Site Loader

Содержание

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Открыт набор студентов и всех желающих на курс профессора Уве Гайсбауэра (Университет Штутгарта, Германия)

Уважаемые коллеги и все заинтересованные лица! Институт международной деятельности НГАСУ (Сибстрин) предлагает прослушать курс англоязычных лекций Уве Гайсбауэра (Университет Штутгарта, Германия) «Applied Aerodynamics» («Прикладная Аэродинамика»). Курс: 8 онлайн лекций + 4 офлайн лекции с зачетом. Для онлайн слушателей все лекции и зачет будут проходить в режиме онлайн. Расписание занятий опубликуют позже. Сроки проведения: октябрь-декабрь 2021 г. Язык лекций: английский. Лекции сопровождаются вспомогательным электронным материалом, который предоставляется слушателям.

НГАСУ (Сибстрин) стал участником федерального проекта «Содействие занятости» и бесплатно проводит обучение граждан

С 2021 года в рамках федерального проекта «Содействие занятости» национального проекта «Демография» можно получить дополнительное профессиональное образование за счет государства. Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) является партнером данного проекта. Проект реализуется при поддержке Министерства труда и социальной защиты Российской Федерации, Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, Министерства просвещения Российской Федерации. Цель проекта – содействие занятости отдельных категорий граждан путем организации профессионального обучения, дополнительного …

Продолжается запись на вакцинацию от COVID-19 для сотрудников и студентов на территории университета

С целью предотвращения распространения коронавирусной инфекции и согласно методическим рекомендациям Минобрнауки России в НГАСУ (Сибстрин) организован мобильный пункт вакцинации от COVID-19 для сотрудников и студентов. Обращаем ваше внимание, что данная возможность доступна только гражданам РФ. Вакцинироваться от COVID-19 можно будет на территории НГАСУ (Сибстрин) в медицинском пункте университета (здание общежития №1). Для регистрации на вакцинацию необходимо заполнить форму. https://forms.gle/dieHht7D8nyFwoKw7 График вакцинации будет формироваться по мере набора желающих…

1. Момент инерции твердого тела относительно плоскости, относительно оси, относительно полюса.

Лекция №12

План

1)Момент инерции твердого тела относительно плоскости, относительно оси, относительно полюса.

2)Момент инерции относительно декартовых координат.

3)Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси. Момент инерции однородной круглой пластины. Момент инерции однородного круглого цилиндра.

4)Количество движения точки и системы. Элементарный и полный импульс силы.

5) Теорема об изменении количества движения механической системы. Момент количества движения материальной точки и системы.

6) Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

Движение тел существенным образом зависит от характера распределения масс. Положение центра масс не характеризует распределения массы. Поэтому при изучении динамики механических систем точек и при изучении динамики твердого тела, вводится еще одна характеристика –момент инерции системы материальных точек и момент инерции твердого тела.

Моментом инерции системы материальных точек массой mk относительно точки О, состоящий из

N точек ,называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний аk до точки О.

J0 = mka

k=1,2,3…N

М

hk

dmk

омент инерции относительно

точки называется полярным

моментом инерции

L

Момент инерции твердого тела относительно точки О будет определяться :

J0= adm

где dm-масса элементарной части тела ,принимаемой в пределе за точку.

а- расстояние частиц тела до точки О.

Интегрирование ведется по всему объему.

Моментом инерции Jkсистемы материальных точек относительно оси

L называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний hk до оси L.

JL= mkh

k=1,2,3…N

В случае твердого тела сумму следует заменить интегралом

JL = hdm

dm=dV, -плотность тела,V-объем тела.

Моменты инерции одинаковых по форме тел ,изготовленных из различных материалов ,отличаются друг от друга характеристикой ,не зависящей от массы тела является радиус инерции.

Радиус инерции относительно осиL определяется равенством :

i=iL=

Тогда момент инерции относительно оси можно определить по формуле

JL =Mi2

2. Момент инерции относительно декартовых координат.

Выразим момент инерции системы материальных точек относительно оси JL для декартовых осей координат. Расстояние k-ой частицы до оси Х определяется из геометрии.

h=Z+Y

h=X+Z

h=X+Y

Подставим в формулу JL = mkh получим моменты инерции относительно осей координат:

Расстояние k-ой частицы до центра О определяется

Момент инерции относительно этого центра

Для сплошных твердых тел

2I0=Ix+Iy+Iz

Центробежные моменты инерции

В механике в качестве характеристик, учитывающих несимметричность в распределении масс, вводят еще так называемые центробежные моменты инерции. Если через любую точку О провести координатные оси OXYZ ,то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции называют величины I,I,I

I

I

I

где m–массы точек ,

x-координаты точек .

Очевидно, что I и т.д.

Для твердых тел формулы примут вид:

В отличие от осевых моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными.

Момент инерции относительно параллельных осей .

Существует простая связь между моментом инерции тела относительно параллельных осей .Одна из которых проходит через центр масс.

Теорема

Момент инерции тела Iz, относительно некоторой оси Z1 равен сумме момента инерции Izc тела относительно оси Zc проходящий через центр масс параллельно данной и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:

М-масса тела

d- расстояние между двумя параллельными осями

Момент — инерция — материальная точка

Момент — инерция — материальная точка

Cтраница 1

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния от нее до этой оси.  [1]

Моментом инерции материальной точки

Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.  [2]

Согласно определению момента инерции материальной точки.  [3]

Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.  [4]

Исходя из определений момента инерции материальной точки и системы материальных точек, получить выражение для момента инерции однородного сплошного цилиндра массой т и радиусом R относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.  [5]

Величина mr2 называется моментом инерции материальной точки массой m относительно оси вращения, находящейся на расстоянии г от материальной точки.  [6]

Зная, что моментом инерции материальной точки называется произведение массы материальной точки и квадрата расстояния от оси вращения до данной материальной точки, получить выражение для момента инерции однородного тонкого диска массой т и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно к плоскости диска.  [7]

Килограмм-метр в квадрате равен

моменту инерции материальной точки массой 1 кг, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения.  [8]

Килограмм-метр в квадрате равен моменту инерции материальной точки массой 1 кг, находящейся на расстоянии 1 м от оси инерции.  [9]

Какая физическая величина называется моментом инерции материальной точки и тела. Что называется моментом силы. Какая физическая величина называется импульсом момента силы.  [10]

Считая известным выражение для определения момента инерции материальной точки, получить выражение для момента инерции однородного тонкостенного цилиндра массой т и радиусом R относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.  [11]

Из курса механики известно, что моментом инерции материальной точки М с массой m относительно некоторой оси называется произведение массы на квадрат расстояния от точки М до этой оси. Момент инерции относительно оси системы материальных точек равен сумме моментов инерции всех точек относительно той же оси. G относительно осей координат.  [12]

Каждое слагаемое внутри скобок последнего равенства представляет собой момент инерции материальной точки твердого тела. Сумма моментов инерции всех отдельных точек тела называется моментом инерции тела и обозначается через /, как уже было указано на стр.  [13]

Каждое слагаемое внутри скобок последнего равенства представляет собой момент инерции материальной точки твердого тела. Сумма моментов инерции всех отдельных точек тела называется моментом инерции тела и обозначается через I, как уже было указано на стр.  [14]

Единицей измерения моментов инерции в технической системе единиц является момент инерции материальной точки, имеющей массу, равную одной технической единице массы, и находящейся на расстоянии одного метра от данной оси или от данной точки.  [15]

Страницы:      1    2

Учреждение образования «Белорусский государственный

%PDF-1.6 % 3345 0 obj >/Outlines 725 0 R/Metadata 3436 0 R/AcroForm 3346 0 R/Pages 3326 0 R/OCProperties>/OCGs[3347 0 R]>>/StructTreeRoot 761 0 R/Type/Catalog>> endobj 725 0 obj > endobj 3436 0 obj >stream 2014-01-02T13:55:13+02:002014-01-02T13:54:59+02:002014-01-02T13:55:13+02:00Adobe Acrobat 8.0 Combine Filesapplication/pdf

  • Учреждение образования «Белорусский государственный
  • Olga
  • uuid:292a1817-9d7d-44ec-817c-d76ab29a2468uuid:b4bc69ce-1dcf-4072-9c0c-a1e7fceb9eccAcrobat Distiller 8.0.0 (Windows) endstream endobj 3346 0 obj >/Encoding>>>>> endobj 3326 0 obj > endobj 761 0 obj > endobj 762 0 obj > endobj 763 0 obj > endobj 764 0 obj > endobj 765 0 obj > endobj 766 0 obj > endobj 767 0 obj > endobj 768 0 obj > endobj 769 0 obj > endobj 770 0 obj > endobj 771 0 obj > endobj 772 0 obj > endobj 773 0 obj > endobj 774 0 obj > endobj 775 0 obj > endobj 776 0 obj > endobj 777 0 obj > endobj 778 0 obj > endobj 779 0 obj > endobj 780 0 obj > endobj 781 0 obj > endobj 782 0 obj > endobj 783 0 obj > endobj 784 0 obj > endobj 785 0 obj > endobj 786 0 obj > endobj 787 0 obj > endobj 788 0 obj > endobj 789 0 obj > endobj 790 0 obj > endobj 791 0 obj > endobj 792 0 obj > endobj 793 0 obj > endobj 794 0 obj > endobj 795 0 obj > endobj 796 0 obj > endobj 797 0 obj > endobj 798 0 obj > endobj 799 0 obj > endobj 800 0 obj > endobj 801 0 obj >]/P 1378 0 R/S/Link/Pg 319 0 R>> endobj 802 0 obj >]/P 1382 0 R/S/Link/Pg 319 0 R>> endobj 803 0 obj >]/P 1382 0 R/S/Link/Pg 319 0 R>> endobj 804 0 obj >]/P 3021 0 R/S/Link/Pg 408 0 R>> endobj 805 0 obj >]/P 3030 0 R/S/Link/Pg 408 0 R>> endobj 806 0 obj >]/P 3042 0 R/S/Link/Pg 415 0 R>> endobj 807 0 obj >]/P 3045 0 R/S/Link/Pg 415 0 R>> endobj 808 0 obj >]/P 3065 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 809 0 obj >]/P 3065 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 810 0 obj >]/P 3072 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 811 0 obj >]/P 3076 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 812 0 obj >]/P 3076 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 813 0 obj >]/P 3078 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 814 0 obj >]/P 3078 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 815 0 obj >]/P 3062 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 816 0 obj >]/P 3064 0 R/S/Link/Pg 436 0 R>> endobj 817 0 obj >]/P 821 0 R/S/Link/Pg 443 0 R>> endobj 818 0 obj >]/P 821 0 R/S/Link/Pg 443 0 R>> endobj 819 0 obj >]/P 821 0 R/S/Link/Pg 443 0 R>> endobj 820 0 obj >]/P 821 0 R/S/Link/Pg 443 0 R>> endobj 821 0 obj > endobj 443 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState>>>/Type/Page>> endobj 444 0 obj [718 0 R 719 0 R 720 0 R 721 0 R] endobj 3341 0 obj > endobj 445 0 obj >stream HWMk$cS d1>kav}zG~VfUTgAQud䋈^y|INL@ h썐~rRMχrp/Ja%9]q89֏

    jQ5!P&)`py~=?o?;ϯD?:y-yQV%#.h(4A,q#s9äHߍ@{‘-‘f~ϭJ!P$>Yujb6n|,Qm5𢶗N]+0hMN `:

    2.19: Момент инерции относительно точки

    Под «моментом инерции» мы до сих пор подразумевали второй момент массы относительно оси. Мы легко смогли идентифицировать это по инерции вращения по отношению к оси, а именно по отношению приложенного крутящего момента к результирующему угловому ускорению.

    Теперь я собираюсь определить (второй) момент инерции относительно точки, которую я возьму, если не указано иное, для обозначения начала координат.2_i) \ label {eq: 2.19.1} \]

    как (второй) момент инерции с относительно начала координат , также иногда называемый «геометрическим моментом инерции». Я не могу очевидным образом связать это с простой динамической концепцией так же, как я связал момент инерции относительно оси с инерцией вращения, но мы увидим, что это ни в коем случае не просто утомительное упражнение в арифметике, и у него есть свои применения. Символ I , вероятно, довольно часто использовался в этой главе; поэтому для описания геометрического момента инерции я собираюсь использовать символ \ ({\ bf \ iota} \).

    Момент инерции относительно начала координат явно не зависит от ориентации какого-либо конкретного базисного набора ортогональных осей, поскольку он зависит только от расстояний частиц от начала координат.

    Если вы вспомните определения \ (A, B \) и \ (C \) из раздела 2.15, вы легко увидите, что

    \ [{\ bf \ iota} = \ frac {1} {2} (A + B + C) \ label {eq: 2.19.2} \]

    , и мы уже отметили (см. Уравнение 2.16.2), что \ (A + B + C \) инвариантен относительно вращения осей.В разделе 2.18 мы выразили это несколько более широко, сказав, что «след симметричной матрицы инвариантен относительно ортогонального преобразования». К настоящему времени это, вероятно, кажется немного менее загадочным.

    След симметричной матрицы инвариантен относительно ортогонального преобразования

    Теперь вычислим геометрический момент инерции однородной твердой сферы радиуса \ (a \), массы \ (m \), плотности \ (\ rho \) относительно центра сферы. 2 $?

    Это хороший вопрос.2 $ в механике Ньютона полезно вернуться к значению слова «момент».

    Этимология момента и импульса относится к движению / движению, очевидно, через латинский глагол «moveo», означающий «двигаться».

    По-видимому, первое английское использование слова «момент» означало его в смысле «важности» на рычаге, т.е. равновесие означает, что блоки на уровне имеют одинаковую важность, а неравновесие означает, что можно найти вращательное движение уровня в одном направлении. над другим, делая один из них более «важным», чем другой.

    Таким образом, просто из-за «важности» Архимеда, исторически говорить о других круговых движениях таким образом, чтобы их можно было легко сравнить с Архимедом, имеет смысл, поэтому, если мы собираемся использовать одно слово, связанное с латинским «moveo», чтобы относятся к тому, что называется импульсом, мы можем использовать другое слово, когда говорим о конкретно вращательном движении, как это установил Архимед. Мы могли бы, например, договориться называть движение по направлению одного конкретного листа гиперболического параболоида «мотатором».

    Момент векторной величины $ \ vec {A} $ в трех измерениях определяется как $$ \ vec {r} \ times \ vec {A}. $$ Причина, по которой кто-то даже хотел бы сделать это, и как это связано с вышеупомянутым обсуждением, заключается в том, что мы думаем о плоском / трехмерном пространстве как о пространстве, в котором мы можем перемещать векторы, как это обычно в механике, то есть мы не рассматривайте их все как фиксированные в начале координат, тогда мы будем думать о $ \ vec {A} $ как о стрелке, начинающейся на вершине $ \ vec {r} $ и указывающей в каком-то направлении. Если вы разложите вектор $ \ vec {A} $ на базис, в котором радиальное движение является одним из ортогональных направлений, скажем, в сферический базис полярных координат, так что $$ \ vec {A} = A_r \ hat {r} + A _ {\ theta} \ hat {\ theta} + A _ {\ phi} \ hat {\ phi} $$ (всегда можно выбрать ориентацию, чтобы можно было игнорировать последний компонент и рассматривать его как плоское вращение в данный момент, если хотите, поэтому давайте установим $ A _ {\ phi} = 0 $.) тогда ясно $$ \ vec {r} \ times \ vec {A} = 0 + A _ {\ theta} \ vec {r} \ times \ hat {\ theta} + 0 = A _ {\ theta} \ vec {r} \ times \ hat {\ theta} $$ таким образом, момент вектора говорит нам, насколько $ \ vec {A} $ хочет переместиться в направлении (в плоскости, проходящей через начало координат), ортогональной $ \ hat {r} $ в данный момент, т.е. повернуться вокруг вектора $ \ vec {r} $. Таким образом, момент силы $$ \ vec {r} \ times \ vec {F} $$ это просто удобный способ изолировать движение «вращательных компонентов» силы, в общем, он пренебрегает радиальным поведением этой силы, что, очевидно, имеет большое значение.В особых случаях, например, когда $ \ vec {F} $ всегда чисто вращательное, это, очевидно, единственное движение. Другой частный случай — когда $ \ vec {F} $ чисто радиально, то его, очевидно, можно использовать (как в задаче Кеплера) для вывода закона сохранения для вращательного движения системы. Сила, очевидно, так важна и интерпретируется как действие на массу, расположенную в $ \ vec {r} $, поэтому ей дается дополнительное название «крутящий момент», поскольку это компонент, который «крутит» частицу вокруг источника, из которого мы видим вещи. .Обычно крутящий момент частицы называют скалярной величиной $ r F _ {\ theta} $, а индексы подавления — $ rF $.

    В компонентах момент сверху равен $$ r F _ {\ theta}. $$ Таким образом, любую скалярную величину, имеющую форму $ r B $, с $ r $ длиной вектора положения, можно предположительно интерпретировать как «момент» вектора, составляющая которого в направлении вращения равна $ B $.

    (Говоря наоборот, скалярная величина $ rB $ кодирует идею «момента», она представляет собой площадь параллелограмма со сторонами $ r $ и $ B $.В два раза меньше, $ \ frac {1} {2} rB $ — это площадь треугольника с основанием $ B $ и высотой $ r $, что более естественно относится к векторной картине движения в направлении основания треугольника. указывает на точку, расположенную в месте, где заканчивается высота, и становится нетривиальным размышлением о важности закона Кеплера о равных площадях, который может быть выведен из этой интерпретации. Чтобы превратить его в векторную величину, мы рассматриваем $ B $ как компонент $ \ vec {B} $, ортогональный $ \ vec {r} $ в плоскости, содержащей $ \ vec {r} $ и $ \ vec {B}. $.2 = r (mr) $ (на данном этапе вытащен из воздуха) как момент некоторого нового вектора, движение которого в направлении, ортогональном $ \ vec {r} $, имеет величину $ mr $. Очевидно, что вектор не является вектором положения, умноженным на массу, умноженную на $ \ vec {r} $, т.е. $ m \ vec {r} = mr \ hat {r} $, поскольку $ \ vec {r} \ times m \ vec {r} = 0 $. Мы можем как угодно подготовиться к работе с вектором $ m r \ hat {\ theta} $, величина которого равна $ mr $.

    Действительно, с этой точки зрения $$ r (mr) $$ можно интерпретировать как момент массы / материи в точке $ \ vec {r} $ ‘, и очевидно (ссылка 1.2 $, что $ I $ также ведет себя как масса в $ F = ma $, он действует как вращательный аналог инерции, то есть сопротивления изменению.

    Действительно, в книге (глава 3, раздел 363 ссылки 2 ниже), в которой Эйлер вводит термин (опять же в зависимости от точности перевода), кажется, что он мотивирует использование термина «момент инерции» тем фактом, что что $ \ tau = I \ alpha $ аналогично $ F = ma $, за исключением того, что сила $ F $ заменяется моментом силы, а $ m $ заменяется некоторым беспорядочным интегралом (в нашем случае i.2 = r (mr) $ как момент чего-то отличного от «инерции» изначально («момент материи»), тот факт, что он действует как «инерция вращения» в $ \ tau = I \ alpha $ способе массы, делает в $ F = ma $, и тот факт, что разработчик термина только переформулировал его как « момент инерции » годы спустя, подумав о формировании момента $ \ vec {r} \ times $ как влияющего на левую сторона $ \ vec {F} = m \ vec {a} $ естественным образом, в то время как в правой части естественно заменить $ m $ некоторой скалярной величиной, неудивительно, что этот термин может немного сбивать с толку .2 $ измерения) в $ F = ma $ собирается измениться с $ m $ на некоторую новую величину с новыми измерениями не только из $ r $ в операции $ \ vec {r} \ times $, но также из-за тот факт, что углы, то есть аргументы тригонометрических функций, безразмерны (или измеряются в радианах и т. д.), поэтому, если вам нужен угловой аналог $ \ vec {F} = m \ vec {a} $, размеры множителя ускорения член должен измениться, когда ускорение превратится в угловое ускорение (которое имеет только размеры $ [T] ^ {- 2} $ от второй производной по времени).2 \ hat {r} \ times \ hat {\ theta} $ «момент материи в точке $ \ vec {r} $», но все, что нас волнует, — это компонент, ортогональный $ \ vec {r} $ так что $ mr \ hat {\ theta} $ поверхностен.

    Список литературы.

    1. «Эйлер, Ньютон и основы механики», Мариус Стан.
    2. ‘Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum’, Эйлер — переведено и аннотировано Яном Брюсом.

    Момент инерции — GeeksforGeeks

    Движение тел может быть разных типов, например, линейное движение, круговое движение и вращательное движение.Согласно первому закону движения Ньютона, если объект неподвижен, он останется в неподвижном состоянии, а если он находится в движении, он останется в движении, если к нему не приложена внешняя сила. Это связано с инерцией тела. Как линейное движение имеет инерцию, так и вращательное движение имеет момент инерции. В этой статье мы собираемся изучить этот момент инерции. Также мы собираемся изучить определение, математическое выражение, приложения и теоремы, а также многое другое о моменте инерции.Таким образом, чтобы узнать о моменте инерции, мы должны знать об основной концепции, показанной ниже:

    Центр масс

    Центр масс тела или системы частиц — это точка, в которой вся масса этого тела или системы частиц можно считать центрированными, так что скорость вращения отдельной частицы, равная полной массе тела, центрированного в центре масс, является точно такой же. Как и движение всего тела. « Центр масс системы — это точка, в которой вся масса системы может считаться сосредоточенной ».

    Вращательное движение твердого тела

    Если тело покоится в какой-либо точке таким образом, что оно может свободно перемещаться вокруг этой точки, то при приложении к телу внешней силы оно не перемещается в направлении силы, но движется вдоль оси, проходящей через эту точку, начинает движение. это движение тела называется вращательным движением, а ось, вокруг которой вращается тело, называется осью вращения. « Когда посредством приложения силы или пары сил к твердому телу это тело начинает вращаться вокруг оси, проходящей через себя, тогда его движение называется вращательным движением ».



    Момент инерции

    Так же, как у линейного движения есть инерция, так и у вращательного движения есть Момент инерции. Согласно первому закону движения Ньютона, неподвижный объект будет оставаться неподвижным, а объект, который находится в движении, будет продолжать двигаться по прямой с той же скоростью, если к нему не приложена внешняя сила, то есть объект может Не меняет свое положение автоматически, но когда к объекту прикладывается внешняя сила, чтобы изменить его положение, этот объект противостоит ему.Эта тенденция объекта называется его инерцией .

    Точно так же каждый, кто находится во вращательном движении, независимо от того, движется ли он вокруг оси вращения или способен вращаться, но в состоянии покоя, противостоит изменению, вызванному внешней силой. эта тенденция тела называется его моментом инерции .

    Следовательно, тело во вращательном движении противостоит внешней силе-моменту, приложенной для изменения его вращательного состояния, эта тенденция называется его моментом инерции.

    Момент инерции — это скалярная величина. Математически произведение квадрата массы частицы на расстояние от оси вращения называется моментом инерции частицы относительно оси вращения.

    Предположим, что частица массой м движется относительно оси вращения XY , тогда момент инерции частицы около XY будет I = mr 2

    Выражение для момента инерции тела

    Пусть твердое тело движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси AB , проходящей через точку O , перпендикулярную плоскости.Предположим, что это тело состоит из множества мелких частиц, масса которых равна m1, m2, m3,…. И т. Д. и их расстояния от оси вращения соответственно равны r1, r2, r3…. и т. д.


    По определению, момент инерции частицы относительно оси AB = Масса частицы * Квадрат расстояние частицы от оси вращения

    Итак, Момент инерции первой частицы = m1 * r1 2

    Момент инерции первой частицы = m2 * r2 2

    Момент инерции первой частицы = м3 * r3 2

    ………………………………………..Так далее.

    Теперь момент инерции всего тела относительно оси вращения AB будет равен сумме моментов инерции всех частиц, поэтому

    I = m1 * r1 2 + m2 * r2 2 + m3 * r3 2 + ……

    или I = Σ m * r 2

    Здесь I представляет момент инерции всего тела относительно оси вращения и знак Σ представляет собой сумму. Из уравнения ясно, что момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме произведения массы каждой частицы этого тела и квадрата ее расстояния по перпендикуляру от оси вращения.



    Примечание: После изменения размера, формы или оси тела момент инерции будет изменен.

    Радиус вращения

    Радиус вращения тела — это перпендикуляр к расстоянию от оси вращения до точки, в которой момент инерции, полученный путем принятия общей массы тела за центр, равен к фактическому моменту инерции объекта. Обозначается буквой K.

    Если масса и радиус вращения тела равны M и K соответственно, то момент инерции тела равен

    I = MK 2 … 1

    Таким образом, радиус вращения тела — это радиус, перпендикулярный оси вращения, квадрат которой, умноженный на массу этого тела, дает момент инерции этого тела относительно этой оси.

    Снова по уравнению 1, K 2 = I / M

    или K = √I / m

    Таким образом, радиус вращения тела вокруг оси равен квадратному корню из отношения тела вокруг этой оси.

    Теоремы о моменте инерции

    Есть три типа теорем, которые очень важны в отношении момента инерции:



    1. Теорема сложения,
    2. Теорема о вертикальной оси и
    3. Теорема параллельной оси.

    Теорема сложения

    Момент инерции системы, состоящей из многих частиц, вокруг одной оси вращения равен сумме моментов инерции каждой частицы относительно этой оси. если I 1 , I 2 , I 3 …… ..и т. д. — соответственно момент инерции различных частиц системы относительно одной оси вращения, то общий момент инерции системы .

    I = I 1 + I 2 + I 3 + ……………….

    Ясно, что если часть момента инерции I ‘ будет удалена из тела, имеющего момент инерции I , то оставшееся тело будет иметь оставшийся момент инерции = (I — I’) относительно та же ось вращения.

    Теорема о вертикальной оси

    Сумма момента инерции тела относительно двух взаимно перпендикулярных осей, расположенных в плоскости тела, равна моменту инерции тела относительно третьей оси, которая перпендикулярна две оси и проходит через их точку пересечения.

    На рисунке выше. OX и OY — две такие оси в плоскости корпуса, перпендикулярные друг другу. Третья ось — это OZ , которая перпендикулярна плоскости тела и проходит через точку пересечения осей OX и OY . Если I x , I y , и I z — моменты инерции тела относительно оси OX , OY и OZ осей соответственно, то согласно по этой теореме

    I x + I y = I z

    Теорема о параллельной оси


    Согласно этой теореме момент инерции тела относительно данной оси равен сумма момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс этого тела, и произведения квадрата массы тела на перпендикулярное расстояние между двумя осями.

    Пусть на приведенном выше рисунке мы должны найти момент инерции I O тела, проходящего через точку O вокруг оси, перпендикулярной плоскости, в то время как момент инерции тело, проходящее через центр масс C и вокруг оси, параллельной данной оси, равно I C , тогда согласно этой теореме

    I O = I C + Ml 2

    , где M — масса всего тела, а l — перпендикулярное расстояние между двумя осями.

    Момент инерции некоторых правильных тел
    • Твердая прямоугольная пластина: Если масса пластины равна M, длина l и ширина b, то момент инерции, проходящий через центр тяжести, составляет примерно ось перпендикулярна плоскости пластины.

    I = M (l 2 + b 2 /12)

    • Круглый диск: Если диск имеет массу M и радиус r, то момент инерции относительно диска геометрическая ось

    I = 1/2 (Mr 2 )

    • Однородный тонкий стержень: Если масса стержня равна M, а длина l, то момент инерции относительно ось, перпендикулярная длине стержня и проходящая через его центр тяжести


    I = Ml 2 /12

    • Круглое кольцо: Если масса кольца M и радиус кольцо r, то момент инерции относительно оси, проходящей перпендикулярно центру кольца, равен

    I = Mr 2

    • Solid Sphere: Если Solid Sphere имеет массу M и радиусом r, t Тогда момент инерции относительно его диаметра равен

    I = 2 / 5Mr 2

    Разница между моментом инерции и инерцией

    Sr.нет. Инерция Момент инерции
    1. Его важность заключается в линейном движении. Важное значение имеет вращательное движение.
    2. Это то свойство объекта, которое препятствует изменению состояния объекта при прямолинейном движении. Момент инерции — это то свойство объекта, которое препятствует изменению состояния объекта при вращательном движении.
    3. Инерция объекта зависит только от его массы. Момент инерции объекта зависит от его массы и распределения массы относительно оси вращения.
    4. Инерция объекта фиксирована. Момент инерции объекта меняется относительно разных осей вращения.

    Приложение момента инерции

    1. Из-за большего момента инерции Земля вращается вокруг своей оси с той же угловой скоростью.
    2. Маленькое подвижное колесо помещено под детский игровой мотор. После трения колеса о землю и выхода из двигателя, благодаря моменту инерции колеса, двигатель некоторое время продолжает работать.
    3. Каждый двигатель состоит из большого и тяжелого колеса, прикрепленного к его валу, большая часть его массы приходится на его окружность. Следовательно, его момент инерции высок. Это колесо называется маховиком. Крутящий момент, приводящий в движение вал двигателя, продолжает расти. Следовательно, вращение вала может быть неоднородным, но из-за наличия движущегося колеса с большей инерцией вал продолжает вращаться с почти одинаковой скоростью.
    4. В колесе телеги, рикши, самоката, велосипеда и т. Д. Большая часть массы сосредоточена на его окружности или ободе. этот обруч или рутина крепится к оси колеса жесткими спицами. При этом его момент инерции увеличивается. Поэтому, когда ноги перестают двигаться во время езды на велосипеде, колесо продолжает вращаться некоторое время.

    Примеры задач

    Вопрос 1. Тело массой 500 г вращается вокруг оси. расстояние центра масс тела от оси вращения равно 1.2 мес. найти момент инерции тела относительно оси вращения.

    Решение:

    Учитывая, что M = 500 г = 0,5 кг, r = 1,2 м.


    Очевидно, что вся масса тела может быть помещена в его центр масс. Затем момент инерции тела относительно оси вращения.

    I = Mr 2

    => I = 0,5 * (1,2) 2

    => I = 0,72 кг м 2

    Вопрос 2.Радиус вращения вокруг оси на расстоянии 12 см от центра масс тела массой 1,2 кг составляет 13 см. рассчитать радиус вращения и момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

    Решение:

    Учитывая, что M = 1,0 кг, K = 13 см, l = 12 см, K CM =?, I CM =?

    Из теоремы о параллельной оси I = I CM + Ml 2

    => K 2 = K CM 2 + l 2

    или K CM 2 K 2 — l 2

    => K CM 2 = (13) 2 — (12) 2 = 25

    => K CM = 5

    Сейчас , Момент инерции I CM = MK CM 2

    I CM = 1.0 * (0,05) 2 = 2,5 * 10 -3 кг м 2

    Вопрос 3. Тело массой 0,1 кг вращается вокруг оси. если расстояние центра масс тела от оси вращения 0,5 м, то найти момент инерции тела.

    Решение:

    Учитывая, что M = 0,1 кг и r = 0,5 м

    , поэтому I = Mr 2

    => I = 0,1 * (0,5) 2

    => I = 0.025 кг м 2

    Вопрос 4. Момент инерции колец относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кругового кольца, составляет 200 г · м · см 2 . Каким будет момент инерции относительно его диаметра?

    Решение:

    Момент инерции кругового кольца вокруг оси, проходящей через другой центр перпендикулярно его плоскости

    MR 2 = 200 г · см 2

    Момент инерции относительно диаметра

    = 1/2 MR 2

    = 1/2 * 200 = 100 г · см 2

    Вопрос 5.От чего зависит момент инерции тела?

    Решение:

    Момент инерции зависит от следующих факторов:

    1. Масса тела,

    2. Распределение массы тела и

    3. В положении вращения -ось.

    Имейте в виду, что изменение формы или размера тела или оси вращения изменяет его момент инерции.

    Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Присоединяйтесь к курсу First-Step-to-DSA для учащихся 9-12 классов , , специально разработанного для ознакомления со структурами данных и алгоритмами учащимся 9-12 классов


    Моменты инерции

    Чтобы легко вычислить моменты инерции относительно осей через $ P $ и $ C $ проще всего выбрать система координат, выровненная с осью вращения направление $ \ hat {a} $.Выберем координаты $ (x, y, z) $ измеряется от центра масс $ C $ и с $ z $ -ось $ \ hat {k} $ в направлении $ \ hat {a} $, как показано на рисунке.

    Поскольку мы интегрируем по телу с бесконечно малым объемом $ dV $ в позиции $ (x, y, z) $ от $ C $, запишем расстояние от оси через $ C $ как $ r_c $ и расстояние от оси через $ P $ как $ r_P $, как проиллюстрировано.2. \ конец {выровнено} \] Здесь мы использовали координатное представление центра массы, чтобы понять, что координата $ x $ точки $ C $ равна $ x_C = \ frac {1} {m} \ int _ {\ mathcal {B}} \ rho x \, dV $, но поскольку наши координаты отсчитываются от $ C $, мы должны имеет $ x_C = 0 $ и поэтому $ \ int _ {\ mathcal {B}} \ rho x \, dV = 0 $. Интеграл от $ \ rho y $ аналогично равен нулю.

    Лаборатория 7 — инерция вращения

    Введение

    Когда вы были моложе, у вас могли быть игрушечные машинки, которые вы быстро терли по полу несколько раз, чтобы «разогнать их».«Затем, когда вы их опускаете, они проносятся на некоторое расстояние. Или, может быть, вы видели по телевизору автокатастрофу, когда колеса перевернутой машины продолжали вращаться некоторое время. Возможно, вы видели, как приземлился вертолет. , и заметили, что лопасти продолжают вращаться после того, как пилот выключит двигатель. Все это примеры инерции вращения. У игрушечной машинки есть небольшое колесо внутри, называемое маховиком, которое прикреплено к колесам автомобиля. Когда вы «Увеличь обороты», маховик начинает вращаться.Затем, когда вы отпускаете машину, маховик продолжает вращаться из-за инерции вращения и, таким образом, поворачивает колеса. Колеса перевернутого автомобиля и лопасти вертолета продолжают вращаться до тех пор, пока трение не преодолеет их инерцию вращения. Вы уже узнали об инерции линейных систем; движущийся объект будет продолжать движение до тех пор, пока на него не будет действовать результирующая сила. Вращательная инерция — это аналогичное понятие, применяемое к объектам, движение которых является вращательным, а не линейным.Инерция вращения объекта — это сопротивление объекта изменению его угловой скорости. То есть, если объект вращается, он имеет тенденцию продолжать вращаться до тех пор, пока на него не воздействует чистый крутящий момент. Это просто еще одно проявление второго закона Ньютона.

    Обсуждение принципов

    Во втором законе Ньютона

    F = ma

    масса м объекта является мерой его инерции. Очевидно, что чем меньше масса, тем меньше силы требуется для изменения линейной скорости объекта.При вращательном движении именно инерция вращения, часто называемая моментом инерции I , определяет крутящий момент

    τ ,

    , необходимый для изменения угловой скорости объекта

    ω .

    Аналог второго закона Ньютона для вращательного движения есть

    (1)

    τ net = I α где τ net — это чистый крутящий момент , а α — угловое ускорение.Момент инерции объекта зависит от формы объекта и распределения его массы относительно оси вращения объекта. Однородный диск массой м не так сложно привести во вращательное движение, как «гантель» той же массы и радиуса. Для симметричного сплошного тела (например, твердого диска), которое вращается вокруг оси симметрии, например оси, проходящей через центр и перпендикулярной диску, момент инерции вычисляется путем выполнения интеграла

    (2)

    I =
    r 2 дм
    где

    дм

    — крошечный кусочек массы, расположенный на расстоянии r от оси вращения.Для набора из n точечных масс момент инерции рассчитывается путем выполнения суммы

    (3)

    I =
    n м i r i 2
    i = 1
    где

    m i

    и

    r i

    — масса и положение, соответственно, i -й частицы. Таким образом, для гантели

    n = 2

    и массой м на каждом конце , разделенных расстоянием d , момент инерции равен

    (4)

    I = 2 м
    2
    = м

    Информацию о моментах инерции различных симметричных тел см. В этом списке.В этом эксперименте вы будете использовать диск почти однородной массы и прикладывать крутящий момент, добавляя вес к струне, прикрепленной к ступенчатому шкиву в центре диска. См. Рис. 1. Используя полученные результаты, вы определите момент инерции диска.

    Рисунок 1 : Эскиз и фотография аппарата

    Несмотря на то, что колесо расположено горизонтально и струна проходит через второй шкив, на рис. 1а мы показываем колесо в вертикальном положении. При падении подвешенной массы колесо вращается против часовой стрелки.Это вращение в первую очередь связано с крутящим моментом, создаваемым силой натяжения в струне, которая возникает из-за веса подвешенной массы. Колесо имеет подшипники на оси, и в их движении присутствует некоторое трение. Крутящий момент, связанный с этой силой трения f , действует, чтобы противодействовать крутящему моменту, создаваемому силой T натяжения в колонне. Если мы рассмотрим только колесо, мы можем изучить два действующих момента: момент трения

    τ f

    и момент натяжения

    τ натяжение .

    Величина крутящего момента от натяжения равна где r — радиус ступенчатого шкива. Чистый крутящий момент — это векторная сумма этих двух крутящих моментов.

    (6)

    τ net = rT — τ f

    Применяя уравнение. (1) τ net = I α получаем Здесь мы следуем соглашению о знаках, согласно которому крутящий момент против часовой стрелки положительный, а крутящий момент по часовой стрелке отрицательный. Теперь рассмотрим висящую массу м. На рис. 2 показана диаграмма свободного тела для подвешенной массы. Мы видим, что натяжение противостоит силе тяжести.

    Рисунок 2 : Диаграмма свободного тела для подвешенной массы

    Тогда второй закон Ньютона, записанный для висячей массы, имеет вид где a — это ускорение висящей массы, и мы выбрали направление вниз как положительное. Решение для T , Если предположить, что струна не проскальзывает, тогда a — это также тангенциальное ускорение точки на ступенчатом шкиве.Точно так же

    a ‘

    — тангенциальное ускорение точки на краю колеса. Именно здесь мы и будем измерять ускорение с помощью Smart Pulley . Угловое ускорение колеса связано с этими касательными ускорениями соотношением С уравнениями. Уравнение (9)

    T = m (g — a)

    и (10)

    , мы можем переписать уравнение. (7)

    rT — τ f = I α

    как

    (11)

    m (г — а) r — τ f = I

    Анализ линеаризацией

    Есть два момента, которые следует учитывать в отношении уравнения.(11) m (g — a) r — τ f = I

    : он не является линейным в m и a , и мы не делаем знать

    τ f .

    В этом анализе мы сделаем приближение, которое приведет к формуле. (11) m (g — a) r — τ f = I

    становится линейным.Мы предполагаем, что

    g >> a,

    и, следовательно,

    T ≈ mg.

    Как следствие, уравнение. (11) m (g — a) r — τ f = I

    становится

    (12)

    mgr — τ f = I

    Решение уравнения. (12) mgr — τ f = I

    для a дает Таким образом, если мы определим ускорение a для различных висящих масс м и построим график зависимости ускорения от массы, то наклон будет равен

    gr 2 / I

    , а интервал y будет равен

    . τ r f / I.

    Примечание : Если мы определили ускорения,

    a 1

    и

    a 2 ,

    только для двух масс

    м 1

    и

    м 2 ,

    , тогда и поэтому

    (15)

    I =
    2 — м 1 ) gr 2
    (a 2 — a 1 )

    Анализ точным методом

    Как и в примечании выше, предположим, что процедура повторяется с двумя разными массами,

    м 1

    и

    м 2 ,

    , что приводит к ускорениям

    a 1

    и

    a 2 ,

    соответственно.

    (16)

    m 1 (g — a 1 ) r — τ f = I

    (17)

    m 2 (g — a 2 ) r — τ f = I

    Теперь можно математически исключить

    τ f

    .Решение двух одновременных уравнений. (16) m 1 (g — a 1 ) r — τ f = I

    и (17) m — 2 (17) m — 2 ( a 2 ) r — τ f = I

    для I , имеем

    (18)

    I =
    (m 2 — m 1 ) gr 2 + (m 1 a 1 — m 2 a 2 ) r 2
    (a 2 — а 1 )
    Сравните уравнения.(15) I =
    2 — м 1 ) gr 2
    (a 2 — a 1 )
    и (18) I =
    (m 2 — m 1 ) gr 2 + (m 1 a 1 — m 2 a 2 ) r 2
    (a 2 — a 1 )
    .

    Цель

    В этом эксперименте вы будете использовать колесо со ступенчатым шкивом, чтобы измерить ускорение вращающегося колеса и определить момент инерции колеса.Вы также определите момент инерции удлинителя, который вы добавите к колесу.

    Оборудование

    • Колесо со ступенчатым шкивом
    • Smart Pulley с фотозатвором
    • Нить
    • Масса с вешалкой
    • Программное обеспечение DataStudio
    • Каверномер
    • Остаток средств
    • Метрическая палка
    • Обруч
    • Пластина

    Процедура

    Аппарат (см. Рис.1) состоит из колеса, в центре которого установлен небольшой ступенчатый шкив. Струна, намотанная на этот шкив и прикрепленная к подвешенной массе, обеспечивает необходимый крутящий момент, необходимый для вращения колеса. Установлен небольшой шкив с фотозатвором, так что он контактирует с ободом колеса. При вращении колеса этот Smart Pulley также будет вращаться. Спицы вращающегося шкива прерывают инфракрасный луч от фотозатвора, и фотозатвор отправляет эти сигналы в компьютер.Компьютер использует информацию для измерения скорости вращения шкива. Компьютер измеряет скорость вращения шкива и вычисляет сначала тангенциальную скорость кромки колеса, а затем тангенциальное ускорение

    a ‘

    на ободе колеса. Исходя из этого, вы рассчитаете тангенциальное ускорение на ободе ступенчатого шкива, используя уравнение. (10)

    . К колесу можно добавить удлинение, например обруч или прямоугольную пластину, и измерить момент инерции комбинации.Поскольку удлинитель имеет ту же ось вращения, что и колесо, момент инерции комбинации будет

    (19)

    I всего = I колесо + I удлинитель .

    Отсюда можно определить момент инерции удлинителя.

    1

    Взвесьте колесо и запишите это значение в рабочий лист. Вешалку включать не нужно.

    2

    Используйте измерительную палочку, чтобы измерить диаметр колеса.Как только вы найдете диаметр, используйте его, чтобы найти радиус R колеса, и запишите это значение в рабочий лист.

    3

    Рассчитайте принятое значение момента инерции вашего колеса, используя

    (20)

    I диск = (1/2) MR 2 .

    4

    Используйте штангенциркуль, чтобы измерить диаметр ступенчатого шкива. Это самый маленький шкив, вокруг которого наматывается струна. См. Приложение D. Используйте диаметр, чтобы рассчитать радиус r ступенчатого шкива, и запишите это значение в рабочий лист.

    5

    Откройте файл DataStudio , связанный с этой лабораторной работой. Появится экран, аналогичный показанному на рис. 3.

    Рисунок 3 : Начальный экран лаборатории инерции вращения

    6

    С помощью весов определите массу подвески

    м 1

    и запишите это значение в рабочий лист. Это будет масса для первой точки данных.

    7

    Намотайте струну на ступенчатый шкив наименьшего диаметра.Затем пропустите веревку через второй шкив и прикрепите крючок к концу веревки так, чтобы она свешивалась над краем стола.

    8

    Нажмите кнопку Start один раз и позвольте колесу начать вращаться. Нажмите Stop после того, как груз упадет на пол или когда у вас закончится веревка, и колесо начнет вращаться в противоположную сторону. Необязательно пытаться отпустить колесо и щелкать мышью в одно и то же время, вы можете щелкнуть мышью примерно за полсекунды перед тем, как отпустить колесико.Обязательно остановите колесо от вращения, когда у него закончится веревка. Таблица времени, скорости и ускорения, подобная показанной на рис. 4, заполняется автоматически.

    Рисунок 4 : Таблица данных для пробного прогона

    9

    Прокрутите данные, чтобы выбрать десять последовательных ускорений ближе к середине пробега, а не в самом начале или в самом конце. Запишите эти десять значений в таблицу данных на листе.

    10

    Используя функцию суммирования , расположенную в верхнем левом углу окна таблицы данных, определите среднее значение этих десяти измерений ускорения и введите результат в рабочий лист. Возможно, вам придется повторить прогон, если числа очень нестабильны.

    11

    Повторите шаги с 7 по 9 еще три раза, добавляя массу к вешалке с шагом 50 граммов. Примечание : Возможно, вам потребуется повысить точность ускорений по мере добавления дополнительных серий данных.Вы можете сделать это, щелкнув Увеличить точность в меню в правом верхнем углу окна таблицы данных. См. Рис.4.

    КПП 1:
    Попросите своего технического специалиста проверить ваши данные и расчеты, прежде чем продолжить.

    Процедура A: Метод линеаризации

    12

    Используя Excel, создайте график зависимости ускорения от подвешенной массы. См. Приложение G.

    13

    Используя функцию Linest, определите наклон и точку пересечения.Запишите эти значения на листе. См. Приложение J.

    14

    Из значений наклона и точки пересечения рассчитайте момент инерции и момент трения, используя уравнение. (13)

    . Запишите эти значения на листе.

    15

    Вычислите разницу в процентах между моментом инерции, который вы только что рассчитали, и моментом инерции, вычисленным на шаге 3. См. Приложение B.

    КПП 2:
    Попросите своего технического специалиста проверить ваши данные и расчеты, прежде чем продолжить.

    Процедура B: Точный метод

    18

    Вычислите разницу в процентах между моментом инерции, который вы только что рассчитали, и моментом инерции, вычисленным на шаге 3.

    КПП 3:
    Попросите своего технического специалиста проверить ваши расчеты, прежде чем продолжить.

    Процедура C: Определение момента инерции удлинителя

    19

    Выберите либо пяльцы, либо пластину в качестве расширения, которое нужно добавить к колесу.Измерьте размеры и массу пристройки и запишите эти значения на листе.

    20

    Рассчитайте принятое значение момента инерции удлинителя (используйте формулы, приведенные в таблице).

    22

    Установите удлинитель на колесо и выполните шаги с 7 по 9 с подвешенной массой

    200 г.

    23

    Найдите ускорение

    a ‘

    колеса и ускорение a ступенчатого шкива.Запишите эти значения на листе.

    24

    Используя момент трения τ f , определенный на этапе 17, и формулу, полученную на этапе 21, вычислите общий момент инерции удлинителя и колеса. Запишите это значение в рабочий лист.

    25

    Используя момент инерции колеса, полученный точным методом из шага 16, и уравнение. (19)

    I всего = I колесо + I удлинитель .

    найти момент инерции удлинителя самостоятельно.Запишите это значение на листе.

    26

    Найдите процентную разницу между этим значением и принятым значением, вычисленным на шаге 20. Запишите это значение в рабочий лист.

    КПП 4:
    Попросите вашего ТА проверить ваши расчеты.

    Авторские права © 2011 Advanced Instructional Systems Inc. и Государственный университет Северной Каролины | Кредиты

    Балки, изгиб и граничные условия: моменты инерции

    Балки, изгиб и граничные условия: моменты инерции

    Angular vs.Линейное движение

    Для линейного движения второй закон Ньютона связывает ускорение частица массой м к приложенной к ней силе F . В символы,

    F = м а .

    Из уравнения (и здравого смысла) ясно, что большая сила требуется для ускорения более массивной частицы. Интуитивно масса частицы сопротивляется ускорению. Мы говорим, что масса дает линейная инерция частицы.

    Для углового (вращательного) движения угловое ускорение не зависит только от приложенной силы, но также и от того, где сила приложена в отношение к оси вращения (или «точке поворота»).По этой причине, как мы заметили в предыдущем разделе, это крутящий момент сила генерирует, что наиболее естественно связано с угловым ускорением частицы.

    Крутящий момент играет во вращающихся системах ту же роль, что и сила в линейное движение. Однако сопротивление угловому ускорению снова зависит как от массы частицы, так и от ее расстояния от ось вращения. Поэтому мы вводим новую величину, называемую момент инерции для измерения сопротивления угловому ускорение. 2 частицы. Момент инерции обычно обозначается Я .

    Формулы для систем и непрерывных объектов

    Для жесткой конфигурации частиц момент инерции равен просто сумма всех отдельных моментов. Для непрерывного распределения массы, как и в случае с центром масс, мы исходим из измельчение объекта на крошечные элементы массы, и для каждого элемента сложите момент инерции, обусловленный этой массой. Как и раньше, эти приближения к моменту инерции сходятся к истинному момент.

    В общем, вычисление момента инерции может быть довольно трудным, требуя более сложных методов повторных интегралов от многомерное исчисление. Однако, когда объект достаточно симметрично, мы можем вычислить момент инерции с помощью стандартного интеграл с одной переменной.

    Теперь рассмотрим плоский объект, как в Рисунок 4, и представьте, что он вращается вокруг x — ось. (Обратите внимание, что он вращается из плоскости xy в третье измерение перпендикулярно экрану вашего компьютера.) Это может быть, например, модель вращающейся лопатки турбины. поскольку он вращается вокруг своего центрального шпинделя.


    Рис. 4. Нарезка объекта неправильной формы на полосы.

    В этом случае обратите внимание, что вся полоса, указанная на рисунке остается на постоянном расстоянии от оси вращения. Следовательно, эта полоса имеет тот же момент инерции, что и частица того же масса, лежащая на том же расстоянии выше оси x .

    Если предположить, что объект был вырезан из какого-то тонкого материала однородная плотность p , масса полосы просто p w (y) dy . 2 w (y) dy .

    Отсюда следует, что момент инерции для всего объекта определяется выражением формула

    где a и b — минимальное и максимальное значения переменной y .


    Вопрос 3

    • Найдите момент инерции прямоугольника длиной l и ширина w , когда ось вращения
      1. является центральной линией прямоугольника, и
      2. один из краев.

    • Чтобы сделать здание доступным для инвалидных колясок, инженеру говорят увеличить ширину вращающейся двери вдвое. Насколько это увеличит момент инерции? Какие практические вопросы могут волновать инженера насчет того, если ширина двери увеличится вдвое?

    Вопрос 4

    Поскольку вычисление моментов инерции напрямую может быть довольно трудоемким, люди разработали косвенные способы вычисления неизвестных моментов инерции из известных моментов.В частности, если мы знаем момент инерции объекта вокруг одной оси вращения, оказывается, что мы можем найти момент инерции того же объекта относительно оси что параллельно первой оси не переделывая проблему полностью! Этот полезный результат известен как теорему о параллельной оси .

    Ответьте на следующие вопросы, взаимодействуя с Страница «Изучение моментов инерции».

    1. Экспериментально определить момент инерции двутавровой балки вокруг различные горизонтальные оси вращения. 2 + I_min .
    2. Попытайтесь дать физическую интерпретацию константам M и C для функции вашей модели. В частности, из физических соображений можно было бы ожидать, что момент инерции зависит от массы объекта и его формы. Как эти величины соотносятся с функцией модели ты нашел?

    Далее: Моделирование прогибов в балках
    Вернуться к: Центры масс и центроиды
    Вверх: Схема

    Команда разработчиков расчетов Geometry Center

    Авторское право 1996 г. — Центр геометрии.Последнее изменение: 12 апреля, пятница, 15:53:58 1996 г.

    MasteringPhysics 2.0: Проблемный вид для печати

    Цель обучения: Понять теорему о параллельной оси и ее приложения

    Чтобы решить многие проблемы, связанные с вращательным движением, это Важно знать момент инерции каждого задействованного объекта. Расчет моментов инерции различных объектов, даже очень высоких симметричные, могут оказаться длительным и утомительным процессом. Пока это важно уметь рассчитывать моменты инерции по определение (), в большинстве случаев полезно просто вспомнить момент инерции конкретный тип объекта.Моменты инерции часто встречающиеся формы (например, однородный стержень, однородный или полый цилиндр, форма или полая сфера) хорошо известны и легко доступно из любого учебника по механике, включая ваш учебник. Тем не мение, необходимо учитывать, что объект имеет не одну, а бесконечную количество моментов инерции. Одно из отличий момент инерции и масса (последняя является мерой трансляционная инерция) заключается в том, что момент инерции тела зависит от на оси вращения.Моменты инерции, которые можно найти в учебники обычно рассчитываются относительно прохождения оси через центр масс объекта. Однако во многих задачах ось вращения не проходит через центр масс. Это означают, что нужно пройти долгий процесс поиска момент инерции с нуля? Оказывается, во многих случаях вычислить момент инерции можно довольно легко, если использовать теорема о параллельной оси.Математически это может быть выражено как, где — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, — это полная масса объекта, и — это момент инерции относительно другой оси, параллельной той, для которой рассчитывается и расположен на расстоянии от центра масс. В этой задаче вы покажете, что теорема действительно работает по крайней мере с одним предметом: гантель длиной, сделанная из двух маленьких сфер массы каждый соединен световым стержнем (см. рисунок).ПРИМЕЧАНИЕ: Если не указано иное Как уже отмечалось, все рассматриваемые оси перпендикулярны плоскости страницы.

    Часть A
    Используя определение момента инерции, вычислите момент инерции относительно центра масс этого объекта.
    Подсказка A.1

    Подсказка не отображается

    Подсказка A.2
    Рассмотрим объект неправильной массы. Его момент инерции измеряется относительно оси A (параллельно оси плоскости страницы), которая проходит через центр масс (см. вторая диаграмма), дается выражением. Оси B, C, D и E параллельны оси A; их расстояния от оси A показаны на схеме.

    В последующих вопросах нижний индекс указывает ось с относительно которого измеряется момент инерции: например, это момент инерции относительно оси C.

    Часть F

    Какой момент инерции наименьший?

    Один из важных результатов, полученных из теоремы о параллельности осей, заключается в том, что для любого объекта всегда наименьший из семейства моментов инерции по отношению к различным параллельным осям.
    Деталь G

    Какой момент инерции самый большой?

    Часть H

    Какие моменты инерции равны?

    Часть I
    Какому моменту инерции равен?
    Часть J
    Ось X, не показанная на схеме, параллельна показанным осям.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.