Задача 1. В квадрате ABCD найдите угол между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AC} .\) Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 45. \circ }.\) Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\) Ответ ОТВЕТ: 9.

Задача 5. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\,\left( {3;\, — 2} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 2;\,4} \right).\) Ответ ОТВЕТ: — 14.

Задача 6. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\,\left( { — 4;\, — 5} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 5;\,2} \right).\) Ответ ОТВЕТ: 10.

Задача 7. При каком значении x векторы \(\vec a\,\left( {x;\, — 3} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,8} \right)\) перпендикулярны? Ответ ОТВЕТ: 6.

Задача 8. При каком значении y векторы \(\vec a\,\left( {7;\,5} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,y} \right)\) перпендикулярны? Ответ ОТВЕТ: — 5,6.

Задача 9. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {3;\, — 4} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\, — 3} \right). \) Ответ ОТВЕТ: 0,96.

Задача 10. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {2;\, — 2} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 3;\,3} \right).\) Ответ ОТВЕТ: — 1.

Задача 11. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( { — 4;\,8} \right),\,\,B\left( {2;\,14} \right)\) и \(C\left( {4;\,0} \right)\) найдите косинус угла С. Ответ ОТВЕТ: 0,8.

Задача 12. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,8} \right),\,\,B\left( { — 1;\,5} \right)\) и \(C\left( {3;\,1} \right)\) найдите косинус угла А. Ответ ОТВЕТ: 0,6.

Задача 13. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,4} \right),\,\,B\left( {2;\,8} \right)\) и \(C\left( {6;\,4} \right)\) найдите угол А. Ответ дайте в градусах. Ответ ОТВЕТ: 90.

Задача 14. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( { — 1;\,\sqrt 3 } \right),\,\,B\left( {1;\, — \sqrt 3 } \right)\) и \(C\left( {0,5;\,\sqrt 3 } \right)\) найдите угол А. \circ }.\) Ответ ОТВЕТ: — 9.

Реклама

Поддержать нас

Скалярный продукт

Если и являются векторами, скалярным произведением и определяется алгебраически как

Пример. (a) Вычислите скалярное произведение .

(b) Вычислите скалярное произведение.

(а)

(б)

Скалярное произведение двух векторов равно числу . С числа часто называют скаляров , скалярное произведение равно часто называется скалярным произведением .

Определение работает так же хорошо для векторов с 2 компонентами или более 3 компонентов. Например, вот скалярное произведение двух 4-мерные векторы:

Вот некоторые свойства скалярного произведения.

Теорема. Пусть и пусть .

(а)

(б)

(с)

(г)

Доказательство. Все эти результаты могут быть доказаны запись векторов в терминах компонентов и вычислений.

В качестве примера я докажу (d) для трехмерных векторов. Предполагать . Затем

Скалярный продукт также имеет геометрическую интерпретацию.

Теорема. Позвольте и быть векторами и пусть быть углом между ними. Затем

Примечание: так как , это не имеет значения независимо от того, измеряется ли против часовой стрелки или по часовой стрелке.

Доказательство. Примените закон косинусов и используйте факт, что :

Вы часто можете использовать векторы для получения результатов, вычисляя вещи алгебраически , затем интерпретация результатов геометрически . В этом случае вы можете сделать это, потому что есть два способа взглянуть на скалярный продукт.

Например, когда два вектора будут перпендикулярны? Это произойдет если угол между ними . В любом случае , и следовательно .

Идем в другую сторону, если и отличны от нуля векторы и , то . Поэтому , а значит и векторы перпендикулярны.

Примечания. 1. Слово « ортогональный » является синонимом «перпендикулярного».

2. Нулевой вектор тривиально перпендикулярен любому другой вектор. Но обычно вам нужен ненулевой вектор перпендикулярно другому вектору, и я постараюсь быть осторожным, чтобы спросить для ненулевого вектора.

Кроме того:

(a) Если угол между векторами острый.

(b) Если угол между векторами тупой.

Обратите внимание, что вы можете доказать эти геометрические факты о двух векторах даже хотя может быть трудно определить их, рисуя векторы. И в то время как мы будем в первую очередь заниматься векторами в 2 и 3 измерения, эти факты об углах и скалярных произведениях верны в n размеры.

Пример. Определить, составляют ли векторы острый угол, тупой угол или перпендикулярны.

(а) , .

(б) ,

(а)

Так как , и угол между векторами тупой.

Векторы перпендикулярны.

Пример. Найдите точное значение косинуса угол между и .

Скажите, являются ли векторы ортогональными; если нет, то скажите, угол между ними острый или тупой.

Угол тупой.

Пример. Найти два единичных вектора , которые перпендикулярны . Сколько единичных векторов перпендикулярно ?

перпендикулярно , так как два вектора имеют скалярное произведение 0 при проверке. , поэтому векторы и равны единичные векторы, перпендикулярные .

Существует бесконечно много единичных векторов, перпендикулярных .

Если это похоже на флагшток, подумайте о векторах, указывающих вдоль землю вдали от основания флагштока. Каждую можно разделить на его длину, чтобы получить единичный вектор.

Алгебраически они представляют собой единичные векторы, такие что .

Пример. Найдите ненулевой вектор, который одновременно ортогонален обоим и .

Пусть такой вектор. Я хочу

Это дает уравнения

Поскольку у меня есть два уравнения, но три переменные, я не могу ожидать уникальное решение.

Для начала я уберу одну из переменных. Первое уравнение дает

Подставьте это, чтобы получить

На этом этапе я могу присвоить значение по своему выбору одному из переменные. Позволять . Тогда, так. Подставляя эти значения в , я получаю .

Таким образом, перпендикулярно и . На самом деле любое решение должно быть кратно найденному мной вектору, поскольку векторы, перпендикулярные оба и образуют линию.

Пример. Найдите векторы , , и такие, что

Есть много возможностей. Например,

Но .

Скалярная составляющая в направлении равна

Он дает (со знаком) длину «тени», которая создает на . Он положителен, если и указывают в одном направлении (т. если угол между ними острый ) и отрицательный, если и указывают в противоположном направлении (т.е. если угол между ними равен тупой ).

Чтобы убедиться в этом, рассмотрите прямоугольный треугольник на картинке. База треугольник есть, и

Но

Поэтому,

Пример. Если и , найти скалярную составляющую в направлении .

Проекция вектора в направлении есть вектор, чей (со знаком) длина и чье направление является направлением .

Чтобы получить его, я умножаю на единичный вектор, который имеет то же направление, что и . Это дает

Таким образом, формула

Пример. Найдите проекцию вектора в направлении .

Контактная информация

Домашняя страница Брюса Икенаги

Copyright 2017 Брюс Икенага

векторных скалярных произведений Евклидово внутреннее произведение

Определение: Скалярный продукт (для векторов в 2-х и 3-х пространствах), также известный как Евклидово внутреннее произведение 9n$, обозначаемый $\vec{u} \cdot \vec{v}$, представляет собой метод умножения двух векторов, в результате чего получается числовая величина, определяемая $\vec{u} \cdot \vec{v} = \mid \vec{ u} \mid \mid \vec{v} \mid \cos \theta$ или $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + . .. + u_nv_n$ ( компонентная форма точки товар ).

Обратите внимание, что у нас есть две формы скалярного произведения. Теперь мы продолжим доказывать, что компонентная форма скалярного произведения, то есть $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + … + u_nv_n$ в евклидовом трехмерном пространстве, эквивалентна нашему исходное определение, поэтому $\vec{u} \cdot \vec{v} = \mid \vec{u} \mid \mid \vec{v} \mid \cos \theta = u_1v_1 + u_2v_2 +… + u_nv_n$ . 92) \\ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (2v_{1}u_{1} + 2v_{2}u_{2}+ 2v_{3}u_{ 3}) \\ \vec{u} \cdot \vec{v} = v_{1}u_{1} + v_{2}u_{2} + v_{3}u_{3} \\ \vec{u } \cdot \vec{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3} \\ \blacksquare \end{align}

Исходная формула для скалярное произведение помогает найти угол между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Например, если мы возьмем формулу скалярного произведения и перестроим ее так, чтобы изолировать косинус, то получим:

(3)

\begin{align} cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\mid \mid \vec{u} \mid \mid \mid \mid \mid \vec{v } \mid \mid } \end{align}

Вспомните следующие три классификации углов:

Заметим также, что норма любого вектора всегда положительна, следовательно, мы нашли важное свойство векторного скалярного произведения. Если мы знаем знак скалярного произведения между двумя векторами, то мы также знаем, является ли угол между ними острым или тупым, поскольку значение косинуса влияет на весь знак скалярного произведения. Кроме того, если $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, то эти два вектора перпендикулярны друг другу. 9н$.

(6)

\begin{align} \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = u_{1}(v_{1} + w_{1}) + u_{2}(v_ {2} + w_{2}) + … + u_{n}(v_{n} + w_{n}) \\ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w} ) = u_{1}v_{1} + u_{1}w_{1} + u_{2}v_{2} + u_{2}w_{2} + … + u_{n}v_{n} + u_{n}w_{n}\\ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + … + u_{n}v_{n} + u_{1}w_{1} + u_{2}w_{2} + … + u_{n}w_{n} \\ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \\ \blacksquare \end{align} 9n$ и пусть $k$ — скаляр.

(7)

\begin{align} k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = k(u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + .