Как найти длину (модуль) вектора: формула, пример задачи

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

В данной публикации мы рассмотрим, что такое длина вектора, как она находится, а также приведем пример задачи для демонстрации применения теоретических знаний на практике.

• Определение длины вектора
• Нахождение длины вектора
• Пример задач

Определение длины вектора

Длина (или модуль) вектора AB – это неотрицательное число, которое равно расстоянию между его началом и концом. Другими словами, это длина соответствующего отрезка AB.

Для рассматриваемого вектора длина обозначается как |AB|, т.е. по бокам добавляются вертикальные черточки.

Примечания:

• Длина нулевого вектора 0, соответственно, равняется нулю.
• Длина единичного вектора e равна единице.

Нахождение длины вектора

Допустим, у нас есть вектор a, который задан своими координатами:

a = (a_x; a_y; a_z).

В этом случае длина вектора вычисляется по формуле:

Таким образом, длина вектора, заданная определенными координатами, равняется квадратному корню из суммы квадратов этих координат.

Пример задач

Дан вектор a = (2; -5; 6). Найдем его длину.

Решение

Все, что нам нужно сделать – это воспользоваться приведенной выше формулой, подставив в нее известные значения.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Вычисление длины (модуля) вектора в EXCEL.

Примеры и описание

Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a _x и a _y , то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9 , см. файл примера ).

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т. е. в данном случае эквивалентна формуле = B8*B8+B9*B9 .

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.

Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить пользовательский формат , см. например, статью Отображение широты и долготы в MS EXCEL

4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника

Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.

Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55)) .

Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).

5. Нахождение координат вектора через координаты точек

Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.

Длина вектора – определение, формулы и примеры

Длина вектора позволяет нам понять, насколько велик вектор с точки зрения размеров. Это также помогает нам понимать векторные величины, такие как перемещение, скорость, сила и т. д. Понимание формулы для вычисления длины вектора поможет нам установить формулу для длины дуги векторной функции.

Длина вектора (известная как величина) позволяет нам количественно оценить свойство данного вектора. Чтобы найти длину вектора, просто добавьте квадрат его компонентов, затем извлеките квадратный корень из результата .

В этой статье мы расширим наше понимание величин до трехмерных векторов. Мы также рассмотрим формулу длины дуги векторной функции. К концу нашего обсуждения наша цель состоит в том, чтобы вы уверенно работали над различными задачами, связанными с векторами и длинами векторных функций.

Какова длина вектора?

Длина вектора представляет собой расстояние вектора в стандартной позиции от начала координат. В нашем предыдущем обсуждении векторных свойств мы узнали, что длина вектора также известна как 9-кратная длина вектора.2}\конец{выровнено}

Фактически, мы можем расширить наше понимание трехкоординатных систем и векторов, чтобы доказать формулу для длины вектора в пространстве.

Доказательство формулы длины вектора в 3D

Предположим, что у нас есть вектор, $\textbf{u} = x_o \textbf{i} + y_o \textbf{j} +z_o \textbf{k}$, мы можно переписать вектор как сумму двух векторов. Следовательно, мы имеем следующее:

\begin{aligned}\textbf{v}_1 &= \\ \textbf{v}_2 &= <0 , 0, z_o>\\\textbf{u} &= \\&= +<0 ,0, z_o>\\&=\textbf{v}_1+ \textbf{v}_2\end{выровнено} 92}\end{aligned}

Это означает, что для вычисления длины вектора в трех измерениях все, что нам нужно сделать, это сложить квадраты его компонентов, а затем извлечь квадратный корень из результата.

Длина дуги векторной функции

Мы можем распространить это понятие длины на векторные функции — на этот раз мы аппроксимируем расстояние векторной функции на интервале $t$. Длину вектор-функции $\textbf{r}(t)$ в интервале $[a, b]$ можно рассчитать по приведенной ниже формуле. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x} dt\end{aligned}

Теперь мы рассмотрели все основные определения длин векторов и длин векторных функций, пришло время применить их для вычисления их значений.

Как вычислить длину вектора и векторную функцию?

Мы можем вычислить длину вектора, применив формулу для величины . Вот разбивка шагов для вычисления длины вектора:

92}\\&=\sqrt{4 + 16 + 1}\\&= \sqrt{21}\end{aligned}

Следовательно, длина вектора $\textbf{u}$ равна $\sqrt{21}$ единиц или примерно равно $4,58$ единиц.

Как мы показали в нашем предыдущем обсуждении, длина дуги векторной функции зависит от касательного вектора . Вот подсказка, которая поможет вам вычислить длину дуги векторной функции:

• Перечислите компоненты вектора и возведите их квадраты. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x} dt$, где $\textbf{r}\prime(t)$ представляет собой касательный вектор.

  Это означает, что нам нужно найти $\textbf{r}\prime(t)$, дифференцируя каждый компонент векторной функции.

  \begin{выровнено}x \prime(t)\end{выровнено}	\begin{выровнено}x\prime(t) &= \dfrac{d}{dt} (4t –1)\\&= 4(1) – 0\\&= 4\end{выровнено}
  \begin{выровнено}y \prime(t)\end{выровнено}	\begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt} (2t +4)\\&= 2(1) – 0\\&= 2\end{выровнено}
  \begin{align}\textbf{r}\prime(t) &= \left \\&= \left<4, 2\right> \end{выровнено}

  Получите величину касательного вектора, возведя компоненты касательного вектора в квадрат, а затем записав квадратный корень из суммы. 2} \\&= \sqrt{ 20}\end{выровнено} 94\\&= 2\sqrt{5}( 4 -0)\\&= 8\sqrt{5}\end{aligned}

  Это означает, что длина дуги $\textbf{r}(t)$ от $t=0$ до $t=4$ равно $8\sqrt{5}$ единиц или приблизительно $17,89$ единиц.

  Это два замечательных примера того, как мы можем применять формулы для длин векторов и векторных функций. Мы приготовили для вас еще несколько задач, так что переходите к следующему разделу, когда будете готовы!

  Пример 1

  Вектор $\textbf{u}$ имеет начальную точку в $P(-2, 0, 1 )$ и конечную точку в $Q(4, -2, 3)$ . Какова длина вектора? 92}\\&= \sqrt{36+ 4+ 4}\\&= \sqrt{44}\\&= 2\sqrt{11}\\&\приблизительно 6,63 \end{aligned}

  Это означает, что вектор $\textbf{u}$ имеет длину $2\sqrt{11}$ единиц или примерно $6,33$ единиц.

  Пример 2

  Вычислить длину дуги вектор-функции, $\textbf{r}(t) = \left<2\cos t, 2\sin t, 4t\right>$, если $t$ находится внутри интервала, $t \in [0, 2\pi]$.

  Решение

  Теперь мы ищем длину дуги векторной функции, поэтому воспользуемся формулой, показанной ниже. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x}dt\end{aligned}

  Сначала возьмем производную каждой компоненты, чтобы найти $\textbf{r}\prime(t)$.

  \begin{выровнено}x\prime(t)\end{выровнено}	\begin{align}x\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 \cos t)\\&= 2(-\sin t)\\&= -2\sin t \end {выровнено}
  \begin{выровнено}y \prime(t)\end{выровнено}	\begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 \sin t)\\&= 2(\cos t)\\&= 2\cos t\end{выровнено }
  \begin{выровнено}z\prime(t)\end{выровнено}	\begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 4t)\\&= 4(1)\\&= 4\end{выровнено}
  \begin{выровнено}\textbf{r}\prime(t) &= \left\\&= \left <-2\sin t, 2\cos t, 4\right>\end{выровнено}

  Теперь найдем величину $\textbf{r}\prime(t)$, добавив квадраты компонентов касательного вектора. Запишите квадратный корень из суммы, чтобы выразить величину через $t$. 9{2\pi} \phantom{x}dt\\&= 2\sqrt{5}(2\pi – 0)\\&= 4\sqrt{5}\pi\\&\примерно 28,10\end{выровнено }

  Это означает, что длина дуги векторной функции составляет $4\sqrt{5}\pi$ или приблизительно $28,10$ единиц.

  Практические вопросы

  1. Вектор $\textbf{u}$ имеет начальную точку в точке $P(-4, 2, -2 )$ и конец в точке $Q(-1, 3, 1)$. Какова длина вектора?

  2. Вычислить длину дуги вектор-функции $\textbf{r}(t) = \left$, если $t$ находится в пределах интервал, $t \in [0, 2\pi]$.

  Ключ ответа

  1. Вектор имеет длину $\sqrt{19}$ единиц или примерно $4,36$ единиц.
  2. Длина дуги примерно равна $25,343$ единиц.

  Трехмерные изображения/математические чертежи создаются с помощью GeoGebra.

  Исчисление III. Длина дуги с векторными функциями

  Онлайн-заметки Пола
  Главная / Исчисление III / Трехмерное пространство / Длина дуги с векторными функциями

  Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

  Уведомление для мобильных устройств

  Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

  Раздел 12.9: Длина дуги с векторными функциями

  В этом разделе мы переведем старую формулу в термины векторных функций. Мы хотим определить длину векторной функции,

  \[\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \ ]

  на интервале \(a \le t \le b\).

  Мы уже знаем, как это сделать. Напомним, что мы можем записать векторную функцию в параметрическую форму,

  \[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0. 25in}z = h\left( t \right)\]

  Также напомню, что для двумерных параметрических кривых длина дуги определяется выражением 9{{\,b}}{{\влево\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | \, dt}} \]

  Давайте рассмотрим быстрый пример этого.

  Пример 1 Определить длину кривой \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right)} \right\rangle \) на отрезке \(0 \le t \le 2\pi \).

  Показать решение

  Сначала нам понадобится касательный вектор и его величина.

  9{{\, т}} {{\ влево \| {\ vec r ‘\ влево ( и \ вправо)} \ вправо \ | \, du}} \]

  Прежде чем мы рассмотрим, почему это может быть важно, давайте рассмотрим небольшой пример.

  Пример 2. Определить функцию длины дуги для \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \право)} \право\угол \).

  Показать решение

  Из предыдущего примера мы знаем, что

  \[\слева\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | = 2\квадрат {10} \] 9т = 2\sqrt {10} \,т\]

  Ладно, только зачем нам это? Что ж, давайте возьмем результат примера выше и решим его для \(t\).

  \[t = \frac{s}{{2\sqrt {10} }}\]

  Теперь, взяв это и подставив в исходную векторную функцию, мы можем репараметризовать функцию в виде \(\vec r\left( {t\left( s \right)} \right)\). Для нашей функции это

  . \[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \]

  Итак, зачем нам это? Что ж, с репараметризацией мы теперь можем сказать, где мы находимся на кривой после того, как мы прошли расстояние \(s\) вдоль кривой. Также обратите внимание, что мы начнем измерение расстояния с того места, где мы находимся в точке \(t = 0\).

  Пример 3. Где на кривой \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right )} \right\rangle \) после путешествия на расстояние \(\displaystyle \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\)?

  Показать решение

  Чтобы определить это, нам нужна репараметризация, которую мы получили сверху.

  \[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \]

  Затем, чтобы определить, где мы находимся, все, что нам нужно сделать, это подставить сюда \(s = \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\), и мы получим наше местоположение.