Фигуры Лиссажу — это… Что такое Фигуры Лиссажу?

Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид прямой (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии

a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

являются полиномами Чебышева первого рода степени N.

Примеры

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Примеры фигур Лиссажу ниже с δ = π/2, нечётным натуральным числом a, и также натуральным числом b, и |a − b| = 1.

Применение в технике — сравнение частот

Фигура Лиссажу на экране осциллографа

Если подать на входы «X» и «Y» осциллографа сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу. Этот метод широко используется для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки одного источника под частоту другого. Когда частоты близки, но не равны друг другу, фигура на экране вращается, причем период цикла вращения является величиной, обратной разности частот, например, период оборота равен 2 с — разница в частотах сигналов равна 0,5 Гц. При равенстве частот фигура застывает неподвижно, в любой фазе, однако на практике, за счет кратковременных нестабильностей сигналов, фигура на экране осциллографа обычно чуть-чуть подрагивает. Использовать для сравнения можно не только одинаковые частоты, но и находящиеся в кратном отношении, например, если образцовый источник может выдавать частоту только 5 МГц, а настраиваемый источник — 2,5 МГц.

Вращение фигуры Лиссажу при незначительной расстройке частот

Литература

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981

См. также

Ссылки

Фигуры Лиссажу | Практическая электроника

Что такое фигуры Лиссажу?

Фигуры Лиссажу представляют из себя различные геометрически-красивые рисунки, которые вычерчиваются точкой, колеблющейся в двух взаимно-перпендикулярных направлениях на одной плоскости.

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку – мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится – это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

где

1 – это горизонтальные пластины

2 – вертикальные пластины

ну и остальные детали – это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные – другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Как получить фигуры Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

Генератор №1

 

Генератор №2

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

 
[quads id=1]

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y – напряжение. Поэтому, по умолчанию,  мы  на осциллографе смотрим

изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади – папа?  Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Строим фигуры Лиссажу на осциллографе

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал – другой генератор частоты:

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Если взять 100 Герц  на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как  очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой – через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры 😉

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение  – это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа 😉

Лиссажу фигуры — Физическая энциклопедия

ЛИССАЖУ ФИГУРЫ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой (след электронного луча), совершающей одновременно два гармонич. колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены Ж. Лиссажу (J. A. Lissajous). Вид Л. ф. зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов Л. ф. представляют собой эллипсы, к-рые при разности фаз =0 или вырождаются в отрезки прямых, а при и равенстве амплитуд превращаются в окружность (рис.). Если периоды обоих колебаний не совпадают точно, то Ф всё время меняется, вследствие чего эллипс непрерывно деформируется. При существенно различных периодах эллипс деформируется быстро, картина размывается и Л. ф. не наблюдаются. Однако если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются Л. ф. более сложной формы. При этом число касаний Л. ф. сторон прямоугольника, в к-рый она вписывается, даёт отношение периодов обоих колебаний.

Л. ф. можно наблюдать, напр., на экране электронно-лучевого осциллографа, если к двум парам отклоняющих пластин подведены перем. напряжения с равными или кратными периодами. Вид Л. ф. позволяет определить соотношения между периодами и фазами обоих колебаний. Если колебания, к-рые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные Л. ф., но искажённой формы. По виду этих фигур можно судить о форме колебаний. Т. о., наблюдение Л. ф.- удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний.

Вид фигур Лиссажу при различных соотношениях периодов (1 : 1, 1 : 2 и т. д.) и разностях фаз.

      Предметный указатель      >>   

Лиссажу Фигуры — CoderLessons.com

Фигура Лиссажу — это рисунок, который отображается на экране, когда синусоидальные сигналы подаются как на горизонтальные, так и на вертикальные отклоняющие пластины CRO. Эти шаблоны будут варьироваться в зависимости от амплитуд, частот и разностей фаз синусоидальных сигналов, которые применяются как к горизонтальным, так и к вертикальным отклоняющим пластинам CRO.

На следующем рисунке показан пример фигуры Лиссажу.

Вышеуказанная фигура Лиссажу имеет эллиптическую форму, а ее главная ось имеет некоторый угол наклона с положительной осью х.

Измерения с использованием фигур Лиссажу

Мы можем сделать следующие два измерения из фигуры Лиссажу.

• Частота синусоидального сигнала
• Разность фаз между двумя синусоидальными сигналами

Теперь давайте поговорим об этих двух измерениях по одному.

Измерение частоты

Фигура Лиссажу будет отображаться на экране, когда синусоидальные сигналы подаются как на горизонтальные, так и на вертикальные отклоняющие пластины CRO. Следовательно, подайте синусоидальный сигнал, который имеет стандартную известную частоту, на пластины горизонтального отклонения CRO. Аналогичным образом применяется синусоидальный сигнал, частота которого неизвестна вертикальным отклоняющим пластинам CRO

Пусть fH и fV — частоты синусоидальных сигналов, которые применяются к горизонтальным и вертикальным отклоняющим пластинам CRO соответственно. Соотношение между fH и fV можно математически представить, как показано ниже.

 гидроразрываFVFH= гидроразрываП−HП−V

Из приведенного выше соотношения мы получим частоту синусоидального сигнала, которая применяется к пластинам вертикального отклонения CRO как

fV= left( fracnHnV right)fH(уравнение 1)

Куда,

nH — количество горизонтальных касаний

nV — количество вертикальных касаний

Мы можем найти значения nH и nV по фигуре Лиссажу. Таким образом, подставив в уравнение 1 значения nH, nV и fH, мы получим значение fV , то есть частоту синусоидального сигнала. это применяется к вертикальным отклоняющим пластинам CRO.

Измерение разности фаз

Фигура Лиссажу отображается на экране, когда синусоидальные сигналы подаются как на горизонтальные, так и на вертикальные отклоняющие пластины CRO. Следовательно, применяйте синусоидальные сигналы, которые имеют одинаковую амплитуду и частоту, к горизонтальным и вертикальным отклоняющим пластинам CRO.

Для нескольких фигур Лиссажу, основанных на их форме, мы можем прямо сказать разность фаз между двумя синусоидальными сигналами.

• Если фигура Лиссажу представляет собой прямую линию с наклоном 45 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами составит 0 circ. Это означает, что между этими двумя синусоидальными сигналами нет разности фаз.

• Если фигура Лиссажу представляет собой прямую линию с наклоном 135 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами составит 180 circ. Это означает, что эти два синусоидальных сигнала находятся в противофазе.

• Если фигура Лиссажу имеет круглую форму , то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами будет составлять 90 circ или 270 circ.

Если фигура Лиссажу представляет собой прямую линию с наклоном 45 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами составит 0 circ. Это означает, что между этими двумя синусоидальными сигналами нет разности фаз.

Если фигура Лиссажу представляет собой прямую линию с наклоном 135 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами составит 180 circ. Это означает, что эти два синусоидальных сигнала находятся в противофазе.

Если фигура Лиссажу имеет круглую форму , то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами будет составлять 90 circ или 270 circ.

Мы можем рассчитать разность фаз между двумя синусоидальными сигналами, используя формулы, когда фигуры Лиссажу имеют эллиптическую форму .

• Если главная ось фигуры Лиссажу эллиптической формы, имеющая угол наклона, лежит между 0 circ и 90 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами будет.

Если главная ось фигуры Лиссажу эллиптической формы, имеющая угол наклона, лежит между 0 circ и 90 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами будет.

 phi= sin−1 left( fracx1x2 right)= sin−1 left( fracy1y2 right)

• Если главная ось фигуры Лиссажу эллиптической формы, имеющая угол наклона, лежит между 90 circ и 180 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами будет.

Если главная ось фигуры Лиссажу эллиптической формы, имеющая угол наклона, лежит между 90 circ и 180 circ с положительной осью x, то разность фаз между двумя синусоидальными сигналами будет.

 phi=180− sin−1 left( fracx1x2 right)=180− sin−1 left( fracy1y2 right)

Куда,

x1 — расстояние от начала координат до точки на оси х, где пересекается фигура Лиссажу эллиптической формы

x2 — расстояние от начала координат до вертикальной касательной эллиптической формы фигуры Лиссажу

y1 — расстояние от начала координат до точки на оси y, где пересекается фигура Лиссажу эллиптической формы

y2 — расстояние от начала координат до горизонтальной касательной эллиптической формы фигуры Лиссажу

В этой главе мы узнаем, как найти частоту неизвестного синусоидального сигнала и разность фаз между двумя синусоидальными сигналами из фигур Лиссажу, используя формулы.

Компьютерный физический эксперимент

Компьютерный физический эксперимент

Продолжение. См. № 5, 7, 9/08

Л.В.ПИГАЛИЦЫН,
школа № 2, г. Дзержинск, Нижегородская обл.

[email protected]

1. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ НА УРОКАХ ФИЗИКИ (продолжение)

Эксперименты с применением виртуальных и реальных приборов. На прошлых занятиях мы познакомились с виртуальным генератором звуковой частоты и виртуальным осциллографом. А теперь давайте проделаем опыты с этими виртуальными приборами и комбинированными установками, состоящими из виртуальных и реальных приборов.

Работа 3. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний. В результате сложения таких колебаний возникают фигуры Лиссажу – замкнутые траектории (по имени французского учёного Ж.Лиссажу). Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигура представляет собой эллипс, который при разности фаз 0 или вырождается в отрезок прямой, а при разности фаз /2 и равенстве амплитуд превращается в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс непрерывно деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в исходное положение, – получаются более сложные формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Если подать на входы «X» и «Y» осциллографа сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу. Этот метод широко используется для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки частоты одного источника под частоту другого. Когда частоты близки, но не равны друг другу, фигура на экране вращается, причём период цикла вращения является величиной, обратной разности частот, например, если период оборота равен 2 с, то разница в частотах сигналов равна 0,5 Гц. При равенстве частот фигура застывает неподвижно,

Оборудование: программа «Фигуры Лиссажу».

Ход работы

Мы не будем пользоваться виртуальными и реальными приборами, а исследуем фигуры Лиссажу с помощью компьютерной программы «lissaju.exe» – эмулятора осциллографа, которая разработана специально для исследования фигур Лиссажу.

На рисунке слева показан экран осциллографа, а справа – панель окон для ввода параметров складываемых колебаний, параметров вывода фигур Лиссажу на экран и органов управления.

В верхние два окна вводятся относительные значения частоты складываемых колебаний.

В окно w1 (ось Х) введено число 3, а в окно w2 (ось Y) – число 1. Это значит, что частота колебаний по оси Х в три раза больше, чем по оси Y. На экране получилась показанная фигура. Если на неё «положить» сверху линейку, то линейка коснётся фигуры в трёх точках, а если линейку поднести сбоку, то в одной точке. Это как раз соответствует соотношению складываемых частот 3 : 1.

В этой программе можно изменять скорость прорисовки фигур Лиссажу (окно «Скорость») и количество точек, из которых она состоит (окно «Точек»). Также можно изменять цвет линий в соответствии с сочетанием RGB (красный–зелёный–синий).

Для запуска программы наведите курсор на кнопку «Запустить» и нажмите левую кнопку мыши. Для выхода из программы наведите курсор на кнопку «Закрыть» и нажмите левую кнопку мыши. Программа «Фигура Лиссажу 1.0» бесплатная, скачать её можно с сайта
www.freesoft.ru/?id=670983.

Если у вас возникнут проблемы, то напишите ([email protected] или www.levpi.narod.ru), и я отвечу на все ваши вопросы.

Продолжение см. в № 17/08

Фигуры Лиссажу

Рис.1. Вид фигур Лиссажу при равенстве частот сигналов; 1, 2 — точки пересечения с вертикальной секущей; 3, 4 — точки пересечения с горизонтальной секущей

Рис.2. Вид фигур Лиссажу при отношении частот сигналов 3:1; 1, 2 — точки пересечения с вертикальной секущей; 3, 4 — точки пересечения с горизонтальной секущей

Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между амплитудами, частотами и фазами обоих колебаний. В случае равенства частот колебаний фигура Лиссажу представляет собой эллипс (рис.1), который при разности фаз 0 или π вырождается в отрезок прямой, а при разности фаз π/2 и равенстве амплитуд превращается в окружность. Если частоты колебаний не равны, разность фаз изменяется во времени, что приводит к образованию фигур Лиссажу сложной формы как устойчивых, так и динамически изменяющихся во времени.

Если частоты колебаний относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов колебаний, движущаяся точка возвращается в исходное положение, образуя устойчивую фигуру Лиссажу (рис.2).

Математический анализ показывает, что для соотношения частот колебаний справедливо следующее выражение:

,

где — частоты гармонических колебаний вдоль осей X и Y соответственно; — количество точек пересечения горизонтальной и вертикальной секущих с фигурой Лиссажу.

Горизонтальная и вертикальная секущие проводятся таким образом, чтобы каждая секущая имела максимальное число точек пересечений с фигурой Лиссажу (см. рис.1 и 2).

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране электронно-лучевого осциллографа; они получаются в результате перемещения электронного луча, если к парам пластин вертикального и горизонтального отклонения подведены гармонические сигналы с равными или кратными частотами. Наблюдение фигур Лиссажу — удобный метод исследования соотношений между амплитудами, частотами и фазами гармонических колебаний.

Фазо-частотная характеристика апериодического звена определяется следующим уравнением:

Рис.6. Фигура Лиссажу

Для определения отношения амплитуд и разности фаз гармонических сигналов на входе и выходе апериодического звена (АЧХ и ФЧХ апериодического звена) методом фигур Лиссажу с помощью электронно-лучевого осциллографа необходимо на вход Ch2 осциллографа подать сигнал, поступающий на вход звена , а на вход Ch3 осциллографа подать сигнал с выхода звена . На экране осциллографа появится изображение фигуры Лиссажу.

При этом:

где — коэффициент развертки осциллографа по оси , — коэффициент развертки осциллографа по оси .

4. Основные формулы

Апериодическое звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением

где — входной гармонический сигнал; — выходной гармонический сигнал; — постоянная времени, определяющая частотные свойства звена; — коэффициент передачи звена.

Дифференциальное уравнение RC-цепи:

где — частота сигнала.

Уравнение комплексной передаточной характеристики звена

где для RC-цепи, — частота сигнала.

Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена определяется уравнением

Фазо-частотная характеристика апериодического звена определяется следующим уравнением:

ФЧХ звена определяется уравнением

АЧХ звена определяется уравнением

где так как для апериодического звена

WolframAlpha по-русски: Фигуры Лиссажу в Wolfram|Alpha

Кривые (фигуры) Лиссажу возникают при наложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Они принимают различную форму в зависимости от параметров этих колебаний: амплитуды, частоты, фазы.

Физики наблюдают и изучают фигуры Лиссажу при помощи специальных приборов. Однако, с помощью Wolfram|Alpha кто угодно может нарисовать эти фигуры безо всяких приборов, лишь при помощи специального калькулятора кривых Лиссажу. Задавая параметры двух взаимодействующих колебаний в этом калькуляторе, вы получите изображение кривой Лиссажу, которая бы образовалась в результате суперпозиции этих колебаний.

Чтобы получить фигуры Лиссажу в Wolfram|Alpha, нужно сначала выполнить запрос, по которому система выводит калькулятор кривых Лиссажу:

Lissajous curve

Затем нужно задать параметры горизонтального и вертикального колебаний (так, как-будто вы настраиваете их на осциллографе):

Wolfram|Alpha интерпретирует введенные параметры следующим образом:

После этого Wolfram|Alpha производит необходимые вычисления, и выводит изображение соответствующей фигуры Лиссажу:

Вы можете экспериментировать с калькулятором фигур Лиссажу в Wolfram|Alpha, задавая различные параметры колебаний. Однако, следует помнить, что фигуры Лиссажу возникают далеко не всегда, а только при определенном соотношении параметров колебаний. Подробнее об этом можно прочитать, например, в Википедии.

Фигуры Лиссажу, которые возникают в результате наложения механических взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, можно можно записать песком, используя для этого специально сконструированный маятник, как показано в этом видео:

В радиотехнике, фигуры Лиссажу наблюдают и изучают при помощи осциллографа:

фигурок Лиссажу

фигурок Лиссажу

Это было создано с помощью следующей команды:

seq 0 1132 | gawk ‘{print sin ($ 1/18), cos ($ 1/20)}’ | psdraw -l 0.15> lissajous.ps

Я мало что знаю о фигурах Лиссажу; вероятно есть какое-то место еще в Интернете, из которого вы могли бы многое узнать о них. По сути, это своего рода неудачные круги, или, скорее, круг — это простейшая фигура Лиссажу. Изменяя скорость изменения X и Y (изменяя 18 и 20 выше), вы меняете форму фигуры Лиссажу.Назван в честь французского математика Жюля-Антуана Лиссажу.

Фигуры Лиссажу можно рассматривать как простую физическую систему с пружинами. Предположим, у вас есть груз, свисающий с пружины, и вы тянете его. вниз и отпустить. Если вы построите график вертикального положения -vs- времени, вы получить синусоидальную волну. (Настоящая пружина тоже будет иметь трение, поэтому синус волна станет меньше по мере того, как пружина теряет энергию.)

Представьте, что у вас на пружине свисает гиря с двумя горизонтальными пружины прикреплены к нему, что делает перевернутый T с горизонтальные пружины, прикрепленные к стенам.Теперь вес может перемещаться сбоку в сторону тоже; если вы потянете его в сторону и отпустите, вес будет снова двигаться по синусоиде, за исключением горизонтального положения, которое колеблется.

Если у вас есть и горизонтальные, и вертикальные пружины, и вы перемещаете вес по диагонали (чтобы все пружины были растянуты) и отпустите, положение груза будет определять фигуру Лиссажу. В частота пружин определит, как выглядит фигура Лиссажу. Например, цифра вверху страницы может быть от веса / пружины. система с вертикальной частотой 1/20 и горизонтальной частотой 1/18.

То же самое можно получить с маятником, у которого другой частота для раскачивания вперед-назад и из стороны в сторону. В В магазинах Natural Wonders (их можно найти в любом торговом центре!) Можно купить вот такой маятник. что делает фигуры Лиссажу на песке.

На моем старом Apple // e код выглядел примерно так:

10 HGR: HCOLOR = 3 20 ДЛЯ T = 1 ДО 1132 30 X = 140 + 60 * SIN (T / 18): Y = 90 + 60 * COS (T / 20) 40 HPLOT TO X, Y 50 СЛЕДУЮЩИЙ T

Щелкните здесь, если вы хотите увидеть исходный код для seq (на самом деле, perl-скрипт, основанный на том, что я прочитал в книге).

Щелкните здесь для получения дополнительной информации о psdraw.

Ссылки …

• Шансы и конец : Это различные крошечные идеи, которые легко реализовать, делать интересные снимки, или иным образом интересны (мне). Щелкните одно из изображений ниже, чтобы увидеть другие.

Простой тригонометрический сюжет | Двойной тригонометрический контурный график | Фигуры Лиссажу | Простая агрегация, ограниченная диффузией | Спиральные треугольники | Полярные цветы

Эта страница создана 22 августа 1996 года.Обновлено в 2004 г .; благодаря Дэн Валентайн, отправивший мне письмо с исправлением «Лиссажу» на «Лиссажу».

---

Текущий адрес:
Эрик Р. Уикс
[email protected]
Департамент физики
Университет Эмори
Атланта, Джорджия 30322-2430

фигур Лиссажу на осциллографе

Это учебное пособие представляет собой трехмерное моделирование электронно-лучевого осциллографа, создающего фигуры Лиссажу при сравнении синусоидальных напряжений.

Фигуры Лиссажу — это узоры, образованные соединением пары синусоидальных волн с осями, перпендикулярными друг другу.Фигуры, иногда называемые кривыми Боудитча, были впервые описаны в начале 1800-х годов американским математиком Натаниэлем Боудитчем, который в то же время экспериментировал с маятником, колеблющимся вокруг перпендикулярных осей. Позже в том же веке французский математик Жюль-Антуан Лиссажу начал собственное исследование фигур, которые он получал разными способами. Один из его методов заключался в создании вибраций в зеркале со звуками разной частоты, а затем в отражении света от этого зеркала для создания различных узоров.Сегодня чаще всего фигуры Лиссажу генерируются с помощью осциллографа, типа электронно-лучевой трубки, которая обеспечивает изображение электрических сигналов в виде графика.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если у вас возникли проблемы с просмотром приведенного ниже Java-апплета, вам может потребоваться авторизовать разрешение на запуск апплета, щелкнув его правой кнопкой мыши или управляя настройками вашего браузера, и / или загрузив новейшую версию Java. Это руководство пока недоступно для просмотра на многих мобильных устройствах.

Это учебное пособие представляет собой трехмерное моделирование электронно-лучевого осциллографа, создающего фигуры Лиссажу при сравнении синусоидальных напряжений.Чтобы изменить угол обзора, щелкните и перетащите фигуру. Чтобы восстановить исходный вид фигуры, нажмите кнопку Вид спереди .

На упрощенной иллюстрации показана электронно-лучевая пушка, которая создает фигуры Лиссажу на экране осциллографа с помощью электронного луча, который при попадании на поверхность осциллографа, покрытую люминофором, вызывает свечение. Также изображены горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины, которые работают в тандеме для отклонения электронного луча (состоящего из отрицательно заряженных электронов) по экрану.Они делают это с помощью электростатического отклонения . Это происходит, когда на одной паре пластин создается разность потенциалов, в результате чего возникает электрическое поле, через которое проходит электронный луч. Когда одна из пар пластин положительна по отношению к противоположной пластине, луч отклоняется в этом направлении. Таким образом луч можно отклонять вверх, вниз, вправо или влево таким образом, чтобы покрывать всю сетку экрана осциллографа.

В этом уроке отклоняющие пластины окрашены в красный цвет, если положительный, и черный, если он отрицательный.

На экране осциллографа можно создать различные фиксированные геометрические формы и узоры, выбрав нужный вариант в раскрывающемся меню Choose a Preset . Гораздо более широкий диапазон фигур Лиссажу можно создать, вручную отрегулировав амплитуду, частоту и / или фазу одного или обоих напряжений с помощью назначенных ползунков. Кнопка Reset может быть нажата, чтобы перезапустить производство любой конкретной фигуры с помощью электронно-лучевой пушки, а ползунок Speed ​​ можно перемещать вправо или влево для увеличения или уменьшения количества времени, необходимого для создания рисунков.

с использованием осциллографа для отображения сигналов

Чаще всего осциллограф используется для отображения одного или нескольких сигналов во временной области. Разновидностью является отображение сигналов в частотной области. В большинстве осциллографов с такой возможностью доступ к частотной области осуществляется нажатием кнопки с надписью Math. Затем нажмите программную клавишу — элемент управления, который зависит от контекста и соответствует быстрому преобразованию Фурье. Дисплей мгновенно переключается на отображение того же подключенного сигнала в частотной области.Как и во временной области, ось Y соответствует амплитуде, но она откалибрована по амплитуде мощности, а не по амплитуде напряжения. Дисплей обычно имеет логарифмическую шкалу.

Что кардинально отличается в режиме частотной области, так это то, что ось X используется совершенно по-другому. Он настроен не на время, а на частоту. Представление в частотной области состоит из той же информации, что и представление во временной области, и благодаря чуду преобразования Фурье и полученного из него быстрого преобразования Фурье можно переходить из одной области в другую любое количество раз без каких-либо ограничений. потеря информации.

Другой тип режима отображения осциллографа известен как режим XY. Два сигнала подаются в отдельные каналы. Один сигнал подается на вертикальную систему, как при обычном подключении во временной области. Когда осциллограф работает в режиме XY и второй синхронный сигнал подается в другой канал, указанный на осциллографе, оба сигнала отслеживают напряжения, один на оси X, и, как если бы форма волны была повернута в сторону, другой по оси Y. Полученное изображение известно как узор Лиссажу.Изучая паттерн Лиссажу, становится ясной определенная информация о взаимосвязи между двумя сигналами. Представляющими интерес метриками являются частота, соотношение, относительная амплитуда и фазовый сдвиг.

Кривые Лиссажу задаются двумя показанными здесь параметрическими уравнениями. Их внешний вид чувствителен к соотношению a / b. Когда a / b = 1, фигура представляет собой эллипс. Отношение a / b также определяет количество лепестков на фигуре — соотношения 3/1 или 1/3 дают фигурки с тремя основными лепестками. Соотношение 5/4 дает пять горизонтальных лепестков и четыре вертикальных лепестка.Отношение A / B определяет относительное отношение ширины к высоте кривой. Таким образом, соотношение 2/1 дает фигуру вдвое большей длины. Значение δ определяет угол поворота фигуры, если смотреть, как если бы она была трехмерной.

Простейшие диаграммы Лиссажу появляются на экране осциллографа, когда частоты сигналов одинаковы, т. Е. Их соотношение составляет 1: 1. Когда это условие выполняется и когда фазовый сдвиг равен 0 °, дисплей представляет собой прямую линию, идущую вверх от левой стороны экрана к правой стороне.Тот же самый образец Лиссажу отображается, когда фазовый сдвиг составляет 360 °, показывая, что эти два фазовых сдвига эквивалентны.

Когда фазовый сдвиг составляет 90 ° или 270 °, и оба сигнала имеют одинаковую частоту, отображается идеальный круг. Когда фазовый сдвиг составляет 45 °, паттерн Лиссажу представляет собой эллипс, центральная линия которого наклонена вверх слева направо. Когда фазовый сдвиг составляет 180 °, паттерн Лиссажу представляет собой прямую линию, спускающуюся слева направо.

Во всех случаях, когда соотношение частот 1: 1, отображается эллипс, в котором прямая линия и круг являются ограничивающими случаями.
Для этих фазовых сдвигов двух сигналов, имеющих разные отношения частот, получаются все более сложные, но легко распознаваемые паттерны Лиссажу, а когда амплитуды не совпадают, генерируется еще больше паттернов Лиссажу.

Паттерны Лиссажу получили свое название от Жюля Антуана Лиссажу, который исследовал, писал и читал лекции о них в 1857 году. Он был известным и успешным лектором, демонстрирующим созданное им устройство, которое генерирует эти паттерны. Он состоял из вибрирующего камертона, к которому было прикреплено зеркало.Свет отражался от этого зеркала, а затем, в свою очередь, отражался от другого зеркала, прикрепленного ко второму камертону. Эти две сборки устанавливались под прямым углом, и изображение проецировалось на стену в затемненной комнате.

Сегодня эта демонстрация девятнадцатого века осуществляется путем подключения внешнего или внутреннего сигнала к двум каналам осциллографа. Сложнее всего найти источник двух синхронизированных сигналов переменного тока. Очевидно, что подходящий генератор функций будет работать.Но есть и другие альтернативы.

Ручной осциллограф с батарейным питанием, по крайней мере, с двумя изолированными от земли и друг от друга каналами, может подключаться к электросети таким образом, чтобы получать два сигнала переменного тока, которые либо совпадают по фазе, либо не совпадают по фазе на 180 °. Противофазные сигналы получаются путем подключения двух щупов таким образом, чтобы их заземляющие выводы подключались к противоположным сторонам цепи электроснабжения.

Обратите внимание, что в этой схеме нельзя использовать заземленный осциллограф настольного типа с обычными пробниками, так как это приведет к сильному току короткого замыкания.Проблему решает дифференциальный пробник, но это довольно дорогой аксессуар, поэтому в большинстве лабораторий его нет.

Но есть и другой способ. Осциллограф Tektronix серии MDO3000 с внутренним генератором произвольных функций может генерировать 13 сигналов различных форм:

• Синус
• Площадь
• Импульсный
• Пандус
• постоянного тока
• Шум
• Грех (x) / x
• по Гауссу
• Лоренц
• Экспоненциальный рост
• Экспоненциальное затухание
• Хаверсин
• Сердечный

Форма волны по умолчанию — синус, что нам и нужно.Его можно отобразить, пропустив кабель BNC от AFG Out, который находится на задней панели, к одному из аналоговых каналов на передней панели. Первый канал выбран по умолчанию. План состоит в том, чтобы ввести две синусоидальные волны в отдельные каналы с возможностью изменения амплитуды и частоты, а также просмотреть паттерн Лиссажу в режиме XY осциллографа.

Чтобы увидеть это в приборе серии MDO 3000, сначала нажмите Default Setup. Затем нажмите AFG. На дисплее появится синусоида по умолчанию. Затем нажмите кнопку «Сохранить / Вызов меню».Установите источник как Channel One, используя многофункциональную ручку a. Установите пункт назначения по своему усмотрению, стараясь не перезаписать ранее сохраненный сигнал, который вы хотите сохранить. Затем нажмите OK Сохранить.

Вы можете сказать, что синусоида от AFG была успешно сохранена, когда цвет кривой изменится на белый, который не является одним из цветов выделенного канала.

Чтобы получить доступ к изображению Лиссажу, нажмите «Получить». Затем нажмите функциональную клавишу, связанную с дисплеем XY. Меню появляется справа от дисплея, и XY-дисплей в настоящее время отключен.Нажмите Triggered XY, чтобы включить режим XY. Дисплей XY представляет собой горизонтальную линию.
Обратите внимание, что если вы выключите AFG или отсоедините кабель BNC, узор Лиссажу временно исчезнет. Нажав AFG, затем Настройки формы волны, можно изменить частоту или период, амплитуду и смещение и посмотреть, что происходит на дисплее XY.

Octopus тестирует компоненты, используя так называемый анализ аналоговой сигнатуры (или ASA). При подключении к прицелу, который находится в режиме отображения X-Y, осьминог может отображать зависимость напряжения оттекущее качество компонентов. Таким образом, осьминога также иногда называют трассировщиком кривых.

Узоры Лиссажу интересны и поучительны, но можно спросить об их практическом применении. В сочетании с осциллографом можно использовать устройство, известное как тестер осьминога, для проверки цепей, чтобы убедиться, что они разомкнуты или замкнуты. Можно проверить целостность резистора, конденсатора, катушки индуктивности или диода (включая стабилитрон).

Горизонтальная линия соответствует обрыву цепи. Вертикальная линия соответствует короткому.Наклонная линия, идущая из нижнего левого угла в верхний правый, отображается, когда устройство, подключенное к тестеру осьминога, является резистором. Эллипс означает конденсатор или катушку индуктивности. Обратный L — это диод, и если добавлена ​​нисходящая вертикальная линия, у вас есть стабилитрон.

Устройство подключает напряжение с ограничением по току к интересующему компоненту или цепи. Напряжение и ток отображаются на экране осциллографа, работающего в режиме XY, а диаграммы Лиссажу передают пользователю информацию о состоянии устройства или цепи.Используя пробники, вы можете быстро перемещать большие объемы сложных схем с множеством компонентов и получать хорошее представление о том, что происходит.

7. Фигуры Лиссажу

М. Борна

Фигура Лиссажу
x = sin ( t /18),
y = cos ( t /20)

Мы можем получить очень интересные графики, когда каждый из Координаты x- и y- даны как функции т .В этом случае у нас есть параметрических уравнений. (Мы увидим еще один пример параметрических уравнений позже в разделе приложений дифференцирования.)

Фигуры Лиссажу являются частным случаем параметрических уравнений, где x и y имеют следующую форму:

`x = A \ sin (при + δ)`

`у = В \ sin (bt + γ)`

[Их также можно записать в терминах выражений косинуса или комбинации sin и cos, поскольку мы можем легко перенести синус на косинус.См. Графики y = a sin (bx + c).]

кривые Лиссажу можно увидеть на осциллографах и являются результат объединения 2-х тригонометрических кривых под прямым углом.

Не пропустите ..

Смотрите интерактивную анимацию этих фигур Лиссажу по адресу:

Анимированные фигурки Лиссажу

Пример 1

Постройте график параметрического уравнения где:

x = 2 cos t
y = cos ( t + 4)

Ответ

Нам нужно создать таблицу значений, чтобы увидеть, что происходит.Мы даем каждой точке «номер точки», чтобы ее было легче понять при построении графика кривой.

`т`	`0`	`π / 4`	`π / 2`	`(3π) / 4`	`π`	`(5π) / 4`	`(3π) / 2`	`(7π) / 4`	`2π`
` x`	`2`	`1,4`	`0`	`-1,4`	`-2`	`-1,4`	`0`	`1,4`	`2`
`y`	`-0.6`	`0,1`	`0,7`	`1.0`	`0,7`	«-0,1»	«-0,8»	`-1,0`	«-0,7»
Pt №	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Вот итоговая кривая с пронумерованными точками. Точка 1 фактически эквивалентна точке 9, поскольку мы выполнили один полный цикл эллипса, поскольку t идет от 0 до 2π.

Общие кривые Лиссажу

Кривые Лиссажу принимают определенные общие формы в зависимости от значений переменных в выражениях

x = A sin ( при + δ ) и
y = B sin ( b t + γ )

В примере 1 мы увидели, что кривая представляет собой эллипс. Если A ≠ B и a = b , мы получим эллипс.(См. Больше об Эллипсе.)

В примере криволинейного движения фигура Лиссажу представляет собой круг. Если A = B и a = b = 1, мы получим круг.

Пример 3 на этой странице является частью параболы. Мы также можем получить прямую линию.

Пример 2 — Логотип ABC

Австралийская радиовещательная корпорация — это (в основном!) Высококачественная общественная телерадиосеть. Логотип ABC — это фигура Лиссажу.Параметрические уравнения, описывающие логотип:

x = cos ( t /3)
y = sin t

График выглядит следующим образом:

Для получения дополнительной информации по ABC см. Азбуку фигур Лиссажу.

Пример 3

Нарисуйте график параметрической функции:

`x = cos (t + π / 4)`

`y = sin \ 2t`

Ответ

Рисуем таблицу значений:

`т`	`0`	`π / 4`	`π / 2`	`(3π) / 4`	`π`	`(5π) / 4`	`(3π) / 2`	`(7π) / 4`	`2π`
` x`	`0.7`	`0`	«-0,7»	`-1`	«-0,7»	`0`	`0,7`	`1`	`0,7`
`y`	`0`	`1`	`0`	`-1`	`0`	`1`	`0`	`-1`	`0`
Pt № .	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Эскиз:

Эта кривая является частью параболы.

Конечно, было бы лучше начинать наши значения с `t = (3π) / 4` (точка 4) и использовать только точки 4, 5, 6, 7 и 8, но часто вы не знаете, что пока вы его не нарисуете.

Пример 4 — Математическое сердце

Последняя на самом деле не является фигурой Лиссажу, но, как и такие кривые, она состоит из параметрических уравнений, включающих тригонометрические функции.

Параметрические уравнения:

x = 5 sin ³ t ,
y = 4 cos ( t ) — 1.3 cos (2 t ) — 0,6 cos (3 t ) — 0,2 cos (4 t )

Математическое сердце
x = 5 sin ³ t ,
y = 4 cos ( t ) — 1,3 cos (2 t ) — 0,6 cos (3 t ) — 0,2 cos (4 т )

См. Также: Анимированные фигуры Лиссажу

Кривые Лиссажу

Это статья о кривых Лиссажу.

Кривые Лиссажу (иногда также известные как фигуры Лиссажу или кривые Боудитча) представляют собой красивые формы, впервые исследованные Натаниэлем Боудитчем в 1815 году, а позже (и гораздо более подробно) Жюлем Антуаном Лиссажу в 1857 году.Кривые Лиассажу описываются параметрическими уравнениями ниже:

Это формы, созданные, когда x-координата кривой описывается одной синусоидальной волной, а y-координата описывается другой синусоидальной волной. Регулируя частоту каждой волны, фазу между ними и их относительные амплитуды, возникают интересные закономерности.

Синусоидальные волны В школе нас учат, что функция синус генерируется путем обводки линии по кругу и рассмотрения разрешенного компонента этой функции в сравнении с линейным доступом.(Функция косинуса , которая генерируется при просмотре компонента на ортогональной оси круга, представляет собой всего лишь синус , фазу волны , сдвинутую на π / 2). Фигуры Лиссажу создаются комбинацией двух синусоид. Вы можете представить, как водите карандашом из стороны в сторону синусоидальным движением (регулируя только ось x), и вы получите прямую линию. Теперь, если вы одновременно перемещаете карандаш из стороны в сторону, если вы перемещаете карандаш вверх и вниз с другим синусоидальным движением, вы получите двухмерный узор. Регулировка амплитуды каждого коэффициента умножения (A и B) регулирует масштаб / размер формы по соответствующей оси. Регулируя относительные частоты (a и b) и фазу (δ) между волнами, создаются различные формы.

Когда соотношение частот a / b является рациональным, генерируются формы замкнутой формы, которые, в зависимости от относительных соотношений, могут выглядеть как крендели или сучки. Справа приведен пример, в котором отношение частот двух волн составляет 3/2, а отношение амплитуд — 2: 1 (с разностью фаз π / 2). Можно насчитать три доли в вертикальной плоскости и две доли в горизонтальной плоскости; соотношение двух частот.

Та же частота (a = b)

Если две волны имеют одинаковую частоту и идеально совпадают по фазе, то во всех точках значение x будет таким же, как значение y .Результатом будет прямая диагональная линия y = x . Если две волны имеют одинаковую частоту, но не синхронизированы на π / 2, то одна из волн будет похожа на косинус, а результирующий результат будет в виде круга (или эллипса, если амплитуда сигналов равна другой). Когда я учился в школе, нас рассказывали о Лиссажу с помощью осциллографов и двух генераторов сигналов. Осциллографы имеют режим XY, который позволяет управлять осциллограммой с использованием двух разных входов (вместо традиционного входа по оси Y и стандартной временной развертки). Изображение: snamepi

Изображение: Fiducial

Поскольку фаза между двумя волнами (одинаковой частоты) изменяется, результирующая выходная форма изменяется между кругом, когда волны сдвинуты по фазе на π / 2 (в любом направлении), или прямой линией, когда либо то находятся в фазе или являются прямой линией в противоположном направлении (когда они не совпадают по фазе ровно на π). Между этими двумя находятся различные искаженные эллипсы.

Инженеры

могут использовать принципы Лиссажу для точной настройки и установления фазового соотношения между известным опорным сигналом и сигналом, который необходимо проверить.

Разные частоты

Когда отношение частот не является рациональным соотношением, не равным единице, генерируются более сложные формы. Это замкнутые формы. Как и прежде, соотношение основных лепестков показывает соотношение частот.

(Если соотношение не является рациональным, форма не замкнута, но для сохранения зрения, она выглядит как «вращающаяся» форма при просмотре).

Попробуйте сами

Изображение: stanua

Ниже приведен апплет, позволяющий экспериментировать с фигурами Лиссажу.Используя кнопки [1x], [2x], [3x]… вы можете настроить соотношение частот. Есть кнопки для управления горизонтальной частотой и кнопки для вертикальной. В автоматическом режиме частоты медленно меняются по фазе, чтобы оживить формы. Если вы переключите приложение в ручной режим, вы можете установить фазу прямо в приложении, щелкнув и перетащив вывод (слева направо). Перетаскивание в крайнее левое положение устанавливает фазу на 0. Перетаскивание полностью вправо устанавливает фазу на 2π. Справа на вертикальных желтых осях вы можете видеть изображения волн, образующих изображение. Ниже представлена ​​развертка «радара», показывающая отставание по фазе между двумя сигналами (когда линия направлена ​​прямо вправо, это означает нулевую разность фаз).

Наконец, для небольшого разнообразия, можно переключить каждую волну с синусоиды на треугольную волну .

Вы можете найти полный список всех статей здесь. Щелкните здесь, чтобы получать уведомления по электронной почте о новых статьях.

фигур Лиссажу: от математики до измерения и искусства, Часть 1

Фигуры Лиссажу объединяют в себе математическую элегантность, инженерные приложения и художественные возможности.

Фигуры (или кривые) Лиссажу: даже если вы не знаете, к чему относится это имя, вы, скорее всего, видели их и, возможно, даже были очарованы ими. (Рис. 1) . Они часто используются в качестве фонового изображения на экране осциллографа в научных и научно-фантастических сценах телешоу и движений, поскольку они вызывают воспоминания о «технологиях», а также обычно приятны и интересны для просмотра (даже больше, чем простой синусоидальный сигнал). волна).

Рис. 1. Существует бесконечное количество возможных фигур Лиссажу; это лишь некоторые из них. (Источник изображения: Университет Висконсина)

В этой статье, состоящей из трех частей, будут рассмотрены их математические основы и история, их прежнее широкое использование в тестах и ​​измерениях, а также художественные усилия, в которых они используются.

Начните с математики

Фигура или график Лиссажу (liss-AH-jou) определяется парой параметрических уравнений (с параметром «t», обычно представляющим время).Эти два уравнения определяют положение на графике по оси X (горизонтальной) и оси Y (вертикальной):

X (t) = cos (ω ₁ t — α) и Y (t) = cos (ω ₂ t — β)

, где ω ₁ и ω ₂ — частоты, а α и β — фазовые сдвиги, выраженные в градусах или, чаще, в радианах.

В простейшем случае две частоты совпадают без сдвига фазы; Результирующая фигура представляет собой линию под углом 45⁰ (рис. 2 слева) .Если относительные фазовые сдвиги составляют 90⁰ (π / 2 радиан), результирующая фигура представляет собой простой чистый круг (рисунок 2 справа) . Если существует разность фаз, отличная от 90 °, круг станет эллипсом (, рис. 2, посередине) . Хотя полученная круговая фигура Лиссажу может не представлять особого интереса, она очень важна для испытаний и измерений, как мы увидим в части 2.

Рис. 2. Самая простая фигура Лиссажу состоит из двух синусоидальных сигналов одной и той же частоты с разными фазовыми сдвигами между ними.(Источник изображения: The Free Dictionary)

Если соотношение частот рациональное, кривая в конечном итоге замкнется. Если это иррационально, кривая никогда не повторится и, следовательно, никогда не закроется, и в конечном итоге она заполнит область. Поскольку частоты или фазы находятся в клетке, фигура не будет статичной, а будет вращаться и двигаться. Используя разные соотношения частот, будут построены графики разных фигур Лиссажу. Рисунок 3 показывает лишь несколько примеров результатов для различных соотношений частот и разностей фаз.

Рис. 3: Изменяя соотношение между частотами синусоидальных сигналов и их фазовыми сдвигами, создается множество фигур Лиссажу. (Источник изображения: Википедия)

Хотя эти уравнения можно изобразить на листе бумаги вручную — и именно так они изначально изучались, — теперь гораздо более драматично и гибко использовать генераторы функций с одним подключенным к оси X осциллографа, а другой — по оси Y. Это позволяет наглядно показать эффект изменения частоты и фазы (если генератор функций поддерживает этот последний вариант).

Конечно, также можно использовать пакеты математических приложений на персональном компьютере и написать несколько строк базового кода для создания сигналов и их отображения. Это удобный и недорогой способ создания и отображения фигур Лиссажу как в статическом, так и в динамическом режимах, который особенно полезен в образовательных целях.

История фигурки Лиссажу

Хотя «знакомство» большинства людей с фигурами Лиссажу происходит через генератор функций и осциллограф, или через математические вычисления и некоторый код на ПК, конечно, так было не всегда.Натаниэль Боудич первоначально исследовал семейство кривых фигур Лиссажу в 1815 году. Позже более подробно и применительно к 1857 году Жюлем Антуаном Лиссажу (в честь которого они названы), профессором математики в лицее Сен-Луи в Париже. Лиссажу изучал оптические методы анализа акустических колебаний. Его техническая статья о его оптическом методе изучения вибрации упоминается в цитируемой в конце «Истории информации» вместе с изображениями некоторых ее страниц.

В те доэлектронные дни математики и ученые очень умно использовали все, что у них было, для исследования естественных явлений современными методами. Среди наиболее распространенных методов было использование небольших зеркал, подвешенных на нитях, камертонах или пружинах, поскольку гармоническое движение устройства было синусоидой. Они направляли лучи света (конечно, не лазеры) на зеркала и отражение на плоской поверхности, отслеживая форму волны.

Обратите внимание, что входы X и Y не обязательно должны быть синусоидами; могут использоваться треугольные волны и прямоугольные волны (Рисунок 4) .

Рис. 4. Треугольник и прямоугольная волна также могут быть использованы с некоторыми интересными результатами. (Источник изображения: SciELO — Научная электронная библиотека в Интернете)

Из-за своей математической природы фигуры Лиссажу широко анализировались как основные уравнения и связанные с ними расширенные функции, такие как полиномы Чебышева. Однако до сих пор фигуры Лиссажу были естественным «любопытством», создавая интересные и приятные изображения, но не находившие практического применения. Во второй части рассматривается их роль в электронных испытаниях и измерениях.

Связанное содержание WTWH

Ссылки с программным обеспечением или взаимодействием (и др.)

Прочие ссылки

• Википедия, «Кривая Лиссажу»
• Клуб электроники, «Фигуры Лиссажу или узоры Лиссажу»
• Wolfram Research, «Кривая Лиссажу»
• Fine Art America, «Фигура Лиссажу»
• MIT, «Логотип лаборатории Линкольна»
• История информации, «Жюль Антуан Лиссажу описывает фигуры Лиссажу»
• История информации, «Рисунки из оригинальной публикации Лиссажу»
• Техасский университет, «Фигуры Лиссажу»
• Tutorials Point, «Фигуры Лиссажу»
• Национальная магнитная лаборатория: Магнитная академия, «Фигуры Лиссажу на осциллографе»
• Science Direct, «Пересмотр фигуры Лиссажу как инструмент для изучения бистабильного восприятия»
• PLOS One, «Стабильность восприятия фигуры Лиссажу модулируется скоростью иллюзорного вращения».
• SciELO — Интернет-научная электронная библиотека, «Фигуры, похожие на Лиссажу, с треугольными и квадратными волнами»
• EEE Guide, «Измерение частоты методом Лиссажу»
• Все о схемах, «Что такое линейная система?»
• Все о схемах, «Измерение частоты и фазы»
• Википедия, «Гармонограф»
• Википедия, «Австралийская радиовещательная корпорация»

Паттерн Лиссажу, классическое измерение фазы [Analog Devices Wiki]

Цель:

Все периодические сигналы можно описать с точки зрения амплитуды и фазы.Для выполнения измерений амплитуды, частоты и фазы с помощью осциллографа и использования фигур Лиссажу для измерений фазы и частоты.

Все мы узнаем это на уроках базовой теории схем. Конечно, вам нужно было рассчитать изменение фазы сигнала, когда он проходит через цепь. К счастью, вы можете измерить фазу на лабораторном столе с помощью оборудования осциллографа, такого как ADALM1000 и прилагаемого к нему настольного программного обеспечения ALICE, используя несколько методов.

Примечания:

Как и во всех лабораториях ALM, мы используем следующую терминологию при описании подключений к разъему M1000 и настройке оборудования.Зеленые заштрихованные прямоугольники обозначают подключения к разъему аналогового ввода-вывода M1000. Контакты аналогового канала ввода / вывода обозначаются как CA и CB. При настройке для принудительного измерения напряжения / измерения тока –V добавляется, как в CA- V , или при настройке для принудительного измерения тока / измерения напряжения –I добавляется, как в CA-I. Когда канал настроен в режиме высокого импеданса только для измерения напряжения, –H добавляется как CA-H. Следы осциллографа аналогичным образом обозначаются по каналу и напряжению / току. Например, CA- V , CB- V для сигналов напряжения и CA-I, CB-I для сигналов тока.

Фон: фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу (произносится как LEE-suh-zhoo) были открыты французским физиком Жюлем Антуаном Лиссажу. Он использовал звуки разных частот, чтобы заставить зеркало вибрировать. Луч света, отраженный от зеркала, отслеживал узоры, зависящие от частот звуков. Установка Лиссажу была похожа на аппарат, который сегодня используется для проецирования лазерных световых шоу.

До появления цифровых частотомеров и фазовой автоподстройки частоты фигуры Лиссажу использовались для определения частот звуков или радиосигналов.Сигнал известной частоты подавался на горизонтальную ось осциллографа, а измеряемый сигнал — на вертикальную ось. Полученная картина зависела от соотношения двух частот.

Фигуры Лиссажу часто использовались в качестве реквизита в научно-фантастических фильмах 1950-х годов. Один из лучших примеров можно найти во вступительной части сериала «Внешние пределы». («Не пытайтесь корректировать изображение — мы контролируем передачу.Узор из перекрещивающихся линий на самом деле является фигурой Лиссажу.

Разность фаз или фазовый угол — это разность фаз между одними и теми же точками, например, переход через нуль, в двух разных формах сигнала с одинаковой частотой. Типичным примером является разность фаз между входным и выходным сигналами после прохождения через цепь, кабель или дорожку на печатной плате. Форма сигнала с опережающей фазой имеет определенную точку, возникающую раньше по времени, чем такая же точка на другом сигнале.Это может быть случай, когда сигнал проходит через конденсатор: ток в конденсаторе будет опережать напряжение на конденсаторе на 90º. И наоборот, форма сигнала с запаздывающей фазой имеет определенную точку, возникающую позже во времени, чем другая форма сигнала парного сигнала. Два сигнала противоположны, если они сдвинуты по фазе на 180 °. Сигналы, различающиеся по фазе на ± 90º, находятся в квадратуре фазы (одна четверть 360º).

Соотношение времени (фазы) между двумя синусоидальными волнами, конечно, можно измерить с помощью графика во временной области, такого как рисунок 1.Возможности измерения времени большинства осциллографов, включая ADALM1000 и программное обеспечение ALICE, могут отображать относительную фазу между каналом A и каналом B в градусах и / или временную задержку между A и B. точки, в которых они пересекают свое среднее значение (пересечение нуля с удаленным смещением постоянного тока). Затем он использует эти временные точки для отчета о частоте, периоде, фазе, задержке, рабочем цикле и т. Д. Шум и дрожание вносят ошибки в результаты.

Рисунок 1, Временной график двух синусоидальных волн.

Старожилы, которые начинали свою карьеру с аналогового осциллографа, вероятно, помнят, как использовали классический образец Лиссажу для измерения разности фаз двух синусоидальных волн. Его можно измерить, построив кросс-графику двух синусоидальных сигналов на дисплее X-Y в ALICE, как показано на рисунке 2. На этом рисунке форма волны напряжения на канале A обеспечивает горизонтальное смещение или смещение по оси X. Канал B обеспечивает отклонение по вертикали или по оси Y.Паттерн Лиссажу указывает разность фаз по форме графика X-Y. Прямая линия указывает разность фаз 0 ° или 180 °. Угол линии зависит от разницы амплитуд между двумя сигналами, линия под углом 45º к горизонтали означает, что амплитуды равны. В то время как кружок указывает на разницу в 90 градусов. Это будет истинный круг, только если амплитуды равны. Разность фаз между 0º и 90º проявляется в виде наклонных эллипсов, а фаза определяется путем измерения максимального вертикального отклонения (Ymax) и вертикального отклонения при нулевом горизонтальном отклонении (Yx = 0).На рисунке 2 курсоры отмечают эти два места на графике X-Y. Обратите внимание, что это действительно только в том случае, если график X-Y центрирован на 0,0. Любое смещение постоянного тока в двух формах сигнала необходимо сначала удалить.

Рис. 2 Использование классического дисплея Лиссажу позволяет измерить разность фаз между двумя синусоидальными волнами.

Показания маркера в верхнем левом углу графика показывают необходимые значения для вычисления разности фаз.

Φ2 — Φ1 = ± sin − 1 (Yx = 0 / Ymax), когда вершина эллипса расположена в квадранте 1 (Q1)

Φ2 — Φ1 = ± 180-sin − 1 (Yx = 0 / Ymax), когда вершина эллипса расположена в квадранте 2 (Q2)

Знак разности фаз определяется путем изучения временных диаграмм канала.

В примере на рисунке 2 значение Ymax равно 1,538, YX = 0 равно 1,064, а вершина эллипса находится в Q1:
Φ2 — Φ1 = ± sin − 1 (1,064 / 1,538) = ± sin − 1 (0,692). = 44º

Точность этого метода зависит от расположения курсоров, но он дает разумные результаты с определенным художественным мастерством.

Оборудование, такое как ADALM1000 и настольное программное обеспечение ALICE, предлагает несколько методов измерения фазы. Прямое измерение во временной области поддерживает как статические, так и динамические измерения фазы.Расчет на основе частотной области дает несколько более точные результаты для измерений статической фазы, но требует, чтобы вы взяли разницу данных фазы БПФ на основной частоте.

Эксперимент

Материалы:
Аппаратный модуль ADALM1000

Создание узора Лиссажу

По умолчанию осциллограф отображает сигналы напряжения по оси Y в зависимости от времени по оси X. В программном обеспечении ALICE есть специальная функция, которая позволяет пользователю наносить один сигнал на ось X, а другой — на ось Y.

Начните с установки обоих генераторов AWG на значения 1,0 мин. И 4,0 макс. И частоту 1 кГц . Используйте отображение времени, чтобы убедиться, что оба генератора сигналов выдают одинаковый сигнал.

Вы должны увидеть две почти идентичные синусоидальные волны, обе совпадающие по фазе друг с другом. Помните, что синусоида определяется тремя параметрами — амплитудой, частотой и фазой. Убедитесь, что настройки вертикального диапазона и положения для обоих каналов одинаковы. (При необходимости используйте V / Div.) Если амплитуды не совпадают, синусоидальные волны не будут одинаковой амплитуды. Если фазы не совпадают, синусоидальные волны не будут выстраиваться горизонтально. Если частоты не совпадают, волна, по которой запускается осциллограф, будет неподвижной, а другая волна будет двигаться (мы надеемся медленно) влево или вправо. На рисунке 3 показаны сигналы с разной амплитудой и частотой (и смещение постоянного тока).

Рис. 3. Две синусоидальные волны разной амплитуды и частоты.

Теперь мы можем создать узор Лиссажу, открыв инструмент XY Plotter. Выберите CA- V для оси X и CB- V для оси Y. Сравните то, что вы видите, с примерами фигур Лиссажу. Используйте свой любимый программный инструмент для захвата экрана, чтобы сделать снимок и сохранить его. Ваш ТА или инструктор может помочь вам в этом. Включите это изображение в свой отчет. [Подсказка: используйте кнопку STOP, чтобы зафиксировать фигуру в том месте, где вы хотите сделать снимок.]

Теперь вы должны поиграть с настройками AWG и создать несколько других репрезентативных паттернов.Создайте один узор, который вам особенно интересен. Сделайте снимок с помощью программного обеспечения для захвата экрана.

Вычитание двух сигналов

Затем мы проведем другое сравнение двух синусоидальных волн, которое окажется очень важным для развития методов измерения. В этом измерении мы сравним два сигнала, чтобы увидеть, насколько они близки друг к другу, вычитая один из другого.

Вернитесь к дисплею времени.Это должны быть построены две синусоидальные волны в зависимости от времени. Снова отрегулируйте их так, чтобы они были как можно более идентичными. (Попытайтесь отобразить их друг над другом, используя элементы управления Min, Max, Freq и Phase в элементах управления генератора AWG.)

Нажмите кнопку «Математика», чтобы открыть элементы управления математической функцией. Щелкните список встроенных выражений и выберите CAV-CBV, в результате чего будет получена третья трасса, которая является разницей между двумя каналами. Вам нужно будет увеличить V / Div до 1.0 на обоих каналах, чтобы увидеть разностный сигнал. Два выхода канала AWG имеют смещение постоянного тока, которое также должно равняться нулю, если они одинаковы. Также отрегулируйте вертикальное положение так, чтобы следы не выходили за сетку.

Если вы настроили две синусоидальные волны на идентичность, их разница должна быть равна нулю. Насколько хорошо ты справился? Обратите внимание, что амплитуда, частота и фаза должны быть идентичны, чтобы разница была равна нулю.

Теперь сделайте два сигнала как можно более идентичными, убрав разностный сигнал.Что тебе нужно было делать?

Сводка

В этом упражнении вы должны увидеть значение сравнения одного сигнала с каким-либо известным опорным сигналом. Например, можно настроить гитару, сравнив тембр струны с электронным эталонным тембром. В результате получается идеально настроенный инструмент, даже если у игрока не идеальный слух. Вы также видели, как мы проводим так называемые дифференциальные измерения. Дифференциальные измерения имеют много преимуществ перед абсолютными.Вы увидели одну из ключевых причин, поскольку дифференциальные измерения позволяют сосредоточиться на меньших количествах, поскольку вы работаете с разницей между двумя сигналами.

Для дальнейшего чтения:

Кривые Лиссажу
Кривые Лиссажу

Вернуться к разделу «Введение в работу электротехнической лаборатории» Содержание

.