-10 Ф, а индуктивность катушки приемно… — Учеба и наука

Ответы

06. 05.20

Михаил Александров Читать ответы

science Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Физика

Пользуйтесь нашим приложением

3.

6. Примеры решения задач к разделу 3

					Пример 2. Вычислите силу взаимодействия обкладок сферического конденсатора, если он заполнен диэлектриком с проницаемостью = 6, а радиусы R1 и R2 равны соответственно 6 и 8 см. Конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов Решение Потенциальная энергия сферического конденсатора , подставляя выражение для емкости конденсатора получаем . Сила, действующая, например, на внешнюю обкладку составит ; F = 3 ·10-3 Н. Пример 3. Цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок соответственно R1 = 10 и R2 = 15 см, заполненный диэлектриком с проницаемостью = 4, подключен к источнику с разностью потенциалов = 3·102 В. Определите силу взаимодействия обкладок на единицу h = 1 м длины конденсатора. Решение Погонная энергия заряженного цилиндрического конденсатора есть . Сила взаимодействия обкладок ; F = 4,1 10-4 Н / м. Пример 4. Потенциал наэлектризованного металлического шара и напряженность ЭСП на расстоянии а = 5 см от его поверхности составляют = 1,2·104 В; Е = 6·104 В / м. Определите энергию W шара. Решение Для определения энергии необходимо найти радиуса R шара и заряд Q на его поверхности. Находим их из известных соотношений: и . Тогда ; W = 4·10-4 Дж. Пример 5. 1) Сферическую тонкостенную оболочку радиуса R1, равномерно заряженную по поверхности зарядом Q, расширили до радиуса R2. Определите работу А12, совершенную при расширении силами ЭСП. Ответ: . 2) В центре сферической тонкостенной оболочки, по поверхности которой равномерно распределен заряд Q = 5 мкКл, расположен точечный заряд Q0 = 1,5 мкКл. Определите работу сил ЭСП при расширении оболочки, т.е. при увеличении ее радиуса от R1 = 50 мм до R2 = 0,1 м. Ответ: ; А12 = 1,8 Дж. Пример 6. Система проводников состоит из двух концентрических тонкостенных металлических оболочек радиусов R1 и R2 и зарядами на оболочках соответственно Q1 и Q2. Определите полную энергию W системы. Решение Полная энергия системы двух сфер есть сумма их собственных энергий и потенциальной энергии взаимодействия , каждое из слагаемых есть: ; ; . . Пример 7. 1) У плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними одна из пластин заземлена. Конденсатор заряжен и отключен от источника. Определите энергию 2-ой обкладки в ЭСП первой. Решение Потенциал ЭСП, создаваемого 1-ой (заземленной) обкладкой в месте расположения элементарных зарядов на 2-ой обкладке, равен . Потенциальная энергия элементарных зарядов на 2-ой обкладке в ЭСП первой составит . 2) Плоский конденсатор с пластинами площадью S = 0,02 м2 каждая и расстоянием между ними d = 0,5 см заполнен диэлектриком с = 4. Конденсатор заряжается до разности потенциалов = 0,1 кВ после чего отключается от источника. Какую работу необходимо затратить, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора? Решение Энергия конденсатора с диэлектриком , после извлечения диэлектрика . Искомая работа есть ; А = 2·10-8 Дж. 3) Пусть имеется плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S. Какую работу А12 против сил ЭСП надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от d1 до d2, если при этом поддерживать неизменными заряд Q на обкладках. Решение Работа внешних сил расходуется на изменение внутренней энергии конденсатора. Здесь существенно, что по условию Q = const, поэтому энергию удобно вычислять по формуле , тогда . Пример 8. 1) Максимальная электроемкость конденсатора настройки в радиоэлектронном устройстве равна 100 пФ (1 пФ = 1·10-12 Ф). Путем поворота подвижных пластин электроемкость конденсатора может быть уменьшена до 10 пФ. Предположим, что конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов = 0,3 кВ, когда его емкость максимальна. Затем ручка настройки поворачивается, и электроемкость конденсатора становится минимальной. Какая работа совершается при повороте ручки настройки? Решение Энергия заряженного конденсатора с электроемкостью С равна . Искомая работа (здесь внешней силы) равна разности энергий конденсатора после и до поворота ручки настройки, т. е. ; А = -4,1·10-6 Дж. 2) Максимальная электроемкость плоского конденсатора переменной электроемкости С1 = 400 пФ, минимальная — С2 = 2 пФ. Изменение электроемкости в этих пределах достигается поворотом рукоятки ротора на 1800, при этом подвижные пластины остаются параллельными неподвижным. Момент сил трения в подшипниках ротора М = 5,00 10-6 Н м. Какую работу надо совершить, чтобы изменить электроемкость конденсатора от максимальной до минимальной, если конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов = 100 В? Ответ: ; А=13,8 10-6 Дж. Пример 9. Пластины плоского многопластинчатого конденсатора площадью S = 20 см2 каждая разделены слюдяным диэлектриком ( = 6) толщиной d = 5 10-5 м. При разности потенциалов на конденсаторе = 0,33 кВ энергия ЭСП в нем W = 7,7·10-4 Дж. Определите электроемкость конденсатора и число N пластин. Ответ: ; С=3,21·10-8 Ф; ; ; N = 17. Пример 10. Число удаленных друг от друга ртутных капелек N = 100, радиусом r = 1 мм каждая заряжены до одинакового потенциала = 9 В. Капельки соединяются в одну большую радиуса R. Определите изменение W электростатической составляющей энергии капель. Решение Заряд на каждой капельке , и энергия всех удаленных друг от друга капелек . После слияния капель в одну заряды и объемы складываются, поэтому и , откуда . Энергия большой капли составит . Изменение энергии ; = 8,2·10-9 Дж. Пример 11. 1) Заряды на обкладках двух конденсаторов с электроемкостями С1 и С2 равны соответственно Q1 и Q2. Конденсаторы соединяют параллельно одноименными обкладками. Проанализируйте ситуацию и покажите, что при соединении конденсаторов энергия батареи уменьшается. Укажите на возможные «каналы» потери энергии. На основе полученного результата проанализируйте, возможна ли ситуация, при которой энергия не теряется. Решение Энергия конденсаторов до их соединения равна При параллельном соединении электроемкости конденсаторов складываются, поэтому энергия ЭСП батареи составит Изменение энергии при этом составит Уменьшение энергии произошло за счет ее излучения во внешнее пространство и превращения во внутреннюю энергию соединительных проводов (при перераспределении зарядов). Потери энергии не происходит, если Q1C2 = Q2C1. Иначе, это отвечает условию 2) Конденсатор с электроемкостью С1 = 1 мкФ, заряженный до разности потенциалов = 0,3 кВ, подключили параллельно к незаряженному конденсатору электроемкостью С2 = 2 мкФ. Вычислите изменение энергии системы конденсаторов после соединения их в батарею и установления в ней равновесия. Решение После соединения конденсаторов в батарею ее электроемкость увеличится до значения С = (С1 + С2), но заряд останется неизменным. Следовательно, изменение энергии составит 3) Два конденсатора с электроемкостями С1 = 6 и С2 = 4 мкФ соединены последовательно и вся батарея заряжена до разности потенциалов = 1·104 В. Затем конденсаторы отключаются от источника и соединяются в новую батарею параллельно одноименными обкладками. Определите изменение энергии батареи. Решение При последовательном соединении энергия . После параллельного соединения конденсаторов заряд на батарее , а ее электроемкость станет , поэтому энергия . Изменение энергии: ; = — 5 Дж. Пример 12. Точечный заряд Q = 3,0 мкКл находится в центре сферического слоя из диэлектрика с проницаемостью = 3,0. Внутренний радиус R1 cлоя составляет 0,25 см, внешний R2 = 0,5 м. Вычислите энергию W ЭСП в таком слое. Решение В тонком сферическом слое толщиной dr и радиуса содержится энергия Интегрируем далее это выражение по r в пределах от R1 до R2, получаем ; W = 27 мДж. Пример 13. Металлическому шару радиуса R1 сообщен заряд Q. Шар окружен сферическим диэлектрическим слоем из материала с проницаемостью ; наружный радиус слоя R2. Вся система находится в неограниченной однородной среде с проницаемостью . Определите энергию ЭСП заряженного шара. Определите энергетическую массу m ЭСП, заключенного в слое. Решение Разбиваем мысленно все пространство вокруг шара на сферические слои радиусов r, толщиной dr, объемом . Энергия ЭСП, заключенного в таком слое, составит , где есть объемная плотность энергии ЭСП. Используя результаты исследования структуры напряженности E(r) такой системы и после интегрирования, получаем . Для массы m ЭСП в слое согласно формуле Эйнштейна , имеем , где с0 = 3,0·108 м / с — скорость электромагнитных волн в вакууме. Поучительны цифровые оценки: если Q = 2·10-6 Кл, R1 = 0,1 м, R2 = 0,2 м, = 2, то m = 1·10-18 кг. Это намного больше, чем массы покоящихся электрона, протона, и др. Пример 14. Вычислите энергию Wp ЭСП между двумя эквипотенциальными поверхностями на расстояниях R1 = 5 и R2 = 10 см от весьма тонкого металлического провода длиной h = 1 м, линейная плотность заряда которого = 5·10-8 Кл / м. Решение Предполагаем здесь проводник достаточно длинным, поэтому краевыми эффектами пренебрегаем. В тонком воображаемом цилиндрическом слое радиуса r и толщиной dr, расположенном соосно с проводником, ЭСП обладает элементарной энергией . Интегрируя эти элементарные энергии в пределах от R1 до R2, получаем ; Wp = 1,6·10-5 Дж. наверх

online lernen & verstehen mit StudySmarter

Конденсатор — это устройство, которое может накапливать электрические заряды, а также может использоваться для защиты цепей от нежелательных всплесков. Теперь вы можете подумать, что батарея также делает это.

Однако в этом случае разница заключается в том, что батарея хранит энергию в форме химического потенциала, тогда как конденсаторы хранят энергию в форме электрического потенциала. Кроме того, ток утечки у конденсаторов выше, чем у аккумуляторов, а это означает, что конденсаторы не могут удерживать заряд так же долго, как аккумуляторы.

Конденсаторы.

Быстрое движение электронов между двумя пластинами конденсатора делает его очень полезным в электронных приложениях.

Конденсатор

Внутри конденсатора находятся две металлические пластины из проводящего материала, например алюминия. Эти пластины разделены изоляционным материалом, также известным как диэлектрик.

Прежде чем мы рассмотрим, как работает конденсатор, нам нужно понять концепцию поляризации.

Поляризация – это ориентация полярных молекул внутри диэлектрика по направлению к противоположным электродам.

Диэлектрик состоит из множества полярных молекул, которые имеют как положительный, так и отрицательный конец. Когда конденсатор не накапливает заряд, электрического поля нет, и эти молекулы случайным образом направлены в разные стороны.

Рис. 2. Случайные молекулы (вверху) и молекулы в электрическом поле (внизу). Источник: гиперфизика, Wikimedia Commons (общественное достояние).

При подаче напряжения на конденсатор создается электрическое поле. Положительные концы молекул притягиваются к отрицательно заряженной пластине и наоборот.

Поскольку диэлектрик является изолятором и молекулы не могут смещаться, поляризованные молекулы ориентируются таким образом, что противоположные заряды на молекулах и пластинах обращены друг к другу.

Рис. 3. Ориентация поляризованных молекул в электрическом поле. Источник: Brews ohare, Wikimedia Commons (CC BY-SA 3.0).

Поскольку электрическое поле поляризованных молекул противоположно направлению обкладок конденсатора, разность потенциалов уменьшается, а способность конденсатора накапливать заряд на единицу разности потенциалов увеличивается.

Возьмите батарейку и подсоедините отрицательный конец к отрицательному выводу конденсатора (обозначен полосой), а положительный конец к положительному выводу. Однако имейте в виду, что не все конденсаторы имеют маркировку полюсов. Если это так, они могут быть подключены в любом направлении в цепи.

Рисунок 4. Символ конденсатора. Источник: Wikimedia Commons (общественное достояние).

Заряды текут от батареи к отрицательной клемме конденсатора и от положительной пластины к положительной клемме батареи.

Рисунок 5. На диаграмме показано, как напряжение на пластинах и ток, протекающий через пластины, изменяются по мере заряда конденсатора. Источник: jjbeard, Wikimedia Commons (общественное достояние).

После того, как заряды перетекли от положительной пластины к батарее и от батареи к отрицательной пластине, дальнейший поток электронов невозможен, и одна сторона конденсатора заряжена отрицательно, а другая сторона заряжена положительно. Конденсатор находится на том же уровне напряжения, что и батарея.

Поскольку электроны накапливаются на одной стороне конденсатора, мы говорим, что он накапливает энергию, которую можно высвобождать, когда это необходимо.

Между пластинами конденсатора создается разность потенциалов, так как существует разница в количестве зарядов на пластинах.

Применение конденсатора

Заряженный конденсатор можно использовать для обеспечения непрерывного заряда цепи.

Например, когда мы подключаем светодиод к полностью заряженному конденсатору, заряды от отрицательной пластины конденсатора текут через светодиод к положительной пластине конденсатора до тех пор, пока между двумя клеммами не исчезнет разность потенциалов. В результате светодиод на короткое время мигнет.

Продолжительность вспышки будет очень короткой, так как поток электронов очень быстрый. Однако, если мы подключим батарею к конденсатору в этой цепи, конденсатор будет заряжаться и накапливать энергию и снова разряжаться, если в протекании тока возникнет какое-либо прерывание.

Измерение накопленной энергии

На конденсаторе есть два значения, одно показывает напряжение (В) и емкость в фарадах (Ф).

Конденсаторы на печатной плате.

Показание напряжения на конденсаторе указывает максимальное напряжение, которое он может выдержать. Если это значение превышено, есть вероятность, что конденсатор может сгореть, а иногда даже взорваться.

Емкость конденсатора

Каждый конденсатор имеет емкость, которая представляет собой его способность накапливать электрический заряд. Символом емкости является C, которая измеряется в фарадах. Фарады — это количество кулонов, которое может храниться на вольт:

Следовательно, емкость можно использовать для расчета заряда в кулонах:

• Q = электрический заряд.
• C = емкость.
• В = напряжение.

Формула емкости

Емкость можно рассчитать по следующей формуле:

• C = емкость, измеренная в кулонах на вольт (Ф).

• К = относительная диэлектрическая проницаемость, т. е. диэлектрическая проницаемость материала по отношению к диэлектрической проницаемости свободного пространства. Это выражается как εr/ε0, где εr — диэлектрическая проницаемость материала. Обычно указывается относительная диэлектрическая проницаемость. Например, воздух имеет диэлектрическую проницаемость 1,9.2 и разделены на 2,15 мм.

  Поскольку K не указан, мы примем его равным 1. Сложение других значений дает:

  Это может показаться очень маленькой емкостью, но на самом деле она огромна.

  Емкость (только A2) — основные выводы

  • Конденсатор — это проводник, который может накапливать заряд в электрической форме.

  • Каждый конденсатор имеет емкость, которая представляет собой количество заряда на единицу разности потенциалов.

  • Конденсатор используется для поддержания тока в цепи в случае прерывания.

  • Две проводящие пластины с диэлектрическим изолятором между ними образуют конденсатор.

  • Работа конденсатора заключается в накоплении отрицательных зарядов на одной пластине, что создает разность потенциалов между двумя пластинами.

  • Единицей измерения емкости являются фарады.

  Конденсаторы и емкость | Введение в…

  ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

  К концу этого раздела вы сможете:

  • Объясните понятия конденсатора и его емкости
  • Опишите, как оценить емкость системы проводников

  Конденсатор представляет собой устройство, используемое для хранения электрического заряда и электрической энергии. Он состоит как минимум из двух электрических проводников, разделенных расстоянием. (Обратите внимание, что такие электрические проводники иногда называют «электродами», но правильнее было бы назвать их «пластинами конденсатора».) Пространство между конденсаторами может быть просто вакуумом, и в этом случае конденсатор называется «вакуумный конденсатор». Однако пространство обычно заполняется изоляционным материалом, известным как 9.0021 диэлектрик . (Вы узнаете больше о диэлектриках в разделах, посвященных диэлектрикам, далее в этой главе.) Объем накопления в конденсаторе определяется свойством, называемым емкостью , о котором вы узнаете больше чуть позже в этом разделе.

  Применение конденсаторов варьируется от фильтрации статического электричества от радиоприема до накопления энергии в сердечных дефибрилляторах. Как правило, коммерческие конденсаторы имеют две проводящие части, расположенные близко друг к другу, но не соприкасающиеся, как показано на рис. 4. 1.1. В большинстве случаев между двумя пластинами используется диэлектрик. Когда клеммы батареи подключены к изначально незаряженному конденсатору, потенциал батареи перемещает небольшое количество заряда величиной 9.0003

  от положительной пластины к отрицательной. Конденсатор в целом остается нейтральным, но с зарядами

  и

  , расположенными на противоположных пластинах.

  (Рисунок 4.1.1)

  Рисунок 4.1.1 Оба показанных здесь конденсатора были изначально разряжены перед подключением к аккумулятору. У них теперь есть заряды и (соответственно) на их тарелках. а) Конденсатор с плоскими пластинами состоит из двух противоположно заряженных пластин площадью А, отстоящих друг от друга на расстоянии d. (b) Скрученный конденсатор имеет диэлектрический материал между двумя проводящими листами (пластинами).

  Система, состоящая из двух одинаковых пластин с параллельными проводниками, разделенных расстоянием, называется конденсатором с параллельными пластинами (рис. 4.1.2). Величина электрического поля в пространстве между параллельными пластинами равна

  , где

  — поверхностная плотность заряда на одной пластине (напомним, что σσ — заряд

  , приходящийся на площадь

  поверхности). Таким образом, величина поля прямо пропорциональна

  .

  (рис. 4.1.2)

  Рисунок 4.1.2 Разделение зарядов в конденсаторе показывает, что заряды остаются на поверхности пластин конденсатора. Линии электрического поля в конденсаторе с плоскими пластинами начинаются с положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами. Величина электрического поля в пространстве между пластинами прямо пропорциональна количеству заряда на конденсаторе.

  Конденсаторы с разными физическими характеристиками (такими как форма и размер пластин) сохраняют разное количество заряда при одном и том же приложенном напряжении

  на своих тарелках. Емкость

  конденсатора определяется как отношение максимального заряда

  , который может храниться в конденсаторе, к приложенному напряжению

  на его обкладках. Другими словами, емкость — это наибольшее количество заряда на вольт, которое может храниться на устройстве:

     (4.1.1)

  Единицей емкости в СИ является фарад (

  ), названный в честь Михаила Фарадей (1791–1867). Поскольку емкость — это заряд на единицу напряжения, один фарад равен одному кулону на один вольт, или

  .

  По определению, конденсатор

  способен хранить

  заряда (очень большое количество заряда), когда разность потенциалов между его пластинами составляет всего

  . Таким образом, один фарад — это очень большая емкость. Типичные значения емкости варьируются от пикофарад (

  ) до миллифарад (

  ), включая микрофарад (

  ).0003

  ). Конденсаторы могут изготавливаться различных форм и размеров (рис. 4.1.3).

  (рисунок 4.1.3)

  Рисунок 4.1.3 Вот некоторые типичные конденсаторы, используемые в электронных устройствах. Размер конденсатора не обязательно связан со значением его емкости.

  Расчет емкости

  Мы можем рассчитать емкость пары проводников с помощью следующего стандартного подхода.

  Стратегия решения проблем: расчет емкости

  1. Предположим, что конденсатор заряжен.
  2. Определите электрическое поле между проводниками. Если в расположении проводников присутствует симметрия, вы можете использовать закон Гаусса для этого расчета.
  3. Найдите разность потенциалов между проводниками из

        (4.1.2)

     где путь интегрирования ведет от одного проводника к другому. Тогда величина разности потенциалов равна .

  4. Если известно, получите емкость непосредственно из уравнения 4.1.1.

  Чтобы показать, как работает эта процедура, мы теперь рассчитаем емкости пластинчатых, сферических и цилиндрических конденсаторов. Во всех случаях мы предполагаем вакуумные конденсаторы (пустые конденсаторы) без диэлектрического вещества в пространстве между проводниками.

  Конденсатор с плоскими пластинами

  Конденсатор с плоскими пластинами (рис. 4.1.4) состоит из двух одинаковых проводящих пластин, каждая из которых имеет площадь поверхности

  , разделенные расстоянием

  . Когда к конденсатору прикладывается напряжение

  , он накапливает заряд

  , как показано на рисунке. Мы можем видеть, как его емкость может зависеть от

  и

  , рассматривая характеристики кулоновской силы. Мы знаем, что сила между зарядами увеличивается с увеличением заряда и уменьшается с расстоянием между ними. Следует ожидать, что чем больше пластины, тем больше заряда они могут хранить. Таким образом,

  должно быть больше для большего значения

  . Точно так же, чем ближе пластины друг к другу, тем сильнее притяжение к ним противоположных зарядов. Следовательно,

  должно быть больше для меньшего

  .

  (рис. 4.1.4)

  Рисунок 4.1.4 В конденсаторе с пластинами, расположенными на расстоянии , каждая пластина имеет одинаковую площадь поверхности .

  Определим поверхностную плотность заряда σσ на пластинах как

  Из предыдущих глав мы знаем, что при

  мало, электрическое поле между пластинами довольно однородно (без учета краевых эффектов), и его величина определяется выражением

  , где константа

  — это диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

  . Единица СИ

  эквивалентна

  . Поскольку электрическое поле

  между пластинами однородно, разность потенциалов между пластинами равна

  . Следовательно, уравнение 4.1.3 дает емкость плоского конденсатора как

     (4.1.3)

  Обратите внимание, что из этого уравнения емкость является функцией только геометрии и того, какой материал заполняет пространство между пластинами (в данном случае вакуум) этого конденсатора. На самом деле это верно не только для плоского конденсатора, но и для всех конденсаторов: Емкость не зависит от

  или

  . Если заряд меняется, соответственно изменяется и потенциал, так что

  остается постоянным.

  ПРИМЕР 4.1.1

  Емкость и заряд, накопленный в конденсаторе с плоскими пластинами

  (a) Какова емкость пустого конденсатора с плоскими пластинами с металлическими пластинами, каждая из которых имеет площадь

  , разделенных

  ? б) Какой заряд накопится в этом конденсаторе, если к нему приложить напряжение

  ?

  Стратегия

  Определение емкости

  является прямым применением уравнения 4.1.3. Как только мы найдем

  , мы можем найти накопленный заряд, используя уравнение 4.1.1.

  Раствор

  а. Ввод данных значений в уравнение 4.1.3 дает

  Это малое значение емкости показывает, насколько сложно изготовить устройство с большой емкостью.

  б. Инвертирование уравнения 4.1.1 и ввод известных значений в это уравнение дает

  Значимость

  Этот заряд лишь немного больше, чем в обычных приложениях статического электричества. Так как воздух разрушается (становится проводящим) при напряженности электрического поля около

  , на этом конденсаторе больше не может сохраняться заряд за счет увеличения напряжения.

  ПРИМЕР 4.1.2

  A 1-F Конденсатор с параллельными пластинами

  Предположим, вы хотите построить конденсатор с пластинами с емкостью

  . Какую площадь вы должны использовать для каждой тарелки, если тарелки разделены

  ?

  Решение

  Переставляя уравнение 4.1.3, получаем

  Каждая квадратная тарелка должна быть

  через. Раньше было обычным розыгрышем просить студента пойти на склад лаборатории и попросить конденсатор с плоскими пластинами

  , пока обслуживающему персоналу не надоела эта шутка.

  ПРОВЕРЬТЕ СВОИ ПОНИМАНИЯ 4.1

  Емкость плоского конденсатора равна

  . Если площадь каждой пластины

  , каково расстояние между пластинами?

  ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 4.2

  Убедитесь, что

  и

  имеют одинаковые физические единицы.

  Сферический конденсатор

  Сферический конденсатор представляет собой еще один набор проводников, емкость которых можно легко определить (рис. 4.1.5). Он состоит из двух концентрических проводящих сферических оболочек радиусами

  (внутренняя оболочка) и

  (внешняя оболочка). Снаряды получают равные и противоположные заряды

  и

  соответственно. Из-за симметрии электрическое поле между оболочками направлено радиально наружу. Мы можем получить величину поля, применив закон Гаусса к сферической поверхности Гаусса радиусом r концентрично с обечайками. Приложенный заряд

  ; поэтому имеем

  Таким образом, электрическое поле между проводниками равно

  Подставляем это

  в уравнение 4.1.2 и интегрируем по радиальному пути между оболочками:

  В этом уравнении разность потенциалов между пластинами равна

  . Подставим этот результат в уравнение 4. 1.1, чтобы найти емкость сферического конденсатора:

     (4.1.4)

  (рисунок 4.1.5)

  Рисунок 4.1.5 Сферический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих сфер. Обратите внимание, что заряды проводника находятся на его поверхности.

  ПРИМЕР 4.1.3

  Емкость изолированной сферы

  Рассчитайте емкость одиночной изолированной проводящей сферы радиусом

  и сравните ее с уравнением 4.1.4 в пределе как

  .

  Стратегия

  Предположим, что заряд на сфере равен

  , поэтому мы выполняем четыре шага, описанных ранее. Мы также предполагаем, что другой проводник представляет собой концентрическую полую сферу бесконечного радиуса.

  Решение

  Электрическое поле снаружи изолированной проводящей сферы определяется уравнением 4.1.2. Величина разности потенциалов между поверхностью изолированной сферы и бесконечностью равна

  Таким образом, емкость изолированной сферы равна

  Значимость

  Тот же результат можно получить, приняв предел уравнения 4. 1.4 как

  . Таким образом, отдельная изолированная сфера эквивалентна сферическому конденсатору, внешняя оболочка которого имеет бесконечно большой радиус.

  ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 4.3

  Радиус внешней сферы сферического конденсатора в пять раз больше радиуса его внутренней оболочки. Каковы размеры этого конденсатора, если его емкость равна

  ?

  Цилиндрический конденсатор

  Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров (рис. 4.1.6). Внутренний цилиндр радиусом

  может быть либо оболочкой, либо полностью цельным. Внешний цилиндр представляет собой оболочку с внутренним радиусом

  . Предположим, что длина каждого цилиндра равна

  и что избыточные заряды

  и

  находятся на внутреннем и внешнем цилиндрах соответственно.

  (рис. 4.1.6)

  Рисунок 4.1.6 Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Здесь заряд на внешней поверхности внутреннего цилиндра положителен (обозначен ), а заряд на внутренней поверхности внешнего цилиндра отрицателен (обозначен ).

  Без учета краевых эффектов электрическое поле между проводниками направлено радиально наружу от общей оси цилиндров. Используя поверхность Гаусса, показанную на рис. 4.1.6, мы имеем

  Следовательно, электрическое поле между цилиндрами равно

     (4.1.5)

  Здесь \hat{\mathrm{r}} — единичный радиальный вектор вдоль радиуса цилиндра. Подставим в уравнение 4.1.2 и найдем разность потенциалов между цилиндрами:

  Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора равна

     (4.1.6)

  Как и в других случаях, эта емкость зависит только от геометрии расположения проводника. Важным применением уравнения 4.1.6 является определение емкости на единицу длины коаксиальный кабель , который обычно используется для передачи изменяющихся во времени электрических сигналов. Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических цилиндрических проводников, разделенных изоляционным материалом. (Здесь мы предполагаем вакуум между проводниками, но физика качественно почти такая же, когда пространство между проводниками заполнено диэлектриком.) Такая конфигурация экранирует электрический сигнал, распространяющийся по внутреннему проводнику, от паразитных электрических полей, внешних по отношению к проводнику. кабель. Ток течет в противоположных направлениях во внутреннем и внешнем проводниках, при этом внешний проводник обычно заземлен. Теперь из уравнения 4.1.6 емкость на единицу длины коаксиального кабеля определяется как

  В практических приложениях важно выбрать конкретные значения

  . Этого можно добиться соответствующим выбором радиусов проводников и изоляционного материала между ними.

  ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 4.4

  Когда цилиндрический конденсатор получает заряд

  , между цилиндрами измеряется разность потенциалов

  . а) Чему равна емкость этой системы? (b) Если цилиндров

  длины, каково отношение их радиусов?

  На рис. 4.1.3 показаны несколько типов конденсаторов. Обычные конденсаторы часто изготавливают из двух небольших кусочков металлической фольги, разделенных двумя небольшими кусочками изоляции (см. рис. 4.1.1(b)). Металлическая фольга и изоляция покрыты защитным покрытием, а два металлических вывода используются для подключения фольги к внешней цепи. Некоторыми распространенными изоляционными материалами являются слюда, керамика, бумага и антипригарное покрытие Teflon™.

  Другим популярным типом конденсатора является электролитический конденсатор . Он состоит из окисленного металла в токопроводящей пасте. Основным преимуществом электролитического конденсатора является его высокая емкость по сравнению с другими распространенными типами конденсаторов. Например, емкость алюминиевого электролитического конденсатора одного типа может достигать

  Ом. Однако вы должны быть осторожны при использовании электролитического конденсатора в цепи, потому что он работает правильно только тогда, когда металлическая фольга находится под более высоким потенциалом, чем проводящая паста. Когда возникает обратная поляризация, электролитическое воздействие разрушает оксидную пленку. Конденсатор этого типа нельзя подключать к источнику переменного тока, потому что в половине случаев переменное напряжение будет иметь неправильную полярность, поскольку переменный ток меняет полярность (см. Цепи переменного тока в цепях переменного тока).

  Переменный воздушный конденсатор (рис. 4.1.7) имеет два набора параллельных пластин. Один набор пластин закреплен (обозначен как «статор»), а другой набор пластин прикреплен к валу, который может вращаться (обозначен как «ротор»). Поворачивая вал, можно изменить площадь поперечного сечения в области нахлеста пластин; следовательно, емкость этой системы может быть настроена на желаемое значение. Конденсаторная настройка находит применение в любом типе радиопередачи и при приеме радиосигналов от электронных устройств. Каждый раз, когда вы настраиваете автомобильный радиоприемник на любимую станцию, подумайте о емкости.

     (Рисунок 4.1.7)

  Рисунок 4.1.7 Емкость воздушного конденсатора переменной емкости можно регулировать, изменяя эффективную площадь пластин. (кредит: модификация работы Робби Спроула)

  Символы, показанные на рис. 4.1.8, представляют собой схемы различных типов конденсаторов. Обычно мы используем символ, показанный на рис. 4.1.8(а). Символ на рис. 4.1.8(c) обозначает конденсатор переменной емкости. Обратите внимание на сходство этих символов с симметрией плоского конденсатора. Электролитический конденсатор представлен символом на рис. 4.1.8(b), где изогнутая пластина указывает на отрицательную клемму.

     (Рисунок 4.1.8)

  Рисунок 4.1.8 Здесь показаны три различных схемы конденсаторов. Символ в (а) является наиболее часто используемым. Символ в (b) представляет собой электролитический конденсатор. Символ в (c) представляет собой конденсатор переменной емкости.

  Интересный прикладной пример модели конденсатора взят из клеточной биологии и касается электрического потенциала плазматической мембраны живой клетки (рис. 4.1.9).). Клеточные мембраны отделяют клетки от их окружения, но позволяют некоторым избранным ионам проходить внутрь или наружу клетки. Разность потенциалов на мембране составляет примерно

  . Клеточная мембрана может иметь толщину от

  до

  . Рассматривая клеточную мембрану как наноразмерный конденсатор, оценка наименьшей напряженности электрического поля на ее «пластинах» дает значение

  .

  Эта величина электрического поля достаточно велика, чтобы создать электрическую искру в воздухе.

     (Рисунок 4.1.9)

  Рисунок 4.1.9 Полупроницаемая мембрана биологической клетки имеет разные концентрации ионов на внутренней поверхности и на внешней поверхности. Диффузия перемещает ионы (калия) и (хлорида) в показанных направлениях до тех пор, пока кулоновская сила не остановит дальнейший перенос.