Site Loader

Содержание

Векторы в физике и математике

Слайд 1

в физике Векторы и математике у х А О В n

Слайд 2

Объектом исследования являются Векторы и его свойства

Слайд 3

Предмет исследования Применение вектора и его свойств при решении задач школьного курса физики

Слайд 4

Цель работы -определить сущность, функции межпредметных связей и их классификацию, а так же повысить собственный уровень знаний и умений в применении свойств вектора при решении физических задач; -показать применение вектора и его свойств при решении физических задач школьного курса физики 7-11 классов, олимпиадных задач, а так же задач ЕГЭ;

Слайд 5

Задачи 3. Решить задачи разного уровня сложности, содержащиеся в учебниках физики, сборниках задач, олимпиадных задач и задач ЕГЭ по выбранным темам. 1. Сопоставить понятие вектор, которое дается в учебниках школьного курса физики и геометрии; 2. Проанализировать содержание курса физики 7-11 классов и отобрать темы, в которых при решении задач используется свойства вектора;

Слайд 6

Актуальность Необходимость формирования целостного представления о применении векторов в физике и математике и подготовки к ЕГЭ по этим предметам.

Слайд 7

Практическая значимость работы Заключается в том, что предложенные в работе задачи могут быть использованы на уроках математики, быть полезными учащимся при изучении курса физики и подготовке к ЕГЭ, решении практических задач. Данная работа может представлять интерес для учителей физики и математики при подготовке к урокам и организации повторения.

Слайд 8

Векторы в математике Впервые, понятие вектора дается на уроке геометрии в 8 классе учебника А. В. Погорелова. Вектором называют направленный отрезок, направление которого определяется указанием его начала и конца.

Слайд 9

Векторы в математике Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающая вектор. Если начало вектора совпадает с его концом, такой вектор называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается .

Слайд 10

Векторы в математике Два вектора называются равными , если они совмещаются параллельным переносом. Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. m n

Слайд 11

Действия над векторами сложение векторов умножение вектора на число скалярное произведение векторов разложение вектора по координатным осям

Слайд 12

Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма

Слайд 13

Умножение вектора на число ( λ =

Слайд 14

Скалярное произведение векторов ( . ( = + Если скалярные векторы перпендикулярны, то их произведение равно нулю.

Слайд 15

Разложение вектора по координатным осям Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления координатных полуосей, называются координатными векторами. (1;0) (0;1) и ( λ + μ λ . μ

Слайд 16

Векторы в физике В школьном курсе физики учебника А.В. Пёрышкина 7 класса, впервые понятие векторной величины вводится на примере таких физических величин, как Сила и Скорость . Так же вводится понятие Вес тела , которое тоже является векторной величиной. Болеет углубленно понятие вектора и его свойств затрагивается при изучении физики 9 класса учебника А. В. Пёрышкина и Е. М. Гутник .

Слайд 17

Проекция вектора на ось Проекцией точки А на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра АВ, опущенного на ось l из точки А. Проекцией вектора на ось l называется разность проекций конца вектора и его начала.

Слайд 18

Решение физических задач векторным методом Задача . С какого расстояния S от центра полусферы радиуса R =1,35 м, с какой скоростью и под каким углом β нужно бросить маленькую шайбу (из положения 1), чтобы она, попав на полусферу, остановилась на её вершине (положение 2) рисунок (а)? Трением шайбы о полусферу и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 . Сформулируем обратную задачу : На каком расстоянии S от центра полусферы, с какой скоростью U и под каким углом β упадёт шайба, скатывающаяся с вершины полусферы радиуса R рисунок (б)? Трением шайбы о поверхность полусферы и сопротивлением воздуха пренебречь.

Слайд 19

Решение физических задач векторным методом V 0 = . (1.1 ) Решение. mg cos α = m V 0 2 /R, откуда V 0 = . (1.2) h = R(1 – cos α) V 0 = . (1.3) cos α = 2/3 (1.4) V 0 = = = 3 м/с (1.5) Х = V ox t = ( V o cos α)t ( 1.6) Y = V oy t + gt 2 /2 = (V o sin α)t +gt 2 /2 ( 1.7) При t = t п – времени полёта шайбы до точки падения, X = X max , a Y = R cos α = 1,35 . 2/3 = 0,9 м sin α = = = = /3. ………………

Слайд 20

Решение физических задач векторным методом 0,9 = t п + 5t п 2 , (1.8) t п = ( + )/ 10 = 0,7 с. X max = ( V o cos α)t п = 3 . 2/3 . 0,7 = 1,4 м. S = X max + R sin α = 1,4 + 1,35 . /3 = 2,41 м. V = ( 1.9). V ox = V o cos α = 3 . 2/3 = 2 м; V y = V o sin α + gt п = 3 . /3 + 10 . 0,7 = 9,24 м/с , V = = 9,45 м/с. tg β = V y / V ox = 9,24/ 2 = 4,62 β = 77,8 o .

Слайд 21

Решение физических задач векторным метом Задача . Частица массы 2m налетает на неподвижную частицу массы m. После столкновения частицы разлетаются симметрично под углом 45 о к направлению начальной скорости, рисунок (а). Во сколько раз возросла суммарная кинетическая энергия после столкновения?

Слайд 22

Решение. = .(1.1 ) p = (1.2) Е к = р 2 /4m = 2р 1 2 / 4m = р 1 2 / 2m . (1.3 ) Е к1 + Е к2 = (р 1 2 / 2m) + (p 2 2 / 4m) = 3p 1 2 /4m. (1.4) (Е к1 + Е к2 )/ Е к = 3p 1 2 2m / p 1 2 4m = 3/2 = 1,5. (1.7 ) Решение физических задач векторным метом

Слайд 23

Решение физических задач векторным метом По двум длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии r, текут токи I 1 и I 2 в направлениях, указанных на рисунке (а), на котором изображены сечения проводников плоскостью, перпендикулярной им. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r 1 от первого проводника и на расстоянии r 2 от второго. Задача . (а) (б)

Слайд 24

Решение физических задач векторным метом Решение. В= (1.1 ) а cos α по той же теореме, но только для треугольника rr 1 r 2 : cos α = (r 1 2 + r 2 2 – r)/ 2r 1 r 2 . (1.2 ) В = (1.3) (а) (б)

Слайд 25

Задачи из ЕГЭ по физике Через неподвижный блок переброшена нерастяжимая нить. На концах этой нити подвешены грузы равных масс М. На один из грузов поставили груз массой m . Определите ускорение движения грузов, силу натяжения нити, силу давления груза m на M , а также силу давления на ось блока. Массой блока и нити можно пренебречь. Задача .

Слайд 26

Задачи из ЕГЭ по физике Решение. для тела 1 для тела 2 для тела m Найдем mg = a ( 2 M + m ) a = g . Из уравнения (1) T = Mg + Ma = . Из уравнения (3) сила давления P = mg — ma = mg — m = .

Слайд 27

Задачи из ЕГЭ по физике = -2 T = 0 = 2 T

Слайд 28

Задачи из ЕГЭ по физике При скоростном спуске лыжник скользил вниз по склону с углом наклона , не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег 0.1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: F = k , где k =0.7 кг/м. Какова максимальная скорость лыжника, если его масса 100 кг? Задача.

Слайд 29

Задачи из ЕГЭ по физике Решение. = k a = a ( t ) а= u ’( t )=0 =29,8 м/с

Слайд 30

Задачи из ЕГЭ по физике Два небольших упругих шарика подвешены на нити =10 см и =5 см так, что они соприкасаются, линия их центров горизонтальна, а нити вертикальны. Масса шариков Шарик массой отклоняют на угол от вертикали отпускают. На какие углы отклонятся нити после абсолютно упругого соударения шариков? Задача.

Слайд 31

Задачи из ЕГЭ по физике Решение. Из ∆ AOB OB = BD=OD-OB= cos α= (1) ; = / 2; ⟹ h = m /2⟹ = Рассмотрим систему, состоящую из двух шариков. = /2 = /2 + /2

Слайд 32

Задачи из ЕГЭ по физике = ⟹ = и = = /(2 g ) cos = 1- =1- =1-( ) =1- = = 1- (1- cos α )= =38, cos =1- =1 — = 1- =1- 2gh = = 1- 4(1- cos α) ( = ⟹ = arccos =8,

Слайд 33

в физике Векторы и математике у х А О В n

Открытый урок по физике и математике на тему «Вектор и его применение.»

Интегрированный урок по теме: Вектор и его применение.

Цели и задачи:

  • Синтезировать и обобщить полученные теоретические и практические знания на уроках геометрии и физики,

  • Развивать умения  применять знания и умения в знакомой и в новых учебных ситуациях,

  • Развивать логическое мышление, память, самостоятельность,

  • Формировать коммуникативную и эмоциональную культуру,

  • Продолжать показ тесной связи точных наук,

  • Воспитывать устойчивый интерес к изучению физики и математики через реализацию межпредметных связей,

  • Воспитывать чувство взаимопомощи и объективной оценке знаний.

Тип урока: 
Комбинированный урок повторения  изученного материала.
Технология: 

Личностно-ориентированная, информационно-коммуникативная.

Оборудование:

  • Мультимедийный проектор, компьютер.

  • Чертежные инструменты

  • Карточки-задания, канцелярские .принадлежности.

  • Репродукции картин.

  • Презентация

Литература:

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Л.В., Юдина И.И. Геометрия 7-9 кл. Просвещение,2006

  2. Зив Б. Г., Мейлер В. М. Геометрия. Дидактические материалы для 8 класса. Просвещение,2006

  3. Задачник Степановой Г.Н.для 7-9 классов

  4. А.В. Пёрушкин, Е.М. Путник Физика -9 .Просвещение,2006

Структура урока

  • Целеполагание и мотивация. Приветствие.

  • Обобщение и систематизация.

  • Практические задания на слайдах

  • Межпредметные связи ( работа с картинами)
    Самостоятельная работа (выполнение теста). 
    Домашнее задание.

  •  Рефлексия. 

  • Подведение итогов

Эпиграф к уроку.

«Практика рождается из тесного соединения физики и математики»

Бэкон.Ф.

Ход урока.

I. Орг. момент

Объясняются основные моменты урока: на столах у каждого карточки-задания, лист самооценки, который необходимо подписать.

Задачи ученики решают на выданных карточках, ответы записывают в лист самооценки. Возможна дополнительная оценка, для тех, кто решает быстрее.

Целеполагание и мотивация. Приветствие.

Учитель математики

Сегодня у нас с вами необычный урок. Мы проводим уроки физики и математики вместе. Математика и физика – два тесно связанных предмета. И за одной из связующих ниточек мы с вами сегодня проследим. На уроках математики, решая задачи, мы с вами составляем математические модели реальных ситуаций. Но в жизни достаточно ситуаций, зависящих от природных явлений, т.е. физических величин. Итак, тема сегодняшнего урока: Вектор и его применение.. — Давайте поставим цели урока.

— Ученики называют.

Учитель физики.

Вывод: — Значит мы должны научиться решать задачи на основе реальных ситуаций, чтобы отвечать на множество возникающих вопросов в жизни

Учитель математики: Практика рождается из тесного соединения физики и математики. Френсис Бекон.

-Сегодня на примере решения физических задач с векторными величинами мы постараемся убедиться в истинности данного высказывания.

Учитель физики: И неслучайно, вектор в школьной программе изучается в математике и физике. Важность этого понятия никто уже не оспаривает. Мы изучаем векторы. А где это применяется?

Векторная история — это пограничная история, между математикой и физикой. Геометрический подход к физическим задачам наследуется еще от древних греков. Смещение от числовых, или скалярных, координат из аналитической геометрии к житейскому понятию направление, смешанному с иллюстративно-художественным подходом, постепенно трансформировало образы мышления физиков.

Задачи подобного содержания предлагались многим предыдущим поколениям.

Учитель математики:

Для успешной работы на уроке нам необходимо вспомнить основные понятия, которые будут использоваться при решении задач.

Я предлагаю вам поработать в группах. В каждой группе есть консультант, который в бланке учёта знаний фиксирует ответы учащихся. Правильный ответ оценивается в 1 балл.

1. Дать определение вектора.

2. Назовите векторные физические величины.

3. Чем характеризуется вектор?

4. Как найти проекцию вектора на ось координат?

5. Как определяется длина вектора, если известны координаты?

6. Чем отличается путь от перемещения?

7. Назовите правила сложения векторов.

8. Какое из этих правил используется в физике? Почему?

9. Какие векторы называются коллинеарными?

10. Векторы скорости и ускорения коллинеарные. Какие виды движения возможны при различных направлениях этих векторов?

11. Что такое равнодействующая сила?

Учитель математики. У вас на столах даны таблицы, вам нужно провести

сравнительный анализ понятия “вектор” и действий над векторами в математике и физике. (Дети заполняют таблицу, а затем проверяем по слайду)

.

Учитель физики.

Вывод: особенности: в математике вектор можно отложить от любой точки плоскости, в физике силы приложены к одной точке; в математике используют при сложении векторов правило треугольника и правило параллелограмма, в физике чаще пользуются правилом параллелограмма;  в математике длину вектора называют  модулем , в физике –длиной.

 

Работаем по готовым чертежам.




Учитель физики.

Задачи на готовых чертежах по физике.

1. На рисунке показаны перемещения пяти материальных точек. Найдите проекции векторов перемещения на оси координат.

2. На рисунке показана траектория движения материальной точки из A в B. Найдите координаты точки в начале и конце движения, перемещение, проекции перемещения на оси координат.

3. Определите величину собственной скорости катера, который, несмотря на течение реки со скоростью 1 км/ч, движется перпендикулярно течению со скоростью 2,4 км/ч.

4. Вертолёт пролетел в горизонтальном полёте по прямой 40 км, повернул под углом 90ْ и пролетел ещё 30 км.

Найти путь и перемещение вертолёта.

Учитель математики:

Изучая любую тему предмета, всегда невольно встаёт вопрос о её применимости в жизни. И сейчас есть множество достоверных фактов подтверждающих, что тема «Векторы» помогает находить ответ даже на некоторые вопросы , возникающие в нестандартных ситуациях межличностного общения. История о том, как «лебедь, рак и щука вести с поклажей воз взялись» известна всем. Напомним её 

И.А. Крылов. Басня «Лебедь, Рак и Щука». (Вызываются 4 участника) от каждой группы по одному)

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдёт,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак да Щука,

Везти с поклажей воз взялись

И вместе трое все, в него впряглись:

Из кожи лезут вон, а возу всё нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвётся в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Кто виноват у них, кто прав, — судить не нам;

Да только воз и ныне там.

Учитель физики:

Н.В.Гоголь собрание басен И.А.Крылова назвал «книгой мудрости самого народа». Вы думаете, почему с точки зрения человеческих отношений «воз и ныне там»?

А теперь давайте ответим на этот вопрос с физической точки зрения.

лебедь

рак

щука

Учитель математики

Второй пример: На уроках физкультуры вы играете с мячом. Если мяч подбросить вверх , то какими векторными величинами можно описать движение мяча?

(Взять мяч, подбросить вверх)

( Движение мяча описывается следующими векторными величинами: перемещение мяча, скорость, сила тяжести,)

Учитель физики.

Взаимосвязь физики с искусством.

Работа в группах. Класс разделён на 4 группы. Каждая группа получает репродукцию картин и отвечает на вопросы, поставленные к ней.

1 гр. – картина Репина И. Е. « Бурлаки на Волге».

Вопрос: определить направление сил действующих на корабль.

Изобразите силы, действующие на него в процессе движения.

2 гр. — картина Перова В.М. « Тройка».

Вопрос: Определите, какие векторные величины характеризуют движение

саней? Изобразите эти векторы направленными отрезками.

3 гр. – картина Сурикова В.И. « Боярыня Морозова».

Вопрос: определите, какие векторные величины характеризуют

движение саней? Изобразите силы, действующие в процессе

движения.

4 гр. – картина Васнецова В.Г. «Богатыри».

Вопрос: определите, какие векторные величины действуют на лошадей?

Изобразите эти векторы направленными отрезками.

Физминутка ( по классу развешаны слова и обозначение, найдя ответ, дети передвигаются по классу)

а) Путь или перемещение мы оплачиваем при поездке в такси?

Ответ: Путь.

Как называются вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых

(коллинеарные)

б) Наблюдения за движением футболиста показали: за время матча он пробежал 12 км. Что это за величина: перемещение или пройденный путь?

Ответ: Путь.

Два вектора равны по модулю и сонаправлены. Какие это вектора?

Ответ: равные

в) Штурман, определяя утром положение корабля, обнаружил, что корабль находится в точке, расположенной на 100 км к северу от пункта, в котором находился корабль накануне вечером. Что означает это число: длину перемещения или пройденный путь?

Ответ: Длина перемещения.

Как называется вектор у которого начало совпадает с концом?

Ответ: Нулевой

Учитель математики.  Не входя в воду, нельзя научиться плавать. А мы хотим научиться решать задачи, значит, начинаем их решать. Сейчас работаем в группе, выполняем самостоятельную работу)

Решение задач: карточки

1 группа:

1. Проекция скорости материальной точки изменяется по закону

υ х= 10 + 2 t

Вопросы: а) определите характер движения точки

б) найдите модуль и направление начальной скорости

в) определите ускорение тела и его направление

г) какой будет скорость точки через 10с после начала движения?

д) постройте график зависимости скорости от времени

при t = 0 с, 5 с, 10 с.

2. Упростить выражение:

3. Начертите два неколлинеарных вектора. Найдите сумму векторов двумя способами.

2 группа:

1. Проекция скорости движущегося тела изменяется по закону

υ х = 10 – 2 t

Вопросы:а) опишите характер движения тела

б) найдите модуль и направление вектора начальной скорости

в) найдите модуль и направление вектора ускорения

г) постройте график зависимости скорости от времени

д) найдите графически и аналитически скорости тела через 2 с

2. Упростить выражение:

3. Начертите два неколлинеарных вектора. Найдите сумму векторов двумя способами.

3 группа:

1. На рис. изображён график зависимости проекции скорости движения материальной точки от времени.

Вопросы: а) определите вид движения

б) найдите модуль и направление начальной скорости

в) вычислите проекцию ускорения и определите направление

вектора ускорения

г) напишите уравнение зависимости проекции скорости этого

тела от времени

д) найдите графически и аналитически скорость тела через 2 с.

2.Упростить выражение:

3. Начертите два неколлинеарных вектора. Найдите сумму векторов двумя способами.

Решение задач.

1 группа

  1. движение равнопеременное — ускоренное

  2. υ 0 = 10 м/с ; положит., т.к. совпадает с направлением движения

  3. а = 2 м/с2 ; положит., т.к. совпадает с направлением движения

  4. υ = 10 + 2 · 10 = 30 м/с 5. график

2 группа

1. движение равнопеременное – замедленное

2. υ 0 = 10 м/с ; положит., т.к. совпадает с направлением движения

3. а = — 2 м/с2 ; отриц., т.к. движение замедл. и направлено противопол υ 0

4. график 5. υ = 10 – 2 · 2 = 6 м/с

3 группа

  1. Равнозамедленное движение.

  2. υ 0 = 10 м/с ; положит., т.к. совпадает с направлением движения

  3. a= -1,5 м/с2; отрицательное, т.к. направлено противоположно движению(замедленное движение)

  4. v=10 — 1,5t

  5. v=7 м/с

ПРОВЕРКА.

V. Домашнее задание (по выбору, с учетом индивидуальных способностей учащихся) Составить:

— задачу для решения на уроках математики и физики;

— кроссворд;

— составить тест для проверки знаний, умений навыков в компьютерном

варианте на электронных носителях (по выбору).

Как Вы думаете: где еще в жизни мы можем наблюдать векторы?

  1. Обобщение изученного материала.

Вопросы задают учитель физики и математики.

  1. Какую величину измеряет спидометр автомашины: векторную или скалярную?

  2. ABCD – параллелограмм. Докажите, что вектор AB равен вектору DC.

  3. Что такое ускорение и для чего его нужно знать?

  4. Как связан вектор перемещения с его координатами?

  5. Два вектора равны друг другу по модулю, но направления различны. Можно ли сказать, что векторы равны?

  6. Буксир толкает по реке баржу. Относительно каких тел отсчета баржа движется? Относительно какого тела покоится?

  7. Может ли тело двигаться с большой скоростью, но малым ускорением?

  8. Какие векторы называются сонаправленными и противоположно направленными?

  9. В чем заключается основная задача механики?

  10. В чем состоит относительность движения?

  11. Какие векторы называют равными?

  12. Какой вектор называется нулевым?

6. Подведение итогов урока.

Учитель физики.

Вернемся к целям нашего урока. Достигли мы их или нет?

Значит справедливы слова эпиграфа:

Практика рождается из тесного соединения физики и математики.

Возможно ЛИ решать физические задачи математическими методами ?

Сегодня вы решали и простые задачи, знакомыми методами, и сложные задачи, в которых при решении приходилось использовать давно известные формулы и законы в новых условиях. Научились решать  задачи на основе реальных ситуаций?

VII. Рефлексия.

Учитель математики.

Итак, этот урок является своеобразным “мостиком” между уроками математики и физики. Что же вы взяли для себя с этого урока? Чему научились и какие трудности испытывали при решении задач?

Предлагаю  вам   продолжить   высказывание:

  • Теперь я знаю…..

  • У меня получилось….

  • Я не знал, что….

  • Мне понравилось…

  • Мне было интересно узнать, что..

  • Что еще хотел бы узнать…

  • Какая из форм работы вам больше по душе: в парах, индивидуально, коллективно)

Дополнительные задачи.

1. Лодка с туристами потерпела крушение в 40 м от берега, налетев на пороги. Туристы поплыли к берегу со скоростью 2 м/с, относительно воды перпендикулярно линии берега, но быстрое течение со скоростью 10 м/с сносило их в сторону. С какой реальной скоростью относительно берега двигались туристы? На какое расстояние их снесло, когда они выплыли на берег? Сделайте чертежи.

2. Вертолет летел на юг со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к меридиану будет лететь вертолет, если подует восточный ветер со скоростью 10 м/с?

Применение векторов при решении задач по физике

В современном школьном курсе механики векторы и координатный метод нашли широкое применение. На уроках физики с понятием вектора школьники сталкиваются впервые в 7 классе при изучении скорости и силы. Здесь векторы определяются как физические величины, которые, кроме числового значения, имеют направление. Параллельно в курсе геометрии учащиеся знакомятся с понятием перемещения, определяемым, как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние; рассматривается частный случай перемещения – параллельный перенос.  Однако ни перемещение, ни параллельный перенос с понятием «вектор», введенным в курсе физики, без дополнительной работы учителя в сознании учащихся не ассоциируется. Хотя на первый взгляд в математике и физике векторами называют разные объекты, последние обладают рядом общих свойств, характеризующих их векторную природу. Поэтому, не сводя изучение векторных величин на уроках физики к рассмотрению параллельных переносов или изучения векторов в математике к исследованию величин, которые могут быть заданы числом и направлением, учителя физики и математики должны придерживаться единого взгляда на содержание понятия «вектор» в обоих курсах.

Это единство заключается в том, что каждому физическому или объекту, который называют вектором, присущи особые операции, такие, как сумма двух объектов и умножение объекта на число. Таким образом, на первой ступени обучения физике нет нужды добиваться от учащихся заучивания того, что сила и скорость суть векторные величины, необходимо показать им, что эти величины имеют некоторые особые свойства, благодаря которым действия над ними отличаются от действий над числами.

При дальнейшем изучении курса физики знания о физических векторных величинах развиваются и углубляются. Анализируя поступательное движение тела, подчёркивают, что поступательное движение представляет собой параллельный перенос, характеризуемый вектором перемещения. При рассмотрении скорости, ускорения, 2 закона Ньютона выясняют, что умножение вектора на число даёт коллинеарный вектор:

Приведём некоторые примеры, которые в наглядной и доступной форме помогут школьникам разобраться в решении задач по физике и математике с использованием векторов.

Сравнительная таблица c элементами заданий


 

­

СЛОБОДСКОВ БОРИС АНАТОЛЬЕВИЧ — ФИЗИКА (КУРС ЛЕКЦИЙ)

§ 2. Некоторые сведения о векторах

1. Понятие о векторах и скалярах.

      Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скаляром, называется величина, не обладающая направлением.

      Пример 1. Скорость материальной точки есть вектор, так как она обладает направлением. Сила, действующая на материальную точку, — тоже вектор.

      Пример 2. Температура тела есть скаляр, так как с этой величиной не связано никакое направление. Масса тела и его плотность — тоже скаляры.

      Если отвлечься от направления векторной величины, то её, как и скалярную величину, можно измерить, выбрав соответствующую единицу измерения. Но число, полученное после измерения, характеризует скалярную величину полностью, а векторную — частично.

      Векторную величину можно полностью охарактеризовать направленным отрезком, предварительно задав линейный масштаб.

2. Вектор и его модуль.

— вектор

— модуль вектора

      Если вектор не геометрический, то его модулем называется длина вектора при заданном масштабе и выбранной единице измерения.
      Пример 3. На рисунке направленный отрезок АВ при масштабе MN, изображающем единицу силы (1 Н — один ньютон), характеризует силу в 3,5 Н, направление которой совпадает с направлением отрезка АВ (указанным стрелкой).

3. Равные векторы.

      Два вектора называются равными, если они сонаправлены, то есть имеют одинаковые направления, и равны по модулю.

4. Противоположные векторы.

      Векторы называются противоположными, если они имеют равные модули (длины), но противоположно направлены.

5. Коллинеарные векторы.

      Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на параллельных прямых (или на одной и той же прямой) и имеют одно и то же направление или противонаправлены.

      Таким образом, равные и противоположные векторы являются коллинеарными. Но коллинеарные векторы необязательно должны иметь равную длину.

 

6. Для векторов не существует понятий «бо́льший» или «меньший», «положительный» или «отрицательный». Не существует таких понятий потому, что для векторов одинаково важны, как модуль, так и направление. Но для направления нет понятий «больше» или «меньше».

      Нет деления вектора на вектор.

7. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними.

— обозначение скалярного произведения векторов

6. Векторное произведение векторов.

— обозначение векторного произведения

Определение. Векторным произведением двух векторов называется такой третий вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов и синуса наименьшего угла между ними

а направление определяется с помощью правила правого винта. Винт с правой резьбой надо расположить перпендикулярно плоскости, на которой находятся перемножаемые векторы, и вращать его так, чтобы вращательное движение совпадало с переходом от первого сомножителя ко второму по наименьшему углу между ними; тогда поступательное движение оси винта укажет направление вектора векторного произведения.

      При перемене мест сомножителей в векторном произведении произведение изменяется на противоположное (см. рисунок выше).

Векторы. Действия с векторами. Повторение к урокам физики в 9, 10 классе.

К уроку физики в 9,10 классе:

Повторение темы «Векторы. Действия с векторами»

Автор: Проценко Ольга Владимировна

учитель физики высшей категории

МОУ сош №3 г. Красный Кут

Саратовской области

Вектор.

Действия с векторами

Вектор – отрезок прямой линии, имеющий направление.

Обозначается стрелкой .

Величины, которые кроме числового значения имеют

еще и направление в пространстве, называются векторными

Пример: Скорость, сила, перемещение и т. Д.

Величины не имеющие направления называются скалярными.

Пример: время, масса, объем, путь и т. Д.

Если модуль(числовое значение) и направление

Векторов одинаковы то вектора считаются равными.

а

=

а

b

b

Если модули(числовое значение) векторов одинаковы

а направление противоположны, то

а

=

а

— b

b

Сложение векторов

а

с

b

1. Правило параллелограмма:

Путем параллельного переноса соединить начала обоих векторов в одной точке, достроить до параллелограмма.

Диагональ параллелограмма является суммой двух векторов.

Сложение векторов

b

а

с

b

2. Правило треугольника:

Путем параллельного переноса конец1 вектора соединить с началом второго вектора.

Вектор, соединяющий начало первого и конец второго, является суммой двух векторов.

Правило вычитания векторов

с

а

b

b

Путем параллельного переноса соединить

начала обоих векторов в одной точке.

Вектор соединяющий концы векторов

будет их разностью .

Проекция вектора на координатной оси

  • это линия на оси, полученная путем

опускания перпендикуляров на ось из

начала и конца вектора.

у

А

а х =0

а

Если вектор перпендикулярен оси

то его проекция на эту ось равна нулю.

В

х

Если от проекции начала до проекции

конца надо идти по направлению оси то

проекция считается положительной

у

В

а х = а

а

А

х

В 1

А 1

а х

Если от проекции начала до проекции

конца надо идти против направления оси

то проекция считается отрицательной

у

а х = — а

В

А

а

х

В 1

А 1

а х

Если вектор под углом к оси,

то применяем теорему Пифагора .

у

В

В

а

а у

а у

ɑ

С

А

С

А

а х

а х cos ɑ

х

а х

а у sin ɑ

В начальный момент времени тело находилось в точке с

Координатами х 0 = — 2 м и у 0 = 4м, потом переместилось в точку с

координатами х 1 = 2 м и у 1 = 1 м. Найдите проекции вектора перемещения

на оси х и у. Начертите вектор перемещения и определите его модуль.

у

А

СВ = 4 м

АС = 3 м

АВ 2 = СВ 2 + АС 2

АВ = 5 м

4

3

2

1

В

С

х

1

2

3

-1

-2

Интегрированный урок (математика + физика) на тему «Векторы»

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Дидактическая цель: создание условий для применения знаний и умений  в  знакомой и в новых учебных ситуациях.

Задачи:

  • Образовательная: показать возможность применения векторного метода при решении задач прикладного характера.
  • Развивающая: способствовать обучению школьников умению определять черты сходства и различия в изучаемых вопросах,  умению анализировать, делать выводы.
  • Воспитательная: способствовать повышению интереса учащихся к изучаемым предметам, т.е. повышению их мотивации к учению в целом; способствовать формированию у учащихся навыков совместной работы со сверстниками в малых группах.

Эпиграфы к уроку

Вряд ли следует объяснять, что одна из важнейших задач математики – помощь другим наукам.
Морделл Л.

Ум заключается не только в Знании, но и в умении применять знания на деле.
Аристотель

ХОД УРОКА

I. Оргмомент

II. Целеполагание и мотивация.

1. Небольшая историческая справка (сопровождение: компьютерная презентация).

“Термин “вектор” (от латинского vector – “несущий”) впервые появился в 1845 году у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805-1865) в работах по построению числовых систем. Понятие вектор возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, ускорение. Это понятие было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике оно играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике, квантовой физике, в математической экономике и других многих разделах естествознания и различных областях математик.

2. Устный опрос.

Презентация.

Учащиеся работают в группах. В каждой группе есть консультант, который в бланке учёта знаний фиксирует ответы учащихся. Правильный ответ оценивается в 1 балл.

1. Дать определение вектора.

2. Назовите векторные физические величины.

3. Чем характеризуется вектор?

4. Как найти проекцию вектора на ось координат?

5. Как определяется длина вектора, если известны координаты?

6. Чем отличается путь от перемещения?

7. Назовите правила сложения векторов.

8. Какое из этих правил используется в физике? Почему?

9. Какие векторы называются коллинеарными?

10. Векторы скорости и ускорения коллинеарные. Какие виды движения возможны при различных направлениях этих векторов?

11. Записать sin и cos острых углов прямоугольного треугольника.

12. Что такое равнодействующая сила?

3. Проведем сравнительный анализ понятия “вектор” и действий над векторами в математике и физике.

Вывод:

в каждом учебном предмете вектор рассматривается так, как это удобно для изучаемого вопроса, но суть – одна.

III. Актуализация

При решении задачи перейдем от данной постановки задачи к ее векторному описанию,   затем, пользуясь свойствами векторов и операциями над ними, мы сможем найти векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых и получим решение задачи. Этот метод   называется векторным.

В математике можно выделить несколько типов задач, применение к которым векторного метода облегчает решение, а иногда делает возможным решение “недоступной” задачи.

При решении С2 на ЕГЭ иногда удобно применить векторный метод.

Задача №1.

Основанием прямой призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна гипотенузе основания. Вычислить величину угла между непересекающимися диагоналями двух неравных граней призмы.

Решение.

Требуется найти угол между отрезками скрещивающихся прямых С1А и А1В.

Углом между двумя прямыми называется меньший из углов, образованных этими прямыми.

Физкультминутка.

Задача №2.

На парашютиста массой 90 кг в начале прыжка действует сила сопротивления воздуха, проекции которой на оси координат Х и Y равны 300 Н и 500 Н. Найти равнодействующую всех сил.

Задача №3.

Мальчик массой 50 кг, стоя на гладком льду, бросает груз массой 8 кг под углом 600 к горизонту со скоростью 5 м/с. Какую скорость приобретет мальчик?

IV. Тест. Часть учащихся решает тестовые задания на компьютерах, а часть на местах.

V. Подведение итогов

Лист контроля

Ф. И. Устные вопросы Задача №1 Задача №2 Задача №3 Тест Оценка
             
             
             
             

VI. Рефлексия

Учащимся предлагается продолжить предложение.

  • сегодня я узнал…
  • было интересно…
  • было трудно…
  • я выполнял задания…
  • я понял, что…
  • теперь я могу…
  • я почувствовал, что…
  • я приобрел…
  • я научился…
  • у меня получилось …
  • я смог…
  • я попробую…
  • меня удивило…
  • урок дал мне для жизни…
  • мне захотелось…

VII. Заключение

О, физика, наука из наук!
Все впереди!
Как мало за плечами!
Пусть химия нам будет вместо рук,
Пусть станет математика очами.
Не разлучайте этих трех сестер,
Познания всего в подлунном мире.
Тогда лишь будет ум и глаз остер,
И знанье человеческое шире.
Маргарита Алигер

Сила – вектор. Движение. Теплота

Сила – вектор

Сила, так же как и скорость, есть векторная величина. Ведь она всегда действует в определенном направлении. Значит, и силы должны складываться по тем правилам, которые мы только что обсуждали.

Мы часто наблюдаем в жизни примеры, иллюстрирующие векторное сложение сил. На рис. 8 показан канат, на котором висит тюк. Веревкой человек оттягивает тюк в сторону. Канат натянут действием двух сил: силы тяжести тюка и силы человека.

Правило векторного сложения сил позволяет определить направление каната и вычислить силу его натяжения. Тюк находится в покое; значит, сумма действующих на него сил должна равняться нулю. А можно сказать и так – натяжение каната должно равняться сумме силы тяжести тюка и силы тяги в сторону, осуществляемой при помощи веревки. Сумма этих сил даст диагональ параллелограмма, которая будет направлена вдоль каната (ведь иначе она не сможет «уничтожиться» силой натяжения каната). Длина этой стрелки должна будет изображать силу натяжения каната. Такой силой можно было бы заменить две силы, действующие на тюк. Векторную сумму сил поэтому иногда называют равнодействующей.

Очень часто возникает задача, обратная сложению сил. Лампа висит на двух тросах. Для того чтобы определить силы натяжения тросов, вес лампы надо разложить по этим двум направлениям.

Из конца равнодействующего вектора (рис. 9) проведем линии, параллельные тросам, до пересечения с ними. Параллелограмм сил построен. Измеряя длины сторон параллелограмма, находим (в том же масштабе, в котором изображен вес) величины натяжений канатов.

Такое построение называется разложением силы. Всякое число можно представить бесконечным множеством способов в виде суммы двух или нескольких чисел; то же можно сделать и с вектором силы: любую силу можно разложить на две силы – стороны параллелограмма, – из которых одну всегда можно выбрать какой угодно. Ясно также, что к каждому вектору можно пристроить любой многоугольник.

Часто бывает удобным разложить силу на две взаимно перпендикулярные – одну вдоль интересующего нас направления и другую перпендикулярно к этому направлению. Их называют продольной и нормальной (перпендикулярной) составляющей силы.

Составляющую силы по какому-то направлению, построенную разложением по сторонам прямоугольника, называют еще проекцией силы на это направление.

Ясно, что на рис. 10

F2 = Fпрод2 + Fнорм2,

где Fпрод и Fнорм – проекция силы на выбранное направление и нормаль к нему.

Знающие тригонометрию без труда установят, что

Fпрод = F·cos ?,

где ? – угол между вектором силы и направлением, на которое она проецируется.

Очень любопытным примером разложения сил является движение корабля под парусами. Каким образом удается идти под парусами против ветра? Если вам приходилось наблюдать за парусной яхтой в этом случае, то вы могли заметить, что она движется зигзагами. Моряки называют такое движение лавированием.

Прямо против ветра идти на парусах, конечно, невозможно, но почему удается идти против ветра хотя бы под углом?

Возможность лавировать против ветра основывается на двух обстоятельствах. Во-первых, ветер толкает парус всегда под прямым углом к его плоскости. Посмотрите на рис. 11,а: сила ветра разложена на две составляющие – одна из них заставит воздух скользить вдоль паруса, другая – нормальная составляющая – оказывает давление на парус. Во-вторых, лодка движется не туда, куда ее толкает сила ветра, а туда, куда смотрит нос лодки.

Это объясняется тем, что движение лодки поперек килевой линии встречает очень сильное сопротивление воды. Значит, чтобы лодка двигалась носом вперед, надо, чтобы сила давления на парус имела бы составляющую вдоль килевой линии, смотрящую вперед.

Теперь рис. 11,б, на котором изображена идущая против ветра лодка, должен стать понятным вам. Парус устанавливают так, чтобы его плоскость делила пополам угол между направлением хода лодки и направлением ветра.

Для того чтобы найти силу, которая гонит лодку вперед, силу ветра придется разложить дважды. Сначала вдоль и перпендикулярно к парусу – имеет значение лишь нормальная составляющая, затем эту нормальную составляющую надо разложить вдоль и поперек килевой линии. Продольная составляющая и гонит лодку под углом к ветру.

Количество векторов в физике: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Представление вектора

Когда вектор рисуется, он представляется стрелкой, длина которой представляет величину вектора, а острие стрелки указывает в направлении вектора, как показано на рисунке ниже.

Если вектор представляет величину в одном измерении — по оси x (влево и вправо) или по оси Y (вверх и вниз) — тогда вектор будет записан как число с плюсом (+) или знак минус (-) перед ним.Плюс относится к направлению вправо или вверх, а минус относится к направлению влево или вниз. В двух измерениях (x и y) вектор будет представлен числом для величины и углом для направления.

Примеры векторов и не векторов

Когда вы используете свою глобальную систему позиционирования (GPS) в автомобиле, чтобы помочь вам добраться до пункта назначения, устройство GPS предоставит вам две части информации, например, проехать 300 футов, а затем Поверните налево. Это пример вектора.

Во время сводки погоды репортер использует вектор, когда заявляет, что в 1:00 a.м., ветер будет северным со скоростью 12 км / ч и в 13:00. ветер восточный, скорость 36 км / ч. Есть величина (км / ч) и направление (север или восток). На рисунке направление показано стрелкой, а величина представлена ​​скоростью, указанной под стрелкой.

Сводка погоды с использованием векторов

Другой пример использования векторов — поиск сокровищ. Типичная подсказка может выглядеть так: пройдите тридцать шагов на север, затем 25 шагов на восток, затем выройте яму для следующей подсказки.Количество шагов — это величина, а направление — север или восток. Вы пытаетесь переместить коробку в угол комнаты. Вы начинаете толкать, но ящик не двигается. Когда ваш друг говорит вам вдвое сильнее толкать вас влево, значит, ваш друг просто использовал вектор. Она сказала вам, какая величина вам нужна (вдвое сильнее) и в каком направлении двигаться (влево).

Какие бывают не векторы? Любая величина, полностью описываемая своей величиной, не является вектором. Например, температура не является вектором, даже если у нас могут быть отрицательные температуры.Знак минус не указывает направление. Все могли бы предположить, что -10 градусов по Фаренгейту означает, что сейчас холодно. Другой пример — масса. Когда вы кладете овощи на весы, они могут показывать 100 граммов. Цифра 100 грамм дает представление о том, сколько у вас овощей, нет необходимости указывать направление.

Резюме урока

Любая величина, для полного описания которой требуется величина и направление, называется величиной вектор . Векторы используются в повседневной жизни, например, когда вы используете GPS-навигатор, чтобы добраться из точки A в точку B.Устройство GPS даст вам расстояние ( звездная величина ) и направление . Следовательно, вектор — это направленная величина: число с направлением. И номер, и направление должны быть указаны, чтобы вектор имел какой-либо смысл.

Словарь векторных количеств и определения

  • Вектор : число с направлением
  • Величина : Размер количества
  • Направление : направление вектора указывает или направлено может быть выражено разными способами: влево-вправо, вверх-вниз, север-юг

Результаты обучения

По завершении этого урока учащиеся должны уметь:

  • Определить векторную величину
  • Признать необходимость величины и направления при определении вектора
  • Объясните, что делает не вектор

Force Vectors от Рона Куртуса

SfC Home> Физика> Сила>

Рон Куртус

Вектор силы — это представление силы, имеющей как величину, так и направление.Это противоположно тому, чтобы просто указать величину силы, которая называется скалярной величиной.

Вектор обычно представлен стрелкой в ​​направлении силы и длиной, пропорциональной величине силы.

Основной особенностью векторов силы является то, что они могут быть разбиты на составляющие в соответствии с приложением силы. Компоненты вектора обычно перпендикулярны друг другу, хотя они также могут иметь конфигурацию параллелограмма.

Вы также можете добавить векторы для создания нового вектора.

Вопросы, которые могут у вас возникнуть:

  • Как обозначить силу вектором?
  • Каковы перпендикулярные компоненты вектора?
  • Каковы компоненты вектора параллелограмма?
  • Как сложить два вектора?

Этот урок ответит на эти вопросы. Полезный инструмент: Конвертация единиц



Обозначение силы как вектора

Хотя вы можете обозначить силу просто как число или скалярную величину, более полезно указать ее как вектор, в который вы включаете направление силы.

Вместо того, чтобы говорить, что сила равна 2 ньютонам, вы бы сказали что-то вроде силы, равной 2 ньютонам по отношению к земле.

Компоненты перпендикулярного вектора

Часто бывает полезно разбить вектор силы на составляющие. Преимущество использования перпендикулярных векторных компонентов заключается в том, что вы можете использовать теорию Пифагора ( a 2 + b 2 = c 2 ) для определения длин компонентов.

Компоненты перпендикулярного вектора

Компоненты вектора параллелограмма

Иногда вектор силы разбивается на составляющие вектора параллелограмма.

Компоненты вектора параллелограмма

Сила как сумма векторов

Вы можете добавить два или более вектора силы, которые находятся под углом друг к другу, чтобы создать новый вектор силы.

Пример: если сила перемещает объект в заданном направлении, а ветер прикладывает силу к нему под углом, новое движение будет таким, как если бы в этом направлении была приложена сила.

Сложение двух векторов силы

Сводка

Вектор силы — это представление, которое имеет как величину, так и направление.Такой вектор обычно представлен стрелкой в ​​направлении силы и длиной, пропорциональной величине силы.

Основной особенностью векторов силы является то, что они могут быть разбиты на составляющие в соответствии с приложением силы. Вы также можете добавить векторы, чтобы создать новый вектор.


Слушай и наблюдай


Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Сайтов

Векторы — движение и силы в двух измерениях — Физический класс

Базовые векторные операции — Гиперфизика

Основы векторной графики — Physics4Kids.com

Векторная физика — Британская энциклопедия

Forces — физика гиперкнига

Физические ресурсы

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)

Книги по физике силы с самым высоким рейтингом


Вопросы и комментарии

Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.


Поделиться страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:


Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
force_vectors.htm

Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или диссертации.

Авторские права © Ограничения


Где ты сейчас?

Школа чемпионов

Физические темы

Векторы силы

Vectors-Definition | Примеры в физике | Типы — DewWool

В физике векторные величины — это те величины, которые имеют величину и направление. Если мы возьмем силу в качестве примера, мы можем показать ее в терминах величины силы и направления силы.Такие величины в физике называются векторными величинами. Когда мы берем температуру в качестве примера, мы можем понять ее величину (например, 100 ° C), но мы не можем сказать ее направление. Такие типы величин называются скалярными величинами. В этой статье мы рассмотрим определение и типы векторов.

Определение векторов

Вектор — это тип величины, который имеет как величину, так и направление. Помогает в изучении движения. Векторные величины представлены стрелкой, направление которой совпадает с направлением количества, а длина пропорциональна величине величины.

Примеры векторов в физике
  • Сила
  • Ускорение
  • Импульс
  • Скорость
  • Крутящий момент
  • Ускорение
  • Угловая скорость
  • Электрическое поле

Характеристики векторной величины
  • Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление. Например, рассмотрим две силы с равной величиной 5 Н, если они действуют в другом направлении, то они не равны.
  • Отрицательный вектор — это вектор, который имеет направление, противоположное опорному направлению.
  • Сумму любых двух векторов — A, B можно визуализировать, поместив хвост вектора B в начало вектора A и нарисовав вектор C, который начинается с хвоста A и заканчивается в голове B, чтобы он завершился. треугольник.
  • Они также обладают ассоциативным и распределительным свойством

Типы векторов
  • Единичный вектор
  • Нулевой вектор
  • Вектор положения
  • Ко-начальный вектор
  • Копланарный вектор
  • Подобный и непохожий вектор
  • Коллинеарный вектор
  • Равноправные векторы
  • Вектор смещения

Единичный вектор

Как следует из названия, этот вектор имеет единичную величину в определенном направлении.

Единичные векторы в направлениях x, y и z

Нулевой вектор

Вектор, имеющий нулевую величину, называется нулевым вектором. Обозначается нулевой полосой.

Нулевой вектор

Вектор положения

Этот вектор помогает описать положение движущегося объекта по отношению к фиксированному объекту (или ориентиру). Один его конец закреплен, а другой конец прикреплен к движущейся точке. Он изменит длину или направление, или и то, и другое одновременно.

Пример векторов положения

Совокупные векторы

Если данные два вектора совместно инициализируются, только если они начинаются с одной и той же начальной точки.

Диаграмма, показанная ниже, является примером ко-начального вектора.

Ко-начальные векторы. (Оба вектора имеют одну и ту же исходную точку)

Копланарные векторы

Это векторы, лежащие в одной плоскости в трехмерном пространстве. Они всегда параллельны одной плоскости.

Копланарный вектор — все векторы лежат в одной плоскости

Как и в отличие от векторов

Два вектора называются подобными векторам, если их направление будет одинаковым, тогда как в разных векторах направления будут противоположны друг другу. На данной диаграмме показана разница между одинаковыми и непохожими векторами.

Здесь мы можем видеть на изображении выше, что оба вектора A и B находятся в одном направлении, поскольку их величина может быть или не быть равной, но они называются как векторы.

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это любые два или более вектора, параллельных одной линии, независимо от их величины и направления.

Равные векторы

Это любые два вектора, имеющие одинаковую величину и направление. У них может быть или не быть одинаковой начальной точки.

Векторы смещения

Это векторное расстояние между начальной и конечной точкой назначения.Изменение вектора положения объекта также известно как вектор смещения.

Можно ли перемножить два вектора?

Векторов можно умножать, но, так как направление задействовано, умножение непросто. В основном используются 2 метода:

  • Точечное произведение: это умножение дает скалярную величину на выходе.
  • Перекрестное произведение: это умножение дает вектор в направлении, перпендикулярном плоскости, содержащей векторы.

Знакомство с векторами | Physicsthisweek.com

Векторы — полезный инструмент в физике. Мы используем векторы для описания перемещений, скоростей, ускорений, сил, полей и многих других физических величин. Эти величины имеют как величину (размер), так и направление. Обычно они изображаются на схемах в виде стрелок. Когда мы пишем один, мы даем ему переменную букву, например, d для смещения. Мы помещаем маленькую стрелку на букву, чтобы показать, что это вектор.

Зачем изучать векторы?

Чтобы заниматься большей частью физики в Physics I и Physics II, вам необходимо хорошо разбираться в основах векторов. Объединить их не так уж сложно, но требуется немного больше, чем просто их алгебраическое сложение. В результате проработки этого курса вы узнаете, как и когда использовать векторы.

Чтобы изучить движение более чем в одном измерении, мы обычно разбиваем положение, скорость и ускорение на части, называемые компонентами.Эти компоненты указывают вдоль нашей системы координат. Если вы можете найти стороны треугольника, вы знаете, как найти компоненты.

Хотя поиск компонентов поначалу кажется утомительным, на самом деле это помогает упростить ситуацию. Горизонтальные и вертикальные части можно рассматривать отдельно, а затем объединить вместе в конце задачи. Это большое подспорье в задачах, связанных с двумерным движением. Относительно легко решить проблему снаряда, сначала найдя компоненты скорости запуска.

Давайте научимся описывать эти вещи, разбивать их на части и снова складывать вместе.

Задачи курса

После прохождения этого курса вы сможете…

  1. Чтобы описать, что такое вектор.
  2. Для определения терминов вектор, величина, составляющая.
  3. Для сложения двух векторов методом «голова к хвосту».
  4. Для сложения двух векторов методом параллелограмма.
  5. Чтобы умножить вектор на скаляр.
  6. Разбить вектор на составляющие.
  7. Чтобы найти величину и направление вектора при заданных его компонентах.
  8. Для добавления двух или более векторов с помощью компонентов.

векторов скорости — видео по физике от Brightstorm

Вектор скорости представляет скорость изменения положения объекта. Величина вектора скорости дает скорость объекта, а направление вектора дает его направление. Векторы скорости можно складывать или вычитать в соответствии с принципами сложения векторов.

Нормальные векторы скорости. Помните, что вектор — это то, что имеет как величину, так и направление, так что в этом случае у меня есть вектор, идущий на 4 метра в секунду на восток по скорости. Хорошо, и я собираюсь масштабировать так, чтобы 40 сантиметров соответствовали 4 метрам в секунду, хорошо.Векторы можно складывать или вычитать, и если они находятся в одной плоскости, это довольно простое уравнение. Давайте рассмотрим несколько примеров, так что у меня мои 4 метра в секунду на восток, и, допустим, я гребу на каноэ со скоростью 4 метра в секунду, хорошо, я гребу по течению, и течение 3 метра в секунду на восток. Что ж, это довольно простая задача сложения: 4 метра в секунду на восток плюс 3 метра в секунду на восток — это 7 метров в секунду, это мой общий вектор.

Хорошо, это также довольно просто, если у меня есть векторы, идущие в противоположных направлениях, я просто вычитаю второй вектор из первого.Так что теперь я плыву не вниз по течению, а вверх по течению, и течение идет против меня. Итак, моим 4 метрам в секунду на восток противостоит вектор, который движется со скоростью 3 метра в секунду на запад. Я постараюсь быть более точным там, и, вероятно, он будет примерно там. Итак, если я вычту 3 из 4, я получу 1 метр в секунду. Восток — это мой общий вектор. Хорошо, теперь это довольно просто, и иногда вы видите подобные проблемы, но часто векторы не движутся ни в одном направлении, ни в противоположном направлении, но они часто движутся под прямым углом.Итак, теперь давайте возьмем мое каноэ и скажем, что я не пойду вверх или вниз по реке, а перейду через реку. Хорошо, и вот я гребу на своем каноэ со скоростью 4 метра в секунду на восток, но река течет на юг, а она течет на юг со скоростью 3 метра в секунду.

Хорошо, теперь, когда я добавляю свой вектор, я не просто получаю меньший или больший вектор, я на самом деле получаю вектор, который находится под другим углом, в другом направлении. Итак, когда я соединяю свои 2 вектора, я получаю треугольник, и теперь, чтобы вычислить эту скорость, мне нужно немного математики, и, поскольку у меня есть прямоугольный треугольник, я могу смотреть на эти значения.Итак, у меня есть это значение и это значение, если у меня есть это значение в квадрате и это значение в квадрате, оно будет равно этому значению в квадрате. Итак, давайте продолжим и напишем, что формула a в квадрате плюс b в квадрате равно c в квадрате, и это значение, которое я хочу найти прямо там, c. Хорошо, если я пойду дальше и решу, что у меня 4 в квадрате равно 16, 3 в квадрате равно 9, а это равно 25. Ну 25, квадратный корень из 25 равен 5, поэтому мой новый вектор здесь 5 метров в секунду на юго-восток и вот как вы решаете задачи векторной скорости.

Что такое векторы и как они используются?

В эпизоде ​​Vectors телеканала NBC Learn «Наука о футболе НФЛ» вы видите, что квотербэки должны учитывать свое собственное движение при выполнении передачи, и что движение игрока и траектория мяча могут быть представлены стрелками, известными как векторов.


Векторы используются в науке для описания всего, что имеет как направление, так и величину. Обычно они изображаются в виде заостренных стрелок, длина которых представляет величину вектора.Хороший пример — передача квотербека, потому что у нее есть направление (обычно где-то в поле) и величина (насколько сильно брошен мяч).

Вне поля векторы могут использоваться для представления любого количества физических объектов или явлений. Например, ветер является векторной величиной, потому что в любом данном месте он имеет направление (например, северо-восток) и величину (скажем, 45 километров в час). Затем вы можете составить карту воздушного потока в любой момент времени, нарисовав векторы ветра для ряда различных географических мест.

Многие свойства движущихся объектов также являются векторами. Возьмем, к примеру, бильярдный шар, катящийся по столу. Вектор скорости мяча описывает его движение: направление стрелки вектора указывает направление движения мяча, а длина вектора представляет скорость мяча.

Импульс бильярдного шара также является векторной величиной, потому что импульс равен массе, умноженной на скорость. Следовательно, вектор импульса мяча указывает в том же направлении, что и вектор его скорости, а величина или длина вектора импульса является произведением скорости шара и его массы.

Векторы импульса полезны, когда вы хотите предсказать, что произойдет, когда два объекта соприкоснутся. Вспомните из видео, что векторы можно сложить вместе, соединив их в форму, называемую параллелограммом, и найдя диагональ этого параллелограмма. Диагональ — это сумма двух векторов, образующих стороны параллелограмма.

Допустим, катящийся бильярдный шар движется навстречу скользящему столкновению с неподвижным бильярдным шаром. При ударе движущийся шар передает часть своего импульса неподвижному шару, и оба откатываются от столкновения в разных направлениях.После удара оба шара имеют скорость и, следовательно, импульс. Фактически, сумма векторов импульса двух шаров после столкновения равна вектору импульса первого шара до столкновения, без учета небольших потерь из-за трения, а также звуковой и тепловой энергии, возникающей во время удара.

Итак, с пониманием векторов, игроки в бильярд могут предсказать, куда пойдут оба шара после столкновения, что позволит им потопить больше целевых шаров, при этом биток будет надежно лежать на столе.

Что такое векторная физика — краткое руководство по физике в старших классах для вас

Расскажите о Physicsteacher.in

Векторная физика — одна из самых фундаментальных глав школьной физики, где мы изучаем векторные и скалярные величины.
Чтобы понять это, мы должны действовать шаг за шагом, начиная с физического количества. Величина, которую можно измерить, называется физической величиной . Физические величины, измеряемые в физике, можно разделить на две группы: скаляры и векторов, .

Скалярные и векторные

Скалярное определение : Скаляр — это физические величины, которые имеют только величину. Примеры скаляров: длина, скорость, масса, плотность, энергия, мощность, температура, заряд и разность потенциалов.

Определение вектора : Векторы в физике — это физические величины, которые имеют как величину, так и направление. Примерами векторной величины являются смещение, сила, крутящий момент, скорость, ускорение, импульс и электрический ток.

Что такое векторная физика — определение, примеры и обозначения

Что такое векторная физика? Векторы в физике — это физические величины, которые имеют не только величину, но и направление. Возьмем пример: величина 55 км в час является скаляром, а величина 55 км в час на восток — вектором.

Вектор может быть графически представлен линией со стрелкой . Длина линии представляет величину вектора, а направление стрелки указывает направление вектора.

Векторы могут быть обозначены в тексте несколькими способами, некоторые из них показаны на рисунке ниже:

Векторное представление

В учебниках вы обычно видите один из первых двух, но когда он написан от руки, вы найдете один из двух последних.

Скаляры могут быть сложены вместе с помощью простой арифметики, но когда два или более вектора складываются вместе, простой арифметики недостаточно, поскольку также необходимо учитывать их направление.

Сложение векторов дает нам результирующий вектор.Этот пост будет охватывать широкую область векторной физики. Помимо дополнения, мы постепенно рассмотрим вычитание векторов, векторное разрешение, векторное произведение, векторное скалярное произведение, векторное кросс-произведение и т. Д. Если вы ищете векторный контент класса 11 для CBSE, ISC или государственных советов, вы правы место.

Результирующий вектор — сложение векторов

Когда два или более вектора складываются, результирующая сумма векторов называется результирующим вектором или просто результирующим вектором .Результирующий вектор представляет собой чистый эффект добавленных векторов.

Результат

векторов, действующих в одной линии или параллельно

Два или более вектора, действующих в одной линии (в том же направлении или в противоположном направлении), могут быть добавлены, как если бы они были скалярами. Здесь векторы могут лежать на одной линии или могут быть параллельны друг другу.

Например, сумма или равнодействующая двух сил, показанных на рисунке (а) ниже, составляет 500 Н, действующих вправо.

Секция 1. фигура — векторы в одной строке

Равнодействующая двух сил, показанных на рисунке (b) ниже, составляет 100 Н по направлению вправо.

Раздел 1. рисунок b — векторы в одной строке

Снова на рисунке (c) ниже мы добавили 3 вектора, и сумма равна 100N влево.

Раздел 1. рисунок c — векторы в одной строке

Результат

векторов, действующих в разных направлениях — масштабная диаграмма и расчет по формулам

Если два вектора , действующих на тело, не действуют вдоль одной и той же линии, то результирующий вектор не может быть найден так легко, как в описанных выше случаях.На этот раз результирующий вектор можно найти либо с помощью масштабной диаграммы (геометрической), либо путем вычисления с использованием формулы сложения векторов.

Масштабная диаграмма:
Сначала определяется масштабный коэффициент (скажем, 100 Н силы = 1 см). Соответственно, нарисованы 2 прямые линии, представляющие 2 вектора, с определенными «масштабированными» длинами и направлениями.

Два вектора нарисованы «голова к хвосту». Это завершает 2 стороны треугольника. Теперь нарисована 3-я сторона, замыкающая треугольник.

Эта сторона треугольника представляет результирующий вектор. Его направление берется от хвоста первого вектора к голове второго вектора. Это называется законом треугольника для векторной физики или законом треугольника сложения векторов.

Треугольный закон сложения векторов

Если два вектора последовательно обозначаются двумя сторонами треугольника, то третья закрывающая сторона треугольника в противоположном направлении последовательности представляет собой сумму или равнодействующую двух векторов как по величине, так и по направлению.

Как решать векторные задачи в физике — найти результат двух векторов

Раздел 2 — Рисунок a и Рисунок b — Угол между векторами A и B = 90 градусов

На приведенной выше диаграмме (a) найдите два вектора A (400 N) и B (300 N).
Для простоты мы взяли их под прямым углом друг к другу.
Также, пожалуйста, обратите внимание на направления двух векторов от стрелок, которые у них есть.

Нам нужно найти результат A и B. Мы попробуем как геометрический (масштабный) способ, так и расчет по формуле.

Нахождение результирующего вектора с помощью масштабной диаграммы
установка

На диаграмме (а) мы видим 2 вектора A и B.

Для простоты расчета на данный момент мы взяли 2 вектора под прямым углом.

Величина векторов A и B составляет 400 N и 300 N соответственно.

Надо взять удобную систему масштабирования , вроде на каждые 100 Н в данном случае можно взять 1 см.

ступеней

Используя этот коэффициент масштабирования (100 Н = 1 см), мы нарисуем масштабную диаграмму как по величине, так и по направлению.Используем линейку и транспортир .

См. Сейчас рис.

Сначала, скажем, мы рисуем линию длиной 4 см с помощью линейки, представляющую 400 N, и направление — с запада на восток в соответствии с направлением вектора A.

Стрелка вектора A будет точкой, где хвост вектора B будет проживать.
Соответственно, вектор B рисуется как линия длиной 3 см (для 300 N) под прямым углом по отношению к линии «вектора A», и он стоит в начале линии «вектора A».

Таким образом, масштабные представления для векторов A и B.

Мы получаем результирующий вектор R, когда рисуем линию, начинающуюся с начальной точки (хвост вектора A) и заканчивающуюся в конечной точке (голова вектора B), замыкающий треугольник (рисунок b).

Если правильно нарисовать, мы получим длину этой линии как 5 см, что соответствует 500 Н в соответствии с используемым коэффициентом масштабирования.

Направление результирующей можно найти, измерив угол θ между результирующим R и вектором A.Для измерения угла используем транспортир.

В данном случае θ = 37 °.

Таким образом, мы получаем результат векторов A и B, равный 500 Н, составляющий угол 37 ° с вектором A.

Нахождение результирующего вектора по формуле Теорема Пифагора

Результирующее R двух векторов на рисунке (а) также можно найти расчетным путем.


Для этого особого случая, когда два вектора расположены под прямым углом, мы можем использовать теорему Пифагора , чтобы найти R.

[В других случаях, когда угол между двумя векторами разный, мы используем другую формулу. Мы обсудим это позже в этом руководстве.]
Итак, в этом случае, используя теорему Пифагора, результат
R = √ (400 2 + 300 2 ) = √250000 = 500 N

Направление R можно найти следующим образом:
tan θ = 300/400 = 0,75
Итак, θ = 36,9 °

Всегда мы должны выбирать разумный масштаб при рисовании масштабных диаграмм векторов.

вектор

Notebook

Пример двух векторов, действующих не под прямым углом друг к другу, показан на рисунках (c) и (d). См. Ниже.

— Диаграмма масштабирования может использоваться для определения результата вектора фиг. C таким же образом, как и фиг. A.

-Однако, чтобы узнать результирующую векторов рис. C с помощью вычислений, нам нужно найти формулу, которая будет использоваться для этих случаев (поскольку формула Пифагора здесь не работает), где векторы не справа угол друг к другу.Здесь нас спасает закон параллелограмма векторов (обсуждаемый и выведенный ниже).

Как решать задачи сложения векторов — когда векторы расположены не под прямым углом

Задача 2 Рис. C и Рис. D — Угол между векторами A и B не равен 90 градусам
Решение — Практический подход с использованием масштабной диаграммы @ Vector Physics lab

Здесь мы применили практический подход, который мы применяем в нашей лаборатории векторной физики.

Допустим, блок стоит на поверхности. Две силы A и B действуют на блок, как показано выше.

Величина силы A составляет 400 Н, а величина силы B — 350 Н.

Согласно диаграмме, сила в 400 Н прикладывается параллельно горизонтальной поверхности. И 350 Н прикладывается под углом, скажем, 30 градусов к горизонту.

Теперь нам нужно определить чистую силу, действующую на блок.
Очевидно, что результирующая сила двух сил на самом деле является результирующей силой, прилагаемой к блоку.
Здесь вы можете очень легко увидеть, что вы просто не можете использовать алгебру, чтобы сложить величины этих двух сил, поскольку они не параллельны друг другу.
Итак, давайте воспользуемся масштабной диаграммой , чтобы определить результирующую или чистую силу.

На приведенной выше диаграмме мы отдельно нарисовали два вектора в соответствии с определенным коэффициентом масштабирования. Этот коэффициент: 100 Н эквивалентно 1 см в нашей линейке.

Итак, мы рисуем горизонтальную линию длиной 4 см со стрелкой, направленной на восток => это вектор A (сила 400 Н) на нашей диаграмме.

И мы также рисуем линию 3,5 см, составляющую 30 градусов с горизонтальной линией => это представляет вектор B (сила 350 Н) на нашей диаграмме.

векторный класс 11 — самостоятельный подход @ Vector Physics Lab

Теперь вы можете видеть на приведенной выше диаграмме, что две векторные линии сведены вместе, образуя две стороны треугольника. Но что в этом плохого?

Да, вы правы. Они добавляются по схеме «лицом к лицу» . Но в соответствии с законом треугольника векторов или правилом треугольника для векторной физики , они должны быть добавлены «голова к хвосту».Таким образом, линия вектора B должна быть сдвинута без изменения ее направления и длины, как показано на следующей диаграмме. (см. ниже)

голова к хвосту — хвост B касается головы A

Голова к хвосту — хвост B касается головы A на приведенной выше диаграмме.
Теперь очередь замкнуть треугольник, добавив его третью сторону.
Эта третья сторона является равнодействующей векторов A и B согласно закону треугольника векторов или закону треугольника векторной физики .Здесь его направление от хвоста вектора A к голове вектора B.

R — результирующий вектор
Измерение результирующего вектора (величина и направление)

Здесь R — результат, как было сказано ранее.

Теперь с помощью линейки измерьте ее длину в см. умножьте эту длину на 100 (взят коэффициент масштабирования) и получите величину результирующего R.

Используйте транспортир, чтобы найти угол между R и A. Он дает вам угол, образованный R относительно данного вектора A.

И стрелка, показанная на диаграмме выше, также дает вам полную информацию о ее направлении.

Итак, теперь вы добавили 2 вектора и получили сумму как результирующий вектор. Учащиеся, которые ищут контент для класса 11 по векторам, надеются, что эти поделки помогут вам хорошо разобраться в этой главе. Обратите внимание, что этот метод также называется графическим методом «голова к хвосту» сложения векторов .

Закон многоугольника векторов — сложение трех или более векторов в физике

Если нужно добавить более двух векторов, мы можем использовать расширенную версию «Закона треугольника».Эта расширенная версия закона известна как Закон многоугольника векторов.

Согласно этому закону, 3 или более вектора соединяются с использованием метода «голова к хвосту» (как и выше: с использованием векторных линий пропорциональной длины и фактического угла) в качестве сторон многоугольника в последовательности.

Тогда сторона, которая закрывает многоугольник, представляет собой результирующий вектор с его направлением от хвоста первого вектора к голове последнего добавленного вектора.

Если мы сложим те же векторы в другом порядке, результат будет таким же.Это важная характеристика векторов. Сложение вектора является коммутативным . Векторы можно добавлять в любом порядке.
А + В = В + А.

Подход на основе формул — результирующая векторная физика

Мы уже видели, что диаграмма масштабирования и закон треугольника — хорошие инструменты для определения результирующего вектора.

Но, вероятно, все согласятся, что «подход на основе формул» — это более быстрый способ получить тот же результат.

В одном из разделов этой статьи мы уже использовали теорему Пифагора и ее формулу, чтобы узнать результат, когда два добавленных вектора находились под прямым углом друг к другу.

Но когда добавляемые векторы находятся под другим углом, только теорема Пифагора не может помочь. А вот и закон параллелограмма векторов . Обсудим это сейчас.

Закон параллелограмма векторов

Закон векторов параллелограмма гласит, что если две смежные стороны параллелограмма обозначают два вектора по величине и направлению, то диагональ параллелограмма, проходящая через общую точку двух сторон, представляет собой сумму двух векторов как по величине, так и по направлению.

Закон сложения векторов параллелограмма Параллелограмм Закон сложения векторов

Пусть A, и B — два вектора, а θ — угол между ними, как показано на рисунке выше.
Для вычисления векторной суммы завершаем параллелограмм.

Здесь сторона PQ представляет вектор A , сторона PS представляет B , а диагональ PR представляет результирующий вектор R .
Диагональ PR — это вектор суммы A + B . Он называется результатом векторов A, и B .
Результирующая составляет угол α с направлением вектора A .
Помните, что векторы PQ и SR равны A , а векторы PS и QR равны B .

Чтобы получить величину результирующего вектора R , опустите перпендикуляр RT, как показано.Тогда по величине:

Таким образом, направление результирующей можно выразить через угол
, который она составляет с базовым вектором.

Приведенный выше набор формул для определения величины и направления результирующего вектора — это то, что студент должен практиковать и помнить, если он / она хочет решать задачи из главы «Вектор».

Вычитание векторов — что такое векторная физика

Вычитание вектора помогает нам вычесть один вектор из другого вектора и получить результат в векторном формате.Чтобы узнать относительную скорость объекта относительно другого движущегося объекта, процедура вычитания вектора играет важную роль.

Итак, если мы вычтем вектор B из вектора A, то что мы можем сделать? Просто видеть.

A — B = A + (-B)
Это означает сложение вектора A с вектором -B.
-B — не что иное, как перевернутая версия вектора B.
Таким образом, мы можем использовать процедуры сложения векторов и при вычитании вектора, но да, только после переворота или изменения направления вектора B.

В этом посте, посвященном теме «Что такое векторная физика», мы глубоко погрузились в детали концепций вектора, законов сложения векторов и различных механизмов. Мы также рассказали, «как решать векторные задачи в физике».

Вычитание векторов требует более подробного обсуждения, и мы также должны изучить его приложения.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *