Site Loader

Основные понятия и определения /qualihelpy

Вектором называют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают:   или  Нуль-вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор  изображают точкой и записывают   (рис. 3.1).

Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице.

Упорядоченную совокупность  действительных чисел     называют точкой, а сами эти числа – ее координатами. Записывают:  Множество таких всевозможных точек называют координатным n-мерным пространством и обозначают  Любой вектор   на плоскости можно разложить по ортам: Говорят, что  и –координаты вектора   и записывают: Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором. На рисунке 3.2 изображен радиус-вектор Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы    и  –координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат. Любой вектор   пространства можно разложить по ортам:  Говорят, что  и –координаты вектора  и записывают: Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка  – его начало, а точка  – его конец, то записывают:  Координаты середины вектора (середины вектора): если точки   и  – концы отрезка, а точка – его середина, то точка  будет иметь координаты: (3.3) ; (3.3.1); (3.3.2). (3.3.3)Длина вектора. Длину вектора записывают   и читают: модуль вектора или длина вектора  . Если известны координаты точек  – начала и  – конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле: (3.4)Если известны координаты вектора , то длину вектора   находят по формуле: (3.5)

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

 На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы    и  Условие коллинеарности  векторов: векторы   и  коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство (3. 6)

При этом, если:

а)  , то векторы сонаправлены; б)  , то векторы противоположно направлены. 

Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными

 Вектор, противоположный вектору  , записывают:   или  . Вектор, противоположный вектору  , записывают:   (рис. 3.5).

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными.

Условие компланарности трех векторов: векторы  ,   и   компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:  (3.7)

Конспект лекц. 1-ый семестр

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок. Обозначается символами  . Вектор имеет длину , направление –  угол между вектором и горизонтальной осью. Нулевой вектор – вектор, длина которого равна нулю.

О п р е д е л е н и е. Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых (направления могут совпадать или быть противоположными).

             

                     сонаправленные

 

 

            Противоположно направленные

 

О п р е д е л е н и е. Компланарными называются три вектора, лежащие на одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Существуют следующие типы векторов

1.                свободные векторы (перемещаются в любом направлении),

2.                скользящие векторы (перемещаются по прямой),

3.                связанные векторы (начало или конец вектора зафиксированы).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одно направление.

 

 

О п р е д е л е н и е.  Суммой векторов  и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с вектором

, при условии, что конец вектора  совпадает с началом вектора .

               

                            

             

 

                                       

                              

                               

                           

                  

                                     

   

                                      

    

         

   

Операция сложения векторов обладает теми же свойствами, что и операция сложения для вещественных чисел.

Разность векторов – обратная операция сложению векторов. Вектор  называется разностью векторов  и , если . Обозначается  .

О п ре д е л е н и е. Произведением вектора  на число   называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает, если , противоположно, если <0.

Т е о р е м а. Если вектор  коллинеарен вектору

, не равному нулю, то существует такое число , что =.

           1) >0,

                                                                        

                    О                 А               О                               В

                                                                            А          

   

2) < 0                                                   

                                              

                                                    

                    О                 А                                                    

                                               В                            О           А

.   

                                                      

Разность векторов  можно представить в виде

.

Операция умножение векторов на число обладает теми же свойствами, что и произведение вещественных чисел.

         О п р е д е л е н и е. Система векторов

 называется линейно зависимой, если существует такие неравные одновременно нулю числа ,что

.

Система векторов называется линейно независимой, если это равенство возможно только при

.

Любые два коллинеарных вектора линейно зависимые. Любые три компланарных вектора на плоскости линейно зависимые. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимые.

Рассмотрим три компланарных вектора    .

1.                Совместим начала этих векторов с точкой  О.

 

                                                                                      D                      

С

                                                                                О          В   E

 

2.                 Проведем прямые через эти векторы.

3.                Проведем через точку С прямые, параллельные  векторам  и 

4.                ,

  

.                                                        (2)

 

Выражение (2) можно преобразовать следующим образом

 .                                                     (3)

Из выражения (3) и следует, что компланарные векторы линейно зависимые. Справедливо и обратное утверждение, что три линейно зависимых вектора компланарны.

Выражение (2) называется разложением вектора   по векторам . Аналогично доказывается, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Если векторы  не компланарны, т.е. линейно независимы, то любой четвертый вектор  можно представить в виде линейной комбинации

.

                                                                  (3)

Выражение (3) называется разложением вектора   по векторам .

 

 

О п р е д е л е н и е. Базисом в пространстве (на плоскости) называется совокупность любых трех (двух) линейно независимых векторов.  Базис обозначается

О п р е д е л е н и е. Системой координат называется совокупность базиса и точки  О, называемой началом.

 

 

                                          

                                                                     

О

                                                 

        

Аффинная система координат.    и     .

                                                              

                                                                   Y

 

 

 

 

 

                                   О                                                           X

Декартова прямоугольная  система координат (ДПСК).

    и     .     

                   Y

                                                              

                              y                                           

 

                                  

 

 

 

                                  

                             О                                    x                     X

                          

Всякий вектор  можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.

.

Числа  в этом случае называются координатами вектора  в базисе  . Векторы, длина которых равна 1 – единичные векторы. Ортогональные векторы, если они взаимно перпендикулярны. 

Ортонормированный базис  –  это базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов

.

На практике чаще используется ортонормированный базис  ,

образующий правую тройку.

Векторы  образуют правую тройку, если поворот первого из них ко второму с конца третьего вектора проводится по часовой стрелке.

О п р е д е л е н и е. Проекцией вектора  на вектор  или на ось и называется число, равное произведению длины вектора  на косинус угла  между этими векторами (между вектором  и осью и)

В ДПСК координаты вектора совпадают с проекциями вектора

,

.

Поэтому разложение вектора  по базису  будет иметь вид

или

или

Операции сложения и умножения вектора на число, когда векторы заданы координатами, сводятся к соответствующим операциям над их координатами

,

.

Справедливость последних выражений  вытекает из определений указанных операций и их свойств.

П р и м е р. Найдите сумму векторов  и  .

Р е ш е н и е.

.

Векторы  и  коллинеарны, если их координаты пропорциональны

Векторы  компланарны, если выполняется условие

.

 

 

О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением векторов  и   называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними  .

Скалярное произведение символически обозначается

.                                                                  (4)

Если воспользоваться определением, то скалярное произведение можно представить в виде

.                                                                  (5)

С в о й с т в а   скалярного произведения

1.                =0, если

2.                , множители можно менять местами.

3.               

4.               

 

В ы ч и с л е н и е скалярного произведения в ДПСК.  Пусть векторы заданы координатами 

,

.

Учитывая свойства скалярного произведения, получаем

.

 

 

С учетом того, что

,

 получается

.                                                                  (7)

В частности

,

откуда

.                                                                         (8)

Как следует из выражения (4), скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. С помощью выражений (5) и (6) получаем

.                                                    (9)

П р и м е р. Найдите скалярное произведение векторов  и косинус угла между ними.

Р е ш е н и е. Подставляем координаты векторов в формулу (4) и получаем значение скалярного произведения

С помощью формулы (9) находим косинус угла между векторами

.

 

О п р е д е л е н и е. Векторным произведением  и    называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям

1.                .

2.                .

3.                Векторы  образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение символически обозначается

.

Свойства векторного произведения

1.                ,

2.                ,

3.               

4.                Векторное произведение по абсолютной величине равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на составляющих  

 

 

 

                                                

                

                                                    

                                                                                 

                                                                                

 

Вычисление векторного произведения в ДПСК.  Пусть векторы заданы координатами 

,

.

Учитывая свойства векторного произведения, получаем

.

 

С учетом того, что

,

 получаем

                                               (10)

или

.                                                                       (11)

 

Векторное произведение в ДПСК согласно формуле (11) представляет собой символический определитель третьего порядка. Элементы первой строки – единичные векторы, элементы второй строки – координаты первого вектора, элементы третьей строки – координаты второго вектора.

 

 

О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением трех векторов  называется число, которое получается, если векторы  и  перемножить векторно и затем полученный вектор перемножить с вектором  скалярно.

Геометрический смысл смешанного произведения.

 

 

 
                                           

                                                   

 
                                                     

                            

                                                          

                                                         

 

 

,   ,   ,    ,   

.                                                        (12)

Если  образуют правую тройку векторов, то смешанное произведение , если левую, то . Выражение (1) определяет объем параллелепипеда через векторы, на которых он построен как на составляющих. Значит, . Поэтому смешанное произведение указывают без указания знаков

.                                                                  (13)

Вычисление смешанного произведения в декартовых системах.  Векторное произведение

.

умножим на вектор  скалярно

.                                (14)

Раскроем определитель по элементам третьей строки

.                                         (15)

Сравнивая правые части равенств (14) и (15), получаем

.                                                                  (16)

П р и м е р.  Найдите объём и высоту параллелепипеда, построенного на векторах

, если A(1;2;3),  B(2;1;4),   D(4;1;5),

 

                                                

                                             

                                                                     

                              D                    С

 

                                           B

Р е ш е н и е. Введём обозначения . Подставляем координаты векторов  в формулу (16)

.

Как известно, , откуда 

.                                                                         (17)

Находим . Для этого вычисляем векторное произведение

,

находим модуль полученного вектора . Подставляем  значения   и    в формулу (17) и  получаем значение высоты

.

 

 

 

Помимо ДПСК используются другие системы, а именно:

1.         Полярная система координат

                    М

             

 

 

  О                                   U

 

.

Связь между полярными и декартовыми координатами можно получить, если луч OU совместить с ОХ, тогда       ,   , где    при   ,

  при  ,  при  .

Если же , то

 

 

2)Цилиндрическая cистема координат (получается путем дополнения к полярным координатам координаты аппликат).

ХУ остается постоянным, добавляется  Z.

 

                Z   

                                    

                        

                    

                        y         Y                                             

 

                 

 

 X

 

                  

                                                                     

                                                          

 

 

 

.

3) Сферическая система координат

        

                       

                                                       

                              

                     

                            

 

.

Связь сферических координат с декартовыми

Координатная поверхность представляет собой сферу.

 

 

Свой AR. Основы векторной алгебры / Хабр

В настоящий момент появилось достаточно большое количество библиотек дополненной реальности с богатым функционалом (ARCore, ARKit, Vuforia). Тем не менее я решил начать свой открытый проект, попутно описывая как это работает изнутри. Если повезет, то позже получится добавить какой-то особый интересный функционал, которого нет в других библиотеках. В качестве целевых платформ пока возьмем Windows и Android. Библиотека пишется на C++, и сторонние библиотеки будут задействованы по минимуму, т.е. преимущественно не будет использовано ничего готового. Фокус в статьях будет направлен на алгоритмы и математику, которые постараюсь описать максимально доступно и подробно. В этой статье пойдет речь про основы векторной алгебры.

Дополненная реальность — это совмещение виртуального мира и реального. Для этого, нам нужно представить окружающее реальное пространство в виде математической модели, понимая закономерности которой, мы сможем получить данные для совмещения. Начнем с основ векторной алгебры.

Вектора — это частный случай матриц, состоящие либо из одного столбца, либо из одной строки. Когда мы говорим о векторе, обычно имеется вектор-столбец . Но записывать вектор как столбец неудобно, поэтому будем его транспонировать — .


Длина вектора

Первое, что мы рассмотрим — получение длины вектора — , где — значение длины, — наш вектор. Для примера возьмем двумерный вектор:

, где и — компоненты вектора, значения проекций вектора на оси двумерных координат. И мы видим прямоугольный треугольник, где и — это длины катетов, а — длина его гипотенузы. По теореме Пифагора получается, что . Значит . Вид формулы сохраняется и для векторов большей размерности, например — .


Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов — это сумма произведение их компонентов: . Но так как мы знаем, что вектора — это матрицы, то тогда удобнее записать это в таком виде: . Это же произведение можно записать в другой форме: , где — угол между векторами и (для двумерного случая эта формула доказывается через теорему косинусов). По этой формуле можно заключить, что скалярное произведение — это мера сонаправленности векторов. Ведь, если , то , и — это просто произведение длин векторов. Так как — не может быть больше 1, то это максимальное значение, которые мы можем получить, изменяя только угол . Минимальное значение будет равно -1, и получается при , т.е. когда вектора смотрят в противоположные направления. Также заметим, что при , а значит какие бы длины не имели вектора и , все равно . Можно в таком случае сказать, что вектора не имеют общего направления, и называются ортогональными.
Также при помощи скалярного произведения, мы можем записать формулу длины вектора красивее: , .


Проекция вектора на другой вектор

Возьмем два вектора: и .
Проекцию вектора на другой вектор можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось — это вектор, а в алгебраическом – число.


Вектора — это направления, поэтому их начало лежит в начале координат. Обозначим ключевые точки: — начало координат, — конечная точка вектора , — конечная точка вектора .

В геометрическом смысле мы ищем такой , чтобы конечная точка вектора (обозначим ее как — ) была ближайшей точкой к точке , лежащей на прямой .

Иначе говоря, мы хотим найти составляющую в , т.е. такое значение , чтобы и

Расстояние между точками и будет минимальным, если . Получаем прямоугольный треугольник — . Обозначим . Мы знаем, что по определению косинуса через соотношение сторон прямоугольного треугольника
( — гипотенуза, — прилежащий катет).
Также возьмем скалярное произведение . Отсюда следует, что . А значит .

Тут вспоминаем, что — это искомый вектор , а — , и получаем . Умножаем обе части на и получаем — . Теперь мы знаем длину . Вектор отличается от вектора длинной, но не направлением, а значит через соотношение длин можно получить: . И мы можем вывести финальные формулы:
и


Нормализованный вектор

Хороший способ упростить работу над векторами — использовать вектора единичной длины. Возьмем вектор и получим сонаправленный вектор единичной длины. Для этого вектор разделим на его длину: . Эта операция называется нормализацией, а вектор — нормализованным.
Зная нормализованный вектор и длину исходного вектора, можно получить исходный вектор: .

Зная нормализованный вектор и исходный вектор, можно получить его длину: .

Хорошим преимуществом нормализованных векторов является то, что сильно упрощается формула проекции (т.к. длина равна 1, то она сокращается). Проекция вектора на единичной длины:


Матрица поворота двумерного пространства

Предположим у нас есть некая фигура:

Чтобы ее нарисовать, заданы координаты ее вершин, от которых строятся линии. Координаты заданы в виде набора векторов следующим образом . Наша координатная сетка задана двумя осями — единичными ортогональными (перпендикулярными) векторами. В двумерном пространстве можно получить два перпендикулярных вектора к другому вектору такой же длины следующим образом: — левый и правый перпендикуляры. Берем вектор, задающим ось — и ось — левый к нему перпендикуляр — .
Выведем новый вектор, получаемый из наших базисный векторов:

Сюрприз — он совпадает с нашим исходным вектором.

Теперь попробуем как-то изменить нашу фигуру — повернем ее на угол . Для этого повернем векторы и , задающих оси координат. Поворот вектора задается косинусом и синусом угла — . А чтобы получить вектор оси , возьмем перпендикуляр к : . Выполнив эту трансформацию, получаем новую фигуру:

Вектора и являются ортонормированным базисом, потому как вектора ортогональны между собой (а значит базис ортогонален), и вектора имеют единичную длину, т.е. нормированы.

Теперь мы говорим о нескольких системах координат — базовой системы координат (назовем ее мировой), и локальной для нашего объекта (которую мы поворачивали). Удобно объединить наш набор векторов в матрицу —
Тогда .

В итоге — .

Матрица , составляющая ортонормированный базис и описывающая поворот, называется матрицей поворота.

Также матрица поворота имеет ряд полезных свойств, которые следует иметь ввиду:


  • При , где — единичная матрица, матрица соответствует нулевому повороту (угол ), и в таком случае локальные оси совпадают с мировыми. Как рассматривали выше, матрица никак не меняет исходный вектор.
  • — определитель матрицы равен 1, если у нас, как обычно бывает, правая тройка векторов. , если тройка векторов левая.
  • .
  • .
    .
  • , поворот не меняет длины вектора.
  • зная и , можем получить исходный вектор — . Т.е. умножая вектор на матрицу поворота мы выполняем преобразование координат вектора из локальной системы координат объекта в мировую, но также мы можем поступать и наоборот — преобразовывать мировые координаты в локальную систему координат объекта, умножая на обратную матрицу поворота.

Теперь попробуем повернуть наш объект два раза, первый раз на угол , второй раз на угол . Матрицу, полученную из угла , обозначим как , из угла — . Распишем наше итоговое преобразование:
.

Обозначим , тогда . И из двух операций мы получили одну. Так как поворот — это линейное преобразование (описали ее при помощи одной матрицы), множество преобразований можно описать одной матрицей, что сильно упрощает над ними работу.


Масштабирование в двумерном пространстве

Масштабировать объект достаточно просто, нужно только умножить координаты точек на коэффициент масштаба: . Если мы хотим масштабировать объект на разную величину по разным осям, то формула принимает вид: . Для удобства переведем операцию в матричный вид: .

Теперь предположим, что нам нужно повернуть и масштабировать наш объект. Нужно отметить, что если сначала масштабировать, а затем повернуть, то результат будет отличаться, от того результата, где мы сначала повернули, а затем масштабировали:

Сначала поворот, а затем масштабирование по осям:

Сначала масштабирование по осям, а затем поворот:

Как мы видим порядок операций играет большое значение, и его нужно обязательно учитывать.
Также здесь мы также можем объединять матрицы преобразования в одну:


Хотя в данном случае, если , то . Тем не менее, с порядком преобразований нужно быть очень аккуратным. Их нельзя просто так менять местами.


Векторное произведение векторов

Перейдем в трехмерное пространство и рассмотрим определенное на нем векторное произведение.
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве — вектор, ортогональный к обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

Для примера возьмем два трехмерных вектора — , . И в результате векторного произведения получим

Визуализируем данную операцию:

Здесь наши вектора , и . Вектора начинаются с начала координат, обозначенной точкой . Конечная точка вектора — точка . Конечная точка — точка . Параллелограмм из определения формируются точками , , , . Координаты точки находим как — . В итоге имеем следующие соотношения:


  • , где — площадь,
  • ,
  • .

Два вектора образуют плоскость, а векторное произведение позволяет получить перпендикуляр к этой плоскости. Получившиеся вектора образуют образуют правую тройку векторов. Если берем обратный вектор, то получаем второй перпендикуляр к плоскости, и тройка векторов будет уже левой.

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель. Пусть , и мы раскладываем определить по строке как сумму определителей миноров исходной матрицы :

Некоторые удобные свойства данного произведения:


  • Если два вектора ортогональны и нормализованы, то вектор также будет иметь единичную длину. Параллелограмм, который образуется двумя исходными векторами, станет квадратом с длинной сторон равной единице. Т.е. площадь равна единице, отсюда длина выходного вектора — единица.

Матрица поворота трехмерного пространства.

С тем, как формировать матрицу в двумерном пространстве мы разобрались. В трехмерном она формируется уже не двумя, а тремя ортогональными векторами — . По свойствам, описанным выше, можно вывести следующие отношения между этими векторам:


Вычислить вектора этих осей сложнее, чем в матрице поворота двумерного пространства. Для примера получения этих векторов рассмотрим алгоритм, который в трехмерных движках называется lookAt. Для этого нам понадобятся вектор направления взгляда — и опорный вектор для оси — . Сам алгоритм:


  1. Обычно направление камеры совпадает с осью . Поэтому нормализуем и получаем ось — .
  2. Получаем вектор оси — . В итоге у нас есть два нормализованных ортогональных вектора и , описывающих оси и , при этом ось сонаправлена с входным вектором , а ось перпендикулярна к входному опорному вектору .
  3. Получаем вектор оси из полученных и — .
  4. В итоге

В трехмерных редакторах и движках в интерфейсах часто используются углы Эйлера для задания поворота. Углы Эйлера более интуитивно понятны — это три числа, обозначающие три последовательных поворота вокруг трех основных осей . Однако, работать с ними не очень то просто. Если попробовать выразить итоговый вектор напрямую через эти повороты, то получим довольно объемную формулу, состоящую из синусов и косинусов наших углов. Есть еще пара проблем с этими углами. Первая проблема — это то, что сами по себе углы не задают однозначного поворота, так как результат зависит от того, в какой последовательности происходили повороты — или или как-то еще. Углы Эйлера — это последовательность поворотов, а как мы помним, смена порядка трансформаций меняет итоговый результат. Вторая проблема — это gimbal lock.

Внутри же трехмерные движки чаще всего используют кватернионы, которых мы касаться не будем.

Существуют разные способы задания поворота в трехмерном пространстве, и каждый имеет свои плюсы и минусы:


  • Матрица поворота. С ней просто работать (т.к. это просто матрицы). Но есть логическая избыточность данных — все элементы матрицы связаны определенными условиями, так как количество элементов больше степеней свободы (12 элементов против трех степеней). Т.е. мы не можем взять матрицу и наполнить ее случайными числами, так при несоблюдении условий матрица просто не будет являться матрицей поворота.
  • Углы Эйлера. Они интуитивно понятны, но работать с ними сложно.
  • Вектор оси вращения и угол порота вокруг нее. Любой возможный поворот можно описать таким образом. Поворота вектора вокруг заданной оси рассмотрим ниже.
  • Вектор поворота Родрига. Это трехмерный вектор, где нормализованный вектор представляет собой ось вращения, а длина вектора угол поворота. Этот способ задания поворота похож на предыдущий способ, но количество элементов здесь равно числу степеней свободы, и элементы не связаны между собой жесткими ограничениями. И мы можем взять трехмерный вектор с абсолютно случайными числами, и любой полученный вектор будет задавать какое-то возможное вращение.

Поворот вектора вокруг заданной оси

Теперь рассмотрим операцию, позволяющую реализовать поворот вектора вокруг оси.

Возьмем вектор — описывающий ось, вокруг которой нужно повернуть вектор на угол . Результирующий вектор обозначим как . Иллюстрируем процесс:

Вектор мы можем разложить сумму векторов: вектора, параллельный к вектору — , и вектора, перпендикулярному к вектору к вектору — .
.
Вектор — это проекция вектора на вектор . Т.к. — нормализованный вектор, то:

Та часть , которая принадлежит оси вращения () не измениться во время вращения. Повернуть нам нужно только в плоскости перпендикулярной к на угол , Обозначим этот вектор как . Тогда наш искомый вектор — .
Вектор можем найти следующим образом:

Для того, чтобы повернуть , выведем оси и в плоскости, в которой будем выполнять поворот. Это должны быть два ортогональных нормализованных вектора, ортогональных к . Один ортогональный вектор у нас уже есть — , нормализуем его и обозначим как ось — .

Теперь получим вектор оси . Это должен быть вектор, ортогональный к и (т.е. и к ). Получить его можно через векторное произведение: . Значит . По свойству векторного произведения будет равно площади параллелограмма, образуемого двумя исходными векторами ( и ). Так как вектора ортогональны, то у нас будет не параллелограмм, а прямоугольник, а значит . . Значит .
Поворот двумерного вектора на угол можно получить через синус и косинус — . Т.к. в координатах полученной плоскости сонаправлен с осью , то он будет равен . Этот вектор после поворота — . Отсюда можем вывести:


Теперь мы можем получить наш искомый вектор:

Мы разобрались с тем, как поворачивать вектор вокруг заданной оси на заданный угол, значит теперь мы умеем использовать поворот, заданный таким образом.

Получить вектор оси вращения и угол из вектора Родрига не составляет большого труда, а значит мы теперь умеем работать и с ним тоже.

Напоминаю, что матрица поворота представляет собой три базисных вектора , а углы Эйлера — три последовательных поворота вокруг осей , , . Значит мы можем взять единичную матрицу, как нулевой поворот , а затем последовательно поворачивать базисные вектора вокруг нужных нам осей. В результате получим матрицу поворота соответствующую углам Эйлера. Например:





Также можно отдельно вывести матрицы вращения по каждой из осей , , (, , соответственно) и получить итоговую матрицу последовательным их умножением:

Таким же образом можно перевести вектор поворота Родрига в матрицу поворота: также поворачиваем оси матрицы поворота, полученные от единичной матрицы.

Итак, с вращением объекта разобрались. Переходим к остальным трансформациям.


Масштабирование в трехмерном пространстве

Все тоже самое что и двумерном пространстве, только матрица масштабирования принимает вид:


Перемещение объекта

До этого момента точка начала локальных координат не смещалась в мировом пространстве. Так как точка начала координат нашего объекта — это его центр, то центр объект никуда не смещался. Реализовать это смещение просто: , где — вектор, задающий смещение.

Теперь мы умеем масштабировать объект по осям, поворачивать его и перемещать.
Объединим все одной формулой: :

Чтобы упростить формулу, мы можем, как уже делали ранее, объединить матрицы . В итоге наше преобразование описывает матрица и вектор . Объединение вектора с матрицей еще более бы упростило формулу, однако сделать в данном случае не получится, потому как сложение здесь — это не линейная операция. Тем не менее сделать это возможно, и рассмотрим этот момент уже в следующей статье.


Заключение

Для какого-то покажется, что статья описывает очевидные вещи, кому-то может показаться наоборот немного запутанной. Тем не менее это базовый фундамент, на котором будет строиться все остальное. Векторная алгебра — является фундаментом для многих областей, так что статья может вам оказаться полезной не только в дополненной реальности. Следующая статья будет уже более узконаправленной.

SpaceRn

По аналогии с предыдущими построениями ( R 2 и R 3 ) можно рассматривать совокупность всех упорядоченных n ‐кортежей действительных чисел ( x 109012 2 , …, x n ) с аналогичными операциями сложения и скалярного умножения. Это называется N -Space 1 (обозначено R N ), а векторы в R N называются N -Vectors .Стандартные базисные векторы в R n :

   

, где e k имеет 1 на k -м месте и нули в других местах. На всех рисунках выше точки и векторы изображены в R 2 и R 3 . Хотя невозможно нарисовать такие диаграммы для иллюстрации геометрических фигур в R n , если n > 3, с ними можно иметь дело алгебраически , и в этом заключается реальная сила алгебраическая машина.

Пример 1 : Рассмотрим векторы a = (1, 2, −3), b = (0, 1, −4, 2) и c = (5, −1, −1, 1) в р 4 . Определить вектор 2 a b + c .

Расширьте определения скалярного умножения и сложения векторов естественным образом для векторов в R 4 для вычисления

 

Пример 2 : Определить сумму стандартных базисных векторов e 1 , e 3 и e 4 в 5

5

Все векторы в R 5 состоят из пяти компонентов. Четыре компонента в каждом из стандартных базисных векторов в R 5 равны нулю, и одна компонента — первая в e 1 , третья в e 3 и четвертая в e 4 — имеет значение 1. Следовательно,

 

Норма вектора . длина (или евклидовой нормы ) вектора x обозначается ‖ x ‖, а для вектора x = ( x 1 , y 2 ) в R 2 , ‖ x ‖ легко вычислить (см. рисунок ), применяя теорему Пифагора:

Рисунок 1

Выражение для длины вектора x = ( x 1 , x x 3 ) в R 3 следует из двух приложений Pythagorean Theorem , как показано на рисунке:


Рисунок 2

в целом, норма вектора x = ( x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ) в R n определяется уравнением

Пример 3 : Длина вектора x = (3, 1, −5, 1) в R 4 равно

 

Пример 4 : Пусть x будет вектором в R n .Если c является скаляром, как соотносится норма c x с нормой x ?

если x = ( x 1 , x 2 , …, 2 n ), затем C x = ( CX 1 , cx 2 ,…, cx n ). Следовательно,

 

Таким образом, умножение вектора на скаляр c умножает его норму на | с |.Обратите внимание, что это согласуется с приведенным ранее геометрическим описанием скалярного умножения.

Расстояние между двумя точками . Расстояние между двумя точками x и y в R n — величина, обозначаемая d ( x, y ) — определяется как длина вектора 0 3 х y 9000:

 

Пример 5 : Каково расстояние между точками p = (3, 1, 4) и q = (1, 3, 2)?

Поскольку pq = q − p = (1, 3, 2) − (3, 1, 4) = (−2, 2, −2), расстояние между точками p и q равно

Единичные векторы .Любой вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором . Пусть x будет заданным ненулевым вектором и рассмотрим скалярное кратное x /‖ x ‖. (Нулевой вектор здесь должен быть исключен из рассмотрения, так как если бы x было 0 , то ‖ x ‖ было бы 0, и выражение x /‖ x ‖ было бы неопределенным.) результат примера 4 (при c = 1/‖ x ‖), норма вектора x /‖ x ‖ равна

 

Таким образом, для любого ненулевого вектора x является единичным вектором.Этот вектор обозначается («x шляпа») и представляет единичный вектор в направлении x . (Действительно, можно пойти дальше и фактически назвать направлением x .) Обратите внимание, в частности, что все стандартные базисные векторы являются единичными векторами; иногда их записывают как

, чтобы подчеркнуть этот факт.

Пример 6 : Найдите вектор y в R 2 , длина которого равна 10 и который имеет то же направление, что и x = 3 i + 4 j .

Идея проста: Найдите единичный вектор в том же направлении, что и 3 i + 4 j , а затем умножьте этот единичный вектор на 10. Единичный вектор в направлении x равен

 

Следовательно,

Скалярный продукт . Один из способов перемножить два вектора — если они лежат в R 3 — состоит в том, чтобы составить их перекрестное произведение. Другой способ составить произведение двух векторов — из того же пространства R n для любого n — состоит в следующем.Для любого двух N -Vectors x = ( x 1 , x 2 , …, x n ) и y = ( y 1 , y 2 ,…, y n ), их скалярное произведение (или евклидово скалярное произведение ) определяется уравнением

 

(Символ x·y читается как «x точка y».) Обратите внимание, что, в отличие от перекрестного произведения, скалярное произведение двух векторов представляет собой скаляр .По этой причине скалярное произведение также называют скалярным произведением . Можно легко показать, что скалярное произведение на R n удовлетворяет следующим полезным тождествам:

Пример 7 : Каково скалярное произведение векторов x =(−1, 0, 4) и y =(3, 6, 2) в R 3 ?

По свойству коммутативности не имеет значения, считается ли произведение равным x·y или y·x ; результат один и тот же в любом случае.Применение определения дает

 

Скалярное произведение вектора x = ( x 1 , x 2 ,…, x n ) с самим собой 2

 

Обратите внимание, что правая часть этого уравнения также является выражением для ‖ x 2 :

 

Следовательно, для любого вектора x ,

Это удостоверение используется следующим образом.С ‖ A 2 = a · , распределительные и коммутативные свойства точечного продукта подразумевают, что для любых векторов x и y в R N ,

 

Таким образом, ‖x + y ‖ 2 = ‖x‖ 2 + 2 x · y + ‖y‖ 2 (*)

Теперь, если x y , то по цифре , по теореме Пифагора будет


Рисунок 3

Следовательно, если x y , уравнение (*) и (**) подразумевает

   

, что упрощается до простого оператора x·y = 0.Поскольку этот аргумент обратим (при условии, что нулевой вектор ортогонален каждому вектору), был установлен следующий факт:

Это говорит о том, что два вектора ортогональны — то есть перпендикулярны — тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример 8 : Используйте скалярное произведение для проверки того, что векторное произведение векторов x = (2,3,0) и y =(−1,1,4) ортогонально как x , так и и ; затем покажите, что x x y ортогональны обоим x и y для любых векторов x и y в R 3 900.

Вы можете определить, что x x y = (12,−8,5). Критерием ортогональности является обращение в нуль скалярного произведения. Поскольку оба

   

и  

вектор x x y действительно ортогонален x и y . В общем

и аналогичный расчет показывает, что ( x x y ) · x = 0 также.

Неравенство треугольника .Из элементарной геометрии вы знаете, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. То есть, если A, B и C вершины треугольника, то

 

Это просто говорит о том, что прямой путь от A до C (вдоль стороны AC ) короче, чем путь от A до B и затем до C ; см. рисунок . Это называется неравенством треугольника .


Рисунок 4

Неравенство треугольника можно обобщить на векторы R n . Если x и y являются любыми двумя n ‐векторами, то

Рисунок показывает, что это утверждение можно интерпретировать так же, как элементарный геометрический факт о длинах сторон треугольника. [Однако заметное отличие состоит в том, что если x и y окажутся параллельными (то есть, если y является положительной скалярной величиной, умноженной на x ) или если либо x , либо y являются нулевой вектор, тогда ‖ х + у ‖ = ‖ х ‖ + ‖ у ‖.Обобщенное неравенство треугольника должно учитывать эти вырожденные случаи (отсюда слабое неравенство, ≤), тогда как неравенство треугольника из элементарной геометрии этого не делает (и, следовательно, сильное (или строгое ) неравенство, <).]


Рисунок 5

Пример 9 : Проверьте неравенство треугольника для векторов x = (−1, 0, 4) и y = (3, 6, 2) из ​​примера 20.

Сумма этих векторов равна x + y = (2, 6, 6), а длины векторов x, y и x + y равны

При этих длинах неравенство треугольника ‖ x + y ‖≤‖ x ‖+‖ y ‖ становится √76 ≤ √17+7, что безусловно верно, так как левая часть меньше 9, а правая часть больше 4 + 7 = 11.

Неравенство Коши-Шварца . Одно из наиболее важных неравенств в математике известно как неравенство Коши-Шварца .Для R n с внутренним произведением это неравенство утверждает

, в котором говорится, что абсолютное значение скалярного произведения двух векторов никогда не превышает произведение их норм. Из-за этого неравенства должно быть верно, что для любых двух ненулевых векторов x и y ,

Поскольку оба ‖ x ‖ и ‖ y ‖ положительны, знаки абсолютного значения могут быть изменены:

   

утверждение, которое теперь прямо подразумевает

Это последнее неравенство говорит о том, что существует ровно одно значение θ между 0 и π (включительно), такое что

Этот θ называется углом между векторами x и y ; геометрически это меньший угол между ними.(Примечание: угол θ не определен, если либо x , либо y являются нулевым вектором.) Чтобы убедиться, что этот θ действительно является геометрическим углом между x и y , рассмотрим рисунок , где предполагается, что угол между х и y острый.


Рисунок 6

Вектор z ортогонален x , и на рисунке показано, что y является суммой z и положительного скалярного числа, c x , x 05 : :

 

Скалярное произведение обеих частей этого уравнения с x дает

 

Поскольку x и z ортогональны, скалярное произведение x·z равно 0.Это уменьшает приведенное выше уравнение до

.

Но рисунок и определение cos θ показывают, что

Теперь, поскольку c положительно, ‖ c x ‖ = | с | ‖ x ‖ = c x ‖, поэтому это уравнение становится

 

Уравнения (*) и (**) вместе с тождеством x · x , тогда подразумевают

   

, который становится

Это доказательство можно распространить на случай, когда угол между x и y тупой, тем самым подтверждая следующее альтернативное, но полностью эквивалентное определение скалярного произведения:

 

Обратите внимание, что это уравнение согласуется с наблюдением x y x · y = 0, поскольку θ = π/2 подразумевает cosθ = 0.

Пример 10 : Используйте скалярное произведение для определения угла между векторами x = (2, 3, 0) и y = (−1, 1, 4).

Из приведенного выше уравнения в рамке

 

Следовательно, θ = cos −1 √1/234.

[Обратите внимание, что θ = sin −1 √233/234. Хотя это согласуется с настоящим расчетом (поскольку cos 2 θ + sin 2 θ всегда должно равняться 1 для любого θ, и здесь это определенно верно), лучше использовать скалярное произведение, чем векторное произведение для определить угол между двумя векторами в R 3 .Почему? Утверждение sinθ = √233/234 подразумевает, что θ равно либо 86,25 ° , либо 93,75 ° , и без дальнейших исследований трудно сказать, что верно. Здесь может не помочь даже картинка; угол настолько близок к 90 ° , что ваш рисунок, вероятно, не будет достаточно точным, чтобы заметить разницу. Но утверждение cosθ = √1/234 говорит, что θ определенно равно 86,25 ° , без какой-либо двусмысленности. В диапазоне от 0 до 180 ° функция синуса полностью положительна и не может отличить острый угол от его дополнения.Однако функция косинуса положительна для острых углов и отрицательна для тупых углов, поэтому она может — сразу — различать острый угол и его дополнение.]

Ортогональные проекции . Рассмотрим два ненулевых вектора x и y , исходящих из начала координат в R n . Опускание перпендикуляра из вершины x на линию, содержащую y , дает (ортогональную) проекцию x на y .Этот вектор обозначается proj y x .

Если θ < π/2 (рис. ), то -компонента x вдоль y , положительная скалярная величина, обозначаемая comp y x , равна норме (векторной) проекции x на у . Если θ > π/2 (рис. ), то составляющая x вдоль y является отрицательной скалярной величиной, равной отрицательной норме проекции x на y . (А если θ = π/2, то comp y x = 0, поскольку ортогональная проекция x на y является нулевым вектором.) В любом случае выполняется следующее уравнение:

, где θ — угол между x и y . Теперь, поскольку x · y = ‖ x ‖ ‖ y ‖cosθ, это уравнение для компоненты x вдоль y можно переписать как


Рисунок 7


Рисунок 8

Проекция вектора x на y равна произведению этого скаляра на единичный вектор в направлении y

Или, так как ‖ y 2 = y·y ,

 

Пример 11 : Найдите проекцию x = (2, 2, 4) на вектор y = (2, 6, 3).

Если θ — это угол между x и y , то составляющая x вдоль y определяется как

 

Следовательно,

 

См. рис.


Рисунок 9

строки . Линия определяется двумя различными точками, скажем, p и q . Если вектор pq проведен из p в q , то pq определяет направление линии.Таким образом, описание линии можно переформулировать следующим образом: линия L однозначно определяется

заданная точка, через которую проходит L ,

а также

заданный (ненулевой) вектор, параллельный L

Пусть p — заданная точка, через которую будет проходить прямая, а v — вектор, определяющий ее направление.

Из рисунка 1 легко увидеть, что точка x будет на прямой тогда и только тогда, когда вектор px параллелен (или антипараллелен) вектору v , что происходит, если px является скалярным кратным против :


Рисунок 10

Или, поскольку пикселей = x − p ,

 

Это параметрическое уравнение для прямой, проходящей через p параллельно v .Скаляр t является параметром , и каждая точка на линии задается определенным выбором t .

Пример 12 : Найдите уравнение прямой L в R 3 , проходящей через точку p = (2, 4, 2) и параллельной вектору v = (1, 2, 3). Где эта линия проходит через плоскость x−y ?

Точка x = ( x, y, z ) находится на линии L тогда и только тогда, когда вектор px является скалярным числом, кратным v

Следовательно,

 

Теперь линия пересекает плоскость x−y , когда z = 0.С  90 053

L пробивает плоскость x−y , когда параметр t принимает значение −2/3. Для этого т ,

, поэтому точка пересечения L и плоскости x−y равна a = (4/3, 8/3, 0). См. рис.


Рисунок 11

Пример 13 : Укажите уравнение прямой в R 4 , которая проходит через точки a = (−1, 1, 2, 0) и b = (3, 4, 0, − 5).Находится ли точка c = (7, 7, −2, −2) на этой прямой?

Поскольку прямая параллельна вектору

   

каждая точка x на линии описывается параметрическим уравнением

Точка c = (7, 7, −2, −2) будет лежать на этой прямой тогда и только тогда, когда существует значение параметра t такое, что

Однако, хотя первые три компонента в (*) согласуются, когда t = 2, четвертые компоненты не совпадают.Следовательно, точка c не лежит на прямой.

Самолеты . Плоскость в R 3 определяется тремя неколлинеарными точками. Если эти точки помечены a, b и c , то векторное произведение векторов ab и ac даст вектор v , перпендикулярный плоскости. Этот вектор v определяет ориентацию плоскости в пространстве; см. рисунок .


Рисунок 12

Описание плоскости можно сформулировать следующим образом: плоскость P однозначно определяется

  • заданная точка, через которую проходит P ,

и

  • заданный ненулевой вектор, который является нормальным — то есть перпендикулярным — к P

Пусть a — заданная точка на плоскости, и пусть v — определяющий вектор нормали с начальной точкой a .Затем, как показано на рисунке , для того, чтобы точка x лежала в P , v должны быть перпендикулярны вектору x .


Рисунок 13

Так как v ах v · ах = 0, плоскость определяется уравнением

, чтобы проиллюстрировать, пусть точка A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) и вектор V = ( v 1 , v 2 , v 3 ).Поскольку для любой точки x = ( x, y, z ), вектор 3 ), уравнение (*) становится равным

.

Где D = V 1 A 1 + V 2 2 A 2 + V 3 A 3 .Для самолета в R 3 это стандартное уравнение . Обратите внимание, что коэффициенты при x, y и z в стандартном уравнении являются в точности компонентами вектора, нормального к плоскости .

Пример 14 : Приведите стандартное уравнение плоскости P , определяемое точками p = (2, −1, 2), q = (2, 2, −1) и r = (0, 1, 1). Содержит ли этот план начало координат? Если нет, дайте уравнение плоскости, параллельной P , которая содержит начало координат.

Векторы pq = (0, 3, −3) и pr = (−2, 2, −1) лежат в P , и их векторное произведение pq x pr нормально к Р . См. рис.


Рисунок 14

Вызов выражения

   

для перекрестного произведения определяется, что

Поскольку вектор v = (3, 6, 6) является нормальным к P , стандартное уравнение P задается для некоторой константы d .Подстановка координат любой из трех заданных точек ( p, q или r ) в это уравнение дает d = 12. Таким образом, P задается уравнением 3 x + 6 y + 6 z = 12, или проще

Теперь, поскольку (0, 0, 0) не удовлетворяет этому уравнению, P не содержит начало координат. Однако уравнение x + 2 y + 2 z = 0 задает плоскость, параллельную P , которой удовлетворяет 0 = (0, 0, 0).См. рис.


Рисунок 15

Векторы, матрицы и тензоры

На этой странице дается краткое введение в линейную алгебру с особым акцентом на на векторных и матричных операциях, используемых в связи с глубоким обучением.

Векторы

Векторы обычно вводятся как представления величин, которые направление и величина. Например, скорость автомобиля определяется его скорость и направление движения автомобиля.Это может быть представлено вектором чье направление \(\тета\) совпадает с направлением автомобиля, а длина пропорциональна скорости автомобиля. Пример такого вектора проиллюстрирован на рисунке ниже.

Рисунок 1: Вектор

Приведенный выше рисунок также хорошо подходит для введения некоторых обозначений. В дальнейшем мы будем обозначать векторы жирным шрифтом, например. \(\mathbf{v}\), а величина вектора \(\mathbf{v}\) будет обозначаться как \(\left\lVert\mathbf{v}\right\rVert\).\(\theta\) — это угол между вектором и некоторым опорным направлением.

Векторы также используются для указания местоположения и смещения в математическом пространстве. Пример приведен на рисунке 2, где вектор \(\mathbf{v}\) представляет собой смещение в плоскости (показано жирной черной стрелкой) на \(v_1\) по первой оси и \(v_2\) по второй, т.е. можно увидеть \(\mathbf{v}\) по направлению от выбранного начала до точки на декартовой плоскости с координатами \((v_1, v_2)\).

Рисунок 2: Вектор, представляющий смещение в 2-мерном пространстве.

Формально вектор определяется как упорядоченный набор \(n\) чисел, который обычно записывается в виде вертикального массива, заключенного в квадратные скобки: $$\begin{уравнение} \label{eq:vector_definition} \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \end{уравнение}$$ Этот объект называется вектором-столбцом , а значения в массиве называются элементами вектора.Размер (также упоминается в качестве порядок , размерность или длина ) вектора количество элементов это содержит. Приведенный выше вектор, например, имеет размер \(n\) и называется \(n\)-вектор .

Горизонтальный массив, содержащий \(n\) чисел, называется вектором-строкой , например. $$\begin{уравнение} \label{eq:row_vector_definition} \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix} \end{уравнение}$$ Если термин вектор используется без дальнейшего уточнения, он понимается быть вектором-столбцом , как определено \eqref{eq:vector_definition}.

Сложение векторов и скалярное умножение

Если \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) являются \(n\)-мерными векторами, их сумма получается как добавление соответствующих элементов двух векторов $$\begin{уравнение} \label{eq:vector_addition} \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix} \end{уравнение}$$ Геометрически векторное сложение можно визуализировать в двух измерениях как просто добавление одного вектора в конец другого.Обратите внимание, что \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\).

Умножение вектора \(\mathbf{v}\) на число (т.е. скаляр ) \(k\) определяется как умножение каждого элемента вектора на \(k\) $$\begin{уравнение} \label{eq:vector_scalar_multiplication} k \mathbf{v} = \begin{bmatrix} k v_1 \\ k v_2 \\ \vdots \\ k v_n \end{bmatrix} \end{уравнение}$$ Скалярное умножение можно представить геометрически как изменение длины вектора.Если скаляр положителен, то направление результирующего вектора не меняется; если скаляр отрицателен, направление вектора меняется на противоположное. Скажем, например, мы умножаем вектор на \(k=-2\), тогда результатом будет вектор вдвое большей длины (т. е. вектор был масштабирован с коэффициентом, определяемым скаляр ), указывающий в направлении, противоположном вектору, с которого мы начали.

Вычитание векторов может быть определено в терминах сложения векторов и скалярного умножения $$\begin{уравнение} \label{eq:vector_subtraction} \mathbf{u} — \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-1) \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 — v_1 \\ u_2 — v_2 \\ \vdots \\ u_n — v_n \end{bmatrix} \end{уравнение}$$ я.\top\).\top \mathbf{v} \notag \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} \notag \\ &= 1\times7 + (-2)\times(-2) + 3\times(-4) \notag \\ &= 7 + 4 -12 \notag \\ &= -1 \нотаг \end{выравнивание}$$

Геометрическое определение векторного скалярного произведения

В евклидовом пространстве вектор объект, обладающий как направлением, так и величиной.Такой вектор \(\mathbf{v}\) обычно изображен в виде стрелки, длина которой представляет величину \(\left\lVert\mathbf{v}\right\rVert\) вектор. Направление вектора задается направлением, в котором указывает стрелка.

Предположим, что два вектора \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) разделены углом \(\theta\). То геометрическое определение их внутреннего продукта определяется как $$\begin{уравнение} \label{eq:inner_product_geometric_definition} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left\lVert\mathbf{u}\right\rVert \left\lVert\mathbf{v}\right\rVert \cos(\theta) \end{уравнение}$$ где \(\left\lVert\mathbf{u}\right\rVert\) и \(\left\lVert\mathbf{v}\right\rVert\) величины \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) соответственно.

Другими словами, скалярное произведение двух векторов определяется геометрически как размер скаляра проекция одного из векторов на другой, умноженная на размер другого вектора (того, на который проецируется), как показано на рисунке 3.

Рисунок 3: Скалярная проекция одного вектора на другой

Интуитивно \eqref{eq:inner_product_geometric_definition} говорит что-то о том, насколько «хорошо выровнено» два вектора.Если они ортогональны, то \(\cos(\theta)\) равно \(0\) и, следовательно, их внутреннее произведение также \(0\). Если векторы противоположны, т. е. указывают в противоположных направлениях, \(\cos(\theta)\) принимает значение \(-1\). С другой стороны, \(\cos(\theta)\) принимает значение \(1\) для сонаправленных векторов, то есть векторов, указывающих в одном направлении.

Поскольку данный вектор явно сонаправлен самому себе, то \eqref{eq:inner_product_geometric_definition} подразумевает, что скалярное произведение вектора \(\mathbf{v}\) на самого себя равно $$\begin{уравнение} \label{eq:inner_product_of_vector_with_itself} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \left\lVert\mathbf{v}\right\rVert ^2 \end{уравнение}$$ Что сразу дает нам евклидову длину \(\mathbf{v}\) как

Обратите внимание, что теорема Пифагора применяется к вектору в рисунок 2 дает тот же результат.$$\begin{уравнение} \label{eq:euclidean_length_of_vector} \left\lVert\mathbf{v}\right\rVert = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \end{уравнение}$$ Однако евклидова длина — это всего лишь один из способов измерения «величины» вектора. Итак, в следующем разделе мы более подробно рассмотрим общую концепцию векторная норма

Вектор Норма

Математическая норма – это обобщение общего понятия длины или размера, я.{n} \to \mathbb{R}\) который имеет следующие свойства

\(\left\lvert \alpha \right\rvert\) обозначает абсолютное значение \(\alpha\). Для любого \(\alpha \in \mathbb{R}\) абсолютное значение \(\alpha\) определяется как \(\left\lvert \alpha \right\rvert = \begin{cases} \alpha \text{, если } \alpha \ge 0 \\ -\alpha \text{, если } \alpha \lt 0 \end{case} \)
например. \(\left\lvert 42 \right\rvert = 42\) и \(\left\lvert -42 \right\rvert = 42\).
В качестве альтернативы абсолютное значение \(\alpha\) может быть определено как \(\left\lvert \alpha \right\rvert = \sqrt{\alpha ^2}\)

  1. \(\left\lVert \mathbf{v} \right\rVert \ge 0\) для любого вектора \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}\), и \(\left\lVert \mathbf{v} \right\rVert = 0\) тогда и только тогда, когда \(\mathbf{v} = 0\)
  2. \(\left\lVert \alpha \mathbf{v} \right\rVert = \left\lvert \alpha \right\rvert \left\lVert \mathbf{v} \right\rVert\) для любого вектора \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}\) и любого скаляра \(\alpha \in \mathbb{R}\)
  3. \(\left\lVert \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\rVert \le \left\lVert \mathbf{u} \right\rVert + \left\lVert \mathbf{v} \right\ rVert\) для любых векторов \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}\)
Где последнее свойство называется неравенством треугольника .Чтобы получить интуитивное понимание неравенства треугольника, рассмотрим случай, когда вы добавляют два вектора в двумерном пространстве, как показано на рис. 4. Должно быть совершенно очевидно, что (евклидова) длина суммы два вектора всегда меньше или равны сумме длин отдельных векторы. Рисунок 4: Иллюстрация неравенства треугольника в двумерном пространстве.

Определение нормы для векторного пространства позволяет нам охарактеризовать любой заданный вектор как одно положительное скалярное значение, т.е.е. норма дает нам простой способ сравнения векторов в том же пространстве. Но «беда» с нормами в том, что их очень много. и нам нужно выбрать тот, который подходит в том смысле, что он представляет сущности проблема, которую мы пытаемся решить, и что норму можно вычислить при приемлемых затратах.

р -норма

Класс \(p\)-норм является обобщением евклидовой длины вектора \eqref{eq:euclidean_length_of_vector} и имеет множество приложений в математике, физике и информатике.1\)-норма также известна как норма такси , так как аналогию предлагают такси, движущиеся по сетке улиц (как, например, в Манхэттен) — такие такси не должны измерять расстояние с точки зрения длины прямая линия между их отправной точкой и пунктом назначения, но с точки зрения прямолинейного расстояния* * Прямолинейное расстояние определяется как расстояние между двумя точками, измеренное вдоль осей под прямым углом. между двумя точками.\infty\)-norm дает вам абсолютное значение элемента вектора который имеет наибольшее абсолютное значение среди всех элементов вектора. Отсюда это векторная норма также известна как максимальная норма .

Пример

В таблице ниже приведены рассмотренные выше векторные нормы (плюс еще пара :-). Кроме того, значения норм приведены для примера вектора-строки \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\).2\)-норме единичный шар есть известная сфера.

Каталожные номера

  • [Boyd2018]   Стивен Бойд и Ливен Ванденберге, Введение в прикладную линейную алгебру — Векторы, матрицы и метод наименьших квадратов , Издательство Кембриджского университета,
  • [IFEM2017]   Введение в методы конечных элементов, Линейная алгебра: векторы , Университет Колорадо в Боулдере,
  • [Ламберс2010]   Джим Ламберс, Заметки к лекции 2 (по числовой линейной алгебре) , Университет Южного Миссисипи,

Единичный вектор – обзор

1 Предварительные сведения

Сначала мы напомним несколько ключевых свойств L p и ℓ p , которые обсуждаются в главе об основных понятиях.

Базис единичных векторов для ℓ p является 1-симметричным базисом [49, раздел 3]. Базис Хаара ( h i ) 0 является безусловным базисом L p при 1 < p < ∞ [424, разд. 3] [424, § 3]. Это также монотонный базис для L p для 1 ≤ p < ∞. Функции Радемахера (rn)n=1∞, [49, Раздел 4], эквивалентны базису единичных векторов ℓ 2 для p < ∞, (и базису единичных векторов ℓ 1 для p = ∞).

Таким образом, для 0 < p < ∞ существуют константы A p , B p с

(1.1)Ap(∑|an|2)1/2≤(∫01|∑anrn(t)|pdt)1/p≤Bp(∑|an|2)1/2

для всех скаляров ( a n ). A p = 1, если 2 ≤ p < ∞ и B p = 1, если p ≤ 2.

Если (xi)1∞ — нормированная последовательность функций с непересекающимся носителем на [0, 1] в L p с (1 ≤ p < ∞), тогда ( x i ) 1-эквивалентна базис единичного вектора ℓ p и [( x i )] дополняется до 1 через проекцию

P(x)=∑i=1∞(∫01sign  xi(t)|xi(t)|p−1x(t)dt)xi.

При 1 < p < ∞, L p является равномерно выпуклым и равномерно гладким с модулем выпуклости (соответственно гладкости) степенного вида p (соответственно степенного вида q ) 1p+1q=1), [49, Section 6], L p имеет тип min(2, p ) и котип max(2, p ) для 1 ≤ p < ∞ [ 49, раздел 8].

Для (xi)1n⊆Lp

(1.2)Ap(∑1n||xi||p2)1/2≤(∫01||∑1nri(t)xi||ppdt)1/p≤(∑1n||xi||pp)1 /p

, если 1 ≤ p < 2, и

(1.3)(∑1n||xi||pp)1/p≤(∫01||∑1nri(t)xi||ppdt)1/p≤Bp(∑1n||xi||p2)1/2

, если 2 < p < ∞.

Например, чтобы увидеть (1.2), мы используем теорему Фубини, || ⋅ ||Lp≤|| ⋅ ||L2, (1.1) при p = 2 и || ⋅ ||ℓp≥  || ⋅ ||ℓ2, чтобы получить

(1.4)∫01||∑1nri(t)xi||ppdt=∫01∫01|∑1nri(t)xi(s)|pdt ds≤∫01[∫01|∑1nri(t)xi( s)|2dt ]p/2ds=∫01(∑1n|xi(s)|2)p/2ds≤∫01∑1n|xi(s)|pds

, откуда следует правое неравенство (1.2). Также по (1.1)

∫01∫01|∑1nri(t)xi(s)|pdt ds ≥ App∫01(∑1n|xi(s)|2)p/2ds.

Сейчас

(∑1n||xi||p2)p/2=||(||xi||pp)1n||ℓ2/p=∑1n||xi||ppai|для некоторых (ai)1n∈ℓ2 /(2−p) нормы 1≤∫01(∑1n|xi(s)|2)p/2(∑1n|ai|2/(2−p))(2−p)/2ds по неравенству Хёдера= ∫01(∑1n|xi(s)|2)p/2ds,

, что завершает доказательство (1.2).

(1.2) и (1.3) можно рассматривать как обобщение неравенств Кларксона [29]. С || ⋅ ||Lp≤   || ⋅ ||L2 для p ≤ 2 мы также имеем, используя (1.2) для p = 2, что

(1.5)(∫01||∑1nri(t)xi||ppdt)1/p≤ (∑1n||xi||22)1/2  для  1 ≤ p < 2,

и аналогичные

(1.6)(∫01||∑1nri(t)xi||ppdt)1/p≤ (∑1n||xi||22)1/2  для   2

Техника интегрирования против Радемахера дает некоторые полезные неравенства для безусловных основных последовательностей в L p . Если ( x n ) является λ-безусловной базовой последовательностью в L p , то

(1.7)λ−1[∫01(∑|an|2|xn(s)|2)p/2ds]1/2≤||∑anxn||p      ≤λBp[∫01(∑|an| 2|xn(s)|2)p/2ds],  если 2≤p<∞,

(1.8)(λ,Ap)−1[∫01(∑|an|2|xn(s)|2) p/2ds]1/p≤||∑anxn||p      ≤λ[∫01(∑|an|2|xn(s)|2)p/2]1/p if  1≤p≤2,

что означает, что ( x n ) и (|xn|) эквивалентны.

Если ( x n ) также нормализовано,

(1.9)λ−1(∑|an|p)1/p≤||∑anxn||p≤λBp(∑|an|2)1/2,        if  2≤p<∞.

(1.10)(λAp)−1(∑|an|2)1/2≤||∑anxn||p≤λ(∑|an|p)1/p,         if  2 ≤ p ≤2.

Последние два неравенства являются непосредственными следствиями (1.2) и (1.3).

Любая последовательность мартингальных разностей в L p является безусловной [25], что обобщает факт безусловности базиса Хаара. В частности, любая последовательность средних нулевых независимых случайных величин в L p является безусловной.Неравенство Розенталя [91] дает нам некоторую информацию о таких последовательностях. Пусть 2 < p < ∞. Существует K p < ∞, так что если ( x i ) n 1 независимые средние нулевые случайные величины в p

(1.11)12max{(∑i=1n||xi||pp)1/p, (∑i=1n||xi||22)}       ≤||∑i=1nxi||p≤Kpmax{( ∑i=1n||xi||pp)1/p, (∑i=1n||xi||22)1/2}.

В [55] показано, что K p ~ p /ln p .

Банахово пространство X является L p -пространство, если для всех конечномерных пространств F X существует конечномерное E с F⊆E⊆X, так что d(E,ℓpdim  E)≤λ. В конечном итоге оказывается (см. раздел 5), что сепарабельное X есть L p для некоторых λ и 1 < p < ∞ тогда и только тогда, когда X изоморфно дополняемому подпространству в L p , которое не изоморфно гильбертовому пространству [66,68].

С L 1 ситуация сложнее. Предполагается, что каждое бесконечномерное дополняемое подпространство X пространства L 1 изоморфно L 1 или ℓ 1 .

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.