Site Loader

Содержание

Понятие вектора. Виды векторов в высшей математике

Величины, которые полностью определяются своими численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь (), длина (), объем (), температура (), работа (), масса ().

Другие величины, например, сила (), скорость (), ускорение (), определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если — начало вектора, а — его конец, то вектор обозначается символом или .

Вектор (имеет начало в точке , а конец в точке ) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается (рис. 5.1).

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

Нулевой вектор не имеет направления.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают (рис. 5.2).

Коллинеарные векторы могут быть одинаково (рис. 5.3.) или противоположно (рис. 5.2.) направлены.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными (), если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Все равные между собой направленные отрезки называют свободным вектором. Свободный вектор может быть отложен от любой точки пространства. В дальнейшем мы будем оперировать понятием свободного вектора.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис. 5.4.).

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Краснов М.

Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) — DJVU, страница 3

Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем нпнравленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок ВА. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис, 1). Рис.! Рис. 3 Рнк 3 В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым. Определение. Будем говорить, что связанные векторы АВ и СВ равны, если середины отрезков АВ и ВС совпадают (рис. 2). Обозначение: АВ = СР. Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и В не лежат на одной прямой, зто равносильно тому, что четырехугольник АВС — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример. Рассмотрим квадрат и амбарам векторы, как указано на рис.З. Векторы АЛ и кЗС равны, а векторы ПС и РА на равны и Укажем некоторые свойства равных связанных векторов: 1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ. й Если АВ = С22, то и С22 = АВ. $2. Линейные енерецни нел нентсреии 3. Если А В = СЮ и СЮ = ЕЕ,тоАВ = ЕЕ(рис.4). Пусть А — заданный связанный вектор и С вЂ” произвольная точка.

Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку Р так, чтобы СВ = АВ. Тем самым, от каждой точки можно отлолгить связанный вектор, равный исходному (рис. 5). Мы будем рассматривать свободкые векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор АВ однозначно определяется заданием связанного вектора АВ. Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным(ненулевым) связаннымвектором,то мы приходим кпонятию скользящего вектора (рис. 6).

,В А ‘ — «»»;;к А Рнс. 6 Рнс. 5 Рис. 4 Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике. Для обозначения свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — и, Ь, с,…; нулевой вектор обозначается через О. Пусть заданы вектор и и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой В и АлГ = и А (рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, лля кото- Р„с т рого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора и от точки А. Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковуюдлину.

Это позволяет ввести длину свабодкого вектора и, которую мы будем обозначать символом )и ~. Длина нулевого вектора равна нулю. Если и = Ь, то )и( = !Ь!; обратное неверно. 92. Линейные операции над векторами 2.1. Сложение векторов Пусть заданы два вектора и и Ь. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектора: ОА = и. Отполученнойточки А отложим вектор Ь: АВ = Ь.

Полученный 18 глава 1. Экамвиам ввтвртм автбри в результате вектор ОВ называется суммой векторов и и Ь и обозначается через ц + Ь (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника. вру, * и с ь тативно, т. е. лля любых векторов ц и Ь справедливо равенство и ц+Ь=Ь+ц (рис. 9). Если отложить векторы ц и Ьотобшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то векРис.

8 тор ОВ, идуший и з обшего начала О в противоположную вершину параллелограмма, булет их суммой ц + Ь (нли Ь+ ц) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма. В В О „А О О . ц Рис. 9 Рис, 1О Рис. 11 Пусть заданы три вектора, например, ц, Ь и е. Отложим от произвольной точки О вектор ц: ОА = ц; от полученной точки А отложи м вектор Ь: АВ = Ь; от точки В— вектор е: ВС = е (рнс. 11). По определению суммы ОВ = ц+ Ь и ОС = (и+ Ь) + и (рис. 12). С другой стороны, АС = Ь + е и, значит, ОС = ц + (Ь + е) (рнс. 13). Тем самым, лля любых векторов и, Ь н е выполняется равенство т. е.

сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так: ц+Ь+е, О О Ри . 1г Рис. 13 Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов.

Па рис.14 показано, как построить сумму семи векторов: ц = ц1 +цг+ аз +цс+ Й5+ аь+ 07. $2. Линеаные оаерачни ная векторами 1т Пример. Найти сумму векторов, идущих ив центра правилыюго цюстиугольиика в его вершины. ю По правилу замыкающего ломаную получаем и~ +нт 4вт а их + ттт+ вс = В !рис.!5), ы а1 аз а4 н5 не а4 Рис. 14 2.2. Умножение вектора на число Рис.

15 Определение. Свободные векторы и и Ь называются коллипеарпыми, сели определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на со- впадающих прямых (рис. 16). Обозначение: и !! Ь. Замачанна. из опрслслсиил слслуст, что соти хатибы олин и г векторов и и ь иумво1г, то они коллинса рвы. Рис. 16 Если отложить крллинеарнрте векторы и и Ь от обшей точки О, ОА = и, ОВ = Ь, то точки О, А и В будут лежать на одной прямой.

При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы и и Ь называются одинаково направленными, а во втором — противоположно паправлеппымщ Если векторы имеют равные длины и одинаково Пустыт — вектор, Л вЂ” вешественноечисло. о х в А О Рис, 17 направлены. то они равны. Определение.

Произведением векгпора а па число Л называется вектор 1т такой, что 1) !Ь! = !Л!. !а1; 2) векторы в и Ь одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если Л > 0 (соответственно, Л < О). Обозначение: Ь = Лп. Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную, Глав 1.

Зламантм аантернса алгебры !8 При Л = 0 положим Лп ва О. Таким образом, векторы а и Ь = Лп коллинеарны по определению, Верно и обратное: если векторы а (л ~ 0) и Ь коллинеарны, то можно найти число Л такое, что 1л= Лп. Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число: (здесь Л и 1с — любые действительные числа, и и Ь вЂ” произвольные векторы). Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором„ или ортом, и обозначается пс (читается: и с нуликом), 1аа! = ! . Если а ~ О,то вектор Рис. 1В есть единичный вектор (орт) направления вектора и (рис. 18).

93. Координаты и компоненты вектора Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через 1, 1, и единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ох, Оу, Оа (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор и, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Провелем через точку А плоскости, перпендикулярные .осям Оа, Оу и Ол.

Эги плоскости пересекут координатные оси в точках Р, т) и Л соответственно. Из рис. 20 видно. что и = ОЯ+ О~>+ ОН. Векторы О1′, ОД и ОН коллпнеарны соответственно единичным векторам 1, ), 1с, Рис. 20 Рис.!9 $3. Координаты и комнононтм нектара поэтому найдутся числа х, у, к такие, что 02з = х1, 09 = у), и, следовательно, ОЛ = а!с а = х1+ у3+ в!с. (г) Формула (2) называется розлозкением вектора а по векпюрам 1, 3, 1с. Указатсным способом всякий вектор может быть разложен по векторам 1, 3, 1с. Векторы 1,1, 1с попарно ортопзнальньь и их длины равны единице. Тройку!,3, и называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом) .

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису!, 3, 1с единственно, т.е. коэффициенты х, у, я в разложении вектора и по векторам 1, 2, Ь определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, в точки А — конца вектора и. Мы пишем в этом случае а = ( , у, ). Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задается упорядоченной тройкой своих координат.

Векторы х1, у3, кй, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора и. Рнк зс Из вышеизложенного следует, чтодва вектора и = (хи ум я~) и Ь = (хз,уз, гз) равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е. Радиус-вектором точки М(х, у, я) называется вектор г = х1+ у) + я!с, идуший из начала координат О в точку М (рис. 21). Линейные операции над векторами в координатах ПУсть имсемдва вектоРа а = (хц Уц вс) и Ь = (хз, Уз, вт),так что а = х~1+ Ус)+ всат, Ь = хз! + уь) + х21с. На основани и правила сложения векторов имеем а + Ь = (хс с + ус2 + хс!с) + (хз! + уь! + в21с) = (х~ + хз)1+ (у|+ уз)3+ (кс + хз)1с, или, чтотоже, — при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем Далее, Ла = Лх!1+ Лу|1+ Ле!!с, или, что то же, — при умножении вектора на число все его координаты умножаются но зто число, Глава 1.

Зламалтм векторной алгебры Пусть а = (жг, уг, з!), Ь = (жг, уг, лг) — коллинеарные векторы, причем Ь ~ О. Тогда а = угЬ,т.е. !о! )гкг Р! )гуг Л! ггаг или а! у! л! иг Уг (3) Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = гвЬ, т. е. векторы а и Ь коллинеарны. Таким образом, векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Пример. Найти координаты вектора М! Мг, начало которого находится в точка Мг(*г, Уг, х!). а конец -в тачке Мг(*г* Уг зг). ° Из рис 22 видно, что М!Мг = ю — г!, где г!, гг — радиус- векторы точек М! и Мг соответственно.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА — это… Что такое ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА?

— раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются простейшие операции над (свободными) векторами.

К числу этих операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой векторов наз. вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало

совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:


где — нулевой вектор,- есть вектор, противоположный вектору . Разностью векторов наз. вектор такой, что

Произведением вектора на число в случае пал. вектор, модуль к-рого равен и к-рый направлен в ту же сторону, что и вектор , если , и в противоположную, если . Если или (и) , то . Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(дистрибутивность относительно сложения чисел),

(ассоциативность), (умножение на единицу). Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В В. а. важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы наз. линейно зависимыми векторами, если существуют числа из к-рых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство


Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов нулевой, то они линейно зависимы. Векторы наз. линейно независимым и, если из равенства (1) следует, что числа равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует б а-з и с. Любой вектор единственным образом представляется в виде суммы:


Числа наз. координатами (компонентами) вектора в данном базисе и пишут .

Два вектора н равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым в достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство


Линейные операции над векторами сводятся клинейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов и равны суммам соответствующих координат: Координаты произведения вектора ана число равны произведениям координат на :

Скалярным произведением ненулевых векторов наз. произведение их модулей на косинус угла между ними:


За j принимается угол между векторами, не превосходящий . Если или , то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(коммутативность),

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(сочетательность относительно умножения на число),

лишь если

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.

е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов


заданных в ортонормированием базисе, вычисляется по формуле:


Косинус угла между ненулевыми векторами и может быть вычислен по формуле

Косинусы углов вектора с векторами базиса наз. направляющими косинусами вектора


Направляющие косинусы обладают следующим свойством:


Осью наз. прямая с лежащим на ней единичным вектором — ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией вектора на ось наз. направленный отрезок на оси, алгебраич. значение к-рого равно скалярному произведению вектора на вектор . Проекции обладают свойствами:


Каждая координата вектора в ортонормированием базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.


В пространстве различают правые н левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов наз. правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае — левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки (см. рис.).

Все правые (или левые) тройки векторов наз. одинаково ориентированными. Ниже тройка векторов базиса считается правой.

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от к |. Псевдоскалярным произведением ненулевых векторов и наз. произведение их модулей на синус угла положительного вращения от к :


Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

(антикоммутативность),

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(сочетательность относительно умножения на число),

лишь если или (и) или кол-ливеарны.

Если в ортонормированием базисе векторы имеют координаты и то


Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов наз. вектор, модуль к-рого равен произведению их модулей на синус угла между ними, перпендикулярный и направленный так, что тройка векторов — правая:

Векторное произведение полагают равным нулю, если или (и) или они коллинеарны. Векторное произведение обладает свойствами:

(антикоммутативность),

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(сочетательность относительно умножения на число),

лишь если или(и) или коллинеарны.

Если в ортонормпрованном базисе векторы имеют координаты и , то


Смешанным произведением векторов наз. скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов :


Смешанное произведение обладает свойствами:


лишь если или (и) или (и) или векторы компланарны.

если тройка векторов — правая, если — тройка левая.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Если в ортонормированном базисе векторы имеют координаты то


Двойным векторным произведением векторов наз. векторное произведение .

При вычислении двойного векторного произведения имеют место формулы:


Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии…, М., 1968; [2] Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968; [4] Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968. Ю. П. Пытьев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Решение высшей математики онлайн


‹— Назад Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку и возьмем произвольную точку . Радиус-вектором точки по отношению к точке называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел — координаты ее радиус-вектора.

        Определение 10.17   Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.         

Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая — осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

        Определение 10.18   Координаты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называются координатами точки в рассматриваемой системе координат.         

Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, третья — аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты — абсциссу и ординату.

Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку, например , .

        Определение 10.19   Декартова система координат называется прямоугольной, если векторы базиса — единичные и попарно ортогональные (перпендикулярные) друг другу.         

В дальнейшем мы будем использовать лишь декартову прямоугольную систему координат и для краткости будем называть ее просто «система координат».

Единичные попарно ортогональные векторы базиса принято, как правило, обозначать i, j, k.

        Определение 10.20   Базис, образованный единичными попарно ортогональными векторами, называют ортонормированным.         

На рис. 10.15 показаны два способа изображения точки по ее координатам.

Рис.10.15.Построение точки

Так как точку пространства мы вынуждены изображать на плоскости, то, пока не указаны линии, связывающие изображение точки с осями координат, установить ее положение в пространстве невозможно! Это показывает рис. 10.16.

Рис.10.16.

Зная координаты начала и координаты конца вектора, можно определить координаты самого вектора.

        Доказательство.     Очевидно соотношение (рис. 10.17),

Рис.10.17.Координаты вектора

откуда . Так как, по определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то , . В силу  предложений 10.4, 10.5 получим .     

 Предложение 10.12 можно сформулировать так: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Лекция Векторная алгебра.

Векторы.

    Скачать с Depositfiles 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Лекция № 4. Тема 1 : Векторы

1.1. Определение вектора

Все величины, с которыми нам приходилось встречаться до настоящего времени в физике, технике были двух видов: скалярные, которые харак-теризуются одним числовым значением и векторные,  характеризуются числовым значением и направлением.

Пример 1. Скалярные величины: масса, объём, температура и т.д. Векторные величины: сила, скорость, ускорение и т. д.

Определение 1. Направленный отрезок называется вектором и обозна-чается .А

В

Определение 2. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается 

Если  или , то векторы называются соответственно единичным и нулевым.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Определение 4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллине-арные, одинаково направлены и имеют равные модули (равные длины).

Пусть задан некоторый вектор  и ось l.

Определение 6. Проекцией вектора  на ось l называется величина  где   угол между вектором  и осью l.

В

А

l

1.2. Линейные операции над векторами

1. Произведение вектора на число.

Определение 7. Произведением вектора  на число  называется вектор  определяемый следующими условиями: вектор  коллинеарен вектору векторы  и  одинаково направлены, если  и противоположны, если 

Пример 2. Построить вектор  

Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:

Пусть  ненулевой вектор, тогда для любого коллинеарного ему вектора  существует единственное число  удовлетворяющее равенству 

Действительно,  если векторы одинаково направлены и  если они противоположно направлены.

2. Сложение векторов.

Определение 8. Суммой двух векторов  и  называется вектор  выходящий из их общего начала, который служит диагональю паралле-лограмма, сторонами которого являются векторы  и , и обозначается

 

 или 

Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:

Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.

 

  

С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:

1.  сложение коммутативно;

2.  ассоциативно.

3. Вычитание векторов.

Определение 9. Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по модулю и противоположно направленный, называется противоположным вектором и обозначается 

Определение 10.  Разностью  векторов  и  называется сумма векторов  и  т.е. 

Построение вектора   

основано на построении суммы 

векторов   

Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:

1. 

2. 

1.3. Декартова система координат

Зададим в пространстве три единичных взаимно перпендикулярных вектора:  Приведём их к общему началу – точке О. Рассмотрим систему координат, направление осей: z

Ох, Оу, Оz, которой заданы этими

векторами  Такая система

координат называется декартовой M

системой координат. Векторы  

называются базисом, а каждый из 

этих векторов – ортом.    y

Покажем, что если задан базис O B

, то любой вектор  A N

пространства можно единственным x

образом разложить по нему, т.е. представить в виде

 (1)

Приведём вектор  к началу системы координат – точке О. Из конца вектора   точки М опустим перпендикуляр MN на плоскость Оху. Проведём из точки Nпрямые, параллельные осям координат. Построим векторы  Из построения получаем

 (2)

А так как  то выражение (2) примет следующий вид

 (3)

В силу коллинеарности векторов  и   и   и  существуют такие числа , для которых выполняется

 (4)

Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.

Сокращенно формула (1) записывается в виде 

Определение 11. Числа  называются координатами вектора  или его компонентами.

Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Если  и , то их сумма

Теорема 2. Если  и   любое число, то произведение вектора  на это число 

Следствие. Если векторы  и  коллинеарны, то    и тогда условие коллинеарности векторов имеет вид

  (6)

Определение 12. Радиус-вектором точки М z

называется вектор  М

Определение 13. Координаты радиус–вектора 

точки М называются координатами точки М

и при этом пишут  x O y

Замечание 2.  Аналогично определяется система координат на плоскости Оху. Здесь образуют базис векторы  и , а оси  Ох и Оу. Тогда получим

.

Замечание 3. Из доказательства формулы (1) следует, что геометрически координаты вектора – суть его проекции на соответствующие координатные оси.

Замечание 4. Аналогично можно показать, что базис в пространстве образуют любые три некомпланарных вектора:  т.е. любой вектор  можно представить в виде 

Векторная алгебра и аналитическая геометрия — Все для МГСУ

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Методические указания к практическим занятиям и выполнению расчетного задания для студентов заочного отделения.


Содержание:
Примеры решения задач по векторной алгебре и аналитической геометрии.
Задание №1 Разложить вектор  с= {9, 4} по векторам  а= {2, -3} и  b= {1, 2}.
Задание №2 Проверить коллинеарность векторов  a= {2, -1, 3} и  b= {-6, 3, -9}.
Задание №3 Дан вектор  a= {2, -1, 3}. Найти модуль вектора a , координаты его орта  a и направляющие косинусы.
Задание №4 Проверить ортогональность векторов  a= {-6, -3, 2} и  b= {1, 2, 6}.
Задание №5 Найти угол между векторами  a= {3, 0, 4} и  b= {7, 0, 1}.
Задание №6 Найти вектор c , перпендикулярный векторам  a= {2, -2, -3} и  b= {4, 0, 6}.
Задание №7 Вычислить площадь параллелограмма ABDC и треугольника ABC, если А(0, 2, 2), B(1, -2, 3), C(-1, 2, 1), D(0, -2, 2).
Задание №8 Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2, -1, 1), B(5, 5 , 4), C(3, 2, -1), D(4, 1, 3).
Задание №9 Проверить компланарность векторов  = {2, 3, -1},  = {1, -1, 3} и  = {1, 9, -11}.
Задание №10 Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки  M1(3; 1) и  M2(5; 4).
Задание №11 Две прямые заданы уравнениями y=2x+3 и y=3x+2. Найти угол между этими прямыми.
Задание №12 Показать, что прямые  4x-6y+7=0 и 20x-30y-11=0  параллельны.
Задание №13 Показать, что прямые 3x-5y+7=0 и 10x+6y-3=0 перпендикулярны.
Задание №14 Составить уравнение плоскости проходящей через точку  M0(1; 1; 1) перпендикулярно вектору N {2; 2; 3}.
Задание №15 Найти каноническое уравнение прямой заданной пересечением плоскостей:
3x+2y+4z-11=0
2x+y-3z-1=0
Задание №16 Найти точку пересечения прямой x-2/2=y-1/3=z-3/1 с плоскостью 2x+3y+z=0 .
Задание №17Дана система линейных уравнений:
x+     z=0
-y+2z=-4
x=y    =3


Издательство: Типография МГСУ
Составители: доцент, кандидат физико-математических наук Т.А.Мацеевич.
Год: 2007
Страниц: 11
Формат: Word

векторов | Высшая математика | Maths.scot

Содержание курса

  • Предполагается работа Nat 5 vectors
  • Результат трехмерных векторных путей
  • Работа с коллинеарностью
  • Внутренняя точка разделения линии
  • Оценка и применение свойств скалярного произведения
  • Угол между двумя векторами
  • Использование и нахождение единичных векторов, включая \(\underline{\boldsymbol i}, \underline{\boldsymbol j}, \underline{\boldsymbol k}\) в качестве основы.

Скалярное произведение

\( \underline{\boldsymbol a} .\underline{\boldsymbol b} = \vert \underline{\boldsymbol a} \vert\,\vert \underline{\boldsymbol b} \vert\,cos\,\theta , \) где \(\theta\) — угол между \(\underline{\boldsymbol a}\) и \(\underline{\boldsymbol b}.\)

\( \underline{\boldsymbol a} .\underline{\boldsymbol b} = a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3,\) где \( \underline{\boldsymbol a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix } \right)\) и \(\underline{\boldsymbol b} = \left( \begin{matrix} \,b_1 \\ \,b_2 \\ \,b_3 \end{matrix} \right)\)


Пример 1

(без калькулятора)

Три вектора определяются следующим образом:
\( \small\overrightarrow{\textf{RS}} \normalsize = -3\underline{\boldsymbol i}+2\underline{\boldsymbol j}+\underline{\boldsymbol k}\)
\( \small \overrightarrow{\textf{ST}} \normalsize = \underline{\boldsymbol i}-3\underline{\boldsymbol j}+5\underline{\boldsymbol k}\)
\( \small \overrightarrow{\textf{PT}} \normalsize = 2\underline{\boldsymbol i}+\underline{\boldsymbol j}-3\underline{\boldsymbol k}\)
(a)  Найти \(\small\overrightarrow{\textf{RT}}\normalsize. \)
(b)   Следовательно или иначе найдите \(\small\overrightarrow{\textf{RP}}\normalsize.\)

Покажи ответ

(a)   Для \(\small\overrightarrow{\textf{RT}}\normalsize,\) мы предполагаем, что начинаем с R и идем через S к T.

$$ \begin{выравнивание} \ small \ overrightarrow {\ textsf {RT}} \ normalsize & = & \ small \ overrightarrow {\ textsf {RS}} \ normalsize + \ small \ overrightarrow {\ textsf {ST}} \ normalsize \\ [6pt] &=& \left( \begin{matrix} -3 \\ \phantom{-}2 \\ \phantom{-}1 \end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} \phantom{- }1 \\ -3 \\ \фантом{-}5 \конец{матрица}\справа) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \phantom{-}6 \end{matrix}\right) \end{эквнаррай} $$

Итак, \(\small\overrightarrow{\textf{RT}}\normalsize = -2\подчеркнуть i -\подчеркнуть j +6\подчеркнуть k.\)

(b)   Для \(\small\overrightarrow{\textf{RP}}\normalsize,\) мы предполагаем, что начинаем с R и идем через T к P.

$$ \begin{выравнивание} \ small \ overrightarrow {\ textsf {RP}} \ normalsize & = & \ small \ overrightarrow {\ textsf {RT}} \ normalsize + \ small \ overrightarrow {\ textsf {TP}} \ normalsize \\ [6pt] &=& \small\overrightarrow{\textf{RT}}\normalsize -\small\overrightarrow{\textf{PT}} \normalsize \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \phantom{-}6 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} \phantom{-}2 \\ \фантом{-}1 \\ -3 \конец{матрица}\справа) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -4 \\ -2 \\ \phantom{-}9 \end{matrix}\right) \end{эквнаррай} $$

Итак, \(\small\overrightarrow{\textf{RP}}\normalsize = -4\подчеркнуть i -2\подчеркнуть j +9\подчеркнуть k. \)

Пример 2

(без калькулятора)

PQRS представляет собой трапецию с \( \small \overrightarrow{\textsf{RQ}} \normalsize = 2\tiny\ \small \overrightarrow{\textsf{SP}} \normalsize \).

\( \small \overrightarrow{\textf{PQ}} \normalsize \) и \( \small \overrightarrow{\textsf{RQ}} \normalsize \) представляют векторы \( \underline{\boldsymbol u} \) и \( \underline{\boldsymbol v} \) соответственно.

(a)  Выразите \( \small \overrightarrow{\textf{RP}} \normalsize \) через \( \underline{\boldsymbol u} \) и \( \underline{\boldsymbol v} \) .
(b)  Выразите \( \small \overrightarrow{\textsf{RS}} \normalsize \) через \( \underline{\boldsymbol u} \) и \( \underline{\boldsymbol v} \) . Дайте ответ в самой простой форме.

Покажи ответ

(a)  Представьте, что вы путешествуете из R в P через Q:

. $$ \begin{выравнивание} \ small \ overrightarrow {\ textsf {RP}} \ normalsize & = & \ small \ overrightarrow {\ textsf {RQ}} \ normalsize + \ small \ overrightarrow {\ textsf {QP}} \ normalsize \\ [6pt] &=& \small\overrightarrow{\textsf{RQ}} \normalsize — \small \overrightarrow{\textsf{PQ}} \normalsize \\[6pt] &=& \underline v — \underline u \\[6pt] \end{эквнаррай} $$

(b)  Давайте из R в S через P:

$$ \begin{выравнивание} \small \overrightarrow{\textf{RS}} \normalsize &=& \small\overrightarrow{\textsf{RP}} \normalsize + \small \overrightarrow{\textsf{PS}} \normalsize \\[6pt] &=& \small\overrightarrow{\textsf{RP}} \normalsize — \small\frac{1}{2}\small \overrightarrow{\textsf{RQ}} \:\:\:\:\small\textsf {(потому что } \small \overrightarrow{\textf{RQ}} \normalsize = 2\tiny\ \small \overrightarrow{\textf{SP}} \normalsize \textsf{)} \\[6pt] &=& (\underline v — \underline u) — \small\frac{1}{2} \normalsize \underline v \:\:\:\:\small\textsf{(с использованием части (a))}\ \[6pt] &=& \small\frac{1}{2}\normalsize\underline v — \underline u \end{эквнаррай} $$

Пример 3

(без калькулятора)

Покажите, что точки \(\small\textsf{A}\normalsize(-1,3,0),\) \(\small\textsf{B}\normalsize(2,-1,4)\) и \ (\small\textsf{C}\normalsize(-7,11,8)\) коллинеарны.

Покажи ответ

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textf{AB}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textsf{OB}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textf{OA}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}2 \\ -1 \\ \phantom{-}4 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} -1 \\ \фантом{-}3 \\ \фантом{-}0 \конец{матрица}\справа)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}3 \\ -4 \\ \phantom{-}4 \end{matrix}\right)\\[12pt] \small\overrightarrow{\textsf{AC}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textsf{OC}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OA}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -7 \\ \phantom{.}11 \\ \phantom{-}8 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} -1 \\ \phantom{-}3 \\ \phantom{-}0 \end{matrix} \справа)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -6 \\ \phantom{-}8 \\ -8 \end{matrix}\right)\\[6pt] &=& -2\влево( \begin{матрица} \фантом{-}3 \\ -4 \\ \фантом{-}4 \конец{матрица}\вправо) \\[12pt] \end{эквнаррай} $$

\(\small\overrightarrow{\textf{AC}}\normalsize=-2\small\overrightarrow{\textsf{AB}}\normalsize\) поэтому \(\small\overrightarrow{\textsf{AC}}\normalsize \) и \(\small\overrightarrow{\textf{AB}}\normalsize\) параллельны. А — общая точка, значит, А, В и С коллинеарны.

Примечание: В спецификациях курса конкретно указано, что кандидаты должны «включать фразы «параллельность» и «общая точка» в свои ответы, чтобы показать коллинеарность», поэтому будьте осторожны, используя эту формулировку.

Пример 4

(без калькулятора)

Покажите, что точки \(\small\textsf{P}\normalsize(2,-6,8),\) \(\small\textsf{Q}\normalsize(0,-5,5)\) и \ (\small\textsf{R}\normalsize(8,-9,0)\) являются , а не коллинеарными.

Покажи ответ

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textf{PQ}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textsf{OQ}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OP}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}0 \\ -5 \\ \\phantom{-}5 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} \phantom{- }2 \\ -6 \\ \фантом{-}8 \конец{матрица}\справа)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -2 \\ \phantom{-}1 \\ -3 \end{matrix}\right)\\[12pt] \small\overrightarrow{\textf{PR}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textf{OR}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OP}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}8 \\ -9 \\ \phantom{-}0 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} \phantom{- }2 \\ -6 \\ \фантом{-}8 \конец{матрица}\справа)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}6 \\ -3 \\ -8 \end{matrix}\right)\\[12pt] \end{эквнаррай} $$

Разделив компоненты \(\small\overrightarrow{\textsf{PQ}}\normalsize\) и \(\small\overrightarrow{\textsf{PR}}\normalsize\) для их сравнения:

\(\:\:\:\подчеркнуть i\): \(\:\:\:6\div -2=-3\)
\(\:\:\:\подчеркивание j\): \(\:-3\div 1=-3\)
\(\:\:\:\подчеркивание k\): \(\:-8\div -3 \neq -3\)

Не все результаты деления равны, поэтому \(\small\overrightarrow{\textsf{PR}}\normalsize\) не кратно \(\small\overrightarrow{\textsf{PQ}}\normalsize . \) Это говорит нам о том, что два вектора не параллельны, и по этой причине точки P, Q и R не могут лежать на одной прямой.

Пример 5

(без калькулятора)

(a)   Покажите, что точки \(\small\textsf{F}\normalsize(-3,-5,9),\) \(\small\textsf{G}\normalsize(0,1,0 )\) и \(\small\textsf{H}\normalsize(2,5,-6)\) коллинеарны.
(b)   Укажите отношение, в котором G делится на FH.

Покажи ответ

(a)   Поскольку G делит FH, имеет смысл выбрать два вектора, оба из которых включают G.

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textsf{FG}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textf{OG}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OF}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} -3 \\ -5 \\ \phantom{-}9 \end{matrix}\right)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}3 \\ \phantom{-}6 \\ -9 \end{matrix}\right)\\[12pt] \small\overrightarrow{\textf{GH}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textsf{OH}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OG}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}2 \\ \phantom{-}5 \\ -6 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} \phantom{- }0 \\ \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 \end{matrix}\right)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}2 \\ \phantom{-}4 \\ -6 \end{matrix}\right) \\[12pt] \end{эквнаррай} $$

\(\ small\overrightarrow{\textf{FG}}\normalsize=\frac{3}{2}\small\overrightarrow{\textf{GH}}\normalsize\) так \(\ small\overrightarrow{\textsf {FG}}\normalsize\) и \(\small\overrightarrow{\textsf{GH}}\normalsize\) параллельны. G — общая точка, поэтому F, G и H коллинеарны.

(b)   С опытом вы обычно можете записать эти отношения без какой-либо дальнейшей работы, но более формальным методом было бы начать со связи между \(\small\overrightarrow{\textsf{FG}}\normalsize\ ) и \(\small\overrightarrow{\textf{GH}}\normalsize\) из части (a) выше:

$$ \begin{выравнивание} \ small \ overrightarrow {\ textsf {FG}} \ normalsize & = & \ small \ frac {3} {2} \ overrightarrow {\ textsf {GH}} \ normalsize \\ [6pt] \ frac {\ small \ overrightarrow {\ textsf {FG}} \ normalsize} {\ small \ overrightarrow {\ textsf {GH}} \ normalsize} & = & \ small \ frac {3} {2} \ normalsize \\ [ 6pt] \small\overrightarrow{\textf{FG}}\normalsize : \small\overrightarrow{\textf{GH}}\normalsize &=& 3:2.\end{эквнаррай} $$

Пример 6

(без калькулятора)

\(\small\textsf{A}\normalsize(9,-3,-8),\) \(\small\textsf{B}\normalsize(1,t,4)\) и \(\small\ textsf{C}\normalsize(-1,2,7)\) коллинеарны.
(a)   Укажите отношение, в котором B делит AC.
(b)   Найти значение \(t.\)

Покажи ответ

(a)   Нам говорят, что три точки лежат на одной прямой, поэтому достаточно рассмотреть любую компоненту.

Давайте посмотрим на компоненты \(\underline i\):

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textf{AB}}\normalsize : \small\overrightarrow{\textsf{BC}}\normalsize &=& 1-9:-1-1 \\[6pt] &=& -8:-2 \\[6pt] &=& 4:1 \end{эквнаррай} $$

(b)   Поскольку \(t\) является компонентом \(\underline j\), мы можем сделать то же самое с компонентами \(\underline j\):

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textf{AB}}\normalsize : \small\overrightarrow{\textf{BC}}\normalsize &=& t-(-3):2-t \\[6pt] &=& т+3:2-т \end{эквнаррай} $$

Затем мы можем использовать отношение \(4:1\), чтобы составить простое линейное уравнение:

$$ \begin{выравнивание} т+3 &=& 4(2-т) \\[6pt] т+3 &=& 8-4т \\[6pt] т+4т &=& 8-3 \\[6pt] 5t &=& 5 \\[6pt] т &=& 1 \end{эквнаррай} $$

Пример 7

(без калькулятора)

R и T — точки \((7,-1,8)\) и \((-3,4,-7)\) соответственно. Точка S делит RT внутри в соотношении \(2:3.\) Определить координаты точки S.

Покажи ответ

Примечание: Нам не нравится формула раздела, и мы не будем использовать ее в этом примере. Это может быть немного быстрее, но это уродливо, это легко забыть, и это обескураживает логический процесс. Мы предпочитаем этот метод:

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textf{RS}}\normalsize : \small\overrightarrow{\textsf{ST}}\normalsize &=& 2:3 \\[6pt] 3\,\small\overrightarrow{\textf{RS}}\normalsize &=& 2\,\small\overrightarrow{\textf{ST}}\normalsize \\[6pt] 3\,\влево(\подчеркнуть s — \подчеркнуть r\справа) &=& 2\,\влево(\подчеркнуть t — \подчеркнуть s\справа) \\[6pt] 3\подчеркнуть s — 3\подчеркнуть r &=& 2\подчеркнуть t — 2\подчеркнуть s \\[6pt] 3\подчеркнуть s + 2\подчеркнуть s &=& 2\подчеркнуть t + 3\подчеркнуть r \\[6pt] 5\подчеркнуть s &=& 2\подчеркнуть t + 3\подчеркнуть r \\[6pt] &=& 2\влево(\begin{матрица} -3 \\\фантом{-}4 \\ -7 \конец{матрица}\вправо) + 3\влево( \begin{матрица} \фантом{-}7 \\ -1 \\ \phantom{-}8 \end{matrix}\right) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -6 \\ \phantom{-}8 \\ -14 \end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} \phantom{-}21 \\ -3 \\ \phantom{-}24 \end{matrix}\right) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} 15 \\ \phantom{. }5 \\ 10 \end{matrix}\right) \\[6pt] \подчеркивание s &=& \left( \begin{матрица} \фантом{.}3\фантом{.} \\ \фантом{.}1\фантом{.} \\ \фантом{.}2\фантом{. } \конец{матрица}\справа) \end{эквнаррай} $$

Таким образом, координаты S равны \((3,1,2).\)

Пример 8

(без калькулятора)

Повторите пример 7, но на этот раз используйте формулу сечения!

Покажи ответ

Фу! Нет! Формула раздела ужасна! Ну ладно, если надо…

Первое напоминание о вопросе:

Вопрос: R и T — точки \((7,-1,8)\) и \(\small\textsf{C}\normalsize(-3,4,-7)\) соответственно. Точка S делит RT внутри в соотношении \(2:3.\) Определить координаты точки S.

Пусть \(m=2\) и \(n=3.\)

$$ \begin{выравнивание} \underline s &=& \frac{n\underline r + m\underline t}{n+m} \\[6pt] &=& \frac{3\underline r + 2\underline t}{2+3} \\[6pt] &=& \small\frac{1}{5}\normalsize\left(3\underline r + 2\underline t\right) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \frac{1}{5}\left[3(7)+2(-3)\right] \\ \frac{1}{5}\left[3( -1)+2(4)\вправо] \\ \frac{1}{5}\влево[3(8)+2(-7)\вправо] \end{матрица}\вправо) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \frac{1}{5}\left(21-6\right) \\ \frac{1}{5}\left(-3+8\right) \\ \frac{1}{5}\left(24-14\right) \end{matrix}\right) \\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \frac{1}{5}\left(15\right) \\ \frac{1}{5}\left(5\right) \\ \frac{1} {5}\влево(10\вправо) \конец{матрица}\вправо) \\[6pt] &=& \left( \begin{матрица} \фантом{. }3\фантом{.} \\ \фантом{.}1\фантом{.} \\ \фантом{.}2\фантом{.} \end{матрица}\справа) \end{эквнаррай} $$

Таким образом, координаты S равны \((3,1,2).\)

Примечание: Мы абсолютно ненавидим формулу раздела, но независимо от того, согласны вы или не согласны, хорошая новость заключается в том, что SQA не скажет вам, какой метод использовать для подобных вопросов. Используйте то, что подходит вам лучше всего.

Пример 9

(без калькулятора)

A и B — точки \((-4,1,-3)\) и \((0,-6,1)\) соответственно.2} \\[6pt] &=& \sqrt{16+49+16} \\[6pt] &=& \sqrt{81} \\[6pt] &=& 9 \end{эквнаррай} $$

Теперь, как \(\vert \small\overrightarrow{\textsf{AB}}\normalsize \vert =9\) и \(\vert k\,\small\overrightarrow{\textsf{AB}}\normalsize \vert =1,\) можно сделать вывод, что \(k=\frac{1}{9}.\)

Пример 10

(без калькулятора)

Векторы \(\underline{\boldsymbol u}=-3\underline{\boldsymbol i}+2\underline{\boldsymbol j}+n\underline{\boldsymbol k}\) и \(\underline{\boldsymbol v }=2\underline{\boldsymbol i}+5\underline{\boldsymbol j}+2\underline{\boldsymbol k}\) перпендикулярны. \круг=0.\)

$$ \begin{выравнивание} \подчеркнуть ты. \подчеркнуть v &=& 0 \\[6pt] -3(2)+2(5)+2n &=& 0 \\[6pt] -6+10+2n &=& 0 \\[6pt] 4+2n &=& 0 \\[6pt] 2н &=& -4 \\[6pt] п &=& -2 \end{эквнаррай} $$

Пример 11

(калькулятор)

Точки A, B и C равны \((-7,-3,-6),\) \((5,-2,6)\) и \((7,3,-8)\) соответственно. Найдите угол АВС.

Покажи ответ

Нам нужно найти угол в B, поэтому мы должны найти два вектора, которые начинаются в B.

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textsf{BA}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textsf{OA}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OB}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -7 \\ -3 \\ -6 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} \phantom{-}5 \\ -2 \\ \фантом{-}6 \конец{матрица}\справа)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} -12 \\ \phantom{.}-1 \\ -12 \end{matrix}\right)\\[12pt] \small\overrightarrow{\textf{BC}}\normalsize &=& \small\overrightarrow{\textf{OC}}\normalsize — \small\overrightarrow{\textsf{OB}}\normalsize\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}7 \\ \phantom{-}3 \\ -8 \end{matrix}\right) — \left( \begin{matrix} \phantom{- }5 \\ -2 \\ \фантом{-}6 \конец{матрица}\справа)\\[6pt] &=& \left( \begin{matrix} \phantom{-}2 \\ \phantom{-}5 \\ -14 \end{matrix}\right)\\[12pt] \end{эквнаррай} $$

Теперь нам нужно скалярное произведение:

$$ \begin{выравнивание} \small\overrightarrow{\textf{BA}}\normalsize . {-1}\ \frac{139}{255}\normalsize \\[6pt] &\приблизительно 57.\circ\:\small\textsf{(до 1 д.п.)}\normalsize \\[6pt] \end{эквнаррай} $$

Другие полезные ресурсы

Прошлые бумажные вопросы

Рекомендуемые книги


Высшая математика Блок 3 1 Векторы 1 Введение

Высшая математика Раздел 3. 1 Вектор

1. Введение Вектор – это величина, имеющая как величину, так и направление. Его можно представить с помощью отрезка прямой линии A. Этот вектор называется или или u B

2.Векторы в 3 — Размеры 3 5 2 2 5 3

-2 4 3

3 2 0

3 -3 -2

3. Нахождение компонентов вектора по координатам

P (1, 2) Q (6, 3) 3 2 1 6 6 -1 5 3 -2 1

S (-2, 1) 3 T (5, 3) 1 -2 5 5 — -2 7 3 -1 2

А (-2, -1) 1 В (4, 1) -1 -2 4 4 — -2 6 1 — — 1 2

4. Величина

4 4 -3 -3 2 4 + (-3) 2

5. Добавление векторов

7 1 C B 2 4 1 -6 A D Добавить векторы «нос к хвосту»

u+v v u Добавить векторы «нос к хвосту»

A A -u u B B отрицательное число

v -2 -4 u u + -v u-v -v Добавляем минус вектора «нос к хвосту»

Нулевой вектор -v v Вернуться к началу. Пропал в никуда

7. Умножение на скаляр

v 2 v 2 v имеет ДВА ВЕЛИЧИНУ, чем v, но v и 2 v имеют ОДИНАКОВОЕ НАПРАВЛЕНИЕ. я. е. они ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ

8. Векторы положения

4 2 P (4, 2) p Вектор положения точки P — это вектор от начала координат O до P. Вектор положения обозначается как Если P имеет координаты (x, y, z), то компоненты вектор положения P равен

9. Коллинеарные точки

НЕ коллинеарны A E D B C Коллинеарны, тогда векторы параллельны и имеют общую точку, а именно B- , это делает их коллинеарными

10.Разделительные линии в заданных соотношениях «Формула сечения»

Сдавайся, Джон, им становится скучно!!

11. Единичные векторы

Единичный вектор — это любой вектор, длина (величина) которого равна единице. Вектор является единичным вектором, начиная с

Есть три специальных единичных вектора:

Все векторы могут быть представлены суммой этих единичных векторов -2 4 3 -2 +4 +3

12. Скалярное произведение

Скалярное произведение (или «точечный» продукт) является разновидностью векторного «умножения».Это сильно отличается от любого вида умножения, с которым мы встречались раньше. Скалярное произведение векторов определяется как: или и где q — угол между векторами, исходящими из вершины

Вычисление угла между двумя векторами Мы уже видели, что перестановка дает И, следовательно, мы можем найти угол между двумя векторами

Некоторые важные результаты с использованием скалярного произведения 1. Скалярное произведение является числом, а не вектором 2. Если либо 3., либо тогда Перпендикулярные векторы: q При условии и отличны от нуля, то если тогда так, то есть 4.и перпендикулярны

Wolfram|Alpha Примеры: Математика

Элементарная математика

Займитесь базовой арифметикой. Работа с дробями, процентами и подобными основами. Решите проблемы со значением места и слова.

Выполнять базовые арифметические действия:
Выполнять точные арифметические действия с дробями:
Дополнительные примерыИсчисление и анализ

Вычислять интегралы, производные и пределы, а также анализировать суммы, произведения и ряды.

Вычисление интеграла:
Вычисление производной:
Решение обыкновенного дифференциального уравнения:
Дополнительные примерыЧертежи и графики

Визуализируйте функции, уравнения и неравенства.Сделайте это в 1, 2 или 3 измерениях. Стройте полярные и параметрические графики.

Постройте график функции:
Постройте область, удовлетворяющую нескольким неравенствам:
Другие примерыЛинейная алгебра

Исследуйте и вычисляйте свойства векторов, матриц и векторных пространств.

Вычислить свойства вектора:
Вычислить свойства матрицы:
Определить, является ли набор векторов линейно независимым:
Дополнительные примерыКомплексный анализ

Анализ функций и выражений, содержащих мнимые числа или комплексные переменные.

Вычислить свойства функции комплексной переменной (используйте переменную z):
Вычислить остаток функции в точке:
Дополнительные примерыМатематические функции

Изучите свойства математических функций, такие как непрерывность, сюръективность и четность. Используйте известные специальные функции или теоретико-числовые функции.

Выполнение вычислений со специальными функциями:
Выполнение вычислений с помощью теоретико-числовых функций:
Поиск представления функции:
Другие примерыПродолжение дробей

Вычисление; узнать об алгоритмах, определениях и теоремах с участием; или найти свойства цепных дробей.

Найти представление числа в виде цепной дроби:
Найти определения терминологии цепной дроби:
Найти статьи автора в виде цепной дроби:
Другие примерыCommon Core Math

Получить информацию о Common Core Standards по математике для детей от детского сада до восьмого класса.

Вычисление выражения (CCSS.Math.Content.6.EE.A.2c):
Выполнение нескольких операций с рациональными числами (CCSS.Math.Content.7.NS.A.2c):
Дополнительные примерыАлгебра

Найти корни и расширять, разлагать или упрощать математические выражения — все, от многочленов до полей и групп.

Решите уравнение:
Разложите полином:
Упростите выражение:
Другие примерыГеометрия

Вычислите свойства геометрических объектов различных видов в 2-х, 3-х и более измерениях. Исследуйте и применяйте идеи из многих разделов геометрии.

Вычислить свойства геометрической фигуры:
Построить коническое сечение и определить его тип:
Вычислить свойства многогранника:
Еще примерыЧисла

Работа с различными видами чисел.Проверьте принадлежность к более крупным наборам, таким как рациональные числа или трансцендентные числа. Преобразование между базами.

Вычисление десятичной аппроксимации заданного количества цифр:
Преобразование десятичного числа в другое основание:
Дополнительные примеры Теория чисел

Анализ целых чисел; подмножества целых чисел, включая простые числа; и сопутствующие идеи.

Вычислить простую факторизацию:
Решить диофантово уравнение:
Другие примерыПрикладная математика

Выполнить численный анализ и оптимизацию систем и объектов, включая упаковку и покрытие объектов и систем управления.

Минимизация или максимизация функции:
Численное интегрирование функций, которые не могут быть проинтегрированы символически:
Дополнительные примерыМатематические определения

Делайте запросы о различных определениях и описаниях в математике.

Найдите информацию о математическом понятии:
Получите краткое определение:
Другие примерыСтатистика

Вычислите свойства наборов данных, выполните статистический вывод или моделируйте данные. Работа с вероятностными распределениями и случайными величинами.

Вычислить базовую описательную статистику для набора данных:
Найти размер выборки, необходимый для оценки биномиального параметра:
Дополнительные примерыДифференциальные уравнения

Решить дифференциальные уравнения любого порядка. Изучите решения и графики семейств решений. Задайте начальные условия, чтобы найти точные решения.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:
Укажите начальные значения:
Решите нелинейное уравнение:
Дополнительные примерыТригонометрия

Выполните тригонометрические вычисления и изучите свойства тригонометрических функций и тождеств.

Вычислить значения тригонометрических функций:
Решить тригонометрическое уравнение:
Дополнительные примерыДискретная математика

Исследуйте последовательности и повторения, решайте распространенные задачи комбинаторики и вычисляйте свойства графов и решеток.

Вычислить возможную формулу и продолжение последовательности:
Анализ графа, заданного правилами смежности:
Решить повторение:
Другие примерыЛогика и теория множеств

Вычислить булевы логические выражения и выражения, включающие множества и операторы множеств.Решите булевы уравнения. Вычислить таблицы истинности. Сгенерируйте диаграммы Венна.

Вычислить таблицу истинности:
Сгенерировать диаграмму Венна:
Другие примерыЗнаменитые математические задачи

Собрать информацию об известных задачах, гипотезах, теоремах и парадоксах. Узнайте о них и их создателях.

Получить информацию о математической гипотезе:
Получить историческую информацию о теореме:
Дополнительные примеры Вероятность

Вычислить вероятности определенных событий. Вычисляйте совместные, непересекающиеся или условные вероятности и применяйте их к реальным ситуациям.

Вычисление вероятности объединения событий:
Вычисление вероятности подбрасывания монеты:
Другие примеры

Описание теста по математике | АКТ

Раздел математики предназначен для оценки математических навыков, которые учащиеся обычно приобретают на курсах, изучаемых до начала 12 класса.

Большинство вопросов самодостаточны. Некоторые вопросы могут входить в набор из нескольких вопросов (например, каждый об одном и том же графике или диаграмме).

В изучаемом материале особое внимание уделяется основным областям содержания, которые являются предпосылками для успешной учебы на курсах начального уровня по математике в колледже. Знание основных формул и вычислительные навыки предполагаются в качестве основы для решения задач, но запоминание сложных формул и обширные вычисления не требуются.

Примечание: Вы можете использовать калькулятор в разделе математики. См. www.act.org/calculator-policy.html для получения подробной информации о запрещенных моделях и функциях.

Использование говорящих калькуляторов должно быть предварительно одобрено ACT.

Содержимое, на которое распространяется тест ACT по математике

Для раздела математики сообщается девять баллов: балл за раздел в целом и восемь баллов в отчетной категории, основанные на конкретных математических знаниях и навыках. Приблизительный процент раздела, посвященного каждой категории отчетности: 

Подготовка к высшей математике (57–60%)

Эта категория охватывает новейшую математику, которую изучают учащиеся, начиная с того момента, когда учащиеся начинают использовать алгебру как общий способ выражения и решения уравнений.Эта категория делится на пять подкатегорий.

  • Число и количество (7–10%)

Продемонстрировать знание действительных и комплексных систем счисления. Студенты будут понимать и рассуждать о числовых величинах во многих формах, включая целые и рациональные показатели, а также векторы и матрицы.

Решите, нарисуйте и смоделируйте несколько типов выражений. Студенты будут использовать множество различных типов уравнений, включая, помимо прочего, линейные, полиномиальные, радикальные и экспоненциальные отношения. Студент будет находить решения систем уравнений, даже если они представлены простыми матрицами, и применять свои знания в приложениях.

Вопросы этой категории проверяют знание определения функций, обозначений, представлений и приложений. Вопросы могут включать, помимо прочего, линейные, радикальные, кусочные, полиномиальные и логарифмические функции. Студенты будут манипулировать и переводить функции, а также находить и применять важные функции графиков.

Дайте определение и примените знания о формах и твердых телах, такие как соотношения конгруэнтности и подобия или измерения площади поверхности и объема. Понимать состав объектов и находить пропущенные значения в треугольниках, кругах и других фигурах, в том числе с помощью тригонометрических соотношений и уравнений конических сечений.

  • Статистика и вероятность (8–12%)

Описывать центр и разброс распределений, применять и анализировать методы сбора данных, понимать и моделировать отношения в двумерных данных и вычислять вероятности, включая соответствующие выборочные пространства.

Интеграция основных навыков (40–43%)

Эта категория посвящена измерению того, насколько хорошо вы можете синтезировать и применять свои знания и навыки для решения более сложных задач.Вопросы просят вас обратиться к таким понятиям, как ставки и проценты; пропорциональные отношения; площадь, площадь поверхности и объем; средний и медианный; и выражать числа по-разному. Решать нестандартные задачи, предполагающие объединение навыков в цепочки шагов; применение навыков в различных контекстах; понимание связей; и демонстрация беглости.

Моделирование

В этой категории представлены все вопросы, связанные с созданием, интерпретацией, пониманием, оценкой и улучшением моделей. Каждый вопрос также учитывается в других соответствующих категориях отчетности, указанных выше. Эта категория является общей мерой того, насколько хорошо вы используете навыки моделирования по математическим темам.

См. примеров вопросов  и советы по тестированию.

Знакомство с векторами | Пособие для начинающих по математике для 12 классов, доп. 1,

Чувствуете себя немного бесцельно при изучении векторов? В этой статье мы даем вам всестороннее введение в векторы для 12-го класса по математике, расширение 1, чтобы вы могли найти свой путь к группе 6.

Знакомство с векторами

В этой статье мы обсудим:

  • Результаты программы NESA
  • Что такое вектор
  • Как представлены векторы.
  • Различные типы векторов, включая векторы единиц измерения, положения и смещения
  • Сложение, вычитание и скалярное умножение векторов, алгебраические и геометрические методы

Проверьте свои знания о векторах!

 

Проверьте свои знания о векторах и их представлении

Этот рабочий лист имеет 4 уровня сложности для проверки ваших знаний

Ваш рабочий лист уже в пути! Проверьте свою электронную почту на наличие ссылки для скачивания.(Пожалуйста, подождите несколько минут, чтобы загрузка попала в ваш почтовый ящик)

ЗАГРУЗИТЕ БЕСПЛАТНУЮ РАБОЧУЮ ТАБЛИЦУ ПО МАТЕМАТИКЕ

12 класс. Дополнение 1 по математике: Введение в векторы и их представление

Понимание того, как работают векторы, играет решающую роль в визуализации основных операций, таких как сложение, вычитание и умножение, на двумерной плоскости, что затем позволит учащимся решать и доказывать более сложные геометрические свойства и приложения.

 

Результаты программы NESA

Результаты учебной программы NESA для учащихся 12-го класса по математике, расширение 1:

  • Определите векторную величину как величину, имеющую как величину, так и направление, и рассмотрите примеры векторов, включая перемещение и скорость:
    • Объясните разницу между вектором положения и перемещением (относительным вектором)
  • Определение и использование различных обозначений и представлений для векторов в двух измерениях:
    • Используйте стандартные обозначения для векторов, например: \( \stackrel{\rm a}{\rm \text{~}}, \vec{(AB)}, \boldsymbol{a}\)
    • Графическое представление векторов в двух измерениях в виде направленных отрезков
    • Определите единичные векторы как векторы величины 1 и стандартные двумерные перпендикулярные единичные векторы \(i\) и \(j\)
    • Выражайте и используйте вектора в двух измерениях в различных формах, включая форму компонента, упорядоченные пары и нотацию вектора-столбца.
  • Выполнять сложение и вычитание векторов и умножение вектора и скаляра алгебраически и геометрически и интерпретировать эти операции в геометрических терминах:
    • Графически представить скалярное число, кратное вектору
    • Используйте закон треугольника и закон параллелограмма, чтобы найти сумму и разность двух векторов
    • Определение и использование сложения и вычитания векторов в компонентной форме.
    • Определение и использование умножения на скаляр вектора в компонентной форме.

 

Предполагаемые знания

Учащиеся уже должны быть знакомы с основными алгебраическими операциями, геометрией, тригонометрией и координатной геометрией.

 

Что такое вектор?

Вектор – это величина, которая имеет как величину, так и направление. Например, к земле приложена сила в 60 ньютонов. Это означает, что величина силы равна 60 и ее направление направлено вниз, к земле.

Вектор можно обозначить жирным шрифтом \(\bf{u}\), стрелкой над переменной \(\vec{u}\) или тильдой под переменной \(\stackrel{\rm u }{\rm \text{~}}\).Вектор, идущий из точки \(A\) в точку \(B\), обозначается \(\vec{(AB)}\).

 

На приведенной выше диаграмме представлен вектор u, который представляет собой просто стрелку: На приведенной выше диаграмме представлен вектор \(\bf{u}\), который представляет собой просто стрелку: Величина \(\bf{u}\), обозначенная как \ (|\bf{u}|\) — длина стрелки. Направление \({\bf u}\), обозначаемое \(θ\), — это направление, на которое указывает стрелка. Острый конец стрелы называется головой, а другой конец называется хвостом.x\right)\) называется формой вектора-столбца.

  • \({\bf u}=(x,y)\) называется декартовой формой.
  •  

    Пример 1:

    Какое из следующих обозначений вектора является правильным?

    \(\vec{(AB)}, \ {\bf u}, \V_4, \OP, \\stackrel{\rm m}{\rm \text{~}}\)

    Решение 1:

    \(\vec{(AB)}, \ , {\bf u}, \\stackrel{\rm m}{\rm \text{~}}\)

     

    Пример 2:

    Выразите каждый вектор на диаграмме ниже в виде вектора-столбца и декартовой формы:

     

    Вектор Форма вектора столбца Декартова форма
     \(\vec{AB} \) \(\слева({2}\поверху{2}\справа) \) \((2,2)\)
    \(\vec{AC} \) \(\слева( {-1} \поверх {2} \справа) \) \((-1,2) \)
    \(\vec{AD} \) \( \слева( {-3} \поверх {2} \справа)\) \((-3,3)\)

     

    Единичные векторы, векторы положения и векторы смещения

     

    Диаграмма выше содержит единичные векторы, вектор положения, вектор смещения, а также стандартные двумерные перпендикулярные единичные векторы:

    • Единичный вектор — это вектор единичной величины.Единичный вектор на диаграмме выше — \(\vec{OA}\) (зеленый).
    • Вектор положения — это вектор, начальная точка которого ограничена началом координат \(O\). Векторы положения на диаграмме выше: \(\vec{OA}, \vec{OP}, \vec{OD}\) и \(\vec{OE}\).
    • Вектор смещения — это вектор, который может свободно перемещаться по двумерной плоскости. Его точка происхождения не имеет значения, так как нас интересуют только его величина и направление. Вектор смещения на диаграмме выше равен \(\vec{BC}\).
    • Векторы \(\vec{OP}\) и \(\vec{BC}\) равны, потому что они имеют одинаковую величину (длину) и указывают в одном направлении.
    • Стандартные двумерные перпендикулярные единичные векторы, обозначаемые \(\stackrel{\rm i}{\rm \text{~}}\) и \(\stackrel{\rm j}{\rm \text{~}}\ ), имеют величину один. \(\stackrel{\rm i}{\rm \text{~}}\) параллелен оси x и \(\stackrel{\rm m}{\rm \text{~}}\) параллелен к оси Y. На приведенной выше диаграмме \(\stackrel{\rm i}{\rm \text{~}}\) равно \(\vec{OE}\) и \(\stackrel{\rm j}{\rm \text {~}}\) равно \(\vec{OD}\).

    Используя стандартные двумерные перпендикулярные единичные векторы, мы можем представить векторы третьим способом, компонентной формой. Зная, что \({\bf i} = \left({1}\top{0}\right)\) и \({\bf j} = \left({1}\top{0}\right)\ ), вектор \({\bf u}\) может быть выражен как:

    \({\bf u} = \left( {x}\top{y}\right)=(x,y)=x{\bf i}+y{\bf j}\)

    Коэффициент при \({\bf i}\) называется x-компонентой, а коэффициент при \({\bf j}\) называется y-компонентой.

     

    Пример 1:

     

    1. Список векторов положения из диаграммы.
    2. Список векторов положения из диаграммы.
    3. Список векторов смещения из диаграммы.
    4. Какие две пары векторов имеют одинаковую величину?
    5. Есть ли векторы равные друг другу? (Помните, что векторы равны, если они имеют одинаковую величину и направление)
    6. Express \(\vec{AB}\) в компонентной форме.

    Решение 1:

    1. \(\vec{AB}\)
    2. \(\vec{CD}, \vec{EF}, \vec{KL}, \vec{IH}\)
    3. \(\vec{AB}\) и \(\vec{IH}, \vec{EF}\) и \(\vec{KL}\)
    4. №Хотя \(\vec{AB}\) и \(\vec{IH}, \vec{EF}\) и \(\vec{KL}\) имеют одинаковую величину друг друга, их направления различны, поэтому нет векторов, которые равны друг другу.
    5. \( \vec{AB} = 3{\bf i} + 3{\bf j}\)

     

    Сложение и вычитание векторов

    Когда складывает вместе векторов, мы должны учитывать как их величину, так и направление. Векторы добавляются методом «голова к хвосту»:

    • Даны два вектора \({\bf u}\) и \({\bf v}\), как показано ниже:

     

    и

     

    • На новой диаграмме вектор эскиза \({\bf u}\):

     

    • Теперь вектор подъема \({\bf v}\) формирует исходную диаграмму, располагая хвост в начале \({\bf u}\):

     

    • Соедините конец вектора \({\bf u}\) с началом вектора \({\bf v}\).Это представляет собой сумму \({\bf u} + {\bf v}\), которая является результирующим вектором.

     

    Вычитание векторов эквивалентно сложению отрицательного вектора. Отрицательный вектор — это вектор, имеющий ту же величину, но противоположное направление. Мы можем снова использовать метод головы к хвосту для вычитания векторов:

    • Даны два вектора \({\bf u}\) и \({\bf v}\), как показано ниже:

     

    и

     

    • Мы можем получить отрицательное значение вектора \({\bf v}\), изменив направление вектора:

     

    • Повторите тот же процесс, что и для сложения, однако мы добавляем \({\bf u}\) и \({\bf -v}\):

     

    • Это приводит к треугольному закону сложения и вычитания, поскольку процесс сложения и вычитания векторов образует треугольник, как показано на предыдущих диаграммах.Другой закон, связанный с процессом сложения и вычитания векторов, — это закон сложения и вычитания параллелограмма. Это можно проиллюстрировать ниже:

     

    Из диаграммы выше видно, что векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{CB}\) равны друг другу, а векторы \(\vec{OC}\) и \( \vec{AB}\) равны между собой. Эти четыре вектора образуют параллелограмм.
    \(\vec{OB}=\vec{OA} + \vec{AB}\) и \(\vec{CA}=\vec{OA} -\vec{OC}\), которые являются диагоналями параллелограмма.

     

    Пример 1:

    Данные векторы \({\bf a}\) и \({\bf b}\), как показано ниже:

     

    и

     

    Используйте данную информацию, чтобы нарисовать следующие векторы:

    а) \({\bf а}+{\bf b}\)
    б) \({\bf а}-{\bf b}\)

     

    Скалярное умножение векторов

    • Скаляр, кратный вектору \({\bf v}\), — это любой вектор \(α{\bf v}\), где \(α\) — коэффициент масштабирования.
    • Взятие скаляра, кратного вектору, означает масштабирование или сжатие этого вектора с помощью коэффициента масштабирования:
      • Если коэффициент масштабирования \(α>0\), то \(α{\bf v}\) будет иметь то же направление, что и \({\bf v}\).
      • Если коэффициент масштабирования \(α<0\), то \(α{\bf v}\) будет иметь направление, противоположное \({\bf v}\).
      • Если коэффициент масштабирования \(α>1\), то \(α{\bf v}\) будет больше, чем \({\bf v}\).
      • Если коэффициент масштабирования \(0<α<1\), то \(α{\bf v}\) будет меньше, чем \({\bf v}\).

     

    Пример 1:

    Данные векторы \({\bf v}\) и \({\bf v}\) как показано ниже:

     

    Используйте данную информацию, чтобы нарисовать следующие векторы:

    а)\(\frac{1}{2} {\bf a}\)
    b)\(-3{\bf b}\)
    c) ​​\(\frac{1}{2} {\bf а} -3{\bf b}\)

    Решение 1:

     

    Вопросы для проверки концепции

    1.Данные векторы \({\bf a}\) и \({\bf b}\) как показано ниже:

     

    Используйте данную информацию, чтобы нарисовать следующие векторы:

    1. \({\bf -b}\)
    2. \({\bf а} + {\bf b}\)
    3. \({\bf а} – {\bf b}\)
    4. \({\bf b} – {\bf а}\)

    2. Пусть \(\vec{AB} \\left( {1}\top{2}, \right) \vec{AC} = \left( {-2} \top {3} \right) \ ) и \( \vec{AD} \ = \left( {-1} \top {-4} \right)\). Нарисуйте следующие векторы и определите их положения:

    1. \( 2 \vec{AB}\)
    2. \(-3 \vec{AC}\)
    3. \(\frac{1}{4} \vec{AD}\)
    4. \( 2 \vec{AB} + \vec{AC}\)
    5. \( \frac{1}{2} \vec{AD} – 2\vec{AC}\)
    6. \(\frac{1}{2} \vec{AB} – \frac{1}{3} \vec{AC} + 2 \vec{AD}\)

     

    Решения для проверки концепции

    1.

    1. \({\bf -b}\)

     

    2. \({\bf а} + {\bf b}\)

     

    3. \({\bf а} – {\bf b}\)

     

    4. \({\bf b} – {\bf а}\)

     

    2.

    В приведенных ниже решениях красные векторы представляют ответ

    1. \( 2 \vec{AB}\)

     

    2. \(-3 \vec{AC}\)

     

    3. \(\frac{1}{4} \vec{AD}\)

     

    4. \( 2 \vec{AB} + \vec{AC}\)

     

    5.\( \frac{1}{2} \vec{AD} – 2\vec{AC}\)

    6. \(\frac{1}{2} \vec{AB} – \frac{1}{3} \vec{AC} + 2 \vec{AD}\)

     

    Нужно подтолкнуть ваши оценки в правильном направлении?

    Наш курс по математике для 12-го года обучения, дополнительный курс 1, предлагает вам экспертное обучение, подробные ресурсы и увлекательные уроки. Узнайте больше прямо сейчас!

    © Matrix Education и www.matrix.edu.au, 2022. Несанкционированное использование и/или копирование этого материала без письменного разрешения автора и/или владельца этого сайта строго запрещено.Выдержки и ссылки могут быть использованы при условии полной и четкой ссылки на Matrix Education и www.matrix.edu.au с соответствующим и конкретным указанием на исходный контент.

    Aqa продвинутая информация по математике уровня. Парциальное давление газа — это давление, которое он оказывает на смесь газов, если бы он сам занимал сосуд. Ссылка ниже позволяет вам увидеть, какие темы могут быть затронуты; это руководство предназначено только для информации и может меняться в течение года.Уровень 3 Advanced GCE по дальнейшей математике. Предсказанные бумаги MME GCSE по математике 2022 года уже доступны, с . 100 фунтов стерлингов. Получите официальную квалификацию по математике уровня A от AQA. Он содержит всю чистую математику, которую учащиеся должны знать для второй половины A … AQA A-Level Mathematics — полезная и универсальная квалификация. Он может поддерживать преподавание других предметов A-level и сравнение контента с другими предметами . Найдите много отличных новых и подержанных вариантов и получите лучшие предложения по математике AS/a Level для AQA Ser.Мы должны быть в состоянии составить дифференциальное уравнение из данной информации. Первое обучение в 2017 г., первая оценка в 2018 г. AQA A-level Math. Существует ряд важных правил. Рекомендуется, чтобы у вас был 6-й класс по английскому языку и математике, так как 10% психологии A-Level составляют математические навыки, и вам необходимо будет написать эссе, объясняющее и оценивающее психологическую теорию. Консультант сериала Дэвид Бейкер. Из-за продолжающегося воздействия пандемии Коронавируса (COVID-19) мы предоставляем предварительную информацию об основных направлениях экзаменов в июне 2022 года, чтобы помочь учащимся повторить.Информация Чтобы помочь учащимся повторить, мы опубликовали предварительную информацию об основных направлениях экзаменов по большинству предметов на GCSE, AS и A-level. Наши ресурсы Essential Skills были разработаны, чтобы помочь вашим ученикам при переходе от GCSE к AS и A level Mathematics, и будут особенно полезны в осенний семестр. F Отношение к другим спецификациям математики и статистики AQA GCE 115. Экзамен (разработки) — Pearson edexcel gcse, a level & international gcse mocks service Октябрь 2021 Результаты экзамена Advanced Level.От Pearson/Edexcel поступает очень ценный ресурс, под названием «Поддержка лета 2022 г.», «Тесты по математике уровня A» — это новый набор тематических тестов (вход в систему не требуется) по чистой математике (10 тестов), механике (5 тестов) и статистике. (5 тестов). Tes Global Ltd зарегистрирована в Англии (номер компании 02017289) по адресу: Red Lion Square, 26, Лондон, WC1R 4HQ. Промежуточные блоки в начале каждой главы 1-го года обучения обеспечивают идеальный плацдарм для поддержки учащихся при переходе от GCSE.Вас также может заинтересовать первая сессия этого CPD, вторник, 29 июня, 4. Стационарная фаза: в этом методе для стационарной фазы используется длинная спиральная колонка. Минимальное требование для A-Level Maths — 6 на GCSE по сравнению с 7 на GCSE для A-Level Additional Maths. е. Продвинутый уровень (A-Level) по математике. Информация об Edexcel доступна здесь. Вы можете найти соответствующую подтему, используя строку поиска в верхней части каждой таблицы. Чистая математика. Вы продолжите понимать, как это влияет на то, как организмы реагируют на окружающую среду, генетические популяции и .Это предварительная информация для получения сертификата уровня 2 по высшей математике (8365). 0 Из-за … Примечания доступны для следующих курсов математики в AQA. Он содержит достойные объяснения и упрощает вывод более сложных уравнений. Шаг 2: Мы выбираем уровень значимости, который указан в задаче как 5% или α = 0. Позволяет перейти к обучению на университетском уровне. орг. Язык хинди 8687 (только уровень AS) Хинди-литература 8675 (только уровень AS) Хинди 9687 (только уровень A) Индуизм 9014 Индуизм 8058 (только уровень AS) История 9389 Информационные технологии (9626) Исламоведение 8053 (только уровень AS) Японский язык 8281 (только уровень AS) Право (9084) Морские науки 9693 Математика (9709) AQA Уровень A Математика: Уровень A: Учебное пособие для 1-го года: Промежуточное издание.Последнее обновление: 4 апреля 2016 г. + показать все обновления. 4 Механика и материалы. Обычно неподвижной фазой в ГЖХ является нелетучая жидкость. Онлайн AQA A-Level Психология. 47. Математика AS и A-level Выберите свою квалификацию Current. Биология онлайн AQA A-Level. Мы используем метод разделения переменных для решения линейных дифференциальных уравнений. 7 Графики функций 2. Объяснение математики уровня A и дополнительной математики — AQA Математика уровня A и дополнительная математика Новая математика для A-Level — Структура курсов по математике и дополнительной математике 2017-2019 гг. Как я получил A * в A-Level Дальнейшая математика // В чем-то они очень похожи.1 Законы индексов и сурдов 2. Уровень A (Edexcel) Все вопросы уровня A, упорядоченные по темам. Великобритания) Обзор предмета (разделение курсовой работы/экзамена, тайминги, весовые коэффициенты и т. д.). Бесплатный пересмотр математики продвинутого уровня, прошлые работы и видео, которые помогут вам с экзаменами по математике A-Level. 10 стр. AQA A-Level Business Grade Booster 2022. Ежедневно минимум Цены и бесплатная доставка при соответствующих заказах Анализаторы экзаменов AQA Каждый семинар Grade Booster начинается с 10 Добавлены приложения с изложением . физики и в настоящее время учится на кандидата математических наук.Для каждой из приведенных ниже работ есть примечания к пересмотру, итоговые листы, вопросы из прошлых экзаменационных работ, разделенные по темам, и другие рабочие листы. Беспокоитесь о ревизии? Начните с наших интенсивных пасхальных курсов по физике уровня A. В 2022 и 2023 годах экзамен CFA уровня 1 будет проходить 4 раза: в феврале, мае, августе. В рамках своей роли в AST Лиза работала с рядом других школ, чтобы повысить их успеваемость по математике. Ресурсы сопоставлены с учебными планами по математике уровня A и высшей математике.Квалификационный номер: 603/1038/8. Я собрал следующую подборку отличных ресурсов, которые помогут вам подготовиться к экзаменам A Level. A Level A Level Maths Predicted Papers 2022 (Предварительная информация) 81 The Monster Bookshop является библиотекой, созданной в 2008 г., которая занимается продажей больших экономик для новых книг. Цель изучения статистики – развить навыки критического и аналитического мышления. Хотя рекомендации AQA кажутся немного общими, стоит отметить использование слова «проблема» в некоторых утверждениях.Наша высококачественная, но дешевая помощь в написании заданий очень гордится нашими профессиональными писателями, которые доступны для . 4 Электродные потенциалы и электрохимия . Дополнительная информация для AQA GCSE Религиоведение. Индексное число — это число, возведенное в степень. Этот учебник для учащихся, одобренный AQA, обеспечивает полную поддержку математики уровня A (спецификация 2017 г.). Поэтому Департамент образования (Ofqual) принял решение. 05. Учебные программы развивают глубокое понимание предметов и навыки независимого мышления.3 Simultaneous Equations 2. Подготовка к экзамену A Level Помогите своим учащимся точно управлять временем повторения, поскольку они встраивают Beyond в свой график подготовки к экзамену A Level. Заметки особенно полезны, если вы сохраняете их на свой телефон или планшет, чтобы ваши заметки всегда были с вами, где бы вы ни находились. среди них это математика уровня и дальнейшая математика для aqa и ocr, которые могут быть вашим партнером. письменный экзамен: 2 часа. 5 Полиномы 2. Последние 8 лет Лиза работала экзаменатором уровня A.8 функций 2. Уровень Дополнительная математика. 0: 0. Учебники по математике AQA A-Level и дополнительной математике | ЭкзаменРешения. Прошлые статьи полезны и продуктивны. Место, где шестиклассники могут поговорить с другими о работе, A-level, результатах, проблемах в образовании и общей жизни шестиклассников, а также о поступлении в университет и… Полная поддержка новой линейной спецификации AQA. 2. Доказательство. Книга была подготовлена ​​в консультации со старшим экзаменатором, чтобы обеспечить полное и авторитетное освещение модуля «Механика 2».Экзамены CFA 2022 и 2023, все даты и уровни | СОЛЕАДЕА. Фланаган. Exampro — это банк вопросов, содержащий тысячи вопросов по математике AQA GCSE и A-level, а также более 3500 вопросов KS2 и KS3 и банк вопросов по математике уровня 3 (базовый). Экзаменационная комиссия: Уровень AQA и предмет: Математика A-Level Первое преподавание: сентябрь 2017 г. Первые экзамены: июнь 2019 г. Эта книга CGP для учащихся 2-го класса по математике охватывает весь контент по чистой математике, статистике и механике, необходимый для второго года AQA A … Механика M1 является частью совершенно новой серии книг, соответствующих спецификациям AQA для математики уровня A, которые впервые будут преподаваться с сентября 2004 года.Эта книга поддерживает основные изменения в стиле оценивания. Пересмотренная предварительная информация по дальнейшей математике уровня A доступна для просмотра (177). В ходе изучения курса вы изучите различные психологические состояния, их причины и способы их лечения. Эта книга для учащихся была одобрена AQA и обеспечивает полную поддержку AQA. новый линейный уровень AS и для 1-го года полного уровня A. Предварительная информация об экзаменах 2022. 4 Математика уровня A Состоит из 6 модулей, из которых 3 или 4 являются модулями AS.Наша квалификация AS Level Mathematics A была разработана, чтобы предоставить учащимся последовательный курс обучения для развития понимания математики. Признанная на национальном уровне аккредитованная квалификация уровня A, которая является тем же курсом, который предлагается в школах и колледжах. (Прокрутите немного вниз и затем «Другие квалификации, предварительная информация». 30 a. Добро пожаловать на страницу пересмотра StudyWise A-Level. Мое расписание. AQA A-Level Дополнительная математика, год 1 (AS). что они могут рассуждать и применять математические методы при решении задач, используя ресурсы, разработанные специально для спецификации AQA специалистами-предметниками и MEI (Математика в образовании и промышленности).Раздел Revision Maths A-Level Maths Revision, где мы предоставляем бесплатные ресурсы по математике A-Level Revision, которые помогут вам с домашними заданиями по математике и экзаменами A-Level. Математика A-Level и дальнейшая математика. Твердые вещества в парообразном состоянии. Pearson Edexcel Level 3 Advanced GCE in Statistics (9ST0) Первое обучение в сентябре 2017 г. Первая сертификация в 2019 г. Выпуск 1 . Загружайте полные книги Aqa A Level Chemistry Year 1 And As Student Book PDF, EPUB, Tuebl, Textbook, Mobi или читайте онлайн Aqa A Level Chemistry Year 1 And As Student Book в любое время и в любом месте на любом устройстве.Студенческие повторные мастерские. (i. Примечания к пересмотру. Запись на обучение может быть организована на еженедельной основе. Пройдите этот уровень A всего за 12 месяцев. 4 апреля 2016 г. Единственная разница в средних требованиях для этих курсов — 1 балл GCSE. В случае с английским языком вы увидите, что совет состоит в сужении возможностей для раздела A документа 1, где жанр текста A будет новостной статьей, а жанр текста B — вводной главой поваренной книги, а для Бумага 2, раздел B, где жанр «Текст A»… Лучшие карточки для проверки математики уровня A для AQA, Edexcel, OCR, MEI и WJEC.Например, 2 5 означает, что вам нужно умножить 2 само на себя пять раз = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Вопросы взяты из экзаменационных работ до 2010 года. Добавить в корзину. Охватывает всю чистую математику, механику. A Level Математика A Level Медиа-исследования A Level Музыка A Level Органическая химия A Level Философия A Level … Найдите много отличных новых и подержанных вариантов и получите лучшие предложения для Aqa A Level Maths: A Level: Aqa A Level Maths 1-го и 2-го года вместе взятых Студент B. AQA является крупнейшей в Великобритании организацией, присуждающей экзамены GCSE и A Levels, поэтому у нас вы получите ту же академическую квалификацию, что и при обучении в школе или колледже.Информация об АК находится здесь. Уровни. Плюс 2 миллиона удовлетворенных клиентов, ноус предлагает актуальную игру и фантастическую игру на 500 000 ливров, включая старые редкие книги дю XIX века, в пользу последних бестселлеров! Si pour une raison quelconque vous … Уровень AQA по физике — бесплатные заметки по каждой теме, контрольные списки, прошлые бумажные экзаменационные вопросы для экзаменов уровня A и AS (новые спецификации 2015 г.). Эта книга для учащихся прошла процесс утверждения AQA.• включить как минимум двух в класс 5/B. Просмотреть профиль. Изменения в экзаменах 2021 и 2022 годов. Опубликовано 10 января 2022 г. Книга была подготовлена ​​в консультации со старшим экзаменатором, чтобы обеспечить полное и авторитетное освещение модуля «Механика 1». Шаг 1: Мы формулируем нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу: и. На All About Maths они доступны для Key Stage 3, GCSE, Core Maths, AS и A-level Maths, а также для некоторых устаревших квалификаций. выровняйте математику с правильного угла aqa, но перестаньте заниматься вредоносными загрузками.Купить AQA A Level Additional Mathematics Mechanics Жан-Поля Маската, Джонни Гриффитса (вклад) онлайн на Alibris. Продвинутая физическая химия (только для уровня A) / 5. Примечания к пересмотру по математике для уровня A. Показать больше информации. Пожертвовать. нет Предварительная информация Июнь 2022 г. A-level Mathematics 7357 Версия 1. Он побуждает учащихся анализировать ситуации, сообщать о решениях и действовать. МРАБ71. AQA ENGLISH LANGUAGE PAPER 1&2 2019 W/MARKSCHEME. Изучение этого курса даст вам хорошее понимание математических основ и будет основываться на ваших предыдущих знаниях по теме.Предварительная информация для экзаменов Edexcel, AQA, OCR и MEI GCSE и A Level Том пишет вопросы, чтобы ориентироваться на расширенную информацию AQA по математике A-Level и высшей математике. Этот раздел охватывает ряд областей обучения, включая чистую математику, дополнительную математику, механику и статистику. Этот ресурс содержит 15 вопросов более высокого уровня в стиле экзаменационных работ AQA GCSE. Репетитор по физике и математике. Математика уровня AQA: Чисто. Если вы не уверены, на каком уровне вы сидите, базовом или более высоком, проконсультируйтесь со своим учителем.Это предварительная информация по математике GCSE (8300). Прошлые работы по математике A-Level. 4 КБ) Сертификаты A-level, AS, Level 3, функциональные навыки и общее прикладное. Доступно 4 часа в неделю. AQA Psychology for A Level Year 1 & AS — Student Book R. 3. География AQA Alevel Примечания о цикле воды и углерода Последнее обновление документа: назад. 4 Неравенства 2. Оцените этот ресурс. Шкала оценок была заменена на 9-5 для новой спецификации. Требования для поступления в колледж. История A-level (7042), 2F Король-Солнце: Людовик XIV, Франция и Европа, 1643–1715 гг. История A-level (7042), 2G Рождение США, 1760–1801 гг. История A-level (7042), 2H … В чем-то они очень похожи.Газожидкостная хроматография (ГЖХ) используется для анализа: Газов. Банки решений. Международная дополнительная математика AS/A-level. Лето 2020 г.: оценки GCSE, AS и A level, расширенная квалификация проекта и награда Advanced Extension Award по математике. Что вы можете ожидать. Экзамен по математике уровня Вопросы по темам. Книга была подготовлена ​​в консультации со старшим экспертом, чтобы обеспечить полное и авторитетное освещение . Вот несколько ресурсов, которые помогут вам сдать экзамен по математике на уровне AS/A.Нажмите на темы ниже, чтобы просмотреть заметки и другие ресурсы: Рабочая тетрадь по физике AQA A-Level Year 2: Astrophysics; Поворотные точки в физике Джереми Полларда Мягкая обложка 5 фунтов стерлингов. Для 7-го класса типы тестовых вопросов: 28 февраля 2020 г. · 2019 г. Общая схема оценки английского языка A / L и лист ответов MCQ (новая и старая учебная программа) для всех средних учащихся продвинутого уровня в Шри-Ланке. 0 Final Mark Математика для уровня A и дальнейшая математика объясняются — AQA Математика для уровня A и дополнительная математика Новая математика для A-Level. 6 КБ). Они присуждаются AQA и Edexcel, двумя крупнейшими поставщиками академических квалификаций в Великобритании.Поиск. За более чем 7 лет работы специалистом по вступительным экзаменам и репетитором по истории Рахул успешно подготовил учащихся ко всем элементам процесса поступления 7+, 11+ и 13+ в лучшие лондонские школы, включая Dulwich College, Alleyn’s, City of London, JAGS и Бьют Хаус. GCSE, уровень A, чистый, механика, статистика, дискретный — если это на экзамене по математике, Пол об этом узнает. С нами Aqa A Level Art And Design Essay вы находитесь под контролем Aqa A Level Art And Design Essay. Плюс 2 миллиона удовлетворенных клиентов, ноус предлагает актуальную игру и фантастическую игру на 500 000 ливров, включая старые редкие книги дю XIX века, в пользу последних бестселлеров! Si pour une raison quelconque vous … (03.10.2022) JCQ и экзаменационные комиссии опубликовали уведомление о выставлении оценок и модерации NEA (внеэкзаменационной оценки) в свете объявленных мер по выставлению оценок учащимся, сдающим экзамены этим летом .1 Доказательство 1. Приложение Maths Made Easy поможет вам эффективно подготовиться к экзаменам по математике A Level. Самюэль-Луи — опытный, привлекательный и чрезвычайно квалифицированный преподаватель и репетитор. · Длинные и короткие вопросы. OT1: Математические рассуждения, язык и доказательство (стр. 11) OT2: Решение математических задач (стр. 11) OT3. Ниже приводится содержание курса и структура экзамена. 1, создано 11 марта 2022 г. Просмотр файлов. Полные подробные заметки обо всех круговоротах воды и углерода в географии Alevel.Этот фантастический набор для 1-го и 2-го года обучения OCR A-Level Maths содержит: OCR A-Level Maths Complete Revision & . Дата начала утверждения финансирования. Фильтруйте вопросы быстро и легко, используя инструмент поиска. Центр экзаменов уровня для частных кандидатов. Для получения дополнительной помощи и поддержки, пожалуйста, свяжитесь с нами. Статистика далее делится на две ветви: Описательная статистика: она имеет дело с графическим описанием набора данных. У нас есть новые и бывшие в употреблении копии в 1-м издании по цене от 14 долларов. Банки вопросов.Помощь и поддержка квалификации по математике AS и A-level от AQA. 12. Квалификации уровня AS и A в 2022 году: . Доступно 4 часа в неделю AQA A Level Sociology Book One, включая AS Level R. Flanagan, D. Revision. 49. Этот курс является частью серии тематических занятий, предназначенных для учителей (и будущих учителей) AQA Level 2 Additional Maths для поддержки как предметных знаний, так и педагогики в следующих областях: исчисление; изучение матриц; Учителя могут записаться на любое количество этих тематических занятий.Эти списки тем определяют ключевые области учебной программы, которые учащиеся должны пересмотреть, а учителя должны сосредоточиться на них. 6 фунтов. Cambridge International AS и A Level Mathematics (9709) PapaCambridge предоставляет Cambridge International AS и A Level Mathematics (9709) последние прошлые статьи и ресурсы, которые включают учебный план, образцы, вопросники, схемы оценок, буклет с ресурсами, часто задаваемые вопросы, ресурсы для учителей и многое другое. . Вопросы состоят из двух разделов, 76 баллов: смесь вопросов с короткими и длинными ответами и 15 баллов: вопросы с расширенным ответом.На протяжении большей части своей истории уровни A сдавались на «терминал». 91 балл. До 3. 0: 4. Предварительная информация Июнь 2022 г. Сертификат уровня 2 по дополнительной математике (8365), версия 1. Бизнес — AQA 7132. Химия уровня A Вопросы прошлых статей по темам для AQA Резюме изменений Pearson Edexcel уровня 3 Advanced GCE по математике, выпуск 4 Спецификации Обзор изменений, внесенных между предыдущим выпуском и текущим выпуском экзамена по математике Aqa Gcse Дата экзамена 00. Для некоторых квалификаций мы внесли другие изменения , такие как необязательность, изменения в неэкзаменационной оценке (NEA) и требованиях к полевым работам и .Вы можете увидеть описание AQA здесь, на пробных анализаторах GCSE. Купите новую рабочую тетрадь по математике AQA по математике (включая ответы) (CGP A-Level Maths) от CGP Books, CGP Books (ISBN: 9781782947417) в книжном магазине Amazon. Кембриджские международные уровни AS & A. Предварительная информация Июнь 2022 г. Дополнительная математика уровня A 7367 Версия 1. 2 Доказательство от противного. Результаты экзамена Advanced Subsidiary Level. AQA Psychology for A Level Year 2 — Student Book C. AQA A-Level & AS-Level Mathematics (7357 и 7356) прошлые экзаменационные работы и схемы выставления оценок.Доступен в форматах PDF, EPUB и Kindle. Плюс 2 миллиона удовлетворенных клиентов, ноус предлагает актуальную игру и фантастическую игру на 500 000 ливров, включая старые редкие книги дю XIX века, в пользу последних бестселлеров! Si pour une raison quelconque vous … AQA A-level English Lang Autumn Exam 7702 P 1,2, 5/9 октября 2020 г. — Обсуждение экзамена Даты выпускных экзаменов по английскому языку AQA GCSE English Language 8700 — Документ 2 — 07 июня 2019 г. Предварительная информация для Математика A-level доступна для просмотра (183.Скачать Aqa Level Chemistry Year 1 And As Student Book Book PDF. Опубликовано Предварительное расписание экзаменов на уровень A на 2022 год, и вы можете просмотреть обновленную информацию здесь: Расписание экзаменов на уровень 2022 года. Обратите внимание: последние объявления о COVID-19 и информацию для частных кандидатов см. на нашей странице с рекомендациями по COVID-19 или в разделе последних новостей, где мы будем держать вас в курсе. Она преподает математику уровня A более 20 лет, за это время она была аккредитована как преподаватель продвинутых навыков благодаря выдающимся успехам своих учеников.В Великобритании экзамены A-Level традиционно сдают 17-18-летние после двухгодичного курса. переполнение … НАБОР Шпаргалок по AQA-БИОЛОГИИ A-LEVEL. Математика — AQA 7357. Наш онлайн-курс по математике AQA A-Level — это строгий, сложный и полезный курс, который знакомит вас с передовыми концепциями математики. Математика помогает нам предсказывать будущее с помощью анализа рассуждений, создавать графики, чтобы понять поведение акций и валют. Книга была подготовлена ​​в сотрудничестве со старшим экзаменатором, чтобы обеспечить полное и авторитетное освещение модулей Pure Core 1 и Pure Core 2.35% уровня А. Страница 1 / 8. 5 . AQA A-Level Biology — это обширный курс для изучения. Его младший брат, A-Level Maths, тоже довольно сложен. Механика M2 является частью серии книг, которые соответствуют спецификациям AQA 2005 года по математике A-level. только для CHEM 120) ARCH MATHS 2007 – настоящее время h3 Maths 9740: Статьи 1 и 2 MATH 140, MATH 141 и MATH 203 ARCH, EN, MG 2007 – настоящее время h3 Maths 9740: Статьи 1 и 2 MATH 140 и MATH 141 2010 – настоящее время h2 Maths 8864: Papers 1 and 2 MATH 122 AG, ARCH, A&S, EN, NU, SC PHYSICS 2010 — настоящее время h3 Physics 9646 PHYS 101 и PHYS 102 … Структура экзамена по биологии уровня.Урок начнется в течение +/- 5 минут от запланированного начала. Плюс 2 миллиона удовлетворенных клиентов, ноус предлагает актуальную игру и фантастическую игру на 500 000 ливров, включая старые редкие книги дю XIX века, в пользу последних бестселлеров! Si pour une raison quelconque vous… исследование в любом случае. К ним относятся вопросы по правилу синуса, правилу косинуса и использованию формулы Площадь = 1/2absinC. Решение дифференциальных уравнений означает нахождение связи между y и x только путем интегрирования.BTEC Level 3 National Health and Social Care: Student Book 1 N. Вступительное предложение доступно до июня 2022 г. по цене 25 фунтов стерлингов в час* 30 фунтов стерлингов в час. 5. Экзаменационная доска Маллена: Уровень AQA: Расширенная учебная программа. Посмотреть продукт Добавить в мой список желаний. AQA УРОВЕНЬ A ИСТРОЙ БРИТАНСКАЯ ИМПЕРИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ Создатель карточек: Лукас Эрлих. • включить английский язык – минимальный балл 4/C. 99. Нацельтесь на успех в AQA Level Mathematics с помощью этой проверенной формулы для эффективного структурированного пересмотра; охват ключевого содержания и многочисленные проработанные примеры в сочетании с экзаменационными вопросами и вопросами с несколькими вариантами ответов создают руководство по пересмотру, на которое учащиеся могут положиться при проверке, закреплении и проверке своих знаний.Все наши курсы A-Level являются полностью аккредитованными квалификациями, признанными во всем мире. Математика уровня для AQA Student Book 2 (Year 2) Стивена Уорда и Пола Фэннона (Cambridge University Press, ноябрь 2017 г.) ISBN-13: 9781316644256; Вам понадобится продвинутый научный калькулятор, такой как Casio fx-991EX ClassWiz. 1 ноября 2021 г. • достигнута как минимум оценка 4/C. Загрузите дополнительную информацию здесь. Предварительная информация об экзаменах 2022: как получить подробную информацию об экзаменах A-level и GCSE в AQA, OCR и Edexcel Публикация предварительной информации об экзаменах A-level и GCSE предназначена для помощи студентам.): И математика, и дополнительная математика на уровне A не имеют элемента курсовой работы. Уровень A (Advanced Level) — это предметная квалификация, присваиваемая как часть Общего аттестата об образовании, а также квалификация по окончании школы, предлагаемая органами образования в Соединенном Королевстве и органами образования зависимых территорий Британской Короны учащимся, окончившим школу. среднее или довузовское образование. Улучшите свою покупку. с 30 до 18 часов; пожалуйста, перейдите к Сессии 1 … Психология уровня «А» — AQA.Учителя могут использовать этот ресурс на обычных уроках, на повторных уроках или для оценивания в конце темы. 15 февраля 2022 г. В Великобритании экзамены A-Level традиционно сдают 17-18-летние подростки после двухлетнего обучения в шестом классе или колледже. Ресурсы для студентов, изучающих математику уровня AS/A. Четыре устройства полностью поддерживают новую линейную спецификацию AQA. со штатным экспертом по математике Грэмом Каммингом, мы будем доступны лично, в Интернете и по всему миру. 0: 2. Заметки о пересмотре, ключевые моменты, рабочие листы и вопросы по темам из прошлых статей.Поскольку стиль оценки не меняется, унаследованные документы AEA остаются ценным ресурсом. Лиддл, К. . AQA A-Level Psychology — увлекательный и интересный предмет. первоцвет. Перетащите вопросы в новый документ. Предметное содержание, которое требуется для спецификаций уровня AS и A по математике. A-Level Chemistry: OCR B Year 1 & 2 Complete Revision & Practice with Online Edition (CGP A-Level Chemistry) Мягкая обложка — 13 августа Плюс 2 миллиона удовлетворенных клиентов, ноус предлагает актуальную фантастическую игру на 500 000 жизней старые редкие книги дю XIXe siècle aux favouris de votre enfance en passant par les derniers бестселлеры! Si pour une raison quelconque vous … 19 января 2021 г. — Новые ресурсы Кембриджского курса по математике и дополнительной математике A Level 2017 помогают учащимся в обучении и повторении.A-Level Maths OCR: полный набор для повторения и экзамена — 1-й и 2-й классы. Банки решений для A-level Maths. Также предлагает прошлые работы и экзаменационные вопросы по темам для Edexcel и OCR. 9 Преобразование функций 2. Полная спецификация и материалы для оценки образцов доступны на веб-сайте AQA. Полный охват как обязательного содержания (далее чистого), так и всего дополнительного содержания (механика, статистика и дискретная математика). Core Maths C3+C4 является частью серии книг, соответствующих спецификациям AQA 2005 года по математике A-level.Раздел 16 — Дальнейшее чистое 1. Предварительная информация – найдите изменения для вашего предмета. Это предварительная информация по математике уровня A 7357. Печать файлов. Даты экзаменов по математике GCSE AQA AQA Core Pure 2 — 6 июня 2019 г. [Обсуждение экзамена] AQA AS Математика (старая спецификация) — Механика 1 Границы оценок AQA по математике? показать еще 10 Могу ли я сдать GCSE по высшей математике? У меня есть много ресурсов A-level и GCSE по математике и дополнительной математике. Просто просмотрите библиотеки ресурсов и щелкните значок любого файла PDF, который вы хотите открыть.как и уровень физики — PDF Скачать Бесплатно. Помощь и поддержка. Ягода. Раздел статистики A-Level Revision Maths охватывает: гистограммы и кумулятивную частоту, средние значения, меры дисперсии, диаграммы прямоугольников и усов, вероятность, линейную регрессию, асимметрию, коэффициент корреляции момента продукта, дискретные случайные величины, ожидание и дисперсию, дискретность. Награждающая организация: AQA Education. (24) В наличии осталось 1 штука — заказывайте скорее. 1. Окончательная оценка в конце 13-го класса присуждается исключительно за результат в 3×2 часа (равновзвешенные .AQA – дополнительная математика, уровень А; AQA – Дополнительная математика, AS; OCR – Математика А, Далее, AS и уровень А; OCR – Математика B (MEI), Далее, AS и уровень A Детали дополнительной информации https://www. У нас есть новые и бывшие в употреблении копии в 1-м издании по цене от 48 долларов. Основная цель — помочь вам эффективно использовать время на доработку. Пол — страстный поклонник четких и красочных заметок с увлекательными диаграммами — это одна из многих причин, по которым он рад стать членом команды SME.уровень математики под прямым углом aqa находится рядом в нашей электронной библиотеке, онлайн-вход в нее установлен. Информация Предварительная информация об экзаменах. для статей 1, 2 и 3. Ниже приведены рабочие листы Соломона из Churchill Maths. Прошлые работы Cambridge International AS и A Level … Код спецификации: h340. Мы будем поддерживать использование этой модели на протяжении всего вашего курса. Модуль 13 — Pure Core 2. Переход на уровень A: основные навыки. Ресурсы по математике уровня AS и A — скидка на калькуляторы Casio Мы работаем с Casio, чтобы предоставить вам специальную скидку на две модели их калькуляторов: расширенный научный калькулятор FX-991EX и графический калькулятор FX-CG50.Доступен 1 ​​час в неделю. Вестергорд. Больше информации. Введение . Статус: одобрен. 2 КБ) Расписание экзаменов на май/июнь 2022 г. (1008. Некоторые общие примечания: все советы представили информацию в (приблизительно) порядке спецификации. Получите те же аккредитованные AQA квалификации GCSE или A Level, что и в школе, все онлайн. Подходит для: Учителей математики средней школы и студентов, изучающих математику более высокого уровня Цена: 47 фунтов стерлингов Обязательные модули AQA GCSE Mathematics (8300) прошлые экзаменационные работы и схемы выставления оценок, прошлые работы AQA можно бесплатно скачать для использования в качестве практики на экзаменах .Узнать больше. Опубликовано 18 декабря 2014 г.: A Level Mathematics for AQA Student Book 1 (AS/Year 1) Пола Фэннона (2017 г., торговля в мягкой обложке) по лучшим онлайн-ценам на eBay! Бесплатная доставка многих товаров! Мгновенная загрузка. Июнь 2017 г. QP — Paper 2 AQA English Language GCSE. 98 с этим комплектом. Общее давление является суммой частичных … Математические исследования уровня 3 (базовая математика) Математические исследования уровня 3 — это квалификация, разработанная для учащихся, получивших 4 балла или выше на GCSE.00 ISBN: 978-0-19-841291-5 Дата публикации: 11.08.2018 Мягкая обложка: 1,216 … Справочная информация 1 Спецификации расширенного дочернего и расширенного уровней 6 . Информация о записях за ноябрь 2021 г. (GCSE), январь 2022 г. (уровень AS/A) и май/июнь 2022 г. (уровень GCSE и AS/A). Год. 89. Рабочие листы предназначены только для индивидуального использования. Как вы знаете, пандемия повлияла на курсы GCSE в последние два года. Pearson Education не несет никакой ответственности за точность или методы работы с данными ответами.A-level PSYCHOLOGY 7182/3R Paper 3 Проблемы и варианты психологии Схема оценок Ноябрь 2020 г. Версия: 1. Летучие жидкости. Продвинутый уровень «Дополнительная математика» часто выбирают студенты, желающие получить степень по математике в … GCSE Maths Topics 2022. Скачать ресурсы для студентов Бесплатные электронные книги Поиск: Изменить название Название книги Ссылка Danishwar Рана Танвир Аламгир Скачать Бухгалтерский учет Cambridge International AS и A Level Accounting, Ian Harrison, Hodder Education Загрузить Cambridge International AS/A level Revision Guide, 2nd Edition, Ian Harrison, Hodder Education Загрузить Frank Wood’s Business… University of Leicester A100 2022 Entry Official Лондонская школа экономики Абитуриенты 2022 Тема Official Cambridge Абитуриенты 2022 г. Тема AQA A-level MATHEMATICS 7357/2 Paper 2 Схема оценки Июнь 2020 г. Версия: 1.AQA A-Level Mathematics — полезная и универсальная квалификация. 1 Измерения и их погрешности. Курсовая работа часто является ключевой частью FSMQ, но иногда ее опускают в зависимости от экзаменационной комиссии. 1* Из-за продолжающегося воздействия пандемии Коронавируса (COVID-19) мы предоставляем предварительную информацию об основных направлениях экзаменов в июне 2022 года, чтобы помочь учащимся повторить. Найдите прошлые документы, спецификации, ключевые даты и все остальное, что вам нужно для подготовки к экзаменам. 4 . Шаг 3: Вычислите статистику теста.Управляется @MEIMaths Advanced Mathematics AQA/Exedel GCSE level 9. В феврале 2022 года экзаменационные комиссии AQA, Edexcel, OCR и WJEC опубликовали сокращенные списки тем для экзаменов по математике GCSE 2022, называемые предварительной информацией. Для нового уровня A я использую расширенный научный калькулятор CASIO FX-991EX. 00 – 300 фунтов стерлингов. Предварительная информация по предметам искусства и дизайна не публикуется, поскольку они не оцениваются на экзамене. Предметная область сектора: Математика и статистика. Наши киносеминары разрабатываются и проводятся опытными преподавателями и ведущими экзаменаторов, каждый из которых глубоко понимает, на чем нужно сосредоточиться учащимся, чтобы успешно сдать экзамены 2022 года.Этот учебник для учащихся, одобренный AQA, обеспечивает полную поддержку математики уровня AS и 1-го года полного уровня A (спецификация 2017 года). С тех пор мы работаем с экзаменационными комиссиями, чтобы этим летом можно было выставлять оценки за GCSE, AS, A level, EPQ и AEA, чтобы облегчить переход учащихся в шестой класс колледжа. Подходит для: учителей математики средней школы и студентов, изучающих математику уровня A. Цена: 30 фунтов стерлингов. Спецификация Aqa как уровневые экзамены — 2020 AQA недавно выпустила расширенную информацию для экзаменов A-level в июне 2022 года, и для социологии A-level это означает, что учащимся нужно сообщить, что (это разумное предположение, поскольку спецификация относительно новая, хотя и устарела на 20 лет, как это часто бывает с социологией уровня AQA).Полезно для: Суммарное дифференциальное уравнение – любое уравнение, которое включает или любую более высокую производную. IB Математика SL. Модуль 11 — Краткое содержание предмета. Математика A-Level является жизненно важным предметом, если вы хотите поступить в университет, чтобы изучать инженерное дело, медицину или другие научные дисциплины. Этот учебник написан аналогично книге Нельсона Торнса. AQA выпустила несколько полезных рекомендаций о том, чего ожидать от экзаменов A-level этим летом. В этом разделе рассматривается пересмотр индексов. Decision Maths D1 является частью серии книг, соответствующих спецификациям AQA 2005 года по математике A-level.Здесь вы найдете краткий обзор со ссылками на различные экзаменационные комиссии, учебные пособия и прошлые работы по математике. AQA A-Level Physics Revision. Написано для AQA AS/A Level Additional Mathematics Specifications for first … Последние твиты от AMSP — Advanced Mathematics Support Program (@Advanced_Maths). AQA Psychology for A Level Year 2 — Студенческая книга в мягкой обложке — 11 апреля 2016 г. (Клара Фланаган), уровень 1. Сначала мы определяем тест, который будет использоваться. Муни, К. Сэкономьте 5 фунтов стерлингов. Математика уровня A (включая экзамен) Ключевые моменты.Любой контент из тем 1–4, включая соответствующие практические навыки. География AQA A-Level Water and Carbon Notes. Наше понимание того, как функционируют биологические системы, быстро развивалось в последние годы, и в этом направлении есть много интересных возможностей для дальнейшего изучения в университетах и ​​исследований. Мы также можем обслуживать большинство экзаменов уровня A. Наши экзаменаторы изучили прошлые статьи по математике уровня A и списки тем Edexcel Advance Information, выпущенные в феврале 2022 года, используя эти файлы .Выдержка из книги: Новые ресурсы по математике и дополнительной математике Cambridge A Level 2017, которые помогут учащимся в обучении и повторении. Продвинутая математика для AQA/ Продвинутая математика для AQA: математика принятия решений. БЕСПЛАТНЫЕ примечания к пересмотру химии по термодинамике (только уровень A). Он содержит всю механику, которую учащиеся должны знать для уровня AS… Добейтесь успеха в AQA A Level Mathematics с помощью этой проверенной формулы для эффективного структурированного повторения; охват ключевого содержания и многочисленные проработанные примеры в сочетании с экзаменационными вопросами и вопросами с несколькими вариантами ответов создают руководство по пересмотру, на которое учащиеся могут положиться при проверке, закреплении и проверке своих знаний.Этот печатный учебник для учащихся, написанный для спецификаций AQA AS/A Level Additional Mathematics для первого обучения с 2017 года, охватывает обязательное содержание для AS и первого года A… Level 3 Advanced GCE по бухгалтерскому учету: AQA Education: GCE A Level: Level 3 Диплом компьютеризированного бухгалтерского учета для бизнеса (RQF) (добавлен в ноябре 2021 г.). уровень 2. Газовая хроматография. Бумага 1. Промежуточный уровень эквивалентен GCSE по математике. 3 волны. 4 февраля 2022 г. — Новые ресурсы Cambridge A Level Math и Additional Maths 2017 года помогают учащимся в обучении и повторении.устаревшая спецификация AQA Statistics 6380. Наберите до 56 баллов UCAS, чтобы получить место своей мечты в университете. Достигайте более высоких оценок с меньшим стрессом Наша интеллектуальная платформа обеспечивает высококачественную персонализированную поддержку, которая более эффективна, чем частное репетиторство, доступное 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, за небольшую часть стоимости. наш онлайн-курс A level Maths Edexcel или AQA или OCR, включая чистую математику, механику и статистику, имеет чрезвычайно важное значение, поскольку он является неотъемлемой частью огромного количества степеней и областей.Не нужно ждать начала семестра — вы можете зарегистрироваться сегодня и начать обучение, как только будете готовы. Создавать. pdf из PSYCH RESEARCH P в Fortis College. ВАЖНОЕ НАПОМИНАНИЕ: мы не предлагаем прогнозируемую или центральную оценку … Теперь мы выполняем вышеуказанные шаги, чтобы прийти к выводу. Aldworth View AQA-7182_3-W-MS-Nov20 (1). Название предмета — Математика уровня Какая спецификация экзамена изучается для этого курса? AQA Уровень математики 7357 Почему я должен изучать этот курс? Математика A-level предлагает учащимся с хорошим пониманием математики возможность изучать ее на более высоком уровне.Математика — продвинутый, вспомогательный и продвинутый, 2014. Квалификационный номер: 60318417. 4 КБ). Купить AQA A-Level Math Practice Test Papers от Letts A-Level онлайн на Alibris. Любой контент из тем 5–8, в том числе . Математика | Физика. Это предварительная информация для A-level Additional Mathematics 7367. Модуль 15 — Pure Core 4. Социологическая работа A уровня 1 (AQA) — как ответить на 4/6 баллов «план», метод в контексте, 30 баллов эссе и 10 баллов теория и методы вопросы. Психология AQA Level Advanced Key Stage 5.Существует дополнительная поддержка для студентов, готовящихся к STEP, MAT или другим сложным экзаменам по решению проблем. Модуль 17 — Дальнейшее чистое 2. Он содержит всю механику, которую учащиеся должны знать для изучения математики на уровне A или для второго года обучения на уровне A. Синопсис. Этот веб-сайт и его содержимое регулируются нашими Условиями использования. что серия экзаменов GCSE, AS и A level летом 2020 года будет отменена, поскольку статистика является разделом математики, используемым для сбора, анализа, интерпретации и представления данных.Они очень всеобъемлющие, у нас есть не только файлы . Документ A-Level 3: Принципы и проблемы экономики (7136/3) Написанный для спецификации AQA AS/A Level Additional Mathematics для первого обучения с 2017 года, этот печатный учебник для учащихся и издание Cambridge Elevate охватывает обязательное содержание для AS и первого года обучения. Уровень. Место, где шестиклассники могут поговорить с другими о работе, A-level, результатах, проблемах в образовании и общей жизни шестиклассников, а также о поступлении в университет и… Математике — AQA 7357.Предварительная информация Июнь 2022 г. GCSE Mathematics (8300) Версия 1. Модуль 18 — Дальнейшее чистое 3. Купить сейчас. 4000+ экзаменационных вопросов. com/pages/advance-information-for-2022-examsПланировщики учебы https://www. Включает экзамены AQA для получения квалификации A Level по математике. АККА. Уэбб, Х. Даты экзаменов по математике GCSE в 2020 г. — AQA OCR Edexcel WJEC CCEA. · Существуют все типы вопросов, от одиночных оценок до вопросов с длинным ответом, которые требуют выполнения нескольких шагов. Распознавать основные математические структуры.1). : Дальнейшая математика уровня для AQA Пола Фэннона и Стивена Уорда (2019 г., торговая книга в мягкой обложке / электронная книга, студенческое издание, расширенное издание) по лучшим онлайн-ценам на eBay! Бесплатная доставка многих товаров! Книжный магазин Monster является открытой библиотекой в ​​2008 году, которая предлагает доступ к крупным экономиям на новых книгах. У нас есть новые и бывшие в употреблении экземпляры, в 1 редакции — … Какой уровень курса? Эквивалент дипломов 3-го уровня, программы повышения квалификации в США, аттестата зрелости.Уровень A и уровень AS Искусство и дизайн В эти предметы были внесены другие изменения вместо предварительной информации, например, предоставление школам выбора тем для обучения учащихся. Привлекательный визуальный стиль и тон, призванный мотивировать и упрощать учащихся, помогут вам пройти курс AS или Year 1, а также помогут подготовиться. Пучок. Экзамен (разработки) — Практическая работа Gcse по высшей математике 2 . Следующие ресурсы не написаны для предварительной информации, но могут быть полезны, если вы ищете по теме математики уровня A и дополнительной математики: Тематические тесты AQA для математики и дополнительной математики; Руководство по доставке OCR A и контрольные тесты Дополнительная математика уровня A: дополнительная информация, июнь 2022 г. — дополнительная математика уровня A (7367) (aqa.Обычно мы ожидаем, что абитуриенты получат хорошие результаты GCSE как минимум по шести предметам, которые должны: • продемонстрировать пригодность для обучения на продвинутом уровне. Нажмите здесь, чтобы ознакомиться с материалами для предварительных экзаменов на лето 2022 года. Развивайте свои навыки решения проблем. Вы можете распечатать файл, щелкнув правой кнопкой мыши значок рядом с именем ресурса и выбрав «Цель печати». Количество вопросов — 30. Силы, вероятности, алгебра и векторы — это лишь некоторые из тем, в которых вы станете экспертом! Математика A-Level развивает ваше критическое мышление, способность решать проблемы и аналитические навыки… Из-за воздействия Коронавируса (COVID-19) в 2022 году будут внесены некоторые изменения в порядок оценивания математики A-level.Примечания к выпуску GCSE Примечания к пересмотру IGCSE Примечания к пересмотру уровня A Биология Химия Физика Математика 2022 . Курсы для GCSE, A-level и поступления в университеты. Промежуточные блоки в начале каждой главы обеспечивают идеальный трамплин для помощи учащимся при переходе от GCSE. Щелкните здесь, чтобы загрузить версию этого файла для Powerpoint. Краткое резюме… Что такое дополнительная информация. Степень, также известная как индекс, говорит вам, сколько раз вы должны умножить число само на себя.по лучшим онлайн-ценам на eBay! Бесплатная доставка многих товаров! Экзаменационная комиссия: Уровень AQA: Уровень AS/A Предмет: Математика Первое преподавание: сентябрь 2017 г. Первый экзамен: июнь 2018 г. Утверждено AQA Дайте учащимся уверенность в том, что они могут определять связи между темами и применять свои рассуждения к математическим задачам, чтобы развить более глубокое понимание математических понятий и их приложений, с ресурсами, разработанными с помощью … AQA GCSE Maths Past Papers — Revision Maths. Признавая проблемы, с которыми сталкиваются учителя и учащиеся во время пандемии COVID-19, мы внесли изменения в порядок проведения экзаменов для учащихся, сдающих экзамены в ноябре 2021 года, январе 2022 года и мае/июне 2022 года.Загрузите дополнительную информацию здесь AQA-уровень математики и дополнительные видеоуроки по математике, а также прошлые статьи, охватывающие чистую математику, статистику и механику для спецификации Core Maths C3 + C4, являются частью серии книг, которые соответствуют спецификациям AQA 2005 года для математики A- уровень. Предварительная информация Июнь 2022 г. Биология A-level (7402), версия 1. Написанная для спецификаций AQA AS/A Level Additional Mathematics для первого обучения с 2017 г., эта печатная книга для учащихся охватывает обязательное содержание для AS и первого года A Level.Используя предварительные заметки, предоставленные экзаменационными комиссиями AQA, OCR и Edexcel, наша команда подготовила ряд контрольных списков и тематических материалов, которые информируют студентов о типе . Дополнительная информация. аква. с четырьмя сессиями, представленными на экране кинотеатра . Во время учебы вы будете изучать биологические молекулы, генетическую информацию и передачу энергии. Они были введены в Англии… Advanced Level (A-Level) Статистика. Включены ли экзамены? Нет, вы должны заказать их отдельно.Уровень: Уровень 3. 74 карты – 4 колоды – 1 ученик. Что такое дополнительная информация. 85 5 Используется от 41 долл. США. На этой странице вы найдете полный набор конспектов уроков по программе A Level Math, преподаваемой с сентября 2017 года. Онлайн AQA A-Level Mathematics. Это бросает вызов наиболее способным математикам, которые намереваются получить степень, связанную с математикой. 0 Окончательная схема оценки. Старая спецификация AQA — последний экзамен май/июнь 2019 г. 53 доллара США. Для доступа ко Всему о математике, который предназначен для учителей, которые предлагают, или .Психология A-Level — бесценная квалификация, которая имеет широкий охват. Частичное давление. Эта квалификация является строгим вторым A-level по математике. 6 Rational Expressions 2. Базовая математика C1-C2 является частью совершенно новой серии книг, соответствующих спецификациям AQA для математики уровня A, которые впервые будут преподаваться в сентябре 2004 года. Учащиеся обычно изучают уровни A в течение двухлетнего периода. . Книга была подготовлена ​​в сотрудничестве со старшим экзаменатором, чтобы обеспечить полное и авторитетное освещение модулей Pure Core 3 и Pure Core 4.Как… Новые ресурсы Кембриджского курса математики A Level 2017 и дополнительной математики, чтобы помочь учащимся в обучении и повторении. Советы и подсказки для ответа на AQA’s Sociology A Level Paper 1 Education with Theory and Methods (7192/1). AMSP — это проект, финансируемый DfE, который направлен на расширение участия в углубленной математике и улучшение преподавания квалификаций уровня 3. Они дают баллы UCAS и помогают поступить в университеты на международном уровне или для … Cambridge International A Level Mathematics развивает набор передаваемых навыков.Я давно являюсь поклонником экзаменационных анализаторов AQA. Этот раздел включает недавние статьи по математике A-Level, дополнительной математике и статистике от AQA, Edexcel, OCR, WJEC, CCEA и CIE. 84. 2 — AS Unit F321 — Атомы Уровень A OCR, химический модуль 2. 00 – £ 380. Прошлые статьи AQA по математике A-Level и AS Level можно загрузить бесплатно. 0: 3. Квалификационный код AQA: 7357. Модуль FSMQ на продвинутом уровне примерно эквивалентен одному модулю AS, в котором кандидаты получают 10 баллов UCAS для оценки A.Эта печатная книга для учащихся, написанная для спецификаций AQA AS/A Level Mathematics для первого обучения в 2017 году, охватывает содержание AS и первого года A Level. Эта книга для учащихся, написанная ведущими авторами психологии Карой Фланаган, Дэйвом Берри, Мэттом Джарвисом и Робом Лиддлом, была одобрена AQA и предлагает высококачественную поддержку, которой вы можете доверять. Парциальное давление обозначается символом p, поэтому для газа X оно записывается как p X. Бумага 2. Масштаб 100%. 0: 1. Перейти к содержимому. В случае с математикой вы увидите, что совет состоит из списка тем, которые будут «основным фокусом» вопросов в каждой экзаменационной работе на базовом или более высоком уровне.м. Дальнейшая основная чистая математика. Найдите всю информацию, поддержку и ресурсы, необходимые для реализации нашей спецификации. Книжный магазин Monster является открытой библиотекой в ​​2008 году, которая предлагает доступ к крупным экономиям на новых книгах. Алгебра и функции. (0) 9 фунтов стерлингов. . Контроль версий за март 2022 г. (115. Этот раздел также включает прошлые статьи SQA Higher и Advanced Higher. В будущем мы добавим к ним дополнительные ресурсы. Доступно 4 часа в неделю. На этом занятии рассматриваются требования курса AQA Level 2 Additional Maths. , и рассматривает педагогические подходы к этой теме.Эти занятия направлены на развитие навыков решения проблем, которые являются ключевым направлением математики уровня A и высшей математики. Прогнозные работы по математике уровня A 2022 (предварительная информация) Прогнозные работы по математике уровня MME A на 2022 год — отличный способ попрактиковаться в использовании аутентичных вопросов в стиле экзамена, которые являются уникальными для наших работ. Контрольный список по математике для уровня — Студенческая комната AQA Краткая характеристика уровня по физике. AQA A-Level Economics Sample Papers (7136) A-Level Paper 1: Markets and Market Failure (7136/1) Download Past Paper — Download Mark Scheme.Экзамены уровня GCE Advanced Subsidiary (AS) и Advanced (A) для внешних кандидатов. Бумага A-Level 2: Национальная и международная экономика (7136/2) Загрузить прошлую статью — Загрузить схему оценок. Они… Наивысшая достижимая оценка — A. Она содержит всю чистую математику, которую учащиеся должны знать для второй половины A … Контрольный список расширенной информации Gcse Группа по изучению географии уровня A 2022 Я провалил свои AS, что теперь? AQA A Level Geography Paper 1 1876253 — 27 мая 2022 г. [Экзаменационный чат] AQA A Level Geography Paper 2 1876284 — 8 июня 2022 г. [Exam Chat] Мягкая обложка.файловый магазин. Учащиеся могут быть не уверены в некоторых областях спецификации экзамена или могут даже пропустить другие части. Когда я могу начать? В любое время. Учреждения, желающие их использовать, должны приобрести лицензию у Churchill Maths. Разработано учителями SAVE MY EXAMS для программы AQA A Level Chemistry. Математика A-Level является жизненно важным предметом, если вы . Нажмите здесь, чтобы загрузить PDF-версию этого файла. 37 8 Новинка от $51. Индексы. Ваш онлайн-курс AQA A-Level Accounting будет сопровождаться полной поддержкой преподавателя на протяжении всего обучения.К ним относятся умение работать с математической информацией, а также способность логически и независимо мыслить, учитывать точность, математически моделировать ситуации, анализировать… Поддержка GCSE и A Level Maths: практические документы, учебники, рабочие листы и учебные ресурсы, которые применимы для AQA, Edexcel и OCR. Документы… Посмотреть AQA-7402-AI-22. Общий сертификат об образовании (GCE) Advanced Level, или A Level, является основной квалификацией по окончании школы в Англии, Уэльсе, Северной Ирландии, Нормандских островах и на острове Мэн.Описание. Комплект для экономии денег. uk Новая спецификация математики уровня AQA A вступила в силу в 2017 году, а первые экзамены были проведены в 2018 году. Ресурсы по математике Transition to A level сосредоточены на развитии шести основных навыков и изучении того, как они применяются в ключевых темах… A Level Notes, Videos and Examples . 0 В связи с продолжающимся воздействием пандемии коронавируса (COVID-19) мы предоставляем предварительную информацию об основных направлениях экзаменов в июне 2022 года, чтобы помочь учащимся повторить. В следующем списке подробно изложено основное содержание курса математики уровня AQA A.AQA-уровни. Курс AQA A Level Physics — это сложная квалификация, состоящая из трех экзаменационных работ, 8 основных модулей и 5 дополнительных модулей. Курсы ревизии. Предварительная информация является частью пакета изменений на 2022 год. Пробные экзамены и внеэкзаменационные оценки. Если ваша школа зарегистрирована в AMSP, ваши учителя смогут получить доступ к дополнительным ресурсам, которыми они могут поделиться с вами. Он уравновешивает доступную экспозицию с богатством AQA A-Level Maths Past Papers — Revision Maths.Передовые методы исследования (включая статистический анализ). 11. Важно внимательно изучить прилагаемый документ. AQA GCSE Maths (9-1) (8300) прошлые экзаменационные работы. 1 и 4-2 книги. До этого она преподавала Pre U на обоих языках в Harris Westminster Sixth Form в течение трех лет и работала там в качестве SENCO в 2017–2018 годах. Хотя ваш курс полностью онлайн, вы будете сдавать те же очные экзамены AQA в том же . Математика уровня AQA Student Book 1 Один важный метод, используемый при работе с сурдами в дробях, называется рационализацией знаменателя.Чтобы помочь учащимся сосредоточиться на подготовке к экзамену, мы опубликовали предварительную информацию о том, какие экзамены будут охватывать. В качестве альтернативы, когда у вас открыт файл, выберите «Файл» и «Печать» в верхней строке меню или щелкните значок принтера, чтобы распечатать отображаемые страницы. Присоединяйтесь к нашим опытным докладчикам, чтобы провести день в быстро меняющемся темпе и получить важные советы по технике экзамена на большом экране кинотеатра — при поддержке онлайн-помощи на всем пути, вплоть до вашей итоговой экзаменационной работы. 2015. pdf из BIO 123 в школе Брентвуд, Сандерсвилл.2 Квадраты 2. Уровень. Купить дополнительную статистику по математике AQA A Level Джона Дю Феу, Джонни Гриффитса (вклад) онлайн на Alibris. Тип квалификации: GCE A level. Плюс 2 миллиона удовлетворенных клиентов, ноус предлагает актуальную игру и фантастическую игру на 500 000 ливров, включая старые редкие книги дю XIX века, в пользу последних бестселлеров! Si pour une raison quelconque vous … Экзамен (разработки) — Aqa a-level сочинение по математике 1 балл, схема, июнь 2018 г., версия: 1.0 финал 16.Этот метод удаляет surd из знаменателя., 70% для A*, 55% для А, 41% для В, 26% для С.Беглый взгляд на курс. Команда Oxford RE. Эта книга для учащихся была одобрена AQA и обеспечивает полную поддержку как для новой линейной спецификации AS Level AQA, так и для первого года полного курса A Level. Найдите ресурсы для пересмотра уровня A, охватывающие Edexcel, AQA и OCR по целому ряду предметов, включая математику, английский язык, биологию, химию, физику, историю, географию, психологию, социологию, экономику и многое другое. OCR Core Maths Информация. GCE Advanced Level in Mathematics, оценка значительно отличается, поэтому необходима некоторая практика для подготовки к экзамену.Он уравновешивает доступную экспозицию с богатством Наличие исходящих квалификаций GCSE, AS и A-level 8 Экзамены GCSE в 2022 году 8 4 Пояснения к таблицам кодов входа 9 Пример таблицы кодов входа 9 Ключ к символам 11 5 Таблицы кодов входа 13 Сертификат AQA ( все уровни, включая прикладной общий) 14 ELC (сертификат начального уровня) 17 FCSE (базовый сертификат о среднем образовании) 18 Даты экзаменов на уровень AQA и Edexcel AS на май/июнь 2020 года. Pearson Edexcel Level 3 Advanced GCE по математике (9MA0) Первое обучение с сентября 2017 г. Первая сертификация с 2018 г. A Level Mathematics Issue 4.Рабочие примеры — уровень A. 65 долларов. Пожалуйста, убедитесь, что вы используете эту обновленную версию (1. Понимать и представлять математические аргументы. Получите бесплатный доступ к библиотеке, создав учетную запись, быстро загрузив и без рекламы. Предварительная информация по математике AQA GCSE Foundation. Бесплатное загружаемое резюме доступно здесь: Тематические листы для GCSE Maths 2022 (Edexcel, AQA, OCR) Номер и соотношение.50 ISBN: 978-0-19-841292-2 Дата публикации: 06.07.2018 Мягкая обложка: 608 … Особенности.A-Level Revision.Распродажа!£100.Первое обучение : 2017 г. Первая оценка: 2018 г. Здесь вы найдете все необходимое для подготовки к преподаванию математики уровня A, в том числе нашу гибкую спецификацию, которая дает вам отдельные работы по чистой и прикладной математике, а также широкий спектр бесплатных экзаменационных практик для подготовки студентов, и возможность специализироваться или расширить область обучения.Если вы не уверены, какую экзаменационную комиссию вы изучаете, проконсультируйтесь со своим учителем. Ежегодно тысячи учащихся по всему миру получают места в ведущих университетах по программе Cambridge International AS & A Levels. A Level Additional Mathematics for AQA Student Book 1 (AS/Year 1)-Stephen Ward 2017-09-28 Новые ресурсы Кембриджского университета по математике и дополнительной математике A Level 2017, чтобы помочь учащимся в обучении и повторении. Экзаменационные доски Описание. Стрэнд. 2 Частицы и излучение. Состояния материи, часть II. Более сложные темы о законах идеального газа, расчетах p-V-T и PV=nRT, теории кинетических моделей частиц и поведении идеального и неидеального реального газа.Здесь вы найдете математический указатель AQA A-Level для учебных пособий и готовых решений к прошлым статьям. Эта квалификация теперь доступна для преподавания в Китае, Египте, Индонезии, Иордании, Кувейте, Малайзии, Омане, Катаре, Саудовской Аравии. Используя четкие и краткие пояснения и обилие проработанных примеров, он охватывает все необходимое содержание чистой механики и статистики. Продвинутый уровень (A-Level) Математика — это квалификация дополнительного образования, полученная в Соединенном Королевстве (а иногда и в других странах).ком/ко. Как онлайн, так и лично в Лондоне. AQA Level 3 Advanced GCE по дополнительной математике. Полная поддержка как новой линейной спецификации AQA по дополнительной математике уровня AS, так и первого года полного курса A Level. Об этом 18 марта 2020 года сообщил министр образования. Модуль 12 — Pure Core 1. Июнь 2019 г. AQA A-Level Mathematics (7357) Прошлые статьи. Экзамен (разработки) — Edexcel уровень 3 gce математика продвинутый уровень бумага 1 или 2: Практика чистой математики… 12.Информация OCR Core Math B. Руководитель предмета: г-жа К. Новая спецификация математики уровня AQA A вступила в силу в 2017 году, а первые экзамены состоятся в 2018 году. Она доступна в качестве альтернативной квалификации в других странах. Вместо того, чтобы наслаждаться прекрасной электронной книгой после чашки кофе во второй половине дня, они, с другой стороны, жонглировали рядом с каким-то вредоносным вирусом внутри своего компьютера. Загрузите дополнительную информацию здесь БИОЛОГИЯ УРОВНЯ (спецификация AQA) Биология — увлекательный и популярный курс A Level, который очень важен для студентов в их повседневной жизни.Эти заметки представляют собой уроки, которые я давал своим ученикам, поэтому, если вы пропустили какие-либо уроки или просто чувствуете необходимость освежить в памяти, пожалуйста, взгляните. Найдите множество отличных новых и бывших в употреблении вариантов и получите лучшие предложения для AS/a Level Additional Mathematics AQA Ser. Пожалуйста, выберите соответствующий раздел из расширяемых заголовков ниже. Квалификационное предложение. Мы являемся утвержденным экзаменационным центром уровня A для всех ведущих экзаменационных комиссий — AQA, Edexcel и OCR, а также одобрены для предоставления 12 практических одобрений для уровня AQA по химии, биологии и физике.10 комбинаций . [удалено] Продвинутая математика для Aqa. В чем-то они очень похожи.

    Summary High Math Vectors Full Notes — Unit 11 — Summary of Subject Content

    Следовать

     Отправить сообщение

    $ 4.04

    • 100% гарантия возврата денег
    • Загрузка доступна напрямую
    • Лучше подготовиться к экзаменам

    Следовать

     Отправить сообщение
    • Загружено 20 сентября 2020 г.
    • Число страниц 9
    • Написано в 2020/2021
    • Тип Резюме

    Преимущества покупки сводок со Stuvia:

    Гарантированное качество благодаря отзывам клиентов

    клиентов Stuvia просмотрели более 450 000 резюме.Так вы узнаете, что покупаете лучшие документы.

    Быстрая и простая выписка

    Вы можете быстро оплатить через кредитную карту или Stuvia-кредит для резюме. Членство не требуется.

    Сосредоточьтесь на главном

    Ваши сокурсники сами пишут конспекты, поэтому документы всегда достоверны и актуальны.Это гарантирует, что вы быстро доберетесь до сути!

    .

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.