Алгебраические свойства векторного произведения: Свойства векторного произведения Геометрические свойства — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Свойства векторного произведения Геометрические свойства

Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:

||.

Доказательство. Пусть угол между векторами иравен.

a) Докажем, что .

или 180⁰.

б) Докажем, что .

если .

Если , или.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство. Из курса геометрии

Из свойства 2 следует, что , где– единичный вектор, перпендикулярный векторамии образующий с ними правую тройку:

а) =1,

б) ,,

в) ,,– правая тройка.

Алгебраические свойства

Антикоммутативность: =

Доказательство. Модули векторов иравны по определению векторного произведения. Проверим их направление:

а) ||равенство выполняется;

б) ине параллельны. Но||по определению векторного произведения, тогда либо, либо. Пусть, а. Тройка векторовправая, а тройка– левая. Следовательно,и = .

Ассоциативность относительно умножения на число.

проверяем модуль:

а),,

где – угол между векторамии, а– угол между векторамии.

поверяем направление:

б) если

если и .

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Теорема 1. Пусть векторы иимеют координаты

Векторное произведение этих векторов имеет координаты

. (16)

Можно расписать определители:

(16’)

или представить в виде

. (16’’)

Доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:

(17)

Разложим векторы ипо базису:

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно:

с учетом формул (17).

Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов

Решение. Пусть .

Пример 2: Даны три точки: .

Найти площадь треугольника АВС ().

Решение.

Найдем координаты векторов .

Смешанное произведение трёх векторов

Даны при произвольных вектора .

Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор , то – это смешанное произведение векторов .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 2. Смешанное произведение

равно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к общему началу векторах, взятому со знаком <+>, если – правая тройка векторов, и со знаком <->, если тройка– левая.

Если векторы – компланарны, то объем равен нулю, и .

Доказательство. Пусть S – площадь параллелограмма, построенного на векторах , – единичный вектор, перпендикулярный к векторам и образующий с ними правую тройку. (Вектор– орт векторного произведения .)

Из геометрического свойства 2 векторного произведения

(18)

–высота параллелепипеда, построенного на векторах , с основанием S.

, а , если правая тройка, то есть той же ориентации, что и .

, а , если тройка левая.

Если векторы – компланарны, то .

Следствие 1. .

Доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовательно

По теореме 2: , .

Далее будем обозначать смешанное произведение , так как .

Следствие 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема 3. Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде

Доказательство. .

По теореме о векторном произведении:

Умножим векторное произведение скалярно на вектор :

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

компланарны.

Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдраАВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:

Координаты векторов .

По теореме 3

Геометрические свойства скалярного произведения — Студопедия

Поделись с друзьями:

1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов

a и b является равенство нулю их скалярного произведения: (

a,b) = 0.

2. Угол a векторами a и b определяется соотношением

cosa = . (12)

3. Два вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый с = [ a, b ], длина которого равна произведению длин векторов a и b, умноженному на синус угла a между ними, т.е.

| с | = |[ a, b ] | = с = | a | × | b | sin a = | a | × | b | sin (a, b), (13)

при этом ветор с ортогонален каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b и с является правой.

Если векторы a и b определены своими декартовыми координатами, то их векторное произведение можно записать через определитель

[ a, b ] = . (14)

Рис. 6

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получаем разложение вектора [ a, b ] по базису { i, j, k }

[ a, b ] = (y_a z_b – y _bz_а) i – (x_аz_b – x_b z_а) j + (x_аy_b – x_b y_а) k. (14-1)

Алгебраические свойства векторного произведения

1. [ a, b ] = — [ b, a ].

2. [l a, b ] = l×[ a, b ] «lÎ R.

3. [ a + b, с ] = [ a, с ] + [ b, с ].

4. [ a, а ] = 0.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Компоненты, типы, операции с формулами

Мы часто задаемся вопросом о таких вещах, как высота здания или как игрок должен ударить по мячу, чтобы отдать пас другому игроку в команде, и так далее. Возможный ответ на первый вопрос может быть 200 метров. Здесь вовлеченное количество является единственным значением, которое является величиной, которая является действительным числом, такие меры называются скалярами, тогда как во втором вопросе задействована сила, то есть есть комбинация двух вещей: мышечная сила (величина) и второй — направление, в котором нужно ударить по мячу. Такие меры обозначаются как векторы.

Скаляр: Любая физическая величина, которая имеет только величину, но не имеет направления, объявляется скалярной величиной.

Вектор: Любая физическая величина, которая имеет как величину, так и направление, считается векторной величиной.

Что такое векторная алгебра?

Векторная алгебра — одна из фундаментальных тем алгебры. Он рассматривает алгебру векторных величин. В векторной алгебре есть два типа физических величин, а именно скалярные и векторные. Рассмотрим M как любую прямую линию в плоскости/трехмерном пространстве. Эта линия может иметь два направления с использованием стрелок. Линия с одним из этих предписанных направлений называется направленная линия .

Теперь распознайте третью линию, которая была ограничена на концах X и Y, таким образом, путем ограничения линии величина задана на линии M. И здесь мы получаем направленный отрезок линии, который имеет как величины, так и направление, представленное .

\( \left|\vec{XY}\right|\) где стрелка указывает направление вектора.

Компоненты векторной алгебры

Компоненты вектора также могут быть представлены в виде \(\vec{OM}\ или\ \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\ шляпа{к}\\\) 92} \)

Типы векторов в векторной алгебре

Существуют следующие типы векторов в векторной алгебре:

1. Нулевые или нулевые векторы: нулевой или нулевой вектор. Это означает, что нулевому вектору нельзя присвоить определенное направление, поскольку он имеет нулевые величины. Таким образом, модуль нулевого вектора равен нулю и обозначается через O или \(\vec{0}\).

2. Единичный вектор: Вектор, величина которого имеет единичную длину, обозначается как единичный вектор. Если \(\vec{x}\) вектор, величина которого равна x, то единичный вектор \(\vec{x}\) в направлении x обозначается \(\widehat{x}\) и определяется как:

\(\widehat{x}=\dfrac{\overrightarrow{x}}{\left| x\right| }\)

3. Как и в отличие от векторов: Предполагается, что векторы похожи, когда они имеют одинаковое направление, но их величина различна, точно так же, когда они имеют противоположные направления и разные величины, тогда они называются разными векторами.

4. Равенство векторов: Два вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

4. Коначальные векторы: Векторы, имеющие одну и ту же исходную точку, называются коначальными векторами.

5. Коллинеарные векторы: Предполагается, что векторы, параллельные одной прямой, являются коллинеарными.

6. Компланарные векторы: Три или более вектора объявляются компланарными, если они параллельны одной плоскости, в противном случае они объявляются некомпланарными векторами.

7. Вектор положения: Если точка O зафиксирована как начало координат в пространстве, а P является любой точкой, то OP называется вектором положения P относительно O.

Копланарность трех векторов
Три вектора компланарны, если один из них может быть представлен в виде линейной комбинации двух других векторов.
Если векторы \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) и \(\vec{z}\) некомпланарны, то
\(m\vec{x}+ n\vec{y}+p\vec{z}=0=m+n+p=0\)
Узнайте о стандартных тождествах
Операции векторной алгебры
Векторная алгебра представляет собой различные векторные правила и операции, включая сложение векторов, умножение векторов, скалярное произведение, векторное произведение и многое другое. Давайте рассмотрим каждый из них подробно с формулами, правилами, свойствами и многим другим.
Сложение векторов
Сложение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) обозначается \(\vec{x}\ +\ \vec{y }\) и известен как результат \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).
Существуют различные методы добавления векторов.
Закон треугольника: Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) лежат вдоль двух последовательных сторон треугольника, то третья сторона представляет собой сумму векторов \(\vec{y}\) {x}\) и \(\vec{y}\) т. е. \(\vec{x}\ +\ \vec{y}\) .
Закон параллелограмма: Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) две смежные стороны параллелограмма, то их сумма представлена диагональю параллелограмма, т.е. диагональю параллелограмма представляет собой вектор \(\vec{x}\ +\ \vec{y}\).
Свойства сложения векторов
Сложение векторов коммутативно
т.е.
Сложение векторов ассоциативное
т.е. {y}+\vec{z}\right)\)
Существование Аддитивная идентичность
Для каждого вектора у нас есть где 0 — нулевой вектор.
\(\vec{x}+0=\vec{x}=0+\vec{x}\)
Существование аддитивной обратной
Каждому вектору \(\vec{x}\) соответствует вектор \(\vec{-x}\) такой, что \left(-\vec{x}\right)=0=\left(-\vec{x}\right)+\vec{x}\), где 0 — нулевой вектор.
Умножение вектора на скаляр
Пусть k — скаляр \(\vec{x}\) и вектор, тогда их произведение определяется формулой;
\(k\vec{x}\ or\ \vec{x}k\)
Этот тип умножения называется скалярным умножением.
Свойства скалярного умножения
Для любых векторов \(\vec{x}\)и\(\vec{y}\) и скаляров m, n выполняется:
\(m\left(-\ vec{x}\right)=-\left(m\vec{x}\right)\)
\(\left(-m\right)\left(-\vec{x}\right)=m\ vec{x}\)
\(\left(m+n\right)\vec{x}=m\vec{x}+n\vec{x}\)
\(m\left(\vec {x}+\vec{y}\right)=m\vec{x}+m\vec{y}\)
\(m\left(\vec{x}-\vec{y}\right) =m\vec{x}-m\vec{y}\)
Узнайте о скалярном тройном произведении
Произведение двух векторов в векторной алгебре
Векторная алгебра — одна из фундаментальных тем алгебры. Он рассматривает алгебру векторных величин. Нам известно, что есть два вида физических величин, а именно скаляры и векторы. Начнем с скалярного и векторного произведения векторов.
Скалярное или скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) в векторной алгебре определяется как:
\(\vec{x\ }. \vec{y}=\left|\vec{x}\right|\times\left|\vec{y}\right|\cos\theta\).
где \(\ \left|\vec{x}\right|\ and\ \left|\vec{y}\right|\) обозначают величину вектора \(\vec{x}\) и \ (\vec{y}\) соответственно и \( \theta\) — угол между векторами \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).
Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение коммутативно в векторной алгебре.
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) два ненулевых вектора, то:
\(\vec{x}\ .\ \vec{y}=\vec{y}.\ \vec{x}\)
Скалярное произведение ассоциативно со скалярным умножением
Если \(\vec{ x}\) и \(\vec{y}\) — любые два ненулевых вектора, а λ — скаляр, тогда:
\(\vec{x}.\ \lambda\vec{y}=\lambda \left(\vec{x}.\ \vec{y}\right)\)
Скалярное произведение является дистрибутивным относительно сложения векторов.
Если \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) ,\(\vec{z}\) и любые три ненулевых вектора, то:
\(\vec{ x}.\left(\vec{y}+\vec{z}\right)=\left(\vec{x}. \vec{y}\right)+\left(\vec{x}\ .\ vec{z}\справа)\)
\(\шляпа{i}.\шляпа{i}=\шляпа{j}.\шляпа{j}=\шляпа{k}.\шляпа{k}=1\ и\ \ \шляпа{i} .\шляпа{j}=\шляпа{j}.\шляпа{k}=\шляпа{k}.\шляпа{i}=0\)
\(\begin{array}{l}If\ \vec {x}=x_1\шляпа{i}+x_2\шляпа{j}+x_3\шляпа{k}\ \ и\ \end{массив}\vec{y}=y_1\шляпа{i}+y_2\шляпа{ j}+y_3\шляпа{k}\ \ then\)
\(\begin{array}{l}\vec{x}.\ \vec{y}=x_1y_1+\ x_2y_2+x_3y_3\end{массив}\ )
\(\begin{array}{l}If\ \vec{x}=x_1\hat{i}+x_2\hat{j}+x_3\hat{k}\ \ и\ \end{array} \vec{y}=y_1\шляпа{i}+y_2\шляпа{j}+y_3\шляпа{k}\ \ тогда\) 92}}\)
\(\begin{array}{l}If\ \theta=90\ \ then\ x_1y_1+\ x_2y_2+x_3y_3=0\ that\ is\ \vec{x}\end{array}is \ \perp\ to\ \vec{y}\)
\(\begin{array}{l}Если\ \theta=0\ \ then\ \ \vec{x}\end{array} is\ \parallel \ to\ \vec{y}\)
Вектор или векторное произведение двух векторов
Векторное произведение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) равно предоставлено:
\(\vec{x}\times\vec{y}=\left|\vec{x}\right|. \left|\vec{y}\right|\sin\theta\ \hat{ п}\).
Где \(\ \left|\vec{x}\right|and\ \left|\vec{y}\right|\) обозначает величину векторов \(\vec{x}\) и \(\ vec{y} \), а \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{x}\ и \\vec{y}\).
Здесь \(\hat{n}\) — единичный вектор, перпендикулярный обоим векторам \(\vec{x}\ и \\vec{y}\).
Свойства векторного произведения
Векторные произведения не коммутативны в векторной алгебре.
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) любые два вектора, то:
\(\vec{x}\times\vec{y}=-\left(\vec{y}\ \times\vec{x}\right)\)
Векторное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения.
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) любые два вектора и λ скаляр, то:
\(\lambda\left(\vec{x}\times \vec{y}\right)=\left(\lambda\vec{x}\right)\times\vec{y}=\vec{x}\times\left(\lambda\vec{y}\right) \)
Продукт Vector является распределительным в отношении сложения векторов.
Если \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) и \(\vec{z}\) — любые три вектора, то:
\(\vec{x}\times\left(\vec{y}+\vec{z}\right)=\left(\vec{x}\times\vec{y}\right)+\left (\vec{x}\times\vec{z}\right)\)
\(\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k},\ \ \hat{j}\times \ шляпа {k} = \ шляпа {i} \ и \ \ \ \ шляпа {k} \ раз \ шляпа {i} = \ шляпа {j} \ \ \)
\ (\ шляпа {i} \ раз \ шляпа{i}=\ \шляпа{j}\times\шляпа{j}=\ \шляпа{k}\times\шляпа{k}=0\)
\(\begin{array}{l}If\ \vec{x}=x_1\шляпа{i}+x_2\шляпа{j}+x_3\шляпа{k}\ \ и\ \end{массив}\vec{y}=y_1\шляпа{i}+y_2\ шляпа{j}+y_3\шляпа{k}\ \ являются\ двумя\ векторами\ тогда\)
\(\left[\begin{матрица}\шляпа{i}&\шляпа{j}&\шляпа{k}\\
x_1&x_2&x_3\\
y_1&y_2&y_3\конец{матрица}\right]\)
Если \ (\vec{x}\) и \(\vec{y}\) две смежные стороны параллелограмма, тогда площадь параллелограмма:
=\(\left|\vec{x}\times\vec {y}\right|\)
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) — диагонали параллелограмма, то площадь параллелограмма;
=\(\frac{1}{2}\left|\vec{x}\times\vec{y}\right|\)
Если \(\vec{x}\) и \(\vec{ y}\) две смежные стороны треугольника, тогда площадь треугольника: 92}\)
Косинусы направлений и отношения направлений
Предположим, что вектор положения \(\vec{OM}\ или\ \vec{r}\) находится в точке, скажем, M(x, y, я). Тогда углы \(\alpha,\\beta,\ и\\\gamma\\) образованы вектором между положительными направлениями осей x, y и z соответственно, которые называются его направляющими углами. Значения косинусов этих углов \(\cos\\alpha,\\\cos\\beta,\ и\\\cos\\gamma\) обозначаются направляющими косинусами вектора и обычно обозначаются l, m и n, Следовательно, координаты точки M также могут быть выражены как (lr, mr, nr). 92\neq 1\), в общем.
Вектор с величиной (r), отношением направлений (a, b, c) и направляющими косинусами (l, m, n) вектора связаны следующим образом:
\(l=\frac{a}{r },\ m=\frac{c}{r}\ and\ n=\frac{c}{r}\)
Формула сечения: Рассмотрим X и Y как две точки относительно начала координат O. Тогда Отрезок линии, соединяющий точки P и Q, может быть разделен третьей точкой, скажем, R, двумя способами; внутри и снаружи.
Внутри; \( \frac{\left(n\vec{a}+m\vec{b}\right)}{m+n}\\\)
Внешне, \(\ \frac{\left(m\vec{b}-n\vec{a}\right)}{m-n} \)
Проекция вектора на линию или направление
Рассмотрим вектор \(\vec{AB}\) образующий угол \(\theta \) с направленной линией m; против часовой стрелки, то проекция \(\vec{AB}\) на m является вектором\(\vec{p}\), имеющим величину \(\left|\vec{AB}\right|\left| \cos\theta\right|\) и направление \(\vec{p}\). Направление вектора может быть таким же или противоположным направлению линии m, в зависимости от значения угла. Вектор \(\vec{p}\) называется вектором проекции.
Скалярное тройное произведение векторной алгебры
, то их скалярное тройное произведение определяется как;
\( \begin{array}{l}If\ \vec{x}=x_1\hat{i}+x_2\hat{j}+x_3\hat{k}\ ,\end{array}\vec{ y}=y_1\шляпа{i}+y_2\шляпа{j}+y_3\шляпа{k}\ \ и\ \ \vec{z}=z_1\шляпа{i}+z_2\шляпа{j}+z_3\ шляпа{k}\ \)
\( \left(\vec{x}\times\vec{y}\right).\vec{z}=\begin{vmatrix}z_1&z_2&z_3\\
x_1&x_2&x_3\\
y_1&y_2&y_3 \end{vmatrix}=\left[x\ y\ z\right]\)
Геометрически это представляет собой объем параллелепипеда , ребра которого имеют длину x, y и z.
Свойства скалярного тройного произведения. равен нулю, если любые два из них равны.
Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю, если два из них параллельны или коллинеарны.
Три ненулевых вектора \(\vec{x},\ \vec{y},\ и\ \vec{z}\) компланарны тогда и только тогда, когда [x y z]=0
Приложения векторной алгебры
Векторы, являющиеся комбинацией величины и направления, могут применяться для представления физических величин, обычно в физике векторы используются для обозначения смещения, скорости и ускорения, поскольку становится полезным анализировать физические количества (включая размер и направление) в виде векторов.
Векторы могут использоваться авиадиспетчерами при отслеживании самолетов, метеорологами при описании ветровых условий и программистами при проектировании виртуальных миров.
Векторы используются в самолетах, так как при измерении тяги двигателя самолета необходимо описать силу силы, а также направление приложения.
Скалярное произведение векторов позволяет оценить работу, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления.
Скалярное произведение дополнительно помогает измерить угол, создаваемый комбинацией векторов, а также помогает найти положение вектора относительно оси координат.
Векторы находят применение при написании уравнений прямых, так как для составления уравнения прямой необходимо знать две точки на прямой/направление прямой и как минимум одну точку, через которую проходит прямая.
В трехмерном пространстве векторные операции используются для создания уравнений для представления линий, плоскостей и сфер.
Перекрестное произведение векторной алгебры помогает в вычислении ортогональности двух заданных векторов, вычислении крутящего момента и т. д.
Разница между скалярами и векторами
Во введении мы читаем определения векторных и скалярных величин. Единственная разница между скалярами и векторами заключается в том, что скаляр — это величина, которая не зависит от направления. Однако вектор — это физическая величина, обладающая не только направлением, но и величиной.
Типичными примерами скаляров являются скорость, расстояние, время и т. д. Обычно это действительные значения, за которыми следуют их единицы измерения. Популярными примерами векторов являются скорость, перемещение, сила, ускорение и т. д., которые символизируют направление величины вместе с ее величиной.
Скаляр : Время равно 7 часам, Скорость равна 80 милям в час, что не символизирует никакого направления.
Векторы : Перемещение как -12 футов, скорость -60 миль в час символизирует направление. Отрицательные скорость и смещение означают, что объект движется в противоположном направлении.
Следите за обновлениями в приложении Testbook или посетите веб-сайт Testbook, чтобы получить больше обновлений по схожим темам из математики, естественных наук и многих других предметов, а также можете проверить серию тестов, доступных для проверки ваших знаний относительно различных экзаменов.
Часто задаваемые вопросы по векторной алгебре
В.1 Что такое скалярная величина?
Ответ 1 Любая физическая величина, имеющая только величину, но не имеющую направления, объявляется скалярной величиной.
Q.2 Что такое векторное количество?
Ответ 2 Любая физическая величина, которая имеет как величину, так и направление, называется векторной величиной.
Q.3 Что такое векторная алгебра?
Ответ 3 Векторная алгебра — одна из фундаментальных тем алгебры. Он рассматривает алгебру векторных величин. В векторной алгебре есть два типа физических величин, а именно скалярные и векторные.
Q.4 Каковы компоненты векторной алгебры?
Ответ 4 Компоненты вектора также могут быть представлены в виде \(\vec{OM}\ или\ \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\ hat{k}\\\) Эта форма представления векторов называется компонентной формой.
Q.5 Что такое скалярное или скалярное произведение двух векторов?
Ans.5
Скалярное произведение двух векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) в векторной алгебре определяется выражением \(\vec{x\ } .\vec{y}=\left|\vec{x}\right|\times\left|\vec{y}\right|\cos\theta\).
где \(\ \left|\vec{x}\right|\ and\ \left|\vec{y}\right|\) обозначают величину вектора \(\vec{x}\) и \ (\vec{y}\) соответственно и \( \theta\) — угол между векторами \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).
Скачать публикацию в формате PDF
Read More Posts
Rocks Notes: Meaning, Types-Igneous, Sedimentary And Metamorphic Rocks
Interior Structure Of The Earth: Crust, Mantle And Core
Relations and Functions with Definitions, Types , свойства, советы и примеры
Компьютерные сети: TCP/UDP и контроль перегрузки сокетов
Классификация землетрясений: тектонические, вулканические, взрывные, обрушения
Свойства величины вектора
что вы узнаете. |=1
свойства
Нулевой вектор равен 0→=0i+0j+0k» role=»presentation»>→0=0i+0j+0k0→=0i+0j+0k. Величина нулевого вектора равна |0& #x2192;|=02+02+02=0″ роль=»презентация»>∣∣∣→0∣∣∣=√02+02+02=0|0→|=02+02+02=0.
Величина нулевого вектора: Нулевой вектор равен 0→=0i+0j+0k» role=»presentation»>→0=0i+0j+0k0→=0i+0j+0k. Величина |0& #x2192;|=0″ role=»presentation»>∣∣∣→0∣∣∣=0|0→|=0
Величина нулевого вектора равна нулю.
Учитывая вектор p→» role=»presentation»>→pp→, отрицательное значение вектора =|p→|» role=»презентация»>=∣∣→p∣∣=|p→|
p→=pxi+pyj+pzk» role=»presentation»>→p=pxi+pyj+pzkp→=pxi+pyj+pzk
Отрицательное значение p→» role=»presentation»>→pp→ is -p→=-pxi-pyj-pzk» role=»presentation»>-→p=-pxi-pyj-pzk-p→=-pxi-pyj-pzk и поэтому
|-p→|» role=»презентация»>∣∣−→p∣∣|-p→|
    =(-px)2+(-py)2+(-pz)2″ role=»presentation»>    =√(−px)2+ (−py)2+(−pz)2    =(-px)2+(-py)2+(-pz)2
    =(px)2+(py)2+(pz)2″ role=»презентация»>    =√(px)2+(py)2 +(pz)2    =(px)2+(py)2+(pz)2
    =|p→|» role=»презентация»>    =∣∣→p∣∣    =|p→|
Величина отрицательного вектора: Для вектора p→» role=»presentation»>→pp→ величина отрицательного |-p→|=|p→|» role=»презентация»>∣∣−→p∣∣=∣∣→p∣∣|-p→|=|p→|
Величина отрицательного значения вектора равна величине вектора.