jQ5!P&)`py~=?o?;ϯD?:y-yQV%#.h(4A,q#s9äHߍ@{‘-‘f~ϭJ!P$>Yujb6n|,Qm5𢶗N]+0hMN `:

2.19: Момент инерции относительно точки

Под «моментом инерции» мы до сих пор подразумевали второй момент массы относительно оси. Мы легко смогли идентифицировать это по инерции вращения по отношению к оси, а именно по отношению приложенного крутящего момента к результирующему угловому ускорению.

Теперь я собираюсь определить (второй) момент инерции относительно точки, которую я возьму, если не указано иное, для обозначения начала координат.2_i) \ label {eq: 2.19.1} \]

как (второй) момент инерции с относительно начала координат , также иногда называемый «геометрическим моментом инерции». Я не могу очевидным образом связать это с простой динамической концепцией так же, как я связал момент инерции относительно оси с инерцией вращения, но мы увидим, что это ни в коем случае не просто утомительное упражнение в арифметике, и у него есть свои применения. Символ I , вероятно, довольно часто использовался в этой главе; поэтому для описания геометрического момента инерции я собираюсь использовать символ \ ({\ bf \ iota} \).

Момент инерции относительно начала координат явно не зависит от ориентации какого-либо конкретного базисного набора ортогональных осей, поскольку он зависит только от расстояний частиц от начала координат.

Если вы вспомните определения \ (A, B \) и \ (C \) из раздела 2.15, вы легко увидите, что

\ [{\ bf \ iota} = \ frac {1} {2} (A + B + C) \ label {eq: 2.19.2} \]

, и мы уже отметили (см. Уравнение 2.16.2), что \ (A + B + C \) инвариантен относительно вращения осей.В разделе 2.18 мы выразили это несколько более широко, сказав, что «след симметричной матрицы инвариантен относительно ортогонального преобразования». К настоящему времени это, вероятно, кажется немного менее загадочным.

След симметричной матрицы инвариантен относительно ортогонального преобразования

Теперь вычислим геометрический момент инерции однородной твердой сферы радиуса \ (a \), массы \ (m \), плотности \ (\ rho \) относительно центра сферы. 2 $?

Это хороший вопрос.2 $ в механике Ньютона полезно вернуться к значению слова «момент».

Этимология момента и импульса относится к движению / движению, очевидно, через латинский глагол «moveo», означающий «двигаться».

По-видимому, первое английское использование слова «момент» означало его в смысле «важности» на рычаге, т.е. равновесие означает, что блоки на уровне имеют одинаковую важность, а неравновесие означает, что можно найти вращательное движение уровня в одном направлении. над другим, делая один из них более «важным», чем другой.

Таким образом, просто из-за «важности» Архимеда, исторически говорить о других круговых движениях таким образом, чтобы их можно было легко сравнить с Архимедом, имеет смысл, поэтому, если мы собираемся использовать одно слово, связанное с латинским «moveo», чтобы относятся к тому, что называется импульсом, мы можем использовать другое слово, когда говорим о конкретно вращательном движении, как это установил Архимед. Мы могли бы, например, договориться называть движение по направлению одного конкретного листа гиперболического параболоида «мотатором».

Момент векторной величины $ \ vec {A} $ в трех измерениях определяется как $$ \ vec {r} \ times \ vec {A}. $$ Причина, по которой кто-то даже хотел бы сделать это, и как это связано с вышеупомянутым обсуждением, заключается в том, что мы думаем о плоском / трехмерном пространстве как о пространстве, в котором мы можем перемещать векторы, как это обычно в механике, то есть мы не рассматривайте их все как фиксированные в начале координат, тогда мы будем думать о $ \ vec {A} $ как о стрелке, начинающейся на вершине $ \ vec {r} $ и указывающей в каком-то направлении. Если вы разложите вектор $ \ vec {A} $ на базис, в котором радиальное движение является одним из ортогональных направлений, скажем, в сферический базис полярных координат, так что $$ \ vec {A} = A_r \ hat {r} + A _ {\ theta} \ hat {\ theta} + A _ {\ phi} \ hat {\ phi} $$ (всегда можно выбрать ориентацию, чтобы можно было игнорировать последний компонент и рассматривать его как плоское вращение в данный момент, если хотите, поэтому давайте установим $ A _ {\ phi} = 0 $.) тогда ясно $$ \ vec {r} \ times \ vec {A} = 0 + A _ {\ theta} \ vec {r} \ times \ hat {\ theta} + 0 = A _ {\ theta} \ vec {r} \ times \ hat {\ theta} $$ таким образом, момент вектора говорит нам, насколько $ \ vec {A} $ хочет переместиться в направлении (в плоскости, проходящей через начало координат), ортогональной $ \ hat {r} $ в данный момент, т.е. повернуться вокруг вектора $ \ vec {r} $. Таким образом, момент силы $$ \ vec {r} \ times \ vec {F} $$ это просто удобный способ изолировать движение «вращательных компонентов» силы, в общем, он пренебрегает радиальным поведением этой силы, что, очевидно, имеет большое значение.В особых случаях, например, когда $ \ vec {F} $ всегда чисто вращательное, это, очевидно, единственное движение. Другой частный случай — когда $ \ vec {F} $ чисто радиально, то его, очевидно, можно использовать (как в задаче Кеплера) для вывода закона сохранения для вращательного движения системы. Сила, очевидно, так важна и интерпретируется как действие на массу, расположенную в $ \ vec {r} $, поэтому ей дается дополнительное название «крутящий момент», поскольку это компонент, который «крутит» частицу вокруг источника, из которого мы видим вещи. .Обычно крутящий момент частицы называют скалярной величиной $ r F _ {\ theta} $, а индексы подавления — $ rF $.

В компонентах момент сверху равен $$ r F _ {\ theta}. $$ Таким образом, любую скалярную величину, имеющую форму $ r B $, с $ r $ длиной вектора положения, можно предположительно интерпретировать как «момент» вектора, составляющая которого в направлении вращения равна $ B $.

(Говоря наоборот, скалярная величина $ rB $ кодирует идею «момента», она представляет собой площадь параллелограмма со сторонами $ r $ и $ B $.В два раза меньше, $ \ frac {1} {2} rB $ — это площадь треугольника с основанием $ B $ и высотой $ r $, что более естественно относится к векторной картине движения в направлении основания треугольника. указывает на точку, расположенную в месте, где заканчивается высота, и становится нетривиальным размышлением о важности закона Кеплера о равных площадях, который может быть выведен из этой интерпретации. Чтобы превратить его в векторную величину, мы рассматриваем $ B $ как компонент $ \ vec {B} $, ортогональный $ \ vec {r} $ в плоскости, содержащей $ \ vec {r} $ и $ \ vec {B}. $.2 = r (mr) $ (на данном этапе вытащен из воздуха) как момент некоторого нового вектора, движение которого в направлении, ортогональном $ \ vec {r} $, имеет величину $ mr $. Очевидно, что вектор не является вектором положения, умноженным на массу, умноженную на $ \ vec {r} $, т.е. $ m \ vec {r} = mr \ hat {r} $, поскольку $ \ vec {r} \ times m \ vec {r} = 0 $. Мы можем как угодно подготовиться к работе с вектором $ m r \ hat {\ theta} $, величина которого равна $ mr $.

Действительно, с этой точки зрения $$ r (mr) $$ можно интерпретировать как момент массы / материи в точке $ \ vec {r} $ ‘, и очевидно (ссылка 1.2 $, что $ I $ также ведет себя как масса в $ F = ma $, он действует как вращательный аналог инерции, то есть сопротивления изменению.

Действительно, в книге (глава 3, раздел 363 ссылки 2 ниже), в которой Эйлер вводит термин (опять же в зависимости от точности перевода), кажется, что он мотивирует использование термина «момент инерции» тем фактом, что что $ \ tau = I \ alpha $ аналогично $ F = ma $, за исключением того, что сила $ F $ заменяется моментом силы, а $ m $ заменяется некоторым беспорядочным интегралом (в нашем случае i.2 = r (mr) $ как момент чего-то отличного от «инерции» изначально («момент материи»), тот факт, что он действует как «инерция вращения» в $ \ tau = I \ alpha $ способе массы, делает в $ F = ma $, и тот факт, что разработчик термина только переформулировал его как « момент инерции » годы спустя, подумав о формировании момента $ \ vec {r} \ times $ как влияющего на левую сторона $ \ vec {F} = m \ vec {a} $ естественным образом, в то время как в правой части естественно заменить $ m $ некоторой скалярной величиной, неудивительно, что этот термин может немного сбивать с толку .2 $ измерения) в $ F = ma $ собирается измениться с $ m $ на некоторую новую величину с новыми измерениями не только из $ r $ в операции $ \ vec {r} \ times $, но также из-за тот факт, что углы, то есть аргументы тригонометрических функций, безразмерны (или измеряются в радианах и т. д.), поэтому, если вам нужен угловой аналог $ \ vec {F} = m \ vec {a} $, размеры множителя ускорения член должен измениться, когда ускорение превратится в угловое ускорение (которое имеет только размеры $ [T] ^ {- 2} $ от второй производной по времени).2 \ hat {r} \ times \ hat {\ theta} $ «момент материи в точке $ \ vec {r} $», но все, что нас волнует, — это компонент, ортогональный $ \ vec {r} $ так что $ mr \ hat {\ theta} $ поверхностен.

Список литературы.

1. «Эйлер, Ньютон и основы механики», Мариус Стан.
2. ‘Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum’, Эйлер — переведено и аннотировано Яном Брюсом.

Момент инерции — GeeksforGeeks

Движение тел может быть разных типов, например, линейное движение, круговое движение и вращательное движение.Согласно первому закону движения Ньютона, если объект неподвижен, он останется в неподвижном состоянии, а если он находится в движении, он останется в движении, если к нему не приложена внешняя сила. Это связано с инерцией тела. Как линейное движение имеет инерцию, так и вращательное движение имеет момент инерции. В этой статье мы собираемся изучить этот момент инерции. Также мы собираемся изучить определение, математическое выражение, приложения и теоремы, а также многое другое о моменте инерции.Таким образом, чтобы узнать о моменте инерции, мы должны знать об основной концепции, показанной ниже:

Центр масс

Центр масс тела или системы частиц — это точка, в которой вся масса этого тела или системы частиц можно считать центрированными, так что скорость вращения отдельной частицы, равная полной массе тела, центрированного в центре масс, является точно такой же. Как и движение всего тела. « Центр масс системы — это точка, в которой вся масса системы может считаться сосредоточенной ».

Вращательное движение твердого тела

Если тело покоится в какой-либо точке таким образом, что оно может свободно перемещаться вокруг этой точки, то при приложении к телу внешней силы оно не перемещается в направлении силы, но движется вдоль оси, проходящей через эту точку, начинает движение. это движение тела называется вращательным движением, а ось, вокруг которой вращается тело, называется осью вращения. « Когда посредством приложения силы или пары сил к твердому телу это тело начинает вращаться вокруг оси, проходящей через себя, тогда его движение называется вращательным движением ».

Так же, как у линейного движения есть инерция, так и у вращательного движения есть Момент инерции. Согласно первому закону движения Ньютона, неподвижный объект будет оставаться неподвижным, а объект, который находится в движении, будет продолжать двигаться по прямой с той же скоростью, если к нему не приложена внешняя сила, то есть объект может Не меняет свое положение автоматически, но когда к объекту прикладывается внешняя сила, чтобы изменить его положение, этот объект противостоит ему.Эта тенденция объекта называется его инерцией .

Точно так же каждый, кто находится во вращательном движении, независимо от того, движется ли он вокруг оси вращения или способен вращаться, но в состоянии покоя, противостоит изменению, вызванному внешней силой. эта тенденция тела называется его моментом инерции .

Следовательно, тело во вращательном движении противостоит внешней силе-моменту, приложенной для изменения его вращательного состояния, эта тенденция называется его моментом инерции.

Момент инерции — это скалярная величина. Математически произведение квадрата массы частицы на расстояние от оси вращения называется моментом инерции частицы относительно оси вращения.

Предположим, что частица массой м движется относительно оси вращения XY , тогда момент инерции частицы около XY будет I = mr ²

Выражение для момента инерции тела

Пусть твердое тело движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси AB , проходящей через точку O , перпендикулярную плоскости.Предположим, что это тело состоит из множества мелких частиц, масса которых равна m1, m2, m3,…. И т. Д. и их расстояния от оси вращения соответственно равны r1, r2, r3…. и т. д.

По определению, момент инерции частицы относительно оси AB = Масса частицы * Квадрат расстояние частицы от оси вращения

Итак, Момент инерции первой частицы = m1 * r1 ²

Момент инерции первой частицы = m2 * r2 ²

Момент инерции первой частицы = м3 * r3 ²

………………………………………..Так далее.

Теперь момент инерции всего тела относительно оси вращения AB будет равен сумме моментов инерции всех частиц, поэтому

I = m1 * r1 ² + m2 * r2 ² + m3 * r3 ² + ……

или I = Σ m * r ²

Здесь I представляет момент инерции всего тела относительно оси вращения и знак Σ представляет собой сумму. Из уравнения ясно, что момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме произведения массы каждой частицы этого тела и квадрата ее расстояния по перпендикуляру от оси вращения.

Примечание: После изменения размера, формы или оси тела момент инерции будет изменен.

Радиус вращения тела — это перпендикуляр к расстоянию от оси вращения до точки, в которой момент инерции, полученный путем принятия общей массы тела за центр, равен к фактическому моменту инерции объекта. Обозначается буквой K.

Если масса и радиус вращения тела равны M и K соответственно, то момент инерции тела равен

I = MK ² … 1

Таким образом, радиус вращения тела — это радиус, перпендикулярный оси вращения, квадрат которой, умноженный на массу этого тела, дает момент инерции этого тела относительно этой оси.

Снова по уравнению 1, K ² = I / M

или K = √I / m

Таким образом, радиус вращения тела вокруг оси равен квадратному корню из отношения тела вокруг этой оси.

Есть три типа теорем, которые очень важны в отношении момента инерции:

1. Теорема сложения,
2. Теорема о вертикальной оси и
3. Теорема параллельной оси.

Теорема сложения

Момент инерции системы, состоящей из многих частиц, вокруг одной оси вращения равен сумме моментов инерции каждой частицы относительно этой оси. если I ₁ , I ₂ , I ₃ …… ..и т. д. — соответственно момент инерции различных частиц системы относительно одной оси вращения, то общий момент инерции системы .

I = I ₁ + I ₂ + I ₃ + ……………….

Ясно, что если часть момента инерции I ‘ будет удалена из тела, имеющего момент инерции I , то оставшееся тело будет иметь оставшийся момент инерции = (I — I’) относительно та же ось вращения.

Теорема о вертикальной оси

Сумма момента инерции тела относительно двух взаимно перпендикулярных осей, расположенных в плоскости тела, равна моменту инерции тела относительно третьей оси, которая перпендикулярна две оси и проходит через их точку пересечения.

На рисунке выше. OX и OY — две такие оси в плоскости корпуса, перпендикулярные друг другу. Третья ось — это OZ , которая перпендикулярна плоскости тела и проходит через точку пересечения осей OX и OY . Если I _x , I _y , и I _z — моменты инерции тела относительно оси OX , OY и OZ осей соответственно, то согласно по этой теореме

I _x + I _y = I _z

Теорема о параллельной оси

Согласно этой теореме момент инерции тела относительно данной оси равен сумма момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс этого тела, и произведения квадрата массы тела на перпендикулярное расстояние между двумя осями.

Пусть на приведенном выше рисунке мы должны найти момент инерции I _O тела, проходящего через точку O вокруг оси, перпендикулярной плоскости, в то время как момент инерции тело, проходящее через центр масс C и вокруг оси, параллельной данной оси, равно I _C , тогда согласно этой теореме

I _O = I _C + Ml ²

, где M — масса всего тела, а l — перпендикулярное расстояние между двумя осями.

• Твердая прямоугольная пластина: Если масса пластины равна M, длина l и ширина b, то момент инерции, проходящий через центр тяжести, составляет примерно ось перпендикулярна плоскости пластины.

I = M (l ² + b ² /12)

• Круглый диск: Если диск имеет массу M и радиус r, то момент инерции относительно диска геометрическая ось

I = 1/2 (Mr ² )

• Однородный тонкий стержень: Если масса стержня равна M, а длина l, то момент инерции относительно ось, перпендикулярная длине стержня и проходящая через его центр тяжести

I = Ml ² /12

• Круглое кольцо: Если масса кольца M и радиус кольцо r, то момент инерции относительно оси, проходящей перпендикулярно центру кольца, равен

I = Mr ²

• Solid Sphere: Если Solid Sphere имеет массу M и радиусом r, t Тогда момент инерции относительно его диаметра равен

I = 2 / 5Mr ²

Разница между моментом инерции и инерцией

Приложение момента инерции

1. Из-за большего момента инерции Земля вращается вокруг своей оси с той же угловой скоростью.
2. Маленькое подвижное колесо помещено под детский игровой мотор. После трения колеса о землю и выхода из двигателя, благодаря моменту инерции колеса, двигатель некоторое время продолжает работать.
3. Каждый двигатель состоит из большого и тяжелого колеса, прикрепленного к его валу, большая часть его массы приходится на его окружность. Следовательно, его момент инерции высок. Это колесо называется маховиком. Крутящий момент, приводящий в движение вал двигателя, продолжает расти. Следовательно, вращение вала может быть неоднородным, но из-за наличия движущегося колеса с большей инерцией вал продолжает вращаться с почти одинаковой скоростью.
4. В колесе телеги, рикши, самоката, велосипеда и т. Д. Большая часть массы сосредоточена на его окружности или ободе. этот обруч или рутина крепится к оси колеса жесткими спицами. При этом его момент инерции увеличивается. Поэтому, когда ноги перестают двигаться во время езды на велосипеде, колесо продолжает вращаться некоторое время.

Примеры задач

Вопрос 1. Тело массой 500 г вращается вокруг оси. расстояние центра масс тела от оси вращения равно 1.2 мес. найти момент инерции тела относительно оси вращения.

Решение:

Учитывая, что M = 500 г = 0,5 кг, r = 1,2 м.

Очевидно, что вся масса тела может быть помещена в его центр масс. Затем момент инерции тела относительно оси вращения.

I = Mr ²

=> I = 0,5 * (1,2) ²

=> I = 0,72 кг м ²

Вопрос 2.Радиус вращения вокруг оси на расстоянии 12 см от центра масс тела массой 1,2 кг составляет 13 см. рассчитать радиус вращения и момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Решение:

Учитывая, что M = 1,0 кг, K = 13 см, l = 12 см, K _CM =?, I _CM =?

Из теоремы о параллельной оси I = I _CM + Ml ²

=> K ² = K _{CM ²} + l ²

или K _{CM ² K ² — l ²}

=> K CM 2 = (13) 2 — (12) 2 = 25

=> K _CM = 5

Сейчас , Момент инерции I _CM = MK _{CM ²}

I _CM = 1.0 * (0,05) ² = 2,5 * 10 ^-3 кг м ²

Вопрос 3. Тело массой 0,1 кг вращается вокруг оси. если расстояние центра масс тела от оси вращения 0,5 м, то найти момент инерции тела.

Решение:

Учитывая, что M = 0,1 кг и r = 0,5 м

, поэтому I = Mr ²

=> I = 0,1 * (0,5) ²

=> I = 0.025 кг м ²

Вопрос 4. Момент инерции колец относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кругового кольца, составляет 200 г · м · см ² . Каким будет момент инерции относительно его диаметра?

Решение:

Момент инерции кругового кольца вокруг оси, проходящей через другой центр перпендикулярно его плоскости

MR ² = 200 г · см ²

Момент инерции относительно диаметра

= 1/2 MR ²

= 1/2 * 200 = 100 г · см ²

Вопрос 5.От чего зависит момент инерции тела?

Решение:

Момент инерции зависит от следующих факторов:

1. Масса тела,

2. Распределение массы тела и

3. В положении вращения -ось.

Имейте в виду, что изменение формы или размера тела или оси вращения изменяет его момент инерции.

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Присоединяйтесь к курсу First-Step-to-DSA для учащихся 9-12 классов , , специально разработанного для ознакомления со структурами данных и алгоритмами учащимся 9-12 классов

Моменты инерции

Чтобы легко вычислить моменты инерции относительно осей через $ P $ и $ C $ проще всего выбрать система координат, выровненная с осью вращения направление $ \ hat {a} $.Выберем координаты $ (x, y, z) $ измеряется от центра масс $ C $ и с $ z $ -ось $ \ hat {k} $ в направлении $ \ hat {a} $, как показано на рисунке.

Поскольку мы интегрируем по телу с бесконечно малым объемом $ dV $ в позиции $ (x, y, z) $ от $ C $, запишем расстояние от оси через $ C $ как $ r_c $ и расстояние от оси через $ P $ как $ r_P $, как проиллюстрировано.2. \ конец {выровнено} \] Здесь мы использовали координатное представление центра массы, чтобы понять, что координата $ x $ точки $ C $ равна $ x_C = \ frac {1} {m} \ int _ {\ mathcal {B}} \ rho x \, dV $, но поскольку наши координаты отсчитываются от $ C $, мы должны имеет $ x_C = 0 $ и поэтому $ \ int _ {\ mathcal {B}} \ rho x \, dV = 0 $. Интеграл от $ \ rho y $ аналогично равен нулю.

Лаборатория 7 — инерция вращения

Введение

Обсуждение принципов

F = ma

τ ,

ω .

(1)

(2)

дм

(3)

m _i

r _i

n = 2

(4)

Рисунок 1 : Эскиз и фотография аппарата

τ _f

τ _{натяжение} .

(6)

τ _net = rT — τ _f

Рисунок 2 : Диаграмма свободного тела для подвешенной массы

a ‘

T = m (g — a)

rT — τ _f = I α

(11)

Анализ линеаризацией

τ _f .

g >> a,

T ≈ mg.

(12)

gr ² / I

. τ r _f / I.

a ₁

a ₂ ,

м ₁

м ₂ ,

(15)

Анализ точным методом

м ₁

м ₂ ,

a ₁

a ₂ ,

(16)

(17)

τ _f

(18)

Цель

Оборудование

• Колесо со ступенчатым шкивом
• Smart Pulley с фотозатвором
• Нить
• Масса с вешалкой
• Программное обеспечение DataStudio
• Каверномер
• Остаток средств
• Метрическая палка
• Обруч
• Пластина

Процедура

a ‘

(19)

I _всего = I _колесо + I _{удлинитель} .

1

2

3

(20)

I _диск = (1/2) MR ² .

4

5

Рисунок 3 : Начальный экран лаборатории инерции вращения

6

м ₁

7

8

Рисунок 4 : Таблица данных для пробного прогона

9

10

11

КПП 1:
Попросите своего технического специалиста проверить ваши данные и расчеты, прежде чем продолжить.

Процедура A: Метод линеаризации

12

13

14

15

КПП 2:
Попросите своего технического специалиста проверить ваши данные и расчеты, прежде чем продолжить.

Процедура B: Точный метод

18

КПП 3:
Попросите своего технического специалиста проверить ваши расчеты, прежде чем продолжить.

Процедура C: Определение момента инерции удлинителя

19

20

22

200 г.

23

a ‘

24

25

I _всего = I _колесо + I _{удлинитель} .

26

КПП 4:
Попросите вашего ТА проверить ваши расчеты.

Авторские права © 2011 Advanced Instructional Systems Inc. и Государственный университет Северной Каролины | Кредиты

Балки, изгиб и граничные условия: моменты инерции

Angular vs.Линейное движение

Для линейного движения второй закон Ньютона связывает ускорение частица массой м к приложенной к ней силе F . В символы,

F = м а .

Из уравнения (и здравого смысла) ясно, что большая сила требуется для ускорения более массивной частицы. Интуитивно масса частицы сопротивляется ускорению. Мы говорим, что масса дает линейная инерция частицы.

Для углового (вращательного) движения угловое ускорение не зависит только от приложенной силы, но также и от того, где сила приложена в отношение к оси вращения (или «точке поворота»).По этой причине, как мы заметили в предыдущем разделе, это крутящий момент сила генерирует, что наиболее естественно связано с угловым ускорением частицы.

Крутящий момент играет во вращающихся системах ту же роль, что и сила в линейное движение. Однако сопротивление угловому ускорению снова зависит как от массы частицы, так и от ее расстояния от ось вращения. Поэтому мы вводим новую величину, называемую момент инерции для измерения сопротивления угловому ускорение. ² частицы. Момент инерции обычно обозначается Я .

Формулы для систем и непрерывных объектов

В общем, вычисление момента инерции может быть довольно трудным, требуя более сложных методов повторных интегралов от многомерное исчисление. Однако, когда объект достаточно симметрично, мы можем вычислить момент инерции с помощью стандартного интеграл с одной переменной.

Теперь рассмотрим плоский объект, как в Рисунок 4, и представьте, что он вращается вокруг x — ось. (Обратите внимание, что он вращается из плоскости xy в третье измерение перпендикулярно экрану вашего компьютера.) Это может быть, например, модель вращающейся лопатки турбины. поскольку он вращается вокруг своего центрального шпинделя.

Рис. 4. Нарезка объекта неправильной формы на полосы.

В этом случае обратите внимание, что вся полоса, указанная на рисунке остается на постоянном расстоянии от оси вращения. Следовательно, эта полоса имеет тот же момент инерции, что и частица того же масса, лежащая на том же расстоянии выше оси x .

Если предположить, что объект был вырезан из какого-то тонкого материала однородная плотность p , масса полосы просто p w (y) dy . ² w (y) dy .

Отсюда следует, что момент инерции для всего объекта определяется выражением формула

где a и b — минимальное и максимальное значения переменной y .

Вопрос 3

• Найдите момент инерции прямоугольника длиной l и ширина w , когда ось вращения
  1. является центральной линией прямоугольника, и
  2. один из краев.

• Чтобы сделать здание доступным для инвалидных колясок, инженеру говорят увеличить ширину вращающейся двери вдвое. Насколько это увеличит момент инерции? Какие практические вопросы могут волновать инженера насчет того, если ширина двери увеличится вдвое?

Вопрос 4

Ответьте на следующие вопросы, взаимодействуя с Страница «Изучение моментов инерции».

1. Экспериментально определить момент инерции двутавровой балки вокруг различные горизонтальные оси вращения. ² + I_min .
2. Попытайтесь дать физическую интерпретацию константам M и C для функции вашей модели. В частности, из физических соображений можно было бы ожидать, что момент инерции зависит от массы объекта и его формы. Как эти величины соотносятся с функцией модели ты нашел?

Авторское право 1996 г. — Центр геометрии.Последнее изменение: 12 апреля, пятница, 15:53:58 1996 г.

MasteringPhysics 2.0: Проблемный вид для печати

В последующих вопросах нижний индекс указывает ось с относительно которого измеряется момент инерции: например, это момент инерции относительно оси C.

Часть J
Ось X, не показанная на схеме, параллельна показанным осям. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника