Site Loader

Содержание

Векторы в пространстве — презентация онлайн

1. Векторы

План.
1. Векторное n – мерное пространство.
2. Пространство R2 и R3.
3. Скалярное произведение векторов. Длина
вектора. Угол между векторами.
4. Плоскость в трехмерном пространстве.
5. Прямая линия в трехмерном пространстве.
6. Линейная зависимость и линейная независимость
векторов. Базис пространства Rn.

2. Векторное n – мерное пространство.

Определение. Пусть n – любое
натуральное число. Упорядоченная
совокупность n чисел a1, a2, …, an
называется n – мерным вектором.
А
В

3. Линейные действия над векторами

4. Пространство R2.

У
B
j
О
i
A
Х

5. Пространство R3.

Z
C
k
B
i
O
j
Y
A
X
К

6. Скалярное произведение векторов

7. Направляющие косинусы

Z
О
a
X
Y

8. Векторное произведение векторов

9.

Свойства векторного произведения

10. Смешанное произведение векторов

11. Свойства смешанного произведения

12. Поверхность в трехмерном пространстве

Z
f (x; y; z )= 0
Y
X

13. Плоскость в трехмерном пространстве

Z
M
N
O
Y
X
A(x — x0 )+ B (y — y0 )+ C (z — z0 )= 0
Ax + By + Cz + D = 0

14. Прямая линия в трехмерном пространстве

Z
N
М
N1
О
У
(x — x0 ; y — y0 ; z — z0 )= (t l; t m; t n)
Х
x x0 tl ;
y y0 tm; z z0 tn
x = x0 + t l , y = y0 + t m, z = z0 + t n

15. Прямая линия в трехмерном пространстве

x — x0
y — y0
z — z0
= t,
= t,
= t,
l
m
n
x — x0
y — y0 z — z0
=
=
l
m
n

16. Пример 2. Даны координаты точек А(–6; 0; 0), В(–1; 1; 0), С(–3; 5; 4). Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти

модули этих векторов;
2) найти угол между векторам;
3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С
перпендикулярного вектору .
Решение.
1) Координаты векторов
Следовательно,
Запишу векторы
в системе орт:
Найду модули этих векторов по формулам
Получаем
2) Найдем угол между векторам
Найдем скалярное произведение векторов
Тогда cos α равен
3) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку
С(-3;5;4) перпендикулярного вектору
.
По формуле
Получаем

19. Контрольные вопросы

1) Метод координат. Расстояние между двумя точками.
2) Деление отрезка в данном отношении.
3) Уравнение прямой линии не плоскости. Угол между прямыми
линиями.
4) Кривая второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
5) Полярная система координат.
6) Векторное n-мерное пространство.
7) Вектор. Действия над векторами. Свойства. Длина вектора.
8) Скалярное произведение. Свойства.
9) Угол между векторами.
10) Векторное произведение. Свойства.
11) Смешанное произведение . Свойства.
12) Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
13) Плоскость в трехмерном пространстве.
14) Прямая линия в трехмерном пространстве.

Векторы на плоскости и их линейные комбинации

  1   2   3   4   5   6   7 Bog’liq
1-лекция рус
rezyume FB, Тизим нима, Doc1, Dinshunoslik nazorat ishi 2, Эшбоев Қувончбек (1), 1-laboratoriya, 1, 259 Zaidan, Sayt nomi, Sayt nomi, Sayt nomi, ИПИ Кобилова З.О, ISHCHI DASTUR 2-KURS iqtisodiyotda AT 2020 (1), 1 lab. ishi bajarish korsatna (amaliyot)

1-лекция
ВЕКТОРЫ И ИХ ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ.

СКАЛЬЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.
План лекции:

  1. Векторы на плоскости и их линейные комбинации.

  2. Векторы в трёхмерном пространстве и их линейные комбинации.

  3. Скальярное и векторное произведения векторов.

Опорные слова и словосочетания: Прямоуголная система координат, вектор,координаты вектора, линейные комбинации, нуль вектор, направляющие единичные векторы.
1.Векторы на плоскости и их линейные комбинации.
Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову 
прямоугольную систему координат
 на плоскости. Одна из этих осей называется осью , или осью абсцисс, другую — осью , или осью ординат.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.
Определение._Линейными_операциями_над_векторами’>Определение. Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК)  и произвольный вектор  , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Определение
Определение. Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:

Величина  называется абсциссой вектора , а число — его ординатой. То, что вектор имеет координаты  и  , записывается следующим образом: ввиду столбец или ввиду строка или или и т.д.
Определение. Суммой двух векторов и , называется вектор  определяемий по формуле (Рис.2)
(1)


Do’stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7

Координаты трехмерного пространства — Win32 apps

  • Статья
  • Чтение занимает 2 мин
  • Участники: 2

Были ли сведения на этой странице полезными?

Да Нет

Хотите оставить дополнительный отзыв?

Отзывы будут отправляться в корпорацию Майкрософт. Нажав кнопку «Отправить», вы разрешаете использовать свой отзыв для улучшения продуктов и служб Майкрософт. Политика конфиденциальности.

Отправить

Спасибо!

В этой статье

Положение, скорость и ориентация звуковых источников и прослушивателей в трехмерном пространстве представлены декартыми координатами, которые являются значениями на трех осях: ось x, ось y и ось z.

Оси задаются относительно точек зрения, установленных приложением. Значения на оси x увеличиваются слева направо, на оси y — сверху вниз, а на оси z — от ближайшего к Дальнему.

Структура _ вектора X3DAUDIO содержит значения, описывающие положение, скорость или ориентацию по трем осям.

В соответствии с соглашениями, векторы выражаются как три значения, заключенные в круглые скобки и разделенные запятыми, в порядке (x, y, z).

Для позиций значения находятся в определяемых пользователем универсальных единицах.

Для скорости вектор описывает скорость движения по каждой оси в мировых единицах в секунду.

Для ориентации значения находятся в произвольных единицах и зависят друг от друга. Например, если базовое представление трехмерного мира приближается к горизонту, а ориентация прослушивателя — (-1, 0, 1), то прослушиватель становится северо-западом. Поскольку значения в векторе находятся не в абсолютных единицах, вектор может быть выражен как (-5, 0, 5) или (-0,25, 0, 0,25).

Трехмерные векторы работают примерно так же, как Двумерные векторы, но с дополнительной осью в направлении вверх-вниз. Вы видите, как векторы работают в двухмерном пространстве, рисуя их на листе бумаги. Разрешите, что значения повышаются в верхней части бумаги и слева направо. Линия, нарисованная от (0, 0) до (1, 1), имеет одинаковую ориентацию или направление, как одно из (0, 0) до (5, 5). Однако вторая строка указывает на большее расстояние или скорость.

Общие концепции аудио

Обзор X3DAudio

Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве

Математика Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве

просмотров — 448

Напоминая снова о школьном курсе геометрии, перейдем от плоских представлений к пространственным. Аналогично тому, как мы переходили от координат на прямой к координатам на плоскости, проведем из начала координат

О прямую, перпендикулярную плоскости ОXY. Что мы при этом получим? Систему декартовых координат в трехмерном пространстве.

Аналогично плоскости, определим вектор как упорядоченную пару точек в пространстве. Соответственно можно определить и координаты вектора,

           
     
 
 
Аналогично плоскости вычисляется и длина (модуль) вектора, только если на плоскости это была диагональ соответствующего прямоугольника, то теперь это будет диагональ прямоугольного параллелœепипеда, построенного на разностях соответствующих координат.

Дальнейшие представления о скользящих и приложенных векторах строятся аналогично плоскому случаю, только, как уже подчеркивалось, каждый вектор характеризуется не двойкой, а тройкой чисел. Аналогично же вводится алгебра векторов: операции сложения и умножения на число. Нуль-вектор также присутствует в множестве трехмерных векторов, образующих уже не двумерное, а трехмерное линœейное пространство. А раз мы говорим о линœейном пространстве, то в нем крайне важно ввести базис — тройку единичных векторов i, j и k, направленных соответственно вдоль координатных осœей ОХ, ОY и OZ. Координаты базисных векторов записываются в виде (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;1). В случае если вспомнить еще и о том, что выбирается ортогональная система координат, ᴛ.ᴇ. оси взаимно перпендикулярны, а базисные векторы по модулю равны 1, то их принято именовать ортами координатных осœей. Напомним также и о том, что любой вектор в трехмерном пространстве может быть выражен через орты с помощью введенных алгебраических операций.

Коллинœеарность векторов вводится также аналогично плоскому случаю.

       
   
 
Как видим, для введения коллинœеарности понужнобился направляющий вектор прямой. Это понятие снова полностью переносится в трехмерное пространство из плоскости с учетом прибавившейся координаты. Соответственно записывается и параметрическое уравнение прямой.

Очевидно, что координатное параметрическое уравнение прямой фактически представляет собой три уравнения, которые можно записать по отдельности для каждой координаты и тем самым после записи параметрического уравнения в координатах оно распадается на три параметрических уравнения для каждой их координат.

       
   
 
Аналогично двумерному случаю вводится и скалярное произведение — метрика линœейного пространства векторов.

Любые два свободных неколлинœеарных вектора в пространстве определяют некоторую плоскость. Помещая их начала в одной точке, можно построить соответствующий параллелограмм, лежащий также в этой плоскости. Фактически мы при этом привязываемся к плоскости, определяемой данными векторами (часто применяют несколько жаргонное выражение: плоскости, «натянутой» на данные векторы). Очевидно, что площадь этого параллелограмма можно найти по формуле, взятой из плоского случая:

Sab = |a|·|b|·sinφ

где |a,·|b| модули данных векторов, φ — угол между ними.

Но здесь крайне важно подчеркнуть появляющееся отличие от двумерной геометрии: ведь натянутая на данные векторы плоскость может быть различным образом ориентирована относительно координатных плоскостей.

Теперь перейдем к принципиально отличным от двумерного случая понятиям. Наиболее характерное из них — векторное произведение.

Введенное понятие векторного произведения существенным образом меняет представление о векторе. В самом делœе, определœение положительного направления для вектора с означает, что векторы a,b,c образуют правую тройку.Более доступным представлением о правой тройке можно считать «правило буравчика»: если производить вращение буравчика (правого винта) по направлению от вектора a к вектору b, то перемещение буравчика покажет направление вектора с.

Иногда, опять же в жаргонном выражении, «правило буравчика» заменяют на «правило штопора», имея в виду, что для буравчика требуется пояснение «правый винт», который вообще может оказаться и левым, а штопоры всœе правые, в связи с этим пояснения не требуется.

Но если говорить серьезно, то возможность превращения правой тройки в левую имеет место при зеркальном преобразовании системы координат. В этом случае векторное произведение не остается неизменным, а меняет знак. Имеем принципиальное отличие от «нормальных» векторов общего вида, не меняющих знака при любых преобразованиях координат. Это на первый взгляд несущественное отличие на самом делœе оказывается весьма существенным при расширении представлений о линœейных пространствах, в связи с этим для векторного произведения существует специальное наименование «псевдовектор». В случае если не рассматривать «зеркальные» преобразования координат, то отмеченным различием можно пренебречь. Но забывать о нем вообще не следует.

Еще одним отличным от двумерной геометрии понятием является смешанное произведение трех векторов.

       
   
 

Введенное понятие компланарности векторов также не имеет аналогов в двумерной геометрии.

Вооружившись такими полезными понятиями, можно теперь записать общее уравнение плоскости в пространстве и рассмотреть различные виды записи уравнения плоскости в пространстве, по аналогии с различными записями уравнения прямой на плоскости.

Пусть плоскость проходит через заданную точку М0 (x0; y0; z0). Потребуем, чтобы она была перпендикулярна данному вектору n = (A;B;C), который назовем вектором нормали к плоскости или просто нормальным вектором. Это значит, что для произвольной точки М (x; y; z), принадлежащей плоскости, вектор М0М, целиком расположенный в ней, должен давать нулевое скалярное произведение с вектором нормали:

(n, M0M) = 0

Это уравнение и будет векторным уравнением плоскости в пространстве.

Выражая это скалярное произведение через координаты векторов n и М0М, получим:

       
   
 
Общее уравнение плоскости нетрудно преобразовать к виду, подобному тому, который мы придавали кривым второго порядка (в правой части уравнения стоит 1). Такой вид уравнения называют каноническим, или уравнением плоскости в отрезках.

Вспоминая евклидову геометрию: через три точки в пространстве всœегда можно провести единственную плоскость. Переведем данный постулат на язык аналитической геометрии.

Тем самым уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки, представляет собой условие компланарности трех векторов М1М, М1М2 и М1М3.

Условие компланарности позволяет с успехом записать и уравнение плоскости, содержащей два заданных вектора и заданную точку.

Опираясь на свойства скалярного произведения, можно изящным образом определить расстояние от любой точки в пространстве до данной плоскости, зная, что оно определяется по перпендикуляру к этой плоскости.

       
   
 
Изящество записи параметрического уравнения прямой и сходство формы этого уравнения с параметрическим уравнением прямой на плоскости подталкивает к представлению в параметрическом виде прямой, задаваемой пересечением двух плоскостей. Предварительно отметим, что трехмерное линœейное пространство часто обозначается символом R3.
       
   
 
Тогда, полагая z = t, получим параметрические уравнения прямой, определяемой пересечением двух плоскостей. При этом коэффициенты при параметре t являются координатами направляющего вектора прямой a = (a1;a2;a3):

Наконец, вспомним (опять же из евклидовой геометрии), что точка в пространстве может быть определœена как результат пересечения трех непараллельных друг другу плоскостей. Переведем и данный факт на язык аналитической геометрии.

Что у нас в итоге получилось?

 
 
Вроде бы мы искали точку пересечения трех плоскостей. Она характеризуется своими координатами (x;y;z). Но из решения геометрической задачи мы получили универсальный способ решения системы трех линœейных уравнений с тремя неизвестными:

Полученное правило Крамера дает весьма изящный пример того, как применение методов аналитической геометрии приносит ощутимую пользу алгебре. Завершаем, тем самым, нашу лекцию напоминанием блестящей идеи Рене Декарта͵ высказанной в далеком XVII веке: анализ геометрических образов можно истолковать на языке алгебраических формул.


Читайте также


  • — Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве

    Напоминая снова о школьном курсе геометрии, перейдем от плоских представлений к пространственным. Аналогично тому, как мы переходили от координат на прямой к координатам на плоскости, проведем из начала координат О прямую, перпендикулярную плоскости ОXY. Что мы при этом… [читать подробенее]


  • Трехмерные векторы – объяснение и примеры

    Векторы очень полезны в повседневной жизни. Однако в реальном мире все происходит в трех измерениях. Обычно мы учимся решать векторы в двумерном пространстве. Тем не менее, чтобы расширить и развить использование векторов в более реалистичных приложениях, важно объяснить векторы с точки зрения трехмерных плоскостей.

    Трехмерный вектор определяется как:

    «Трехмерный вектор представляет собой отрезок, нарисованный в трехмерной плоскости, имеющий начальную точку, называемую хвостом, и конечную точку, называемую голова.Подобно нормальному вектору в двумерной плоскости, трехмерный вектор также имеет некоторую величину и направление».

    В этой теме мы подробно обсудим следующие моменты:

    • Что такое трехмерный вектор?
    • Как найти величину трехмерного вектора?
    • Как рассчитать угол между двумя трехмерными векторами?
    • Как нарисовать трехмерный вектор?
    • Примеры
    • Проблемы


    Что такое трехмерный вектор?

    Трехмерный вектор — это вектор, представленный в трехмерной плоскости с тремя координатами; х, у и г.

    Как и в предыдущих разделах, мы изучили и обсудили векторы в двумерном пространстве. Чтобы избежать вычислительной сложности и упростить идею, чтобы мы могли легко понять концепцию, пришло время узнать о трехмерных векторах.  

    Например, если нам нужно указать направление любого твердого объекта или тела, такого как автомобили, самолеты, роботы и т. д., обычно можно подумать, что ему нужны три координаты для определения положения объектов x, y , и ось z, и это совершенно правильно.Итак, чтобы описать влияние всех признаков, нам нужно использовать трехмерное пространство.

    Точно так же, если мы рассмотрим карту в 2-D, она полезна только для навигации от одной точки к другой. Тем не менее, если нам нужно указать различные ландшафты и среды, одного только двухмерного описания карты недостаточно. Вот почему необходимо понимать концепцию трехмерных векторов в трехмерной системе координат и их свойства.

    Трехмерный вектор похож на двухмерный во всех аспектах, но в случае с трехмерным вектором нам нужно отслеживать еще одно направление. Трехмерные векторные операции аналогичны двухмерным операциям только с добавлением вычислительного шага. Мы можем выполнять различные вычисления, такие как нахождение угла между двумя векторами, скалярное умножение и т. д.

    Трехмерная система координат

    Теперь первый вопрос: «Что такое трехмерная система координат?» Трехмерная система координат имеет 3 измерения или может рассматриваться как имеющая 3 перпендикулярные оси: оси x, y и z. Такая система называется трехмерной прямоугольной системой координат.

    Вектор, нарисованный в трехмерной плоскости и имеющий три точки координат, определяется как трехмерный вектор. Теперь есть три оси, значит, есть три пересекающиеся пары осей. Каждая пара образует плоскость, плоскость xy, плоскость yz и плоскость xz. Трехмерный вектор может быть представлен как u (ux, uy, uz) или или ux i + uy j + uz k .

    Как найти величину трехмерного вектора?

    Величина трехмерных векторов вычисляется аналогичным образом с добавлением еще одной координаты. 2 )

    Где ux, uy и uz — величины координатных осей.

    Как мы уже говорили, концепция трехмерного вектора не отличается от концепции двумерного вектора, за исключением того, что теперь в трехмерном векторе есть еще одно измерение. Величина вектора всегда положительна, так как распространенной ошибкой при вычислении величины вектора является то, что мы забываем абсолютный знак. Только величина нулевого вектора равна нулю.

    Давайте лучше разберемся с концепцией на примере.

    Пример 1

    Рассчитайте величину следующих трехмерных векторов.

      7 U = (3,4,5)
    1. V = <2,5,6,>
    2. S = 3 I + 8 K 8

    Решение

    Давайте сначала рассмотрим уравнение 1:

    u = (3,4,5)

    | и | = √ ((3)2 + (4)2 + (5)2)

    | и | = √ (9 + 16 + 25)

    | и | = 7.07

    Теперь рассмотрим уравнение 2:

    v = <2,5,6,>

    | против | = √ ((2)2 + (5)2 + (6)2)

    | против | = √ (4 + 25 + 36)

    | против | = 8,06

    Вычислим уравнение 3 для :  

    | с | = √ ((3)2 + (0)2 + (8)2)

    | с | = √ (9 + 0 + 64)

    | с | = 9,05

    Итак, в приведенных выше примерах мы вычислили величины трехмерных векторов.

    Что такое вектор смещения?

    Вектор смещения определяется как:

    » Вектор, объясняющий изменение положения объекта, называется вектором смещения.»

    Рассмотрим вектор AB , начальная точка которого — A (x1, y1, z1), а конечная точка — B (x2, y2, z2). Он имеет некоторую величину и направление, и в этом случае направление определяется как от А к В.2)

    | АВ | = √ (9 + 4 + 16)

    | АБ | = √ (29)

    | АБ | = 5,38

    Расстояние между двумя точками равно 5,38 м.

    Направление вектора, определяемое единичным вектором

    Единичный вектор определяется как тип вектора, величина которого всегда равна 1. Таким образом, единичный вектор описывает направление вектора v при условии, что величина вектора равна |v|.

    Тогда вектор направления задается как

    Û = U / | У |

    Давайте решим несколько примеров, чтобы применить эту концепцию к трехмерным векторам.

    Пример 3

    Узнать направление и величину заданного трехмерного вектора PQ (3,5,6).

    Решение

    Величина данного вектора определяется как:

    |PQ| = √ ((3)2 + (5)2 + (6)2)

    |PQ| = √ (9 + 25 + 36)

    |PQ| = 8,366

    Направление трехмерного вектора задается единичным вектором следующим образом:

    UPQ = PQ / | ПК |

    UPQ = [3, 5, 6] / 8.2)

    |АВ| = √ (25 + 9 + 4)

    |AB| = 6,166

    Направление вектора задается единичным вектором следующим образом:

    UAB = AB / | АВ |

    UAB = (5 i + 3 j + 2 k ) / 6,166

    Угол между двумя трехмерными векторами

    Рассмотрим два вектора скалярное произведение двух векторов в трехмерном пространстве задается как:

    u.v = |и| |v|.cos θ

    где |u| и |v| — величины двух векторов u и v, а θ — угол между двумя векторами.

    Чтобы понять концепцию угла между двумя трехмерными векторами, давайте пересмотрим концепцию скалярного произведения или скалярного произведения. Скалярное произведение определяется как произведение двух трехмерных векторов, которое дает взамен скалярную величину.

    Таким образом, угол между двумя трехмерными векторами задается как скалярное произведение двух векторов, деленное на произведение величин двух векторов.

    Для вычисления угла между двумя трехмерными векторами необходимо выполнить следующие шаги:

    • Во-первых, вычислить величину двух векторов.
    • Теперь начнем с рассмотрения обобщенной формулы скалярного произведения и сделаем угол θ основным предметом уравнения и соответствующим образом смоделируем его,

                       u . v = |и| |v|.cosθ

                      cosθ = u . v / |u| |в|

                     θ = arccos ( u . v / |u| |v|)

    • Используйте стандартную алгебраическую формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов.

    Точно так же угол между двумя трехмерными векторами также можно рассчитать с помощью перекрестного произведения, выполнив те же шаги, что обсуждались выше, с той лишь разницей, что он будет иметь sin вместо cos и обобщенную формулу перекрестного вычисления. продукт для того, чтобы два узнать результат.

    Давайте разберемся с концепцией на примере.

    Пример 5

    Пример 5

    Учитывая, что есть два вектора U = 2 I + 2 J + 3 K и V = 6 I + 3 J + 1 K . по формуле скалярного произведения вычислить угол между двумя векторами.

    Решение

    Выполните следующие шаги, чтобы вычислить угол между двумя векторами.

    1. Начните с формулы скалярного произведения.
    2. Узнайте величину двух векторов.
    3. Вычислить скалярное произведение двух векторов.
    4. Разделить произведение двух векторов на произведение величины двух векторов.
    5. Рассчитайте значение θ, подставив в приведенное ниже уравнение

     θ = arccos ( u . 2)

    |в| = √ (36 + 9 + 1)

    |v| = √ (46)

    Теперь, вычисляя скалярное произведение двух векторов,

    u.v = (2 i + 2 j + 3 k ). (6 i + 3 j + 1 k )

    uv = ((2.6)(1) + (2.3)(1) + (3.1)(1))

    uv 12 + 6 +3

    uv = 21

    Теперь, в качестве последнего шага, поместите все значения в формулу, чтобы рассчитать значение θ.

    θ = arccos ( u . v / |u| |v|)

    θ = arccos (21 /√ (17).√ (46) )

    θ = arccos (21 / (4.12) (6.78) )

    θ = arccos (0,75)

    θ = 0,7227 рад

    Таким образом, переводя угол в градусы,

    θ = 41,36º

    Чтобы построить трехмерный вектор, рассмотрим следующую аналогию.

    Рассмотрим трехмерную систему координат с 3 осями x, y и x, которые также можно обозначить в стандартных единичных векторах, таких как i, j, и k . Как показано на рисунке, помеченные стороны являются положительными осями x, положительными осями y и положительными осями z, а непомеченные стороны считаются отрицательными осями. Пересечение трех перпендикулярных осей называется началом О. Итак, с помощью этих осей любой точке А в пространстве можно поставить в соответствие три координаты А = (А1, А2, А3).

    Давайте рассмотрим человека, стоящего в углу комнаты и смотрящего вниз в точку, где стены соприкасаются с полом. Таким образом, это пересечение можно визуализировать как трехмерную ось.Пол и стену слева от человека, пересекающие друг друга по прямой, можно рассматривать как положительные оси абсцисс. Пол и стена, пересекающиеся по направлению к правой стороне человека, являются осью Y. Стены, пересекающиеся по вертикальной линии, имеют положительную ось z. Противоположная часть каждого рассматривается как отрицательная часть каждой оси.

    Вектор отображается синим цветом, его конец фиксируется в начале координат, а наконечник указывает направление, показанное на рисунке ниже. Теперь нарисуйте проекцию вектора на три оси, показанные красным цветом, которые являются координатами данного вектора.

    Так же, как и в двумерном, мы также можем обозначить трехмерный вектор через единичный вектор i, j, и k. Это единичные векторы в вышеуказанных положительных осях. Трехмерный вектор можно представить как A = A1 i + A2 j + A3 k , где A1, A2 и A3 — координаты трехмерного вектора.

    Существуют различные программы для построения трехмерных векторов и графиков, которые можно использовать для визуализации и рисования трехмерных векторов и правильного понимания их характеристик.

    Проблемы практики
    1. Рассчитать величину следующих 3 D векторов: U = 5 I + 10 J + 8 K AB = 1 I + 2 J + 5 k             <3,5,8>       
    2. Учитывая, что координаты двух точек равны A (5,0,8) и B (9,5,4). Найдите расстояние между двумя точками.
    3. Найти угол между заданными векторами u <-8,7,2> и v <-6,4,3>.
    4. Узнать направление вектора u <2,6,5>   
    5. Узнать направление и величину данного вектора
    6. При наличии двух векторов u = 8 i + 6 j + 9 k и v = 3 i + 3 j + 5 k 90. по формуле скалярного произведения вычисляет угол между двумя векторами.
    7. Книга лежит на столе так, что сила F1 = 1 i + 1 Дж + 1 k действует вверх и сила F2 = -(1 i + 1 j + 1 k) действуют вниз так, что две силы равны по модулю и противоположны по направлению. Вычислите угол между двумя силами.

    Ответы
    1. 13.8        5,5      9,9
    2. 7,54
    3. 55,6°
    4. (<2, 6, 5>)/ (√65)
    5. |AB| = 13, UAB = (- 8 I + 5 J + + 5 j + 9 K) / ( 13 K) / ( 13 ) / ( 13 )
    6. 17.2 °
    7. 180 °

    Все векторные диаграммы построены с использованием Geogebra.  

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    BestMaths

    Векторы также можно использовать в трех измерениях .Для этого требуются три взаимно перпендикулярные (ортогональные) оси, как показано ниже.

    Оси x и y обычно отображаются горизонтально, а оси z вертикально (вверх).

    Положение точки можно задать с помощью трех координат (x, y, z).

    Начало O определяется как (0, 0, 0).

    Представление трехмерных векторов
    В трех измерениях вектор положения p может быть показан как .

    Его также можно записать в терминах основных единичных векторов как p = x i + y j + z k , где

    — основные единичные векторы в направлениях x, y и z.

    Многие правила векторов, которые применяются в двух измерениях, также применимы в трех измерениях, хотя трехмерный вектор не может иметь градиент. В трех измерениях векторы могут быть параллельными и никогда не пересекаться или непараллельными и 90 738 наклонными. Перекос 90 739 векторов никогда не встречается.

    Вектор s находится позади вектора t.

    Свойства трехмерных векторов

    Умножение трехмерного вектора на скаляр
    Вектор можно умножить на скаляр или константу. Каждая компонента вектора умножается на скаляр.

    Вектор k a представляет собой вектор a , умноженный на масштабный коэффициент k .
    Это в том же направлении, что и a и k , умноженное на величину (длину).

    напр.

    Длина трехмерного вектора

    Длина вектора называется его величиной .
    Если

    Это свойство можно показать с помощью теоремы Пифагора.

    Сложение и вычитание векторов
    Векторы можно складывать и вычитать в матричной форме путем сложения или вычитания соответствующих элементов.

    Векторы можно добавлять с помощью векторных треугольников.Второй вектор добавляется в конец первого вектора. Обратите внимание, что стрелки на двух добавляемых векторах идут в одном направлении вокруг треугольника, а стрелка результирующего вектора идет в другом направлении.

    При вычитании, используя диаграмму, добавьте к напротив или обратной матрице. a − b  нарисовано как  a + (-b).

    Помните, что это важное свойство двухмерных векторов применимо и к трехмерным.

    = б − а
     

    Трехмерная координатная геометрия — уравнение плоскости

    Когда мы знаем три точки на плоскости, мы можем найти уравнение плоскости, решая одновременные уравнения.

    Пусть ax+by+cz+d=0 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 — уравнение плоскости, на которой находятся следующие три точки: A=(1,0, 2),В=(2,1,1), А=(1,0,2), В=(2,1,1),А=(1,0,2),В=(2,1, 1) и С=(−1,2,1).С=(-1,2,1). С=(−1,2,1). Тогда уравнение плоскости устанавливается следующим образом:

    У нас уже есть уравнение плоскости с 4 неизвестными константами:

    ax+by+cz+d=0.(1)ax + by + cz +d = 0. \qquad (1) ax+by+cz+d=0.(1)

    Мы также получаем следующие 3 уравнения, подставляя координаты A,B,A, B,A,B и CCC в (1):(1):(1):

    a⋅1+b⋅0+c⋅2+d=0a⋅2+b⋅1+c⋅1+d=0a⋅(−1)+b⋅2+c⋅1+d=0, \begin {выровнено} а \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot 1 + d &= 0 \\ a \cdot (-1) + b \cdot 2 + c \cdot 1 +d &= 0, \end{выровнено} a⋅1+b⋅0+c⋅2+da⋅2+b⋅1+c⋅1+da⋅(−1)+b⋅2+c⋅1+d​=0=0 =0,

    , что дает b=3a,c=4a,d=-9a.(2)b=3а, с=4а, d=-9а. \qquad (2)b=3a,c=4a,d=-9a.(2)

    Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

    ax+3ay+4az-9a=0x+3y+4z-9=0. \begin{выровнено} топор + 3ay + 4az -9a &= 0 \\ х + 3у + 4г — 9 &=0. \end{выровнено} ax+3ay+4az-9ax+3y+4z-9​=0=0.​

    Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A=(1,0,2),B=(2,1,1), A=(1,0,2), B=(2,1, 1),A=(1,0,2),B=(2,1,1) и C=(-1,2,1)C=(-1,2,1) C=(-1, 2,1) это

    х+3у+4г-9=0. х + 3у + 4z — 9 = 0 .х+3у+4г-9=0.

    Используя этот метод, мы можем найти уравнение плоскости, если нам известны три точки. Вот пара примеров:

    Если плоскость проходит через три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0,1),A =(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1),C=(3,1,1),C=(3,1,1), тогда что такое уравнение плоскости?


    Пусть уравнение плоскости будет ax+by+cz+d=0.(1) ax+by+cz+d=0. \qquad (1)ax+by+cz+d=0.(1)

    Тогда, поскольку эта плоскость включает в себя три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0,1),A =(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1),C=(3,1,1),C=(3,1,1), у нас есть

    a⋅0+b⋅0+c⋅2+d=0a⋅1+b⋅0+c⋅1+d=0a⋅3+b⋅1+c⋅1+d=0, \begin{выровнено} а \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 + d &= 0 \\ а \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 1 +d &= 0, \end{выровнено} a⋅0+b⋅0+c⋅2+da⋅1+b⋅0+c⋅1+da⋅3+b⋅1+c⋅1+d​=0=0=0,

    , что дает b=-2a,c=a,d=-2a.(2)b=-2а, с=а, d=-2а. \qquad (2)b=−2a,c=a,d=−2a.(2)

    Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

    ax+−2ay+az−2a=0x−2y+z−2=0. \begin{выровнено} топор + -2ау + аз -2а &= 0 \\ х-2у + z-2&=0. \end{выровнено} ax+−2ay+az−2ax−2y+z−2​=0=0.​

    Отсюда уравнение плоскости, проходящей через три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1) A=(0,0,2), B=(1,0,1 )A=(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1)C=(3,1,1) C=(3,1,1) равно

    х-2у+г-2=0. □x -2y + z — 2 =0. \ _\квадрат x−2y+z−2=0.□​

    Если плоскость проходит через три точки A=(3,1,2),B=(6,1,2), A=(3,1,2), B=(6,1,2),A =(3,1,2),B=(6,1,2) и C=(0,2,0),C=(0,2,0),C=(0,2,0), тогда каково уравнение плоскости?


    Пусть уравнение плоскости будет ax+by+cz+d=0.(1) ax+by+cz+d=0. \qquad (1)ax+by+cz+d=0.(1)

    Тогда, поскольку эта плоскость включает в себя три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0,1),A =(0,0,2),B=(1,0,1) и C=(3,1,1),C=(3,1,1),C=(3,1,1), у нас есть

    a⋅3+b⋅1+c⋅2+d=0a⋅6+b⋅1+c⋅2+d=0a⋅0+b⋅2+c⋅0+d=0, \begin{выровнено} а \cdot 3 + b \cdot 1 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 6 + b \cdot 1 + c \cdot 2 + d &= 0 \\ а \cdot 0 + b \cdot 2 + c \cdot 0 +d &= 0, \end{выровнено} a⋅3+b⋅1+c⋅2+da⋅6+b⋅1+c⋅2+da⋅0+b⋅2+c⋅0+d​=0=0=0,

    , что дает a=0,c=12b,d=-2b.(2)а=0, с=\фрак{1}{2}б, d=-2б. \qquad (2)a=0,c=21​b,d=−2b.(2)

    Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

    0x+-by+12bz-2b=0x-y+12z-2=02x-2y+z-4=0. \begin{выровнено} 0x + -by + \frac{1}{2}bz -2b &= 0 \\ x -y + \frac{1}{2}z — 2 &=0 \\ 2x — 2y +z-4 &=0. \end{выровнено} 0x+-by+21bz-2bx-y+21z-22x-2y+z-4​=0=0=0.​

    Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A=(0,0,2),B=(1,0,1), A=(0,0,2), B=(1,0, 1),А=(0,0,2),В=(1,0,1) и С=(3,1,1)С=(3,1,1) С=(3,1,1) ) составляет

    2x−2y+z−4=0.□2x — 2y +z-4 =0. \ _\квадрат 2x−2y+z−4=0. □​

    Попробуйте решить следующую проблему:

    х=1х=1х=1 х+у=3х+у=3х+у=3 у-х=1у-х=1у-х=1 Ни один из вышеперечисленных

    Найдите уравнение плоскости, проходящей через (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3) и (1,−3,2)(1,-3,2)(1, −3,2) и параллельно оси zzz.

    векторных операций в 3D — концепция

    Хотя они похожи на операции с 2D-векторами, полезно попрактиковаться в операциях с 3D-векторами. Трехмерные векторные операции включают сложение и скалярное умножение, скалярное произведение и вычисление величины. Самая большая разница в этих трехмерных векторных операциях заключается в добавленном шаге вычисления. С помощью трехмерных векторных операций мы можем выполнять вычисления, например, находить угол между векторами в пространстве.

    Итак, как векторные операции работают в 3-х измерениях? Оказывается, это почти то же самое, что и в двух измерениях, только у вас есть новый компонент, теперь давайте возьмем 2 вектора u и v. В 3 измерениях у вас есть 3 компонента u1, u2 и u3, v1, v2 и v3, так как вы добавить векторы? Точно так же, как и в двух измерениях, вы добавляете их покомпонентно, поэтому сумма будет u1+v1, u2+v2, u3+v3.А как насчет скалярных множителей? Предположим, k — какое-то действительное число, и вы умножаете его на вектор u, как и раньше: k раз u1, k раз u2, k раз u3, k раз каждый из компонентов. Скалярный продукт работает точно так же, он будет произведением одинаковых компонентов, поэтому u1v1+u2v2+u3v3, u1v1+u2v2+u3v3 и, наконец, величина вектора u — это просто квадратный корень из суммы квадратов компоненты. Итак, и1 в квадрате плюс и2 в квадрате плюс и3 в квадрате.
    Давайте сделаем пример, который использует эти правила, поэтому часть а просит меня упростить 3, 8 минус 2 плюс 2 умножить на 4 минус 1 и 2.Итак, я собираюсь сделать скалярное умножение сначала 2 раза 4 минус 1, 2 равно 8 минус 2, 4, и я добавлю это к 3, 8 минус 2, так что я получаю 3 + 8 равно 11, 8 плюс минус 2 равно 6 и отрицательное 2 плюс 4 равно 2. Как насчет скалярного произведения этих двух парней, оно будет 1 умножить на 3, 3 плюс отрицательное 4 умножить на 2 отрицательное 8 плюс 5 умножить на 6 30. И это отрицательное 5 плюс 30 25, как работа на вычитание? Точно так же, как и с 2 измерениями, вы вычитаете, как компоненты 1-2 минус 1, 2 минус минус 1 равно 3, 1-1 0.Какова величина вектора 3, 2, 6, это квадратный корень из суммы квадратов компонентов. Итак, 9+4+36, теперь это 13+36, что равно 49, а корень 49 равен 7.

    векторов в двух и трех измерениях — видео и стенограмма урока

    Двумерные векторы

    Один из способов представления двумерного вектора — векторные компоненты, которые просто сообщают вам, как далеко уходит вектор в каждом направлении. Например, вектор с компонентой x , равной 4, и компонентой y , равной 3, который начинается в начале координат, будет заканчиваться в координатах (4,3).

    Величина вектора — это общая сумма количества, представленного вектором. Для двумерного вектора величина равна длине гипотенузы треугольника, в котором сторонами являются x — и y -компоненты. Поэтому, если вы знаете две компоненты вектора и хотите найти величину, вы можете использовать теорему Пифагора. Вы также можете использовать функцию касательной, чтобы найти угол, который вектор образует с осью x .Для показанного здесь вектора величина будет равна 5, а угол, который он образует с осью x , будет равен 37 градусам.

    Трехмерные векторы

    Трехмерные векторы ничем не отличаются от двумерных, но есть еще одно направление, за которым нужно следить. Точно так же, как двумерные векторы, вы можете представить трехмерный вектор, используя три компонента в каждом из трех направлений. Есть несколько разных способов, которыми вы можете увидеть написанный трехмерный вектор.Иногда вы можете увидеть три компонента, заключенные в скобки следующим образом: < >

    В других случаях компоненты вектора могут быть обозначены с помощью единичных векторов: i , j и k , которые просто показывают в каком направлении находится каждый компонент: i представляет x -компоненту вектора, j представляет y -компоненту, а k представляет z -компоненту. Вы можете встретить это обозначение для двумерных векторов, но оно еще более распространено для трехмерных векторов.

    Вы можете найти величину трехмерного вектора почти так же, как мы это сделали для двумерного вектора. Подобно тому, как величина двумерного вектора вычисляется с помощью теоремы Пифагора, вы можете сделать нечто подобное и для трехмерного вектора. Величина равна квадратному корню из x -компонента в квадрате плюс y -компонента в квадрате плюс z -компонента в квадрате.

    Для вектора с компонентами <6,2,7> величина будет:

    Сложение и вычитание трехмерных векторов

    Вы можете складывать и вычитать трехмерные векторы точно так же, как складываете и вычитаете двумерные векторы.У вас просто есть дополнительный компонент для работы!

    Чтобы сложить любые два вектора, просто добавьте два компонента x , компоненты y и компоненты z . Будьте осторожны, чтобы держать компоненты отдельно, потому что все они находятся в разных направлениях. Для двух векторов, A и B , показанных здесь, вы можете найти их сумму, складывая каждый набор компонентов.

    Чтобы вычесть два трехмерных вектора, просто сделайте обратное и вычтите каждый набор компонентов.

    Итоги урока

    Давайте на минутку повторим, что мы узнали. Вектор — это математическая величина, имеющая величину и направление. Векторы могут быть двухмерными с компонентами в направлениях x и y или трехмерными с компонентами в направлениях x , y и z . Как трехмерные, так и двумерные векторы могут быть представлены компонентами в каждом направлении.Чтобы сложить или вычесть как двумерные, так и трехмерные векторы, просто добавьте или вычтите каждый набор компонентов.

    Asset2Vec: преобразование 3D-объектов в векторы и обратно | Джонатан Лазерсон, доктор философии

    Как мы использовали NeRF для встраивания всего нашего каталога 3D-объектов в общее скрытое пространство и что это означает для будущего графики

    В компании Datagen, где я в настоящее время работаю руководителем отдела исследований ИИ , мы создаем синтетические фотореалистичные изображения обычных трехмерных сред с целью обучения алгоритмов компьютерного зрения.Например, если вы хотите научить домашнего робота перемещаться по грязной спальне, подобной приведенной ниже, вам потребуется довольно много времени, чтобы собрать реальные изображения для достаточно большой обучающей выборки [люди обычно не любят, когда посторонние входят свою спальню, и им определенно не понравится фотографировать свой беспорядок].

    Синтетическое изображение грязной спальни (Изображение автора).

    Мы создали приведенное выше изображение с помощью графического программного обеспечения. После того, как мы создадим (в программном обеспечении) 3D-модели окружающей среды и всего, что в ней находится, мы используем его средство визуализации с трассировкой лучей для создания изображения сцены с любой точки зрения камеры, которая нам нравится, при любых условиях освещения, которые мы хотим.У нас есть полный контроль.

    Теперь, если вы думаете, что собрать реальных изображений сложно, подождите, пока вы не попытаетесь пометить этих изображений. Вам нужно будет запустить долгую и дорогостоящую операцию по маркировке, чтобы научить людей маркировать эти пиксели в соответствии с вашими стандартами. Конечно, с синтетическими изображениями мы можем легко создавать метки с точностью до пикселя для любого аспекта изображения, включая то, что люди не могут оценить, например карты глубины и поверхности нормалей.

    Слева вверху по часовой стрелке: сцена, визуализированная при различных условиях освещения, карта нормалей поверхности, карта глубины, метки классов объектов (изображение автора).

    Сбор активов

    Чтобы помочь нашему пользователю обучить своего робота, нам нужно создать десятки тысяч спален, как показано выше, и нам нужно заполнить их вещами: мебелью, тканью, книгами, использованными чашками, пультами дистанционного управления. и т. д. Поэтому мы поддерживаем большой каталог созданных художниками 3D-объектов (мы называем их активами ) . Наш каталог насчитывает более миллиона объектов, и мы гордимся этим.

    Каждый активный объект состоит из подробной трехмерной сетки (многоугольная структура, состоящая из треугольников, которая определяет форму объекта) и карты текстуры (изображение, которое определяет внешний вид объекта, как если бы это одеяло, используемое для покрытия поверхности сетки).

    Ресурс (слева) представлен структурой сетки (в центре) и текстурной картой (справа). Изображение автора.

    Помимо сетки и карты текстур, которые определяют объект визуально, остальная информация, хранящаяся для каждого актива, представляет собой то, что 3D-художник решил поместить в текстовый файл метаданных, например тип объекта («обеденный стул »), и любые теги, которые казались актуальными в то время.

    Следовательно, поиск по каталогу (например, «дай мне все столы с 3 ножками») может быть выполнен только с использованием их атрибутов метаданных.Если художник не написал количество ножек для каждого стола, то единственный способ узнать, какие столы трехногие, это открыть по очереди файлы их 3D-моделей и посмотреть.

    Asset-2-Vec

    Вместо этого мы предлагаем закодировать каждый актив в пространстве встраивания, которое будет инкапсулировать форму и внешний вид всего актива. Подобно Word2Vec, который дает каждому слову в словаре «кодовый» вектор, соответствующий местоположению в n -мерном пространстве, так что семантически похожие слова находятся близко друг к другу, мы хотим присвоить вектор каждому из наши ассеты, чтобы мы могли сказать, просто взглянув на вектор, все визуальные свойства ассетов.

    Кодирование всех наших 3D-ресурсов в векторы. Изображение автора.

    В идеале мы также хотели бы отделить свойства формы (например, количество ножек) от свойств внешнего вида (таких как цвет или материал). Откуда нам знать, что вектор действительно отражает всю суть объекта? Окончательный способ — вернуться от вектора к 3D-модели актива.

    Вы можете представить нейронную сеть, которая научится считывать вектор в качестве входных данных и выводить исходную сетку и текстурную карту актива.Однако это будет тяжело. Сетка каждого ассета имеет совершенно разную топологию: разное количество треугольников, разное значение для каждого узла, разный формат сопоставления между текстурной картой и сеткой. Нам понадобится что-то еще, альтернативное 3D-представление, которое будет соответствовать всем ассетам.

    NeRF спешит на помощь

    Здесь на помощь приходит NeRF. Как вы помните, в моем предыдущем посте я показал, как, используя около 40 изображений объекта, сделанных с разных точек зрения, мы можем обучить нейронную сеть всему пространство вокруг объекта.Обученная нейронная сеть принимает на вход точку (x, y, z) в пространстве и возвращает цвет (r, g, b) и степень непрозрачности (α) материала в этой точке. Сети настолько хорошо изучают пространство, что рендерер может сделать «фотографию» объекта, просто запросив у этой сети точки вдоль лучей, идущих от моделируемой «камеры».

    Нейронная сеть в центре NeRF (изображение автора).

    Мы можем легко получить 40 изображений, охватывающих каждый актив, который есть в нашем каталоге.Мы просто визуализируем их с помощью графического программного обеспечения из их исходной модели сетки (так что мы могли бы также визуализировать 80). Затем мы можем обучить сеть NeRF, используя эти изображения, для кодирования пространства вокруг объекта. После того, как сеть обучена, мы можем создать короткий фильм, показывающий объект с разных новых ракурсов, где каждый кадр визуализируется путем запроса обученной сети NeRF.

    Слева: снимок экрана из Blender, графического программного обеспечения, где мы визуализируем 80 синтетических изображений актива с разных направлений (каждая пирамида представляет собой смоделированную камеру), используемую для обучения сети NeRF.Справа: объект, визуализированный из 80 новых точек обзора, охватывающих 360 градусов, путем запроса обученной сети NeRF. Изображения автора.

    Далее мы собираемся использовать эту единую сеть NeRF для кодирования не одного объекта (например, стула выше), а всех стульев в нашем каталоге . Эта единственная сеть будет иметь точно такую ​​же архитектуру, что и сеть NeRF. Единственное отличие состоит в том, что у него будет дополнительный ввод: (скрытый) вектор, назначенный каждому стулу, который он будет изучать во время обучения.Мы будем обучать эту сеть точно так же, как мы обучали сеть NeRF, за исключением того, что мы будем использовать фотографии, сделанные из всех стульев в нашем каталоге.

    Сеть NeRF со скрытым вектором в качестве дополнительного входа. Во время обучения скрытые векторы активов также изучаются вместе с весами полносвязных слоев (изображение автора).

    Это обучение отличается от обычного обучения тем, что в дополнение к собственным весам сеть также изучает специальный набор переменных, связанных с каждым отдельным стулом — его скрытый вектор (аналогично тому, как изучается слой встраивания).Когда мы распространяем обратно ошибку, полученную при рендеринге изображения стула, обновляются не только веса сети NeRF, но и значения в скрытом векторе, присвоенном этому конкретному стулу (например, вход vec ).

    Как только мы обучим эту сеть, мы сможем использовать ее для создания фильмов обо всех стульях в каталоге! Чтобы отобразить любой конкретный стул, нам просто нужно предоставить скрытый код этого стула в качестве входных данных для сети NeRF, когда мы запрашиваем его.

    Образец наших активов кресла, полученный путем запроса одиночной сети NeRF.Изображение автора.

    Скрытая разведка

    Нам не нужно ограничиваться векторами, изученными для активов в нашем текущем каталоге. Мы также можем исследовать, что происходит, когда мы произвольно меняем скрытые векторы или смешиваем и сопоставляем скрытые векторы из двух разных активов. Возможно, в ближайшем будущем мы сможем обогатить наш каталог новыми активами таким образом:

    Смешивание скрытых векторов : Стул в месте (i, j) создается, когда вход в сети NeRF объединяет форму часть латентного вектора стула и , с частью внешнего вида стула j .Изображение автора.

    Чтобы получить интуитивное представление о том, как выглядит скрытое пространство активов, мы можем использовать алгоритм TSNE для размещения наших активов на 2D-плоскости (в соответствии с их скрытыми векторами):

    График T-SNE векторов 522 наших активов. Четкое разделение между классами объектов и подклассами. Изображение автора.

    Мы видим, что разделение между различными подклассами стульев очевидно, и даже внутри подкласса (например, кресло ) мы можем легко найти области, в которых стулья имеют общие визуальные атрибуты (т.е. кресла с деревянными подлокотниками против кресел с мягкими подлокотниками).

    И в этом весь смысл, не так ли? Потому что это означает, что мы можем легко обучить линейный классификатор (например, SVM) для определения любого интересующего нас визуального атрибута, передав ему векторы только нескольких положительных и отрицательных активов, а затем используя его для маркировки остальных 1M -каталог активов, даже не загружая эти активы. Эта специальная классификация может сэкономить нам массу времени!

    Будущее скрыто

    Наконец, этот анализ работает не только со стульями, но и со всеми остальными семействами активов в нашем каталоге.Мы можем представить себе будущее, в котором каждая визуализируемая сцена будет полностью описываться этими скрытыми элементами: скрытым значением для каждого актива, скрытым значением фона, скрытым значением позы, ракурсом камеры, освещением. И если мы осмелимся, то сможем представить себе будущее, в котором традиционные сетки и карты текстур больше не будут использоваться для рендеринга синтетических, но фотореалистичных изображений, таких как грязная сцена в спальне, изображенная выше.

    Образец наших активов таблицы , визуализированных путем запроса одиночной сети NeRF.Изображение автора.

    Сеть NeRF имеет две ветви, одну для непрозрачности (α), а другую для цвета. Чтобы отделить части формы и внешнего вида в скрытом векторе, мы разделили входной скрытый код на две части и показали часть внешнего вида только цветовой ветви, как показано ниже. Этот трюк был взят из недавней статьи GIRRAFE (Niemeyer and Geiger, CVPR 2021).

    Архитектура нашей пересмотренной сети NeRF (изображение автора).

    Чтобы лучше понять подпространства формы и внешнего вида, мы провели анализ PCA соответствующей части скрытых векторов:

    Иллюстрация 10 верхних компонентов PCA для пространства формы (вверху) и пространства появления (внизу) ).Изображения автора.

    Мы можем видеть, как они управляют различными аспектами стула, такими как размер сиденья, его ширина, высота спинки и т. д. В пространстве внешнего вида мы можем видеть, как направления PCA контролируют цвета, а также их насыщенность, яркость. , и условия освещения.

    Математика — угол между векторами

    Как вычислить угол между двумя векторами?

    Это относительно просто, потому что для 2D-вращений существует только одна степень свободы.Если v1 и v2 нормированы так, что |v1|=|v2|=1, то

    угол = acos(v1•v2)

    где:

    • • = «точечный» продукт (см. рамку справа на странице).
    • acos = arc cos = функция, обратная косинусу, см. страницу тригонометрии.
    • |v1|= величина v1.

    Единственная проблема в том, что это не даст всех возможных значений от 0° до 360° или от -180° до +180°. Другими словами, он не скажет нам, находится ли v1 впереди или позади v2, переход от v1 к v2 — это противоположное направление от v2 к v1.

    В большинстве математических библиотек acos обычно возвращает значение от 0 до π (в радианах), что составляет от 0° до 180°.

    Если мы хотим, чтобы значение + или — указывало, какой вектор впереди, то нам, вероятно, нужно использовать функцию atan2 (как описано на этой странице). используя:

    угол 2 относительно 1= atan2(v2.y,v2.x) — atan2(v1.y,v1.x)

    Для обсуждения вопросов, о которых следует помнить при использовании этой формулы, см. страницу здесь.

    Угол оси Результат

    Это проще всего вычислить, используя представление оси-угла, потому что:

    • угол определяется как acos скалярного произведения из двух (нормализованных) векторов: v1•v2 = |v1||v2| cos(угол)
    • ось задается перекрестным произведением два вектора, длина этой оси равна |v1 x v2| = |v1||v2| грех (угол).

    как описано здесь

    это взято из этого обсуждения.

    Итак, если v1 и v2 нормализованы так, что |v1|=|v2|=1, то

    угол = acos(v1•v2)

    ось = норма(v1 x v2)

    Если векторы параллельны (угол = 0 или 180 градусов), то длина v1 x v2 будет равен нулю, потому что sin(0)=sin(180)=0. В нулевом случае ось делает не имеет значения и может быть чем угодно, потому что вокруг него нет вращения. в 180-градусный случай, когда ось может быть любой под углом 90 градусов к векторам, поэтому представляет собой целый ряд возможных осей.

    угол (градусы) sin(угол) cos(угол) v1•v2 v1 x v2
    0 0 1 1 0,0,0
    90 1 0 0 длина блока
    180 0 -1 -1 0,0,0
    270 -1 0 0 длина блока

    Результат кватерниона

    Одним из подходов может быть определение кватерниона, который при умножении на вектор поворачивает его:

    р 2 =q * р 1

    Это работает почти так, как описано на этой странице.

    Однако, чтобы повернуть вектор, мы должны использовать эту формулу:

    p 2 =q * p 1 * conj(q)

    где:

    • p 2 = вектор, представляющий точку после поворота
    • q = кватернион, представляющий вращение.
    • p 1 = вектор, представляющий точку до поворота

    Это немного запутанно, чтобы решить для q, поэтому я благодарен minorlogic за следующий подход, который преобразует результат угла оси в кватернион:

    Угол оси может быть преобразован в кватернион следующим образом, пусть x,y,z,w элементы кватерниона, они могут быть выражены через угол оси, как объяснено здесь.

    угол = arcos(v1•v2/ |v1||v2|)
    ось = норма (v1 x v2)
    с = грех (угол/2)
    х = ось.х * с
    у = ось.у * с
    z = ось.z *s
    w = cos(угол/2)

    Мы можем использовать эту формулу триггера половинного угла на этом страница: sin(угол/2) = 0,5 sin(угол) / cos(угол/2)

    , поэтому подстановка в формулу кватерниона дает:
    s = 0,5 sin(угол) / cos(угол/2)
    х = норма (v1 x v2).x *s
    у = норма (v1 x v2).г * с
    z = норма(v1 x v2).z *s
    w = cos(угол/2)

    умножить x,y,z и w на 2*cos(угол/2) (это денормализует кватернион но мы всегда можем нормализовать позже)

    x = норма(v1 x v2).x * sin(угол)
    y = норма (v1 x v2).y * sin (угол)
    z = норма(v1 x v2).z * sin(угол)
    w = 2 * cos(угол/2) * cos(угол/2)

    теперь замените формулу триггера половинного угла на это страница: cos(угол/2) = sqrt(0.5*(1 + cos(угол)))

    х = норма (v1 х v2).х * грех (угол)
    y = норма (v1 x v2).y * sin (угол)
    z = норма(v1 x v2).z * sin(угол)
    w = 1 + cos (угол)

    , потому что |v1 x v2| = |v1||v2| sin(угол) мы можем нормализовать (v1 x v2), разделив это с грехом (угол),

    также применяется v1•v2 = |v1||v2| cos(угол)so,

    х = (v1 х v2).x / |v1||v2|
    y = (v1 x v2).y/ |v1||v2|
    z = (v1 x v2).z/ |v1||v2|
    w = 1 + v1•v2 / |v1||v2|

    Если v1 и v2 уже нормализованы, тогда |v1||v2|=1, поэтому

    х = (v1 х v2).х
    у = (v1 x v2).y
    z = (v1 x v2).z
    w = 1 + v1•v2

    Если v1 и v2 еще не нормализованы, умножьте на |v1||v2| дает:

    х = (v1 х v2).x
    у = (v1 x v2).y
    z = (v1 x v2).z
    ш = |v1||v2| + v1•v2

    Результат матрицы

    Использование кватерниона к преобразованию матрицы здесь мы получаем:

    1 — 2*qy 2 — 2*qz 2 2*qx*qy — 2*qz*qw 2*qx*qz + 2*qy*qw
    2*qx*qy + 2*qz*qw 1 — 2*qx 2 — 2*qz 2 2*qy*qz — 2*qx*qw
    2*qx*qz — 2*qy*qw 2*qy*qz + 2*qx*qw 1 — 2*qx 2 — 2*qy 2

    , поэтому, подставив приведенные выше результаты кватерниона в матрицу, мы получим:

    (v1 x v2).х = v1.y * v2.z — v2.y * v1.z
    (v1 x v2).y = v1.z * v2.x — v2.z * v1.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.