Чем отличается сила Ампера от силы Лоренца?

10 задача помогите срочно дам баллы ​

Помогите Пожалуйста!!! по Физике На рисунке представлен график зависимости силы тока от напряжения для некоторого проводника. Воспользовавшись графико … м, определите сопротивление этого проводника.

ФИЗИКА 7 КЛАСС помогите хоть кто нибудь( 1) Назовите известные вам типы линз. Приведите примеры устройств, в которых используют каждый тип линз (не ме … нее двух для каждого типа). 2) Постройте дальнейший ход лучей в собирающей линзе. 3) Постройте изображение стрелки в собирающей линзе. Охарактеризуйте полученное изображение.

Два автомобиля прошли одну дистанцию пути. Они одновременно вышли из исходного пункта и одновременно через 1 ч 20 мин пришли в конечный пункт, причем … первый автомобиль первую, меньшую часть времени шел со скоростью v1 = 100 км/час, а оставшуюся, большую – со скоростью v2 = 60 км/час. Второй автомобиль, напротив, сначала двигался со скоростью v2, а, затем, шел со скоростью v1. Определите протяженность пути, если наибольшая дистанция между автомобилями в процессе их движения составляла S = 20 км.

что такое амплитуда?

Гигантская межпланетная станция-зоопарк, вращающаяся по геостационарной орбите, заполнена воздухом и населена многими представителями фауны. В одном и … з залов орёл летел с постоянной скоростью 3 м/с на высоте 8 м над лентой транспортёра. Лента двигалась навстречу ему со скоростью 1 м/с. Орёл заметил точно под собой на ленте порцию мяса и спустился к ней за минимально возможное время, развивая в ходе спуска относительно станции постоянное ускорение, величина которого 1,5 м/с2. Найдите время спуска. Ответ запишите в секундах, округлив до сотых.​

На линзу падает сходящийся пучок лучей. После прохождения через линзу лучи пересекаются в точке, лежащей на расстоянии 0,15 м от линзы. Если линзу убр … ать, то точка пересечения лучей переместится на 4 см ближе к линзе. Определите фокусное расстояние Линзы.​

Помогите! Даю 60 баллов!!

Помогите! Даю 50 баллов!!

Три проволоки одинаковой длины и поперечного сечения, но из разных материалов, подключены в цепь последовательно. Какая из них нагреется меньше, если … проволока А изготовлена из молибдена, проволока Б — из никеля, а проволока В — из нихрома? Нагреется меньше проволока из … . никеля молибдена нихрома Не хватает информации.

Глава 22. Магнитные взаимодействия. Магнитная индукция.Силы Лоренца и Ампера

Если заряд движется, то наряду с электрическим полем он создает еще одно поле — магнитное, которое действует на другие движущиеся заряды. В результате возникает дополнительное (наряду с кулоновским) взаимодействие движущихся электрических зарядов, которое называется магнитным. В результате магнитного взаимодействия возникает взаимодействие проводников с током.

В 1820 г. датский физик Х. Эрстед обнаружил, что проводник с током действует на магнитную стрелку. После этого стало ясно, что магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов и токов и взаимодействие постоянных магнитов имеют одну и ту же природу. На основании подробных исследований А. Ампер установил, что взаимодействие постоянных магнитов между собой и с токами можно объяснить, если предположить, что внутри магнитов есть электрические токи (в настоящее время известно, что эти токи имеют внутримолекулярную природу).

Для характеристики магнитного поля вводится векторная величина, которая называется индукцией магнитного поля и которая позволяет найти силы, действующие со стороны магнитного поля на движущиеся заряды. Как правило, эту величину обозначают буквой . Для нахождения индукции в каждой точке магнитного поля, созданного проводником с током, используется закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти поле , созданное бесконечно малым элементом проводника, а принцип суперпозиции требует сложить векторы индукции, созданные всеми элементами проводников. Закон Био-Савара-Лапласа в школьный курс физики, однако, не входит. В задачи ЕГЭ входят только вопросы, связанные с направлением вектора магнитной индукции (но не с величиной). Существует несколько вариантов правила нахождения направления вектора . Наиболее удобным является правило буравчика — оно более универсально, чем правило левой руки. Правило буравчика утверждает, что если вкручивать

правыйбуравчик¹ по току в проводнике, то направление движения ручки в каждой точке пространства покажет направление вектора индукции магнитного поля в этой точке. Относительно величины достаточно помнить, что чем дальше от проводника, тем меньше индукция, и что внутри бесконечной катушки (бесконечного соленоида) магнитное поле направлено вдоль оси катушки и однородно.

Магнитное поле можно изобразить графически с помощью линий магнитной индукции. Линии магнитной индукции — воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора в этой точке. Линии магнитной индукции проводят так, что их густота в каждой области пространства пропорциональна величине индукции в этой области. В отличие от силовых линий электрического поля линии магнитной индукции всегда являются замкнутыми.

На электрический заряд величиной , движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией , со стороны магнитного поля действует сила, которая называется силой Лоренца

(22.1)

где — угол между скоростью и вектором индукции. Направление силы Лоренца определяется следующим образом (см. рисунок).

1. Сила Лоренца перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда и индукции магнитного поля (на рисунке эта плоскость показана тонким пунктиром).

2. Выбор между двумя перпендикулярными направлениями осуществляется с помощью правила буравчика (или правила левой руки): если вращать правый буравчик так, что его ручка движется от вектора к вектору , то направление его вкручивания указывает направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд (траектория ручки буравчика показана на рисунке изогнутой стрелкой).

3. Для отрицательного заряда направление силы Лоренца противоположно.

Можно также определять направление силы Лоренца по правилу левой руки: левую руку нужно расположить так, чтобы вектор входил в ладонь, направление четырех пальцев совпадало с направлением вектора скорости заряда, тогда направление отогнутого под прямым углом к четырем пальцам большого пальца покажет направление силы, действующей на положительный заряд (на отрицательный заряд действует сила противоположного направления).

Поскольку магнитное поле действует на движущиеся заряды, то магнитное поле действует и на проводник, по которому течет электрический ток. Если в магнитном поле с индукцией находится проводник длиной , по которому течет ток , то на этот проводник действует сила

(22.2)

где — угол между током и вектором индукции. Направлен вектор силы (22.2) перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектор и проводник, причем в таком направлении, что если поставить правый буравчик перпендикулярно указанной плоскости и вращать его так, что ручка вращается от тока к вектору , то направление его вкручивания покажет направление силы (см. рисунок; плоскость в которой лежат проводник и вектор индукции обозначена тонким пунктиром, движение ручки буравчика — изогнутой стрелкой). Также для нахождения направления силы можно использовать правило левой руки. Сила (22.2), действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, называется силой Ампера.

Рассмотрим теперь задачи.

Правильный ответ в задаче 22.1.1 — 4 (магнитное поле создается движущимися заряженными телами), в задаче 22.1.2 — 2 (в магнитном веществе есть незатухающие электрические токи). Что же касается того, заряжен магнит или нет, то от этого существование магнитного поля (если магнит покоится) не зависит.

В задаче 22.1.3

следует воспользоваться правилом буравчика. Если вкручивать буравчик по направлению тока в проводнике, то в точке его ручка будет двигаться за чертеж. Следовательно, за чертеж направлен в точке и вектор индукции магнитного поля (ответ 1).

Если вкручивать буравчик по току в кольце (в любой точке кольца), то ручка буравчика в центре кольца будет двигаться за чертеж. Поэтому правильный ответ в задаче 22.1.4 — 3.

Поскольку угол между скоростью заряда и вектором магнитной индукции равен нулю (задача 22.1.5), то согласно формуле (22.1) сила Лоренца, действующая на этот заряд, равна нулю (ответ 4).

Применим к проводнику с током из задачи 22.1.6 формулу (22.2) для силы Ампера. Имеем (ответ

2).

Как следует из формулы (22.2) сила Ампера равна нулю, если угол между током и индукцией равен нулю или 180°. Из приведенных на рисунке в задаче 22.1.7 проводников, таковым является только проводник 1. Поэтому на него магнитное поле не действует (ответ 1).

Применяем к частице из задачи 22.1.8 (см. рисунок) правила нахождения направления силы Лоренца (пункты 1-3 после формулы (22.1)). Во-первых, сила Лоренца направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда и индукции магнитного поля — т.е. либо за чертеж, либо на нас. Во-вторых, при вращении ручки буравчика, поставленного на чертеж в ту точку, где находится заряд, от вектора к вектору (в направлении меньшего угла между ними), буравчик будет «выкручиваться» из чертежа. А по-скольку частица заряжена положительно, сила Лоренца направлена «на нас» (ответ

1).

Используя правила для силы Ампера (формула (22.2) и текст после нее), найдем, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током в задаче 22.1.9, направлена «от нас» (ответ 3).

В задаче 22.1.10 следует сначала найти направление вектора магнитной индукции поля провода в той точке, где находится заряд, а затем использовать правила для силы Лоренца (формула (22.1) и текст за ней). Согласно результатам задачи 22.1.3, вектор в той точке, где находится заряд, направлен за чертеж (см. рисунок).

Вектор силы Лоренца направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. либо к проводу, либо от него. Ставим буравчик перпендикулярно этой плоскости и вращаем его так, что ручка движется от вектора к вектору (см. рисунок; буравчик нужно вращать по часовой стрелке, если смотреть снизу). При таком вращении буравчик будет вкручиваться вверх. А поскольку электрон заряжен отрицательно, то действующая на него сила направлена противоположно, т.е. от провода (ответ 2).

В задаче 22.2.1 используем принцип суперпозиции. Ток в горизонтальном кольце создает поле в его центре с индукцией, направленной вверх, ток в вертикальном кольце — с индукцией, направленной вправо (см. задачу 22.1.4.). Результат сложения этих векторов — индукция суммарного магнитного поля — направлена на «северо-восток» (ответ 1).

Ток в верхнем проводе (задача 22.2.2) создает поле с индукцией, направленной «за чертеж», ток в нижнем — «на нас». Результат их сложения зависит от величин этих векторов. Поскольку поле нижнего провода в точке больше поля верхнего (меньше расстояние), то вектор суммы направлен «на нас» (ответ 1).

Сила Лоренца в любой момент времени перпендикулярна скорости частицы. Поэтому угол между бесконечно малым перемещением частицы в любой момент времени и силой Лоренца, действующей на частицу в этот момент времени, — прямой. А поскольку в формулу для работы силы на бесконечно малом участке перемещения входит косинус угла между силой и перемещением, то работа силы Лоренца равна нулю (задача 22.2.3 — ответ 3). Из этих рассуждений и теоремы об изменении кинетической энергии следует, что заряженная частица, движущаяся под действием магнитного поля, изменяет направление, но не величину своей скорости.

Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то она движется по окружности, причем эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции. Радиус окружности можно найти из второго закона Ньютона для этой частицы

(22.3)

где и — масса частицы и ее заряд, — ускорение, — скорость, которая не изменяется по величине (см. предыдущую задачу), — индукция магнитного поля. В формуле (22.3) использовано известное выражение для центростремительного ускорения . Из формулы (22.3) получаем для радиуса окружности

(22.4)

Применяя формулу (22.4) к задаче 22.2.4 находим отношение радиусов окружности первой и второй частиц

(ответ 2).

Найдем сначала скорости протона и -частицы, ускоренных одним и тем же напряжением (задача 22.2.5). По теореме об изменении кинетической энергии имеем

где и — масса частицы и ее заряд, — скорость, которую частица приобретает после разгона (здесь предполагается, что начальная скорость частицы равна нулю). Из этой формулы находим отношение скоростей протона и -частицы , ускоренных одним и тем же напряжением

Поскольку заряд протона вдвое меньше заряда -частицы, а масса вчетверо меньше, то . Теперь из формулы (22.4) находим отношение радиусов окружности протона и  -частицы, ускоренных одним и тем же электрическим напряжением и движущихся в одном и том же магнитном поле

(ответ 4).

Период обращения заряженной частицы в магнитном поле (задача 22.2.6) можно найти из следующих соображений. В однородном магнитном поле частица движется по окружности и за период проходит путь, равный длине этой окружности , где — ее радиус. Используя формулу (22.4) для радиуса траектории, получим для периода обращения

где — скорость частицы, — ее масса, — заряд, — индукция магнитного поля. Отсюда заключаем, что период обращения заряженной частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости (ответ 3).

Индукция магнитного поля в задаче 22.2.7 должна быть направлена так, чтобы сила Лоренца, действующая на электрон, была направлена к центру окружности, по которой он движется (см. рисунок). А поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости и индукции, то вектор индукции может быть направлен в этой ситуации только «за чертеж» или «на нас». Воспользуемся далее правилом буравчика (см. текст после формулы (22.1)): если вращать буравчик так, что его ручка будет вращаться от скорости заряда к индукции магнитного поля , то направление его вкручивания указывает направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд. Для электрона ( < 0) направление силы противоположно. Непосредственной проверкой убеждаемся, что вектор индукции направлен «за чертеж» (ответ 4).

В области среднего провода (задача 22.2.8) ток в верхнем проводе создает магнитное поле с индукцией, направленной «от нас», ток в нижнем — «на нас» (см. задачу 22.1.3). Но ток в нижнем проводе вдвое меньше тока в верхнем, а индукция поля — пропорциональна току. Поэтому индукция суммарного поля верхнего и нижнего проводов в области среднего провода направлена «от нас». Согласно правилам нахождения направления силы Ампера (см. текст после формулы (22.2)) находим, что сила, действующая на средний провод со стороны магнитного поля верхнего и нижнего проводов, направлена вверх (ответ 1). Отметим, что из приведенных рассуждений также следует, что два параллельных провода, по которым текут токи одинакового направления притягиваются, противоположного — отталкиваются.

В задаче 22.2.9 магнитное поле действует на рамку следующим образом. На стороны и , которые параллельны линиям индукции, поле не действует. На стороны и действуют силы Ампера, равные по величине , где — ток в рамке, — индукция магнитного поля, — длина стороны. Сила, действующая на сторону , направлена «на нас», на сторону — «от нас». Поскольку суммарная сила, действующая на рамку, равна нулю, как целое рамка перемещаться в пространстве не будет, а будет вращаться вокруг оси, показанной на рисунке пунктиром (ответ 4).

Задача 22.2.10 по формуле (22.2) находим силы Ампера, действующие на стороны треугольника

где — ток в контуре, и — длины сторон и , — индукция магнитного поля (последняя из приведенных формул следует из того, что сторона параллельна линиям индукции). Из теоремы синусов для треугольника

заключаем, что , а из правил для направления силы Ампера — что один из векторов или направлен «за чертеж», один — «на нас» (в зависимости от направления тока в контуре). Поэтому правильный ответ в задаче — 3.

«Магнитное поле. Закон Ампера. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца »

Магнитное поле, закон Ампера, сила Лоренца

Преподаватель физики первой квалификационной категории Рыльского филиала ОБПОУ «КБМК»

Ткачева Надежда Михайловна

Цели урока:

• Формирование понятий «магнитное поле», «индукция магнитного поля», «силовые линии магнитного поля», умения применять полученные знания к анализу магнитных явлений
• Ознакомление с законом Ампера, силой Лоренца
• Формирование умения анализировать, устанавливать связи между элементами ранее изученного и нового материала по теме «Электромагнитные явления»

Опыты Эрстеда (1820 г.)

• Эти опыты показали, что на магнитную стрелку, расположенную вблизи проводника с током, действуют силы, которые стремятся повернуть стрелку .

Эрстед Ханс Кристиан (1777 – 1851)

• Датский физик, иностранный почетный член Петербургской академии наук. Труды по электричеству, акустике, молекулярной физике. Открыл магнитное действие электрического тока.

Опыты Ампера (1820 г.)

 

• французский физик А. Ампер наблюдал силовое взаимодействие двух проводников с токами и установил закон взаимодействия токов.

Ампер Андре Мари (1775 – 1836)

• Один из основоположников электродинамики. Открыл механическое взаимодействие токов и установил закон этого взаимодействия (закон Ампера). Построил первую теорию магнетизма.

Тема занятия

Магнитное поле, закон Ампера, сила Лоренца

Выводы из опытов

• Магнитная стрелка отклонилась под действием магнитного поля, которое возникло вокруг проводника с током.
• Магнитное поле одного проводника действует на второй проводник, магнитное поле второго проводника действует на первый проводник.
• Гипотеза Ампера: магнитные свойства постоянных магнитов объясняются множеством круговых токов, циркулирующих внутри молекул этих тел.

Магнитное поле – особый вид материи, возникающий вокруг движущихся электрических зарядов и проявляющийся по действию на них.

Свойства магнитного поля

• Материально
• Порождается электрическим током, т.е. движущимися электрическими зарядами
• Обнаруживается по действию на движущиеся электрические заряды (электрический ток) или магнитную стрелку

Магнитная индукция

Силовой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция. Обозначается буквой В и измеряется в теслах ( Тл). Магнитная индукция – векторная физическая величина, равная отношению силы F в 1 Н со стороны магнитного поля, действующей на проводник с током I в 1 А при длине проводника l = 1 м.

Вектор магнитной индукции

• Направление вектора магнитной индукции задается направлением магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля. Оно совпадает с направлением, которое указывает северный полюс стрелки.

Линии магнитной индукции

• Линии магнитной индукции – линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлением вектора магнитной индукции
• Линии магнитной индукции замкнуты, выходят из северного полюса и входят в южный полюс

Магнитное поле прямого тока (проводника с током)

• Концентрические окружности с центром в проводнике
• Направление вектора магнитной индукции определяется по первому правилу буравчика или по правилу правой руки

 

Правило буравчика

• Если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением линий магнитного поля тока

Правило буравчика

Если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Правило правой руки

Правило правой руки:

если прямой проводник обхватить ладонью так, чтобы отогнутый большой палец указывал направление тока в проводнике, то оставшиеся пальцы укажут направление вектора магнитной индукции.

Правило правой руки для соленоида

• Если правую руку расположить так, чтобы четыре пальца показывали направление тока в соленоиде, то отогнутый большой палец покажет направление линий магнитного поля

Закон Ампера

• На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки

Применение силы Ампера

В магнитном поле возникает пара сил, момент которых приводит катушку во вращение

Сила Лоренца

• На движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, направление которой определяется по правилу левой руки

Лоренц Хендрик Антон (1853 – 1928)

• Нидерландский физик и математик, создатель электронной теории. Нашел (1904) наиболее общие

преобразования пространственных координат времени (преобразования Лоренца).

Правило левой руки для силы Лоренца

• левую руку расположить так, чтобы четыре вытянутых пальца показали направление скорости положительно заряженной частицы, линии магнитной индукции входили в ладонь, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца

Северное сияние — проявление действия силы Лоренца

Применение силы Лоренца: Масс- спектрограф

ЭЛТ осциллографа

Определение направления вектора магнитной индукции .

⊗

⊙

+

_

Определение направление вектора магнитной индукции.

Определение магнитных полюсов катушки с током.

S

N

1. Определите направление действия силы Лоренца

1

5

▪

2

4

6

х

3

а) 1 б) 2 в) 3

г) 4 д) 5 е) 6

32

Определите направление действия силы Лоренца

1

5

х

2

4

6

▪

3

а) 1 б) 2 в) 3

г) 4 д) 5 е) 6

Определите направление действия силы Лоренца

1

5

х

4

3

6

▪

2

а) 1 б) 2 в) 3

г) 4 д) 5 е) 6

Домашнее задание

§§ 1 -6

Спасибо

за работу

на уроке!

Сила Лоренца

Сила, действующая на точечную заряженную частицу со стороны электромагнитного поля, называется силой Лоренца.

Теория Лоренца

Хендрик Антон Лоренц

В 1892 г. голландский физик-теоретик Хендрик Антон Ло́ренц опубликовал работу «Электромагнитная теория Максвелла и её применение к движущимся телам», в которой объединил теорию поля и созданную им теорию электронного строения вещества. Лоренц предположил, что все молекулы вещества состоят из частиц, имеющих электрический заряд. Величина этих зарядов одинакова. Но одни из них заряжены отрицательно, другие положительно. Все эти элементарные заряды создают микроскопические электромагнитные поля, которые описываются уравнениями Максвелла.

Конечно, теория Лоренца имела недостатки и отличалась от современной электронной теории. Но в этой работе учёный вывел формулу силы, действующей на электрический заряд со стороны электромагнитного поля. Эту силу впоследствии назвали силой Лоренца.

Но что же такое электрический ток? Это направленное движение электрических зарядов. И если на каждую заряженную частицу действует сила Лоренца, то на отрезок проводника с током в электромагнитном поле должна действовать сила, величина которой равна сумме всех сил Лоренца, действующих на заряды, образующие электрический ток в проводнике.

И такая сила была открыта задолго до Лоренца. Ещё не зная о существовании силы, действующей на отдельный электрический заряд, французский физик Мари Андре Ампер в 1820 г. описал силу, действующую со стороны электромагнитного поля на проводник с током. Её назвали силой Ампера.

Сила Ампера

Существование силы Ампера подтверждает простой опыт. 

Если поместить между полюсами магнита проводник и пропустить по нему электрический ток, то можно увидеть, что проводник отклоняется от своего исходного положения. Это означает, что со стороны магнитного поля на него действует сила. Эта сила называется силой Ампера. Её величина определяется законом Ампера: «Со стороны магнитного поля на проводник с током действует сила, величина которой прямо пропорциональна силе тока, длине проводника в магнитном поле, модулю вектора магнитной индукции и синусу угла между вектором магнитной индукции и направление тока в проводнике». Математическое выражение этого закона выглядит так:

F_A = I·l·В·sinα,

где I – величина тока в проводнике;

l – длина проводника с током в магнитном поле;

В – магнитная индукция;

α — угол между вектором магнитной индукции и направление тока в проводнике.

Связь между силой Ампера и силой Лоренца

Действуя на проводник с током, магнитное поле воздействует на каждую заряженную частицу, создающую этот ток. А сила Ампера действует на весь проводник. Таким образом, сила Ампера равна сумме всех сил Лоренца, действующих на проводник с током.

F_A = F·N

где F – сила Лоренца;

 N — число частиц.

Отсюда F = F_A/N

I = nqvS

N = nSl

Подставив эти выражения в формулу, получим выражение для силы Лоренца в магнитном поле:

F = qvBˑsinα.

Это выражение позволяет вычислить силу Лоренца в магнитном поле. Но магнитное поле не существует отдельно. Изменяясь, вместе с электрическим полем они порождают друг друга, образуя электромагнитное поле. А оно в каждой точке своего пространства характеризуется напряжённостью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В. И если электрически заряженная частица движется в электромагнитном поле, то на неё одновременно действуют и электрическое, и магнитное поле. Значит, величина силы Лоренца, действующая со стороны электромагнитного поля на частицу с зарядом q, движущуюся со скоростью v, зависит от этих величин:

 F = q(E + v x B). 

F, E, v и B) – векторные величины. 

v x B – векторное произведение скорости движения частицы и индукции магнитного поля.

Направление силы Лоренца, как и силы Ампера, определяют с помощью правила левой руки: «Если расположить ладонь левой руки таким образом, чтобы линии магнитного поля входили в неё перпендикулярно, а 4 пальца направить в сторону движения частицы с положительным зарядом, или против движения частицы с отрицательным зарядом, то отогнутый на 90⁰ большой палец покажет направление силы Лоренца».

Если заряженная частица движется параллельно силовым линиям магнитного поля, то величина силы Лоренца равна нулю, так как в этом случае α = 0, следовательно, sinα = 0

F = qvBˑsinα = 0.

Если же направление движения частицы перпендикулярно силовым линиям, то частица будет двигаться по окружности радиусом r, а сила Лоренца направлена к её центру, то есть является центростремительной силой.

Согласно второму закону Ньютона сила Лоренца равна mv²/r.

Отсюда

 

При движении частицы под углом к силовым линиям её траектория представляет собой винтовую (спиральную) линию, имеющую радиус r и шаг винта h.

 

Сила Лоренца не совершает работы, так как её направление всегда перпендикулярно направлению движения заряда.

Сила Лоренца в технике

Основное применение сила Лоренца нашла в электротехнике.

На явлениях электромагнитной индукции и силы Лоренца основана работа электродвигателей и генераторов. Возникая в электромагнитном поле статора, она приводит во вращение ротор.

Воздействие силы Лоренца на электроны используют в работе электронно-лучевых трубок (кинескопов), где магнитное поле, созданное специальными катушками, изменяет траекторию электронов. С помощью этой силы можно задавать орбиту движения частиц, что позволяет применять её в ускорителях заряженных частиц.

 

СТО — сила Лоренца в разных системах отсчета?

Я знакомился со специальной теорией относительности и релятивистской электродинамикой и меня заинтересовало сходство электрических и магнитных сил. Я пытаюсь показать, что объединенные магнитные и электрические силы Лоренца, оказываемые движущимся слоем заряда на движущийся заряд, равны электрической силе, действующей на систему в сопутствующей системе отсчета, но я где-то ошибся.Буду признателен за помощь.

Бесконечный (или очень большой) заряженный лист будет оказывать чисто электрическую силу на противоположно заряженный точечный заряд на некотором расстоянии над ним. Сила будет указывать в отрицательном направлении z и будет равна

.

$$ F = \ frac {Q \ sigma} {2 \ epsilon_0} $$

Однако сила предположительно должна быть одинаковой во всех системах отсчета, где заряженный лист и точечный заряд движутся вправо (в положительном направлении x) со скоростью $ v $. 2} \ right) $$

Я получаю $$ F = \ frac {Q \ sigma} {2 \ epsilon_0} \ left (\ frac {\ gamma} {\ gamma} \ right) $$

Что явно неверно.Я просто пытаюсь понять, в чем моя ошибка. Я изучаю материал, но еще не имею твердого представления о графической или четырехвекторной теории СТО, так что это может быть неправильное понимание с моей стороны.

Спасибо.

электромагнетизм — В чем разница между магнитными полями $ H $ и $ B $?

Поля $ \ bf E $ и $ \ bf B $ являются фундаментальными составляющими электромагнитного поля. Они определяют поле через его эффекты, создавая силу, действующую на заряд $ q $: $$ {\ bf f} = q ({\ bf E} + {\ bf v} \ times {\ bf B}).$$ В принципе, можно осуществить весь электромагнетизм, используя только эти поля.

Однако в материальной среде (например, в стекле, металле, полупроводнике, газе и т. Д.) Эти поля очень сложны. Они сильно различаются по шкале расстояний между атомными промежутками, становясь огромными вблизи атомных ядер и меньшими в других местах. Таким образом, большую часть времени мы не обрабатываем поля в точке, а скорее усредняем область пространства порядка нескольких атомных расстояний (например, нанометр в твердом теле или более крупную область в газе).Здесь в игру вступают другие вещи, такие как поляризация $ \ bf P $ и намагниченность $ \ bf M $. Если мы разделим заряд в любой области на часть, связанную с маленькими электрическими диполями (называемую связанным зарядом), и остальную часть (называемую свободным зарядом), то мы получим $$ q _ {\ rm tot} = q _ {\ rm bound} + q _ {\ rm free} $$ поэтому первое уравнение Максвелла читается как $$ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf E} = \ frac {q _ {\ rm b} + q _ {\ rm f}} {\ epsilon_0} $$ где я использовал индексы $ b $ и $ f $ для «связанных» и «свободных». Теперь основной результат (который можно доказать с помощью небольшой стандартной манипуляции, это первый год бакалавриата): $$ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf P} = -q _ {\ rm b} $$ где $ \ bf P $ — дипольный момент единицы объема, называемый поляризацией.Отсюда следует, что $$ {\ bf \ nabla} \ cdot (\ epsilon_0 {\ bf E} + {\ bf P}) = q _ {\ rm f}. $$ Что ж, посмотри на это! Правая сторона хороша и проста, потому что включает только бесплатную плату, и часто бывает, что мы с самого начала знаем, сколько там бесплатной зарядки. Может даже и вовсе не быть! (например, световая волна, распространяющаяся в стекле в обычных условиях). Поэтому мы решили дать комбинацию $ (\ epsilon_0 {\ bf E} + {\ bf P}) $ собственный символ: мы называем его $ \ bf D $. Так вводится поле $ \ bf D $ и связанное с ним уравнение $$ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf D} = q _ {\ rm f}.

$

История с $ \ bf H $ похожа. Сначала мы выводим путем анализа, что намагниченность связана с частью общей ток, который вызывается небольшими токовыми петлями, с другими вкладами, обусловленными свободным током и изменениями диполей. Главный результат этого вывода состоит в том, что полный ток можно разделить на $$ {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {\ rm tot} = \ mathbf {j} _ {\ mathrm {f}} + \ nabla \ times \ mathbf {M} + {\ frac {\ partial \ mathbf {P} } {\ partial t}}}. $$ Затем мы используем это в четвертом уравнении Максвелла и замечаем, что удобный способ записать уравнение — дать комбинацию $ {\ bf B} / \ mu_0 — {\ bf M} $ собственная буква ($ \ bf H $), и мы приходим к $$ {\ bf \ nabla} \ times {\ bf H} = {\ bf j} _ {\ rm f} + \ frac {\ partial \ bf D} {\ partial t}.$$ Опять же, это удобно, потому что часто мы хотим решать проблемы, не беспокоясь о том, что делают ток намагничивания и связанный заряд.

Итак, в заключение, поля $ \ bf E $ и $ \ bf B $ являются основными полями. (Вместе они составляют тензор, называемый тензором поля, но вам не нужно об этом знать.) Поля $ \ bf D $ и $ \ bf H $ вводятся из соображений математического удобства и связанных с ним физических представлений . Они особенно полезны при рассмотрении конденсаторов, катушек индуктивности и электромагнитных волн, распространяющихся в среде, когда известны свободный заряд и свободный ток.

Два других уравнения Максвелла не связаны с источниками, поэтому они не затрагиваются. Они есть $$ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf B} = 0 $$ и $$ {\ bf \ nabla} \ times {\ bf E} = — \ frac {\ partial \ bf B} {\ partial t} $$ Обратите внимание, например, что $ \ bf B $, а не $ \ bf H $, имеет нулевую дивергенцию. Таким образом, линии $ \ bf B $ всегда проходят в замкнутых циклах, но линии $ \ bf H $ не нуждаются в этом, если вокруг есть некоторая намагниченность. Аналогичным образом, если некоторая среда не несет бесплатного заряда, тогда поле $ \ bf D $ работает замкнутыми циклами (или оно может быть нулевым), а поле $ \ bf E $ — нет.

По полезности

Поля $ \ bf D $ и $ \ bf H $ полезны при рассмотрении таких вещей, как конденсаторы и индукторы, но они действительно проявляют себя при рассмотрении электромагнитных волн в диэлектрических средах. Без них было бы сложно рассчитывать такие вещи, как коэффициенты отражения. И они также проявляют себя по-своему при рассмотрении энергии. Например, поток энергии задается вектором Пойнтинга. $$ {\ bf S} = \ frac {1} {\ mu_0} {\ bf E} \ times {\ bf B} — {\ bf E} \ times {\ bf M} $$ — довольно хитрая формула.Но насколько это проще в терминах $ \ bf E $ и $ \ bf H $: $$ {\ bf S} = {\ bf E} \ times {\ bf H}.

$

Об относительной диэлектрической проницаемости и магнитной проницаемости

У нас всегда есть $ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf H} = — {\ nabla} \ cdot {\ bf M} $ и $ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf B} = 0 $. Но это означает, что часто будет невозможно написать $ {\ bf B} = \ mu_0 \ mu_r {\ bf H} $, поэтому ответы, которые только ссылаясь на эту формулу, отсутствует большая часть физики. В частности, вы обычно не можете использовать $ {\ bf B} = \ mu_0 \ mu_r {\ bf H} $, когда думаете о постоянных магнитах.

В случае постоянного магнита у вас есть статический корпус без свободного тока, поэтому $ {\ bf \ nabla} \ times {\ bf H} = 0 $, что означает интеграл $ {\ bf H} $ вокруг цикла равно нулю, но это не будет верно для $ \ bf B $, поэтому между ними нет простой пропорциональности. Однако во многих простых аморфных средах бывает, что при малых полях $ {\ bf M} \ propto {\ bf H} $. Таким образом, в этом случае $ {\ bf B} $ также пропорционален $ {\ bf H} $, поэтому мы можем ввести относительную проницаемость $ \ mu_r $, определяемую уравнением $$ {\ bf B} = \ mu_0 \ mu_r {\ bf H}.$$ Это полезное уравнение, но его действие гораздо более ограничено, чем у других, которые я написал выше. (На самом деле мы также можем использовать этот результат несколько более широко в нелинейных материалах, где $ \ bf M $ не пропорционален $ \ bf H $, но находится в том же направлении; в этом случае $ \ mu_r $ будет зависеть от $ {\ bf H} $.) Аналогично, простые диэлектрические среды будут иметь поляризацию, пропорциональную $ \ bf E $, и, следовательно, $ \ bf D $, пропорциональную $ \ bf E $, поэтому мы определяем относительную диэлектрическую проницаемость $ \ epsilon_r $: $$ {\ bf D} = \ epsilon_0 \ epsilon_r {\ bf E}.

$

Но в чем разница между $ \ bf B $ и $ \ bf H $ в физическом выражении?

$ {\ bf B} $ — это поле, которое дает силу движущемуся заряду, и это поле, которое индуцируется изменяющимся электрическим полем. Это тот, который участвует в электромагнитной индукции. Его интеграл по поверхности — это поток.

$ \ bf H $ — это поле, которое легко вычисляется по заданному количеству свободного тока, и составляющая $ \ bf H $ вдоль границы не изменяется при переходе от одной среды к другой (если нет поверхности свободный ток).Это делает $ \ bf H $ полезным при вычислении того, что делают электромагнитные волны, а также для отслеживания движений энергии с помощью вектора Пойнтинга $ {\ bf S} = {\ bf E} \ times {\ bf H} $.

Постоянный магнит имеет $ \ bf B $, бегущий по петлям, и $ \ bf H $, следующий за $ \ bf B $ снаружи, но не внутри магнита, таким образом, что его интеграл вокруг петли равен нулю. (если поблизости не течет ток), ср. Направление H и B внутри и снаружи стержневого магнита

Кусок стекла, в котором распространяются световые волны, имеет как $ \ bf B $, так и $ \ bf H $.Если у вас есть индуктор, сделанный из соленоида с фиксированным током, тогда, когда вы вставляете кусок стекла в цилиндр (сохраняя постоянный ток), значение $ \ bf H $ не изменяется, а значение $ \ bf B $ делает. А если вставить кусок мягкого железа, значение $ \ bf B $ сильно изменится.

Комментарий к агрегатам и физическим размерам

Одна из загадок этой области физики состоит в том, почему $ \ bf B $ и $ \ bf H $ имеют разные физические размеры в системе единиц СИ, как и $ \ bf D $ и $ \ bf E $.Не стоит слишком зацикливаться на этом. Это просто человеческий выбор в отношении определений. Люди, изобретающие систему СИ, могли бы, обладая хорошей логикой и физическим чутьем, решили ввести поле $ {\ bf B} — \ mu_0 {\ bf M} $, присвоив ему символ, скажем, $ \ tilde {\ bf H} $. Тогда мы все будем изучать формулы $$ \ tilde {\ bf H} = {\ bf B} — \ mu_0 {\ bf M} $$ и $$ {\ bf \ nabla} \ times \ tilde {\ bf H} = \ mu_0 {\ bf j} _ {\ rm f} + \ mu_0 \ frac {\ partial {\ bf D}} {\ partial t}. $$ Такой взгляд на вещи дает удобный результат: $ \ tilde {\ bf H} $ и $ \ bf B $ имеют одинаковые физические размеры, что имеет большой смысл, но приводит к $ \ mu_0 $ в формула, связывающая $ \ tilde {\ bf H} $ с током, и изобретатели системы единиц хотели избежать этого.Так что у нас это.

Заметки к лекциям Глава 1

Заметки к лекциям Глава 1

5.1. Магнитное поле

Рассмотрим два параллельных прямых провода, по которым течет ток. В провода нейтральны, поэтому между ними отсутствует электрическая сила. провода. Тем не менее, если ток в обоих проводах течет по одному и тому же В направлении, провода притягиваются друг к другу. Если ток в одном из провода перевернуты, провода отталкиваются друг от друга.Сила ответственный за притяжение и отталкивание называется магнитным сила . Магнитная сила, действующая на движущийся заряд q , определяется в условия магнитного поля :

Векторное произведение требуется, поскольку наблюдения показывают, что сила действует на движущийся заряд перпендикулярно направлению движущегося заряжать. В области, где есть электрическое поле и магнитное поле, Суммарная сила на движущейся силе равна

Это уравнение называется законом силы Лоренца и дает нам суммарная электромагнитная сила, действующая на q .Важное отличие между электрическим полем и магнитным полем заключается в том, что электрическое поле действует на заряженную частицу (вызывает ускорение или замедление), в то время как магнитное поле не действует на движущийся заряд. Это прямой Следствие закона силы Лоренца:

Мы заключаем, что магнитная сила может изменить направление, в котором частица движется, но не может изменить свою скорость.

Пример: Проблема 5.1
Частица с зарядом q попадает в область однородного магнитного поле (указывая на страницу). Поле отклоняет частицу на расстояние d над исходной линией полета, как показано на Рисунке 5.1. Это заряд положительный или отрицательный? В терминах a , d , B и q , найти импульс частицы.

Для производства наблюдаемых отклонение, сила на q на входе в область поля должна быть направлен вверх (см. рисунок 5.1). Поскольку направление движения частицы и направление магнитного поля известны, закон силы Лоренца может быть используется для определения направления магнитной силы, действующей на положительный заряд и на отрицательный заряд. Векторное произведение между и указывает вверх на рис. 5.1 (используйте правило правой руки). Это показывает, что заряд частицы положительный.

Рисунок 1. Проблема 5.1.

Величина силы, действующей на движущийся заряд, равна на номер

В результате действия магнитной силы заряженная частица будет следовать за сферическая траектория. Радиус траектории определяется требование, чтобы магнитная сила обеспечивала центростремительную силу:

В этом уравнении r — радиус окружности, описывающей Круговая часть траектории заряда q .Уравнение можно использовать для рассчитать r :

, где p — импульс частицы. Рисунок 5.2 показывает следующее соотношение между r , d и a :

Это уравнение можно использовать для выражения r через d и a :

Таким образом, импульс заряда q равен

Рисунок 2.Проблема 5.2.

Электрический ток в проводе возникает из-за движения электронов в провод. Направление тока определяется как направление, в котором положительные заряды движутся. Следовательно, в проводнике ток направлен противоположно направлению электронов. Величина тока равна определяется как общий заряд за единицу времени, проходящий через заданную точку провода ( I = дк / дт ). Если ток течет в области с ненулевым магнитное поле, то каждый электрон будет испытывать магнитную силу.Рассмотрим крошечный отрезок проволоки длиной дл . Предположим, что электронная плотность составляет — λ Кл / м и что каждый электрон движется со скоростью v . Магнитная сила, действующая со стороны магнитного поля на одиночный электрон равно

Отрезок провода длиной дл содержит λ дл / э электроны. Следовательно, магнитная сила, действующая на этом участке, равна на номер

Здесь мы использовали определение текущего I в терминах dq и dt :

В этом выводе мы определили направление быть равным направлению тока (и, следовательно, противоположно направлению направление скорости электронов).Общая сила на проводе составляет следовательно, равно

Здесь я предположил, что ток постоянен по всему проводу. Если ток течет по поверхности, обычно это поверхность плотность тока , г. который представляет собой ток на единицу длины, перпендикулярный потоку. Сила на поверхностный ток равен

Если ток течет через объем, обычно это описывается в терминах объемной плотности тока .Магнитная сила на объемном токе равна 90 · 103
Поверхностный интеграл плотности тока на поверхности объема В равно общему заряду, выходящему из объем в единицу времени (сохранение заряда):

Используя теорему о расходимости, мы можем переписать это выражение как

Так как это должно выполняться для любого объема V , мы должны потребовать, чтобы

Это уравнение известно как уравнение неразрывности .

5.2. Закон Био-Савара

В этом разделе мы обсудим магнитное поле, создаваемое установкой . валют т. Постоянный ток — это продолжающийся поток заряда. навсегда, и будет продолжаться вечно. Эти токи создают магнитные поля постоянные во времени. Магнитное поле, создаваемое постоянным линейным током дается законом Био-Савара :

куда элемент провода, — вектор, соединяющий элемент провода и P , а — постоянная проницаемости, равная 90 · 103

Единица измерения магнитного поля — Тесла ( Тл ).Для поверхности и объемных токов закон Био-Савара можно переписать как

и

и

куда указывает из бумаги. Таким образом, полное магнитное поле при P составляет равно

Рисунок 5.3. Проблема 5.9.

б) Магнитное поле на P , создаваемое круглым сегментом токовая петля равна

куда указывает из бумаги.Магнитное поле, создаваемое при P каждым двух линейных сегментов также будут направлены по минусу z ось. Величина магнитного поля, создаваемого каждым линейным сегментом, равна только половина поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводом (см. Пример 5 в Гриффитсе):

Общее поле P , следовательно, равно

Пример: Задача 5.12
Предположим, у вас есть два бесконечных прямолинейные заряды λ , расстояние d друг от друга, движущиеся на постоянная v (см. рисунок 5.4). Как быстро должно быть v в чтобы магнитное притяжение уравновешивало электрическое отталкивание?

Рисунок 5.4. Проблема 5.12.

Когда линейный заряд движется, он выглядит как ток величиной I = λv . Два параллельных тока притягиваются друг к другу, и сила притяжения на единицу длины

и привлекательно.Электричество, генерируемое одним из проводов, можно найти по закону Гаусса и равно

Электрическая сила на единицу длины, действующая на другой провод, равна на номер

и является отталкивающим (как заряды). Электрические и магнитные силы равны сбалансирован при

или

Для этого необходимо, чтобы

Для этого требуется, чтобы скорость v была равна скорости света, и поэтому этого никогда нельзя достичь.Следовательно, при всех скоростях электрический сила будет преобладать.

5.3. Дивергенция и завиток B . Использование закона Био-Савара для объемного тока мы можем вычислить дивергенцию и ротор :

и

Это последнее уравнение называется законом Ампера в дифференциальной форме . Это уравнение можно переписать, используя закон Стокса, как

Это уравнение называется законом Ампера в интегральной форме. направление вычисления линейного интеграла и направление поверхности вектор элемента должно соответствовать правилу правой руки.
Закон Ампера всегда верен, но это только полезный инструмент для оценки магнитного поля, если симметрия система позволяет тянуть вне линейного интеграла. Конфигурации, с которыми может работать Ampere’s законом являются:
1. Бесконечные прямые
2. Бесконечные плоскости
3. Бесконечные соленоиды
4.Тороиды

Пример: Задача 5.14
Толстая плита от z = — a до z = несет униформу объемный ток . Найдите магнитное поле как внутри, так и снаружи плиты.

Рисунок 5.5. Проблема 5.14
Из-за симметрии задачи магнитное поле будет направлено параллельно оси y . Магнитное поле в области выше xy плоскость ( z > 0) будет зеркальным отображением поля в область ниже плоскости xy ( z xy plane ( z = 0) будет равна нулю.Рассмотрим амперианца цикл, показанный на рисунке 5.5. Ток течет из бумаги, и мы выбрать направление быть параллельным направлению . Следовательно,

Направление вычисления линейного интеграла должны соответствовать нашему выбору направления (правило правой руки). Для этого требуется, чтобы линейный интеграл от должны оцениваться против часовой стрелки. Линейный интеграл от равно

Применяя закон Ампера, получаем для :

Таким образом

5.4. Векторный потенциал

Магнитное поле, создаваемое статическим распределением тока, однозначно определяется так называемыми уравнениями Максвелла для магнитостатики :

Аналогичным образом электрическое поле, создаваемое распределением статического заряда, равно однозначно определяется так называемыми уравнениями Максвелла для электростатика :

Дело в том, что расхождение равен нулю, говорит об отсутствии точечных сборов за .Поэтому силовые линии магнитного поля нигде не начинаются и не заканчиваются (в отличие от силовые линии электрического поля, которые начинаются с положительных точечных зарядов и заканчиваются отрицательными точечные сборы). Поскольку магнитное поле создается движущимися зарядами, магнитное поле поле никогда не может существовать без электрического поля. В напротив, будет существовать только электрическое поле, если заряды не двигаться.
Уравнения Максвелла для магнитостатики показывают, что если ток плотность известна, дивергенция и ротор магнитного поля равны известный.Теорема Гельмгольца указывает, что в этом случае существует вектор потенциал такой, что

Однако векторный потенциал не определен однозначно. Мы можем добавить к этому градиент любой скалярной функции f без изменения ее локон:

Расхождение равно

Оказывается, всегда можно найти такую ​​скалярную функцию f , что векторный потенциал без расхождения.Основная причина введения требования о том, чтобы состоит в том, что он упрощает многие уравнения, включающие векторный потенциал. Для Например, закон Ампера, переписанный в терминах это

или

Это уравнение аналогично уравнению Пуассона для распределения заряда ρ :

Следовательно, векторный потенциал можно рассчитать из текущего аналогично тому, как мы получили V из ρ .Таким образом,

Примечание: для этих решений требуется, чтобы токи стремились к нулю при бесконечность (аналогично требованию, чтобы ρ стремилась к нулю при бесконечность).

Пример: Задача 5.22
Найдите магнитный вектор потенциал конечного отрезка прямого провода, по которому проходит ток I . Убедитесь, что ваш ответ соответствует ур. (5.35) Гриффитса.

ток на бесконечности равен нулю в этой задаче, и поэтому мы можем использовать выражение для в терминах линейного интеграла тока I .Считайте провод расположен вдоль оси z между z ₁ и z ₂ (см. Рисунок 5.6) и используйте цилиндрические координаты. В векторный потенциал в точке P не зависит от φ (цилиндрическая симметрия) и равняется

Здесь мы предположили, что начало системы координат выбрано так что P имеет z = 0. Магнитное поле при P может быть получена из векторного потенциала и равна

, где определены θ ₁ и θ ₂ на рисунке 5.6. Этот результат идентичен результату примера 5 в Гриффитс.

Рисунок 5.6. Проблема 5.25.

С однородна, она не зависит от r , θ и φ и поэтому второй и третий слагаемые в правой части этого уравнения равны нуль. Первый член, выраженный в декартовых координатах, равен 90 · 103.

Четвертый член, выраженный в декартовых координатах, равен

Следовательно, завиток равно

Расхождение равно


Пример: Проблема 5.26
Найдите векторный потенциал выше и ниже плоского поверхностного тока из примера 5.8 в Гриффитсе.

В примере 5.8 по Гриффитсу, однородный поверхностный ток течет в плоскости xy , направлен параллельно оси x :

В области над плоскостью xy ( z > 0) магнитная поле равно

Следовательно,

В области ниже плоскости xy ( z <0) магнитная поле равно

Следовательно,

Мы можем убедиться, что наше решение для правильно, вычислив ротор (которое должно быть равно магнитному полю).Для z > 0:

Векторный потенциал однако не определен однозначно. Например, и также возможны решения, которые генерируют такое же магнитное поле. Эти решения также удовлетворяют требованию, чтобы .

5.5. Три основных количества Магнитостатика

5,6. Граничные условия B

В главе 2 мы изучили граничные условия электрического поля и пришли к выводу, что электрическое поле испытывает разрыв при поверхностном заряде.Точно так же магнитное поле испытывает разрыв на поверхности Текущий.

Рисунок 5.7. Граничные условия для .
Рассмотрим поверхностный ток (см. рисунок 5.7). Поверхностный интеграл над вафельной тонкой дот равен



, где A — это площадь верхней и нижней части таблетницы. В поверхностный интеграл можно переписать, используя теорему о расходимости:

поскольку для любого магнитного поля .Следовательно, перпендикулярная составляющая магнитного поля непрерывна при поверхностный ток:

Линейный интеграл от вокруг петли, показанной на рисунке 5.8 (в пределе ε → 0) равно

Согласно закону Ампера линейный интеграл от вокруг этого цикла равно

Рисунок 5.8. Граничные условия для .

Следовательно, граничное условие для составляющей , г. параллельно поверхности и перпендикулярно току, равно 90 · 103
Граничные условия для можно объединить в одно уравнение:

куда — единичный вектор, перпендикулярный поверхности и поверхностному току, а указывая «вверх».Векторный потенциал непрерывна при поверхностном токе, но ее нормальная производная — нет:

5,7. Многополюсное расширение магнитного Поле

Для вычисления векторного потенциала локализованного распределения тока при на больших расстояниях мы можем использовать мультипольное разложение. Рассмотрим токовую петлю с током I . Векторный потенциал этой токовой петли можно записать as

На большом расстоянии только первая пара членов мультипольного разложения необходимо учитывать:

Первый член называется монопольным членом и равен нулю. (поскольку линейный интеграл от равно нулю для любого замкнутого контура).Второй член, названный диполем термин , обычно является доминирующим термином. Векторный потенциал, порожденный дипольные члены равны

Это уравнение можно переписать как

куда называется магнитным дипольным моментом токовой петли. Это определено как

Если токовая петля является плоской (ток находится на поверхности самолет) тогда — площадь треугольника, показанного на рисунке 5.9. Следовательно,

, где , — это область, ограниченная токовой петлей. В этом случае дипольный момент токовой петли равен

где направление должно соответствовать направлению тока в контуре (правый правило).

Рисунок 5.9. Расчет .
Предполагая, что магнитный диполь находится в начале нашего система координат и что указывает вдоль положительной оси z , получаем для :

Соответствующее магнитное поле равно

Форма поля, создаваемого магнитным диполем, идентична форме поля, создаваемого магнитным диполем. форма поля, создаваемого электрическим диполем.

Пример: Проблема 5.33
Покажите, что магнитное поле диполя можно записать в виде в произвольной форме координат:

Рисунок 5.10. Проблема 5.33.

Рассмотрим конфигурацию, показанную на рисунке 5.10. Скалярное произведение между и равно

Скалярное произведение между и равно

Следовательно,

Пример: Проблема 5.34
Круглая проволочная петля с радиусом R , лежит в плоскости xy с центром в начале координат и несет ток I вращается против часовой стрелки, если смотреть со стороны плюса z ось.
а) Каков его магнитный дипольный момент?
б) Что это (приблизительно) магнитное поле в точках, удаленных от начала координат?
c) Покажите, что для точек на z ось, ваш ответ соответствует точному полю, вычисленному в Пример 6 Гриффитса.

a) Поскольку токовая петля является плоской, ее дипольный момент легко вычислить. Равно

б) Магнитное поле на больших расстояниях примерно равно на номер

c) Для точек на положительной оси z θ = 0 °. Следовательно, для z > 0

Передние точки на отрицательной оси z θ = 180 °.Следовательно, для z <0

Точное решение для на положительной оси z —

Для z » R поле примерно равно

что согласуется с дипольным полем тока петля.

Пример: Задача 5.35
Запись фонографа радиуса R , несущий однородный поверхностный заряд σ , вращается на постоянная угловая скорость ω .Найдите его магнитный диполь момент.

Период вращения диска равен

Считайте, что диск состоит из большого количества тонких колец. Рассмотрим кольцо одинарное с внутренним радиусом r и с dr . Заряд на такой кольцо равно

Поскольку заряд вращается, движущийся заряд соответствует току dI :

Следовательно, дипольный момент этого кольца равен

Полный дипольный момент диска равен

силы

силы

Сила и крутящий момент на движущихся зарядах, токоведущих проводах и диполях

Транспортные расходы

Проблема:

Электронная пушка T испускает электроны, ускоренные разностью потенциалов U в вакуум в направлении линии a, как показано на рисунке ниже.В мишень M размещается на расстоянии d от электронной пушки таким образом, чтобы Отрезок, соединяющий точки T и M, и прямая a образуют угол α как показано на рисунке.

Найдите величину B однородного магнитного поля
(а) перпендикулярно плоскости, определяемой прямой а и точкой M
(б) параллельно отрезку TM
чтобы электроны попали в цель М. Сначала найдите общий решение, а затем подставьте следующие значения:
U = 1000 В, α = 60 ^o , d = 5.0 см, B <0,030 T.

Раствор:

• Концепции:
  Сила Лоренца
• Рассуждение:
  На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила F = q v × B .
• Детали расчета:
  (а) Если униформа магнитное поле перпендикулярно начальному направлению движения электронный луч, электроны будут отклоняться силой, которая всегда перпендикулярно их скорости и магнитному полю. Следовательно, луч будет отклонен по круговой траектории. В источником центростремительной силы является сила Лоренца, поэтому Bq _e v = m _e v ² / r.
  
  Геометрия дает r = d / (2 sinα)
  Скорость электронов может быть определена из ½m _e v ² = q _e U.
  Подставляем урожайность B = m _e (2q _e U / m _e ) ^½ (2sin α / (q _e d)) = 2 (2m _e U / q _e ) ^½ sin α / d.
  Подставляя данные значения, получаем B = 3,7 * 10 ^-3 T.

  (b) Если однородное магнитное поле не является ни перпендикулярным, ни параллельным начальное направление движения электронного луча, электроны будут отклоняться по винтовой траектории. Движение электронов будет состоять из однородных круговое движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, и равномерное прямолинейное движение по направлению магнитного поля. Компонент v ₁ начальной скорости v перпендикулярно магнитное поле будет равномерно вращаться вокруг линии, параллельной магнитное поле.Компонент v ₂ параллельно магнитное поле останется постоянным.
  
  Величины компонентов скорости можно выразить как
  v ₁ = v sinα, v ₂ = v cosα.
  Обозначив N количество винтов спирали, которое мы можем записать за время движение электрона t = d / v ₂ = d / (v cosα) = 2πrN / v ₁ = 2πrN / (v sinα)
  Следовательно, мы можем вычислить радиус круговой траектории r = d sinα / (2πN cosα).
  Сила Лоренца должна быть приравнена к центростремительной силе.
  Бк _e v sinα = m _e v ² sin ² α / r = 2πN m _e v ² sinα cosα) / d.
  B = 2πN м _e v ^{cosα) / (d q _e ).
  Величина скорости v снова удовлетворяет условию v = (2q _e U / m _e ) ½ , поэтому
  B = (2πN cosα) / d) (2m _e U / q _e ) ½ .
  Численно получаем B = N * 6.7 * 10 -3 T.
  Если B <0,030 T, то имеют четыре возможности, N = 1, 2, 3, 4. B ₁ = 6,7 * 10 -3 T. B ₂ = 13,4 * 10 -3 T. B ₃ = 20,1 * 10 -3 Т. B ₄ = 26,8 * 10 -3 Т.}

Проблема:

Найдите магнитную силу на заряд q движется со скоростью v за счет другого заряда q ‘, движущегося с скорость v ‘при положении зарядов r и r ‘, соответственно.(Это нерелятивистская проблема.)

Решение:

• Концепции
  Магнитная сила
• Рассуждение:
  Магнитная сила на точке заряд q, движущийся со скоростью v , составляет F = q ( v × B ).
  Считать движущийся заряд элементом тока.
  Магнитное поле, создаваемое токовым элементом Id l , расположенным на r ‘ равно
  B ( r ) = (μ ₀ / 4π) Id l × ( r — r ‘) / | r — r ‘| ³ .
• Детали расчета:
  Для заряда q ‘, движущегося со скоростью v ‘, мы имеем Id l = q ‘ v ‘.
  Следовательно, мы имеем
  F = (μ ₀ / 4π) qq ^‘ ( v × v ‘ × ( r — r ‘) / | r — r ‘| ³ ).

Проблема:

Частица с массой M и зарядом q> 0 движется в однородном магнитном поле B , а также в поле другого заряда Q <0, расположенного в начале координат.При t = 0 частица при x = z = 0, y = a, а его скорость равна v ₀ i . За что B будет траектория частицы должна быть окружностью радиуса a с центром в начале координат?

Решение:

• Концепций:
  Сила Лоренца
• Рассуждение:
  Сила Лоренца, F = q ( E + v x B ) обеспечивает центростремительную силу, необходимую для круговой орбиты.
• Детали расчета:
  Рассмотрим геометрию, показанную на рисунке ниже. Позволять B = В к .
  
  Для циркуляра орбита радиуса а нам нужна
  Mv ₀ ² / a = k _e q | Q | / a ² + qv ₀ B, B = Mv ₀ / qa — k _e | Q | / v ₀ a ² .
  Если B отрицательно, то B указывает на страницу
.

Проблема:

А ток I течет по металлической полосе шириной L и толщиной d показано выше.В металл содержит n _e свободных электронов в единице объема. А магнитное поле B проникает через полосу, как показано. По I, B, n _e , и L, найдите разность потенциалов между стороной 1 и стороной 2.

Решение:

• Концепций:
  Эффект Холла
• Рассуждение:
  Ток в металлической полосе, показанной выше, течет, потому что источник питания создает в полосе электрическое поле E .Проведение электроны движутся со средней дрейфовой скоростью v _d противоположно направление E . В едином поле B магнитная сила на каждый электрон составляет F = -e v x B . Это заставляет электроны дрейфовать к стороне 1 полосы, оставляя избыток положительный заряд на стороне 2. Эти разделенные заряды производят электрический ток. поле E _H . Электроны перестанут дрейфовать вбок, когда электрическая сила -e E _H нейтрализует магнитную силу -e v х В . Результирующая разность потенциалов на полосе составляет

  ∆V = V ₂ — V ₂ = E _H L = v _d BL.

  Это известно как потенциал Холла. Если бы в полоске двигались положительные заряды, они бы смещались в сторону 1. и знак потенциала Холла изменится.

• Детали расчета:
  Величина тока I, протекающего по проводу, определяется выражением

  I = | ρ _— | — > A = n _e ev _d A,

  , где n _e — количество свободных электронов в единице объема. Ток I равен количеству электронов, проходящих через любую точку провода. в секунду умножить на единицу заряда e. = v _d — скорость дрейфа электроны. Это их средняя скорость при движении по проволоке.
  У нас есть v _d = I / n _e eA = I / n _e eLδ. ∆V = IB / n _e eδ.

Проблема:

Рассмотрим идеализированный ионный пучок радиуса R и длины намного больше R.
Покажите, что отдельный ион на периферии этого пучка подвержен чистая внешняя сила F = (1 / (4πε ₀ )) (2Iq / Rv) (1 — v ² / c ² ), где I — ток пучка, q — заряд каждого иона, v — скорость ионов. Предположим, что плотности заряда и тока имеют цилиндрическая симметрия.

Решение:

• Концепций:
  Закон Ампера, закон Гаусса, сила Лоренца
• Рассуждение:
  Благодаря цилиндрической симметрии мы можем найти электрическую и магнитную поля из закона Гаусса и закона Ампера соответственно.Затем мы можем найти сила F = q ( E + v x B ) на отдельной частице с зарядом q.
• Детали расчета:
  В единицах СИ:
  Закон Гаусса: при r = R имеем 2πRE = I / (vε ₀ ), E = I / (2πε ₀ Rv).
  [Заряд на единицу длины в балке λ = I / v.]
  Закон Ампера: при r = R имеем 2πRB = μ ₀ I = I / (ε ₀ c ² ), B = I / (2πRε ₀ c ² ).
  Если ток течет в направлении z, то E указывает на r и B указывает в Направление Φ.
  Сила, действующая на ион с зарядом q, движущийся со скоростью v k при r = R равно F = q ( E + v x B )
  F = qI / (2πε ₀ Rv) — qIv / (2πRε ₀ c ² ) = qI / (2πε ₀ Rv) (1 — v ² / c ² ) = (1 / (4πε ₀ )) (2Iq / Rv) (1 — v ² / c ² ).
  Сила направлена ​​в направлении r и имеет величину F = (1 / (4πε ₀ )) (2Iq / Rv) (1 — v ² / c ² ).

Проблема:

Две частицы имеют одинаковую массу m и противоположный электрический заряд + q и -q, и погружены в однородный магнитный поле B , перпендикулярное линии, соединяющей заряды. Частицы сначала удерживаются в состоянии покоя, затем одновременно отпускаются.
(а) Найдите силу, действующую на каждую частицу.
(b) Найдите минимальное начальное расстояние L, которое не приведет к столкновению. после выпуска. Вы можете пренебречь гравитационными эффектами.

Решение:

• Понятия:
  F = q ( E + v x B )
• Рассуждение:
  Частицы взаимодействуют посредством электростатической силы, и если они при движении на них действует магнитная сила.
  Сила, действующая на каждую частицу, определяется как F = q ( E + v х В ).
• Детали расчета:
  (a) Поместите положительный заряд на ось x в точке x = L / 2, а отрицательный заряд заряд по оси x при x = -L / 2. Пусть магнитное поле указывает на z-направление.
  Векторная сила, действующая на отрицательный заряд, является зеркальным отображением векторная сила, действующая на положительный заряд при отражении через x = 0 плоскости, а траектория отрицательного заряда — зеркальное отображение траектория положительного заряда.
  Сила положительного заряда: F _x = -kq ² / (4x ² ) + qv _y B, F _y = -qv _x B.
  (b) Минимальное начальное разделение L, которое позволяет частицам не сталкиваться приведет к тому, что частицы будут двигаться параллельно друг другу в направлении y с постоянной скоростью. Электрические и магнитные силы воздействуя на каждую частицу, затем добавьте к нулю. Будем использовать единицы СИ. Пусть k = 1 / (4πε ₀ ).
  Сила положительного заряда: F _x = -kq ² / (4x ² ) + qv _y B, F _y = -qv _x B.
  Это дает _x = -kq ² / (4mx ² ) + qv _y B / m, a _y = -qv _x Б / м.
  dv _y / dt = — (qB / m) dx / dt.

  Для частицы, начинающейся в состоянии покоя при x ₀ = L / 2, имеем ∫ ₀ ^vy dv ‘ _y = — (qB / m) ∫ _x0 ^x dx ‘.
  v _y = (qB / m) (x ₀ — x).
  Следовательно, a _x = (qB / m) ² (x ₀ — x) — kq ² / (4mx ² ).

  Для частицы, начинающейся в состоянии покоя при x ₀ = L / 2, сохранение энергии дает
  ½m (v _x ² + v _y ² ) = ½kq ² (1 / (2x) — 1 / (2х ₀ )).
  v _x ² + v _y ² = [kq ² / (2m)] (1 / x — 1 / х ₀ )).
  v _x ² + (qB / m) ² (x ₀ — x) ² = [kq ² / (2m)] (1 / x — 1 / x ₀ )).

  Чтобы частица не столкнулась на минимальном расстоянии, нам понадобится _x = v _x = 0 для некоторого x> 0.

  Для _x = 0 нам нужно (qB / m) ² (x ₀ — x) = kq ² / (4mx ² ). (i)
  Для v _x = 0 нам нужно (qB / m) ² (x ₀ — x) ² = [kq ² / (2m)] (1 / x — 1 / x ₀ ))
  или (qB / m) ² (x ₀ — x) = kq ² / (2mxx ₀ ).(ii)

  Объединение уравнений (i) и (ii) дает kq ² / (4mx ² ) = kq ² / (2mxx ₀ ) или x ₀ = 2x.
  Вставка x ₀ = 2x в уравнение (i) или (ii) дает x = (км / (4B ² )) ^(1/3) .
  Следовательно, x ₀ = 2 (км / (4B ² )) ^(1/3) , L = 4 (км / (4B ² )) ^(1/3) .
  Минимальное начальное разделение ^{L, которое позволяет частицам не оседать Столкновение составляет
  L = 4 (км / (4B 2 )) (1/3) .}

---

Провода

Проблема:

Два длинных прямые параллельные провода, несущие одинаковый ток Я и разделенные расстояние r оказывают друг на друга силу величиной F. Текущий увеличился до 4I, а расстояние уменьшилось до г / 6. Что будет сила между двумя проводами?

Решение:

• Концепций:
  Закон Ампера, магнитная сила
• Рассуждение:
  Нас просят найти силу между параллельными токоведущими проводами.
• Детали расчета:
  Из закона Ампера и F = I l × B находим величину силы (на единицу длины) между двумя параллельными токоведущие провода, разделенные расстоянием r.
  F = μ ₀ I ₁ I ₂ / (2πr). Здесь I ₁ = I ₂ = I, поэтому F = μ ₀ I ² / (2πr).
  Если ток увеличивается до 4I, а расстояние уменьшается до r / 6, то
  F _новый = F = μ ₀ 16 ² / (2πr / 6) = 96 μ ₀ I ² / (2πr) = 96 Ф.

Проблема:

Провод, имеющий массу на единицу длины 0,5 г / см, пропускает ток 2 А. горизонтально на юг. Какое направление и величина минимума необходимо магнитное поле, чтобы поднять этот провод вертикально вверх?

Решение:

• Концепций:
  Магнитостатическая сила на проводе, F = ∫ _V I d l x B ( r )
• Рассуждение:
  Мы должны определить минимальное магнитное поле, необходимое для создания силы F = -m г .
• Детали расчета:
  Сориентируйте систему координат так, чтобы ось x указывала на юг. а ось z направлена ​​вверх. Нам нужно направление магнитной силы F = I L x B на сегменте провода, который будет вверх и величина должна быть равна мг. Чтобы получить максимум F для минимум B, B , чтобы указывать в направлении y. Тогда F = ILB.
  
  Для подъема проволоки нам потребуется
  B = mg / (IL) = ρLg / (IL) = ρg / I = (0.05 кг / м) (9,8 м / с ² ) / (2 A) = 0,245 Т.
  Нам нужно B = 0,245 T j . B указывает на восток.

Похожие задачи

Проблема:

Схема состоит из двух длинных прямых проводов, уложенных на горизонтальной поверхности, и идеальный источник ЭДС ε, зафиксированный на месте. Прямой провод длиной l симметрично размещается на проводах, как показано, и первоначально удерживается на месте. В сопротивление единицы длины всех проводов λ.Масса провода длиной l м. Угол θ задан. Схема помещена в однородное магнитное поле. B направлен на страницу, и провод длины l отпущен. Пренебрегая трением и индуцированной ЭДС, найти максимальную скорость проволоки после ее вышел.

Решение:

• Концепций:
  Магнитная сила на токоведущем проводе
• Рассуждение:
  Выберите систему координат с осью x, направленной вправо, а происхождение, где сходятся длинные прямые провода.Тогда горизонтальный Положение провода длины l при t = 0 составляет x ₀ = l sinθ.
  Когда по проводу длиной l течет ток, сила, направленная вправо. будет действовать в соответствии с этим. Если он может двигаться, он будет ускоряться вправо. Он потеряет контакт с рельсами, если его горизонтальное положение составляет x ₁ = (l / 2) tanθ и прекратите ускорение.
• Детали расчета:
  Пусть 0 <θ <90 ^o .
  Сопротивление цепи как функция горизонтального положения провод х
  R = λ (2 / cosθ + 2 / sinθ) х = C ₁ х. C ₁ = λ (2 / cosθ + 2 / sinθ) = константа.
  Текущий ток равен I = ε / R = C ₂ / x. С ₂ = ε / С ₁ = константа.
  Величина силы, действующей на провод, равна I (2x cosθ) B = C ₂ 2 cosθ B = постоянный.
  Ускорение проволоки постоянно, a = C ₃ = (εB / λ) cos ² θsinθ / (cosθ + sinθ).
  Кинематика: v _max ² = 2ax ₁ = (lεB / λ) cosθsin ² θ / (cosθ + sinθ).

Проблема:

Бесконечно длинный соленоид намотан одним слоем тонкой проволоки. Соленоид имеет радиус r метров, n витков на метр длины и несет ток I.
а) Что такое магнитное поле внутри соленоида?
б) Какова величина силы, действующей на короткий отрезок провода dl за один виток, и в каком направлении?
(c) Какое натяжение в проволоке?

Решение:

• Концепций:
  Закон Ампера, сила Лоренца
• Рассуждение:
  Задача обладает достаточной симметрией, чтобы мы могли вычислить B по закону Ампера в одиночестве.
  Если осью катушки является ось z, а токи текут в направлении φ, тогда B = B _z k , B _z = μ ₀ In внутри катушки и B = 0 вне катушки. Электрический ток в проводах можно рассматривать как поверхностный ток с поверхностным током плотность к . Поле очень близко к участку поверхности с плотностью тока к может быть разложен на поле B ₁ , созданное собственно сечение и поле B ₂ производятся всеми остальными окружающие разделы.Сила на единицу длины на каждом проводе может быть найдено по F = I L x В ₂ .
• Детали расчета:
  (а) Магнитное поле внутри соленоида равно B = B _z k , B _z = μ ₀ дюйм.
  (b) Рассмотрим замкнутый контур длиной L, охватывающий N проводов катушки. как показано.
  
  Ток, протекающий по петле, равен NI, и очень близко к проводам это текущий NI производит такое же поле B ₁ , что и поверхность ток с плотностью k = NI / L, протекающий в том же направлении в плоской поверхность.Закон Ампера дает B ₁ = μ ₀ NI / 2L = μ ₀ In / 2 в направлении z внутри и в направлении -z снаружи катушки. Так поле около N проводов, создаваемое токами, не протекающими поблизости петли B ₂ = μ ₀ In / 2 к . Из F = I L x B ₂ мы теперь находим сила на единицу длины F / L = μ ₀ I ² n / 2 указывая в положительном направлении R.

  Альтернативный подход, основанный на энергетических соображениях:
  Энергия, запасенная в магнитном поле в катушке в секции блока длина
  U = (1 / (2μ ₀ )) B ² A = (1 / (2μ ₀ )) (μ ₀ In) ² A = I ² n ² μ ₀ πR ² /2.
  Если мы изменим радиус катушки, сохраняя постоянный ток, тогда запасенная энергия увеличивается со скоростью 90 · 103 dU / dt = I ² n ² μ ₀ πRdR / dt.
  Скорость, с которой аккумулятор работает для поддержания постоянного тока в файловая схема
  I * ЭДС = I d (In ² μ ₀ πR ² ) / dt = 2I ² n ² μ ₀ πRdR / dt = 2dU / dt. (ЭДС равна скорости изменения поток через катушку.)
  Если dR положительный, аккумулятор работает положительно.
  dU = W _bat + W _ext = 2dU + W _ext . W _ext = -dU
  Скорость, с которой контур выполняет работу на единицу длины катушки. следовательно,
  dW / dt = -dW _ext / dt = dU / dt = I ² n ² μ ₀ πRdR / dt.
  dW / dt = 2πR f _r ∙ v = 2πRf _r dR / dt. Следовательно, 2πRf _r = I ² n ² μ ₀ πR. Сила на единицу длины по окружности f _r направлена ​​радиально наружу.
  Сила на единицу длины по окружности на одном проводе f _r / n = F _r / (n2πR) = I ² nμ ₀ /2.
  (c) Рассмотрим проволочную петлю, на которую действует радиальная сила. В величина силы на единицу длины постоянна. Если петля разрезана на две равные части, тогда общая сила, разрывающая части, равна F _z = 2 * (I ² nμ ₀ /2) ∫ ₀ ^{π / 2} cosθ rdθ = I ² nμ ₀ r.
  
  Чтобы два отрезка петли не отклонялись от каждого из них остальное нам нужно 2T = F _z , где T — натяжение в проволоке.
  Следовательно, T = I ² nμ ₀ r / 2.

---

Диполи

Проблема:

Прямоугольная петля состоит из N плотно завернутых витков и имеет размер a = 0,4 м и b = 0,3 м. Петля шарнирно закреплена по оси ординат, а ее плоскость образует угол 30 ^o с осью абсцисс.

Какова величина крутящего момента, прилагаемого к петле однородным магнитным полем? поле B = 0,8 Тл, направленное по оси x, при токе I 1,2 А в направление показано?
Какое ожидаемое направление вращения петли?

Решение:

Проблема:

Предположим, что система имеет магнитный дипольный момент м , потому что она имеет орбитальную угловой момент L . Если диполь расположен под углом θ к однородное магнитное поле B , найти частоту прецессии Ω в пересчете на л / м.

Решение:

• Концепций:
  Крутящий момент на магнитном диполе в магнитном поле
• Рассуждение:
  τ = м × B = (м / л) L × B = — (м / л) B × L
  τ = d L / dt = Ом × L
• Детали расчета:
  Ом = м B / L

Проблема:

Сфера с магнитным диполем момент m и момент инерции I относительно оси, проходящей через ее центр, помещены в однородное магнитное поле B.Найдите период малых колебаний диполя.

Решение:

• Концепций:
  Крутящий момент на магнитном диполе в магнитном поле
• Рассуждение:
  τ = μ × B = I α
  У нас будут небольшие колебания, если d ² θ / dt ² = -постоянная * θ
• Детали расчета:
  Пусть B указывает в направлении z и μ составляют угол θ с ось z.
  Тогда τ = μBsinθ = -I d ² θ / dt ²
  Для малых колебаний: Id ² θ / dt ² = -μBθ, θ = θ ₀ sin (ωt + ϕ), ω ² = мкБ / л,
  Следовательно, период T = 2π (I / (μB)) ^½ .

Проблема:

Петля из проволоки имеет форму правильного многоугольника с 2n сторонами.
Расстояние между параллельными сторонами 2а.
По петле проходит ток I.
Петля помещена в однородное магнитное поле B .
Найдите величину крутящего момента на петле.
Как это зависит от направления B ?

Решение:

• Концепций:
  Магнитный момент токовой петли, крутящий момент на токовая петля в магнитном поле
• Рассуждение:
  Нас просят найти величину крутящего момента в токовой петле.
• Детали расчета:
  Крутящий момент по току τ = мк х В . Магнитный момент μ = IA n . (Только площадь петли, а не форма, имеет значение.) Направление н г. μ дается правой рукой правило. Для петли, размещенной, как показано, и текущего текущего против часовой стрелки, мкм точки вне страницы. Площадь петли A = 2na ² tan (π / (2n)).
  τ = IAsinθ = I2na ² tan (π / (2n)) sinθ, где θ — угол между направлениями μ и B.

Проблема:

Из металлической проволоки длиной L формируется петля квадратной или круглой формы. Ток I течет по петле, и она помещается в однородный магнитный поле. Какая форма петли приводит к большему крутящему моменту? Почему?

Решение:
Магнитный момент токовой петли, крутящий момент в токовой петле в магнитное поле
Крутящий момент по току τ = мк х В .Магнитный момент составляет μ = IA n . (Имеет значение только площадь петли, а не форма.) Направление n μ задается правилом правой руки. В величина крутящего момента τ = IAsinθ, где θ — угол между направления μ и B .
Для данной длины провода L площадь круговой петли равна L ² / (4π) а площадь квадратной петли — L ² /16.Для данного θ крутящий момент на круговой петле больше.

Решение:

• Концепций:
  Магнитный момент токовой петли, крутящий момент в токовой петле в магнитное поле
• Рассуждение:
  Крутящий момент по току τ = мк х В . Магнитный момент составляет μ = IA n . (Имеет значение только площадь петли, а не форма.) Направление n μ задается правилом правой руки.В величина крутящего момента τ = IAsinθ, где θ — угол между направления μ и B .
• Детали расчета:
  Для данной длины провода L площадь круговой петли равна L ² / (4π) а площадь квадратной петли — L ² /16. Для данного θ крутящий момент на круговой петле больше.

Проблема:

Точечный магнитный диполь м в вакууме (область 1 на диаграмме ниже) составляет указывает на (и перпендикулярно) плоскую поверхность материала с проницаемость μ (область 2).Расстояние между диполь и поверхность d.
(а) Используйте метод изображений, чтобы найти магнитное поле B в обоих областей, как показано ниже: Поместите диполь изображения м ‘= α м на расстояние d в среду 2 и возьмите поле В ₁ в области 1 за счет диполей м и м ‘ в среде с μ ₀ . Возьмем, что поле B ₂ в области 2 связано с одним диполем. м «= β м в месте расположения реальный диполь m в среде с μ.Решить краевую задачу на интерфейс для оценки B ₁ и В ₂ .
(б) Опишите физически, как каждый из диполей изображения м ‘и м « возникают и роль, которую они играют в определении полей и сил на реальный диполь и материал среды 2.
(c) Оцените силу, действующую на диполь м .

сила Лоренца | Древо познания вики

Сила Лоренца, действующая на быстро движущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере.Траектории положительного и отрицательного заряда изгибаются в противоположных направлениях.

В физике (в частности, в электромагнетизме) сила Лоренца (или электромагнитная сила ) представляет собой комбинацию электрической и магнитной сил на точечный заряд из-за электромагнитных полей. Частица заряда q , движущаяся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B , испытывает силу

(в единицах СИ).В нем говорится, что электромагнитная сила, действующая на заряд q , представляет собой комбинацию силы в направлении электрического поля E , пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, перпендикулярной магнитному полю. поле B и скорость заряда v , пропорциональная величине поля, заряда и скорости. Варианты этой базовой формулы описывают магнитную силу на проводе с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея), и силу, действующую на движущийся провод. заряженная частица.

Историки предполагают, что закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла, опубликованной в 1865 году. Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году, определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад электрического поля. магнитная сила.

Закон силы Лоренца как определение E и B

Траектория частицы с положительным или отрицательным зарядом q под действием магнитного поля B , которое направлен перпендикулярно за пределы экрана.

Пучок электронов, движущихся по кругу из-за наличия магнитного поля. Фиолетовый свет излучается вдоль пути электронов в трубке тельтрона из-за столкновения электронов с молекулами газа.

Во многих трактатах классического электромагнетизма в учебниках закон силы Лоренца используется как определение электрического и магнитного полей E и B . Чтобы быть конкретным, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F на испытательном заряде в данный момент и время является определенной функцией его заряда q и скорости v , которые могут быть параметризованы точно двумя векторами E и B , в функциональной форме :

Это верно даже для частиц, приближающихся к скорости света (то есть величина v = | v | ≈ c ).Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно того, какую силу испытательный заряд получит, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий силу.

Как определение E и B , сила Лоренца является только принципиальным определением, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) генерирует свой собственный конечный E и B поля, которые могут изменить электромагнитную силу, которую он испытывает.Кроме того, если заряд испытывает ускорение, как если бы он двигался по кривой траектории, он испускает излучение, которое приводит к потере кинетической энергии. См., Например, тормозное излучение и синхротронный свет. Эти эффекты возникают как за счет прямого воздействия (так называемая сила реакции излучения), так и косвенного (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

Уравнение

Заряженная частица

Сила Лоренца F на заряженной частице (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ).Поле E и поле B различаются в пространстве и времени.

Сила F , действующая на частицу электрического заряда q с мгновенной скоростью v , из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B , определяется как (в единицах СИ):

где × — векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами).Что касается декартовых компонентов, мы имеем:

Как правило, электрическое и магнитное поля зависят от положения и времени. Следовательно, явно сила Лоренца может быть записана как:

, где r — это вектор положения заряженной частицы, t — время, а точка над точкой — это производная по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации , что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v , так и полю B согласно правилу правой руки ( более подробно, если пальцы правой руки вытянуты в направлении v , а затем согнуты в направлении B , то вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).

Термин q E называется электрической силой , а термин q ( v × B ) называется магнитной силой . Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы, при этом суммарная электромагнитная сила (включая электрическую) имеет другое (нестандартное) название. В этой статье , а не , будет следовать этой номенклатуре: В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте это также называется силой Лапласа.

Сила Лоренца — это сила, действующая со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу, то есть скорость, с которой передается линейный импульс от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице.Эта сила

.

Обратите внимание, что магнитное поле не влияет на мощность, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

Непрерывное распределение заряда

Сила Лоренца (на единицу 3-го объема) f при непрерывном распределении заряда (плотность заряда ρ) в движении. Плотность 3-го тока J соответствует движению элемента заряда dq в элементе объема dV и изменяется по всему континууму.

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает следующий вид:

где сила, действующая на небольшой участок распределения заряда с зарядом. Если обе части этого уравнения разделить на объем этого небольшого фрагмента распределения заряда, результат будет следующим:

где — плотность силы , (сила на единицу объема) и — плотность заряда (заряд на единицу объема).Далее, плотность тока, соответствующая движению зарядового континуума, равна

, поэтому непрерывным аналогом уравнения является

Полная сила — это объемный интеграл по распределению заряда:

Путем исключения и использования уравнений Максвелла и манипулирования с использованием теорем векторного исчисления, эта форма уравнения может использоваться для получения тензора напряжений Максвелла, который, в свою очередь, может быть объединен с вектором Пойнтинга для получения электромагнитный тензор энергии-импульса T , используемый в общей теории относительности.

В терминах и еще один способ записать силу Лоренца (на единицу объема):

где — скорость света, а · обозначает дивергенцию тензорного поля. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда. Подробнее см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма.

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

.

Если мы разделим полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, мы получим, что плотность силы Лоренца равна

.

где: — плотность бесплатного заряда; — плотность поляризации; — плотность свободного тока; и — плотность намагниченности. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем.Плотность связанной мощности равна

.

Уравнение в единицах cgs

В приведенных выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространенными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В cgs-гауссовых единицах, которые несколько более распространены среди физиков-теоретиков, а также среди экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого

где c — скорость света. Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку есть следующие отношения:

, где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ ₀ — проницаемость вакуума.На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна оцениваться из контекста.

История

[[большой палец | Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и уравнения Максвелла для расходимости электрического поля E (II) и магнитного поля B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892 , п. 451. V — скорость света.]] Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Было предположено, что сила на магнитных полюсах Иоганном Тобиасом Майером и другими в 1760 году и электрически заряженные объекты Генри Кавендишем в 1762 году подчиняются закону обратных квадратов. Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон, используя торсионные весы, смог окончательно экспериментально показать, что это правда.Вскоре после открытия в 1820 году Х. К. Орстеда, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально разработать формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока. Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей.

Современная концепция электрического и магнитного полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея, в частности его идея силовых линий, которая позже получила полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом.С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений поля можно определить форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам, хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами, движущимися заряженными зарядами. объекты. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, в терминах свойств объекта и внешних полей. Заинтересованный в определении электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах, Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал силу, действующую на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, как

Томсон вывел правильную базовую форму формулы, но из-за некоторых просчетов и неполного описания тока смещения перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине.Оливер Хевисайд изобрел современные векторные обозначения и применил их к полевым уравнениям Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильной форме магнитной силы, действующей на движущийся заряженный объект. Наконец, в 1895 году Хендрик Лоренц вывел современную форму формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады в общую силу как электрического, так и магнитного полей. Лоренц начал с отказа от максвелловских описаний эфира и проводимости.Вместо этого Лоренц проводил различие между материей и светоносным эфиром и стремился применить уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию Хевисайда уравнений Максвелла для неподвижного эфира и применяя лагранжевую механику (см. Ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона силы, который теперь носит его имя.

Траектории движения частиц под действием силы Лоренца

Основные статьи: Направляющий центр

Заряженная частица дрейфует в однородном магнитном поле.(A) Нет возмущающей силы (B) При электрическом поле, E (C) При независимой силе, F (например, гравитации) (D) В неоднородном магнитном поле, grad H

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (такой как электрон или ион в плазме) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой ведущим центром , и относительно медленного дрейфа этого точка. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.

Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитного поля. поля. Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной.Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца — это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами — другое.

В реальных материалах сила Лоренца неадекватна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений.Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B , но также создают эти поля. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана, уравнение Фоккера – Планка или уравнения Навье – Стокса. Например, см. Магнитогидродинамику, гидродинамику, электрогидродинамику, сверхпроводимость, звездную эволюцию. Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов.См., Например, отношения Грина – Кубо и функцию Грина (теория многих тел).

Сила на токоведущем проводе

Правило правой руки для токоведущего провода в магнитном поле B

Когда провод, по которому проходит электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создать на проволоке макроскопическую силу (иногда называемую силой Лапласа ).Комбинируя приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, получаем следующее уравнение в случае прямого неподвижного провода:

, где ℓ — вектор, величина которого равна длине провода, а направление вдоль провода совпадает с направлением обычного тока заряда I .

Если провод не прямой, а изогнутый, силу, действующую на него, можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому сегменту провода d ℓ , а затем сложив все эти силы путем интегрирования.Формально чистая сила на неподвижном жестком проводе, по которому течет постоянный ток I , равна

Это чистая сила. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если проволока не совсем жесткая.

Одним из применений этого закона является силовой закон Ампера, который описывает, как два токоведущих провода могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля другого. Подробнее читайте в статье: Закон силы Ампера.

EMF

Магнитная сила ( q v × B ), составляющая силы Лоренца, отвечает за движущую силу (или ЭДС движения ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. Термин «ЭДС движения» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода на .

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники — нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, в результате чего возникает ЭДС, индуцированная , как описано уравнением Максвелла – Фарадея (одно из четырех современных уравнений Максвелла).

Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно ЭДС — это скорость изменения магнитного потока через провод.(Это закон индукции Фарадея, см. Ниже.) Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы координат к другой часть соленоидального векторного поля поля E может полностью или частично изменяться до B. -поле или наоборот .

Сила Лоренца и закон индукции Фарадея

Сила Лоренца — изображение на стене в Лейдене

Основные статьи: Закон индукции Фарадея

Учитывая петлю из провода в магнитном поле, закон индукции Фарадея утверждает, что наведенная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

где

— магнитный поток через контур, B — магнитное поле, Σ ( t ) — поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ ( t ), в момент времени t , d A — это бесконечно малый элемент площади вектора Σ ( t ) (величина — это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление ортогонально этому участку поверхности).

Знак ЭДС определяется законом Ленца. Обратите внимание, что это действительно не только для неподвижного провода , но и для подвижного провода .

Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и уравнения Максвелла можно использовать для вывода закона Фарадея.

Пусть Σ ( t ) будет движущейся проволокой, движущейся вместе без вращения и с постоянной скоростью v и Σ ( t ) внутренней поверхностью проволоки.ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ ( t ) определяется как:

где

— электрическое поле, а d ℓ — бесконечно малый элемент вектора контура ∂Σ ( t ).

Примечание: как d ℓ , так и d A имеют неоднозначность знака; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки, как описано в статье теорема Кельвина – Стокса.

Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла – Фарадея :

Уравнение Максвелла – Фарадея также может быть записано в интегральной форме с использованием теоремы Кельвина – Стокса.

Итак, мы имеем уравнение Максвелла Фарадея:

и закон Фарадея,

Эти два эквивалента эквивалентны, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и div B = 0, получаем,

и используя уравнение Максвелла Фарадея,

, поскольку это справедливо для любого положения провода, это означает, что,

Закон индукции Фарадея имеет силу независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, в движении или в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся.Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. Смотрите неприменимость закона Фарадея.

Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ _B , соединяющий петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если поле B меняется в зависимости от положения, а петля перемещается в место с другим полем B , Φ _B изменится.В качестве альтернативы, если контур меняет ориентацию относительно поля B , дифференциальный элемент B ⋅ d A изменится из-за разного угла между B и d A , также изменится Φ _В . В качестве третьего примера, если часть схемы проходит через однородное, не зависящее от времени поле B , а другая часть схемы остается неподвижной, магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за сдвига взаимное расположение составных частей схемы во времени (поверхность ∂Σ ( t ), зависящая от времени).Во всех трех случаях закон индукции Фарадея затем предсказывает ЭДС, генерируемую изменением Φ _B .

Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E неконсервативно, когда магнитное поле B изменяется во времени, и не выражается как градиент скалярного поля и не подчиняется градиентной теореме, поскольку его вращение не равно нулю.

Сила Лоренца через потенциалы

См. Также: Математические описания электромагнитного поля, уравнения Максвелла, разложение Гельмгольца

Поля E и B могут быть заменены векторным магнитным потенциалом A и (скалярным) электростатическим потенциалом ϕ на

где ∇ — градиент, ∇⋅ — дивергенция, ∇ × — изгиб.

Сила становится

Используя идентификатор тройного произведения, его можно переписать как,

(Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости должны рассматриваться как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на, а не на; таким образом, нет необходимости использовать обозначение индекса Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя цепное правило, общая производная от:

, чтобы приведенное выше выражение выглядело следующим образом:

.

Если v = ẋ , мы можем записать уравнение в удобную форму Эйлера – Лагранжа

где

и

.

Сила Лоренца и аналитическая механика

См. Также: Импульс # лагранжева и гамильтонова формулировка

Лагранжиан для заряженной частицы с массой m и зарядом q в электромагнитном поле эквивалентно описывает динамику частицы с точки зрения ее энергии , скорее чем сила, приложенная к нему.Классическое выражение выражается следующим образом:

, где A и ϕ — потенциальные поля, как указано выше. Величину можно представить как потенциальную функцию, зависящую от скорости. Используя уравнения Лагранжа, можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведенное выше.

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, поэтому она не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан

Действие — это релятивистская длина дуги пути частицы в пространстве-времени за вычетом вклада потенциальной энергии плюс дополнительный вклад, который квантово-механически является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала. .

Релятивистская форма силы Лоренца

Ковариантная форма силы Лоренца

Тензор поля

Основные статьи: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма, Математические описания электромагнитного поля

Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1), сила Лоренца для заряда q может быть записана в ковариантная форма:

где p ^α — четырехмерный импульс, определяемый как

τ собственное время частицы, F ^αβ контравариантный электромагнитный тензор

и U — ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

в котором

— коэффициент Лоренца.

Поля преобразуются в рамку, движущуюся с постоянной относительной скоростью, посредством:

где Λ ^μ _α — тензор преобразования Лоренца.

Перевод в векторные обозначения

α = 1 компонент ( x -компонент) силы равен

Подстановка компонентов ковариантного электромагнитного тензора F дает

Использование компонентов ковариантных четырехскоростных выходов

Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает аналогичные результаты, поэтому объединение 3 уравнений в одно:

, и поскольку разности координатного времени dt и собственного времени dτ связаны коэффициентом Лоренца,

итак мы приходим к

Это в точности закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p является релятивистским выражением,

Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)

Электрическое и магнитное поля зависят от скорости наблюдателя, поэтому релятивистская форма закона силы Лоренца лучше всего может быть продемонстрирована, исходя из не зависящего от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей и произвольного направления времени,.Это может быть решено с помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда, определенной в псевдоевклидовом пространстве, как

и

— это бивектор пространства-времени (сегмент ориентированной плоскости, точно так же, как вектор является сегментом ориентированной линии), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих ускорениям (вращениям в плоскостях пространства-времени) и поворотам (вращениям в плоскостях пространства-времени). космические самолеты). Скалярное произведение с вектором вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как произведение клина создает тривектор (в пространственной алгебре), который дуален вектору, который является обычным вектором магнитного поля.Релятивистская скорость задается (временными) изменениями вектора времени-положения, где

(который показывает наш выбор для метрики), а скорость равна

Правильная (инвариант — неадекватный термин, потому что преобразование не было определено) форма закона силы Лоренца просто

Обратите внимание, что порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично.При таком разделении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой и зарядом, движущейся в пространстве с метрическим тензором и электромагнитным полем, задается как

где (берется по траектории),, и.

Уравнение также можно записать в виде

где — символ Кристоффеля (метрической связи без кручения в общей теории относительности), или как

где — ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения).

Приложения

Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:

В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила возникает во многих устройствах, включая:

См. Также

Ссылки

Эта страница использует контент, который, хотя изначально был импортирован из Wikipedia article Lorentz force , возможно, был очень сильно изменен, возможно, даже до такой степени, что он полностью не соответствовал исходной статье в Википедии. Список авторов можно увидеть в странице истории . Текст Википедии доступен по лицензии Creative Commons License .

Динамика солнечной магнитоконвекции

Динамика солнечной магнитоконвекции

Динамика солнечной магнитоконвекции

---

Содержание

---

Введение

В большинстве регионов Солнца излучение является доминирующей формой теплопередачи.Фотоны на солнце рассеиваются нагретыми заряженными частицами, которые поглощаются и повторно испускались много раз, прежде чем достичь поверхности, обычно в форме видимых световых лучей. Однако в регионе протяженностью около 200000 км радиус внешних слоев Солнца, колебания плотности, температуры и давления вызывают перенос огромного количества энергии за счет движения циркулирующей жидкости или конвекции. Объемы движущегося горячего газа переносят энергию в верхнюю часть конвективной зоны где он выделяется в виде излучения.Затем газ становится плотнее и опускается. под действием силы тяжести до точки, в которой поглощается больше энергии, завершая конвекционный цикл. Конвекция ответственна за большинство явлений, происходящих в других местах. мягкая поверхность солнца. Гранулы, которые представляют собой видимые пики конвекционных потоков, могут наблюдать с земли. Это замысловатые клеточные узоры, чередующиеся между светлыми и темными, которые представляют восходящий и нисходящий поток жидкости. Гранулы в фотосфере и супергранулах в хромосфере, а также пятна, протуберанцы и солнечные вспышки можно объяснить спариванием конвективных движений с сильным солнечным магнитные поля.

В определенных частях конвективной зоны линии магнитного поля сжимаются. из-за давления, возникающего в результате движения жидкости. Это создает вокруг этих участков сильную силу Лоренца, препятствуя протеканию потоков жидкости. через плотные магнитные поля. Эти области, содержащие более холодную жидкость, чем другие области Солнце, испускает меньше радиации в космос и кажется более темным родственником остальному солнцу. Их называют солнечными пятнами, и в среднем их диаметр составляет около 10 000 км.За время своей жизни среднее пятно может блокирует в 20 000 раз больше света, чем Земля получает за такое же время. Внутри действует множество различных балансов сил и энергий. зона конвекции, такая как эта комбинация потока жидкости и магнитного давления внутри солнечных пятен, которые влияют на поведение внешних слои. Ученым было очень трудно объяснить движение жидкости. поток в зоне конвекции, так как наблюдение не может вникнуть намного глубже чем внешняя хромосфера.Турбулентность и нелинейные эффекты, присущие расход жидкости в целом, добавить к сложность конвективной зоны. Только недавно ученые смогли разрабатывать компьютерные симуляции, такие как SUMO2, чтобы исследовать физику за пределами досягаемость наблюдения.

SUMO2 — это код моделирования, разработанный доктором Стивеном Р. Ланцем, который объединяет уравнения потока жидкости и теплообмена. Код может выдавать (например) тепловую Россби волны, которые представляют собой катящиеся конвекционные потоки, в области, представляющей двумерное поперечное сечение идеализированной зоны конвекции.Этот код был изменен, как часть этого проекта, чтобы включить магнитное поле и Лоренц силовые условия как часть моделирования. Эти дополнения предоставили нас с интересным взглядом на магнитные явления, которые в конечном итоге приводят к эффектам такие как солнечные пятна.

Учитывая начальные условия, SUMO2 будет генерировать значения для завихренности, температура и поля магнитного потока для указанного числа временных шагов. Эти значения и их эволюция во времени исследуются с помощью визуализации. программы, разработанные в PV Wave Advantage (IDL) и Data Explorer, которые определяют значения этих поля.Таким образом, можно легко проследить общие тенденции.

Схема Солнца, любезно предоставлено (НАСА / ЕКА)

---

Отправные точки: уравнения и приближения

Уравнения

Уравнения, используемые для получения наблюдаемых эффектов магнитогидродинамики. (или МГД) движения представлены ниже. Эти уравнения реализованы в код SUMO2 и определить значения и эволюцию завихренности, температуры, и магнитное поле в каждый данный момент и время в рамках спецификаций моделирования.

Уравнение Навье-Стокса

Уравнение Навье-Стокса — это фундаментальное уравнение гидродинамики. Это описывает движение жидкости в точке, основанное на сумме сил, обозначенных выше. Для этого проекта уравнение Навье-Стокса было изменено, чтобы включить силу Лоренца, которая сопротивляется движению заряженных частиц поперек магнитного поля.

Уравнение тепла

Это уравнение описывает, как температура изменяется в точке под влиянием поток жидкости и диффузия.В данном случае диффузия представляет собой эффекты турбулентности на масштабах ниже моделей, которые мы моделируем.

Приближение Буссинеска

Приближение Буссинеска в некотором смысле утверждает, что плотность жидкости равна почти постоянный. Вариации плотности входят в уравнение движения только через срок силы плавучести.

Уравнение состояния

Это описывает взаимосвязь между плотностью и температурой жидкости.Форма выше является приближением закона идеального газа. Он соединяет тепло Уравнение гравитационного члена уравнения Навье-Стокса.

Уравнение магнитной индукции

Это уравнение, более подробно определенное позже, управляет эволюцией функция магнитного потока. Это уравнение можно использовать, когда магнитное поле ограничено лежанием в плоскости.

Приблизительные значения

В этом моделировании конвекционная зона солнца моделируется с использованием только самые актуальные и важные физические факторы.Это позволяет нам выделить более значительные влияния на движение жидкости, а также ускорить расчеты и сохранить вычислительные ресурсы. Выбранные приближения проиллюстрированы на этой диаграмме.

Первое приближение сделано в соответствии с Тейлор-Праудменом. теорема, которая утверждает, что степень жидкости течение, протекающее вдоль направления оси вращения сильного потока, относительно невелико. Это позволяет нам ограничить моделирование зоны конвекции в 2-мерный континуум.

Отсюда континуум представлен как дискретная пространственная сетка, где магнитные, температурные и завихренные поля определяются только через равные промежутки времени вдоль поверхности поперечного сечения. Этот позволяет нам использовать метод конечных разностей для получения производных. С В этом методе значения, взятые из соседних точек, используются для вычисления поля на следующем временном шаге в сетке.

---

Уравнение магнитной индукции и сила Лоренца

Чтобы включить магнитные поля в моделирование, магнитная индукция Уравнение и сила Лоренца должны были быть включены в код.Вот описание каждого из этих физических законов.

Уравнение магнитной индукции

Отправной точкой для описания уравнения магнитной индукции является один из законов Максвелла. В нем говорится, что расходимость магнитного поля ( B ) равна нулю, то есть не существует таких вещей, как магнитный монополь или открытая силовая линия магнитного поля.

Как прямое следствие предыдущего уравнения, магнитное поле можно представить как завихрение вектора, а именно psi , функция магнитного потока, направленная вдоль отрицательной оси y.Поскольку нас интересуют только изменяющиеся магнитные поля в направлениях x и z, мы можем записать следующее уравнение для B в единицах psi .

Поскольку psi имеет отношение к Магнитному полю, оно по своей сути имеет отношение к электрическому полю. поле тоже.

Psi продвигается во времени согласно закону Ома и закону Ампера в низкочастотном пределе. (То есть предполагается, что ток смещения, который представляет собой изменение электрического поля во времени, незначителен.)

Закон Ома

Закон Ома объясняет, что ток, j , пропорционален электрическому полю с постоянным пропорциональности сигма .

Закон Ампера

Закон Ампера гласит, что ток пропорционален завихрению магнитного поля.

Используя векторные тождества, эти уравнения можно объединить, чтобы получить уравнение магнитной индукции, дано здесь.Первый член, который представляет адвекцию, является нелинейной, поскольку скорость зависит от psi , а также от других полей, которые меняются со временем. Второй член представляет собой диффузию и является линейным членом, в котором eta обратно пропорционально пропорциональна проводимости.

Уравнение магнитной индукции

Сила Лоренца

Большая часть солнечной жидкости состоит из заряженных частиц, которые под воздействием сил сильных магнитных полей Солнца.Сила, связанная с движение поперек магнитного поля называется силой Лоренца и появляется в результате адаптации Уравнение Навье-Стокса для наших целей приведено ранее. Форма Навье-Стокса уравнение, которое мы хотим использовать, включает величину под названием завихренность , которая равна степень, с которой жидкость вращается в точке. Omega (что представляет завихренность) определяется как ротор скорости, поэтому скорость изменения завихренности получается путем взятия ротора уравнения Навье-Стокса.

Используя векторные тождества, ротор члена силы Лоренца можно упростить, как показано.

Когда SUMO2 обновляет поле завихренности, он использует значения поля B и вторая производная фунтов на квадратный дюйм в соседних точках сетки для определения значений завихренность для следующего временного шага. Действие силы Лоренца противоположно направлению движения жидкости, сопротивление силам, которые заставляют жидкость пересекать силовые линии магнитного поля.

---

Численные приближения: метод конечных разностей и приближение Рунге-Кутты

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей представляет собой способ вычисления производной функция в точке, используя только значения этой функции в соседних точках.Вот определение производной от исчисления.

Поскольку мы используем дискретный интервал (значения переменной определяются только на точек сетки), производная может быть аппроксимирована таким образом, предполагая наименьшее изменение x — значение между соседними точками сетки. Например, предположим, что мы хотим вычислить производная фунтов на квадратный дюйм в направлении x в точке (i, j) в данный момент времени. (Это также значение B в направлении z в то время, необходимо для вычисления члена силы Лоренца.) Сначала мы возьмем значения psi на по обе стороны от (i, j) в направлении x и вычтите их. Это число будет разделено на разницу между вычтенными точками, то есть в два раза больше значения единичного шага сетки в x-направлении.

Схема:

Чтобы взять вторые производные, мы просто берем производные от первых производных. Мы можем найти первую производную в месте между любыми двумя точками сетки, потому что мы уже знаем значения функции на всей сетке.Значения вычитаются и делятся на разницу интервалов, и получается вторая производная.

Теперь у нас есть метод определения первой и второй производных любой заданной функции. в каждой точке сетки.

Алгоритм Рунге-Кутты

Для того, чтобы SUMO2 мог продвигать поля к следующему временному шагу, Реализован алгоритм Рунге-Кутты 3-го порядка для интегрирования производной по времени. Этот по сути аналогично приближению Тейлора третьего порядка, в котором значения функции и ее первой и второй производных по времени используются для определения будущего значения поля.В SUMO2 используется метод, при котором производные вычисляются посредством итераций. рассчитывается на основе производных предыдущих итераций. Для этого SUMO2 циклически проходит через его производные по времени вычисляются три раза, чтобы обновить поля для следующего временного шага.

Для дальнейшего объяснения см. предыдущие статьи SPUR.

---

Параллельная реализация

Эффективности моделирования частично способствует распараллеливание, где несколько процессоров используются для вычисления значений полей.Различные разделы grid назначаются разным процессорам (декомпозиция домена). Это позволяет выполнять вычисления. одновременно, занимая меньше времени, чем один процессор. Прирост скорости частично в связи с необходимостью обмена данными между процессорами.

Обмен данными между процессорами должен происходить при двух обстоятельствах:

• Учитывая начальное поле завихренности, SUMO2 должен сначала вычислить значения функции тока, поля, аналогичного функции магнитного потока, что необходимо для вычисления скоростей.Это включает в себя решение эллиптического уравнения с помощью быстрого преобразования Фурье / трехдиагонального Методы решения матрицы (БПФ / TMS). Для параллельного БПФ / TMS требуется полная, или глобальная, транспонированная матрица, включающая связь между каждым процессором и любой другой процессор. Доктор Ланц экспериментировал с двумя разными методами, чтобы понять это. транспонировать, первым из которых является метод обмена блоками, при котором процессоры будут обмениваться более крупными массивами точек сетки лишь небольшое количество раз для выполнения глобального обмена.Другой метод мы протестировали использованные звонки на команда интерфейса передачи сообщений MPI_ALLTOALL, который имеет возможность выполнять глобальную транспонирование матрицы. Мы протестировали эти два метода, чтобы узнать который обеспечит лучшую эффективность, и мы обнаружили, что метод обмена блоками лучше подходит для больших нагрузок. в то время как метод MPI_ALLTOALL был быстрее для выполняемых нами прогонов. Однако, преимущества, полученные за счет выбора одного метода перед другим для определенного хода выполнения быть несколько минимальным.
• Другой пример передачи сообщений происходит, когда необходимо взять производную с использованием конечного разностный метод для точки на границе процессора. Например, чтобы взять производную в (i, j) в В направлении оси z у нас должно быть значение поля в точке (i, j-1), которое, вероятно, могло быть присвоено другой процессор. Поскольку поля обновляются постоянно, на протяжении всей процедуры SUMO2 выполняются вызовы MPI_SENDRECV, которые обменивает значения строк на границах процессора.Код для этих вызовов был обновлен, чтобы включить MPI_SENDRECV вызовы для величин, связанных с магнитным полем.

Для получения дополнительной информации см. Объяснение доктора Ланца.

---

Техники визуализации

Используя файлы данных, которые генерирует SUMO2, были созданы некоторые визуализации, чтобы мы могли понять об общих тенденциях и общих результатах моделирования. Но сначала данные должны были пройти некоторые модификации.

• Сначала данные отправляются через FIXEMUP, программу на языке Fortran, которую я разработал для выполнения трех задач.
• FIXEMUP изменяет формат значений завихренности, температуры и магнитного потока. в каждом файле в формате, приемлемом для Проводник данных
• Затем он добавляет горизонтальное магнитное поле, добавляя линейную линейную функцию в z до psi (что подразумевается в SUMO2, но не сохраняется в psi ).
• Он генерирует файлы заголовков, необходимые для указания данных в проводнике данных.
• Проводнику данных нужны не только файлы данных для создания контурных графиков, но и значения для уровней контура.Они генерируются с помощью CONVECT, программы, написанной на языке IDL для Преимущество PV Wave. PV Wave считывает файлы данных, определяет максимальное абсолютное значение точки данных и передает эту информацию в файл, собранный Data Explorer. Первоначально PV Wave был настроен для создания контурных графиков, но были внесены изменения в Data Explorer за счет эстетических предпочтений. CONVECT также создает график максимальной завихренности через фиксированные интервалы времени.
• Наконец, файлы отправляются в Data Explorer, который генерирует фильмы, показывающие эволюцию во времени. завихренности и магнитные поля.Поле завихренности имеет цвет: красный — самое высокое значение, фиолетовый — самое низкое. Линии магнитного потока обведены черным контуром, на той же линии показаны эквивалентные значения. Дополнительный MPEG были предоставлены для последнего случая, когда поле завихренности было заменено на соответствующее температурное поле.

---

Результаты и обсуждение

(Примечание: к сожалению, следующие результаты позже были признаны недействительными из-за обнаружения ошибки в код моделирования.Это никоим образом не умаляет превосходной работы Синтии над визуализацией.)

Вот три фильма, снятых на этапах с варьируемым параметром диффузии. Первый фильм в него встроено гораздо больше диффузии, чем в предыдущий. Физика, объясняющая эти волны, довольно сложна, и доктор Ланц предложил несколько предложений. в ожидании дальнейших исследований физического объяснения наших результатов. Последовательность фильмов создавалась путем изменения параметра магнитной диффузии.Кардинальные изменения, то есть бифуркация, можно наблюдать между фильмами относительно тенденций магнитного и завихренного полей, просто уменьшив этот параметр с 0,25 до 0,10.

Имеется таблица параметров.

Бегущие волны:

MPEG из Модулированная бегущая волна (1 МБ)
График максимальной завихренности в зависимости от Время для модулированной бегущей волны

Совершенно без магнитного влияния, более ранние исследования, проведенные ДокторЛанц предполагает, что чисто бегущие волны производятся в такой среде. Влияние добавленного диффузного магнитное поле, показанное здесь, создает небольшой вертикальный асимметрия, которая отличает эту волну от чисто бегущей. Тем не менее распределение магнитных полей все еще несколько равномерное, что подразумевает небольшое локальное накопление магнитной, кинетической или тепловой энергии. Взгляд на график зависимости максимальной завихренности от времени для этого состояния показывает небольшое колебательное движение.Это означает, что магнитное поле не является полностью постоянным, то есть бегущая волна не является полностью устойчивой.

Более длинный MPEG модулированной бегущей волны (3,0 МБ)

Промежуточный этап

MPEG промежуточной ступени (1,6 МБ)
График максимальной завихренности в зависимости от Время для промежуточного этапа

В точке, где параметр диффузии установлен точно посередине в двух других состояниях только видно начало намагниченного движения.Эта волна демонстрирует особенности бегущей волны в том, что фазовая скорость не сильно уменьшается по сравнению с более ранний фильм, и, соответственно, магнитные поля лишь незначительно накапливаются в локализованных карманах. Однако, видна большая магнитная активность, и более высокая амплитуда магнитных колебаний видна как в график и в фильме. Силовые линии магнитного поля растягиваются движением жидкости, но не разрываются. Вместо, они возвращаются на место, когда в цикле достигается более стабильное состояние.

Более длинный MPEG промежуточного уровня (3,4 МБ)

Намагниченная волна

MPEG намагниченного нелинейного колебания. (1,9 МБ)
MPEG из Намагниченные нелинейные колебания (цвет = температура) (1,9 МБ)

График максимальной завихренности в зависимости от времени для намагниченной волны
График средней завихренности в зависимости от времени для намагниченной волны

Параметр диффузии здесь установлен очень низким, чтобы магнитное поле было слабым. место, чтобы приспособиться к потоку в любом направлении.Это позволяет образовывать карманы конденсированных магнитных полей, видимые в основном вверху и внизу симуляции. В этих областях происходит накопление магнитной энергии, то есть сильная сила Лоренца, которая сопротивляется любому движению жидкости и замедляет циркуляцию. Движение конвекционные потоки затем эволюционирует медленнее, и фазовая скорость движения значительно уменьшается. (Посмотрите на общая скорость волны по сравнению с предыдущими фильмами). Поскольку магнитная энергия сохраняется в локализованных карманах больше энергии доступно в других формах, где магнитные поля не конденсируются, то есть там, где линии магнитного поля разнесены дальше.Эта энергия может проявляться в вертикальном движении жидкости, где силовые линии магнитного поля перетаскиваются снизу и сверху симуляции и растягиваются до в их самом полном объеме. Линии сопротивляются растяжению, а иногда ломаются и воссоединяются в центре. поле. Когда это происходит, все виды энергии (магнитная, завихренная и тепловая) уменьшаются, что показывает, что поток энергии меняется во времени. Импульсы энергии проходят через симуляцию, не обязательно перевод из одной формы в другую.График Максимальная завихренность в зависимости от времени указывает на большие колебания, поскольку магнитное поле изменяется, почти бурно на протяжении всего фильма. График зависимости средней завихренности от времени доказывает, что асимметрия играет роль в динамике по заданным параметрам.

Более длинный MPEG намагниченного нелинейного колебания (4,8 МБ)
Более длинный MPEG намагниченного нелинейного колебания (цвет = температура) (4,7 МБ)

---

Заключение

В данной работе моделировалась и исследовалась магнитогидродинамика в зоне конвекции. за счет использования суперкомпьютеров и пакетов визуализации.Магнитные поля были включены в текущее моделирование, и показано, что они оказывают значительное влияние на движение исследуемой жидкости. Дополнения, внесенные в SUMO2, имитацию зоны конвекции, разработанную доктором Стивеном Р. Ланцем, включают эволюцию функции магнитного потока и влияние силы Лоренца на функция потока. Была объяснена основа этой дополнительной физики вместе с описанием СУМО2 и его назначение. Включены визуализации, которые показывают эффекты добавленного магнитного поля. поле.Надеюсь, этот проект приведет к дальнейшим исследованиям, требующим дальнейшего объяснения. магнитогидродинамических явлений, происходящих в зоне конвекции.

Страница изображений

---

Благодарности

Спасибо, , вам, , за чтение этой статьи. Надеюсь, вам понравилось. 🙂

Мои дорогие родители! Спасибо за грань реальности! Ваша поддержка неописуема!
Аарон, Уолт и Арка будут по нам скучать! Да, ты лучший компьютерный сосед на свете.
Спасибо SPUR, это было действительно потрясающе. Обязательно поблагодарите IBM за нежную курицу … и Wegmans за прекрасный компьютер. Вы очень стараетесь угодить … и вы, безусловно, делаете.

И еще миллион триллионов миллиардов благодаря моему чудесному советнику за то, что потакал моему разуму на лето! Спасибо за то, что познакомили меня со своим сверхъестественным симулятором и позволили мне полюбоваться всем работа, которую вы делаете, исследуя вселенную с солнечного света и этого вашего увлекательного ума. Я бесконечно Я рад, что этим летом познакомился с настоящей наукой и первым узнал о ее солнечной стороне.:)

Работа выполнена с использованием ресурсов Корнельского центра теории. (СТС). СТС получает крупное финансирование от Национального научного фонда. и штата Нью-Йорк, при дополнительном финансировании Национального центра Ресурсы исследования в NIH, Агентстве перспективных исследовательских проектов, IBM, и другие члены Корпоративного исследовательского института СТС.

---

Список литературы

Триттон, Д.Дж. Physical Fluid Dynamics , Van Nostrand Reinhold Company Ltd.Нью-Йорк, Нью-Йорк 1977
Сиб, К. Грегори. Астрономия , Springhouse Corporation. Спрингхаус, П.А. 1995
Джованелли, Рональд. Тайны Солнца , Cambridge University Press, Cambridge, G.B. 1984
Ланц, Стивен Р. «Динамика магнитоконвекции в стратифицированном слое. I. Двумерное моделирование и визуализация » Астрофизический журнал , 10 марта 1995 г.
Ланц, Стивен Р.« Динамика магнитоконвекции в стратифицированном слое. II. Модель низкого порядка неустойчивости наклона, The Astrophysical Journal , 10 марта 1995 г.

http: // hao.ucar.edu/public/research/mlso/mlso_homepage.html
http://umbra.nascom.nasa.gov/images/latest.html
http://orpheus.nascom.nasa.gov/synoptic/
http: / /pore1.space.lockheed.com/SXT/homepage.html
http://www.acim.usl.edu/SOLAR/sun/sun_views.html
http://bang.lanl.gov/solarsys/sun.htm

---

Назад на титульную страницу

---

Выявление фотонной силы Лоренца как микроскопического происхождения топологических фотонных состояний

Заряженные частицы, такие как электроны, движущиеся в магнитном поле, сталкиваются с силой Лоренца, которая управляет образованием электронных топологических краевых состояний в квантовых системах с эффектом Холла.Здесь мы показываем, что фотоны, переносящиеся в магнитооптических материалах и структурах, также сталкиваются с физическим эффектом, называемым фотонной силой Лоренца, через косвенное взаимодействие с магнитооптической средой, поддерживаемой эффективным магнитным полем. Этот эффект может вызвать полупериодное спиральное движение света на поверхности однородной металлической магнитооптической среды и неоднородных магнитооптических фотонных кристаллов, и он определяет интригующие односторонние транспортные свойства устойчивости и невосприимчивости к дефектам, нарушениям и препятствия.Таким образом, фотонная сила Лоренца служит фундаментальным микроскопическим источником макроскопических фотонных топологических состояний, во многом так же, как классическая сила Лоренца делает с электронными топологическими состояниями.

1 Введение

Сила Лоренца [1], рассматриваемая как одна из важнейших основ классической электродинамики, происходит от магнитного поля. B → воздействуя на частицу заряда q (например, электрон), движущуюся со скоростью v → .Эта сила приводит к дрейфующим или локализованным циклотронным движениям зарядов и лежит в основе широкого диапазона интригующих макроскопических и микроскопических электромагнитных явлений, таких как эффект Холла, квантовые эффекты Холла и многие инструменты, включая электронные микроскопы, циклотронные ускорители и космические аппараты. детекторы лучей. Электронная сила Лоренца (ELF) используется, чтобы нарисовать исчерпывающую полуклассическую физическую картину квантового эффекта Холла (рис. 1A). Электроны внутри квантовой системы эффекта Холла быстро подвергаются локализованным циклотронным движениям вокруг магнитного потока из-за эффекта СНЧ.Приближаясь к границе, электроны отталкиваются от жесткого края и, таким образом, перемещаются вперед по краю. Электроны с краями не подвержены влиянию примесей, обладают иммунитетом к обратному рассеянию и образуют топологически защищенный односторонний краевой ток. Эта полуклассическая картина хорошо раскрывает микроскопическое происхождение электронного топологического состояния и качественно объясняет многие уникальные транспортные поведения систем с квантовыми эффектами Холла [2].

Рисунок 1:

Физические картины топологических электронных состояний и топологических фотонных состояний.

(A) Квантовые эффекты Холла в системе электронного газа. Иллюстрация циклотронного движения электронов. v → представляет скорость электронов и F → E соответствует ELF. (B) Топологические фотонные состояния в магнитооптической системе. Красные и синие стрелки указывают направления потока энергии и PLF соответственно.Зеленые волнистые стрелки представляют собой исчезающие электромагнитные волны.

Недавно, вдохновленные аналогией между электронами и фотонами [3], [4], было проведено множество исследований топологических фотонных состояний в различных системах [5], [6], [7], [8], [ 9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]. Выдающимся средством создания топологических фотонных состояний является магнитооптическая система, погруженная в магнитное поле [16], [17]. Большинство предыдущих работ в основном основано на численных расчетах дисперсионных диаграмм (т.е. зонная структура) для предсказания топологических фотонных состояний, а концепции топологической физики и математики (например, число Черна, фаза и кривизна Берри и т. д.) заимствованы для понимания этих состояний [18], [19], [20], [21] ], [22], [23], [24], [25], [26]. Однако немногие из них касаются фундаментальных вопросов о том, что заставляет фотоны, первоначально излучаемые точечным источником, теперь изотропно распространяться только в одну сторону по краю, и почему эти односторонние переносящие фотоны невосприимчивы к обратному рассеянию, сильному дефекту и беспорядку.Таким образом, микроскопическое происхождение и физическая картина топологических фотонных состояний в настоящее время остаются неясными даже после того, как было проведено так много теоретических, численных и экспериментальных исследований [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33].

Здесь мы сообщаем, что существует физический эффект, который мы называем фотонной силой Лоренца (PLF), который вызывает циклотронное движение электромагнитных волн и фотонов в магнитооптических системах, во многом то же самое, что ELF для электронов. Этот PLF может хорошо объяснить микроскопическое происхождение топологических фотонных состояний и помочь составить исчерпывающую физическую картину их транспортного поведения в различных магнитооптических устройствах.Как показано на рисунке 1B, энергия, излучаемая источником на краю, делится на две части. С одной стороны, одна часть излучает в магнитооптическую среду с ослабленной амплитудой из-за металличности магнитооптического материала. Более того, такая электромагнитная волна отклоняется вправо или влево из-за эффекта PLF, что приводит к однонаправленному вихревому движению электромагнитных волн в тонком слое у края. Во время вихревого движения энергия уходит в воздух, и большая часть ее отбрасывается обратно в магнитооптическую среду за счет эффекта PLF.С другой стороны, другая часть просачивается в воздух, потому что нет жесткой границы, ограничивающей излучение энергии. Другими словами, когда потоки энергии распространяются вправо или влево, они всегда сопровождаются утечкой небольшой энергии в воздух.

2 Поведение электромагнитных волн при переносе

Транспортное поведение электромагнитных волн и фотонов можно предсказать, решив уравнения Максвелла в терминах электромагнитного поля и потока энергии (вектора Пойнтинга).Мы выводим выражение потока энергии в бесконечной стационарной однородной магнитооптической среде (ионный гранат иттрия с диэлектрической проницаемостью), и подробный процесс вывода приведен в дополнительном материале. Для простоты рассматривается только поперечный электрический (TE) режим (с ненулевым E _z , H _x и H _y ).

Сначала рассмотрим случай отсутствия внешнего магнитного поля (т.е.е. мк = 1). Согласно с k → × E → знак равно ω μ ЧАС → , для плоской волны, переносящейся в k → ( k Икс , k у , 0 ) , мы получили ЧАС Икс знак равно E z ω k у и ЧАС у знак равно — E z ω k Икс .На основе определения вектора Пойнтинга S → знак равно E → × ЧАС → * , получаем

(1) S → знак равно E z 2 ω [ ( k Икс Икс → + k у у → ) ] .

Тогда, согласно [34], импульс фотонного волнового пакета можно упростить до п → знак равно D → × B → в бесконечно однородной магнитооптической среде, так что

(2) п → знак равно ϵ E z 2 ω [ ( k Икс Икс → + k у у → ) ] .

Далее, согласно F → знак равно d п → d т , получаем

(3) F → знак равно 2 я ω е 2 я ω т ⋅ ϵ E z 2 ω [ ( k Икс Икс → + k у у → ) ] .

Уравнения (1–3) показывают, что S → , п → , и F → параллельны волновому вектору k → , Это означает, что поведение переноса света согласуется с поведением в однородных немагнитных диэлектрических средах.

Однако, когда магнитооптическая среда погружается в статическое магнитное поле, индуцируется сильная гиромагнитная анизотропия, которая создает тензор проницаемости.Основываясь на уравнениях Максвелла для TE-моды, получаем

(4) S → знак равно E z 2 ω μ р 2 μ р 2 — μ k 2 [ ( k Икс Икс → + k у у → ) + я μ k μ р ( k у Икс → — k Икс у → ) ] .

(5) п → знак равно E z 2 ω ϵ μ р [ ( k Икс Икс → + k у у → ) + я μ k μ р ( k у Икс → — k Икс у → ) ] .

(6) F → знак равно 2 я ω е 2 я ω т ⋅ E z 2 ω ϵ μ р [ ( k Икс Икс → + k у у → ) + я μ k μ р ( k у Икс → — k Икс у → ) ] .

Очевидно, что все эти уравнения (4–6) состоят из двух частей, которые являются чисто действительными и мнимыми, соответственно, т. Е. S → знак равно S → р + я S → я , п → знак равно п → р + я п → я , и F → знак равно F → р + я F → я .Одновременно, потому что ( k Икс Икс → + k у у → ) ⋅ ( k у Икс → — k Икс у → ) знак равно 0 , чисто реальная и мнимая части перпендикулярны друг другу, т.е.е. S → р ⊥ S → я , п → р ⊥ п → я , и F → р ⊥ F → я .Также, S → р ( S → я ) пропорционально п → р ( п → я ) и F → р ( F → я ) , и при снятии магнитного поля [т.е. H = 0 ( μ = μ _r = 1, μ _k = 0)], уравнения (4–6) возвращаются к уравнениям (1–3), соответственно. Следовательно, вполне разумно, что мы можем использовать поведение переноса потоков энергии. S → прямо и ярко охарактеризовать транспортные свойства п → и F → .Обратите внимание, однако, что сила F → как определено в уравнениях (3) и (6) для фотона и электромагнитной волны, не имеет обычного физического смысла механической силы для массивных частиц, таких как электроны, потому что все поведение переноса фотонов и электромагнитных волн может быть хорошо описано пространством -временная эволюция электромагнитных полей, участвующих в фотонах и электромагнетизме. Следовательно, очень редко можно говорить о механической силе, налагаемой чем-либо на фотоны; вместо этого очень популярно и хорошо установлено говорить о механической силе, налагаемой на массивные частицы фотонами и электромагнитными волнами.PLF, принятый и обсуждаемый в этой статье, является просто полезным и удобным концептуальным инструментом, разработанным для наглядного описания поведения переноса фотонов TPS и электромагнитных волн в магнитно-оптических структурах и устройствах, и, по сути, это не настоящая механическая сила.

Пусть Q знак равно E z 2 ω μ р 2 μ р 2 — μ k 2 и B ( ЧАС ) знак равно μ k μ р ; то уравнение (4) можно переписать как

(7) S → знак равно Q [ ( k Икс Икс → + k у у → ) + я B ( ЧАС ) ( k у Икс → — k Икс у → ) ] .

Это уравнение состоит из двух частей. [ S → р знак равно Q ( k Икс Икс → + k у у → ) и S → я знак равно Q B ( ЧАС ) ( k у Икс → — k Икс у → ) ] , и

(8) S → р ⊥ S → я .

Предлагаем реальную часть S → р соответствует обычному вектору Пойнтинга, представляющему направление переноса потоков энергии и количества света, а мнимая часть S → я описывает PLF, вызывающую поведение переноса света, напоминающее циклотронные движения электронов. Это явление возникает из-за антисимметричного тензора проницаемости, индуцированного магнитным полем.

Мы определяем B ( H ) как функцию магнитного поля, чтобы проиллюстрировать рациональность сравнения между B ( H ) в PLF и B _z в ELF. На рисунке 2 на частотах f ₁ = 4,480 и f ₂ = 9,464 ГГц, интенсивности B ( H ) демонстрируют почти идеальную линейность магнитного поля. увеличивается, что означает B ( H ) ≈ βH , где β — постоянная величина.В этом случае уравнение (7) выражается как

Рисунок 2:

Отношения B ( H ) — H на разных частотах.

Связь B ( H ) с H при: (A) f ₁ = 4,480 ГГц, (B) f ₂ = 9,464 ГГц. Черные пунктирные линии — это контрольные линии.

(9) S → ≈ Q [ ( k Икс Икс → + k у у → ) + я β ЧАС ( k у Икс → — k Икс у → ) ] .

Это означает, что PLF почти пропорционален количеству H , что аналогично тому, что есть в всем известном ELF. Кроме того, мы выбираем H = 1600 G и находим, что B ( H ) равно +1 и –1 при f ₁ и f ₂ , соответственно. Эти два случая при f ₁ и f ₂ могут быть аналогичны положительному и отрицательному заряду в электрических системах соответственно.Тогда уравнение (7) упрощается: S → знак равно Q [ ( k Икс Икс → + k у у → ) ± я ( k у Икс → — k Икс у → ) ] , что указывает на то, что значения S → р и S → я равны, и, таким образом, происходит идеальное циклическое движение.Следует отметить, что мы сосредотачиваемся только на узком частотном диапазоне для достижения линейности ради упрощения формулы, чтобы провести лучшую аналогию с электронной системой. На самом деле линейность здесь не является обязательным требованием.

Кроме того, для ELF нас интересует заряд (т.е. электрон), движущийся в двумерной плоскости x — y со скоростью v → знак равно ( v Икс , v у , 0 ) действует магнитное поле B → знак равно ( 0 , 0 , B z ) по направлению z .Тогда уравнение магнитной силы равно

(10) F → E знак равно q v → × B → знак равно q | Икс → у → z → v Икс v у 0 0 0 B z | знак равно q B z ( v у Икс → — v Икс у → ) ,

где F → E это ELF и перпендикулярно v → знак равно v Икс Икс → + v у у → всегда из-за ( v Икс Икс → + v у у → ) ⋅ ( v у Икс → — v Икс у → ) знак равно 0 , так

(11) v → ⊥ F → E .

Интересно, что существует удивительное сходство между уравнениями (8) и (11), которые описывают циклотронные движения фотонов и электронов в магнитном поле соответственно. Для краткости физический эффект, названный PLF и записанный как F → я пропорционально количеству S → я и единогласно вызывает циклотронное движение фотонов.Этот эффект аналогичен классической силе Лоренца. F → E , а потоки энергии, характеризующиеся S → р пропорционально k → , и она похожа на скорость v → электронов.

Более того, многие классические концепции ELF могут одинаково хорошо применяться и к PLF.Здесь мы определяем закон левой руки, чтобы интуитивно судить о направлении PLF относительно направления переноса потоков энергии. Согните левую руку и пропустите магнитное поле через ладонь. Если четыре пальца указывают S → р , большой палец перпендикулярно четырем пальцам представляет S → я . Кроме того, положительный B ( H ) соответствует большому пальцу, указывающему на S → я , в то время как отрицательный B ( H ) соответствует противоположному направлению.Тем не менее, очень важное различие между PLF и ELF заключается в том, что S → я «виртуальный». Таким образом, фотон не действует напрямую с магнитным полем, а скорее действует с эффективным магнитным полем, созданным магнитооптическими материалами. Поскольку фотоны имеют импульс, пропорциональный | k → | , они столкнутся с PLF F → п ( F → я ) ∝ S → я и изменить траекторию передачи.Их движения рассматриваются как суперпозиция быстрого кругового движения и медленного дрейфующего движения, которое очень похоже на движение электронов под действием СНЧ.

3 Модельная проверка фотонной силы Лоренца

Чтобы подтвердить вышеупомянутые экзотические транспортные свойства, в которых доминирует PLF, мы рассматриваем электромагнитную волну, излучаемую точечным источником, колеблющуюся на частоте f ₁ = 4,480 ГГц [ниже резонансной частоты f ₀ = 6.509 ГГц и, следовательно, B ( H ) = +1] в бесконечной однородной магнитооптической среде. Мы строим синтетическую картину, накладывая диаграмму линий тока (явно отражающую направление потока энергии) на картину поля E _z . На рисунке 3A показано, что когда H = 0, получается S → я знак равно 0 и F → п знак равно 0 , поэтому электромагнитные волны излучаются равномерно во всех направлениях, и S → р параллельны каждому k → точка волнового фронта повсюду.Напротив, рисунок 3B показывает, что когда H = 1600 G , согласно закону левой руки, S → р на правую часть PLF, которая пропорциональна S → я (перпендикулярно S → р повсюду), расходясь наружу. PLF вызывает отклонение электромагнитной волны вправо и в конечном итоге формирует вихревое электромагнитное поле по часовой стрелке, которое излучается наружу (рис. 3B).Эта физическая картина дополнительно поддерживается распределениями H _x и H _y на рисунках 3B1 и B2. Приведенные выше физические картины никогда не возникают в обычных однородных немагнитных средах.

Рисунок 3:

Численное моделирование приводит к бесконечной однородной магнитооптической среде.

(A) E _z -поле для H = 0, (B) E _z -поле для H = 1600 G ; пурпурная пунктирная стрелка представляет направление вихря электромагнитных волн.(B1, B2) H _x — и H _y — поле, соответствующее (B). Во всех этих случаях точечный источник, обозначенный красными сияющими звездами, излучает на частоте f ₁ = 4,480 ГГц. Красная и синяя стрелки обозначают S → р и S → я , соответственно.

Перейдем к рассмотрению случая границы раздела воздуха и магнитооптической среды. На рисунках 4A1 и A2 показано, что когда H = 0, большая часть энергии излучается в нижнюю диэлектрическую среду, а распределение поля E _z симметрично относительно нормали к границе раздела. Однако, когда H = 1600 G , S → я перпендикулярно S → р повсюду в магнитооптической среде, которая подчиняется закону левой руки.Следовательно, электромагнитная волна отклоняется влево из-за PLF, что приводит к асимметричному распределению поля E _z . Из-за вторичного излучения (или отражения) энергетических вихрей от нижней магнитооптической среды его смесь с прямым сферическим излучением от источника вызовет асимметричную картину поля E _z и наличие обоих S → р и S → я в верхней воздушной зоне возле границы раздела (рис. 4В1).Хотя S → р и S → я здесь больше не перпендикулярны друг другу, PLF все еще существует, чтобы воздействовать на фотоны в непосредственной близости от границы раздела и вызывать его отклонение вправо, и этот эффект можно рассматривать как остаточное выступание сильного PLF внутри магнитного поля. -оптическая среда. В некоторой степени поток энергии все еще формирует циклотронное движение электромагнитной волны, окружающей источник по часовой стрелке.В дальней зоне намного выше границы раздела в воздухе сохраняется только прямое сферическое поле излучения и S → я исчезает, что приводит к диаграмме направленности, почти идентичной диэлектрической среде.

Рисунок 4:

Результаты численного моделирования в полубесконечных системах.

(A1) H = 0, (A2) | E | при разных y _i ( i = 1, 2, 3, 4, 5) в (A1), (B1) H = 1600 G , (B2) | E | различных y _i ( i = 1, 2, 3, 4, 5) в (B1).Во всех этих случаях источник излучает на частоте f ₁ = 4,480 ГГц. Красная и синяя стрелки обозначают S → р и S → я , соответственно.

Далее рассмотрим случай одиночного магнитооптического стержня. Как показано на рисунках 5A1 и A2, стержень имеет диаметр 11.6 см, больше, чем длина волны возбуждения (7 см), поэтому происходит сильное рассеяние Ми. На рисунке 5A1 показано, что когда H = 0, излучение электромагнитной волны демонстрирует регулярный дипольный отклик, и S → я знак равно 0 везде, так что в немагнитном случае ФЛФ не существует. Когда H = 1600 G (рис. 5A2), диаграмма направленности резко отличается, и внутри стержня преимущественно возбуждается четкая мода квадрупольного резонанса.Четыре полюса вместе со всем полем E _z вращаются против часовой стрелки с течением времени, что приводит к вихревому распределению поля и движению электромагнитной волны, подобному четырехлопастной ветряной мельнице. Эти своеобразные характеристики переноса поля полностью отличаются от хорошо известной радиальной квадрупольной диаграммы направленности в немагнитной среде, которая хорошо объясняется с помощью PLF.

Рисунок 5:

Результаты численного моделирования.

(A1, A2) Одиночный магнитооптический стержень в воздухе при f ₁ = 4,480 ГГц. (B1, B2) Одиночный магнитооптический стержень в воздухе на f ₂ = 9,464 ГГц. Пурпурные стрелки обозначают направление переноса электромагнитных волн.

Чтобы увидеть, что происходит, когда f > f ₀ , мы выбираем f ₂ = 9,464 ГГц [ B ( H ) = — 1], где магнитооптическая среда проявляет металлическое поведение. .Результаты для стержня диаметром 19,35 см, намного превышающего длину волны возбуждения (3 см), показаны на рисунках 5B1 и B2. Когда H = 0, поле E _z имеет гексапольную форму и излучает равномерно (рис. 5B1). Напротив, когда H = 1600 G , на рис. 5B2 показана октапольная ветряная мельница энергетического вихря по часовой стрелке, вращающаяся вдоль края стержня с выступающими светлыми хвостами. В отличие от случая f ₁ [где B ( H ) = + 1], теперь более сильный поток энергии локализован вдоль края стержня, и, что более интересно, направление его вращения инвертируется с против часовой стрелки на по часовой стрелке, так как B ( H ) изменяется с положительного на отрицательный.

Наличие и действие PLF в различных магнитооптических структурах указывает на плодотворные границы электромагнетизма, которые еще не были раскрыты. Важно отметить, что эта фундаментальная концепция PLF может прекрасно раскрыть микроскопическое происхождение и построить исчерпывающую картину топологических фотонных состояний. Далее мы рассматриваем границу раздела между воздухом и магнитооптической средой на частоте f > f ₀ [ B ( H ) <0].Как показано на рисунке 6A, из-за сильных металлических свойств потоки энергии могут проникать только на определенную глубину с ослаблением. Согласно закону левой руки, PLF указывает в противоположном направлении большого пальца, вызывает световой вихрь против часовой стрелки и заставляет поток энергии отклоняться влево. Таким образом, при совместном действии PLF и металлических свойств создается одностороннее краевое состояние при условии B ( H ) = -1 (Рисунок 6B). Диаграмма потока энергии на рисунке 6B хорошо согласуется со схематической диаграммой на рисунке 6A.

Рисунок 6:

Топологические фотонные состояния в полубесконечной системе на f ₂ .

(A) Принципиальная схема. (B) Результаты моделирования поля E _z с S → р и S → я .

4 Образования топологических фотонных состояний

Затем мы используем физическую концепцию PLF для построения основных физических изображений топологических фотонных состояний и понимания их уникального поведения при прохождении в гораздо более сложных магнитооптических фотонных кристаллах (MOPC) [16], [17]. Поскольку структуры MOPC обладают гораздо лучшей эффективной металличностью, обеспечиваемой фотонной запрещенной зоной, топологические фотонные состояния демонстрируют гораздо меньшую транспортную диссипацию и потери по сравнению с металлическими магнитооптическими системами на рисунке 6.На рисунке 7A1 точечный источник, колеблющийся на частоте f ₃ = 7,765 ГГц ( f ₃ > f ₀ = 3 ГГц), расположен близко к краю сотового MOPC. Энергия сильно локализована на краю и распространяется вправо. Поскольку f ₃ находится вне светового конуса, топологическое фотонное состояние не связано с воздушными модами, и электромагнитная энергия хорошо ограничивается на краю зигзага для однонаправленного распространения.В этой открытой системе и в воздушно-магнитооптической системе на рис. 6 оба топологических фотонных состояния возникают в результате комбинированного действия эффективной металличности и PLF. Однако физическая картина на рисунках 7A1 – A3 отличается от рисунков 6, и мы можем обратиться к рисунку 5B2, чтобы лучше понять это различие. На рисунке 5B2 показан одиночный магнитооптический стержень с вихрем энергии ветряной мельницы по часовой стрелке, а на рисунке 7A2 показано коллективное поведение микроскопических вихрей на рисунке 5B2, формирующих макроскопический односторонний перенос.Существует два транспортных канала: основной и вторичный. Большая часть потока энергии переносится вправо по краю зигзага, образуя основной канал, в то время как меньшая часть энергии, излучаемой назад, полностью отбрасывается назад и распространяется вперед через петлю против часовой стрелки вдоль внутренних краев всего шестиугольника (см. Рисунок 7A1), образуя вторичный канал.

Рисунок 7:

Топологические фотонные состояния в различных MOPC.

(A1) открытый сотовый MOPC, (B1) квадратный волновод MOPC и (C1) квадратный волновод MOPC с препятствием. Диаграммы включают | E | распределения (A1, B1, C1), схематические диаграммы (A2, B2, C2) и распределения потока энергии (A3, B3, C3). Черные стрелки обозначают направление переноса, синие стрелки указывают направление и интенсивность энергетического вихря вокруг магнитооптического стержня, а темно-синие слои представляют собой идеальный электрический проводник. Индекс 1–4 в (C1) означает четыре критических магнитооптических стержня (стержни 1–4), обсуждаемых в основном тексте.

Квадратные волноводы MOPC также могут достигать топологических фотонных состояний в запрещенной зоне [16]. Однако эти топологические фотонные состояния находятся внутри светового конуса и вызывают утечку света в воздух, поэтому волновод, состоящий из квадратного MOPC и металлической оболочки, формирует канал без потерь для топологических фотонных состояний. Рабочая частота f ₄ = 4,3 ГГц ( f ₄ < f ₀ = 6.509 ГГц). Согласно закону левой руки, как показано на рис. 7B1 – B3, поток энергии вращается против часовой стрелки, образуя ветряную мельницу вокруг магнитооптических стержней, как показано на рис. 5B. Физика топологических фотонных состояний в одностороннем волноводе может быть описана физической картиной, изображенной на рисунке 7B2, где топологическое фотонное состояние возникает из общих эффектов связи вихря энергии против часовой стрелки вокруг каждого стержня и транспортных мод в волновод.Большая часть энергии распространяется вправо по основному каналу, то есть по волноводу. Энергия, излучаемая назад, постепенно отклоняется, перемещаясь вперед и образуя вторичный канал под действием PLF и запрещенной зоны. Строгое моделирование (рис. 7B1 и B3) полностью подтверждает этот физический анализ на основе PLF. Кроме того, энергия, излучаемая в воздух, отражается назад металлической оболочкой и попадает в основной или вторичный канал и распространяется вправо. Таким образом, физическая картина, очерченная PLF, хорошо объясняет наличие топологических фотонных состояний в квадратном MOPC.

Наконец, мы рассматриваем наиболее интригующую особенность топологических фотонных состояний, то есть их устойчивость и невосприимчивость к обратному рассеянию, вызванному препятствием. Мы вставляем препятствие в волновод (рисунок 7B1) и показываем результат моделирования (рисунок 7C1). Физическое изображение изображено (рис. 7C2) на основе PLF. Критическим шагом для надежного перемещения вокруг препятствия является прохождение электромагнитной волны через левый острый угол 90 °, подъем через острый конец препятствия и прохождение через правый острый угол 90 °.Согласно рисункам 7C2 и C3, перенос энергии по-прежнему следует по основному и вторичному каналам, обозначенным толстыми и тонкими красными стрелками соответственно (рисунок 7C2). В основном канале входящая волна сначала проходит по прямому волноводу в виде топологического фотонного состояния (рис. 7B1 – B3). Когда он попадает в левый острый угол, поток энергии сильно рассеивается на самом дальнем магнитооптическом стержне в углу (стержень 1). Благодаря PLF большая часть потока энергии рассеивается вниз, буксируется вправо, ударяется о поверхность препятствия и одновременно рассеивается влево, вверх и вниз.Затем левый (или нисходящий) поток энергии снова буксируется вниз (или вправо) PLF. Электромагнитная волна многократно повторяет такое нисходящее спиральное движение за полупериод против часовой стрелки и образует основной канал переноса энергии. Такой спирально пропускаемый основной поток энергии в конечном итоге попадает в левый магнитооптический стержень, ближайший к нижнему концу металлического среза препятствия (стержень 2). Затем он продолжает свое полупериодное спиральное движение (теперь вправо) под действием PLF и ударяется о соседний правый стержень МО (стержень 3).Затем он поднимается вверх, следуя полупериодному спиральному движению также под действием PLF, и проходит через правый острый угол 90 ° и стержень 4. Наконец, он перемещается вправо по волноводу в виде топологического фотонного состояния. На рис. 7C1 – C3 основной канал по существу следует траектории, образованной металлическим препятствием и его левым и правым ближайшими соседними рядами магнитооптических стержней.

Вторичный канал потока энергии начинается с вторичного рассеяния электромагнитной волны вверх, когда основной поток энергии проходит вокруг стержня 1 и ударяется о левую поверхность препятствия.Из-за эффекта PLF этот вторичный поток энергии начинает свой длинный путь спирального движения за полупериод по траектории, по существу такой же, как у основного канала. На рис. 7C2 и 4C3 другой источник, вносящий вклад в основной поток энергии, исходит от вторичной волны рассеяния вниз, когда входящая электромагнитная волна ударяется о стержень прямо перед стержнем 1. Этот поток вторичной энергии вливается в основной канал, становится его частью и увеличивает его общую интенсивность. Проще говоря, устойчивый перенос топологического фотонного состояния через металлическое препятствие происходит из полупериодного спирального движения электромагнитной волны под действием PLF.Физические картины циклического движения, показанные на Рисунке 7, полностью повторяют те, которые показаны на Рисунке 1, как для электронов, так и для фотонов под действием ELF и PLF, соответственно.

5 Выводы

Таким образом, мы обнаружили, что фотоны, переносящиеся в магнитооптических материалах и структурах, будут сталкиваться с PLF через косвенное взаимодействие фотонов с эффективным магнитным полем, поддерживаемым магнитооптической средой, аналогично ситуации для электронов в квантовом эффекте Холла, сконденсированном. системы материи.Этот эффект может вызвать полупериодное спиральное движение света на поверхности однородной металлической магнитооптической среды и неоднородных MOPC, а также управлять интригующими односторонними транспортными свойствами устойчивости и невосприимчивости к обратному рассеянию, вызванному дефектами, нарушениями и препятствиями. Если углубиться в уравнения Максвелла для магнитооптических материалов с внешним магнитным полем, поток энергии электромагнитной волны можно разделить на чисто реальную и чисто мнимую части. S → р и S → я , которые всегда перпендикулярны друг другу ( S → р ⊥ S → я ) независимо от направления распространения электромагнитной волны.Мнимая часть потока электромагнитной энергии играет важную физическую роль в переносе топологических фотонных состояний в магнитооптической среде. Этот момент никогда не отмечался в классической электродинамике, электромагнетизме и оптике и противоречит общепринятому мнению, согласно которому мнимой частью потока электромагнитной энергии можно пренебречь. PLF — это косвенное взаимодействие с фотонами через эффективное магнитное поле, поддерживаемое магнитооптической средой, в отличие от случая классической силы Лоренца, возникающей из магнитного поля, действующего непосредственно на заряженные частицы, такие как электроны.Кроме того, мы определяем закон левой руки, чтобы интуитивно судить о направлении PLF против направления переноса света.

Мы более глубоко исследуем физические явления в бесконечных, полубесконечных одностержневых системах, соответственно, и строим хорошо проясненные микроскопические физические изображения для топологических фотонных состояний в различных структурах MOPC на основе действия PLF. Эти изображения могут хорошо объяснить все соответствующие специфические макроскопические свойства переноса света в топологических системах фотонных состояний и дополнительно подтвердить, что PLF является микроскопическим источником этих специфических поведений.В некотором смысле микроскопическая картина может хорошо соответствовать полуклассической физической картине для электронных топологических состояний в системе квантового эффекта Холла и критической роли силы Лоренца в формировании этих топологических фотонных состояний. С другой стороны, фундаментальное сходство и различие между электронами и фотонами указывает на то, что существует более тесная связь между источником заряда (электронами) и излучением (фотонами), чем предыдущее общее понимание, выраженное в стандартных учебниках классической электромагнетизма и электродинамики.Выявление физического эффекта PLF может дать полезные подсказки для глубокого изучения вытекающих из этого нетривиальных физических значений в топологических фотонных системах, а в более широком аспекте науки поможет раскрыть обширную новую физику, такую ​​как PLF, в старой научной дисциплине электродинамики, электромагнетизма и т. Д. оптика.

Источник финансирования: Национальный фонд естественных наук Китая

Идентификатор премии / номер гранта: 11434017

Идентификатор премии / номер гранта: 11504114

Источник финансирования: Программа группы исследований в области инноваций и предпринимательства провинции Гуандун

Идентификатор награды / Номер гранта: 2016ZT06C594

Список литературы

[1] Дарригол О.Электродинамика от Ампера до Эйнштейна. Оксфорд, Англия: Oxford University Press, 2000. Искать в Google Scholar

[2] Shen SQ. Топологические изоляторы, 2-е изд. Гонконг, Китай: Университет Гонконга, 2017. Поиск в Google Scholar

[3] Haldane FDM, Raghu S. Возможная реализация направленных оптических волноводов в фотонных кристаллах с нарушенной симметрией относительно обращения времени. Phys Rev Lett 2008; 100: 013904. Искать в Google Scholar

[4] Raghu S, Haldane FDM. Аналоги краевых состояний квантового эффекта Холла в фотонных кристаллах.Phys Rev A 2008; 78: 033834. Искать в Google Scholar

[5] Wang Z, Chong Y, Joannopoulos JD, Soljačić M. Наблюдение за однонаправленным обратным рассеянием иммунных топологических электромагнитных состояний. Природа 2009; 461: 772–5. Искать в Google Scholar

[6] Рехтсман М.К., Цойнер Дж. М., Плотник Ю. и др. Фотонные топологические изоляторы Флоке. Природа 2013; 496: 196–200. Искать в Google Scholar

[7] Chen WJ, Jiang SJ, Chen XD, et al. Экспериментальная реализация фотонного топологического изолятора в одноосном метакристаллическом волноводе.Нац Коммуна 2014; 5: 5782. Искать в Google Scholar

[8] Гао В., Лоуренс М., Ян Б. и др. Топологическая фотонная фаза в хиральных гиперболических метаматериалах. Phys Rev Lett 2015; 114: 037402. Искать в Google Scholar

[9] He C, Sun XC, Liu XP и др. Фотонный топологический изолятор с нарушенной симметрией относительно обращения времени. Proc Natl Acad Sci USA 2016; 113: 4924–28. Искать в Google Scholar

[10] Миттал С., Ганешан С., Фан Дж., Ваэзи А., Хафези М. Измерение топологических инвариантов в двумерной фотонной системе.Нат Фотон 2016; 10: 180–3. Искать в Google Scholar

[11] Слобожанюк А., Мусави Ш., Ни Х, Смирнова Д., Кившар Ю.С., Ханикаев А.Б. Трехмерный полностью диэлектрический фотонный топологический изолятор. Нат Фотон 2017; 11: 130–6. Искать в Google Scholar

[12] Fang C, Lu L, Liu J, Fu L. Топологические полуметаллы с геликоидными поверхностными состояниями. Nat Phys 2016; 12: 936–41. Искать в Google Scholar

[13] Gao F, Xue H, Yang Z, et al. Топологически защищенное преломление устойчивых состояний излома в долинных фотонных кристаллах.Nat Phys 2018; 14: 140–4. Искать в Google Scholar

[14] Донг Дж. У., Чен XD, Чжу Х, Ван И, Чжан Х. Фотонные кристаллы долины для управления спином и топологией. Nat Mater 2017; 16: 289–302. Искать в Google Scholar

[15] Kang Y, Ni X, Cheng X, Khanikaev AB, Genack AZ. Связанные краевые состояния псевдоспин-долина в фотонном топологическом изоляторе. Нац Коммуна 2018; 9: 3029. Искать в Google Scholar

[16] Ван З., Чонг Ю.Д., Йоаннопулос Дж. Д., Солячич М. Односторонние краевые моды без отражения в гиромагнитном фотонном кристалле.Phys Rev Lett 2008; 100: 013905. Искать в Google Scholar

[17] Poo Y, Wu RX, Lin Z, Yang Y, Chan CT. Экспериментальная реализация самонаводящихся однонаправленных электромагнитных краевых состояний. Phys Rev Lett 2011; 106: 0. Искать в Google Scholar

[18] Лу Л., Фу Л., Джоаннопулос Дж. Д., Солячич М. Точки Вейля и узлы линий в гироидных фотонных кристаллах. Нат Фотон 2013; 7: 294–9. Искать в Google Scholar

[19] Скирло С.А., Лу Л., Солячич М. Многомодовые односторонние волноводы с большими числами Черна.Phys Rev Lett 2014; 113: 113904. Искать в Google Scholar

[20] Skirlo SA, Lu L, Igarashi Y, Yan Q, Joannopoulos JD, Soljačić M. Экспериментальное наблюдение больших чисел Черна в фотонных кристаллах. Phys Rev Lett 2015; 115: 253901. Искать в Google Scholar

[21] Лу Л, Ван З, Йе Д и др. Экспериментальное наблюдение точек Вейля. Наука 2015; 349: 622–4. Искать в Google Scholar

[22] Но Дж, Хуанг С., Лейкам Д., Чонг Ю.Д., Чен К.П., Речтсман М.С. Экспериментальное наблюдение оптических точек Вейля и поверхностных состояний, подобных дуге Ферми.Nat Phys 2017; 13: 611–7. Искать в Google Scholar

[23] Chen WJ, Xiao M, Chan CT. Фотонные кристаллы, обладающие множественными точками Вейля, и экспериментальное наблюдение устойчивых поверхностных состояний. Нац Коммуна 2016; 7: 13038. Искать в Google Scholar

[24] Xiao M, Lin Q, Fan S. Гиперболическая точка Вейля в взаимно хиральных метаматериалах. Phys Rev Lett 2016; 117: 057401. Искать в Google Scholar

[25] Гао В., Ян Б., Тремейн Б. и др. Экспериментальное наблюдение вырождения фотонных узловых линий в метакристаллах.Нац Коммуна 2018; 9: 950. Искать в Google Scholar

[26] Ян Б., Го К., Тремейн Б. и др. Идеальные точки Вейля и геликоидные поверхностные состояния в искусственных фотонно-кристаллических структурах. Наука 2018; 359: 1013–6. Искать в Google Scholar

[27] Ao X, Lin Z, Chan CT. Односторонняя краевая мода в магнитооптическом сотовом фотонном кристалле. Phys Rev B 2009; 80: 033105. Поиск в Google Scholar

[28] Лю С., Лу В., Линь З, Чуй СТ. Магнитно-управляемые однонаправленные электромагнитные волноводные устройства на основе метаматериалов.Appl Phys Lett 2010; 97: 2011 13. Искать в Google Scholar

[29] Liu S, Lu W, Lin Z, Chui ST. Формовочное отражение от метаматериалов на основе магнитных поверхностных плазмонов. Phys Rev B 2011; 84: 045425. Искать в Google Scholar

[30] Lian J, Fu JX, Gan L, Li ZY. Прочные и устойчивые к беспорядкам односторонние волноводы с магнитной перестройкой в ​​гиромагнитном фотонном кристалле. Phys Rev B 2012; 85: 125108. Искать в Google Scholar

[31] Лю Дж, Шен Л, Дэн Х, Ли Х, Чжэн Х. Влияние формы границы фотонного кристалла на существование односторонней краевой моды.Appl Opt 2013; 52: 5216–20. Искать в Google Scholar

[32] Li Z, Wu RX, Li QB, et al. Наблюдение широкополосного однонаправленного пропускания путем объединения односторонних краевых состояний гиромагнитных фотонных кристаллов. Opt Express 2015; 23: 9658–63. Искать в Google Scholar

[33] Li FF, Wang HX, Xiong Z, et al. Топологический захват света на дислокации. Нац Коммуна 2018; 9: 2462. Искать в Google Scholar

[34] Онода М., Мураками С., Нагаоса Н. Геометрические аспекты в динамике оптических волновых пакетов.Phys Rev E 2006; 74: 066610. Искать в Google Scholar

Дополнительные материалы

В онлайн-версии этой статьи есть дополнительные материалы (https://doi.org/10.1515/nanoph-2019-0428).

Поступила: 16.10.2019

Пересмотрено: 18.11.2019

Принята к печати: 08.12.2019

Опубликовано в сети: 09.01.2020

© 2020 Zhi-Yuan Li et al., опубликовано De Gruyter, Берлин / Бостон

Это произведение находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

.