Site Loader

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3 — Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ элСктростатикС (Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°)

1. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.3

2. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 11

3. УсловиС:

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° диэлСктричСской проницаСмости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ мСняСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ значСния Ξ΅1 Π΄ΠΎ Ξ΅2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R1, ΠΈ Ξ΅3=сonst Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов R1 Π΄ΠΎ R0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² элСктричСского поля E, поляризованности Π  ΠΈ элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй повСрхностях диэлСктриков, распрСдСлСниС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ плотности связанных зарядов ρ’(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля Π• ΠΈ Ρ‘ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ξ΅2/Ξ΅1=2/1; Ξ΅3/Ξ΅1=2/1; R0/R=2/1

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0.

4. РСшСниС:

5. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ радиуса

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° .

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса

Β ΠΈ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ диэлСктричСской проницаСмости Ξ΅.

Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ,

.

Π’.ΠΊ. , Π° , Ρ‚ΠΎ , поэтому

,Β  .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов

, Π³Π΄Π΅ Β — косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ рассматриваСмой ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ повСрхности  , Π° для внСшнСй повСрхности . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° .

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов , для полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

, .

Для опрСдСлСния ёмкости вычислим напряТСниС Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ…

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ .

6. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 12

7. УсловиС:

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° диэлСктричСской проницаСмости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ мСняСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ значСния Ξ΅1 Π΄ΠΎ Ξ΅2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R1, ΠΈ Ξ΅3=сonst Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов R1 Π΄ΠΎ R0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² элСктричСского поля E, поляризованности Π  ΠΈ элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй повСрхностях диэлСктриков, распрСдСлСниС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ плотности связанных зарядов ρ’(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля Π• ΠΈ Ρ‘ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ξ΅2/Ξ΅1=3/1; Ξ΅3/Ξ΅1=1/2; R0/R=2/1

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0.

8. РСшСниС:

9. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ радиуса

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° .

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса

Β ΠΈ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ диэлСктричСской проницаСмости Ξ΅,

. Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ,

.

Π’.ΠΊ. , Π° , Ρ‚ΠΎ , поэтому

,Β  .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов

, Π³Π΄Π΅ Β — косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ рассматриваСмой ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ повСрхности  , Π° для внСшнСй повСрхности . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° .

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° .

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов , для полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

, .

Для опрСдСлСния ёмкости вычислим напряТСниС Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ…

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ .

10. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 13

11. УсловиС:

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° диэлСктричСской проницаСмости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ мСняСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ значСния Ξ΅1 Π΄ΠΎ Ξ΅2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R1, ΠΈ Ξ΅3=сonst Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов R1 Π΄ΠΎ R0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² элСктричСского поля E, поляризованности Π  ΠΈ элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй повСрхностях диэлСктриков, распрСдСлСниС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ плотности связанных зарядов ρ’(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля Π• ΠΈ Ρ‘ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ξ΅2/Ξ΅1=2/1; Ξ΅3/Ξ΅1=3/1; R0/R=2/1

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0.

12. РСшСниС:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ радиуса

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° .

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса

Β ΠΈ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ диэлСктричСской проницаСмости Ξ΅.

Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ,

.

Π’.ΠΊ. , Π° , Ρ‚ΠΎ , поэтому

,Β  .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов

, Π³Π΄Π΅ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ рассматриваСмой ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ повСрхности  , Π° для внСшнСй повСрхности . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° .

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов , для полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

, .

Для опрСдСлСния ёмкости вычислим напряТСниС Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ…

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

.

13. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 14

14. УсловиС:

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° диэлСктричСской проницаСмости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ мСняСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ значСния Ξ΅1 Π΄ΠΎ Ξ΅2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R1, ΠΈ Ξ΅3=сonst Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов R1 Π΄ΠΎ R0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² элСктричСского поля E, поляризованности Π  ΠΈ элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй повСрхностях диэлСктриков, распрСдСлСниС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ плотности связанных зарядов ρ’(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля Π• ΠΈ Ρ‘ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ξ΅2/Ξ΅1=1/2; Ξ΅3/Ξ΅1=3/1; R0/R=3/1

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0.

15. РСшСниС:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ радиуса

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° .

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса

Β ΠΈ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ диэлСктричСской проницаСмости Ξ΅.

Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ,

.

Π’.ΠΊ. , Π° , Ρ‚ΠΎ , поэтому

,Β  .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов

, Π³Π΄Π΅ Β — косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ рассматриваСмой ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ повСрхности  , Π° для внСшнСй повСрхности . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° .

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов , для полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

,

.

Для опрСдСлСния ёмкости вычислим напряТСниС Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ…

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ .

16. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 15

17. УсловиС:

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° диэлСктричСской проницаСмости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ мСняСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ значСния Ξ΅1 Π΄ΠΎ Ξ΅2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R1, ΠΈ Ξ΅3=сonst Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов R1 Π΄ΠΎ R0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² элСктричСского поля E, поляризованности Π  ΠΈ элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй повСрхностях диэлСктриков, распрСдСлСниС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ плотности связанных зарядов ρ’(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля Π• ΠΈ Ρ‘ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ξ΅2/Ξ΅1=1/3; Ξ΅3/Ξ΅1=1/2; R0/R=2/1

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0.

18. РСшСниС:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ радиуса

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° .

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса

Β ΠΈ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ диэлСктричСской проницаСмости Ξ΅,

. Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ .

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, .

Π’.ΠΊ. , Π° , Ρ‚ΠΎ , поэтому

,Β  .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов

, Π³Π΄Π΅ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ рассматриваСмой ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ повСрхности  , Π° для внСшнСй повСрхности . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

.

Β ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° .

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов , для полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

,

.

Для опрСдСлСния ёмкости вычислим напряТСниС Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ…

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ .

19. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 16

20. УсловиС:

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° диэлСктричСской проницаСмости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ мСняСтся ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ значСния Ξ΅1 Π΄ΠΎ Ξ΅2 Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R1, ΠΈ Ξ΅3=сonst Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ радиусов R1 Π΄ΠΎ R0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² элСктричСского поля E, поляризованности Π  ΠΈ элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй повСрхностях диэлСктриков, распрСдСлСниС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ плотности связанных зарядов ρ’(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ элСктричСского поля Π• ΠΈ Ρ‘ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ξ΅2/Ξ΅1=1/2; Ξ΅3/Ξ΅1=2/1; R0/R=3/1

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ’(r)/ρ’(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0.

21. РСшСниС:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ радиуса

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° .

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса

Β ΠΈ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ диэлСктричСской проницаСмости Ξ΅.

Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ,

.

Π’.ΠΊ. , Π° , Ρ‚ΠΎ , поэтому

,Β  .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов

, Π³Π΄Π΅ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ рассматриваСмой ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ повСрхности  , Π° для внСшнСй повСрхности . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ , Π° .

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов , для полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

Π›ΡŽΠ΄ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ этой Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ: Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π²Ρ†Π°. Π Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ°.

,

.

Для опрСдСлСния ёмкости вычислим напряТСниС Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ…

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ .

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. — ЭлСктростатика — 3 сСмСстр — 2004 — сайт студСнтов ПБ ΠœΠ“Π’Π£

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.1

БфСричСский диэлСктричСский кондСнсатор ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. Заряд кондСнсатора Ρ€Π°Π²Π΅Π½ q. ДиэлСктричСская ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ мСняСтся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Ξ΅ = f(r).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского поля Π•, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° поляризованности Π  ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ξ΄’1 ΠΈ внСшнСй Ξ΄’2 повСрхностях диэлСктрика, распрСдСлСниС объСмной плотности зарядов ρ'(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния напряТСнности элСктричСского поля Π•, Π²Π΅ΠΊΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского смСщСния D, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсаторов.

Ѐункция Ξ΅ = f(r) для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Ξ΅ = (R0n + Rn)(Rn + rn)

Ѐункция Ξ΅ = f(r) для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
Ξ΅ = (R0n + Rn — rn)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.1. ЗначСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² n ΠΈ R0/R Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°.

# Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°R0/Rn
12/12
23/12
33/22
42/13
53/13
63/23
72/14
83/14
93/24
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.2

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиусы внСшнСй ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ R0 ΠΈ R соотвСтствСнно. ДиэлСктричСская ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ мСняСтся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Ξ΅ = f(r).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского поля Π•, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° поляризованности Π  ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов Π½Π° внСшнСй Ξ΄’2 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ξ΄’1 повСрхностях диэлСктрика, распрСдСлСниС объСмной плотности связанных зарядов ρ'(r), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния напряТСнности элСктричСского поля Π•, Π²Π΅ΠΊΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского смСщСния D, Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Ѐункция Ξ΅ = f(r) для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
Ξ΅ = (R0n + Rn)/(Rn + rn

).

Ѐункция Ξ΅ = f(r) для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
Ξ΅ = (R0n)/(R0n + Rn — rn)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.2 НомСра Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π² зависимости ΠΎΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² n ΠΈ R0/R

# Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°R0/Rn
102/12
113/12
123/22
132/13
143/13
153/23
162/1
4
173/14
183/24
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. 3

ЦилиндричСский бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ диэлСктричСский кондСнсатор заряТСн Π΄ΠΎ разности ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² U ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ d. ДиэлСктричСская ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΡ†Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ мСняСтся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Ξ΅ = f(y).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски распрСдСлСниС ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского поля E, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° поляризованности P ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского смСщСния D ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ кондСнсатора. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора C Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов Οƒ

1 ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Οƒ2 повСрхностях диэлСктрика, распрСдСлСниС объСмной плотности связанных зарядов ρ(y), ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния напряТСнности элСктричСского поля E ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского смСщСния D.

Ѐункция Ξ΅ = f(y) для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
Ξ΅ = (d0n + dn)/(yn + d0n)

Ѐункция Ξ΅ = f(y) для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
Ξ΅ = (d0n)/(d0n — yn)
d0 — извСстный ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€.

# Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°d0/dn
191/10.5
202/10.5
213/10.5
222/11
231/11
243/11
251/12
262/12
273/12
Для всСх Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ².

По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ графичСски зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ r ΠΎΡ‚ R Π΄ΠΎ R0 для Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1.1 ΠΈ 1.2, ΠΈ D(y)/D(0), E(y)/E(0) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ d для Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 1.3. ВсС зависимости ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ элСктростатики.

Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ E,D,P:
D = Ξ΅0Ξ΅E, P = (Ξ΅-1)Ξ΅0E, P = (Ξ΅ -1)D/Ξ΅

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Гаусса для диэлСктрика:

∫SDdS = q.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Гаусса для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° поляризованности P:
∫SPdS = -q’.

Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ элСктричСского поля E ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Ο†:
1∫2Edl = Ο†1 — Ο†2 = -βˆ†Ο†

Π•ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора:
C = q/βˆ†Ο†

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 1.1.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ модуля Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° E,D,P ΠΎΡ‚ радиуса r Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ заряд Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ +q ΠΈ -q соотвСтствСнно. Для ΠΈΠ·ΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ срСды связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ опрСдСляСтся извСстными ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Гаусса для сфСры радиуса r:
4Пr2D=q
ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ для ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² E,D,P:
D=q/4Пr2, E=q/4ПΡΡ0r2, P=(Ξ΅ — 1)q/4ПΡr2
Π΄Π°Π»Π΅Π΅ для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ²
D=q/4Пr2, E=q(Rn+rn)/4(R0n + Rn)ПΡ0r2,
P=(R0n — rn)q/4Пr2(R0n + Rn)
для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ²:
D = q/4Пr2, E=q(R0n + Rn — rn)/4П(R0n)Ξ΅0r2,
P = q(r

n — Rn)/4ПΡr2R0n

ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Pn = Οƒ’, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ²:
P = (R0n — Rn)q/4Пr2(R0n + Rn) ΠΏΡ€ΠΈ r=R
P = (R0n — R0n)q/4Пr2(R0n + Rn)=0 ΠΏΡ€ΠΈ r=R0

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΈΠ· уравнСния:
∫SPdS = -q’

Π’ качСствС повСрхности интСгрирования Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ концСнтричСскиС сфСричСскиС повСрхности радиусами r ΠΈ r+dr.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:
d(P4Пr2) =-dq’
Π³Π΄Π΅ -dq’=ρ'(4Пr2dr) — Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° связанного заряда, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими сфСричСскими повСрхностями.
для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°:
d((R0n — rn)q/4П(R0n + Rn))/r2dr = ρ’ = (-nrn-1)q/4П(R0n + Rn)r2

Π•ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ найдя Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ:
βˆ†Ο† = U = -∫Ed(r)
U = (q/4(R0n + Rn

)ПΡ0∫(Rn + rn)/r2 = (rn/(n-1) — Rn)/r = (R0n/(n-1) — Rn)/R0 — (Rn/(n-1) — Rn)/R
Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Смкости кондСнсатора C=q/βˆ†Ο†

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 1.2.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ модуля Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² E,D,P ΠΎΡ‚ радиуса r Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ заряд Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΈ внСшнСй ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ +Ξ» ΠΈ -Ξ» соотвСтствСнно. Для ΠΈΠ·ΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ срСды связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ опрСдСляСтся извСстными ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Гаусса для цилиндричСской повСрхности радиуса r:
2ПrlD=λl
ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ для ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² E,D,P:
D=λ/2Пr, E=λ/2ПΡΡ0r, P=(Ρ-1)λ/2ПΡr
Π΄Π°Π»Π΅Π΅ для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ²:
D = λ/2Пr, E=λ(Rn + rn)/2(R0n+Rn)ПΡ0r,
P = (R0n — rn)Ξ»/2Пr(R0n + Rn)
для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ²:
D = Ξ»/2Пr, E=Ξ»(R0n + Rn — rn)/2П(R0)nΞ΅0r,
P = Ξ»(rn — Rn)/2ПrR0n

ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Pn = Οƒ’, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ²:
P = (R0n — Rn)Ξ»/2Пr(R0n + Rn) ΠΏΡ€ΠΈ r=R
P = (R0n — R0n)Ξ»/2Пr(R0n + Rn) = 0 ΠΏΡ€ΠΈ r=R0

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ связанных зарядов ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΈΠ· уравнСния:
∫SPdS = -q’

Π’ качСствС повСрхности интСгрирования Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ цилиндричСскиС повСрхности радиусами r ΠΈ r+dr. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:
d(P2Пrl) = -dq’
Π³Π΄Π΅ -dq’ = ρ'(2Пrldr) — Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° связанного заряда, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими сфСричСскими повСрхностями.

для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°:
(d((R0n)Ξ»/2Пr(R0n+Rn))2Пr)/2Пrdr = ρ’ = (-nrn-l)Ξ»/2П(R0n + Rn)r

Π•ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ кондСнсатора ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ найдя Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ:
βˆ†Ο† = U = -∫ Ed(r)
U=(Ξ»/2(R0n + Rn)ПΡ0)∫(Rn + rn)/r = (rn/n — Rnlnr) = (Ξ»/2(R0n + Rn)ПΡ0)(((R0n — Rn)/n) — (Rnln(R0/R))).

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Смкости кондСнсатора Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹: C = Ξ»/βˆ†Ο†

элСктростатика β€” ЭлСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π½Π΅ бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ кондСнсатора

спросил

ИзмСнСно 6 Π»Π΅Ρ‚, 4 мСсяца Π½Π°Π·Π°Π΄

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 287 Ρ€Π°Π·

$\begingroup$

Если ΠΌΡ‹ построим гауссову ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ (Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· дисков Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ заряТСнной пластинС кондСнсатора) ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ P, Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ заряд Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ повСрхности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. . А элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ плоскости пластин бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ кондСнсатора, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊ дискам Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, поэтому элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ P Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎ P Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ заряТСнной пластинС ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊ плоскости пластины. внСшнСС элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² P. Π― Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅, Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ Π·Π° Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ.

  • элСктростатика
  • Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
  • Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Гаусса

$\endgroup$

3

$\begingroup$

БСсконСчная большая пластина создаСт пСрпСндикулярноС Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, насколько Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΎΡ‚ этой пластины, Π²Ρ‹ измСряСтС ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ кондСнсатор ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ заряТСнных пластин, поля ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ пластинами Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ, Π° это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ, Π° поля снаруТи пластин Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π½Π΅, ΠΈ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ снаруТи.

$\endgroup$

0

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² систСму

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Google

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Facebook

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ

ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ЭлСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π°

ВрСбуСтся, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ отобраТаСтся

ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ЭлСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π°

ВрСбуСтся, Π½ΠΎ Π½Π΅ отобраТаСтся

НаТимая Β«ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Β», Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ с нашими условиями обслуТивания, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ использования Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² cookie

.

Π•ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ концСнтричСских Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ² – Дэвид ПСйс, Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€ философии, MBA

Π’Ρ‹ здСсь: Главная / Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° / Π•ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ концСнтричСских Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ²

6 ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅Π²

Π’ этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΌΡ‹ рассчитаСм Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы концСнтричСских цилиндричСских ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

На ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ рисункС прСдставлСна ​​гСомСтрия этой Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹. Π”Π²Π΅ проводящиС ΠΈ концСнтричСскиС цилиндричСскиС ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ бСсконСчной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ систСму с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Кл.

ГСомСтрия этой Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹. ЦилиндричСскиС ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅ (хотя ΠΈ Π½Π΅ нарисованныС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ). Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиус b, Π° внутрСнняя ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиус a.

НачнСм с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, C/L, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ общая Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Смкости:

, Π³Π΄Π΅ Q β€” заряд систСмы, Π° V β€” Π΅Π΅ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π». Из этого выраТСния Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это количСство заряда, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сохранСно Π² систСмС, удСрТивая Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π΅ V. Заряд β€” это количСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ. НапримСр, Π² кондСнсаторС с плоскими пластинами заряд, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π²

Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ суммы Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· пластин (Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ использовали ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ заряд, Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ ноль).

Для опрСдСлСния Смкости этой систСмы размСстим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ заряд Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ +Q Π½Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ ΠΈ -Q Π½Π° внСшний. Чистый заряд систСмы остаСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ заряд Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ². НашС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Смкости Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ этой систСмы:

, Π³Π΄Π΅ Q = Q извСстно (ΠΌΡ‹ подставили Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΡƒΠ΄Π° сами). ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» V, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сохраняСтся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ этого заряда.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Π³Π΄Π΅ находится вСсь заряд Π² этой систСмС, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΡŽΠ΄Ρƒ. Зная элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ E ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ΠΎ прСдставляСт собой ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ l . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ здСсь линия Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹. БистСма симмСтрична, ΠΈ эта ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°ΠΌΠΈ прСдставляСт собой ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ симмСтрии систСмы являСтся ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π° элСктричСского поля Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, показанная Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅. БСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ создаСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ вдоль Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° r Π² цилиндричСской систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ЭлСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅, создаваСмоС Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠΌ суммарного заряда +Q, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ расчСта элСктричСского поля, вспомним Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Гаусса,

, Π³Π΄Π΅ Q enc β€” ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ заряд, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ A.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°ΠΌΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ пСрпСндикулярна ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ (Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΡŽ, которая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ элСктричСскому полю). Бкалярный ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. На рис. 3 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π°Ρ этому Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ повСрхности Гаусса, A , Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ элСктричСского поля.

Штриховая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Гаусса, которая ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ элСктричСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

На ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° элСктричСского поля. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Заряд внСшнСго Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π½Π΅ вносит Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ заряд, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° повСрхности. Π’Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ заряд ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСляСтся зарядом Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°. Π­Ρ‚Π° цилиндричСская ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΈ прСдставляСт собой Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’Π΅ΡΡŒ заряд самого Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ Π² нашСй повСрхности, Q enc = +Q.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, d A , ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрСписан Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… этой Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ гауссовой повСрхности опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° радиуса r. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ опрСдСляСтся Π² фиксированном Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, поэтому для вычислСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ осСвыС (z) ΠΈ Π°Π·ΠΈΠΌΡƒΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (Ξ¦) ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ Гаусса, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,




, Π³Π΄Π΅ послСдний шаг ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записана ΠΊΠ°ΠΊ L.

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ этих Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.






, Π³Π΄Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± обосновании порядка ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π΅.

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния элСктричСского ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π½Π° бСсконСчности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, начиная с бСсконСчности (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ дальшС) ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ интСгрирования Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с самой внСшнСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ b ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² самой Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

alexxlab

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *