Site Loader
Алгебраические свойства векторного произведения — Студопедия

Для любых векторов , , и любого действительного числа :

1. ;

2. ;

3. .

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство «противоположно» закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.


Докажем первое свойство, предполагая, что векторы и не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы и имеют равные длины и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов

и — правые, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора , а вектор направлен так, что кратчайший поворот от
к происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора (рис. 1.43). Это означает, что векторы и противоположно направлены. Следовательно, , что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).


Алгебраические свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Для любого .

Доказательство свойства 1.

Обозначим

, . Нам нужно доказать, что справедливо равенство между векторами:

В соответствии с определением, данным в лекции 1, нужно убедиться, что и направления и совпадают.

Из определения 5 получаем

.

По определению 5 ,

и , , следовательно, и оба перпендикулярны плоскости , определяемой векторами и , следовательно, и
коллинеарны.

Пусть , и приведены к одному началу. Так как они составляют правую тройку, в соответствии с определением 3 с конца вектора кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки. Тогда для любого вектора, расположенного по ту же сторону от

, что и вектор , кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, вектор расположен по другую сторону от плоскости . Учитывая уже установленную коллинеарность и
, получаем .

Свойство 2 примем без доказательства.

Доказательство свойства 3. Обозначим , .

Случай 1. . Тогда (так как ), при этом , следовательно,

.

Случай 2. .

а) Векторы и коллинеарны. Тогда по теореме 4 и ; коллинеарен (как произведение вектора

на число), следовательно, коллинеарен , и по теореме 4 , значит, .

б) Векторы и не коллинеарны. Пусть . Тогда

.

Имеем , следовательно, коллинеарен . С другой стороны, , поэтому коллинеарен . Таким образом, и коллинеарны.

Так как , а

, то направление совпадает с направлением вектора .

Направление совпадает с направлением , а , следовательно, направление совпадает с направлением .

Итак, и коллинеарны и направления их совпадают, т.е. и свойство 3 в этом случае справедливо.

Пусть . Тогда

.

Имеем и коллинеарен . С другой стороны и коллинеарен вектору . Таким образом, и коллинеарны (и коллинеарны вектору ).

Вектор в соответствии с определениями 5 и 3 направлен таким образом, что с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки, тогда (), с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, векторы и имеют противоположное направление.

Вектор , равный , тоже имеет направление, противоположное направлению , таким образом, и направлены одинаково.

Учитывая доказанное ранее равенство и коллинеарность и , заключаем, что , – свойство 3 справедливо и в этом случае.

Доказательство свойства 4.

Так как любой вектор коллинеарен сам себе, то свойство 4, т.е. равенство , следует из теоремы 4.

Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:

). ;

). .

В самом деле, докажем, например, :

.

Аналогично обосновывается .

Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая векторно линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.

Теорема 5. Пусть ,, – декартов базис, , . Тогда .

Доказательство. Имеем

. (2.6)

Найдем всевозможные векторные произведения базисных векторов.

В силу свойства 4 .

Так как базис ,, декартов и длина каждого базисного вектора равна единице, каждое из оставшихся шести векторных произведений либо вектор базиса, либо противоположный ему. Векторы базиса образуют правую тройку, поэтому

, , , (2.7)

а, привлекая свойство 1 и используя (2.7), получаем

, , ,

Подставляя эти соотношения в (2.6), приходим к равенству

или

. (2.8)

Следствие. Пусть ,, – декартов базис, , . Векторы и коллинеарны в том и только том случае, когда .

Действительно, и коллинеарны в том и только том случае (см. теорему 4), когда . Учитывая теорему 5, получаем: и коллинеарны в том и только том случае, когда

, , ,

или

, , , (2.9)

или

, , ,

или

. (2.10)

Замечание. Чтобы обойти трудность с равенством нулю знаменателя в (2.10), договоримся в том случае, когда – координаты некоторых векторов и , понимать равенство (2.10) как три равенства (2.9).

Алгебраические свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Для любого .

Доказательство свойства 1.

Обозначим , . Нам нужно доказать, что справедливо равенство между векторами:

В соответствии с определением, данным в лекции 1, нужно убедиться, что и направления и совпадают.

Из определения 5 получаем

.

По определению 5 , и , , следовательно, и оба перпендикулярны плоскости , определяемой векторами и , следовательно, и коллинеарны.

Пусть , и приведены к одному началу. Так как они составляют правую тройку, в соответствии с определением 3 с конца вектора кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки. Тогда для любого вектора, расположенного по ту же сторону от , что и вектор , кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, вектор расположен по другую сторону от плоскости . Учитывая уже установленную коллинеарность и , получаем .

Свойство 2 примем без доказательства.

Доказательство свойства 3. Обозначим , .

Случай 1. . Тогда (так как ), при этом , следовательно, .

Случай 2. .

а) Векторы и коллинеарны. Тогда по теореме 4 и ; коллинеарен (как произведение вектора на число), следовательно, коллинеарен , и по теореме 4 , значит, .

б) Векторы и не коллинеарны. Пусть . Тогда

.

Имеем , следовательно, коллинеарен . С другой стороны, , поэтому коллинеарен . Таким образом, и коллинеарны.

Так как , а , то направление совпадает с направлением вектора .

Направление совпадает с направлением , а , следовательно, направление совпадает с направлением .

Итак, и коллинеарны и направления их совпадают, т.е. и свойство 3 в этом случае справедливо.

Пусть . Тогда

.

Имеем и коллинеарен . С другой стороны и коллинеарен вектору . Таким образом, и коллинеарны (и коллинеарны вектору ).

Вектор в соответствии с определениями 5 и 3 направлен таким образом, что с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки, тогда (), с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, векторы и имеют противоположное направление.

Вектор , равный , тоже имеет направление, противоположное направлению , таким образом, и направлены одинаково.

Учитывая доказанное ранее равенство и коллинеарность и , заключаем, что , – свойство 3 справедливо и в этом случае.

Доказательство свойства 4.

Так как любой вектор коллинеарен сам себе, то свойство 4, т.е. равенство , следует из теоремы 4.

Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:

). ;

). .

В самом деле, докажем, например, :

.

Аналогично обосновывается .

Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая векторно линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.

Теорема 5. Пусть ,, – декартов базис, , . Тогда .

Доказательство. Имеем

. (2.6)

Найдем всевозможные векторные произведения базисных векторов.

В силу свойства 4 .

Так как базис ,, декартов и длина каждого базисного вектора равна единице, каждое из оставшихся шести векторных произведений либо вектор базиса, либо противоположный ему. Векторы базиса образуют правую тройку, поэтому

, , , (2.7)

а, привлекая свойство 1 и используя (2.7), получаем

, , ,

Подставляя эти соотношения в (2.6), приходим к равенству

или

. (2.8)

Следствие. Пусть ,, – декартов базис, , . Векторы и коллинеарны в том и только том случае, когда .

Действительно, и коллинеарны в том и только том случае (см. теорему 4), когда . Учитывая теорему 5, получаем: и коллинеарны в том и только том случае, когда

, , ,

или

, , , (2.9)

или

, , ,

или

. (2.10)

Замечание. Чтобы обойти трудность с равенством нулю знаменателя в (2.10), договоримся в том случае, когда – координаты некоторых векторов и , понимать равенство (2.10) как три равенства (2.9).

Геометрические свойства векторного произведения — Студопедия

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

, в частности, .

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: , или , или . В каждом из этих случаев векторы и коллинеарны (см. разд. 1.1).


Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен (рис. 1.44).

Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение

а затем его модуль .

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна , а площадь треугольника в 2 раза меньше: .

Векторное произведение векторов Википедия

Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой[⇨]. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Алгебраические свойства векторного произведения. — Студопедия

1. (антиперестановочность).

2. (линейность).

3. .

4. .

Векторное произведение через координаты.

Теорема. Если в правой системе координат , , то

.

Доказательство.

, , , , , , , , .

. □

Смешанное произведение.

Определение. Смешанным произведением трёх векторов называется число:

,

т.е. скалярное произведение векторов и .

Векторное произведение

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математики и бизнес-информатики

РЕФЕРАТ

Дисциплина: Линейная алгебра

На тему: «Векторное произведение»

Выполнила

студентка 1 курса, группы 23101.50

Богачева Е.С.

Преподаватель:

Сахабиева Г.А.

Самара

2014

План

Введение

1. Определение

2. Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

3. Свойства

3.1 Основные геометрические свойства векторного произведения

3.2 Основные алгебраические свойства векторного произведения

4. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

5. Алгебра Ли векторов

Источники, литература

Введение

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

1. Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию

1) , где — угол между a и b и, если , то еще двум условиям:

  • вектор c ортогонален векторам a и b;

  • из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Обозначение:

2. Правые и левые тройки векторов в трехмерном пространстве

Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость — единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.

B противном случае левая тройка.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

3. Свойства

3.1 Основные геометрические свойства векторного произведения

3.1.1 Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b — коллинеарные.

Доказательство: Из определения векторного произведения получим, что тогда и только тогда, когда , или , или . Из последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю. векторный произведение геометрический алгебраический

3.1.2 Площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

3.1.3 Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка — правая, а — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

3.1.4 Если — какой-нибудь вектор, — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула:

3.1.5 При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.

3.2. Основные алгебраические свойства векторного произведения

3.2.1 Векторное произведение антикоммутативно, то есть (в другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное; антикоммутативность).

Доказательство: Пусть , . Нужно показать, что . Из условия 1 следует, что . Если , то очевидно, что . Если , то векторы c и d — коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: или . Пусть вектор совпадает с вектором . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, .

3.2.2 Для любых векторов a и b и любого числа выполняется равенство (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр).

Доказательство: Если , то утверждение очевидно. Если векторы a и b — коллинеарные, то векторы и b — тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть , a, b – неколлинеарные, , . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами и b, равны. Следовательно,

то есть . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, .

Пусть . Тогда векторы образуют угол (см. рисунок).

Вычисляем модули:

то есть . Векторы и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и

от к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору (см. рисунок) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что .

3.2.3 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности по сложению, то есть выполняется равенство .

4. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Теорема. Пусть , . Тогда

Доказательство: По условию , . По свойству ассоциативности векторного произведения получим

По тем же правилам

По таблице умножения . Аналогично находим , . Подставив полученные результаты в формулу, получим

Запомнить полученную формулу тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, вводят еще два дополнительных объекта — матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка называют таблицу из четырех чисел, которая обозначается , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел —

Определителем матрицы второго порядка будем называть число . Определитель второго порядка обозначается .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

5. Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению с касательной алгеброй Ли so(3) к группе Ли SO(3) ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

Источники, литература

  1. https://ru.wikipedia.org

  2. http://webmath.exponenta.ru

  3. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для вузов. — 5-е изд. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

Все элементарная математика — Учебное пособие — Алгебра
Векторы. Противоположные векторы. Нулевой вектор. Длина (модуль) вектора.
Коллинеарные векторы. Копланарные векторы. Равенство векторов. Параллельная передача
векторов. Добавление векторов. Вычитание векторов.
Законы сложения векторов. Законы умножения вектора на число
. Скалярное произведение векторов. Угол между ненулевыми векторами. Скалярная площадь
Свойства скалярного произведения.Единичные ортогональные векторы.
Координаты вектора. Алгебраические операции с векторами. Вектор
произведение векторов. Свойства векторного произведения. Необходимое и
достаточное условие коллинеарности векторов. Необходимое и достаточное
условие компланарности векторов.

Вектор — это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве (на плоскости). Векторы обычно подписываются либо маленькими буквами, либо начальными и конечными точками. Например, вектор, направленный из точки A в точку B , может быть подписан как a ,

__

Нулевой вектор 0 или 0 равен вектор, для которого начальная и конечная точки совпадают, т.е.е. А = В . Отсюда следует: 0 = 0 .

Длина (модуль) вектора a , подписанный как | а | , — длина его сегмента изображения AB . В частности, | 0 | = 0

Векторы называются коллинеарными векторами, если их направленные сегменты принадлежат параллельным линиям. Коллинеарные векторы a и b подписаны как a || б .

Три или более векторов называются копланарными , если они лежат в одной плоскости.

Равенство векторов. Два вектора a и b равны , если они коллинеарны и их длины равны , то есть a || б и | а | = | b | , Следовательно, вектора не изменяются при параллельной передаче.

Добавление векторов. Поскольку векторы направляются в сегментов , то их сложение может быть выполнено геометрически. (алгебраическое сложение векторов см. Ниже, в пункте Единицы ортогональных векторов).

Предположим, что __ __

a = AB и b = CD,

затем __ __

a + b = AB + CD

— вектор, полученный после выполнения двух операций:

a — параллельный перенос одного из векторов, пока его начальная точка не совпадет с

,

— конечной точкой другого вектора;

b ) геометрическое сложение путем рисования результирующего вектора из начальной точки

неподвижного вектора в конечную точку перенесенного вектора.

Вычитание векторов. Эта операция сокращается до предыдущей путем замены вычитаемого вектора на противоположный:


a b = a + ( b ).

Законы сложения. I. a + b = b + a (C m m u t a t i v i t y).

II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (A s s o c i a t i v i t y).

III. a + 0 = a.

IV. a + ( a ) = 0 .

Законы умножения вектора на число.

I. 1 a = a , 0 a = 0, м 0 = 0 , ( 1) a = a .

II. м а = а м , | м а | = | м | | а | .

III. m (n a ) = (m n) a . (умножение на

умножение на число).

IV. ( m + n ) a = m a + n a , (D — распределение

м ( a + b ) = м a + м b . умножение на число).

__ __

Скалярное произведение векторов. Угол между ненулевыми векторами AB и CD — это угол, образованный при параллельной передаче одного из векторов до совпадения точек A и C.Скалярное произведение векторов , и b называется числом, равным , как произведение длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними:

If один из векторов является нулевым вектором, тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю по определению:

( a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0.

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними можно найти по формуле:

Скалярное произведение ( a, ), равное | а | ², называется скалярным квадратом.

Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов равно:

положительных , если угол между векторами острый ;

отрицательно, , если угол между векторами равен , тупо .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно , равному нулю , , если и только если угол между векторами прямой, то есть эти векторы перпендикулярны (ортогонально):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a, b, c и любого числа м действительны следующие соотношения:

I. ( a, b ) = ( б, ) . (по т. Ч.)

II. ( м а, б ) = м ( а, б ) .

III. ( a + b, c ) = ( a, c ) + ( b, c ) . (в режиме реального времени)

Единичные ортогональные векторы. В любую прямоугольную систему координат можно ввести единичных двух-двух ортогональных векторов i , j и

.

свойств векторов | Wyzant Resources

Векторы следуют большинству тех же правил арифметики, что и скалярные числа. Последующий различные свойства, которые применяются к векторам в двухмерном и трехмерном пространство и важно иметь в виду

Добавление векторов

Скалярные и векторные свойства

Точка Свойства продукта

Точечный продукт определен как

так же как

Следующие свойства содержат

Свойства перекрестного продукта

Совокупный продукт определяется как

Как и

Следующие свойства содержат

Бесплатно зарегестрироваться чтобы получить доступ к другим ресурсам исчисления, как.Wyzant Resources содержит блоги, видео, уроки и многое другое о исчислении и более 250 других тем. Прекратите бороться и начните учиться сегодня с тысячами бесплатных ресурсов! ,

Точечное произведение двух векторов

Алгебраическая интерпретация. Точечное произведение двух векторов a и b является скалярной величиной, равной сумме попарных произведений координатных векторов a и b.

Точечный продукт также называется скалярным продуктом или внутренним продуктом .

Точечный продукт — формулы

Формула точечного произведения для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; а х } и б = {б х ; b y } можно найти по следующей формуле:

a · b = a x · b x + a y · b y

Формула точечного произведения для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; и ; а z } и b = {b x ; b и ; b z } можно найти по следующей формуле:

a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z

Формула точечного произведения для задач с n-мерным пространством

В случае проблемы n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a 1 ; 2 ; ,..; a n } и b = {b 1 ; b 2 ; …; b n } можно найти по следующей формуле:

a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + … + a n · b n

Примеры вычисления точечного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти произведение точек векторов a и b, если их величины равны | a | = 3, | b | = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = | a | · | Б | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти произведение точек векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их величины равны | a | = 3, | b | = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 | a | 2 + 12 a · b — 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

,{n} \ times X $ на $ X $, так что склейка сохраняет линейную структуру векторного пространства. Здесь $ E $ называется волоконным пространством ( пучка ), $ X $ является базой , а $ n $ является ранга или измерения пучка. Морфизмы алгебраического векторного расслоения определяются так же, как и в топологии. Более общее определение, которое подходит для любой схемы, включает в себя понятие пучка. Пусть $ \ mathcal {E} $ — локально свободный пучок $ \ mathcal {O} _ {X} $ -модулей конечного (постоянного) ранга; тогда аффинный морфизм $ V (\ mathcal {E}): \ operatorname {Spec} (\ operatorname {Sym} \ mathcal {E}) \ to X $, где $ \ operatorname {Sym} \ mathcal {E} $ равен пучок симметричных алгебр из $ \ mathcal {E} $ называется векторным расслоением , связанным с $ \ mathcal {E} $.Эта терминология иногда также сохраняется, когда $ \ mathcal {E} $ является произвольным квазикогерентным пучком. Пучок $ \ mathcal {E} $ может быть однозначно восстановлен из алгебраического векторного расслоения $ V (\ mathcal {E}) $, а категория алгебраических векторных расслоений на $ X $ двойственна категории локально свободных пучков $ \ mathcal {O} _ {X} $ -модули. Более того, для $ X $ -схемы $ Y $ множество $ X $ -морфизмов $ Y \ to V (\ mathcal {E}) $ биективно соответствует множеству $ \ mathcal {O} _ {X} $ -модульные гомоморфизмы $ \ mathcal {E} \ to {f ^ {*}} (\ mathcal {O} _ {Y}) $, где $ f $ — структурный морфизм $ X $ -схемы $ Y $ ,Говорят, что {n} $ очень вполне достаточно .

Другие примеры алгебраических векторных расслоений включают касательное расслоение $ T (X) $ на гладком многообразии $ X $ и расслоения, построенные из него различными операциями (см. Касательное расслоение; канонический класс; нормальное расслоение).

Алгебраическое векторное расслоение на многообразии, определенном над полем комплексных чисел $ \ mathbb {C} $, может рассматриваться как аналитическое и как топологическое (в комплексной топологии) алгебраическое векторное расслоение. Аналитические и алгебраические векторные расслоения эквивалентны на полном алгебраическом многообразии (см. Теорему сравнения в алгебраической геометрии).Топологические векторные расслоения не всегда допускают алгебраическую структуру, и даже когда они это делают, такая структура обычно не уникальна. Если алгебраическое векторное расслоение рассматривается как топологическое, то могут использоваться топологические методы; в частности, могут быть введены классы Черна алгебраических векторных расслоений. Также существует абстрактное определение классов Черна, которое включает $ K $ -функционер или один из вариантов этальных когомологий.

Свойства алгебраического векторного расслоения будут зависеть от того, является ли его база полной или аффинной схемой.Если база аффинна, т. Е. $ X = \ operatorname {Spec} (A) $, то алгебраические векторные расслоения соответствуют проективным модулям конечного типа над кольцом $ A $. Если ранг алгебраического векторного расслоения $ E $ выше размерности базы $ X $, то $ E $ можно представить в виде $ E = E ‘\ oplus 1 $, где $ 1 $ — одномерный тривиальный комплект. Обратите внимание, что $ E ‘$ обычно не определяется однозначно. Более того, если ранг $ E $ выше размерности базы и $ E \ oplus 1 \ cong F \ oplus 1 $, то $ E \ cong F $ ([4]).Если $ X $ — неособая одномерная схема (т.е. $ A $ — кольцо Дедекинда), то любое алгебраическое векторное расслоение является прямой суммой тривиального и линейного расслоения. Это также относится к алгебраическим векторным расслоениям на неособой аффинной поверхности над алгебраически замкнутым полем, бирационально эквивалентным линейчатой ​​поверхности.

Случай проективной базы.

Изучение линейных расслоений на проективных многообразиях является классической проблемой алгебраической геометрии (см. Группу Пикара; схема Пикара).Изучение алгебраических векторных расслоений высших рангов началось в 1957 году, когда А. Гротендик показал, что алгебраические векторные расслоения на проективной прямой являются прямыми суммами линейных расслоений. М. Атия классифицировал алгебраические векторные расслоения на эллиптической кривой $ X $: если $ \ mathcal {E} (r, d) $ обозначает множество алгебраических векторных расслоений неразложимых (в прямую сумму) алгебраических векторных расслоений ранга $ r $ и степень $ d $ («степень» следует понимать как степень определителя расслоения), тогда $ \ mathcal {E} (r, d) $ совпадает с точками кривой $ X сам $ ([3]).

Концепция стабильных алгебраических векторных расслоений оказалась полезной при изучении алгебраических векторных расслоений на кривых. Для данного алгебраического векторного расслоения $ E $, пусть

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *