Комплексные частотные характеристики

Передаточная комплексная функция (коэффициент передачи, системная функция) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме. Предполагается, что в цепи действует одно внешнее воздействие, т. е. цепь содержит один источник воздействия, а другие независимые источники напряжения или тока отсутствуют или не действуют.
Различают четыре вида передаточных функций:
передаточная функция по напряжению

передаточная функция по току

передаточное сопротивление

передаточная проводимость

Передаточные функции

могут определяться для различных пар выбранных входных и выходных выводов цепи.
В частном случае обе пары выводов совпадают, так что , т. е. для них получается тривиальное решение. Зависимость модуля передаточной функции K(ω) от частоты называется амплитудно — частотной характеристикой (АЧХ), зависимость аргумента передаточной функции ψ(ω) — фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На комплексной плоскости можно построить геометрическое место конца вектора К(jω) при изменении частоты — амплитудно — фазовую характеристику (АФХ), или годограф вектора К(jω).
В качестве примера определим АЧХ и ФЧХ передаточной функции по напряжению простейшего rС-фильтра, схема которого дана на рис. 4.17, в режиме холостого хода. Входные выводы фильтра 1—1‘, т.е. выходные выводы 2-2′, т. е. .
Передаточная функция

т. е. амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики

Зависимости (4.19) аналогичны (4.13), т.е. графики такие же, как и на рис. 4.16, но с .
Для цепей с сосредоточенными параметрами передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов относительно р=jω с действительными коэффициентами:

Если К(jω) — безразмерная величина , то можно составить логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику



В (4.20) единице действительной составляющей логарифмической АФХ, т. е. безразмерной логарифмической амплитудной характеристике, дано название непер (Нп), мнимая составляющая ψ(ω) должна быть записана в радианах. Для логарифмической амплитудной характеристики применяют и другую единицу — децибел (дБ). В этом случае вычисляется . Непер и децибел связаны соотношением .

Комплексная частотная характеристика — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Комплексная частотная характеристика

Cтраница 3

Функцию Я ( со) можно в принципе представить с помощью годографа на гауссовой комплексной плоскости, однако на практике обычно используют представление комплексной частотной характеристики с помощью так называемой диаграммы Боде. Эта диаграмма представляет собой зависимости фазы и логарифма отношения амплитуд от логарифма частоты.  [32]

ЗДз ( со), 5ДОДО ( со) — спектральные плотности отклонений расхода и доз соответственно; W ( / со) — модуль комплексной частотной характеристики; додо ( т) — корреляционная функция отклонений доз; со — частота; т — время.  [33]

Как известно [39], спектральная плотность процесса, полученная в результате прохождения белого шума через линейную систему, равна произведению интенсивности входного шума е на квадрат модуля

комплексной частотной характеристики системы.  [34]

Функциональной характеристикой элемента автоматического устройства при частотном представлении его входного 2Ги ( / со) и выходного 2, 0в) сигналов ( см. § 1.3) является комплексная частотная характеристика или комплексный коэффициент передачи. Она определяет прохождение через функциональный элемент гармонического воздействия: непрерывного jcBX ( /) A msincoii; дискретизованного свх ( и7) л5тсо Г или дискретного ( обычно цифрового) ( п7) — X smomTc точностью до АХ.  [35]

Вид функции / С ( р) совпадает с рассмотренной функцией К. Последняя является

комплексной частотной характеристикой передаточной функции.  [36]

Кривая, описываемая концом вектора Д / со) или Де / Ц) Г) в комплексной плоскости при изменении со, называется алиглитудно-фазнойхарактеристикой. В прямоугольной системе координат комплексная частотная характеристика представляется двумя характеристиками: амплитудно-частотной ( АЧХ) А ( со) или & ( о7) и фазо-частртной ( ФЧХ) ф ( со) или ср ( со I) соответственно.  [37]

Наряду с характеристикой коэффициента передачи в частотной области важен и другой параметр, а именно сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входному. Другими словами, нас интересует

комплексная частотная характеристика фильтра, которая обычно обозначается как H ( s), где sjb shH — комплексные величины. Фазочастотная характеристика важна, поскольку сигнал, целиком расположенный по частоте в полосе пропускания, будет искажен, если время запаздывания при прохождении через фильтр не будет постоянным для различных частот. Постоянство временной задержки ( для всех частот) соответствует линейному возрастанию фазового сдвига в зависимости от частоты, поэтому термин фильтр с линейной фазочастотной характеристикой применяется к идеальному в этом отношении фильтру.  [39]

При этом частота мо-хуляции меняется от наименьшего до наибольшего чначения в интересующем нас интервале. Опыты та-эго рода показали, что комплексная частотная характеристика большинства световодов близка к характеристике гауссова фильтра нижних частот. Область частот от 0 до cog называют полосой пропускания оптического волокна.  [40]

Пространственный спектр поверхности умножается не на комплексную частотную характеристику свободного пространства, а только на ее модуль. При таком решении задачи не получается реальной интерференционной картины и выпадает из рассмотрения такой параметр задачи, как расстояние до плоскости наблюдения, поскольку этот параметр входит лишь в фазу частотной характеристики свободного пространства и трудится вовсю, изменяя фазы интерферирующих между собою спектральных компонент. Именно эта работа может быть точно выполнена лишь в редких случаях, один из которых мы рассматриваем.  [41]

Таким образом, в случае приема аддитивной смеси сигнала и белого шума комплексная частотная характеристика фильтра, оптимального по критерию максимального отношения сигнал / шум, полностью определяется амплитудным спектром входного сигнала. В соответствии с этим оптимальные фильтры с комплексными частотными характеристиками (14.24) называют согласованными.  [42]

Другим видом мультипликативной связи является связь сигналов через их спектры. Примером такой связи служит связь между спектром сигнала и формой комплексной частотной характеристики фильтра, через который прошел этот сигнал. Если частотную характеристику фильтра считать тоже сигналом, то получатся два мультипликативно связанных сигнала. Разделение так связанных сигналов позволяет решить задачу, которая кажется невозможной, а именно: по спектру на выходе фильтра определить, какой сигнал был подан на его вход и частотную характеристику самого этого фильтра.  [43]

Поскольку x ( t) и X ( j ( o) связаны взаимно однозначно, то выражение (3.8) можно рассматривать как математическую модель величины в форме импульса в частотной области. Выражение (3.8) является комплексным и потому прямое преобразование Фурье называют

еще комплексной частотной характеристикой величины.  [44]

Страницы:      1    2    3    4

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

, .

Амплитудная частотная характеристика

.

У идеального дифференцирующего звена с увеличением  амплитуда линейно возрастает до ∞ . У реального дифференцирующего звена амплитуда возрастает монотонно, стремясь к пределу k / T .

Фазовая частотная характеристика

 () = arctg .

При  = 0,  = 90 , как у идеального дифференцирующего звена. Но мере увеличения частоты опережение по фазе уменьшается до нуля.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области

< 1 . В области > 1L₂= 20lg(k/T)

Прямая L₁ пересекает ординату в точке с координатами lg = 0 , L₁ = 20 lg k , абсциссу – в точке с координатами lg = lg(1 / k) , L₁ = 0 . Cледует учесть, что k  1 и потому lg(1 / k) – число отрицательное. Прямая L₂ параллельна оси абсцисс, пересекает ординату в точке lg = 0, L₂ = 20lg(k /T) . Прямые L₁

и L₂ пересекаются в точке с абсциссой lg = lg(1 /T) . График представлен на рис. 3.6.

L()

0

Рис. 3.6. Асимптоты ЛАЧХ

реального дифференцирующего звена.

Чтобы найти переходную функцию, в операторном уравнении заменим X(p) на 1/ p:

.

Таблица преобразований Лапласа указывает, что

.

Значит, переходная функция имеет вид

.

В момент t = 0 h(0) = k /T. По мере увеличения t, функция h (t) экспоненциально уменьшается до нуля. Напомним: в идеальном дифференцирующем звене переходная функция имеет вид импульса.

5. Колебательное звено.

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания  и резонансной частотой

ω₀ . Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7):  = Т₀ / 2Т , ω₀ = 1 / Т . Если ввести  в уравнение (3.7) , оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2  Т + y = kx. (3.8)

Условие Т₀² < 4Т ² заменяется условием ² < 1 .

Получим описание колебательного звена.

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T

2p² + 2  Tp + 1) Y(p) = kX(p) ,

из которого получается передаточная функция

.

Если выходная величина не изменяется (dy/dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: К(0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

.

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

,

.

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

У колебательного звена кривая A() имеет пик, вершина которого отвечает частоте₀= 1/T(рис. 3.5). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равнаk/ 2. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от = 0 до= 1/Tрассчитывается по формуле

.

П

2

2

1

ξ

2

)

(











T

T

arctg









ри = 0 () = 0. Значению ₀ = 1/T соответствует запаздывание –90  . С увеличением  запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле .

Характер кривых показан на рис. 3.6.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L() = 20 lg k – 10 lg (1-T²²)² + 4 ²T²² .

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания  . В интервале 0,3    1 приемлемо асимптотическое представление. В области   1 L₁ = 20lgk. В области   1 L₂ = 20lg (k/T²) – 40 lg . Условие сопряжения прямых ₀ = 1/T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L₂ c осью абсцисс при  =/T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.7.

Комплексная частотная характеристика САУ — Студопедия

– является преобразованием Фурье от весовой функции :

;

Комплексная частотная характеристика является комплексной величиной.

Комплексная частотная характеристика как и передаточная функция есть отношение выходного гармонического сигнала к гармоническому сигналу на входе комплексном виде, принимающую множество значений в зависимости от частоты гармонического сигнала .

; .

Представление в полярных координатах:

, где

называется амплитудно-частотной характеристикой системы и представляет собой отношение амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе , при частоте входного сигнала равной , что означает, что если – некоторая амплитуда

, то

сигнал на выходе

зависит от частоты.

.

– фазо-частотная характеристика показывает на сколько выходной сигнал при заданной частоте сдвинут по фазе относительно входного сигнала .

– вещественная часть комплексной частотной характеристики системы;

– мнимая часть комплексной частотной характеристики системы.

и – полярные координаты частотной характеристики.

Между полярными координатами и , существует однозначное соответствие:

;

;

;

.

При каждом фиксированном значении частоты значение однозначно определяет точку на комплексной области … с декартовыми координатами и или полярными координатами и .

можно изобразить на комплексной области в виде годографа вектора в зависимости от частоты , где изменяется от до .

Часть годографа при от до симметрична части годографа при от до .

При экспериментальном определении комплексной частотной характеристики на вход системы подают гармонический сигнал , то выход системы будет меняться по закону , причем и при неизменной амплитуде будут зависеть от частоты .

Каждому фиксированному значению частоты будут соответствовать определенные значения и , а следовательно вычисленная для данной частоты

.

Комплексная частотная характеристика системы — это… Что такое Комплексная частотная характеристика системы?

Комплексная частотная характеристика системы

77. Комплексная частотная характеристика системы

Характеристика линейной системы, представляющая собой преобразование Фурье импульсной характеристики системы

Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации. academic.ru. 2015.

• комплексная структура ЗБИ ЕСФОБД
• комплексно-системный каталог

Смотреть что такое «Комплексная частотная характеристика системы» в других словарях:

• Логарифмическая амплитудная частотная характеристика — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ)  представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… …   Википедия

• Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ)  представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… …   Википедия

• Логарифмическая фазовая частотная характеристика — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ)  представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… …   Википедия

• ГОСТ 21878-76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения — Терминология ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа: Cross power spectral density function of stationary dependent random processes Определения термина из разных документов: Cross power… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Импульсная перезодная характеристика — Импульсная переходная функция (импульсная переходная характеристика, импульсная характеристика, ИПФ) выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет… …   Википедия

• Импульсная переходная характеристика — Импульсная переходная функция (импульсная переходная характеристика, импульсная характеристика, ИПФ) выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет… …   Википедия

• Импульсная характеристика — Импульсная переходная функция (импульсная переходная характеристика, импульсная характеристика, ИПФ) выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет… …   Википедия

• СА 03-002-05: Стандарт ассоциации. Системы мониторинга агрегатов опасных производственных объектов. Общие технические требования — Терминология СА 03 002 05: Стандарт ассоциации. Системы мониторинга агрегатов опасных производственных объектов. Общие технические требования: 2.1. Агрегат : совокупность механически соединенных механизмов, узлов, машин и конструкций, работающих… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Импульсная передаточная функция — Импульсная переходная функция (импульсная переходная характеристика, импульсная характеристика, ИПФ) выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет… …   Википедия

• Импульсный отклик — Импульсная переходная функция (импульсная переходная характеристика, импульсная характеристика, ИПФ) выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет… …   Википедия

Page

Теоретическая часть

1. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

2. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

3. ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Практическая часть

1. ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

2. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Контрольные вопросы

 

Лабораторная работа № 9

 Частотные характеристики

непрерывных систем управления

 

Цель работы: выработать навыки исследования и построения частотных характеристик линейных динамических моделей систем управления, заданных своими передаточными функциями в системе MATLAB.

 

Теоретическая часть

 

1. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

 

Линейные стационарные системы управления могут быть описаны в пространстве состояний и представлены через свои передаточные функции. Широкое использование передаточных функций обусловлено в немалой степени тем, что они напрямую связаны с частотными характеристиками систем управления. Эта связь вытекает из преобразований Лапласа и преобразования Фурье. Формально переход от передаточной функции W(s) с комплексной переменной s к частотной передаточной функции W(jw) можно произвести при замене переменной s на переменную jw.

В силу принципа суперпозиции для линейных систем можно рассматривать системы с одним входом и одним выходом. Пусть передаточная функция системы задана в общем виде:

 (9.1)

Подставляя в (9.1) jw вместо s, получим частотную передаточную функцию

 (9.2)

где – мнимая единица, w – круговая частота.

При фиксированной частоте w частотная передаточная функция (9.1) представляет собой комплексное число, которое можно представить в показательной и алгебраической формах (для каждого элемента передаточной функции, опуская индексы):

 (9.3)

где  – вещественная частотная характеристика,

 – мнимая частотная характеристика,

 – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

 – фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Вещественная частотная характеристика U(w) является четной функцией частоты w, а мнимая частотная характеристика V(w) – нечетной.

Годограф передаточной функции  при  (обычно берут ) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), а также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ), или годографом Найквиста. АФЧХ строится на комплексной плоскости: по оси абсцисс откладывается вещественная часть , а по оси ординат – мнимая часть . Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки затем соединяются плавной кривой [1]. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФХ, соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемой против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции.

АФХ дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена или системы отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними.

АФХ можно строить в полярной системе координат, вычисляя непосредственно модуль и фазу комплексной частотной передаточной функции и используя показательную форму представления комплексного числа, т. е.

На рис. 9.1. представлена связь вещественных частотных функций, используемых для построения АФХ.

Рис. 9.1. Пример годографа W(jw)

 

2. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

 

Амплитудно-частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания осуществляется по отношению амплитуд выходной и входной величин [1]. Амплитудно-частотная характеристика связана с частотной передаточной функцией соотношением

 (9.4)

В практических применениях амплитудно-частотную характеристику часто изображают в логарифмическом масштабе. В этом случае получают логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ, или ЛАХ). При ее построении по оси ординат откладывают величину

 (9.5)

единицей измерения которой является децибел. При этом по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада – любой отрезок, на котором значение частоты w увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза . Начало координат обычно помещают в точке , так как lg1 = 0. Точка же  лежит в минус бесконечности (–¥). Однако в зависимости от интересующего диапазона частот начало координат можно брать в другой точке ( или другие). Следует иметь в виду, что значение оси абсцисс, при которой ЛАЧХ обращается в нуль, соответствует амплитуде А = 1, т. е. прохождению амплитуды сигнала через систему (звено) в натуральную величину.

 

3. ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

 

Аргумент  называют фазовой частотной функцией, а ее график – фазовой частотной характеристикой (фазочастотной характеристикой).

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах [1].

Выражение для фазовой частотной функции может быть получено из алгебраической формы записи частотной функции (9.3):

 (9.6)

При вычислении  по формуле (9.6) значение k определяют, исходя из каких-либо дополнительных соображений, учитывая, что главные значения функции тангенса терпят разрыв 2-го рода в точках (–p/2) и (p/2).

В случае, когда фазовый сдвиг лежит в пределах [-π; π], можно воспользоваться следующей схемой расчета [12]:

 (9.7)

При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) отсчет углов  идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота w в логарифмическом масштабе.

 

Частотные характеристики электрических цепей. Основные сведения. КЧХ электрических цепей первого порядка

4. Лабораторная работа № 4

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦЕПЕЙ

4.1. Основные сведения

Для описания свойств электрических цепей при гармоническом воздействии используют частотные характеристики, понимая под ними отношение отклика V₂ к входному воздействию V₁ при различных частотах. Комплексная частотная характеристика (КЧХ) ЭЦ – это частотная зависимость отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия:

,             (4.1)

где H(ω) = V₂/V₁ – модуль КЧХ, который называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а ψ(ω) = (ψ₀₂ – ψ₀₁) – аргумент КЧХ или фазочастотная характеристика (ФЧХ) электрической цепи.

Таким образом, частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) электрической цепи характеризуют ее способность к передаче от входа к выходу амплитуды и фазы гармонических воздействий различной частоты.

Для двухполюсников отношение отклика к воздействию рассматривается на одной паре полюсов (выводов). Поэтому для них вводятся входные КЧХ  Z(jω) или Y(jω) с размерностью сопротивления или проводимости. Подобные характеристики рассматривались выше применительно к пассивным RLC двухполюсникам. То есть, если в качестве входного воздействия, приложенного к пассивному двухполюснику, используется синусоидальный ток (), а в качестве отклика – напряжение на входных зажимах двухполюсника (), то в соответствие с (4.1) входной КЧХ является входное сопротивление ЭЦ: . Аналогично входную КЧХ пассивного двухполюсника Y(jω) можно определить как .

Для описания свойств четырехполюсников используются входные, выходные и передаточные КЧХ. В данной лабораторной работе рассматриваются передаточные комплексные частотные характеристики  K(jω) пассивных четырехполюсников, определенных как отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжений .

3.1.1. КЧХ электрических цепей первого порядка

Электрическими цепями первого порядка называются ЭЦ, содержащие только один реактивный элемент. Передаточная КЧХ таких цепей в общем случае может быть представлено выражением в виде отношения двух линейных полиномов с аргументом ω:

.                                                                    (4.2)

Тогда амплитудно-частотная характеристика (модуль КЧХ) и фазочастотная характеристика (аргумент КЧХ) электрической цепи можно вычислить по формулам:

;                                                                           (4.3)

.                                             (4.4)

Рассмотрим два частных случая.

1.  Пусть а₁ = 0. Тогда из (4.2)-(4.4) следует:

,                                                            (4.5)

где K(0) = a₀/b₀ – коэффициент передачи ЭЦ по постоянному току (ω=0),

τ = b₁/b₀ – постоянная времени цепи;

АЧХ:    ;     ФЧХ         .         (4.6)

Графики АЧХ и ФЧХ (4.6) приведены на рис. 4.1. Частоту ω_г = 1/τ, на которой передаточная функция ЭЦ , называется граничной частотой полосы пропускания цепи, а такую цепь называют низкочастотным звеном. Примером пассивных низкочастотных звеньев служат ЭЦ, приведенные на рис. 4.2.

Для схемы рис. 4.2, а    передаточная функция имеет вид:

,                    (4.7)

где τ= RC – постоянная времени RC-цепи, а коэффициент передачи ЭЦ по постоянному току K(0) = 1.

Для LR-цепи (рис. 4.2, б) КЧХ имеет вид:

,                     (4.8)

где постоянная времени LR цепи τ = L/R, а K(0) = 1.

Рассмотренные схемы часто используются в качестве простейших сглаживающих фильтров (фильтров нижней частоты – ФНЧ) с верхней граничной частотой пропускания ω_В =ω_Г =1/τ. Звено типа RC (рис. 4.2, а) часто используется в качестве интегрирующей RC-цепи.

2.   Пусть а₀ = 0. Тогда из (4.2)-(4.4) получим:

,               (4.9)

где K(∞) = K(ω = ∞) = a₁/b₁, τ = b₁/b₀ – постоянное время цепи.

АЧХ: ;    ФЧХ: .        (4.10)

Графики АЧХ и ФЧХ (4.10) показаны на рис. 4.3. Частоту ω_г = 1/τ, на которой АЧХ , называется граничной частотой полосы пропускания цепи, а такую цепь называют высокочастотным звеном. Примером пассивных высокочастотных звеньев служат ЭЦ, приведенные на рис. 4.4.

Комплексные частотные характеристики RC- и LR-цепи (рис. 4.4) соответственно определяются выражениями:

,                    (4.11)

где τ= RC – постоянная времени RC-цепи, а K(∞) = 1.

,                     (4.12)

где постоянная времени LR-цепи τ = L/R, а K(∞) = 1.

Рассмотренные схемы являются простейшими фильтрами высокой частоты (ФВЧ) с нижней граничной частотой ω_Н =  ω_Г = .1/τ. Звено типа RC (рис. 3.4,а) при определенных условиях часто используется в качестве переходной цепи между каскадами усилителей или в качестве дифференцирующей RC-цепи.

3.1.2. КЧХ электрических цепей второго порядка

Электрическими цепями второго порядка называются ЭЦ, содержащие два реактивных элемента (однотипных или разнотипных). Передаточная КЧХ таких цепей в общем случае может быть представлена выражением в виде отношения двух квадратных полиномов с аргументом ω:

.          (4.13)

Тогда АЧХ и ФЧХ электрической цепи вычисляется по формулам:

АЧХ: ;                                         (4.14)

ФЧХ: .                (4.15)

Для удобства анализа КЧХ числитель и знаменатель выражения (4.13) следует поделить на число, равное b₂, оставив те же обозначения коэффициентов. Введя обозначения  b₂ = 1; b₁ = 2σ; b₀ = ω₀², получаем:

.                                                                       (4.13, а)

Тогда характеристическое уравнение имеет вид (p = jω):

,                                                                             (4.16)

а корни характеристического уравнения

Комплексная функция частотной характеристики — обзор

4.1 Функции частотной характеристики системы SDoF

Некоторые механические и структурные системы можно идеализировать как системы SDoF. Теория SDoF-системы является основой для анализа системы с более чем одной DoF. Это также обеспечивает физическое понимание вибрации структурной системы.

Мы будем использовать систему SDoF, показанную на рисунке 4.1, которая имеет массу, пружину и демпфер с вязким или структурным (гистерезисным) демпфированием.

Рисунок 4.1. Система SDoF с гармоническим возбуждением

Для гармонической силы f (t) = F (ω) ejωt отклик системы представляет собой другую гармоническую функцию x (t) = X (ω) ejωt, где X (ω) — комплексная амплитуда. Подставляя их в уравнения движения для различных моделей демпфирования в главе 3, мы можем получить отношение реакции смещения и входящей силы как:

(4.1) Для вязкого демпфирования: X (ω) F (ω) = 1k− ω2m + jωc

(4.2) Для структурного демпфирования: X (ω) F (ω) = 1k − ω2m + jh

Это отношение, часто обозначаемое как α (ω), определяется как функция частотной характеристики (FRF ) системы.Хотя FRF определяется как соотношение силы и реакции, FRF не зависит от них. Когда демпфирование равно нулю, сложная функция FRF превращается в реальную функцию.

FRF — это основная функция, от которой будет зависеть модальный анализ. Хотя теоретически FRF диктуется только системой, в действительности точность измеренных данных FRF имеет решающее значение для успеха модального анализа. В следующих трех главах, поскольку мы изучаем теорию модального анализа, точность данных FRF не является проблемой.

FRF, определенный в уравнениях (4.1) и (4.2), может принимать различные формы. Для случая вязкого демпфирования, например,

(4.3) α (ω) = 1 / k1 − ω2ω02 + j2ωω0

(4.4) α (ω) = 1 / mω02 − ω2 + j2ωω0ξ

Для случая структурного демпфирования , выражения аналогичны:

(4.5) α (ω) = 1 / k1 − ω2ω02 + jη2

(4.6) α (ω) = 1 / mω02 − ω2 + jω02η

В заданном FRF в качестве отклика используется смещение. . Он известен как рецепторный FRF. Вибрационная реакция также может быть скоростью или ускорением.Заменяя реакцию смещения X (ω) на скорость X˙ (ω) и ускорение X¨ (ω), можно определить два разных типа FRF как:

(4.7) FRF подвижности для вязкого демпфирования: Y (ω ) = X˙ (ω) F (ω) = jωk − ω2m + jωc

(4.8) FRF подвижности для гистерезисного демпфирования: Y (ω) = X˙ (ω) F (ω) = jωk − ω2m + jh

(4.9) FRF ускорения для вязкого демпфирования: A (ω) = X¨ (ω) F (ω) = — ω2k − ω2m + jωc

(4.10) FRF ускорения для гистерезисного демпфирования: A (ω) = X¨ (ω ) F (ω) = — ω2k − ω2m + jh

Очевидно, что три типа FRF, α (ω), Y (ω) и A (ω), легко взаимозаменяемы.Все три являются сложными функциями частоты. Их амплитуды следующие:

(4.11) | A (ω) | = ω | Y (ω) | = ω2 | α (ω) |

Разность фаз между ними остается постоянной на любой частоте:

(4.12) θA (ω) = θY (ω) + π2 = θα (ω) + π

Обратные величины трех FRF системы SDoF также несут полезное физическое значение и иногда используются в модальном анализе. Это соответственно:

(4,13) Динамическая жесткость = 1α (ω) = принудительное смещение

(4,14) Механическое сопротивление = 1Y (ω) = сила усилия

(4.15) Кажущаяся масса = 1A (ω) = ускорение силы

FRF системы SDoF может быть представлен в форме, отличной от форм в предыдущих уравнениях. В случае вязкого демпфирования, FRF приемного устройства можно разложить на множители и получить:

(4,16) α (ω) = Rjω + λ + R * jω − λ *

, где

(4,17) R = 12mω0j

( 4.18) λ = (- ζ + 1 − ζ2j) ω0

Коэффициенты конъюгата R и R * называются остатками рецептора. λ и λ * — комплексные полюса системы SDoF.Если тот же самый приемный FRF рассматривается как передаточная функция с аннулированной действительной частью переменной Лапласа, то ее можно выразить как:

(4.19) α (jω) = 1 (jω) 2m + (jω) c + k

FRF также можно рассматривать как обратное преобразование Фурье импульсной характеристики системы, отсюда:

(4.20) α (ω) = F − 1 (h (t)) = ∫ − ∞∞h (t) ejωtdt

4.5: Вывод сложной функции частотной характеристики — Простой вывод сложной функции частотной характеристики для стандартных стабильных систем первого порядка.

В этом разделе приведен пример гораздо более простого метода (чем в разделах 4.2 и 4.3) для получения функции частотной характеристики системы. Найдем АЧХ стандартных стабильных систем порядка 1 ^st . Из уравнения 3.4.8 стандартное стабильное ОДУ с синусоидальным возбуждением равно

.

\ [\ dot {x} + \ left (1 / \ tau_ {1} \ right) x = b u (t) = b U \ cos \ omega t \]

Мы ищем установившийся синусоидальный отклик \ (x_ {ss} (t) = X (\ omega) \ cos (\ omega t + \ phi (\ omega)) \), в котором \ (X (\ omega) \) и \ (\ phi (\ omega) \) — функции, которые необходимо найти.Первым шагом в этом методе является использование общего [для произвольного \ (u (t) \)] преобразования Лапласа, устанавливая IC на ноль:

\ [\ left. \ Left (s + 1 / \ tau_ {1} \ right) L [x (t)] \ right | _ {x_ {0} = 0} = b L [u (t)] \ ]

Затем мы формируем общую передаточную функцию системы , \ (T F (s) \), определяемую как отношение выходного преобразования к входному преобразованию, с нулевым IC:

\ [TF (s) \ Equiv \ frac {\ left.L [x (t)] \ right | _ {x_ {0} = 0}} {L [u (t)]} = \ frac {b} {s + 1 / \ tau_ {1}} \]

Независимая переменная \ (s \) Лапласа в общем случае комплексна.Однако, чтобы проанализировать частотную характеристику, мы полагаем \ (s \) в \ (TF (s) \) чисто воображаемым, а \ (S = j \ omega \) (\ (\ omega \) — реальной круговой частотой ), производя сложную функцию частотной характеристики \ (FRF (\ omega) \):

\ [\ left.TF (s) \ right | _ {s = j \ omega} \ Equiv TF (j \ omega) \ Equiv FRF (\ omega) = \ frac {b} {1 / \ tau_ {1} + j \ omega} = b \ tau_ {1} \ frac {1} {1 + j \ omega \ tau_ {1}} \ label {eqn: 4.18a} \]

Затем, используя уравнения 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8 и 2.1.11, мы алгебраически преобразуем \ (T F (j \ omega) \ Equiv F R F (\ omega) \) в полярную форму:

\ [\ begin {align} FRF (\ omega) & = b \ tau_ {1} \ frac {1} {1 + j \ omega \ tau_ {1}} \ times \ frac {1-j \ omega \ tau_ {1}} {1-j \ omega \ tau_ {1}} \\ [4pt] & = b \ tau_ {1} \ frac {\ sqrt {1+ \ left (\ omega \ tau_ {1} \ right) ^ {2}}} {1+ \ left (\ omega \ tau_ {1} \ right) ^ {2}} \ exp \ left [j \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {- \ omega \ tau_ {1}} {1} \ right) \ right] \\ [4pt] & \ Equiv | FRF (\ omega) | e ^ {j \ angle FRF (\ omega)} \\ [4pt] & = \ frac {b \ tau_ {1}} {\ sqrt {1+ \ left (\ omega \ tau_ {1} \ right) ^ { 2}}} е ^ {j \ phi (\ omega)} \ label {eqn: 4.{-1} \ left (- \ omega \ tau_ {1} \ right) \).

Уравнения \ (\ ref {eqn: 4.18a} \) и \ (\ ref {eqn: 4.18b} \) определяют комплексную частотно-характеристическую функцию \ (FRF (\ omega) \) стандартного стабильного 1 ^st системы заказов. В разделах 4.6 и 4.7 для LTI-систем в целом доказано, что реальная величина \ (| FRF (\ omega) | \) функции \ (FRF (\ omega) \) является величиной отношения частоты системы отклика, а фазовый угол \ (\ phi (\ omega) \) функции \ (FRF (\ omega) \) — это фазовый угол частотной характеристики системы.{-1} \ left (- \ omega \ tau_ {1} \ right) \ label {eqn: 4.20} \]

, который идентичен системе демпфер-пружина \ (FRF \) фаза \ (\ phi (\ omega) \) уравнения 4.3.9. Таким образом, с \ (F R F (\ omega) \) уравнения \ (\ ref {eqn: 4.18b} \), мы получили здесь те же окончательные результаты, что и раньше для системы демпфер-пружина, но гораздо более легко.

Амплитудно-частотная характеристика

Напомним, что если вход в систему LTI H комплексный экспоненциальный сигнал e ∈ [ Время → Комплекс ], где для все t ∈ Время , e ( t ) = exp (jω t ) = cos (ω t ) + j sin (ω t ).

, тогда вывод может быть записан

y ( t) = H (ω) exp (jω t )

, где H (ω) — (возможно, комплексное) число это свойство системы. H (ω) — это называется частотной характеристикой на частоте ω. Это равен выходу в нулевой момент времени y (0), когда вход равен exp (jω t ). H сама по себе является функцией H : Реалы → Комплекс , который в принципе может быть вычислен для любой частоты ω ∈ Реалы , включая отрицательные частоты.

Напомним, что если ввод x ( t ) в систему H периодический сигнал с периодом p , то его (обычно) можно дать как ряд Фурье,

По линейности и времени инвариантность, если это вход, то выход

Линейность говорит нам, что если вход разложить на сумму компонентов, тогда результат можно разложить на сумму компонентов, где каждый компонент это реакция системы на один входной компонент.Линейность вместе с инвариантностью времени говорит нам, что каждый компонент, который представляет собой комплексную экспоненту, просто масштабируется. Таким образом, на выходе получается ряд Фурье с коэффициенты X _k H ( k ω ₀ ).
Этот основной результат говорит нам:

• На выходе нет частотных компонентов, которых не было на входе. Выход состоит из тех же частотных компонентов, что и вход, но с индивидуальным масштабированием каждого компонента.
• Системы LTI могут использоваться для усиления или подавления определенных частотных компонентов. Такие операции называются , фильтрация .
• Функция частотной характеристики характеризует, какие частоты усиливаются. или подавлены, а также какие фазовые сдвиги могут быть наложены на отдельные компоненты системой.

Аналитическое определение частотной характеристики

Учитывая разностное уравнение LTI, описывающее фильтра, аналитически легко найти выражение для частоты отклик. Напомним, что если вход x является комплексной экспонентой, тогда выход y будет таким же комплексным экспоненциальным масштабом по частотной характеристике, оцениваемой на частоте комплексного экспоненциальный.

Рассмотрим фильтр, задаваемый

a ₁ y ( n ) + a ₂ y ( n -1) + a ₃ y ( n -2) = b ₁ x ( n ) + b ₂ x ( n -1) + b ₃ x ( n -2).

Пусть вход x задан как для всех целых чисел n ,

x ( n ) = e ^{j ω n} .

Тогда выход y должен быть задан как для всех целых чисел n ,

y ( n ) = H (ω) e ^{j ω n} .

где H (ω) — частотная характеристика оценивается на частоте ω. Вставка формы ввода и вывода в разностное уравнение мы получили

а ₁ H (ω) e ^{j ω n} + a ₂ H (ω) e ^{j ω ( n -1)} + a ₃ H (ω) e ^{j ω ( n -2)}
= b ₁ e ^{j ω n} + б ₂ e ^{j ω ( n -1)} + б ₃ е ^{j ω ( n -2)} .

Это может быть учтено следующим образом:

H (ω) e ^{j ω n} ( a ₁ + a ₂ e ^{— j ω} + a ₃ е ^{-2 j ω} )
= e ^{j ω n} ( b ₁ + b ₂ e ^{— j ω} + б ₃ e ^{-2 j ω} ).

Это можно решить для частотной характеристики,

H (ω) = e ^{j ω n} ( b ₁ + b ₂ e ^{— j ω} + б ₃ e ^{-2 j ω} ) / e ^{j ω n} ( a ₁ + a ₂ e ^{— j ω} + a ₃ e ^{-2 j ω} ).2+ \ cdots)} X (z) = H (z) X (z) = {(1-z_0z) (1-z_1z) \ cdots \ over (1-p_0z) (1-p_1z) \ cdots} X ( z).

долларов США

В конце концов, серию биномиальных произведений $ (1-z_0 z) \ cdots {1 \ over 1-p_0 z} $ можно рассматривать как серию систем, где первый выход является входом для другого.

Я хотел бы проанализировать влияние одиночного полюса и нуля. Выделим первый ноль, считая его передаточной функцией, так что остальная часть $ H (z) X (z) $ является входным сигналом, $ Y (z) = (1-z_0z) Χ (z), $ который соответствует некоторому $ y_n = b_0x_n + b_1x_ {n-1}.п $.

Я был бы счастлив, если бы кто-нибудь смог объяснить то же самое более сжато или более четко.

Частотный спектр

— Почему все реальные частоты расположены на мнимой оси s-плоскости. Хотелось бы интуитивно понять, почему это правда?

Я не могу полностью расшифровать смысл вашего вопроса, но я попытаюсь ответить на другой вопрос, который, как мне кажется, может лежать в основе вашего вопроса. это:

Почему мы при определении частотной характеристики «аналоговой» линейной, не зависящей от времени системы (LTI), подставляем «$ s \ leftarrow j \ omega $» в передаточную функцию $ H (s) $?

обратите внимание, что $ j \ omega $ лежит на мнимой оси. * $ означает комплексное сопряжение.{-st} \ du $$

, и если вы управляете этой системой LTI с синусоидальным входом $ x (t) $

$$ x (t) = A \ cos (\ omega t + \ theta) $$

с амплитудой $ A $, угловой частотой $ \ omega $ и начальной фазой $ \ theta $, , затем , выход этой системы LTI, $ y (t) $, равен

$$ y (t) = | H (j \ omega) | A \ cos (\ omega t + \ theta + \ phi) $$

, который представляет собой синусоиду той же частоты $ \ omega $, но с амплитудой, масштабированной на $ | H (j \ omega) | $, и фазой, сдвинутой на $ \ phi $ радиан, где

$$ \ phi = \ arg \ big \ {H (j \ omega) \ big \} $$

, поэтому амплитуда синусоиды увеличивается на величину комплекса $ H (s) $, а фаза синусоиды сдвигается на угол комплексного $ H (s) $, где $ s = j \ omega $.

Комплексная частотная область для нулевого входа response_talking about частотная характеристика

Без лишних слов, давайте сначала рассмотрим понятие частотной характеристики. Когда частота

Когда синусоидальный (со) синусоидальный сигнал вводится в систему LTI, амплитуда сигнала увеличивается или уменьшается, а также изменяется фаза, но частота сигнала остается неизменной. Соответствующий выходной сигнал — это частота системы. Отклик синусоидального (со) синусоидального сигнала.Итак, для входного сигнала , Система выводит , Вообще говоря, И Это о Функция, То есть амплитуда и фаза выходного сигнала, соответствующего входному сигналу разной частоты, отличаются, и величина изменения отличается от частоты. связанные . Величина, фаза и частота этого изменения Связанное изменение отношения называется частотной характеристикой. Понятие о частотной характеристике

Возьмем для примера RC-цепь нижних частот.

RC-цепь нижних частот

Предположим, что преобразование Лапласа входа и выхода равно

И , Отношения между ними Формула 1)

Приведенное выше уравнение получается преобразованием Лапласа по обе стороны дифференциальных уравнений vin и vout. Правая часть уравнения называется (от vin до vout) Передаточная функция 。

Мы знаем, что приведенное выше уравнение справедливо для всех

Все переменные установлены. Для исследования частотной области возьмем , Который Особый случай в порядке.Так что просто посмотрите на уравнение: Формула (2) Фактически, он вырождает преобразование Лапласа в преобразование Фурье, формула (2) Фактически, это преобразование Фурье для vin и vout. с Отношения . Предположим, что модуль и аргумент правой части знака равенства уравнения (2) записаны как И 。

Давайте сначала поговорим

И Значение этих двух функций: Обозначает частоту Величина изменения амплитуды сигнала, проходящего через систему (то есть через эту RC-цепь), и Обозначает частоту Величина изменения фазы сигнала в системе. Итак, если исходный сигнал состоит из разных компонентов Сигнал накладывается (разве он не представлен частотной «составляющей» после преобразования Фурье?), Затем амплитуда и фаза различных частотных составляющих после вывода различаются. Если вы тщательно проектируете И Эти две функции делают вывод некоторых «компонентов» очень маленьким. Разве это не понятие «фильтрация»?

В духе познания истины от корня вы должны знать, почему, а затем подумать об этом, поэтому множественное число

Представляет передаточную функцию, ее модуль Это частота системы Величина изменения сигнала, угол аргумента Это частота системы Величина изменения фазы сигнала? В большинстве учебников такой вывод лишь делается, но опускаются существенные причины.Это кажется само собой разумеющимся отношением, но из-за задействованного воображаемого числа мы должны прояснить взаимосвязь между ним и действительной физической величиной, чтобы понять его реальную причину.

В моей предыдущей статье яростный: опыт обучения преобразованию Фурье, было упомянуто преобразование Фурье сигнала

«Составляющая» на определенной частоте Режим Он представляет собой интенсивность этой частотной составляющей, а угол Представляет фазу этого частотного компонента 。

В

Где: что представляет собой входное напряжение Интенсивность частотной составляющей, Указывает Фаза частотной составляющей. Так как умножение комплексных чисел — это сложение аргументов и умножение модульных длин. Так для С точки зрения , Его модуль изменен (умножен на) , Аргумент изменен (добавлен) . Следовательно, выходное напряжение Частотная составляющая — это действительно изменение амплитуды (умноженное) , И фаза изменилась (добавлено) . Это ответ на предыдущий вопрос.

Итак, тяните

И Для Кривая, вы можете видеть, что система реагирует на разные Изменения амплитуды и фазы частотных составляющих.Это частотная характеристика системы.

Наконец, давайте поговорим о методе векторов при анализе цепей RLC. Уравнение АЧХ такое же, но там

И Смысл не в преобразовании Фурье входного и выходного сигналов, но физический смысл, фактически выведенный в соответствии с методом векторов, одинаков. .