больше практики! – Учительская газета
Алгебра логики является не только одним из основных разделов школьной информатики, позаимствованным из математической логики и дискретной математики, но и основой работы современных компьютеров – от состоящих из логических элементов базовых схем, осуществляющих обработку и хранение информации, до широко используемых современных ПЛИС – программируемых логических интегральных схем, логику работы которых можно программировать уже после их изготовления. Логика как наука о правильном мышлении позволила перейти человечеству от аристотелевского Органона к современным компьютерам и информационному обществу.
На уроках информатики ученики Цифровой школы изучают теорию без отрыва от практики: самостоятельная работа кроме традиционных логических задач различного уровня сложности включает задания по составлению электронных схем демонстрации конъюнкции («логическое и») и дизъюнкции («логическое или») с использованием компонентов набора по схемотехнике.
Подобные электронные схемы можно реализовать также с использованием любых других наборов электроники, в которых имеются выключатели, лампы и проводники. Действие последовательно соединенных выключателей эквивалентно «логическому и» – для замыкания цепи необходимо включение обоих выключателей. Параллельное соединение выключателей эквивалентно «логическому или» – для замыкания цепи необходимо включение хотя бы одного выключателя.
Во время дистанционного обучения вместо коробочных наборов для обучения электронике можно применить веб-редакторы электронных и логических схем. Например, для создания электронных схем, демонстрирующих логические операции конъюнкции и дизъюнкции, можно использовать не требующий установки онлайн-редактор Circuit Diagram. Для создания схемы требуются два выключателя (Toggle Switch), лампа (Lamp), источник питания (в данном случае был использован источник постоянного тока DC Source) и несколько проводников.
Алгебра логики лежит в основе счета в двоичной системе счисления и хранения информации. После освоения основ алгебры логики – логических операций и их таблиц истинности, сложных высказываний и основных логических законов – ученики ознакомились с понятием «логический вентиль» и в симуляторе логических схем https://logic.ly/demo составили схемы для таких устройств, как полусумматор, сумматор, RS-триггер и D-триггер. Полусумматор и сумматор – логические схемы, реализуемые в арифметико-логических устройствах процессоров и выполняющие операции двоичной арифметики – обработку информации. Триггер – элемент статической оперативной памяти, способный записать и хранить 1 разряд двоичного кода.
Составление реальных и виртуальных электрических и логических схем при изучении алгебры логики не только позволяет более эффективно организовать работу обучающихся на уроке и дома, понять алгебру логики и логические основы современных компьютеров на наглядном учебном материале, но и способствует реализации межпредметного и метапредметного обучения. Практика показывает: благодаря подобным деятельностно-ориентированным заданиям ученики не только эффективно повторяют и запоминают пройденный учебный материал, но и лучше вовлекаются в образовательный процесс, понимая области применения полученных знаний, в результате чего демонстрируют лучшие образовательные результаты.
Владислав ПОПОВ, учитель информатики и программирования Цифровой школы
Законы алгебры логики
☰
В булевой алгебре существуют только два значения – это истина и ложь. В английском языке правда – это True, ложь – это False. Оба этих значения являются логическими. Обычно значению True сопоставляют единицу, значению False сопоставляют ноль.
Для логических значений существует три базовых операции:
Конъюнкция, или логическое умножение, – операция
ИДизъюнкция, или логическое сложение, – операция
ИЛИЛогическое отрицание – операция
НЕ
Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики.
Законы рефлексивности
Если a равно логической единице, то a И a также даст 1, так как оба операнда являются логической истиной.
В случае ИЛИ если a равно нулю, то все выражение будет равно логическому нулю, так как оба операнда выражения являются нулями.
Законы коммутативности
a ∧ b = b ∧ a
a ∨ b = b ∨ a
Если при
В случае ИЛИ также не важно, первым или вторым операндом является логическая истина. Все выражение в этом случае вернет истину.
Законы ассоциативности
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
При логическом И если хотя бы один из трех операндов является ложью, все выражение вернет ложь. При этом последовательность операций не важна.
Также она неважна и при ИЛИ. Если хотя бы один операнд является истиной, все выражение вернет истину.
Законы дистрибутивности
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
Рассмотрим левую часть верхней формулы. В случае если между операндами в скобках стоит ИЛИ, а за скобками И, результат всего выражения определяется значением a, если оно равно нулю. Что возвращает при этом выражение в скобках не важно. Если же a = 1, значение выражения зависит от результата выражения в скобках. Оно вернет единицу, если хотя бы одна из переменных равна 1.
В правой части верхнего формулы также значение всего выражения зависит исключительно от a, если a = 0. Если же a = 1, то результат выражения зависит от значений b и c
Во второй формуле дистрибутивности, когда a соединяется с выражением в скобках через оператор ИЛИ, значение всего выражения зависит от a, только если a = 1. Если a = 0, значение всего выражения зависит от того, что вернет подвыражение в скобках.
Опять же после знака равно, если a = 1, то значения b и c не важны, так как они «соединяются» с a через ИЛИ. В итоге получается выражение a ∧ a. Если же a = 0, то значение всего выражения зависит от значений b и c. Если хотя бы одна из этих переменных равна 0, все выражение вернет 0.
Закон отрицания отрицания
Одно отрицание меняет значение операнда на логически противоположное. Повторное отрицание снова меняет на логически противоположное, то есть возвращает к исходному значению.
Законы де Моргана
¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b
¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b
Если a и b равны 1, то выражение a И b возвращает единицу, а ее отрицание приведет к нулю. Это равносильно тому, как если мы будет отрицать a и b по отдельности, объединяя их через логическое ИЛИ. Если хотя бы один из операндов равен нулю, то выражение слева вернет истину, как и выражение справа.
Во второй формуле истину в выражении слева можно получить только, если оба операнда равны нулю. То же самое касается и выражения справа. Отрицая нули по обе стороны от оператора 1 И 1 = 1.
Законы поглощения
a ∧ (a ∨ b) = a
a ∨ (a ∧ b) = a
В данных логических выражениях значение b роли не играет. В верхней формуле если a = 0, то логический И заставит все выражение быть равным нулю. Если же a = 1, то подвыражение в скобках с логическим ИЛИ вернет единицу, независимо от того, чему равно b. После выполнения выражения в скобках получим 1 И 1.
Во второй формуле если a = 0, то выражение в скобках вернет 0. В итоге получаем a = 1, выражение в скобках может вернуть 0, только если b = 0. Однако после выполнения выражения в скобках получаем 1 ИЛИ 0 = 1. Другими словами, и тут результат всего выражения определяется только значением a.
Алгебра логики. Понятие высказывания
Для проектирования, оптимизации и описания компьютерных схем широко используется алгебра логики, которая устанавливает закономерности формирования и преобразования логических функций.
Логика появилась приблизительно в IV веке до нашей эры. Основоположником формальной логики принято считать выдающегося древнегреческого философа Аристотеля. Он систематизировал различные научные сведения, сформулировал формы и правила логического мышления. Труды, посвященные логике, Аристотель описал в цикле философских сочинений, известных под названием «Органон».
Впервые алгебраические методы для решения традиционных логических задач применил основатель математической логики английский математик и логик Джордж Буль. Свои исследования он опубликовал в работах «Математический анализ логики» (1847), «Логическое исчисление» (1848), «Исследование законов мышления» (1854).
Спустя почти 100 лет в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе и для функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.
Высказывание
Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний, вызвано это тем, что высказывания являются одним из основных видов носителей информации. С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами.
В формальной логике Аристотель определяет высказывание следующим образом:
Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.
Однако, определение Аристотеля не является математически точным и порождает ряд парадоксов и противоречий. Это связано с тем, что Аристотель проблему определения высказывания заменяет проблемой определения истинности или ложности предложения.
Например, рассмотрим предложение: «Это предложение является ложным»
- Пусть предложение истинно. Тогда это противоречит его собственному утверждению.
- Пусть предложение ложно. Тогда следует, что предложение на самом деле истинно.
Значит, предложению нельзя приписать какое-либо значение истинности, следовательно, оно не является высказыванием.
Причина данного парадокса лежит в структуре построения указанного предложения: оно ссылается на свое собственное значение. Таким образом, необходимы определенные ограничения на допустимые формы высказываний:
- Определение. Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.
- Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.
Введение таких ограничений дает возможность изучать высказывания алгебраическими методами, т.е. позволяет ввести операции над элементарными высказываниями и с их помощью строить и изучать составные высказывания.
Cоставное высказывание
Определение. Cоставное (cложное) высказывание – это высказывание, построенное из простых высказываний, с помощью логических связок (операций).
В обычной речи, в качестве подобных связок, употребляются «и», «или», «не», «либо…, либо…», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда …». Эти связки трактуются как логические операции над высказываниями.
| Логическая операция | Логическая связка | Формальный знак |
|---|---|---|
| Конъюнкция (логическое умножение) | «и» | &, ∧ |
| Дизъюнкция (логическое сложение) | «или» | ∨, + |
| Инверсия (логическое отрицание) | «не» | ¬ |
| Разделительная дизъюнкция (исключающее ИЛИ) | «либо…, либо…» | ⊕, Δ |
| Импликация (логическое следование) | «если…, то…» | ⇒, → |
| Эквивалентность (равносильность) | «тогда и только тогда, когда» | ≡, ↔, ⇔ |
Алгебра логики изучает строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Math.ru
Семен Григорьевич ГиндикинМ.: Наука, 1972. 288 с.
Тираж 50000 экз.
| |||||||||||
Книга рассчитана на читателя, заинтересованного в содержательных, с точки зрения математики, теоремах и задачах. Здесь раасмотрены, главным образом, три круга вопросов: проблемы полноты и функционально замкнутых классов, проблемы синтеза и оценки сложности схем, теория вероятностей на конечных булевых алгебрах. Читатель найдет здесь, в частности, обсуждение связей алгебры логики с элементарными вопросами теории доказательств и с построением определений отрицательных понятий. Основная часть книги формально не использует сведений, выходящих за рамки школьного курса математики. Книга будет полезна студентам младших курсов университетов и пединститутов и ученикам старших классов математических школ.
Содержание
Предисловие.
Путеводитель и указания к пользованию книгой.
§ 1. Операции над высказываниями. Задачи, указания и решения.
§ 2. Функции алгебры логики; нормальные формы. Задачи, указания и решения.
§ 3. Закон двойственности в алгебре логики. Задачи, указания и решения.
§ 4. Арифметические операции в алгебре логики. Задачи, указания и решения.
§ 5. Монотонные функции алгебры логики. Задачи, указания и решения.
§ 6. Функционально замкнутые классы и теорема Поста. Задачи, указания и решения.
§ 7. Общая теория функционально замкнутых классов. Задачи, указания и решения.
§ 8. Схемы из функциональных элементов. Задачи, указания и решения.
§ 9. Релейно-контактные схемы. Оценки сложности схем. Задачи, указания и решения.
§ 10. Элементы вероятностной логики. Задачи, указания и решения.
§ 11. Многозначные логики. Задачи, указания и решения.
§ 12. Логика предикатов. Задачи, указания и решения.
Приложение.
Литература.
Предметный указатель.
| |||||||||||
О судьбе центрального философского замысла создателя алгебры логики: к 200-летию Джорджа Буля
Пушкарский А. Г.О судьбе центрального философского замысла создателя алгебры логики: к 200-летию Джорджа Буля
- Страницы / Pages
- 81-88
Аннотация
Рассматривается история реализации главного философского замысла пионера математической логики Джорджа Буля. Замысел заключался в использовании созданных им логико-алгебраических и теоретико-вероятностных методов для моделирования процессов мышления. Несмотря на то что этот проект оказался несостоятельным, современное развитие computer science и программирования удивительным образом подтвердило идеи Буля о плодотворности применении строгих методов логических исчислений в области выражения процессов мышления.
Abstract
The article considers the history of George Boole’s main philosophical conception consisting in using his logical-algebraic and theoretical-probabilistic methods in modelling thought processes. Despite the project’s failure, current developments in computer science and programming have surprisingly confirmed Boole’s ideas on the applicability of rigorous methods of logical calculus in the explication of thought processes.
Список литературы
1. Пушкарский А. Г. Джордж Буль и проблема психологизма в логике // Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. 2013. Т. 3, вып. 2. URL: http://www.j-spacetime.com/actual%20content/t3v2/3206.php (дата обращения: 15.10.2015).
2. Boole M. E. Collected works : in 4 vols. / ed. by E. M. Cobham. L., 1931. Vol. 2.
3. Boole G. The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning. Cambridge ; L., 1847.
4. Boole G. An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. L. ; Cambridge, 1854.
5. Hailperin T. Boole’s Logic and Probability. N. Y., 1986.
6. Jacquette D. Boole’s Logic // Handbook of the History of Logic. Vol. 4. British Logic in the Nineteenth Century. 2008. P. 331—379.
7. Laita L. M. Boolean algebra and its extra-logical sources: the testimony of Mary Everest Boole // History and Philosophy of Logic. 1980. № 1. Р. 37—60.
8. Boole M. E. Philosophy and Fun of Algebra. N. Y., 1891.
Алгебра логики: основные понятия
Алгебра логики — раздел математики. Она оперирует логическими высказываниями.
Логическое высказывание — любое предложение в повествовательной форме, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Примеры логических высказываний:
- «Москва — столица России» (высказывание истинно).
- «После зимы наступает осень» (высказывание ложно).
Простое высказывание — логическое высказывание, состоящее из одного утверждения.
Сложное высказывание — логическое высказывание, состоящее из нескольких утверждения, объединенных с помощью «связок»: союзов «и», «или (либо)», частицы «не», связки «если, то» и др. Примеры сложных высказываний:
1. «Иван сдает экзамен по физике и информатике».
Высказывание содержит два утвеждения, объединенных «и»:
- Утверждение1: «Иван сдает экзамен по физике».
- Утверждение2: «Иван сдает экзамен по информатике».
2. «Игорь решил записаться в секцию по воллейболу или баскетболу».
Высказывание содержит два утвеждения, объединенных «или»:
- Утверждение1: «Игорь решил записаться в секцию по воллейболу».
- Утверждение2: «Игорь решил записаться в секцию по баскетболу».
3. «Если Илья будет много готовиться самостоятельно и будет заниматься с репетитором, то он поступит в ВУЗ».
Высказывание содержит три утвеждения, объединенных связкой «если, то» и союзом «и»:
- Утверждение1: «Илья будет много готовиться самостоятельно».
- Утверждение2: «Илья будет заниматься с репетитором».
- Утверждение2: «Илья поступит в ВУЗ».
Логические операции — «связки»: союзы и частицы естественного языка, образующие из простых высказываний сложные, представленные в формальном виде . Подробно основные логические операции рассмотрены в этой статье.
Логическое выражение — простое или сложное логическое высказывание, представленное в формальном виде. Примеры логических выражений:
- простое: A,
- сложное: AVB→C,
где A, B, C — утверждения;
Λ, V, → — логические операции.
Законы алгебры логики — законы, позволяющие преобразовывать логические выражения. Основные законы рассмотрены в этой этой статье.
Логическая переменная — переменная, которая может принимать значение 1 (истина) или 0 (ложь).
Логическая функция — функция, аргументы и значение которой могут принимать значение 1 (истина) или 0 (ложь).
Таблица истинности — таблица, которая используется для описания логических функций, в частности отдельных логических операций. Примеры таблиц истинности для часто используемых логических операций.
Диаграммы Эйлера-Венна — диаграммы, которые служат для наглядного представления всех вариантов пересечения нескольких множеств. В качестве множеств могут использоваться простые логические высказывания. Диаграмма строится для логического высказывания, которое содержит от одного до трех утверждений
О том, как строить такие диаграммы, можно прочесть в статье: «Диаграммы Эйлера-Венна». Типовые задачи на множества подробно разобраны в статье «Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна».
Перейти к решению задач на алгебру логики из демо ЕГЭ
Алгебра и логика | Дом
В этом журнале публикуются результаты последних исследований в области современной общей алгебры и логики, рассматриваемой в первую очередь с алгебраической точки зрения. Алгебраические статьи, составляющие основную часть содержания, посвящены исследованиям в таких областях, как упорядоченные группы почти без кручения, нильпотентные и метабелевы группы; кольца изоморфизмов; Алгебры Ли; Подгруппы Фраттини; и кластеры алгебр.В области логики журнал охватывает такие темы, как иерархические множества, логические автоматы и рекурсивные функции.
Алгебра и логика — перевод рецензируемого журнала Алгебра и логика , издания Сибирского фонда алгебры и логики и Института математики Сибирского отделения Российской академии наук.
Более подробная информация доступна на сайте редактора по следующей ссылке:
http: // math.nsc.ru/~alglog/
- Публикует новейшие исследования современной общей алгебры и логики, рассматриваемые в первую очередь с алгебраической точки зрения.
- Содержит статьи по алгебраике, которые составляют основную часть содержания и посвящены исследованиям в таких областях, как упорядоченные, почти без кручения, нильпотентные и метабелевы группы; кольца изоморфизмов; Алгебры Ли; Подгруппы Фраттини; и кластеры алгебр.
Журнал информации
- Главный редактор
- Издательская модель
- Подписка
Показатели журнала
- 0.753 (2020)
- Импакт-фактор
- 0,668 (2020)
- Пятилетний импакт-фактор
- 12,411 (2020)
- Загрузки
Логика как алгебра | Математическая ассоциация Америки
Назначение логики как алгебры ясно выражено в ее предисловии:
…. показать, что логика может (и, возможно, должна) рассматриваться с алгебраической точки зрения. При таком рассмотрении многие из его основных понятий кажутся старыми друзьями, знакомыми алгебраическими понятиями, «замаскированными» под логическую одежду. Более того, становится яснее связь между основными теоремами предмета и известными теоремами по алгебре. Даже доказательства часто становятся проще.
С этой целью авторы Пол Халмос и Стивен Гивант написали краткий увлекательный текст, предназначенный как для любителей, так и для профессионалов, для которого требуется только курс современной алгебры в качестве фона.
Поскольку одно из потенциальных применений этой книги — это учебный текст, краткое изложение ее содержания может оказаться полезным:
- Что такое логика?
Вводная притча и мини-логика подготавливают читателя к познанию логики высказываний. - Исчисление высказываний
Довольно традиционное развитие логики высказываний. - Булева алгебра
Основы булевых алгебр, мотивированные их сходством с исчислением высказываний.Содержит хороший пример мощности алгебраического метода: доказательство непротиворечивости логики высказываний, показывающее, что набор предложений является нетривиальной булевой алгеброй. - Булева универсальная алгебра
Каталог терминологии и фактов о булевых подалгебрах, гомоморфизмах, идеалах, фильтрах и т. Д. Завершает теорему Стоуна о представлении, которая используется для доказательства того, что исчисление высказываний порождает свободную булеву алгебру. (Эта глава кажется особенно полезной для студентов в качестве обзора абстрактной алгебры.) - Логика через алгебру
Суть книги, доказывающая полноту и правильность булевых логик. - Решетки и бесконечные операции
Краткое отступление, без привязки к логике. (Это немного сбивает с толку, поскольку можно было бы легко упомянуть бесконечные союзы и дизъюнкции наряду с бесконечным inf и sup.) - Монадическое исчисление предикатов
Представляет теорию единственного квантора в булевых логиках (т.е., каждое утверждение имеет не более одного квантора) и применяет его к классическим силлогизмам.
Проза «Логика как алгебра » элегантна и ясна. Основываясь на заметках из курса, который Халмос читал несколько раз, текст создает у читателя впечатление, что он заглянул на эти лекции. Тон разговорный: теоремы и доказательства возникают естественным образом и лишь изредка выделяются из основного текста. В результате книгу приятно читать.
В качестве текста курса курс «Логика как алгебра» подойдет для курса «Введение в алгебраическую логику» для студентов, хотя преподаватели должны знать, что здесь нет упражнений.Это, безусловно, естественным образом ведет к «Алгебраической логике » Халмоса, , которая развивает теорию множественных кванторов с помощью полиадических алгебр.
Однако я считаю, что есть лучшие учебники для введения в логику (в отличие от алгебраической логики). Одним из примеров является «Математическая логика » Эббингауза, Флума и Томаса. Частичный список его содержания иллюстрирует некоторые из того, чего не хватает в Логика как алгебра: Синтаксис языков первого порядка, Семантика языков первого порядка, Теорема Левенхайма-Сколема и Теорема компактности, Расширения Первого порядка. Порядковая логика и ограничения формального метода (включая теорему Гёделя о неполноте).Халмос и Гивант упоминают компактность, но не демонстрируют ее удивительной силы. И их подход не предусматривает четкого различия между синтаксисом и семантикой. К сожалению, это усугубляется несколькими ключевыми типографскими ошибками в теореме дедукции и вокруг нее на странице 91: символ семантического следствия используется, когда (я почти уверен), что синтаксический символ был предназначен.
У меня есть еще одно беспокойство более личного характера. Как логик, у меня есть некоторые проблемы с тоном, который в книге используется в отношении логики.Рассмотрим разницу между названием пятой главы «Логика через алгебру» и названием книги «Логика как алгебра». Первый указывает путь к независимой теме, и это нормально; второй отдает предпочтение алгебре, что кажется неуместным.
Это было бы незначительной придиркой, если бы не соответствие между логикой и легкомыслием в притче первой главы «Что такое логика?» Он появляется в разделе, озаглавленном «Считать или думать». Во втором абзаце нам говорят: «Содержание логики представляется предложениями и выводами, а методы логики — перечислительными (счет) и комбинаторными (упорядочивание).«Это приводит к проблеме подсчета количества матчей в турнире с одним выбыванием с 1025 игроками. Предлагаются три решения: подсчет каждого раунда и сложение общей суммы, подсчет и использование геометрической серии для получения суммы и« чистая мысль » — понимая, что каждый игрок, кроме чемпиона, проиграет ровно один матч, поэтому будет сыграно 1024 матча. Изюминка: «Чистая мысль всегда лучше, чем бездумный подсчет». Кто может не согласиться? Но в этом контексте логика был изображен как метод счета, и остается предположить, что алгебраический метод, который будет представлен, ближе к чистому мышлению.Это соответствие повторяется на протяжении всей книги.
Возможно, это безвредно, если читатель — профессиональный математик. Но я предполагаю, что студент, впервые столкнувшийся с логикой через Логика как Алгебра , не будет иметь большого желания исследовать ее дальше. Эта книга определенно не побуждает ее к этому. Даже профессионалу я бы рекомендовал уравновесить этот подход альтернативой, например, Абрахамом Робинсоном Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры , просто чтобы укрепить идею о том, что две дисциплины алгебры и логики взаимно дополняют друг друга.
И последнее замечание: обсуждаемая выше притча о теннисе уже появлялась в работах Халмоса раньше. В «Математике как творческом искусстве» (см. Его Selecta: Expository Writing) он используется, чтобы проиллюстрировать, что абстрактная математика — это больше, чем просто счет. В этой обстановке я совершенно не согласен.
Марк Джонсон — доцент кафедры математики и информатики Центрального колледжа. Помимо логики, в его интересы входят Билл Эванс, Телониус Монк, близнецы Миннесота и буррито размером с вашу голову.
Логика и алгебра | Школа математики и статистики
Исследования в группе логики и алгебры основаны на идеях комбинаторики, математической логики и общей алгебры.
Школа математики и статистики имеет значительные исследовательские возможности в двух основных областях логики: теории вычислимости и теории дескриптивных множеств. Теория вычислимости начинается с фундаментальной концепции алгоритма, который можно сделать точным с помощью машин Тьюринга. Идеи теории вычислимости могут быть применены к широкому кругу вопросов математики. Например, исследователи Школы являются мировыми лидерами в понимании теоретико-вычислимых свойств алгебры.Исследователи Школы также сыграли важную роль в разработке современной теории алгоритмической случайности. Эта теория связывает идеи сжимаемости и определимости для создания надежного представления о том, когда отдельный объект является случайным.
Теория описательных множеств использует приемы логики для понимания определимости в широком диапазоне параметров. Недавно теоретики описательных множеств применили эти методы во многих областях математики. Например, доктор Мартино Лупини применил описательную теорию множеств для решения важных вопросов в C * -алгебрах.
Основная сила школы в комбинаторике — теория матроидов. Матроиды — это абстрактные математические объекты, возникающие из геометрических конфигураций. Геометрия теории матроидов сильно отличается от классической геометрии древнегреческих математиков. Конфигурации могут существовать в версии пространства с четырьмя, пятью или более измерениями. Этот тип геометрии возникает вполне естественно при рассмотрении приложений в информатике. Например, теория матроидов тесно связана с теорией кодирования — разделом математики, который позволяет нам точно отправлять информацию, даже если во время передачи появляются ошибки.
У нас прочные связи с программой «Философия» и Школой инженерии и информатики, и мы часто проводим совместные семинары с участием сотрудников и аспирантов.
Исследователи
Профессор математики
Школа математики и статистики
Профессор математики
Школа математики и статистики
Профессор Ноам Гринберг интересуется теорией вычислимости, обратной математикой, алгоритмической случайностью и приложениями вычислимости к анализу, вычислимой алгеброй, расширениями вычислимости на более высокие области и взаимодействием между вычислимостью и теорией множеств.
Профессор математики
Школа математики и статистики
Старший преподаватель математики
Школа математики и статистики
Доцент
Школа математики и статистики
Доцент Диллон Мэйхью работает в области теории матроидов и особенно заинтересован в использовании инструментов логики и теории вычислений для изучения вопросов матроидов.В частности, он исследует формальные логические языки, с помощью которых мы можем делать утверждения о матроидах. На этих языках могут быть определены матроиды, как и многие естественные свойства матроидов. Но не все свойства матроидов можно выразить таким образом: например, Диллон Мэйхью, Джефф Уиттл и их коллега Майк Ньюман показали, что класс матроидов, возникающих из векторных пространств, не может быть охарактеризован с использованием естественного логического языка для матроидов, известного как монадический логика второго порядка.Изучение логических языков также дает представление о сложности или иных сложностях тестирования свойств матроидов с помощью вычислений. Например, свойство матроида, которое может быть указано в монадической логике второго порядка, часто может быть эффективно протестировано.
Старший преподаватель математики
Школа математики и статистики
Текущие проекты
Теория структуры матроидов, представимых над бесконечными полями (профессор Джефф Уиттл)
Матроиды, по сути, являются конечными геометрическими конфигурациями.Естественный способ получить матроид — использовать алгебраическую структуру, известную как поле. Исторически сложилось так, что основное внимание уделялось матроидам, полученным из конечных полей. Но также естественно рассматривать матроиды, полученные из бесконечных полей, таких как знакомое поле действительных чисел, используемое в координатной геометрии. Основная цель этого проекта — разрешить гипотезу Робертсона и Сеймура двадцатилетней давности с долгосрочным видением использования решения для понимания структуры матроидов, которые могут быть получены из бесконечных полей.
Бесчисленные структуры и эффективные свойства (профессор Ноам Гринберг)
Теория моделей, теория множеств и теория вычислимости — это области математической логики, которые разошлись с годами. Тем не менее, основные ключевые идеи являются общими для всех трех, прежде всего, отношение к языку как к математическому объекту, который можно формально изучать и использовать для получения важных сведений об алгебре, вычислимых процессах и основах математики. Этот проект направлен на развитие новых связей между этими областями.Мы будем использовать обобщение вычислимости на бесчисленные области для изучения алгебраических объектов, таких как группы, и общей классификации математических структур. Мы исследуем стандартную вычислимость по Тьюрингу в отличие от ее обобщений; это позволяет нам отделить случайное от основного в классических результатах.
Методы аппроксимации, общие как для теории множеств, так и для вычислимости, позволяют нам устанавливать связи между свойствами регулярности действительных чисел, с одной стороны, и вычислительной мощностью этих чисел, с другой.Например, определение шаблонов во всех алгоритмически определенных числах тесно связано с количеством статистических тестов (нулевых наборов), необходимых для захвата всех действительных чисел. Мы стремимся определить правила, регулирующие эти связи, и применить их для решения открытых проблем.
Математика вычислений (профессор Род Дауни)
Вычисления повсеместно распространены в современном обществе, однако математика вычислений сильно отстает как от приложений вычислений, так и от развития классической математики.Этот проект способствует нашему пониманию вычислимого содержания математики. Мы ожидаем решить следующие основные вопросы: когда можно будет выполнять вычислительные задачи? Насколько они сложны? Как теория соотносится с практикой? Можно ли доказать классические результаты с помощью вычислительных методов? Эти общие вопросы подкрепляются давними техническими открытыми проблемами, а также общими исследовательскими программами в совершенно новых областях исследований.
Возможности аспирантуры
Студентам, обучающимся на факультете естественных наук Веллингтона, доступны различные стипендии.
Студенты, заинтересованные в исследованиях в аспирантуре, могут получить степень магистра по диссертации или доктора философии под руководством сотрудников Школы математики и статистики.
Дополнительная информация об обучении в аспирантуре, включая финансирование стипендий, доступна на веб-сайте факультета аспирантуры.
Кроме того, у некоторых сотрудников могут быть гранты на исследования PhD по конкретным проектам.
Будущим студентам-исследователям рекомендуется напрямую связываться с потенциальными научными руководителями.
Ссылки по теме
исследований по логике и основам математики | Алгебры отношений
выберите статью Предисловие
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80020-0
- От редакции Нет доступа
Предисловие
- Страницы vii-xv
- Купить PDF
выберите артикул Список рисунков
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80021-2
- Нет доступа
Список рисунков
- Страница xxiii
- Купить PDF
выбрать артикул Список таблиц
https: // doi.org / 10.1016 / S0049-237X (06) 80022-4
- Нет доступа
Список таблиц
- Страницы xxv-xxvi
- Закупка PDF
выберите статью Глава 1 Расчет отношений
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80023-6
- Научная статья Только аннотация
Глава 1 Исчисление отношений
- Страницы 1-33
- Купить PDF-файл Предварительный просмотр главы
выбрать статью Глава 2 Теория множеств
https: // doi.org / 10.1016 / S0049-237X (06) 80024-8
- Исследовательская статья Только аннотация
Глава 2 Теория множеств
- Страницы 35-120
- Купить PDFChapter preview
выбрать статью Глава 3 Общая алгебра
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80025-X
- Научная статья Только аннотация
Глава 3 Общая алгебра
- Страницы 121-166
- Купить PDF Предварительный просмотр главы
выбрать статью Глава 4 Логика с равенством
https: // doi.org / 10.1016 / S0049-237X (06) 80026-1
- Исследовательская статья Только аннотация
Глава 4 Логика с равенством
- Страницы 167-232
- Купить PDFChapter preview
выбрать статью Глава 5 Boolean алгебры
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80027-3
- Научная статья Только аннотация
Глава 5 Булевы алгебры
- Страницы 233-288
- Купить PDF Предварительный просмотр главы
выбрать статью Глава 6 Алгебры отношений
https: // doi.org / 10.1016 / S0049-237X (06) 80028-5
- Научная статья Только аннотация
Глава 6 Алгебры отношений
- Страницы 289-525
- Купить PDFChapter preview
выбрать статью Глава 7 Алгебраическая логика
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80029-7
- Научная статья Только аннотация
Глава 7 Алгебраическая логика
- Страницы 527-581
- Купить PDF Предварительный просмотр главы
выбрать статью Глава 8 4329 алгебры конечных интегральных соотношений
https: // doi.org / 10.1016 / S0049-237X (06) 80030-3
- Исследовательская статья Нет доступа
Глава 8 4329 Алгебры конечных интегральных соотношений
- Страницы 583-712
- Купить PDF
выбрать статью Библиография
https://doi.org/10.1016/S0049-237X(06)80031-5
- Нет доступа
Библиография
- Страницы 713-722
- Купить PDF
выбрать статью Индекс
https: // doi.org / 10.1016 / S0049-237X (06) 80032-7
- Полнотекстовый доступ
Индекс
- Страницы 723-731
- Скачать PDF
Нечеткие логические алгебры и их приложения
Это Хорошо известно, что важная задача искусственного интеллекта — заставить компьютер имитировать человека, имеющего дело с достоверностью и неопределенностью информации. Логика дает способ заложить основы этой задачи. Обработка информации, имеющая дело с определенной информацией, основана на классической логике.Неклассическая логика, включая многозначную логику и нечеткую логику, использует преимущества классической логики для обработки информации с различными аспектами неопределенности, такими как нечеткость и случайность. Таким образом, неклассическая логика стала формальным и полезным инструментом информатики для работы с нечеткой и неопределенной информацией.
Для исследования некоторых свойств такие логики были представлены в виде алгебр, то есть наборов с одной, двумя или более алгебраическими операциями, удовлетворяющими некоторым условиям, вдохновленным этими логиками.Это вдохновение иллюстрируется сходством имен. У нас есть BCK-алгебры и положительная логика BCK, BCI-алгебры и положительная логика BCI, а также BL-алгебры и базовая логика.
Во многих случаях связь между такими алгебрами и соответствующими им логиками намного сильнее. В этом случае можно дать процедуру трансляции, которая переводит все правильно сформированные формулы и все теоремы данной логики L в термины и теоремы соответствующих алгебр. В некоторых случаях можно дать и обратный перевод.В этом случае мы говорим, что данная логика и класс таких алгебр изоморфны. Тем не менее изучение алгебр, мотивированных логикой, интересно и очень полезно также в том случае, когда эти структуры не изоморфны.
Важным классом алгебр, вдохновленных логикой, являются BL-алгебры, введенные Хайеком для того, чтобы обеспечить алгебраическое доказательство теоремы о полноте базовой логики. Классическим примером BL-алгебры является интервал, наделенный структурой, индуцированной непрерывной t-нормой.Другими важными примерами BL-алгебр являются MV-алгебры, введенные ранее как модель некоторой бесконечнозначной логики Лукасевича. Все эти алгебры также сильно связаны с решетками с делениями. Следовательно, теория фильтров играет важную роль в изучении этих алгебр. С логической точки зрения, различные фильтры соответствуют различным наборам доказуемых формул в соответствующей логике.
Ниже мы представляем несколько работ по фильтрам в различных алгебрах. В одной из этих работ доказывается, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех нечетких фильтров и всеми нечеткими конгруэнтностями решеточной алгебры импликаций.В другом описываются отношения между нечеткими t-фильтрами на решетках с делениями. Другая статья посвящена топологии фильтров на решеточных алгебрах импликации. В дальнейших статьях охарактеризована взаимосвязь между основными типами нечетких фильтров в BE-алгебрах и EQ-алгебрах. Роль идеалов и мягких множеств в BL-алгебрах описана в двух других статьях.
В статьях по псевдослабым R0-алгебрам представлена наиболее упрощенная система аксиом и доказано, что псевдослабые R0-алгебры категорически изоморфны псевдослабым R0-алгебрам.Псевдо-R0-алгебры категорически изоморфны псевдо-NM-алгебрам.
Несколько представленных статей посвящены возможным приложениям алгебр, вдохновленных логикой и нечеткими множествами. Например, предлагается устойчивый контроллер с нечеткой логикой для стабилизации и подавления помех в нелинейных системах управления определенного типа. Контроллер с динамической обратной связью спроектирован как комбинация закона управления, который компенсирует нелинейные составляющие в системе управления, и контроллера динамической нечеткой логики, который учитывает неизвестные неопределенности модели и неизмеряемые помехи.Математический вывод используется для доказательства того, что контроллер может достичь асимптотической устойчивости путем обработки измерений состояния. Обсуждаются также свойства некоторых нерешительных треугольных операторов нечеткой агрегации, основанных на средних Бонферрони. В одной статье предлагается метод построения рейтинга физических совпадений. Этот метод основан на анализе нечеткой кластеризации.
Решения часто принимаются многими экспертами по принятию решений, отдавая предпочтение рискам. С учетом проблем группового принятия решений в серой ситуации, показан метод группового принятия решений в серой ситуации на основе теории перспектив.Этот метод берет расстояние между положительной и отрицательной идеальной ситуацией в качестве ориентира, определяет функцию ценности положительной и отрицательной перспективы и вводит предпочтение риска экспертами по принятию решений в серой ситуации, чтобы окончательное решение больше соответствовало психологическому поведению экспертов по принятию решений. Одна возможность определения веса каждого эксперта по принятию решений создает комплексную матрицу ценности перспективы для оценки экспертов по принятию решений, и, наконец, представлено определение оптимальной ситуации.
Jianming Zhan
Bijan Davvaz
Wieslaw A. Dudek
Young Bae Jun
Hee Sik Kim
Copyright
Copyright © 2015 Jianming Zhan et al. Это статья в открытом доступе, распространяемая по лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии правильного цитирования оригинальной работы.
приятелей
У нас сейчас летний перерыв до августа 2021 года.
Весна 2021 г.
- Вт, 27 апреля 2021 г., 13:00 MDT: Александр Хульпке (Государственный университет Колорадо), Системы перезаписи и расширения групп
- Вт, 20 апреля 2021 г., 13:00 MDT: Росс Уиллард (Университет Ватерлоо), Неассоциативные алгебры с неограниченной базой по своей сути
- Вт, 13 апреля 2021 г., 13:00 MDT: Маркос Мазари-Армида (Университет Карнеги Меллон), Устойчивость в абстрактных элементарных классах модулей
- Вт, 6 апреля 2021 г., 13:00 MDT: Ник Галатос (Университет Денвера), Амальгамирование некоторых конических идемпотентных решеток с вычетом
- Вт, 30 марта 2021 г., 13:00 MDT: Марчин Козик (Краковский университет, Польша), Минимальный (клоны с термином Тейлора)
- Вт, 23 марта 2021 г., 13:00 MDT: Эндрю Мурхед (Университет Канзаса), Высшие условия поцелуя для модульных разновидностей
- Вт, 16 марта 2021 г., 13:00 MDT: Мэтью Мур (Университет Канзаса), Проблема скрытых подгрупп для универсальных алгебр
- Вт, 9 марта 2021 г., 13:00 MST: Александра Паси (Университет Бэйлора), Принуждение $ \ aleph_1 $ -free групп быть бесплатными
- Вт, 2 марта 2021 г., 13:00 МСК: Андрей Булатов (Университет Саймона Фрейзера, Канада), Изоморфизмы, гомоморфизмы и некоторая алгебра
- Вт, 23 фев 2021, 13:00 MST: Кристина Асими (Карлов университет, Прага, Чехия), Окончательно поддающиеся обработке PCSP
- Вт, 16 фев 2021, 13:00 MST: Эрхард Айхингер (Университет Иоганна Кеплера, Линц, Австрия), Степень как мера сложности функций на универсальной алгебре
- Вт, 2 фев 2021, 13:00 MST: Мэтт Валериот (Университет Макмастера, Канада), Члены почти единогласия и теорема Бейкера-Пиксли
- Вт, 26 января 2021 г., 13:00 MST: Джейсон Паркер (Университет Брэндона), Группы изотропии квазиэквациональных теорий
- Вт, 19 января 2021 г., 13:00 MST: Шарлотта Атен (Университет Рочестера), Мультиплеер камень-ножницы-бумага
Осень 2020
- Вт, 8 дек 2020, 13:00 MST: Майкл Хёфнагель (Стелленбошский университет, ЮАР), Классификация левых точных категорий на основании универсальной алгебры
- Вт, 1 декабря 2020 г., 13:00 МСК: Тамаш Вальдхаузер (Университет Сегеда, Венгрия), Наборы решений и полиморфизм-однородность
- Вт, 24 ноя 2020, 13:00 МСК: Дэвид Брудрик (Университет Кейптауна, Южная Африка), Характеризация коэкстенсивных многообразий универсальных алгебр
- Вт, 17 ноя 2020, 13:00 MST: Эркко Лехтонен (Universidade NOVA de Lisboa, Португалия), Ассоциативные спектры алгебр графов
- Вт, 10 ноя 2020, 13:00 MST: Зураб Джанелидзе (Стелленбошский университет, ЮАР), Формы Нётериана
- Вт, 3 ноября 2020 г., 13:00 МСК: Майкл Компачер (Оксфорд, Великобритания), CEQV и CSAT для нильпотентных алгебр Мальцева
- Вт, 27 октября 2020 г., 13:00 MDT: ЧАС.Питер Гамм (Университет Филиппа в Марбурге, Германия), Функторы свободной алгебры как коалгебраические сигнатуры
- Вт, 20 окт.2020, 13:00 MDT: Бранимир Сеселя (Университет Нови-Сада, Сербия), Решетки с нормальными элементами
- Вт, 13 окт.2020, 13:00 MDT: Стефано Фиоваранти (JKU Linz, Австрия), Разложения абелевых бесквадратных групп
- Вт, 6 окт.2020, 13:00 MDT:
Кейт Кирнес
(CU Boulder),
Минимальные сильно абелевы сорта
- Вт, 29 сен 2020 г., 13:00 MDT:
Питер Майр
(CU Boulder),
Многообразия, порожденные конечными простыми алгебрами
% PDF-1.4 % 345 0 объект> эндобдж xref 345 450 0000000016 00000 н. 0000014795 00000 п. 0000009296 00000 н. 0000014879 00000 п. 0000015069 00000 п. 0000015274 00000 п. 0000015498 00000 п. 0000015728 00000 п. 0000015904 00000 п. 0000016162 00000 п. 0000016381 00000 п. 0000016570 00000 п. 0000016787 00000 п. 0000017051 00000 п. 0000017291 00000 п. 0000017543 00000 п. 0000017775 00000 п. 0000018029 00000 п. 0000018310 00000 п. 0000018521 00000 п. 0000018680 00000 п. 0000018922 00000 п. 0000019112 00000 п. 0000019405 00000 п. 0000019651 00000 п. 0000019863 00000 п. 0000020149 00000 п. 0000020378 00000 п. 0000020613 00000 п. 0000020801 00000 п. 0000020979 00000 п. 0000021142 00000 п. 0000021380 00000 п. 0000021617 00000 п. 0000021853 00000 п. 0000022096 00000 п. 0000022367 00000 п. 0000022651 00000 п. 0000022918 00000 п. 0000023106 00000 п. 0000023387 00000 п. 0000023636 00000 п. 0000023908 00000 п. 0000024166 00000 п. 0000024428 00000 п. 0000024662 00000 п. 0000024867 00000 п. 0000025077 00000 п. 0000025313 00000 п. 0000025567 00000 п. 0000025816 00000 п. 0000026173 00000 п. 0000026674 00000 п. 0000026825 00000 п. 0000027080 00000 п. 0000027394 00000 п. 0000027667 00000 н. 0000027857 00000 п. 0000028151 00000 п. 0000028371 00000 п. 0000028663 00000 п. 0000028938 00000 п. 0000029242 00000 п. 0000029495 00000 п. 0000029697 00000 п. 0000029958 00000 н. 0000030217 00000 п. 0000030377 00000 п. 0000030648 00000 п. 0000030813 00000 п. 0000031025 00000 п. 0000031329 00000 п. 0000031592 00000 п. 0000031869 00000 п. 0000032154 00000 п. 0000032445 00000 п. 0000032647 00000 п. 0000032898 00000 н. 0000033189 00000 п. 0000033444 00000 п. 0000033721 00000 п. 0000034017 00000 п. 0000034185 00000 п. 0000034356 00000 п. 0000034647 00000 п. 0000034822 00000 п. 0000035070 00000 п. 0000035265 00000 п. 0000035609 00000 п. 0000035811 00000 п. 0000036015 00000 п. 0000036247 00000 п. 0000036512 00000 п. 0000036739 00000 п. 0000036781 00000 п. 0000036858 00000 н. 0000037094 00000 п. 0000037355 00000 п. 0000037626 00000 п. 0000037866 00000 п. 0000038166 00000 п. 0000038399 00000 п. 0000038686 00000 п. 0000038943 00000 п. 0000039215 00000 п. 0000039481 00000 п. 0000039727 00000 н. 0000040003 00000 п. 0000040239 00000 п. 0000040487 00000 п. 0000040735 00000 п. 0000040985 00000 п. 0000041215 00000 п. 0000041474 00000 п. 0000041768 00000 п. 0000042032 00000 п. 0000042339 00000 п. 0000042673 00000 п. 0000043039 00000 п. 0000043606 00000 п. 0000043803 00000 п. 0000043955 00000 п. 0000044119 00000 п. 0000044321 00000 п. 0000044604 00000 п. 0000044887 00000 п. 0000045168 00000 п. 0000045476 00000 п. 0000045726 00000 п. 0000045991 00000 п. 0000046248 00000 п. 0000046535 00000 п. 0000046822 00000 н. 0000047100 00000 н. 0000047335 00000 п. 0000047641 00000 п. 0000047914 00000 п. 0000048165 00000 п. 0000048414 00000 н. 0000048666 00000 п. 0000048903 00000 н. 0000049171 00000 п. 0000049461 00000 п. 0000049755 00000 п. 0000050027 00000 н. 0000050273 00000 п. 0000050449 00000 п. 0000050769 00000 п. 0000050948 00000 н. 0000051209 00000 п. 0000051306 00000 п. 0000051348 00000 п. 0000051666 00000 п. 0000052444 00000 п. 0000052676 00000 п. 0000052869 00000 п. 0000053025 00000 п. 0000053186 00000 п. 0000053344 00000 п. 0000053625 00000 п. 0000053874 00000 п. 0000054148 00000 п. 0000054381 00000 п. 0000054633 00000 п. 0000054918 00000 п. 0000055225 00000 п. 0000055496 00000 п. 0000055711 00000 п. 0000055968 00000 п. 0000056296 00000 п. 0000056558 00000 п. 0000056817 00000 п. 0000057073 00000 п. 0000057374 00000 п. 0000057573 00000 п. 0000057615 00000 п. 0000057940 00000 п. 0000058131 00000 п. 0000058305 00000 п. 0000058583 00000 п. 0000058811 00000 п. 0000059092 00000 п. 0000059340 00000 п. 0000059620 00000 н. 0000059791 00000 п. 0000059970 00000 н. 0000060284 00000 п. 0000060602 00000 п. 0000060907 00000 п. 0000061066 00000 п. 0000061333 00000 п. 0000061507 00000 п. 0000061878 00000 п. 0000062085 00000 п. 0000062262 00000 п. 0000062543 00000 п. 0000062724 00000 н. 0000062766 00000 п. 0000063264 00000 п. 0000063601 00000 п. 0000064104 00000 п. 0000064370 00000 п. 0000064895 00000 п. 0000065152 00000 п. 0000065403 00000 п. 0000065656 00000 п. 0000065952 00000 п. 0000066299 00000 п. 0000066553 00000 п. 0000066756 00000 п. 0000066993 00000 п. 0000067169 00000 п. 0000067449 00000 п. 0000067744 00000 п. 0000067925 00000 п. 0000068095 00000 п. 0000068395 00000 п. 0000068714 00000 п. 0000068954 00000 п. 0000069273 00000 п. 0000069530 00000 п. 0000070390 00000 п. 0000070859 00000 п. 0000071645 00000 п. 0000072418 00000 п. 0000072578 00000 п. 0000072740 00000 п. 0000073049 00000 п. 0000073239 00000 п. 0000073504 00000 п. 0000073781 00000 п. 0000074088 00000 п. 0000074411 00000 п. 0000074732 00000 п. 0000075052 00000 п. 0000075403 00000 п. 0000075718 00000 п. 0000076028 00000 п. 0000076302 00000 п. 0000076590 00000 п. 0000076841 00000 п. 0000077108 00000 п. 0000077421 00000 п. 0000077737 00000 п. 0000077910 00000 п. 0000078081 00000 п. 0000078403 00000 п. 0000078580 00000 п. 0000078841 00000 п. 0000079037 00000 н. 0000079416 00000 п. 0000079635 00000 п. 0000079850 00000 п. 0000080088 00000 п. 0000080379 00000 п. 0000080636 00000 п. 0000080678 00000 п. 0000081044 00000 п. 0000081551 00000 п. 0000081876 00000 п. 0000082154 00000 п. 0000082520 00000 н. 0000082890 00000 н. 0000083207 00000 п. 0000083554 00000 п. 0000083841 00000 п. 0000084194 00000 п. 0000084421 00000 п. 0000084702 00000 п. 0000085065 00000 п. 0000085363 00000 п. 0000085652 00000 п. 0000085842 00000 п. 0000085884 00000 п. 0000086420 00000 н. 0000086917 00000 п. 0000087199 00000 п. 0000087509 00000 п. 0000087769 00000 п. 0000088110 00000 п. 0000088355 00000 п. 0000088678 00000 н. 0000088938 00000 п. 0000089241 00000 п. 0000089549 00000 п. 0000089814 00000 п. 00000
00000 н. 00000
