Site Loader

Содержание

Свойства скалярного произведения векторов / Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
  5. Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения векторов:

Из формулы   следует утверждение 10, а из определения скалярного произведения следует утверждение 20.

Докажем утверждение 30:

Введем прямоугольную систему координат. Пусть векторы в данной системе координат имеют следующие координаты: , , . Используем формулу, выражающую скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат:

Докажем утверждение 40:

Введем прямоугольную систему координат.  Пусть векторы в данной системе координат имеют следующие координаты: , . Тогда вектор имеет координаты , а, значит, используя формулу, выражающую скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат, получим:

Замечание

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Формулы для вычисления координат точки

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение в координатах

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1046, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1051, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 21, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Произведение векторов скалярное — Энциклопедия по машиностроению XXL

Произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов  [c.
48]

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением а Ь двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между векторами, т. е.  [c.292]

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число (скалярная величина ), равное произведению модулей векторов а и Ь на косинус угла между ними. Обозначается операция скалярного умножения символом (а, Ь). По определению  [c.21]


Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов V и j, обозначаемое является  [c.131]

Произведение векторов скалярное 553  [c.574]

Произведение векторов скалярное 125  [c.517]

Произведение векторов скалярное 426  [c.455]

Контравариантные и ковариантные компоненты, определяемые уравнениями (1-2.5) и (1-2.6), можно получить также как скалярные произведения вектора а и базисных векторов  [c. 19]

Специальное замечание следует сделать о компонентах единичного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти компоненты представляют собой скалярные произведения векторов естественного и дуального к нему базисов.  [c.26]

Тепловой поток 6Q через произвольно ориентированную элементарную площадку dF равен скалярному произведению вектора q на вектор элементарной площадки dF, а полный тепловой поток Q через всю поверхность F определяется интегрированием этого произведения по поверхности F  

[c.71]

Раскрывая скалярные произведения векторов и сокращая на /, имеем  [c.134]

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде  [c.400]

Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости ее точки приложения.  [c.164]

Скалярное произведение векторов можно выразить через их проекции на оси координат  

[c. 242]

Работа силы. Работой постоянной силы на прямолинейном перемещении называется скалярное произведение векторов силы и перемещения, т. е. работа равна произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними  [c.272]

Элементарная работа переменной силы равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения bA — F-dr.  [c.272]

Работа переменной силы на конечном перемещении по криволинейной траектории равна криволинейному интегралу, взятому вдоль дуги кривой от Лii до М , от скалярного произведения векторов силы и элементарного перемещения  

[c.273]

Произведение векторов. В векторном исчислении различают два вида умножения векторов скалярное и векторное.  [c.28]

Вторым инвариантом системы будет скалярное произведение векторов R W М, е. величина R М, или, так как R есть инвариант, то вторым инвариантом можно считать проекцию Л1 на направле-  [c. 239]

В термодинамике используются различные виды работ, встречающиеся в других разделах физики. В общей записи работа /-Й силы, выражается, как известно, интегралом от скалярного произведения вектора этой силы, Ху, на вектор вызванных ею изменений координат системы  

[c.42]

Другими словами, скалярное произведение вектора на его дифференциал равно произведению модуля вектора на дифференциал модуля. Ес.пи модуль вектора постоянен, то вектор и его дифференциал взаимно перпендикулярны а da = 0. В частности, если ае = 1, то ае dяe/dt) = 0.  [c.24]


Доказать, что расстояние, введенное с помощью скалярного произведения векторов, удовлетворяет неравенству треугольника.  [c.73]

Посредством какой из перечисленных форм можно определить скалярное произведение векторов  

[c.73]

Напомним, что модуль скалярного произведения векторов равен произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, а модуль векторного произведения равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними. Поэтому  [c.149]

Пусть материальная точка, к которой приложена сила Г, перемещается из положения с радиусом-вектором г в положение с радиусом-вектором г + Зг. Работой силы Г на элементарном перемещении ёт элементарной работой) называется скалярное произведение вектора Г на вектор ёт. При этом не имеет значения, действует или нет сила Г на материальную точку на всем перемещении ёт. Таким образом, элементарная работа Л вычисляется по формуле  

[c.162]

Раскрывая скалярные произведения векторов в скобках, получаем  [c.293]

Работа силы на некотором элементарном перемещении выражается скалярным произведением вектора силы Р на вектор возможного перемещения, в данном случае на вектор бл. Обозначая элементарную работу силы F на возможном перемещении бд через бЛ ,, получим такое выражение для элементарной возможной работы силы  [c.328]

Но так как малый вектор бг можно рассматривать как вектор, расположенный в касательной плоскости к данной поверхности, то скалярное произведение векторов / и Ьг равно нулю  

[c. 333]

Наконец, общее уравнение динамики можно представить и в аналитической форме, выражая все скалярные произведения векторов через их проекции на оси прямоугольных, неподвижных декартовых координат. Каждый вектор представим в виде  [c.358]

Раскроем скалярное произведение векторов в (6), выразив его через проекции векторов на подвижные оси координат  [c.451]

Отметим следствие из соотношений (28) и (30), учитывая, что кинетическая энергия тела равна скалярному произведению векторов кинетического момента тела и его угловой скорости, т. е.  

[c.458]

Раскрывая скалярные произведения векторов п сокращая на I, имеем  [c.124]

Умножить вектор А на число А значит получить новый вектор В, параллельный А и по длине равный 1 А если Я Скалярное произведение двух векторов есть число оно равно нроизведеиию из длины одного вектора на проекцию второго в направлении первого. Для изображения скалярного произведения двух векторов пишут эти векторы рядом без всякого знака между ними AB = AB ,osa, где а — угол между А и fi. Легко видеть, что скалярное произведение обладает переместительностью и распределительностью относительно сложения  [c.209]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как  [c.287]

Таким образом, КВС как области с повышенным энергосодержанием, переходят на периферию, тем самым увеличивая ее энергию. Такой механизм неустойчивости действует только в одном направлении и хорюшо согласуется с возникновением реверса при образовании зоны рециркуляции в области диафрагмы вихревой трубы. В этом случае КВС возникают на фанице рециркулирующего потока. Направление силы Г можно определить по знаку скалярного произведения вектора угловой скорости вращения приосевого вихря Л и вектора угловой скорости вихревого жгута направления начальной завихренности КВС и осевой составляющей скорости, что соответствует зеркальному отражению относительно плоскости, перпендикулярной оси вихревой трубы. Но при зеркальном отражении скалярное произведение не изменяется и, соответственно, не изменяется направление действия силы F. В результате вихревой перенос энергии будет идти из зоны рециркуляции в область потока, выносимого через отверстие диафрагмы, что и приводит в конечном счете к его нагреванию.  [c.130]


Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат)  [c.39]

Vj,. .., л,-,. ..), компонентами которого являются отдельные внешние переменные. Если некоторые из компонентов полного вектора не представлены в наборе, это отме чается штрихом справа BBepixy. Например, п =(п2,. .., Пс). Так же отмечены и знаки суммирования, если некоторые из слагаемых, принадлежащие соответствующему множеству их, в сумму не входят. Для удобства записи сумм из произведений двух сомножителей, если пределы суммирования очевидны, применяется скалярное произведение векторов. Например, x-dn=2i xidni. Начальное значение индекса суммирования не указывается, когда оно равняется единице.  [c.9]

Соотношение (4) является вторым скалярным инвариантом ска.оярное произведение главного момента на главный вектор не заяисшп от центра приведения. Второй скалярный инвариант можно выразить в двух других эквивалентных формах, если раскрыть скалярное произведение векторов в (4). Обозначая проекции Lq, на оси координат Lyx, Ly,,, Lyj, а проекции Lq соответственно L , L , L , второй инвариант можно выразить в форме  [c.75]


Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение двух векторов.

В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в положение С (рис. 52) вычисляется по формуле

Эта формула вектору силы F и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и \(\overrightarrow{BC}\). Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается аb. Итак, по определению

аb = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\). (1)

Если а = b, то скалярное произведение принимает вид аa и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a2. Очевидно, что a2 = аa = |а|2.

Как известно, проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой

прab = | b | cos\(\widehat{(a; b)}\). (2)

Используя формулы (1) и (2), можно записать

аb = | а | npab. (3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.

Аналогично получается формула аb = | b | npba.

Задача 1. Известно, что | а | = 2, | b | = 1/3 , \(\widehat{(a; b)}\) = 150°. Найти аb .

По формуле (1) находим

аb = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\) = 2 • 1/3 • 150°

Задача 2. Найти всевозможные скалярные произведения базисных векторов i и j прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

По определению скалярного произведения

ij = | i | • | j | cos 90° = 1 • 1 • 0 = 0,

i2 = ii = | i | • | i | cos 0° = 1 • 1 • 1 = 1.

Аналогично ji = 0, j2 = 1.

Задача 3. Какой знак имеет скалярное произведение векторов а и b, если
90° < \(\widehat{(a; b)}\) < 180°?

Так как в формуле аb = | а | • | b | cos \(\widehat{(a; b)}\) числа | а | и | b | неотрицательны, знак аb зависит от знака косинуса.

В промежутке ] 90°; 180°] cos \(\widehat{(a; b)}\) < 0, поэтому аb < 0.

Задача 4. В каком промежутке находится величина угла между векторами а и b, если аb > 0?

Так как аb > 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0 и cos \(\widehat{(a; b)}\) > 0. Отсюда \(\widehat{(a; b)}\) \(\in\) [0°; 90° [.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное умножение векторов обладает переместительным свойством:

а Х b = b Х а. (1)

Так как

\(\widehat{(a; b)}\) = \(\widehat{(b; a)}\) и | а | Х | b | = | b | Х | а |,

то

а Х b = | а | Х | b | cos \(\widehat{(a; b)}\) = | b | Х | а | cos\(\widehat{(b; a)}\) = b Х а.

Если а = 0 или b = 0, то по определению скалярного произведения а Х b = 0 и b Х а = 0, т. е. а Х b = b Х а

2. Скалярное умножение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число:

(ka) Х b = k (а Х b). (2)

Обозначим \(\widehat{(a; b)}\) = φ и \(\widehat{(ka; b)}\) = φ1.

Если k > 0, то \(\widehat{(a; b)}\) = \(\widehat{(ka; b)}\), т. е. φ = φ1 и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b | cos φ1 = k | а | Х | b | cos φ = k (а Х b).

Если k < 0, то ka \(\uparrow\downarrow\) a и φ1 = 180° Ч φ, и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b | cos φ1 = | k | Х | а | Х | b | cos (180° Ч φ) =
= Ч k Х | а | Х | b |(Ч cos φ) =

= k | а | Х | b | cos φ = k (а Х b)

Если k = 0 или a = 0, или b = 0, то

(ka) Х b = 0 и k (а Х b) = 0, и поэтому (ka) Х b =k (а Х b).

3. Скалярное умножение векторов обладает распределительным свойством относительно сложения векторов

а Х (b + с) = а Х b + а Х c. (3)

Если a = 0, то свойство (3) очевидно.

Пусть a =/= 0. Тогда

а Х (b + с) = | a | Х npa(b + c) = | a | Х (npab + npac) =
= | a | Х npab + | a | Х npac = а Х b + а Х c.

В ходе доказательства были использованы известные свойства проекции вектора на ось.

Заметим, что из (1) и (3) следует формула

(a + b) Х c = a Х c + b Х c. (4)

Сходство свойств скалярного произведения векторов со свойствами произведения действительных чисел позволяет легко производить вычисления и преобразования со скалярными произведениями.

Задача. Доказать тождество

(a + b) 2 = а2 + 2a Х b + b2.

Используя свойства (1) и (4) скалярного произведения, получаем

(a + b) 2 = (a + b) Х (a + b) = (a + b) Х а + (a + b) Х b =
= aХa + bХa + aХb + bХb = а2 + aХb + aХb + b2 =

= а2 + 2a Х b + b2

Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю:

(а =/= 0, b =/= 0, a Х b = 0 ) <==> a ⊥ b. (5)

Необходимость. Пусть a ⊥ b. Тогда

φ = \(\widehat{(a; b)}\) = 90° и a Х b = | а | Х | b | Х cos 90° = 0.

Достаточность. Пусть a Х b = 0 , а =/= 0, b =/= 0.

Так как а =/= 0, b =/= 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0, а так как | а | Х | b | Х cos φ = 0, то cos φ = 0 и, следовательно, φ = 90°, т. е. a ⊥ b.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть на плоскости имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и пусть заданы векторы а = (x1 ; y1 ) и b = (x2 ; y2). Так как

a = x1i + y1 j, b = x2i + y2 j,

то, используя соответствующие свойства скалярного умножения векторов, получаем

аb = (x1 + y1 j) • (x2i + y2 j) = (x1x2) i 2 + (x1y2) i • j + (y1x2) j • i+ (y1y2) j 2.

Очевидно, что i 2 = j 2 = 1 и i • j = j • i = 0, поэтому

аb = x1x2 + y1y2. (1)

Пусть теперь в пространстве имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и заданы векторы

а = (x1 ; y1 ; z1) , b = (x2 ; y2; z2).

Аналогично предыдущему получим

аb = x1x2 + y1y2+ z1z2. (2)

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Задача 1. Вычислить аb , если а = 2i + 3j, b = — 5i + j. 2} $$

Понимание векторных и скалярных величин

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Скалярная проекция и векторная проекция | Соломон Се | Основы линейной алгебры

См. примечание в Предварительная линейная алгебра о понимании скалярного произведения.

Предположим, что вектор w проецируется на вектор v .
Обозначение:

  • Скалярная проекция: Componentᵥw , читается как «Компонент w на v ».
  • Векторная проекция: Projectionᵥw , читается как «Проекция w на v ».

Обратите внимание: Когда вы читаете это, это в обратном порядке! Очень важный!

Обратите внимание, что формула относится к этим понятиям как предпосылки :

  • Расчет скалярного произведения
  • Формула косинуса скалярного произведения
  • Единичный вектор

  • повышение .

  •   Компонент  ᵥw = (точечный продукт v и w) / (длина w) 

    См. лекцию Имперского колледжа Лондона: Проекция
    См. также Академия Хана: Введение в проекции

    Что, если мы знаем векторов, и мы хотим знать, сколько Скалярная проекция (тень)?
    Пример:

    Как мы собираемся решить это: мы знаем векторы, поэтому мы можем легко получить их скалярное произведение , взяв их линейную комбинацию; и мы знаем длину каждого вектора, используя теорему Пифагора; и тогда получаем проекцию, как на картинке.

    Это еще одна идея для проецирования, и менее интуитивная.

    Помните, что Скалярная проекция — это ДЛИНА вектора, спроецированная на другой вектор. И когда мы добавляем НАПРАВЛЕНИЕ к ДЛИНЕ, он становится вектором, который лежит на другом векторе. Затем он делает его векторной проекцией .

    Это можно понять как эту формулу:

     Проекцияᵥw = (Компонентᵥw) * (Единичный вектор v) 

    Но обычно мы записываем это так:

    См. также видео формулы Кейт Пеннер: Уравнения векторной проекции
    См. видео от Firefly Lectures: Vector Projections — Example 1

    Пример:

    Essential Math for Data Science: Scalars and Vectors

     

    Машины понимают только числа.Например, если вы хотите создать детектор спама, вам нужно сначала преобразовать текстовые данные в числа (например, с помощью вложений слов ). Затем данные можно хранить в векторах, матрицах и тензорах. Например, изображения представлены в виде матриц значений от 0 до 255, представляющих яркость каждого цвета для каждого пикселя. Можно использовать инструменты и концепции из области линейной алгебры для управления этими векторами, матрицами и тензорами.

    Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий векторных пространств .Вы увидите, как векторы образуют векторные пространства и как линейная алгебра применяет к этим пространствам линейные преобразования. Вы также узнаете о мощной взаимосвязи между наборами линейных уравнений и векторных уравнений, связанных с важными концепциями науки о данных, такими как аппроксимация методом наименьших квадратов . Вы, наконец, изучите важные методы матричной декомпозиции: собственное разложение и разложение по сингулярным значениям (SVD), важные для понимания неконтролируемых методов обучения, таких как анализ основных компонентов (PCA).

     

    Скаляры и векторы

     

    Что такое векторы?

     
    Линейная алгебра работает с векторами . Другие математические объекты в этой области могут быть определены их отношением к векторам: скаляры , например, представляют собой отдельные числа, которые масштабируют  векторов (растяжение или сжатие) при умножении на них.

    Однако векторы относятся к различным понятиям в зависимости от области, в которой они используются.В контексте науки о данных они представляют собой способ хранения значений из ваших данных. Например, возьмем рост и вес людей: поскольку это разные значения с разными значениями, вам нужно хранить их отдельно, например, с помощью двух векторов. Затем вы можете выполнять операции над векторами, чтобы манипулировать этими объектами, не забывая о том, что значения соответствуют разным атрибутам.

    Вы также можете использовать векторы для хранения образцов данных, например, сохранить рост десяти человек в виде вектора, содержащего десять значений.

    Обозначение

    Мы будем использовать строчные, полужирные буквы для обозначения векторов (например, vv). Как обычно, обратитесь к Приложению в Essential Math for Data Science, чтобы получить сводку обозначений, используемых в этой книге.

     

    Геометрические и координатные векторы

     
    Слово  вектор  может относиться к нескольким понятиям. Давайте узнаем больше о геометрических и координатных векторах.

    Координаты  – это значения, описывающие положение.Например, любое положение на Земле может быть задано географическими координатами (широта, долгота и высота над уровнем моря).

    Геометрические векторы

    Геометрические векторы , также называемые евклидовыми векторами , представляют собой математические объекты, определяемые их величиной (длиной) и направлением. Эти свойства позволяют описать перемещение из одного места в другое.


    Рисунок 1. Геометрический вектор, проходящий от A до B .

     

    Например, на рисунке 1 показано, что точка A имеет координаты (1, 1), а точка B имеет координаты (3, 2). Геометрические векторы v описывают смещение от A до B , но поскольку векторы определяются их величиной и направлением, вы также можете представить v , начиная с начала координат.

    Декартова плоскость

    На рисунке 1 мы использовали систему координат, называемую декартовой плоскостью .Горизонтальные и вертикальные линии – это координатные оси 90 234 90 235, обычно обозначаемые соответственно 90 078 x 90 079 и 90 078 y . Пересечение двух координат называется началом координат и соответствует координате 0 для каждой оси.

    В декартовой плоскости любое положение может быть задано координатами x и y . Декартову систему координат можно расширить до большего количества измерений: положение точки в n -мерном пространстве определяется координатами nn.Вещественное координатное n -мерное пространство, содержащее n -кортежей действительных чисел, называется. Например, пространство — это двумерное пространство, содержащее пары действительных чисел (координаты). В трех измерениях () точка в пространстве представлена ​​тремя действительными числами.

     

    Векторы координат

    Векторы координат  – это упорядоченные списки чисел, соответствующие координатам вектора. Поскольку начальные точки вектора находятся в начале координат, вам нужно закодировать только координаты конечной точки.


    Рисунок 2. Вектор vv имеет координаты (3, 2), соответствующие трем единицам от начала координат по оси x и двум единицам по оси y .

     

    Например, давайте возьмем вектор v , представленный на рисунке 2. Соответствующий вектор координат выглядит следующим образом:

    Каждое значение связано с направлением: в этом случае первое значение соответствует направлению оси xx, а второе число — оси y .


    Рисунок 3: Компоненты вектора координат.

     

    Как показано на рисунке 3, эти значения называются компонентами или элементами вектора.


    Рис. 4. Векторы можно представить в виде точек на декартовой плоскости.

     

    Кроме того, как показано на рисунке 4, вы можете просто изобразить конечную точку стрелки: это диаграмма рассеяния.

    Индексация

    Индексирование  относится к процессу получения компонента вектора (одного из значений вектора) с использованием его положения (индекса).

    Python использует индексацию с отсчетом от нуля, что означает, что первый индекс равен нулю. Однако с математической точки зрения соглашение заключается в использовании индексации на основе единицы. Я обозначу компонент i вектора v с нижним индексом, как v i , без жирного шрифта, потому что компонент вектора является скаляром.

    Нампи

    В Numpy векторы называются одномерными массивами . Вы можете использовать функцию np.array() , чтобы создать его:

    Другие компоненты

    Возьмем в качестве примера v трехмерных векторов, определенных следующим образом:

    Как показано на рисунке 5, вы можете достичь конечной точки вектора, пройдя 3 единицы по оси xx, 4 по оси yy и 2 по оси zz.


    Рис. 5: Трехмерное представление начала координат (0, 0, 0) и точки (3, 4, 2).

     

    В более общем случае в n -мерном пространстве положение конечной точки описывается n компонентами.

    Размеры

    Вы можете обозначить размерность вектора, используя нотацию set . Он выражает реальное координатное пространство : это nn-мерное пространство с действительными числами в качестве значений координат.

    Например, векторы в  состоят из трех компонентов, например, следующий вектор  v  :

    Векторы в науке о данных

    В контексте науки о данных вы можете использовать векторы координат для представления ваших данных.

    Вы можете представить выборки данных в виде векторов, каждый компонент которых соответствует функции. Например, в наборе данных о недвижимости у вас может быть вектор, соответствующий квартире, с ее характеристиками в виде различных компонентов (например, количество комнат, местоположение и т. д.).).

    Другой способ сделать это — создать один вектор для каждого объекта, каждый из которых содержит все наблюдения.

    Хранение данных в векторах позволяет использовать инструменты линейной алгебры. Обратите внимание, что даже если вы не можете визуализировать векторы с большим количеством компонентов, вы все равно можете применять к ним те же операции. Это означает, что вы можете получить представление о линейной алгебре, используя два или три измерения, а затем использовать то, что вы узнали, с большим количеством измерений.

     

    Точечный продукт

     
    Скалярное произведение (относится к точечному символу, используемому для характеристики этой операции), также называемое скалярным произведением , представляет собой операцию, выполняемую над векторами. Он принимает два вектора, но, в отличие от сложения и скалярного умножения, возвращает одно число (скаляр, отсюда и название). Это пример более общей операции, называемой внутренним произведением .


    Рисунок 6: Иллюстрация скалярного произведения.

     

    На рис. 6 показано, как работает скалярное произведение. Вы можете видеть, что это соответствует сумме произведений компонентов с одинаковым индексом.

     

    Определение

     
    Скалярное произведение двух векторов u и v , обозначенное символом ⋅, определяется как сумма произведения каждой пары компонентов.Более формально это выражается как:

    с m количество компонентов векторов u и v (у них должно быть одинаковое количество компонентов), а i  индекс текущего компонента вектора.

    Символ точки

    Обратите внимание, что символ скалярного произведения совпадает с точкой, используемой для обозначения умножения между скалярами. Контекст (если элементы являются скалярами или векторами) говорит вам, какой именно.

     

    Возьмем пример. У вас есть следующие векторы:

    и

    Скалярное произведение этих двух векторов определяется как:

    Скалярное произведение между u и v равно 35. Оно преобразует два вектора u и v в скаляр.

    Давайте воспользуемся Numpy для вычисления скалярного произведения этих векторов. Вы можете использовать метод dot() массивов Numpy:

      и = нп.массив([2, 4, 7])
    v = np.массив ([5, 1, 3])
    u.точка(в)  

    Также можно использовать следующий эквивалентный синтаксис:

    Или, с Python 3.5+, также можно использовать оператор @ :

    Умножение векторов

    Обратите внимание, что скалярное произведение отличается от поэлементного умножения , также называемого произведением Адамара , которое возвращает другой вектор. Символ ⊙⊙ обычно используется для обозначения этой операции.Например:

     

    Скалярное произведение и длина вектора

    Квадрат нормы L 2 можно рассчитать, используя скалярное произведение вектора на самого себя ( u ⋅ u ):

    Это важное свойство машинного обучения, как вы видели в Essential Math for Data Science.

    Особые чемоданы

    Скалярное произведение двух ортогональных векторов равно 0.Кроме того, скалярное произведение между единичным вектором и самим собой равно 1,

    .

     

    Геометрическая интерпретация: проекции

     
    Как можно интерпретировать операцию скалярного произведения с геометрическими векторами. Вы видели в Essential Math for Data Science геометрическую интерпретацию сложения и скалярного умножения векторов, но как насчет скалярного произведения?

    Возьмем два следующих вектора:

    и

    Сначала вычислим скалярное произведение u и v :

    .

    Что означает этот скаляр? Ну, это связано с идеей проецирования u на v .


    Рисунок 7. Скалярное произведение можно рассматривать как длину vv, умноженную на длину проекции (вектор uprojuproj).

     

    Как показано на рисунке 7, проекция u на прямую с направлением v подобна тени вектора u на этой прямой. Значение скалярного произведения (6 в нашем примере) соответствует произведению длины на (норма L 2 на ∥) и длины проекции u на v (норма L 2 u proj ∥).Вы хотите посчитать:

    Обратите внимание, что элементы являются скалярами, поэтому символ точки указывает на произведение этих значений. А у вас есть:

    Проекция u на v определяется следующим образом (вы можете обратиться к Essential Math for Data Science, чтобы увидеть математические подробности о проекции вектора на линию):

    Таким образом, L 2 норма u proj является нормой L 2 0. 75 раз против :

    Наконец, умножение длины на и длины проекции:

    Это показывает, что скалярное произведение геометрических векторов можно рассматривать как проекцию. Использование проекции дает тот же результат, что и формула скалярного произведения.

    Кроме того, значение, которое вы получаете с помощью скалярного произведения, говорит вам о соотношении между двумя векторами. Если это значение положительное, то угол между векторами меньше 90 градусов, если отрицательное, то угол больше 90 градусов, если равно нулю, то векторы ортогональны и угол равен 90 градусам.

     

    Свойства

     
    Давайте рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

    Распределительный

    Скалярный продукт — это дистрибутив . Это означает, что, например, с тремя векторами u , v и w у вас есть:

    Ассоциативный

    Скалярный продукт не является ассоциативным , что означает, что порядок операций имеет значение. Например:

    Скалярное произведение не является бинарным оператором: результатом скалярного произведения двух векторов является не другой вектор (а скаляр).

    Коммутативный

    Скалярное произведение векторов называется коммутативным . Это означает, что порядок векторов вокруг скалярного произведения не имеет значения. У вас есть:

    Однако будьте осторожны, потому что это не обязательно верно для матриц.

     
    Биография: Хадриен Джин — специалист по машинному обучению.Он имеет докторскую степень в области когнитивных наук, полученную в Ecole Normale Superieure в Париже, где он проводил исследования слухового восприятия с использованием поведенческих и электрофизиологических данных. Ранее он работал в промышленности, где создавал конвейеры глубокого обучения для обработки речи. В области науки о данных и окружающей среды он работает над проектами по оценке биоразнообразия с использованием глубокого обучения, применяемого к аудиозаписям. Он также периодически создает контент и преподает в Le Wagon (учебный лагерь по науке о данных) и пишет статьи в свой блог (hadrienj.github.io).

    Оригинал. Перепечатано с разрешения.

    Родственный:

    IB Physics Notes — 1.3 Векторы и скаляры

    При выражении количества мы даем ему число и единицу измерения (например, 12 кг), это выражает величину количества. Некоторые величины также имеют направление, величина, которая имеет и величину, и направление, называется вектором. С другой стороны, величина, которая имеет только величину, называется скалярной величиной. Векторы представлены в печати жирным шрифтом и курсивом (например, F). Ниже приведена таблица, в которой перечислены некоторые векторные и скалярные величины:

     
    Скаляры Векторы
    Скорость Скорость
    Температура Ускорение
    Расстояние Рабочий объем
    Зона Сила
    Энтропия Импульс
    Том Перетаскивание

    Таблица 1. 3.1 — Векторные и скалярные количественные показатели

    Обратите внимание, что некоторые величины, такие как скорость и скорость, кажутся одинаковыми, обе представляют расстояние во времени, разница в том, что скорость имеет направление, а скорость — нет.

    Разница двух векторов
    При сложении векторов необходимо учитывать как величину, так и направление. Часто у нас будут ситуации, когда два вектора имеют противоположные направления, в этом случае мы просто вычитаем наименьшую величину из наибольшей.Это показано на рисунке 1.3.1 ниже:

    Рисунок 1.3.1 – Результирующая сила двух противоположных векторов

    Сумма двух векторов
    Иногда бывают ситуации, когда две силы действуют в одном направлении. В ситуациях мы просто складываем величины обоих векторов. Это показано на рисунке 1.3.2 ниже:

    Рисунок 1.3.2 – Результирующая сила двух параллельных векторов

    Смежные векторы
    В определенных ситуациях нам нужно будет определить угол между двумя соседними векторами. Чтобы сделать это графически, мы рисуем масштабную диаграмму с хвостом одного вектора в голове другого, затем мы рисуем линию, соединяющую другую голову и хвост. Чтобы получить величину нового вектора, мы просто измеряем его. Это показано на диаграмме ниже:

    Рисунок 1.3.3 – Графический метод решения смежных векторов

    В качестве альтернативы мы можем использовать тригонометрию для более быстрого и точного результата. Это показано на рисунке 1.3.4 ниже:

    Рисунок 1.3.4 — Тригонометрический метод решения смежных векторов

    Скалярное умножение
    Мы также можем умножать (и делить) векторы на скаляры. При этом мы следуем набору правил:

    • Умножение на 1 не меняет вектор 1 v  =  v
    • Умножение на 0 дает нулевой вектор 0 v  = 0
    • Умножение на -1 дает обратную добавку -1 v = — v
    • Левая дистрибутивность: ( c  +  d ) v  =  c v  +  d
    • Правое распределение: c ( v + w ) = c v  +  9
    • w
    • Ассоциативность: ( cd ) v  =  c ( d v )

    Скалярное умножение показано на рисунке 1. 3.5 ниже:

    Рисунок 1.3.5 – Скалярное умножение и деление векторов

    При работе со смежными векторами, которые не образуют угол 90°, часто бывает полезно разбить определенные векторы на составные векторы, чтобы они совпадали с другими векторами. Для этого мы рисуем два вектора, один горизонтальный, а другой вертикальный к нашей плоскости отсчета. Затем мы используем тригонометрию, чтобы вычислить величину каждого нового вектора и вычислить результирующую силу.Это показано на рис. 1.3.6 и 1.3.7:

    На рис. 1.3.6 показана диаграмма сил, действующих на брусок, толкаемый по гладкой поверхности:

    Рисунок 1.3.6 – Силы, действующие на блок

    На рис. 1.3.7 показана та же диаграмма, но с разбивкой поверхностной и толкающей сил на составляющие:

    Рисунок 1.3.7 – Силы, действующие на блок, разбитый на составные части

    Иногда плоскость отсчета не будет параллельна странице, такой пример показан на рисунке 1.3.8 ниже:

    Рисунок 1. 3.8 – Составляющая сил блока на откосе

    План урока: Скаляры и векторы

    План урока: Скаляры и векторы | Нагва

    Портал деактивирован. Обратитесь к администратору портала.

    Этот план урока включает цели, предварительные условия и исключения урока, обучающего студентов тому, как определять физические величины как скаляры или векторы в зависимости от того, имеют ли они направление.

    Цели

    Студенты смогут

    • знать, что величины могут быть скалярами или векторами,
    • знать, что скалярная величина определяется величиной и единицей,
    • знать некоторые примеры основных скалярных величин: массу, длину и время,
    • знать, что вектор количество определяется величиной, единицей измерения и направлением,
    • знать несколько примеров основных векторных величин: сила, ускорение, скорость и перемещение.
    Предпосылки

    Студенты уже должны быть знакомы с

    • что такое расстояние, скорость и вес.
    Исключения

    Студенты не будут оплачивать

    • векторная арифметика,
    • любые вычисления,
    • любая кинематика помимо определения смещения и скорости как векторов.

    Nagwa — стартап в области образовательных технологий, цель которого — помочь учителям учить, а ученикам учиться.

    Copyright © 2022 Nagwa
    Все права защищены

    Nagwa использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство на нашем веб-сайте. Узнайте больше о нашей Политике конфиденциальности.

    Принимать

    Скалярный и векторный анализ | Победитель науки

    Давайте поговорим сегодня о двух величинах, называемых скалярами и векторами.Предположим, вы едете на своей машине или велосипеде. Ваш автомобиль должен иметь спидометр, который показывает скорость. Пусть скорость 60 км/час. Теперь предположим, что у вас есть некий прибор, который показывает, что вы движетесь в северном направлении со скоростью 60 км/час.

    Итак, 60 км/ч означает только величину или значение. Таким образом, величины, которые имеют только величины или значения, называются скалярами.

    Но 60 км/ч в северном направлении означает, что величина имеет значение так же, как и направление. Эти величины называются векторными величинами.

    Поэтому более техническими определениями будут:

    Скалярная величина: Скалярная величина имеет только величину. Таким образом, масса, длина, объем, электрический потенциал и энергия являются скалярами.

    Векторная величина: Векторная величина имеет как величину, так и направление.

    Например, сила, скорость, напряженность электрического поля и перемещение

    являются примерами векторов.

    Графически вектор A представлен линией, длина которой равна величине A , обозначенной | А | и со стрелкой в ​​конце строки, указывающей на

    направление А .

    Равенство векторов: Два вектора A и B равны тогда и только тогда, когда их величина и направления совпадают.

    Сложение и вычитание векторов : Два вектора складываются по закону параллелограмма. Два вектора представлены сторонами параллелограмма, сумма которых представляет большую диагональ.

    Сложение двух векторов:

    Сложение векторов коммутативно, то есть A + B = B + A.

    Вычитание векторов:

    А – В = А + (-В)

    A – B также является диагональю параллелограмма между вершиной A и вершиной B .

    Умножение вектора на скаляр : Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но направление остается прежним. Вектор A , умноженный на скаляр K, станет K A .

    Это разница между скаляром и вектором.

    Ссылка: Эта статья взята из моей авторской книги «Концепции теории электромагнитного поля», имеющей ISBN 978-81-272-5245-8. В случае каких-либо сомнений в этой статье или любой другой статье, связанной с EMFT или физикой, пожалуйста, напишите в разделе комментариев.

    Скалярный и векторный анализ

    Octave — скаляр, вектор и матрица

    Скаляр — это просто красивое слово для числа; он используется для отличать числа от векторов или матриц.

    Строки и столбцы

    Вы создаете матрицу строк, состоящую из чисел 4 5 6 7, вводя числа внутри скобок [] и разделяя числа запятой или пробелом.

    >>> r1=[4, 5, 6, 7]
    
    р1 =
    
    4 5 6 7
    
    >>> r2=[4 5 6 7]
    
    г2 =
    
    4 5 6 7
     

    Вы создаете матрицу-столбец, состоящую из чисел 0,1 0,2 0,3, вводя числа внутри скобок [] и разделяя числа точкой с запятой.

    >>> с1=[0,1; 0,2; 0,3]
    
    с1 =
    
    0,10000
    0,20000
    0,30000
    
    >>> с2=[0,4; 0,5]
    
    с2 =
    
    0,40000
    0,50000
     

    Матрицы строк и столбцов иногда называют векторами.

    Вы можете комбинировать матрицы строк или матрицы столбцов

    >>> г=[г1, г2]
    
    р =
    
    4 5 6 4 5 6
    
    >>> с=[с1; с2]
    
    с =
    
    0.10000
    0,20000
    0,30000
    0,40000
    0,50000
    
    >>> try_a_mix=[r1, c1]
    
    >>> ошибка: количество строк должно совпадать (3 != 1) рядом со строкой 43, столбец 16
     

    Первое число в векторе имеет индекс 1. Вы можете получить число в указанное время. показатель.

    >>> г(2)
    ответ = 5
    >>> с(5)
    ответ = 0,50000
    >>> г(7)
    ошибка: A(I): Индекс превышает размерность матрицы.
     

    Вы можете использовать ту же нотацию, которая создает числа в операторах for для создания векторы.

    >>> г3=3:7
    р3 =
    
    3 4 5 6 7
    
    >>> г4=1:3:10
    р4 =
    
    1 4 7 10
     

    Вы можете использовать ту же нотацию для извлечения вектора из вектора.

    >>> формат банка;
    >>> r5=0,1:0,1:1
    р5 =
    
    0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
    
    >>> подвектор1=r5(2:4)
    подвектор1 =
    
    0,20 0,30 0,40
    
    >>> подвектор2=r5(1:2:10)
    подвектор2 =
    
    0.10 0,30 0,50 0,70 0,90
     

    Вы можете превратить строку в столбец или наоборот, выполнив транспонирование с помощью оператора ‘.

    >>> г=[1, 2, 3]
    р =
    
    1,00 2,00 3,00
    
    >>> с=г'
    с =
    
    1,00
    2.00
    3.00
     

    Арифметика с матрицами и скалярами

    Можно использовать арифметические операторы +, -, * и / на матрице и скаляре. Операция применяется к каждому элемент матрицы.

    >>> г=[4, 5, 6]
    р =
    
    4.00 5.00 6.00
    
    >>> г1=г*6
    р1 =
    
    24.00 30.00 36.00
    
    >>> r2=(r1-20)/2
    г2 =
    
    2,00 5,00 8,00
    
    >>> с=[0,5; 3.5]
    с =
    
    0,50
    3,50
    
    >>> с1=с+0,5
    с1 =
    
    1,00
    4.00
     

    Функции матриц

    Вы можете применять функции к матрицам, затем функция применяется к каждому элементу матрицы.

    >>> с=[4;16]
    с =
    
    4.00
    16.00
    
    >>> квт(с)
    ответ =
    
    2.00
    4.00
     

    Общие матрицы

    Общая матрица состоит из n строк и m столбцов.

    Попробуйте эти команды:

    m=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15]
    м+2
    (м-3)*2
    размер (м)
    а=м(2,4)
    м>4
     

    Упражнение

    Попробуйте ввести команды единиц(3), нулей(4), глаз(5) !


    Элемент за элементом

    Вы можете выполнять поэлементные операции над двумя матрицами, имеющими одинаковые размерность, т. е. с одинаковым количеством строк и столбцов соответственно. Когда выполняя поэлементную операцию, результатом является новая матрица, имеющая той же размерности, что и два операнда.

    При поэлементном добавлении элемент на месте (строка, col) в результирующей матрице будет суммой двух элементов по адресу (строка, col) в матрицах операндов.

    Обычные арифметические операторы станут поэлементными, если ставите перед ними точку.м2 ответ = 1 2 3 16 25 1

    При применении функции к матрице функция применяется к каждому элементу матрицы

    >>> m=[0 пи пи/2;-пи -пи/2 0]
    м =
    
    0,00000 3,14159 1,57080
    -3,14159 -1,57080 0,00000
    
    >>> грех(м)
    ответ =
    
    0,00000 0,00000 1,00000
    -0,00000 -1,00000 0,00000
     

    Используя поэлементные операции, вы можете комбинировать сравнения и арифметику.

    >>> м=[1 2 3 4 5; 6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15]
    м =
    
    1 2 3 4 5
    6 7 8 9 10
    11 12 13 14 15
    
    >>> m1=m>4
    м1 =
    
    0 0 0 0 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    
    >>> m2=m1. *m
    м2 =
    
    0 0 0 0 5
    6 7 8 9 10
    11 12 13 14 15
     

    Регулярная линейная алгебра

    В обычной математике сложение и вычитание матриц определяются как элемент по операциям с элементами.Поскольку использование операторов Octave без точек означает «обычное» использование, нет никакой разницы между + и .+ или между - и .- . Когда речь идет о для умножения, деления и возведения в степень есть разница между «обычное» использование и поэлементное использование; следовательно, не используйте эти операторы без точки перед ними (если вы действительно не знаете линейный алгебра).

    .

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.