Что такое добротность колебательного контура?как измерить добротность в радиолюбительских условиях.

«Добротность обозначается символом Q (от английского quality factor) и является тем параметром колебательной системы, который определяет ширину резонанса и характеризует, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания» — авторитетно учит нас Википедия.

Да уж. Напустили тумана ироды — без поллитры не разберёшься. А ведь придётся, раз впряглись.

Для начала возьмём ёжика. Хорошее животное! Хотя выдающимся умом не обладает, но думаю, что и оно в курсе, что «quality factor» — это показатель качества колебательного контура и в первую очередь, конструктивного качества катушки индуктивности.
Теперь возьмём женщину в теле — добротную женщину. Таких женщин рисовали художники 18-го, 19-го веков, а поэты писали: «Её выпуклости меня восхищают, её впуклости сводят с ума».

Так вот. К чему это я?
А к тому, что для получения в сухом остатке высокодобротного колебательного контура, придётся поискать в загашнике и высококачественный конденсатор с низким током утечки, и катушку индуктивности — крепкую, добротную и красивую, словно выпавшую из картины венецианского мастера в Пушкинском музее.

Приведём эквивалентную схему колебательного контура.

Здесь L и C — собственные индуктивность и ёмкость компонентов, входящих в состав колебательного контура,

rL — сопротивление катушки, эквивалентное потерям электрической энергии в проводе катушки индуктивности,

Rш — сумма сопротивлений, обусловленных потерями в изоляции провода, каркасе, экране, сердечнике катушки индуктивности, а также потерями, вызванные наличием токов утечки в конденсаторе.

Рис.1

При подключении к контуру внешних цепей, параллельно Rш добавляется дополнительное сопротивление Rн, вносимое этими внешними цепями.

По большому счёту, на Рис.1 не хватает ещё одной ёмкости, равной сумме паразитных ёмкостей катушки индуктивности, внешних цепей и паразитной ёмкости монтажа. На высоких частотах эти привнесённые ёмкости могут иметь существенные величины, соизмеримые с ёмкостью самого контурного конденсатора. На добротность эти ёмкости существенного влияния не оказывают, но при расчёте резонансной частоты их необходимо учитывать и суммировать со значением основной ёмкости С.

Теперь давайте разберёмся, что такое «скорость затухания собственных колебаний в системе» и, каким боком она связана с добротностью.

Для начала мысленно спаяем схему, нарисованную на Рис.1, и замкнём переключатель на батарейку (в левое по схеме положение).

Конденсатор С зарядится до уровня, равного напряжению питания.

Теперь перещёлкнем переключатель в правое по схеме положение.

Благодаря энергии, запасённой в конденсаторе, в образовавшейся LC-цепи возникнут свободные колебания на частоте резонанса колебательного контура, равной fо= 1/2π√LС.
Поскольку у нас ни с какой стороны не вечный двигатель — свободные колебания затухают, причём скорость затухания зависит от потерь в конденсаторе и катушке индуктивности: чем они меньше, тем медленнее затухание.
Число колебаний от момента возбуждения свободных колебаний до момента, когда их амплитуда уменьшится в е^π = 23,14 раза, как раз и будет числено равняться добротности контура Q.

Число периодов свободных колебаний в контуре можно подсчитать счётчиком импульсов и таким образом узнать добротность колебательного контура, генератор сигналов в этом случае не нужен.

Собственно говоря, на таком принципе и строится большинство промышленных измерителей добротности.

Вспоминаем дальше: «Добротность является тем параметром колебательной системы, который определяет ширину резонанса».

Рисуем резонансную кривую (амплитудно частотную характеристику) колебательного контура.

По частотной характеристике условно определяется полоса пропускания контура Δf.
При этом сделано допущение, что напряжение внутри этой полосы имеет право снижаться до уровня 0,707 от максимального.
Исходя из этого, формула для определения добротности приобретает следующий вид:

Q = f _рез/Δf .
Рис.2

Из формулы естественным образом вытекает, что чем выше добротность — тем уже полоса пропускания резонансного контура, соответственно, чем ниже — тем шире.

А как измерить добротность контура, не прибегая к изготовлению специальных устройств, в домашней лаборатории?

1. Если речь идёт о низких (звуковых) частотах, то тут всё просто.
В этом случае, Q равна отношению реактивного сопротивления индуктивного или ёмкостного характера (характеристического сопротивления) к полному последовательному сопротивлению потерь в резонансном контуре. В виду того, что конденсаторы на данных частотах практически не вносят потерь, то добротность контура равна добротности катушки индуктивности, величина которой напрямую зависит от активного сопротивления катушки.

А поскольку данное сопротивление можно легко измерить обычным омметром, то имеет полный смысл проделать эту не сильно замысловатую манипуляцию, после чего перейти на страницу ссылка на страницу и в первой таблице произвести расчёт добротности. Естественным образом, подразумевается, что катушка намотана на соответствующем для данных частот сердечнике, не вносящих существенных потерь в работу колебательного контура.

2. На высоких частотах (радиочастотах)

значение активного сопротивления катушки может составлять доли ома, к тому же возможно проявление влияния добротности конденсатора на общую добротность цепи, поэтому такими же примитивными методами, как в случае НЧ обойтись не удастся.
Рискну сделать осторожное предположение, что в радиолюбительской лаборатории у нас затерялся высокочастотный генератор с 50-омным выходом и такой же высокочастотный осциллограф, или, на худой конец, измеритель ВЧ напряжений.

В этом случае мы воспользуемся ещё одним определением Q. Добротность резонансного контура равна фактору увеличения напряжения и может быть выражена отношением напряжения, развиваемого на реактивных элементах к входному напряжению, поданному последовательно с контуром.

Спаяем пару резисторов.

Добротность измеряется при настройке генератора сигналов на частоту резонанса контура, соответствующую максимальному выходному напряжению.
Добротность Q рассчитывается как отношение выходного напряжения на резонансном контуре к напряжению, поданному на него.
В нашем случае Q = 250 x V₂/V₁ .
Рис.3

Так как в случае высокодобротных элементов, сопротивление контура на резонансной частоте может превышать значение в сотню килоом, для корректного измерения добротности, входные импедансы измерителя ВЧ напряжений, либо осциллографа должны превышать это значение как минимум на порядок.

Все наши рассуждения и формулы корректны для ненагруженных параллельных колебательных контуров, то есть для случаев, когда на выходе отсутствует реальная нагрузка.
В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность.
Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура с учётом этих потерь вычисляется по следующей формуле: Q = Q₀x R_ш/(R_ш+R_о) , где
Q

0 — добротность ненагруженного контура,
R_ш — шунтирующее сопротивление, равное R(источника) ll R(нагрузки),
R_о — эквивалентное сопротивление ненагруженного контура, равное сопротивлению контура на резонансной частоте, значение которого можно посчитать на той же странице ссылка на страницу   во 2-ой таблице.

А на следующей странице порассуждаем на тему: что надо сделать, чтобы намотать катушку с максимально-возможной добротностью.

 

Методы измерения электрического колебательного контура

Эффект резонанса находит своё применение в решении различных технических задач. Одной из таких задач была симуляция резонанса вибростенда электрическим колебательным контуром. Подбор элементов для колебательного контура осуществляется с целью добиться резонанса на заданной частоте с заданной добротностью. Резонансная частота и добротность определяются по нижеприведённым формулам. Для подтверждения расчетной частоты резонанса или добротности требуются практические методы с использованием измерительных приборов. Преимущество виртуальной лаборатории ZETLab в том, что она содержит в себе широкий спектр программ для различных измерений, которые можно использовать для проверки теоретических расчетов.

Принципиальная схема последовательного колебательного контура

Параметры схемы, приведённой на рисунке 1, вычисляются по следующим формулам:

Резонансная частота электрического колебательного контура

Добротность электрического колебательного контура

Примечание: в формулы для расчета подставляются не паспортные данные элементов (по которым их возможно выбирали), а реальные, которые были измерены с помощью соответствующих измерительных приборов.

Теоретический расчет

R=16 Ом,
L=18 мГн,
C=1,75 мкФ

Резонансная частота

Добротность

Программа «Измерение АЧХ (8 каналов)»

График АЧХ электрического резонансного контура

Измерение добротности по графику АЧХ

По графику АЧХ колебательного контура определяем частоту резонанса курсорными измерениями: f₀ = 847 Гц.

Добротность электрического колебательного контура обратно пропорциональна разности относительных частот, соответствующих значениям относительного напряжения 1/√2 (относительно резонансной частоты и резонансного напряжения):

Кроме того добротность может быть вычислена как отношение напряжения в пике резонанса к входному напряжению.

На частоте менее 10% от резонансной частоты напряжение на конденсаторе будет составлять более 99% от входного напряжения. Соответственно ошибка, которую внесёт метод вычисления добротности, составит менее 1%.

Программа «Измерение АЧХ-ФЧХ (4 канала)»

Как известно из радиотехники, полосу пропускания колебательного контура можно найти из частотных характеристик, отмечая граничные частоты, по уровню 1/v2 от максимума модуля амплитудной характеристики для последовательного колебательного контура или максимума сопротивления для параллельного контура. Можно также измерить полосу пропускания резонатора по фазово-частотной характеристике электрического импеданса как разность между частотами, соответствующими сдвигу фаз ±45° от фазы в точке резонанса. Отношение резонансной частоты к ширине полосы пропускания есть добротность колебательной системы.

Гафики измеренных АЧХ и ФЧХ

f₀ = 845,3 Гц

Измерение добротности по АЧХ

АЧХ: f₂=898,5 Гц ФЧХ: f₂=903,3 Гц

АЧХ: f₁=739 Гц ФЧХ: f₁=738 Гц

Измерение добротности по ФЧХ

Модальный анализ

Измерение резонанса с помощью программы «Модальный анализ»

Затухающие колебания на выходе электрического колебательного контура

Если на вход системы подать дельта-импульс, то на выходе будет импульсная характеристика системы. Дельта-импульс эмулируется радио-импульсом высокой частоты с 0 периодов (полуволна).

Характеристики колебательного контура:

τ — время релаксации колебаний — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз.
λ — логарифмический декремент затухания — логарифм отношения двух последовательных амплитуд колебаний.
Q — добротность контура — отношение энергии запасённой в контуре к убыли энергии за один период колебаний умноженное на 2π.

Взаимный узкополосный спектр, передаточная функция h2

Вычисления по взаимному узкополосному спектру:

Вычисления по переходной характеристике:

Взаимный узкополосный спектр генератора и измерительного канала

Корреляционная функция (белый шум и радиоимпульс)

Корреляционная функция сигнала генератора и выхода колебательного контура

U₁=48,922 мВ·g

U₂=24,297 мВ·g

U₃=12,513 мВ·g

U₄=6,498 мВ·g

Узкополосный спектр

Применяя те же самые формулы, что и для АЧХ находим характеристики системы:

Узкополосный спектр широкополосного шума с усреднением за 600 секунд

Проведение виброиспытаний на системе с резонансом

Узкополосный спектр широкополосного шума с усреднением за 600 секунд

Узкополосный спектр широкополосного шума с усреднением за 600 секунд

Результаты, полученные в ходе испытаний:

Что такое добротность контура. Повышение Q контура. Не используйте слишком высокие значения крутизны спада для обрезных фильтров

Повышение Q контура
А. Партин, г. Екатеринбург

Основным показателей эффективности колебательного контура является добротность (Q). Физический смысл добротности — отношение запасенной в контуре энергии к рассеиваемой. Добротность зависит от потерь энергии в контуре, которые вызваны нагревом проводов, потерями в конденсаторе и катушке индуктивности, а также излучением электромагнитных волн в окружающую среду. Как бы идеально ни изготавливался колебательный контур, он обязательно имеет активное сопротивление.
Активное сопротивление катушки с ростом частоты возрастает и может увеличиваться в десятки раз. Это вызвано тем, что переменный ток высокой частоты вытесняется ближе к поверхности проводника (скин-эффект). Вот почему для увеличения добротности катушек их мотают многожильным изолированным проводом типа ЛЭШО. Добротность контурной катушки QL определяется:

где
— частота контура;
L — интдуктивность катушки;
RL — сопротивление потерь.
Добротность конденсатора Qc вычисляется по формуле

где
С — ёмкость конденсатора;
RС — сопротивление потерь.

Добротность контура Q тем выше, чем выше добротность его элементов и определяется выражением:

; .

где
ρ — характеристическое (волновое) сопротивление контура;
r=rC +rL — суммарное сопротивление контура.

Не надо забывать основную формулу, определяющую резонансную частоту fp колебательного контура:

Следовательно, добиваясь изменения одного параметра контура, например, L, чтобы не «уплывала» частота, произведение LC должно оставаться постоянным. Одну и ту же резонансную частоту можно получить при разных значениях индуктивности и ёмкости, подобно тому как одну и ту же площадь прямоугольника можно получить при разных соотношениях его сторон. Для того чтобы получить высокую добротность контура, выбор величин L и С требует определенных условий. При конструировании колебательных контуров с высокой добротностью предпочтение следует отдавать катушкам с большей индуктивностью. Большая индуктивность — это большое количество витков, а для высокой добротности провод следует брать как можно толще, что не всегда возможно.

Применение ферромагнитных сердечников позволяет уменьшить размеры катушек и повысить их добротность. Кроме того, с помощью подстроечных сердечников легко регулировать индуктивность катушек. Однако с ферромагнитными сердечниками появляется зависимость индуктивности и, соответственно, добротности катушек от величины протекающего тока. Особенно сильной эта зависимость окидывается в замкнутых магнитопроводах (тороидах). С увеличением тока происходит потеря магнитных свойств сердечника.

На рис.1 показан транзисторный резонансный усилитель на частоту 503 кГц, а в табл.1 приведены L, С и соответствующее значение коэффициента усиления.
На рис.2 показан заграждающий фильтр на эту же частоту (503 кГц), в табл.2 — номиналы LC-компонентов и коэффициента ослабления Кос фильтра.

Предлагаю пару практических советов , которые позволят довольно просто настроить колебательный контур на определенную частоту. Для этого требуется генератор стандартных сигналов (ГСС-6, Г4-18а, Г4-42 и др.) и любой низкочастотный осциллограф.
Способ 1 . Соединяем катушку и заранее отградуированный конденсатор переменной емкости в последовательную цепь (рис.За). Эта цепь включается в гнездо 1 В генератора (ГСС). Все аттенюаторы устанавливаются в максимальное положение. Перед измерением включаем генератор, выставляем необходимую частоту и замыкаем выход генератора (1 В) на корпус. Если аттенюаторы установлены на максимум, то стрелка внутреннего вольтметра установится практически на нулевое деление.
Подключаем настраиваемую цепь. Стрелка устанавливается на определенное деление шкалы, поскольку последовательный контур на частоте, отличной от резонансной, имеет достаточно большое сопротивление. Вращая ручку эталонного конденсатора, фиксируем тот момент, когда стрелка вольтметра отклонится влево (сопротивление контура на резонансной частоте уменьшается). Чем резче отклонение стрелки, тем выше добротность контура. Отсчитываем значение емкости конденсатора. Если величина емкости мала, а отклонения стрелки нет, то следует смотать некоторое количество витков провода с катушки.
Способ 2 . Собираем схему по рис.3б. С резистора R1 берется сигнал на осциллограф. Вращая ручку
конденсатора, фиксируем момент минимума сигнала на осциллографе.

В основе любого радиоприемника лежит принцип избирательного воспроизведения сигнала, модулированного определенной несущей частотой, которая, в свою очередь, определяется резонансом колебательного контура, являющегося основным элементом схемы ресивера. От того, насколько правильно будет выбрана эта частота, зависит качество принимаемого сигнала.

Избирательность, или селективность приемника определяется тем, насколько сигналы, мешающие устойчивому приему, будут ослаблены, а полезные — усилены. Добротность контура — это величина, объективно демонстрирующая в числовом выражении успешность решения этой задачи.

Резонансная частота контура определяется по формуле Томпсона:

f=1/(2π√LC), в которой

L — величина индуктивности;

Для того чтобы понять, каким образом происходят колебания в контуре, следует разобраться в том, как он работает.

И емкостная, и индуктивная нагрузки препятствуют возникновению электрического тока, но делают это в противофазе. Таким образом, они создают условия для возникновения колебательного процесса, примерно так же, как это происходит на качелях, когда двое катающихся толкают их в разные стороны попеременно. Теоретически, меняя величину емкости конденсатора или катушки, можно добиться того, что резонансная частота контура совпадет с несущей частотой передающей радиостанции. Чем они больше будут отличаться, тем менее качественным будет сигнал. На практике приемник настраивают, меняя

Весь вопрос состоит в том, насколько острым будет пик на графике частотной характеристики приемного устройства. Именно так зрительно можно понять, как будет усилен полезный сигнал, насколько подавлены помехи. Добротность контура и является тем параметром, который определяет избирательность приема.

Определяется она по формуле:

Q=2πFW/P, где

F — резонансная частота контура;

W — энергия в колебательном контуре;

P — мощность рассеивания.

Добротность контура при параллельном включении конденсатора и индуктивности определяется по такой формуле:

С величинами индуктивности и емкости конденсатора все понятно, а что касается R, то оно напоминает, что кроме катушка имеет и активную составляющую. Поэтому схему контура часто изображают, включая в нее три элемента: емкость С, индуктивность L и R.

Добротность контура является величиной, обратно пропорциональной скорости затухания в нем колебаний. Чем она больше, тем медленнее происходит релаксация системы.

На практике самым значительным фактором, влияющим на добротность контура, является качество катушки, зависящее от ее сердечника, от числа витков, степени изолированности провода, и от ее сопротивления, а также от потерь при прохождении токов высокой частоты. Поэтому для регулировки частоты приема обычно применяют конденсаторы переменной величины, представляющие собой два набора пластин, входящих и выходящих друг из друга при вращении. Такая система характерна для практически всех нецифровых радиоприёмников.

Впрочем, и в ресиверах с цифровой настройкой также есть свои колебательные контуры, просто их резонансная частота меняется иначе.

Добротность колебательной системы

отношение энергии, запасённой в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы (См. Колебательные системы), т.к. чем больше Д. к. с., тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Д. к. с. Q связана с логарифмическим Декремент ом затухания δ; при малых декрементах затухания Q ≈ π/δ. В колебательном контуре с индуктивностью L , ёмкостью C и омическим сопротивлением R Д. к. с.

где ω — собственная частота контура. В механической системе с массой m , жёсткостью k и коэффициентом трения b Д. к. с.

Добротность — количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы, указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний (См. Вынужденные колебания) при Резонанс е превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в области столь низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать не зависящей от частоты. На этом свойстве основан метод измерения Д. к. с. Величина добротности характеризует также и избирательность колебательной системы; чем больше добротность, тем у́же полоса частот внешней силы, которая может вызвать интенсивные колебания системы. Экспериментально Д. к. с. обычно находят как отношение частоты собственных колебаний к полосе пропускания системы, т. е. Q = ω/Δω. Численные значения Д. к. с.: для радиочастотного колебательного контура 30-100; для камертона 10000; для пластинки пьезокварца 100000; для объёмного резонатора СВЧ колебаний 100-100000.

Лит.: Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 1964; Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959.

В. Н. Парыгин.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое «Добротность колебательной системы» в других словарях:

Большой Энциклопедический словарь

Характеристика резонансных свойств системы, показывающая, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду при его отсутствии. Чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в ней за период.… … Энциклопедический словарь

Характеристика резонансных свойств системы, показывающая, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду при его отсутствии. Чем выше Д. к. с., тем меньше потери энергии в ней за период. Добротность колебат.… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Величина, характеризующая резонансные свойства линейной колебат. системы; численно равна отношению резонансной частоты со к ширине резонансной кривой Dw на уровне убывания амплитуды в?2 раза: Q=w/Dw. Принято также выражать Д. колебат. системы… … Физическая энциклопедия

Современная энциклопедия

Добротность — колебательной системы, характеристика резонансных свойств системы, показывающая, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает их амплитуду вдали от резонанса. Чем выше добротность системы, тем меньше потери энергии в ней … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Добротность характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. Добротность обратно пропорциональна скорости… … Википедия — Собственная добротность колебательной системы. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь справочник. Под редакцией Ю.М. Горностаева. Москва, 2002] Тематики электросвязь, основные понятия EN unloaded Q … Справочник технического переводчика

Любой резонансный контур, в том числе и последовательный принято характеризовать добротностью Q и характеристическим сопротивлением .

Напомним, что в данном случае будем рассматривать определение добротности контура при изменении частоты источника питания.

При резонансе
.

Добротность контура определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного или емкостного элемента сопротивления при резонансе над напряжением всей цепи U = U R .

В электротехнических и радиотехнических установках добротности могут быть любого порядка, вплоть до десятков тысяч. При больших добротностях (50–500) U L 0 >> U R , U R = U ВХ = U , т. е. напряжение на индуктивности (или на емкости) во много раз больше приложенного напряжения.

Выясним влияние добротности на резонансные кривые при последовательном соединении

R, L, С. Ток в цепи равен

Относительное значение тока:
, т.е.
.

Пои выводе этой формулы учитывалось, что
.

Иногда вводят понятие относительной частоты
.

Тогда предыдущая формула запишется так

Построим резонансные кривые в относительных (по току) единицах (рис. 7.8) для трех добротностей. Рассматривая три резонансные кривые, видим, что чем больше добротность, тем острее получается резонансная кривая. Полоса пропускания контура определяется разностью частот, которые получатся при пересечении резонансной кривой горизонтальной линией на уровне .

Из рис. 7.8 видно, что чем меньше добротность, тем шире полоса пропускания. В радиоприемниках колебательные контуры имеют большие добротности (500–1000), поэтому эти контуры обладают достаточно узкими полосами пропускания, что способствует избирательному радиоприему только одной станции.

7.6. Определение добротности по резонансной кривой

На практике резонансные частотные характеристики реальных контуров можно получать, изменяя частоту генератора в определенных пределах и снимая показания вольтаметра, подключенного параллельно резистору (см. рис. 7.9 а ). Строят экспериментальную резонансную кривую и по этой кривой определяют полосу пропускания. Выведем соответствующую формулу для расчета добротности по резонансной кривой, снятой экспериментально.

Из рис. 7.9 б следует:

.

В этом равенстве знаменатели равны, поэтому

Отсюда
.

Запишем дважды: при итакие выражения
;
.

После сложения последних выражений получим

или

Отсюда

Очень важно: добротность обратно пропорциональна
.

Для последовательного контура R , L, С построена резонансная кривая тока при изменении

емкости С (рис. 7.10).

Пользуясь этой кривой, определим добротность контура. Выражение для тока

Выполним ряд преобразований последней формулы

;

.

Проведем горизонтальную прямую на уровне
.

Отметим значения емкости C 1 и С 2 .

емкости С 1 и С 2 . Запишем

Найдем сумму и разность емкостей

Запишем отношение
.

Напомним, что добротность контура определяется превышением напряжения на индуктивном (или емкостном) сопротивлении при резонансе над напряжением всей цепи (или напряжением на активном сопротивлении), т. е.

Таким образом,

Кроме этого результата, представляется возможным получить значения параметров катушки индуктивности (L и R)

.

Откуда
;
.

Откуда
.

Величина емкости С 0 , при которой наступает резонанс, определится так:

;
;
;
.

Откуда
.

Резонанс напряжений может наблюдаться в схеме, показанной на рис. 7.11.

Входное сопротивление такой схемы

При резонансе реактивная составляющая входного сопротивления должна быть равна нулю, т. е.

Coil32 — Параллельный колебательный контур

Параллельный колебательный контур в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного чаще последовательного. Реальные элементы контура обладают потерями и при анализе цепи используется реалистичная модель из идеальных сосредоточенных элементов в которой потери учитываются с помощью «виртуальных» последовательных активных сопротивлений R_L и R_C.

Собственная паразитная емкость катушки обычно не учитывается, т. к. она просто суммируется с контурной. Программа Coil32 рассчитывает потери в проводе катушке R_L без учета потерь в каркасе, экране, сердечнике и во всех предметах, с которыми взаимодействует окружающая катушку электромагнитная волна. Однако, учитывается скин-эффект и эффект близости. Эти же потери учитывает параметр «конструктивная добротность катушки» — Q_L. Это не добротность всего контура, а добротность катушки, которая связана с ее сопротивлением потерь следующим соотношением:

[1]

Потери в контурном конденсаторе на порядок меньше и характеризуются добротностью конденсатора. Поскольку потери конденсатора сосредоточены в основном в диэлектрике, можно считать, что его добротность Q_C и сопротивление потерь R_C связаны с параметром, учитывающем потери в диэлектрике tgδ, следующим образом:

[2]

При анализе цепи часто ее преобразуют в эквивалентную параллельную RLC-цепь. В этом случае, заменяя сопротивления проводимостями, мы упрощаем анализ и получаем формулы идентичные формулам последовательного контура. Многие радиолюбители полагают, что последовательные R_L и R_C просто преобразуются в параллельное R. Это не так:

Как видим активные сопротивления и реактивности при таком преобразовании «перепутались», поэтому для наглядности проведем анализ без использования проводимостей, прямо по исходной схеме. Входное сопротивление двухполюсника получается следующим:

Активная и реактивная (мнимая) составляющие:

При резонансе токи в реактивных элементах (I_L, I_C) в Q раз больше общего тока цепи (I), поэтому для параллельного контура явление носит название резонанса токов.

Резонансная частота параллельного колебательного контура — это частота, при которой реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, входное сопротивление чисто активно, и, соответственно, фазовый сдвиг между током и напряжением на входных зажимах цепи тоже равен нулю. Приравняв X_вх к нулю и проведя соответствующие преобразования получим следующую формулу для резонансной частоты параллельного колебательного контура:

[3]

Один из важнейших параметров контура — его характеристическое сопротивление:

Формулу резонансной частоты можно представить иначе:

[5]

ω₀ — резонансная частота последовательного колебательного контура.2)]. На практике этот коэффициент всегда близок к единице и равен единице если R_L=R_C или R_L=R_C=0.

Пример:

Имеем контур с индуктивностью 3μГн и емкостью 42пФ, сопротивление потерь катушки — R_L=2 Ом, конденсатора — R_C=0.1 Ом. По формуле Томпсона резонансная частота контура равна 14.178649 МГц, точно вычисляем по формуле [1] — 14.178253 МГц. Как видим, активные сопротивления потерь вносят в идеальный контур дополнительную реактивность и уводят его частоту вниз, в данном случае почти на 400 Гц.

Это совсем небольшое отклонение нужно иметь ввиду, но оно намного меньше отклонений, вносимых неучтенными паразитными емкостями. Поэтому при выполнении условий: R_L<< ρ, R_C<< ρ, что обычно бывает на практике, можно считать, что условия резонанса токов совпадают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C,

ω₀ = 1/√LC или ƒ₀ = 1/(2π√LC)

На этом «родственная схожесть» последовательного и параллельного контуров не заканчивается.
При выполнении тех же условий: R_L<< ρ, R_C<< ρ
где Z_{вх.посл} = (R_L + R_C) + j(ωL — 1 ⁄ ωC) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.

Как видим, можно считать, что сопротивления потерь катушки и конденсатора суммируются, поэтому общую добротность контура Q можно определить следующим выражением:

[6]

На резонансной частоте ω₀:

[7]

Поскольку реактивные сопротивления взаимно компенсируются, контур на резонансной частоте имеет чисто активное сопротивление равное Rэ (эквивалентное или эффективное сопротивление контура).

Из последней формулы следует, что:

[8]

Т.е. добротность контура равна отношению его характеристического сопротивления к сопротивлению потерь. Иначе говоря, на данной частоте более добротным будет контур с меньшей емкостью и большей индуктивностью. Как же тогда соотносится добротность контура с конструктивной добротностью катушки? Чтобы понять это, следует иметь ввиду, что характеристическое сопротивление контура численно равно модулю реактивного сопротивления индуктивности или емкости на резонансной частоте. Последние, как известно, в этом случае равны и отличаются лишь знаком. Если мы пренебрежем потерями в конденсаторе, тогда формула [8] сводится к формуле [1]. Ведь на резонансной частоте ρ = |X_L|, а в сумме R_Σ = R_L + R_C, последнее слагаемое мы не учитываем. Другими словами, если пренебречь потерями в конденсаторе, то добротность контура равна конструктивной добротности катушки. В итоге мы приходим к выводу, что формулы [1] и [8] в этом случае эквивалентны. Если же нам необходимо учесть потери в конденсаторе, то следует использовать формулу [6].

Необходимо отметить два важных момента:

1. Coil32 рассчитывает конструктивную добротность для «голой катушки в вакууме». Наличие экрана увеличивает распределенную емкость и уменьшает индуктивность. Характеристическое сопротивление контура падает, добротность уменьшается. Кроме этого добавляются потери на вихревые токи в экране. Каркас катушки также снижает ее добротность и добротность контура соответственно.
2. Добротность катушки растет с ростом частоты только на «низких» частотах, далеких от частоты собственного резонанса катушки. При приближении к собственному резонансу добротность достигает максимума на частотах 60-85% от F_srf и затем плавно снижается. Это происходит от того, что на этих частотах начинает проявлятся зависимость индуктивности и собственной емкости катушки от частоты.

---

Амплитудно-частотная характеристика имеет такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.

---

Важно понятие полоса пропускания контура Это частотный интервал в пределах которого импеданс Zвх не ниже 1 ⁄ √2 (или 0,707) от максимального на резонансной частоте. Справедлива следующая формула, которую можно использовать для измерения добротности:

---

В практике представляет интерес величина ослабления контуром нежелательных частот:

[10]

 

Для расстроек более трех полос пропускания формула упрощается:

где знак не учитывается.

---

---

В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность. Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура:

Q = Q₀·R_i ⁄ (R_э + R_i)

• Q₀ — добротность ненагруженного контура
• Ri — входное сопротивление источника
• Rэ — эквивалентное сопротивление ненагруженного котура

Эту формулу можно использовать для учета влияния любых подключенных к контуру сопротивлений (например, нагрузки) на его добротность.

---

Для уменьшения влияния внешних цепей, а также для трансформации сопротивлений применяют частичное включение нагрузки в контур

Как видно из рисунка это можно сделать различными способами, отводом от катушки, с помощью катушки связи, емкстным делителем. Тогда выходное сопротивление контура:
R_вых = p²R_э
где p – коэффициент связи. Для емкостного делителя:
p = C₁ ⁄ (C₁ + C₂)
Для индуктивной связи:
p = M ⁄ L
где M — полная взаимоиндуктивность между L_c и L (это относится как к случаю с отводом катушки так и к случаю с катушкой связи). Следует отметить, что коэффициент связи не равен отношению числа витков, как в трансформаторе, поскольку каждый виток катушки Lc пересекается не всеми силовыми линиями катушки контура вследствие рассеяния магнитного поля.
При подключении внешней нагрузки к контуру с помощью частичного включения, результирующая добротность определяется:
Q = Q₀·R_u ⁄ (R_э + R_u)

R_u = p²R_i (R_i – внешняя нагрузка)

Следует отметить, что для максимального коэффициента передачи электромагнитной энергии, выходное сопротивление контура должно быть равно сопротивлению нагрузки. Все вышесказанное справедливо и в случае согласования контура с источником сигнала.

Добротность — это… Что такое Добротность?

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

•  — резонансная частота колебаний
•  — энергия, запасённая в колебательной системе
•  — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для Колебательного контура в RLC цепях:

,

где , и  — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Для электрической цепи гораздо проще измерить амплитуду (ток или напряжение), чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды осцилляции, полоса на АЧХ будет от пика (примерно −3 дБ, а 1/2 это −6 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой по уровню с круговой частотой резонанса :

,

где:  — коэффициент затухания, равный полуширине резонансной кривой,  — число колебаний за время релаксации.

Метрологические аспекты

Для измерения электрической добротности на частотах до десятков — сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.

Ссылки

Литература

См. также

Измеритель добротности

3. ДОБРОТНОСТЬ

39

3.1.Добротность колебательной системы

Добротность произвольной колебательной системы есть безразмерная величина Q, определяемая формулой

где ω − частота колебаний; W – запасенная системой энергия; Р – усредненная по времени мощность потерь. Из определения (3.1) получается, в частности, известная формула

для добротности последовательного контура на его резонансной частоте. Если колебательная система совершает свободные колебания, то их амплитуда убывает во времени. Для описания затухающих гармонических

колебаний удобно использовать комплексную частоту

ω = ω′−iω″.

(3.3)

В этом случае зависимость от времени вещественной колеблющейся величины A(t) (ток, напряжение, деформация и т. д.) описывается формулой

A(t) = Re [A0e– i ωt ] = |A0|e– ω″t cos(ω′t – arg A0) ,

(3.4)

где A0 = |A0| ei arg A0 − комплексная амплитуда колебаний (начальная). Очевидно, что в случае затухающих колебаний частота ω в формуле (3.1) должна быть заменена на ω′.

Установим связь добротности Q с вещественной и мнимой частью комплексной частоты. Как известно, энергия, запасенная любой колебательной системой, пропорциональна квадрату модуля амплитуды колебаний. Поэтому, используя формулу (3.4), запасенную энергию можно записать в виде

W = α|A0|2e –2ω″t,

(3.5)

где коэффициент α − константа, зависящая только от типа и параметров колебательной системы*.

*Например, в случае колебательного контура, когда A(t) есть ток, коэффициент

α=L/2, где L – индуктивность.

40
Мощность потерь связана с запасенной энергией соотношением
P = −dW/dt.	(3.6)

Подставляя (3.5) и (3.6) в определение (3.1), получаем искомое соотношение

Q = ω′/(2ω″).	(3.7)
Колебательные системы обычно подключают к внешним нагрузкам.
В этом случае мощность потерь
P = P0 +Ре,	(3.8)
где P0 – мощность потерь внутри колебательной системы; Ре – мощность по-
терь во внешней нагрузке. Тогда формулу (3.1) можно записать в виде
Q−1 = Q0−1 + Qe−1,	(3.9)
где величину
Q0 = ωW⁄P0	(3.10)

называют собственной добротностью колебательной системы, а величину

называют внешней добротностью. Собственная добротность Q0 характеризует свойства уединенной колебательной системы, а внешняя добротность Qe характеризует величину связи колебательной системы с внешним окружением. Величину Q, описываемую формулой (3.9), называют нагруженной добротностью.

Формула (3.1) есть общее определение добротности, применимое к любой колебательной системе на любой частоте. Однако в некоторых случаях приходится иметь дело с двухполюсником, являющимся «черным ящиком», о котором известно только то, что его входное комплексное сопротивление описывается функцией

Zвх(ω) = R−iX,

(3.12)

а обратная ему величина – входная комплексная проводимость − функцией

Yвх(ω) = G −iB.

(3.13)

Величину X(ω) называют реактивным сопротивлением, а величину B(ω) − реактивной проводимостью. Обе эти величины называют реактансами.

Знак перед мнимой единицей i в формулах (3.12), (3.13) выбран в соответствии со знаком в формуле (1.1).

41

Реактансы могут на некоторых частотах обращаться в нуль. Если на частоте ω0 обращается в нуль X, то двухполюсник на этой частоте проявляет свойства последовательного колебательного контура, если же в нуль обращается B, то − параллельного.

Добротность двухполюсника на резонансной частоте ω0 определяют формулой

		Q =x/R				(3.14)
	для случая последовательного резонанса и формулой
		Q = b/G				(3.15)
	для случая параллельного резонанса, где величина
	x =	ω0	dX (ω)		ω=ω0	(3.16)
		2 dω

называется параметром крутизны реактивного сопротивления, а величина

	b =	ω0	dB(ω)		ω=ω0	(3.17)
		2 dω

называется параметром крутизны реактивной проводимости. Формулы (3.14)–(3.15) получаются из формулы (3.7) и резонансных

условий Z(ω′−iω″) = 0 и Y(ω′−iω″) = 0. Не трудно убедиться, что для последовательного колебательного контура с входным сопротивлением

Zвх(ω) = R −iωL +i/(ωC)

(3.18)

и для параллельного колебательного контура с входной проводимостью

Yвх(ω) = 1/R −iωC +i/(ωL)

(3.19)

выражения (3.14) и (3.15) дают правильную формулу (3.2) и потому согласуются с общим определением (3.1).

Термин «добротность» используется не только для описания колебательных систем, но и для описания линий передачи. Добротностью линии передачи называют добротность резонатора СВЧ, образованного из отрезка линии передачи.

Добротность линии передачи Q в случае гармонических колебаний с вещественной частотой ω связана с волновым числом kz бегущей волны формулой

Q = kz′/(2kz″).

(3.20)

42

Для доказательства этой формулы рассмотрим отрезок линии длиною l. За период колебания Т фронты прямой и обратной волны пройдут путь vT, дважды претерпевая отражения на концах, и возвратятся на исходное место. Этот путь будет равен 2l. Поэтому имеем

2l = ωТ/kz′.	(3.21)
Пройдя расстояние 2l, амплитуды бегущих волн станут
A(z, t+T) = A(z, t)e−kz″2l = A0e−k z″2l.	(3.22)

Из формул (3.21), (3.22) получаем закон убывания запасенной энергии

W(t) = W0 e−2ωt kz″⁄ kz′.

(3.23)

Подставляя (3.23) и (3.6) в определение (3.1), получаем формулу (3.20). Мощность потерь в линии передачи

где Pd – мощность потерь в диэлектрическом заполнении линии, а Pc – мощность потерь в проводниках линии передачи. Тогда, согласно (3.1), обратную величину добротности линии можно представить в виде суммы

Q−1 = Qd−1 + Qc−1,	(3.25)
где величину
Qd = ωW⁄Pd	(3.26)

называют добротностью диэлектрического заполнения линии, а величину

называют добротностью проводников линии.

Добротность Qd есть усредненная характеристика материалов, заполняющих линию передачи. В однородной линии величина Qd не зависит ни от конструкции, ни от размеров линии, а зависит только от тангенсов угла диэлектрических и магнитных потерь. В случае, когда однородное диэлектри-

ческое заполнение не является магнитным, имеет место равенство
Qd = εr′ ⁄εr″.	(3.28)

Равенство (3.28) получается из формул (1.20), (1.38) и (3.20) и предположения о малости тангенса угла диэлектрических потерь.

Последовательный колебательный контур | Резонанс напряжений

Последовательный колебательный контур обозначение на схеме

Последовательный колебательный контур – это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно.

Идеальный последовательный колебательный контур

 На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:

где

L – индуктивность, Гн

С – емкость, Ф

Реальный последовательный колебательный контур

Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:

R  – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора

L – собственно сама индуктивность катушки

С – собственно сама емкость конденсатора

Принцип работы последовательного колебательного контура

Генератор частоты и последовательный колебательный контур

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор (Ген)у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно “прячется” внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта U_ш , а также снимая осциллограмму с самого генератора U_ГЕН.

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

[quads id=1]

Влияние частоты генератора на сопротивление колебательного контура

В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма – это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма – отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600  Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

3 Килогерца

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

4,25 Килогерц

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

22 Килогерца

74 Килогерца

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Резонанс последовательного колебательного контура

Давайте подробнее рассмотрим тот самый момент, когда сдвиг фаз был равен нулю и сила тока, проходящая через последовательный колебательный, контур была максимальна:

Это явление носит название резонанса.

Не будем углубляться  в теорию высшей математики и комплексных чисел. Дело в том, что в этот самый момент реактивное сопротивление катушки и конденсатора становятся равными, но противоположными по знаку. Поэтому, эти реактивные сопротивления как-бы вычитаются друг из друга, что в сумме дает ноль, и в цепи остается только активная составляющая сопротивления, то есть то самое паразитное сопротивление катушки и конденсатора, или иначе, сопротивление потерь R.

Как вы помните, если у нас сопротивление  становится малым, а в данном случае сопротивления потерь катушки и конденсатора очень маленькие, то в цепи начинает течь большая сила тока согласно закону Ома: I=U/R. Если генератор мощный, то напряжение на нем не меняется, а сопротивление становится пренебрежимо малым и вуаля! Ток растет как грибы после дождя, что мы и увидели, посмотрев на желтую осциллограмму при резонансе.

Формула Томсона (резонанса) для последовательного колебательного контура

Если при резонансе у нас реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора X_L=X_C , то можно уравнять их реактивные сопротивления и уже отсюда вычислить частоту, на которой произошел резонанс. Итак, реактивное сопротивление катушки у нас выражается формулой:

Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле:

Приравниваем обе части и вычисляем отсюда F:

В данном случае мы получили формулу резонансной частоты. Это формула по другому называется формулой Томсона, как вы поняли, в честь ученого, который ее вывел.

Давайте по формуле Томсона посчитаем резонансную частоту нашего последовательного колебательного контура. Для этого я буду использовать свой RLC-транзисторметр.

Замеряем индуктивность катушки:

И замеряем нашу емкость:

Высчитываем по формуле нашу резонансную частоту:

У меня получилось 5, 09 Килогерц.

С помощью  регулировки частоты и осциллографа я поймал резонанс на частоте 4,78 Килогерц (написано в нижнем левом углу)

Спишем погрешность в 200 с копейками Герц на погрешность измерений приборов. Как вы видите, формула Томпсона работает.

Резонанс напряжений

Давайте возьмем другие параметры катушки и конденсатора и посмотрим, что у нас происходит на самих радиоэлементах. Нам ведь надо досконально все выяснить ;-). Беру катушку индуктивности с индуктивностью в 22 микрогенри:

и конденсатор в 1000 пФ

Из них собираю последовательный колебательный контур. Итак, чтобы поймать резонанс, я не буду в схему добавлять резистор. Поступлю более хитрее.

Так как мой генератор частоты китайский и маломощный, то при резонансе у нас в цепи остается только активное сопротивление потерь R. В сумме получается все равно маленькое значение сопротивления, поэтому ток при резонансе достигает максимальных значений. В результате этого, на внутреннем сопротивлении генератора частоты падает приличное напряжение и выдаваемая амплитуда частоты генератора  падает. Я буду ловить минимальное значение этой амплитуды. Следовательно это и будет резонанс колебательного контура. Перегружать генератор – это не есть хорошо, но что не сделаешь ради науки!

Ну что же, приступим ;-). Давайте сначала посчитаем  резонансную частоту по формуле Томсона. Для этого я открываю онлайн калькулятор на просторах интернета и быстренько высчитываю эту частоту. У меня получилось 1,073 Мегагерц.

Ловлю резонанс на генераторе частоты по его минимальным значениям амплитуды. Получилось как-то вот так:

Размах амплитуды 4 Вольта

Хотя на генераторе частоты  размах  более 17 Вольт! Вот так вот сильно просело напряжение. И как видите, резонансная частота получилась чуток другая, чем расчетная: 1,109 Мегагерц.

Теперь небольшой прикол 😉

Вот этот сигнал мы подаем на наш последовательный колебательный контур:

Как видите, мой генератор не в силах выдать большую силу тока в колебательный контур на резонансной частоте, поэтому сигнал получился даже чуть искаженным на пиках.

Ну а теперь самое интересное. Давайте замеряем падение напряжения на конденсаторе и катушке на резонансной частоте. То есть это будет выглядеть вот так:

Смотрим напряжение на конденсаторе:

Размах амплитуды 20 Вольт (5х4)! Откуда? Ведь подавали мы на колебательный контур синус с частотой в 2 Вольта!

Ладно, может с осциллографом что-то произошло?. Давайте замеряем напряжение на катушке:

Народ! Халява!!! Подали 2 Вольта с генератора, а получили 20 Вольт и на катушке и на конденсаторе! Выигрыш энергии в 10 раз! Успевай только снимать энергию с конденсатора или с катушки!

[quads id=1]

Ну ладно раз такое дело… беру лампочку от мопеда на 12 Вольт и цепляю ее к конденсатору или катушке. Лампочке ведь вроде как по-барабану на какой частоте работать и какой ток кушать. Выставляю амплитуду, чтобы на катушке или конденсаторе было где то Вольт 20 так как  среднеквадратичное напряжение  будет где-то Вольт 14,  и цепляю поочередно к ним лампочку:

Как видите – полный ноль. Лампочка гореть не собирается, так что побрейтесь фанаты халявной энергии). Вы ведь не забыли, что мощность определяется произведением силы тока на напряжение? Напряжения вроде как-бы хватает, а вот силы тока – увы! Поэтому, последовательный колебательный контур носит также название узкополосного (резонансного) усилителя напряжения, а не мощности!

Объяснение резонанса напряжения

При резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе оказались намного больше, чем то, которое мы подавали на колебательный контур. В данном случае у нас получилось в 10 раз больше. Почему же напряжение на катушке при резонансе равняется напряжению на конденсаторе. Это легко объясняется. Так как в последовательном колебательном контуре катушка и кондер идут друг за другом, следовательно, в цепи протекает одна и та же сила тока.

При резонансе реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора. Получаем по правилу шунта, что на катушке у нас падает напряжение U_L = IX_L , а на конденсаторе U_C = IX_C . А так как при резонансе у нас X_L = X_C , то получаем что U_L = U_C , ток ведь в цепи один и тот же ;-). Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют также резонансом напряжений, так как напряжение на катушке на резонансной частоте равняется напряжению на конденсаторе.

Добротность последовательного колебательного контура

Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:

Давайте посчитаем добротность в нашем случае.

Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала  генератора частоты 2 Вольта.

А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.

Считаем по формуле добротности:

Q=20/2=10. В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.

Есть также вторая формула для вычисления добротности.

где

R – сопротивление потерь в контуре, Ом

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.

Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура – это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.

Видео на тему “Как работает колебательный контур. Резонанс”:

Резюме

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных последовательно.

Катушка и конденсатор имеют паразитные омические потери, так как не являются идеальными радиоэлементами. Сумма этих потерь называется сопротивлением потерь R последовательного колебательного контура.

На какой-то частоте реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора и в цепи последовательного колебательного контура наступает такое явление, как резонанс.

При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому они вычитается и в сумме дают ноль. В цепи остается только активное сопротивление потерь R.

При резонансе сила тока в цепи становится максимальной, так как сопротивление потерь катушки и конденсатора R в сумме дают малое значение.

При резонансе напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе и превышает напряжение на генераторе.

Коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение на катушке либо на конденсаторе превышает напряжение на генераторе, называется добротностью Q последовательного колебательного контура и показывает качественную оценку колебательного контура. В основном стараются сделать Q как можно больше.

На низких частотах колебательный контур имеет емкостную составляющую тока до резонанса, а после резонанса – индуктивную составляющую тока.

Фактор качества

| Формула Q-фактора

Добротность или добротность — это мера рабочих характеристик катушки, конденсаторной катушки индуктивности с точки зрения ее потерь и ширины полосы резонатора. Простые формулы могут связывать переменные.

---

Q, Учебное пособие по качеству включает:
Q, основы фактора качества Индуктор Q Сеть RLC Q

---

Добротность или добротность катушки индуктивности или настроенного контура часто используется для определения ее характеристик в резонаторной цепи.Добротность или добротность — это безразмерное число, описывающее затухание в цепи. Он также обеспечивает указание ширины полосы резонатора относительно его центральной частоты.

Значения добротности часто цитируются и могут использоваться при определении характеристик катушки индуктивности, конденсатора или настроенной цепи.

Q или добротность используется со многими настроенными РЧ схемами или элементами, чтобы указать их работу в генераторе или другом виде резонансного контура.

Простые формулы связывают потери и полосу пропускания с Q.

Концепция добротности для настроенных схем

Q, основы добротности

Концепция Q, фактора качества, была впервые предложена инженером по имени К. С. Джонсон из инженерного отдела Western Electric Company в США. Он оценивал работу и качество различных катушек. В ходе своих исследований он разработал концепцию Q. Интересно, что его выбор буквы Q был сделан потому, что все другие буквы алфавита были взяты, а не из-за фактора качества термина, хотя задним числом выбор буквы Q для Фактор качества не мог быть лучше.

Коэффициент качества — это понятие, применимое во многих областях физики и техники. Он обозначается буквой Q и может называться Q-фактором.

Q-фактор — это безразмерный параметр, который указывает потери энергии в резонансном элементе, который может быть любым, от механического маятника, элемента в механической конструкции или внутри электронной цепи, такой как резонансный контур.

Хотя добротность элемента связана с потерями, она напрямую связана с полосой пропускания резонатора относительно его центральной частоты.

Q указывает потерю энергии относительно количества энергии, хранящейся в системе. Таким образом, чем выше Q, тем ниже скорость потери энергии, и, следовательно, колебания будут уменьшаться медленнее, то есть они будут иметь низкий уровень демпфирования, и они будут звонить дольше.

Для электронных схем потери энергии в цепи вызваны сопротивлением. Хотя это может произойти где угодно в цепи, основная причина сопротивления возникает внутри катушки индуктивности.

Определение коэффициента качества

Определение коэффициента качества часто требуется для более точного понимания того, что это за количество на самом деле.

Для электронных схем Q определяется как отношение энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, подаваемой на него за цикл, для поддержания постоянной амплитуды сигнала на частоте, при которой запасенная энергия постоянна во времени.

Он также может быть определен для индуктора как отношение его индуктивного реактивного сопротивления к его сопротивлению на определенной частоте, и это мера его эффективности.

Влияние добротности

Имеется много причин, по которым добротность имеет значение при работе со схемами с настройкой ВЧ.Обычно высокий уровень Q является полезным, но в некоторых приложениях может потребоваться определенный уровень Q.

Некоторые соображения, связанные с Q в настроенных РЧ схемах, кратко изложены ниже:

• Полоса пропускания: При увеличении добротности или добротности уменьшается полоса пропускания настроенного фильтра цепи. По мере уменьшения потерь настроенная схема становится более резкой, поскольку энергия лучше накапливается в цепи.

  Можно видеть, что с увеличением добротности полоса пропускания на 3 дБ уменьшается, а общий отклик настроенной схемы увеличивается.Во многих случаях требуется высокая добротность, чтобы гарантировать достижение требуемой степени селективности.

• Широкая полоса пропускания: Во многих радиочастотных приложениях требуется широкополосная работа. Для некоторых форм модуляции требуется широкая полоса пропускания, а для других приложений требуются фиксированные фильтры для обеспечения широкой полосы пропускания. Хотя может потребоваться сильное подавление нежелательных сигналов, существует конкурирующее требование для широкой полосы пропускания. Соответственно, во многих приложениях необходимо определять требуемый уровень Q, чтобы обеспечить общую производительность, необходимую для удовлетворения требований к широкой полосе пропускания и адекватному подавлению нежелательных сигналов.
• Фазовый шум генератора: Любой генератор генерирует так называемый фазовый шум. Это случайные сдвиги фазы сигнала. Это проявляется в виде шума, который распространяется от основной несущей. Как и следовало ожидать, этот шум нежелателен и, следовательно, должен быть минимизирован. Конструкция генератора может быть адаптирована для уменьшения этого несколькими способами, главный из которых заключается в увеличении добротности схемы настроенного генератора.
• Общие паразитные сигналы: Настроенные схемы и фильтры часто используются для удаления паразитных сигналов. Чем резче фильтр и чем выше уровень добротности, тем лучше схема сможет удалить паразитные сигналы.
• Звонок: По мере увеличения добротности резонансного контура потери уменьшаются. Это означает, что любое колебание, возникающее в цепи, потребует больше времени, чтобы исчезнуть. Другими словами, цепь будет больше «звонить».Это на самом деле идеально подходит для использования в схеме генератора, потому что проще настроить и поддерживать колебания, поскольку в настроенной схеме теряется меньше энергии.

Формулы добротности

Основная формула добротности или добротности основана на потерях энергии в катушке индуктивности, цепи или другом элементе.

Исходя из определения коэффициента качества, данного выше, коэффициент Q можно математически выразить в следующей формуле коэффициента Q:

Если посмотреть на полосу пропускания резонансного контура ВЧ, это соответствует формуле добротности:

Коэффициент качества Q, показывающий центр и точки -3 дБ

В любой радиочастотной или другой цепи каждый отдельный компонент может вносить вклад в коэффициент качества Q или коэффициент качества цепи в целом.Добротность компонентов, таких как катушки индуктивности и конденсаторы, часто указывается как имеющая определенный коэффициент добротности или добротность.

Добротность и демпфирование

Одним из аспектов добротности, который важен во многих схемах, является демпфирование. Фактор качества Q определяет качественное поведение простых затухающих генераторов и влияет на другие схемы, такие как отклик в фильтрах и т. Д.

Существует три основных режима, которые можно учитывать при рассмотрении демпфирования и добротности.

• С недостаточным демпфированием (Q> 1/2): Система с недостаточным демпфированием — это система, в которой коэффициент Q больше половины. Те системы, в которых добротность составляет чуть больше половины, могут колебаться один или два раза при подаче ступенчатого импульса до того, как колебание исчезнет. По мере увеличения добротности демпфирование падает и колебания сохраняются дольше. В теоретической системе, где добротность бесконечна, колебания будут поддерживаться бесконечно без необходимости добавления каких-либо дополнительных стимулов.В генераторах некоторый сигнал подается обратно, чтобы обеспечить дополнительный стимул, но высокая добротность обычно дает гораздо более чистый результат. В сигнале присутствует более низкий уровень фазового шума.
• С избыточным демпфированием (Q <1/2): Система с избыточным демпфированием имеет коэффициент Q менее 1/2. В этом типе системы потери высоки, и в системе нет перерегулирования. Вместо этого система будет экспоненциально затухать, асимптотически приближаясь к установившемуся значению после приложения ступенчатого импульса.Чем меньше добротность или добротность, тем медленнее реагирует система на ступенчатый импульс.
• Критическое демпфирование (Q = 1/2): Система с критическим демпфированием имеет коэффициент добротности 0,5, и, как и система с избыточным демпфированием, выходной сигнал не колеблется и не выходит за пределы своего установившегося выхода. Система приблизится к установившейся асимптоте за самое короткое время без каких-либо перерегулирований.

Во многих резонансных радиочастотных системах необходимы высокие уровни добротности.Для фильтров необходима достаточная избирательность, но не слишком большая, а для генераторов высокие уровни добротности приводят к повышенной стабильности и более низкому фазовому шуму. Во многих системах коэффициент добротности не должен быть слишком высоким, поскольку это может привести к слишком узкой полосе пропускания фильтра и невозможности отслеживания генераторов в требуемом диапазоне. Однако уровни Q-фактора должны быть скорее высокими, чем низкими.

Дополнительные концепции и руководства по основам электроники:
Voltage Текущий Власть Сопротивление Емкость Индуктивность Трансформеры Децибел, дБ Законы Кирхгофа Q, добротность Радиочастотный шум
Вернуться в меню «Основные понятия электроники».. .

Добротность и полоса пропускания резонансной цепи | Резонанс

Коэффициент добротности или качества резонансного контура является мерой «качества» или качества резонансного контура. Более высокое значение этого показателя качества соответствует более узкой полосе пропускания, что желательно во многих приложениях. Более формально Q — это отношение накопленной мощности к мощности, рассеиваемой в реактивном сопротивлении и сопротивлении цепи, соответственно:

Q = P  сохранено  / P  рассеивается  = I  2  X / I  2  R Q = X / R где: X = емкостное или индуктивное реактивное сопротивление при резонансе R = последовательное сопротивление.

Эта формула применима к последовательным резонансным цепям, а также к параллельным резонансным цепям, если сопротивление включено последовательно с индуктором. Так обстоит дело в практических приложениях, поскольку нас больше интересует сопротивление катушки индуктивности, ограничивающее Q.

Примечание: В некотором тексте может отображаться местами X и R в формуле «Q» для параллельного резонансного контура. Это верно для большого значения R параллельно с C и L. Наша формула верна для небольшого R, идущего последовательно с L.

Практическое применение «Q» состоит в том, что напряжение на L или C в последовательном резонансном контуре в Q раз больше общего приложенного напряжения. В параллельном резонансном контуре ток через L или C в Q раз больше общего приложенного тока.

Резонансные схемы серии

Последовательный резонансный контур выглядит как сопротивление на резонансной частоте. Поскольку определение резонанса — X _L = X _C , реактивные компоненты нейтрализуются, оставляя только сопротивление, чтобы вносить вклад в импеданс.

Полное сопротивление также минимально в резонансе. Ниже резонансной частоты последовательный резонансный контур выглядит емкостным, поскольку полное сопротивление конденсатора увеличивается до значения, превышающего уменьшающееся индуктивное реактивное сопротивление, оставляя чистое емкостное значение.

Выше резонанса индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, емкостное реактивное сопротивление уменьшается, оставляя чистую индуктивную составляющую.

ПРИМЕЧАНИЕ:

При резонансе последовательный резонансный контур выглядит чисто резистивным.Ниже резонанса он выглядит емкостным. Выше резонанса он кажется индуктивным. Максимальный ток при резонансе, минимальный импеданс. Ток устанавливается величиной сопротивления. Выше или ниже резонанса импеданс увеличивается.

Полное сопротивление минимальное при резонансе в последовательном резонансном контуре.

Пик резонансного тока может быть изменен путем изменения последовательного резистора, который изменяет добротность. Это также влияет на ширину кривой.Схема с низким сопротивлением и высокой добротностью имеет узкую полосу пропускания по сравнению с схемой с высоким сопротивлением и низкой добротностью.

Полоса пропускания по добротности и резонансной частоте:

 BW = f  c  / Q Где f  c  = резонансная частота Q = добротность 

Резонансный контур с высокой добротностью имеет узкую полосу пропускания по сравнению с контуром с низкой добротностью

Ширина полосы измеряется между точками амплитуды тока 0,707.Точки тока 0,707 соответствуют точкам половинной мощности, поскольку P = I ² R, (0,707) ² = (0,5).

Ширина полосы пропускания Δf измеряется между точками амплитуды 70,7% последовательного резонансного контура.

 BW = Δf = f  h  -f  l  = f  c  / Q Где: f  h  = край верхней полосы f  l  = край нижней полосы f  l  = f  c  - Δf / 2 f  h  = f  c  + Δf / 2 Где f  c  = центральная частота (резонансная частота) 

На рисунке выше 100% текущая точка составляет 50 мА.Уровень 70,7% составляет 0,707 (50 мА) = 35,4 мА. Верхний и нижний края полосы, считанные с кривой, составляют 291 Гц для f и 355 Гц для f _h . Полоса пропускания составляет 64 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 32 Гц от центральной резонансной частоты:

.

 BW = Δf = f  h  -f  l  = 355-291 = 64 f  l  = f  c  - Δf / 2 = 323-32 = 291 f  h  = f  c  + Δf / 2 = 323 + 32 = 355 

Так как BW = fc / Q:

Q = f _c / ЧБ = (323 Гц) / (64 Гц) = 5

Параллельные резонансные схемы

Полное сопротивление параллельного резонансного контура максимально на резонансной частоте.Ниже резонансной частоты параллельный резонансный контур выглядит индуктивным, поскольку импеданс катушки индуктивности ниже, и на нее приходится большая часть тока.

Выше резонанса емкостное реактивное сопротивление уменьшается, потребляя больший ток, таким образом, принимая емкостную характеристику.

Параллельный резонансный контур является резистивным при резонансе, индуктивным ниже резонанса, емкостным выше резонанса.

Полное сопротивление является максимальным при резонансе в параллельном резонансном контуре, но уменьшается выше или ниже резонанса.Напряжение достигает пика при резонансе, поскольку напряжение пропорционально импедансу (E = IZ).

Параллельный резонансный контур: Пики импеданса при резонансе.

Низкая добротность из-за высокого сопротивления последовательно с катушкой индуктивности дает низкий пик на широкой кривой отклика для параллельного резонансного контура. Высокая добротность обусловлена ​​низким последовательным сопротивлением катушки индуктивности. Это дает более высокий пик на более узкой кривой отклика. Высокая добротность достигается за счет наматывания на индуктор большего диаметра (меньшего сечения) провода с меньшим сопротивлением.

Параллельный резонансный отклик зависит от добротности

Ширина полосы параллельного резонансного отклика измеряется между точками половинной мощности. Это соответствует точкам напряжения 70,7%, поскольку мощность пропорциональна E ² . ((0,707) ² = 0,50) Поскольку напряжение пропорционально импедансу, мы можем использовать кривую импеданса.

Полоса пропускания, Δf измеряется между 70.Точки полного сопротивления 7% параллельного резонансного контура.

На рисунке выше точка 100% импеданса составляет 500 Ом. Уровень 70,7% составляет 0707 (500) = 354 Ом. Верхний и нижний края полосы, считываемые с кривой, составляют 281 Гц для fl и 343 Гц для fh. Полоса пропускания составляет 62 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 31 Гц от центральной резонансной частоты:

.

BW = Δf = f  h  -f  l  = 343-281 = 62 f  l  = f  c  - Δf / 2 = 312-31 = 281 f  h  = f  c  + Δf / 2 = 312 + 31 = 343 

Q = fc / BW = (312 Гц) / (62 Гц) = 5 

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Фактор Q: Что это такое? (И как это измерить?)

Что такое коэффициент добротности?

Добротность (также известная как добротность или добротность) определяется как безразмерный параметр, который описывает состояние недостаточного демпфирования осциллятора или резонатора.Добротность измеряет характеристики катушки, конденсатора или катушки индуктивности с точки зрения потерь и ширины полосы резонатора.

Определение фактора качества было первоначально предложено инженером по имени К. С. Джонсон из инженерного департамента США Western Electric Company. Он измерил эффективность и стабильность различных катушек. Во время учебы он развил идею добротности. Любопытно, что его вариант буквы Q был сделан не из-за добротности слова.Он использовал, так как все остальные буквы алфавита были взяты.

Коэффициент добротности подразумевает потери энергии в резонансном устройстве, которое может быть любым, от механического маятника, объекта в механической конструкции или от электрической цепи, такой как резонансный контур.

Коэффициент добротности показывает потери энергии из-за количества энергии, содержащейся в конструкции. Таким образом, чем больше добротность, тем ниже скорость потери энергии и, следовательно, медленнее колебания. У них будет низкая степень демпфирования, и они будут звонить дольше.

В случае электронных схем потери энергии вызваны сопротивлением внутри цепи. Хотя это может произойти где-то в цепи, главный триггер сопротивления находится внутри индуктора. Хотя добротность элемента соответствует потерям, она напрямую связана с полосой пропускания резонатора относительно его центральной частоты.

Как измерить добротность?

Прибор, используемый для расчета добротности радиочастотной цепи, называется Q-метр.Q-метр рассчитывает добротность схемы и показывает общую энергию, рассеиваемую схемой. Он также описывает характеристики катушки и конденсатора. Q-метр используется в лаборатории для измерения радиочастоты катушек.

Принцип работы Q-метра

Q-метр работает по принципу последовательного резонанса. Резонанс — это состояние, которое возникает в цепи, когда их индуктивность и емкость равны. Они вызывают энергию, которая колеблется между электрическим и магнитным полями конденсатора и катушки индуктивности.Q-метр работает на основе характеристик сопротивления, индуктивности и емкости резонансной последовательной цепи.

Как мы уже говорили, каждый Q-метр работает по принципу последовательного резонанса. Итак, при резонансе

, где E — приложенное напряжение, — напряжение конденсатора, — напряжение катушки индуктивности, — индуктивное реактивное сопротивление, — емкостное реактивное сопротивление, R — сопротивление катушки, а I — ток цепи.

Следовательно, коэффициент Q определяется как

Из приведенного выше уравнения, если E остается постоянным, напряжение на конденсаторе может быть оценено с помощью вольтметра, откалиброванного для непосредственного считывания в терминах Q.

Формула добротности

Добротность (Q) резонатора можно охарактеризовать как частоту резонатора, деленную на ширину полосы резонатора.

, где резонансная частота и полоса пропускания должны быть указаны в одних и тех же единицах измерения.

Формула коэффициента добротности различается для каждого типа цепи. Ниже обсуждаются несколько формул добротности для различных электрических цепей.

Добротность индуктора

Добротность конкретного реактивного компонента зависит от частоты, на которой он испытывается.Обычно это резонансная частота контура, в который он включен.

Добротность резонансного контура, использующего эту катушку индуктивности, которая включает в себя ее последовательные потери и идеальный конденсатор, используется для определения добротности катушки индуктивности с последовательным сопротивлением потерь. Добротность катушки индуктивности определяется как

, где — резонансная частота в радианах в секунду, L — индуктивность, — индуктивное реактивное сопротивление и — последовательное сопротивление катушки индуктивности.

Добротность конденсатора

Добротность конденсатора с последовательным сопротивлением потерь такая же, как добротность резонансного контура, использующего этот конденсатор с идеальной катушкой индуктивности. Коэффициент добротности конденсатора равен

, где — резонансная частота в радианах в секунду, C — емкость, — индуктивное реактивное сопротивление и — последовательное сопротивление конденсатора.

В общем, добротность резонатора, включая последовательную последовательность конденсатора и катушки индуктивности, может быть определена из значений добротности компонентов.Это применимо к тому, возникают ли их потери из-за последовательного сопротивления или иначе.

Коэффициент добротности LC-цепей

В параллельной LC-цепи сопротивление R индуктора последовательно с индуктивностью L. Это одна из основных проблем в LC-цепи. Но Q такой же, как в последовательной цепи. Следовательно, коэффициент добротности задается как

, где сопротивление, индуктивность и емкость настроенной цепи равны R, L и C.

Коэффициент добротности цепей RLC

Настроенный радиоприемник — это класс радиоприемников, которые содержит один или несколько настроенных каскадов усилителя радиочастоты, сопровождаемых схемой демодулятора для сбора звукового сигнала и, как правило, усилителем звуковой частоты.

Коэффициент качества для идеальной последовательной RLC-цепи и для настроенного радиочастотного приемника (TRF) приведен ниже.

, где сопротивление, индуктивность и емкость настроенной цепи равны R, L и C. Когда сопротивление последовательности больше, тем ниже будет значение Q в цепи.

Для параллельной цепи RLC коэффициент Q будет обратным для последовательной цепи RLC.

Представьте себе цепь, в которой R, L и C параллельны.Чем ниже параллельное сопротивление, тем эффективнее оно будет влиять на демпфирование цепи и, следовательно, тем ниже добротность. Это полезно при проектировании фильтрации для определения ширины полосы пропускания.

Передаточная функция Q-фактора

Отклик фильтра может быть представлен передаточной функцией s-области. Параметр S получается из преобразования Лапласа и представляет собой комплексные частотные фильтры, также имеющие коэффициент качества Q, который часто выражается как.

Это обычно известно как коэффициент демпфирования..

Q-фактор Фильтр нижних частот

Эта передаточная функция представляет собой математическое объяснение действия в частотной области фильтра нижних частот первого порядка. Та же передаточная функция может быть выражена через коэффициент качества, а также.

где — коэффициент усиления полосы пропускания, а — частота среза.

Q Factor Фильтр высоких частот

Чтобы преобразовать фильтр низких частот в фильтр высоких частот, числитель передаточной функции фильтра низких частот изменяется на.Выходной сигнал фильтра верхних частот аналогичен по форме фильтру нижних частот, но с измененной частотой.

Q-фактор Полосовой фильтр

Числитель фильтра нижних частот изменен на, чтобы получить функцию полосового фильтра.

где — частота среза. — коэффициент усиления схемы.

В конструкции полосового фильтра Q называется избирательностью фильтра.

где и — частоты, на которых отклик составляет –3 дБ от максимального

Q Factor Notch (Bandstop) Filter

Когда числитель полосового фильтра изменяется на, можно получить полосовой фильтр (также известный как режекторный фильтр или режекторный фильтр).Узкополосный фильтр отклонения будет называться режекторным фильтром, а широкополосный фильтр отклонения будет называться фильтром отклонения полосы.

Передаточная функция для полосового режекторного фильтра равна

Коэффициент добротности и демпфирование

Коэффициент добротности используется для определения качественного поведения простых демпфированных генераторов. В физических системах демпфирование создается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях.

Состояние передемпфирования: Система считается передемпфированной, если коэффициент качества низкий ().Эта система вообще не колеблется. Поэтому, когда он переключается со своего сбалансированного выхода в установившемся режиме, он возвращается в то же положение посредством экспоненциального затухания, асимптотически достигая установившегося значения.

Он имеет импульсную характеристику, которая является суммой двух убывающих экспоненциальных функций с различной скоростью затухания. Фильтр нижних частот второго порядка с очень низким коэффициентом качества имеет фазовую характеристику почти первого порядка. Выход устройства реагирует на входной шаг, медленно повышаясь к асимптоте.

Состояние недостаточного демпфирования: Система считается чрезмерно демпфированной, если коэффициент качества низкий (). Системы с недостаточным демпфированием интегрируют колебания на определенной частоте с уменьшением амплитуды сигнала.

Системы с недостаточным демпфированием и низким коэффициентом качества могут колебаться только один или несколько раз перед тем, как выйти из строя. Если компонент качества увеличивается, относительная величина демпфирования уменьшается. В более широком смысле, характеристика фильтра нижних частот второго порядка с очень высоким коэффициентом качества относится к ступенчатому входу, который быстро увеличивается выше, колеблется и постепенно приближается к установившемуся значению.

Критическое демпфирование: Система считается критически демпфированной, если коэффициент качества средний (). В системе с избыточным демпфированием выходной сигнал на самом деле не колеблется и, следовательно, не выходит за пределы своего установившегося выхода.

Как и в системе с недостаточным демпфированием, выходной сигнал этой системы быстро реагирует на входной единичный шаг. Критическое демпфирование дает лучший ответ на окончательное значение без превышения.

Коэффициенты качества общих систем

Хорошим примером системы с критическим демпфированием является топология фильтра нижних частот Саллена-Ки с единичным усилением.В нем равное количество конденсаторов и резисторов. Таким образом, коэффициент качества равен

Примером недостаточного демпфирования является фильтр Баттерворта второго порядка. Фактор качества равен

Влияние добротности

Существует несколько причин, по которым добротность является значительной при работе со схемами, настроенными на ВЧ. Обычно предпочтительным является высокий уровень добротности, но в некоторых реализациях может потребоваться заданный уровень добротности. Некоторые из проблем, связанных с коэффициентом добротности в схемах с настройкой ВЧ, суммированы ниже.

Полоса пропускания:

Если коэффициент качества увеличивается, ширина полосы настроенных фильтров цепи уменьшается. По мере уменьшения потерь настроенная схема становится более резкой, так как энергия лучше всего сохраняется в цепи. Можно показать, что с увеличением добротности ширина полосы на 3 дБ уменьшается, а общий выход настроенной схемы увеличивается. В некоторых случаях необходим высокий коэффициент добротности для обеспечения необходимой степени селективности.

Соответственно, во многих приложениях необходимо рассчитать величину необходимого Q-фактора, чтобы обеспечить общий выходной сигнал, необходимый для удовлетворения критериев широкой полосы пропускания и приемлемого подавления нежелательных сигналов.

Фазовый шум генератора :

Любой генератор может создавать фазовый шум. Это включает случайные изменения в сигнальном процессе. Это проявляется в виде разрыва, исходящего от основного носителя. Можно было бы ожидать, что этот шум нежелателен и, следовательно, его необходимо уменьшить.

Звонок:

Если добротность резонансного контура увеличивается, потери уменьшаются. Это гарантирует, что любое колебание, возникающее внутри цепи, потребует больше времени, чтобы погаснуть.Другими словами, кажется, что схема «звонит» больше. Фактически, это подходит для использования в схеме генератора, поскольку проще настроить и поддерживать колебание, поскольку в настроенной схеме тратится меньше энергии.

Фактор качества или добротность — определение, объяснение, формулы, решенные примеры проблем

Он определяется как отношение напряжения на L или C к приложенному напряжению.

Коэффициент качества или Q – фактор

Ток в серия RLC цепь становится максимальной при резонансе.В связи с увеличением тока, напряжение на L и C также увеличивается. Этот Увеличение напряжений при последовательном резонансе называется добротностью.

Определяется как отношение напряжения на L или C к приложенному напряжению .

Q-фактор = Напряжение на LorC / Прикладываемое напряжение

При резонансе схема чисто резистивная.Следовательно, приложенное напряжение равно напряжение через R .

Физический смысл этот коэффициент добротности указывает, сколько раз напряжение на L или C больше, чем приложенное напряжение в резонансе.

Поскольку фазовый угол положительный, напряжение приводит к току на 53,1 для этой индуктивной цепи.

ПРИМЕР 4.22

Найдите полное сопротивление последовательная цепь RLC, если индуктивное реактивное сопротивление, емкостное реактивное сопротивление и сопротивление составляет 184 Ом, 144 Ом и 30 Ом соответственно. Также рассчитайте фазу угол между напряжением и током.

Решение

X _L = 184 Ом; _С = 144 Ом

R = 30 Ом

(i) Импеданс

Импеданс, Z = 50 Ом

(ii) Фазовый угол

φ = 53.1

ПРИМЕР 4.23

A Индуктивность 500 мкГн, 80 / π ² Конденсатор пФ и резистор 628 Ом соединены для образования последовательной цепи RLC. Рассчитайте резонансную частоту и добротность этого контура в резонансе.

Решение

L = 500 × 10 ^-6 H; C = 80 / π ² × 10 ⁻¹² F; R = 628 Ом

(i) Резонансная частота это

Q = 12.5

ПРИМЕР 4.24

Найди мгновенное значение переменного напряжения υ = 10 sin (3 π × 10 ⁴ t) вольт при i) 0 с ii) 50 мкс iii) 75 мкс.

Решение

Данное уравнение имеет вид υ = 10sin (3 π × 10 ⁴ т)

ПРИМЕР 4.25

Ток в индуктивная цепь равна 0,3 sin (200t — 40 °) A. Напишите уравнение для напряжение на нем, если индуктивность 40 мГн.

Решение

L = 40 × 10 ^-3 ЧАС; i = 0,1 sin (200t — 40º)

X _L = ωL = 200 × 40 × 10 ^-3 = 8 Ом

V _м = I _м X _L = 0.3 × 8 = 2,4 В

В индуктивной цепи, напряжение опережает ток на 90o Следовательно,

v = Vm sin (ωt + 90º)

v = 2. 4 sin (200t −40 + 90 º)

v = 2. 4 sin (200t +50 º) volt

Теги: Определение, Пояснение, Формулы, Решенные примеры проблем | Переменный ток (AC), 12-я физика: электромагнитная индукция и переменный ток

Учебные материалы, лекционные заметки, задания, ссылки, объяснение описания вики, краткая информация

12-я физика: Электромагнитная индукция и переменный ток: добротность или добротность | Определение, объяснение, формулы, решенные примеры задач | Переменный ток (AC)

Расчет добротности для резонатора — цифровая поддержка

На этой странице описывается, как рассчитать добротность (Q) резонансных пиков в резонансной полости.

Существует два класса резонаторов для расчета добротности: полости с низкой добротностью и полости с высокой добротностью. Файл примера 2D включает в себя как стандартный (высокий) объект анализа Q, так и объект анализа низкого качества. Пример 3D включает только стандартный объект анализа, потому что добротность этой полости слишком высока для объекта с низкой добротностью. Оба файла моделирования содержат резонатор, поддерживающий два режима, и группу анализа Q для вычисления коэффициента Q. Группы анализа высокой и низкой добротности также могут быть вставлены в вашу симуляцию из библиотеки объектов в разделе резонаторов.

Низкодобротные полости

Полость называется полостью с низкой добротностью, когда электромагнитные поля полностью затухают в результате моделирования за время, которое может быть достаточно смоделировано с помощью FDTD. В этом случае добротность может быть определена из преобразования Фурье поля путем нахождения резонансных частот сигнала и измерения полуширины на полувысоте (FWHM) резонансных пиков. Затем мы можем использовать Q = f _R / f, где f _R — это резонансная частота, а f — это FWHM.

Пример:

Группа анализа низкой добротности, содержащаяся в моделировании quality_factor_2D.fsp, использует этот метод для определения добротности резонансных частот. Запустите файл моделирования. Затем выберите редактирование объекта анализа с низким Q и нажмите кнопку RUN ANALYSIS. Выходные данные сценария анализа будут содержать расположение резонансных частот и их соответствующие добротности.

 Резонанс 1:
 частота = 230,727 ТГц или 1299,34 нм
 Q = 156,883 +/- 0,82616
Резонанс 2:
 частота = 205.814 ТГц или 1456,62 нм
 Q = 77,498 +/- 0,226738 

Сценарий анализа также создает два графика. График, показанный ниже слева, содержит одну из составляющих поля (Гц). Вы можете видеть, что поля распались к концу времени моделирования. Второй график показывает расположение и относительную амплитуду резонансных пиков.

Обратите внимание, что начальные переходные процессы источника игнорируются, устанавливая «время начала» для мониторов времени равным 200 фс.«Время начала» для мониторов времени — это время, когда мониторы начинают запись данных. Этот параметр можно изменить в свойствах пользователя для группы анализа. Также обратите внимание, что в группе анализа можно использовать один монитор времени или массив мониторов времени для расчета Q-фактора. Проблема с использованием одноразового монитора заключается в том, что если один монитор расположен в нулевой точке моды резонатора или рядом с ней, то из-за того, что напряженность поля очень мала, коэффициент добротности может иметь большую неопределенность (если это даже возможно получить значимый результат).

Файл моделирования quality_factor_3D.fsp содержит трехмерную версию объекта анализа с низкой добротностью. Этот объект также можно добавить из библиотеки объектов.

Высококачественные полости

Полость считается резонатором с высокой добротностью, когда электромагнитные поля не могут полностью исчезнуть из моделирования за время, которое может быть разумно смоделировано с помощью FDTD. В этом случае мы не можем определить Q из частотного спектра, потому что FWHM каждого резонанса в спектре ограничена временем моделирования, T _sim , на FWHM ~ 1 / T _sim .Вместо этого коэффициент качества следует определять по наклону огибающей затухающего сигнала по формуле

$$ Q = \ frac {-2 \ pi_f {R} \ log _ {10} (e)} {2 м} $$

, где f _R — резонансная частота моды, а m — крутизна спада в единицах СИ.

Вывод формулы коэффициента добротности:

Коэффициент качества (Q) определяется как

$$ Q = \ frac {\ omega_ {r}} {F W H M} $$

, где w _r — резонансная частота (ω _r = 2π f _R ), а FWHM — это полуширина спектра резонансной интенсивности по всей ширине.2, при ω = ω _r . Приложив немного больше усилий, мы можем определить, что полумаксимальные частоты возникают при ω = ω _r + α и ω = ω _r — α. Следовательно, FWHM = 2α. Подставляя это значение в исходную формулу Q и решая для α, получаем

$$ \ alpha = \ frac {\ omega_ {r}} {2 Q} $$

Теперь, когда мы знаем, как связать α с Q, мы должны определить, как наклон затухания сигнала времени связан с Q. Мы должны взять логарифм сигнала времени, чтобы сделать огибающую линейной функцией.

$$ \ log _ {10} (| E (t) |) = \ frac {- \ omega_ {r} t} {2 Q} \ log _ {10} (e) = m t $$

, где m — наклон логарифма огибающей временного сигнала. Решая для Q, получаем

$$ Q = \ frac {- \ omega_ {r} \ log _ {10} (e)} {2 м} $$

Пример:

Расчет добротности для высокодобротных резонаторов затруднен, поскольку

• Отделить затухание огибающей от лежащего в основе синусоидального сигнала сложно, поскольку поля обычно имеют действительное значение
• , если есть несколько резонансных мод, они будут мешать друг другу во временной области, что затрудняет оценку скорости затухания.

Открыв диалоговое окно редактирования для объекта анализа Q-фактора, расположенного в файле quality_factor_3D.fsp, вы увидите, что объект анализа решает эти проблемы на

.

• точно вычисляет огибающую сигнала поля во временной области
• выделяет каждый резонансный пик в частотной области с помощью фильтра Гаусса, а затем выполняет обратное преобразование Фурье для расчета временного затухания отдельно для каждого пика. Затем наклон временного затухания используется для расчета добротности и получения оценки ошибки.

Кроме того, обратите внимание, что:

• Объект Q-анализа имеет установочные переменные, которые позволяют вам выбрать, сколько мониторов времени использовать для расчета Q-фактора. Часто бывает хорошей идеей добавить несколько точечных мониторов в разных местах, чтобы снизить вероятность того, что монитор будет размещен в узле профиля режима режима резонатора, дающего слабый сигнал.
• на вкладке анализа есть параметр, который можно установить, чтобы выбрать, сколько резонансных пиков искать
• Все доступные полевые компоненты используются для расчета Q-фактора
• можно изменить другие параметры, такие как ширина фильтра Гаусса и разрешение в частотной области.Эти параметры задаются в сценарии анализа.
• в скрипте, только часть временного сигнала, лежащая в 40-60% от собранного временного сигнала, используется для вычисления наклона. Эти проценты можно легко изменить. Однако установка верхнего предела на значение, превышающее 90%, может привести к ошибкам из-за того, что преобразования Фурье и обратные преобразования использовались, когда для выделения пика использовался фильтр Гаусса. Преобразования Фурье вносят ошибки в конец временного сигнала из-за того, что дискретные преобразования Фурье предполагают периодичность сигнала.

Затем запустите моделирование. Когда симуляция будет завершена, выберите редактирование объекта анализа и нажмите кнопку RUN ANALYSIS. Выходные данные сценария анализа будут содержать расположение резонансных частот и их соответствующие добротности.

 Резонанс 1:
 частота = 178,786 ТГц или 1676,82 нм
 Q = 306,279 +/- 1,41318
Резонанс 2:
 частота = 227,307 ТГц или 1318,89 нм
 Q = 274,874 +/- 4,50921 

Объект анализа также создает следующие графики (путем изменения make_plots = 0 на make_plots = 1 перед запуском анализа).

Временной спад компонент поля и их огибающих. Обратите внимание, что не все компоненты поля распались к концу времени моделирования. На изображении, показанном в верхней части этого раздела, крупным планом показаны данные для поля, выделенного красным цветом (Ey).

Спектр и фильтры Гаусса, используемые для выделения резонансных пиков.

Спектр резонансов. Каждый резонансный пик имеет свой цвет.

Затухание во времени суммы квадратов компонент поля в логарифмическом масштабе. Наклон этих линий используется при вычислении добротности.

Файл моделирования quality_factor_2D.fsp содержит 2D-версию объекта анализа Q.

Реакция резонатора на возбуждение заданного источника

В линейной системе отклик резонатора является внутренним свойством устройства, независимо от типа используемого источника возбуждения. В частотной области ответ системы может быть связан с источником

$$ t (\ omega) = h (\ omega) \ cdot i (\ omega) $$

, где t — отклик (например, электрическое поле в точке в пространстве), i — сигнал источника (например, дипольный момент), а h — передаточная функция, которая связывает обе величины для каждой угловой частоты w.Величина h является внутренним свойством резонатора и представляет собой импульсный отклик системы, то есть отклик, когда i (w) = 1 или i (t) является дельта-функцией.

При расчете добротности нас интересует случай, когда h содержит однополюсный отклик

$$ h (\ omega) = \ frac {r} {i \ left (\ omega- \ omega_ {r} \ right) — \ alpha} + b (\ omega) $$

, где b (w) — дополнительные вклады в h, обычно представляющие гораздо более широкие особенности в частотной области, которые очень быстро затухают во временной области.Мы знаем, что α связано с Q на

.

$$ \ alpha = \ frac {\ omega_ {r}} {2 Q} $$

Низкодобротные полости

Идеальный метод для вычисления Q — это вычислить h (w) и извлечь Q. Это то, что мы делаем, когда Q достаточно мало, чтобы мы могли запускать моделирование до тех пор, пока поля не распадутся. Затем мы вычисляем h (w) на

.

$$ ч (\ omega) = t (\ omega) / i (\ omega) $$

В FDTD с включенной непрерывной нормализацией мы вычисляем h (w) и, следовательно, получаем собственный коэффициент качества, независимо от типа импульса возбуждения или спектра источника.Повторение измерений Q с различной длиной импульсов источника или даже с чрезвычайно сложными импульсами источника не изменит измеренную функцию h (w), за исключением некоторой числовой ошибки, которая может стать большой, если i (w) очень мало вблизи резонансной частоты.

Высококачественные полости

При работе с резонаторами с высоким Q мы хотим найти метод, который будет более эффективным для расчета Q, потому что нецелесообразно запускать моделирование FDTD достаточно долго, чтобы правильно рассчитать h (w).В результате мы понимаем, что тогда и только тогда, когда импульс источника является дельта-функцией, мы имеем

$$ t (\ omega) = h (\ omega) $$

$$ t (t) = r \ exp \ left (- \ alpha t + i \ omega_ {r} t \ right) u (t) $$

Таким образом, мы можем извлечь значение Q, измерив α по экспоненциальному спаду во временной области. Важно отметить, что у нас есть только экспоненциальное затухание временного сигнала, если импульс источника является дельта-функцией. Если мы используем любую другую функцию для возбуждения резонатора, мы не можем использовать этот метод для извлечения добротности, поскольку мы не можем отделить вклад импульса источника и самого резонатора без запуска моделирования, пока поля полностью не исчезнут.На практике мы не можем использовать дельта-функцию для источника, но мы можем сделать приближение, что источник является дельта-функцией, пока функция i (w) почти постоянна по всей ширине полосы резонатора. В результате нецелесообразно пытаться нормализовать спектр источника, как мы это делаем в случае низкого Q, потому что мы должны предположить, что источник является приблизительно дельта-функцией для выполнения этого вычисления. Использование других спектров источников приведет к появлению полей во временной области, которые не обязательно будут экспоненциально затухать.

Используя функцию, близкую к дельте, в качестве входа источника, мы можем предположить, что поля во временной области будут экспоненциально затухать, и мы можем попытаться извлечь добротность из этого спада. В действительности, h (w) более сложен, чем однополюсный отклик, из-за вкладов b (w), и мы должны дождаться, пока другие вклады h исчезнут, прежде чем мы сможем измерить скорость распада. К счастью, вклад b (t) обычно затухает намного быстрее. По этой причине мы должны удалить часть сигнала раннего времени, чтобы точно измерить экспоненциальное затухание.Количество времени, которое необходимо удалить, в некоторой степени зависит от проблемы.

Большая часть вычислений при расчете резонатора с высокой добротностью связана с извлечением экспоненциального затухания из временного сигнала формы

$$ \ exp (- \ alpha t) \ cos \ left (\ omega_ {r} t \ right) $$

и исключая раннюю часть временного сигнала, где h (t) имеет другие члены, затрудняющие выделение затухания. Более сложные части расчета включают извлечение нескольких скоростей затухания из нескольких однополюсных резонансов на разных резонансных частотах путем выполнения некоторой фильтрации в частотной области перед возвратом во временную область для расчета затухания.

Q-фактор, объяснение в энциклопедии RP Photonics; добротность, полость, резонатор, генератор, стандарты частоты

Энциклопедия> буква Q> Q коэффициент

Определение: мера затухания мод резонатора

Немецкий: Gütefaktor

Категория: оптические резонаторы

Обозначение формулы: Q

Единицы: (безразмерное число)

Как цитировать статью; предложить дополнительную литературу

Автор: Dr.Rüdiger Paschotta

URL: https://www.rp-photonics.com/q_factor.html

Q-фактор (добротность) резонатора является мерой силы затухания его колебаний или относительной ширины линии. Этот термин был первоначально разработан для электронных схем, например LC-схемы, а также для микроволновых резонаторов, также для механических резонаторов, но позже также стали обычным явлением в контексте оптических резонаторов.

Фактически существует два разных общих определения коэффициента Q резонатора:

• Определение через накопление энергии: коэффициент Q составляет 2π-кратное отношение накопленной энергии к энергии, рассеиваемой за цикл колебаний, или, что эквивалентно, отношение накопленной энергии к энергии, рассеиваемой на радиан колебания.Для микроволнового или оптического резонатора один цикл колебаний понимается как соответствующий периоду колебаний поля, а не периоду обхода (который может быть намного дольше).
• Определение через ширину полосы резонанса: коэффициент Q — это отношение резонансной частоты ν ₀ и полной ширины полосы на полувысоте (FWHM) δν резонанса:

Оба определения эквивалентны только в пределе слабозатухающих колебаний, т.е.е. для высоких значений Q . Этот термин чаще всего используется в этом режиме.

Q Коэффициент оптического резонатора

Коэффициент Q резонатора зависит от оптической частоты ν ₀ , относительной потери мощности l за круговой обход и времени обхода T _rt :

(при условии, что л & Lt; 1).

Для резонатора, состоящего из двух зеркал с воздухом (или вакуумом) между ними, коэффициент Q увеличивается с увеличением длины резонатора, поскольку это снижает потери энергии на оптический цикл.Тем не менее, чрезвычайно высокие значения Q (см. Ниже) часто достигаются не за счет использования очень длинных резонаторов, а за счет значительного уменьшения потерь на обход. Например, очень высокие значения Q достигаются с помощью режимов шепчущей галереи крошечных прозрачных сфер (см. Ниже).

Важные отношения

Коэффициент Q резонатора связан с различными другими величинами:

• Коэффициент Q равен 2π, умноженному на экспоненциальное время затухания накопленной энергии, умноженное на оптическую частоту.
• Коэффициент Q равен 2π-кратному количеству периодов колебаний, необходимых для того, чтобы накопленная энергия снизилась до 1 / e (≈ 37%) от ее начального значения.
• Коэффициент Q оптического резонатора равен точности, умноженной на оптическую частоту, деленную на свободный спектральный диапазон.

High-

Q Резонаторы

Q Фактор осциллятора

Иногда термин «коэффициент Q » применяется к лазерам и другим видам генераторов, а не к резонаторам.Это требует дополнительных внимательных размышлений, отчасти потому, что коэффициент Q может быть определен по-разному:

• Принимая во внимание потери мощности в обоих направлениях резонатора лазера, существует также усиление лазера, которое в непрерывном режиме просто компенсирует потери. Принимая во внимание этот выигрыш, можно было бы достичь практически нулевых потерь при прохождении туда и обратно, и существует бесконечно большой коэффициент Q . Чтобы избежать этой проблемы, можно взять коэффициент Q «холодного» резонатора, т.е.е., без лазерного усиления. Многие лазерные резонаторы имеют довольно низкий коэффициент Q ; так обстоит дело, например, с большинством лазерных диодов. Однако этот параметр не очень актуален.
• Можно также взять определение, основанное на ширине линии излучения, чтобы получить коэффициент Q как отношение средней оптической частоты к ширине полосы. Это значение, рассчитанное, например, для лазерного генератора, может быть намного выше, чем значение для холодного резонатора лазерного резонатора. Точно так же оптический стандарт частоты может работать с очень малой шириной линии, намного меньшей естественной ширины линии используемого оптического перехода.

Обычно рекомендуется использовать термин Q-фактор только для (пассивных) резонаторов, а не для генераторов.

Q переключение

Хотя термин Q-фактор не особенно распространен для лазерных резонаторов, он приводит к термину «переключение добротности», методу генерации импульсов. Когда коэффициент Q лазерного резонатора (основанный только на его потерях в резонаторе) резко увеличивается, может генерироваться интенсивный лазерный импульс ( гигантский импульс ).Однако величина фактора Q во время генерации импульса не имеет особого отношения к получаемым характеристикам импульса; нет необходимости максимизировать это значение.

Вопросы и комментарии пользователей

Здесь вы можете оставлять вопросы и комментарии. Если они будут приняты автором, они появятся над этим абзацем вместе с ответом автора. Автор принимает решение о приеме на основании определенных критериев. По сути, вопрос должен представлять достаточно широкий интерес.

Пожалуйста, не вводите здесь личные данные; в противном случае мы бы скоро удалили его. (См. Также нашу декларацию о конфиденциальности.) Если вы хотите получить личный отзыв или консультацию от автора, пожалуйста, свяжитесь с ним, например по электронной почте.

Отправляя информацию, вы даете свое согласие на возможную публикацию ваших материалов на нашем веб-сайте в соответствии с нашими правилами. (Если вы позже откажетесь от своего согласия, мы удалим эти данные.) Поскольку ваши материалы сначала проверяются автором, они могут быть опубликованы с некоторой задержкой.

См. Также: оптические резонаторы, полоса пропускания, точность, свободный спектральный диапазон, модуляция добротности, опорные резонаторы, оптические стандарты частоты
и другие изделия в категории оптические резонаторы

Если вам нравится эта страница, поделитесь ссылкой с друзьями и коллегами, например через соцсети: Эти кнопки обмена реализованы с учетом конфиденциальности!

Код для ссылок на других сайтах

Если вы хотите разместить ссылку на эту статью на каком-либо другом ресурсе (напр.грамм. ваш веб-сайт, социальные сети, дискуссионный форум, Википедия), вы можете получить требуемый код здесь.

HTML-ссылка на эту статью:

   
 Статья о  Q  Factor  
 в  
 Энциклопедия фотоники RP   

С изображением для предварительного просмотра (см. Рамку чуть выше):

   
  alt =" article ">   

Для Википедии, например в разделе «== Внешние ссылки ==»:

  * [https://www.rp-photonics.com/q_factor.html 
, статья о « Q  Factor» в энциклопедии RP Photonics]  

«Добротность» колебательной системы

Авторские права © Майкл Ричмонд. Эта работа находится под лицензией Creative Commons License.

Во многих, многих ситуациях, связанных с колебательными системами, всплывает общий фактор. Обычно обозначается буквой Q , и иногда называли добротность , это количество имеет несколько различных значений. Мы обсудим здесь лишь некоторые из них.

Дело не только в механических системах, таких как маятник или амортизаторы, вот этот «добротность». Одни и те же уравнения управляют рядом электронных систем, таких как простая Последовательная цепь RLC, показанная ниже:

Изображение любезно предоставлено Википедия

---

Определение Q-фактора

Начнем с затухающего гармонического осциллятора, без какой-либо движущей силы.Позже мы добавим это усложнение.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид

Мы решили это дифференциальное уравнение; решение представляет собой комбинацию колебаний и экспоненциальный спад

где частота колебаний

а постоянная времени τ распада зависит от от массы и коэффициента сопротивления.

А как насчет ЭНЕРГИИ этой системы?

  В: Как потенциальная энергия зависит от (максимального) смещения?

  В: Как кинетическая энергия зависит от (максимальной) скорости?






 

Верно.Энергия зависит от КВАДРАТА смещения, и от КВАДРАТА скорости. Например, потенциальная энергия пружины в любой момент равна

  В: Какова постоянная времени, связанная с распадом
             потенциальная энергия весны?







 

В этом случае затухание происходит быстрее, чем затухание амплитуды. Мы могли бы определить новую «постоянную времени энергии», если бы захотели.

Итак, «сколько времени нужно, чтобы амплитуда или энергия затухали» это одна шкала времени, связанная с этой системой.Но это не единственное.

Мы также можем задать другие вопросы, связанные со временем:

   В: Сколько времени нужно, чтобы система колебалась?
               одним полным циклом?


   В: Сколько времени нужно, чтобы система колебалась?
               на один радиан?






 

Это дает нам четыре величины, зависящие от времени что мы могли сравнить.

        время затухания время колебания
-------------------------------------------------- --------
         амплитуда один цикл

         энергия один радиан
-------------------------------------------------- --------

 

Большинство учебников и аналитических материалов делают выбор: сравните время затухания ЭНЕРГИИ со временем, которое требуется система перемещается на один РАДИАН.

                     время затухания энергии
     Сравнивать    ---------------------------------
                   время колебаться один радиан


     В: Напишите выражение для этого отношения.
                 Попробуй записать через массу  м 
                 и коэффициент сопротивления  b .







 

У вас должно получиться количество, известное как Q , квалификационный фактор . Обратите внимание, что Q является чистым числом без единиц измерения.

Почему это называется «добротностью»? Что ж, он четко описывает что-то важное о колебательной системе: что-то связанное с количеством циклов нужно, чтобы движение стихло.

• большой Q означает «будет колебаться в течение многих циклов перед остановкой»
• малый Q означает «будет колебаться всего несколько циклов перед остановкой».

Я полагаю, что люди, работающие с колебательными системами как правило, нравятся те, которые продолжаются в течение многих циклов.

---

Сколько колебаний нужно потерять по амплитуде или энергии?

Итак, одна вещь, о которой нам сообщает Q , — это что-то о распаде колебательной системы.

Возможно, вы знакомы с использованием постоянной времени τ . За время τ , амплитуда движения уменьшается до 1 / e от первоначальной стоимости.

Но насколько уменьшается амплитуда всего за один цикл? Другими словами, насколько уменьшается амплитуда за время P ?

Хорошо, если вы начнете с основного экспоненциального затухания

и если вы помните, что один из способов написать Q — это

тогда вы сможете написать выражение для коэффициент, на который уменьшается амплитуда за один период.

  В: Во сколько раз уменьшается амплитуда за один цикл?







 

Хм. Если мы знаем, что коэффициент равен f только для одного цикла, тогда мы знаем, что после ДВУХ циклов уменьшение будет f ² , и после ТРЕХ циклов уменьшение будет f ³ , а после N циклов уменьшение составит f ^N .

  В: Сколько циклов потребуется, чтобы амплитуда уменьшилась?
             на значение (1 / е) от его первоначального значения?







 

• после Q / π циклов амплитуда будет (1 / e) от его исходное значение
• после Q / (2 π) циклов энергия будет (1 / e) от его исходное значение

---

Соотношение смещения для колебательной и статической силы

Другой аспект «добротности» можно увидеть, если мы сравнить реакцию системы до статический и колебательный силы.

Рассмотрим стандартную пружину с силовой постоянной k , на которую вешаем массу м . Мы позволяем системе остановиться в состоянии равновесия, отмечены пунктирной линией на рисунке ниже. Затем тянем массу с помощью СТАТИЧЕСКАЯ сила F _макс .

  В: Насколько велико результирующее смещение массы?









 

Теперь, Предположим, что мы снова рушим, но на этот раз с РАЗЛИЧНОЙ силой, F (t) = F _макс e ^iωt .Насколько велико смещение массы сейчас?

«Ага!» ты говоришь. «Это зависит от частоты ω движущей силы, и как она соотносится с собственной частотой ω ₀ пружины и массы «.

Вы правы.

  В: Предположим, что частота возбуждения точно равна
              собственная частота системы.
              Какой будет амплитуда движения?









 

Теперь, если вы вспомните, что один из способов написать Q — это

и если вспомнить определение ω ₀ , вы должны иметь возможность записать амплитуду в форме который включает Q .

  В: Как можно записать амплитуду при резонансе способом?
              который включает Q, и его легко сравнить с
              статическое смещение?









 

Итак, мы видим, что амплитуда движения для форсированной колебательная система в резонансе ровно Q умноженное на смещение статической силой того же размера.

---

Пропускная способность

Как ты знаешь, амплитуда вынужденного гармонического осциллятора зависит по ряду факторов.Общий результат состоит в том, что амплитуда велика. когда частота движения близка к естественной частота незатухающей системы.

  В: Какова собственная частота на рисунке выше  ω  0  ?

  Q: Вычислите значение «Q» для каждого варианта  b .







 

Мои ответы

Понятно, что значение Q связано форме этого амплитудного графика.

• большой Q означает высокий и узкий пик
• малый Q означает низкий и широкий пик

Но давайте поставим отношения на количественные шкала.Это займет некоторое время, но результат в итоге того стоит.

Сначала запишем амплитуду как функцию частоты возбуждения немного по-другому, так что в нем появляется «Q».

Теперь мы перейдем от работы с амплитуда движения к рассеиваемая мощность в приводной колебательной системе. Что это обозначает? Помните, у системы есть сила сопротивления? Это означает, что по мере движения системы сила сопротивления выполняет отрицательную работу, и поэтому эта система теряет энергию.Единственная причина, по которой он продолжает колебаться, заключается в том, что мы его ведем!

Другими словами, рассеиваемая мощность — это мощность, которую мы должны снабжение движущей силой, чтобы система продолжала работать.

Теперь мощность, рассеиваемая системой, может быть описана как энергия, теряемая с течением времени. Мы знаем, как энергия гармонического осциллятора зависит от амплитуды.

       Энергия колебательной системы & propto; (амплитуда)  2  

Оказывается, то же самое и с рассеиваемой мощностью.Итак, мы можем написать, что мощность, потерянная этой системой идет как квадрат амплитуды, или

Построим график, показывающий рассеиваемую мощность как функция частоты возбуждения. Он будет иметь пик, близкий (*) к собственной частоте системы, и некоторая ширина вокруг этого пика.

(*) да, максимальная рассеиваемая мощность происходит на несколько более низкой частоте чем ω ₀ , но для большинства интересных случаев эта разница очень мала.Предполагая, что пик точно равен на собственной частоте упростит некоторые выражения которые следуют, так что давайте сделаем это.

Один из способов описать эту ширину — определить половинной мощности баллов, и измерить, как далеко они от собственной частоты ω ₀ .

Получается, что Q будет связано с соотношением эти разности, Δω , на пиковую частоту ω ₀ .

• большой Q означает узкие пики, что даст дробную ширину, скажем, несколько процентов
• малый Q означает широкие пики, что даст дробную ширину, скажем, 50 или 60 процентов

  В: Оцените дробную ширину пика на графике выше.







 

Посмотрим, как найти эти отношения.

Начнем с уравнения рассеиваемой мощности.

  В: Какая мощность рассеивается при резонансе?








 

Верно.

Теперь, если мы сдвинем частоту возбуждения от резонанса, достаточно далеко, чтобы рассеиваемая мощность составляла ПОЛОВИНУ его пиковое значение, тогда знаменатель выражения должен быть ровно ДВАЖДЫ размер знаменателя на пике: деление на что-то вдвое большее даст силу что вдвое меньше. Это означает что в точке половинной мощности,

Немного упрощая,

А теперь давайте сделаем приближение. Большую часть времени, когда мы обсуждаем свойства колебательных систем, системы будут относительно «качественными» генераторами.Это означает, что добротность будет высокой, и поэтому рассеиваемая мощность будет охватывать только узкий диапазон частот. В таких случаях частота возбуждения будет близка к резонансная частота, ω ~ ω ₀ , итак сумма (ω + ω ₀ ) примерно вдвое больше резонансной частоты.

С этим приближением мы можем написать

  В: Напишите уравнение, в котором есть разница между вождением
            и резонансные частоты слева,
            а все остальное справа.

У вас должно получиться что-то вроде этого (опять же, напоминая, что ω ~ ω ₀ ):

Это выглядит полезным. Вернитесь к графику рассеиваемой мощности как функции частоты вождения.

Дробная ширина рассеиваемой мощности является (в основном) обратной величиной Q .

Эта ширина частот, на которой система рассеивает (или, возможно, производит) власть иногда называют полоса пропускания системы.

• Большие значения Q соответствуют узкой полосе пропускания
• Маленькие значения Q соответствуют большой полосе пропускания

Существует множество приложений систем в котором создание узкой полосы пропускания является ключевой особенностью. Один из моих любимых —

скромный радиотюнер.

  В: Предположим, вы разрабатываете радиотюнер, который должен
             уметь различать две радиостанции, которые
             находятся в

                 Станция А: 93.3 МГц

                 станция B: 93,7 МГц


             Какое значение Q должна производить ваша электроника?







 

---

Для дополнительной информации

• Фактор Q часто встречается в электронных схемах; хорошее место, чтобы узнать о них побольше

---

Авторские права © Майкл Ричмонд.