Теория изгиба балок Тимошенко — Википедия

Теория изгиба балок Тимошенко была развита Степаном Прокофьевичем Тимошенко в начале XX века.^[1][2] Модель учитывает сдвиговую деформацию и вращательные изгибы, что делает её применимой для описания поведения толстых балок, сэндвич-панелей и высокочастотных колебаний балок, когда длина волны этих колебаний становится сравнимой с толщиной балки. В отличие от модели изгиба балок Эйлера-Бернулли модель Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка, которое также содержит и частные производные второго порядка. Физически учёт механизмов деформации эффективно снижает жёсткость балки и приводит к большему отклонению при статической нагрузке и к предсказанию меньших собственных частот для заданного набора граничных условий. Последнее следствие наиболее заметно для высоких частот, поскольку длина волны колебаний становится короче и расстояние между противоположно направленными сдвиговыми силами уменьшается.

Если модуль сдвига материала балки положить равным бесконечности (и следовательно запретить балке испытывать сдвиговые деформации) и если пренебречь эффектами инерции на вращение, то модель Тимошенко сводится к обычной теории изгиба балки.

Сравнение деформации балки по Тимошенко (синий цвет) с деформацией по теории Эйлера-Бернулли (красный цвет). Деформация балки по Тимошенко. Нормаль поворачивается на угол θx=φ(x){\displaystyle \theta _{x}=\varphi (x)}, который не равен dw/dx{\displaystyle dw/dx}.

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов смещение балки предполагается заданным в следующем виде: ux(x,y,z)=−z φ(x) ;  uy(x,y,z)=0 ;  uz(x,y)=w(x){\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)} где (x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} задают координаты точки на балке, ux,uy,uz{\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} — компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, φ{\displaystyle \varphi } — есть угол вращения нормали по отношению срединной поверхности балки и w{\displaystyle w} — смещение срединной поверхности в направлении оси z{\displaystyle z}.

Исходными уравнениями является следующая пара связанных обыкновенных дифференциальных уравнений:

d2dx2(EIdφdx)=q(x)dwdx=φ−1κAGddx(EIdφdx).{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}

В статическом пределе теория изгиба балки Тимошенко эквивалентна теории изгиба балок Эйлера-Бернулли в случае, когда последним слагаемым можно пренебречь. Это приближение справедливо когда: EIκL2AG≪1{\displaystyle {\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1} где

Комбинируя эти два уравнения получаем в случае однородной балки постоянного сечения: EI d4wdx4=q(x)−EIκAG d2qdx2{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}

Изгибающий момент Mxx{\displaystyle M_{xx}} и сдвиговая сила Qx{\displaystyle Q_{x}} в балке связаны со смещением w{\displaystyle w} и вращением φ{\displaystyle \varphi }. В случае линейной упругой балки Тимошенко эти связи имеют следующий вид:

Mxx=−EI ∂φ∂xиQx=κ AG (−φ+∂w∂x).{\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{и}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}

Вывод квазистатических уравнений изгиба балок по Тимошенко

Из кинематических предположений для балки Тимошенко смещение балки даётся: ux(x,y,z,t)=−z φ(x,t) ;  uy(x,y,z,t)=0 ;  uz(x,y,z)=w(x,t){\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)} Далее, в случае малых деформаций в рамках предположений Тимошенко можно написать: εxx=∂ux∂x=−z ∂φ∂x ;  εxz=12(∂ux∂z+∂uz∂x)=12(−φ+∂w∂x){\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)} Поскольку реальные сдвиговые деформации балки непостоянны в пределах сечения, введём корректирующий фактор κ{\displaystyle \kappa } такой, что: εxz=12 κ (−φ+∂w∂x){\displaystyle \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)} Изменение внутренней энергии балки можно записать в виде: δU=∫L∫A(σxxδεxx+2σxzδεxz) dA dL=∫L∫A[−z σxx∂(δφ)∂x+σxz κ(−δφ+∂(δw)∂x)] dA dL{\displaystyle \delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L} Зададим: Mxx:=∫Az σxx dA ;  Qx:=κ ∫Aσxz dA{\displaystyle M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A} Тогда: δU=∫L[−Mxx∂(δφ)∂x+Qx(−δφ+∂(δw)∂x)] dL{\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L} Интегрируя по частям и замечая, что граничные условия обращают изменение энергии на концах балки в нуль, пишем: δU=∫L[(∂Mxx∂x−Qx) δφ−∂Qx∂x δw] dL{\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L} Изменение внешней работы, совершенной над балкой поперечной нагрузкой q(x,t){\displaystyle q(x,t)} на единицу длины, равно: δW=∫Lq δw dL{\displaystyle \delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L} Тогда для квазистатичной балки принцип виртуальной работы дает: δU=δW⟹∫L[(∂Mxx∂x−Qx) δφ−(∂Qx∂x+q) δw] dL=0{\displaystyle \delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0} Исходные уравнения для балки исходя из фундаментальной теоремы вариационного исчисления обретают вид: ∂Mxx∂x−Qx=0 ;  ∂Qx∂x+q=0{\displaystyle {\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0} Для линейной упругой балки: Mxx=∫Az σxx dA=∫Az E εxx dA=−∫Az2 E ∂φ∂x dA=−EI ∂φ∂xQx=∫Aσxz dA=∫A2G εxz dA=∫Aκ G (−φ+∂w∂x) dA=κ AG (−φ+∂w∂x){\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}} Следовательно, основные уравнения для балки могут быть записаны в виде: ∂∂x(EI∂φ∂x)+κAG (∂w∂x−φ)=0∂∂x[κAG(∂w∂x−φ)]+q=0{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}} Комбинируя вместе два уравнения, получаем: ∂2∂x2(EI∂φ∂x)=q∂w∂x=φ−1κAG ∂∂x(EI∂φ∂x){\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}

Краевые (граничные) условия[править | править код]

Два уравнения, которые описывают деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены краевыми (граничными) условиями. Корректно поставленная задача требует задания четырех граничных условий. Обычно граничными условиями являются:

Пример: Жестко защемленная балка[править | править код]

Жестко защемленная балка Тимошенко со свободным концом при точечной нагрузке

Для жестко защемленной балки один конец защемлен, а другой остается свободным. Будем использовать правовинтовую систему координат, в которой направление оси x{\displaystyle x} считается положительным в направлении вправо, а направление оси z{\displaystyle z} положительно в направлении вверх. Следуя традиционным соглашениям мы предположим, что положительные значения сил направлены в положительном направлении осей x{\displaystyle x} и z{\displaystyle z}, а положительные изгибающие моменты действуют по часовой стрелке. Также предположим следующее соглашение о знаках компонент механических напряжений (Mxx{\displaystyle M_{xx}} и Qx{\displaystyle Q_{x}}): положительные изгибающие моменты сжимают материал балки внизу (меньшие значения координат z{\displaystyle z}), положительные сдвиговые силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что защемленный конец балки имеет координату x=L{\displaystyle x=L},а свободный конец — x=0{\displaystyle x=0}. Если точечная нагрузка P{\displaystyle P} приложена к свободному концу в положительном направлении оси z{\displaystyle z}, то условие равновесия системы сходящихся сил балки дает нам

−Px−Mxx=0⟹Mxx=−Px{\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}

и

P+Qx=0⟹Qx=−P.{\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}

Следовательно, из выражений для изгибного момента и сдвиговой силы получаем

Px=EIdφdxи−P=κAG(−φ+dwdx).{\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{и}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}

Интегрируя первое уравнение и применяя граничное условие φ=0{\displaystyle \varphi =0} при x=L{\displaystyle x=L} приходим к

φ(x)=−P2EI(L2−x2).{\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}

Второе уравнение может быть переписано в виде

dwdx=−PκAG−P2EI(L2−x2).{\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}

Интегрируя и применяя граничное условие w=0{\displaystyle w=0} при x=L{\displaystyle x=L} пишем

w(x)=P(L−x)κAG−Px2EI(L2−x23)+PL33EI.{\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}

Осевое напряжение дается тогда выражением

σxx(x,z)=Eεxx=−Ezdφdx=−PxzI=MxxzI.{\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}

В теории изгиба балки Тимошенко без осевых эффектов отклонение балки предполагается заданным в виде

ux(x,y,z,t)=−z φ(x,t) ;  uy(x,y,z,t)=0 ;  uz(x,y,z,t)=w(x,t){\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}

где (x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} — координаты точки балки, ux,uy,uz{\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}} — компоненты вектора отклонения в трех координатных направлениях, φ{\displaystyle \varphi } — угол вращения нормали по отношению к срединной поверхности балки и w{\displaystyle w} — отклонение срединной поверхности в направлении оси z{\displaystyle z}.

Учитывая вышесказанное предположение теория изгиба балки Тимошенко (с допущением колебаний) может быть описано парой линейных уравнений в частных производных:^[3]

ρA∂2w∂t2−q(x,t)=∂∂x[κAG(∂w∂x−φ)]{\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}

ρI∂2φ∂t2=∂∂x(EI∂φ∂x)+κAG(∂w∂x−φ){\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}

где искомыми величинами являются

Изгибающий момент — это… Что такое Изгибающий момент?



Изгибающий момент

Bending moment — Изгибающий момент.

Алгебраическая сумма пар или моментов внешних сил или обоих, в левом или правом направлении в любом сечении элемента, подвергаемого воздействию изгибными парами, или поперечными силами, или обоим воздействиям.

(Источник: «Металлы и сплавы. Справочник.» Под редакцией Ю.П. Солнцева; НПО «Профессионал», НПО «Мир и семья»; Санкт-Петербург, 2003 г.)

.

• Bending moment
• Bending rolls

Смотреть что такое «Изгибающий момент» в других словарях:

• изгибающий момент — Взятый относительно каждой из главных центральных осей поперечного сечения стержня момент системы сил, заменяющий в данном поперечном сечении действие отброшенной части стержня на его оставшуюся часть. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82.… …   Справочник технического переводчика

• Изгибающий момент — Изгибающий момент  момент внешних сил относительно сечения балки. . Виды изгибающих моментов Волновой изгибающий момент Положительный изгибающий момент Отрицательный изгибающий момент …   Википедия

• изгибающий момент — lenkimo momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. bending moment; flexural moment; flexural torque vok. Biegemoment, n; Biegungsmoment, n rus. изгибающий момент, m; момент изгиба, m pranc. moment de flexion, m; moment fléchissant, m …   Fizikos terminų žodynas

• изгибающий момент в пластинке — Интенсивность главного момента элементарных нормальных сил, действующих на полоске малой ширины, принадлежащей данному поперечному сечению и содержащей нормаль к срединной поверхности в данной точке. Примечание Изгибающий момент в пластинке имеет …   Справочник технического переводчика

• изгибающий момент (металлургия) — изгибающий момент Алгебраическая сумма пар или моментов внешних сил или обоих, в левом или правом направлении в любом сечении элемента, подвергаемого воздействию изгибными парами, или поперечными силами, или обоим воздействиям. [http://www.manual …   Справочник технического переводчика

• изгибающий момент в сечении — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN moment of resistance …   Справочник технического переводчика

• Изгибающий момент относительно оси X,. действующий на штуцер, Н. мм — Мх Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Изгибающий момент относительно оси Y, действующий на штуцер, Н. мм — Му Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• нормативный изгибающий момент — 3.7 нормативный изгибающий момент: Изгибающий момент, который выдерживает фундамент до образования в нем поперечных трещин с шириной раскрытия не более 0,15 мм. Источник: ГОСТ Р 54272 2010: Фундаменты для опор контактной сети железных дорог.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Внешний изгибающий момент, Н×мм — M Источник: РД 26 15 88: Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность и герметичность фланцевых соединений …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Формулы для расчетов на изгиб

σ — нормальные напряжения,
τ — касательные напряжения,
Q_y – внутренняя поперечная сила,

M_x – внутренний изгибающий момент,
I_x – осевой момент инерции сечения балки,
W_x – осевой момент сопротивления сечения,
[σ], [τ] – соответствующие допустимые напряжения,
E – модуль упругости I рода (модуль Юнга),
y — расстояние от оси x до рассматриваемой точки сечения балки.

Расчет внутренних поперечных сил и изгибающих моментов

Формула кривизны балки в заданном сечении

Расчет нормальных напряжений в произвольной точке сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе (проверочный расчет)

Осевые моменты инерции I и сопротивления W

• прямоугольного сечения
  
  h – высота сечения,
  b – ширина сечения балки.
• круглого сечения балки
  
  D — диаметр сечения

Касательные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле Журавского:

Здесь:

S_x^* — статический момент относительно оси x отсеченной части сечения

b — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

Условие прочности балки по касательным напряжениям

Дифференциальное уравнение линии изогнутой оси балки

Уравнения метода начальных параметров (МНП)

θ_z, y_z — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки на расстоянии z от начала координат,
θ₀, y₀ — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки в начале координат,
m, F, q — соответственно все изгибающие моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки приложенные к балке,
a, b — расстояние от начала координат до сечений где приложены моменты и силы соответственно,
c — расстояние от начала координат до начала распределенной нагрузки q.

Другие формулы >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

Осевой момент сопротивления формула (сопромат)

Формула осевого момента сопротивления при изгибе выводится просто. Когда поперечное сечение балки симметрично относительно нейтральной оси, нормальные напряжения в наиболее удаленных точках (при ) определяются по формуле:

Геометрическую характеристику поперечного сечения балки, равную называют осевым моментом сопротивления при изгибе. Осевой момент сопротивления при изгибе измеряется в единицах длины в кубе (как правило, в см3). Тогда .

формула осевого момент сопротивления при изгибе для прямоугольного поперечного сечения:

;

формула осевого момент сопротивления при изгибе для круглого поперечного сечения: .

Как определить поперечную силу и изгибающий момент ?

В этой статье будем говорить как определяется поперечная сила и изгибающий момент.  Оба эти внутренних силовых фактора появляются при поперечном изгибе. При чистом изгибе, когда на конструкцию действует только моменты, в поперечных сечениях появляются только изгибающие моменты.

Изгибающий момент действует в плоскости перпендикулярной к поперечному сечению и совпадает с одной из главных центральных осей.

Поперечная сила действует в плоскости поперечного сечения.

Пример определения поперечной силы и изгибающего момента

Давайте посмотрим, так сказать, воочию на эти внутренние силовые факторы. Рассмотрим балку, закрепленную с левого торца жесткой связью и нагруженной с другого торца силой P.

Воспользуемся любимым методом сечений. Рассечем балку в произвольном сечении на расстоянии x₁ от свободного торца балки.

Заменим действие одной части балки на другую внутренними силовыми факторами, так сказать уравновесим обе части балки.

Если записать уравнения статики для одной из частей, например, для правой части балки, то получим:

∑F_kx= -P+Q=0. Тогда Q=P, то есть поперечная сила будет равна внешней силе.

∑M_c= P·x₁-M=0. Тогда M= P·x₁, то есть изгибающий момент в исследуемом сечении будет равен произведению внешней силы на расстояние от свободного торца до сечения.

Теперь рассмотрим балку подверженную только чистому изгибу. На свободном торце балки приложим только момент силы.

В поперечных сечениях, как говорилось выше, будут возникать только изгибающие моменты и только одной величины. Не трудно догадаться, что внутренний изгибающий момент будет равен внешнему моменту.

Важно научиться строить правильно эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Перед тем как читать статью про построение эпюр, рекомендую сначала ознакомиться с правилом знаков.

Изгибающий момент и поперечная сила

Основные понятия об изгибе. Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил.
На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций. Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб, если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб.

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):
— поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
— сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
— продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:
— при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
— волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1.К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М_и, равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.
Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис 3). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий моментМ_и и поперечная сила Q.
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.
Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют «правилом дождя», имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе.

Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.

Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и внутренний изгибающий момент.

Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р, рис. 1 а., …

а) расчетная схема, б) левая часть, в) правая часть, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

Рис.1. Построение эпюр поперечных сил и внутренних изгибающих моментов при прямом изгибе:

Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки.Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и .

Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис. 6, а), при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис. 6): 2 горизонтальных массивных листа, соединенные стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 6, в).

Рис.6. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 27):

которое вытекает из требования

Рис.7. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 7: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др.

Рис.8. Используемые профили сечений: а) двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок

Формула осевого момента сопротивления при изгибе выводится просто. Когда поперечное сечение балки симметрично относительно нейтральной оси, нормальные напряжения в наиболее удаленных точках (при ) определяются по формуле:

Геометрическую характеристику поперечного сечения балки, равную называют осевым моментом сопротивления при изгибе. Осевой момент сопротивления при изгибе измеряется в единицах длины в кубе (как правило, в см3). Тогда .

формула осевого момент сопротивления при изгибе для прямоугольного поперечного сечения: ;

формула осевого момент сопротивления при изгибе для круглого поперечного сечения: .

 

---

Дата добавления: 2016-05-28; просмотров: 20962;

---

Похожие статьи: