Числа в 16 системе счисления: Перевод чисел из десятичной системы в шестнадцатиричную — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Системы счисления

Кодирование информации — представление информации в той или иной стандартной форме.

Например, письменность и арифметика — кодирование речи и числовой информации, музыку кодируют с помощью нот.

Чтобы использовать числа их нужно как-то записывать и называть.

Самые первые системы нумерации возникли в древнем Египте и Месопотамии — применяли иероглифы.

Системы счисления — способы кодирования числовой информации, то есть способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

В древнем Вавилоне делили час на 60 минут, угол на 360 градусов, англосаксы начали делить год на 12 месяцев, сутки на два периода по 12 часов, продолжительность года 360 суток.

В Риме семь чисел обозначают буквами. 1-I, 5-V, 10-X, 50- L,100-C, 500-D, 1000-M.

IV (4=5-1)

VI (6=5+1)

Значение числа определяется как сумма или разность цифр числа. Это непозиционная система счисления.

Славяне числа кодировали буквами А=1, В=2, Г=3; чтобы избежать путаницы ставился специальный знак ~ титло. Алфавитная система счисления. Славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.

При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась в богослужебных книгах.

Самой популярной системой кодирования чисел оказалась позиционная, десятичная. Используются десять цифр. Значение каждой определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа.

Эта система пришла из Индии, где она появилась не позднее VI века, европейцы заимствовали ее у арабов, назвав ее арабской. Из арабского языка заимствовано слово «цифра». Причина ее возникновения анатомическая — 10 пальцев. Анатомическая система счисления (существовали пятеричные, двадцатеричные системы счисления).

Например, 23 — три единицы, два десятка 32 — две единицы, три десятка 400 — 4 сотни, два 0 вклад в число не дают, нужны для того, чтобы указывать позицию 4.

В десятичной позиционной системе особую роль играет число 10 и его степени, например, 1996 — 6 единиц, 9 десятков, 9 сотен 1 тысяча или 1996=6+9*10+9*100+1*1000, т.к.1000=10³, 100=10², 10=10¹, таким образом, 1996=1*10³ + 9*10²

+ 9*10¹ +6*10^0.

Любое число в нулевой степени равно единице 0,1⁰ = 1

То есть любое 4-х значное число можно записать в следующем виде:

N=a₃*10³+a₂*10²+a₁*10¹+a₀*10⁰

a₃, a_2,a₁, a₀-десятичные цифры, от 1 до 9 или коэффициенты 3 2 1 0 — разряды, степени числа 10 со степенями называют основанием системы счисления.

Но основанием системы может быть не обязательно число 10, мы можем записать число в р-ичной системе, где основанием будут степени числа р. Любое число N в р-ичной системе мы можем представить в виде формулы:

N=a_n*Pⁿ+a_n-1*P^n-1+. ..+a₁*P¹+a₀*P⁰

Если взять за основание 60, то придется использовать 60 разных цифр. Такая система была в Древнем Вавилоне. Если основанием возьмем 2, получим систему всего с двумя цифрами 0 и 1. К сожалению, в этой системе даже небольшие числа записываются слишком длинно, так 1995 в двоичной системе записывается 1995₁₀=11111001011₂

Система счисления, где 2 является основанием системы называется двоичной системой счисления, относится к машинной системе счисления, к машинным системам счисления относятся и восьмеричная и шестнадцатеричная. Таким образом существуют следующие системы счисления: вавилонская, римская, алфавитные, анатомические, машинные.

Системы счисления делятся также на позиционные и непозиционные.

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

Как узнать чему равно девятизначное двоичное число N=111110100₂

Подпишем сверху каждый разряд

87654321010 — 1 разряды (степени двойки)

111110100₂

В двоичной системе особую роль играет двойка и ее степени.

Таким образом:

111110100=1*2₈+1*2₇ +1*2₆ +1*2₅ +1*2₄ +0*2₃ +1*2₂ +0*2₁ +0*2₀=1*256+1*128+1*64 +1*32 +1*16 +0*8 +1*4 +0*2 +0*1=256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 +0 =500

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную.

Пусть нужно перевести в двоичную систему число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая про нулевые.

Выписав все остатки, начиная с последнего 3 в обратном порядке, получим двоичное разложение числа.

234₁₀ = 11101010₂

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной восьмеричная система счисления использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой степени), в следующем 64 (1*8 во второй степени) и так далее.

2 1 0 1 — разряды (степени восьмерки)

100₈ = 1*8² + 0*8¹ + 0*8⁰

= 1*64 + 0 + 0 = 64₁₀

8 — это 2 в третьей степени. При переводе в восьмеричную систему двоичное число из трех цифр записывается одной цифрой.

Восьмеричная запись	Двоичное представление	впереди стоящий 0 ничего не значит
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Для перевода из двоичной в восьмеричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево

Например, 11011100011=11 011 100 011 и заменить каждую группу одной восьмеричной цифрой 2 2 4 2 и получим 2242₈

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)

6	1	1
110	001	001

Еще компактней выглядит запись двоичного числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются привычные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита

A-10 D-13

B-11 E-14

C-12 F-15

Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16*16 (16²)=256, в следующем разряде 1*16³ и так далее.

100¹⁶ =256¹⁰

Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.

2 1 0 — 1 разряды (степени числа 16)

Число 210₁₆=10*16²+15*16¹+0*16⁰

210₁₆=10*256+240+0*1=2560+240+0=2800₁₀

2 1 0

BAD₁₆=11*16₂+1 0*16₁+13*1 6₀

= 11 * 256+10 *16+13*1=2816+160+13=2989₁₀

16 — это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатеричной системе.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0

A	O	F	AOF₁₆
1010	0000	1111	AOF₁₆

Как осуществить перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную? Необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 разряда справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричной цифрой.

1101	1010	1101	в двоичной
11	10	13	в десятичной
B	A	D	в шестнадцатеричной

10	2	8	16
0	000	0	0
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

§10.

Шестнадцатеричная система счисления | Перевод чисел

Планирование уроков на учебный год (по учебнику К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина, базовый уровень)

Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 8 классы | Планирование уроков на учебный год (по учебнику К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина, базовый уровень) | §10. Шестнадцатеричная система счисления

Содержание урока

Перевод чисел

Связь с двоичной системой счисления

Алгоритм перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления

Арифметические действия

Применение шестнадцатеричной системы

Выводы. Интеллект-карта

Вопросы и задания

Ключевые слова:


• шестнадцатеричная система 
• перевод чисел	
• связь с двоичной системой
• сложение
• вычитание

Шестнадцатеричная система (позиционная система с основанием 16) широко используется для записи адресов и содержимого ячеек памяти компьютера. Её алфавит содержит 16 цифр. Вместе с 10 арабскими цифрами от 0 до 9 используются первые буквы латинского алфавита:

А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14 и F = 15.

Какие числа записаны в шестнадцатеричной системе неверно: 34AF5₁₆, 5BG6₁₆, 9FF61₁₆, ADh33₁₆? Как вы рассуждали?

Перевод чисел

Для перевода чисел из десятичной системы в шестнадцатеричную используют алгоритм деления на 16 и выписывания остатков. Важно не забыть, что все остатки, большие 9, заменяются на буквы:

Переведите в шестнадцатеричную систему счисления числа 31, 91, 126, 172.

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления заканчивается на 0. Что можно сказать о свойствах этого числа?

Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления заканчивается на 3. Что можно сказать о свойствах этого числа?

Платон перевёл некоторое число из десятичной системы в шестнадцатеричную, полученная запись содержит 2 цифры. Какое это могло быть число (назовите наименьшее и наибольшее возможные значения)?

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в десятичную значение каждой цифры умножают на 16 в степени, равной её разряду, и полученные значения складывают:

Переведите числа 12₁₆, 57₁₆, 79₁₆, АВ₁₆, DD₁₆, EF₁₆ в десятичную систему счисления.

Не выполняя перевода чисел в другие системы счисления, выясните, может ли число 225 быть записано в шестнадцатеричной системе как 11F₁₆. Как вы рассуждали?

Следующая страница Связь с двоичной системой счисления

Cкачать материалы урока

Эпоха 16-битной и шестнадцатеричной системы счисления

Перейти к плейлисту эпизодов

Давайте поговорим о 16-битной эпохе и новой системе нумерации. Нам нужно вычислить большие числа. Работа с двоичными и восьмеричными числами утомительна. Бам, поприветствуйте шестнадцатеричную (или шестнадцатеричную) нотацию, которую вы используете каждый день для цветовых кодов CSS.

Основные выводы из этого эпизода:

Шестнадцатеричное (hex) более сжатое обозначение
Позволяет ввести до 16 цифр: 0-9 + A-F
Одна шестнадцатеричная запись аналогична 4-битным группам в двоичном коде
Полезно для больших чисел
Цветовые коды используют шестнадцатеричный код

Учебные заметки

Помните : Чем больше число, тем больше мощность

Процесс преобразования двоичного числа в десятичное занимает несколько шагов. Сложнее посмотреть на образец 1 и 0 и вытащить точный десятичный эквивалент.

Преобразование больших чисел

Как упростить представление?

Новая 16-битная система счисления:

Из каких блоков состоит наша новая 16-битная система счисления? Начнем с восьмеричной.

В восьмеричном формате у нас есть семь битов, которые также являются цифрами от 0 до 7. Он использует группировку 3-битных двоичных чисел для представления цифр.

Обратите внимание, что мы использовали все образцы единиц и нулей.

16-разрядное преобразование:

Давайте рассмотрим преобразование этого двоичного числа в нашу новую 16-разрядную систему счисления. Мы группируем его по 4 битам, что означает, что для 2-байтового двоичного шаблона имеется 4 цифры. Всегда начинайте с младшего значащего бита (крайнего справа).

Обозначение этого нового числа — 0x1445, где x обозначает шестнадцатеричный или шестнадцатеричный формат. Сокращенное обозначение: 1455 ₁₆ .

Теперь сравните эту новую запись чисел с восьмеричной. Вы видите, что использование шестнадцатеричной формы лучше для больших чисел?

Хотите знать, где вы когда-нибудь будете использовать шестнадцатеричный?

Цветовые коды указаны в шестнадцатеричном формате.

Преобразуем шестнадцатеричное представление цвета «белый» в двоичный, восьмеричный и десятичный форматы.

Практическое использование Hex

Цветовые коды
Сообщения об ошибках
Штрих-код
Взаимодействие с API

Вернуться на первую страницу лаборатории.
Знай код слетает на движке WP. Ознакомьтесь с решениями для управляемого хостинга от WP Engine.
WordPress® и связанные с ним товарные знаки являются зарегистрированными товарными знаками WordPress Foundation. Фреймворк Genesis и связанные с ним товарные знаки являются зарегистрированными товарными знаками StudioPress.
Этот веб-сайт не связан и не спонсируется Automattic, Inc., WordPress Foundation или WordPress® Open Source Project.
Шестнадцатеричные числа — Electronics-Lab.com
Шестнадцатеричные числа
Шестнадцатеричное число (16) представляет собой систему счисления с основанием 16 , в которой использует шестнадцать (16) чисел для представления значения своей цифры. В шестнадцатеричном числе используется группа или набор из четырех (4) двоичных цифр для формирования шестнадцатеричной цифры 9.0026 . Другими словами, шестнадцатеричная цифра эквивалентна полубайту, а из предыдущей статьи мы знаем, что полубайт — это четырехбитное двоичное число. Крайний правый полубайт образует наименее значимую шестнадцатеричную цифру, а слева от него можно добавлять полубайты для представления большего шестнадцатеричного числа.
Архитектура цифровых систем рассчитана на 8-, 16-, 32- и 64-битные и т. д. двоичные числа и представление этих чисел нулями (0) и единицами (1) становятся довольно запутанными и сложными. Чтение и запись больших двоичных чисел может привести к ошибкам, и информация действительно может стать сомнительной. Представлением больших двоичных чисел можно управлять с помощью системы нумерации с более высоким базовым значением, которая будет вмещать больше значений в однозначных цифрах по сравнению с двоичными цифрами (битами). Восьмеричная цифра (с основанием 8) может использовать восемь (8) чисел (от 0 до 7) и может вмещать 3-битное двоичное число. 3-битное двоичное число довольно мало и не подходит для 8-, 16-, 32- и 64-битных архитектур и т. д. Точно так же десятичное число подходит для представления 3-битного двоичного числа, но тратит впустую два (8 и 9).) числовые значения. Другими словами, восьмеричная система счисления более подходит по сравнению с десятичными (десятичными) числами, когда речь идет о представлении двоичных чисел.
Подходящей и подходящей системой нумерации является та, которая может вмещать 4-битное двоичное число. Как мы знаем, 4-битное число может содержать шестнадцать (16) значений (два, возведенные в степень четыре). Для этого требуется система счисления, имеющая набор из шестнадцати значений, то есть от 0 до 15. Десятичная цифра имеет диапазон чисел от 0 до 9, и такие числа, как 10, 11, 12, 14 и 15, не могут быть представлены, поскольку они предполагает использование ранее использовавшихся номеров. В шестнадцатеричном формате значения выше девяти (9) представлены английскими алфавитами, такими как A, B, C и т. д. Использование этих алфавитов решает проблему повторения чисел для десяти (10) и более значений.
Это означает, что A, B, C, D, E и F в шестнадцатеричном формате представляют собой десятичные числа: десять (10), одиннадцать (11), двенадцать (12), тринадцать (13), четырнадцать (14) и пятнадцать ( 15). То же самое верно для представления эквивалентных двоичных чисел «1010», «1011», «1100», «1101», «1110». и «1111» соответственно. Сложность представления большего двоичного числа можно облегчить, разбив двоичное число на группы по 4 бита. Например, рассмотрим (1101100111001010 ₂) — 16-битное двоичное число, которое можно записать как (1101 1001 1100 1010 ₂) . Последнее достигается путем разбиения на группу или набор из 4 битов, и полученное двоичное число намного легче читать.
Длину и сложность двоичных чисел можно дополнительно уменьшить, преобразовав их в эквивалентные шестнадцатеричные числа. Однако шестнадцатеричные числа являются сложными по сравнению с десятичными числами и используются только в цифровых системах. Четырехбитные двоичные числа «0000», «0001», «0010», … и «1111» представлены одной шестнадцатеричной цифрой. Четырехбитное двоичное число называется «полубайтом», что эквивалентно шестнадцатеричной цифре. Байт состоит из 8 бит или двух полубайтов, и две шестнадцатеричные цифры представляют его эквивалент. Например, двоичное число (10100111 ₂) разделен на две половинки (1010 0111 ₂) . При этом (1010 ₂) эквивалентно (10 ₁₀) в десятичном виде и ( A ₁₆ ) в шестнадцатеричном. Точно так же второй полубайт (0111 ₂) эквивалентен (7) в десятичном и шестнадцатеричном формате. Таким образом, двоичное число (10100111 ₂) эквивалентно (A7 ₁₆) в шестнадцатеричном формате.
Шестнадцатеричные числа
В следующей таблице перечислены десятичные числа от 0 до 15 и их эквиваленты в двоичных и шестнадцатеричных числах.
В приведенной выше таблице показаны эквивалентные десятичные числа от 0 до 15 для шестнадцатеричных цифр. Для подсчета чисел после пятнадцати (F) в шестнадцатеричном формате используется процедура, аналогичная другим системам счисления, т.е. включая значащую цифру слева. Например, число «16», преобразованное в двоичное число, равно 9.0025 (0001 0000) ₂ и его шестнадцатеричный эквивалент (10 ₁₆ ). Точно так же эквивалентом 17 в шестнадцатеричном формате является (11 ₁₆ ) , и, следуя той же процедуре, шестнадцатеричное число может быть расширено до желаемого значения. Используя приведенную выше таблицу, любое двоичное число можно легко преобразовать в эквивалентное ему шестнадцатеричное число. Например, 16-битное число (1010 1100 0111 1011 ₂ ) , преобразованное в шестнадцатеричное, равно (AC7B ₁₆) . Гораздо проще написать и запомнить это шестнадцатеричное число, чем 16-битный ряд из 0 и 1. Следовательно, рекомендуется записывать двоичные числа в шестнадцатеричной системе счисления, чтобы избежать ошибок и т. д.
В цифровых системах, особенно при написании программ, знак «#» (решётка) значащая цифра для обозначения шестнадцатеричного значения. Например, указанное выше шестнадцатеричное число (AC7B ₁₆) также можно записать как 9.0025 (#AC7B) .
Счет в шестнадцатеричном формате
Как описано выше, значение шестнадцатеричного числа можно расширить, используя дополнительные значащие цифры. Одна шестнадцатеричная цифра, начинающаяся с «0», может составлять до #F (15 X 16 ⁰ = 15 ₁₀ ) , расширенная до двух цифр, может составлять до #FF (15 X 16 ^1). +15 х 16 ⁰ = 255 ₁₀ ) . Точно так же #FFFF и #FFFF могут считать до 9.0025 4095 ₁₀ и 65535 ₁₀ , соответственно. В следующей таблице указан вес каждой цифры в шестнадцатеричном числе.
Добавление нулей к двоичному числу
Поскольку двоичное число разбивается на группы, состоящие из 4 бит, для определения его эквивалентного шестнадцатеричного числа. Для этого требуется двоичное число, состоящее из битов, кратных четырем (4), например. 4, 18, 12, 16 и 20 и т. д. Однако это может быть не так, когда речь идет о двоичных числах, а двоичные числа могут различаться по длине в битах. Решение состоит в том, чтобы начать разбивать двоичные числа на группы по 4 бита, начиная с младшего значащего бита (LSB), и, в конце концов, у нас останется менее 4 бит в конце. Ведущие нули добавляются к оставшимся битам, увеличивая их длину до 4 бит. Эта группа из 4 битов составляет старшую значащую цифру (MSD) шестнадцатеричных чисел. В следующей таблице нестандартное 13-битное двоичное число (1 0101 1101 1010 ₁₀ ) преобразуется в 16-разрядное (делящееся на 4) двоичное число путем добавления начальных нулей, а затем определяется его эквивалентное шестнадцатеричное число.
В приведенном выше примере 13-битное число требует добавления 3 битов с нулевыми значениями к крайней левой стороне, чтобы сделать его 16-битным двоичным числом. Точно так же 10-битное двоичное число потребует добавления шести (6) нулевых битов. Использование шестнадцатеричных чисел сокращает длину двоичных чисел в четыре (4) раза, а преобразование из двоичного в шестнадцатеричное или из шестнадцатеричного в двоичное выполняется легко и быстро.
Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные
Преобразование шестнадцатеричных значений в десятичные достигается с помощью метода взвешенной суммы цифр, описанного в предыдущей статье. В следующем примере шестнадцатеричное число (#7DE5) преобразуется в десятичное число.
Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное требует применения метода повторного деления на 16, который использовался для преобразования десятичного числа в эквивалентное ему двоичное значение в предыдущей статье. То же десятичное число (238 ₁₀ ) используется для получения эквивалентного ему шестнадцатеричного числа в следующем примере.
Пример преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное
Ниже показано преобразование 8-битного двоичного числа (11011001 ₂ ) в шестнадцатеричное число.
Шестнадцатеричный код в двоичный и десятичный Пример
Преобразование #8C4A в его эквивалентное двоичное и десятичное число показано ниже в качестве примера.
Заключение
Шестнадцатеричный номер использует систему счисления с основанием 16, и его цифры могут состоять из шестнадцати (16) цифр от 0 до 15. В шестнадцатеричном коде используются заглавные буквы: A, B, C, D, E и F. эквивалентно 10, 11, 12, 13, 14 и 15 соответственно.
В шестнадцатеричных числах каждая цифра представляет собой группу или набор из 4 битов. Эквивалент двоичного числа в шестнадцатеричном формате получается путем разбиения двоичного числа на группы по 4 бита, а затем, в зависимости от значения каждой 4-битной группы, каждой группе присваивается эквивалентное шестнадцатеричное значение от «0» до «F».
Двоичные числа могут потребовать добавления начальных нулей в крайнюю левую (наиболее значащую) сторону для формирования 4-битных групп.
Шестнадцатеричное число представляется с помощью «16» в качестве нижнего индекса или решетки (#) с крайней левой стороны, например. 2A7E ₁₆ или #2A7E.
Шестнадцатеричное число можно преобразовать в десятичное число с помощью метода взвешенной суммы цифр. Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное требует применения метода повторного деления на 16.