Site Loader

Содержание

Закон Кирхгофа (страница 1)

Применение закона Кирхгофа к расчету линейных электрических цепей постоянного тока


1. В цепи (рисунок 10) известны значения токов ; величины сопротивлений . Определить напряжение U на входных зажимах цепи, сопротивление и величину Е источника ЭДС.

Решение:
По закону Ома определим напряжение между узлами 3-2:

Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 3:

определим ток :

Тогда, по закону Ома для ветви с сопротивлением :

откуда выражаем величину Е источника ЭДС:

Напряжение можно выразить из уравнения, записанного по II закону Кирхгофа для контура 1-3-2-1:

Зная величины напряжения и тока , определим величину сопротивления :

Напряжение на входных зажимах цепи определится:

Ток определим из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для 1 узла:


тогда

2. В цепи (рисунок 11) известны величины сопротивлений резистивных элементов ; мощность, изменяемая ваттметром Р=320 Вт. Определить токи ветвей, напряжение на зажимах цепи.

Решение:
Из формулы для расчета мощности выражаем ток :

Затем определяем напряжение на зажимах параллельных ветвей:

По закону Ома определяем ток в ветви с сопротивлением :

Значение тока в неразветвленной части цепи определим из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для узла 1:

Напряжение на входных зажимах цепи можно представить как сумму падений напряжений на сопротивлениях :

где
тогда

3. На рисунке 12 показана часть сложной цепи. Задано: . Найти напряжение .

Решение:
Уравнение по второму закону Кирхгофа для данного контура, при выбранном направлении обхода контура, запишется следующим образом:

откуда выражаем напряжение :

4. В схеме (рисунок 13) известны: . Определить напряжения .

Решение:
Считаем направления обходов контуров совпадающими с направлениям искомых напряжений. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура и выразим напряжения:
контур 1-2-6-5-1

контур 3-4-6-5-3

контур 1-3-5-1

контур 2-4-6-2

контур 1-4-6-5-1

контур 2-3-5-6-2

5. Определить показание амперметра (рисунок 14), если .

Решение:
По закону Ома определим значения токов в ветвях:

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла b:

откуда

6. На рисунке 15 показана часть сложной цепи. Найти напряжения , если .

Решение:
По закону Ома определим ток на участке с-d:

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура a-b-c-d:

откуда выразим напряжение :

7. В схеме электрической цепи, приведенной на рисунке 16, определить токи в ветвях пользуясь законами Кирхгофа. Параметры элементов цени: .

Решение:
Выбираем произвольно положительные направления искомых токов ветвей и обозначаем их на схеме. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Получаем систему из трех уравнений:

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:

Находим значения токов:

Для проверки правильности расчета составим уравнение баланса мощностей:

Мощность источников:

Мощность потребителей:

8. Определить токи ветвей цепи (рисунок 17), если: .

Решение:
Произвольно задаемся положительными направлениями токов в ветвях с сопротивлениями . В ветви с источником тока направление тока уже определено полярностью источника. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1. Количество контурных уравнений зависит от количества ветвей с неизвестными токами, т.е. ветвей, не содержащих источники тока. Для данной цепи количество контурных уравнений равно 1. Составим систему уравнений:

Решаем систему уравнений с помощью определителей:

Определяем значения токов:


Краткое объяснение того, как работают законы Кирхгофа

В 1845 году Густав Кирхгоф (немецкий физик) вводит свод законов, касающихся тока и напряжения в электрических цепях. Законы Кирхгофа обычно называют KCL (Закон Кирхгофа по току) и KVL (Закон Кирхгофа по напряжению). KVL утверждает, что алгебраическая сумма напряжения в узле замкнутой цепи равна нулю. Закон KCL гласит, что в замкнутой цепи входящий ток в узле равен току, выходящему из узла. Когда мы наблюдаем в руководстве по резисторам, что одно эквивалентное сопротивление (RT) может быть найдено, когда несколько резисторов подключены последовательно или параллельно, эти схемы подчиняться закону Ома . Но в комплексе электрические схемы , мы не можем использовать этот закон для расчета напряжения и тока. Для таких расчетов мы можем использовать KVL и KCL.



Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа в основном касаются напряжения и тока в электрических цепях. Эти законы можно понимать как результаты уравнений Максвелла в пределе низких частот. Они идеально подходят для цепей постоянного и переменного тока на частотах, где длины волн электромагнитного излучения очень велики по сравнению с другими цепями.


Окружные законы Кирхгофа


Между напряжениями и токами в электрической цепи существуют различные соотношения. Эти отношения определяются законами Кирхгофа, такими как KVL и KCL. Эти законы используются для определения полного сопротивления сложной сети или эквивалентного электрического сопротивления и токов, протекающих в нескольких ветвях н / в.

Текущий закон Кирхгофа

KCL или закон тока Кирхгофа или первый закон Кирхгофа гласит, что полный ток в замкнутой цепи, входящий ток в узле равен току, выходящему в узле, или алгебраическая сумма тока в узле в электронной цепи равна нулю.



Действующий закон Кирхгофа

На приведенной выше диаграмме токи обозначены как a, b, c, d и e. Согласно закону KCL, входящие токи равны a, b, c, d, а выходящие токи — e и f с отрицательными значениями. Уравнение можно записать как

а + б + с + г = е + е

Обычно в электрической цепи термин узел относится к стыку или соединению несколько компонентов или элементов или токопроводящие дорожки, такие как компоненты и кабели. В замкнутой цепи должен существовать ток, протекающий в полосе узла или из него. Этот закон используется для анализа параллельных цепей.

Закон Кирхгофа о напряжении

KVL или закон напряжения Кирхгофа или второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжения в замкнутой цепи равна нулю или алгебраическая сумма напряжения в узле равна нулю.

Закон Кирхгофа о напряжении

Этот закон касается напряжения. Например, объясняется приведенная выше схема. Источник напряжения «a» соединен с пятью пассивными компонентами, а именно b, c, d, e, f, имеющими разность напряжений на них. Арифметически разница напряжений между этими компонентами складывается, потому что эти компоненты соединены последовательно. Согласно закону KVL, напряжение на пассивных компонентах в цепи всегда равно и противоположно источнику напряжения. Следовательно, сумма разностей напряжений на всех элементах в цепи всегда равна нулю.

а + б + с + г + е + е = 0

Общие термины теории цепей постоянного тока

Общая цепь постоянного тока состоит из различных теоретических терминов:

Схема: Цепь постоянного тока — это токопроводящая дорожка с замкнутым контуром, по которой протекает электрический ток.
Дорожка: Одна полоса используется для соединения источников или элементов
Узел: Узел — это соединение в цепи, где несколько элементов соединены вместе, и обозначено точкой.
Ответвляться: ветвь — это один или набор элементов, которые связаны между двумя узлами, такими как резисторы или источник
Петля: Петля в цепи — это замкнутый путь, где ни один элемент схемы или узел не встречается более одного раза.
Сетка: Сетка не содержит замкнутого пути, но представляет собой единственный открытый цикл, и он не содержит никаких компонентов внутри сетки.

Пример законов Кирхгофа

Используя эту схему, мы можем рассчитать текущий ток в резисторе 40 Ом.

Пример схемы для KVL и KCL

Вышеупомянутая схема состоит из двух узлов, а именно A и B, трех ветвей и двух независимых петель.

Применив KCL к указанной выше схеме, мы можем получить следующие уравнения.

В узлах A и B мы можем получить уравнения

I1 + I2 = I2 и I2 = I1 + I2

Используя KVL, уравнения мы можем получить следующие уравнения

Из цикла 1: 10 = R1 X I1 + R2 X I2 = 10I1 + 40I2
Из цикла 2: 20 = R2 X I2 + R2 X I3 = 20I2 + 40I3
Из цикла 3: 10-20 = 10I1-20 I2

Уравнение I2 можно переписать как

Уравнение 1 = 10 = 10I1 + 40 (I1 + I2) = 50 I1 + 40 I2
Уравнение 2 = 20 = 20I2 +40 (I1 + I2) = 40 I1 + 60 I2

Теперь у нас есть два параллельных уравнения, которые можно свести к значениям I1 и I2.

Замена I1 на I2 дает значение I1 = -0,143 Ампер.
Замена I2 на I1 дает значение I2 = +0,429 Ампер.

Мы знаем уравнение I3 = I1 + I2

Протекание тока в резисторе R3 записывается как -0,143 + 0,429 = 0,286 Ампер.
Напряжение на резисторе R3 записывается как: 0,286 x 40 = 11,44 вольт.

Знак –ve для «I» означает, что изначально предпочтительное направление потока тока было неправильным. Фактически, аккумулятор на 20 В заряжает аккумулятор на 10 В.

Это все о Законы Кирхгофа , в который входят KVL и KCL. Эти законы используются для расчета тока и напряжения в линейной цепи, и мы также можем использовать анализ контура для вычисления тока в каждом контуре. Кроме того, любые вопросы относительно этих законов, пожалуйста, дайте свои ценные предложения, комментируя в разделе комментариев ниже.

Фото:

Законы Кирхгофа — Новости 2022

Отношения между U и I

В двух Законах Кирхгофа рассказывается об отношениях между vofltages и токами в схемах.

Текущий закон Кирхгофа гласит, что: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Возможно, потребуется еще два вопроса:

  1. Узел является техническим термином для соединения в цепи, где две или более ветви соединены вместе. На рисунке 2.1 показан узел с четырьмя ветвями;
  2. фраза алгебраическая сумма напоминает нам, что мы должны учитывать текущее направление, а также величину, применяя действующий закон Кирхгофа.

Этот закон используется в анализе схемы для определения отношений между токами, протекающими в ветвях схемы. Например, на рисунке 2.1 течения, протекающие в четырех ветвях, соединенных с узлом, были определены как I 1, I 2, I 3, I 4 и действующий закон Кирхгофа позволяет записать уравнение, связывающее эти токи.

При внимательном рассмотрении на рисунке 2.1 мы видим, что два тока (I 1, I 2 ) текут к узлу, а другие два тока (I 3, I 4 ) текут наружу. «Алгебраическая сумма» должна учитывать эту разницу в относительном направлении.

Чтобы применить действующий закон Кирхгофа строго, мы должны сначала сделать произвольный выбор положительного направления тока.

Предположим, что течения, текущие в узел (I 1, I 2 ), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму (и наоборот течения, текущие от узла, рассматриваются как отрицательные вклады), то алгебраическая сумма токов будет записана: + I

1 + I 2 — I 3 — I 4, и согласно действующему закону Кирхгофа эта алгебраическая сумма равна нулю:

+ I 1 + I 2 — I 3 — I 4 = 0 (2, 1)

Тот же результат можно было бы получить при противоположном выборе направления положительного тока. Если течения, текущие от узла (I 3, I 4 ), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму, то алгебраическая сумма токов будет записана: — I1 — I2 + I3 + I4 и приравнивать эту алгебраическую сумму к нулю:

— I 1 — I 2 + I 3 + I 4 = 0 (2, 2)

который является тем же отношением, что и уравнение. 2.1 со всеми членами, умноженными на -1.

Следует подчеркнуть, что выбор условного обозначения при использовании действующего закона Кирхгофа полностью произволен и, разумеется, не имеет никакого значения для полученного результата. Тем не менее, хорошая практика должна быть последовательной в вашем выборе, потому что это минимизирует вероятность ошибки при записи алгебраической суммы.

Уравнения. 2.1 и 2.2 можно переустановить, чтобы показать, что:

I 1 + I 2 = I 3 + I 4 (2, 3)

и обращаясь к рис. 2.1, мы видим, что это уравнение показывает, что ток, текущий в узел, равен текущему потоку. Естественно, эта формулировка возникает из физических соображений тока как потока заряда.

Заряд не накапливается на узле, и поэтому любой заряд, текущий в узел через одну или несколько ветвей, должен вытекать из узла через другие ветви. Следовательно, ток, текущий в, равен текущему потоку из узла.

Пример работы 2.

1 Вычислите ток I, текущий в узел.
Решение

Выбор токов, втекающих в узел, как положительный, и применение Кирхгофа

Текущий закон: +3 -2 + I = 0, поэтому I = -1 A

Ток, текущий в узел, равен -1A, что совпадает с + 1A, выходящим из узла

Пример работы 2.2

Вычислите ток I, определенный на диаграмме.

Решение
В этой задаче есть два узла, каждый из которых связан тремя ветвями. Начните с определения тока I, текущего в ветке между двумя узлами. Направление I ‘выбрано случайным образом: оно может оказаться положительным или отрицательным. Выбор токов, вытекающих из узлов как положительных, и применение действующего закона Кирхгофа в каждом узле:

— (- 4) + 2 + I ‘= 0, поэтому I’ = -6 A

и: -I ‘- 6 + I = 0, поэтому I = I’ + 6 = 0 A

но есть ли более простой способ? Да! Мы можем объединить два отдельных узла в один супернод, который показан красным на нижней диаграмме. Супернод не может накапливать заряд, поэтому действующий закон Кирхгофа может применяться к токам в ветвях, связанных с ним.

Выполнение того же выбора текущего направления:

— (- 4) + 2 + I — 6 = 0, поэтому I = 0 A

Второе из законов Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа, Закон о напряжении, гласит:

Алгебраическая сумма напряжений вокруг замкнутого контура равна нулю.

Еще раз повторится фраза «алгебраическая сумма», поэтому мы должны признать, что направление напряжений имеет значение при использовании закона напряжения Кирхгофа.

На рисунке 2.2 показан контур схемы, который является частью более крупной схемы. Цикл включает в себя четыре узла ABCD, между которыми соединены четыре компонента. В этом случае четыре компонента являются сопротивлениями, но закон напряжения Кирхгофа может применяться независимо от того, какие компоненты подключены в замкнутом контуре. Напряжения на четырех сопротивлениях, составляющих контур контура, были определены как V

1, V 2, V 3, V 4 и Закон напряжения напряжения Кирхгофа позволяет нам записать уравнение, связывающее эти напряжения. Если мы подумаем о движении по замкнутому контуру в любом направлении, отметим, что четыре напряжения будут встречаться последовательно.

Две стрелки напряжения будут указывать в направлении движения, а два будут выступать против движения. Алгебраическая сумма напряжений должна учитывать эту разницу в относительном направлении.

Чтобы правильно применить Закон напряженности Кирхгофа, мы должны сделать произвольный выбор относительно направления движения вокруг замкнутого контура и вклада, который отдельные напряжения создают в алгебраическую сумму вокруг замкнутого контура. Предположим, что мы перемещаемся по петле на рисунке 2.2 по часовой стрелке (ABCD) и что напряжения, противоположные направлению движения, вносят положительный вклад в алгебраическую сумму. При перемещении от А к В встречается напряжение V

1 и оно находится в направлении, противоположном перемещению. Следовательно, V 1 является положительным вкладом в алгебраическую сумму.

Тот же комментарий справедлив для V 2, который выполняется при переходе от B к C. Однако, путешествуя от C до D и обратно к A, возникают напряжения V 3 и V 4, и в обоих случаях напряжения находятся в одном и том же как движение, давая отрицательный вклад в алгебраическую сумму. Математически выраженная алгебраическая сумма напряжений вокруг замкнутого контура ABCD равна: + V

1 + V 2 — V 3 — V 4 и закону напряжения Кирхгофа, что эта сумма равна нулю:

+ V1 + V2 — V3 — V4 = 0 (2.4)

Тот же результат получается для любого выбора направления движения или вклада напряжения в алгебраическую сумму. Остальные три комбинации:

По часовой стрелке вокруг петли (ABCD), со стрелкой положительной:

— V1 — V2 + V3 + V4 = 0 (2, 5)

По часовой стрелке вокруг контура (ADCB), против стрелки положительный:

— V1 — V2 + V3 + V4 = 0 (2.6)

По часовой стрелке вокруг контура (ADCB) со стрелкой положительный:

+ V1 + V2 — V3 — V4 = 0 (2.

7)

Четыре уравнения 2.4 — 2.7 дают точно такое же соотношение между четырьмя напряжениями: все четыре могут быть перегруппированы, чтобы показать, что:

V1 + V2 = V3 + V4 (2.8)

Как и в действующем законе, неплохо быть последовательным в выборе направления и полярности при применении закона напряжения Кирхгофа, так что при записи алгебраической суммы вероятность ошибки возникает меньше.

Рабочий пример 2.3

Вычислить напряжение V

Решение

При произвольном выборе движения по часовой стрелке вокруг петли и подсчета с помощью стрелки напряжения в качестве положительного вклада в алгебраическую сумму закон напряжения Кирхгофа:

-6 — (-10) + V +7 = 0,

поэтому V = -11 V

Пример работы 2.4

Вычислить напряжение V

Решение

Этот пример призван продемонстрировать, что «замкнутый контур» не должен определяться непрерывным соединением компонентов: напряжение V представляет собой напряжение между двумя узлами, которые не имеют ничего между ними, однако закон напряжения Кирхгофа по-прежнему действителен,

При вращении против часовой стрелки вокруг петли и подсчета против стрелки напряжения в качестве положительного вклада в алгебраическую сумму:

+ V + 2 — 10 — (-8) = 0, поэтому V = 0 V

И, наконец, короткая заметка о нотации.
Вы найдете много книг, относящихся к напряжению между двумя точками в цепи, например A и B, с использованием символа VAB.

Естественно, вы будете задаваться вопросом, как это относится к используемой здесь «стрелочной» нотации. Как показано на рисунке 2.3, соглашение состоит в том, что напряжение VAB означает «напряжение в точке A относительно B», поэтому стрелка указывает на A из B.

Второй закон Кирхгофа — Закон о напряжении

Закон напряжения Кирхгофа, или KVL, гласит, что « в любой сети с замкнутым контуром полное напряжение вокруг контура равно сумме всех падений напряжения в одном контуре », что также равно нулю. Другими словами, алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна быть равна нулю. Эта идея Кирхгофа известна как сохранение энергии .

Краткое содержимое статьи:

Закон о напряжении Кирхгофа

 Начиная с любой точки контура, продолжайте в том же направлении, отмечая направление всех падений напряжения, положительного или отрицательного, и возвращаясь к той же начальной точке.  Важно поддерживать одно и то же направление по часовой стрелке или против часовой стрелки, иначе конечная сумма напряжения не будет равна нулю. Мы можем использовать закон напряжения Кирхгофа при анализе последовательных цепей.

При анализе цепей постоянного тока или цепей переменного тока с использованием законов схемы Кирхгофа используется ряд определений и терминологий для описания частей анализируемой цепи, таких как: узел, пути, ветви, петли и сетки. Эти термины часто используются в анализе цепей, поэтому важно понимать их.

Общие термины теории цепей постоянного тока:

  • • Цепь —  цепь представляет собой замкнутый контур, в котором протекает электрический ток.
  • • Путь —  одиночная линия соединяющих элементов или источников.
  • • Узел —  узел — это соединение, соединение или терминал в цепи, где два или более элементов схемы соединены или соединены вместе, давая точку соединения между двумя или более ветвями. Узел обозначен точкой.
  • • Ветвь —  ветвь — это отдельный элемент или группа компонентов, таких как резисторы или источник, которые связаны между двумя узлами.
  • • Цикл —  цикл — это простой замкнутый путь в цепи, в котором ни один элемент или узел цепи не встречается более одного раза.
  • • Сетка —  сетка — это один открытый цикл, который не имеет замкнутого пути. Внутри сетки нет компонентов.
Сохраните статью себе на страницу:

Пост опубликован: 12.02

Присоединяйтесь к обсуждению: Copyright © 2022 LandshaftDizajn.Ru — портал о ландшафтном дизайне №1 ***Сайт принадлежит Марии Козак

Законы Кирхгофа | Онлайн журнал электрика


Законы Кирхгофа устанавливают соотношения меж токами и напряжениями в разветвленных электронных цепях случайного типа. Законы Кирхгофа имеют особенное значение в электротехнике из-за собственной универсальности, потому что применимы для решения всех электротехнических задач.

1-ый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он заключается в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

 

где – число токов, сходящихся в данном узле.

К примеру, для узла электронной цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

 

Рис. 1

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

2-ой закон Кирхгофа:алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

 

где k – число источников ЭДС; m – число веток в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветки.

 

Рис. 2

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках приобретенного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно избранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Расчет разветвленной электронной цепи при помощи законов Кирхгофа

Способ заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электронной цепи и решении этих уравнений с целью определения неведомых токов в ветвях и по ним – напряжений. Потому число неведомых равно числу веток b, как следует, столько же независящих уравнений нужно составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, при этом только (y – 1) уравнений являются независящими друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтоб каждый следующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Другие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независящих контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1.

Контур именуется независящим, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электронной цепи (рис. 3). Схема содержит четыре узла и 6 веток.

Потому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3, также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4). Направление обхода контуров избираем по часовой стрелке.

 

Рис. 3

Составляем нужное число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

 

Приобретенная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветки вышел с минусом, то его направление обратно принятому направлению.

Законы Кирхгофа в всеохватывающей форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей неизменного тока, но только для всеохватывающих значений токов и напряжений. 1-ый закон Кирхгофа: «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электронной цепи равна нулю»

 

2-ой закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электронной цепи алгебраическая сумма всеохватывающих ЭДС равна алгебраической сумме всеохватывающих напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

 

Школа для электрика

Читайте также: как получить жилье молодому специалисту в 2019-2020 году

2. Второй закон Кирхгофа | 5. Схемы делителей и законы Кирхгофа | Часть1

2. Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа

Давайте посмотрим на нашу последовательную схему с другой стороны. На этот раз мы пронумеруем все точки схемы, чтобы к ним можно было привязать напряжения:

Если мы подключим вольтметр к точкам 1 и 2 (красный щуп к точке 2, а черный — к точке 1), то он зарегистрирует напряжение +45 В. Обычно дисплей цифрового электроизмерительного прибора знак «+» не показывает, но так как в рамках нашей статьи полярность напряжения имеет очень важное значение, мы будем  показывать положительные числа с этим знаком:

 

 

Когда рядом с напряжением указываются два символа (символы «2-1» в обозначении U2-1), это означает, что напряжение в первой точке (2) измеряется по отношению ко второй точке (1). Напряжение обозначенное как «Ucd» скажет нам о том, что красный щуп измерительного прибора подсоединяется к точке «с», а черный — к точке «d», то есть это напряжение измеряется в точке «c» относительно точки «d»:

 

 

Если мы теперь возьмем тот же самый вольтметр и измерим напряжения на каждом резисторе цепи, обходя ее по часовой стрелке (подсоединяя при этом красный щуп к первой точке, а черный — ко второй), то получим следующие показания:

 

 

Ранее вы познакомились с одним из принципов последовательной цепи, который гласит что общее напряжение такой цепи складывается из напряжений ее отдельных участков. Но, если при измерении напряжения мы будем учитывать его полярность (математический знак), то пред нами откроется новый аспект этого принципа — суммарное напряжение цепи будет равно нулю:

 

 

Этот принцип известен как Второй Закон Кирхгофа или Закон напряжений Кирхгофа (открыт в 1847 году немецким физиком Густавом Кирхгофом), и гласит он следующее:

«Алгебраическая сумма всех напряжений любой замкнутой цепи должна равняться нулю» 

Здесь под словом «алгебраическая» понимается учет математического знака (полярности) напряжения, а под словом «замкнутой цепи» — понимается последовательный путь, проложенный вокруг этой цепи из одной ее точки к другим точкам, и обратно к первой точке. В приведенном выше примере замкнутая цепь сформирована последовательностью точек 1-2-3-4-1. Не имеет абсолютно никакого значения с какой точки мы начнем и в каком направлении мы будем двигаться; сумма напряжений все равно будет равняться нулю. В качестве еще одного примера можно подсчитать напряжение в последовательности точек 3-2-1-4-3 этой же схемы:

 

 

Все это будет более понятно, если перерисовать нашу последовательную цепь таким образом, чтобы все ее компоненты находились на одной линии:

 

 

Перед вами все та же последовательная цепь, только ее компоненты расположены иным способом. Обратите внимание на полярность напряжений резисторов относительно батареи: напряжение последней отрицательно слева и положительно справа, тогда как напряжения на всех резисторах ориентированы в другую сторону (положительны слева и отрицательны справа). Различия в полярности обусловлены тем, что резисторы сопротивляются потоку электронов, производимому батареей.

На следующем рисунке вы можете увидеть показания цифровых вольтметров на каждом компоненте этой цепи:

 

 

Если мы произведем замеры напряжения на группах компонентов, начиная с левой стороны цепи (с резистора R1), то увидим, что напряжения складываются алгебраически (к нулевому результату):

 

 

То, что напряжения последовательной цепи складываются, является очевидным фактом, и в этом сложении очень важную роль играет полярность напряжения. Измеряя напряжение на резисторах R1, R1—R2, R1—R2—R3 (символ двойного тире «—» используется для того, чтобы показать последовательное соединение между резисторами R1, R2, и R3) мы видим, что его величина (хоть и отрицательная) последовательно увеличивается от начальной точки к каждому последующему резистору. Такое увеличение является следствием одинаковой ориентации (полярности) напряжения на всех резисторах («+» слева, «-» справа).  Сумма напряжений на резисторах R1, R2, и R3 нашей схемы будет равна 45 вольт, что аналогично напряжению на выводах батареи, за тем исключением, что полярность батареи («-» слева, «+» справа) противоположна полярности суммарного напряжения резисторов. Таким образом, общее напряжение на всей линейке компонентов схемы будет равно нулю (45В + (-45В) = 0).

Полученное в результате суммирования итоговое напряжение, величиной 0 вольт, вполне закономерно. Посмотрев на схему можно увидеть, что ее крайняя левая точка (точка № 2 слева от резистора R1) непосредственно связана с крайней правой точкой (точкой № 2 справа от батареи). Поскольку непосредственно связанные точки являются электрически общими по отношению друг к другу, напряжение между ними должно быть равно нулю.

Второй закон Кирхгофа будет работать не только на последовательной конфигурации цепи, но и на любой другой. Посмотрите как он работает на следующей параллельной цепи:

 

 

В параллельной цепи, как вы знаете, напряжение на каждом резисторе равно напряжению батареи, которое в нашем случае составляет 6 вольт. Подсчитав напряжение в последовательности точек 2-3-4-5-6-7-2, мы получим:

 

 

Обратите внимание, суммарное напряжение мы обозначили как U2-2. А обозначили мы его так из за того, что начали измерения в точке 2, и закончили в этой же точке. Алгебраическая сумма напряжений в этом случае будет равна напряжению между точками 2-2, которое конечно-же равно нулю.

Тот факт, что эта цепь параллельная а не последовательная, никак не влияет на справедливость второго закона Кирхгофа. Любая схема вообще может быть «черным ящиком», а ее конфигурация может быть полностью скрыта от нашего взгляда. При этом, если контрольные точки этой схемы будут открыты, то замеры напряжения между ними подтвердят верность данного закона:

Попробуйте в вышеприведенной схеме измерить напряжения любой последовательностью шагов между любыми ее точками (возвращаясь при этом в исходную точку), и вы увидите, что алгебраическая сумма напряжений всегда равна нулю.

Последовательность точек, к которой можно применить закон, не обязательно должна соответствовать реальному потоку электронов. Единственным условием, которое необходимо выполнить, является то, что последовательность должна начинаться и заканчиваться в одной точке цепи, при этом полярность при проведении замеров должна неукоснительно соблюдаться. Давайте рассмотрим абсурдный пример, замерив напряжения в последовательности точек 2-3-6-3-2 этой же цепи:

 

 

 

Второй закон Кирхгофа можно использовать для определения неизвестного напряжения сложной цепи, в которой остальные напряжения выбранной последовательности точек известны. Возьмем в качестве примера следующую сложную цепь (представляющую две последовательные цепи, основания которых соединены проводом):

 

 

Для упрощения задачи мы опустим значения сопротивлений, оставив только значения напряжений на каждом резисторе. Так как две изображенные на рисунке последовательные схемы имеют общий провод (провод 7-8-9-10), у нас появляется возможность измерить между ними напряжение. Если мы хотим определить напряжение между точками 4 и 3, то его нужно подставить в уравнение Второго закона Кирхгофа как неизвестное:

 

 

 

 

 

 

В ходе измерения напряжений в последовательности точек 3-4-9-8-3 мы записывали числа так, как их отображал цифровой вольтметр. При этом красный щуп прибора подсоединялся к первой точке, а черный — ко второй. Таким образом, напряжение от точки 9 до точки 4 оказалось положительным +12 вольт, так как красный щуп подключался к точке 9, а черный — к точке 4. Напряжение от точки 3 до точки 8 так же положительно + 20 вольт (красный щуп к точке 3, черный — к точке 8). И напряжение от точки 8 до точки 9 имеет нулевое значение, потому что эти две точки являются электрически общими.

Итак, окончательным ответом для напряжения от точки 4 до точки 3 будет  -32 вольта. Именно такое напряжение покажет вольтметр, если мы подключим его красный щуп к точке 4, а черный — к точке 3:

 

 

Если бы наше уравнение начиналось с U3-4 вместо U4-3, то последовательность измерений проводилась бы при противоположной ориентации тестовых проводов мультиметра. В этом случае окончательный ответ был бы следующим — U3-4=+32 В:

 

 

Здесь важно понять, что оба подхода являются правильными. В обоих случаях мы достигаем правильной оценки напряжения между точками 3 и 4.

Введение в напряжения и уравнения движения

Строительная механика  Стресс и уравнения движения

Введение в напряжения и уравнения движения

При деформации твердых тел в материале распределяются внутренние силы. Они называются напряжениями . Напряжение имеет единицу силы на единицу площади.

В стержне с поперечным сечением A , нагруженном осевой силой F , напряжение в направлении силы равно .Как повседневное наблюдение, мы знаем, что более толстые объекты смогут выдержать более высокую силу. Таким образом, напряжение является интуитивно подходящей величиной для предоставления информации о том, насколько сильно нагружен материал.

Стержень с осевой нагрузкой. Бар с осевой нагрузкой.

За исключением очень особых случаев, таких как показанный выше, как величина, так и ориентация напряжений варьируются по всему нагруженному телу.

Экспериментально определенная картина напряжения вокруг жесткого включения в мягком материале.Картинка получается с помощью фотоупругости. Изображение предоставлено SSMG-ITALY. Под лицензией CC BY-SA 3.0 через Wikimedia Commons.

Экспериментально определенная картина напряжения вокруг жесткого включения в мягком материале. Картинка получается с помощью фотоупругости. Изображение предоставлено SSMG-ITALY. Под лицензией CC BY-SA 3.0 через Wikimedia Commons.

Соответствующая схема напряжения, рассчитанная с помощью анализа методом конечных элементов.

Соответствующая схема напряжений, рассчитанная с помощью анализа методом конечных элементов.

Когда сила действует перпендикулярно поверхности, напряжение называется нормальным напряжением . Напряжение, вызванное силой, действующей по касательной к поверхности, называется напряжением сдвига .

Импульс баланса

Внутренние силы в теле, определяемые напряжениями, должны быть уравновешены вместе с внешними силами и силами инерции согласно второму закону Ньютона.

Рассмотрим небольшую поверхность, состоящую из одних и тех же частиц материала в течение всего процесса деформации. Мы предполагаем деформацию без потери сплошности в материале, так что не появляются трещины. До деформации поверхность характеризуется площадью дА и вектором нормали N . После деформации они становятся da и n . Поверхность не обязательно является частью внешности тела — она также может быть чисто концептуальной поверхностью в любом месте внутри тела.

Бесконечно малая поверхность в исходной и деформированной конфигурациях. Бесконечно малая поверхность в исходной и деформированной конфигурациях.

Поверхностная сила, действующая на деформированную область, может быть представлена ​​как

Здесь t n называется тяга , тогда как T N обычно называют номинальной тягой , потому что она связывает силу, действующую в фактическом деформированном состоянии, с недеформированной областью.

Тяга имеет единицу силы на единицу площади. Если площадь изменилась во время деформации, то величины двух векторов тяги различны, но оба они имеют одинаковую ориентацию.

Мы можем записать номинальную тягу, используя ее пространственные компоненты T i и вектор нормали, используя его материальные компоненты N J . Для обсуждения пространственных и материальных каркасов прочитайте эту страницу об анализе деформации.

Далее составляющую тяги запишем в виде следующего линейного разложения по вектору нормали:

Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам.Малый и капитальный индексы используются для пространственной и материальной составляющих соответственно.

Такое представление иногда называют законом Коши или формулой Коши . Это возможно только в том случае, если P iJ являются компонентами некоторого тензора ранга 2.

Для произвольного объема недеформированного материала V 0 закон сохранения импульса может быть выражен в следующем интегральном виде:

где представляет объемные силы, такие как силы тяжести или центробежные силы, а поле скорости вычисляется из поля смещения, как .

Используя формулу Коши и применяя теорему о дивергенции, поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный интеграл следующим образом:

Поскольку объем произвольный, это дает следующую дифференциальную форму уравнения баланса количества движения:

Или, используя тензорную нотацию:

Тензор P называется первым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа . Он связывает силы, действующие в пространственных направлениях, с областями в исходной недеформированной конфигурации.Таким образом, его компоненты даны с индексами, относящимися к разным конфигурациям. Иногда такие математические объекты называют двухточечными тензорами . В общем случае этот тензор несимметричен.

Аналогичный подход можно применить к вектору тяги t n и объему материала в фактической деформированной конфигурации. Это приведет к следующему представлению:

Тензор называется тензором напряжений Коши или тензором истинных напряжений , так как он представляет силы в фактической конфигурации, связанные с фактической деформированной областью.Этот тензор представлен своими пространственными компонентами.

Смысл компонент тензора напряжений Коши становится понятен, если рассмотреть небольшую площадку с вектором нормали, параллельным одной из осей пространственных координат; например, третий. Тогда вектор нормали к этой области равен {0,0,1}, а тяга равна

.

Таким образом, компонент тензора напряжений с 33 индексами дает компонент вектора тяги в 3-м направлении на плоскости, нормаль к которой направлена ​​в том же направлении.Компонента тензора напряжений с двумя равными индексами называется нормальным напряжением или прямым напряжением . Две другие компоненты тензора напряжений обеспечивают часть силы тяги, действующую по касательной к плоскости. Такая составляющая называется напряжением сдвига .

Взяв баланс моментов для маленького куба, можно показать, что тензор напряжений Коши симметричен, так что . Это верно до тех пор, пока нет вкладов объемного момента. Такие материалы, которые рассматриваются с использованием теории Коссера , существуют.Однако они необычны.

Поскольку тензоры напряжений Коши и первого Пиола-Кирхгофа соответствуют разным представлениям одной и той же поверхностной силы,

Чтобы найти соотношение между двумя мерами напряжения, мы можем использовать формулу Нансона для изменения площади из-за деформации. В нем указано, что

, где F — тензор градиента деформации, а

Коэффициент объема J обеспечивает изменение объема, вызванное деформацией.Следовательно, тензоры напряжений связаны соотношением

Эта и подобные формулы могут быть дополнительно упрощены путем введения тензора, называемого тензором напряжений Кирхгофа , который определяется как . Тензор напряжений Кирхгофа имеет мало практического применения, но представляет собой скорее теоретически удобную величину.

Сохранение массы и формула Эйлера

В терминах тензора напряжений Коши уравнение баланса количества движения можно записать как

Обратите внимание, что плотность в этом уравнении представляет истинную плотность деформированного материала.Кроме того, объемная сила — это сила, приходящаяся на деформированный объем. Плотность неявно зависит от деформации из-за сохранения массы как

Эта добавленная нелинейность делает эту форму уравнения баланса количества движения менее интересной с вычислительной точки зрения.

Используя скорость и заменив независимые переменные пространственными координатами через x = x ( X , t), мы получаем

Это баланс количества движения в формулировке Эйлера.Такая формулировка обычно используется в гидродинамике, где скорость рассматривается как зависимая переменная.

Баланс механической энергии

Умножение дифференциальной формы уравнения импульса на вектор скорости и интегрирование его по материалу дает следующее уравнение:

Это уравнение представляет собой интегральную форму баланса механической энергии . Она также известна как теорема о мощности . Пространственный градиент скорости равен, а оператор : указывает на суммирование по двум индексам; .Свойства градиента скорости обсуждаются более подробно на странице «Анализ деформации».

Два интеграла в правой части уравнения представляют входную мощность от объемных и поверхностных сил соответственно. Такая потребляемая мощность представляет собой работу, совершаемую соответствующей силой над материалом в единицу времени.

Члены в левой части представляют собой скорость изменения кинетической энергии и силу напряжения, прилагаемую к телу, соответственно. Для эластичного материала сила напряжения представляет собой скорость изменения плотности энергии деформации.

Используя соотношения

сила напряжения может быть представлена ​​в следующей эквивалентной форме:

Таким образом, можно сказать, что первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа и градиент деформации образуют -энергетическую сопряженную пару . Такие пары также могут обозначаться как сопряженная мощность или сопряженная работа мер напряжения и деформации.

Градиент скорости можно разложить на симметричную и антисимметричную части, называемые тензором скорости деформации ( L d ) и тензором спина ( L w ) соответственно.Поскольку тензор напряжений Коши симметричен, . Следовательно, мерой деформации, степенно сопряженной с напряжением Коши, является тензор скорости деформации. Последний также может быть записан как

.

где

— это тензор деформации Грина-Лагранжа . Тогда интеграл мощности напряжения можно переписать как:

Здесь

называется -секундным тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа . Это симметричный тензор, энергетически сопряженный деформации Грина-Лагранжа.

Первый и второй тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа связаны соотношением:

Эта формула позволяет переписать уравнение баланса количества движения в виде:

, который вместе с учредительным отношением формы

даст замкнутую систему уравнений для вектора смещения.

Компоненты напряжения на повернутой плоскости

Для стержня с осевой нагрузкой легко рассматривать напряжение как скалярное число и утверждать, что на этом стержне существует только нормальное напряжение.Полный тензор напряжений равен

.

Компоненты этого тензора напряжений выражены в системе координат с осью x , совмещенной с стержнем. В любой другой системе координат будет смесь нормального напряжения и напряжения сдвига. Это можно увидеть, если рассмотреть концептуальную внутреннюю поверхность, не перпендикулярную оси стержня. На этой поверхности фактически будут как нормальные (σ), так и касательные (τ) напряжения, как показано на рисунке ниже.

Разложение вектора тяги на нормальную и касательную составляющие. Разложение вектора тяги на нормальную и касательную составляющие напряжения.

Во вращающейся системе, первая ось которой совпадает с нормалью к поверхности, тензор напряжений имеет структуру

где — угол между осью стержня и нормалью к поверхности.

Такое напряженное состояние часто называют одноосным . Однако только в определенной системе координат его можно представить одной нормальной составляющей напряжения.

Сравнение напряжений Коши и второго напряжения Пиолы-Кирхгофа

Рассмотрим ортотропный материал. Материал содержит волокна в определенной ориентации вдоль прямой консольной балки.

Поскольку второе напряжение Пиолы-Кирхгофа определяется вдоль направлений материала, оно позволит нам визуализировать напряжение в направлении волокна, даже когда конструкция подвергается вращению.

На приведенном ниже рисунке балка изогнута чистым моментом, приложенным к кончику.Мы можем видеть 11-компонентную как напряжение Коши, так и второе напряжение Пиолы-Кирхгофа. Напряжение изгиба физически направлено вдоль балки, поэтому 11-компонента напряжения Коши, связанная с фиксированным в пространстве горизонтальным направлением, уменьшается по мере прогиба. С другой стороны, второе напряжение Пиолы-Кирхгофа имеет такое же распределение по толщине по всей балке, также в деформированной конфигурации.

Тот же компонент напряжения Коши (вверху) и второго напряжения Пиолы-Кирхгофа (внизу). Тот же компонент напряжения Коши (вверху) и второго напряжения Пиолы-Кирхгофа (внизу).

Фактическое значение второго напряжения Пиолы-Кирхгофа интерпретировать сложнее, так как оно не связано ни с исходной, ни с деформированной зоной.

Опубликовано: 19 апреля 2018 г.
Последнее изменение: 19 апреля 2018 г.

Измерение напряжения – обзор

3.13 Вариационные принципы и подсказки к схемам численного решения

Сначала мы суммируем уравнения поля, необходимые для формулировки краевой задачи (сокращенно BVP) в конечной упругости; эти уравнения могут быть записаны либо в Ω 0 , либо в Ω t , и обе формулировки могут быть связаны операциями обратного и прямого переноса.

Эйлерово описание : записывается сильная форма начально-краевой задачи

{divσ+ρf=ρdvdt=ρüinΩtσ=σTu=udonSut=σ.n=tdonStu(x,0)=u0(X )u˙(x,0)=u˙0(X)

с f ( x ,t) объемных сил на единицу массы в фактической конфигурации и u d , t d наложили векторы перемещения и тяги (они же данные ) на две дополнительные части внешней границы Ω t , так что S u ∪ S t = ∂Ω t 7 7 9 , S ∩ S t = ∅.Кинематические граничные условия (соответственно статические граничные условия) иногда называют условиями Дирихле (соответственно условиями Неймана). Плотность ρ = ρ ( x , t) связана с начальной плотностью через якобиан (сам зависящий от поля смещения) ρ = ρ 0 / det ( F ). Этот BVP должен быть дополнен определяющим соотношением, выражающим напряжение Коши в терминах сопряженного тензора деформации. Поскольку BVP имеет второй порядок по пространству и времени, нам нужны два начальных условия, которые являются двумя последними уравнениями.

Обратите внимание, что эта BVP сформулирована над деформированной конфигурацией (учитывается пространственная дивергенция), поэтому она записана в терминах фактического положения x ( X , t ), которое и является неизвестным главным. Это трудность нелинейной механики, и решение состоит в том, чтобы написать ту же самую BVP в фиксированной эталонной конфигурации.

Обратите внимание, что начальные и граничные условия должны быть совместимы, чтобы выполнялись следующие условия:

u¯(x,0)=u0(X),u¯˙(x,0)=u˙0(X) .

Когда все данные не зависят от времени, BVP обозначается как static , поэтому BVP эластостатики записывается:

{divσ+ρf=0u=udonSut=σ.n=tdonSt

Уравнения равновесия имеют вид уже получено из VWP, что представляет собой вариационный принцип.

Слабая форма предыдущего исходного BVP получается умножением уравнения динамического равновесия на пробную функцию, виртуальное поле допустимой скорости, записанное в виде вариации смещения δ u , и проинтегрированное по области Ω t , так что мы получаем слабую форму уравнений движения в реальной конфигурации

∫Ωt(−divσ.δu−ρf.δu+ρü.δu)dx=0

с использованием тождества

divσ.δu=div(σ.δu)−σ:gradδu=div(σ.δu)−σ:δ(gradu)

и интегрирование по частям (дивергенция th.) с использованием кинематического граничного условия для δ u = 0 на S u приводит к

∫Ωt(σ:gradδu−(ρf−ρü).δu)dx−∫ Sttd.δuds=0∫Ωtu(x,0).δudx=∫Ωtu0(X).δudx∫Ωtu˙(x,0).δudx=∫Ωtu˙0(X).δudx

Мы записали два начальных условия для полей перемещений и скоростей в слабой форме. Первое уравнение называется уравнением в вариациях .

Мы узнаем ВВП, когда идентифицируем предыдущие интегралы

Pa=∫Ωtρü.δudx=0,Pe=∫Sttd.δuds+∫Ωtρfdx,Pi=−∫Ωt(σ:gradδu)dx

как виртуальную мощность ускорение, внешние и внутренние силы соответственно.

Для полноты покажем, что термин gradδ u идентифицируется с вариацией меры деформации, сопряженной с напряжением Коши, а именно с деформацией Альманси e .

Производная Гато эйлеровой деформации, пространственного тензора e , оценивается на основе понятия производной Ли: мы сначала протягиваем e к Ω 0 , берем производную туда, а передать результат в Ом t ; это дает

δe=F−T.(Dδu(FT.eF)).F−1=F−T.(DδuE).F−1

Таким образом, учитывая, что

δE={δ(FT).F+FT.δF}/2=sym (FT.Gradδu)↔δEAB=12(FaB∂δua∂XA+FaA∂δua∂XB)

мы наконец приходим к

δe=12(F−T.GradTδu+Gradδu.F−1)=12(gradTδu +gradδu)=sym(gradδu)

Вставка этой вариации обратно в P i и рассмотрение симметрии напряжения Коши дает

Pi=−∫Ωt(σ:δe)dx

, в котором мы узнаем (уже записанное ) виртуальная мощность внутренних сил. Таким образом, предыдущий BVP эквивалентен принципу VWP

Pa=Pe+Pi

. Важно подчеркнуть, что VWP не требует наличия потенциала и что на данном этапе не учитывается конститутивный закон.Обратите внимание, что принцип минимизации (более сильное требование) обычно не существует из-за неконсервативности нагрузок или отсутствия функции энергии деформации (случай гипоупругих материалов).

Для сверхэластичных материалов напряжение связано с деформацией через функцию энергии деформации, выраженную в эталонной конфигурации, поэтому более удобно выражать VWP в эталонной конфигурации.

Лагранжева формулировка : сильная форма начального BVP записывается через номинальное напряжение

{DivP+ρ0f0=ρ0dvdtinΩ0P.FT=F.PTu=udonS0ut0=PN=tdonS0tu(x(X,t),0)=u0(X)u˙(x(X,t),0)=u˙0(X)

Динамическое равновесие в качестве альтернативы можно записать на основе второго напряжения Пиолы-Кирхгофа, которое является симметричным тензором, путем замены P = FS в первом уравнении. Этот BVP теперь выражается в фиксированной области, включающей лагранжеву координату X ; обратите внимание на возникновение здесь материального расхождения. Этот BVP должен быть дополнен определяющим законом, выражающим напряжение в зависимости от меры сопряженной деформации.

Слабая форма предыдущего BVP получается с использованием тех же шагов, что и для пространственной формы, что приводит к (уже написанному) VWP, включающему лагранжевы меры напряжения.

Упражнение

Запишите ВВП в лагранжевом формате.

Для консервативных нагрузок и гиперупругих материалов виртуальная мощность внешних сил представляет собой производную Гато от функционала, поэтому WVP можно переписать как ∫Ω0ρ0ü.δudX=0→∫Ω0δW(E)dX−δ{∫S0tt0d.udS−∫Ω0ρ0f0dX}+δ(12∫Ω0ρ0u˙2dX)=0→δ{∫Ω0W(E)dX−∫S0tt0d.udS−∫Ω0ρ0f0dX+12∫Ω0ρ0u˙2dX}=0

, Таким образом, введенный функционал

V[u]≔∫Ω0W(E)dX+12∫Ω0ρ0u˙2dX−∫S0tt0d.udS−∫Ω0ρ0f0dX

называется полной потенциальной энергией, имеет принцип экстремума; V[ u ] есть сумма механической и кинетической энергии (первое и второе слагаемые) за вычетом работы внешних сил.

3.13.1 Линеаризация принципа виртуальной работы в описании материала

Напомним ЗВП, записанную в лагранжевом формате

∫Ω0(S:δE)dX−∫S0tt0d.δudS−∫Ω0ρ0f0.δudX+∫Ω0ρ0ü.δudX=0

с виртуальной работой внутренних сил

Pi=−∫Ω0(S:δE)dX≡−δWint(u,δu)

функция поля смещения u . Мы линеаризовали член δW int ( u , δ u ) на основе производной по направлению

+εΔu))dX]ε=0

Поскольку дифференцирование и интегрирование перестановочны, мы можем записать предыдущую производную

DΔUδWint(u,δu)=[∫Ω0(S(E(u)):DΔuδE(u)+DΔuS (E(u)):δE(u))dX]ε=0

Используя цепное правило, получаем

D∆uS(E(u))=∂ES(E(u)):D∆uE(u)= C(u):DΔuE(u)

с ℂ( u ) тензором или модулем упругости четвертого порядка, что приводит к выражению линейного приращения

DΔUδWint(u,δu)=[∫Ω0(S(E (u)):D∆uδE(u)+δE(u):C(u):D∆uE(u))dX]ε=0

, в котором мы использовали малые симметрии тензора упругости.Наконец, подставив

δE(u)≔DδuE(u)=sym(FT.Gradδu)→DΔuδE(u)=ddε[sym(F(u+εΔu)T.Gradδu)]ε=0

, используя соотношения

ΔF=DΔuF=GradΔu,ΔE(u)≔DΔuE(u)=sym(FT.GradΔu),

дает соотношение

DΔuδE(u)=sym(GradTΔuGradδu)

внутренних сил приводит к приращениям как в тензорных, так и в индициальных обозначениях

∂XB(δabSBD+FaAFbCCABCD)∂Δub∂XDdX

Термины δ ab S BD и F aA F bC C ABCD представляют собой эффективную упругость, касательную тензора, благодаря тому, что мы можем поменять местами независимые вариации δ u и Δ u в D ΔU δW int ( u , δ u ).Первый член в D ΔU δW int ( u , δ u ) представляет собой геометрическое напряжение, приводящее к геометрической матрице жесткости, тогда как второй член представляет собой матрицу жесткости материала.

Материальная форма линеаризации принципа виртуальной работы приводит к полной лагранжевой формулировке . Также возможно написать пространственную форму линеаризации принципа виртуальной работы (которая полностью эквивалентна, но написана поверх фактической конфигурации), что приводит к обновленной лагранжевой формулировке .Обе формулировки используются в последующих процедурах численного решения полевых уравнений нелинейной упругости с использованием метода конечных элементов ; однако описание этих методов выходит за рамки этого тома.

Стресс Пиола-Кирхгофа | механика | Британика

В механике твердых веществ: конечные упругие деформации

Piola-Kirchhoff стресс и задается с KL = ρ 0 ∂f ([ E m ], θ ) / ∂E M / KL KL , предполагается, что F был написан так, чтобы иметь идентичную зависимость от E M / KL и E M / лк .

Подробнее»,»url»:»Введение»,»wordCount»:0,»sequence»:1},»imarsData»:{«HAS_REVERTED_TIMELINE»:»false»,»INFINITE_SCROLL»:»»},»npsAdditionalContents» :{},»templateHandler»:{«имя»:»ИНДЕКС»},»paginationInfo»:{«previousPage»:null,»nextPage»:null,»totalPages»:1},»seoTemplateName»:»ИНДЕКС РАЗДЕЛЕННЫХ НА РАЗДЕЛЫ» ,»infiniteScrollList»:[{«p»:1,»t»:461287}],»familyPanel»:{«topicInfo»:{«id»:461287,»title»:»Стресс Пиолы-Кирхгофа»,»url «:»/science/Piola-Kirchhoff-stress»,»description»:»механика твердых тел: конечные упругие деформации: напряжение Пиолы-Кирхгофа и определяется выражением Skl = ρ0∂f([EM],θ)/∂EM kl , при этом предполагается, что f записано так, чтобы иметь одинаковую зависимость от EM kl и EM lk .»,»type»:»TOPIC»,»titleText»:»Напряжение Пиолы-Кирхгофа»,»metaDescription»:»Другие статьи, в которых обсуждается напряжение Пиолы-Кирхгофа: механика твердого тела: Конечные упругие деформации: напряжение Пиолы-Кирхгофа и определяется как Skl = ρ0∂f([EM],θ)/∂EM kl , при этом предполагается, что f записано так, чтобы иметь одинаковую зависимость от EM kl и EM lk .»,»identifierHtml»:»механика», «identifierText»:»механика»,»topicClass»:»наука»,»topicKey»:»Пиола-Кирхгоф-стресс»,»articleContentType»:»ИНДЕКС»,»ppTecType»:»КОНЦЕПЦИЯ»,»templateId»:4, «topicType»:»INDEX»,»assemblyLinkPrefix»:»/media/1/461287/»},»topicLink»:{«title»:»Стресс Пиолы-Кирхгофа»,»url»:»/science/Piola-Kirchhoff -stress»},»tocPanel»:{«title»:»Directory»,»itemTitle»:»References»,»toc»:null},»groups»:[],»showCommentButton»:false},»byline» :{«участник»:null,»allContributorsUrl»:null,»lastModificationDate»:null,»contentHistoryUrl»:null,»warningMessage»:null,»warningDescription»:null},»citationInfo»:{«contributors»:null, «title»:»Пиола-Кир chhoff stress»,»lastModification»:null,»url»:»https://www.britannica.com/science/Piola-Kirchhoff-stress»},»websites»:null,»lastArticle»:false,»freeTopicReason»:»TOPIC_IS_INDEX_PAGE»}

Узнайте об этой теме в этих статьях:

Конечные упругие деформации

Основные уравнения механики сплошной среды

‘) переменная голова = документ.getElementsByTagName(«голова»)[0] var script = document.createElement(«сценарий») script.type = «текст/javascript» script.src = «https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js» script.id = «ecommerce-scripts-» ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(«.цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove(«расширенный») var form = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») документ.querySelector(«#ecommerce-scripts-» ​​+ timestamp).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.querySelector(«.Информация о цене») var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(«роль», «кнопка») toggle.setAttribute(«tabindex», «0») переключать.addEventListener(«щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный toggle.setAttribute(«aria-expanded», !expanded) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(«расширенный») } еще { покупкаOption.classList.удалить («расширить») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = window.fetch && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Модальный: ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal.domEl.addEventListener («закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(«кнопка[тип=отправить]»).фокус() } вар корзинаURL = «/корзина» var cartModalURL = «/cart?messageOnly=1» форма.установить атрибут ( «действие», formAction.replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.interceptFormSubmit( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { форма.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.отправить() } ) form.addEventListener («отправить», formSubmit, ложь) документ.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener («нажатие клавиши», функция (событие) { if (document.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { мероприятие.предотвратить по умолчанию () документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { вар buyboxWidth = buybox.offsetWidth ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«.цена-варианта-покупки») вар форма = вариант.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключить.щелчок() } еще { toggle.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») форма.скрытый = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

О измерениях напряжений в деформируемых твердых телах

О измерениях напряжений в деформируемых твердых телах
ДОМ
Формат PDF Letter
Формат PDF Legal

О измерении напряжений в деформированных твердых телах

Машиностроительный факультетUCI, 2006 г. Составлено 18 мая 2020 г., 18:04,

.

Различные известные меры напряжения, используемые в механике сплошной среды во время деформации анализа выведены и геометрически проиллюстрированы. Деформированное твердое тело подвергается действию тензора вращения твердого тела \(\tilde{Q}\). Сформулированы выражения, показывающие, как геометрические тензоры деформации \(\tilde{U}\), \(\tilde{V}\) и \(\tilde{R}\) преобразуются при этом движении твердого тела. Каждая мера напряжения анализируется при этом жестком вращении.

Для каждого тензора напряжения соответствующий тензор деформации, используемый в материале определяющая зависимость напряжение-деформация получена аналитически. Знаменитая статья авторства Профессор Сатья Н. Атлури [2] был использован в качестве основной основы и руководства для всех этих производные.

Содержимое

.

1 Заключение и результаты

1.1 Различные тензоры напряжений



7 4 Измерение напряжения Обычно симметричный?



\(\mathbf{df}=\left ( da\\mathbf{n}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{\tau}}\) Да



\(\mathbf{\tilde{t}}\) Первая Пиола-Кирхгоф \(\mathbf{\tilde{t}}=J\\mathbf{\tilde{F}}^{-1}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}}\)



\(\mathbf{\tilde{s}}_{1}\)Второй Пиола-Кирххо \(\mathbf{\tilde{s}}_{1}=J\\mathbf{\tilde{F}}^{-1}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}}\cdot \mathbf{ \тильда{F}}^{-T}\) Да



Кирхгоф \(\mathbf{\tilde{\sigma}}=J\ \mathbf{\tilde{\tau}}\) Да



\(\boldsymbol{\tilde{\Gamma}}\) \(\boldsymbol{ambol}{\tilde{\tilde T}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}\cdot \tilde{R}}\) Да



\ast }=J\ \mathbf{\tilde{F}}^{-1}\mathbf{\cdot \tilde{\tau}}\cdot \mathbf{\tilde{R}}\) Нет



\(\mathbf{\tilde{r}}\) Яуманн \(\mathbf{\tilde{r}}=}\frac{\left ( \mathbf{\tilde{r}}^{\ast}+\mathbf{\tilde{r}}^{\ast T}\ справа ) {2}\) Да



\(\mathbf{\tilde{T}}^{\ast}\) \(J\\mathbf{\tilde{V}}^{-1}\mathbf{\cdot \\tilde{\tau}}\)



\(\mathbf{\tilde{T}}\) \(\ mathbf {\ тильда {T} =} \ frac {\ left ( \ mathbf {\ тильда {T}} ^ {\ ast} + \ mathbf {\ тильда {T}} ^ {\ ast T} \ справа ) {2}\) Да




1.{\ast}\)
\(\mathbf{\тильда{U}}\)


\(\mathbf{\tilde{T}}\) \(\mathbf{\tilde{T}}_{q}=\mathbf{\tilde{T}}\) \(\mathbf{\тильда{U}}\)



1.4 Сопряженные пары (тензор напряжения/тензор деформации)

Пусть \(W\) будет текущим количеством энергии, запасенной в единице объема в результате того, что тело подвергается деформации, то скорость изменения этой энергии будет равна тензору напряжений \(\mathbf{\tilde{B}}\) умножается на скорость деформации \ (\ frac {\ partial \ mathbf {\ tilde {A}}} {\ partial t} \). Следовательно

\[ \boxed{ \dot{W} = \mathbf{\tilde{B}} \frac{\partial \mathbf{\tilde{A}}}{\partial t} } \]

В следующей таблице приведены тензор напряжений \(\mathbf{\tilde{B}}\), скорость деформации \(\frac{\partial \mathbf{\tilde{A}}}{\partial t}\) и деформация \(\mathbf{\tilde{A}}\)


{\tilde} 9




Стресс Tensor \ (\ Mathbf {\ Tilde {B}} \) Скорость тензора деформации \(\frac{\partial \mathbf{\tilde{A}}}{\partial t}\) Тензор деформации \(\mathbf{\tilde{A}}\)



\(\frac{1}{J}\frac{1}{2}\left ( \mathbf{\dot{F}\cdot \tilde{F}}^{-1}+\left ( \mathbf{ \dot{F}\cdot \tilde{F}}^{-1}\right ) ^{T}\right ) \) Тензор деформации Альманси \(\mathbf{\tilde{\mu}}=\frac{1}{J} \frac{1}{2}\left ( \mathbf{\tilde{F}}^{-T} \cdot \mathbf{\tilde{F}} ^{-1}-\mathbf{\tilde{I}}\right ) \)



Кирхгоф \(\frac{1}{2}\left ( \mathbf{\dot{F} \cdot \tilde{F}}^{-1}+\left ( \mathbf{\dot{F}\cdot \ тильда {F}}^{-1}\справа) ^{T}\справа) \) \(\frac{1}{2}\left ( \mathbf{\tilde{F}}^{-T}\cdot \mathbf{\tilde{F}}^{-1}-\mathbf{\tilde {I}}\right ) \)



\(\mathbf{\tilde{t}\ }12^{st}\) \(\ гидроразрыва {1} {J} \ mathbf {\ точка {F}} ^ {T} \) \(\frac{1}{J}\mathbf{\tilde{F}}^{T}\)



\(\detil{fs }}_{1}\) \(2^{nd}\) Пиола-Кирхгоф \(\frac{1}{J} \mathbf{\dot{\gamma}}\) Тензор деформации Грина-Лагранжа ^ {T} \ cdot \ тильда {F} — \ тильда {I}} \ справа ) \)



\ точка {U}} \) \ (\ гидроразрыва {1} {J} \ mathbf {\ mathbf {U}} \)



\(\mathbf{\tilde{r}}\) Яуманн \(\mathbf{\dot{U}}\) \(\mathbf{\тильда{U}} \)



\(\boldsymbol{\tilde{\Gamma}}\) \(\ frac{1}{2}\left ( \mathbf{\tilde{U}}^{-1} \cdot \mathbf{\dot{U}+\dot{U}\cdot \tilde{U }}^{-1}\справа ) \) \(\ln \left ( \mathbf{\tilde{U}}\right ) \)   (только для изотропного материала)



\(\mathbf{\tilde{T}}\) \(\mathbf{\dot{V}}\) (только для изотропных) \(\mathbf{\tilde{V}}\)   (только для изотропного материала)



2 Обзор геометрии и используемых математических обозначений

Измерения положения и деформации имеют центральное значение в механике сплошной среды.Два используются методы: метод Лагранжа и метод Эйлера.

В методе Лагранжа положение и скорость частицы измеряются относительно фиксированной системы координат, основанные на стационарных наблюдателях. Это называется референциальной системой координат. где находится наблюдатель. Следовательно, в методе Лагранжа состояние частицы измеряется из глобальной фиксированной системы отсчета.

В методах Эйлера система отсчета прикрепляется локально к интересующей области, где должно быть выполнено измерение, и состояние частицы измеряется относительно локальных координат системы (также называемые системой координат тела).В механике сплошных сред лагранжиан используется метод, а в механике жидкости используется метод Эйлера, но также можно прикрепите локальную систему отсчета к самому телу, а затем преобразуйте эти измерения обратно относительно глобальной системы отсчета.

Преобразование координат возвращает координаты точки на теле относительно глобальную фиксированную систему отсчета, учитывая координаты той же точки, измеренные в локальной система отсчета. Это преобразование задается выражением \[ \mathbf{X} = \mathbf{A\,x} + \mathbf{d} \], где \(\mathbf{X}\) — вектор координат относительно глобальная система отсчета, \(\mathbf{x}\) — вектор координат относительно локальной системы отсчета/тела и \(\mathbf{A}\) — это \(n\times n\) матрица вращения (где \(n=3\) для нормального трехмерного пространства), которая представляет собой чистое вращение, а \(\mathbf{d}\) — это n-мерный вектор, представляющий чистый перевод.

На следующей диаграмме показаны эти различия.

В общем случае интерес представляет обнаружение дифференциальных изменений, происходящих при деформации тела. Этот означают измерение того, как дифференциальный вектор, представляющий ориентацию одной точки относительно другое изменяется по мере деформации тела.

С этого момента рассмотрим метод Лагранжа. Теперь внимание переключено на то, что происходит, когда тело начинает деформироваться. Выбирается глобальная система отсчета, в ней все измерения сделаны со ссылкой на.

Измерения, сделанные, когда тело не деформировано, отличаются от этих измерений сделано, когда тело деформировалось. Верхний регистр \(X_{i}\) используется для координат точки на тело, когда тело не деформировано, и нижний регистр \(x_{i}\) используется для координат той же точки при измерении относительно этой же глобальной системы координат, но после того, как тело деформированный.

На приведенной ниже диаграмме делается снимок системы через 5 единиц времени и измеряется деформации для иллюстрации используемых обозначений.

Другой способ представить вышеизложенное — использовать ту же диаграмму, чтобы показать как недеформированные и деформированная конфигурация следующим образом.

Пусть \(B\) будет недеформированной конфигурацией, называемой телом \(state\). Под состоянием понимается набор независимых переменных, необходимых для полного описания сил и геометрии тело.

Когда тело находится в недеформированном состоянии \(B\), предполагается, что оно не имеет внутренних напряжений и что на него не действуют силы тяги.

Внешние нагрузки теперь действуют на тело, что приводит к изменению состояния. Новое государство может быть результатом только деформации формы тела или только твердым телом поступательное/вращение, или это может быть результатом комбинации деформации и твердого тела движение.

Для завершения деформации потребуется некоторое время \(t\). Однако в этой дискуссии интерес представляет только в конечном деформированном состоянии, называемом состоянием \(b\). Следовательно, никакая функция (ы) времени не появится или участвовать в этом анализе.

Предполагается, что граничные условия одинаковы в состоянии \(B\) и в состоянии \(b\). Это означало, что если твердое тело находилось в физическом контакте с некоторой внешней неподвижной опорной конфигурацией, то после завершения деформации тело останется в том же физическом контакта с этими опорами и в тех же точках контакта, что и до деформации началось.

Это означает, что тело может деформироваться везде, за исключением того, что оно ограничено те конкретные точки, в которых он соприкасается с опорой.Для вращения твердого тела предполагается тело с опорой будет вращаться вместе.

Очень важным оператором в механике сплошной среды является тензор деформации \(\mathbf{\tilde{F}}\). (тензор может быть рассматривается как оператор, который берет вектор и отображает его в другой вектор). Этот тензор позволяет определение деформированного дифференциального вектора \(dr\), зная недеформированный дифференциальный вектор \(dR\) как следует.

\[ \mathbf{dr}=\mathbf{\tilde{F}\cdot dR}\]

Тензор \(\mathbf{\tilde{F}}\) является тензором поля в общем случае, что означает фактическое значение изменения тензора в зависимости от расположения тела, где оценивается тензор.Следовательно, это функция координаты тела. Ссылка [4] дает простые примеры, показывающие, как вычислить \(\mathbf{\tilde{F}}\) для простых случаев. деформаций в 2D. Приложение содержит вывод \(\mathbf{\tilde{F}}\) в конкретном случае нормального Декартовы координаты.

2.1 Иллюстрация полярного разложения тензора градиента деформации \(\tilde{F}\)
2.{\ast}\), который является нормальным к \(da\), чтобы стать единичным вектором \(\mathbf{n}\). Этот проиллюстрировано на диаграмме ниже.

Теперь, когда краткое описание геометрии и важного тензора \(\mathbf{\tilde{F}}\) дано выше, обсуждение основной темы этой статьи начнется.

3 Меры напряжения

Перед описанием различных мер стресса описываются различные задействованные сущности и проиллюстрировано.

Для данного недеформированного состояния \(B\), пусть \(P\) точка в \(B\), где его положение в деформированном состоянии становится \(b\) (лагранжево описание). Пусть \(dA\) — дифференциальная площадь в точке \(P\) на поверхности \(B\), где \(\mathbf{dN}\) — единица вектор нормали к этой области в \(B\). После деформации эта дифференциальная область будет деформирована до новая дифференциальная область \(da\) в деформированном состоянии \(b\). Пусть \(\mathbf{dn}\) — единичный вектор нормали к \(da\) в \(б\).

Пусть \(\mathbf{df}\) — вектор дифференциальной силы, который представляет собой равнодействующую полных внутренних сил действующий на \(da\) в деформированном состоянии \(b\).

Следующая диаграмма иллюстрирует вышеизложенное.

3.1 Мера напряжения Коши

Мера напряжения Коши \(\mathbf{\tilde{\tau}}\) является мерой

сила на единицу площади в деформированном состоянии

Это называется истинной мерой стресса. Из приведенного выше определения следует \[ \boxed{ \mathbf{df}=\left ( da\\mathbf{n}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{\tau}} } \]

Тензор напряжений Коши в общем случае (при отсутствии пар тел) является симметричным тензором.

3.2 Первая мера напряжения Пиолы-Кирхгофа или Пиолы-Лагранжа

Приведенная выше диаграмма показывает, что это напряжение \(\mathbf{\tilde{t}}\) можно рассматривать как

Сила в деформированном теле, приходящаяся на единицу недеформированной площади

.

Ниже показан вывод этого тензора напряжений. Начиная с перемещения вектора \(\mathbf{df}\) ( результат внутренних сил в деформированном состоянии), который действует на деформированную область \(da\) параллельно перехода к образу \(da\) в недеформированном состоянии, что и будет являться дифференциальной площадью \(дА\)

Отсюда в недеформированном состоянии следующие результаты \begin{equation} \mathbf{df}=\left ( dA\ \mathbf{N}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{t}} \tag{1} \end{уравнение}

Учитывая, что \[ \mathbf{N}\ dA=\frac{1}{J}\left ( da\ \mathbf{n}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{F}}\]

Какое соотношение получено из геометрических соображений [2], затем из приведенного выше уравнения следующие результаты

Поскольку \(\mathbf{df}=\left ( da\\mathbf{n}\right ) \cdot \tilde{\tau}\), то использование приведенного выше уравнения дает

\begin{align} \mathbf{df} & =\left ( J\ \left (\mathbf{N}\ dA\right ) \cdot \mathbf{\tilde{F}}^{-1}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{\tau}}\nonumber \\ & =\mathbf{N}\ dA\cdot \left ( J\mathbf{\tilde{F}}^{-1}\cdot \mathbf {\ тильда {\ тау}} \ справа) \ тег {2} \ конец {выравнивание}

Сравнение (1) с (2) дает \[ \left ( dA\ \mathbf{N}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{t}}\ =\left ( \mathbf{N}\ dA\ справа ) \cdot J\mathbf{\tilde{F}}^{-1}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}}\] Следовательно, \[ \fbox{$\mathbf{\tilde{t}}= J\ \mathbf{\tilde{F}}^{-1}\cdot \mathbf{\tilde{\tau }}$}\] Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа в общем случае равен несимметричный.

3.3 Второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа

Из приведенной выше диаграммы напряжение \(\tilde{s}_{1}\) можно рассматривать как

Модифицированный вариант сил в деформированном теле на единицу недеформированной площади

.

Мера напряжения \(\tilde{s}_{1}\) аналогична первой мере напряжения Пиолы-Кирхгофа, за исключением того, что вместо параллельный перенос силы \(\mathbf{df}\) из деформированного состояния в недеформированное состояние, вектор силы \(\mathbf{d\hat{f}}\) сначала создается производное от \(\mathbf{df}\), а затем параллельно транспортируется этот новый вектор. сделанный.{-1}\cdot \mathbf{df} \tag{1} \end{уравнение}

Отсюда в недеформированном состоянии (после параллельного переноса \(\mathbf{d\hat{f}}\) в \(dA\)) следующее соотношение Результаты

\begin{equation} \mathbf{d\hat{f}}=\left ( dA\ \mathbf{N}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{s}}_{1} \tag{2 } \end{уравнение}

В деформированном состоянии применяется следующее соотношение

\begin{equation} \mathbf{df}=\left ( da\\mathbf{n}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{\tau}} \tag{3} \end{equation}

Как и раньше, теперь найдено выражение для \(\mathbf{\tilde{s}}_{1}\) через тензор напряжений Коши \(\tilde{\tau }\).{-Т} } \]

Второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа в общем случае симметричен.

3.4 Тензор напряжений Кирхгофа

Тензор напряжений Кирхгофа \(\mathbf{\tilde{\sigma}}\) является скалярным числом, кратным истинному тензору напряжений \(\mathbf{\tilde{\tau}}\). Масштабный коэффициент – это определитель \(\mathbf{\tilde{F}}\), тензор градиента деформации.

Отсюда \[ \boxed{ \mathbf{\tilde{\sigma}}=J\ \mathbf{\tilde{\tau}} } \]

\(\mathbf{\tilde{\sigma}}\) симметрично, когда \(\mathbf{\tilde{\tau }}\) симметрично, что в общем случае так и есть.

3,5 \(\tilde{\Gamma}\) тензор напряжений

Тензор напряжений \(\boldsymbol{\tilde{\Gamma}}\) является результатом внутренних сил, возникающих из-за приложения растяжения только тензор. Следовательно, это напряжение действует только на область, деформированную за счет растяжения. Поэтому этот стресс представляет собой

сил растяжения только в растянутом теле на единицу растянутой площади

.{\ast}\) найдено.{\аст}\)

Этот тензор напряжений определяется в повернутом состоянии без применения какого-либо растяжения. до. Силы, действующие на вращающуюся площадку, переносились параллельно от сил которые были созданы в конечном деформированном состоянии. Следовательно, это напряжение можно считать так как

силы от конечной деформации, приложенные к вращаемому телу на единицу недеформированной площади

Следующая диаграмма иллюстрирует это.{\ast}\) тензор напряжений.

4 Преобразование геометрии и тензоров напряжений при вращении твердого тела

Теперь рассмотрим изменения тензоров геометрической деформации \(\mathbf{\tilde{F},\tilde{U}}\) и \(\mathbf{\tilde{V}}\) при тело находится в своем окончательном деформированном состоянии, а затем подвергается вращению чистого твердого тела \(\mathbf{\tilde{Q}}\), и тому, что происходит с различными тензорами напряжений, полученными выше, при одном и том же \(\mathbf{\тильда{Q}}\).

Полярное разложение \(\mathbf{\tilde{F}}\) задается как \[ \fbox{$\mathbf{\tilde{F}=\tilde{R}\cdot \tilde{U}}$} \] где \(\mathbf{\tilde{F}}\) — тензор градиента деформации, а \(\mathbf{\tilde{U}}\) — растяжение перед тензором вращения \(\mathbf{\tilde{R}}\), а \(\mathbf{\tilde{R}}\) — тензором вращения.Полярное разложение \(\mathbf{\tilde{F}}\) равно \[\boxed{\mathbf{\tilde{F}=\tilde{V}\cdot \tilde{R}} } \] где \ (\mathbf{\tilde{V}}\) — это растяжение после вращения \(\mathbf{\tilde{R}}\) тензора.

Влияние применения вращения чистого твердого тела \(\mathbf{\tilde{Q}}\) на \(\mathbf{\tilde{F},\tilde{U}}\) и \(\mathbf{\ тильда {V} }\) теперь определена.

В каждом из следующих производных предполагается наличие следующей настройки: тело изначально находится в недеформированном состоянии \(B\) и к телу приложены нагрузки.{\ast}\), а затем при применении растяжения \(\mathbf{\tilde{V}}\) состояние станет \(b\) (что является конечной деформацией состояние).

Из состояния \(b\), которое является конечным состоянием деформации, применяется тензор вращения чистого твердого тела \(\mathbf{\tilde{Q}}\) все тело (с его неподвижными опорами, если таковые имеются). Следовательно, никаких изменений в организме не будет. форма, а новое состояние называется \(q\).

Можно также считать изменение состояния из состояния \(B\) в состояние \(q\) результатом нового тензор градиента деформации, который называется \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}\).Полярное разложение \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}\) также может быть записано как \[ \boxed{\mathbf{\tilde{F}}_{q}\mathbf{=\tilde {R}} _ {q} \ mathbf {\ cdot \ тильда {U}} _ {q}} \] или как \[ \boxed{\mathbf{\tilde{F}}_{q}\mathbf{=\tilde{V}}_{q}\mathbf{\cdot \tilde{R}}_{q}} \]

\(\mathbf{\tilde{F}}\) сравнивается с \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}\) и \(\mathbf{\tilde{U}}\) сравнивается с \(\mathbf{\tilde{U}}_{q}\) и \(\mathbf{\tilde{V}}\) сравнивается с \(\mathbf{\tilde{V}}_{ q}\), чтобы увидеть эффект жесткого вращение тела на этих тензорах.{T}\).{\ frac {1} {2}} \ tag {2} \ end {уравнение} Сравнение (1) и (2) показывает, что они одинаковы. Отсюда \[ \boxed{ \mathbf{\tilde{U}}_{q}\mathbf{=\tilde{U}} } \] Поэтому

\(\mathbf{\tilde{U}}\) не меняется при чисто жестком вращении

.

4.1.3 Преобразование \(\tilde{V}\) (растяжение после поворота тензора \(\tilde{R}\))

Поскольку \begin{equation} \mathbf{\tilde{F}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{F}} \tag{1} \end{equation}

И \(\mathbf{\tilde{F}=\tilde{R}}\cdot \mathbf{\tilde{U}}\) полярным разложением на \(\mathbf{\tilde{F}}\) вышесказанное можно записать как

\[ \mathbf{\tilde{F}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}\cdot}\left ( \mathbf{\tilde{R}}\cdot \mathbf{\tilde{U }}\правильно ) \]

Применение полярного разложения к \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}\) приводит к \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}=\mathbf{\tilde{R}} _ {q} \ cdot \ mathbf {\ tilde {U}} _ {q} \), и приведенное выше становится

\[ \mathbf{\tilde{R}}_{q}\cdot \mathbf{\tilde{U}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{R}}\ cdot \mathbf{\тильда{U}}\]

Ранее было обнаружено, что \(\mathbf{\tilde{U}}_{q}=\mathbf{\tilde{U}}\), поэтому приведенное выше становится

\begin{align} \mathbf{\tilde{R}}_{q}\cdot \mathbf{\tilde{U}} & =\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{R}}\ cdot \mathbf{\tilde{U}}\nonumber \\ \mathbf{\tilde{R}}_{q} & =\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{R}} \tag{2} \end{выравнивание}

Теперь используется вторая форма полярного разложения на \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}\), что дает

\[ \mathbf{\тильда{F}}_{q}=\mathbf{\тильда{V}}_{q}\mathbf{\cdot \тильда{R}}_{q}\]

Подставив (2) в приведенное выше уравнение, получим

\[ \mathbf{\tilde{F}}_{q}=\mathbf{\tilde{V}}_{q}\mathbf{\cdot}\left ( \mathbf{\tilde{Q}\cdot \тильда{R}}\справа ) \]

Подстановка (1) в приведенное выше дает

\[ \mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{F}}=\mathbf{\tilde{V}}_{q}\mathbf{\cdot \tilde{Q}\cdot \tilde{R }}\]

Поскольку \(\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{R}}\) обратима (необходимо проверить), приведенное выше можно записать как

\[ \mathbf{\tilde{V}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{F}\cdot}\left ( \mathbf{\tilde{Q}\cdot \ тильда {R}}\справа ) ^{-1}\]

Но \(\left ( \mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{R}}\right ) ^{-1}=\mathbf{\tilde{R}}^{T}\mathbf{\ cdot \tilde{Q}}^{T}\) (Поскольку \(\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{R}}\) является ортогональной матрицей.{Т}$}\]

Выше показано, как \(\mathbf{\tilde{V}}\) преобразуется из-за жесткого вращения \(\mathbf{\tilde{Q}}\).

Теперь, когда преобразование \(\mathbf{\tilde{F},\tilde{U}}\) и \(\mathbf{\tilde{V}}\) получено, следующим шагом будет найти, как каждый из тензоры напряжений, полученные ранее преобразований из-за \(\mathbf{\tilde{Q}}\).

4.2 Преобразование тензоров напряжений при вращении твердого тела \(\tilde{Q}\)
4.2.1 Преобразование тензора напряжений \(\tilde{\tau}\) (тензор напряжений Коши)

Напряжение \(\mathbf{\tilde{\tau}}_{q}\) (напряжение Коши в состоянии \(q\)) вычисляется в точке \(b_{q}\).Так как это жесткая вращения тела, площадь \(da\) не изменится, только единичный вектор нормали \(\mathbf{n}\) изменится на \(\mathbf{n}_{q}\)

Тензор \(\mathbf{\tilde{Q}}\) отображает вектор \(\mathbf{df}\) в вектор \(\mathbf{df}_{q}\)

\begin{equation} \mathbf{df}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{df} \tag{1} \end{equation} Но в состоянии \(b\) (деформированное состояние) тензор напряжений Коши задается выражением\begin{equation} \mathbf{df=}\left ( da\ \mathbf{n}\right ) \cdot \mathbf{ \tilde{\tau}} \tag{2} \end{уравнение} Подстановка (2) в (1) дает \[ \mathbf{df}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \left ( da\ \mathbf{n}\right ) \cdot \mathbf{ \тильда{\тау}}\]

Замена порядка \(\mathbf{\tilde{\tau }}\) и \(da\\mathbf{n}\) и использование транспонирования \(\mathbf{\tilde{\tau }}\ ) дает

\begin{equation} \mathbf{df}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}}^{T}\mathbf{\cdot}\left ( da\ \mathbf{n}\right ) \tag{3} \end{уравнение}

Следовательно, поскольку тензор \(\mathbf{\tilde{Q}}\) отображает ориентированную область \(\left ( da\ \mathbf{n}\right ) \) в ориентированную область \(\left ( da \\mathbf{n}_{q}\right ) \) тогда

\[ \left ( da\ \mathbf{n}_{q}\right ) =\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \left ( da\\mathbf{n}\right ) \]

или

\begin{equation} \mathbf{\tilde{Q}}^{T}\mathbf{\cdot}\left ( da\\mathbf{n}_{q}\right ) =da\ \mathbf{n } \tag{4} \end{уравнение}

Замена (4) на (3) дает

\begin{align} \mathbf{df}_{q} & =\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}}^{T}\mathbf{\cdot \tilde {Q}}^{T}\mathbf{\cdot}\left ( da\\mathbf{n}_{q}\right ) \nonumber \\ & =\left ( da\\mathbf{n}_{q }\right ) \cdot \mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}\cdot \tilde{Q}}^{T} \tag{5} \end{align}

Однако напряжение \(\mathbf{\tilde{\tau}}_{q}\) в состоянии \(q\) определяется как \(\mathbf{df}_{q}=\left ( da \\mathbf{n}_{q}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{\tau}}_{q}\), поэтому приведенное выше уравнение становится

\[ \left ( da\ \mathbf{n}_{q}\right ) \cdot \mathbf{\tilde{\tau}}_{q}=\left ( da\\mathbf{n}_{ q} \ right ) \ cdot \ mathbf {\ тильда {Q}} \ cdot \ mathbf {\ тильда {\ тау} \ cdot \ тильда {Q}} ^ {T} \]

или

\[ \fbox{$\mathbf{\tilde{\tau}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{\tilde{\tau}\cdot \tilde{Q} }^{Т}$}\]

Это подразумевает

изменился тензор истинных напряжений в деформированном теле, подвергнутом чисто жесткому вращению.

Сравнение приведенного выше результата преобразования с результатами преобразования тензоров деформации в

true Напряжение Коши \(\mathbf{\tilde{\tau }}\) преобразуется аналогично тензору \(\mathbf{\tilde{V}}\)

4.2.2 Преобразование первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа

Ниже приведено преобразование первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа \(\mathbf{\tilde{t}}\).{T}\] Следовательно, \[ \mathbf{\tilde{t}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{\tilde{t}}\] Исследуя, как геометрические тензоры преобразование, результаты, полученные ранее, показали, что \(\mathbf{\tilde{F}}_{q}\) \(=\mathbf{\tilde{Q}\cdot \tilde{F}}\) поэтому

\(\displaystyle \mathbf{\tilde{t}} \text{преобразуется аналогично} \mathbf{\tilde{F}} \)

4.2.3 Преобразование второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа

Ниже приведено преобразование второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа \(\mathbf{\tilde{s}}_{1}\).{-T}$}\]

То же, что и \(\mathbf{\tilde{s}}_{1}\), следовательно, \[ \fbox{$\mathbf{\tilde{s}}_{1_{q}}=\ mathbf{\тильда{s}}_{1}$}\]

Так как ранее было установлено, что \(\mathbf{\tilde{U}}_{q}=\mathbf{\tilde{U}}\) поэтому

\[ \boxed{ \mathbf{\tilde{s}}_{1} \text{преобразуется аналогично} \mathbf{\tilde{U}} } \]

4.2.4 Преобразование тензора напряжений Кирхгофа \(\tilde{\sigma}\)

Поскольку \(\mathbf{\tilde{\sigma}}\) является скалярным числом, кратным \(\mathbf{\tilde{\tau}}\), а ранее было обнаружено, что \(\mathbf{\tilde{ \tau }}\) является сопряженной парой с \(\mathbf{\tilde{V}}\), то она делается вывод, что

\(\mathbf{\tilde{\sigma}}\) преобразуется аналогично \(\mathbf{\tilde{V}}\)

4.{\ast T}\right )}{2}\]

Поэтому

\[ \fbox{$\mathbf{\tilde{r}}_{q}=\mathbf{\tilde{r}}$}\]

Поскольку \(\mathbf{\tilde{U}}_{q}\mathbf{=\tilde{U}}\) поэтому

\[ \boxed{\mathbf{\tilde{r}} \text{преобразуется аналогично} \mathbf{\tilde{U}} } \]

4.{\ast} \text{сопряженная пара с} \mathbf{\tilde{U}} } \]

4.{\ast} \text{сопряженная пара с} \mathbf{\tilde{U}}} \]

5 Определяющие уравнения с использованием сопряженных пар для нелинейно-упругих материалов с большими деформации: гиперэластичность

Формулировка определяющего отношения для материала ищет формулу, которая связывает напряжение меры к мере деформации. Поэтому, используя конкретную меру напряжения, правильная деформация необходимо использовать меру.

Таким образом, перед нами стоит следующая задача: для заданного тензора напряжений одно из многих тензоры напряжений обсуждались ранее, как определить правильный тензор деформации для использования с Это?

Чтобы сделать обсуждение более общим, тензор напряжений обозначается \(\mathbf{\tilde{B}}\) и его сопряженной парой, тензор деформации с помощью \(\mathbf{\tilde{A}}\).

Мерой напряжения \(\mathbf{\tilde{B}}\) может быть любая из мер напряжения, обсуждавшихся ранее, например, критерий Коши. тензор напряжений \(\mathbf{\tilde{\tau }}\), второй тензор напряжений Пиола-Кирхгофа \(\mathbf{\tilde{s}}_{1}\). Теперь используемый тензор деформации определенный. Пусть \(\left (\mathbf{\tilde{B},\tilde{A}}\right )\) — тензоры сопряженных пар.

Физика используется для нахождения \(\mathbf{\tilde{A}}\) для каждого конкретного \(\mathbf{\tilde{B}}\)

Пусть текущее количество энергии, запасенное в единице объема в результате воздействия на тело деформация равна \(W\), то скорость изменения этой энергии будет равна напряжению умножается на скорость деформации.Следовательно

\[ \boxed{ \dot{W}=\mathbf{\tilde{B}\двоеточие}\frac{\partial \mathbf{\tilde{A}}} }{\partial t} } \]

Где \(\двоеточие \) — оператор матрицы трассировки. Это правило используется для определения \(\mathbf{\tilde{A}}\).

На диаграмме напряжения-деформации изображено следующее

Мера деформации \(\mathbf{\tilde{A}}\) (сопряженная пара для меры напряжения \(\mathbf{\tilde{B}}\)) должна удовлетворять соотношению

\begin{align*} \frac{\partial W}{\partial t} & =\frac{\partial W}{\partial \mathbf{\tilde{A}}}:\frac{\partial \mathbf {\tilde{A}}}{\partial t}\\ \dot{W} & =\mathbf{\tilde{B}}:\mathbf{\dot{A}} \end{align*}

Для каждой пары сопряженных напряжений/деформаций условия \(\frac{\partial W}{\partial t}, \frac{\partial \mathbf{\tilde{A}}}{\partial t},\mathbf {\tilde{A}}\) являются производными.{T}$}\]

5.{T}\справа ) }{2}\)

Поскольку \(\mathbf{\mathbf{\tilde{U}}}\) симметрична, поэтому сопряженной парой для \(\mathbf{\tilde{r}}\) является \(\frac{1}{J }\mathbf{\mathbf{U}}\) Следовательно, \[ \mathbf{\tilde{A}=}\frac{1}{J}\mathbf{\mathbf{U}}\] То же, что и тензор деформации связанный со стрессом Biot-Lure.

6 Соотношение напряжение-деформация с использованием сопряженных пар на основе дополнительной энергии деформации

TO-DO для будущей работы.

7 Приложение

7.1 Вывод тензора градиента деформации \(\tilde{F}\) в нормальных декартовых координатах система

Далее выводится выражение для тензора градиента деформации \(\mathbf{\tilde{F}}\).Этот тензор преобразовать один вектор в другой вектор.

Для простоты предполагается, что деформированное и недеформированное состояния описываются с помощью та же система координат. Кроме того, предполагается, что эта система координат является нормальная декартова система с базисными векторами \(\mathbf{i,j,k}\). Позже эти выражения будут записаны в более общий случай, когда системы координат различны и используются криволинейные координировать. За исключением использования разных обозначений, вывод одинаков в обоих случаях. случаи.

Рассмотрение точки \(P\) в недеформированном состоянии. Эта точка будет иметь координаты \(\left ( X_{1},X_{2},X_{3}\right )\). Когда тело подвергается деформации, эта точка будет перемещена на новое место. Образ этого точка в деформированном состоянии называется точкой \(p\). Координаты точки \(p\) равны \(\влево (x_{1},x_{2},x_{3}\right)\).

Координаты \(x_{i}\) являются функцией координат \(X_{j}\). Эти функции составляют отображение между недеформированная форма и деформированная форма.Эти функции могут быть записаны в общем виде так как

\begin{align*} x_{1} & =f_{1}\left ( X_{1},X_{2},X_{3}\right ) \\ x_{2} & =f_{2} \влево (X_{1},X_{2},X_{3}\вправо) \\ x_{3} & =f3\влево (X_{1},X_{2},X_{3}\вправо) \ конец {выравнивание *}

Следовательно, зная функции \(f_{i}\), можно определить положение любой точки в деформированном состоянии. находится, если известно его положение в недеформированном состоянии. Более принято писать функция \(f_{i}\) с использованием имени самой координаты.Например, запись \(x_{1}=x_{1}\left ( X_{1},X_{2},X_{3}\right ) \) вместо \(x_{1}=f_{1}\ влево ( X_{1},X_{2},X_{3}\right ) \) как было сделано над.

Однако это может немного сбивать с толку, так как используется буква \(x_{i}\) в качестве функции, когда на правой стороне и переменная на LHS. Следовательно, здесь выбор состоял в том, чтобы использовать новое имя для отображения функция.

Из приведенного выше мы получаем выражение для дифференциального изменения каждой из 3 координат, используя Правило дифференциальной цепи определяется следующим образом

\begin{align} dx_{1} & =\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{1}}dX_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial X_ {2}}dX_{2}+\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{3}}dX_{3}\nonumber \\ dx_{2} & =\frac{\partial f_{2} {\ partial X_ {1}} dX_ {1} + \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {2}} dX_ {2} + \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {3}} dX_ {3} \ nonumber \\ dx_ {3} & = \ frac {\ partial f_ {3}} {\ partial X_ {1}} dX_ {1} + \ frac {\ partial f_ {3 }}{\partial X_{2}}dX_{2}+\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{3}}dX_{3} \tag{1} \end{align}

Теперь рассмотрим дифференциальный элемент вектора \(\mathbf{dr}\) в деформированном состоянии.Этот вектор можно записать так как

\begin{equation} \mathbf{dr}=\mathbf{i\ }dx_{1}+\mathbf{j\ }dx_{2}+\mathbf{k\ }dx_{3} \tag{2} \end{уравнение}

Объединение уравнений (1) и (2) дает

\begin{align*} \mathbf{dr} & =\mathbf{i\}\left ( \frac{\partial f_{1}}{\partial X_{1}}dX_{1}+\frac{ \partial f_{1}}{\partial X_{2}}dX_{2}+\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{3}}dX_{3}\right ) \\ & +\ mathbf{j\}\left ( \frac{\partial f_{2}}{\partial X_{1}}dX_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{2}}dX_ {2}+\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{3}}dX_{3}\right) \\ & +\mathbf{k\}\left (\frac{\partial f_{3) }}{\partial X_{1}}dX_{1}+\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}}dX_{2}+\frac{\partial f_{3}}{\ частичное X_{3}}dX_{3}\right ) \end{align*}

Приведенное выше уравнение можно записать в матричной форме следующим образом

\begin{equation} \begin{pmatrix} dx_{1}\\ dx_{2}\\ dx_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{ \partial X_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial X_{2}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial X_{3}}\\ \frac{ \partial f_{2}}{\partial X_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial X_{2}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial X_{ 3}}\\ \frac{\partial f_{3}}{\partial X_{1}} & \frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}} & \frac{\partial f_{ 3}}{\partial X_{3}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} dX_{1}\\ dX_{2}\\ dX_{3}\end{pmatrix} \tag{3} \end{ уравнение}

Видно, что компоненты \(\mathbf{dr}\) могут быть получены из компонент \(\mathbf{dR}\) путем предварительного умножения компоненты \(\mathbf{dR}\) по приведенной выше матрице \(3\times 3\).Следовательно, эта матрица действует как правило преобразования, которое отображает одного вектора к другому, это тензор второго порядка, который называется тензором градиента деформации \(\mathbf{\тильда{F}}\)

\begin{equation} \mathbf{dr=\tilde{F}\cdot dR} \tag{4} \end{equation}

Это отношение можно записать также в двоичной форме следующим образом

\begin{multline} \mathbf{i\ }dx_{1}+\mathbf{j\ }dx_{2}+\mathbf{k\ }dx_{3}=\nonumber \\ \left ( \mathbf{ II} \ гидроразрыва {\ парциальное f_ {1}} {\ парциальное X_ {1}} + \ mathbf {ij} \ гидроразрыва {\ парциальное f_ {1}} {\ парциальное X_ {2}} + \ mathbf {ik} \ гидроразрыв {\ парциальное f_ {1}} {\ парциальное X_ {3}} + \ mathbf {ji} \ гидроразрыва {\ парциальное f_ {2}} {\ парциальное X_ {1}} + \ mathbf {jj} \ гидроразрыва {\ парциальное f_ {2}} {\ парциальное X_ {2}} + \ mathbf {jk} \ frac {\ парциальное f_ {2}} {\ парциальное X_ {3}} + \ mathbf {ki} \ frac {\ частичное f_{3}}{\partial X_{1}}+\mathbf{kj}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}}+\mathbf{kk}\frac{\partial f_ {3}}{\partial X_{3}}\right ) \\nonumber \\ \mathbf{\cdot}\left (\mathbf{i\}dX_{1}+\mathbf{j\}dX_{2} +\mathbf{k\ }dX_{3}\right ) \tag{5} \end{multline} Чтобы выполнить умножение на правой стороне в приведенном выше уравнении, нормальный скалярный продукт соглашение соблюдается с использованием следующих правил.\begin{align*} \mathbf{ii\cdot i} & \mathbf{=i}\left ( \mathbf{i\cdot i}\right ) =1\\ \mathbf{ij\cdot i} & \mathbf {=i}\left ( \mathbf{j\cdot i}\right ) =0\\ \mathbf{ik\cdot i} & \mathbf{=i}\left ( \mathbf{k\cdot i}\right ) =0\\ \mathbf{ji\cdot i} & \mathbf{=j}\left ( \mathbf{i\cdot i}\right ) =1\\ & etc\cdots \end{align*}

Выполнение умножения дает

\begin{multline*} \mathbf{i\ }dx_{1}+\mathbf{j\ }dx_{2}+\mathbf{k\ }dx_{3}=\\ \left ( \mathbf{ii } \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial X_ {1}} + \ mathbf {ij} \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial X_ {2}} + \ mathbf {ik} \ гидроразрыва {\ парциальное f_ {1}} {\ парциальное X_ {3}} + \ mathbf {ji} \ гидроразрыва {\ парциальное f_ {2}} {\ парциальное X_ {1}} + \ mathbf {jj} \ гидроразрыва { \ парциальное f_ {2}} {\ парциальное X_ {2}} + \ mathbf {jk} \ гидроразрыв {\ парциальное f_ {2}} {\ парциальное X_ {3}} + \ mathbf {ki} \ гидроразрыв {\ парциальное f_{3}}{\partial X_{1}}+\mathbf{kj}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}}+\mathbf{kk}\frac{\partial f_{ 3}}{\partial X_{3}}\right ) \cdot \mathbf{i\}dX_{1}\\ +\left ( \mathbf{ii}\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{1}}+\mathbf{ij}\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{2}}+\mathbf{ik}\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{ 3}}+\mathbf{ji}\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{1}}+\mathbf{jj}\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{2} }+\mathbf{jk}\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{3}}+\mathbf{ki}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{1}}+ \mathbf{kj}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}}+\mathbf{kk}\frac{\partia l f_{3}}{\partial X_{3}}\right ) \cdot \mathbf{j\}dX_{2}\\ +\left (\mathbf{ii}\frac{\partial f_{1}} {\ парциальное X_ {1}} + \ mathbf {ij} \ гидроразрыв {\ парциальное f_ {1}} {\ парциальное X_ {2}} + \ mathbf {ik} \ гидроразрыв {\ парциальное f_ {1}} {\ гидроразрыва частичное X_ {3}} + \ mathbf {ji} \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {1}} + \ mathbf {jj} \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {2}}+\mathbf{jk}\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{3}}+\mathbf{ki}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{1 }}+\mathbf{kj}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}}+\mathbf{kk}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{3}} \right ) \cdot \mathbf{k\ }dX_{3} \end{multline*}

Умножение точек упрощается с использованием вышеупомянутых правил для получения

\begin{multline*} \mathbf{i\ }dx_{1}+\mathbf{j\ }dx_{2}+\mathbf{k\ }dx_{3}=\\ \left ( \mathbf{i } \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial X_ {1}} dX_ {1} + \ mathbf {0} + \ mathbf {0} + \ mathbf {j} \ frac {\ partial f_ {2} }{\partial X_{1}}dX_{1}+\mathbf{0}+\mathbf{0}+\mathbf{k}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{1}}dX_ {1}+\mathbf{0}+\mathbf{0}\right ) \\ +\left (\mathbf{0}+\mathbf{ij}\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{ 2}}dX_{2}+\mathbf{0}+\mathbf{0}+\mathbf{jj}\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{2}}dX_{2}+\mathbf {0}+\mathbf{0}+\mathbf{kj}\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{2}}dX_{2}+\mathbf{0}\right ) \\ +\ слева ( \mathbf{0}+\mathbf{0}+\mathbf{ik}\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{3}}dX_{3}+\mathbf{0}+\mathbf {0}+\mathbf{jk}\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{3}}dX_{3}+\mathbf{0}+\mathbf{0}+\mathbf{kk}\ frac{\ partial f_ {3}} {\ partial X_ {3}} dX_ {3} \ right ) \ end {multline *}

Упрощение дает

\begin{multline*} \mathbf{i\ }dx_{1}+\mathbf{j\ }dx_{2}+\mathbf{k\ }dx_{3}=\\ \left ( \mathbf{i } \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial X_ {1}} dX_ {1} + \ mathbf {j} \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {1}} dX_ {1 } + \ mathbf {k} \ frac {\ partial f_ {3}} {\ partial X_ {1}} dX_ {1} \ right ) + \ left ( \ mathbf {i} \ frac {\ partial f_ {1} {\ partial X_ {2}} dX_ {2} + \ mathbf {j} \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {2}} dX_ {2} + \ mathbf {k} \ frac { \partial f_{3}}{\partial X_{2}}dX_{2}\right ) \\ +\left (\mathbf{i}\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{3} } dX_ {3} + \ mathbf {j} \ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial X_ {3}} dX_ {3} + \ mathbf {k} \ frac {\ partial f_ {3}} { \partial X_{3}}dX_{3}\right ) \end{multline*}

Сбор похожих терминов на RHS дает

\begin{multline*} \mathbf{i\ }dx_{1}+\mathbf{j\ }dx_{2}+\mathbf{k\ }dx_{3}=\\ \mathbf{i}\left ( \frac{\partial f_{1}}{\partial X_{1}}dX_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial X_{2}}dX_{2}+\frac{ \partial f_{1}}{\partial X_{3}}dX_{3}\right ) +\mathbf{j}\left (\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{1}}dX_ {1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{2}}dX_{2}+\frac{\partial f_{2}}{\partial X_{3}}dX_{3}\ справа ) \\ +\mathbf{k}\left ( \frac{\partial f_{3}}{\partial X_{1}}dX_{1}+\frac{\partial f_{3}}{\partial X_ {2}}dX_{2}+\frac{\partial f_{3}}{\partial X_{3}}dX_{3}\right ) \end{multline*}

сравнение компонентов вектора на левой шкале с компонентами вектора на RHS дает уравнение (1), как и ожидалось.{\ гидроразрыва {1} {2}} \)

\(\mathbf{\tilde{F}}_{q}=\mathbf{\tilde{Q}}\cdot \mathbf{\tilde{F}}\)

8 Каталожные номера

  1. Профессор Атлури, С.Н. конспекты лекций. Курс MAE295. Солидная механика. Зима 2006 года. Калифорнийский университет, Ирвин.
  2. Атлури, С.Н. «Альтернативные меры напряжения и сопряженной деформации, а также смешанные вариационные формулировки, включающие жесткие вращения, для вычислительного анализа конечно деформированных твердые тела, с приложениями к пластинам и оболочкам».Напечатано в компьютерах и структурах Vol. 18, № 1. С. 93-116. 1984 г.
  3. С.Н.Атлури, А.Каззани. «Вращения в вычислительной механике твердого тела». Опубликовано Архивы вычислительных методов в технике. Том 2.1. стр. 49-138. 1995.
  4. Нассер М. Аббаси, «Простые примеры, иллюстрирующие использование градиента деформации тензор». 6 марта 2006 г. http://12000.org/my_notes/deformation_gradient
  5. Малверн. Введение в механику сплошной механики.
  6. классные заметки, конечно EN175, Продвинутая механика твердого тела, Университет Брауна. http://www.engin.brown. edu/courses/en175/Notes/Eqns_of_motion/Eqns_of_motion.htm

Улучшенная дискретизация и линеаризация активного напряжения в сильно связанном электромеханическом моделировании сердца

Comput Methods Biomech Biomed Engine. Авторская рукопись; доступно в PMC 2015 1 мая.Sundnes

a Исследовательская лаборатория Simula, Лисакер, Норвегия/Кафедра информатики, Университет Осло, Осло, Норвегия

S. Wall

a Исследовательская лаборатория Simula, Лисакер, Норвегия/Кафедра информатики, Университет Осло , Осло, Норвегия

H. Osnes

b Факультет математики, Университет Осло, Осло, Норвегия

T. Thorvaldsen

c Норвежский институт оборонных исследований, Кьеллер, Норвегия 0 A.D. McCulloch

d Факультет биоинженерии, Калифорнийский университет, Сан-Диего, Ла-Хойя, Калифорния, США

a Исследовательская лаборатория Simula, Лисакер, Норвегия/Кафедра информатики, Университет Осло, Осло, Норвегия

b Кафедра математики, Университет Осло, Осло, Норвегия

c Норвежский институт оборонных исследований, Кьеллер, Норвегия

d Факультет биоинженерии, Калифорнийский университет, Сан-Диего, Ла-Хойя, Калифорния, США

См. другие статьи в PMC, в которых цитируется опубликованная статья.

Abstract

Математические модели электромеханики сердца обычно состоят из трех тесно связанных частей: системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих электрохимические реакции и динамику поперечных мостов в мышечных клетках, системы дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих распространение электрическая активация через ткань и задача нелинейной упругости, описывающая механические деформации сердечной мышцы. Сложность математической модели мотивирует численные методы, основанные на операторном расщеплении, но было показано, что простые явные схемы расщепления создают серьезные проблемы со стабильностью для реалистичных моделей электромеханической связи сердца.Стабильность можно улучшить, приняв полунеявные схемы, но это создает проблемы при обновлении и линеаризации активного напряжения. В этой статье мы представляем структуру разделения операторов для сильно связанных электромеханических симуляций и обсуждаем альтернативные стратегии обновления и линеаризации активного компонента напряжения. Численные эксперименты демонстрируют значительное повышение производительности при использовании метода обновления, основанного на обобщенной схеме Раша-Ларсена, и последовательной линеаризации активного напряжения на основе первого тензора упругости.

Ключевые слова: электромеханика сердца, сильносвязанное моделирование, расщепление операторов ткани сердечной мышцы и гемодинамики системы кровообращения. Учитывая клиническое значение сердца, неудивительно, что все эти процессы широко изучены.В результате у нас теперь есть подробные знания об этих процессах, охватывающих весь спектр пространственных масштабов, от субклеточного до уровня всего органа. Однако, несмотря на эти достижения, многое до сих пор неизвестно, как в отношении определенных критических процессов, таких как взаимодействие между мостами, так и в отношении механизмов сотрудничества (см., например, Райс и де Томб, 2004). Разработка подробных математических моделей для каждого процесса, которые могут быть объединены в полные вычислительные модели электромеханики сердца, является ценной исследовательской деятельностью для дальнейшего развития этих знаний.Однако, несмотря на значительный прогресс в этой области, развитие замедляется из-за сложности и многомасштабности уравнений, а также из-за отсутствия эффективных вычислительных методов для полномасштабного моделирования сердца.

При моделировании сокращения сердечной мышцы процесс удобно рассматривать как состоящий из трех тесно взаимосвязанных частей: (i) электрохимических реакций в кардиомиоцитах, вызывающих циклирование поперечных мостиков и развитие активного напряжения в клетках; (ii) проведение электрического сигнала от клетки к клетке за счет деполяризации мембраны и (iii) деформации, вызванной балансом сократительных сил, пассивными механическими свойствами ткани и нагрузкой, вызванной кровяным давлением внутри полостей.Для всех этих частей существуют очень подробные и точные математические модели. На клеточном уровне электрофизиологические состояния, такие как мембранные каналы и концентрации ионов, описываются с впечатляющей детализацией, и, хотя они в некоторой степени отстают от моделей электрофизиологии, модели взаимодействия миофиламентов и развития силы становятся все более точными. Веб-страница CellML (2012 г.) предоставляет обширный репозиторий как электрофизиологических моделей, так и моделей сокращения. На тканевом уровне модели, основанные на концепции бидомена, широко используются для описания активации сердца (см.грамм. Лайнс и др. 2002), тогда как механические деформации могут быть описаны фундаментальными законами механики сплошной среды. Для материального поведения мышц был разработан широкий спектр определяющих соотношений (см., например, Holzapfel and Ogden 2009 для недавнего примера).

Математические модели различных процессов можно легко связать вместе, но решение полученных систем дифференциальных уравнений остается сложной задачей. В примерах совместного электромеханического моделирования в литературе используется множество различных методов решения.В некоторых исследованиях использовались передовые модели механики, но рассчитывалась последовательность активации до деформации и независимо от нее (Usyk et al. 2002; Kerckhoffs et al. 2003). Другие решили проблему полностью, включая механо-электрическую обратную связь, но использовали упрощенные модели как для электрофизиологии, так и для механических свойств (см. Нэш и Панфилов, 2004). В Nickerson et al. (2005), уравнения электрофизиологии и механики решались совместно с использованием биофизически подробных моделей клеточных реакций и сокращения.Усовершенствованный вычислительный метод для сильно связанного моделирования был представлен Нидерером и Смитом (2008 г.), ориентированным на модель сжатия Нидерера и др. (2006), тогда как Патманатан и Уайтли (2009) представляют другой алгоритм для той же модели сжатия. Другие исследования, Campbell et al. (2009) и Гурьев и соавт. (2011a, 2011b) представили сильно связанные модели, основанные на модели сокращения Rice et al. (2008), а также Göktepe and Kuhl (2009) представили полностью неявную схему решения для связанной электромеханики сердца.Недавние исследования (Land et al. 2012; Lafortune et al. 2012) изучали вычислительную эффективность электромеханического моделирования на различных вычислительных архитектурах.

Цель этой статьи состояла в том, чтобы представить структуру разделения операторов для компьютерного моделирования сильно связанной электромеханики сердца и обсудить альтернативные методы решения возникающих подзадач. Метод разделения разделяет общую модель на три тесно связанные подзадачи, соответствующие (i)–(iii) выше, и объединяет решения подзадач для получения надежного метода решения связанной задачи.Основное внимание в статье уделяется получению стабильных и точных схем для решения подзадачи механики, и мы в основном сосредоточены на модели сжатия Райса и др. (2008). Эта модель отличается от модели Niederer et al. (2006) и родственных моделей сжатия формулировкой обратной связи между деформацией и силой. Добавленная детализация и сложность модели обратной связи порождают дополнительные проблемы при получении стабильной схемы решения.

Бумага организована следующим образом. В разделе 2 мы описываем математические модели для трех подпроцессов, включенных в моделирование, и показываем, как они связаны, чтобы сформировать полную математическую модель.В разделе 3 представлен предлагаемый численный метод с акцентом на методы решения подзадачи механики. В разделе 4 представлены численные результаты исследования эффективности альтернативных методов, а в разделе 5 содержится краткое резюме и заключительные замечания.

2. Математическая модель

Математическая модель электромеханики сердца может быть записана в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнения в частных производных (УЧП):

∂s∂t=f(v,s,λ),x∈H,

(1)

∂v∂t+Iion(v,s,λ)=∇·(Mi∇v)+∇ · (Mi∇ue), x∈H,

(2)

∇ · (( м I + m E 9) ∇ u E ) = — ∇ · ( M I V ), x H ,

(3)

∇ · ( FS ) = 0, x H ,

(4)

с определяющими соотношениями

Sa=JF-1σa(s,λ,λ.) FT,

(7)

и граничных условий

η · ( м I V + м

9

I U E E ) = 0, x ∈ ∂ h ,

(8)

η · ( m u u e ) = 0, x ∈ ∂ H ,

(9)

U = 0, x ∈ ∂ H 1 ,

(10)

t = jσ¯1f-t · η, x∈ ∂h3,

(11)

T=Jσ¯2(t)FT·η,x∈∂h4.

(12)

В приведенных выше уравнениях система ОДУ для электрофизиологии клеток и связи возбуждения-сокращения задается формулой (1), где s — вектор переменных состояния в момент времени t , обычно описывающий мембрану каналы и внутриклеточные концентрации ионов. Трансмембранный потенциал v представляет собой разность между внутриклеточным потенциалом u i и внеклеточным потенциалом u e , а λ — коэффициент удлинения волокна, т.е.е. текущая длина саркомера, деленная на длину провисания. Подробный обзор электрофизиологии и механики клеток можно найти на веб-странице CellML (2012). Модели развития активной силы включают простые модели, такие как модель, примененная Нэшем и Панфиловым (2004), а также более подробные модели сокращения, такие как модель Хантера-Маккаллоха-тер-Кеурса (HMT) (см. Хантер и др., 1998) и модель Райс и др. (2008). Модели клеточной электромеханики, полученные путем объединения этих двух типов моделей, демонстрируют большие различия в сложности из-за их физиологического уровня детализации.Например, модель, примененная Нэшем и Панфиловым, состоит всего из трех ОДУ, тогда как основная модель, рассматриваемая в этой статье, имеет 40 ОДУ. Эта модель является результатом объединения модели Winslow et al. (1999) для электрофизиологии клеток с моделью Rice et al. (2008) для развития силы. Представлены некоторые численные результаты для модели, которая объединяет модель Уинслоу и др. с моделью HMT для механики, что приводит к системе из 32 ОДУ. Вкратце, связанная электромеханическая модель формируется путем использования внутриклеточного кальция, предсказанного электрофизиологической моделью, в качестве входных данных для модели сокращения.Поскольку связывание Ca с тропонином C (TnC) описывается всеми тремя моделями, в связанной модели существует некоторая избыточность, которую необходимо разрешить. Для привязки модели Winslow et al. к модели HMT мы использовали уравнения связывания кальция из модели Winslow et al., но модифицированные для зависимости от растяжения в соответствии с моделью HMT. Модель Rice et al. использует два ODE для описания связывания Ca 2+ с TnC, и в связанной модели мы заменили одно уравнение в модели Winslow et al. этими двумя.Существует несколько альтернативных связанных моделей, как описано, например, в Nickerson et al. (2001), Кэмпбелл и др. (2009) и Гурьев и соавт. (2011а, 2011б).

Распространение электрического импульса описывается бидоменной моделью, (2) и (3) (Tung 1978). Здесь I ion — это полный ионный ток, масштабированный с учетом емкости мембраны. Кроме того, M i и M e представляют собой тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости, соответственно, которые масштабируются с помощью емкости мембраны и отношения площади клеточной мембраны к объему (см., например, , Санднес и др.2005, 2006, подробности о масштабировании). Для простоты рассмотрим изолированное сердце, где граничные условия отсутствия потока (8) и (9) применяются к полной границе. Также обратите внимание, что (2) и (3) решаются на недеформированной геометрии, и мы не рассматриваем влияние деформации на проводимость ткани, как это описано Нэшем и Панфиловым (2004).

Механическое поведение описывается уравнением равновесия (4) в сочетании с определяющими соотношениями (5)–(7). Здесь F — градиент деформации, а S — второй тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа.Полная лагранжева формулировка используется в (4), в которой все величины отображаются обратно в эталонную геометрию H (т. е. при t = 0; см., например, Holzapfel 2000). Как показано в (5), второй тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа записывается в виде суммы пассивной части S p и активной части S a . Если предположить, что миокард можно смоделировать как гиперэластичный материал, то пассивная часть второго тензора напряжений Пиолы–Кирхгофа (6) определяется как первая производная функции энергии деформации Ψ по компонентам функции Грина–Лагранжа тензор деформации.Примеры широко используемых моделей пассивного поведения тканей можно найти у Guccione et al. (1995), Хантер и др. (1998), Usyk et al. (2000) и Хольцапфель и Огден (2009). Для численных экспериментов, представленных в этой статье, мы использовали трансверсально-изотропную версию экспоненциальной функции энергии деформации из Usyk et al. (2002):

ψ = ½ C (E W — 1) + C — 1) + C POM ( J LN J J + 1),

(13)

W = bffEff2+bxx(Ess2+Enn2+Esn2+Ens2)+bfx(Efn2+Enf2+Efs2+Esf2).

(14)

(14)

здесь C , C , C , B FF , B XX и B FX являются материальными параметрами, E IJ компоненты тензора деформации Грина–Лагранжа E и J – определитель градиента деформации F . Материал моделируется как слегка несжимаемый, в котором штрафной коэффициент C compr в (13) регулируется для управления изменениями объема.

Активная часть второго тензора напряжений Пиолы–Кирхгофа выражается в (7), где σ a — активный тензор напряжений Коши. Применительно к локальной системе координат волокна отличны от нуля только компоненты нормального напряжения (т. е. диагональные компоненты) активного тензора напряжений Коши. Развитие активной силы в сердечной мышце запускается повышением концентрации внутриклеточного кальция, который содержится в описанном выше векторе состояния s .Кроме того, известно, что сила зависит от коэффициента удлинения λ и его производной по времени, обозначаемой λ̇ . Как отмечалось выше, мы вычисляем натяжение волокна по двум альтернативным моделям: модели HMT и модели Rice et al. (2008). Модель HMT включает эталонное натяжение T ref в качестве параметра модели, и мы применяем тот же параметр для масштабирования нормализованного натяжения, полученного по модели Rice et al. (2008). Мы обращаемся к оригинальным публикациям для получения подробной информации о рецептурах активного натяжения.Хотя интуитивно можно ожидать, что сила, развиваемая сердечными клетками, будет в первую очередь направлена ​​в направлении волокон, экспериментальные результаты указывают на значительные активные силы в поперечных направлениях (см., например, Lin and Yin 1998). Мы вычисляем поперечные компоненты стресса путем введения двух дополнительных материальных констант γ S и γ N , а установка Σ SS = Σ S Σ FF и Σ NN = γ n σ ff .

Для механической части проблемы уместно разделить границу на три непересекающих поддомены, ∂H = ∂h 1 ∂h 2 ∂h 3 . К некоторым частям границы приложим условия перемещения ∂H 1 , приложенную извне постоянную нормальную нагрузку σ̄ 1 к другим частям ∂H 2 , приложенная нормальная напряжённая нагрузка σ̄ 2 к остальной части границы ∂H 3 , выраженная формулами (10)–(12) соответственно.Как правило, нормальная стрессовая нагрузка, зависящая от времени, применяется к поверхности эндокарда желудочка, чтобы имитировать влияние кровяного давления на различные фазы сердечного цикла. Временные изменения кровяного давления могут быть описаны сложными моделями циркуляции с обратной связью, как описано в Kerckhoffs et al. (2007), но для этого исследования мы используем более простой подход. На этапе пассивного заполнения мы прикладываем заданное давление, возрастающее во времени, в то время как на других этапах давление зависит от состояния деформации и должно определяться с помощью итерационной процедуры.В изоволюмических фазах нагрузка давлением должна соответствовать ограничению постоянного объема полости, тогда как в фазе выброса нагрузка давлением (и объем полости) определяется двухэлементной моделью Виндкесселя:

dVdt=-Cartdpdt-p-p0Rper,

(15)

где V — объем полости, p — давление в полости, C

8 art 90 art — общая податливость 0 — венозное давление, а R на — общее периферическое сопротивление.Кроме того, на эпикардиальную поверхность желудочка часто воздействует постоянная нормальная стрессорная нагрузка. Ограничения смещения применяются в определенных точках границы, чтобы избежать движений твердого тела. Вектор нормали η относится к базовой геометрии H .

3. Численные методы

В этом разделе мы вводим схему расщепления операторов для решения задачи электромеханики с сильными связями. Кратко описаны решатели подзадачи электрофизиологии, а большая часть раздела посвящена методам обновления и линеаризации активного напряжения.Как показано в Niederer and Smith (2008), эти шаги имеют решающее значение для эффективности и надежности численной схемы.

3.1 Разделение оператора

Уравнения (1)–(12) определяют очень сложную систему нелинейных ОДУ и УЧП, для которых трудно разработать эффективные методы решения. Хотя существуют примеры полностью связанных методов расщепления (см., например, Göktepe and Kuhl 2009), большинство опубликованных методов основаны на той или иной форме операторного расщепления (см., например, Niederer and Smith 2008; Campbell et al.2009 г.; Гурьев и др. 2011а, 2011б).

Мы предлагаем подход Гаусса-Зейделя для отделения задачи нелинейной упругости от клеточных реакций и бидоменной модели. Более того, расщепление Годунова используется для отделения члена нелинейного ионного тока от бидоменной модели, как описано в Sundnes et al. (2005). Результатом предлагаемого подхода является алгоритм, с помощью которого на каждом временном шаге решаются три подзадачи: нелинейная система ОДУ для каждой узловой точки, описывающая клеточные реакции (включая как электрофизиологию клеток, так и ОДУ, описывающие активацию поперечных мостиков), линейная система ОДУ для каждой узловой точки, описывающая клеточные реакции УЧП, моделирующие распространение электрического сигнала, и нелинейное уравнение упругости, описывающее механические деформации.Предполагая, что поля N и N и N N N N N N N N , один раз шаг алгоритма можно записать следующим образом :

  1. Решить систему ОДУ

    dvdt=-Iion(v,s,λ),tn

    (16)

    dsdt=f(v,s,λ),tn

    (17)

    для определения обновленного вектора состояния s n +1 и промежуточного приближения v * для мембранного потенциала ( см. Sundnes et al.2005, подробнее). Для решения этих систем ОДУ мы используем метод однодиагонального неявного Рунге-Кутта третьего порядка (SDIRK) с адаптивным временным шагом, как описано в Sundnes et al. (2001).

  2. Используйте v ( t n ) = v * в качестве начального условия и решите линейную систему дифференциальных уравнений

    ∇·(Mi∇v)+∇·(Mi∇ue)=∂v∂t,

    (18)

    ∇ · ( M i +09 8 90 ∇ 0 8 0 90 ( M I + M E ) ∇ U E E ) = 0,

    (19)

    для x H и т N < T t n +1 +1 , для получения трансмембранного потенциала V N +1 и внеклеточный потенциал U E , n +1 в момент времени t n +1 .Обычный подход заключается в последовательном решении этих уравнений одно за другим, как описано в Skouibine et al. (2000) и Lines et al. (2002). Однако мы решили полностью дискретизировать эту систему, применяя обратную схему Эйлера во времени и метод Галеркина в пространстве. Результирующая блочно-структурированная линейная система решается с помощью многосеточного метода сопряженных градиентов, как описано в Sundnes et al. (2002).

  3. Использовать самое последнее значение вектора состояния s n +1 при расчете тензора активных напряжений S a и решить нелинейное уравнение равновесия

    ∇·(F(Sp+Sa(sn+1,λ,λ.))=0,onH(0),

    (20)

    для определения нового поля вектора перемещений u n +1 . Это нелинейное уравнение решается с использованием метода Ньютона и стандартной пространственной дискретизации конечных элементов, полученной из линеаризованной слабой формы (20) (подробный вывод см., например, в Holzapfel 2000). Обратите внимание, что поскольку активное напряжение сильно зависит от растяжения волокна λ и его производной по времени λ̇ , очень важно, чтобы эта часть обновлялась для каждой итерации Ньютона.Ниже подробно обсуждаются эффективные методы обновления и линеаризации активного стрессового компонента последних моделей клеточного сокращения.

Сходимость полного численного метода будет определяться точностью алгоритма расщепления, а также точностью решателей подзадач. Можно показать, что метод Гаусса – Зейделя и расщепление Годунова являются методами первого порядка точности. Таким образом, сходимость всего алгоритма ограничена первым порядком.

Дополнительным преимуществом разделения оператора является удобство использования различных пространственных и временных дискретизаций для отражения различных масштабов подзадач. Для настоящей задачи мы будем использовать относительно грубую сетку и временной шаг для механической части и для связи между механикой и электрофизиологией, тогда как бидоменная модель решается на более мелкой сетке и с меньшими временными шагами. Решатель электрофизиологии основан на геометрическом многосеточном методе (см. Sundnes et al.2002), а сетка, используемая для уравнений механики, представляет собой просто самую грубую сетку в иерархии сеток. Этот подход облегчает интерполяции и ограничения, необходимые для передачи переменных между двумя подзадачами. Уравнения ячеек на шаге (1) решаются с использованием адаптивного временного шага, который очень мал в фазе восходящего хода и идентичен временному шагу бидомена в течение более гладких временных интервалов (см. Sundnes et al. 2001).

3.2 Дискретизация и линеаризация механики активной ткани

Основная цель настоящего исследования — оценка различных методов решения нелинейной задачи упругости, определяемой (20) и определяющими соотношениями (5)–(7), (13) и (14).Основные проблемы этой проблемы связаны с обработкой активного напряжения из-за его сильной зависимости как от деформации, так и от клеточных состояний, регулируемых (16) и (17). По сути, задача состоит в том, чтобы вывести устойчивую и эффективную схему дискретизации по времени для дифференциально-алгебраической системы, состоящей из ОДУ (16) и (17) и ограничения (20).

3.2.1 Методы обновления активного напряжения

Наиболее интуитивно понятным подходом к шагу 3 вышеприведенного алгоритма будет вставка обновленного вектора состояния s n +1 в (7) для вычисления S a , а затем решить (20) для механического равновесия, удерживая S a фиксированными.Как показано Уайтли и соавт. (2007) и Niederer and Smith (2008), этот подход приводит к серьезным проблемам со стабильностью для всех реалистичных моделей сердечного сокращения из-за сильной зависимости динамического напряжения от нагрузки и скорости деформации.

Как показали Niederer and Smith (2008), проблемы стабильности могут быть решены путем повторного расчета динамического напряжения для каждой итерации Ньютона с использованием обновленных полей деформации. При таком подходе соотношения (5)–(7) можно рассматривать как параметризованный определяющий закон для ткани сердца.Для заданного параметра s уравнения (5)–(7) дают уникальную связь между деформациями/скоростями деформации и напряжениями. Обновление динамического напряжения удобно реализовано для модели HMT и родственных моделей (см. Niederer et al. 2006). Причина в том, что эти модели формулируют активное напряжение как произведение напряжения, зависящего от состояний s , и коэффициентов масштабирования, зависящих от λ и λ̇ . Таким образом, для этих моделей зависящее от состояния напряжение может поддерживаться постоянным в течение временного шага, в то время как коэффициенты масштабирования обновляются для каждой итерации.

Популярной и довольно новой моделью сердечного сокращения является модель Rice et al. (2008). Развитие силы в этой модели основано на модели искажения поперечного моста Разумовой и соавт. (1999), в котором поперечные мосты описываются как линейные пружины. Развиваемое напряжение пропорционально числу поперечных мостиков, занимающих сильно связанные состояния, умноженному на их среднюю дисторсию. Райс и др. (2008) предполагают цикл поперечных мостов через четыре состояния, из которых два способствуют развитию напряженности.Это дает следующее общее поведение динамического напряжения:

F

F Active α x B R R XXB до R + x R пост R XXB Post R .

(21)

(21)

Здесь xb R R и R и xb Post R R — это доли перекрестных мостов в сильно связанных состояниях пре- и последующих вращений, а также xXB Pre R и xXB Post R — их соответствующие искажения.Мы ссылаемся на Rice et al. (2008) для полного описания активного напряжения и остальных состояний модели.

Важнейшими переменными в этом контексте являются поперечные деформации моста Обратная связь. Все остальные переменные модели, в том числе XB Pre R и XB Post R , лишь слабо зависят от схемы расщепления, и поэтому легко адаптируются к описанной выше схеме расщепления.Проблема состояний искажения заключается в том, что они сильно зависят как от деформации, так и от изменений состояния, что становится очевидным из управляющих ОДУ:

ddtxXBPreR=12dSLdt+ϕXBPreRDutyFract(-fappTxXBPreR+hbT(xXBPostR-x0-xXBPreR)),

(22)

ddtxXBPostR=12dSLdt+ϕ0RBPostXRDutyFract(hfXBPostXRDutyFract(hfXBPostXXX)).

(23)

Первые члены в правых частях (22) и (23) представляют влияние изменения длины саркомера (SL = λ SL 0 ) на искажение поперечного моста, тогда как Крайние правые члены представляют собой изменения искажений, возникающие в результате циклического переключения между мостами.Здесь f app T и h bT — константы; h fT является функцией xXB Pre R ; ϕ и x 0 являются константами и XBPreRDutyFract и XBPostRDutyFract — это установившиеся решения состояний перекрестного моста, предполагающие полную активацию. См. Райс и др. (2008) для полной спецификации этих терминов.

В этом исследовании мы исследуем три различных подхода к работе с механизмами обратной связи деформация-сила, описанными (22) и (23).

  1. Первая схема представляет собой модифицированную версию полунеявной схемы, предложенной Campbell et al. (2009) и Патманатан и Уайтли (2009). Идея состоит в том, что при решении (20) для механического равновесия подмножество ОДУ повторно интегрируется за самый последний временной шаг с использованием обновленного состояния деформации ( λ и λ̇ ). Это обеспечит достаточное обновление всех состояний, зависящих от деформации. В Кэмпбелл и соавт. (2009), все государства, способствующие напрямую к активному напряжению, были повторно интегрированы для каждой итерации ( Xb R R , XB Post R , XXB Pre R и xXB Post R ).Чтобы свести к минимуму учет и связь между решателями подзадач, мы решили реинтегрировать только те переменные состояния, которые сильно зависят от деформации ( xXB Pre R и xXB Post Р ). Следовательно, для каждой ньютоновской итерации (22) и (23) повторно интегрируются с использованием одного прямого шага Эйлера (FE), используя самое последнее значение для SL и аппроксимацию конечной разности для dSL/d t .В дальнейшем мы будем называть эту схему методом КЭ.

  2. Второй рассматриваемый подход использует особую структуру (22) и (23). Вводим новые переменные x SL, xXBPreR и xXBPostRs, так что xXBPreR=xSL+xXBPreRs и xXBPostR=xSL+xXBPostRs. Новые переменные регулируются

    DDTXXBPRERS = ΦXBPRERDUTYFRACT (-FAPPT (XXBPRERS + XSL) + HBT (XXBPOSTRS-X0-XXBPRERS)),

    (24)

    DDTXXBPOSTRS = ΦxBPOSTRDUTYFRACT (HFT (XXBPRERS + X0-XXBPOSTRS)),

    (25)

    Мотивация для этого разделения заключается в том, что только x SL будут сильно зависеть от деформации, так что переменные, зависящие от состояния xXBPreR и xXBPostRs можно поддерживать постоянными с помощью цикла Ньютона.Кроме того, (26) можно решить аналитически, чтобы получить

    , где SL 0 — исходная длина саркомера. Эта переменная удобно обновляется внутри каждой итерации Newton. Далее мы будем называть этот метод методом x SL.

  3. Третья схема обновления является модификацией первой. Мы видим, что если мы сохраняем функцию скорости h fT в (23) постоянной при ее известном значении от времени t n , (22) и (23) становятся линейными в xXB Pre R и xXB Пост R .Если ввести также конечно-разностную аппроксимацию dSL/d t ≈(SL n +1 − SL n )/∆ t , то полученные уравнения могут быть решены аналитически линейно. . Этот метод решения часто называют обобщенной схемой Раша-Ларсена (GRL) (Rush and Larsen 1978; MacLachlan et al. 2007) и дает явные формулы обновления для xXB Pre R и xXB Пост Р :

    XXBPRERN + 1 = XXBPRERS + (XXBPRERSS-XXBPRERN) E-ΔT / τxXBPRER,

    (27)

    XXBPOSTRNN + 1 = XXBPOSTRSSS + (XXBPOSTRSS-XXBPOSTRNS) E-ΔT / τxXBPPOPTR,

    (28)

    установившиеся значения и постоянные времени, заданные выражением

    XXBPRSS = 12DSLDTXBPRERDUTYFRACTφ (FAPPT + HBT) + HBTFAPPT + HBT (XXBPOSTRN-X0), τxXBPRER = XBPRDUTUTYFRACTφ (FAPPT + HBT), XXBPPOSTRSS = 12DSLDTXBPOPTRDUTYFRACTΦHFT + XXBPRNERN, τxxbPoStr = xbpoptrdutyfractφhft.

    Мы видим, что уравнения обновляются одно за другим, используя известное значение из времени t n для xXBPostRn в обновлении xXB Pre R и наоборот. Уравнения также могут быть решены как система двух квазилинейных ОДУ, что потребует вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы два на два. Хотя в некоторых случаях было показано, что этот подход дает повышенную точность и стабильность, мы решили избежать этой дополнительной сложности.Мы будем называть эту схему методом GRL.

Все три схемы обновления рассматривают член скорости dSL/d t как постоянный на временном шаге и в этом отношении аналогичны схеме обновления, предложенной Нидерером и Смитом (2008). Однако, поскольку формулировка зависимости от скорости в модели Rice et al. (2008) сильно отличается от модели Niederer et al. (2006), схемы обновления также существенно различаются. Производительность трех альтернативных схем обновления оценивается и сравнивается ниже.

3.2.2 Линеаризация активного напряжения

Все описанные выше схемы обновления приводят к тензору активного напряжения, который является нелинейной функцией текущей деформации. Любая явная зависимость от скорости деформации ( λ̇ ) устраняется за счет аппроксимации конечной разности, которая определяет скорость деформации как функцию текущей деформации. Для устойчивого и эффективного решения (20) тензор как активного, так и пассивного напряжения в (5) должен быть линеаризован по перемещению.Компонент пассивного напряжения S p выводится из функции энергии деформации обычным способом, а линеаризация следует стандартным шагам из учебников по нелинейной механике твердого тела (см., например, Holzapfel 2000). Однако формулировка активного напряжения сильно отличается, и стандартные методы линеаризации оказываются менее подходящими для этой части.

Линеаризация с использованием второго тензора упругости

Наиболее распространенный метод линеаризации, встречающийся в учебниках по нелинейной механике твердого тела, начинается с (20) и заменяет F и S последовательной линеаризацией вокруг известных состояний F 0 и S 0 вдоль направления Δ u :

F≈F0+∂F∂uΔu=F0+∇(Δu),

(29)

S≈S0+∂S∂uΔu=S0+CΔE.

(30)

Здесь ∇(Δ u ) — градиент приращения в поле перемещений, тогда как Δ E — приращение деформации Грина–Лагранжа (см., например, Holzapfel 2000, для подробное обсуждение процесса линеаризации). Более того, представляет собой второй тензор эластичности , который представляет собой тензор четвертого порядка, характеризующий тангенциальную жесткость ткани вокруг текущего напряженного состояния S 0 . Вводя векторнозначные пробные и тестовые функции ϕ i и ϕ j , приближения (29) и (30) приводят к матрице жесткости вида

A i

9

= ∫ ω (∇ Φ I : ∇ Φ J S 0 + F 7 T Φ I :𝒞: F T ϕ j ) dΩ.

(31)

Компоненты вычисляются как частные производные S по отношению к деформации Грина-Лагранжа S :

Для пассивного упругого напряжения (6) второй тензор упругости легко вычисляется как вторая производная функции энергии деформации:

∂Sijp∂Ekl=∂2Ψ∂Eij∂Ekl.

Для активной составляющей стресса ситуация более сложная. Как видно из (7), активное напряжение обычно определяется в терминах тензора напряжений Коши, который возвращается к эталонной конфигурации.Дифференциация S a по компонентам E ij затруднена тем, что несимметричный градиент деформации F содержит больше информации, чем симметричная деформация Грина-Лагранжа E . Обычно невозможно вычислить компоненты F из компонентов E , и поэтому трудно отличить S a от E .Разумное приближение может быть получено путем дифференцирования σ a по деформациям и рассмотрения градиентов деформации в (7) как констант. Однако, как будет показано ниже, этот подход дает уменьшенную сходимость.

Таким образом, стандартный метод линеаризации хорошо подходит для определяющих законов, основанных на втором тензоре напряжений Пиолы-Кирхгофа, но гораздо меньше подходит для законов напряжения-деформации, которые естественным образом выражаются в терминах напряжения Коши или первого тензора Пиолы-Кирхгофа. стресс.

Линеаризация с использованием первого тензора упругости

Для определяющих законов, включающих напряжение Коши или первое напряжение Пиолы–Кирхгофа, которое включает в себя наиболее распространенные модели активного компонента напряжения в сердце, удобнее основывать линеаризацию на несколько иная формулировка механического равновесия. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа определяется как P = FS , и, следовательно, (4) может быть выражено как

Линеаризация P вокруг известного напряженного состояния P 0 в направлении u можно записать как

P≈P0+∂P∂u=P0+AΔF,

(32)

, где известен как первый тензор упругости и определяется как

. В структуре конечных элементов линеаризация в (32) приводит к формулировке матрицы жесткости в следующей форме:

A

I I J = ∫

Ω ∇ Φ I : 𝒜: ∇ Φ J DΩ.

(33)

Для активно-пассивного разложения стресса, которое мы используем в сердечной мышце, естественно распадается на два отдельных термина:

Aijkl=∂Pij∂Fij=∂Pijp∂Fkl+∂Pija∂Fkl.

Пассивный определяющий закон определяется в терминах деформации Грина–Лагранжа и второго напряжения Пиолы–Кирхгофа, но первый член в все еще можно легко вычислить путем численного дифференцирования

∂Pijp∂Fkl=∂{FSp}ij∂Fkl.

Как указано выше, определяющий закон для активного напряжения обычно задается в терминах первого напряжения Пиолы-Кирхгофа или напряжения Коши, которые легко дифференцируются по компонентам F .Для примененного выше закона активного напряжения, который дает активную часть второго напряжения Пиолы-Кирхгофа как обратное преобразование тензора напряжений Коши, нам сначала нужно преобразовать его в первое напряжение Пиолы-Кирхгофа,

Па=FSa =Jσa(s,λ,λ.)FT.

Извлечение компонентов из путем численного дифференцирования этого члена по отношению к F тривиально.

Смешанный тензор упругости

Выше мы видели, что активное напряжение наиболее удобно линеаризовать с помощью первого тензора упругости, тогда как для пассивной компоненты напряжения можно применять как первый, так и второй тензор упругости.Хотя в принципе два подхода к линеаризации эквивалентны для компонента пассивного напряжения, использование численного дифференцирования приводит к небольшим различиям между двумя формулировками. Следуя стандартному подходу, применяется ряд аналитических шагов для получения формулировки матрицы жесткости в (31), а численное дифференцирование применяется только для определения тензора C ijkl . В методах, основанных на первом тензоре упругости, аналитические шаги заменяются одним шагом численного дифференцирования для получения матрицы жесткости в (33).Это потенциально менее точно и мотивирует использование (31) везде, где это возможно, и (33) только для активного компонента напряжения. Используя этот подход, объединенная матрица жесткости конечных элементов принимает вид

Aij=∫Ω(∇ϕi:∇ϕjS0p+FT∇ϕi:Cp:FT∇ϕj+∇ϕi:Aa:∇ϕj)dΩ.

(34)

Здесь S0p — пассивное напряжение от предыдущей итерации, F — градиент деформации от предыдущей итерации и а также – второй тензор упругости для пассивного напряжения и первый тензор упругости для активного напряжения соответственно.

4. Численные результаты

В этом разделе мы оцениваем производительность трех различных полунеявных схем обновления, описанных выше, и трех альтернативных методов линеаризации тензора активных напряжений.

4.1 Схемы обновления для активного сокращения

Схемы стабильного обновления для модели HMT и родственных моделей сокращения были тщательно изучены в Niederer and Smith (2008). Как отмечалось выше, поэтому мы сосредоточимся на схемах обновления для модели сокращения Rice et al.(2008) и сравните производительность трех описанных выше методов обновления (FE, x SL и GRL). Оценка производительности основана на упрощенном тестовом примере, в котором одна клетка стимулируется и позволяет ей свободно сокращаться против нелинейной упругой силы. Для этого упрощенного состояния деформации несжимаемая форма (13) и (14) может быть выражена через λ и гидростатическое давление p :

ψ = ½ C E (( B F F +2 B x x ) λ 2 ) p ( J — 1).

Предполагается, что сила упругости параллельна активной сократительной силе, и при отсутствии внешних сил уравнение равновесия сводится к направление волокна) и два неизвестных ( λ и p ). Поперечная составляющая может быть использована для исключения p и формулирования соотношения только в терминах λ и s . Таким образом, система сводится к дифференциально-алгебраической системе, состоящей из ОДУ (16) и (17) и скалярного ограничения, полученного из (35).Параметры материала представляют собой C = 0,876 кПа = 0,876 кПа, г FF = 20, B XX = 4, T REF = 125 кПа и γ S = γ N = 0,2.

Результаты тестового моделирования обобщены в . В таблице показаны относительные среднеквадратичные ошибки (RRMS) для всех схем моделирования с использованием эталонного решения на основе схемы КЭ и очень малого временного шага. Вычисление эталонного решения по любой из других схем существенно не изменило результаты.Размеры шага, упомянутые в таблице, являются глобальными временными шагами для схемы разделения оператора, определенной выше, тогда как ОДУ сотовой модели продвигаются вперед с использованием меньших внутренних шагов. Мы видим, что применяемая здесь схема КЭ страдает от серьезных проблем со стабильностью, поскольку не может сходиться для временных шагов, превышающих 0,1 мс. Эта проблема, скорее всего, может быть решена путем выполнения нескольких внутренних КЭ шагов для обновления искажений поперечного моста внутри каждой итерации Ньютона, но из-за дополнительной сложности, связанной с несколькими внутренними шагами, мы не исследовали это дальше.Две другие схемы дают устойчивые решения при любом выборе глобального шага по времени, и оба метода, по-видимому, дают сходимость первого порядка. Однако точность двух схем значительно различается: схема GRL обычно дает меньшие ошибки, чем схема SL x . Это проиллюстрировано далее на , где мы видим, что схема SL x сходится очень медленно и не дает удовлетворительных решений для временных шагов 5,0 и 1,0 мс.

Графики развиваемой динамической силы для трех разных временных интервалов с использованием метода обновления SL x (слева) и метода обновления GRL (справа).Сплошная кривая соответствует эталонному раствору, тогда как штриховые, штрихпунктирные и пунктирные кривые получены при 5,0, 1,0 и 0,125 мс соответственно.

Таблица 1

Результаты сходимости трех предложенных численных схем для расчета активной силы.

ОСТ
Δ т ИП х SL
5,0 — 0,66 0,037
1.0 0,22 0,0075
0,5 0,088 0,0034
0,25 0,030 0,0015
0,125 0,0085 0.00067 0.00067
0,0625 0,0625 0,00041 6 0.0045 0,0045 0,00032

4,2 Эффективность методов линеаризации

Второй набор численных экспериментов был запущен для оценки методов линеаресирования для комбинированных активных и пассивных тензоров напряжений .Мы используем три различных тестовых примера: (i) активное свободное сокращение пластины ткани, как показано на рис. (ii) пассивное надувание бивентрикулярной геометрии, отображаемое на левой панели, и (iii) полный динамический сердечный цикл, основанный на той же бивентрикулярной геометрии.

Иллюстрация испытаний на активное сжатие с использованием геометрии тонкой плиты. На левой панели показана покоящаяся геометрия (контур) и полностью сжатая геометрия (сетка). На правой панели показано изменение во времени коэффициента растяжения волокна λ в течение 500 мс.

Иллюстрация тестовых случаев на основе бивентрикулярной геометрии человеческого размера. На левой панели показана расчетная сетка, используемая как для пассивного надувания, так и для полного динамического сердечного цикла. На правой панели показаны петли PV, полученные в результате динамического моделирования.

Случай (i) основан на однородной активации и свободных от напряжений границах, что делает этот трехмерный эксперимент очень похожим на нульмерный случай в разделе 4.1. На левой панели показана исходная геометрия (контур) и максимально сжатая плита (сетка).Начальные размеры 5,0 × 0,5 × 0,5 см 3 , которые представлены конечно-элементной сеткой из 80 трилинейных элементов (20 × 2 × 2). Параметры материала устанавливаются на C = 0,876 кПа, = 0,876 кПа, млн. FF = 20, B xx = B = B FX = 4, T Ref = 55 KPA, C компр = 100 кПа и γ с = γ n = 0,2. При максимальном укорочении плита имеет размеры 3.71 × 0,56 × 0,56 см. Уменьшение объема во время сокращения составляет примерно 7%, что вполне реально для сердечной ткани. На правой панели показано результирующее укорочение волокна. В случае (ii) активное напряжение равно нулю, что сводит этот пример к довольно стандартному случаю нелинейной гиперупругости с законом материала (13) и (14) и граничными условиями, описанными в разделе 2. Внутрисердечное давление линейно увеличивается от нуля до заданное конечное диастолическое давление в 28 шагов. Для левого желудочка конечное диастолическое давление устанавливается равным 1.8 кПа, тогда как для правого желудочка установлено значение 0,7 кПа. Случай (iii) начинается с того же пассивного надувания, что и в (ii), но продолжается посредством изоволюмического сокращения, выброса и изоволюмического расслабления с использованием гемодинамических граничных условий, описанных в разделе 2. Для случаев (ii) и (iii) Параметры механического материала составляют C = 0,45 кПа, г FF = 20, B XX = 5, FX = 8, T Ref = 27.5 кПа, C compr = 50 кПа, γ с =0,4 и γ n = 0. Сетка конечных элементов состоит из 6270 трилинейных элементов с 8088 узлами. Проводимости бидоменов указаны в Sundnes et al. (2006), но с отношением поверхности к объему, равным 1 см — 1 . На правой панели показана результирующая петля давление-объем.

Результаты четырех тестов сведены в . В таблице показано общее количество итераций Ньютона и нормализованное время ЦП для трех различных методов линеаризации.Для обоих случаев активно сокращающейся пластины ткани линеаризация, основанная на первом тензоре упругости, требует значительно меньшего количества итераций, чем стандартный подход. Хотя каждая итерация немного дороже для подхода, основанного на первом тензоре, мы все же видим значительное сокращение процессорного времени. Смешанный тензор эластичности дает точно такое же количество итераций, как и первый тензор эластичности, но немного больше времени процессора из-за увеличения стоимости вычисления двух отдельных тензоров жесткости.

Таблица 2

Сравнение трех альтернативных методов линеаризации для четырех различных тестовых случаев.

первый тензор второй тензор Смешанный тензор
Свободное сокращение HMT 144 (1,0) 282 (1,55) 144 (1,19)
Free сокращение Rice et al. 174 (2,22) 227 (2,42) 174 (2,39)
Пассивная инфляция 144 (87.3) 144 (87,3) 144 (103,6)
ПВ петля Райса и др. 2326 (1168) 3416 (1562) 2184 (1345)

Как и ожидалось, мы видим, что все три метода дают очень похожие результаты для теста на пассивную инфляцию. Фактически номера итераций одинаковы для всех трех методов, что указывает на то, что любая ошибка округления, вносимая использованием первого тензора эластичности, незначительна. С точки зрения процессорного времени смешанный тензор эластичности дает наихудшую производительность, поскольку существуют некоторые накладные расходы, связанные с вычислением двух разных тензоров эластичности.

Для моделирования цикла динамического давления-объема (PV) в случае (iii) мы видим, что формулировка, основанная на смешанном тензоре упругости, превосходит две другие по количеству итераций, при этом требуется некоторое дополнительное процессорное время по сравнению с метод, основанный на первом тензоре упругости. Линеаризация на основе второго тензора эластичности дает наихудшую производительность как с точки зрения итераций, так и процессорного времени. Поскольку этот тестовый пример является наиболее реалистичным и подходящим для нашего приложения, а также, безусловно, наиболее требовательным к процессору, мы пришли к выводу, что линеаризация, основанная на первом тензоре эластичности, является предпочтительным методом для активного сокращения сердечной ткани.Любое теоретическое преимущество, предлагаемое смешанным тензором упругости, кажется, перевешивается дополнительными затратами на вычисление двух отдельных тензоров.

5. Резюме и обсуждение

Мы представили алгоритм разделения операторов для моделирования сильно связанной электромеханики сердца и обсудили ряд проблем, связанных со стабильностью и сходимостью вычислений активного напряжения. Проблемы устойчивости, связанные с разделением операторов для сильно связанных симуляций, были подробно проанализированы в Niederer and Smith (2008), и была представлена ​​стабильная схема, основанная на полунеявной схеме обновления.Схема Нидерера и Смита была применима для модели HMT и родственных моделей клеточного сокращения, для которых динамическая сила выражается как произведение изометрической силы и коэффициента масштабирования, учитывающего эффект деформации. Мы расширили обсуждение полунеявных схем обновления до широко используемой модели Райса и др. (2008), для которых форма схемы обновления менее интуитивна. Мы предложили три разные схемы обновления для модели Райс и др. и оценили их эффективность для простого тестового примера.Результаты показывают, что две из схем решения дают устойчивое решение для широкого диапазона временных шагов, но только метод, основанный на схеме GRL, имеет достаточную точность для нашего приложения.

Введение полунеявных схем для активного растяжения порождает дополнительные проблемы при линеаризации уравнения равновесия напряжений. Компонент активного напряжения обычно задается в терминах напряжения Коши или первого напряжения Пиолы-Кирхгофа, что затрудняет использование наиболее распространенного метода линеаризации, используемого в нелинейной упругости.Эту проблему можно решить, приняв несколько иную формулировку равновесия напряжений и основываясь на линеаризации на первом тензоре упругости. Это повышает точность линеаризации активного напряжения и приводит к улучшению сходимости метода Ньютона.

Ограничением данного исследования является относительно небольшой выбор моделей и тестовых случаев. Мы решили сосредоточиться на модели сокращения Rice et al. (2008), так как это широко используется в полевых условиях и создает дополнительные проблемы по сравнению с более ранними моделями, основанными на модели HMT.Модель также репрезентативна для других недавно разработанных моделей сокращения (см., например, Кэмпбелл и др., 2009). Однако другие модели клеточной динамики могут привести к возникновению дополнительных и различных проблем, которые не были рассмотрены в этом исследовании. С продемонстрированной эффективностью схемы GRL особенно важным исследованием является оценка применимости этой схемы для более широкого диапазона моделей активного растяжения. Кроме того, хотя мы выбрали численные эксперименты, чтобы лучше всего выявить различия в производительности между методами, выводы могут быть недействительны для всех случаев реалистичного моделирования сильно связанной электромеханики.Насколько это возможно, более обширные исследования, основанные на очень точных и реалистичных тестовых примерах, должны стать основой для выбора численного метода.

Хотя операторное расщепление имеет очевидные преимущества для сложной системы уравнений, описывающей связанную электромеханику сердца, в литературе имеются примеры полностью связанных схем решения (Göktepe and Kuhl 2009). Учитывая проблемы стабильности, обсуждавшиеся как в Niederer and Smith (2008), так и в этом исследовании, мы можем утверждать, что различные схемы обновления и полунеявные методы разделения должны быть заменены полностью неявным методом решения.Естественным продолжением этого исследования будет оценка эффективности современных методов расщепления в сравнении с полностью связанными схемами решения.

Благодарности

Это исследование поддерживается Премией выдающихся молодых исследователей Исследовательского совета Норвегии. Это исследование также поддерживается грантом Центра передового опыта от Норвежского исследовательского совета для Центра биомедицинских вычислений в исследовательской лаборатории Simula.

Ссылки

  • Campbell SG, Howard E, Aguado-Sierra J, Coppola BA, Omens JH, Mulligan LJ, McCulloch AD, Kerckhoffs RCP.Влияние трансмурально гетерогенной связи возбуждения-сокращения миоцитов на электромеханику левого желудочка у собак. Опыт физиол. 2009;94(5):541–552. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Веб-страница CellML. 2000–2012 гг. [цитировано в мае 2012 г.]. Доступно по адресу: http://www.cellml.org.
  • Гёктепе С., Куль Э. Электромеханика сердца: единый подход к проблеме сильно связанного возбуждения-сокращения. Компьютерная мех. 2009;45(2–3):227–243. [Google Scholar]
  • Guccione J, Costa K, McCulloch A.Стресс-анализ методом конечных элементов механики левого желудочка в бьющемся сердце собаки. Дж. Биомех. 1995;28(10):1167–1177. [PubMed] [Google Scholar]
  • Гурьев В., Ли Т., Константино Дж., Аревало Х., Траянова Н.А. Модели электромеханики сердца на основе данных визуализации отдельных сердец: электромеханические модели сердца на основе изображений. Биомех Модель Механобиол. 2011;10(3):295–306. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Гурьев В., Ли Т., Константино Дж., Аревало Х., Траянова Н.А.Исправление к: модели электромеханики сердца, основанные на данных визуализации отдельных сердец. Биомех Модель Механобиол. 2011;10(3):307. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Хольцапфель Г. Нелинейная механика твердого тела: континуальный подход к проектированию. Уайли; Chichester: 2000. [Google Scholar]
  • Holzapfel GA, Ogden RW. Конституционное моделирование пассивного миокарда: структурная основа для характеристики материала. Philos Trans Roy Soc A Math Phys Eng Sci. 2009; 367 (1902): 3445–3475.[PubMed] [Google Scholar]
  • Хантер П., Маккаллок А., тер Кёрс Х. Моделирование механических свойств сердечной мышцы. Progr Biophys Mol Biol. 1998;69(2–3):289–331. [PubMed] [Google Scholar]
  • Kerckhoffs R, Bovendeerd P, Kotte J, Prinzen F, Smits K, Arts T. Однородность сердечного сокращения, несмотря на физиологическую асинхронность деполяризации: модельное исследование. Энн Биомед Инж. 2003; 31: 536–547. [PubMed] [Google Scholar]
  • Kerckhoffs R, Neal M, Gu Q, Bassingthwaighte J, Omens J, McCulloch A.Соединение трехмерной конечно-элементной модели механики желудочков сердца с моделями систем с сосредоточенными параметрами системного и легочного кровообращения. Энн Биомед Инж. 2007;35(1):1–18. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Лафортун П., Арис Р., Васкес М. Связанная электромеханическая модель сердца: параллельная формулировка методом конечных элементов. Int J Numer Meth Biomed Eng. 2012; 28:72–86. [PubMed] [Google Scholar]
  • Ланд С., Нидерер С., Смит Н. Эффективные вычислительные методы для сильно связанной электромеханики сердца.IEEE Trans Bio-Med Eng. 2012;59(5):1219–1228. [PubMed] [Google Scholar]
  • Лин Д., Инь Ф. Многоосевой конститутивный закон для миокарда левого желудочка млекопитающих при стационарной бариевой контрактуре или столбняке. J Биомех Инж. 1998; 120: 504–517. [PubMed] [Google Scholar]
  • Lines G, Buist M, Grøttum P, Pullan A, Sundnes J, Tveito A. Математические модели и численные методы решения прямой задачи в электрофизиологии сердца. Вычислительные науки. 2002;5(4):215–239. [Google Scholar]
  • Lines G, Grøttum P, Tveito A.Моделирование электрической активности сердца: бидоменная модель желудочков, встроенных в туловище. Вычислительные науки. 2002;5(4):195–213. [Google Scholar]
  • MacLachlan M, Sundnes J, Spiteri R. Сравнение нестандартных решателей для ОДУ, описывающих клеточные реакции в сердце. Comput Meth Biomech Biomed Eng. 2007;10(5):317–326. [PubMed] [Google Scholar]
  • Нэш М., Панфилов А. Электромеханическая модель возбудимой ткани для изучения реципрокных сердечных аритмий. Progr Biophys Mol Biol.2004; 85: 501–522. [PubMed] [Google Scholar]
  • Никерсон Д., Смит Н., Хантер П. Модель электромеханики клеток сердца. Филос Транс Рой Сок Лондон А. 2001; 359: 1159–1172. [Google Scholar]
  • Никерсон Д., Смит Н., Хантер П. Новые разработки в электромеханической модели сильно связанного сердца. Евро-темп. 2005; 7: 118–127. [PubMed] [Google Scholar]
  • Нидерер С., Смит Н. Усовершенствованный численный метод для сильной связи моделей возбуждения и сокращения в сердце.Progr Biophys Mol Biol. 2008;96(1–3):90–111. [PubMed] [Google Scholar]
  • Нидерер С., Хантер П., Смит Н. Количественный анализ релаксации сердечных миоцитов: имитационное исследование. Биофиз Дж. 2006; 90: 1697–1722. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Pathmanathan P, Whiteley JP. Численный метод механоэлектрического моделирования сердца. Энн Биомед Инж. 2009;37(5):860–873. [PubMed] [Google Scholar]
  • Разумова М.В., Букатина А.Е., Кэмпбелл К.Б. Модель саркомера жесткости-искажения для моделирования мышц.J Appl Physiol. 1999; 87 (5): 1861–1876. [PubMed] [Google Scholar]
  • Rice J, de Tombe P. Подходы к моделированию поперечных мостиков и кальций-зависимой активации в сердечной мышце. Progr Biophys Mol Biol. 2004; 85: 179–195. [PubMed] [Google Scholar]
  • Rice JJ, Wang F, Bers DM, de Tombe PP. Приближенная модель кооперативной активации и перекрестного цикла в сердечной мышце с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений. Биофиз Дж. 2008; 95 (5): 2368–2390. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
  • Rush S, Larsen H.Практический алгоритм решения динамических мембранных уравнений. IEEE Trans Biomed Eng. 1978;25(4):389–392. [PubMed] [Google Scholar]
  • Скоуйбин К., Траянова Н., Мур П. Численно эффективная модель для моделирования дефибрилляции в активном бидоменном слое миокарда. Математические бионауки. 2000; 166: 85–100. [PubMed] [Google Scholar]
  • Sundnes J, Lines G, Tveito A. Эффективное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующих электрическую активность клеток сердца. Математические бионауки. 2001;172(2):55–72.[PubMed] [Google Scholar]
  • Сунднес Дж., Лайнс Г., Мардал К.А., Твейто А. Многосеточное блочное предварительное кондиционирование для связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих электрическую активность сердца. Методы вычислений Biomech Biomed Eng. 2002;5(6):397–409. [PubMed] [Google Scholar]
  • Sundnes J, Lines G, Tveito A. Метод расщепления оператора для решения уравнений бидоменов, связанных с моделью объемного проводника для туловища. Математические бионауки. 2005;194(2):233–248. [PubMed] [Google Scholar]
  • Sundnes J, Lines G, Cai X, Nielsen B, Mardal KA, Tveito A.Расчет электрической активности сердца. Спрингер-Верлаг; Berlin Heidelberg: 2006. [Google Scholar]
  • Тунг Л. Бидоменная модель для описания ишемического постоянного тока миокарда. потенциалы. Кембридж, Массачусетс: Массачусетский технологический институт; 1978. [Google Scholar]
  • Usyk T, Mazhari R, McCulloch A. Влияние ламинарной ортотропной архитектуры миофибрилл на региональное напряжение и напряжение в левом желудочке собаки. J Эластичность. 2000; 61: 143–164. [Google Scholar]
  • Usyk T, LeGrice I, McCulloch A.Вычислительная модель трехмерной электромеханики сердца. Вычислительные науки. 2002; 4: 249–257. [Google Scholar]
  • Уайтли Дж., Бишоп М., Гаваган Д. Моделирование мягких тканей сердечных волокон для использования в сопряженных механо-электрических симуляциях. Бык Математика Биол. 2007;69(7):2199–2225. [PubMed] [Google Scholar]
  • Уинслоу Р.Л., Райс Дж., Джафри С., Марбан Э., О’Рурк Б. Механизмы измененной связи возбуждения и сокращения при сердечной недостаточности, вызванной тахикардией у собак, II: модельные исследования. Цирк рез.1999;84(5):571–586. [PubMed] [Google Scholar]

Упорядоченные определяющие теории скорости в лагранжевом описании термоупругих тел и термовязкоупругих тел с памятью и без памяти с использованием плотности свободной энергии Гельмгольца

dc.description.abstract Представленная здесь исследовательская работа рассматривает развитие конститутивные теории в лагранжевом описании однородных, изотропных, сжимаемых и несжимаемых термоупругих тел, термовязкоупругих тел без памяти и термовязкоупругих тел с памятью.Поскольку сохранение массы, баланс импульсов и первый закон термодинамики предполагают существование поля напряжений и вектора тепла независимо от того, как они получены, определяющие теории для поля напряжений и вектора тепла должны быть выведены с использованием второго закона. закон термодинамики для обеспечения термодинамического равновесия в деформирующемся веществе в процессе эволюции. В настоящей работе мы используем энтропийное неравенство, вытекающее из второго закона термодинамики, выраженное через плотность свободной энергии Гельмгольца φ.Первоначальный выбор зависимых переменных осуществляется непосредственно из энтропийного неравенства: φ, второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа σ[0], плотности энтропии η и вектора теплоты q. Тензоры аргументов устанавливаются на основе желаемой физики, т. Е. Выбор делается в зависимости от того, является ли твердое вещество термоупругим, термовязкоупругим без памяти или термовязкоупругим с памятью. Использование энтропийного неравенства при желаемом выборе тензоров аргументов зависимых переменных позволяет определить окончательный выбор зависимых переменных в конститутивных теориях как φ, σ[0] и q, а также их тензоры аргументов (в зависимости от желаемая физика).В случае термоупругих твердых тел энтропийное неравенство обеспечивает условия, из которых могут быть выведены определяющие теории для σ[0] и q. Для термовязкоупругих тел с памятью и без нее условия, вытекающие из энтропийного неравенства, не позволяют вывести конститутивную теорию для σ[0]. Используя разложение σ[0] на eσ[0] и dσ[0] (равновесный и девиаторный второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа), определяющие теории для eσ[0] могут быть получены с использованием условий, вытекающих из энтропийного неравенства.Однако энтропийное неравенство не дает механизма для вывода конститутивных теорий для dσ[0]. В настоящей работе мы используем теорию образующих и инвариантов для вывода определяющих теорий для dσ[0]. Конститутивные теории для \heat, согласованные с σ[0] или dσ[0] в смысле тензоров аргументов, также выводятся с использованием теории образующих и инвариантов. Показано, что для термоупругих тел конститутивная теория для σ[0] и q имеет нулевую скорость по тензору деформации Грина ε (ε[0]), конститутивные теории для термовязкоупругих тел без памяти для dσ[0] и q имеют порядки n по тензору деформации Грина, а определяющие теории термовязкоупругих тел с памятью для dσ[0] и q имеют порядки m и n по второму тензору напряжений Пиолы-Кирхгофа и тензору деформации Грина.Многие упрощенные формы теорий скорости представлены и сравнены с теми, которые используются в настоящее время, чтобы продемонстрировать достоинства этого исследования и серьезные ограничения и недостатки конститутивных теорий, используемых в настоящее время для рассматриваемого здесь типа твердых тел.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.