4.4.4. Эффективные напряжение и ток

Силу переменного тока (напряжения) можно охарактеризовать при помощи амплитуды. Однако амплитудное значение тока непросто измерить экспериментально. Силу переменного тока удобно связать с каким-либо действием, производимым током, не зависящим от его направления. Таковым является, например, тепловое действие тока. Поворот стрелки амперметра, измеряющего переменный ток, вызывается удлинением нити, которая нагревается при прохождении по ней тока.

Действующим илиэффективнымзначением переменного тока (напряжения) называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как и при переменном токе.

Свяжем эффективное значение тока с его амплитудным значением. Для этого рассчитаем количество теплоты, выделяемое на активном сопротивлении переменным током за время, равное периоду колебаний. Напомним, что по закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся на участке цепи cсопротивлениемпри

постоянномтокеза время, определяется по формуле. Переменный ток можно считать постоянным только в течение очень малых промежутков времени. Поделим период колебанийна очень большое число малых промежутков времени. Количество теплоты, выделяемое на сопротивленииза время:. Общее количество теплоты, выделяемое за период, найдется суммированием теплот, выделяемых за отдельные малые промежутки времени, или, другими словами, интегрированием:

.

Сила тока в цепи изменяется по синусоидальному закону

,

тогда

.

Опуская вычисления, связанные с интегрированием, запишем окончательный результат

.

Если бы по цепи шёл некоторый постоянный ток , то за время, равное, выделилось бы тепло. По определению постоянный ток, оказывающий такое же тепловое действие, что и переменный, будет равен эффективному значению переменного тока. Находим эффективное значение силы тока, приравнивая теплоты, выделяемые за период, в случаях постоянного и переменного токов

(4. 28)

Очевидно, точно такое же соотношение связывает эффективное и амплитудное значения напряжения в цепи с синусоидальным переменным током:

(4.29)

Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффективное напряжение. По формуле (4.29) легко посчитать, что амплитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

Пусть на некотором участке цепи с переменным током сдвиг фаз между током и напряжением равен , т.е. сила тока и напряжение изменяются по законам:

,.

Тогда мгновенное значение мощности, выделяемой на участке цепи,

.

Мощность изменяется со временем. Поэтому можно говорить лишь о ее среднем значении. Определим среднюю мощность, выделяемую в течение достаточно длительного промежутка времени (во много раз превосходящего период колебаний):

.

С использованием известной тригонометрической формулы

получим

.

Величину усреднять не нужно, так как она не зависит от времени, следовательно:

.

За длительное время значение косинуса много раз успевает измениться, принимая как отрицательные, так и положительные значения в пределах от (1) до 1. Понятно, что среднее во времени значение косинуса равно нулю

, поэтому(4.30)

Выражая амплитуды тока и напряжения через их эффективные значения по формулам (4.28) и (4.29), получим

. (4.31)

Мощность, выделяемая на участке цепи с переменным током, зависит от эффективных значений тока и напряжения и сдвига фаз между током и напряжением. Например, если участок цепи состоит из одного только активного сопротивления, тои. Если участок цепи содержит только индуктивность или только ёмкость, тои.

Объяснить среднее нулевое значение мощности, выделяемой на индуктивности и ёмкости можно следующим образом.

Индуктивность и ёмкость лишь заимствуют энергию у генератора, а затем возвращают её обратно. Конденсатор заряжается, а затем разряжается. Сила тока в катушке увеличивается, затем снова спадает до нуля и т. д. Именно по той причине, что на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях средняя расходуемая генератором энергия равна нулю, их назвали реактивными. На активном же сопротивлении средняя мощность отлична от нуля. Другими словами провод с сопротивлением при протекании по нему тока нагревается. И энергия, выделяемая в виде тепла, назад в генератор уже не возвращается.

Если участок цепи содержит несколько элементов, то сдвига фаз может быть иным. Например, в случае участка цепи, изображенного на рис. 4.5, сдвиг фаз между током и напряжением определяется по формуле (4.27).

Пример 4.7.К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением. Во сколько раз изменится средняя мощность, расходуемая генератором, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлениема) последовательно, б) параллельно (рис. 4.10)? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение.Когда к генератору подключено одно только активное сопротивление, расходуемая мощность

(см. формулу (4.30)).

Рассмотрим цепь на рис. 4.10, а. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора: . Из векторной диаграммы на рис. 4.11,а определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора

.

В результате средняя расходуемая генератором мощность

.

Ответ: при последовательном включении в цепь индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, уменьшится в 2 раза.

Рассмотрим цепь на рис. 4.10,б. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора . Из векторной диаграммы на рис. 4.11,б определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора

.

Тогда средняя мощность, расходуемая генератором

.

Ответ: при параллельном включении индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, не изменяется.

Среднеквадратичное значение переменного тока следующее. Каково среднеквадратичное значение переменного тока?

R.M.S. VALUE – Среднеквадратичное значение за период переменного тока, напряжения, тока, магнитного потока и т.д. Среднеквадратичное значение синусоидального тока и напряжения примерно в 2 раза меньше их амплитуды. Энциклопедический словарь

Содержание

Переменный ток среднеквадратичного значения

r.m.s. (эффективное) значение переменного тока это количество постоянного тока, действие которого за один промежуток времени произведет ту же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток. В современной литературе чаще используется математическое определение этой величины – среднеквадратичное значение переменного тока.

Другими словами, среднеквадратичное значение тока можно определить по формуле:

.

Для гармонических колебаний тока

Среднеквадратичные значения ЭДС и напряжения определяются аналогичным образом.

Количество энергии, выделяемой током с течением времени T_период – соответственно, равен интегралу по периоду времени T_период:

Фактическое значение тока. Эффективное значение напряжения

Уважаемые все, в прошлой статье мы затронули тему силы и работы переменного тока. Напомню, что тогда мы вычисляли его с помощью интеграла, а в самом конце статьи я сказал, что есть некоторые способы облегчить себе жизнь и часто можно обойтись без интеграла, если знать об эффективное значение текущего. Именно об этом мы и поговорим сегодня!

Господа, наверное, ни для кого не секрет, что в природе существует множество видов переменного тока: синусоидальный, прямоугольный, треугольный и т. д. И как их вообще можно сравнивать друг с другом? По форме? Хммм… Думаю, да. Они отличаются визуально, с этим не поспоришь. По частоте? Тоже да, но иногда это вызывает вопросы. Некоторые люди считают, что само определение частоты применимо только к синусоидальному сигналу и не может быть применено, например, к последовательности импульсов. Формально они могут быть правы, но я не разделяю их точку зрения. Как еще его можно использовать? Например, за деньги! Неожиданно? Вовсе нет. Электроэнергия стоит денег. Вернее, электричество стоит денег. В конце концов, киловатт-часы, за которые вы все платите каждый месяц в соответствии с показаниями ваших счетчиков, – это не что иное, как работа электроэнергии. А поскольку деньги – дело серьезное, стоит ввести для них отдельный термин. Чтобы сравнить различные формы тока по количеству выполняемой ими работы, мы должны использовать термин эффективный ток.

Таким образом, Среднеквадратичное значение (или СКО) переменного тока – это значение некоторого постоянного тока, который выделит на резисторе столько же тепла, сколько выделяет наш переменный ток за время, равное периоду переменного тока. Звучит очень заумно, и, скорее всего, если вы читаете это определение впервые, вы вряд ли его поймете. Это хорошо. Когда я впервые услышал это слово в школе, мне потребовалось много времени, чтобы понять для себя, что оно означает. Поэтому сейчас я попытаюсь разобрать это определение на части, чтобы вы смогли понять, что стоит за этой запутанной фразой быстрее, чем я в свое время.

Таким образом, мы имеем дело с переменным током. Допустим, это синусоидальная волна. У него есть своя амплитуда. А_m и период T_период (или частота f). Фаза в данном случае не имеет значения, предположим, что она равна нулю. Этот переменный ток протекает через резистор R и энергия выделяется в этом резисторе. За один период T_период нашего синусоидального тока выделится вполне определенное количество джоулей энергии. Это количество джоулей можно точно рассчитать, используя интегральные формулы, которые я приводил в прошлый раз. Предположим, мы рассчитаем, что за один период T_период синусоидального тока выпустит Q джоулей тепла. Обратите внимание, господа, на важный момент! Заменим переменный ток постоянным и выберем такое значение (т.е. столько ампер), чтобы на том же резисторе R в одно и то же время T_период одинаковое количество джоулей Q. Очевидно, что нам нужно как-то определить значение этого самого постоянного тока, эквивалентного переменному току с энергетической точки зрения. И когда мы найдем эту ценность, она будет… среднеквадратичное значение переменного тока.. Итак, господа, давайте вернемся к тому причудливому формальному определению, которое я дал в начале. Теперь это стало понятнее, не так ли?

Итак, надеюсь, суть ясна, поэтому давайте переведем вышесказанное в математику. Как мы писали в прошлой статье, закон изменения мощности переменного тока таков

Количество энергии, выделяемой током в момент времени T_период – соответственно, равна интегралу от периода времени T_период:

Господа, теперь мы должны взять этот интеграл. Если это кажется вам слишком сложным, потому что вы не любите математику, вы можете пропустить расчеты и сразу увидеть результат. Сегодня у меня появилось настроение вспомнить молодость и тщательно проработать все эти интегралы.

Как же мы его воспринимаем? Ну, ценности, которые_m 2 и R – константы, и мы можем взять их вне знака интеграла. А для квадрата синуса мы должны использовать формулу для уменьшения степени из тригонометрии. Надеюсь, вы помните об этом. Если нет, позвольте мне напомнить вам еще раз:

Теперь разобьем интеграл на два интеграла. Мы можем использовать тот факт, что интеграл от суммы или разности равен сумме или разности интегралов. На самом деле это очень логично, если вспомнить, что интеграл – это площадь.

Господа, у меня для вас самая замечательная новость. Второй интеграл равен нулю!

Почему это так? Просто потому, что интеграл любого синуса/косинуса по кратности его периода равен нулю. Кстати, это очень полезное свойство! Я рекомендую запомнить его. Геометрически это также понятно: первая полуволна синуса проходит над осью абсцисс, и его интеграл больше нуля, а вторая полуволна проходит под осью абсцисс, поэтому его значение меньше нуля. Но они равны друг другу по модулю, поэтому их сложение (и, собственно, интеграл по всему периоду) даст в результате ноль.

Таким образом, отбросив косинусный интеграл, получаем

Не нужно быть математическим гуру, чтобы сделать вывод, что этот интеграл равен

И вот мы получаем ответ

Это дает нам количество джоулей, которые будут выделяться в резисторе R когда синусоидальный ток амплитудой I_m в течение периода T_период. Теперь, чтобы найти, что в данном случае среднеквадратичный ток мы должны предположить, что на том же резисторе R в одно и то же время T_период одинаковое количество энергии Q. Поэтому мы можем написать

Если вы не совсем понимаете, откуда берется левая часть, рекомендую повторить статью о законе Джоуля-Ленца. При этом мы выражаем среднеквадратичное значение тока I _{среднеквадратичное значение.} от этого выражения, предварительно максимально сократив его.

Вот результат, господа. Значение r.m.s. синусоидально переменного тока в два раза меньше амплитудного значения. Хорошо запомните этот результат, это важный вывод.

В общем, никто не мешает ввести аналогию с текущими Среднеквадратичное напряжение …. В этом случае зависимость мощности от времени будет выглядеть следующим образом

Это то, что мы подставим в интеграл и выполним все преобразования. Господа, любой из вас может сделать это на досуге, я лишь приведу конечный результат, потому что он полностью аналогичен случаю с током. Сейчас, среднеквадратичное напряжение синусоидального тока составляет

Как видите, аналогия полная. Среднеквадратичное значение напряжения также ровно в два раза больше амплитуды.

Вы можете рассчитать среднеквадратичное значение напряжения и тока практически для любой формы волны аналогичным образом: просто запишите закон мощности для сигнала и выполните физические действия, описанные выше.

Все вы, наверное, слышали, что напряжение в наших розетках составляет 220 В. Какое напряжение? Наконец, теперь у нас есть два понятия – амплитуда и среднеквадратичное значение. Оказалось, что 220 вольт в розетках – это среднеквадратичное значение! Вольтметры и амперметры в цепях переменного тока показывают среднеквадратичные значения. Форму сигнала в целом и его амплитуду в частности можно увидеть с помощью осциллографа. Ну, мы уже говорили, что всех интересуют деньги, то есть текущая активность, а не какая-то расплывчатая амплитуда. Но давайте установим, какова амплитуда напряжения в наших сетях. Используя формулу, которую мы только что написали, мы можем написать

Это все, господа. Оказывается, в наших розетках синусоида имеет амплитуду 311 В, а не 220, как можно было бы подумать. Чтобы развеять сомнения, приведу рисунок, на котором показан закон изменения напряжения в наших розетках (напомню, что частота сети составляет 50 Гц, или, если она одинакова, период равен 20 мс). Этот закон показан на рисунке 1.

Рисунок 1 – Закон изменения напряжения в розетках

И специально для вас, джентльмены, я просмотрел напряжение на гнезде с помощью осциллографа. Я наблюдал его через делитель напряжения 1:5. Это означает, что форма сигнала будет полностью сохранена, но амплитуда сигнала на экране осциллографа будет в пять раз меньше, чем на самом деле в розетке. Почему я это сделал? Просто из-за большого диапазона входного напряжения все изображение не помещается на экране осциллографа.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ Если у вас нет достаточного опыта работы с высоким напряжением, если вы совершенно не представляете, как могут протекать токи во время измерений в цепях, не гальванически изолированных от сети, я определенно не рекомендую проводить такой эксперимент самостоятельно, это опасно! Дело в том, что при проведении такого рода измерений с помощью осциллографа осциллограф, подключенный к заземленной розетке существует очень высокая вероятность того, что через внутреннее заземление осциллографа произойдет короткое замыкание и прибор сгорит без возможности восстановления! И если вы сделаете эти измерения с осциллограф, подключенный к незаземленной розеткена его корпусе, кабелях и разъемах может возникнуть смертельная опасность! Это не шутка, господа, если вы не понимаете, почему это так, то лучше не делайте этого, тем более что осциллограммы уже сделаны и вы можете увидеть их на рисунке 2.

Рисунок 2 – Измерение осциллографом напряжения на розетке (делитель 1:5)

На рисунке 2 видно, что амплитуда синуса составляет около 62 В, а частота – ровно 50 Гц. Помня, что мы смотрим через делитель напряжения, который делит входное напряжение на 5, мы можем рассчитать фактическое значение напряжения на розетке, оно составляет

Как видите, результат измерения очень близок к теоретическому, несмотря на погрешность измерения осциллографа и неидеальность резисторов делителя напряжения. Это показывает, что все наши расчеты верны.

На сегодня это все, господа. Сегодня мы узнали, что такое r.c.m. и r.v., научились их вычислять и проверили результаты вычислений на практике. Спасибо, что прочитали это, и до встречи в будущем!

Присоединяйтесь к нашей группе в Facebook

Вопросы и предложения к администратору: Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

2. Найдите постоянный ток I, который выделит такое же количество теплоты за то же время T в том же сопротивлении R. Если ток постоянен, то он равен W₌ = I 2 RT.

Среднеквадратичное значение переменного тока

Понятие среднеквадратичного значения тока было введено из-за необходимости проведения измерений. Что можно измерить с помощью переменного тока? Если бы мы имели дело только с синусоидами – кривыми одинаковой формы – мы могли бы измерять амплитуды. На практике, однако, встречается много различных кривых, и может случиться так, что два тока разной формы имеют одинаковую амплитуду, хотя они, очевидно, будут по-разному воздействовать на электрическую цепь.

Поэтому наиболее полезно оценивать величину тока на основе работы, которую он совершает. В этой оценке сравнивается действие переменного тока с действием постоянного тока. Например, если переменный ток выделяет в цепи столько же тепла, сколько постоянный ток
10 ампер, то говорят, что этот переменный ток имеет значение 10 ампер. Это известно как среднеквадратичное значение тока.
Таким образом, значение r.m.s. переменного тока – это числовое значение такого постоянного тока, который за период времени, равный одному периоду, выделяет в резисторе такое же количество тепла, как и переменный ток.
Итак, чтобы оценить величину переменного тока, нам нужно сделать следующее.
1. Определите количество теплоты, выделяемое резистором R в момент времени T при протекании переменного тока i; это количество будет равно:

2. Выберите постоянный ток i, который отдает такое же количество теплоты за то же время T, в том же резисторе R. В случае постоянного тока это равно W₌ = I 2 RT.

3. Equate W≈ и W= :

Последняя формула определяет среднеквадратичное значение переменного тока.

Пример 2.1. На вход схемы подается напряжение треугольной формы импульса (рис. 2.4, а). Какова его эффективная стоимость?
Решение

Пример 2. 2 . На рис. 2.4, б показана кривая напряжения на выходе схемы однофазного полуволнового выпрямителя. Каково действующее значение напряжения, если его амплитудное значение U_m был 311 V?
Решение

Пример 2.3. Определите среднеквадратичное значение синусоидального тока.
Решение

Приведенные выше примеры показывают, что среднеквадратичное значение переменного тока зависит от его формы. Для синусоидального тока она равна амплитуде, деленной на √2.

2.4 Представление синусоидальной функции времени
вращательным вектором. Векторные диаграммы

Предположим, что в прямоугольной системе координат существует вектор длины I_mнаклоненные под углом Ψ к горизонтальной оси (рис. 2.5). Заставим этот вектор вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью w. Затем в момент t повернется на угол wt. Проекция этого вектора на вертикальную ось имеет вид i. Из треугольника oab равен i=Im sin (ωt + Ψ)что означает, что это функция, определяющая мгновенное значение тока. Поэтому его можно представить как проекцию на вертикальную ось вращающегося вектора. Представление тока вектором называется его векторной диаграммой. Длина вектора может быть равна амплитуде I_mили до правильного значения I. Обычно вектор не показывается в произвольный момент времени tно в начальной точке (t = 0), когда угол его наклона к горизонтальной оси равен начальной фазе.

Затем, используя уравнения (2.3), строим векторную диаграмму из двух векторов – тока и напряжения (рис. 2.6).

Длины векторов равны эффективным значениям, их углы наклона к горизонтальной оси равны начальным фазам, а угол между векторами равен разности начальных фаз Ψ_u и Ψ_i, согласно уравнению (2. 4), определяет сдвиг фаз напряжения и тока.

Подчеркнем, что на рисунке стрелка, указывающая на угол φвсегда направлена от вектора тока к вектору напряжения. Теперь он направлен в положительном направлении – против часовой стрелки. Векторная диаграмма дает четкое представление о замедлении одних величин и опережении других. Если повернуть картинку, показанную на рис. 2.6, против часовой стрелки, то вектор тока будет отставать по отношению к напряжению на угол φ. Поскольку длины векторов и углы между ними не меняются при вращении, в случае, если нас не интересуют начальные фазы напряжения и тока, мы можем построить график без осей и расположить его как угодно (рис. 2.7).

Таким образом, среднеквадратичное значение тока совпадает с его среднеквадратичным значением.

Среднеквадратичное значение переменного тока

Мы будем называть среднеквадратичное значение переменного тока, который создает сопротивление R во время Т в момент времени T столько же тепла, сколько переменный ток при тех же условиях. Здесь Т – период переменного тока.

Согласно закону Джоуля-Ленца, для времени dt выделяется тепло:

В течение одного периода Т выделяется тепло

– переменный ток

Уравновешивая количество выделяемого тепла, получаем где мы находим

Путем подстановки получаем

Таким образом, среднеквадратичное значение тока равно его среднеквадратичному значению.

По аналогии можно говорить о среднеквадратичных значениях ЭДС и напряжения:

Совпадение р.м.с. и р.м.с. переменного тока соответствует тому факту, что количество выделяемого тепла пропорционально квадрату силы тока.

На практике не делается различия между об.м.с. и об.п.м. переменного тока. Однако можно сказать, что р.м.с. выводится из формальных математических соображений, тогда как р.м.с. имеет вполне конкретный физический смысл.

Лист № 3.11 (312)

Переменный ток среднеквадратичного значения

Нагревательный элемент, потребляющий постоянный ток силой 5 А, доводит 1 л воды до кипения за 10 минут. Такой же эффект достигается при питании нагревателя переменным током. Определите среднеквадратичное значение переменного тока.

Подставляя значение корня из 2, получаем формулу для нахождения эффективного (среднеквадратичного) значения тока, напряжения, ЭДС – по отношению к значению амплитуды. Эта формула встречается очень часто и повсеместно используется в расчетах, касающихся цепей синусоидального переменного тока:

Что такое эффективное значение, среднеквадратичное значение, напряжение или эффективный ток

Что касается величины, изменяющейся по синусоидальному (гармоническому) закону, то ее среднее значение может быть определено на половине периода. Поскольку ток в нашей сети в подавляющем большинстве случаев синусоидальный, то для него также легко найти его среднее значение (за половину периода), просто прибегнув к операции интегрирования, установив пределы от 0 до T/2. Результат следующий:

Подставляя Pi = 3,14, находим среднее значение полупериода синусоидального тока как функцию его амплитуды. Аналогично определяется среднее значение синусоидальной ЭДС или синусоидального напряжения U:

Среднеквадратичное значение тока I или напряжения U

Однако среднее значение не так широко используется на практике, как среднеквадратичное значение синусоидального тока или напряжения. Среднеквадратичное значение изменяющейся во времени синусоидальной величины является ее действующим значением, другими словами, ее эффективной величиной.

Среднеквадратичное (или эффективное) значение тока или напряжения может быть найдено таким же образом, путем интегрирования, но с учетом квадратов и последующим извлечением квадратного корня, причем пределом интегрирования теперь является весь период синусоидальной функции.

Таким образом, для тока мы имеем:

Подставляя значение корня из 2, получаем формулу для нахождения эффективного (среднеквадратичного) значения тока, напряжения, ЭДС – относительно амплитудного значения. Эту формулу можно встретить очень часто, и она повсеместно используется в расчетах, касающихся цепей синусоидального переменного тока:

С практической точки зрения, если сравнить тепловой эффект синусоидально переменного тока с тепловым эффектом постоянного тока, за тот же период времени, при той же активной нагрузке, окажется, что тепло, выделяемое за период действия синусоидально переменного тока, равно теплу, выделяемому за тот же период времени от постоянного тока, при условии, что величина постоянного тока является корнем 2-х кратным из амплитуды переменного тока:

Это означает, что среднеквадратическое (эффективное, rms) значение синусоидального переменного тока численно равно значению постоянного тока, при котором тепловой эффект (количество выделяемого тепла) этого постоянного тока на активное сопротивление за один период синусоиды равен тепловому эффекту этого синусоидального тока за тот же период.

Аналогичным образом находится среднеквадратичное значение (эффективное, среднеквадратичное) синусоидального напряжения или синусоидальной ЭДС.

Подавляющее большинство современных портативных измерительных приборов при измерении переменного тока или напряжения отображают среднеквадратичное значение измеряемой величины, т.е. среднеквадратичное значение, а не амплитудное или среднеполупериодное.

Если на устройстве нет других спецификаций, кроме значка

U, измеряются значения тока и напряжения. Конкретные амплитудные или конкретные эффективные символы – Im (m – maximum, amplitude) или Irms (rms – Root Mean Square).

1.Определите количество теплоты, выделяемое в сопротивлении R в момент времени T при протекании переменного тока i. Это количество тепла равно:

№ 13 Среднеквадратичное значение переменного тока.

Понятие среднеквадратичного значения тока вводится из-за необходимости проведения измерений. Что следует измерять в переменном токе? Если бы мы имели дело только с синусоидами – кривыми одинаковой формы – мы могли бы измерять амплитуды.

На практике, однако, встречаются все виды кривых, и может случиться так, что два тока разной формы имеют одинаковую амплитуду, хотя они, очевидно, будут по-разному воздействовать на электрическую цепь.

Поэтому наиболее полезно оценивать величину тока на основе работы, которую он совершает. В этой оценке сравнивается действие переменного тока с действием постоянного тока. Например, если переменный ток выделяет на участке цепи такое же количество тепла, как и постоянный ток силой 10 ампер, то говорят, что величина этого переменного тока равна 10 амперам. Это известно как среднеквадратичное значение тока.

Таким образом, значение r.m.s. переменного тока – это числовое значение такого постоянного тока, который за время, равное одному периоду, выделяет в резисторе такое же количество тепла, как и переменный ток.

Итак, чтобы оценить значение переменного тока, нам нужно сделать следующее.

1.Определите количество теплоты, выделяемое в сопротивлении R в момент времени T при протекании переменного тока i. Это количество тепла равно:

2.Найдите постоянный ток I, который отдает такое же количество тепла в том же сопротивлении R в момент времени T. Для постоянного тока это равно: W=I2RT.

3.Мы приравниваем W=W:

Последняя формула и определяет среднеквадратичное значение переменного тока.

Пример 2.1 На вход цепи (рис. 13.1, a) подается напряжение треугольной формы. Какова его эффективная стоимость?

Рис. 13.1 – Переменные напряжения с различными формами волны

Пример 2.2 На рис. 13.1, б показана кривая напряжения на выходе однофазного полуволнового выпрямителя. Каково среднеквадратическое значение напряжения, если его амплитудное значение Um равно 311 В?

Пример 2.3 Определите среднеквадратичное значение синусоидального тока i=Imsin(ωt):

Рассмотренные примеры показывают, что среднеквадратичное значение переменного тока зависит от его формы.

Читайте далее:

• Значение переменного тока (ЭДС, напряжения), соответствующее любому моменту времени, называется его мгновенным значением; Студопедия.
• Значение слова ЭЛЕКТРОТЕХНИКАЦИЯ. Что такое ЭЛЕКТРОТЕХНИКА?.
• Полное сопротивление цепи переменного тока – Основы электроники.
• Шаговые двигатели: свойства и практические схемы управления. Часть 2.
• Шаговые двигатели: свойства и практические схемы управления. Часть 2.
• Физические величины и параметры, скалярные и векторные величины, скалярные и векторные поля; Школа для электриков: электротехника и электроника.
• Урок 7 Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. колебательный контур – физика – 11 класс – Русская электронная школа.

Анализ цепи

— Каково действующее значение тока генератора напряжения?

Задавать вопрос

спросил 1 год, 8 месяцев назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 63 раза

\$\начало группы\$

Мне нужна помощь с этой задачей, если бы у кого-то была похожая проблема, она бы мне помогла.

Задача:

Генератор напряжения подключен к первичной обмотке идеального трансформатора, коэффициент трансформации n среднеквадратичных значений электродвижущей силы U и круговой частоты ω, и связана со вторичным комплексный импеданс приемника Z, как показано на рисунке. Чему равно действующее значение тока генератора напряжения, если приемник (а) представляет собой резистор сопротивления R, (b) емкостной конденсатор C и (c) катушка индуктивности L? 92$$

Верно?

Заранее спасибо!

• напряжение
• анализ цепей
• ток
• трансформатор
• домашнее задание

\$\конечная группа\$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Измерение среднеквадратичных значений напряжения и тока

ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ (ТОКА)

Стандартные классические измерения значений напряжения (тока) основаны на двух основных методах: «среднем» и «эффективном».

«Среднее» значение функции времени — это чистая площадь функции, рассчитанная для определенного интервала времени, деленная на этот интервал времени.

В частности,
(Уравнение 1)

Если напряжение (ток) постоянное или периодическое, то измерение его среднего значения не зависит от интервала, в течение которого производится измерение. Если, с другой стороны, функция напряжения (тока) неограниченно возрастает во времени, то среднее значение зависит от интервала измерения и не обязательно будет постоянным, т. е. среднего значения не существует. К счастью, в практическом электрическом мире значения напряжения (тока) не растут безгранично и, следовательно, имеют хорошие средние значения. Это связано с тем, что реальные источники напряжения (тока) обычно либо; (1) батареи с постоянными или медленно (экспоненциально) убывающими значениями, (2) ограниченные синусоидальные функции времени или (3) комбинации вышеперечисленного. Синусоидальные функции с постоянной амплитудой имеют чистое нулевое среднее значение за временные интервалы, которые равны целым кратным синусоидального периода. Более того, средние значения можно вычислять по бесконечному числу интервалов, не равных синусоидальному периоду. Эти средние значения также равны нулю. Хотя среднее значение ограниченной синусоидальной функции равно нулю, «эффективное» значение не равно нулю. Например, электрические водонагреватели очень хорошо работают при синусоидальном напряжении с нулевыми средними значениями.

ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

«Эффективное» значение симметричных периодических функций напряжения (тока) от времени основано на понятии «теплопроизводительность». Рассмотрим испытательное приспособление, показанное на рисунке 1.

Рис. 1. Тестовое приспособление

Этот сосуд изолирован и заполнен какой-либо стабильной жидкостью (например, трансформаторным маслом), способной достичь термодинамического равновесия. Если к внутреннему нагревателю сосуда приложить постоянное напряжение Vx, температура жидкости повысится. В конце концов, электрическая энергия, подаваемая на этот сосуд, установит равновесное состояние, при котором подведенная энергия равна потерянной энергии (теплу), а жидкость в сосуде достигнет равновесной температуры, Tx градусов.

Далее в этом экспериментальном сценарии замените источник постоянного напряжения Vx изменяющимся во времени напряжением, которое не увеличивается неограниченно. В конце концов, через некоторое время Tfinal снова установится тепловое равновесие. Если это равновесное состояние устанавливает ту же температуру Tx, которая была достигнута ранее при приложенном постоянном напряжении Vx, то можно сказать, что «эффективное» значение этой изменяющейся во времени функции равно Vx.

Отсюда и определение «действующей стоимости». Уравнение 2 иллюстрирует это тепловое равновесие. (Уравнение 2)

Если V(t) — периодическая функция времени с периодом цикла Tp, а T _final — целое число «n», умноженное на период (n*Tp), то интеграл по T _final равен просто n умноженный на интеграл по Tp. Результаты этих замен показаны в уравнении 3.
(уравнение 3)

Уравнение 3 показывает, что эффективная эквивалентная теплоемкость ограниченной периодической функции напряжения (тока) может быть определена всего за один цикл. Это уравнение известно как старая знакомая форма «квадрата 9».0086 R является результатом M ean (средний) S в квадрате; отсюда и название « RMS ».

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ «СКЗ»

Следующие результаты могут быть показаны прямым применением уравнения 3.

1. Синусоидальная функция, пик Vp
   
2. Симметричная периодическая пульсовая волна, пик Vp
3. Несимметричная периодическая пульсовая волна, все положительные пики Vp, с рабочим циклом D
4. Симметричная периодическая треугольная волна, пик Vp
5. Полноволновая выпрямленная синусоида, пик Vp
6. Полупериодная выпрямленная синусоида, пик Vp

Примечание: Эти примеры показывают, что форма периодической функции может определять ее среднеквадратичное значение. Пик (гребень) функции напряжения (тока) от времени, деленный на √ 2 часто ошибочно используется для расчета среднеквадратичного значения. Этот метод может привести к ошибкам, и его явно следует избегать.

ЭФФЕКТИВНЫЕ (СКЗ) ЗНАЧЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ

Чрезвычайно полезным фактом при определении среднеквадратичных значений является то, что любая ограниченная периодическая функция времени с хорошим поведением может быть выражена как среднее значение плюс сумма синусоид (например, теорема Фурье);
(уравнение 4)

Где ωo — частота V(t) в радианах, а An, Bn, Ao — амплитудные коэффициенты Фурье.

Если подставить этот ряд в интегральное выражение (уравнение 2) для среднеквадратичного значения, то получится следующее;
(Уравнение 5)

Примечание: (A _n ) ² и (B _n ) ² /2 являются квадратами среднеквадратичных значений для каждого n ^-го компонента Sin и Cos.
Важный вывод;

Ограниченная периодическая функция времени имеет среднеквадратичное значение, равное квадратному корню из суммы квадратов среднеквадратичного значения каждого отдельного компонента.

ПРАКТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ

На рис. 2 показаны составные кривые, полученные путем добавления двух синусоид, одной на частоте 60 Гц и одной на частоте 180 Гц. Кривая 1 предназначена для нулевой разности фаз, а кривая 2 — для разности фаз на 90 градусов.

Конкретно;
Кривая 1 V(t) = 170*Sin(377*t) +50*Sin(1131*t)
Кривая 2 V(t) = 170*Sin(377*t) +50*Cos(1131*t)

Примечание: Форма составной кривой определяется гармониками фазы и частоты.

Рисунок 2: Основная гармоника с добавленной третьей гармоникой
Кривая 2 170*Sin(377*t) +50*Cos(1131*t)
Кривая 1 170*Sin(377*t) +50*Sin(1131*t)

Промышленные синусоидальные функции напряжения (тока) часто содержат гармоники, влияющие на форму волны и пиковые (гребенчатые) значения. Например, кривая 2 типична для токов намагничивания в трансформаторах и двигателях с частотой 60 Гц. В недорогих устройствах для считывания среднеквадратичного значения часто используются схемы выпрямителя, фиксирующие пиковое значение, которое затем масштабируется с коэффициентом 0,707 и отображается как среднеквадратичное значение. Ясно, что этот метод может давать неверные показания среднеквадратичного значения. В этом примере использование Vpeak ÷√2 явно дает неправильные значения.

Кривая 1: 203*0,707 = 144 В, неверное среднеквадратичное значение
Кривая 2: 155*0,707 = 110 В, неверное среднеквадратичное значение

Правильное среднеквадратичное значение для обеих составных синусоидальных функций:
[(170) ² /2 + (50) ² /2 ] ^1/2 = 125,3 В СКЗ

Таблица 1 иллюстрирует два примера расчета среднеквадратичного значения с использованием отдельных коэффициентов Фурье и уравнения 5. Первый пример представляет собой двухполупериодную выпрямленную синусоиду с пиковым напряжением 1 вольт. Обратите внимание, что для функции двухполупериодного выпрямления измерительному устройству, необходимому для получения показаний среднеквадратичного значения с погрешностью 0,01 %, требуется полоса пропускания, включающая пятую (5) гармонику, и разрешение для считывания уровней 10 мВ. Другой пример, показанный в Таблице 1, представляет собой пилообразную пиковую функцию 1 В. В этом примере измерительному устройству для пилообразной функции, необходимому для получения показаний RMS с погрешностью 0,3 %, требуется полоса пропускания, включающая двадцать пятую (25) гармонику, и разрешение для считывания уровней 10 мВ.

Предположим, для наглядности, что пульсации переменного тока на выходе постоянного тока выпрямителя могут быть аппроксимированы пилообразной функцией. В таблице 1 показано, что для измерения с погрешностью 0,3 % среднеквадратичных пульсаций переменного тока на выходе постоянного тока выпрямителя с частотой 20 кГц измерительное устройство должно иметь полосу пропускания более 500 кГц и разрешение для считывания уровней напряжения на 40 дБ (100 микровольт). для пиковых пульсаций 10 мВ). Этот пример ясно показывает, что форма сигнала вместе с шириной полосы измерения и разрешением чрезвычайно важны для определения точности измерения истинного среднеквадратичного значения.

Любое устройство измерения «истинных среднеквадратичных значений» должно быть способно точно реализовать уравнение 3. Тонкость этого утверждения заключается в том, что электронное выполнение уравнения 3 требует, чтобы устройство имело очень большую полосу пропускания и могло разрешать малые величины.

КРЕСТ-ФАКТОР

Еще одним показателем качества, часто используемым для характеристики периодической функции напряжения (тока) во времени, является коэффициент амплитуды (CF). Крест-фактор для конкретной формы волны определяется как пиковое значение, деленное на среднеквадратичное значение. В частности,

ДАННЫЕ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ СКЗ

Измерения истинного среднеквадратичного значения требуют контрольно-измерительных приборов, которые точно реализуют уравнение 3, «то самое» уравнение среднеквадратичного значения. Эти устройства должны иметь как широкую полосу пропускания, так и хорошее низкоуровневое разрешение, чтобы поддерживать высокие коэффициенты амплитуды. Dataforth разработала три продукта, которые удовлетворяют этим требованиям; входные модули SCM5B33, DSCA33 и 8B33 True RMS. Эти продукты обеспечивают изолирующий барьер 1500 В среднеквадратичного значения между входом и выходом.

SCM5B33 Изолированный модуль ввода истинного среднеквадратичного значения

SCM5B33 Деталь
Технические характеристики и
Информация для заказа

• Интерфейсы Среднеквадратичное напряжение (0–300 В) или среднеквадратичное значение тока (0–5 А)
• Предназначен для стандартной работы с частотами от 45 Гц до 1000 Гц (расширенный диапазон до 20 кГц)
• Совместимость со стандартными трансформаторами тока и напряжения
• Промышленный стандартный выходной сигнал 0–1 мА, 0–20 мА, 4–20 мА, 0–5 В или 0–10 В постоянного тока
• Точность заводской калибровки ±0,25 % (класс точности 0,2)
• 1500Vrms Непрерывная изоляция трансформатора
• Защита от перегрузки на входе до 480 В макс. (пиковое значение переменного и постоянного тока) или 10 А среднеквадратичного значения в непрерывном режиме
• ANSI/IEEE C37.90.1 Защита от переходных процессов
• Сертифицировано CSA, соответствует требованиям CE и ATEX

DSCA33 Изолированный формирователь входного сигнала True RMS

DCSA33 Деталь
Технические характеристики и
Информация для заказа

• Интерфейсы Среднеквадратичное напряжение (0–300 В) или среднеквадратичное значение тока (0–5 А)
• Предназначен для стандартной работы с частотами от 45 Гц до 1000 Гц (расширенный диапазон работы до 20 кГц)
• Совместимость со стандартными трансформаторами тока и напряжения
• Промышленный стандартный выходной сигнал 0–1 мА, 0–20 мА, 4–20 мА, 0–5 В или 0–10 В постоянного тока
• Точность заводской калибровки ±0,25 % (класс точности 0,2)
• ±5% Регулируемый нуль и диапазон
• Изоляция трансформатора 1500 В (среднеквадратичное значение)
• Защита от перегрузки на входе до 480 В (пиковое значение переменного и постоянного тока) или 10 А среднеквадратичного значения в непрерывном режиме
• ANSI/IEEE C37. 90.1 Защита от переходных процессов
• Легко устанавливается на стандартную DIN-рейку
• Внесен в список C-UL-US
• Соответствует CE и ATEX

8B33 Миниатюрный модуль ввода True RMS

8B33 Деталь
Технические характеристики и
Информация для заказа

• Интерфейсы для измерения среднеквадратичного значения напряжения (0–300 В) или среднеквадратичного значения тока (0–1 А)
• Предназначен для стандартной работы с частотами от 45 Гц до 1000 Гц (расширенный диапазон до 10 кГц)
• Совместимость со стандартными трансформаторами тока и напряжения
• Промышленный стандартный выход от 0 до 5 В постоянного тока
• Точность заводской калибровки ±0,25 %
• Изоляция трансформатора 1500 В (среднеквадратичное значение)
• Входная перегрузка защищена до 350 В среднеквадратичного значения макс.