6. Фильтр Баттерворта

Вероятно, наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка определяется следующим образом:

n=1,2,3… (1)

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики.

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида

, (2)

где К — постоянное число. Для нормированного фильтра, т. е. при _c=1 рад/с, передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей для n=2, 4, 6… как

, (3)

или для n=3, 5, 7… как

, (4)

В обоих случаях коэффициенты задаются при b₀=1 и для k=1, 2.

, (5)

Очевидно, что коэффициент усиления фильтра Баттерворта, описываемого уравнением (2), равен К (значению передаточной функции при s=0). Если фильтр построен на основе каскадного соединения звеньев, соответствующих сомножителям в (3) или (4), то А_k и/или A₀ будут представлять собой коэффициент усиления звена. Таким образом, коэффициент усиления фильтра равен произведению коэффициентов усиления отдельных звеньев.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты =0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику.

Фазо-частотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазо-частотные характеристики фильтров Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических сравнимого порядка. Это согласуется с общим правилом для фильтров данного типа — чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазо-частотная, и наоборот.

Наклон переходного участка характеристики фильтра Баттерворта равен 6дБ/октава на полюс. Фильтр Баттерворта имеет нелинейную фазово-частотную характеристику; другими словами, время, которое требуется для прохождения сигнала через фильтр, зависит от частоты нелинейно. Поэтому, ступенчатый сигнал или импульс, поданный на вход фильтра Баттерворта, называет выброс на его выходе. Используется фильтр Баттерворта в тех случаях, когда желательно иметь одинаковый коэффициент усиления для всех частот в полосе пропускания.

Рис.4.ЛАЧХ для фильтров Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5. Наклон характерстики — 20n дБ/декаду, где n — порядок фильтра.

7. Фильтр вч

Фильтр верхних частот представляет собой устройство, пропускающее сигналы высоких частот и подавляющее сигналы низких частот. На рис. 7 изображены идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики и для практического случая обозначены полоса пропускания >

Рис. 5. Идеальная и реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра верхних частот.

Передаточную функцию фильтра верхних частот с частотой среза _c можно получить из передаточной функции нормированного фильтра нижних частот (имеющего _c, равную 1 рад/с) с помощью замены переменной s на 

, (17)

где _c — частота среза, а B и С представляют собой приведенные в приложении А[1] нормированные коэффициенты звена фильтра нижних частот второго порядка.

При нечетном порядке присутствует также звено первого порядка, обладающее передаточной функцией вида : , (18)

где С — нормированный коэффициент нижних частот первого порядка.

Фильтр верхних частот Баттерворта имеет монотонную характеристику, подобную характеристике на рис. 7, тогда как характеристика фильтра верхних частот Чебышева характеризуется пульсациями в полосе пропускания. Например, фильтр верхних частот Чебышева с неравномерностью передачи 1 дБ, подобно его прототипу нижних частот, имеет пульсации 1 дБ в диапазоне полосы пропускания.

Коэффициент усиления фильтра верхних частот представляет собой значение его передаточной функции при бесконечном значении переменной s. Следовательно, для звеньев второго и первого порядков, описываемых соответственно уравнениями (17) и (18), коэффициент усиления звена равен К.

Как для фильтра верхних частот Баттерворта или Чебышева второго порядка (17), так и для инверсного Чебышева и эллиптического фильтров добротность Q, аналогично фильтру нижних частот, определяется соотношением Q=C^1/2/B.

Фильтр Баттерворта — это… Что такое Фильтр Баттерворта?

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом (англ.)русск. в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers), в журнале Wireless Engineer в 1930 году.

Обзор

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает со скоростью −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка — на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты. Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта -го порядка может быть получена из передаточной функции :

где

•  — порядок фильтра
•  — частота среза (частота на которой амплитуда равна −3dB)
•  — коэффициент усиления по постоянной составляющей (усиление на нулевой частоте)

Легко заметить, что для бесконечных значений АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления , а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены представим выражение в виде :

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. -й полюс определяется из следующего выражения:

откуда

Передаточную функцию можно записать в виде:

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.

Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряжённые пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: . Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

,  — чётно

,  — нечётно

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

Максимальная гладкость

Приняв и , производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

Она монотонно убывает для всех так как коэффициент усиления всегда положителен. Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристи в ряд, получим:

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характерситики по частоте до 2n-й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».

Спад характеристики на высоких частотах

Приняв , найдём наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон −20n дБ/декаду.

Проектирование фильтра

Существует ряд различных топологий фильтра, с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остаётся неизменной.

Топология Кауэра

Топология Кауэра использует пассивные элементы (ёмкости и индуктивности)^[1]. Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. k-й элемент фильтра задаётся соотношением:

; k нечётно

; k чётно

Топология Саллена — Кея

Основная статья: Фильтр Саллена — Кея

Топология Саллена-Кея использует помимо пассивных также и активные элементы (операционные усилители). Каждый каскад схемы Саллена-Кея представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряжённых полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC-цепочки, и включён в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Кея имеет вид:

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв , получим:

и

Последнее соотношение даёт две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Рисунок ниже показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами одинакового (пятого) порядка:

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырёх, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

Пример

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с фарад, ом, и генри. Обозначив полное сопротивление ёмкостей C как 1/Cs и полное сопротивление индуктивностей L как Ls, где  — комплексная переменная, и используя уравнения для расчёта электрических схем, получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

АЧХ задаётся уравнением:

а ФЧХ задаётся уравнением:

Групповая задержка определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность ёмкостью, а ёмкости — индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

См. также

Литература

• В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
• Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. — ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X

Ссылки

Полосовой фильтр баттерворта из фнч. Расчёт фильтра с характеристикой Баттерворта. Декады и октавы

В фильтрах рассчет обычно начинают с задания параметров фильтра, самым главным из них является АЧХ. Как мы уже обсуждали в статье , сначала осуществляется приведение требований заданного фильтра к требованиям ФНЧ-прототипа. Пример требований к амплитудно-частотной характеристике ФНЧ-прототипа проектируемого фильтра приведен на рисунке 1.

На данном графике приведена зависимость коэффициента передачи фильтра к нормированной частоте ξ , где ξ = f/f в

На приведенном на рисунке 1 графике видно, что в полосе пропускания задается допустимая неравномерность коэффициента передачи. В полосе непропускания задается минимальный коэффициент подавления мешающего сигнала. Реальная фильтра может иметь любую форму. Главное, чтобы она не пересекала границы заданных требований.

Достаточно длительное время расчет фильтра вели методом подбора амплитудно-частотной характеристики с помощью стандартных звеньев (m-звено или k-звено). Подобный метод назывался методом аппликации. Он был достаточно сложен и не давал оптимального соотношения качества разработанного фильтра и количества звеньев. Поэтому были разработаны математические методы аппроксимации амплитудно-частотной характеристики с заданными характеристиками.

Аппроксимацией в математике называют представление сложной зависимости некоторой известной функцией. Обычно эта функция достаточно проста. В случае разработки фильтра важно, чтобы аппроксимирующая функция легко могла быть реализована схемотехнически. Для этого функции реализуются при помощи нулей и полюсов коэффициента передачи четырехполюсника, в данном случае фильтра. Они легко реализуются при помощи LC-контуров или с обратными связями.

Наиболее распространенным видом аппроксимации АЧХ фильтра является аппроксимация по Баттерворту. Подобные фильтры получили название фильтры Баттерворта.

Фильтры Баттерворта

Отличительной особенностью амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта является отсутствие минимумов и максимумов в полосе пропускания и задерживания. Спад АЧХ на границе полосы пропускания этих фильтров равен 3 дБ. Если от фильтра требуется меньшее значение неравномерности в полосе пропускания, то верняя частота фильтра f в выбирается выше заданной верхней частоты полосы пропускания. Функция аппроксимации АЧХ для ФНЧ-прототипа фильтра Баттерворта выглядит следующим образом:

где ξ — нормированная частота;
n — порядок фильтра.

При этом реальную амплитудно-частотную характеристику разрабатываемого фильтра можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза фильтра. Для фильтра Баттерворта нижних частот функция аппроксимации АЧХ будет выглядеть следующим образом:

Сейчас обратим внимание, что при расчете фильтров широко используется понятие комплексной s-плоскости, на которой по оси ординат отложена круговая частота jω , а по оси абсцисс — величина, обратная добротности. Таким образом можно определить основные параметры LC-контуров, которые входят в состав схемы фильтра: частоту настройки (резонансную частоту) и добротность. Переход в s-плоскость осуществляется при помощи .

Подробный вывод положения полюсов фильтра Баттерворта на комплексной s-плоскости приведен в . Для нас главное, что полюса этого фильтра расположены на единичной окружности на равном расстоянии друг от друга. Количество полюсов определяется порядком фильтра.

На рисунке 2 приведено расположение полюсов для фильтра Баттерворта первого порядка. Рядом показана АЧХ, соответствующая данному расположению полюсов на комплексной s-плоскости.

На рисунке 2 видно, что для фильтра первого порядка полюс должен быть настроен на нулевую частоту и его добротность должна быть равна единице. На графике АЧХ видно, что частота настройки полюса действительно равна нулю, а добротность полюса такова, что на частоте среза нормированного фильтра Баттерворта, равной единице, его коэффициент передачи равен −3дБ.

Точно таким же образом определяются полюса для фильтра Баттерворта второго порядка. На этот раз частота настройки полюса выбирается на пересечении единичной окружности с прямой, проходящей через центр окружности под углом 45° Пример расположения полюсов на комплексной s-плоскости и АЧХ фильтра Баттерворта второго порядка приведен на рисунке 3.

В данном случае резонансная частота полюса расположена недалеко от частоты среза нормированного фильтра. Она равна 0,707. Добротность полюса по графику расположения полюсов в корень из двух раз выше добротности полюса фильтра Баттерворта первого порядка, поэтому крутизна спада амплитудно-частотной характеристики получается больше. (Обратите внимание на цифры в правой части графика. При отстройке по частоте, равной 2, подавление равно уже 13 дБ) Левая часть амплитудно-частотной характеристики полюса получается плоской. Это связано с влиянием полюса, расположенного в зоне отрицательных частот.

Расположение полюсов и амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта третьего порядка показано на рисунке 4.

Как видно из графиков, показанных на рисунках 2…5, при увеличении порядка фильтра Баттерворта увеличивается крутизна спада амплитудно-частотной характеристики и возрастает требующаяся добротность цепи второго порядка (контура), реализующего полюс характеристики передачи фильтра. Именно возрастанием требующейся добротности и ограничивается максимальный порядок фильтра, который удается реализовать. В настоящее время удается реализовать фильтры Баттерворта вплоть до восьмого — десятого порядка.

Фильтры Чебышева

В фильтрах Чебышева аппроксимация амплитудно-частотной характеристики производится следующим образом:

При этом амплитудно-частотную характеристику реального фильтра Чебышева точно также как и в фильтре Баттерворта можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза разрабатываемого фильтра. Для фильтра Чебышева нижних частот амплитудно-частотную характеристику можно определить следующим образом:

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева низких частот характеризуется более крутым спадом в области частот выше верхней частоты пропускания. Этот выигрыш достигается за счет появления неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Неравномерность функции аппроксимации АЧХ фильтра Чебышева вызывается большей добротностью полюсов.

Подробный вывод положения полюсов аппроксимирующей функции фильтра Чебышева на s-плоскости приведен в . Для нас важно то, что полюса фильтра Чебышева расположены на эллипсе, большая ось которого совпадает с осью нормированных частот. На этой оси эллипс проходит через точку частоты среза фильтра нижних частот.

В нормированном варианте эта точка равна единице. Вторая ось определяется неравномерностью функции аппроксимации АЧХ в полосе пропускания. Чем больше допустимая неравномерность в полосе пропускания, тем меньше эта ось. Происходит как бы «сплющивание» единичной окружности фильтра Баттерворта. Полюса как бы приближаются к оси частот. Это соответствует возрастанию добротности полюсов фильтра. Чем больше неравномерность в полосе пропускания, тем больше добротность полюсов, тем больше скорость возрастания затухания в полосе непропускания фильтра Чебышева. Количество полюсов функции аппроксимации АЧХ определяется порядком фильтра Чебышева.

Следует заметить, что фильтра Чебышева первого порядка не существует. Расположение полюсов и АЧХ фильтра Чебышева второго порядка приведено на рисунке 5. Характеристика фильтра Чебышева интересна тем, что на ней отчетливо видны частоты полюсов. Они соответствуют максимумам АЧХ в полосе пропускания. У фильтра второго порядка частота полюса соответствует ξ =0.707.

Тема занятия 28: Классификация электрических фильтров.

Электрическим частотным фильтром называется четырехполюсник, который токи одних частот пропускает хорошо с малым затуханием (ослаблением 3 дБ), а токи других частот плохо с большим затуханием (30 дБ).

Диапазон частот, в которых ослабление мало называется полосой пропускания.

Диапазон частот, в которых ослабление велико называется полосой задерживания.

Между этими полосами вводят полосу перехода.

Основной характеристикой электрических фильтров является зависимость рабочего затухания от частоты.

Эта характеристика называется частотной характеристикой затухания.

— частота среза, на которой рабочее затухание составляет 3 дБ.

— допустимое затухание, задается механическими параметрами фильтра.

— допустимая частота, соответствующая допустимому затуханию.

ПП- полоса пропускания – область частот, в которых
дБ.

ПЗ – полоса задерживания – область частот, в которых рабочее затухание больше допустимого.

28.2 Классификация

1
По расположению полосы пропускания:

а) ФНЧ – фильтр нижних частот – пропускает низкие частоты и задерживает верхние.

Применяется в аппаратуре связи(телевизионные приемники).

б
) ФВЧ – фильтр верхних частот – пропускает высокие частоты и задерживает низкие.

в
) ПФ – полосовые фильтры – пропускают только определенную полосу частот.

г
) ЗФ — режекторные или заграждающие фильтры – не пропускают только определенную полосу частот, а остальные пропускают.

2 По элементной базе:

а) фильтры LC(пассивные)

б) фильтры RC(пассивные)

в) активные фильтры ARC

г) специальные типы фильтров:

Пьезоэлектрические

Магнитострикционные

3 По математическому обеспечению:

а
) фильтры Баттерворта. Характеристика рабочего затухания
имеет на частотеf=0 значение 0 , а затем монотонно увеличивается. В полосе пропускания имеет плоскую характеристику – это достоинство, но в полосе задерживания идет не круто – это недостаток.

б) фильтры Чебышева. Чтобы получить более крутую характеристику используют фильтры Чебышева, но у них в полосе пропускания появляется «волнистость», что является недостатком.

в) фильтры Золотарева. Характеристика рабочего затухания
в полосе пропускания имеет волнистость, а в полосе задерживания провал характеристик.

Тема занятия 29: Фильтры НЧ и ВЧ Баттерворта.

29.1 Фнч Баттерворта.

Баттерворт предложил следующую формулу затухания:

,дБ

где
— функция Баттерворта (нормированная частота)

n– порядок фильтра

Для ФНЧ
, где- любая нужная частота

— частота среза, которая равна

Чтобы реализовать такую характеристику используются фильтры LиC.

И

ндуктивность ставят последовательно нагрузке, так как
и с ростомувеличивается
.Поэтому токи низких частот легко пройдут через сопротивление индуктивности, а токи высоких частот задержатся и в нагрузку не попадут.

Конденсатор ставят параллельно нагрузке, так как
, поэтому конденсатор хорошо пропускает токи верхних частот и плохо нижних. Токи верхних частот замкнутся через конденсатор, а токи низких частот пройдут в нагрузку.

Схема фильтра состоит из чередующихся LиC.

ФНЧ Баттерворта 3-го порядка Т-образный

ФНЧ Баттерворта. 3-го порядка П-образный.

1 Определим порядок фильтра. Порядок фильтра это число реактивных элементов в ФНЧ и ФВЧ.

где
— функция Баттерворта, соответствующая допустимой частоте.

— допустимое затухание.

2 Чертим схему фильтра полученного порядка. При практической реализации предпочтительны схемы с меньшим количеством индуктивностей.

3 Рассчитываем постоянные преобразования фильтра.

, мГн

, нФ

4 Для идеального фильтра с сопротивлением генератора 1 Ом, сопротивление нагрузки 1 Ом,
составлена таблица нормированных коэффициентов фильтра Баттерворта. В каждой строке таблицы коэффициенты симметричны, к середине увеличиваются, а затем уменьшаются.

5 Чтобы найти элементы схемы, необходимо постоянные преобразования умножить на коэффициент из таблицы.

Рассчитать параметры фильтра низких частот Баттерворта, если ПП=0,15 кГц, =25 кГц,=30 дБ,
=75 Ом. Найти
для трех точек.

29.3 Фвч Баттерворта.

Фильтры ФВЧ – это четырехполюсники, у кторых в диапазоне (
) затухание мало, а в диапазоне (
) – велико, то есть фильтр должен пропускать в нагрузку токи верхних частот.

Так как ФВЧ должен пропускать токи высоких частот, то на пути тока, идущего в нагрузку, должен стоять частотно зависимый элемент, который хорошо пропускает токи высоких частот и плохо токи низких частот. Таким элементом является конденсатор.

Ф
ВЧ Т-образный

ФВЧ П-образный

Конденсатор ставят последовательно с нагрузкой, так как
и с ростом частоты
уменьшается, следовательно токи высоких частот легко проходят в нагрузку через конденсатор. Катушку индуктивности ставят параллельно нагрузке, так как
и с увеличением частоты увеличивается
, поэтому токи низких частот замыкаются через индуктивности и не попадут в нагрузку.

Расчет ФВЧ Баттерворта аналогичен расчету ФНЧ Баттерворта, проводится по тем же формулам, только

.

Рассчитать фильтр верхних частот ФВЧ Баттерворта, если
Ом,
кГц,
дБ,
кГц. Найти:
.

Тема занятия 30: Полосовые и режекторные фильтры Баттерворта.

АЧХ фильтра Баттерворта описывается уравнением

Особенности фильтра Баттерворта: нелинейная ФЧХ; частота среза не зависящая от числа полюсов; колебательный характер переходной характеристики при ступенчатом входном сигнале. С увеличением порядка фильтра колебательный характер усиливается.

Фильтр Чебышева

АЧХ фильтра Чебышева описывается уравнением

,

где T n 2 (ω/ω н ) – полином Чебышева n –го порядка.

Полином Чебышева вычисляется по рекуррентной формуле

Особенности фильтра Чебышева: повышенная неравномерность ФЧХ; волнообразная характеристика в полосе пропускания. Чем выше коэффициент неравномерности АЧХ фильтра в полосе пропускания, тем более резкий спад в переходной области при одном и том же порядке. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном сигнале сильнее, чем у фильтра Баттерворта. Добротность полюсов фильтра Чебышева выше, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя

АЧХ фильтра Бесселя описывается уравнением

,

где
;B n 2 (ω/ω cp з ) – полином Бесселя n -го порядка.

Полином Бесселя вычисляется по рекуррентной формуле

Особенности фильтра Бесселя: достаточно равномерные АЧХ и ФЧХ, аппроксимируемые функцией Гаусса; фазовый сдвиг фильтра пропорционален частоте, т.е. фильтр обладает частотно-независимым групповым временем задержки. Частота среза изменяется при изменении количества полюсов фильтра. Спад АЧХ фильтра обычно более пологий, чем у Баттерворта и Чебышева. Особенно хорошо этот фильтр подходит для импульсных цепей и фазочувствительной обработки сигнала.

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр)

Общий вид передаточной функции фильтра Кауэра

.

Особенности фильтра Кауэра: неравномерная АЧХ в полосе пропускания и в полосе задерживания; самый резкий спад АЧХ из всех приведенных фильтров; реализует требуемые передаточные функции при меньшем порядке фильтра, чем при использовании фильтров других типов.

Определение порядка фильтра

Требуемый порядок фильтра определяется по приведенным ниже формулам и округляется в сторону ближайшего целого значения. Порядк фильтра Баттерворта

.

Порядка фильтра Чебышева

.

Для фильтра Бесселя не существует формулы расчета порядка, вместо этого приводятся таблицы соответствия порядка фильтра минимально необходимым на заданной частоте отклонению времени задержки от единичной величины и уровню потерь в дБ).

При расчете порядка фильтра Бесселя задаются следующие параметры:

Допустимое процентное отклонение группового времени задержки на заданной частоте ω ω cp з ;

Может быть задан уровень ослабления коэффициента передачи фильтра в дБ на частоте ω , нормированной относительно ω cp з .

На основании этих данных определяется требуемый порядок фильтра Бесселя.

Схемы каскадов фнч 1–го и 2–го порядка

На рис. 12.4, 12.5 приведены типовые схемы каскадов ФНЧ.

а ) б )

Рис. 12.4. Каскады ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

а ) б )

Рис. 12.5. Каскады ФНЧ Кауэра: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

Общий вид передаточных функций ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя 1–го и 2–го порядка

,
.

Общий вид передаточных функций ФНЧ Кауэра 1–го и 2–го порядка

,
.

Ключевым отличием фильтра Кауэра 2–го порядка от заграждающего фильтра является то, что в передаточной функции фильтра Кауэра отношение частот Ω s ≠ 1.

Методика расчета ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя

Данная методика построена на основе коэффициентов, приведенных в таблицах и справедлива для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Методика расчета фильтров Кауэра приводится отдельно. Расчет ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя начинается с определения их порядка. Для всех фильтров задаются параметры минимального и максимального ослабления и частота среза. Для фильтров Чебышева дополнительно определяется коэффициент неравномерности АЧХ в полосе пропускания, а для фильтров Бесселя – групповое время задержки. Далее определяется передаточная функция фильтра, которая может быть взята из таблиц, и рассчитываются его каскады 1–го и 2–го порядка, соблюдается следующий порядок расчета:

В зависимости от порядка и типа фильтра выбираются схемы его каскадов, при этом фильтр четного порядка состоит из n /2 каскадов 2–го порядка, а фильтр нечетного порядка – из одного каскада 1–го порядка и (n – 1)/2 каскадов 2–го порядка;

Для расчета каскада 1–го порядка:

По выбранному типу и порядку фильтра определяется значение b 1 каскада 1–го порядка;

Уменьшая занимаемую площадь, выбирается номинал емкости C и рассчитывается R по формуле (можно выбрать и R , но рекомендуется выбирать C , из соображения точности)

;

Вычисляется коэффициента усиления К у U 1 каскада 1–го порядка, который определяется из соотношения

,

где К у U – коэффициент усиления фильтра в целом; К у U 2 , …, К у Un – коэффициенты усиления каскадов 2–го порядка;

Для реализации усиления К у U 1 необходимо задать резисторы, исходя из следующего соотношения

R B = R A ּ(К у U1 –1) .

Для расчета каскада 2–го порядка:

Уменьшая занимаемую площадь выбраются номиналы емкостей C 1 = C 2 = C ;

Выбраются по таблицам коэффициенты b 1 i и Q pi для каскадов 2–го порядка;

По заданному номиналу конденсаторов C рассчитываются резисторы R по формуле

;

Для выбранного типа фильтра необходимо задать соответствующий коэффициент усиления К у Ui = 3 – (1/Q pi ) каждого каскада 2-го порядка, посредством задания резисторов, исходя из следующего соотношения

R B = R A ּ(К у Ui –1) ;

Для фильтров Бесселя необходимо умножить номиналы всех емкостей на требуемое групповое время задержки.

При анализе фильтров и при расчете их параметров всегда используются некоторые стандартные термины и имеет смысл придерживаться их с самого начала.

Предположим, что требуется фильтр нижних частот с плоской характеристикой в полосе пропускания и резким переходом к полосе подавления. Окончательный же наклон характеристики в полосе задерживания всегда будет 6n дБ/октава, где n — число «полюсов». На каждый полюс необходим один конденсатор (или катушка индуктивности), поэтому требования к окончательной скорости спада частотной характеристики фильтра, грубо говоря, определяют его сложность.

Теперь предположим, что вы решили использовать 6-полюсный фильтр нижних частот. Вам гарантирован окончательный спад характеристики на высоких частотах 36 дБ/октава. В свою очередь теперь можно оптимизировать схему фильтра в смысле обеспечения максимально плоской характеристики в полосе пропускания за счет уменьшения крутизны перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. С другой стороны, допуская некоторую неравномерность характеристики в полосе пропускания, можно добиться более крутого перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. Третий критерий, который может оказаться важным, описывает способность фильтра пропускать сигналы со спектром, лежащим в полосе пропускания, без искажений их формы, вызываемых фазовыми сдвигами. Можно также интересоваться временем нарастания, выбросом и временем установления.

Известны методы проектирования фильтров, пригодные для оптимизации любой из этих характеристик или их комбинаций. Действительно разумный выбор фильтра происходит не так, как описано выше; как правило, сначала задаются требуемая равномерность характеристики в полосе пропускания и необходимое затухание на некоторой частоте вне полосы пропускания и другие параметры. После этого выбирается наиболее подходящая схема с количеством полюсов, достаточным для того, чтобы удовлетворялись все эти требования. В следующих нескольких разделах будут рассмотрены три наиболее популярных типа фильтров, а именно фильтр Баттерворта (максимально плоская характеристика в полосе пропускания), фильтр Чебышева (наиболее крутой переход от полосы пропускания к полосе подавления) и фильтр Бесселя (максимально плоская характеристика времени запаздывания). Любой из этих типов фильтров можно реализовать с помощью различных схем фильтров; некоторые из них мы обсудим позже Все они равным образом годятся для построения фильтров нижних и верхних частот и полосовых фильтров.

Фильтры Баттерворта и Чебышева. Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области т.е. между полосами пропускания и задерживания. Как будет показано дальше у него также плохая фазочастотная характеристика. Его амплитудно-частотная характеристика задается следующей формулой:
U вых /U вх = 1/ 1/2 ,
где n определяет порядок фильтра (число полюсов). Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления, как это показано на рис. 5.10.

Рис. 5.10 Нормированные характеристики фильтров нижних частот Баттерворта. Обратите внимание увеличение крутизны спада характеристики с увеличением порядка фильтра.

Выбирая фильтр Баттерворта, мы ради максимально плоской характеристики поступаемся всем остальным. Его характеристика идет горизонтально, начиная от нулевой частоты, перегиб ее начинается на частоте среза ƒ с — эта частота обычно соответствует точке -3 дБ.

В большинстве применений самым существенным обстоятельством является то, что неравномерность характеристики в полосе пропускания не должна превышать некоторой определенной величины, скажем 1 дБ. Фильтр Чебышева отвечает этому требованию, при этом допускается некоторая неравномерность характерности во всей полосе пропускания, но при этом сильно увеличивается острота ее излома. Для фильтра Чебышева задают число полюсов и неравномерность в полосе пропускания. Допуская увеличение неравномерности в полосе пропускания, получаем более острый излом. Амплитудно-частотная характеристика этого фильтра задается следующим соотношением
U вых /U вх = 1/ 1/2 ,
где С n — полином Чебышева первого рода степени n, а ε — константа, определяющая неравномерность характеристики в полосе пропускания. Фильтр Чебышева, как и фильтр Баттерворта имеет фазочастотные характеристики, далекие от идеальных. На рис. 5.11 представлены для сравнения характеристики 6-полюсных фильтров нижних частот Чебышева и Баттерворта. Как легко заметить, и тот, и другой намного лучше 6-полюсного RC-фильтра.

Рис. 5.11. Сравнение характеристик некоторых обычно применяемых 6-полюсных фильтров нижних частот. Характеристики одних и тех же фильтров изображены и в логарифмическом (вверху), и в линейном (внизу) масштабе. 1 — фильтр Бесселя; 2 — фильтр Баттерворта; 3 — фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ).

На самом деле фильтр Баттерворта с максимально плоской характеристикой в полосе пропускания не столь привлекателен, как это может показаться, поскольку в любом случае приходится мириться с некоторой неравномерностью в полосе пропускания (для фильтра Баттерворта это будет постепенное понижение характеристики при приближении к частоте ƒ с, а для фильтра Чебышева-пульсации, распределенные по всей полосе пропускания). Кроме того, активные фильтры, построенные из элементов, номиналы которых имеют некоторый допуск, будут обладать характеристикой, отличающейся от расчетной, а это значит, что в действительности на характеристике фильтра Баттерворта всегда будет иметь место некоторая неравномерность в полосе пропускания. На рис. 5.12 проиллюстрировано влияние наиболее нежелательных отклонений значений емкости конденсатора и сопротивления резистора на характеристику фильтра.

Рис. 5.12. Влияние изменений параметров элементов на характеристику активного фильтра.

В свете вышеизложенного весьма рациональной структурой является фильтр Чебышева. Иногда его называют равноволновым фильтром, так как его характеристика в области перехода имеет большую крутизну за счет того, что по полосе пропускания распределено несколько равновеликих пульсаций, число которых возрастает вместе с порядком фильтра. Даже при сравнительно малых пульсациях (порядка 0,1 дБ) фильтр Чебышева обеспечивает намного большую крутизну характеристики в переходной области, чем фильтр Баттерворта. Чтобы выразить эту разницу количественно, предположим, что требуется фильтр с неравномерностью характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ и затуханием 20 дБ на частоте, отличающейся на 25% от граничной частоты полосы пропускания. Расчет показывает, что в этом случае требуется 19-полюсный фильтр Баттерворта или всего лишь 8-полюсный фильтр Чебышева.

Мысль о том, что можно мириться с пульсациями характеристики в полосе пропускания ради увеличения крутизны переходного участка, доводится до своего логического завершения в идее так называемого эллиптического фильтра (или фильтра Кауэра), в котором допускаются пульсации характеристики как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания ради обеспечения крутизны переходного участка даже большей, чем у характеристики фильтра Чебышева. С помощью ЭВМ можно сконструировать эллиптические фильтры так же просто, как и классические фильтры Чебышева и Баттерворта. На рис. 5.13 представлено графическое задание амплитудно-частотной характеристики фильтра. В этом случае (фильтр нижних частот) определяются допустимый диапазон коэффициента передачи фильтра (т.е. неравномерность) в полосе пропускания, минимальная частота, на которой характеристика покидает полосу пропускания, максимальная частота, где характеристика переходит в полосу задерживания, и минимальное затухание в полосе задерживания.

Рис. 5.13. Задание параметров частотной характеристики фильтра.

Фильтры Бесселя. Как было установлено ранее, амплитудно-частотная характеристика фильтра не дает о нем полной информации. Фильтр с плоской амплитудно-частотной характеристикой может иметь большие сдвиги фаз. В результате этого форма сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, будет искажена при прохождении через фильтр. В ситуации, при которой форма сигнала имеет первостепенное значение, желательно иметь в распоряжении линейно-фазовый фильтр (фильтр с постоянным временем запаздывания). Предъявление к фильтру требования обеспечения линейного изменения сдвига фазы в зависимости от частоты эквивалентно требованию постоянства времени запаздывания для сигнала, спектр которого расположен в полосе пропускания, т. е. отсутствия искажений формы сигнала. Фильтр Бесселя (также называемый фильтром Томсона) имеет наиболее плоский участок кривой времени запаздывания в полосе пропускания, подобно тому как фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую амплитудно-частотную характеристику. Чтобы понять, какое улучшение во временной области дает фильтр Бесселя, посмотрите на рис. 5.14, где изображены нормированные по частоте графики времени запаздывания для 6-полюсных фильтров нижних частот Бесселя и Баттерворта. Плохая характеристика времени запаздывания фильтра Баттерворта обуславливает появление эффектов типа выброса при прохождении через фильтр импульсных сигналов. С другой же стороны, за постоянство времен запаздывания у фильтра Бесселя приходится расплачиваться тем, что его амплитудно-частотная характеристика имеет еще более пологий переходной участок между полосами пропускания и задерживания, чем даже у характеристики фильтра Баттерворта.

Рис. 5.14. Сравнение временных запаздываний для 6-полосных фильтров нижних частот Бесселя (1) и Баттерворта (2). Фильтр Бесселя благодаря своим превосходным свойствам во временной области дает наименьшее искажение формы сигнала.

Существует много различных способов проектирования фильтров, в которых делаются попытки улучшить рабочие параметры фильтра Бесселя во временной области, частично жертвуя постоянством времени запаздывания ради уменьшения времени нарастания и улучшения амплитудно-частотной характеристики. Фильтр Гаусса имеет почти столь же хорошие фазочастотные характеристики, как и фильтр Бесселя, но при улучшенной переходной характеристике. Другой интересный класс представляют собой фильтры, позволяющие добиться одинаковых по величине пульсаций кривой времени запаздывания в полосе пропускания (аналогично пульсациям амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева) и обеспечивающие примерно одинаковое запаздывание для сигналов со спектром вплоть до полосы задерживания. Еще один подход к созданию фильтров с постоянным временем запаздывания — это применение всепропускающих фильтров, называемых иначе корректорами во временной области. Эти фильтры обладают постоянной амплитудно-частотной характеристикой, а сдвиг фазы может меняться согласно конкретным требованиям. Таким образом, их можно применять для выравнивания времени запаздывания любых фильтров, в частности фильтров Баттерворта и Чебышева.

Сравнение фильтров. Несмотря на ранее высказанные замечания о переходной характеристике фильтров Бесселя, он все же обладает очень хорошими свойствами во временной области по сравнению с фильтрами Баттерворта и Чебышева. Сам фильтр Чебышева при его весьма подходящей амплитудно-частотной характеристике имеет наихудшие параметры во временной области из всех этих трех типов фильтров. Фильтр Баттерворта дает компромисс между частотами и временными характеристиками. На рис. 5.15 дана информация по рабочим характеристикам этих трех типов фильтров во временной области, дополняющая приведенные ранее графики амплитудно-частотных характеристик. По этим данным можно сделать вывод, что в тех случаях, когда важны параметры фильтра во временной области, желательно применять фильтр Бесселя.

Рис. 5.15. Сравнение переходных процессов 6-полюсных фильтров нижних частот. Кривые нормированы приведением значения ослабления 3 дБ к частоте 1 Гц. 1 — фильтр Бесселя; 2 — фильтр Баттерворта; 3 — фильтр Чебышева (пульсации 0.5 дБ).

Низкочастотный фильтр Баттерворта второго порядка

Читайте также

Аффилиат-фильтр

Аффилиат-фильтр Введенный в игру поисковыми системами аффилиат-фильтр призван очищать выдачу от монополистов, делая ее разнообразнее.Принцип работы фильтра сводится к следующему: он не применяется к сайту в целом и не ведет к его «пессимизации» или тотальному изъятию

Процессоры Cobra первого и второго поколения

Процессоры Cobra первого и второго поколения Как и Muskie, процессоры Cobra имеют расширенную 64-разрядную архитектуру PowerPC. Они суперскалярные, что позволяет использовать параллелизм на уровне команд. Функционально оба семейства процессоров исполняют один и тот же набор

29.2. BPF: пакетный фильтр BSD

29.2. BPF: пакетный фильтр BSD 4.4BSD и многие другие Беркли-реализации поддерживают BPF — пакетный фильтр BSD (BSD Packet Filter). Реализация BPF описана в главе 31 [128]. История BPF, описание псевдопроцессора BPF и сравнение с пакетным фильтром SunOs 4.1.x NIT приведены в [72].Каждый канальный уровень

4.11.1. Фильтр по умолчанию

4.11.1. Фильтр по умолчанию Исходя из принципа всеобщего запрета, в качестве правила по умолчанию мы должны запретить любые действия. Изначально в Linux все разрешено, а это безопасно только для отдельно стоящего сервера, который даже не подключен к сети. Проверьте ваши

Размер кэша второго уровня

Размер кэша второго уровня Существует возможность указания размера кэша второго уровня процессора, который установлен в системе. Для этого применяется параметр DWORD-типа SecondLevelDataCache. Если его значение равно 0, то размер кэша будет определяться HAL автоматически (если это

Напишите отдельную статью под каждый низкочастотный запрос

Напишите отдельную статью под каждый низкочастотный запрос В разных нишах по-разному, но в целом это обычно запросы из 2–3 слов, частотность которых не превышает 300–500 показов в месяц.Если вы не можете написать статьи самостоятельно, вы можете заказать написание статей на

Низкочастотный фильтр Баттерворта четвертого порядка

Низкочастотный фильтр Баттерворта четвертого порядка В качестве другого примера рассмотрим фильтр Баттерворта четвертого порядка, предназначенный для работы на частоте fc=1 кГц. Из таблицы полиномов находим коэффициенты:(s? + 0,765s + 1)·(s? + 1,848s + 1).Коэффициент затухания k

Фильтр Извлечь

Фильтр Извлечь Фильтр Извлечь позволяет извлечь из картинки определенный фрагмент, сделав все оставшееся изображение прозрачным. Фильтр имеет собственное окно, в котором вам нужно отметить фрагмент, который вы хотите извлечь (рис. 11.48). Рис. 11.48. Окно фильтра Extract

1.3. Внесение порядка в хаос

1.3. Внесение порядка в хаос Роль декомпозиции Как отмечает Дейкстра, «Способ управления сложными системами был известен еще в древности — divide et impera (разделяй и властвуй)» [16]. При проектировании сложной программной системы необходимо разделять ее на все меньшие и меньшие

Изменение порядка рисования объектов

Изменение порядка рисования объектов По умолчанию объекты отображаются на экране в порядке их создания. Порядок отображения можно изменить, поместив один объект перед другим. Это существенно, когда один объект перекрывает другой. Изменение порядка отображения

Появление второго протагониста

Появление второго протагониста Современная литературная критика учит нас, что нынче в драматургии не обязаны присутствовать протагонист – белый и пушистый двигатель сюжета, и его антагонист, вставляющий палки в колёса своими грязными руками. Так что обойдусь и я без

Какова длина второго имени?

Какова длина второго имени? Как бы стеки не заставили нас забыть, что кроме излюбленных специалистами по информатике примеров имеются структуры данных, тесно связанные с объектами реальной жизни. Вот забавный пример, взятый из почты форума Риски (Risks) (группа новостей Usenet

Фильтр фишинга

Фильтр фишинга Фишинг – это способ получения мошенниками паролей, номеров кредитных карточек и другой личной информации. Мошенники направляют потенциальной жертве информационное письмо якобы от банка, электронной платежной системы или другого ресурса, услугами

Продвинутые аналоговые фильтры: теория и практика

Существенным недостатком базовых аналоговых фильтров, то есть, таких, как простой RC-фильтр, является то, что крутизна их АЧХ не превышает 6 дБ на октаву (удвоение частоты). Во многих задачах хотелось бы иметь более крутую АЧХ, и в тогда применяют другой дизайн фильтров. О таких «продвинутых» фильтрах мы и поговорим сегодня.

Теория

Далее в этом посте речь пойдет исключительно о пассивных фильтрах, состоящих из конденсаторов и катушек. Бывают также активные фильтры, использующие операционные усилители, резисторы и конденсаторы. Активные фильтры не работают для сигналов с высокой частотой. По большому счету, они применяются только при работе со звуком. Пассивные фильтры лишены этого недостатка. Но в отличие от активных фильтров, пассивные фильтры не могут усиливать сигнал.

Фильтры делят на фильтры Баттерворта, фильтры Бесселя и фильтры Чебышева:

Фильтры Баттерворта используются чаще всего. Они имеют максимально плоскую полосу пропускания и куда более крутой переход между полосой пропускания и полосой подавления, чем у RC-фильтров. Фильтры Чебышева имеют еще более крутой переход, однако их полоса пропускания имеет рябь. Насколько сильной будет эта рябь выбирается при дизайне фильтра. Наконец, фильтры Бесселя интересны тем, что имеют наиболее линейную фазо-частотную характеристику (ФЧХ, то есть, как АЧХ, только для фазы сигнала, а не амплитуды). Далее мы сосредоточимся на фильтрах Баттерворта, как наиболее популярных.

Насколько крутой будет АЧХ фильтра зависит от количества используемых в нем полюсов (pole, в первом приближении — числа катушек и конденсаторов). Пример для фильтра Баттерворта нижних частот:

Если в фильтре используется N полюсов, говорят, что это фильтр N-го порядка.

Как и в прошлом посте о фильтрах, обе иллюстрации были позаимствованы из потрясающей книги Practical Electronics for Inventors, 4th Edition, которую я крайне рекомендую к прочтению (есть перевод на русский язык). Книга подробно описывает, как производить выбор компонентов для фильтров Баттерворта нижних частот, верхних частот, полосно-пропускающих (двух типов — с широкой и узкой полосой пропускания), а также полосно-подавляющих. Алгоритм этот не сложный, в стиле «посмотрите в табличку, умножьте, поделите, переставьте местами, и вот перед вами все номиналы». Поскольку каждый раз выполнять этот алгоритм вручную — медленно и чревато ошибками, я заскриптовал все это хозяйство на Python. Поэтому сам алгоритм я здесь описывать не буду. Заинтересованные читатели могут обратиться к книге или коду скрипта.

Пользоваться скриптом очень просто. Допустим, нам нужен band-pass фильтр 3-го порядка, пропускающий частоты от 100 МГц до 110 МГц:

Band-pass narrow-band filter:

              L2     | |
=> —+—-+—CCCCC—| |—+—-+— …etc…
     |    |          | |   |    |
     |    |                |    |
   ——  C              ——  C
C1 ——  C           C3 ——  C
     |    C                |    C
     |    |                |    |
    GND  GND              GND  GND

C1 = 318.31 pF, in parallel with 7.23 nH
C3 = 318.31 pF, in parallel with 7.23 nH
L2 = 1.59 uH, in series with 1.45 pF

Вообще, существует множество калькуляторов фильтров. Например, есть бесплатная и открытая программа Qucs, которая умеет рассчитывать фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя, а также активные фильтры, аттенюаторы, и многое другое. Имеется встроенный симулятор. Стоит однако отметить, что интерфейс программы требует привыкания. Пример ее использования можно посмотреть в видео Rapid Prototyping RF Filters with Tape & QUCS.

Еще есть программа Elsie. Это закрытая программа, но распространяется она бесплатно. Работает Elsie только под Windows, но может быть запущена в Wine под Linux или CrossOver под MacOS. Интересна программа тем, что помимо классических фильтров умеет рассчитывать и довольно необычные, например, capacitor-coupled filters. Как и Qucs, Elsie имеет встроенный симулятор.

Практика

Было решено спаять что-нибудь не слишком сложное, и рассчитанное на частоту где-то до 25 МГц. Дело в том, что я еще не созрел до покупки анализатора спектра. Поэтому протестировать фильтр я могу только при помощи генератора сигналов и осциллографа, а мой генератор сигналов MHS-5200A умеет выдавать сигналы с частотой не более 25 МГц. В теории, вместо анализатора спектра можно было бы воспользоваться RTL-SDR и генератором шума, но от этого способа у меня остались исключительно неприятные воспоминания.

В итоге я остановился на следующем фильтре высоких частот:

High-pass filter:

      C1       C3
      | |      | |
=> —| |—+—| |— …etc…
      | |  |   | |
           C
           C L2
           C
           |
          GND

C1 = 290.43 pF
L2 = 726.07 nH

На всякий случай фильтр был проверен в KiCad, как мы это делали в прошлом посте для RC-фильтров. Схема:

Фильтр рассчитывается на конкретный импеданс источника сигнала и нагрузки (в данном случае, 50 Ом и там и там), отсюда в схеме два лишних резистора.

Результат SPICE-симуляции:

Симуляция показывает -6 дБ в полосе пропускания вместо ожидаемых 0 дБ, потому что она не игнорирует резисторы, как следовало бы делать в данном случае. Если мы рассмотрим схему без фильтра, то оставшиеся резисторы образуют делитель напряжения. То есть, если мы будем передавать сигнал напрямую от источника с импедансом 50 Ом на нагрузку с импедансом 50 Ом, то на нагрузке увидим 0.5 амплитуды исходного сигнала, или те самые -6 дБ. Таким образом, настоящая АЧХ будет сдвинута на 6 дБ вверх по сравнению с тем, что нам показывают. В остальном же все похоже на правду. Заметьте, что наклон АЧХ даже у такого простого фильтра составляет 12 дБ на октаву.

Замерив десяток конденсаторов на 300 пФ я нашел один, имеющий емкость ровно 290 пФ (помним, что у любых электронных компонентов есть погрешность). Катушки на 726.07 нГн у меня, естественно, не было, поэтому было решено смотать ее самостоятельно.

Для этого я воспользовался онлайн-калькулятором на coil32.ru. Калькулятор, кстати, оказался очень точным. Он мне так понравился, что я решил передрать используемый в нем алгоритм в скрипт на Python, а то вдруг сайт будет лежать:

$ ./coilcalc.py -d1 0.6 -d2 1.6 -c 7 -i 0.72607
Input:
    Carcass diameter:                 7.000000 mm
    Wire diameter without insulation: 0.600000 mm
    Wire diameter with insulation:    1.600000 mm
    Target inductance:                0.726070 uH
Output:
    Number of turns:                  17.718000
    Winding length:                   28.348800 mm

Таким образом, для моего провода (одножильный 22 AWG), используемого каркаса (я использовал элементы держалки «третья рука») и требуемой индуктивности калькулятор насчитал 17.7 витков.

В итоге был спаян такой фильтр:

Следующий шаг заключался в экспериментальном измерении АЧХ с помощью генератора сигналов и осциллографа. Тут важно учесть следующее:

• Для получения осмысленных результатов все должно соединяться исключительно коаксиальными кабелями с импедансом 50 Ом. То есть, никаких «крокодилов» — их импеданс совсем не 50 Ом, и это портит измерение. На осциллографе в свойствах канала опция Probe должна стоять в 1X.
• Для согласования импедансов к осциллографу должен быть подключен T-образный BNC-коннектор, к которому подключена нагрузка на 50 Ом, и непосредственно кабель, идущий к фильтру или генератору сигналов.
• У моего генератора сигналов есть известный дефект — амплитуда сигнала падает с ростом частоты. Поэтому перед измерением АЧХ фильтра необходимо замерить «baseline» генератора сигналов.
• Амплитуда, видимая на осциллографе, также падает с ростом частоты, потому что полоса пропускания осциллографа ограничена.
• Как было объяснено выше, при подключении генератора к осциллографу на осциллографе мы должны видеть примерно половину от амплитуды сигнала, заданной на генераторе.
• Если вы покупаете дешевые кабели / адаптеры / переходники, например, на eBay, вам может попасться бракованный товар. Если вместо ожидаемых данных вы видите какую-то ерунду, попробуйте заменить кабель. Мне один кабель пришлось выкинуть, потому что он ни на что не годился.

С учетом вышесказанного я аккуратно записал все цифры в LibreOffice и получил такой график:

Все в полном соответствии нашим ожиданиям! Согласно сырым данным, аттенюация в 3 дБ приходится на 7.75 МГц, в точности как было указано в аргументах скрипта. В полосе пропускания аттенюация не превышает 0.3 дБ, что очень даже неплохо. Согласно видео Practical RF Filter Design and Construction, снятом devttys0, потери энергии главным образом приходятся на катушки (из-за их низкой добротности по сравнению с конденсаторами), и типично в полосе пропускания можно видеть аж до -3 дБ. Помимо прочего, в этом видео интересно рассказывается об экранировании применительно к фильтрам.

Заключение

Как видите, в том, чтобы паять фильтры Баттерворта, нет абсолютно ничего сложного. Секрет успеха заключается в том, чтобы использовать номиналы компонентов, как можно более близкие к расчетным. В качестве домашнего задания предлагаю вам спаять любой фильтр Баттерворта и сравнить его реальное поведение с расчетным.

Исходники к этой заметке вы найдете в этом репозитории на GitHub. Как всегда, буду рад любым вопросам и дополнениям.

Дополнение: По теме фильтров вас могут заинтересовать статьи Об изготовлении полосно-пропускающих фильтров, Рассчитываем, моделируем и паяем диплексер и Учимся делать кварцевые полосовые фильтры. Более экзотические фильтры вы найдете в статье Режекторные фильтры из коаксиального кабеля и далее по ссылкам.

Метки: Электроника.

Хроники Магнитолы — Понятия. Фильтры

Первое. Диффузор любой головки способен к поршнеобразному движению, то есть к движению как единое целое только в определенном частотном диапазоне. Как только частота достигает определенной величины – на поверхности диффузора появляются упругие волны, способные организовать интерференционную картину. Поршнеобразное движение, на факте которого основаны все расчеты параметров головки, прекращается. Для большинства низкочастотных головок такая частота лежит в районе нескольких сотен герц. Широкополосные и среднечастотные головки могут сохранить характер колебаний диффузора до частот в единицы килогерц, некоторые из них, с композитными и керамическими диффузорами – до 5 – 8 кГц. На более высоких частотах уверенно работают лишь купольные излучатели: среднечастотные обслуживают диапазон от сотен герц до 10 килогерц, и на всем его протяжении купольный диффузор головок пытается двигаться поршнеобразно. У легких тканевых, композитных или металлических куполов ВЧ-головок в звуковом диапазоне частот рассмотренных проблем не возникает.
Объективно описанные процессы проявляются в возникновении начиная с некоторой частоты изрезанности АЧХ, в росте нелинейных искажений, интермодуляции, фазовых нарушениях. Главное субъективно оцениваемое последствие – потеря натуральности звучания акустических инструментов, появление в звуке жесткости, иногда призвуков. Следует заметить, что старые добрые головки довоенных приемников болели описанной болезнью по полной программе, – даже легкие бумажные диффузоры не были способны ей сопротивляться. Однако кропотливый труд целых поколений экспериментаторов, варивших секретные бумажные массы, не пропал даром – характер паразитных колебаний старых диффузоров был таким, что последствия их с точки зрения слуха (извините за каламбур) оказывались минимальными.

Второе. Совсем простое. Индуктивность не отменили даже итоги мировой войны. Например, если индуктивность звуковой катушки низкочастотной головки 1 мГн (совсем не много), то на 1 кГц реактивная составляющая импеданса уже равна 6,28 Ом, а на 10 кГц – 62,8 Ом. На этом сопротивлении и упадет все напряжение сигнала, естественно, не вызвав требуемого нам движения диффузора.

Третье. Все ждут от динамической головки производства сферической звуковой волны. Тогда характеристика направленности создаваемого излучения будет круговой, и перемещающийся в пространстве слушатель не будет ощущать дискомфорта. В машине слушатель не изменяет своего положения (разве что при ДТП), но здесь на характеристики направленности возлагаются еще более ответственные задачи, ведь компоновочные возможности в салоне далеко не безграничны. Сферическую волну порождает точечный излучатель. Иначе: размеры диффузора должны быть заметно меньше длины волны. Как только это условие перестает выполняться, характеристика направленности головки обуживается, что способно породить массу проблем.

Четвертое. На низких частотах, особенно вблизи резонансной частоты, диффузор головки движется с довольно большой скоростью, составляющей единицы процентов от скорости звука. Следовательно, при одновременном воспроизведении и высоких, и низких частот будет наблюдаться доплеровская модуляция колебаний высоких частот низкими, так как часть времени эти частоты будут излучаться движущимся с большой скоростью диффузором на слушателя, а часть времени – от слушателя. Последствия доплеровской модуляции проявляются в крайне неприятной на слух потере чистоты тона, у слушателя пропадает удовольствие от классических фрагментов, основанных на строгих законах музыкальной гармонии.

Иными словами – как ни сильна ностальгия по хорошему звучанию бумажных раритетов, отлично играть может лишь многополосная система. Эта истина стала очевидной для разработчиков больше полувека назад, и с тех пор разделительные фильтры начали пробивать себе дорогу на рынок.
Мы не будем рассматривать все этапы развития фильтров как полноценного компонента аудиотракта. Заметим лишь, что они прошли сложный путь, в начале которого фильтры выполняли лишь энергетические частотно-разделяющие функции, а сейчас от фильтров требуют комплексного решения вопросов энергоразделения, формирования характеристики направленности АС в целом, компенсации реактивности головки с учетом воздействия акустического оформления и т.п.
Надо сказать, что техническую задачу разработчики решили: АС формируют великолепную АЧХ при оптимальных ФЧХ, характеристиках направленности при использовании совершенно реальных головок. Все математические проблемы, связанные с расчетами, взяли на себя компьютеры, программами для расчета в любительских условиях кишит Интернет. Но сказать, что АС начали от этого играть лучше, чем хорошо, мы не можем. Проблема стара как мир: стремиться надо не к идеальной АЧХ и ФЧХ, а к хорошему звуку, и на пути этого стремления во весь рост встают куда более сложные, нежели трудный расчет, проблемы.
Тем не менее, не поделиться с читателем элементарными основами построения разделительных фильтров было бы неверно. У любого стремления к качеству должна быть отправная точка. Наша точка находится там, где достигаются приемлемые объективно оцениваемые параметры АС, а в их формировании едва ли не главную роль играют разделительные фильтры.

Рис. 2. К понятию всепропускающего разделительного фильтра. Акустическое суммирование сигналов НЧ, СЧ и ВЧ-головок способно создать в точке наблюдения плоскую АЧХ, естественно, при соблюдении некоторых условий. Отметим, что полосовой фильтр, питающий СЧ-головку, может быть выполнен как на полосовых элементах (см. рис.), так и представлять каскадно включенные ФВЧ и ФНЧ.

Рис. 3. Головка только в первом приближении представляет активное сопротивление. Попытка достичь хороших характеристик при работе с реальными головками требует учета их реактивности. На данном рисунке представлены основные реактивные параметры головки вблизи резонансной частоты и простейшая компенсирующая цепь.

Фильтр – линейная электрическая цепь, обладающая свойством избирательного пропускания сигналов разных частот. Линейная – в том смысле, что подача на нее синусоидального сигнала не приводит к искажению его формы. Понятно, что фильтры нижних частот (ФНЧ) лучше пропускают нижние частоты, фильтры верхних частот (ФВЧ) – верхние. Полосовые фильтры пропускают сигналы, лежащие выше определенной нижней, но ниже определенной верхней частоты. Это – основы. Фильтр характеризуется АЧХ и ФЧХ. Для простейших фильтров они связаны преобразованием Гильберта, проще говоря, зная АЧХ, можно рассчитать и ФЧХ, и наоборот.
Процессы в фильтрах легко описываются линейными дифференциальными уравнениями или их системами, причем по науке именно порядок системы уравнений и принимается за порядок фильтра. А на практике, когда не до уравнений (тем более дифференциальных), порядок, как правило, равен числу индуктивностей и емкостей, из которых сделан фильтр, вместе взятых.
Вне полосы пропускания фильтр вносит затухание, причем далеко от частоты среза это затухание определяется простой зависимостью и равняется 6N децибел на октаву, где N – порядок фильтра. Поясню на примере. Рассмотрим ФНЧ пятого порядка с частотой среза 1 кГц. Для двух частот F1 и F2, если они достаточно далеко отстоят от частоты среза и, скажем, отличаются в 2 раза (на одну октаву), то затухания, вносимые фильтром на этих частотах, будут отличаться в 6 х 5 х 1 = 30 дБ. Вот и весь расчет.
Недалеко от частоты среза характер поведения АЧХ зависит не только от порядка, но и от типа фильтра. Тип фильтра – более сложное понятие, чем порядок. Как фильтр, так и соответствующее дифференциальное уравнение, характеризуется полиномом, так и называемым – характеристическим. Его коэффициенты зависят от номиналов электрических компонентов фильтра. Полиномы бывают разные – Бесселя, Баттерворта, Чебышева, Золотарева – Кауэра и др., по имени исследовавших их еще задолго до появления фильтров, и уж тем более автомобильного аудио, математиков.
Фильтры Бесселя отличаются минимальной крутизной вблизи среза. То есть, формально, отфильтровывают «лишние» частоты довольно лениво. Зато ФЧХ таких фильтров наиболее гладка, и характеристика группового времени запаздывания (ГВЗ) от частоты имеет минимальный перепад, что свидетельствует о возможности минимального искажения формы несинусоидальных процессов.
Фильтр Баттерворта предпочтительнее, но и ФЧХ с ГВЗ имеет похуже. И так далее: чем лучше фильтруем, тем хуже звучим. Одна беда – фильтровать все же приходится!
Теперь о фильтрах в акустике. Главное их отличие от просто фильтров заключается в том, что стоит задача не частотной фильтрации, а частотного разделения. Иными словами, уха слушателя должны достичь составляющие всех частот, но, скажем, составляющие с частотами ниже Fразд. должны воспроизводиться НЧ-головкой, выше – ВЧ-головкой (двухполосная система). АЧХ такой системы в идеале должна быть плоской, в том числе и в зоне частотного разделения. В связи с этим такие разделительные фильтры получили название всепропускающих.
Оказывается, что сделать всепропускающий фильтр из ФНЧ и ФВЧ даже с учетом их полной развязки (суммирование ведь акустическое, а не электрическое) непросто. Так, если применять фильтры Баттерворта четных порядков, то АЧХ получит выброс в 3 дБ на частоте раздела, очень даже заметный на слух. Суть этого явления может быть отслежена на одном из графиков, приведенных в статье. Поэтому применяют либо фильтры Линквица – Райли (похожие на баттервортовские, но с несколько другими номиналами), либо вообще отказываются от фильтров четных порядков и применяют фильтры 3-го порядка.
Еще один путь, ведущий к получению плоской АЧХ, заключается в разнесении частот среза ФВЧ и ФНЧ. Например, частота среза ФНЧ выбирается 900 Гц, а ФВЧ – 1111 Гц. Однако заметим: плоская АЧХ – средство, а не самоцель.
Идеальной ФЧХ любого фильтра, в том числе и разделительного, можно было бы считать нулевую (отсутствие временной задержки) либо линейно нарастающую (постоянная задержка на всех частотах). Среди тех фильтров, которые могут применяться в качестве разделительных, только фильтр 1-го порядка имеет идеальную ФЧХ. Как итог – форма сигнала, прошедшего АС с разделительными фильтрами 1-го порядка, имеет больше шансов остаться неискаженной, чем, скажем, с фильтрами 3-го порядка. Однако понятно, что решение главной задачи – фильтрации и частотного разделения – с фильтрами столь малого порядка затруднительно.

ГВЗ – тоже частотная характеристика, представляющая производную ФЧХ по частоте как функцию опять же частоты. Резкие колебания ГВЗ свидетельствуют о возможности разных задержек составляющих реального сигнала, имеющих разные частоты: сигнал исказит свою форму, как говорят акустики, «рассыплется». Барабан будет уже не барабан, пиццикато – не пиццикато.

Порядок и тип фильтров и что от них зависит

Чем больше порядок фильтра, тем лучше он фильтрует. Как говорили в популярном советском кинофильме, чем мех лучше, тем он дороже. Фильтр не мех, и порядок выбирается исходя из очень многих предпосылок. Не будем углубляться в теорию, приведем несколько примеров.

Пример 1. Организация раздела «сабвуфер – мидбас». Пусть применена частота раздела, скажем, 100 Гц. Если использован низкий порядок фильтра, то:

– на сабвуферную головку проникают частоты, лежащие существенно выше 100 Гц. Сабвуфер, понятное дело, находится сзади, поэтому он начинает «петь человеческим голосом» и вызывает изъяны в формируемой стереопанораме;
– на мидбасовую головку проникают басы. Это может ее перегрузить в лучшем случае до повышенных искажений, в худшем – до откровенного треска от соударения подвижной системы и магнитопровода. Как правило, мидбас требует при таком раскладе применения фильтров не ниже 2-го порядка, при этом ниже частоты раздела независимо от расположения резонансной частоты СЧ-головки, величина смещения ее диффузора начнет падать;
– ФЧХ и ГВЗ оказываются хорошими, форма сигнала искажается мало.

Если использован высокий порядок фильтра, то:

– рассмотренных только что проблем не возникает;
– однако ФЧХ и ГВЗ оставляют желать лучшего: форма импульсных сигналов страдает. Впрочем, считается, что порядки, вплоть до четвертого включительно, при правильном подходе к расчетам оказываются приемлемыми.
Если применяется повышенная частота раздела НЧ/СЧ, положим, 400 или 800 Гц, то проблема возможной перегрузки СЧ-головки могучим басом отступает на второй план при любых порядках фильтров: все мидбасы доставляются по адресу. Вместе с тем, использование фильтров высоких порядков для организации частотного разделения посередине диапазона основных музыкальных тонов может привести к нарушениям, в первую очередь стереолокализационным, и существенно ухудшить звучание скрипки, вокала, фортепиано.

Пример 2. Организация раздела СЧ/ВЧ. Случай первый: ВЧ-головке отведен участок тонально значимого диапазона – частота раздела выбрана в районе 1800 – 2200 Гц. Здесь применение фильтров низких порядков не препятствует загрузке ВЧ-головки мощными среднечастотными составляющими и, что наиболее опасно, область резонанса ВЧ-головки (1200-1400 Гц) оказывается в недостаточной мере отгорожена фильтром. Это может привести как к исправимым (горб на АЧХ), так и более тяжелым (перегрев катушки ВЧ-головки) последствиям. Вместе с тем, применение в нашем случае фильтров высокого (3-го и выше) порядка означает создание цепи с существенными фазовыми сдвигами в той области, где ухо к ним еще достаточно чувствительно.
Если частота раздела СЧ/ВЧ выбрана более высокой (4 кГц и выше), проблем практически не возникает, однако такой вариант характерен для трехполосных систем, в которых цветут и пахнут проблемы разделения НЧ/СЧ, обсужденные нами чуть ранее.
В современной аудиотехнике используются фильтры с гладкими АЧХ и малыми колебаниями ФЧХ: Бесселя, Баттерворта, Линквица – Райли. (Не все именитые фильтры обладают этими свойствами. Взгляните, например, на характеристику фильтра Чебышева. Он тоже применяется на практике, только не для акустики. А для нас это – гибель, однозначно.) Таблица дает пример краткого сравнительного анализа случаев использования этих фильтров.

Если схема фильтра нарисована, его реализация не вызывает особых проблем – была бы медь, конденсаторы, место и деньги. Однако в ряде случаев все же возникают ситуации, требующие разумного вмешательства разработчика. Сейчас мы их и рассмотрим.

Первое: фильтрация на достаточно низких частотах. Нетрудно показать, что попытка организации раздела в зоне около 100 Гц (не говоря уже о более низких значениях, а там-то как раз и самое место) может потребовать катушек индуктивности в 10 – 20 мГн и конденсаторов в десятки и сотни мкФ. Более того, не исключено, что при попытке компенсировать реактивность звуковой катушки НЧ-головки (есть такой этап в методике расчета реальных фильтров) потребуются еще большие, и существенно, номиналы.
В таком случае разработчики вспоминают о катушках с сердечником из магнитного материала и неполярных электролитических конденсаторах, а потребитель – о том, что вышеперечисленные компоненты заметно портят звук.
Действительно, применение электролитов способно вызвать проблемы как при малых сигналах (нелинейность неполярного конденсатора без смещения), так и при больших (потери). Аналогично обстоят дела с сердечником: на малых и на больших сигналах индуктивность катушки с сердечником существенно разнится. В результате звук приобретает размытый, ватный характер, страдает стереолокализация, ощущаются огрехи в макродинамике. В автомобильной аудиотехнике проблему первого частотного раздела решили уже относительно давно – активной фильтрацией на входе усилителя с отдельными каналами для сабвуфера и всего остального. А вот в заносчивом мире домашнего аудио даже высококлассные АС с разделом НЧ/СЧ в районе 100 Гц несвободны от рассмотренных недостатков.

Второе: фильтрация в тонально значимой зоне 250 – 2500 Гц. Любые упражнения с электрическим сигналом, выполняемые с частотно-зависимыми цепями в этой области, должны проводиться с особой аккуратностью. Ухо оказывается чувствительнее измерительных приборов и ревниво относится к каждой ошибке разработчика.
Здесь уже не только наличие сердечника или электролита нежелательно: ухо реагирует даже на характер намотки катушки и на тип диэлектрика в конденсаторе. Проблема усугубляется тем, что разделительный фильтр АС является мощным устройством в том смысле, что через него транслируется вся энергия, предназначенная для питания АС.
Тем не менее, как мне кажется, появление великолепно оформленных, чрезвычайно дорогих разрекламированных пассивных разделительных фильтров для автомобильного аудио вызвано не стремлением к техническому совершенству и хорошему звуку, а попыткой застолбить место в коммерческой нише. Когда не существовало car audio в современном понимании, не было и возможности красиво оформить и продать просто фильтр. Фильтры даже дорогих домашних АС иногда выглядели так, что потребителя спасал от разочарования лишь толстый-толстый слой шоколада, простите, МДФП, скрывающий внутреннюю убогость конструкции. Лозунг «Все на виду», характерный для современной автоаудиотехники, с ее прозрачными крышками фильтров, усилителей и пр., – дань моде и коммерческое ухищрение.

Третье: поливариантность фильтрации в автоаудиотехнике – одна из отличительных черт современных тенденций. Как и в области домашних компьютеров – возможность поиграть, варьируя N процессоров, M материнских плат, L винчестеров и т.д., доставляет невыразимое удовольствие, сравнимое лишь с апельсином (приблизительно), так и в звуке. Истинный автоаудиофил не успокоится, пока вконец не запутается в неисчислимом множестве возможных реализаций полосной фильтрации с применением как активных фильтров (принадлежащих усилителю и прочих), так и пассивных. Что и требуется производителю, а уж тем более продавцу. Нам же остается лишь добавить, что оптимум существует и к нему надо стремиться, естественно, не путем простого бездумного перебора возможных вариантов.

Фильтры и характеристика направленности АС

Мы уже касались направленности, когда сравнивали размеры излучателя с длиной волны. Если система становится многополосной, то неизбежным оказывается пространственное разнесение излучателей различных полос. Следовательно, на частоте раздела мы имеем возможность получить два излучателя, разнесенных в пространстве и работающих на одной и той же частоте. Такая система излучателей будет обладать характеристикой направленности, отличной от круговой, если расстояние между акустическими центрами полосных излучателей окажется сравнимым с длиной волны на частоте раздела. В этом случае на частоте раздела и в прилегающей к ней полосе, тем большей, чем меньший порядок имеют фильтры, сформируется характеристика направленности, не являющаяся круговой, а, скажем, трехлепестковой. Кстати, один из доводов в пользу применения не низких порядков разделительных фильтров. С ними ширина таких «проблемных» частотных полос меньше. Максимум лепестка формируется вдоль линии равных фаз – то есть там, где сигналы каждого из полосных излучателей складываются в фазе. В отсутствие фильтрации главный лепесток будет перпендикулярен линии, соединяющей акустические центры излучателей.

Теперь представим, что один (например, СЧ-излучатель), питается через ФНЧ, а второй (ВЧ) – через ФВЧ. В этом случае фазы сигналов, излучаемых головками на частоте раздела, не совпадают и, как следствие, линия равных фаз отклоняется от горизонтали. Несложный анализ показывает, что применение фильтров четных порядков не приводит к отклонению, а фильтры нечетных отклоняют все три лепестка (три лепестка получаются в первом критическом случае, когда расстояние между акустическими центрами достигает всего лишь длины волны. При больших расстояниях число лепестков может стать практически любым).
Направление отклонения зависит от порядка фильтра (первый, пятый, девятый и т.д. или третий, седьмой и т.п.) и еще от полярности включения ВЧ-головки. Вопросы переполюсовки и прочие тонкости мы рассмотрим в приложении к статье в других номерах «АЗ», если к тому нас склонит читательская почта.
Известно два случая активного использования такого явления. Первый прост: к нему прибегает фирма Castle в моделях Inversion. В АС этого типа ВЧ-головка располагается под СЧ головкой, что в условиях определенной полярности и при применении фильтров 3-го порядка направляет главный лепесток под углом 30 градусов вниз. Именно там разработчики Castle и надеются отловить уши слушателя, и не напрасно.
Более знаменитый пример дает нам система d’Appolito, где в вертикальной плоскости головки чередуются в определенном порядке: СЧ – ВЧ – СЧ. Каждая из комбинаций СЧ/ВЧ при применении фильтра 3-го порядка обладает трехлепестковой диаграммой, направленной главным лепестком или вверх, или вниз. Понятно, что суммарная диаграмма будет заведомо симметричной в связи с симметрией конфигурации. Более того, нетрудно показать, что она окажется почти круговой. Система d’Appolito – почти столь же эффективный инструмент создания круговых диаграмм на частоте раздела, как и коаксиальная конструкция излучателей, где вообще нет разнесения их акустических центров.
Нам же важно запомнить главное: работа полосных излучателей, разнесенных в пространстве, на частоте раздела приводит к многолепестковости характеристики направленности. Это явление вредное, и с ним надо бороться. Фильтры активно вмешиваются в механизм создания лепестков направленности, и этим разработчики могут воспользоваться в своих целях.
Применительно к автомобильной тематике надо иметь в виду следующее: в машине не поставишь домашнюю акустическую систему. Хочешь не хочешь, а приходится размещать головки громкоговорителей в пределах возможного. Понятно, что характеристика направленности в таком случае, особенно с учетом переотражений от стекол, будет непредсказуемой. Тем не менее, можно дать несколько рекомендаций, выполнение которых поможет получить в автомобиле звук, напоминающий домашнее аудио. Я знаю, что к этому стремятся многие. Итак:

Первое. Не надо добиваться использования всех возможностей, предоставляемых кузовом для установки головок. В большинстве случаев злоупотребление тыловыми каналами заметно ухудшает натуральность звука, предназначенного для слушателей на передних сиденьях.

Второе. Сабвуфер в автомобиле требует активной фильтрации на возможно более низкой частоте фильтром возможно более высокого порядка. Головка сабвуфера установлена в автомобиле жестко на конкретном и всегда акустически неудачном месте и ни при каких условиях не должна быть локализована. Попадание на нее составляющих с частотами выше 100 – 200 Гц должно быть значительно ослаблено, а выше 200 Гц – практически исключено. Границу – на замок. Поэтому, если в других областях частотного диапазона фильтры повышенной крутизны это еще бабушка надвое сказала, то здесь, на первом рубеже частотной обороны, 3-й порядок лучше, чем 2-й, а 4-й – лучше, чем 3-й. Всегда.

Третье и достаточно тяжелое для выполнения. Размещение головок в передних дверях – решение общепринятое в автоаудиопрактике. Однако, если отдать таким излучателям диапазон, значимый с точки зрения стереолокализационных характеристик, получение реальной стереопанорамы окажется затруднительным: попробуйте дома разместить небольшие АС слева и справа от себя и к тому же «в ногах»! Разумеется, примеры удачных реализаций при таком расположении акустики есть, но примеры по большей части далеко не безупречные, да и способ, которым их создатели пришли к успеху, как правило, трудновоспроизводим. Потому что остается во многом загадочным результатом многочисленных переотражений звука внутри салона. С точки зрения максимально гарантированного результата оптимальным было бы ограничить полосу дверных динамиков верхней граничной частотой 200 – 250 Гц, чтобы их значение в формировании стереопанорамы было уменьшено до предела. В этом случае к СЧ/ВЧ-излучателям, располагающимся в торпеде или стойках, будет предъявлено требование воспроизводить диапазон от 200 – 250 Гц до самых верхов. Что ж, с этой задачей можно и справиться, найдя для таких АС хотя бы литр объема или подобрав хорошие головки free air. Понятно, что выполнение рассмотренных процедур потребует активной работы инженера с фильтрами, которым и посвящена настоящая статья.

В следующей части статьи о фильтрах:

– примеры расчета;
– активная фильтрация: «за» и «против»;
– сколько полос надо иметь в домашнем и автомобильном аудио;
– возможен ли возврат к однополосным системам.

Краткая сравнительная характеристика разделительных фильтров акустических систем

фильтров второго порядка | Фильтр нижних частот второго порядка

Фильтры второго порядка , которые также называют фильтрами VCVS, поскольку операционный усилитель используется в качестве усилителя источника напряжения с регулируемым напряжением, являются еще одним важным типом конструкции активных фильтров, потому что наряду с активными RC-фильтрами первого порядка мы рассмотрели ранее с их помощью можно было проектировать схемы фильтров более высокого порядка.

В этом разделе руководств по аналоговым фильтрам мы рассмотрели конструкции как пассивных, так и активных фильтров и увидели, что фильтры первого порядка можно легко преобразовать в фильтры второго порядка, просто используя дополнительную RC-сеть на входе или пути обратной связи.Тогда мы можем определить фильтры второго порядка просто как «два фильтра 1-го порядка, соединенные каскадом вместе с усилением».

Большинство конструкций фильтров второго порядка обычно названы в честь их изобретателя, причем наиболее распространенными типами фильтров являются: Баттерворта , Чебышева , Бесселя и Саллен-Ки . Все эти типы конструкций фильтров доступны в двух конфигурациях: фильтр нижних частот, фильтр верхних частот, полосовой фильтр и полосовой ограничительный (режекторный) фильтр, и, будучи фильтрами второго порядка, все имеют спад 40 дБ на декаду. .

Фильтр Саллена-Ки — одна из наиболее широко известных и популярных конструкций фильтров 2-го порядка, требующая только одного операционного усилителя для управления усилением и четырех пассивных RC-компонентов для выполнения настройки.

Большинство активных фильтров состоят только из операционных усилителей, резисторов и конденсаторов, причем точка отсечки достигается за счет использования обратной связи, что исключает необходимость использования катушек индуктивности в цепях пассивных фильтров 1-го порядка.

Активные фильтры второго порядка (двухполюсные), будь то фильтры нижних или верхних частот, важны в электронике, потому что мы можем использовать их для разработки фильтров гораздо более высокого порядка с очень крутым спадом и путем каскадного объединения фильтров первого и второго порядка, аналоговых фильтров. со значением порядка n ^th , четное или нечетное может быть построено до любого значения в разумных пределах.

Фильтр нижних частот второго порядка

Фильтры нижних частот второго порядка просты в разработке и широко используются во многих приложениях. Базовая конфигурация фильтра нижних частот второго порядка (двухполюсного) Саллена-Ки имеет вид:

Фильтр нижних частот второго порядка

Эта схема фильтра нижних частот второго порядка имеет две RC-цепи, R1 — C1 и R2 — C2, которые придают фильтру его частотные характеристики. Конструкция фильтра основана на конфигурации неинвертирующего операционного усилителя, поэтому коэффициент усиления A всегда будет больше 1.Кроме того, операционный усилитель имеет высокое входное сопротивление, что означает, что его можно легко каскадировать с другими схемами активных фильтров, чтобы получить более сложные конструкции фильтров.

Нормализованная частотная характеристика фильтра нижних частот второго порядка фиксируется RC-цепью и в целом идентична характеристикам фильтра первого порядка. Основное различие между фильтром нижних частот 1-го и 2-го порядка заключается в том, что спад полосы заграждения будет в два раза больше, чем у фильтров 1-го порядка при 40 дБ / декаду (12 дБ / октава), поскольку рабочая частота увеличивается выше частоты среза ƒc, точка. как показано.

Нормализованная АЧХ низких частот

График Боде частотной характеристики, приведенный выше, в основном такой же, как и для фильтра 1-го порядка. На этот раз разница заключается в крутизне спада, которая составляет -40 дБ / декаду в полосе заграждения. Однако фильтры второго порядка могут показывать различные характеристики в зависимости от коэффициента увеличения напряжения схемы Q в точке частоты среза.

В активных фильтрах второго порядка обычно используется коэффициент демпфирования ζ (дзета), который является обратной величиной Q.И Q, и ζ независимо определяются коэффициентом усиления усилителя A, поэтому с уменьшением Q коэффициент демпфирования увеличивается. Проще говоря, фильтр нижних частот всегда будет по своей природе низкочастотным, но может демонстрировать резонансный пик вблизи частоты среза, то есть коэффициент усиления может быстро увеличиваться из-за резонансных эффектов усиления усилителя.

Тогда добротность Q представляет «остроту» этого резонансного пика, то есть его высоту и узость вокруг точки частоты среза, ƒ _C .Но коэффициент усиления фильтра также определяет количество его обратной связи и, следовательно, оказывает значительное влияние на частотную характеристику фильтра.

Обычно для поддержания стабильности коэффициент усиления активных фильтров не должен быть больше 3 и лучше всего выражается как:

Фактор качества, «Q»

Тогда мы можем видеть, что коэффициент усиления A фильтров для неинвертирующей конфигурации усилителя должен находиться где-то между 1 и 3 (коэффициент демпфирования ζ между нулем и 2).Следовательно, более высокие значения Q или более низкие значения ζ дают больший пик отклика и более высокую скорость начального спада, как показано.

Амплитудный отклик фильтра второго порядка

Амплитудная характеристика фильтра нижних частот второго порядка изменяется для разных значений коэффициента демпфирования ζ. Когда ζ = 1,0 или больше (2 — максимум), фильтр становится так называемым «сверхдемпфированным», при этом частотная характеристика показывает длинную плоскую кривую. Когда ζ = 0, выходной сигнал фильтра резко достигает пика в точке отсечки, напоминающей резкую точку, в которой фильтр считается «недостаточно демпфированным».

Тогда где-то между ζ = 0 и ζ = 2,0 должна быть точка, в которой частотная характеристика имеет правильное значение, и она есть. Это когда фильтр «критически демпфирован» и происходит при ζ = 0,7071.

И последнее замечание: когда количество обратной связи достигает 4 или более, фильтр начинает колебаться сам по себе в точке частоты среза из-за эффектов резонанса, превращая фильтр в осциллятор. Этот эффект называется автоколебанием. Тогда для фильтра нижних частот второго порядка решающую роль играют Q и ζ.

Из приведенных выше кривых нормализованной частотной характеристики для фильтра 1-го порядка (красная линия) видно, что усиление полосы пропускания остается постоянным и ровным (называемым максимально плоским) до тех пор, пока частотная характеристика не достигнет точки частоты среза, когда: ƒ = ƒr и коэффициент усиления фильтра уменьшается ниже его угловой частоты на 1 / √2, или 0,7071 от его максимального значения. Эту точку обычно называют точкой -3 дБ, и для фильтра нижних частот первого порядка коэффициент демпфирования будет равен единице (ζ = 1).

Однако эта точка отсечки -3 дБ будет находиться в другом положении частоты для фильтров второго порядка из-за более крутого спада -40 дБ / декаду (синяя линия). Другими словами, частота среза r меняет положение по мере увеличения порядка фильтра. Затем, чтобы вернуть точку -3 дБ фильтров второго порядка в то же положение, что и фильтры 1-го порядка, нам нужно добавить небольшое усиление к фильтру.

Таким образом, для конструкции фильтра нижних частот Баттерворта второго порядка величина усиления будет: 1.586 , для конструкции фильтра Бесселя второго порядка: 1,268 , и для конструкции фильтра нижних частот Чебышева: 1,234 .

Пример фильтра второго порядка №1

A Фильтр нижних частот второго порядка должен быть спроектирован на основе неинвертирующего операционного усилителя с равными номиналами резистора и конденсатора в его схеме определения частоты среза. Если характеристики фильтров заданы как: Q = 5 и ƒc = 159 Гц , спроектируйте подходящий фильтр нижних частот и нарисуйте его частотную характеристику.

Приведенные характеристики: R1 = R2, C1 = C2, Q = 5 и ƒc = 159 Гц

Из схемы выше мы знаем, что для равных сопротивлений и емкостей точка отсечки частоты ƒc задается как:

При выборе подходящего значения, скажем, 10 кОм для резисторов, результирующее значение конденсатора рассчитывается как:

Тогда для частоты среза угла 159 Гц , R = 10 кОм и C = 0,1 мкФ.

со значением Q = 5 , коэффициент усиления фильтра A рассчитывается как:

Мы знаем из вышеизложенного, что коэффициент усиления неинвертирующего операционного усилителя определяется как:

Таким образом, конечная схема фильтра нижних частот второго порядка имеет следующий вид:

Цепь фильтра нижних частот второго порядка

Мы можем видеть, что пик кривой частотной характеристики довольно резкий на частоте среза из-за высокого значения добротности Q = 5.На этом этапе коэффициент усиления фильтра определяется как: Q × A = 14, или около + 23 дБ , большая разница от расчетного значения 2,8 (+ 8,9 дБ).

Но во многих книгах, например в правой, говорится, что коэффициент усиления фильтра в точке нормализованной частоты среза и т. Д. И т. Д. Должен быть на отметке -3 дБ. При значительном снижении значения Q до значения 0,7071 достигается усиление A = 1,586 и максимально ровная частотная характеристика в полосе пропускания с затуханием -3 дБ в точке отсечки. что касается отклика фильтра Баттуорта второго порядка.

До сих пор мы видели, что фильтров второго порядка может иметь точку отсечки частоты среза, установленную на любое желаемое значение, но может отличаться от этого желаемого значения с помощью коэффициента демпфирования ζ. Конструкции активных фильтров позволяют изменять порядок фильтра до любого значения в разумных пределах за счет каскадного объединения разделов фильтра.

На практике при разработке фильтров нижних частот порядка ^и желательно установить частоту среза для участка первого порядка (если порядок фильтра нечетный), а также установить коэффициент демпфирования и соответствующее усиление для каждый из разделов второго порядка, чтобы получить правильный общий ответ.Чтобы упростить разработку фильтров нижних частот, значения ζ, Q и A доступны в табличной форме для активных фильтров, как мы увидим в руководстве по фильтрам Баттерворта. Давайте посмотрим на другой пример.

Пример фильтра второго порядка No2

Разработайте неинвертирующий фильтр нижних частот второго порядка, который будет иметь следующие характеристики фильтра: Q = 1 и ƒc = 79,5 Гц.

Сверху угловая частота ƒc фильтра задается как:

Выбирая подходящее значение 1 кОм для резисторов фильтров, итоговые значения конденсаторов рассчитываются как:

Следовательно, для частоты излома 79.5 Гц или 500 рад / с, R = 1 кОм и C = 2,0 мкФ.

При заданном значении Q = 1 коэффициент усиления фильтра A рассчитывается следующим образом:

Коэффициент усиления по напряжению для схемы неинвертирующего операционного усилителя был задан ранее как:

Таким образом, схема фильтра нижних частот второго порядка, имеющая добротность 1 и граничную частоту 79,5 Гц, задается как:

Цепь фильтра нижних частот

Фильтр высоких частот второго порядка

Существует очень небольшая разница между конфигурацией фильтра нижних частот второго порядка и конфигурацией фильтра верхних частот второго порядка, единственное, что изменилось, — это положение резисторов и конденсаторов, как показано.

Фильтр высоких частот второго порядка

Поскольку фильтры верхних и нижних частот второго порядка — это одни и те же схемы, за исключением того, что положения резисторов и конденсаторов поменяны местами, конструкция и процедуры масштабирования частоты для фильтра верхних частот точно такие же, как и для предыдущего фильтра нижних частот. Тогда график Боде для фильтра верхних частот 2-го порядка, следовательно, дается как:

Нормализованная АЧХ высоких частот

Как и в случае с предыдущим фильтром нижних частот, крутизна спада в полосе заграждения составляет -40 дБ / декаду.

В двух вышеупомянутых схемах значение коэффициента усиления по напряжению операционного усилителя (Av) устанавливается цепью обратной связи усилителя. Это устанавливает усиление только для частот, находящихся в полосе пропускания фильтра. Мы можем выбрать усиление выходного сигнала и установить это значение усиления на любую величину, подходящую для нашей цели, и определить это усиление как константу, K.

Фильтры Саллена-Ки 2-го порядка также называются фильтрами с положительной обратной связью, поскольку выходной сигнал возвращается на положительный вывод операционного усилителя.Этот тип конструкции активного фильтра популярен, потому что для него требуется только один операционный усилитель, что делает его относительно недорогим.

Дизайн фильтра Баттерворта с фильтром нижних частот Баттерворта

В приложениях, которые используют фильтры для формирования частотного спектра сигнала, например, в системах связи или управления, форма или ширина спада, также называемая «переходной полосой», для простого фильтра первого порядка может быть слишком длинной. или требуются широкие и поэтому активные фильтры, разработанные с более чем одним «порядком».Эти типы фильтров обычно известны как фильтры «высокого порядка» или «n ^th -order».

Сложность или тип фильтра определяется «порядком» фильтров и зависит от количества реактивных компонентов, таких как конденсаторы или катушки индуктивности, в его конструкции. Мы также знаем, что скорость спада и, следовательно, ширина полосы перехода зависит от порядкового номера фильтра и что для простого фильтра первого порядка стандартная скорость спада составляет 20 дБ / декаду или 6 дБ. / октава.

Тогда для фильтра, который имеет порядковый номер ^-го , он будет иметь последующую скорость спада 20n дБ / декаду или 6n дБ / октаву. Таким образом, фильтр первого порядка имеет скорость спада 20 дБ / декаду (6 дБ / октаву), фильтр второго порядка имеет скорость спада 40 дБ / декаду (12 дБ / октаву), а фильтр четвертого порядка имеет скорость спада 80 дБ / декада (24 дБ / октава) и т. д. и т. д.

Фильтры высокого порядка, например третьего, четвертого и пятого порядка, обычно формируются путем каскадного объединения одиночных фильтров первого и второго порядка.

Например, два фильтра нижних частот второго порядка могут быть объединены каскадом для создания фильтра нижних частот четвертого порядка и так далее. Хотя порядок формирования фильтра не ограничен, по мере того, как порядок увеличивается, увеличиваются его размер и стоимость, а также снижается его точность.

Десятилетия и октавы

Один заключительный комментарий о декадах и октавах . На шкале частот Decade — это десятикратное увеличение (умножение на 10) или десятикратное уменьшение (деление на 10).Например, от 2 до 20 Гц представляет одну декаду, а от 50 до 5000 Гц — две декады (от 50 до 500 Гц, а затем от 500 до 5000 Гц).

Октава — это удвоение (умножение на 2) или уменьшение пополам (деление на 2) шкалы частот. Например, от 10 до 20 Гц представляет одну октаву, а от 2 до 16 Гц — это три октавы (от 2 до 4, от 4 до 8 и, наконец, от 8 до 16 Гц), каждый раз удваивая частоту. В любом случае, логарифмическая шкала широко используется в частотной области для обозначения значения частоты при работе с усилителями и фильтрами, поэтому важно их понимать.

Логарифмическая шкала частот

Поскольку все резисторы, определяющие частоту, равны, как и конденсаторы, определяющие частоту, частота среза или граничная частота ( _C ) для первого, второго, третьего или даже фильтра четвертого порядка также должны быть одинаковыми. и находится с помощью нашего уже старого знакомого уравнения:

Как и фильтры первого и второго порядка, фильтры верхних частот третьего и четвертого порядков формируются путем простого обмена местами компонентов, определяющих частоту (резисторов и конденсаторов) в эквивалентном фильтре нижних частот.Фильтры высокого порядка можно разработать, следуя процедурам, которые мы видели ранее в руководствах по фильтрам низких частот и фильтрам высоких частот. Однако общий коэффициент усиления фильтров высокого порядка равен фиксированному , потому что все компоненты, определяющие частоту, равны.

Приближение фильтра

До сих пор мы рассматривали схемы фильтра нижних и верхних частот первого порядка, их результирующие частотные и фазовые характеристики. Идеальный фильтр дал бы нам характеристики максимального усиления и равномерности полосы пропускания, минимального затухания в полосе задерживания, а также очень крутой полосы пропускания для спада полосы задерживания (переходная полоса), и поэтому очевидно, что большое количество сетевых откликов будет удовлетворить эти требования.

Неудивительно, что в конструкции линейных аналоговых фильтров существует ряд «аппроксимирующих функций», которые используют математический подход для наилучшего приближения передаточной функции, необходимой нам для конструкции фильтров.

Такие конструкции известны как Elliptical , Butterworth , Chebyshev , Bessel , Cauer , а также многие другие. Из этих пяти «классических» функций аппроксимации линейного аналогового фильтра только фильтр Баттерворта и особенно фильтр нижних частот Баттерворта будет рассматриваться здесь как его наиболее часто используемая функция.

Конструкция фильтра Баттерворта низких частот

Амплитудно-частотная характеристика аппроксимирующей функции фильтра Баттерворта также часто упоминается как «максимально ровная» (без пульсаций) характеристика, поскольку полоса пропускания предназначена для получения максимально плоской частотной характеристики от 0 Гц (постоянный ток). пока частота среза на -3 дБ без пульсаций. Более высокие частоты за пределами точки отсечки спадают до нуля в полосе заграждения при 20 дБ / декада или 6 дБ / октава.Это потому, что у него «коэффициент качества» «Q» всего 0,707.

Однако одним из основных недостатков фильтра Баттерворта является то, что он обеспечивает равномерность полосы пропускания за счет широкой переходной полосы, когда фильтр переключается с полосы пропускания на полосу заграждения. Также он имеет плохие фазовые характеристики. Идеальная частотная характеристика, называемая фильтром «кирпичной стены», и стандартные аппроксимации Баттерворта для различных порядков фильтров приведены ниже.

Идеальная частотная характеристика для фильтра Баттерворта

Обратите внимание, что чем выше порядок фильтра Баттерворта, тем больше количество каскадных каскадов в конструкции фильтра и тем ближе фильтр к идеальному отклику «кирпичной стены».

Однако на практике идеальная частотная характеристика Баттерворта недостижима, так как она создает чрезмерную пульсацию в полосе пропускания.

Если обобщенное уравнение представляет фильтр Баттерворта «n-го» порядка, частотная характеристика задается как:

Где: n представляет порядок фильтрации, Omega ω равно 2πƒ, а Epsilon ε — максимальное усиление полосы пропускания (A _max ). Если A _max определен на частоте, равной угловой точке отсечки -3 дБ (ƒc), тогда ε будет равно единице, и, следовательно, ε ² также будет равно единице.Однако, если вы теперь хотите определить A _max при другом значении усиления напряжения, например 1 дБ или 1,1220 (1 дБ = 20 * logA _max ), то новое значение epsilon, ε находится по:

Преобразуйте уравнение, чтобы получить:

Частотная характеристика фильтра может быть определена математически с помощью его передаточной функции со стандартной передаточной функцией напряжения H (jω), записанной как:

Примечание. (Jω) также можно записать как (s) для обозначения S-домена . , а результирующая передаточная функция для фильтра нижних частот второго порядка задается как:

Нормализованные полиномы фильтра Баттерворта нижних частот

Чтобы помочь в разработке своих фильтров нижних частот, Баттерворт создал стандартные таблицы нормализованных полиномов нижних частот второго порядка с учетом значений коэффициента, которые соответствуют угловой частоте среза, равной 1 радиан / сек.

Конструкция фильтра — фильтр нижних частот Баттерворта

Найдите порядок активного фильтра нижних частот Баттерворта, технические характеристики которого следующие: A _max = 0,5 дБ при частоте полосы пропускания (ωp) 200 рад / с (31,8 Гц) и A _min = -20 дБ при частоте полосы заграждения (ωs) 800 рад / сек. Также разработайте подходящую схему фильтра Баттерворта, соответствующую этим требованиям.

Во-первых, максимальное усиление полосы пропускания A _max = 0,5 дБ, что равно усилению 1,0593 , помните, что: 0,5 дБ = 20 * log (A) на частоте (ωp) 200 рад / с, поэтому значение эпсилон ε находится по:

Во-вторых, минимальное усиление полосы задерживания A _мин = -20 дБ, что равно усилению 10 (-20 дБ = 20 * log (A)) при частоте полосы задерживания (ωs) 800 рад / с или 127,3 Гц.

Подстановка значений в общее уравнение для частотной характеристики фильтров Баттерворта дает нам следующее:

Поскольку n всегда должно быть целым числом (целым числом), то следующее по величине значение равно 2.42 равно n = 3, поэтому «требуется фильтр третьего порядка», и для создания фильтра Баттерворта третьего порядка требуется каскад фильтра второго порядка, соединенный каскадом вместе с каскадом фильтра первого порядка.

Из приведенной выше таблицы нормализованных полиномов Баттерворта нижних частот коэффициент для фильтра третьего порядка определяется как (1 + s) (1 + s + s ² ), и это дает нам коэффициент усиления 3-A = 1, или A = 2. Поскольку A = 1 + (Rf / R1), выбор значения для резистора обратной связи Rf и резистора R1 дает нам значения 1 кОм и 1 кОм соответственно как: (1 кОм / 1 кОм) + 1 = 2.

Мы знаем, что граничная частота, точка -3 дБ (ω _o ) может быть найдена по формуле 1 / CR, но нам нужно найти ω _o из частоты полосы пропускания ω _p , тогда ,

Итак, угловая частота среза равна 284 рад / с или 45,2 Гц (284 / 2π), и, используя знакомую формулу 1 / CR, мы можем найти значения резисторов и конденсаторов для нашей схемы третьего порядка.

Обратите внимание, что ближайшее предпочтительное значение к 0.352 мкФ будет 0,36 мкФ или 360 нФ.

Фильтр нижних частот Баттерворта третьего порядка

и, наконец, наша схема нижнего прохода третьего порядка Фильтр Баттерворта с частотой среза границы 284 рад / с или 45,2 Гц, максимальным усилением полосы пропускания 0,5 дБ и минимальным коэффициентом усиления полосы задерживания 20 дБ. следующее.

Итак, для нашего фильтра нижних частот Баттерворта 3-го порядка с угловой частотой 45,2 Гц, C = 360 нФ и R = 10 кОм

Конструкция и применение схемы фильтра Баттерворта нижних частот

Фильтр Баттерворта — это тип активного фильтра, в котором частотная характеристика в полосе пропускания относительно плоская.Из-за такой частотной характеристики фильтры Баттерворта также известны как максимально плоские фильтры или плоско-плоские фильтры.

Используя технику фильтра Баттерворта, вы можете проектировать все типы фильтров, например, фильтр высоких частот, фильтр низких частот, полосовой фильтр и т. Д. В этом руководстве мы сконцентрируемся на проектировании фильтра низких частот с использованием техники фильтра Баттерворта.

Для получения дополнительной информации о типичных фильтрах низких частот, активных или пассивных, прочтите эти руководства: « Пассивные фильтры низких частот » и « Активные фильтры низких частот ».

Введение

При проектировании схемы фильтра необходимо учитывать три основных момента:

• Отклик полосы пропускания должен быть максимальной равномерностью.
• Должен быть медленный переход от полосы пропускания к полосе заграждения.
• Способность фильтра пропускать сигналы без искажений в полосе пропускания.

Эти искажения обычно вызваны фазовыми сдвигами сигналов. В дополнение к этим трем параметрам времени нарастания и спада также играют важную роль.Принимая эти соображения для каждого рассмотрения, разработан один тип фильтра.

Для максимально ровного отклика разработан фильтр Баттерворта. Для медленного перехода от полосы пропускания к полосе заграждения разработан фильтр Чебышева, а для максимальной плоской временной задержки — фильтр Бесселя.

Фильтр Баттерворта

За счет крутизны перехода среды от полосы пропускания к полосе заграждения этот фильтр Баттерворта обеспечивает ровный отклик в выходном сигнале.Таким образом, его также называют максимально плоским фильтром амплитуды.

Скорость спада фильтра определяется количеством полюсов, взятых в цепи. Число полюсов будет зависеть от количества реактивных элементов в цепи, то есть от количества катушек индуктивности или конденсаторов, используемых в цепях.

Амплитудная характеристика фильтра Баттерворта n-го порядка имеет следующий вид:

В _выход / В _дюйм = 1 / √ {1 + (f / f _c ) ²ⁿ }

Где «n» — количество полюсов в цепи.По мере увеличения значения «n» также увеличивается равномерность характеристики фильтра.

«f» = рабочая частота цепи и «f _c » = центральная частота или частота среза схемы.

Эти фильтры имеют предопределенные требования и применяются в основном в активных RC-цепях на более высоких частотах. Несмотря на то, что он не обеспечивает резкую реакцию среза, его часто считают универсальным фильтром, который используется во многих приложениях.

Приближение Баттерворта

Поскольку мы знаем, что для того, чтобы соответствовать характеристикам фильтров и иметь приближения, близкие к идеальному, нам нужны фильтры более высокого порядка. Это увеличит сложность.

Нам также известны выходная частотная характеристика и фазовая характеристика схем нижних и верхних частот. Идеальные характеристики фильтра — это максимальная равномерность, максимальное усиление в полосе пропускания и максимальное затухание в полосе задерживания.

Для создания фильтра необходима соответствующая передаточная функция.Чтобы удовлетворить эти передаточные функции, математические выводы делаются в конструкции аналогового фильтра с множеством аппроксимирующих функций.

В таких конструкциях фильтр Баттерворта является одним из типов фильтров. Конструктивные особенности Баттерворта нижних частот в основном используются для многих функций. Позже мы обсудим нормализованные полиномы фильтра Баттерворта нижних частот.

Фильтр Баттерворта нижних частот первого порядка

На схеме ниже показан фильтр Баттерворта нижних частот.

Требуемый коэффициент усиления полосы пропускания фильтра Баттерворта будет в основном зависеть от номиналов резистора «R1» и «Rf», а частота среза фильтра будет зависеть от элементов R и C в приведенной выше схеме.

Коэффициент усиления фильтра определяется как A_max = 1 + R1 / Rf

Импеданс конденсатора «C» определяется как -jX _C , а напряжение на конденсаторе определяется как

В _c = — jX _C / (R — jX _C ) * Вин.

Где XC = 1 / (2πfc), емкостное реактивное сопротивление.

Передаточная функция фильтра в полярной форме задается как

H (jω) = | Vout / Vin | ∟ø

Где усиление фильтра V _out / V _in = A _max / √ {1 + (f / f _H ) ²}

И фазовый угол Ø = — загар ^-1 (f / f _H )

На более низких частотах означает, что когда рабочая частота ниже, чем частота среза, усиление полосы пропускания равно максимальному усилению.

V _out / V _in = A _max т. Е. Постоянный.

На более высоких частотах означает, что когда рабочая частота выше, чем частота среза, тогда усиление меньше максимального усиления.

В _выход / В _дюйм макс

Когда рабочая частота равна частоте среза, передаточная функция равна Amax / √2. Скорость уменьшения усиления составляет 20 дБ / декаду или 6 дБ / октаву и может быть представлена ​​в крутизне характеристики как -20 дБ / декада.

Фильтр Баттерворта нижних частот второго порядка

Дополнительная RC-цепь, подключенная к фильтру Баттерворта первого порядка, дает нам фильтр нижних частот второго порядка. Этот фильтр нижних частот второго порядка имеет преимущество в том, что усиление очень быстро спадает после частоты среза в полосе заграждения.

В этом фильтре второго порядка значение частоты среза зависит от номиналов резистора и конденсатора двух RC-звеньев. Частота среза рассчитывается по следующей формуле.

f _c = 1 / (2π√R ² C ² )

Коэффициент усиления снижается со скоростью 40 дБ / декада, и этот отклик показан в виде крутизны -40 дБ / декада. Передаточная функция фильтра может быть задана как

 >>> из сигнала импорта scipy
>>> import matplotlib.pyplot как plt
 

 >>> b, a = signal.butter (4, 100, 'low', аналоговый = True)
>>> w, h = signal.freqs (b, a)
>>> plt.semilogx (w, 20 * np.log10 (abs (h)))
>>> plt.title ('Частотная характеристика фильтра Баттерворта')
>>> plt.xlabel ('Частота [радиан / секунда]')
>>> plt.ylabel ('Амплитуда [дБ]')
>>> plt.margins (0, 0,1)
>>> plt.grid (which = 'both', axis = 'both')
>>> plt.axvline (100, color = 'green') # частота среза
>>> плт.Показать()
 

 >>> t = np.linspace (0, 1, 1000, False) # 1 секунда
>>> sig = np.sin (2 * np.pi * 10 * t) + np.sin (2 * np.pi * 20 * t)
>>> fig, (ax1, ax2) = plt.subplots (2, 1, sharex = True)
>>> ax1.plot (t, sig)
>>> ax1.set_title ('синусоиды 10 Гц и 20 Гц')
>>> ax1.axis ([0, 1, -2, 2])
 

 >>> sos = signal.