Алфавит шестеричной системы счисления
Алфавит системы счисления — это совокупность цифр и букв, с помощью которых записываются числа.
| Основание | Название | Алфавит |
| n=2 | двоичная | 0 1 |
| n=3 | троичная | 0 1 2 |
| n=4 | четверичная | 0 1 2 3 |
| n=5 | пятеричная | 0 1 2 3 4 |
| n=6 | шестеричная | 0 1 2 3 4 5 |
| n=7 | семеричная | 0 1 2 3 4 5 6 |
| n=8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| n=10 | десятичная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
| n=16 | шестнадцатиричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
13.Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа – это запись вида
Где q – целое число (положительное, отрицательное или ноль) m – правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, то есть:
Примеры записи двоичных чисел:
11,11010010 = 0,1111010010 * 2 2
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8459 — | 7349 — или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Запись числа в какой-либо системе исчисления с основанием pозначает сокращенную запись выражения.
где ai– цифра системы счисления;nиm– число целых и дробных разрядов соответственно.
Перевод целых чисел из любой системы счисления в десятичную
Полная запись в виде выражения (1) позволяет перевести число в любой системе счисления в десятичное, например,
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
Для перевода целого десятичного числа Nв систему счисления с основаниемpнеобходимо последовательно разделитьNнаpс остатком. Первое неполное частное опять следует поделить наpс остатком и так далее, пока не будет получено неполное частное меньше, чем основание. Первый остаток будет соответствовать разряду единиц числа с основаниемp, второй остаток – следующему разряду и т.п. Последнее неполное частное будет соответствовать старшему разряду числа с основаниемp.
Например, переведем число 187 в восьмеричную систему.
187 : 8 = 23 (3 в остатке)
23 : 8 = 2 (7 в остатке)
2 : 8 =0 (2 в остатке, так как 2 n
Такие системы счисления легко переводятся в двоичную систему счисления и обратно. Через двоичную систему счисления их можно связать друг с другом.
В табл. 2.14 представлены целые числа от 0 до 7 для десятичной, двоичной и восьмеричной систем.
Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы
Шестнадцатеричная система счисления
Системы счисления – одна из самых главных основ информатики. Практически ни в одной школе и ни в одном университете не пропускают данную тему, но зачастую именно с переводом шестнадцатеричной системы у многих возникают проблемы, хотя это не такая уж сложная задача, и её перевод практически не отличается от других систем счисления.
Давайте рассмотрим эту систему поподробнее.
Для чего нужна шестнадцатеричная система
Итак, шестнадцатеричная система счисления, как следует из названия, имеет в своём основании число 16. Почему так? Дело в том, что единица информации в информатике – это бит. Восемь бит образуют байт. Также информационной среде существует такое понятие, как машинное слово – это минимальная единица данных, представляющая собой шестнадцать бит, то есть два байта. Считается, что машинное слово – это минимальная величина разрядности регистров процессора, при которой можно работать с ЭВМ.
Так вот, как мы знаем, компьютер работает на двоичном коде. Однако, если Вы когда-нибудь переводили числа из двоичной системы в десятичную, то замечали, что в ней бывает довольно много разрядов, особенно при переводе больших чисел, например, перевод числа 5132 в двоичной системе будет записано так:
Как можно увидеть, при переводе в двоичную систему этого числа у нас получилось аж 13 разрядов (с 0 до 12). Довольно муторно, а главное, занимает много места на письме и отнимает много времени для перевода.
Именно для этого придумали восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, для этого придумали и байты. Эти системы помогают сократить затраты на перевод чисел и привести их к более приятному визуальному виду.
Если перевести то же число 5132 в восьмеричную систему счисления, то получится «более сокращённая версия» двоичного кода:
Как мы видим, количество символов сократилось, так как разрядность уменьшилась до 5 (с 0 до 4).
Человеку такой вид записи в любом случае удобнее, чем бесконечные нули и единицы.
Таким образом, шестнадцатеричная система используется довольно широко в современных информационных системах. Например, при помощи неё указываются коды цветовых схем, данная система используется для записи кодов ошибок, а также для программирования на языках низкого уровня типа Ассемблера, шестнадцатеричную систему зачастую используют для предоставления данных и адресов в малоразрядных ЭВМ.
Как перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную
Но прежде чем начать, надо узнать одну очень важную особенность шестнадцатеричной системы.
Так как система имеет своим основанием число 16, то, следовательно, всего в этой системе имеется 16 цифр, но если первые десять цифр (0-9) вполне привычные для нас, то остальные имеют вид не совсем цифровой, но, тем не менее, являются цифрами, а именно значения A, B, C, D, E, F, которые соответствуют нашим привычным числам с 10 до 15. Все цифры шестнадцатеричной системы и их «аналоги» в десятичной записаны в таблице ниже.
Итак, допустим, у нас есть число 40 563 в десятичной системе счисления. Переведём его в шестнадцатеричную.
- Сначала мы просто делим наше исходное число 40 563 на 16 в столбик. В частном у нас получилось 2 535, если умножить это число на 16, то получится 40 560, а в остатке 3. Эту тройку мы выделяем.
- Теперь мы делим 2 535, и тоже на 16, и тоже абсолютно таким же образом. Частное – 158, 16*158 = 2 528, а в остатке 7. Остаток так же, как и в тот раз, выделяем.
- Делим полученные частные до тех пор, пока они не станут меньше 16 , тогда деление заканчивается. Делим 158 на 16, и находим остаток от этого деления.
Остаток от деления – 14, а частное, полученное при делении 158 на 16 равно 9. Так как 9 меньше 16, то процесс вычислений закончен, а 9 также выделяется.
- Процесс преобразования десятичного числа в шестнадцатеричное почти окончен. Для того, чтобы получить его, надо всего лишь выписать выделенные числа справа налево (т.е. в данном случае от девятки к тройке), НО, как мы писали выше, у шестнадцатеричной системы свой особый «алфавит» с 10 по 15. И как раз один из наших «остатков» (число 14) вписывается в этот диапазон, поэтому надо посмотреть в таблице, либо просто самостоятельно посчитать, что в шестнадцатеричной системе 14 будет буквой Е.
Итого весь процесс преобразования приведён на следующем изображении:
Таким образом мы научились переводить числа из десятичной системы в шестнадцатеричную. Теперь давайте попробуем сделать обратное преобразование, но уже с другим числом.
Как перевести из шестнадцатеричной системы в десятичную
Перевести шестнадцатеричное число в привычное нам десятичное также совсем не сложно, более того, мы уже делали это в самом начале статьи, когда сравнивали двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счислений, теперь же разберём этот процесс более подробно.
Давайте сразу приступим к примеру и переведём шестнадцатеричное число 1C3B3 в десятичную систему.
По сути, процесс перевода можно разделить на 2 этапа:
- Мы справа налево отделяем от числа все цифры и умножаем каждую из них на 16, и всё это складываем:
Также обязательно необходимо перевести буквенные обозначения шестнадцатеричной системы в числовые, чтобы можно было посчитать их в десятичном виде, то есть, для данного случая, перевести B в 11 и C в 12.
- После того, как мы сделали этот шаг, нам необходимо пронумеровать разряды чисел. Делается это просто – мы приписываем ко всем числам 16, на которые мы умножали наши исходные цифры, степени, начиная с нулевой:
Теперь нам остаётся только перемножить и сложить всё это:
Таким образом, мы превратили шестнадцатеричное число 1C3B3 в десятичное число 115 635.
Как видите, ничего сложного. Также у нас на сайте имеется статья, описывающая процесс перевода чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Всевозможная информация воспринимается человеком в виде текстов и изображений (картин), звуков, ощущений, запахов и вкуса. Основной поток информации человеку поступает через зрение. Текстовая информация осмысленно воспринимается лишь в том случае, если человек умеет читать и знает язык, на котором написан текст. Для умелого чтения необходимо знать буквенный и числовой алфавиты В русском языке используется кириллица (32 буквы) и арабские цифры от 0 до 9. В английском языке используются буквы латинского алфавита (26 букв), в китайском языке вместо букв используются иероглифы и т.д. Кроме национальных языков для общения людей разработаны специальные (профессиональные) языки (например, математический язык, нотная грамота, язык электросхем, алгоритмический язык, азбука Морзе и т.д.). В вычислительной технике используется свой язык, состоящий всего из двух элементов (сигналов): наличие сигнала кодируется единицей (1), а его отсутствие кодируется нулём (0). Математический алфавит, состоящий из двух цифр (0 и 1), называется двоичным и вместе с правилами пользования им составляет двоичную систему счисления. Основанием двоичной системы счисления являются две цифры: 0 и 1. Используются и другие системы счисления, например, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и т.д. Основанием восьмеричной системы счисления являются 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7. Десятичная система счисления нам хорошо известна, ею мы пользуемся постоянно. Шестнадцатеричная система счисления состоит из десяти арабских цифр (от 0 до 9) и первых 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F, которые обозначают числа 10, 11, 12, 13, 14 и 15 соответственно. Система счисления — это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определённые количественные значения.
Системы счисления бывают непозиционными и позиционными. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Например, в римской непозиционной системе счисления для каждого числа используется некоторый набор базовых символов (I, V, X, L, C, D, M), соответствующих числам 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Остальные значения чисел получаются из базовых путём сложения (например, 700=DCC) или вычитания (например, 800=CCM). В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от её места (позиции) в числе. Количество цифр в числе определяет его разрядность, а вес данного разряда зависит от его позиции в числе. Вес каждого следующего разряда в P раз больше предыдущего, где P-основание позиционной системы.На практике любое многоразрядное десятичное число имеет краткую запись без указания веса разряда. Развёрнутая запись чисел в любой позиционной системе счисления выглядит так: В вычислительной технике широко применяют двоичную систему счисления. К её достоинствам относится:
|
|||
Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления
☰
Систему счисления можно определить как способ записи чисел как количественной характеристики (отвечает на вопрос «сколько») чего-либо. Синонимом понятию «система счисления» является слово «нумерация».
В любой системе счисления числа записываются с помощью специальных, используемых в данной системе знаков-символов, которые все вместе формируют алфавит этой системы счисления. Пользуясь десятичной системой счисления мы привыкли называть символы ее алфавита цифрами.
Одно и тоже число (значение, количество) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.
Широко известны две системы счисления – арабская и римская.
Алфавит арабской системы счисления:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Арабская система счисления – это позиционная система счисления.
Алфавит римской системы счисления:
I, V, X, L, C, D, M
Римская система счисления относится к непозиционным.
В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, в непозиционных такой однозначной зависимости нет. Например:
11– здесь первая единица обозначает десять количественных единиц, вторая – только одну единицу.II– здесь обе единицы обозначают одну единицу.345,259,521– здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5 единиц, во втором – 50, в третьем – 500.XXV,XVI,VII– здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.
Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, так как они легко описываются с помощью универсальных алгоритмов. Например, умножение в столбик или поразрядное сравнение двух чисел.
В связи с этим позиционные системы счисления нашли более широкое распространение. Помимо всем известной десятичной, в которой используются десять цифр от 0 до 9, в вычислительных технике и технологиях нашли применение такие системы как двоичная (алфавит состоит из цифр 0 и 1), восьмеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Следует отметить, важную роль нуля. Открытие этой цифры в истории человечества сыграло большое значение в формировании позиционных систем счисления.
Ключевые понятия позиционных систем счисления
Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр. Так основанием десятичной системы счисления является число десять, так как ее алфавит состоит из десяти знаков. Основание двоичной системы счисления является число два.
Основание системы счисления равно размерности алфавита системы счисления. Размерность алфавита – это количество цифр, составляющих алфавит.
Разряд – это позиция цифры в числе. От того, в каком месте числа находится цифра, зависит обозначаемое ею количество, то есть то, что она значит.
Разрядность числа – количество цифр, из которых состоит число. Например, 264 – трехразрядное число в десятичной системе счисления, 00010101 – восьмиразрядное число в двоичной системе счисления. Разряды нумеруются справа налево. Например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка – третий.
В позиционных системах счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий при движении справа налево разряд больше другого на одну степень основания системы счисления.
Другими словами, у каждого разряда есть свой вес, представляющий собой основание системы счисления, возведенное в степень, соответствующую данному разряду. Показатель степени соотносится с разрядом как разряд-1. Например, в примере десятичного числа ниже цифра 8 находится в четвертом разряде числа. Значит, обозначаемое ею количество вычисляется вычисляется как произведение числа 8 на основание системы счисления (здесь 10) в степени 3.
8325 = 8 * 1000 + 3 * 100 + 2 * 10 + 5
8325 = 8 * 103 + 3 * 102 + 2 * 101 + 5 * 100
27-ричная симметричная система счисления / Хабр
Каждый специалист по компьютерам знает, насколько сложно работать с длинными последовательностями нулей и единиц. На помощь ему приходят восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления, обеспечивающие более компактное представление информации.
С троичной системой счисления ситуация хуже: есть несколько способов представления троичных чисел и есть несколько способов компактной записи троичных чисел, но они имеют недостатки, усложняющие работу с ними.
Система кодирования TREX разработана для компактного отображения симметричной троичной системы счисления при ее использовании в компьютерных системах
Замечания
В данной статье речь идет только о симметричной троичной системе счисления, использующей значения {-1, 0, +1}.
Недостатки предлагаемых на сегодняшний момент 9-ти и 27-ричных систем кодирования троичных чисел будут упомянуты ниже в сравнении с системой TREX.
Проблематика
При разработке ПО для работы с троичными компьютерами встает вопрос вывода информации на различные устройства отображения информации. При этом информация должна выводиться упорядоченно, чтобы при печати, например, дампов одинаковые разряды чисел располагались на одинаковых позиция строки.
Работа с троичной логикой очень непривычна даже для опытных программистов, поэтому для повышения удобства работы, минимизации человеческих ошибок и сокращения времени освоения троичного компьютера (который когда-нибудь уже будет создан) требуется система кодирования, обладающая простотой, наглядностью и односимвольностью ( отображением одного разряда одним символом, желательно из стандартного набора ASCII)
Представление троичных чисел
Для записи симметричной троичной системы счисления удобной формы отображения на экране компьютера можно добиться, используя алфавит {-, 0, +}.
Пример: +-0-0+++- -++0+00-- 000+-+--0 +-+-+-++0 -0+0-+00+ 0-0+++--0
Компактное представление троичных чисел
Поскольку с длинными последовательностями знаков «-», «0» и «+» работать неудобно (как и с длинными последовательностями «0» и «1» в двоичной системе счисления), то должна быть возможность компактного отображения информации (по аналогии с HEX-кодом).
По аналогии с названием HEX, для представляемой системы счисления предлагается использовать название TREX.
Описание системы кодирования
Система TREX использует следующий алфавит:
{ m..a, 0, A..M}
Используется следующая схема кодирования:Десятичное Троичное TREX
значение значение
-13 --- m
-12 --0 l
-11 --+ k
-10 -0- j
-9 -00 i
-8 -0+ h
-7 -+- g
-6 -+0 f
-5 -++ e
-4 0-- d
-3 0-0 c
-2 0-+ b
-1 00- a
0 000 0
+1 00+ A
+2 0+- B
+3 0+0 C
+4 0++ D
+5 +-- E
+6 +-0 F
+7 +-+ G
+8 +0- H
+9 +00 I
+10 +0+ J
+11 ++- K
+12 ++0 L
+13 +++ M
Троичные единицы данных и их запись в TREX
Трит
Единичный троичный разряд, который в симметричной троичной системе счисления может принимать значения {-1, 0, +1}. Для удобного отображения на устройствах вывода информации целесообразно использовать символы {-, 0, +} соответственно.
Пример:
Троичная система счисления Десятичное значение + +1
0 0
- -1
Трибл
Трибл (3 троичных разряда или 1/3 часть трайта) кодируется одним символом TREX
Пример: M = +++
Трайт
При использовании системы TREX предлагается трайтом называть девять троичных разрядов в отличие от применяемого в вычислительных машинах «Сетунь» 6-ти разрядного трайта. Девятиразрядный трайт достаточно велик, чтобы закодировать алфавит, включающий цифры, математические и служебные знаки, заглавные и строчные буквы для многих языков. Диапазон значений трайта от -9841 до +9841. В трайте целое число 27-ричных цифр (триблов). Трайт кодируется тремя символами TREX
Пример: A0m = 00+ 000 ---
Преимущества перед имеющимися 9-ти и 27-ричными системами кодирования
Предлагаемая система кодирования выгодно отличается от предлагавшихся до этого 9-ти и 27-ричных систем следующими особенностями:
односимвольностью — каждое значение отображается одним символом, не требуется вводить двухсимвольные обозначения.
Существующие системы кодирования:
существует 9-ричная система, использующая алфавит {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}естественностью – для записи не применяются специальные символы.
Существующие системы кодирования:
существует вариант 9-тиричной системы счисления, использующий специальные символы с верхней чертой (не знаю, как нарисовать символы с верхним подчеркиванием, поэтому вставил картинку):Свойства односимвольности и естественности очень удобны при компактном отображении на экране троичных дампов без использования специальных шрифтов.
Пример:
двухсимвольная система
запись TREX
(столбцы «ползут») (столбцы ровные)
-4 1 0 -2 -3 A a 0 B B
0 0 0 1 -2 M M m d d
1 1 -3 0 0 C c a d dвизуальной симметричностью — для противоположных значений используются одни и те же символы с разным регистром, в отличие от систем, где противоположные значения обозначаются разными символами.
Существующие системы кодирования:
существуют 9-ричная система, использующая алфавит {W,X,Y,Z,0,1,2,3,4}, и 27-ричная система, использующая алфавит {0,A..Z}).Свойство визуальной симметричности позволяет выполнять очевидные операции с троичными числами «в уме»
Пример:
A = -a
MMM + mmm = 0наглядностью — возможностью в уме выполнять следующие простейшие операции с числами:
определение знака числа — по регистру самой старшей цифры
.Пример:
Akm > 0
mmD < 0инверсия числа — производится сменой регистра всех символов.
Пример:
-(AdFGhb) = aDfgHBвычисление модуля числа – модуль числа равен самому числу, если старшая цифра положительная или инвертированному числу, если она отрицательная
Пример:
mod (Mf0) = Mf0
mod (a0H) = A0hупрощение при сложении — при сложении длинных чисел одинаковые символы различных регистров, находящиеся в одинаковых разрядах можно сократить
Пример:
Mfa 00a
+ => + => 00G
mFH 00Hсравнение по первой отличающейся цифре — при сравнении двух чисел, как положительных, так и отрицательных, больше то число, у которого больше первая отличающаяся цифра, начиная со старшей значащей.
Пример:
Mfa > Mma
afa > bfa
Выводы
Предлагаемая система кодирования позволит:
упорядочить отображение троичной информации на экране компьютера (выровненные дампы)
уменьшить число выводимых знаков по сравнению с поразрядным выводом троичных данных
облегчить работу с троичными числами широкому кругу специалистов
уменьшить количество ошибок при разработке программного обеспечения для троичных компьютеров или их эмуляторов.
Пример скриншота с TREX
Системы счисления. 8-й класс
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Триединая дидактическая цель урока:
Образовательный аспект
- Восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения.
- Закрепление понятий «число», «цифра».
- понятия: «система счисления», «алфавит» системы счисления.
- Ознакомить учащихся с историей развития систем счисления и дать их классификацию.
- Закрепить умения:
- представление числа в различных системах счисления, запись числа в свернутой и развернутой формах;
- научиться переводить числа из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления.
Развивающий аспект
- Развитие познавательного интереса у учащихся, умения обобщать, анализировать, сравнивать.
- Развитие памяти, речи, логического мышления.
- Выполнение заданий творческого характера, требующих системного, исследовательского подхода к решению проблемного вопроса.
Воспитательный аспект
- Воспитание научного мировоззрения.
- Воспитание умения четко организовать самостоятельную и групповую работу.
Методы: словесные, наглядные, практические.
ФОПД: фронтальные, индивидуальные.
Материально-техническая база: мультимедийный проектор, экран, презентация «Системы счисления» (Приложение 1).
Межпредметная связь: математика, история, МХК.
Описание презентации (Приложение 1):
- Слайд 1. Название темы урока.
- Слайд 2. Цели урока.
- Слайд 3. Содержание (состоит из гиперссылок на разные слайды презентации по подтемам; может использоваться при повторении пройденного материала).
- Слайд 4. Основные понятия по теме.
- Слайд 5. Схема видов систем счисления (содержит гиперссылки перехода на слайды, соответствующие позиционным и непозиционным системам).
- Слайд 6. Непозиционные системы счисления (гиперссылки на соответствующие слайды)
- Слайды 7, 8, 9, 10,11. Непозиционные системы счисления (описание).
- Слайды 12,13 Позиционные системы счисления (основные понятия, алфавиты некоторых систем счисления).
- Слайд 14. Примеры для решения (вставить пропущенные числа).
- Слайд 15. Вопросы для обсуждения.
- Слайды 16, 17, 18. Десятичная система счисления (алфавит, основание; свернутая, развернутая форма числа).
- Слайд 19. Вопрос для обсуждения.
- Слайды 20, 21. Двоичная система счисления (алфавит, основание; свернутая, развернутая форма числа).
- Слайды 22, 23. Восьмеричная система счисления (алфавит, основание; свернутая, развернутая форма числа).
- Слайды 24, 25. Шестнадцатеричная система счисления (алфавит, основание; свернутая, развернутая форма числа).
- Слайд 26. Алгоритм перевода чисел из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления
- Слайд 27. Задания для самостоятельного выполнения (содержит гиперссылки)
- Слайды с 28 по 33. Задачи и их решения.
- Слайд 34. Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Организационный этап
Объявление темы и целей урока (Приложение 1)
На экране тема «Системы счисления» (слайд 1). Учитель приветствует учащихся и объявляет тему урока с просьбой записать в тетрадь. Далее объявление целей урока (на экране слайд 2): познакомиться с понятием системы счисления, видами систем счисления, научиться записывать числа в различных системах счисления, переводить числа в десятичную систему счисления.
II. Актуализация опорных знаний
На экране слайд 3.
Учитель: Известно, что для записи
информации о количестве объектов используются
числа. Числа записываются с использование особых
знаковых систем, которые называют системами
счисления.
В них указаны правила записи чисел и
арифметических действий с ними.
Числа записываются с использованием
особых знаковых систем.
Например, в десятичной системе счисления числа
записываются с помощью 10 всем хорошо известных
цифр, назовите их.
(Ответ: «0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9»)
III. Изучение нового материала с первичным промежуточным контролем ЗУН учащихся
На экране слайд 4.
Учитель: Система счисления – способ
записи чисел и правила действии над этими
цифрами. Под числом мы будем понимать величину, а
не его символьную запись.
Алфавит систем счисления – совокупность
различных символов для записи числа.
Учащиеся записывают определения основных понятий.
На экране слайд 5.
Учитель: Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. Рассмотрите схему, представленную на слайде.
Позиционные – количественное
значение каждой цифры числа зависит от того, в
каком месте (позиции или разряде) записана та или
иная цифра.
Непозиционные – количественное
значение цифры числа не зависит от того, в
каком месте (позиции или разряде) записана та или
иная цифра.
Учащиеся зарисовывают представленную на слайде схему.
Учитель: Самой распространенной из непозиционных является римская. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается три раза и, в каждом случае она обозначает одну и ту же величину – число 10. Три раза по десять в сумме дают 30.
На экране слайд 6 (переход осуществляется по гиперссылкам).
На экране показываются 5 слайдов,
рассказывающие о видах непозиционных системах
счисления. (слайды 7, 8, 9, 10, 11).
При просмотре слайда 10 о римской системе
счисления учащимся предлагается назвать
величину чисел римской системы счисления. Ответ
появляется по щелчку мыши.
Возврат к слайду 5 (содержание урока). На экране слайд 5.
Учитель: Изобретение позиционной системы записи оспаривается Вавилоном и Индией. Вавилонская система была шестидесятеричной. Однако в этой системе не было нуля, что вызывало определенные трудности. Индийские символы для десятичной позиционной системы содержали символ 0. Получив название арабской, эта система счисления в XII веке распространилась по всей Европе. В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления.
Вопрос: Где мы употребляем дюжину (число 12)?
(Ответ: кол-во месяцев в году, в сутках 2 дюжины часов и т.д.).
По гиперссылке переход на слайд 12. На экране слайд 12 (позиционные системы счисления).
Учитель: В позиционной системе счисления значение определяется ее положением в числе. Учащиеся записывают определение алфавита и основания системы счисления.
На экране слайд 13.
Учитель: Позиция цифры в числе называется разрядом. В настоящее время распространены десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. На слайде показаны примеры алфавитов различных систем счисления.
На экране слайд 14.
Учитель: Самостоятельно выполните задание, которое вы видите на слайде.
Учащиеся заполняют пропущенные числа в различных числовых рядах. Ответы появляются последовательно по щелчку мыши.
На экране слайд 15.
Далее учащимся предлагается обсудить два вопроса:
Вопрос: Где сегодня используется римская система счисления для записи чисел?
(Ответ: для записи дат, для нумерации глав учебника, циферблат часов и т.д.)
Вопрос: Чем отличается принцип записи многозначных чисел в римской и арабской системах счисления?
(Ответ: в непозиционной системе значение цифры не зависит от положения в числе; цифры складываются).
(План изложения теории о различных системах счисления одинаков, во всех последующих слайдах, т.к. это облегчает запоминание темы. Вначале рассматривается десятичная система счисления. По аналогии с ней рассматриваются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления).
1. Учащиеся записывают название системы
счисления.
2. Записывают алфавит и основание.
3. Записывают свернутую и развернутую формы числа
в данной системе счисления.
4. Вычисляют по развернутой форме сумму, тем самым
переводя число в десятичную систему).
На экране слайд 16.
Учитель: Известная нам с детства десятичная система счисления является позиционной. Учащиеся записывают алфавит и основание СС.
На экране слайд 17.
Учитель: Рассмотрим число 55510. (Для обозначения системы счисления будем писать индекс). Число записано в свернутой форме.
На экране слайд 18.
Учитель: Запишем число в развернутой форме.
Учащиеся записывают число в развернутой форме. При показе этого слайда учащиеся вспоминают нулевую и отрицательную степень числа. Далее учитель предлагает вычислить полученную сумму, указывая на то, что при этом число переводится в десятичную систему счисления.
На экране слайд 19.
Учитель: Посмотрите на экран и ответьте на вопросы.
Вопрос: В какой системе счисления удобнее считать?
(Ответ: в десятичной).
Вопрос: Почему арабская система счисления называется десятичной?
(Ответ: для записи чисел используется 10 цифр).
На экране слайд 20.
Учитель: Двоичная система счисления является позиционной.
Учащиеся записывают алфавит и основание СС.
На экране слайд 21.
Учитель: Запишите свернутую и развернутую формы двоичного числа.
Учащиеся записывают числа в двоичной системе счисления.
Учитель: Вычислив полученную сумму, получим число в десятичной системе счисления.
Предлагается учащимся подсчитать ответ. Ответ появляется после щелчка мыши.
На слайдах 22,23 вводится понятие восьмеричной системы счисления по вышеизложенному плану.
На слайдах 24,25 вводится понятие шестнадцатеричной системы счисления по вышеизложенному плану.
На экране слайд 26.
Учитель: Итак, число может быть
представлено в разных системах счисления с
помощью цифр своего алфавита. Может записываться
в свернутой и развернутой формах.
На слайде показан алгоритм перевода числа из
произвольной системы счисления в десятичную
систему счисления.
Учащиеся переводят два числа, записанные в троичной и шестеричной системах, в десятичную систему счисления.
IV. Закрепление
На экране слайд 27. Задания для самостоятельной работы.
Учитель: Сейчас мы выполним следующие задания.
Практическая самостоятельная работа в соответствии с заданным алгоритмом решения. Решение каждого задания проверяется по соответствующему слайду. Проверка ответов по щелчку мыши.
V. Домашнее задание
На экране слайд 28.
Учитель: Запишите, пожалуйста, домашнее задание.
VI. Подведение итогов, выставление оценок (2 мин.)
На экране слайд 34.
Учитель: На этом урок заканчивается.
Итак, мы сегодня познакомились с представлением
числовой информации с помощью различных систем
счисления. Узнали, что каждая система
счисления имеет основание и алфавит. Каждое
число можно записать в развернутой и свернутой
формах. Рассмотрели свернутую и развернутую
запись числа в десятичной, двоичной,
восьмеричной и шестнадцатеричной системах.
Записали алфавиты этих систем счисления. Мы
узнали, что из любой системы счисления число
можно перевести в десятичную систему счисления.
Для этого достаточно вспомнить правило перевода
в десятичную систему счисления.
Объявление результатов за работу на уроке.
сайт школы №127 — Системы счисления_1
Основные достоинства любой позиционной системы счисления:- Возможность записи произвольного числа при помощи ограниченного количества символов;
- Простота выполнений арифметических операций.
Основание (базис) позиционной системы счисления — это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.
Развернутая запись числа a=±(an-1Pn-1+an-2Pn-2+…+a0P0+a-1P-1+a-2P-2+…+a-mP-m)
Здесь:
a — само число;
P — основание системы счисления;
ai — цифры данной системы счисления;
n — число разрядов целой части числа;
m — число разрядов дробной части числа.
Позиционных систем счисления очень много, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. На уроках информатики мы подробно изучим 10-ю, 2-ю, 8-ю, 16-ю системы счисления.
10-я система счисления
Основание: 10
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Пример:
а10 = 2012 — свернутая форма записи
а10 = 2·103+2·102+2·101+2·100 — развернутая форма записи
2-я система счисления
Основание: 2
Цифры: 0, 1
Пример:
а2 = 1011 — свернутая форма записи
а2 = 1·23+0·22+1·21+1·20 — развернутая форма записи
8-я система счисления
Основание: 8
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Пример:
а8 = 3752 — свернутая форма записи
а8 = 3·83+7·82+5·81+2·80 — развернутая форма записи
16-я система счисления
Основание: 16
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Пример:
а16 = 2A9E — свернутая форма записи
а16 = 2·163+A·162+9·161+E·160 — развернутая форма записи
НОУ ИНТУИТ | Лекция | Системы счисления и действия в них
Аннотация: Рассматриваются основные понятия числовых систем, правила их построения, выполнение действия в них.
Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе с основанием р обозначается как (х)р или хр.
Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.
Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом:
(x)10 = xnpn + xn–1pn–1 + … + x1p1 + x0p0.
Наиболее используемые в информатике системы счисления, кроме, естественно, десятичной, – это: 1) двоичная, над алфавитом Х = {0,1} ; 2) восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ; 3) шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют, соответственно, десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Пример. 11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 4 + 1 = 1310,
1578 = 1 x 82 + 5 x 81 + 7 x 80 = 64 + 40 + 7 = 11110,
A6F16 = 10 x 256 + 6 x 16 + 15 x 1 = 267110.
В большинстве систем счисления вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова. Такая система счисления называется позиционной ; в противном случае система называется непозиционной.
Пример. Непозиционная система – древняя римская система записи чисел с алфавитом вида Х={I (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500), М (1000)}, где в скобках указаны веса символов (не зависящие от позиции символа). Примеры римских чисел (в скобках – обычные десятичные эквиваленты): III (3), IV (4), V (5), VI (6), IX (9), XI (11), DCL (650). Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация – с убавлением (например, IV и VI ). Поразрядное же выполнение арифметических операций не имеет места (например, XIV + IV = XVIII ).
Для изображения десятичных дробей используется подобная формула разложения по степеням основания.
Пример. 110,0012 = 1×22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 6,12510 ;
A,B16 = A x 160 + B x 16-1 = 10 x 1 + 11 x 0,0625 = 10,687510.
Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:
- перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]10, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р ; изображение [х]p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;
- перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}10, для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}p ; изображение {х}p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;
- результат будет иметь вид (х)р = [х]p, {х}p.
Пример. Найти: 12,810 = ?2. Решение:
- Переводим целую часть: 1210 =11002;
- переводим дробную часть: 0,8 x 2 = 1,6; 0,6 x 2 = 1,2; 0,2 x 2 = 0,4; 0,4 x 2 = 0,8; 0,810 = 0,1100110…2 ;
- результат перевода: 12,810 = 1100,1100110011…2.
Пример. Найдем 29,2510 = ?8. Решение имеет вид 1) 2910 = 358 ; 2) 0,2510 = 0,28 ; 3) 29,2510 = 35,28.
Пример. Найдем 79,2610 = ?16. Решение: 1) 7910 = 4F16 ; 2) 0,2610 = 0,4016 ; 3) 79,2610 = 4F,416. При переводе дробной части мы ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, ибо перевод точно сделать невозможно.
Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот, из 8-ной в 16-ную и обратно, используется таблица следующего вида:
| 10 | 2 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 000 | 0000 |
| 1 | 1 | 001 | 0001 |
| 2 | — | 010 | 0010 |
| 3 | — | 011 | 0011 |
| 4 | — | 100 | 0100 |
| 5 | — | 101 | 0101 |
| 6 | — | 110 | 0110 |
| 7 | — | 111 | 0111 |
| 8 | — | — | 1000 |
| 9 | — | — | 1001 |
| 10 | — | — | 1010 |
| 11 | — | — | 1011 |
| 12 | — | — | 1100 |
| 13 | — | — | 1101 |
| 14 | — | — | 1110 |
| 15 | — | — | 1111 |
При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их.
Пример. Рассмотрим переводы в смешанных системах.
Из 2-ной системы в 8-ную (двоично-восьмеричное изображение):
из 8-ной системы в 2–ную (восьмерично-двоичное изображение):
из 2-ной системы в 16-ную (двоично-шестнадцатеричное изображение):
из 16-ной системы в 2-ную (шестнадцатерично-двоичное изображение):
Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 210 = 102 (единица идет в старший разряд).
Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид
0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).
Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид
0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.
Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид
0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1.
Введение в базовые 26 алфавитных номеров
=== Боб Сазерленд ===
Если вы используете все буквы алфавита в качестве цифр, вы можете создать алфавитную систему счисления.
Многие компьютерные программы для работы с электронными таблицами используют алфавитную систему счисления для обозначения столбцов в верхней части экрана, в то время как строки, идущие вниз по краю экрана, помечаются нашими обычными десятичными числами с основанием 10.
В алфавите 26 букв, которые при использовании в качестве системы счисления становятся 26 цифрами.
Алфавитная система счисления имеет основание (основание) 26. Следовательно, значение разряда каждой строки является степенью (показателем) 26.
В алфавитной системе счисления нет нуля.
Ваш учитель английского в средней школе научит вас, что синоним — это два слова, которые означают одно и то же. В классах математики и информатики средней школы степень и экспонента являются синонимами. Base и radix — синонимы, когда речь идет о системах счисления.
Вот значения разрядов столбцов, используемых в алфавитной системе счисления:
| Двадцать шесть в степени пяти | Двадцать шесть в степени четырех | Двадцать шесть кубов | Двадцать шесть в квадрате | Двадцать шестерки | Единицы |
|---|---|---|---|---|---|
| 265 | 264 | 263 | 262 | 261 | 260 |
| 11881376 | 456976 | 17576 | 676 | 26 | 1 |
Обратите внимание, как быстро разряды столбцов увеличиваются справа налево.Это означает, что мы могли бы представлять очень большие числа всего несколькими цифрами алфавита, используя эту систему счисления в алфавитном порядке с основанием 26.
Как учитель, я часто преподавал алфавитную систему счисления одновременно с двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системами счисления. Некоторые студенты сочли полезным прокрутить вниз длинный список алфавитных номеров (основание 26), чтобы определить шаблоны для себя.
Римские числа ↔ Счетчик латинского алфавита
Мы можем нумеровать списки, используя различные стили счетчиков, например, используя индусско-арабские цифры и десятичную систему счисления 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,… или используя латинский алфавит A , B , C ,…, Z , AA , AB ,… или с использованием римской системы счисления I , II , III , IV , V , VI ,….
Когда мы на мгновение игнорируем значения этих символов и смотрим только на используемые символы, мы видим, что римские цифры являются подмножеством латинского алфавита. Кроме того, счетчик алфавита использует все возможные комбинации букв. Следовательно, для каждого римского числа есть число в счетчике латинского алфавита, которое выглядит одинаково.
Например, римская цифра для единицы, I , также появляется в счетчике латинского алфавита, где она представляет собой число девять, поскольку это девятая буква в алфавите. V — это римская пятерка и одновременно двадцать вторая буква алфавита. DC — это римское шестьсот и в то же время сто семь в латинском счётчике.
Я составил таблицу, в которой перечислены все римские числа от единицы ( I ) до 3999 ( MMMCMXCIX ) и соответствующие значения, которые имеют те же представления при интерпретации латинских буквенных чисел:
Как это сделать ?
Не существует общепринятого стандарта написания римских чисел.Например, аналоговые часы часто отображают четыре как IIII вместо IV , как я делал выше. Так что давайте сначала договоримся о соглашении. Я выбрал тот, который используется для стилей счетчиков в каскадных таблицах стилей (CSS). Это полностью соответствует тому, что я узнал в школе о римских числах, хотя объяснение немного отличается.
Step 1
Спецификация CSS определяет тринадцать римских символов, каждый из которых состоит из одной или двух букв, и соответствующие им значения, отображаемые здесь в виде десятичных чисел.Если вы хотите написать натуральное число римскими цифрами, вы начинаете с левой стороны таблицы, с первого символа M .
| символ | M | CM | D | CD | C | XC | L | XL | X | IX | V | IV | I |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| значение | 1000 | 900 | 500 | 400 | 100 | 90 | 50 | 40 | 10 | 9 | 5 | 4 | 1 |
Если ваше число по крайней мере равно значению текущего символа, вы записываете текущий символ и уменьшаете свое число на значение символа, в противном случае вы переходите вправо к следующему символу.Повторяйте это, пока ваше число не станет равным нулю.
В процессе вы напишете свое начальное число римскими цифрами. Легко, не правда ли? Это первый шаг. Второй шаг — интерпретировать эту строку символов как представление латинского алфавита и вычислить ее значение.
Step 2
Алфавитная система счисления — это позиционная система, как и наша десятичная система, но без нуля. Буквы от A до Z являются его цифрами и соответствуют значениям от 1 до 26.При переосмыслении римских чисел вам понадобится лишь небольшое их количество:
| цифра | C | D | I | L | M | V | X |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| значение | 3 | 4 | 9 | 12 | 13 | 22 | 24 |
Вы вычисляете значение буквенного числа, умножая значение каждой цифры на позиционное значение своего места в числе и сложение этих товаров.Позиционное значение крайнего правого места 26 0 = 1, значение второго справа 26 1 = 26, значение третьего справа 26 2 = 676. В общем, значение n-го справа — 26 n − 1 .
Пример: 54
Запутались? Пример поможет. Давайте найдем римское число, представляющее пятьдесят четыре.
Посмотрите в таблице 2 и найдите крайний левый символ, значение которого равно или меньше нашего числа пятьдесят четыре.Это будет L . Запишите L и сократите наше число на значение L , пятьдесят. Остается четверо. Теперь найдите крайний левый символ, значение которого равно или меньше нашего числа четыре. То есть IV . Запишите IV и сократите наше число до значения IV , что равно четырем. Это оставляет нам ноль, поэтому мы закончили с первым шагом. Вы записали LIV , и именно так римляне написали бы пятьдесят четыре:
Теперь представьте себе LIV как латинское буквенное представление числа.Чтобы вычислить его значение, начните с его правой стороны с цифры V . Цифровое значение V равно 22 в соответствии с таблицей 3. Умножьте это на позиционное значение крайнего правого места, 26 0 .
Теперь переместитесь на одну позицию влево до I , увеличив значение позиции до 26 1 . Цифровое значение I равно 9. Умножьте эти значения:
Позиционное значение увеличивается до 26 2 , когда вы перемещаете другое место влево, где мы находим L , у которого есть цифровое значение 12.Соответствующий продукт:
. Наконец, прибавьте 22 + 234 + 8112, и это будет значение LIV , если интерпретировать его как латинское буквенное число:
Language Log: Alphabetic Numerals
Буквенные цифры
Указывая на то, что английские буквы и цифры похожи друг на друга, несчастная степень, Джефф упоминает что некоторые системы еще хуже. Самыми худшими в этом отношении являются письменные системы, которые вообще не различают буквы от цифр.
Боюсь, эта неудачная идея начинается с нас, евреев. В досовременном иврите буквы алфавита были присвоены числовые значения в соответствии с их положением в алфавите. Таким образом, алеф א, первая буква алфавита, соответствует 1 ставке ב, вторая буква представляет 2, гимел ג, третья буква представляет 3 и так далее. Система не привязана к месту: 10 соответствует йод י, 20 — каф . כ и так далее.312 — это син-йод ставка יב = 300 + 10 + 2. Эта система все еще используется для некоторых целей в современном иврите, но по большей части был заменен «арабскими» цифрами (которые на самом деле пришли из Индии), используемыми в английском языке.
Древние греки использовали аналогичную систему, где альфа альфа представляла 1, beta β 2 и так далее. 312 на древнегреческом было написано τιβ. С греческого языка эта система распространилась на две системы письма, используемые славянами: Кириллица (312 = ТБІ) и глаголица (312 = ⰕⰁⰉ), и на армянский (312 = ՅԺԲ).В кириллице, когда буквы использовались как цифры они обычно писались зигзагообразной линией поверх известных как titlo . Однако это не было надежным показателем того, что рассматриваемые буквы представленный числом, как , заголовок также использовался для обозначения сокращений.
Несколько иной подход был предложен в начале шестого века н.э. Индийский математик Арьябхата (आर्यभट), который присвоил числовое значение каждому слогу резюме образовано декартовым произведением санскритских согласных и гласные (включая слоговые l и r) в обычном порядке.Таким образом, первая гласная буква / a / अ представляет 1, вторая / i / इ 100, третья / u / उ 10 000, и так далее через изолированные гласные. Первая согласная буква / к / क представляет собой коэффициент 1, второй / х / 2, третий / г / 3. Таким образом, слог / ку / कु представляет 3 * 10,000 = 30,000, а слог / ghi / घि представляет 4 * 100 = 400. Это никогда не было обычным способом написания чисел в Индии.
Буквенные системы счисления проблематичны не только потому, что буквы можно спутать с числа и потому что, не будучи привязанным к месту, он может представлять только ограниченный диапазон чисел, но потому что он не подходит для арифметики.В результате эти системы все они были заменены для большинства целей «арабскими» цифрами, хотя иногда сохраняется для ограниченных целей, например для печати номеров страниц в книгах.
Римские цифры (312 = cccxii) в той форме, в которой они знакомы большинству из нас представляют собой системы одного типа, но на самом деле имеют разное происхождение. Римляне свои числительные, как и многие другие вещи, позаимствовали у этрусков, чьи числительные в целом не совпадали с их буквами.В этрусском 1 было I, а 10 было X, как на латыни, но 5 было Λ, 50 было, 100 было 8 и 1000 было. Только постепенно римляне превратили эту систему в версию, которую мы время от времени используем сегодня? в котором все цифры такие же, как буквы.
Отправленный Биллом Позером, 1 января 2008 г., 17:03Нумерологический алфавит — Нумерологическое число для алфавитов |
Нумерология — это язык чисел и их символического значения. Каждое число имеет свою собственную вибрацию и свое собственное вибрационное влияние.Основываясь на убеждении, что человек входит в эту жизнь в определенный день с определенным именем, нумерология использует числа, чтобы описать, кем является человек и что представляет собой карта для его или ее жизни. Да, имена и числа похожи на сиамских близнецов. В нумерологии каждая буква алфавита от A до Z имеет определенное вибрирующее число. Буква алфавита идентифицируется и связана с определенным числом. Это окончательно и окончательно. Все, что вам нужно сделать, это вычислить собственное числовое значение или общую сумму из алфавитов и чисел, приведенных ниже.Номера с соответствующими алфавитами:| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||
| A | B | C | D | E | U | O | P | ||||||
| I | K | G | M | H | V | Z | F | ||||||
| Q | R | L T | N | W | | | |||||||
| J | | S | | X | | | 3 | | | | | |
Легко заметить, что все буквы алфавита A, I, Q, J, Y имеют числовое значение 1, буквы B, K, R, числовое значение 2, буквы S, C , G, L числовое значение 3 и так далее вплоть до числового значения 8.Нет числового значения больше 8.
С помощью нумерологии вы можете:
Обрести более глубокое самопознание и общее представление о своей судьбе
Лучше понять других — как хороших, так и плохих
Раскрыть скрытые аспекты своей психики, карьеры, семьи , влюбленные …
Число дня рождения: Число рождения — ключ к судьбе, влияющий на жизнь; он неизменен, и момент рождения определяет ноту гармонии или вибрации; и так влияет на наши жизни от колыбели до могилы.Число рождения относится к материальной стороне жизни. В нумерологии всего 9 чисел, под которыми мы все рождены. Например, если вы родились 28 числа любого месяца, вы рассчитываете свою нумерологическую цифру, как показано ниже.
Число Сердца: Число Сердца может помочь человеку найти желания человека и, безусловно, имеет отношение к другим основным числам.
Число зрелости: зрелость или окончательное число обозначают доминирующие черты туземца, которые определяют его процесс принятия решений.
Число судьбы: у вас может быть любое количество имен, но решающим фактором является число судьбы.
Система счисления, которая использует алфавиты и числа, математику класса 7 CBSE
Подсказка: Во-первых, прежде чем продолжить, мы должны знать систему счисления, упомянутую в вариантах, чтобы получить представление о системах счисления. Затем мы получим определения и условия всех систем счисления, упомянутых в опциях. Затем, используя эти условия, мы получаем желаемую систему счисления. Полный пошаговый ответ:
В этом вопросе мы должны найти название системы счисления, в которой используются как буквы, так и числа.
Итак, прежде чем приступить к этому, мы должны знать систему счисления, упомянутую в опциях, чтобы получить представление о системах счисления.
Итак, начиная с первой опции, которая представляет собой двоичную систему счисления, названия которой предполагают, что она содержит только два числа, которые дают основание или основание системы счисления как 2, а два числа, представленные двоичной системой счисления, — это 0 и 1.
Затем мы переходим к следующая опция — восьмеричная система счисления, в которой основание или основание системы счисления равно 8, и она содержит 8 чисел из диапазона от 0 до 7 как (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
Затем следующая опция дает систему счисления как десятичное число, которое является наиболее часто используемой системой счисления в нашей повседневной жизни, которая имеет основание или основание системы счисления 10, что означает, что она содержит 10 чисел из диапазона от 0 до 9 как (0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Затем, наконец, у нас есть шестнадцатеричная система счисления, которая в основном используется в компьютерах и имеет основание или систему счисления как 16, что означает, что она содержит 16 чисел, которые имеют два разных диапазона, например, от 0 до 9 и затем от A до F.
Здесь мы знаем, что в шестнадцатеричной системе счисления 10 представлено буквой A, 11 — буквой B, 12 — буквой C и так далее.
Итак, мы получаем систему счисления, которая использует как буквы, так и числа, как шестнадцатеричную систему счисления.
Итак, правильный ответ — «Вариант г».
Примечание: Теперь, чтобы решить эти типы вопросов, нам нужно знать основную информацию о системе счисления или системе счисления, которая представляет собой количество уникальных цифр, включая цифру ноль, используемых для представления чисел.
Более того, эти четыре являются основными типами системы счисления, но мы можем построить систему счисления с любым основанием по нашему выбору.
Еврейский алфавит и его использование для представления чисел на основе квазидесятичной буквенной системы счисления
Аксель Дрефаль — июль 2014 Твитнуть
Еврейский алфавит состоит из двадцати двух букв [1-3].У каждой буквы есть числовое значение и буквы могут быть объединены для представления чисел. В следующей таблице показано количество эквивалент каждой буквы — и Unicode entity для использование букв иврита в HTML-документах.
| א | Алеф | 1 | & # x05D0; | ל | Ламед | 30 | & # x05DC; |
| ב | Ставка | 2 | & # x05D1; | מ | Mem | 40 | & # x05DE; |
| ג | Гимель | 3 | & # x05D2; | נ | Монахиня | 50 | & # x05E0; |
| ד | Далет | 4 | & # x05D3; | ס | Самех | 60 | & # x05E1; |
| ה | He | 5 | & # x05D4; | ע | Айен | 70 | & # x05E2; |
| ו | Vav | 6 | & # x05D5; | פ | Pe | 80 | & # x05E4; |
| ז | Заин | 7 | & # x05D6; | צ | Цади | 90 | & # x05E6; |
| ח | Het | 8 | & # x05D7; | ק | Qof | 100 | & # x05E7; |
| ט | Тет | 9 | & # x05D8; | ר | Реш | 200 | & # x05E8; |
| י | Йод | 10 | & # x05D9; | ש | Голень | 300 | & # x05E9; |
| כ | Каф | 20 | & # x05DB; | ת | Тав | 400 | & # x05EA; |
Есть еще пять букв — sofit (произносится «Со-стопы») символы [4].Это специальное письмо формы используются только в конце слова. Они тоже представляют числа, которые вместе с символом и названием их двоюродное письмо, показаны здесь:
| ך | כ | Каф | 500 | & # x05DA; |
| ם | מ | Mem | 600 | & # x05DD; |
| ן | נ | Монахиня | 700 | & # x05DF; |
| ף | פ | Pe | 800 | & # x05E3; |
| ץ | צ | Цади | 900 | & # x0estive; |
Примеры составленных еврейских чисел:
|
Цифровые обозначения 21 и 99 на иврите можно интерпретировать. как 1 + 20 (Алеф + Каф) и 9 + 90 (Тет + Цади) соответственно. Однако, поскольку иврит читается справа налево, числа читаются как 20 + 1 и 90 + 9.
Украшением букв иврита, цифр выше 900 (закодировано софитом Цади) можно построить.Иосиф Мазур объясняет [3]:
Чтобы представить тысячи, нужно начать с самого начала [еврейского алфавита] и поместите две точки над буквой. Так א̈ будет представлять 1000; ב̈ будет отдавать 2000 и так далее.
Система еврейских цифр квазидесятичная буквенная цифра система .Это гибкая система определения стоимости — в отличие от «Наше» строгое десятичное число система в том смысле, что в ней применяется более десяти «цифр» без шифра для нуля. Кроме того, буквенные комбинации для определенных чисел переставлять или переопределять, когда систематическое числовое представление совпадает с написанием слова с определенной связью, например, с именем Бога или демона.
Ссылки и связанные страницы
Греческий язык, Письмо, Алфавит, Системы счисления
Письмо
Первые письменные тексты, обнаруженные в греческом мире, точнее на Крите, восходят к минойскому времени, между 2000 и 1200 годами до нашей эры. Этот шрифт, получивший название «линейный А», состоит из 85 знаков или идеограмм, что предполагает слоговое письмо. Еще не расшифровано.
Справа знаменитый Фестский диск — одна из величайших загадок истории.Уникальный пример такого письма … Если это вообще действительно письмо.
Две системы письма, производные от линейной A:
- — та, которая называется линейной B, используемой на Крите,
- кипро-минойский или линейный C, используемый на Кипре, который, как линейный A, остается нерасшифрованным. Некоторые таблички с этой надписью были найдены даже в Угарите. Этот сценарий был источником Cypro-Syllabic письма.
Линейное письмо B (справа) использовалось на Крите, где оно какое-то время сосуществовало с линейным A. Оно было расшифровано в 1952 году британским архитектором Майклом Вентрисом. Эта слоговая система использовалась для написания микенского языка, архаической формы древнегреческого языка. Он состоял из слоговых знаков, представляющих либо одиночный гласный звук, либо пару согласный + гласный. Система счисления была десятичной, а единицы измерения и веса взяты из вавилонской системы.
Кипрское слоговое письмо появилось между 11 и 8 веками до нашей эры. Он использовался для написания местного греческого диалекта до периода Птолемея, когда греческий алфавит, с которым он сосуществовал долгое время, постепенно утвердился. Роберт Гамильтон Ланг начал его расшифровывать в 1869 году, опираясь на кипрско-финикийский двуязычный текст, датируемый 4 веком до нашей эры.
Греческий алфавит
Когда закончились «темные века», в конце IX или начале VIII века до нашей эры.C., греки создали свой новый алфавит, который является прямым результатом адаптации финикийского. О месте переноса алфавита делались разные предположения: Беотия по Геродоту, Эвбея по Плутарху …
Однако, в то время как семитские языки могут быть правильно обработаны с помощью скриптов, в которых представлены только согласные (абджады), это не относится к греческим диалектам.
Таким образом, греки модифицировали финикийский алфавит, приспособив использование согласных звуков к звучности своего языка, но особенно они ввели большое новшество: написание гласных.Для этого они повторно использовали некоторые финикийские согласные, которые были бесполезны в греческом языке, а также добавили I (йота). Отныне согласные должны были сопровождаться гласными, чтобы слог мог произноситься.
В целом греки сохранили названия финикийских букв, а также их «алфавитный порядок». Более того, первые греческие тексты, датируемые 8 веком, написаны справа налево. Позже направление изменилось, иногда даже использовался бустрофедон («как бык, вспахивающий борозду, с линиями, написанными попеременно слева направо и справа налево), прежде чем оно было установлено слева направо.
Греческий алфавит создавался постепенно и распространялся, адаптируясь к различным областям, но всегда начиная с финикийской модели. В 1887 году Кирхгоф выделил 3 группы в этой эволюции: критскую группу, аттическую, ионическую и коринфскую группы и западную группу (Фригия, Эвбея, Беотия, Фессалия, западный Пелопоннес и Великая Греция), от которой позже произошли этрусские алфавит, затем латинский.
Греческие буквы, которые существуют только печатными буквами, были нарисованы по-разному в зависимости от города и области.В 403 году Арчинос ввел в Афинах использование ионического алфавита. Остальные греческие города постепенно последовали этому примеру.
Справа фрагмент свода законов Гортина, написанный на Бустрофедоне
Позже были введены пробелы между словами, а в эллинистический период — диакритические знаки, такие как «дыхание» и акценты, а также курсивный стиль. письменности (тогда как печатные буквы, или «Uncial», остались образцом), но полная система с ударениями, прописными и строчными буквами и пунктуацией была обобщена только в 9 веке A.Д.
Греки также использовали дифтонги для создания новых звуков путем связывания букв (например, oi «,» an «,» ou «на французском языке), но их точное произношение со временем было забыто. Когда в эпоху Возрождения древнегреческий был открыт заново, Эразм дал дифтонгам произношение (Эразмианское произношение), которое использовалось в образовании, хотя никто не мог сказать, соответствует ли оно какой-либо реальности.
Греческая система счисления
Самые старые греческие системы счисления произошли непосредственно от египетской: десятичная система без нуля, с использованием знака для каждой десятичной позиции (единицы, десятки, сотни, тысячи)…
Эти знаки различаются, но принцип всегда один: каждый знак повторяется столько раз, сколько требуется.
Пример, который цитируется повсюду в Интернете: число 6438, записанное в критской системе:
и в архаической греческой системе: Это не выглядит удобным для написания 999 …Акрофонических цифр
Начиная с V века до нашей эры аттические греки использовали цифры, называемые «акрофоническими цифрами», потому что каждый знак представляет собой первую букву своего имени (за исключением 1, a bar)
- I для 1 (полоса),
- G для 5 (PENTE, с древним стилем буквы «P»), как в «пятиугольнике»,
- Д на 10 (ДЕКА), как дека…,
- H на 100 (HEKATON), как hecto -…,
- C на 1000 (CILIOI), например, кило -…,
- M за 10000 (MURIOI), (бесчисленное множество)
Чтобы не писать 9 знаков для 9, 90 или 900, были добавлены промежуточные знаки Эта система позволяет легко читать числа, но не более удобна для вычислений …
Хотя она была широко распространена во время афинской гегемонии, она была заменена в 403 г. до н. Э.C. системой под названием Ионический (в то же время, что и реформа письменности, также имеющей ионическое происхождение), которая существовала в Милете уже несколько столетий и использовала алфавитные цифры (также называемые милетскими цифрами).
Буквенные цифры
Принцип прост: используются буквы алфавита. Первая буква (альфа) используется как 1, вторая (бета) как 2, третья (гамма) как 3 и т. Д. До 9. Следующие 9 букв используются для десятков, а следующие 9 букв — для сотни.
Таким образом, для записи всех чисел от 1 до 999 требуется 27 разных знаков, и каждое число записывается максимум с 3-мя знаками, что короче, чем раньше.
Поскольку греческий алфавит включает только 24 буквы, греки добавили еще 3 буквы, извлеченные из архаического алфавита: клеймо или дигамма ϝ для числа 6, коппа ϟ для 90 и сампи ϡ для 900.
Для четкого обозначения Если написано число, а не слово, эти знаки сначала подчеркнуты или подчеркнуты, а затем просто следуют знак «керея», который выглядит как одинарная кавычка.
Вот и решается проблема для чисел от 1 до 999. А больше 1000? Чтобы указать, что первая цифра показывает тысячи, слева от первого знака (aristeri kerea) ставили «kerea». Таким образом, мы можем достичь 10000.
Некоторые примеры:
После 10000 система изменяется и использует «старую добрую» Мириады, М, которая стоит 10000, а над которой написано количество мириад. Взяв те же примеры, что и выше: Греческие ученые предложили другие системы, чтобы пойти дальше, например, «мириады мириадов» (10000 умножить на 10000), что фактически соответствует степени двойки.Короче говоря, вычисления оставались очень сложными, и использование арифметических таблиц (счеты) было необходимо.
Отметим, что эта система не исчезла полностью и что греки до сих пор используют ее, поскольку мы используем римские цифры, например, при именовании короля: там, где мы пишем Георгий II (а не Георгий 2), греческий напишет b!
Астрономы ввели ноль!
Греческие астрономы использовали ту же систему, что и их вавилонские «коллеги», т.е.шестидесятеричная система (основание 60), определяющая угол 60 равностороннего треугольника и 360 градусов полного круга, разделенные на 60 минут 60 секунд
Эта система была адаптирована Гиппархом около 140 г. до н. э. Для его применения использовались только цифры от 1 до 59 (знак 50 + знак 9). Когда дуга считает только градусы, а не минуты, отсутствие минут отмечалось с помощью знака, который является своего рода нулем, но означает только отсутствие единиц и не является реальной цифрой. По мнению автора, он выглядит как «о», подчеркнутый или подчеркнутый верхним шрифтом.
