Site Loader

Содержание

Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.

Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.

 

Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:

                                          

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Необходимо заметить, что угол между двумя векторами — это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а)

всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор — нулевой.

2.Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5.Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

(Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто —

Пусть есть вектор AB, А — начало вектора, В — конец, и координаты этих точек

А=(a1,a2,a3),        В=(b1,b2,b3)

Тогда координаты вектора АВ:

АВ={b1-a1, b2-a2, b3-a3}.

Аналогично в двухмерном пространстве — просто отсутствуют третьи координаты)

Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:

а) В двухмерном пространстве(на плоскости).

Тогда их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

б) В трехмерном пространстве

Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Вычисление угла между векторами с помощью скалярного произведения.

Самое распространенное математическое приложение скалярного произведения двух векторов — это вычисление угла между векторами, заданными своими координатами. Для примера возьмем трехмерный случай. (Если вектора заданы на плоскости, то есть двумя координатами, во всех формулах просто отсутствуют третьи координаты.)

Итак, пусть у нас есть два вектора:

И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы получим косинус искомого угла.

Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а, который мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:

Аналогично вычисляется длина вектора b.

Итак,

Значит,

Искомый угол найден.

 

Он-лайн калькулятор скалярного произведения двух векторов.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. выше Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Если вектора заданы двумя координатами, то на месте третьей координаты каждого вектора нужно поставить ноль.

 

Он-лайн калькулятор угла между векторами.

 

Аналогично предыдущему калькулятору, необходимо ввести координаты обоих векторов по порядку, и если вектора заданы двумя координатами — на месте третьих координат следует поставить ноль.

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Пример 3

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Пример 4

Определить, при каких значениях  длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Глава 29. Понятие вектора. Проекция вектора

Глава 29. Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а — проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (, , ) и (, , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

Формула

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если , , — углы, которые составляет вектор с координатными осями (см. рис. 2), то , , называются направляющими косинусами вектора .

Вследствие формулы (1)

, , .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов , , , если известны два других.

748 Вычислить модуль вектора ={6; 3; -2}.
749 Даны две координаты вектора X=4, Y=-12. Определить его третью координату Z при условии, что =13.
750 Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1). Найти координаты векторов и .
751 Определить точку N, с которой совпадает конец вектора ={3; -1; 4}, если его начало совпадает с точкой М(1; 2; -3).
752 Определить начало вектора ={2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2).
753 Дан модуль вектора =2 и углы =450, =600, =1200. Вычислить проекции вектора на координатные оси.
754 Вычислить направляющие косинусы вектора ={12; -15; -16}.
755 Вычислить направляющие косинусы вектора ={3/13; 4/13; 12/13}.
756 Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:
756.1  =450, =600, =1200;
756.2  =450, =1350, =600;
756.3  =900, =1500, =600.
757 Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы:
757.1 =300, =450;
757.2 =600, =600:
757.3 =1500, =300.
758 Вектор составляет с осями Ox и Oz углы =1200и =450. Какой угол он составляет с осью Oy?
759 Вектор составляет с координатными осями Ox и Oy углы =600, =1200. Вычислить его координаты при условии, что =2.
760 Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

Нежное введение в векторы для машинного обучения

Дата публикации 2018-02-02

Векторы являются основополагающим элементом линейной алгебры.

Векторы используются во всей области машинного обучения при описании алгоритмов и процессов, таких как целевая переменная (y) при обучении алгоритма.

В этом уроке вы узнаете векторы линейной алгебры для машинного обучения.

После завершения этого урока вы узнаете:

  • Что такое вектор и как его определить в Python с помощью NumPy.
  • Как выполнить векторную арифметику, такую ​​как сложение, вычитание, умножение и деление.
  • Как выполнить дополнительные операции, такие как скалярное произведение и умножение на скаляр.

Давайте начнем.

Обзор учебника

Этот урок состоит из 5 частей; они есть:

  1. Что такое вектор?
  2. Определение вектора
  3. Векторная арифметика
  4. Вектор Дот Продукт
  5. Вектор-Скалярное Умножение

Что такое вектор?

Вектор — это кортеж из одного или нескольких значений, называемых скалярами.

Векторы построены из компонентов, которые являются обычными числами. Вы можете рассматривать вектор как список чисел, а векторную алгебру — как операции, выполняемые над числами в списке.

— Страница 69,Руководство по линейной алгебре, 2017

Векторы часто представлены строчными буквами, такими как «v»; например:

v = (v1, v2, v3)

Где v1, v2, v3 — скалярные значения, часто реальные значения.

Векторы также показаны с использованием вертикального представления или столбца; например:

v1
v = ( v2 )
      v3

Обычно целевую переменную представляют в виде вектора со строчной буквой «у» при описании обучения алгоритма машинного обучения.

Обычно вводят векторы, используя геометрическую аналогию, где вектор представляет точку или координату в n-мерном пространстве, где n — число измерений, например 2.

Вектор можно также рассматривать как линию от начала векторного пространства с направлением и величиной.

Эти аналогии хороши в качестве отправной точки, но их не следует держать слишком жестко, так как мы часто рассматриваем очень многомерные векторы в машинном обучении. Я считаю вектор-координату наиболее убедительной аналогией в машинном обучении.

Теперь, когда мы знаем, что такое вектор, давайте посмотрим, как определить вектор в Python.

Определение вектора

Мы можем представить вектор в Python как массив NumPy.

Массив NumPy может быть создан из списка чисел. Например, ниже мы определяем вектор длиной 3 и целочисленными значениями 1, 2 и 3.

# create a vector
from numpy import array
v = array([1, 2, 3])
print(v)

В примере определяется вектор с 3 элементами.

При выполнении примера печатается определенный вектор.

[1 2 3]

Векторная арифметика

В этом разделе будет продемонстрирована простая векторно-векторная арифметика, в которой все операции выполняются поэлементно между двумя векторами одинаковой длины, что приводит к созданию нового вектора одинаковой длины

Вектор сложение

Два вектора одинаковой длины могут быть добавлены вместе, чтобы создать новый третий вектор.

c = a + b

Новый вектор имеет ту же длину, что и два других вектора. Каждый элемент нового вектора вычисляется как сложение элементов других векторов с тем же индексом; например:

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

Или, говоря по-другому:

c[0] = a[0] + b[0]
c[1] = a[1] + b[1]
c[2] = a[2] + b[2]

Мы можем добавлять векторы непосредственно в Python, добавляя массивы NumPy.

# add vectors
from numpy import array
a = array([1, 2, 3])
print(a)
b = array([1, 2, 3])
print(b)
c = a + b
print(c)

В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем складываются их вместе.

Выполнение примера сначала печатает два родительских вектора, а затем печатает новый вектор, который является сложением двух векторов.

[1 2 3]

[1 2 3]

[2 4 6]

Вектор вычитание

Один вектор может быть вычтен из другого вектора равной длины, чтобы создать новый третий вектор.

c = a - b

Как и в добавление, новый вектор имеет ту же длину, что и родительские векторы, и каждый элемент нового вектора вычисляется как вычитание элементов с одинаковыми индексами.

a - b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)

Или, говоря по-другому:

c[0] = a[0] - b[0]
c[1] = a[1] - b[1]
c[2] = a[2] - b[2]

Массивы NumPy могут быть напрямую вычтены в Python.

# subtract vectors
from numpy import array
a = array([1, 2, 3])
print(a)
b = array([0.5, 0.5, 0.5])
print(b)
c = a - b
print(c)

В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, затем вычитается первый из второго.

Выполнение примера сначала печатает два родительских вектора, затем печатает новый вектор, который является первым минус второй.

[1 2 3]

[ 0.5 0.5 0.5]

[ 0.5 1.5 2.5]

Умножение вектора

Два вектора одинаковой длины могут быть умножены вместе.

c = a * b

Как и в случае сложения и вычитания, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор такой же длины.

a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3)

или же

ab = (a1b1, a2b2, a3b3)

Или, говоря по-другому:

c[0] = a[0] * b[0]
c[1] = a[1] * b[1]
c[2] = a[2] * b[2]

Мы можем выполнить эту операцию прямо в NumPy.

# multiply vectors
from numpy import array
a = array([1, 2, 3])
print(a)
b = array([1, 2, 3])
print(b)
c = a * b
print(c)

В этом примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем умножаются векторы.

Выполнение примера сначала печатает два родительских вектора, затем печатается новый вектор.

[1 2 3]

[1 2 3]

[1 4 9]

Вектор Дивизион

Два вектора равной длины могут быть разделены.

c = a / b

Как и в случае других арифметических операций, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор такой же длины.

a / b = (a1 / b1, a2 / b2, a3 / b3)

или же

a / b = (a1b1, a2b2, a3b3)

Или, говоря по-другому:

c[0] = a[0] / b[0]
c[1] = a[1] / b[1]
c[2] = a[2] / b[2]

Мы можем выполнить эту операцию прямо в NumPy.

# divide vectors
from numpy import array
a = array([1, 2, 3])
print(a)
b = array([1, 2, 3])
print(b)
c = a / b
print(c)

В этом примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем делится первый на второй

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем результат деления вектора.

[1 2 3]

[1 2 3]

[ 1. 1. 1.]

Вектор Дот Продукт

Мы можем вычислить сумму умноженных элементов двух векторов одинаковой длины, чтобы получить скаляр.

Это называется точечным произведением, названным из-за оператора точки, используемого при описании операции.

Точечное произведение является ключевым инструментом для расчета векторных проекций, векторных разложений и определения ортогональности. Название продукта точка происходит от символа, используемого для его обозначения.

— страница 110,Руководство по линейной алгебре, 2017

c = a . b

Операция может использоваться в машинном обучении для вычисления взвешенной суммы вектора.

Точечный продукт рассчитывается следующим образом:

a . b = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3)

или же

a . b = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

Мы можем вычислить произведение точек между двумя векторами в Python, используя функцию dot () в массиве NumPy.

# dot product vectors
from numpy import array
a = array([1, 2, 3])
print(a)
b = array([1, 2, 3])
print(b)
c = a.dot(b)
print(c)

В этом примере определяются два вектора по три элемента в каждом, а затем вычисляется скалярное произведение.

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем скалярное скалярное произведение.

[1 2 3]

[1 2 3]

14

Вектор-Скалярное Умножение

Вектор можно умножить на скаляр, по сути масштабируя величину вектора.

Для простоты обозначений мы будем использовать строчные буквы «s» для представления скалярного значения.

c = s * v

или же

c = sv

Умножение выполняется для каждого элемента вектора, чтобы получить новый масштабированный вектор такой же длины.

s * v = (s * v1, s * v2, s * v3)

Или, говоря по-другому:

c[0] = a[0] * s
c[1] = a[1] * s
c[2] = a[2] * s

Мы можем выполнить эту операцию непосредственно с массивом NumPy.

# vector-scalar multiplication
from numpy import array
a = array([1, 2, 3])
print(a)
s = 0.5
print(s)
c = s * a
print(c)

Сначала в примере определяется вектор, а затем скаляр умножается на скаляр.

При выполнении примера сначала печатается родительский вектор, затем скаляр, а затем результат умножения двух вместе.

[1 2 3]

0.5

[ 0.5 1. 1.5]

Аналогично, вектор-скалярное сложение, вычитание и деление могут быть выполнены таким же образом.

расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

  • Создайте 5 примеров, используя каждую операцию, используя ваши собственные данные.
  • Реализуйте каждую векторную операцию вручную для векторов, определенных как списки.
  • Найдите документы по машинному обучению и найдите 1 пример каждой используемой операции.

Если вы исследуете какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

книги

API

статьи

Резюме

В этом уроке вы открыли векторы линейной алгебры для машинного обучения.

В частности, вы узнали:

  • Что такое вектор и как его определить в Python с помощью NumPy.
  • Как выполнить векторную арифметику, такую ​​как сложение, вычитание, умножение и деление.
  • Как выполнить дополнительные операции, такие как скалярное произведение и умножение на скаляр.

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Оригинальная статья

Задачи с векторами

    Задачи с векторами на ЕГЭ. Дорогие друзья! Вы знаете, что в состав экзамена по математике входят такие задания. Не факт, что такая задача попадёт именно вам, но готовиться к этому и понимать тему в любом случае нужно. На блоге мы уже рассмотрели несколько задач на сумму (разность) векторов, длину вектора, в этой же статье есть необходимая теория. Посмотрите её, прежде чем рассматривать задачи представленные ниже.

Также загляните в справочник на блоге. Если нужно вспомнить, что такое абсцисса и ордината точки, тогда посмотрите эту статью. Кратко повторим:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Формула для определения длины вектора, если известны его координаты:

27725. Вектор АВ с началом в точке A(2;4) имеет координаты (6;2). Найдите ординату точки B.

Как уже сказано координаты вектора находятся следующим образом: из соответствующих координат конца вычитаются координаты начала вектора. То есть:

Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:

Следовательно можем найти координаты точки В:

х2 – 2 = 6         у2 – 4 = 2

х2  = 8             у2  = 6

Таким образом, ордината точки В равна 6.

Ответ: 6

27726. Вектор АВ с началом в точке A(3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B. 

Задача по процессу решения такая же как и предыдущая, но иначе поставлен вопрос. Вычисления так же находятся в пределах устного счёта. Ещё раз запишем координаты вектора, когда известны координаты его начала и конца:

Координаты вектора и координаты его начала даны, значит:

Можем найти координаты точки В:

х2 – 3 = 9         у2 – 6 = 3

х2  = 12             у2  = 9

Таким образом, сумма координат точки В равна 21.

Ответ: 21

27727. Вектор АВ с концом в точке B (5;3) имеет координаты (3;1). Найдите абсциссу и ординату точки A, также сумму её координат. 

Нам известны  координаты вектора и координаты его конца, значит:

Можем найти координаты точки А:

5 – х1  = 3        3 – у1  = 1

х1  = 2             у1  = 2

Таким образом, абсцисса точки А равна двум,  ордината тоже равна двум, а сумма координат равна  2+2 = 4.

Ответ: 4

27731 Найдите квадрат длинны вектора a+b.

В данной задаче необходимо найти координаты вектора, который является суммой указанных векторов, затем найти его длину и возвести её в квадрат. Запишем формулу длины вектора, если известны его координаты:

Или в другой форме:

Найдём координаты вектора, который является суммой данных векторов. Для этого сначала найдём координаты данных векторов. 

Рассмотрим вектор:

Рассмотрим вектор:

*Можно было глядя на эскиз сразу их записать, так как точки их начал совпадают с началом координат.

Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой:

(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)

Таким образом, длина  вектора являющегося суммой векторов a и b равна:

Следовательно квадрат длины будет равен 200.

*Имея опыт в решении подобных задач, можно сразу записывать:

Как видите, вычисления можно осуществить устно. Здесь для вас умышленно представлено подробное решение.

Ответ: 200

27733. Найдите квадрат длины вектора a – b.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти координаты вектора, который является разностью представленных векторов, затем найти его длину и результат возвести в квадрат.

Координаты данных векторов нам уже известны (из предыдущей задачи):

Теперь найдём координаты вектора, который является их разностью: 

(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)

Таким образом, длина  вектора, который является разностью векторов

Следовательно квадрат её длины будет равен 40.

*Можно сразу записывать и вычислять:

Ответ: 40

27723. Найдите сумму координат вектора АВ.

Посмотреть решение

27724.Вектор АВ с началом А(2;4) имеет координаты (6;2) Найдите абсциссу точки В.

Посмотреть решение

27730. Найдите сумму координат вектора а + b.

Посмотреть решение

27732. Найдите сумму координат вектора а–b.

Посмотреть решение

27736. Найдите сумму координат вектора а + b

Посмотреть решение

27739. Найдите квадрат длины вектора а–b.

Посмотреть решение

Вы убедились, что задачи с векторами на ЕГЭ это одни из самых простых заданий. Есть, конечно, задания со скалярным произведением векторов, но о они сложности не представляют, нужно лишь знать формулу скалярного произведения. Такие задачи мы также рассмотрим, не пропустите!

На этом всё. Если что-то непонятно, пишите. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

Уроки сделаны… Мама охрипла… Сын оглох … Соседи выучили всё наизусть, собака пересказала!!!..

P.S: Делитесь  этой статьёй в сетях.

Свойства векторов | Векторы и скаляры

Векторы — это математические объекты, и теперь мы изучим некоторые их математические свойства.

Если два вектора имеют одинаковую величину (размер) и в одном направлении, то мы называем их равными друг другу. Например, если у нас есть две силы, \ (\ vec {F_ {1}} = \ text {20} \ text {N} \) в направлении вверх и \ (\ vec {F_ {2}} = \ text {20} \ text {N} \) в направлении вверх , тогда мы можем сказать, что \ (\ vec {F_ {1}} = \ vec {F_ {2}} \).

Так же, как скаляры, которые могут иметь положительные или отрицательные значения, векторы также могут быть положительными или отрицательными. Отрицательный вектор — это вектор, который указывает в направлении , противоположном , относительно опорного положительного направления . Например, если в конкретной ситуации мы определяем направление вверх как опорное положительное направление, тогда сила \ (\ vec {F_ {1}} = \ text {30} \ text {N} \) вниз будет быть отрицательным вектором и также может быть записано как \ (\ vec {F_ {1}} = — \ text {30} \ text {N} \).В этом случае отрицательный знак (\ (- \)) указывает, что направление \ (\ vec {F_ {1}} \) противоположно направлению опорного положительного направления.

Как и скаляры, векторы также можно складывать и вычитать. Мы исследуем, как это сделать дальше.

Сложение и вычитание векторов (ESAGO)

Сложение векторов

Когда векторы складываются, нам нужно учесть и их величин, и направлений.

Например, представьте себе следующее.Вы с другом пытаетесь переместить тяжелую коробку. Вы стоите позади него и с силой толкаете вперед \ (\ vec {{F} _ {1}} \), а ваш друг стоит впереди и тянет его к себе с силой \ (\ vec {{F} _ {2 }} \). Две силы действуют в направлении и (т.е. вперед), поэтому общая сила, действующая на коробку, составляет:

Понять концепцию сложения векторов очень легко через действие, использующее вектор смещения .

Смещение — это вектор, который описывает изменение положения объекта.Это вектор, который указывает от начального положения к конечному положению.

Добавление векторов

Материалы

малярная лента

Метод

Приклейте полоску малярной ленты горизонтально через пол. Это будет вашей отправной точкой.

Задача 1 :

Сделайте \ (\ text {2} \) шагов в прямом направлении. Используйте кусок малярной ленты, чтобы отметить конечную точку и обозначить ее A . Затем сделайте еще \ (\ text {3} \) шаг в прямом направлении.Используйте малярный скотч, чтобы отметить ваше конечное положение как B . Убедитесь, что вы стараетесь, чтобы ваши шаги были одинаковой длины!

Задача 2 :

Вернитесь на исходную линию. Теперь сделайте \ (\ text {3} \) шагов вперед. Используйте кусок малярной ленты, чтобы отметить конечную точку и обозначить ее B . Затем сделайте еще \ (\ text {2} \) шаг вперед и используйте новый кусок малярной ленты, чтобы отметить ваше конечное положение как A .

Обсуждение

Что вы заметили?

  1. В Task 1 первые \ (\ text {2} \) шаги вперед представляют вектор смещения, а вторые \ (\ text {3} \) шаги вперед также образуют вектор смещения.Если бы мы не остановились после первых \ (\ text {2} \) шагов, мы бы сделали \ (\ text {5} \) шагов в прямом направлении в целом. Следовательно, если мы добавим векторы смещения для шагов \ (\ text {2} \) и \ (\ text {3} \) шагов, мы должны получить в общей сложности \ (\ text {5} \) шагов в прямом направлении. направление.

  2. Неважно, делаете ли вы \ (\ text {3} \) шаг вперед, а затем \ (\ text {2} \) шаг вперед, или два шага, за которыми следует еще один \ (\ text {3} \) шаг вперед .Ваша финальная позиция такая же! Порядок добавления значения не имеет!

Мы можем представить сложение векторов графически, основываясь на вышеизложенном действии. Нарисуйте вектор для первых двух шагов вперед, а затем вектор для следующих трех шагов вперед.

Мы добавляем второй вектор в конец первого вектора, так как это то место, где мы сейчас находимся после того, как первый вектор сработал. Тогда вектор от хвоста первого вектора (начальная точка) до головы второго вектора (конечная точка) является суммой векторов.

Как вы можете убедиться, порядок, в котором вы добавляете векторы, не имеет значения. В приведенном выше примере, если вы решили сначала сделать \ (\ text {3} \) шаг вперед, а затем еще один \ (\ text {2} \) шаг вперед, конечный результат все равно будет \ (\ text {5} \) шагает вперед.

Вычитание векторов

Вернемся к проблеме с тяжелым ящиком, который вы и ваш друг пытаетесь переместить. Если вы сначала не связались должным образом, вы оба можете подумать, что вам следует двигаться в своем собственном направлении! Представьте, что вы стоите за ящиком и тянете его к себе с силой \ (\ vec {{F} _ {1}} \), а ваш друг стоит перед ящиком и с силой тянет его к себе \ (\ vec {{F} _ {2}} \).В этом случае две силы действуют в противоположных направлениях . Если мы определим направление, в котором ваш друг тянет, как положительное , тогда сила, которую вы прикладываете, должна быть отрицательной , поскольку она имеет противоположное направление. Мы можем записать общую силу, приложенную к коробке, как сумму отдельных сил:

На самом деле вы вычли два вектора! Это то же самое, что и сложение двух векторов, имеющих противоположные направления.

Как и раньше, мы можем хорошо проиллюстрировать векторное вычитание, используя векторы смещения.Если вы сделаете \ (\ text {5} \) шагов вперед, а затем вычтите \ (\ text {3} \) шагов вперед, у вас останется только два шага вперед:

Что вы физически сделали, чтобы вычесть \ (\ text {3} \) шагов? Изначально вы сделали \ (\ text {5} \) шагов вперед, но затем вы сделали \ (\ text {3} \) шаги назад на , чтобы вернуться назад, сделав только \ (\ text {2} \) шаги вперед. Это обратное смещение представлено стрелкой, указывающей влево (назад) длиной \ (\ text {3} \). Чистый результат сложения этих двух векторов — \ (\ text {2} \) шагов вперед:

Таким образом, вычитание одного вектора из другого аналогично добавлению вектора в противоположном направлении (т.е. вычитание \ (\ text {3} \) шагов вперед аналогично добавлению \ (\ text {3} \) шагов назад).

Вычитание одного вектора из другого аналогично добавлению вектора в противоположном направлении.

Результирующий вектор

Окончательная величина, полученная при сложении или вычитании векторов, называется результирующим вектором . Другими словами, отдельные векторы могут быть заменены результирующими — общий эффект тот же.

Результирующий вектор

Результирующий вектор — это единственный вектор, действие которого такое же, как и у отдельных векторов, действующих вместе.

Мы можем проиллюстрировать концепцию результирующего вектора, рассмотрев две наши ситуации при использовании сил для перемещения тяжелого ящика. В первом случае (слева) вы и ваш друг прикладываете силы в одном направлении. Результирующая сила будет суммой двух ваших сил, приложенных в этом направлении. Во втором случае (справа) силы действуют в противоположных направлениях. Результирующий вектор снова будет суммой двух приложенных вами сил, однако после выбора положительного направления одна сила будет положительной, а другая отрицательной, и знак результирующей силы будет зависеть только от того, какое направление вы выбрали как положительное.Для наглядности посмотрите схемы ниже.

Силы действуют в том же направлении

(положительное направление вправо)

Силы применяются в противоположных направлениях

(положительное направление вправо)

Существует специальное имя для вектора, который имеет ту же величину, что и результирующий вектор, но имеет направление , противоположное направлению : равновесный . Если вы сложите результирующий вектор и равновесные векторы вместе, ответ всегда будет равен нулю, потому что равновесие отменяет результирующий.

Равновесный

Равновесие — это вектор, который имеет такую ​​же величину , но направление противоположно результирующему вектору.

Если вы обратитесь к изображениям тяжелого ящика ранее, уравновешивающие силы для двух ситуаций будут выглядеть так:

Векторов

Если наша цель — описать и понять движение, тогда просто движение вверх и вниз по линии не хватит.Движение в реальном мире происходит в трех измерениях. Мы Нужен способ описания движения сложный, как у пчелы или игрушечного вертолета. Мы делаем это с векторами.

Вначале я хочу, чтобы вы подумали о векторах как о геометрических объектах. Модель для все векторы — смещения. Что-то начинается в одном месте и заканчивается в другом. Один можно протянуть эластичный шнур между двумя точками в пространстве и отметить, на каком конце пункт назначения маленькой бумажной стрелкой.Как видите, у этого есть два аспекта. смещение, которое мы называем вектором. Во-первых, у него есть длина или величина. во-вторых у него есть направление: что-то связано с его углом. Первый пункт нашей повестки дня описание векторов состоит в том, чтобы выяснить, когда два вектора равны.

Давайте совершим еще одно небольшое путешествие такой же длины, как и первое, но взлетим в другом. направление. Если вы натянете шнур между начальной и конечной точками, вы можете визуализируйте два вектора.Они равны? Совершите еще одну поездку в том же направлении, что и первый, а теперь идем дальше. Это еще один вектор. Равно ли оно первому?

Когда векторы равны?

В обоих случаях, когда векторы имеют либо разные направления, либо разную длину, они не равны. Точно так же, если и направление, и длина различны, они не равны. Два вектора равны только тогда, когда оба направления и длины одинаковы. Два вектора могут быть равными, но в разных местах.Векторы, представленные параллельными линиями, которые имеют одинаковые длина и направление равны.

Как складывать векторы

Когда что-то совершает одно смещение, затем другое, общее смещение равно сумма двух отдельных. Пусть a представляет первое отключение, а b — второе отключение. В общее количество поездок определяется путем выстраивания векторов, представляющих поездки от кончика к хвосту. Положи хвост второй поверх хвоста первого.За полное смещение принимается вектор от хвоста первого до кончика второго. Этот способ добавления векторов возникает естественно, когда мы говорим о смещениях. Иногда другой вектор величины, такие как силы, должны быть добавлены. Тогда часто бывает необходимо переместить один вектор так, чтобы его хвост совпадал с хвостом другого, потому что диаграммы сил обычно показывают силы со всеми своими хвостами вместе на объекте, к которому приложена сила. Когда вектор не забудьте сохранить его длину и направление одинаковыми.

Коммутативность сложения

Сумма векторов может быть записана как c = a + b . Это означает, что хвост b находится на кончик a и хвост c находится на хвосте a , а кончик c находится на кончике b . Это также можно добавить a к b . Результат такой же, как при добавлении b к a ? Если смещение — это наш вектор модели, то результат будет одним и тем же независимо от того, какое путешествие будет выполнено первым.Итак, мы потребует, чтобы векторы давали одинаковую сумму независимо от того, что добавляется первым. a + b = b + a . Это свойство называется коммутативностью.

Не все количества, которым можно назначить размер и направление, обладают этим свойством, и таким образом, эти некоммутативные величины не могут быть векторами. (Это клуб с высокие стандарты!) Например вращения вокруг оси имеют размер, угол поворота, и направление, направление оси вращения.Попробуйте сначала повернуть книгу на 90 ° вокруг вертикальная ось, а затем 90 ° вокруг горизонтальной оси влево-вправо. Обратный порядок эти два поворота, и вы получите книгу в другом положении. На случай, если вращения, a + b не равно b + a .

На бумаге легко нарисовать векторы, чтобы визуализировать процесс сложения векторов. Также следует попытаться представить векторы в трех измерениях. Все, что мы говорим о двумерные векторы, могут быть расширены до трех измерений без особых усилий. трудность.Представьте себе вертолет, выходящий из подвески. Он подруливает 100 м N, затем меняет направление, такси 200 м E, затем поднимается на 300 м. Общее смещение Вертолет получается путем сложения всех трех векторов кончик к хвосту, как мы это делаем в двух измерениях.

Отрицательный вектор и вычитание

Всегда бывает, что человек, который сначала идет по делу, затем на полпути к цели. пункт назначения передумал и вернулся домой. Два смещения, наружу и назад сложить до нуля.Второе смещение можно записать как отрицательное значение во-первых — он такой же величины, но противоположного направления. Первый этап маршрута — , второй — a . Следовательно, a + (- a ) = 0.

После определения отрицательного значения вектора происходит процесс вычитания. естественно. Чтобы вычесть b из a , просто найдите отрицательное значение b , затем добавьте это к a .

Другой способ найти a b — соединить хвосты a и b вместе и нарисовать вектор от наконечника b до наконечника a .Этот метод означает поиск вектора, который вы добавляете к b , чтобы получить a. (Это a = b + ( a b ))

Попробуйте оба метода вычитания, и вы увидите, что они дают вектор с одинаковым величина и направление. (Хотя после постройки они будут в разных местах, но это не имеет значения.) Вы можете выбрать любой метод вычитания, который вам кажется чтобы иметь больше смысла для вас.

Умножение на скаляр


Иногда векторы умножаются или делятся на коэффициент масштабирования.Например, если один растягивает эластичный шнур, представляющий вектор, вдвое больше его длины, сохраняя его направление то же самое, то исходный вектор умножается на два. Точно так же, если позволить ему уменьшить до половину своей длины он делится на два или умножается на половину. как вам нравится. Обычные числа называются скалярами, чтобы отличать их от векторов. Ты был используя скаляры, так как вы научились считать.

Существуют также операции с двумя векторами, называемые умножением векторов.Эти мы постараюсь избежать в этом курсе, но вам может потребоваться изучить их, если вы пойдете дальше курсы физики или математики.

Величины, такие как смещение, скорость, ускорение и сила, являются векторами. Масса и время являются скалярами, такими как температура, влажность и энергия.

Векторы скорости и ускорения

Смещение — это наш вектор-прототип. Скорость определяется смещением на разделив его на промежуток времени. Результатом деления вектора на скаляр является вектор.Точно так же деление вектора, представляющего разность скоростей, на временной интервал дает вектор — ускорение. Масса, скаляр, умножающее ускорение, вектор, дает силу, другая векторная величина.

Чтобы увидеть, как скорости могут складываться как векторы, я использую игрушечный трактор. Он сидит на длинном куске мясная бумага, покрывающая стол. Допустим, длина стола ориентирована с востока на запад. Ширина стола около 1 м. Если я поставлю его поперек стола на север, он закроет 1 м дистанции за 10 секунд.Это скорость 0,1 м / с на север. Во второй раз я позволил трактор пересекает стол, я тяну бумагу мясника со скоростью около 0,05 м / с, восток, половина скорость трактора и перпендикулярно его курсу. На этот раз трактор пересекает бумага прямо, но, относительно стола, пересекает под углом. Скорость трактора относительно таблицы уже не 0,1 м / с, а векторная сумма 0,1 м / с, север и 0,5 м / с, вост. В сумме, как показано на диаграмме, получается 0.{-1} \ left (\ frac {v _ {\ rm trac}} {v _ {\ rm paper}} \ right) $$

Навигация

Следующая проблема — узнать, как достичь желаемого направления, когда крест дует ветер. Например, мы хотим лететь на самолете прямо на север, но дует поперечный ветер с востока на запад. В каком направлении должен лететь самолет так что в конечном итоге он едет на север? Допустим, дует боковой ветер со скоростью 40 км / ч и что самолет движется со скоростью 100 км / ч по воздуху.Задайте задачу графически как следующим образом:
  1. Проведите прямую линию с севера на юг вдоль желаемого направления.
  2. Нарисуйте вектор в масштабе, представляющий скорость ветра: 40 км / ч в западном направлении кончиком. на линии север-юг.
  3. Скорость самолета составляет 100 км / ч, но мы не знаем, в каком направлении. Поместите вектор кончиком на хвосте вектора скорости ветра и найдите такой угол, чтобы хвост Вектор скорости самолета находится на линии север-юг.{-1} \ left (\ frac {v _ {\ rm wind}} {v _ {\ rm airplane}} \ right) $$ В этом случае курс, позволяющий самолету идти строго на север, составляет 23,6 ° к востоку от севера. а скорость самолета относительно земли — 92 км / ч.

    Разгон

    Ускорение также является вектором, потому что это разница двух скоростей (вектор). делится на временной интервал (скаляр). Результат — вектор. Закон Ньютона гласит, что сила — это масса, умноженная на ускорение. Масса — скаляр, ускорение — вектор; следовательно, сила тоже вектор.

    Что удивительно в векторах ускорения и силы, так это то, что они не обязательно указать в направлении движения. Мы узнаем это, когда поговорим о криволинейных движение, и в частности движение по кругу.

    Сложение и вычитание векторов — материал для исследования IIT JEE


    Скалярные величины можно сложить алгебраически. например, 4 кг сахара и 3 кг сахара при любом сочетании всегда дают 7 кг сахара.Это не всегда имеет место в случае векторов, поскольку они имеют направления, помимо величин.

    Ниже приведены некоторые моменты, касающиеся сложения векторов:

    (a) Сложение или композиция векторов означает нахождение результирующего ряда векторов, действующих на тело.

    (b) Векторы можно складывать геометрически, а не алгебраически.

    (c) Векторы, результат которых должен быть вычислен, ведут себя независимо друг от друга. Другими словами, каждый вектор ведет себя так, как если бы другие векторы отсутствовали.

    (d) Сложение векторов коммутативно.

    Итак,

    Это означает, что закон сложения векторов не зависит от порядка векторов.

    Графическое представление сложения векторов

    Чтобы найти, сдвиньте вектор так, чтобы его начальная точка совпадала с конечной точкой вектора. Теперь вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой вектора, а конечная точка совпадает с конечной точкой вектора, представляет собой, как показано на приведенном выше рисунке.

    Чтобы найти, сдвиньте так, чтобы его начальная точка совпадала с конечной точкой. Вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой, а конечная точка совпадает с конечной точкой, представляет.

    Закон сложения векторов треугольника

    Это закон сложения двух векторов. Это можно сформулировать следующим образом:

    «Если два вектора представлены (по величине и направлению) двумя сторонами треугольника, взятыми в одном порядке, то их результат представлен (по величине и направлению) третьей стороной треугольника, взятой в противоположном порядке.”

    Рассмотрим два вектора и [рисунок ниже], одновременно действующих на тело. Изобразите вектор линией. В точке A нарисуйте еще одну линию, представляющую. Присоединяйтесь к OC. Тогда (=) дает результат и. Можно отметить, что и находятся в том же порядке, а находятся в противоположном порядке. Это соответствует закону треугольника.

    Итак, =

    = +

    = +

    Кроме того, ясно, что порядок векторов при сложении векторов не имеет значения.Итак, сложение векторов коммутативно.

    Если θ — угол между и, то величина результирующего вектора будет,

    R = √ (A 2 + B 2 ) + 2AB cos θ

    и

    если? угол между и тогда,

    ? = tan -1 [A sinθ / (B + A cosθ)]

    Если три вектора, действующие одновременно на частицу, могут быть представлены тремя сторонами треугольника, взятыми в одном порядке, то частица останется в равновесии.

    Математически это можно выразить следующим образом:

    Закон параллелограмма векторов

    Сложение двух векторов также можно понять по закону параллелограмма. В нем говорится, что «если два вектора, действующих одновременно в точке, представлены по величине и направлению двумя сторонами параллелограмма, начерченного из точки, их равнодействующая задается по величине и направлению диагональю параллелограмма, проходящей через эту точку.

    Согласно этому закону, если два вектора и представлены двумя смежными сторонами параллелограмма, обе направленными наружу, как показано на рисунке ниже, то диагональ, проведенная через пересечение двух векторов, представляет собой результат (т. Е. Векторную сумму и ). Если Q — это смещение из положения AD в BC путем смещения его параллельно самому себе, этот метод становится эквивалентным методу треугольника.

    В случае сложения двух векторов методом параллелограмма, как показано на рисунке, величина результирующего будет равна,

    (AC) 2 = (AE) 2 + (EC) 2

    или R 2 = (P + Q cos θ) 2 (Q sin θ) 2

    или R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ

    И направление результирующей из вектора P будет задано как

    загар? = CE / AE = Qsinθ / (P + Qcosθ)

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    Особые случаи

    (a) Когда θ = 0 °, cos θ = 1, sin θ = 0 °

    Подставляя cos θ в уравнение R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ, получаем

    R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ

    = √ (P + Q) 2

    или R = P + Q (максимум)

    Подставить вместо sin θ и cos θ в уравнение? = tan-1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)], получаем

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    = загар -1 [(Q × 0) / (P + (Q × 1))]

    = загар -1 (0)

    = 0 °

    Результирующая двух векторов, действующих в одинаковых направлениях, равна их сумме.Направление результирующей совпадает с направлением двух векторов.

    (b) Когда θ = 180 °, cos θ = -1, sin θ = 0 °

    Подставляя cos θ в уравнение R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ, получаем

    R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQ (-1)

    = √P 2 + Q 2 — 2PQ

    = √ (P — Q) 2 (минимум)

    R = P — Q (минимум)

    Подставить вместо sin θ и cos θ в уравнение? = tan-1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)], получаем

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    = загар -1 [(Q × 0) / (P + (Q × (-1)))]

    = загар -1 (0)

    = 0 °

    Эта величина равнодействующей двух векторов, действующих в противоположном направлении, равна разнице величин этих двух векторов и представляет собой минимальное значение.Направление результирующего — в сторону большего.

    (c) Когда θ = 90 °, cos θ = 0, sin θ = 1

    Подставляя cos θ в уравнение R = √ (P 2 + Q 2 ) + 2PQcos θ, получаем

    R = √ (P 2 + Q 2 ) + (2PQ × 0)

    = √P 2 + Q 2

    Подставить вместо sin θ и cos θ в уравнение? = tan-1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)], получаем

    ? = tan -1 [Qsinθ / (P + Qcosθ)]

    = загар -1 [(Q × 1) / (P + (Q × (0)))]

    = загар -1 (Q / P)

    Результирующая двух векторов, действующих под прямым углом друг к другу, равна квадратному корню из суммы квадратов величин двух векторов.Направление результирующих зависит от их относительных величин.

    Вычитание вектора

    Процесс вычитания одного вектора из другого эквивалентен векторному сложению отрицательного значения вычитаемого вектора. Предположим, есть два вектора и, показанные на рисунке (A), и мы должны вычесть и. Это то же самое, что и добавление векторов — в. Результат показан на рисунке (B).


    Рисунок (A)


    Рисунок (B)


    Свойства сложения векторов: — Сложение векторов подчиняется следующим свойствам.

    1. Сложение векторов коммутативно: — Это означает, что порядок суммирования векторов не влияет на результат сложения. Если два вектора и нужно сложить, то




    2. Сложение векторов является ассоциативным: — При сложении трех или более векторов вместе взаимная группировка векторов не влияет на результат.

    Математически,

    3. Сложение векторов является распределительным: — Это означает, что скаляр, умноженный на сумму двух векторов, равен сумме скалярных времен двух векторов по отдельности.

    Математически,

    Геометрическое представление сложения векторов



    Величина и направление: —
    Пусть угол между вектором и будет θ.
    На рисунке vector () = vector, vector () = vector
    From Δ ADB,

    AD = b cos θ
    BD = b sin θ


    В прямоугольном ΔODB,

    OD = a + b cosθ
    BD = b sin θ

    Следовательно, OB = √ (OD 2 + BD 2 )
    => | a + b | = √ (a 2 + b 2 + 2ab cos θ)
    | a + b | макс. = a + b при θ = 2nπ

    | а + б | мин. = | a — b | когда θ = (2n + 1) π
    (где n = 0, 1, 2,…..)
    Если a + b наклонен под углом α к вектору a, то
    tan α = ((b sin θ) / (a ​​+ b cosθ))

    Связанные ресурсы

    Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по единицам и измерениям, включающие в себя учебные заметки, заметки о пересмотрах, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д. Также просмотрите дополнительные учебные материалы по физике здесь.

    Краткое знакомство с векторами для машинного обучения

    Последнее обновление 9 августа 2019 г.

    Векторы являются основополагающим элементом линейной алгебры.

    Векторы используются во всей области машинного обучения при описании алгоритмов и процессов, таких как целевая переменная (y) при обучении алгоритма.

    В этом руководстве вы откроете для себя векторы линейной алгебры для машинного обучения.

    После прохождения этого руководства вы будете знать:

    • Что такое вектор и как его определить в Python с помощью NumPy.
    • Как выполнять векторные арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.
    • Как выполнять дополнительные операции, такие как скалярное произведение и умножение со скаляром.

    Начните свой проект с моей новой книги «Линейная алгебра для машинного обучения», включающей пошаговых руководств и файлов исходного кода Python для всех примеров.

    Приступим.

    Краткое знакомство с векторами для машинного обучения
    Фото Лахлана Дональда, некоторые права защищены.

    Обзор учебного пособия

    Это руководство разделено на 5 частей; их:

    1. Что такое вектор?
    2. Определение вектора
    3. Векторная арифметика
    4. Векторное произведение точек
    5. Векторное скалярное умножение

    Нужна помощь с линейной алгеброй для машинного обучения?

    Пройдите мой бесплатный 7-дневный ускоренный курс электронной почты (с образцом кода).

    Нажмите, чтобы зарегистрироваться, а также получите бесплатную электронную версию курса в формате PDF.

    Загрузите БЕСПЛАТНЫЙ мини-курс

    Что такое вектор?

    Вектор — это кортеж из одного или нескольких значений, называемых скалярами.

    Векторы состоят из компонентов, которые являются обычными числами. Вы можете рассматривать вектор как список чисел, а векторную алгебру как операции, выполняемые над числами в списке.

    — Стр. 69, Руководство по линейной алгебре без ерунды, 2017

    Векторы часто представлены строчными буквами, такими как «v»; например:

    Где v1, v2, v3 — скалярные значения, часто реальные значения.

    Векторы также отображаются в вертикальном представлении или столбце; например:

    v1 v = (v2) Версия 3

    v1

    v = (v2)

    v3

    Обычно целевую переменную представляют как вектор со строчной буквой «y» при описании обучения алгоритма машинного обучения.

    Обычно векторы вводят с использованием геометрической аналогии, где вектор представляет точку или координату в n-мерном пространстве, где n — количество измерений, например 2.

    Вектор также можно рассматривать как линию от начала координат векторного пространства с направлением и величиной.

    Эти аналогии хороши в качестве отправной точки, но не должны проводиться слишком строго, поскольку мы часто рассматриваем очень многомерные векторы в машинном обучении. Я считаю вектор как координату наиболее убедительной аналогией в машинном обучении.

    Теперь, когда мы знаем, что такое вектор, давайте посмотрим, как определить вектор в Python.

    Определение вектора

    Мы можем представить вектор в Python как массив NumPy.

    Массив NumPy можно создать из списка чисел. Например, ниже мы определяем вектор длиной 3 и целыми числами 1, 2 и 3.

    # создаем вектор из массива импорта numpy v = массив ([1, 2, 3]) печать (v)

    # создать вектор

    из массива импорта numpy

    v = array ([1, 2, 3])

    print (v)

    В примере определяется вектор с 3 элементами.

    При выполнении примера печатается определенный вектор.

    Векторная арифметика

    В этом разделе будет продемонстрирована простая векторно-векторная арифметика, в которой все операции выполняются поэлементно между двумя векторами одинаковой длины, в результате чего получается новый вектор такой же длины.

    Сложение векторов

    Два вектора равной длины можно сложить вместе, чтобы создать новый третий вектор.

    Новый вектор имеет ту же длину, что и два других вектора.Каждый элемент нового вектора рассчитывается как сложение элементов других векторов с тем же индексом; например:

    а + Ь = (а1 + Ь1, а2 + Ь2, а3 + Ь3)

    a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

    Или, другими словами:

    c [0] = a [0] + b [0] c [1] = a [1] + b [1] c [2] = a [2] + b [2]

    c [0] = a [0] + b [0]

    c [1] = a [1] + b [1]

    c [2] = a [2] + b [2]

    Мы можем добавлять векторы прямо в Python, добавляя массивы NumPy.

    # добавить векторы из массива импорта numpy a = массив ([1, 2, 3]) печать (а) b = массив ([1, 2, 3]) печать (б) с = а + Ь печать (с)

    # добавить векторы

    из массива импорта numpy

    a = array ([1, 2, 3])

    print (a)

    b = array ([1, 2, 3])

    print (b )

    c = a + b

    печать (c)

    В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем они складываются.

    При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, затем печатается новый вектор, который является сложением двух векторов.

    [1 2 3] [1 2 3] [2 4 6]

    [1 2 3]

    [1 2 3]

    [2 4 6]

    Вычитание вектора

    Один вектор можно вычесть из другого вектора такой же длины, чтобы создать новый третий вектор.

    Как и при сложении, новый вектор имеет ту же длину, что и родительские векторы, и каждый элемент нового вектора вычисляется как вычитание элементов с теми же индексами.

    а — б = (а1 — б1, а2 — б2, а3 — б3)

    a — b = (a1 — b1, a2 — b2, a3 — b3)

    Или, другими словами:

    c [0] = a [0] — b [0] c [1] = a [1] — b [1] c [2] = a [2] — b [2]

    c [0] = a [0] — b [0]

    c [1] = a [1] — b [1]

    c [2] = a [2] — b [2]

    Массивы NumPy можно напрямую вычитать в Python.

    # вычесть векторы из массива импорта numpy a = массив ([1, 2, 3]) печать (а) b = массив ([0,5, 0,5, 0,5]) печать (б) с = а — б печать (с)

    # вычесть векторы

    из массива импорта numpy

    a = array ([1, 2, 3])

    print (a)

    b = array ([0.5, 0.5, 0.5])

    print (b )

    c = a — b

    печать (c)

    В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, затем первый вычитается из второго.

    При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, затем печатается новый вектор, первый минус второй.

    [1 2 3] [0,5 0,5 0,5] [0,5 1,5 2,5]

    [1 2 3]

    [0,5 0,5 0,5]

    [0,5 1,5 2,5]

    Умножение вектора

    Два вектора одинаковой длины можно перемножить.

    Как и при сложении и вычитании, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор той же длины.

    a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3)

    a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3)

    или

    Или, другими словами:

    c [0] = a [0] * b [0] c [1] = a [1] * b [1] c [2] = a [2] * b [2]

    c [0] = a [0] * b [0]

    c [1] = a [1] * b [1]

    c [2] = a [2] * b [2]

    Мы можем выполнить эту операцию прямо в NumPy.

    # умножить векторы из массива импорта numpy a = массив ([1, 2, 3]) печать (а) b = массив ([1, 2, 3]) печать (б) с = а * б печать (с)

    # умножение векторов

    из массива импорта numpy

    a = array ([1, 2, 3])

    print (a)

    b = array ([1, 2, 3])

    print (b )

    c = a * b

    печать (c)

    В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем векторы умножаются.

    При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, затем печатается новый вектор.

    [1 2 3] [1 2 3] [1 4 9]

    [1 2 3]

    [1 2 3]

    [1 4 9]

    Векторное деление

    Можно разделить два вектора одинаковой длины.

    Как и другие арифметические операции, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор той же длины.

    a / b = (a1 / b1, a2 / b2, a3 / b3)

    a / b = (a1 / b1, a2 / b2, a3 / b3)

    или

    a / b = (a1b1, a2b2, a3b3)

    a / b = (a1b1, a2b2, a3b3)

    Или, другими словами:

    c [0] = a [0] / b [0] c [1] = a [1] / b [1] c [2] = a [2] / b [2]

    c [0] = a [0] / b [0]

    c [1] = a [1] / b [1]

    c [2] = a [2] / b [2]

    Мы можем выполнить эту операцию прямо в NumPy.

    # разделить векторы из массива импорта numpy a = массив ([1, 2, 3]) печать (а) b = массив ([1, 2, 3]) печать (б) с = а / б печать (с)

    # разделить векторы

    из массива импорта numpy

    a = array ([1, 2, 3])

    print (a)

    b = array ([1, 2, 3])

    print (b )

    c = a / b

    print (c)

    В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем первый делится на второй.

    При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем результат деления вектора.

    [1 2 3] [1 2 3] [1. 1. 1.]

    [1 2 3]

    [1 2 3]

    [1. 1. 1.]

    Векторное произведение точек

    Мы можем вычислить сумму умноженных элементов двух векторов одинаковой длины, чтобы получить скаляр.

    Это называется скалярным произведением из-за оператора точки, используемого при описании операции.

    Скалярное произведение — это ключевой инструмент для вычисления векторных проекций, векторных разложений и определения ортогональности. Название скалярное произведение происходит от символа, используемого для его обозначения.

    — Стр. 110, Руководство по линейной алгебре без ерунды, 2017

    Операция может использоваться в машинном обучении для вычисления взвешенной суммы вектора.

    Скалярное произведение рассчитывается следующим образом:

    а. б = (а1 * в1 + а2 * в2 + а3 * в3)

    а. b = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3)

    или

    а. б = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

    а. б = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

    Мы можем вычислить скалярное произведение между двумя векторами в Python, используя функцию dot () в массиве NumPy.

    # векторов скалярного произведения из массива импорта numpy a = массив ([1, 2, 3]) печать (а) b = массив ([1, 2, 3]) печать (б) c = a.dot (б) печать (с)

    # векторов скалярного произведения

    из массива импорта numpy

    a = array ([1, 2, 3])

    print (a)

    b = array ([1, 2, 3])

    print ( б)

    c = a.dot (b)

    print (c)

    В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем вычисляется скалярное произведение.

    При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем скалярное скалярное произведение.

    Векторное скалярное умножение

    Вектор можно умножить на скаляр, по сути, масштабируя величину вектора.

    Для упрощения обозначений мы будем использовать строчную букву «s» для представления скалярного значения.

    или

    Умножение выполняется для каждого элемента вектора, чтобы получить новый масштабированный вектор той же длины.

    s * v = (s * v1, s * v2, s * v3)

    s * v = (s * v1, s * v2, s * v3)

    Или, другими словами:

    c [0] = a [0] * s c [1] = a [1] * s c [2] = a [2] * s

    c [0] = a [0] * s

    c [1] = a [1] * s

    c [2] = a [2] * s

    Мы можем выполнить эту операцию напрямую с массивом NumPy.

    # векторно-скалярное умножение из массива импорта numpy a = массив ([1, 2, 3]) печать (а) s = 0,5 печать (и) с = s * а печать (с)

    # векторно-скалярное умножение

    из массива импорта numpy

    a = array ([1, 2, 3])

    print (a)

    s = 0,5

    print (s)

    c = s * а

    отпечаток (в)

    В примере сначала определяется вектор, а затем скаляр умножается на скаляр.

    При выполнении примера сначала печатается родительский вектор, затем скаляр, а затем результат их умножения.

    [1 2 3] 0,5 [0,5 1. 1,5]

    [1 2 3]

    0,5

    [0,5 1. 1,5]

    Аналогично, скалярно-векторное сложение, вычитание и деление могут выполняться таким же образом.

    Расширения

    В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

    • Создайте 5 примеров, используя каждую операцию, используя свои собственные данные.
    • Выполните каждую векторную операцию вручную для векторов, определенных как списки.
    • Найдите документы по машинному обучению и найдите по одному примеру каждой используемой операции.

    Если вы изучите какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

    Дополнительная литература

    Этот раздел предоставляет дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.

    Книги

    API

    Статьи

    Сводка

    В этом руководстве вы открыли векторы линейной алгебры для машинного обучения.

    В частности, вы выучили:

    • Что такое вектор и как его определить в Python с помощью NumPy.
    • Как выполнять векторные арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.
    • Как выполнять дополнительные операции, такие как скалярное произведение и умножение со скаляром.

    Есть вопросы?
    Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

    Разберитесь с линейной алгеброй для машинного обучения!

    Развить рабочее понимание линейной алгебры

    … путем написания строк кода на Python

    Узнайте, как это сделать, в моей новой электронной книге:
    Линейная алгебра для машинного обучения

    Он предоставляет руководств для самообучения по таким темам, как:
    векторные нормы, умножение матриц, тензоры, собственное разложение, SVD, PCA и многое другое…

    И наконец понять математику данных

    Пропустить академики. Только результаты.

    Посмотрите, что внутри

    Свойства вектора — равенство, сложение, вычитание и умножение векторов

    В терминологии физики вы, должно быть, слышали о скалярных и векторных величинах. Мы часто определяем любую физическую величину величиной. Следовательно, физическая величина, характеризуемая величиной, называется скалярной величиной. Вот и все! Но есть также физические величины, которые имеют определенную величину вместе с направлением.Такая физическая величина, представленная ее величиной и направлением, называется векторной величиной. Таким образом, по определению вектор — это величина, характеризующаяся величиной и направлением. Сила, импульс, скорость, вес и т. Д. Являются типичными примерами векторной величины. В отличие от скалярной величины, о векторной величине можно многое узнать.

    Векторы обозначаются стрелкой, отмеченной над обозначающим символом. Например, \ [\ overrightarrow {a} \] или \ [\ overrightarrow {b} \]. Величина вектора \ [\ overrightarrow {a} \] и \ [\ overrightarrow {b} \] обозначается как ∥a∥ и ∥b∥ соответственно.

    Примеры вектора: сила, скорость и т. Д. Давайте посмотрим ниже, как он представлен.

    Вектор скорости: \ [\ overrightarrow {v} \]

    Вектор силы: \ [\ overrightarrow {F} \]

    Линейный импульс: \ [\ overrightarrow {p} \]

    Вектор ускорения: \ [\ overrightarrow {a} \]

    Сила — это вектор, потому что сила — это величина интенсивности или силы, приложенная в некотором направлении. Скорость — это вектор, где его скорость — это величина, с которой объект движется по определенному пути.

    Изображение двумерных векторов

    Двумерные векторы могут быть представлены в двух формах: геометрическая форма, прямоугольная запись и полярная запись.

    Геометрическое изображение векторов

    В обычных простых словах линия со стрелкой — это вектор, где длина линии — это величина вектора, а стрелка указывает направление вектора.

    (изображение будет загружено в ближайшее время)

    Прямоугольное изображение

    В этой форме вектор помещается в систему координат x и y, как показано на изображении

    (изображение будет загружено в ближайшее время)

    Обозначение прямоугольных координат для этого вектора \ [\ overrightarrow {v} \] = (6,3).Альтернативное обозначение — использование двухединичных векторов î = (1,0) и ĵ = (0,1), так что v = 6î + 3ĵ.

    Полярное изображение

    В полярной записи мы указываем векторную величину r, r≥0 и угол θ с положительной осью абсцисс.

    Теперь мы прочитаем различные свойства вектора, подробно описанные ниже.

    Равенство векторов

    Если вы сравните два вектора с одинаковой величиной и направлением, это равные векторы. Следовательно, если вы переводите вектор в положение без изменения его направления или вращения, т.е.е. параллельный перевод, вектор не изменяет исходный вектор. И вектор до, и после изменения положения — равные векторы. Тем не менее, было бы лучше, если бы вы вспомнили, что векторы одной и той же физической величины следует сравнивать вместе. Например, было бы целесообразно приравнять вектор силы 10 Н по положительной оси x и вектор скорости 10 м / с по положительной оси x.

    Сложение векторов

    Подумайте о двух векторах a и b, их сумма будет a + b.

    (изображение будет загружено в ближайшее время)

    Изображение отображает сумму двух векторов, образованную путем размещения векторов головой к хвосту.

    Сложение векторов подчиняется двум законам, т. Е. Закону коммутации и закону ассоциативности.

    1. Коммутативный закон — порядок, в котором добавляются два вектора, не имеет значения. Этот закон также называют законом параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм, два смежных ребра обозначены как a + b, а другой дуэт ребер обозначен как b + a. Обе суммы равны, а значение равно величине диагонали параллелограмма

    (изображение будет загружено в ближайшее время)

    Изображение показывает, что закон параллелограмма, который доказывает, что сложение вектора не зависит от порядка вектора , я.е. сложение векторов является коммутативным

    1. Ассоциативный закон — сложение трех векторов не зависит от пары векторов, добавленных первой.

    (a + b) + c = a + (b + c).

    Вычитание вектора

    Во-первых, разберемся с вектором -a. Это вектор с равной величиной a, но в противоположном направлении.

    (изображение будет скоро загружено)

    На изображении показаны два вектора в противоположных направлениях, но одинаковой величины.

    Следовательно, вычитание двух векторов определяется как сложение двух векторов в противоположном направлении.

    x — y = x + (-y)

    Умножение вектора на скалярное число

    Рассмотрим вектор \ [\ overrightarrow {a} \] с величиной a∥ и числом «n». Если a умножить на n, то мы получим новый вектор b. Покажи нам. Вектор \ [\ overrightarrow {b} \] = n \ [\ overrightarrow {a} \]. Модуль вектора \ [\ overrightarrow {b} \] равен na∥. Направление вектора \ [\ overrightarrow {b} \] такое же, как у вектора \ [\ overrightarrow {a} \]. Если вектор \ [\ overrightarrow {a} \] находится в положительном направлении x, вектор \ [\ overrightarrow {b} \] также будет указывать в том же направлении, т.е.е. положительное направление оси x.

    Предположим, что мы умножаем вектор на отрицательное число n, значение которого равно -1. Вектор \ [\ overrightarrow {b} \] будет в направлении, противоположном направлению вектора \ [\ overrightarrow {a} \].

    Интересные факты

    1. Знаете ли вы, скалярное представление векторных величин, таких как скорость, вес есть скорость и масса, соответственно?

    2. Скалярное умножение вектора выполняет многие функции обычного арифметического умножения, такие как законы распределения

    • a (x + y) = xa + xb

    • (a + b) y = ay + by

    • 1x = x

    • (−1) x = -x

    • 0a = 0

    Основы работы с векторной графикой

    Вектор — это то, что имеет как величину, так и направление.То, что имеет только величину, является скаляром. В этих заметках вектор выделен жирным шрифтом. буква, например A или B . В учебнике или при написании от руки вектор показан стрелкой вверху. Запись A или B (не жирным шрифтом, без стрелки) означает просто величину вектора.

    Какие примеры векторов?

    Какие примеры скаляров?

    • Примеры векторов: скорость, ускорение, сила
    • Примеры скаляров: масса, расстояние, температура

    На рисунке вектор показан в виде стрелки, указывающей в направлении вектора.сверху, вот так:. Это произносится как «р-хат».

    Три очень особых единичных вектора:,,.

    — единичный вектор в направлении x.

    — единичный вектор в направлении y.

    — единичный вектор в направлении z.

    Нахождение компонент вектора

    Разделение вектора на компоненты выполняется с использованием геометрии прямоугольного треугольника. Компонент x вектора сообщает нам, какая часть этого вектора находится в направлении x. Соответствующее утверждение применяется к y-компоненту.

    Положительные направления: + x = вправо и + y = вверх. Вектор v указывает вниз и вправо. Сделайте v гипотенузой прямоугольного треугольника с двумя другими сторонами, параллельными осям координат.

    • Используйте геометрию, чтобы определить величину каждого компонента
    • Используйте схему, чтобы обозначить знак

    cos (θ) = v x / v, поэтому v x = v cos (θ)

    Включая положительное направление из диаграммы, v x = + v cos (θ)

    sin (θ) = v y / v, поэтому v y = v sin (θ)

    Включая отрицательное направление из диаграммы, v y = -v sin (θ)

    Если v = 3.5 м / с и θ = 25 градусов, тогда:

    v x = 3,5 cos (25) = 3,2 м / с

    v y = -3,5 sin (25) = -1,5 м / с

    Тогда весь вектор v можно записать в нотации единичного вектора:

    v = 3,2 -1,5 м / с

    Помните, что составляющая на стороне треугольника, примыкающей к углу, идет с косинусом; составляющая, противоположная углу, идет с синусом.

    Скалярное произведение

    Один из способов умножения двух векторов — использовать скалярное произведение, что дает скаляр.Точечные произведения важны в таком случае, как работа, когда работа, выполняемая силой при перемещении объекта, зависит от составляющей силы в направлении смещения.

    W = F y мболь «> · d = F d cos (θ)

    Обратите внимание, что скалярное произведение — это …

    • ноль, когда векторы перпендикулярны друг другу
    • максимум, когда они параллельны
    • положительный, когда угол между векторами отрицательный, когда угол между ними> 90

    c = a y mbol «> · b = a x b x + a y b y + a z b z

    Перекрестное произведение

    Второй способ умножения векторов — это использовать перекрестное произведение, в результате чего получается вектор, перпендикулярный двум векторам в перекрестном произведении.Примером может служить крутящий момент:

    τ = r × F

    Величина результирующего вектора равна r F sin (θ).

    Направление задается правилом правой руки. Правой рукой укажите пальцами в направлении первого вектора ( r ), согните их в направлении второго вектора ( F ), а большой палец, торчащий наружу, будет указывать в направлении результирующий вектор.

    Обратите внимание, что перекрестное произведение …

    • ноль, когда векторы параллельны
    • максимум, когда векторы перпендикулярны друг другу

    Отметим также, что a × b = — б × а .

    c = a × b = (a y b z — b y a z ) + (a z b x — b z a x ) + (a x b y — b x a y )

    векторов — Векторов — Edexcel — GCSE Maths Revision — Edexcel

    Вектор описывает движение от одной точки к другой. Векторная величина имеет как направление, так и величину (размер).

    Скалярная величина имеет только величину.

    Вектор может быть представлен линейным сегментом , помеченным стрелкой.

    Вектор между двумя точками A и B описывается как \ (\ overrightarrow {AB} \), \ (\ mathbf {a} \) или \ (\ underline {a} \).

    Вектор также может быть представлен вектором-столбцом \ (\ begin {pmatrix} 3 \\ 4 \ end {pmatrix} \). Верхнее число показывает, сколько человек нужно переместиться в положительном \ (x \) — направлении, а нижнее число — сколько нужно переместиться в положительном \ (y \) — направлении.

    Векторы равны, если они имеют одинаковую величину и направление независимо от того, где они находятся.

    \ [\ overrightarrow {CD} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 4 \ end {pmatrix} \]

    \ [\ overrightarrow {EF} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 4 \ end {pmatrix} \]

    Итак, \ (\ overrightarrow {CD} = \ overrightarrow {EF} \)

    Отрицательный вектор имеет ту же величину, но противоположное направление.

    Вектор \ (\ mathbf {-k} \) — это то же самое, что движение назад вниз по вектору \ (\ mathbf {k} \).

    Пример

    Запишите в терминах \ (\ mathbf {a} \), \ (\ mathbf {b} \) и \ (\ mathbf {c} \) векторы \ (\ overrightarrow {ZY} \ ), \ (\ overrightarrow {YC} \), \ (\ overrightarrow {ZA} \) и \ (\ overrightarrow {BX} \).

    \ [\ overrightarrow {ZY} = \ mathbf {a} \]

    \ (\ overrightarrow {ZY} \) и \ (\ overrightarrow {AX} \) — равные векторы, они имеют одинаковую величину и направление.

    \ [\ overrightarrow {YC} = \ mathbf {b} \]

    \ (\ overrightarrow {YC} \) и \ (\ overrightarrow {XZ} \) — равные векторы, они имеют одинаковую величину и направление.

    \ [\ overrightarrow {ZA} = \ mathbf {-c} \]

    \ (\ overrightarrow {ZA} \) имеет ту же величину, что и \ (\ overrightarrow {AZ} \), но в противоположном направлении.

    \ [\ overrightarrow {BX} = \ mathbf {-a} \]

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *