Site Loader
Posted on 26.10.1972

Содержание

answers — Стр 3

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 4

Баллов: 1

В модели RGB в качестве компонентов применяются основные цвета …

Выберите один ответ.

красный, голубой, желтый

пурпурный, желтый, черный

красный, зеленый, синий

голубой, пурпурный, желтый

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 5

Баллов: 1

В детской игре «Угадай число» первый участник загадал целое число в промежутке от 1 до 16. Второй участник задает вопросы: «Загаданное число больше числа …?» Какое количество вопросов при правильной стратегии (интервал чисел в каждом вопросе делится пополам) гарантирует угадывание?

Выберите один ответ.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 6

Баллов: 1

Чему равен 1 Кбайт?

Выберите один ответ.

не знаю

1000 бит

1024 бит

1024 байт

1000 байт

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 7

Баллов: 1

Алгебра Буля. Первый операнд есть ЛОЖЬ. Второй операнд есть ИСТИНА. Логическое сложение утверждений (или) дает

Выберите один ответ.

ЛОЖЬ

Не знаю

ИСТИНА

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 9

Баллов: 1

Первая ЭВМ появилась…

Выберите один ответ.

в 1823 году

не знаю

в 1949 году

в 1951 году

в 1946 году

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Баллов: 1

Сколько бит в слове МЕГАБАЙТ? (кодировка windows-1251)

Выберите один ответ.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 2

Баллов: 1

Каково понятие архитектуры ЭВМ?

Выберите один ответ.

Это комплекс вычислительных блоков, соединенных произвольным образом.

Это многоуровневая иерархия аппаратно-программных средств.

Это комплекс технических и программных средств, предназначенный для автоматизации решения задач.

не знаю

Это совокупность элементов ЭВМ и их связей.

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

.

Question 4

Баллов: 1

В двоичной системе используются цифры:

Выберите один ответ.

1 и 2

0 и 1

0 — 2

0 — 9

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 5

Баллов: 1

Алгебра Буля. Двойное отрицание ИСТИНЫ дает

Выберите один ответ.

ЛОЖЬ

Не знаю

ИСТИНУ

Двойную ЛОЖЬ.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 8

Баллов: 1

Первая ЭВМ в нашей стране называлась…

Выберите один ответ.

IBM PC

БЭСМ

Стрела

не знаю

МЭСМ

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 10

Баллов: 1

Общим свойством машины Бэббиджа, современного компьютера и человеческого мозга является способность обрабатывать?

Выберите один ответ.

числовую информацию

не знаю

графическую информацию

звуковую информацию

текстовую информацию

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 3

Баллов: 1

Как записывается десятичное число 4 в двоичной системе счисления?

Выберите один ответ.

110

111

не знаю

100

101

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 4

Баллов: 1

В настоящее время в мире ежегодно компьютеров производится …

Выберите один ответ.

около 100 млн.

не знаю

около 1 млн.

около 500 млн.

около 10 млн.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 5

Баллов: 1

В процессе преобразования растрового графического файла количество цветов уменьшилось с 65 536 до 256. Во сколько раз уменьшится информационный объем файла?

Выберите один ответ.

в 16 раз

в 8 раз

в 2 раза

в 4 раза

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

1.

Question 7

Баллов: 1

Какое количество информации содержит один разряд шестнадцатеричного числа?

Выберите один ответ.

не знаю

1 байт

4 бита

1 бит

16 бит

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 8

Баллов: 1

Алгебра Буля. Отрицание ЛЖИ дает

Выберите один ответ.

ЛОЖЬ

Двойную ЛОЖЬ.

ИСТИНУ

Не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 9

Баллов: 1

В модели CMYK в качестве компонентов применяются основные цвета …

Выберите один ответ.

красный, голубой, желтый, синий

голубой, пурпурный, желтый, белый

красный, зеленый, синий, черный

голубой, пурпурный, желтый, черный

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 10

Баллов: 1

Для машин какого поколения потребовалась специальность «оператор ЭВМ»?

Выберите один ответ.

не знаю

первого поколения

второго поколения

третьего поколения

четвертого поколения

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Баллов: 1

Что представляет собой большая интегральная схема (БИС)?

Выберите один ответ.

транзисторы, расположенные на одной плате

набор программ для работы на ЭВМ

не знаю

кристалл кремния, на котором размещаются от десятков до сотен логических элементов

набор ламп, выполняющих различные функции

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 2

Баллов: 1

Алгебра Буля. Двойное отрицание ЛЖИ дает

Выберите один ответ.

Двойную ИСТИНУ

Не знаю

ИСТИНУ

ЛОЖЬ

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 3

Баллов: 1

Сколько байт в 2 Гбайтах?

Выберите один ответ.

2 х 2 в степени 31

2 х 2 в степени 30

не знаю

2 х 2 в степени 3

2 х 2 в степени 20

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 4

Баллов: 1

За основную единицу измерения количества информации принят…

Выберите один ответ.

1 Кбайт

1 бит

1 байт

не знаю

1 бод

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 5

Баллов: 1

В детской игре «Угадай число» первый участник загадал целое число в промежутке от 1 до 16. Второй участник задает вопросы: «Загаданное число больше числа …?» Какое количество вопросов при правильной стратегии (интервал чисел в каждом вопросе делится пополам) гарантирует угадывание?

Выберите один ответ.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 6

Баллов: 1

Первая программа была написана…

Выберите один ответ.

Говардом Айкеном

Полом Алленом

Чарльзом Бэббиджем

Адой Лавлейс

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 7

Баллов: 1

Машины первого поколения были созданы на основе…

Выберите один ответ.

транзисторов

не знаю

реле

зубчатых колес

электронно-вакуумных ламп

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 8

Баллов: 1

Каковы основные принципы построения современных ЭВМ?

Выберите один ответ.

Основным принципом построения всех современных ЭВМ является аппаратное управление.

Основным принципом построения всех современных ЭВМ является использование интегральных схем.

Основным принципом построения всех современных ЭВМ является децентрализованное управление.

Основным принципом построения всех современных ЭВМ является программное управление.

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 9

Баллов: 1

В процессе преобразования растрового графического файла количество цветов уменьшилось с 65 536 до 256. Во сколько раз уменьшится информационный объем файла?

Выберите один ответ.

в 8 раз

не знаю

в 2 раза

в 4 раза

в 16 раз

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 10

Баллов: 1

Алгебра Буля. Отрицание ЛЖИ дает

Выберите один ответ.

Двойную ЛОЖЬ.

ИСТИНУ

Не знаю

ЛОЖЬ

answers — Стр 4

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Баллов: 1

В детской игре «Угадай число» первый участник загадал целое число в промежутке от 1 до 16. Второй участник задает вопросы: «Загаданное число больше числа …?» Какое количество вопросов при правильной стратегии (интервал чисел в каждом вопросе делится пополам) гарантирует угадывание?

Выберите один ответ.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 3

Баллов: 1

В модели RGB в качестве компонентов применяются основные цвета …

Выберите один ответ.

голубой, пурпурный, желтый

красный, зеленый, синий

красный, голубой, желтый

пурпурный, желтый, черный

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 4

Баллов: 1

Для машин какого поколения потребовалась специальность «оператор ЭВМ»?

Выберите один ответ.

первого поколения

четвертого поколения

не знаю

второго поколения

третьего поколения

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 5

Баллов: 1

Сколько байт в 2 Гбайтах?

Выберите один ответ.

2 х 2 в степени 31

2 х 2 в степени 3

2 х 2 в степени 30

не знаю

2 х 2 в степени 20

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 6

Баллов: 1

Наибольший информационный объем будет иметь файл, содержащий…

Выберите один ответ.

аудиоклип длительностью 1 мин

видеоклип длительностью 1 мин

черно-белый рисунок 100 х 100

не знаю

1 страницу текста

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 7

Баллов: 1

Массовое производство персональных компьютеров началось …

Выберите один ответ.

в 80-е годы

в 90-е годы

в 50-е годы

в 40-е годы

не знаю

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 8

Баллов: 1

Растровый графический файл содержит цветное изображение с палитрой из 256 цветов размером 10 х 10 точек. Каков информационный объем этого файла?

Выберите один ответ.

не знаю

400 бит

800 байт

100 байт

8 Кбайт

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 9

Баллов: 1

Какое устройство обладает наибольшей скоростью обмена информацией?

Выберите один ответ.

CD-ROM дисковод

не знаю

дисковод для гибких дисков

жесткий диск

микросхемы оперативной памяти

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 10

Баллов: 1

За основную единицу измерения количества информации принят…

Выберите один ответ.

1 байт

не знаю

1 бит

1 Кбайт

1 бод

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Баллов: 1

Каково понятие архитектуры ЭВМ?

Выберите один ответ.

Это совокупность элементов ЭВМ и их связей.

не знаю

Это многоуровневая иерархия аппаратно-программных средств.

Это комплекс вычислительных блоков, соединенных произвольным образом.

Это комплекс технических и программных средств, предназначенный для автоматизации решения задач.

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 2

Баллов: 1

Как записывается десятичное число 4 в двоичной системе счисления?

Выберите один ответ.

111

110

101

не знаю

100

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 3

Баллов: 1

За основную единицу измерения количества информации принят…

Выберите один ответ.

1 байт

1 бит

1 бод

не знаю

1 Кбайт

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 5

Баллов: 1

Как записывается и передается физическая информации в ЭВМ?

Выберите один ответ.

с помощью программ

цифрами

байтами

представляется в форме электрических сигналов

не знаю

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 7

Баллов: 1

Алгебра Буля. Двойное отрицание ИСТИНЫ дает

Выберите один ответ.

Не знаю

Двойную ЛОЖЬ.

ИСТИНУ

ЛОЖЬ

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 8

Баллов: 1

Малая счётная электронная машина, созданная в СССР в 1952 году, называлась…

Выберите один ответ.

БЭСМ-6

Минск-22

БЭСМ

МЭСМ

не знаю

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 9

Баллов: 1

В двоичной системе используются цифры:

Выберите один ответ.

1 и 2

0 — 2

0 — 9

0 и 1

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 10

Баллов: 1

Алгебра Буля. Первый операнд есть ИСТИНА. Второй операнд есть ЛОЖЬ. Логическое умножение утверждений (и) дает

Выберите один ответ.

Не знаю

ИСТИНА

ЛОЖЬ

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Баллов: 1

Чему равен 1 Гбайт?

Выберите один ответ.

2 в степени 10 Мбайт

не знаю

1000 Мбит

1 000 000 Кбайт

10 в степени 3 Мбайт

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 3

Баллов: 1

В модели CMYK в качестве компонентов применяются основные цвета …

Выберите один ответ.

красный, зеленый, синий, черный

не знаю

голубой, пурпурный, желтый, белый

голубой, пурпурный, желтый, черный

красный, голубой, желтый, синий

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 4

Баллов: 1

Счетчик команд предназначен для

Выберите один ответ.

выполнения команды.

для организации и выполнения цикла команд процессора.

хранения адреса следующей выполняемой команды.

управления режимом работы процессора.

адресации данных в памяти ЭВМ.

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 5

Баллов: 1

Основной элементной базой ЭВМ третьего поколения являются…

Выберите один ответ.

не знаю

транзисторы

СБИС

БИС

интегральные микросхемы

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 6

Баллов: 1

Машины какого поколения позволяют нескольким пользователям работать с одной ЭВМ?

Выберите один ответ.

третьего поколения

не знаю

четвертого поколения

первого поколения

второго поколения

Неверно

Баллов за ответ: 0/1.

Question 7

Баллов: 1

Алгебра Буля. Первый операнд есть ИСТИНА. Второй операнд есть ЛОЖЬ. Логическое сложение утверждений (или) дает

Выберите один ответ.

ЛОЖЬ

Не знаю

ИСТИНА

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 10

Баллов: 1

Система счисления — это:

Выберите один ответ.

представление букв с помощью цифр

степень соответствия системы ее назначению

способ представления чисел с помощью цифровых знаков

кодирование информации с помощью таблиц соответствия цифр и символов

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Баллов: 1

Алгебра Буля. Двойное отрицание ИСТИНЫ дает

Выберите один ответ.

ЛОЖЬ

Не знаю

ИСТИНУ

Двойную ЛОЖЬ.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 2

Баллов: 1

С помощью какого алгоритма осуществляется перевод целого числа А из системы счисления с основанием В в систему счисления с основанием С?

Выберите один ответ.

Путем последовательного деления числа А на основание В, записанного в виде числа с основанием С, до получения остатка.

Путем последовательного деления числа А на основание С до получения требуемой точности.

Путем последовательного деления числа А на основание С, записанного в виде числа с основанием В, до получения остатка.

не знаю

Путем последовательного деления основания С, записанного в виде числа с основанием В, на число А до получения остатка.

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 3

Баллов: 1

Основоположником отечественной вычислительной техники является…

Выберите один ответ.

Пафнутий Львович Чебышев

Сергей Алексеевич Лебедев

Михаил Васильевич Ломоносов

не знаю

Николай Иванович Лобачевский

Верно

Баллов за ответ: 1/1.

Question 4

Баллов: 1

Алгебра Буля. Двойное отрицание ЛЖИ дает

Выберите один ответ.

ЛОЖЬ

ИСТИНУ

Не знаю

Двойную ИСТИНУ

БУЛЕВА АЛГЕБРА — это… Что такое БУЛЕВА АЛГЕБРА?

БУЛЕВА АЛГЕБРА

БУЛЕВА АЛГЕБРА, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у — это «х или у». Данный принцип широко применяется при создании компьютеров, где ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА (0 и 1) соответствует логическим утверждениям, на основе которых функционирует компьютер. Название этой отрасли алгебры дано по имени Джорджа Буля.



Это — алгебра лотки. На рисунке проиллюстрированы пять основных логических утверждении. Для любого из них, если А верно, то в таблице появляется «1». Если А ложно, появляется «О». В утверждении типа «И» С верно (т.е. в таблице имеется 1), когда верны А и В, но ложно, если и А, и В ложны. В утверждении «ИЛИ» С верно, если верно либо А, либо В, и ложно только в том случае, если и А, и В ложны. Утверждение «НЕТ» имеет один вход и один выход, его функция заключается в перемене местами «верного» и «ложного»; применение его к выражениям «И» и «ИЛИ» дает соответственно «НЕ» и «НИ». Утверждения Булевой алгебры,показанные здесь, можно также изобразить как элементы электрического контура (ввод слева, выход справа) или, по способу ы, как в теории множеств (результат обозначен на рисунке закрашиванием соответствующих участков).

Научно-технический энциклопедический словарь.

Смотреть что такое «БУЛЕВА АЛГЕБРА» в других словарях:

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА —     БУЛЕВА АЛГЕБРА см. Алгебра логики. Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001 …   Философская энциклопедия

  • Булева алгебра — раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. По английски: Boolean algebra См. также: Логические …   Финансовый словарь

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Boolean algebra От Дж.Буль английский математик 1815 1864 Раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность,… …   Словарь бизнес-терминов

  • Булева алгебра — Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… …   Википедия

  • булева алгебра — Boolean algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean algebra vok. Boolesche Algebra, f rus. булева алгебра, f pranc. algèbre de Boole, f ryšiai: sinonimas – Bulio algebra …   Automatikos terminų žodynas

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева решетк а, частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим… …   Математическая энциклопедия

  • Булева алгебра — алгебра, в которой каждая переменная может принимать одно из двух значений: «истина» или «ложь». Операции над переменными в булевой алгебре называются логическими операциями. Правила выполнения логических операций удобны для преобразования… …   Начала современного естествознания

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Названная по имени ее создателя, английского математика Джорджа Буля, система операций с символами, которая использует алгебраические процедуры, но независимо от определенных математических интерпретаций. Булева логика, или калькуляция (как она… …   Толковый словарь по психологии

  • Булева алгебра — (араб.) – система алгебраических операций с символами, названная в честь Д. Буля, одного из её создателей. Также называется калькуляцией (лат. calсulatio – счёт, подсчёт). Интересно, что Д. Буль рассматривал свою работу как представление основных …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • булева алгебра элементарных логических операции — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Boolean algebra …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Дискретная математика. Учебное пособие, Шевелев Юрий Павлович. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 3613 руб
  • Дискретная математика, Шевелев Ю.. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 2143 руб
  • Дискретная математика, Ю. П. Шевелев. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 1836 руб
Другие книги по запросу «БУЛЕВА АЛГЕБРА» >>

3. Это интересно — Таблицы истинности

1.

В школе все мы изучали алгебру, только про булеву алгебру там не говорили. Чем отличается булева алгебра от школьной, история ее появления, задачи и области применения описаны в данной статье.

Схема, позволяющая двумя выключателями лампочку в коридоре включить при входе в коридор и выключить, войдя в комнату известна очень давно. Она показана на рисунке 1.

Задача №1. Более сложная. Составить схему, позволяющую включать и выключать свет в вашей комнате любым из 3 различных выключателей. Выключатели расположены у входа в комнату, над постелью и у письменного стола.

Задача № 2.

В спортивном комитете, например заводском, собралось 5 судей.

Каждый из них должен голосовать за принятие различных решений. Решение принимается большинством голосов, но только при том дополнительном условии, что за него голосует председатель комитета.

Судьи голосуют путем нажатия кнопки, замыкающей переключатель, расположенный под столом, за которым они сидят. Замыкая переключатель, они голосуют «за», размыкая «против». Начертите простейшую схему, позволяющую автоматически видеть результаты голосования. В простейшем случае просто с помощью лампочки, — зажглась – решение принято, не зажглась,- нет.

Задача №3. Практически такое маловероятно, но в качестве сложной учебной задачи вполне подойдет.

В большой шестиугольной комнате на каждой стене установлено по одному переключателю. Постройте такую схему, чтобы в любой момент можно было включать или выключать свет в комнате поворотом одного (любого) переключателя.

После того, как вы безрезультатно просидите над задачами три-четыре дня, отложите их временно в сторону. И займитесь алгеброй Буля. Именно алгебра Буля, или, как ее еще называют, булева алгебра, алгебра релейных схем, поможет вам решить составленные задачи.

Что же такое алгебра Буля?

Как ни странно, несмотря на то, что пять лет в школе изучают алгебру, многие ученики, а впоследствии и взрослые, не смогут ответить на вопрос, а что такое алгебра? Алгебра — это наука, которая изучает множества некоторых элементов и действия над ними.

В школьном курсе алгебры такими элементами являются числа. Числа можно обозначать не цифрами, а буквами, с этим все знакомы. На первых уроках алгебры это всегда затрудняет многих учеников. Вспомните, как трудно было вначале привыкнуть вместо цифр складывать буквы, решая ничего не говорящие уравнения.

Наверное, каждый из нас тогда задавал себе вопрос: «Для чего нужно вводить буквы вместо цифр и, нужно ли это вообще?». И только позднее вы убедились, какие преимущества при решении задач дает алгебра в сравнении с арифметикой.

Алгебра применяется во многих точных науках. Это физика, механика, сопромат, электричество. Закон Ома есть не что иное, как алгебраическое уравнение: достаточно вместо букв подставить их числовые значения, чтобы узнать какой ток будет протекать в нагрузке, или какое сопротивление имеет участок цепи.

Так вы познакомились с алгеброй чисел, или с элементарной алгеброй. Основная и почти единственная задача — получить ответ на вопрос: «Чему равняется X? Сколько?»

В старших классах школы изучают начала векторной алгебры. Эта алгебра принципиально отличается от элементарной алгебры. В ней совершено другая природа изучаемого множества и другие правила действий. Решая векторное уравнение, получаем в ответе вектор, который не является обычным числом, отвечающим на вопрос «Сколько?»

Формулы векторной алгебры во многом отличны от формул элементарной алгебры. Например, и в элементарной алгебре и в векторной имеется операция сложения. Но выполняется она совершенно по-разному. Сложение чисел выполняется совсем не так, как сложение векторов.

Существуют и другие алгебры: линейная алгебра, алгебра структур, алгебра колец, алгебра логики, или, что то же самое, алгебра Буля. На школьных уроках вы, наверное, не слышали имени Джорджа Буля — зато всем известно имя одной из его талантливых дочерей Этель Войнич (1864 – 1960). Она написала роман «Овод», где рассказывается о борьбе за свои права итальянских карбонариев.

Джордж Буль родился в Англии 2 ноября 1815 года. Всю свою жизнь он работал учителем математики и физики в школе. Из воспоминаний его учеников известно, какое огромное значение придавал Буль развитию творческих способностей учащихся. При изложении нового материала он стремился к тому, чтобы его ученики сами заново «открывали» некоторые формулы и законы.

Рассказывая ученикам о трудностях, с которыми ученые неизбежно сталкивались в поиске истины, учитель любил повторять одну восточную мудрость: даже персидский трон не может принести человеку столько наслаждений, как самое маленькое научное открытие. Буль никогда не терял надежды, что когда-нибудь и его ученики сделают настоящее открытие.

Диапазон научных интересов Буля был очень широк: в равной степени его интересовали математика и логика — наука о законах и формах мышления. В те времена логика считалась гуманитарной наукой, и многих, кто знал Джорджа Буля, удивляло, как в одном человеке могли уживаться точные методы познания, присущие математике, и чисто описательные методы логики.

Но ученому захотелось сделать науку о законах и формах мышления такой же строгой, как и любая из естественных наук, скажем математика и физика. Для этого Буль стал обозначать буквами не числа, как это делается в обычной алгебре, а высказывания и показал, что такими уравнениями, очень схожими с алгебраическими, можно решать вопросы об истинности и ложности высказываний, сделанных человеком. Так возникла алгебра Буля.

Но еще задолго до Джорджа Буля немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц (1646—1716) впервые высказал идею о создании науки, которая обозначит все понятия обычной разговорной речи символами и установит некоторую новую алгебру для соединения этих символов. После создания такой науки, по мнению Лейбница, ученые и философы перестанут спорить и перекрикивать друг друга, выясняя истину, а возьмут в руки карандаш и спокойно скажут: «Давайте-ка вычислять!»

В наши дни алгебра логики стала важнейшей составной частью математики. Одна из ее задач — это решение всевозможных уравнений, числовые соотношения в которых заменены буквенными. Каждый из вас, наверное, на всю свою жизнь запомнил, как решать уравнения второй и третьей степени с буквенными коэффициентами. Так вот, Буль в своей новой алгебре воспользовался всеми этими формулами и правилами.

Новым в алгебре Буля является то, что элементы множества, которые в ней изучаются, являются не числами, а высказываниями. Если при решении обычных алгебраических уравнений определяется, какому числу равняется неизвестное X, школьная алгебра ищет ответ на вопрос: «Сколько?»

Алгебра логики ищет ответ на вопрос: «Верно ли то или другое высказывание, обозначенное буквой X?»

Смысл и содержание высказывания здесь не играют никакой роли. Каждое высказывание может быть только или истинным, или ложным. Оно не может быть наполовину истинным и наполовину ложным. В качестве примера можно вспомнить метание жребия при помощи монеты.

Там рассматриваются только два состояния монеты — орел или решка. По договоренности сторон орел это ДА, а решка это НЕТ. Никакие другие промежуточные положения в теории вероятностей не учитываются, хотя они и возможны. Подброшенная монета может упасть на ребро, докатиться по полу до ножки стула или стола и так и остаться в вертикальном положении, а то и вообще провалиться в широкую щель в полу. (По аналогии с электрическими схемами две последних ситуации можно рассматривать как неисправность в виде обгоревшего контакта). Но в те далекие времена булева алгебра, увы, широкого распространения не получила.

Вновь «открыл» алгебру Буля Клод Шеннон. В 1938 году, будучи еще студентом Массачусетского технологического института и Америке, молодой Клод доказал, что алгебра Буля полностью подходит для анализа и синтеза релейных и переключательных схем. С помощью алгебры Буля можно очень просто составить электрическую схему автомата, работающего на реле.

Для этого, оказывается, нужно только точно знать, что должен делать автомат, то есть нужно иметь алгоритм его работы. Так была заложена основа теории цифровых машин, действующих по принципу ДА или НЕТ.

Такова вкратце история булевой алгебры. В следующих статьях мы рассмотрим ее основные законы, примеры контактных схем реализующие эти законы. Рассмотрим решение тех задач, которые были приведены в начале статьи.

2. 

Продолжение рассказа о булевой алгебре, условные обозначения, правила, операции. Переход к основам контактных схем.

В первой статье было рассказано о Джордже Буле как о создателе алгебры логики. Во второй статье будет рассказано об основных операциях булевой алгебры, методах упрощения булевых выражений. Итак, булева алгебра в качестве аргументов использует высказывания, причем не их смысл, а истинность или ложность высказывания.B или А*В.

Логическое умножение (операция «И»).

В элементарной алгебре А*А =А2. Но в алгебре Буля А*А = А2 = А, А * А = А так как знак умножения (*) теперь обозначает…И… в смысле И…И. Весь наш опыт подтверждает, что и А И А — это то же самое, что одно А. С этим нельзя не согласиться. Истинность высказывания не меняется, если его повторить сомножителем несколько раз.

Произведение двух высказываний считается истинным (равным 1), тогда, и только тогда, когда оба сомножителя истинны, и ложным (равным 0), если хоть один из сомножителей ложен. Согласитесь, что эти правила не противоречат здравому смыслу, и, кроме того, они полностью соответствуют правилам элементарной алгебры:

1*1 = 1, 1*0 = 0 = 0*1 = 0, 0*0 = 0.

Первое равенство читается так: если и А и В истинны, то произведение А*В истинно. В алгебре Буля знак умножения (*) заменяет союз И.

Логические произведения могут включать не два, а большее число высказываний — сомножителей. И в этом случае произведение бывает истинным только тогда, когда одновременно истинны все высказывания-сомножители.

Логическое сложение (операция «ИЛИ»)

Если два высказывания соединить союзом ИЛИ. то образованное сложное высказывание называется логической суммой.

Рассмотрим пример логической суммы. Высказывание А: «Сегодня я пойду в кино».

Высказывание В: «Сегодня я пойду на дискотеку». Складываем оба высказывания и получаем: «Сегодня я пойду в кино ИЛИ на дискотеку».

Это сложное высказывание обозначается так: А + В = С или (А V В) = С.

Через С мы обозначили сложное высказывание логической суммы.

В рассматриваемом примере союз ИЛИ нельзя употреблять в исключающем смысле. Ведь в один и тот же день можно попасть И в кино И на дискотеку. А вот высказывание:

«Председателем садового товарищества будет Петров или Иванов»—не является логической суммой, потому, что председателем будет только кто-то один, а другой простым рядовым садоводом — любителем.

Знак V для обозначения логической суммы выбран потому, что это начальная буква латинского слова «vel», обозначающего «или», в отличие от латинского слова «aut>, обозначающего «и»..

В элементарной алгебре есть правило A + А = 2А. Это правило верно, какое бы число ни изображалось буквой А. В булевой алгебре ему соответствует правило А + А = А. Весь наш жизненный опыт говорит, что сказать А ИЛИ А ИЛИ оба А есть лишь другой и более длинный способ сказать просто А.

Как и всякое сложное высказывание, сумма двух высказываний А и В может быть истинной или ложной. Сумма считается истинной, то есть равной единице, если хоть одно из слагаемых истинно:

А + В = 1, если ИЛИ А = 1 ИЛИ В = 1, что согласуется с обычной арифметикой:

1+0 = 0+1 = 1.

Если оба складываемых высказывания истинны, то сумма считается также истинной, поэтому в алгебре Буля имеем: (1) + (1) = 1.

Скобки здесь поставлены для того, чтобы подчеркнуть условный, смысл этого сложения, а не арифметический.

Сумма двух высказываний считается ложной и равной нулю тогда, а только тогда, когда оба слагаемых ложны. Отсюда:

0 + 0=0.

Итак, сумма двух высказываний А + В считается истинной, если истинно ИЛИ А, ИЛИ В, ИЛИ оба слагаемых вместе. Таким образом, слово ИЛИ обозначается знаком +.

Помня, что высказывания А и В могут быть только истинными или ложными и, следовательно, иметь меру истинности 1 или 0, результаты рассмотренных операций И и ИЛИ можно свести в таблицы 1 и 2.

Третья операция, широко используемая алгеброй Буля, — операция отрицания — НЕ. Напоминаем, элементарная алгебра пользуется операциями СЛОЖИТЬ, ВЫЧЕСТЬ, УМНОЖИТЬ НА, РАЗДЕЛИТЬ НА и некоторыми другими.

Для каждого высказывания А существует его отрицание НЕ А, которое мы будем обозначать символом /А. Это ни у кого не должно вызывать сомнения.

Приведем примеры: «Мы поедем в лес» А, «Мы не поедем в лес» /А.

Если высказывание А истинно, то есть А = 1, то его отрицание /А обязательно должно быть ложно /А = 0. И наоборот, если какое-либо высказывание ложно, то его отрицание истинно. Например: «Лошадь не ест сена» /А = 0, «Лошадь ест сено» (А = 1). Это можно выразить таблицей 3.

Определяя смысл действия отрицания, и полагая, что из двух высказываний А и /А всегда одно истинно, следуют две новые формулы алгебры Буля:

А + (/А) = 1 и А* (/А) = 0.

Имеются еще и другие формулы, упрощающие логическую обработку высказываний. Например, 1+А = 1, так как, согласно определению сложения, в случае, когда одно слагаемое равно единице, сумма всегда равна единице. Полученный результат не зависит от того, будет ли А = 0 или А = 1.

Каждая из трех рассмотренных нами логических операций (И, ИЛИ, НЕ) обладает определенными свойствами, близкими к правилам элементарной алгебры. Если все их сформулировать, то получим 25 правил булевой алгебры. Их вполне достаточно для решения почти любой логической задачи. Без этих правил решать логические задачи из-за их кажущейся запутанности становится довольно трудно. Пытаться найти правильный ответ, не пользуясь правилами, — значит заменять их смекалкой и общими рассуждениями. Правила значительно облегчают эту работу и экономят время.

В рамках статьи невозможно рассмотреть все эти 25 правил, но желающие всегда могут найти их в соответствующей литературе.

Как уже упоминалось в первой статье в 1938 году молодой американский ученый Клод Шеннон в статье «Символический анализ релейных и переключательных схем» впервые использует булеву алгебру для задач релейной техники. Открытие Шеннона состояло в том, что он понял, что метод конструирования релейных автоматов и электронных вычислительных машин представляет собой фактически раздел математической логики.

Так часто бывает. Ученый долгие годы трудится над какой-либо проблемой, которая его соотечественникам кажется совершенно ненужной — просто забавой. Но проходят десятилетия, а иногда и века, и никому не нужная теория не только приобретает право на существование, но без нее уже становится немыслим дальнейший прогресс.

Что помогло Шеннону вторично «открыть» булеву алгебру? Случай? Ничего подобного.

Любовь к релейным автоматам, построенным на обычных выключателях и реле, помогли молодому ученому связать забытую теорию с задачами автоматических телефонных станций, над которыми он работал в то время. В дальнейшем ту же идею «да или нет» Шеннон ввел в рассмотрение дискретных сообщений и заложил основу целого раздела кибернетики—теории информации.

Алгебра Буля очень подошла для анализа и синтеза релейных схем. Достаточно было в качестве истинного высказывания принять: «Сигнал в цепи есть», а в качестве ложного — «Сигнала в цепи нет», как появилась новая алгебра — алгебра сигналов, алгебра релейных схем.

Новая алгебра справедлива только для рассмотрения релейных и переключательных цепей. Ведь только в таких схемах удовлетворяется условие «сигнал есть» и «сигнала нет». Там, где сигнал меняется непрерывно, приобретая сколь угодно большое число промежуточных условий (такой сигнал называется аналоговым), релейная алгебра неприменима. Об этом нужно всегда помнить. Но как раз большинство электронных вычислительных машин и кибернетических автоматов используют дискретный принцип обработки сигналов, в основу которого положены элементы «да — нет».

Выражение «Контакт замкнут» Шеннон принял за истинное (1), а «Контакт разомкнут» — за ложное (0). Всю остальную «алгебру», включая операции И, ИЛИ и НЕ и 25 правил Шеннон заимствовал у Буля.

Алгебра релейных схем получилась проще алгебры Буля, так как она имеет дело только с элементами типа «да — нет». Кроме того, новая алгебра более наглядна.

Элементами в этой алгебре являются контакты, которые мы будем обозначать буквами А, В, С… Контакт замкнут— А, контакт разомкнут — /А (буква с черточкой).

Система обозначений, как видите, полностью взята из алгебры Буля. Разомкнутый контакт является отрицанием замкнутого контакта. Один и тот же контакт не может быть одновременно замкнутым и разомкнутым.

Условимся, что если в какой-либо схеме два контакта обозначены одной и той же буквой, то это значит, что они всегда принимают одни и те же значения.

В каждый данный момент они или оба одновременно разомкнуты, или оба замкнуты. Проще всего их представить механически соединенными вместе так, что оба они одновременно размыкаются или замыкаются.

Если в некоторой цепи какой-либо контакт есть отрицание другого контакта, то их значения всегда противоположны. Например, контакты С и /С никогда не могут быть одновременно разомкнуты или одновременно замкнуты. А на схеме их можно представлять механически соединенными: если один из них размыкается, то другой замыкается.

Знакомство с релейной алгеброй начнем с разбора простейших схем, соответствующих операциям И, ИЛИ и НЕ.

Произведением двух контактов (операция И) будем называть схему, полученную в результате их последовательного соединения: она замкнута (равна 1) только тогда, когда оба контакта замкнуты (равны 1).

Суммой двух контактов (операция ИЛИ) будем называть схему, образованную при их параллельном соединении: она замкнута (равна 1) тогда, когда замкнут (равен 1) хотя бы один из образующих схему контактов.

Противоположный данному контакту (операция НЕ)—это контакт, равный 0 (разомкнутый), если данный контакт равен 1 (замкнут), и наоборот.

Как и в алгебре Буля, если контакты обозначены буквами А и В, то произведение двух контактов мы будем обозначать через А*В, сумму — через А + В, а контакт, противоположный А, — через /А. Сказанное поясним рисунками 1, 2 и 3.

Достоверность таблиц, соответствующих операциям И, ИЛИ и НЕ. теперь ни у кого не должна вызывать сомнений.

Остановимся на двух примерах: 1*0 = 0 и 1+0=1.

Из рисунка видно, что постоянно замкнутый контакт, последовательно соединенный с постоянно разомкнутым контактом, эквивалентен постоянно разомкнутому контакту (1*0 = 0) Постоянно замкнутый контакт, параллельно соединенный с постоянно разомкнутым контактом, эквивалентен постоянно замкнутому контакту.

Познакомившись с арифметикой контактных схем, можете любую релейную схему описать формулой, используя для этого принятые условные обозначения. В кибернетике такие формулы называются структурными.

Если структурная формула какой-либо релейной схемы равна 1, то через нее сможет пройти сигнал — цепь замкнута. И наоборот, если структурная формула схемы равна 0, сигнал через нее не пройдет — цепь разорвана. Вывод: две релейные схемы эквивалентны друг другу тогда, когда равны их структурные формулы.

В продолжении статьи мы с вами рассмотрим примеры контактных схем, типовые контактные схемы и их эквиваленты, в также составление схем по структурным формулам. Также рассмотрим основные логические микросхемы, выполняющие функции булевой алгебры.

gaz.wiki — gaz.wiki

Navigation

  • Main page

Languages

  • Deutsch
  • Français
  • Nederlands
  • Русский
  • Italiano
  • Español
  • Polski
  • Português
  • Norsk
  • Suomen kieli
  • Magyar
  • Čeština
  • Türkçe
  • Dansk
  • Română
  • Svenska

Логический анализ сети Интернет

%PDF-1.3 % 116 0 obj >/Metadata 113 0 R/Pages 107 0 R/OpenAction 141 0 R/Type/Catalog/PageLabels 105 0 R>> endobj 113 0 obj >stream 2008-08-05T14:50+04:002008-08-05T14:44:46+04:002008-08-05T14:50+04:00Acrobat Distiller 8.1.0 (Windows)Файл загружен с http://www.ifap.ruFalseapplication/pdf

  • Логический анализ сети Интернет
  • Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук
  • Шалак Владимир Иванович
  • Файл загружен с http://www.ifap.ru
    • uuid:552c4f8d-ba2d-48d2-8414-5e363fd715c6uuid:9df01b93-f367-4ab2-afc0-5bfca8decf19 endstream endobj 107 0 obj > endobj 141 0 obj > endobj 105 0 obj > endobj 106 0 obj > endobj 117 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState>>>/Type/Page>> endobj 108 0 obj > endobj 125 0 obj >stream HW˪#7+ ,Tzn_Mn0Lݖeutԩux/dC’J#{;`hai\isx³81,@F_Gx ʤmk4\PdGtYxf*uNUɅ$SNM»w)Y’U 6!M{raƣJH!䨙qɦxqdraTrpʾ*h5..1!ufF$vT6Y49s4FaA&’X;y.%៫Dl;w,bU»~*b+cSƮHk*)O8[hS ]{DI(b{{S6uLTD:rE5%K7; M9u´P&]SQ=frܢ?Ei{7wa1j/d H.lKGQQԃD6QC:1j/@F䗠h}E.i7ugV\~DxU{:|X>([iRi:6uӉrwA3Sz#۷/NKǹPՁ \._ :`

    законов булевой алгебры и правил булевой алгебры

    Помимо логических символов «0» и «1», используемых для представления цифрового входа или выхода, мы также можем использовать их как константы для постоянно «разомкнутой» или «замкнутой» цепи или контакта соответственно.

    Был изобретен набор правил или выражений законов булевой алгебры, чтобы помочь уменьшить количество логических вентилей, необходимых для выполнения определенной логической операции, в результате чего был получен список функций или теорем, обычно известных как Законы булевой алгебры .

    Логическая алгебра — это математика, которую мы используем для анализа цифровых вентилей и схем. Мы можем использовать эти «законы логики» как для уменьшения, так и для упрощения сложного логического выражения в попытке уменьшить количество требуемых логических вентилей. Логическая алгебра , таким образом, представляет собой математическую систему, основанную на логике, которая имеет свой собственный набор правил или законов, которые используются для определения и сокращения логических выражений.

    Переменные, используемые в Boolean Algebra , имеют только одно из двух возможных значений, логический «0» и логическую «1», но выражение может иметь бесконечное количество переменных, каждая из которых помечена индивидуально для представления входных данных выражения, например , переменные A, B, C и т. д., что дает нам логическое выражение A + B = C, но каждая переменная может быть ТОЛЬКО 0 или 1.

    Примеры этих отдельных законов булевой, правил и теорем булевой алгебры приведены в следующей таблице.

    Таблицы истинности для законов логики

    Основные законы булевой алгебры , которые относятся к закону коммутации , разрешающему изменение положения для сложения и умножения, ассоциативному закону , разрешающему удаление скобок для сложения и умножения, а также к распределительному закону позволяя разложить выражение на множители, такие же, как и в обычной алгебре.

    Каждый из булевых законов , приведенных выше , задается только с одной или двумя переменными, но количество переменных, определенных одним законом, не ограничивается этим, поскольку может быть бесконечное количество переменных как входных данных, так и выражения. Эти булевы законы, подробно описанные выше, можно использовать для доказательства любого заданного логического выражения, а также для упрощения сложных цифровых схем.

    Краткое описание различных законов логического приведено ниже, где A представляет входную переменную.

    Описание законов булевой алгебры

    • Закон об аннулировании — Термин AND’ed с «0» равен 0 или OR‘ed с «1» будет равен 1
      • А. 0 = 0 Переменная, объединенная И с 0, всегда равна 0
        • .
      • A + 1 = 1 Переменная, связанная ИЛИ с 1, всегда равна 1
    • Закон об идентификации — Термин «ИЛИ» с «0» или «И» с «1» всегда будет соответствовать этому термину
      • A + 0 = A Переменная, объединенная оператором OR с 0, всегда равна переменной
        • .
      • А.1 = A Переменная, объединенная И с 1, всегда равна переменной
        • .
    • Идемпотентный закон — Вход, который соединен оператором И или ИЛИ с самим собой, равен этому входу
      • A + A = A Переменная, связанная оператором OR с самой собой, всегда равна переменной
        • .
      • А. A = A Переменная, соединенная с самой собой, всегда равна переменной
        • .
    • Закон о дополнении — Термин, объединенный И с дополнением, равен «0», а термин, объединенный ИЛИ с дополнением, равен «1».
      • А.A = 0 Переменная, соединенная И с ее дополнением, всегда равна 0
        • .
      • A + A = 1 Переменная, связанная оператором OR с ее дополнением, всегда равна 1
        • .
    • Коммутативный закон — Порядок применения двух отдельных терминов не имеет значения
      • А. В = В. A Порядок, в котором две переменные связаны оператором AND, не имеет значения
      • A + B = B + A Порядок, в котором две переменные объединены оператором ИЛИ, не имеет значения
    • Закон о двойном отрицании — дважды инвертированный член равен исходному члену
      • A = A Двойное дополнение переменной всегда равно переменной
    • Теорема де Моргана — Есть два правила или теоремы де Моргана,
    • (1) Два отдельных термина «ИЛИ», соединенные вместе, то же самое, что два термина «инвертированное» («Дополнение») и «И», например: A + B = A.B
    • (2) Два отдельных термина И-НЕ, соединенные вместе, то же самое, что два члена, инвертированные (Дополнение) и ИЛИ, например: A.B = A + B

    Другие алгебраические законы логики, не подробно описанные выше, включают:

    • Логические постулаты — Хотя сами по себе логические законы не являются, они представляют собой набор математических законов, которые можно использовать для упрощения логических выражений.
      • 0. 0 = 0 А 0, соединенное с самим собой, всегда равно 0
      • 1.1 = 1 А 1 И всегда с собой всегда равно 1
      • 1. 0 = 0 А 1 И с 0 равно 0
      • 0 + 0 = 0 0 ИЛИ с самим собой всегда равно 0
      • 1 + 1 = 1 1 ИЛИ с самим собой всегда равно 1
      • 1 + 0 = 1 1 ИЛИ с 0 равно 1
      • 1 = 0 Обратное (дополнение) к 1 всегда равно 0
      • 0 = 1 Обратное (дополнение) к 0 всегда равно 1
    • Распределительный закон — Этот закон разрешает умножение или разложение на множители.
      • A (B + C) = A.B + A.C (ИЛИ Закон о распределении)
      • A + (B.C) = (A + B). (A + C) (И Закон о распределении)
    • Абсорбтивный закон — Этот закон позволяет свести сложное выражение к более простому, поглощая похожие термины.
      • A + (A.B) = (A.1) + (A.B) = A (1 + B) = A (Закон поглощения ИЛИ)
      • A (A + B) = (A + 0). (A + B) = A + (0.B) = A (И закон поглощения)
    • Ассоциативный закон — Этот закон позволяет убрать скобки из выражения и перегруппировать переменные.
      • A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (OR Associate Law)
      • A (B.C) = (A.B) C = A. Б. C (AND Associate Law)

    Функции булевой алгебры

    Используя информацию выше, простые 2-входные логические элементы И, ИЛИ и НЕ могут быть представлены 16 возможными функциями, как показано в следующей таблице.

    Функция Описание Выражение
    1. ПУСТО 0
    2. ИДЕНТИЧНОСТЬ 1
    3. Вход A A
    4. Вход B B
    5. НЕ A
    6. НЕ B B
    7. А И В (И) А. B
    8. А И НЕ B А. B
    9. НЕ А И В А.B
    10. НЕ И (НЕ-И) А. B
    11. А ИЛИ В (ИЛИ) A + B
    12. А ИЛИ НЕ Б A + B
    13. НЕ А ИЛИ В A + B
    14. НЕ ИЛИ (НИ) A + B
    15. Эксклюзив-OR А. В + А. B
    16. Эксклюзив-NOR А. В + А. B

    Законы булевой алгебры Пример №1

    Используя приведенные выше законы, упростите следующее выражение: (A + B) (A + C)

    Q = (А + В). (А + С)
    A.A + A.C + A.B + B.C — Распределительное право
    A + A.C + A.B + B.C — Идемпотентный И закон (А.А = А)
    A (1 + C) + A.B + B.C — Распределительное право
    A.1 + A.B + B.C — Закон ИЛИ идентичности (1 + C = 1)
    A (1 + B) + B.C — Распределительное право
    A.1 + B.C — Закон ИЛИ идентичности (1 + B = 1)
    Q = A + (B.C) — Личность И закон (A.1 = A)

    Тогда выражение: (A + B) (A + C) можно упростить до A + (B.C) как в Распределительном законе.

    Логика высказываний

    Логика высказываний

    Логические выражения

    Мы можем определять логические выражения, используя рекурсивное определение:

    1. Пропозициональные переменные (значение которых ИСТИНА или ЛОЖЬ) а пропозициональные константы ИСТИНА и ЛОЖЬ являются логическими выражениями.
    2. Если LE1 и LE2 — логические выражения, то LE1 AND LE2 — логическое выражение, значение которого ИСТИНА, если оба LE1 и LE2 имеют значение ИСТИНА, и ЛОЖЬ в противном случае.
    3. Если LE1 и LE2 — логические выражения, то LE1 OR LE2 — логическое выражение, значение которого ИСТИНА, если либо LE1, либо LE2 имеют значение TRUE, и ЛОЖЬ в противном случае.
    4. Если LE1 является логическим выражением, тогда НЕ LE1 является логическим выражением, значение которого ИСТИНА, если LE1 имеет значение ЛОЖЬ, и ЛОЖЬ в противном случае.

    Уровни приоритета логических операторов:

    1. НЕ
    2. И
    3. ИЛИ

    Присваивая значения переменным в логическом выражении, мы также присваиваем значение самому выражению.

    Пример: задано выражение «(p AND q) OR r», если p = TRUE, q = TRUE и r = FALSE, то значение выражения — TRUE.

    Логические функции и таблицы истинности

    Смысл (или значение) логического выражения является логическим. функция из множества возможных присвоений истинностных значений для переменных в выражении к значениям {ИСТИНА, ЛОЖЬ}.

    Пример: используя выражение «(p AND q) OR r», мы можем описать логическая функция, определяющая значение выражения путем рассмотрения всех комбинаций присвоений значений для p, q и r.

          p q r (p AND q) ИЛИ r
      ------------------------------
      Т Т Т Т
      Т Т Ф Т
      Т Ф Т Т
      T F F F
      F T T T
      F T F F
      F F T T
      F F F F

    Приведенная выше таблица с описанием логической функции «(p AND q) OR r» называется таблицей истинности . N строк.N различных булевых функций от N переменных.

    Вот некоторые дополнительные функции двух переменных, которые часто используются:

         p q p-> q p == q p NAND q p NOR q
     -------------------------------------------
     0 0 1 1 1 1
     0 1 1 0 1 0
     1 0 0 0 1 0
     1 1 1 1 0 0

    Комментарии к этим функциям:

    • Следствие: «p -> q» или «p подразумевает q» означает, что всякий раз, когда p истинно, q тоже.Единственный способ «p -> q» может быть ЛОЖЬ, если p ИСТИНА, а q ЛОЖЬ.
    • Эквивалентность: «p == q» означает что p и q имеют одинаковое значение.
    • И-НЕ: «p NAND q» то же самое, что «NOT (p AND q)».
    • NOR: «p NOR q» совпадает с «NOT (p OR q)».
    • Приоритет (от высшего к низшему): НЕ, И-НЕ, ИЛИ, И, ИЛИ, ->, ==.

    Вычисление выражений с таблицами истинности

    Мы можем вычислить значение выражения, используя таблицы истинности.Создаем таблицу для всех возможных значений переменных, и все подвыражения в выражении.

    Вычислите значение следующего выражения E для всех возможные присвоения истинности: (p -> q) -> (q -> r)

          p q r p-> q q-> r E
      ---------------------------
      0 0 0 1 1 1
      0 0 1 1 1 1
      0 1 0 1 0 0
      0 1 1 1 1 1
      1 0 0 0 1 1
      1 0 1 0 1 1
      1 1 0 1 0 0
      1 1 1 1 1 1

    Обратите внимание, что столбец для значения q-> r такой же как столбец для значения всего выражения E.Мы установили эквивалентность этих двух столбцов, что значит:

           (p -> q) -> (q -> r) == q-> r.

    Генерация выражений из функций

    Нам часто дают булеву функцию в виде таблицы истинности и должен получить соответствующее логическое выражение.

    Например, цифровые схемы построены из цифровых элементы, которые вычисляют основные логические операции (например, НЕ и И-НЕ).

    Для конкретной функции, выраженной в виде результатов присвоения переменных (например, схема, которая добавляет два битов вместе и производит сумму и бит переноса, все что выражается в форме таблицы истинности), мы бы как соответствующее логическое выражение, так что мы может построить схему для функции.

    Мы можем построить такое логическое выражение непосредственно из таблица истинности для функции.

    Результирующее выражение использует только операторы AND, OR и NOT.

    Исключительное Или: выражение из таблицы истинности

    Исключающее ИЛИ (XOR) — еще одна хорошо известная функция двух переменных. Таблица истинности для XOR:

          p q XOR
      ---------------
      0 0 0
      0 1 1
      1 0 1
      1 1 0

    Мы можем построить выражение для XOR в терминах AND, OR и НЕ, используя следующие рассуждения:

    • Вторая строка сообщает нам, что p XOR q истинно. когда p — ЛОЖЬ, а q — ИСТИНА.Другими словами, p XOR q ИСТИНА, если НЕ p И q ИСТИНА.
    • Третья строка сообщает нам, что p XOR q истинно. когда p — ИСТИНА, а q — ЛОЖЬ. Другими словами, p XOR q истинно, если p AND NOT q истинно.
    • Остальные строки говорят нам, что p XOR q имеет значение FALSE в все остальные случаи.
    • Итак, p XOR q ИСТИНА, если НЕ p И q ИСТИНА, или если истинно p AND NOT q.

    Из вышеизложенного мы определяем, что следующее логическое выражение для функции p XOR q:

          (НЕ p И q) ИЛИ (p И НЕ q)

    Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы

    Логическое выражение находится в дизъюнктивной нормальной форме если оно выражено как сумма (ИЛИ) произведений (И).То есть логическое выражение B находится в дизъюнктивной нормальной форме если это написано как:

          A1 ИЛИ A2 ИЛИ A3 ИЛИ ... An
    где каждый Ai выражается как
          Т1 И Т2 И ... И Тм
    где каждый Ti — простая переменная, или отрицание (НЕ) простой переменной. Каждый из терминов Ai называется minterm .

    Логическое выражение находится в конъюнктивной нормальной форме если оно выражено как произведение (И) сумм (ИЛИ).То есть логическое выражение B находится в конъюнктивной нормальной форме если это написано как:

          O1, O2, O3, и ...
    где каждый Oi выражается как
          Т1 ИЛИ Т2 ИЛИ ... ИЛИ Tm
    где каждый Ti — простая переменная, или отрицание (НЕ) простой переменной. Каждый из терминов Oi называется maxterm .

    Нормальные формы в таблицах истинности

    Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы двойственны друг другу; любой из них может использоваться для генерации логического выражения из таблицы истинности.

    С помощью этих нормальных форм мы можем быть более точными о том, как сгенерировать логическое выражение из таблицы истинности.

    Чтобы построить логическое выражение в дизъюнктивной нормальной форме из таблица истинности:

    • Создайте minterm для каждой строки таблицы, в которой функция истинна.
    • Для каждой переменной, значение которой равно 1 в этой строке, мы включаем переменная в minterm; если переменная в этой строке равна 0, мы включаем отрицание переменной в minterm.
    • Выражение состоит из ИЛИ всех минтермов.

    Конечно, мы могли бы построить выражение в дизъюнктивном нормальном форма с использованием maxterms и И.

    Логическое выражение для сумматора

    Двоичный сумматор целых чисел может быть построен из ряда однобитовых сумматоров. Однобитовый сумматор принимает два однобитовых операнда (x и y) и бит переноса из предыдущего однобитового сумматора (ci), и производит сумму этих битов, и выносной бит (со).

    Мы можем определить логическую функцию, соответствующую сумматору в виде таблицы истинности. Затем мы можем построить логические выражения для s и co, из которого мы могли построить схему.

      x y ci co s
  ---------------------
  0 0 0 0 0
  0 0 1 0 1 с: НЕ x И НЕ y И ci
  0 1 0 0 1 с: НЕ x И y И НЕ ci
  0 1 1 1 0 co: НЕ x, y и ci
  1 0 0 0 1 с: x И НЕ y И НЕ ci
  1 0 1 1 0 co: x И НЕ y И ci
  1 1 0 1 0 co: x И y И НЕ ci
  1 1 1 1 1 co, s: x, y и ci

    Логическое выражение для s:

      (НЕ x И y И ci) ИЛИ (x И НЕ y И ci) ИЛИ
  (x AND y И НЕ ci) ИЛИ (x AND y AND ci)

    Логическое выражение для co:

      (НЕ x И НЕ y И ci) ИЛИ (НЕ x И Y И НЕ ci)
  ИЛИ (x И НЕ y И НЕ ci) ИЛИ (x И y И ci)

    Полнота логических операторов

    Предыдущее построение логического выражения из таблица истинности показала, как представить любую логическую функцию как сумма произведений или произведение сумм.

    Поскольку мы можем представить любую логическую функцию с помощью И, ИЛИ, и НЕ, эти операторы образуют полный набор для Логические функции.

    Мы можем показать, что одного оператора И-НЕ достаточно для генерации каждой логической функции, показывая, как реализовать AND, OR и NOT с точки зрения NAND.

          p q p NAND 1 q NAND 1 p NAND q E1 E2
      --------------------------------------------
      0 0 1 1 1 0 0
      0 1 1 0 1 0 1
      1 0 0 1 1 0 1
      1 1 0 0 0 1 1
  
    E1: p AND q == ((p NAND q) НЕ ИСТИНА)
    E2: p ИЛИ q == ((p НЕ И ИСТИНА) ИЛИ (q НЕ И ИСТИНА))
    E3: (НЕ p) == (p НЕ ИСТИНА)

    Подобная конструкция может использоваться, чтобы показать, что NOR — это также достаточно для генерации каждой логической функции.

    Таким образом, мы можем генерировать цифровые схемы для любой булевой функции используя только операторы NAND или NOR (или компоненты).

    Тавтологии

    Тавтология — это логическое выражение, которое всегда ИСТИНА, независимо от присвоения значений истинности переменным в выражениях.

    Примеры тавтологий:

    • ИСТИНА
    • ИСТИНА ИЛИ p
    • p ИЛИ НЕ p
    • НЕ (p И НЕ p)
    • p == p
    • (p OR q) == p OR (НЕ p AND q)
    • (р == д) -> (р -> д)

    Если мы сможем установить, что «LE1 == LE2» является тавтологией, тогда независимо от того, какие значения мы присваиваем переменным в LE1 и LE2, мы знаем, что «LE1 == LE2» имеет значение ИСТИНА.

    Если «LE1 == LE2» — тавтология, тогда мы можем заменить LE2 на LE1. (или наоборот) в любом выражении, без изменения значения выражения.

    Задача тавтологии

    Интересный вопрос — задать ли данное логическое выражение — тавтология. Этот вопрос известен как «проблема тавтологии».

    Для решения проблемы тавтологии нам достаточно построить таблица истинности логического выражения.кн) время, т.е. экспоненциальное время.

    Не существует известного алгоритма решения проблемы тавтологии, который занимает меньше экспоненциального времени. Такие проблемы называются «трудноразрешимыми», потому что в больших случаях эти проблемы не могут быть решены в разумные сроки.

    Еще одна такая трудноразрешимая проблема — это «проблема выполнимости». который спрашивает, есть ли присвоение истинностных значений переменные в логическом выражении, которое делает выражение ИСТИННЫМ.Нет известного алгоритма решения этой проблемы, более того эффективнее, чем перебор всех возможных комбинаций присвоения истинности для переменных.

    Введение в логическую логику — SAP-документация

    Введение в логическую логику

    Что такое логическая логика?

    Булева логика относится к системе математической логики, называемой булевой алгеброй, названной в честь английского математика Джорджа Буля. Он используется для создания логических правил или утверждений.Эти логические операторы используются для анализа, выбора и обработки данных, поступающих в прикладной компонент FI-SL.

    В прикладном компоненте FI-SL вы можете использовать логическую логику для:

    • Выбрать данные для отчета

    • Выбрать книги для разноски

    • Замещающие данные в локальных, глобальных и сводных регистрах

    • Проверить данные, которые входят в прикладной компонент FI-SL

    Прикладной компонент FI-SL сначала анализирует данные с помощью логических операторов, а затем определяет, следует ли использовать данные.Если логическое утверждение истинно, используются данные; если утверждение ложно, данные не используются.

    Использование логической логики

    Логическая логика используется в:

    Для использования логической логики в этих программах вы создаете логические операторы, которые затем используются в качестве формул в системе FI-SL. Для получения дополнительной информации см. Следующий раздел Логические логические выражения .

    Для получения дополнительной информации об использовании логической логики в выборе главной книги, Report Writer, свертках, проверках и заменах см. Использование логических выражений в FI-SL .

    Логические логические выражения

    Логическое логическое утверждение — это логическое утверждение, которое может быть истинным или ложным. Ниже приведены примеры истинных и ложных утверждений:

    Логические операторы могут быть связаны с помощью операторов . An оператор связывает логические операторы и определяет, как операторы должны обрабатываться. Комбинированный оператор — это два или более логических оператора, связанных вместе.

    Логическая логика использует следующие операторы:

    При использовании этого оператора оба оператора должны быть истинными, чтобы объединенный оператор был истинным.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    Лос-Анджелес — город в Калифорнии И (2 + 2 = 4) (ИСТИНА)

    2.

    (2 + 2 = 4) И (10 <6) (ЛОЖЬ)

    3.

    (10 <6) И (2 + 2 = 4) (ЛОЖЬ)

    4.

    (2 + 3 = 4) И (10 <6) (ЛОЖЬ)

    Когда вы используете этот оператор, по крайней мере одно из утверждений должно быть истинным, чтобы объединенное утверждение было истинным.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    Лос-Анджелес — город в Калифорнии ИЛИ (2 + 2 = 4) (ИСТИНА)

    2.

    Лос-Анджелес — город в Калифорнии ИЛИ (10 <6) (ИСТИНА)

    3.

    (10 <6) ИЛИ Лос-Анджелес - город в Калифорнии (ИСТИНА)

    4.

    Лос-Анджелес — город в Техасе ИЛИ (10 <6) (ЛОЖЬ)

    Когда вы используете этот оператор, утверждение, следующее за оператором NOT, должно быть ложным, чтобы оно было истинным.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    НЕ (2 + 2 = 4) (ЛОЖЬ)

    2.

    НЕ (10 <6) (ИСТИНА)

    При использовании этого оператора по крайней мере один оператор должен быть ложным, чтобы объединенный оператор был истинным.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    (2 + 2 = 4) NAND Лос-Анджелес — город в Калифорнии (ЛОЖЬ)

    2.

    (2 + 2 = 4) И-НЕ (10 <6) (ИСТИНА)

    3.

    (10 <6) И-НЕ (2 + 2 = 4) (ИСТИНА)

    4.

    (2 + 3 = 4) И-НЕ (10 <6) (ИСТИНА)

    При использовании этого оператора оба оператора должны быть ложными, чтобы объединенный оператор был истинным.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    (2 + 2 = 4) ИЛИ Лос-Анджелес — город в Калифорнии (ЛОЖЬ)

    2.

    (2 + 2 = 4) ИЛИ (1 = 2) (ЛОЖЬ)

    3.

    (2 + 1 = 4) ИЛИ (2 + 2 = 4) (ЛОЖЬ)

    4.

    (2 + 1 = 4) ИЛИ (10 <6) (ИСТИНА)

    Когда вы используете этот оператор, два оператора зависят друг от друга, чтобы определить значение истинности утверждения («IF A, THEN B»). Однако, если второе утверждение истинно или первое утверждение ложно, объединенное значение истинности истинно.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    (1 = 1) -> (2 + 4 = 6) (ИСТИНА)

    2.

    (2 + 2 = 4) -> (10 <6) (ЛОЖЬ)

    3.

    (10 <6) -> (2 + 2 = 4) (ИСТИНА)

    4.

    (10 <6) -> (2 + 3 = 4) (ИСТИНА)

    При использовании этого оператора оба оператора должны быть истинными или оба оператора должны быть ложными, чтобы объединенный оператор был истинным.

    Пример

    Конец примера.

    1.

    (1 = 1) <-> (2 + 2 = 4) (ИСТИНА)

    2.

    (1 = 1) <-> (10 <6) (ЛОЖЬ)

    3.

    (10 <6) <-> (1 = 1) (ЛОЖЬ)

    4.

    (2 + 3 = 4) <-> (10 <6) (ИСТИНА)

    Для получения дополнительной информации о логических операторах см. Создание логических операторов для системы FI-SL .

    Таблицы истинности

    Поскольку операторы могут быть связаны с другими операторами и поскольку логические операторы иногда неясны, логическая логика использует таблицы истинности, чтобы определить, является ли комбинированный оператор истинным или ложным.

    Таблица истинности присваивает значения (ИСТИНА или ЛОЖЬ) каждому утверждению в комбинированном утверждении. После того, как система присвоила значение истинности отдельному утверждению, система определяет значение истинности для объединенных утверждений в зависимости от оператора, который используется для связывания утверждений.

    Ниже приведен пример таблицы истинности:

    Заявление A

    Заявление B

    A [Оператор] B

    ИСТИНА

    ИСТИНА

    х

    ИСТИНА

    ЛОЖЬ

    х

    ЛОЖНО

    ИСТИНА

    х

    ЛОЖНО

    ЛОЖЬ

    х

    В этой таблице истинности показаны все возможные комбинации ИСТИНА и ЛОЖЬ для утверждения A и утверждения B.Значение истинности комбинированного утверждения (x) определяется оператором, который используется в таблице истинности. Вы можете найти таблицы истинности для всех логических операторов в разделе Использование логических операторов в таблицах истинности .

    Джордж Буль — обзор

    1.1 Джордж Буль (1815–1864)

    Окончательная биография Буля — это Джордж Буль: Его жизнь и творчество Десмонда Макхейла (Boole Press, 1985) [286]. Мы будем использовать как эту книгу [286], так и биографию, написанную О’Коннором и Робертсоном для архива MacTutor History of Mathematics [351].

    РИСУНОК 1.1. Изображение перепечатано с MacTutor History of Mathematics : http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Boole.html

    Джордж Буль, сын торговца из низшего сословия, был родился в Линкольне, Англия, в конце ноября 1815 года. Его отец дал ему первые уроки математики и привил ему любовь к обучению. Друг семьи (местный продавец книг) помог ему научить его основам латыни. К 12 годам Буль переводил латинские стихи.К 14 годам подросток Буль также свободно владел немецким, итальянским и французским языками. Особенно ему нравились романы и стихи. Его способности в высшей математике проявились только в 17 лет (он прочитал свою первую книгу по продвинутой математике, а именно «Дифференциальное и интегральное исчисление » Лакруа). Поскольку бизнес его отца рухнул, он был вынужден работать, чтобы содержать семью. В 16 лет он стал помощником мастера в частной школе в Донкастере, а до 20 лет открыл собственную школу.

    В 1838 году Булю предложили возглавить Академию Холла в Уоддингтоне после смерти ее основателя Роберта Холла. Его семья переехала в Уоддингтон и помогала ему управлять школой. Используя математические журналы, взятые из местного Института механиков, Буль прочитал Principia Исаака Ньютона и работы французских математиков Пьера-Симона Лапласа (1749–1827) и Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813). Узнав, что эти авторы ранее писали, Буль в 24 года опубликовал свою первую статью ( Исследования по теории аналитических преобразований ) в Cambridge Mathematical Journal (CMJ).Это привело к дружбе между Джорджем Булем и редактором CMJ Дунканом Ф. Грегори, которая продолжалась до преждевременной смерти Грегори в 1844 году. Грегори побудил Буля изучать алгебру. Из-за финансового положения своей семьи Буль не мог принимать советы Грегори и проходить аудиторские курсы в Кембридже. Фактически, летом 1840 года он открыл школу-интернат в Линкольне, и снова вся семья вернулась с ним.

    После смерти отца Буль в 1849 году занял должность профессора математики в Королевском колледже в Корке, где он оставался и преподавал до конца своей жизни.Там он встретил племянницу сэра Джорджа Эвереста (известного горы Эверест) по имени Мэри Эверест. Она была моложе его на 17 лет, но они мгновенно подружились. Джордж начал давать Мэри уроки дифференциального исчисления, и в 1855 году, после смерти отца, Мэри вышла замуж за Джорджа Буля. Они были вполне счастливы вместе, и у них родилось пять дочерей: Мэри Эллен (род. 1856), Маргарет (р. 1858), Алисия (позже Алисия Стотт) (р. 1860), Люси Эверест (р. 1862) и Этель Лилиан (р. р. 1864 г.).

    Работы Буля содержатся примерно в 50 статьях и нескольких других публикациях.Список мемуаров и статей Буля по логическим и математическим темам можно найти в Каталоге научных мемуаров , изданном Королевским обществом, и в томе по дифференциальным уравнениям (под редакцией И. Тодхантера). Буль написал 22 статьи в Cambridge Mathematical Journal и его преемнике, Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 16 статей в Philosophical Magazine , шесть мемуаров в Philosophical Transactions (Королевское общество) и несколько другие в Transactions Королевского общества Эдинбурга и Королевской ирландской академии , в Bulletin de l’Academie de St-Petersbourg (в 1862 году под псевдонимом G.Boldt), а также в журнале Crelle’s Journal и статье о математической основе логики, опубликованной в журнале Mechanics Magazine (1848 г.).

    В 1844 году Королевское общество наградило его медалью за вклад в анализ за его работу по использованию алгебры и исчисления для анализа бесконечно малых и больших фигур.

    Исчисление рассуждений, которым занимался Буль, нашло свое отражение в его работе 1847 года « Математический анализ логики », которая расширила работу немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646–1716) и выдвинула идею о том, что логика была математической дисциплиной, а не философией.Эта работа принесла ему восхищение выдающегося логика Августа де Моргана и место среди преподавателей Королевского колледжа Ирландии.

    В 1854 году Буль опубликовал Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей , что, возможно, является его самой важной работой. Буль подошел к логике по-новому, сведя ее к простой алгебре, включив логику в математику и заложив основы теперь известного бинарного подхода.Логические выражения теперь представлены с использованием математической формы, названной в его честь Boolean Algebra .

    Гений Буля был признан, он получил почетные степени в университетах Дублина и Оксфорда и был избран членом Королевского общества в 1857 году. Поскольку его работа в конечном итоге привела людей к высадке на Луну, вполне естественно, что Буль — это название лунного кратера.

    Однажды в 1864 году Буль шел из своего дома в колледж и попал в сильный ливень.Он читал лекции в мокрой одежде и простудился. Из-за этого для математиков очень жаль, что он умер, когда ему было всего 49 лет.

    Исследование логических значений

    Между CSC 151 и сегодняшним чтением вы, вероятно, уже знакомы с логическими значениями и их операциями. В этой лабораторной работе мы выйдем за рамки основ логической логики и исследуем некоторые теоретические основы логики.

    Сегодня вы будете работать в группах по 2–3 человека в этой лабораторной работе.Напомним, что наша лабораторная работа служит практикой и разведкой концепций курса. Наша цель — не спешить по лаборатории, разбивая работу на части. Вместо этого, когда мы проводим групповую лабораторную работу, у нас двоякая цель:

    1. Практика Навыки совместного решения проблем .
    2. Поддерживать друг друга в изучении и понимании материала.

    Задачи структурированы так, чтобы помочь вам в этих усилиях, но всегда держите эти цели в памяти, когда вы выполняете совместную работу в этом курсе.

    Для этой лаборатории один человек должен:

    1. Создайте файл Markdown для записи.
    2. Поделитесь своим экраном или поделитесь документом (если вы используете совместный редактор).

    Затем вы должны написать свою работу и возможные решения проблем в этом документе. Используйте горизонтальные правила, например:

      Это текст над горизонтальной линейкой.

---

Это текст под горизонтальной линейкой.

    Что отображается как:

    Это текст над горизонтальной линейкой.

    Это текст под горизонтальной линейкой.

    Это позволит вам отделить вашу работу от решений для каждой проблемы.

    Вы должны сдать один файл в Gradescope для вашей группы, когда закончите. При отправке групповой работы в Gradescope обязательно включите всех имен членов вашей группы , прежде чем загружать свой PDF-файл.

    В лаборатории Friday вы поиграли с основными определениями теории групп. Оказывается, бинарные операции логической алгебры, конъюнкции и дизъюнкции образуют моноидов !

    1. В нескольких предложениях аргументируйте , почему конъюнкция и дизъюнкция образуют моноиды для булевой логики.Не забудьте обратиться к формальному определению моноида из предыдущей лабораторной работы и определить все части, необходимые для того, чтобы операция сформировала моноид над множеством.

    2. Почему полезно знать, что эти логические операции являются моноидами? Просмотрите следующую функцию Racket со своей группой:

        ;; (идентификатор операции mconcat lst) -> T?
;; op: (T? T?) -> T?
;; id: T?
;; lst: listof T?
;;
;; Предварительное условие: (T ?, op) - это моноид с идентификатором личности.
(определить (идентификатор операции mconcat lst)
  (если (null? lst)
      я бы
      (op (car lst) (mconcat идентификатор операции (cdr lst)))))

      Приведите несколько примеров выполнения mconcat с соответствующими аргументами для конъюнкции и дизъюнкции.В одном или двух предложениях опишите поведение mconcat , когда он специализируется на логических соединениях и дизъюнкциях.

    3. В некоторых формулировках логической логики мы используем символы \ ((+) \) и \ ((×) \) для наших бинарных операций. Какие двоичные логические операции следует присвоить плюсу и разу соответственно? В нескольких предложениях опишите свою аргументацию.

    В ходе чтения вы узнали, что логическая логика обеспечивает три основных операции:

    • Отрицание \ ((¬) \).
    • Соединение \ ((∧) \).
    • Дизъюнкция \ ((∨) \).

    Однако с таблицами истинности мы заметили, что есть много других операций, которые мы могли бы рассмотреть. В этой задаче мы исследуем эти операции более подробно.

    1. Помимо отрицания, существует 3 других унарных операций над логическими значениями, , то есть , функций одного аргумента. Приведите их таблицы истинности ниже вместе с соответствующими именами, которые лучше всего описывают их поведение.Если вы знаете соответствующие символы для каждой функции, сделайте это. Используйте следующий шаблон таблицы для составления таблиц истинности.

        | $ b $ | $ \ neg b $ |
| ----- | ---------- |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |

    2. Помимо конъюнкции и дизъюнкции, существует еще 14 других двоичных операций над логическими значениями. Приведите их таблицы истинности ниже вместе с соответствующими именами, которые лучше всего описывают их поведение.Если вы знаете соответствующие символы для каждой функции, сделайте это. Используйте следующий шаблон таблицы для составления таблиц истинности.

        | $ b_1 $ | $ b_2 $ | $ b_1 \ клин b_2 $ |
| ------- | ------- | ------------------ |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

    3. В предыдущей лабораторной работе вы дали высокоуровневое описание того, как доказывать каждую форму логической связки в логике высказываний.Поделитесь своими результатами с партнером, чтобы рассмотреть проблему и посмотреть, как таблицы истинности для соответствующих им логических операторов (должны) походить на высокоуровневые «принципы доказательства», которые вы изложили во вчерашней лабораторной работе.

      Затем обратите внимание на то, что представленные нами булевы логические операции не имеют «импликационной» операции, такой как логика высказываний. Изучите составленные вами таблицы истинности для этой проблемы. Какая из этих логических операций больше всего напоминает то, как, по вашему мнению, должна действовать импликация? Определите эту логическую операцию и объясните в одном или двух предложениях, почему вы считаете, что эта операция имеет логическое значение.”

      ( Подсказка : конъюнкция отличается от импликации в логике высказываний, поэтому ваш выбор логической операции для представления импликации также должен отражать этот факт!)

    4. (Дополнительное упражнение) . Наконец, обратите внимание, что некоторые логические операторы являются избыточными . Например, выражение \ (\ mathsf {nand} \) представляет собой комбинацию отрицания и соединения, , то есть :

      .

      \ [ P \; \textf {nand} \; К \ эквив \ нег (П \ клин Q).\]

      В этом смысле нет необходимости явно обсуждать \ (\ mathsf {nand} \), потому что это сокращенная запись или синтаксический сахар для комбинации более элементарных пропозициональных операторов. Это приводит к естественному вопросу:

      Какой минимальный набор двоичных логических операторов необходим для выполнения всех 16 возможных логических операторов?

      Другими словами, каков наименьший набор элементарных (бинарных) операторов для логики высказываний, при котором остальные операторы являются синтаксическим сахаром для этого набора? Для целей этого вопроса предположим, что унарное отрицание доступно для использования и является частью набора элементарных операторов.Обратите внимание, что наше базовое представление булевой алгебры дает нам два бинарных оператора . Можем ли мы сделать лучше, чем два оператора для этого минимального набора?

      В дополнение к заявлению о том, чем, по вашему мнению, является этот элементарный набор, докажите, что набор действительно элементарный, показав, как остальные операторы, которые вы определили в предыдущей части, могут быть выражены в терминах ваших элементарных операторов.

    Логические и математические утверждения — Рабочие примеры

    Отрицание

    Иногда в математике важно определить, что противоположно данному математическому утверждению.Это обычно называется «отрицанием» утверждения. Следует иметь в виду, что если утверждение истинно, то его отрицание ложно (а если утверждение ложно, то его отрицание истинно).

    Давайте взглянем на некоторые из наиболее распространенных отрицаний.

    Отрицание «A

    или B». Прежде чем дать ответ, попробуем сделать это на примере.

    Рассмотрим утверждение «Вы либо богаты, либо счастливы». Чтобы это утверждение было ложным, вы не можете быть богатым и вы не можете быть счастливы.Другими словами, наоборот — быть не богатым, а — несчастливым. Или, если мы перепишем его в терминах исходного утверждения, мы получим: «Вы не богаты и несчастны».

    Если мы позволим A быть утверждением «Вы богаты», а B — утверждением «Вы счастливы», тогда отрицание «A или B» превратится в «Not A и Not B.»

    В общем, мы имеем одно и то же утверждение: отрицание «A или B» — это утверждение «Not A и Not B.»

    Отрицание «A

    и B». Опять же, сначала давайте проанализируем пример.

    Рассмотрим высказывание «Я и богат, и счастлив». Чтобы это утверждение было ложным, я мог бы быть или не богатым или несчастливым. Если мы позволим A быть утверждением «Я богат», а B — утверждением «Я счастлив», тогда отрицание «A и B» превратится в «Я не богат или Я не счастлив» или «Не А. или не B «.

    Отрицание «

    Если A, , то B». Чтобы отрицать утверждение формы «Если А, то В», мы должны заменить его утверждением « А, а не В ».Сначала это может показаться запутанным, поэтому давайте рассмотрим простой пример, чтобы понять, почему это правильно.

    Рассмотрим высказывание «Если я богат, то я счастлив». За это утверждение ложно, мне нужно быть богатым и несчастным. Если это утверждение «Я богат», а B — утверждение «Я счастлив», тогда отрицание «A $ \ Rightarrow $ B» будет «Я богат» = A, и «Я я не счастлив «= не Б.

    Таким образом, отрицание «, если A, , то B» становится «A , а не B».

    Пример.

    Теперь давайте рассмотрим утверждение, связанное с математикой. Возьмем утверждение «Если n четное, то $ \ frac {n} {2} $ — целое число». Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти четное целое число $ n $, для которого $ \ frac {n} {2} $ не было целым числом. Таким образом, противоположность этому утверждению — утверждение, что «$ n $ четно, а $ \ frac {n} {2} $ не является целым числом».

    Отрицание «Для каждого …», «Для всех …», «Существует …»

    Иногда встречаются такие фразы, как «за каждый», «за любой», «за все «и» существует «в математических утверждениях.

    Пример.

    Рассмотрим утверждение «Для всех целых чисел $ n $ либо $ n $ четно, либо $ n $ нечетное «. Хотя формулировка немного отличается, это утверждение формы «Если А, то Б.» Мы можем перефразировать это предложение следующим образом: «Если $ n $ — любое целое число, то либо $ n $ четно, либо $ n $ нечетно».

    Как бы мы опровергли это утверждение? Чтобы это утверждение было ложным, все, что нам нужно, это найти единственное целое число, которое не является четным и нечетным. Другими словами, отрицание — это утверждение: «Существует целое число $ n $, так что $ n $ не является четным, а $ n $ не является нечетным.»

    В общем, при отрицании утверждения, включающего «для всех», «для каждого», фраза «для всех» заменяется на «существует». Аналогично, при отрицании утверждения, содержащего «там существует», фраза «существует» заменяется на «для каждого» или «для всех».

    Пример. Опровергните утверждение: «Если все богатые люди счастливы, то все бедные люди грустят».

    Во-первых, это утверждение имеет форму «Если А, то Б», где А — это утверждение «Все богатые люди счастливы», а Б — утверждение «Все бедные люди грустят.«Итак, отрицание имеет форму« А », а не« Б. ». Таким образом, нам нужно будет отрицать Б. Отрицание утверждения В состоит в том, что« существует бедный человек, который не грустит ».

    Если сложить это вместе, получим: «Все богатые люди счастливы, но есть бедный человек, который не грустит», как отрицание «Если все богатые люди счастливы, то все бедные люди грустят».

    Резюме.
    Заявление Отказ
    «A или B» «не A и не B»
    «А и Б» «не А или не Б»
    «если А, то Б» «А, а не Б»
    «Для всех x, A (x)» «Существует x такое, что не A (x)»
    «Существует x такое, что A (x)» «Для каждого x, а не для A (x)»

    1.2: Буленовая алгебра — Engineering LibreTexts

    До сих пор мы обсуждали, как писать и интерпретировать предложения. В этом разделе рассказывается о том, как манипулирует ими. Для этого нам понадобится алгебра. Обыкновенная алгебра, которую изучают в старшей школе, занимается манипулированием числами, переменными, которые представляют числа, и такими операторами, как \ (+ \) и \ (× \), которые применяются к числам. Теперь нам нужна алгебра, которая применяется к логическим значениям, пропозициональным переменным и логическим операторам. Первым, кто подумал о логике с точки зрения алгебры, был математик Джордж Буль, который представил эту идею в книге, опубликованной им в 1854 году.Алгебра логики теперь называется Булевой алгеброй в его честь.

    Алгебра чисел включает большое количество правил манипулирования выражениями. Например, закон распределения гласит, что \ (x (y + z) = xy + xz \), где \ (x, y, \) и \ (z \) — переменные, которые обозначают любые числа или числовые выражения. Этот закон означает, что всякий раз, когда вы видите что-то в форме \ (xy + xz \) в числовом выражении, вы можете заменить \ (x (y + z) \) без изменения значения выражения, и наоборот.Обратите внимание, что знак равенства в \ (x (y + z) = xy + xz \) означает «имеет то же значение, что и, независимо от того, какие числовые значения имеют \ (x, y, \) и \ (z \)».

    В булевой алгебре мы работаем с логическими значениями вместо числовых значений. Есть только два логических значения: истина и ложь. Мы запишем эти значения как \ (\ mathbb {T} \) и \ (\ mathbb {F} \). Символы \ (\ mathbb {T} \) и \ (\ mathbb {F} \) играют в булевой алгебре ту же роль, что и постоянные числа, такие как 1 и 3.14159, в обычной алгебре.Вместо знака равенства в булевой алгебре используется логическая эквивалентность, которая имеет, по сути, тот же смысл.4 Например, для предложений p, q и r оператор ≡ в \ (p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r \) означает «имеет то же значение, что и, независимо от того, какие логические значения имеют \ (p, q, \) и \ (r \)».

    Многие правила булевой алгебры довольно очевидны, если немного поразмыслить над тем, что они означают. Даже то, что неочевидно, можно легко проверить с помощью таблицы истинности. На рисунке 1.2 перечислены наиболее важные из этих законов.5 \) Это также пример более общего факта, известного как двойственность, который утверждает, что для любой тавтологии, использующей только операторы ∧, ∨ и ¬, другая тавтология может быть получена из нее заменой ∧ на и \ ( \ mathbb {T} \) на \ (\ mathbb {F} \). Мы не будем пытаться это здесь доказывать.

    В качестве примера давайте проверим первое правило в таблице — Закон двойного отрицания. Этот закон — всего лишь старое основное правило грамматики, согласно которому два отрицания делают положительное. Хотя это правило сомнительно, поскольку оно применимо к английскому языку в том виде, в котором оно используется на самом деле — независимо от того, что говорит грамматист, «я не могу получить никакого удовлетворения» на самом деле не означает «я могу получить удовлетворение». логику можно проверить, просто вычислив два возможных случая: когда \ (p \) истинно и когда \ (p \) ложно.Когда p истинно, то по определению оператора ¬ \ (¬p \) ложно. Но тогда, опять же по определению ¬, значение \ (¬ (¬p) \) истинно, что совпадает со значением \ (p \). Аналогично, в случае, когда \ (p \) ложно, \ (¬ (¬p) \) также ложно. Этот аргумент, организованный в таблицу истинности, принимает довольно простую форму

    Тот факт, что первый и последний столбцы идентичны, показывает логическую эквивалентность \ (p \) и \ (¬ (¬p) \). Дело здесь не только в том, что \ (¬ (¬p) ≡ p \), но и в том, что эта логическая эквивалентность действительна, потому что ее можно проверить с помощью вычислений, основываясь только на соответствующих определениях.Его обоснованность не следует из того факта, что «это очевидно» или «это хорошо известное правило грамматики». Студенты часто спрашивают: «Почему я должен что-то доказывать, когда это очевидно». Дело в том, что логика — и математика в целом — это отдельный маленький мир со своим собственным набором правил. Хотя этот мир как-то связан с реальным миром, когда вы говорите, что что-то очевидно (в реальном мире), вы не играете по правилам мира логики. Настоящая магия математики состоит в том, что, играя по ее правилам, вы можете придумывать вещи, которые явно не очевидны, но все же что-то говорят о реальном мире — часто что-то интересное и важное.

    Каждое из правил на рисунке 1.2 можно проверить таким же образом, составив таблицу истинности для проверки всех возможных случаев.

    Важно понимать, что пропозициональные переменные в законах булевой алгебры могут обозначать любые пропозиции, в том числе составные. Это не просто так, как гласит закон двойного отрицания, что \ (¬ (¬p) ≡ p \). Также верно, что \ (¬ (¬q) ≡ q \), что \ (¬ (¬ (p∧q)) ≡ (p∧q) \), что \ (¬ (¬ (p → (q ∧ ¬p))) ≡ (p → (q ∧ ¬p)) \) и бесконечное количество других утверждений той же формы.Здесь «утверждение той же формы» — это утверждение, которое может быть получено заменой чем-то p в обоих местах, где оно встречается в \ (¬ (¬p) ≡ p \). Как я могу быть уверен, что все эти бесконечно много утверждений верны, если все, что я проверил, — это одна маленькая двухстрочная таблица истинности? Ответ заключается в том, что любое данное предложение Q, независимо от того, насколько оно сложное, имеет определенное значение истинности, истинное или ложное. Итак, вопрос о справедливости \ (¬ (¬Q) ≡ Q \) всегда сводится к одному из двух случаев, которые я уже проверил в таблице истинности.(Обратите внимание, что для того, чтобы этот аргумент был действительным, тот же Q должен быть заменен на p в каждой позиции, где он встречается.) Хотя этот аргумент может быть «очевидным», это не совсем доказательство, но пока мы просто примем справедливость следующей теоремы:

    Теорема 1.1 Первый закон замещения

    Предположим, что \ (Q \) — любое предложение и \ (p \) — пропозициональная переменная. Рассмотрим любую тавтологию. Если (\ (Q) \) заменить \ (p \) во всех местах, где \ (p \) встречается в тавтологии, то результат также будет тавтологией.6 \)

    Первый закон подстановки позволяет вам заниматься алгеброй! Например, вы можете заменить \ (p → q \) на \ (p \) в законе двойного отрицания \ (¬ (¬p) ≡ p \). Это позволяет вам «упростить» выражение \ (¬ (¬ (p → q)) до p → q \) с уверенностью, что полученное выражение имеет то же логическое значение, что и выражение, с которого вы начали. (Вот что означает логическая эквивалентность \ (¬ (¬ (p → q)) \) и \ (p → q \).) Вы можете проделывать аналогичные трюки со всеми законами на рис. 1.2. Еще более важен Второй закон подстановки, который гласит, что вы можете заменить выражение логически эквивалентным выражением, где бы оно ни происходило.Еще раз, мы примем это как теорему, не пытаясь здесь доказать. Этот закон на удивление сложно описать словами:

    Теорема 1.2 Второй закон замены

    Предположим, что \ (P \) и \ (Q \) — любые предложения такие, что \ (P ≡ Q \). Предположим, что \ (R \) — любое сложное предложение, в котором \ ((P) \) встречается как подпредложение. Пусть \ (R ′ \) будет утверждением, которое получается заменой \ ((Q) \) этого вхождения \ ((P) \) в \ (R \). Тогда \ (R ≡ R ′ \).

    Обратите внимание, что в этом случае теорема не требует, чтобы \ ((Q) \) заменяли каждое вхождение \ ((P) \) в \ (R \).Вы можете заменить одно, два или столько вхождений \ ((P) \), сколько захотите, и результат по-прежнему будет логически эквивалентен \ (R \).

    Второй закон замены позволяет нам использовать логическую эквивалентность \ (¬ (¬p) ≡ p \) для «упрощения» выражения \ (q → (¬ (¬p)) \) путем замены \ ((p) \ ) для \ ((¬ (¬p)) \). Результирующее выражение \ (q → (p) \) или просто \ (q → p \) без скобок логически эквивалентно исходному \ (q → (¬ (¬p)) \). Еще раз, мы должны быть осторожны с круглыми скобками: тот факт, что \ (p ∨ p ≡ p \) не позволяет нам переписать \ (q∧p∨p∧r \) как \ (q∧p∧r \) .6 \) Я добавил круглые скобки вокруг \ (Q \) здесь по техническим причинам. Иногда скобки необходимы, чтобы убедиться, что \ (Q \) оценивается в целом, так что его окончательное значение используется вместо \ (p \). В качестве примера того, что может пойти не так, рассмотрим \ (q ∧ r \). Если это заменить буквально на \ (p \) в \ (¬ (¬p) \) без скобок, то получится \ (¬ (¬q ∧ r) \). Но это выражение означает \ (¬ ((¬q) ∧ r) \), что не эквивалентно \ (q ∧ r \).

    Закон замены: эквивалентность \ (Q ≡ R \) позволяет нам заменить \ (R \) на \ (Q \) в утверждении \ (P ≡ Q \), давая \ (P ≡ R \).(Помните, что согласно определению 1.4 логическая эквивалентность определяется в терминах предложения.) Это означает, что мы можем показать, что два составных предложения логически эквивалентны, найдя цепочку логических эквивалентностей, ведущих от одного к другому. Например:

    \ (p ∧ (p → q) ≡ p ∧ (¬p ∨ q) \) определение \ (p → q \), Теорема 1.2
    \ (≡ (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q ) \) Распределительный закон
    \ (≡ \ mathbb {T} ∨ (p ∧ q) \) Закон противоречия, теорема 1.2
    \ (≡ (p ∧ q) \) Закон идентичности

    Каждый шаг в цепочке имеет собственное обоснование.В некоторых случаях закон замещения используется без указания этого. В первой строке, например, определение \ (p → q \) таково, что \ (p → q ≡ ¬p ∨ q \). Второй закон замены позволяет нам заменить \ ((¬p ∨ q) \) на \ ((p → q) \). В последней строке мы неявно применили первый закон подстановки к закону тождества \ (\ mathbb {T} ∨ p ≡ p \), чтобы получить \ (\ mathbb {F} ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∧ q) \).

    Цепочка эквивалентностей в приведенном выше примере позволяет нам заключить, что \ (p ∧ (p → q) \) логически эквивалентно \ (p ∧ q \).Это означает, что если бы вы составили таблицу истинности для этих двух выражений, значения истинности в столбце для \ (p ∧ (p → q) \) были бы идентичны значениям в столбце для \ (p ∧ q \) . Мы знаем это, даже не составляя стол. В этом случае таблица будет состоять всего из четырех строк, и ее будет достаточно легко сделать. Но булева алгебра может применяться в тех случаях, когда количество пропозициональных переменных слишком велико для использования таблицы истинности.

    Приведем еще один пример. Напомним, что составное предложение является тавтологией, если оно истинно для всех возможных комбинаций значений истинности пропозициональных переменных, которые оно содержит.Но можно сказать то же самое по-другому: \ (P \) является тавтологией, если \ (P ≡ T \). Итак, мы можем доказать, что составное предложение \ (P \) является тавтологией, найдя цепочку логических эквивалентностей, ведущих от \ (P к T \). Например:

    \ (((p ∨ q) ∧ ¬p) → q \)
    \ (≡ (¬ ((p ∨ q) ∧ ¬p)) ∨ q \) определение →
    \ (≡ (¬ ( p ∨ q) ∨ ¬ (¬p)) ∨ q \) Закон ДеМоргана, теорема 1.2
    \ (≡ (¬ (p ∨ q) ∨ p) ∨ q \) Двойное отрицание, теорема 1.2
    \ ( ≡ (¬ (p ∨ q)) ∨ (p ∨ q) \) Ассоциативный закон для ∨
    \ (≡T \) Закон исключенного среднего

    Из этой цепочки эквивалентностей можно заключить, что \ (((p ∨ q) ∧ ¬p) → q \) — тавтология.

    Теперь нужно немного попрактиковаться, чтобы посмотреть на выражение и посмотреть, какие правила к нему можно применить; например, чтобы увидеть \ ((¬ (p ∨ q)) ∨ (p ∨ q) \) как применение закона исключенной середины, вам нужно мысленно заменить \ ((p ∨ q) \) на p в закон, как это показано на Рисунке 1.2. Часто существует несколько применимых правил, но нет четких указаний, какое из них следует попробовать. Это то, что делает алгебру чем-то вроде искусства.

    Конечно, неверно, что все возможные правила булевой алгебры приведены на рисунке 1.2. Во-первых, есть много правил, которые являются простым следствием правил, которые там перечислены. Например, хотя таблица утверждает только то, что \ (\ mathbb {F} ∨ p ≡ p \), также верно, что \ (p ∨ \ mathbb {F} ≡ p \). Это можно проверить напрямую или простым расчетом:

    \ (p ∨ \ mathbb {F} ≡ \ mathbb {F} ∨ p \) Коммутативный закон
    \ (≡ p \) Закон идентичности, как указано в таблице

    Дополнительные правила могут быть получены путем применения Закона о замене к другим правилам в таблице, и мы будем свободно использовать такие правила в будущем.

    Другой вид простого расширения можно применить к ассоциативному закону \ ((p∨q) ∨r ≡ p∨ (q∨r) \). Закон сформулирован для оператора ∨, применяемого к трем членам, но он обобщается на четыре или более терминов. Например

    \ (((p∨q) ∨r) ∨s \)
    \ (≡ (p ∨ q) ∨ (r ∨ s) \) по ассоциативному закону для трех членов
    \ (≡ p ∨ (q ∨ (r ∨ s)) \) по Ассоциативному закону для трех сроков

    Мы, конечно, часто будем писать это выражение как \ (p ∨ q ∨ r ∨ s \) вообще без скобок, зная, что где бы мы ни поместили скобки, значение будет одинаковым.

    Еще одна вещь, о которой вы должны помнить, — это то, что правила могут применяться в любом направлении. Закон распределения, например, позволяет вам распределить \ (p \) в \ (p∨ (q∧¬p) \), чтобы получить \ ((p∨q) ∧ (p∨¬p) \). Но его также можно использовать в обратном порядке, чтобы «исключить» термин, например, когда вы начинаете с \ ((q∨ (p → q)) ∧ (q∨ (q → p)) \) и выносите за скобки \ ( q \), чтобы получить \ (q∨ ((p → q) ∧ (q → p)) \).

    До сих пор в этом разделе я работал с законами булевой алгебры, не говоря особо о том, что они означают или почему они разумны.Конечно, вы можете применять законы в расчетах, не понимая их. Но если вы хотите выяснить, какие вычисления делать, вам нужно некоторое понимание. Большинство законов достаточно ясны, если немного подумать. Например, если мы уже знаем, что q ложно, тогда \ (p ∨ q \) будет истинным, когда \ (p \) истинно, и ложным, когда p ложно. То есть \ (p ∨ \ mathbb {F} \) имеет то же логическое значение, что и \ (p \). Но это именно то, что гласит Закон тождества для \ (∨ \). Некоторые законы нуждаются в дополнительном обсуждении.7) Закон противоречия \ (p ∧ ¬p ≡ \ mathbb {F} \) гласит, что оба \ (p \) и \ (¬p \) не могут быть истинными. Оба эти правила очевидны.

    Законы распределения нельзя назвать очевидными, но несколько примеров могут показать, что они разумны. Рассмотрим утверждение: «Эта карта — туз пик или треф». Ясно, что это эквивалентно «Эта карта — туз пробелов или эта карта — туз треф». Но это всего лишь пример первого закона распределения! Так, пусть a представляет предложение «Эта карта — туз», пусть s представляет «Эта карта — пика», и пусть c представляет «Эта карта — дубинка.Тогда «Эта карта — туз пик или треф» может быть переведено в логику как \ (a ∧ (s ∨ c) \), а «Эта карта — туз пик или эта карта — туз треф» становится \ ((a ∧ s) ∨ (a ∧ c) \). А закон распределения гарантирует, что \ (a∧ (s∨c) ≡ (a∧s) ∨ (a∧c) \). Второй закон распределения говорит нам, например, что «Эта карта — либо джокер, либо бубновая десятка» логически эквивалентна «Эта карта — либо джокер, либо десятка, и это либо джокер, либо ромб. ” То есть \ (j ∨ (t∧d) ≡ (j ∨t) ∧ (j ∨d) \).7) В логике высказываний это легко проверить с помощью небольшой таблицы истинности. Но существует удивительное количество споров о том, действует ли этот закон во всех ситуациях. В реальном мире часто кажется, что между правдой и ложью есть серая зона. Даже в математике есть люди, которые думают, что должно быть третье значение истинности, которое означает что-то вроде «неизвестно» или «не доказано». Но математики, которые думают таким образом, обычно считаются немного странными большинством других математиков.

    Законы ДеМоргана также не должны быть очевидными, поскольку люди часто ошибаются. Но они имеют смысл. Рассматривая \ (¬ (p ∧ q) \), вы должны спросить себя, как может \ («p and q» \) не быть правдой. Это не может быть истинным, если либо \ (p \) ложно, либо \ (q \) ложно (или оба). То есть \ (¬ (p ∧ q) \) эквивалентно \ ((¬p) ∨ (¬q) \). Рассмотрим предложение «Ворон большой и черный». Если птица не большая и черная, то это не ворон. Но что именно означает быть «не (большим и черным)»? Как вы можете определить, верно ли утверждение «не (большой и черный)»? Это будет верно, если он либо не большой, либо не черный.(Оно не обязательно должно быть одновременно — оно может быть большим и белым, оно может быть маленьким и черным.) Точно так же, чтобы \ («p или q» \) не было истинным, как \ (p \), так и \ (q \) должно быть ложным. То есть \ (¬ (p ∨ q) \) эквивалентно \ ((¬p) ∧ (¬q) \). Это второй закон ДеМоргана.

    Вспоминая, что \ (p → q \) эквивалентно \ ((¬p) ∨q \), мы можем применить закон ДеМоргана, чтобы получить формулу для отрицания импликации:

    \ (¬ (p → q) ≡ ¬ ((¬p) ∨ q) \)
    \ (≡ (¬ (¬p)) ∧ (¬q) \)
    \ (≡ p ∧ ¬q \)

    То есть \ (p → q \) ложно именно тогда, когда и \ (p \) истинно, и \ (q \) ложно.Например, отрицание «Если у вас есть туз, вы выиграете»: «У вас есть туз, и вы не выиграете». Подумайте об этом так: если у вас был туз, но вы не выиграли, то утверждение «Если у вас есть туз, вы выиграете», то утверждение не соответствует действительности.

    Упражнения

    1. Создайте таблицы истинности, чтобы продемонстрировать обоснованность каждого закона распределения.
    2. Создайте следующие таблицы истинности:

      a) Создайте таблицы истинности, чтобы продемонстрировать, что \ (¬ (p ∧ q) \) равно , а не , логически
      эквивалентно \ ((¬p) ∧ (¬q) \).
      b) Постройте таблицы истинности, чтобы продемонстрировать, что \ (¬ (p ∨ q) \) не логически эквивалентно \ ((¬p) ∨ (¬q) \).
      c) Создайте таблицы истинности для демонстрации действительности обоих законов ДеМоргана.

    3. Постройте таблицы истинности, чтобы продемонстрировать, что ¬ (p → q) логически не эквивалентно любому из следующего.

      a) \ ((¬p) → (¬q) \)
      b) \ ((¬p) → q \)
      c) \ (p → (¬q) \)
      См. вернуться в этот раздел для формулы, которая логически эквивалентна ¬ (p → q).

    4. Является ли \ (¬ (p ↔ q) \) логически эквивалентным \ ((¬p) ↔ (¬q) \)?
    5. В алгебре чисел существует дистрибутивный закон умножения над сложением: \ (x (y + z) = xy + xz \). Как мог бы выглядеть распределительный закон сложения над умножением? Верно ли это в алгебре чисел?
    6. Законы распределения, приведенные на рис. 1.2, иногда называют левыми законами распределения. Правые законы распределения говорят, что \ ((p∨q) ∧r ≡ (p∧r) ∨ (q∧r) \) и что \ ((p∧q) ∨r ≡ (p∨r) ∧ (q∨ р)\).Покажите, что правильные законы распределения также являются действительными законами булевой алгебры. (Примечание: на практике и левый, и правый законы распределения называются просто законами распределения, и оба могут свободно использоваться в доказательствах.)
    7. Докажите, что \ (p∧ (q∨r∨s) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r) ∨ (p∧s) \) для любых предложений \ (p, q, r, \) и \ ( с \). На словах мы можем сказать, что союз распределяется по дизъюнкции трех членов. (Напомним, что оператор \ (∧ \) называется конъюнкцией, а оператор \ (∨ \) — дизъюнкцией.) Переведите в логику и проверьте тот факт, что конъюнкция распределяется по дизъюнкции четырех членов. Утверждают, что на самом деле союз распределяет по дизъюнкции любое количество терминов.
    8. Есть два дополнительных основных закона логики, включающих два выражения \ (p∧ \ mathbb {F} и \ (p ∨ \ mathbb {T} \). Какие законы отсутствуют? Покажите, что ваши ответы на самом деле , законы.
    9. Для каждой из следующих пар предложений покажите, что два предложения логически эквивалентны, найдя цепочку эквивалентностей от одного к другому.Укажите, какое определение или закон логики оправдывает каждую эквивалентность в цепочке.

      a) \ (p∧ (q∧p), p∧q \)
      b) \ ((¬p) → q, p∨q \)
      c) \ ((p∨q ) ∧¬q, p∧¬q \)
      d) \ (p → (q → r), (p∧q) → r \)
      e) \ ((p → r) ∧ (q → r), (p∨q) → r \)
      f) \ (p → (p∧q), p → q \)

    10. Для каждого из следующих составных предложений найдите более простое предложение, которое логически эквивалентно. Постарайтесь найти максимально простое предложение.

      a) \ ((p∧q) ∨¬q \)
      b) \ (¬ (p∨q) ∧p \)
      c) \ (p → ¬p \)
      d ) \ (¬p∧ (p∨q) \)
      e) \ ((q∧p) → q \)
      f) \ ((p → q) ∧ (¬p → q) \ )

    11. Выразите отрицание каждого из следующих предложений на естественном английском языке:

      a) Это солнечно и холодно.
      б) Торт или пирог.
      c) Если сегодня вторник, это Бельгия.
      d) Если вы сдадите заключительный экзамен, вы пройдете курс.

    12. Примените один из законов логики к каждому из следующих предложений и перепишите его как эквивалентное предложение. Укажите, какой закон вы применяете.

      а) Я буду кофе с пирогом или пирогом.
      б) У него нет ни таланта, ни амбиций.
      c) У вас может быть спам, а может быть спам.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *