация этих данных выполняется с помощью исследования на месте, консультации экспертов и экспериментального исследования. В зависимости от частоты их использования в существующих случаях эти потенциальные показатели, отражающие качество контура, можно сгруппировать в два типа: качественные показатели и количественные показатели. Для качественного индекса оценка его влияния на качество контура и, соответственно, оценка его значений используются для количественной оценки влияния этого индекса.С другой стороны, количественный показатель необходимо преобразовать в безразмерную форму, чтобы уменьшить влияние вариаций абсолютных значений этих факторов.

3.1. Идентификация потенциальных индексов

Потенциальные индексы могут быть получены из литературы, инженерного опыта, экспертных знаний и технических кодексов железных дорог, шоссе, угольных шахт, гидроэнергетики и других подземных сооружений. В этой работе исследуются и исследуются 83 случая проходки горных выработок методом D&B в Китае, 20 случаев за рубежом и 16 технических норм.В этой работе мы определяем коэффициент использования, чтобы представить частоту индекса, используемого при оценке качества. Согласно литературному определению [33], коэффициент использования определяется как отношение времени использования индекса к общему количеству существующих методов. Степень внедрения индекса, используемого в традиционной оценке качества, подвергается статистическому анализу, как показано на рисунках 2–4.

Было обнаружено, что коэффициент заброса, коэффициент использования взрывных скважин, продвижение на раунд и перекрытие можно рассматривать как основные показатели, отражающие качество контура гладкого взрывания туннелей в Китае с различных аспектов.Однако перерыв часто выбирается в качестве основного показателя, указывающего на качество контура в других странах. Статистически можно выделить 32 потенциальных показателя, отражающих качество контура туннеля после гладких взрывных работ, которые следует учитывать в предлагаемой комплексной оценке качества.

3.2. Скрининг качественных показателей

В данной работе, следует ли учитывать индекс при оценке, зависит от степени его использования в существующих методах; то есть степень внедрения должна быть не менее 50%.Квалифицированные качественные показатели могут быть определены путем исследования на месте и консультации экспертов. По степени важности при оценке качества контура уровень влияния качественного показателя сгруппирован в пять уровней. В частности, уровень 1 означает очень важный фактор, которому будет присвоено 5 баллов. Точно так же уровень 2 представляет относительно важный фактор (4 балла), уровень 3 указывает, что его степень важности является удовлетворительной (3 балла), уровень 4 является менее важным фактором (2 балла), а уровень 5 не важен (1 балл).В данной работе качественные показатели включают в себя экономическую выгоду, устойчивость окружающего массива горных пород, влияние налетов, факторов поддержки горных пород, влияние вибрации, растрескивания подпорной стенки окружающей породы и сложности в эксплуатации способа строительства. В соответствии с результатом классификации и оценки очень важными показателями являются экономические выгоды, стабильность окружающего массива горных пород, факторы поддержки горных пород и сложность в эксплуатации метода строительства, как показано на Рисунке 5.Только один индекс показывает относительную важность качества контура, то есть мух-рок.

3.3. Сборник количественных индексов

Количественные индексы могут быть определены с помощью исследования на месте, консультации экспертов и экспериментального исследования. Точно так же количественный индекс квалифицируется, если его коэффициент использования составляет не менее 50%. На основании исследования на месте и консультации экспертов собрано 25 количественных показателей, как показано в таблице 1.

Размер два орудия No. Индекс Коэффициент использования (%) № Индекс Коэффициент использования (%) 1 Максимальный шаг 71,43 50 2 Коэффициент полураспада 42,86 15 Коэффициент заряда взрывчатого вещества 57,15 3 Количество взрывчатых камней на раунд 71 16 Степень неровности 50 4 Подрыв 57,14 17 Скорость взрывной вибрации 57,15 5 905 905 905 Средний размер блока Соотношение количества шпуров 35,71 6 Расход детонатора / дозировка детонатора 35,71 / 42,85 19 Коэффициент использования взрывной скважины 42.86 7 Частота превышения 64,29 20 Прогресс на раунд 50,01 8 Выход валуна 42,86 глубина 9 Первая линия 42,86 22 Дозировка взрывчатого вещества 64,29 10 Среднее превышение 57.15 23 Дальность передачи 35,72 11 Глубина нарушения окружающей породы 71,44 24 Метраж бурения на единицу площади 50 96 50 для дымоудаления 42,86 25 Сохранение толщины зоны повреждения окружающих горных пород 50 13 Максимальный перекрытие 42.86 — — —

В соответствии с коэффициентом использования очень важные (5 баллов) для качества контура показатели включают в себя перекрытие, недовырыв, коэффициент перекрытия и т.д. средний перерыв, максимальный размер шага между двумя орудиями, дозировка взрывчатого вещества и метраж бурения на единицу площади, как показано на Рисунке 6. Соответственно, показатели с относительной важностью включают средний размер блока, глубину нарушения окружающей породы, коэффициент заряда взрывчатого вещества , степень неравномерности, скорость взрывной вибрации, продвижение за раунд, количество метров бурения на единицу площади и сохранение толщины зоны повреждения окружающей породы (4 балла), как показано на рисунке 7.

Экспериментальные исследования, включая полевые испытания и численное моделирование, также могут предоставить ценную информацию о количественных показателях. Индексы, исследованные на объекте, включают измеренную площадь поперечного сечения, площадь перекрытия, площадь недостаточного прорыва, максимальное перекрытие, максимальное перекрытие и среднее перекрытие с помощью профилометра туннеля. Первые пять индексов также можно определить на основе численного моделирования.

4. Определение системы множественных индексов

4.1. Общий метод

Система множественных показателей имеет решающее значение для надежности оценки качества контура туннеля после гладких взрывных работ. Соответствующая система показателей может дать убедительный результат оценки качества контура. Определение системы множественных индексов основано на следующих соображениях: (1) Выбор серии индексов, которые обычно могут указывать на качество контура. Индекс, используемый в большинстве методов оценки, можно рассматривать как квалифицированный, который в некоторой степени будет отражать характеристики качества контура.В этой работе должны быть задействованы индексы, которые часто используются в большинстве существующих оценок. (2) Ранжирование выбранных индексов на основе их степени использования. Чем чаще используется индекс, тем он важнее. Между тем, вклад каждого индекса в качество контура в целом оценивается количественно с помощью метода анализа главных компонентов (PCA) и анализа корреляции серого (GCA). В этом случае степень важности индекса может быть обозначена весом.Схема определения системы множественных индексов представлена ​​на рисунке 8.

4.2. Первичная проверка индексов

На сегодняшний день все еще не существует универсальной системы индексов для оценки качества контура. Индексы, используемые в одном методе, могут отличаться от индексов другого метода. Конечно, каждый индекс имеет свое значение, но нельзя игнорировать ограничения. Например, средний перерыв и максимальный перерыв, которые широко используются во многих оценках, могут отражать качество контура только в одной конкретной точке, в то время как перерезки / перегибы в 2 или 3 измерениях не могут быть оценены.Чтобы полностью понять качество контура в трех измерениях, необходимо учитывать другие индексы, представляющие общую площадь и объем пересечений / недр. Таким образом, 21 индекс с коэффициентом использования не менее 50% в первую очередь выбирается как части множественных индексов. система. Как показано в таблице 2, эти индексы сгруппированы по 4 уровням: точечные индексы, линейные индексы, индексы поверхности и объемные индексы. Точечные индексы представляют глубину перекрытия / недобоя в некоторых конкретных точках, линейные индексы показывают линейное распределение глубины перекрытия / недобоя в различных точках, поверхностные индексы показывают площадь перекрытия / недобоя на определенной внутренней поверхности туннеля, а объемные индексы указывают общий объем перекрытия / недобора в трех измерениях.

8 9905 м)8 (м)8 (м)% Целевой уровень Критерийный уровень Индекс (единица) Система индексов Максимальный пролом X 2 (м) Средний перерыв X 3 (м) Средний пролом X Линейные показатели Глубина нарушения вмещающей породы Y 1 (м) Максимальный размер шага между двумя пушками Y 2 (см) Степень неровности Y 3 (см) Средний размер блока Y 4 (см) Ход за раунд Y 5 (м) Su Показатели rface Измеренная площадь W 1 (м 2 ) Площадь перекрытия W 2 (м 2 ) Площадь подрыва W 3 (м10 ) 2 2 3 (м10 ) Интенсивность перерыва W 4 (%) Интенсивность недробоя W 5 (%) Коэффициент полувыведения W 6 (%) Объемные показатели Объем перерыв Z 1 (м 3 ) Объем подрыва Z 2 (м 3 ) Коэффициент использования взрывной скважины Z % 3 Дозировка взрывчатого вещества Z 4 (кг) Экономическая выгода Z 5 Устойчивость окружающего горного массива Z 6 908 58

4.3. Оптимизация индексов

В общем, большое количество индексов часто неприменимо для выполнения работы по оценке из-за вычислительной эффективности и применимости. В этом случае отобранный 21 показатель должен быть дополнительно оптимизирован по степени их важности. Для определения степени важности используется метод сопряжения метода анализа главных компонентов (PCA) и анализа серой корреляции (GCA).

4.3.1. Оптимизация точечных индексов

В этом разделе X ₁ , X ₂ , X ₃ и X ₄ обозначают максимальное превышение, максимальное уменьшение, среднее превышение и средний недробег соответственно.Их вес определяется методом сочетания GCA и PCA. GCA часто используется для определения степени корреляции между различными факторами в системе на основе сходства или несходства тенденции развития [34]. Соотношения факторов можно определить по подобию геометрических форм кривых последовательности. Степень корреляции значима, если геометрические формы кривых приблизительны. Для выполнения GCA эталонная последовательность может быть определена как, тогда как сравнительная последовательность может быть, и i = 1, 2,…, m .Чтобы уменьшить влияние отклонения единицы фактора, последовательность следует обезразмерить методом обработки среднего значения. Эталонная последовательность, обозначенная как, может быть выражена уравнением (1), тогда как сравнительная последовательность, обозначенная как, может быть описана как уравнение (2).

Коэффициент корреляции определяется как коэффициент разрешения, минимальная разница между двумя последовательностями и максимальная разница между двумя последовательностями. Следовательно, степень корреляции может быть определена как

В данной работе реляционный порядок точечных индексов показан в таблице 3.Степень корреляции для каждого точечного индекса показана в таблице 4.

Индекс 9109 9095 905 Порядок отношений между X 1 и другими Порядок отношений между X 2 и другими Порядок отношений между X 3 и другими Порядок отношений между X 4 и другими Коэффициент корреляции Индекс Коэффициент корреляции Индекс Индекс Коэффициент корреляции X 3 0.9562 X 4 0,8209 X 1 0,9563 X 2 0,8259 9 9905 905 X 1 0,7962 X 2 0,7928 X 1 0,7583 .7577 X 3 0,7861 X 4 0,7511 X 3 0,7511 Индекс Степень корреляции Индекс Степень корреляции Максимальное превышение X 1 .5860 Средний перерыв X 3 0,5834 Максимальный перерыв X 2 0,5672 Средний перерыв X 5 9 0,5 Было обнаружено, что максимальный прорыв X 1 имеет самую сильную корреляцию с качеством контура туннеля, в то время как средний провал X 4 показывает наименьшую корреляцию с качеством контура. С другой стороны, вклад каждого показателя в общее качество контура также можно определить с помощью метода PCA. Как известно, PCA, вероятно, является старейшим и наиболее известным из методов многомерного анализа [35]. Впервые он был введен Пирсоном в 1901 году, а затем независимо разработан Хоттеллингом в 1933 году. Философия PCA состоит в том, чтобы уменьшить размерность набора данных, в котором существует большое количество взаимосвязанных вариантов, сохраняя при этом как можно больше вариаций. присутствует в наборе данных [35, 36].Следуя Eriksson et al. [37], модель PCA состоит в том, что X — это входная матрица, представляющая исходные параметры, T — это матрица оценок, которая представляет взаимосвязь между исходными параметрами, P — это матрица загрузки, которая представляет вклад исходных параметров. , а E — это матрица остатков, которая представляет неперехваченную дисперсию. n — количество временных шагов, p — количество исходных параметров, а k — количество главных компонентов. На основе критерия максимальной дисперсии каждый главный компонент, полученный из модели PCA, не имеет отношения к другому. Первый главный компонент имеет самую высокую дисперсию, что также показывает, что он содержит больше всего информации, в то время как второй главный компонент будет захватывать следующую по величине дисперсию, которая уже удалила информацию о первом главном компоненте [36]. А остальное можно вывести таким же образом. Для k -го главного компонента балльного индекса он может быть обозначен следующим образом: Первые три главных компонента имеют самую высокую дисперсию.Это означает, что большая часть информации в исходном параметре визуализируется первыми тремя основными компонентами. Нормализованные собственные векторы точечных индексов показаны в таблице 5, а соответствующие собственные значения приведены в таблице 6. Можно видеть, что первый основной компонент включает в себя среднее превышение X 3 и максимальное превышение X 1 , второй основной компонент — это максимальный недробег X 2 , а третий основной компонент — это средний недробег X 4 . Индекс Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3 Фактор 4 8 9095 9095 9095 9095 9095 9095 9095 -0,0208 -0,6394 X 2 -0,3774 0,6946 -0,5138 0,3333 8 3 5 0,2372 0,3228 0,6881 X 4 -0,4763 0,3677 0,7946 -01395 905 905 905 905 No. Собственное значение Процент (%) Накопленный процент (%) 1 1.9791 49,47 49,47 2 1,0652 26,62 76,10 3 0,6413 16,03 5 9095 905 905 905 905 905 Объединяя результаты PCA и GCA, оптимизированные точечные индексы показаны в таблице 7. На уровне точек максимальное превышение X 1 , среднее превышение X 3 и максимальный недобор X 2 выбираются в качестве оптимальных индексов точек последовательно. X 4 4.3.2. Оптимизация линейных индексов Y 1 –Y 5 представляют глубину нарушения окружающей породы, максимальный размер шага между двумя пушками, степень неровности, средний размер блока и продвижение за раунд, соответственно. По результатам PCA и GCA оптимизированные линейные индексы показаны в таблице 8. Максимальный размер шага между двумя пистолетами Y 2 определяется как оптимальный линейный индекс. № Метод оптимизации Переменные Оптимизированные индексы точек Первый выбранный 905 905 905 5 Третий выбранный 5 Третий выбранный 5 GCA X 1 X 3 X 2 X 1 , X 2 2 PCA X 3 , X 1 X 2 X 4 7 No. Метод оптимизации Переменные Оптимизированные показатели поверхности Первый выбранный Второй выбранный Третий выбранный Четвертый выбор 2 GC Y 4 Y 5 Y 1 Y 2 2 PCA Y 2 5 9085 905 905 905 905 Y 1 4.3.3. Оптимизация индексов поверхности W 1 — W 6 обозначают измеренную площадь поперечного сечения, площадь перекрытия, площадь перекрытия, скорость перекрытия, коэффициент перекрытия и коэффициент полувыведения, соответственно. Результаты оптимизированных показателей поверхности приведены в таблице 9. Площадь перекрытия Вт 2 , измеренная площадь Вт 1 и скорость перекрытия Вт 4 выбраны в качестве оптимальных показателей поверхности. 1 № Метод оптимизации Переменные Оптимизированные индексы поверхности Первый выбранный Второй выбранный 5 GC W 2 , W 4 W 1 W 2 , W 1 , W 4 2 PCA W 2, 9085 PCA W 2, , W 4 W 6 4.3.4. Оптимизация объемных показателей Z 1 -Z 6 указывает объем перекрытия, объем недробоя, коэффициент использования взрывной скважины, дозировку взрывчатого вещества, экономические выгоды и стабильность окружающей горной массы, соответственно. Оптимизированные объемные показатели показаны в таблице 10 на основе анализа PCA и GCA. Оказалось, что объем перекрытия Z 1 и коэффициент использования взрывной скважины Z 3 можно определить как оптимальные объемные показатели. № Метод оптимизации Переменная Оптимальные объемные показатели Первый выбор Выбран третий Выбран второй Выбран второй 1 GCA Z 4 Z 3 Z 6 Z 9 3 2 PCA Z 1 Z 3 Z 00 2 5 4.4. Разработка системы множественных индексов На основе двух раундов отбора можно четко определить оптимальные индексы, которые будут использоваться для создания системы множественных индексов. В соответствии с иерархической структурой предлагаемая система множественных индексов приведена в таблице 11. Она включает четыре уровня под критериальным слоем и в общей сложности 9 индексов, представляющих качество контура для индексного слоя. 8 Оценка контура A199908 размер шага между двумя пистолетами C 21 (см) Целевой слой Критерийный слой Индексный слой (единица) Система индексов Максимальный перерыв C 11 (м) Средний перерыв C 12 (м) Максимальный перерыв C 13 (м) Максимальные линейные индексы B 2 Показатели поверхности B 3 Площадь выхода за пределы C 31 (м 2 ) Измеренная площадь C 32 (м 2 ) Скорость перерыва C 33 (%) Объемные индексы B 4 Объем перерыва C 41 (м 3 ) Коэффициент использования взрывных скважин C 42 (%) 5.Оценка качества контура с использованием метода PPDC Предлагаемая система множественных индексов имеет 9 индексов для представления качества контура с разных сторон. Как известно, количественный анализ многомерных данных затруднен. Таким образом, метод прогнозирования (PP) используется для уменьшения размеров данных в этой работе, а динамическая кластеризация (DC) используется для определения оценки качества контура. В результате общее качество контура может быть определено соответствующим образом, если доступны значения 9 показателей. 5.1. Метод Projection Pursuit (PP) Для задач оценки множества факторов отображение многомерных данных на низкоразмерных коллекторах для визуального контроля рассматривается как распространенный метод анализа данных. Алгоритм проекционного преследования (PP) является таким инструментом для решения задач оценки множества факторов [38]. Он может преобразовывать данные большой размерности в пространство низкой размерности, отображая в направлении проекции [39]. В низкоразмерном пространстве характерные черты исходных данных могут быть легко проанализированы человеческим даром распознавания образов.В частности, алгоритм PP обеспечивает метод линейного отображения, который использует расстояние между точками, а также дисперсию роя точек для достижения оптимальных проекций [38]. Основная задача PP-анализа — это, в частности, проблема сопоставления с уменьшением размерности, чтобы определить оптимальное направление проекции, которое может предоставить более ценную информацию из исходных многомерных данных. Процедура отображения PP представлена ​​следующим образом: (1) Нормализация исходных данных. Чтобы уменьшить влияние различных величин различных факторов, исходные данные должны быть сначала нормализованы.Предположим, где — значение j -го фактора после нормализации, n — количество выборок, а p — количество факторов. Для факторов, которые лучше с большими значениями, формула нормализации приведена в уравнении 7. Для других исходные данные могут быть нормализованы уравнением 8. (2) Установление функции линейной проекции. Предположим, что это p-мерный единичный вектор, а z ( i ) — значение характеристики проекции.Значение линейной проекции можно получить из (3) Оптимизация функции индекса проекции. Оптимальное направление проекции можно определить по максимальному значению индекса проекции, при котором генетический алгоритм (ГА) может быть использован для выполнения оптимизации. Индекс проекции является функцией оси проекции, которую можно определить следующим образом: где S z обозначает разброс данных, который может быть вычислен по уравнению (12) и D z — это локальная плотность значений проекции в направлении — проекции, которая может быть определена как Уравнение (13).в котором среднее значение z ( i ) вдоль оси проекции, что означает радиус отсечки. (4) Расчет значения проекции. После определения оптимального направления проекции величина проекции образцов может быть рассчитана по уравнению (9). В результате может быть получено характеристическое значение проекции, которое представляет общее качество контура. 5.2. Динамическая кластеризация (DC) 5.2.1. Общий метод Для оценки качества контура туннеля с использованием значения проекции нескольких индексов необходимо заранее разработать оценку качества контура.В этом исследовании алгоритм динамической кластеризации (DC) используется для количественного определения оценки качества с 5 уровнями. Концепция классификации заключается в разделении набора данных, описываемых частотными распределениями [40]. Это общий алгоритм разбиения набора объектов в кластеры K , который основан на определении критерия наилучшего соответствия между разбиением набора индивидов и представлением кластеров разбиения [41] . Операция разделения описывается следующим образом: (1) Начальное разделение: M выбранных выборок случайным образом делятся на f начальных групп, то есть.(2) Расчет расстояния: средний вектор каждой исходной группы может быть вычислен как где и — сумма векторов и количество векторов, соответственно. Следовательно, расстояние между значением i -й выборки и средним вектором может быть вычислено с помощью (3) установления первой группы: значение выборки модифицируется уравнением (16), и, таким образом, может быть получена первая группа. (4) ) Повторение шагов расчета (2) и (3) с измененными выборочными значениями для получения диапазонов других групп. 5.2.2. Рейтинг каждого индекса Рейтинг каждого оценочного индекса в предлагаемой системе множественных индексов выполняется с помощью алгоритма DC и оценки доверительного интервала. Степень важности каждого индекса сгруппирована по 5 уровням. Исходные данные каждого индекса и связанных с ним эффектов на качество контура собраны из огромного количества существующих проектов. На примере среднего превышения допустимого отклонения расчетный результат показан в таблице 12. Верхние / нижние пределы каждого уровня могут определяться уровнем значимости. Рейтинг Уровень значимости α Среднее превышение Рейтинг Уровень значимости α 905 905 α Среднее превышение I) 0,05 0,1588–0,1812 Плохое (IV) 0,05 0,3145–0,3248 0,01 0.1539–0,1861 0,01 0,3127–0,3266 Хорошо (II) 0,05 0,2130–0,2248 Очень плохое (V) 5 5 5 0,01 0,2108–0,2270 0,01 0,3484–0,3891 Удовлетворительное (III) 0,05 0,2671–0,27905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 .01 0,2655–0,2777 — — — Соответственно, рейтинг среднего превышения может быть получен, как показано в Таблице 13. Уровень Диапазон (м) I ＜ 0,15 II 0,15–0,21 905–0,26 IV 0,26–0,31 V ＞ 0,31 предложенный

быть получено, как показано в Таблице 14.

Отклонение площади Рейтинг Максимальный перерыв Средний перерыв Максимальный перерыв Максимальный размер шага между двумя пистолетами Площадь Интенсивность перекрытия Объем перекрытия Коэффициент использования взрывной скважины I, 1 <0.42 <0,15 <0,02 <10 <3,5 <3 <1,5 <1,5 > 95 II, 3 0,42–0,6902 905,21 0,02–0,06 10–15 3,5–5,5 3–6 1,5–3,5 1,5–3,5 95–90 III, 5 0,62–0,7902 901 0,2 –0,26 0,06–0,10 15–20 5.5–7,5 6–9 3,5–5,5 3,5–5,5 90–85 IV, 7 0,72–0,82 0,26–0,31 0,10–0,21 20–2595 7,5–9,5 9–12 5,5–7,5 5,5–7,5 85–80 V, 9 > 0,82 > 0,31 > 0,21 > 9,5 > 12 > 7,5 > 7.5 <80

Примечание. Отклонение площади — это разница между измеренной площадью поперечного сечения и расчетной площадью.

5.3. Рейтинг качества контура на основе значения проекции

Общее качество контура может быть определено с помощью собственных значений набора данных множественных показателей. На основании таблицы 14 оптимальное направление проекции нескольких индексов может быть получено с помощью кода MATLAB.Конфигурация компьютера для выполнения расчета приведена в таблице 15.

ЦП AMD Ryzen 5 pro 3500U с Radeon Vega Mobile Gfx 2,10 ГГц RAM Не менее 8,00 G OS Windows 7, 64 бит

Расчетное оптимальное направление проекции = (0.3154 0,3663 0,1952 0,2508 0,5209 0,2346 0,3747 0,2091 0,3934), а вычисленные собственные значения с использованием метода PP для каждого уровня приведены в таблице 16. Как показано в таблице 16, общее качество контура туннеля можно разделить на 5 уровней в соответствии с собственные значения.

Собственное значение Диапазон Рейтинг 2,86 Очень хорошо 1,94–2,8905 905 1,94–2,8905 905 1,28–1,94 Хорошее (II) 1,28 0,67–1,28 Удовлетворительное (III) 0,67 0–0,67 Плохое (IV90) 0 Очень плохое (V)

6. Применение

6.1. Обоснование проекта

В качестве места проведения полевых исследований выбран высокоскоростной железнодорожный туннель от Чэнду до Чунцина, вырытый буровзрывным методом.Туннель расположен в горной местности к западу от Чунцина. Во время проходки туннелей был проведен плавный взрыв для выемки горных пород. Расчетная длина тоннеля — до 5054 м, высота испытательного сечения — 11,08 м, ширина — 14,90 м. Согласно китайскому техническому стандарту TB10003 [42], класс окружающей породы относится к уровню IV, что означает, что интеграция и стабильность окружающей породы плохие. Основная литология, выявленная при раскопках, — глинистые песчаники юрского возраста ( J ₂ s ).Свойства окружающих пород показаны в Таблице 17.

08 927–995 905 905 905 905 905 905 905 905 905 905 <27–5> № Камень / почва Возраст Консистенция или степень выветривания Плотность (г / см 3 903 ) Связной (кПа) Угол внутреннего трения (°) <6–2> Мягкий грунт (мягкая илистая глина) Q 4 1.72 8,5 5,4 <6–3> Мягкий грунт (мягкая пластичная илистая глина) Q 4 Мягкий пластик 1,88 12,1 796 5 <6–4> Ил. 4 Жесткий пластик 1.89 25,1 10,9 <27–2> Песчаник J 2 s 5 20 W 3 2.20 — 40 W 2 2.50 — 5059 Аргиллит с песчаником J 2 s W 4 1.96 20 18 W 3 2,10 — 35 W 2 2.52 90 45 Глинистый песчаник J 2 s W 4 1,96 20 18 905 905 905 905 905 905 905 905 — 35 W 2 2,52 — 45

6.2. Измеренные данные

Измеряются значения нескольких индексов, включая максимальный перерыв, средний перерыв, максимальный перерыв, максимальный размер шага между двумя пушками, площадь перерыва, измеренную площадь, частоту перерыва, объем перерыва и коэффициент использования взрывной скважины. / собраны в 3-х сечениях, то есть в DK247 + 033.5 м, DK247 + 047,5 м и DK247 + 049,5 м, как показано в Таблице 18.

0% 8,4 7,82 Слой Индекс Измеренное значение D + 047,5 DK247 + 049,5 Индексы точек B 1 Максимальный разрыв C 11 (м) 0,64 0,59 905 905 905 905 0,59 Среднее значение 12 (м) 0.32 0,30 0,21 Максимальный недробой C 13 (м) 0,14 0,03 0,28 Размер Линейный размер между двумя пистолетами C 21 (см) 15 8 23 Показатели поверхности B 3 Площадь перерыва C 31 (м 2 ) 11.78 10.90 4,70 Измеренная площадь C 32 (м 2 ) 151,10 150,31 142,19 Частота перерыва C 3,37 Показатели объема B 4 Объем перелома C 41 (м 3 ) 5,89 5 905 905 905 905 905 905 Коэффициент использования взрывной скважины C 42 (%) 95 92 79

6.3. Вычисленные собственные значения

На основе измеренных данных оптимальная проекция 9 индексов, представляющих качество контура туннеля, может быть получена с помощью программирования MATLAB; то есть = (0,1841 0,4406 0,0007 0,0034 0,5045 0,4941 0,5099 0,1154 0,0001). Подставляя полученное оптимальное направление проекции в линейную функцию проекции, то есть в уравнение (9), вычисленные значения проекции всестороннего качества для 3 контуров измерения равны = (0.57 0,81 2,17).

6.4. Рейтинг качества контура

Следовательно, рейтинг качества контура может быть получен путем сравнения вычисленных собственных значений с разработанным рейтингом (таблица 16). Результат оценки качества 3 измеренных контуров туннеля показан в Таблице 19. Фактические профили 3 контуров показаны на Рисунках 9–11.

Контур DK247 + 033.5 DK247 + 047.5 DK247 + 049,5 Собственное значение 0,57 0,81 2,17 Рейтинг качества Плохо (IV90) 905 905 905 905 Плохо (IV90) 90

Из изображений контуров сайта можно было обнаружить, что оценка общего качества контуров, определенная предлагаемым методом оценки на основе множественных индексов, сильно отличается от полученного с использованием единственного индекса.Если выбран один индекс для описания качества контура, например, величина максимального перерыва или перерыва контура на DK247 + 049,5 м относительно выше, чем у двух других контуров, что приведет к низкому качеству контура. Тем не менее, общий объем перекрытия / недостаточного прорыва в контуре на DK247 + 049,5 м намного ниже, чем у других, и наблюдаемый максимальный перекрытие / недобор встречается только в очень немногих положениях. Относительно низкое значение прорывов / недр контура на DK247 + 049.5 м также можно осмотреть по измеренной площади и объему перекрытия. Фактически, контур на DK247 + 049,5 м показывает намного лучшее качество, чем другие контуры, из-за небольшого объема перекрытия, что снизит затраты на засыпку и опору для горных пород. Очевидно, что результат предлагаемого метода оценки качества контура больше соответствует факту места расположения объекта, что будет способствовать принятию экономически эффективных решений инженерами участка.

7. Выводы

Качество контура туннеля после плавного взрывания имеет решающее значение для оценки стоимости и времени строительства, а также безопасности проходки туннелей и устойчивости окружающей породы.Всестороннее понимание качества контура в трех измерениях имеет жизненно важное значение для разумной оценки времени и стоимости строительства. По сравнению с одним индексом предлагаемые множественные индексы могут лучше отражать общее качество контура туннеля. В этой статье разработан подход к оценке на основе множественных индексов, и, таким образом, метод динамического кластера прогнозирования (PPDC) используется для оценки качества контура туннеля. Некоторые выводы можно сделать следующим образом: (1) На основе статистического анализа инженерных дел, исследования участка, литературы, экспертных знаний и технических кодексов эффективно вычисляются 7 качественных показателей и 25 количественных показателей, представляющих качество контура.В соответствии с коэффициентом использования предварительно выбирается 21 индекс, чтобы полностью описать качество контура в трех измерениях. (2) Чтобы определить наиболее влиятельные факторы, влияющие на общее качество контура, используется метод связи GCA и PCA для определения кратного система индексов. Выбранные 9 индексов включают в себя максимальный перерыв, средний перерыв, максимальный перерыв, максимальный размер шага между двумя пушками, площадь перерыва, измеренную площадь, скорость перерыва, объем перерыва и коэффициент использования взрывной скважины.(3) Для рационального определения степени качества контура метод прогнозирования (PP) используется для обработки многомерных данных множественных индексов, а динамический кластерный (DC) анализ используется для определения рейтинга общего контура. качественный. Общее качество контура туннеля в трех измерениях сгруппировано на 5 уровней в соответствии с собственными значениями. (4) Если доступны измеренные значения 9 индексов, оптимальное направление проекции и собственные значения могут быть получены с помощью алгоритма PP.В этом случае оценка качества контура может быть определена соответствующим образом. По сравнению с традиционным методом, основанным на переломе, результат по качеству контура при использовании предлагаемого метода более соответствует факту участка. Считается, что разработанный метод оценки на основе PPDC предложит продвигаемую альтернативу для разумного описания общего качества контура туннеля после плавных взрывных работ.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении публикации этой статьи.

Выражение признательности

Финансовая поддержка этого исследовательского проекта Национальным фондом естественных наук Китая (№№ 41602308 и 41572299), Китайским провинциальным фондом естественных наук Чжэцзян (№ LY20E080005), исследовательским проектом по реформе преподавания в Чжэцзяне. Университет науки и технологий (грант №2019yjsjg01), Чжэцзянский научно-технологический проект (№ 2016C33033) и Фонд China Railway No. 2 Engineering Group Co., Ltd. (№ 201218) — все с благодарностью.

Коэффициент заполнения | PVEducation

Ток короткого замыкания и напряжение холостого хода — это максимальный ток и напряжение, соответственно, от солнечного элемента. Однако в обеих этих рабочих точках мощность солнечного элемента равна нулю. «Коэффициент заполнения», более известный под аббревиатурой «FF», представляет собой параметр, который в сочетании с V _oc и I _sc определяет максимальную мощность солнечного элемента.FF определяется как отношение максимальной мощности от солнечного элемента к произведению V _oc и I _sc , так что:

$$ FF = \ frac {P_ {MP}} {V_ {OC} \ times I_ {SC}} $$

Графически FF — это мера «прямоугольности» солнечного элемента, а также площадь самого большого прямоугольника, который будет соответствовать кривой IV. FF проиллюстрирован ниже.

График выходного тока ячейки (красная линия) и мощности (синяя линия) как функции напряжения.Также показаны точки тока короткого замыкания элемента (I _sc ) и напряжения холостого хода (V _OC ), а также точка максимальной мощности (V _mp , I _mp ). Щелкните график, чтобы увидеть, как изменяется кривая для ячейки с низким FF.

Поскольку FF является мерой «прямоугольности» ВАХ, солнечный элемент с более высоким напряжением имеет более высокий возможный FF, поскольку «закругленная» часть ВАХ занимает меньшую площадь. Максимальный теоретический FF от солнечного элемента может быть определен путем дифференцирования мощности солнечного элемента по напряжению и определения, где оно равно нулю.Отсюда:

$$ \ frac {d (I V)} {d V} = 0 $$

подача:

$$ V_ {MP} = V_ {OC} — \ frac {nkT} {q} ln (\ frac {q V_ {MP}} {nkT} +1) $$

Это неявное уравнение, но оно быстро сходится при повторении. Начиная с V _MP = 0,9 × V _OC в качестве начального условия, ошибка <1% после одной итерации и незначительная (<0,01%) после трех итераций. Альтернативой является использование функций Ламберта (см. Ниже). Подстановка значения V _MP обратно в уравнение диода дает I _MP , а затем FF.Более часто используемое эмпирическое выражение для FF:

, где v _oc определяется как «нормализованный V _oc «:

Приведенные выше уравнения показывают, что чем выше напряжение, тем выше возможная FF. Однако большие колебания напряжения холостого хода в данной материальной системе относительно редки. Например, на одном солнце разница между максимальным напряжением холостого хода, измеренным для кремниевого лабораторного устройства и типичного коммерческого солнечного элемента, составляет около 120 мВ, что дает максимальные значения FF соответственно 0.85 и 0,83. Однако изменение максимального FF может быть значительным для солнечных элементов, изготовленных из разных материалов. Например, у солнечного элемента из GaAs может быть FF, приближающаяся к 0,89.

Приведенное выше уравнение также демонстрирует важность фактора идеальности, также известного как «n-фактор» солнечного элемента. Фактор идеальности является мерой качества перехода и типа рекомбинации в солнечном элементе. Для простых механизмов рекомбинации, обсуждаемых в разделе Типы рекомбинации, n-фактор имеет значение 1.Однако некоторые механизмы рекомбинации, особенно если они большие, могут вводить механизмы рекомбинации 2. Высокое значение n не только ухудшает FF, но, поскольку оно также обычно сигнализирует о высокой рекомбинации, оно дает низкие напряжения холостого хода.

Ключевым ограничением в уравнениях, описанных выше, является то, что они представляют максимально возможную FF, хотя на практике FF будет ниже из-за наличия паразитных резистивных потерь, которые обсуждаются в разделе «Эффекты паразитных сопротивлений».Следовательно, FF чаще всего определяется путем измерения ВАХ и определяется как максимальная мощность, деленная на произведение I _sc * V _oc , т. Е .:

Точное определение V

_MP

Уравнение солнечного элемента:

$$ I = I_L-I_0 \ left [\ exp \ left (\ frac {V} {nV_t} \ right) -1 \ right] $$

\ (мощность = V \ умножить на I \) и, кроме того, член -1 не влияет на V _MP

$$ P = V I_L- V I_0 \ exp \ left (\ frac {V} {nV_t} \ right) $$

V _MP — это когда производная мощности по V равна нулю:

$$ 0 = I_L- I_0 \ exp \ left (\ frac {V_ {MP}} {nV_t} \ right) \ left (1+ \ frac {V_ {MP}} {nV_t} \ right) $$

V>> V _t и перестановка дает:

$$ \ frac {I_L} {I_0} = \ exp \ left (\ frac {V_ {MP}} {nV_t} \ right) \ left (\ frac {V_ {MP}} {nV_t} \ right) $$

W-функция Ламберта является решением класса экспоненциальных функций.x \ Leftrightarrow X = W (Y) $$

так получаем:

$$ \ frac {V_ {MP}} {nV_t} = W \ left (\ frac {I_L} {I_0} \ right) $$

$$ V_ {MP} = nV_t W \ left (\ frac {I_L} {I_0} \ right) $$

, используя выражение для V _OC , мы также можем записать:

$$ V_ {MP} = nV_t W \ left (\ exp \ left (\ frac {V_ {OC}} {nV_t} \ right) \ right) $$

Поскольку выражение внутри W () всегда вещественно и положительно, нам всегда нужна только основная ветвь функции Ламберта W, W ₀ .Функция Ламберта W является трансцендентной функцией, очень похожей на функцию логарифмирования. Хотя он недоступен на большинстве калькуляторов, он доступен в расширенных математических пакетах, таких как Matlab или Python. При дальнейшем анализе W-функцию Ламберта можно также использовать для других элементов солнечных элементов и при наличии паразитных сопротивлений.

E4543A Руководство по эксплуатации прикладного программного обеспечения Q-фактора и контура глаза, E4543-

Страна или регион * —Выберите — United StatesUnited KingdomCanadaIndiaNetherlandsAustraliaSouth AfricaFranceGermanySingaporeSwedenBrazilAfghanistanÅland IslandsAlbaniaAlgeriaAmerican SamoaAndorraAngolaAnguillaAntarcticaAntigua и BarbudaArgentinaArmeniaArubaAustriaAzerbaijanBahamasBahrainBangladeshBarbadosBelarusBelgiumBelizeBeninBermudaBhutanBoliviaBosnia и HerzegovinaBotswanaBouvet IslandBrit / Индийский океан Terr.Бруней-ДаруссаламБолгарияБуркина-ФасоБурундиКамбоджаКамерунКанарские островаКапо-ВердеКаймановы островаЦентральноафриканская РеспубликаЧадЧилиКитайОстров РождестваКокос (Килинг) островаКолумбияКоморские островаКонгоКонго, The Dem. Республика OfCook IslandsCosta RicaCôte d’IvoireCroatiaCubaCyprusCzech RepublicDenmarkDjiboutiDominicaDominican RepublicEcuadorEgyptEl SalvadorEquatorial GuineaEritreaEstoniaEthiopiaFalkland IslandsFaroe IslandsFijiFinlandFrench GuianaFrench PolynesiaFrench Южный Terr.GabonGambiaGeorgiaGhanaGibraltarGreeceGreenlandGrenadaGuadeloupeGuamGuatemalaGuineaGuinea-BissauGuyanaHaitiHeard / McDonald ISL,.HondurasHong Kong, ChinaHungaryIcelandIndonesiaIranIraqIrelandIsraelItalyJamaicaJapanJordanKazakhstanKenyaKiribatiKorea (Северная) Корея (Южная) KuwaitKyrgyzstanLaosLatviaLebanonLesothoLiberiaLibyaLiechtensteinLithuaniaLuxembourgMacauMacedoniaMadagascarMalawiMalaysiaMaldivesMaliMaltaMarshall IslandsMartiniqueMauritaniaMauritiusMayotteMexicoMicronesiaMoldovaMonacoMongoliaMontserratMoroccoMozambiqueMyanmarN. Марьяна Isls.NamibiaNauruNepalNetherlands AntillesNew CaledoniaNew ZealandNicaraguaNigerNigeriaNiueNorfolk IslandNorwayOmanPakistanPalauPalestinian край, OccupiedPanamaPapua Новый GuineaParaguayPeruPhilippinesPitcairnPolandPortugalPuerto RicoQatarReunionRomaniaRussian FederationRwandaSaint Киттс и NevisSaint LuciaSamoaSan MarinoSao Фолиант / PrincipeSaudi ArabiaSenegalSerbia и MontenegroSerbiaMontenegroSeychellesSierra LeoneSlovak RepublicSloveniaSolomon IslandsSomaliaSpainSri LankaSt.Елена Пьер и Микелон Винсент и GrenadinesSudanSurinameSvalbard / Ян Майен Isls.SwazilandSwitzerlandSyriaTaiwan, ChinaTajikistanTanzaniaThailandTimor-LesteTogoTokelauTongaTrinidad и TobagoTunisiaTurkeyTurkmenistanTurks / Кайкос Isls.TuvaluUgandaUkraineUnited Arab EmiratesUS Экваторияльная Is.UruguayUzbekistanVanuatuVatican CityVenezuelaViet NamVirgin острова (Британские) Виргинские острова (США) Уоллис / Футуна Isls.Western SaharaYemenZambiaZimbabwe

Руководство по плотности матраса — MattressHelp.org

Все о плотности матраса

Если вы покупаете новый матрас и рассматриваете модели, содержащие пену, одним из факторов, которые вам необходимо учитывать, является плотность матраса. Эта фраза, также известная как плотность пены для матраса, относится к массе одного кубического фута пены для матраса (площадь 12 на 12 квадратных дюймов). Говоря нематематической терминологией, матрас с более высокой плотностью будет ощущаться более твердым и гораздо более тяжелым, чем матрас с более низкой плотностью.

Многие люди ошибочно полагают, что более высокая плотность матраса сама по себе является показателем того, что матрас будет тверже и жестче, чем матрас с более низкой плотностью поролона.Фактически, плотный матрас может немного улучшить контуры тела и облегчить точки давления. Деформация под нагрузкой при вдавливании (ILD) пены, а не плотность — это то, что определяет твердость матраса, а также то, какой вес требуется для его вдавливания.

В совокупности плотность матраса из пены с эффектом памяти и его внешняя плотность дают полное представление о его ощущениях в целом. Для латексного матраса более высокий ILD обычно указывает на более высокую плотность. Однако важно отметить, что ILD — это измерение, совершенно отличное от плотности матраса.

Если плотность матраса не является прямым показателем жесткости, почему это имеет значение? В этом руководстве мы ответим на этот вопрос, подробно рассмотрев плотность матраса и как выбрать лучшую плотность поролона матраса для вашего типа телосложения и стиля сна.

Прочтите другие наши руководства, чтобы узнать больше о темах, связанных с различными типами пеноматериалов для матрасов:

Почему имеет значение плотность матраса?

Как упоминалось выше, плотность матраса не обязательно является показателем жесткости.Если это так, как плотность пены матраса соотносится с его общим уровнем комфорта и ощущениями? Давайте исследуем тему, чтобы узнать больше.

Температурная чувствительность

Пена с более высокой плотностью, как правило, более чувствительна к температуре, а это означает, что при нагревании она становится довольно вязкой. Некоторым спящим нравится ощущение очертания и убаюкивания, в то время как другим кажется, что они в ловушке, и они проваливаются в кровать, как будто это яма с зыбучим песком.Эти типы матрасов не возвращаются к своей первоначальной форме быстро, что затрудняет изменение положения во время сна. Матрасы из пенопласта с более низкой плотностью не так реагируют на температуру, быстрее возвращаются в исходное состояние и создают меньше проблем для спящих, которые много двигаются.

Изоляция движения

Уровень плотности матраса не является показателем степени изоляции движения. Все плотности пены с эффектом памяти, будь то низкая или высокая, хорошо предотвращают передачу движения.Это особенно полезно для пар, где один человек часто перемещается или часто ложится и встает с постели в течение ночи.

Поддержка

В то время как пена высокой плотности обеспечивает больше контуров тела, повышенная плотность также обеспечивает большую поддержку, подталкивая спящего вверх, даже когда он обнимает его тело. Пена низкой плотности не обеспечивает хорошей поддержки. Эта большая степень поддержки может быть причиной того, что матрасы с более высокой плотностью лучше снимают боль в спине, чем их аналоги с низкой плотностью.

Горячий сон

Люди, которые спят жарко, часто отмечают, что пена с эффектом памяти усугубляет эту проблему, а высокая плотность пены с эффектом памяти является частой причиной, поскольку она задерживает тепло. Для более прохладного сна выберите матрас с более низкой плотностью пены с эффектом памяти, которая обеспечит лучшую циркуляцию воздуха.

Удаление газа

Многие потребители, выбирающие матрас с более высокой плотностью поролона, замечают, что эти варианты имеют тенденцию выделять больше запаха в первые дни и недели после распаковки.Это связано с тем, что в более плотном матрасе содержится больше вспененного материала, а большее количество вспененного материала означает больше химикатов для создания выделяющего запаха. Если вы все же выберете матрас с сильным запахом, единственное средство от этого — просто дать матрасу отстояться и проветриться.

Прочность

Новый матрас — это значительные вложения, поэтому при выборе важным фактором является долговечность. Опросы и отзывы покупателей показывают, что более высокая плотность пены матраса коррелирует с большей долговечностью.Это связано с тем, что более плотные матрасы не так быстро размягчаются и ломаются. Поддерживающее ядро ​​с более высокой плотностью также является ключевым моментом, потому что как только этот слой разрушается, спящий начинает испытывать боль и дискомфорт.

График плотности матраса

Плотность матраса	Вес	Средний срок службы	Идеальное спальное место	Матрасы
Низкий	3 фунта или меньше	5 лет	Легкие, средние, боковые, боковые, комбинированные, люди, которые спят горячо, пожилые люди и люди с ограниченным бюджетом	Пурпурный, охлаждающий гелевый матрас Zinus
Средний	3-5 фунтов	7-8 лет	Легко спящие, средние спящие, люди с болями в спине, спящие на боку, спине, спящие на животе, комбинированные спящие и пожилые люди	Ткацкий станок и лист, Tempur-Pedic TEMPUR-Cloud
Высокая	5 фунтов или более	9-10 лет	Спящие среднего роста, тяжелые люди, люди с болями в спине, спящие на боку, спящие спины, спящие на животе, комбинированные спящие и пожилые люди	Постельное белье Nest Alexander Signature Series, Новоселье

Матрасы различной плотности

Теперь, когда у вас есть общее представление о плотности матраса и различных факторах, на которые она влияет, давайте углубимся еще глубже и посмотрим на свойства матрасов различной плотности.Не существует «универсальной комфортной» плотности поролона для матраса, поэтому важно посмотреть на характеристики каждого из них, поговорить о том, как они себя чувствуют, и рассмотреть такие факторы, как ваш личный стиль сна и предпочтения, а также размер тела, проблемы со здоровьем и т. Д. и факторы образа жизни.

Имейте в виду, что многие матрасы имеют разные слои пены (одни действуют как комфортный слой, а другие — как прочная опора), поэтому при окончательном выборе вам может потребоваться учитывать плотность различных слоев.

Низкая

Матрасы с низкой плотностью пены содержат не более 3 фунтов материала на один кубический фут матрасного пространства. Эти матрасы самые легкие по весу.

Общее ощущение

Матрасы такого типа не обладают большой опорой, а это означает, что спящий будет в них больше погружаться. Однако, поскольку пена с эффектом памяти низкой плотности не так сильно реагирует на температуру тела, она не станет вязкой и не сжимает движения так сильно, как матрас с более высокой плотностью.Низкая плотность пены матраса обычно означает больший поток воздуха, что способствует более прохладному сну и меньшему выделению газов.

Хорошо подходит для этих типов шпал

• Боковые шпалы
• Пары
• Спящие, которые много передвигаются
• Люди, которые спят горячо
• Люди, чувствительные к запахам выделяемых газов
• Легкие шпалы

Долговечность

Эти типы матрасов не так хорошо оцениваются с точки зрения долговечности, однако в среднем служат всего 5 лет.Долговечность отражается на цене; матрасы с низкой плотностью поролона — одни из самых доступных.

Плюсы:

• Легкость передвижения: Низкая плотность матраса позволяет спящим передвигаться с небольшим стеснением.
• Контроль температуры: Увеличенный воздушный поток обеспечивает лучший контроль температуры для людей, которым становится жарко во время сна.
• Меньше газовыделения: Меньшая плотность означает меньше вспененного материала внутри, что приводит к меньшему выделению запаха в первые дни и недели после распаковки матраса.

Минусы:

• Небольшая поддержка: Низкая плотность материала на кубический фут не обеспечивает большой поддержки, особенно для спящих, страдающих от болей в спине.
• Долговечность: Матрасы с низкой плотностью легче сжимаются, быстрее размягчаются и ломаются быстрее по сравнению с матрасами с большим количеством материала на кубический фут.

Среднее

Матрас средней плотности будет содержать от 3 до 5 фунтов вспененного материала на кубический фут.

Общее ощущение

Матрас со средней плотностью будет иметь гораздо большую поддержку, чем матрас с меньшей плотностью. Большая плотность будет подталкивать ваше тело вверх, обеспечивая достаточную поддержку для среднего спящего. Матрасы средней плотности лучше подчеркивают контуры тела и хорошо снимают болезненные ощущения в области плеч и бедер. Они имеют тенденцию к повышению температуры, чем матрасы с более низким уровнем плотности пены, из-за меньшей степени прохождения воздуха через материал.Более плотный вспененный материал также означает больше химикатов, что может привести к умеренной степени газовыделения матрасов средней плотности.

Хорошо подходит для этих типов шпал

• Боковые шпалы
• Пары
• Люди, которые много передвигаются
• Спящие, которым требуется хорошая поддержка
• Люди со средней массой тела

Долговечность

Материалы матраса средней плотности не так легко размягчаются и восстанавливаются быстрее.Матрасы средней плотности ломаются не так быстро, как матрасы низкой плотности, что увеличивает их срок службы до 7-8 лет.

Плюсы:

• Поддержка: Большая плотность поролона матраса обеспечивает более высокую степень поддержки, чем варианты с более низкой плотностью — отлично подходит для тех, кто не любит спать «на» матрасе, а не на нем.
• Контроль температуры: Хотя более плотные материалы заставляют этот матрас спать более жарко, чем матрас с более низкой плотностью, он по-прежнему является хорошим выбором для тех, кому нужно сочетание комфорта и контроля температуры.
• Цена: Матрас средней плотности — это хорошее сочетание доступности и долговечности.

Минусы:

• Недостаточная поддержка при боли в спине: Хотя предлагаемой здесь поддержки достаточно для среднего спящего, ее все же может быть недостаточно для людей, которые борются с болью в спине.
• Газовыделение: Хотя больший поток воздуха позволяет матрасу средней плотности проветриваться быстрее, чем более плотный, любой химический запах может быть неприемлемым для людей с чувствительностью к сильным запахам.

Высокая

Матрасы высокой плотности содержат больше всего вспененного материала, 5 фунтов или более на кубический фут. Это самые тяжелые поролоновые матрасы.

Общее ощущение

Одна из самых больших жалоб на матрасы из пены с эффектом памяти заключается в том, что они не обеспечивают достаточной поддержки и могут вызывать дискомфорт у людей, склонных к болям в спине. Спящим, у которых был подобный опыт, неплохо было бы попробовать матрас из пенопласта высокой плотности.Эти матрасы, часто изготовленные из комбинации пены с эффектом памяти высокой плотности и латексной пены, обеспечивают отличную форму контура, оставляя у спящего ощущение приподнятости и поддержки. Вот почему они хорошо подходят для снятия боли.

Однако матрасы из пеноматериала

не идеальны для людей, которые спят жарко. Плотный материал удерживает тепло и повышает температуру. Отсутствие воздушного потока и повышенное количество материала также вызывают более высокий уровень выделяемого запаха.

Хорошо подходит для этих типов шпал

• Боковые шпалы
• Пары
• Люди, которые много передвигаются
• Спящие при болях в спине
• Спящие с большей массой тела

Долговечность

Плотный макияж этого типа поролонового матраса делает его очень прочным и устойчивым к сжатию и размягчению.Средний срок службы матрасов с более высокой плотностью пены составляет около 9-10 лет.

Плюсы:

• Поддержка: Обеспечивая наибольшую степень поддержки среди всех типов поролоновых матрасов, матрасы с более высокой плотностью являются лучшим выбором для людей с болями в спине.
• Долговечность: Матрасы из вспененного материала высокой плотности служат намного дольше, чем их аналоги с более низкой плотностью.

Минусы:

• Контроль температуры: Чем больше плотность, тем меньше воздушный поток, а это означает, что эти матрасы обычно спят горячими.
• Газовыделение : Чем больше плотность, тем больше пенистый материал, что создает более сильный химический запах.
• Цена: Матрасы из пеноматериала высокой плотности — самые дорогие матрасы в этой категории.

Плотность для разных шпал

Поскольку не существует универсальной плотности матраса, выбор того, какой из них будет наиболее комфортным, будет зависеть от различных факторов. Вес вашего тела, боль в спине, ваше любимое положение для сна и бюджет — вот несколько вещей, которые вы должны учитывать при выборе плотности поролона матраса, который подойдет вам лучше всего.Иногда в игру вступает сразу несколько факторов, поэтому полезно понимать, как пена различной плотности будет реагировать на ваше тело, поддерживая и согревая вас, когда вы принимаете окончательное решение.

Легкие люди (130 фунтов или меньше)

Более легкие люди обычно хорошо справляются с матрасом с низкой плотностью поролона, потому что их вес тела заставляет их спать ближе к верхним слоям кровати. Это означает, что отсутствие поддержки из-за низкой плотности не будет большой проблемой.Это также означает, что им не нужно тратить столько же на матрас с более высокой плотностью.

Шпалы среднего размера (130-200 фунтов)

Тем, кто спит среднего роста, нужно принимать во внимание больше, чем просто вес, так как они могут хорошо спать при любом уровне плотности пены. При выборе идеальной плотности пены для матраса этим людям следует принимать во внимание положение сна, жарко ли они спят и потенциальную боль в спине.

Тяжелые люди (200+ фунтов.)

Тяжелые спящие люди имеют тенденцию глубже вдавливаться в матрас, когда ложатся. Это означает, что матрас — и особенно опорный стержень — должен быть более плотным, чтобы обеспечивать поддержку, необходимую для их комфорта и предотвращения боли. Тем, кто спит, как правило, следует избегать матрасов из пенопласта низкой плотности.

Люди с болями в спине

Матрасы из вспененного материала с низкой плотностью могут вызывать у людей боли в спине из-за отсутствия поддержки, и это одна из основных причин, по которым матрасы из вспененного материала с эффектом памяти часто получают плохую репутацию среди тех, у кого проблемы со спиной.Этим спящим следует выбирать матрас как минимум средней плотности, хотя пена высокой плотности обеспечит наибольшую поддержку.

Боковые шпалы

Поскольку все поролоновые матрасы обеспечивают отличную разгрузку точки давления и контур вокруг бедер и плеч, а не прижимаются к ним, люди, находящиеся на боку, могут выбрать любую плотность поролона, которая им нравится. Им следует принять во внимание массу тела и боли в спине, чтобы понять, нужно ли им избегать менее плотных вариантов.

Задняя шпала

Спинки для спины равномерно распределяют свой вес по матрасу, что означает, что у них есть большая свобода выбора любого уровня плотности пены. Для тех, кто спит, нуждаясь в большей опоре для позвоночника (и особенно тем, кто страдает от болей в спине), лучшим выбором будет поролоновый матрас средней или высокой плотности.

Шпалы для желудка

Без надлежащей поддержки спящий живот обнаружит, что его спина выгибается внутрь во время отдыха.Вот почему людям, которые спят на животе, следует избегать поролоновых матрасов с низкой плотностью, вместо этого выбирая выбор средней или более высокой плотности, чтобы поддерживать правильное положение позвоночника в течение всей ночи.

Шпалы комбинированные

Комбинированные шпалы часто много двигаются ночью, поэтому любой уровень плотности пены поможет изолировать это движение, если они спят с партнером. Матрасы с высокой плотностью могут ограничивать движение, поскольку пена нагревается и становится более вязкой, а матрасы с низкой плотностью обеспечивают большую свободу движений.

Шпалы бюджетные

Для людей с ограниченным бюджетом матрасы с низкой плотностью являются наиболее дешевым вариантом. Эти матрасы, как правило, быстрее ломаются, а это значит, что их придется менять чаще. Однако, если рассматривать только цену, пеноматериал низкой плотности намного превосходит матрасы из вспененного материала высокой плотности.

Пенсионеры

Пожилые люди должны учитывать два фактора при исследовании плотности пены. Во-первых, они испытывают боль в спине, поскольку для этого требуется пена более высокой плотности с большей поддержкой.Второй фактор, который следует учитывать, — это то, насколько им трудно вставать и вставать и передвигаться в постели. Поскольку пена высокой плотности медленно возвращается в исходное положение после воздействия тепла тела, она может ограничивать движения, а это может быть проблематично для некоторых пожилых людей.

Как выбрать плотность матраса

Теперь, когда вы хорошо знаете, что такое плотность матраса, почему она важна и как она влияет на различные типы сна, пора выбрать идеальный матрас.Не забывайте учитывать следующие факторы:

• Вес: Спящие люди с более тяжелым весом обычно чувствуют себя наиболее комфортно на матрасе высокой плотности, тогда как более легкие люди могут выбрать матрас из вспененного материала низкой плотности.
• Предпочтительное положение для сна: В то время как спина и бока имеют наибольшую свободу выбора плотности матраса, спящие на животе нуждаются в достаточной поддержке и лучше спят на матрасе высокой плотности.
• Проблемы с болью в спине: Большая поддержка также лучше при болях в спине.Помните, что разные слои матраса часто состоят из пенопласта разной плотности. Хорошая плотность опорного стержня матраса составляет не менее 2 фунтов, чтобы обеспечить идеальную поддержку и оставаться прочным в течение всего срока службы матраса, но тем, у кого боли в спине, может потребоваться еще больший уровень плотности.
• Склонность к перегреву: Пеноматериал матраса высокой плотности пропускает меньше воздуха, часто создавая ощущение горячего и потного сна у людей, которые спят горячо. Если проблема связана с температурой, выберите пену для матраса с низкой плотностью.
  
• Газовыделение: Для тех, кто особенно чувствителен к химическим запахам, матрасы, изготовленные из более легкого пенопласта, обладают большей воздухопроницаемостью, чем матрасы из более плотного вспененного материала.
• Бюджет: Матрасы высокой плотности содержат больше материала на кубический фут. Они более плотные, тяжелые, долговечные и служат дольше, а это увеличивает цену. Для более доступных вариантов ищите матрасы с более низкой плотностью пены.

Прочтите наши обзоры лучших поролоновых матрасов, чтобы помочь вам в процессе выбора.

23 Лучшие кремы для кожи вокруг глаз 2021

В этой статье 24 шт. 7 шт. В продаже!

Фото-иллюстрации: розничные торговцы

В то время как нанесение увлажняющего крема является очевидной частью повседневного ухода за кожей большинства людей, уход за хрупкой кожей под глазами — это совсем другое дело.«Кожа на наших нижних веках самая тонкая на всем теле», — объясняет Аманда Дойл, дерматолог из клиники Russak Dermatology Clinic. Вот почему он подвержен целому ряду проблем, включая темные круги, мешки и морщины. Чтобы найти лучшие кремы, которые действительно принесут вам результаты, мы проконсультировались с Дойлом и пятью другими экспертами (включая одного косметолога). Ниже вы найдете их подборку лучших кремов для глаз для удаления темных кругов, уменьшения отечности и даже кремов, которые осветляют и увлажняют.

Пятеро дерматологов, с которыми мы говорили, высоко оценили D.E.J. Крем для век от Revision Skincare за его способность лечить различные проблемы под глазами. «Это фаворит в моем офисе», — добавляет Мелисса Дофт, основательница Doft Plastic Surgery, которая рекомендует его пациентам, имеющим дело с морщинами, дряблой кожей, отечностью и темными кругами. По словам Хэдли Кинга, клинического инструктора по дерматологии Медицинского колледжа Вейля при Корнельском университете, «этот крем содержит дипальмитоил гидроксипролин и подсолнечное масло для увлажнения, витамин С для осветления и пептиды для уменьшения тонких линий и морщин.«Он также содержит фрукты годжи, которые обладают дополнительными антиоксидантными свойствами, и воду из плодов огурца, которая успокаивает кожу», — объясняет она. Хотя это дорогое удовольствие, это многозадачный продукт, который решит практически любую проблему, с которой вы можете столкнуться. Показательный пример: Дойл говорит, что его также можно использовать на верхних веках, «чтобы укрепить тонкую кожу и помочь с крепостью, преждевременным старением и даже с капюшоном». Сертифицированный дерматолог Рита Линкнер также является его поклонницей и уже много лет использует его дважды в день.Она покрывает им все глаза, в том числе кожу верхнего века, и говорит, что заметила «значительное улучшение крепирования».

По словам Кинга, «существует множество причин появления темных кругов под глазами». Генетика, обезвоживание, недостаток сна, аллергия, заложенность носа, курение и анемия могут сыграть свою роль в том, что глаза выглядят уставшими. Она предлагает найти продукт для глаз, содержащий антиоксиданты, например SkinCeuticals AOX + Eye Gel, для лечения этой конкретной проблемы.Гель для век AOX + содержит мощный витамин С, который «препятствует образованию пигмента и, следовательно, осветляет темные круги под глазами, улучшает пигментацию, а также предотвращает повреждение свободными радикалами от воздействия УФ-света». У нее также есть несколько рекомендаций по образу жизни, которые тоже могут помочь: «Убедитесь, что вы достаточно спите и хорошо гидратированы. Лечите аллергию пероральными антигистаминными препаратами. Соблюдайте сбалансированную диету и убедитесь, что у вас нет анемии. Прекрати курить!» А когда ничего не помогает, консилеры также помогают улучшить внешний вид темных кругов.«А если вам нужны все мощные ингредиенты, но с более кремовой текстурой, Дойл предлагает A.G.E. Комплекс от SkinCeuticals.

Джошуа Цайхнер, директор по косметическим и клиническим исследованиям в дерматологии больницы Mount Sinai, также любит крем Ole Henriksen Banana Bright Eye Creme за сияние кожи под глазами. Крем содержит витамин С, который «нейтрализует повреждения, вызванные свободными радикалами, снимает воспаление и блокирует образование аномальной пигментации, которая осветляет круги под глазами.«Этот крем для глаз также служит праймером для консилера и помогает более гладко наносить макияж. Рио также является ярым поклонником, и после использования продукта два раза в день в течение четырех месяцев она пишет: «Я заметила большие изменения в моих темных кругах (менее трупные, более французские), и это стало моим любимым продуктом. подготовка под глазами »

Доктор Кэролайн Робинсон из Tone Dermatology использует этот крем для глаз от First Aid Beauty, который мгновенно осветляет область под глазами с помощью персиковых микрогранул и со временем осветляет темные круги.«Он сочетает ниацинамид, кофеин и гиалуронат натрия в красивой осветляющей формуле», — говорит она.

Этот крем для глаз ISDIN рекомендовали три дерматолога. Галоген и оксид витамина К в формуле, как известно, помогают избавиться от темных кругов. Линкнер рекомендует его своим пациентам с более темным оттенком кожи из-за его способности осветлять избыток пигмента. Крем также содержит гиалуроновую кислоту, которая сохраняет кожу под глазами увлажненной. Нанесите его охлаждающим аппликатором для снятия пухлости.

Сыворотка для глаз Epara уменьшает гиперпигментацию, подтягивает и увлажняет область под глазами с помощью таких ингредиентов, как ниацинамид и экстракт планктона. Это фаворит Робинсона, которому нравится, что он создан с учетом более темных тонов кожи.

По словам Цайхнера, «Ретинол — ваш незаменимый ингредиент для борьбы с морщинами.«Ретинол стимулирует выработку коллагена, укрепляя основу кожи и улучшая внешний вид морщин. А поскольку в этом креме используется производное витамина А, которое менее эффективно, чем рецептурный ретинол, у вас меньше шансов испытать какое-либо раздражение. Дофт соглашается и добавляет: «В нем также есть гиалуроновая кислота, которая притягивает воду и удерживает влагу».

Кремы для глаз часто приходится постучать и зачерпнуть, что может быть грязным, но этот крем можно наносить непосредственно на глаз с помощью простой в использовании палочки, которую рекомендует Робинсон.Он также содержит мощные ингредиенты, такие как инкапсулированный ретинол, более стабильная версия ретинола, которая помогает с тонкими линиями и морщинами; пептиды; веганский сквален; и астаксантин, предотвращающий обезвоживание и повышающий влажность.

«Я бы купалась в этом продукте, если бы могла», — говорит Дара Лиотта. По ее словам, поскольку многие продукты Neocutis были разработаны в результате исследований по заживлению ран, они создают коллаген и разглаживают тонкие линии и морщинки, одновременно увлажняя нежную кожу глаз.«Я обнаружил, что регулярное использование этого продукта вокруг глаз предотвращает появление тонких линий, которые задерживают макияж, и придают коже глаз крепкий и сухой». Он также не содержит отдушек, что делает его подходящим для чувствительной кожи.

Дерматолог из Лос-Анджелеса доктор Наиссан Уэсли также любит кремы для глаз Neocutis и рекомендует Lumière Riche для зрелой кожи. «Он содержит человеческие факторы роста и увлажняющие ингредиенты и является более смягчающей версией Lumière», — говорит она.«Это хорошо для сухой, стареющей кожи, которая нуждается в дополнительной поддержке».

«Для пожилых пациентов, страдающих сильной сухостью и недостаточной эластичностью, вы не можете победить SkinCeuticals A.G.E. Комплекс для глаз », — говорит дерматолог Кори Л. Хартман из Skin Wellness Dermatology. Помимо того, что он «интенсивно увлажняет», Хартману нравится, что он содержит проксилан и экстракты черники, антиоксиданты, которые помогают бороться с отечностью и сухостью. Он также имеет как краткосрочные, так и долгосрочные преимущества.«Хотя в долгосрочной перспективе кожа выглядит моложе, она также дает немедленное сияние после нанесения», — говорит он. Майкл Соменек, лицевой пластический хирург, также является его поклонником и уже три года использует его каждую ночь. «В этом продукте есть все« правильные », — говорит Соменек. «Он насыщен пептидами, антиоксидантами и солнцезащитным кремом. Кремовая консистенция легкая и тает прямо на коже ».

Некоторые дерматологи, с которыми мы разговаривали, были согласны с тем, что кофеин — это лучший напиток.1 ингредиент, на который следует обратить внимание, если вы хотите уменьшить отечность и уплотнить мешочки. «Это сыворотка для глаз на основе кофеина, которая используется для мгновенного подтягивания нежной кожи вокруг глаз, уменьшения мешков и отечности», — говорит Дойл.

По словам Кинга, «пухлые мешки под глазами могут быть вызваны жидкостью или жировой подушечкой». Если вы заметили, что отечность усиливается утром и уменьшается к вечеру, то мешки под глазами, скорее всего, являются результатом скопления жидкости.В этом случае она советует «пить больше воды, есть меньше соли и спать на нескольких подушках», чтобы жидкость не скапливалась в области под глазами. Она также предлагает использовать крем для глаз, такой как First Aid Beauty Eye Duty Triple Remedy, содержащий кофеин, поскольку он сужает кровеносные сосуды и, следовательно, может препятствовать накоплению жидкости. Мешки под глазами также обычно возникают из-за того, что кожа со временем теряет эластичность и обвисает. «Холодные компрессы из пакетиков чая также могут быть полезны, потому что и кофеин, и холод могут сужать кровеносные сосуды.”

Однако она отмечает, что если у вас постоянные мешки под глазами, это, скорее всего, является результатом опускания жировых подушечек под глазами с возрастом. В таком случае единственное постоянное решение — хирургическое вмешательство.

Фото: Рид, Хилари

Для получения еще более доступного крема для глаз с кофеином Somenek рекомендует этот крем от Ordinary. Он сделан из хорошо растворимого кофеина и EGCG, ингредиента, который сделан из листьев зеленого чая и обладает успокаивающими и антивозрастными свойствами.Ему нравится его легкая консистенция, благодаря которой приложение не требует усилий. Он также быстро сохнет, поэтому на него можно наносить другие продукты, такие как тональный крем и консилер.

В отличие от мешков под глазами, которые могут быть вызваны сочетанием жидкости, опущения жировых подушечек и эластичности кожи, отечность обычно возникает только из-за задержки жидкости. По словам Дофта, этот крем для глаз полон кофеина и женьшеня, которые уменьшат отечность и заставят глаза выглядеть менее уставшими.Он также содержит лютеин, мощный антиоксидант, который придает сияние, а также какао и масло ши для разглаживания и упругости кожи.

Если вы ищете продукт с большим содержанием кофеина по более приемлемой цене, Цайхнеру понравится этот от Kiehl’s. Он также содержит B12 для придания сияния и сияния уставшим глазам. Кроме того, он не содержит парабенов, сульфатов и фталатов.

«Крем для кожи вокруг глаз со стволовыми клетками Biopelle — это насыщенный питательный ночной крем для глаз, идеально подходящий для уязвимой области вокруг глаз», — говорит главный косметолог La Suite Spa x Union Square Laser Dermatology Рея Сулерис Гроус.В его состав также входят кофеин, пептиды, антиоксиданты, успокаивающие растительные экстракты, осветляющие вещества и ретинол для борьбы с отечностью, а также с морщинами и темными кругами.

Если вы хотите придать сияние и яркость, Цайхнер предлагает этот крем для глаз от Eve Lom. «Растительные экстракты и антиоксиданты успокаивают и осветляют кожу под глазами, а пептиды уменьшают гиперпигментацию».

Найти крем для глаз, который подходит под макияж, непросто — их смешивание может вызвать слеживание или образование катышков.Чтобы этого избежать, Линкнер рекомендует этот крем для глаз от Rodan + Fields: «Он очень богат антиоксидантами, но имеет элегантную поверхность, которая прекрасно сочетается с макияжем», — говорит она. Крем для глаз содержит антиоксиданты и ингредиенты, такие как витамины C и F, которые укрепляют кожу, и растительные экстракты, которые помогают разглаживать линии и морщины.

Крем для кожи вокруг глаз Tatcha Silk Peony Eye Cream содержит экстракт шелка и белого пиона, который насыщает кожу влагой.«Экстракт шелка образует защитную пленку на коже, улучшая барьерную функцию, улучшая гидратацию и защищая кожу от воздействия окружающей среды», — говорит Цайхнер. Крем для глаз Silk Peony Melting Eye Cream также служит праймером и помогает макияжу наноситься более гладко и оставаться на нем в течение всего дня.

Если вы предпочитаете полностью естественный уход за кожей, Цайхнер любит этот крем для глаз от Tata Harper, который «содержит смягчающие вещества и антиоксиданты естественного происхождения из таких ингредиентов, как оливковое масло и масло семян манго, которые увлажняют, защищают и осветляют кожу лица. кожа глаз.«Этот продукт также является веганским, не требует жестокого обращения с упаковкой, пригодной для вторичной переработки.

«SkinMedica TNS Eye Repair отлично подходит для людей с более сухим типом кожи, у которых есть тонкие морщинки вокруг глаз», — говорит Гроус. Формула содержит пептиды для увлажнения сухой кожи, а также аскорбиновую кислоту и низкие дозы ретинола для устранения морщин. Дерматолог Fran Cook-Bolden также рекомендует это. «При регулярном использовании вы увидите заметное улучшение внешнего вида тонких линий, морщин, темных кругов, неровного тона и шероховатой текстуры», — говорит она.

По несколько более низкой цене, Kiehl’s Creamy Eye Treatment содержит масло авокадо и ши, которое помогает удерживать влагу и успокаивает кожу, — говорит Дофт.

А если вам просто нужно что-то купить в аптеке, Цайхнер любит средство Neutrogena Rapid Wrinkle Repair, которое содержит стабилизированный ретинол вместе с гиалуроновой кислотой для укрепления и увлажнения кожи.

получить информационный бюллетень стратега

Действительно хорошие предложения, умные советы по покупкам и эксклюзивные скидки.

Условия использования и уведомление о конфиденциальности Отправляя электронное письмо, вы соглашаетесь с нашими Условиями и Уведомлением о конфиденциальности и получаете от нас электронную переписку.

Стратег разработан, чтобы предлагать наиболее полезные, экспертные рекомендации по покупкам в обширном ландшафте электронной коммерции.Некоторые из наших последних достижений включают в себя лучшие средства для лечения акне , багаж на колесиках , подушки для бокового сна , естественные средства от беспокойства и банные полотенца . Мы обновляем ссылки, когда это возможно, но учтите, что срок действия предложения может истечь, и все цены могут быть изменены.

.