Site Loader

Содержание

Операции над векторами: теория и примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

На этом уроке освоим самые простые операции над векторами, достаточные для вхождения в изучение векторной алгебры. Предварительно желательно ознакомиться с материалом о том, что такое вообще векторы.

Прежде чем Вы узнаете всё об операциях над векторами, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор «Результат», который приводит Вас к Цели 3.

А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.

Умножение вектора на число


Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат — требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку

A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы —

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Перед решением задач этого параграфа желательно ознакомиться с материалом о координатах вектора.

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 6. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора


на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.


Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

Векторы. Действия над векторами — презентация онлайн

Векторы.
Действия над векторами.
Составитель:
Станкевич Виктория,
Руководитель: Коренюгина Людмила
Михайловна
Определение векторов.
Векторы занимают особое место среди объектов,
рассматриваемых в высшей математике,
поскольку каждый вектор имеет не только
числовое значение — длину, но и физическое и
геометрическое — направленность. Вектор,
представленный направленным отрезком,
идущим от точки A к точке B, обозначается так: .
Вектор — это вид представления точки, до которой требуется
добраться из некоторой начальной точки. Например,
трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде
(х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как
далеко требуется пройти в трёх различных
направлениях, чтобы добраться до точки.
Все остальные термины — это уточнения
представленного выше объяснения, необходимые
для различных операций над векторами, то есть,
решения практических задач. Пройдёмся по этим
более строгим определениям, останавливаясь на
типичных задачах на векторы.
Физическими примерами векторных величин могут
служить смещение материальной точки, двигающейся в
пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также
действующая на неё сила.
Геометрический вектор представлен в двумерном и
трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка.
Это отрезок, у которого различают начало и конец.
Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор
обозначается символом
или одной строчной буквой .
На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)
Длиной (или модулем) геометрического вектора
называется длина порождающего его отрезка IABI
Два вектора называются равными, если они могут быть
совмещены (при совпадении направлений) путём
параллельного переноса, т.е. если они параллельны,
направлены в одну и ту же сторону и имеют равные
длины.
Линейные операции над
геометрическими векторами
Умножение вектора на число
Произведением вектора на число называется вектор,
получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием
(при ) в раз, причём направление вектора сохраняется,
если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)
Из определения следует, что векторы = и = всегда
расположены на одной или на параллельных прямых.
Такие векторы называются коллинеарными. (Можно
говорить также, что эти векторы параллельны, однако в
векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».)
Справедливо и обратное утверждение: если векторы
и коллинеарны, то они связаны отношением
. (1)
Следовательно, равенство (1) выражает условие
коллинеарности двух векторов.
.
Сложение и вычитание
векторов
Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция
вычисления вектора c, все элементы которого равны
попарной сумме соответствующих элементов векторов a и
b, то есть каждый элемент вектора c равен: сi = ai + bi
Вычитание векторов (разность векторов) a — b есть
операция вычисления вектора c, все элементы которого
равны попарной разности соответствующих элементов
векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:
с i = ai — b i
Формулы сложения и
вычитания векторов
Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by}
можно найти, воспользовавшись следующими формулами:
a + b = {ax + bx; ay + by}
a — b = {ax — bx; ay — by}
Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач
В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = {ax ; ay ; az} и
b = {bx ; by ; bz} можно найти, воспользовавшись следующими формулами:
a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz}
a — b = {ax — bx; ay — by; az — bz}
Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов
В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = {a1 ; a2 ; … ; an} и
b = {b1 ; b2 ; … ; bn} можно найти, воспользовавшись следующими формулами:
a + b = {a1 + b1; a2 + b2; … ; an + bn}
a — b = {a1 — b1; a2 — b2; … ; an — bn}
Операции над векторами,
заданными в координатной форме
Если векторы заданы в координатной форме,
то операции сложения и вычитания
векторов, умножения вектора на число
можно заменить более простыми
арифметическими операциями над
координатами этих векторов по следующим
правилам.
Правило 1. При сложении векторов их
одноименные координаты
складываются:
.
Правило 2.
Чтобы вычесть из вектора
вектор,
нужно вычест координаты
вектораиз соответствующих координат вектора,
т.е.
Правило 3.Чтобы умножить вектор
на число
, нужно умножить на это число его координаты ,
т.е. Если
, то.
Спасибо за внимание

Векторы. Действия над векторами

Характеристика урока:

Данный урок является вторым в разделе «Векторы».

Теме «Векторы в пространстве» в примерной программе ФИРО отводится 12 часов.

Темы разбиты следующим образом:

Понятие вектора. Действия над векторами

1.Скалярные и векторные величины. Угол между векторами. Сумма векторов

2.Противоположные векторы. Разность векторов. Умножение вектора на число

3.Коллинеарные векторы. Разложение вектора

Прямоугольная декартова система координат

4.Прямоугольная декартова система координат. Координаты вектора. Длина вектора

5.Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения

6.Угол между векторами

Для гуманитарного и естественно-научного профилей профессионального образования более характерным является усиление общекультурной составляющей учебной дисциплины с ориентацией на визуально-образный и логический стили учебной работы.

Урок проводится в нестандартной форме с целью поддержания интереса к предмету. Учащиеся на подобных уроках получают хороший эмоциональный заряд, так как урок проходит в непринужденной доброжелательной обстановке. Важным положительным эффектом применения компьютерной техники на уроке является повышение мотивации учения. При изучении темы “Векторы в пространстве” необходимо актуализировать довольно большой объем знаний, полученных в 9 классе. С использованием компьютера этот процесс идет значительно быстрее, а за счет экономии времени удается рассмотреть большее количество задач, сократить время на повторение пройденного материала и усвоение нового материала за счет большей наглядности и активизации зрительной памяти. Чертеж, выполненный на доске, проигрывает виртуальному уже хотя бы потому, что виртуальный можно воспроизводить в неизменном виде (что актуально для зрительной памяти) любое количество раз; при необходимости можно возвращаться к предыдущим этапам построения.

Использование компьютерных технологий в образовательном процессе вообще и на уроках математики в частности, позволяет придти к следующим выводам:

Мультимедийная система обеспечивает:

  • Наглядность материала, в том числе, за счет звука, цвета, движения;

  • Ускорение темпа урока;

  • Свободу постоянного экспериментирования с целью улучшения методики преподавания;

  • Последовательный характер обучения за счет планомерного накапливания наглядных электронных пособий, позволяющих с легкостью в любой момент вернуться к уже знакомым, эмоционально окрашенным образам пройденного материала, которые могут быть гораздо экспрессивнее всем известных опорных сигналов.

Компьютер на уроке — это педагогическая реальность, которая твердо вошла в нашу жизнь; при этом компьютер можно рассматривать как еще одно дополнение к процессу обучения, а не заменяющее учителя и учебник средство обучения.

В этой теме основной акцент делается на формирование наглядных представлений. Для каждого из рассматриваемых случаев даются определения и некоторые признаки. При изучении определений и свойств векторов основное внимание необходимо уделить усвоению формулировок и умению применять их к решению задач.

Основное внимание направлено на задачи вычисления суммы и разности векторов, нахождения координат вектора, через начало и конец вектора , умножения вектора на число, а также признака коллинеарности векторов. При повторении определений равных и сонаправленых, противоположных и противоположнонаправленных векторов особое внимание следует уделить “реальному” изображению этих векторов. С этой целью различные векторы иллюстрирую на отдельных слайдах и на прямоугольном параллелепипеде.

Работая на уроке, учащиеся овладевают:

1. Учебно-интеллектуальными умениями и навыками:

— по формулам вычисляют координаты вектора, длину вектора, сумму и разность векторов, умножают вектор на число.

2. Учебно-исследовательским:

— анализируют учебный материал 9 класса , сравнивают коллинеарные векторы, равные, сонаправленные, противоположные и противоположнонаправленные векторы по их координатам и представляя их графически.

3. Учебно-организационными:

— планируют работу, осуществляют самоконтроль.

Чтобы урок для учащихся был активным и максимально индивидуализированным, чтобы реализовались особенности каждого учащегося, применяю технологию интерактивного обучения с опорными конспектами.

Тема урока: Векторы в пространстве. Действия с векторами

Цели урока:

образовательные:

  • Ввести понятие вектора в пространстве, его длины, понятие коллинеарных и равных векторов; действия над векторами в пространстве.

развивающие:

  • Развитие пространственного воображения учащихся.

  • Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.

  • Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

  • Воспитание умения слушать, умения работать в малых группах.

методические:

  • Активизация мыслительно-познавательной деятельности учащихся.

  • Создание условий для формирования знаний, умений и навыков

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: урок с компьютерным сопровождением.

Интерактивная технология: работа с опорным конспектом, во время компьютерного сопровождения

Учебный предмет: геометрия

Уровень образования школьников: урок проводился с учащимися 1 курса колледжа «Подмосковье».

Метод обучения: наглядный; демонстрация мультимедийной презентации.

Дидактическое обеспечение:

  • тесты;

  • опорные конспекты “Векторы на плоскости и в пространстве”.

Материально-техническое обеспечение:

  • Компьютер.

  • Экран.

  • Мультимедийный проектор.

  • Мультимедийная презентация.

Межпредметные связи:

Алгебра: «Действия над действительными числами»

Физика: «Сила», «Скорость», «Движение», «Давление»

А так же биология, химия, экономика, психология, литература

Структура урока:

  1. Организационный момент.

  2. Мотивация учебной деятельности.

  3. Изучение нового материала и применение знаний при решении типовых задач.

  4. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

  5. Задание на дом.

  6. Рефлексия.

  7. Итог урока.

Ход урока:

  1. Организационный момент.

Преподаватель приветствует учащихся и отмечает в журнале отсутствующих.

II. Мотивация учебной деятельности.

Вступительное слово преподавателя:

(слайд 1)

Эпиграфом к нашему уроку я взяла высказывание американского физика Юджина Пола Вигнера: “Математика — это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями“. Сегодня как раз мы и будем заниматься такими хитроумными операциями над специально разработанными понятиями.

(слайд 2) Шарада:

Мой первый слог — почтенный срок,

Коль прожит он недаром;

Модель второго на столе,

Румяна, с пылу с жару.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий».

(Век-тор)

Слайд(3-4)

Преподаватель сообщает тему урока и ставит задачу совместного сотрудничества с учащимися на период урока,

Слайд(5-8)

В наши дни понятие «вектор» постоянно встречается в газетных и журнальных пуб­ликациях, в выступлениях политиков, уче­ных, педагогов. Обсуждая важнейшие про­цессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора раз­вития системы образования.

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор.

Понятие о век­торе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованно­го человека.

Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831).

А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу

Гибсс — американский физик, физикохимик, математик и механик, один из создателей векторного анализа, статистической физики, математической теории термодинамики, что во многом предопределило развитие современных точных наук и естествознания в целом.

Образ Гиббса запечатлён в «Галерее славы великих американцев». Его имя присвоено многим величинам и понятиям химической термодинамики: энергия Гиббса, парадокс Гиббса, правило фаз Гиббса, уравнения Гиббса — Гельмгольца, уравнения Гиббса — Дюгема, лемма Гиббса, треугольник Гиббса — Розебома и др.

(Слайд 6)

Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа.

Слайд(7)

Почти одновременно с ним исследованиями в том же направлении занимался

английский математик — Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879)

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

( Слайд 8) Коши

Слайд(9)

Векторы всюду.

Предлагается учащимся сделать небольшие выступления по заданной теме

1-ый учащийся

Вектор используются везде, даже там, где мы их не замечаем, например в литературе:

Маргарита Алигер, биография которой вызывает искренний интерес у поклонников ее творчества, – знаменитая советская поэтесса, удостоившаяся Сталинской премии второй степени за поэму «Зоя» о бесстрашном подвиге советской девушки Зои Космодемьянской. После семилетки училась в химическом техникуме. С детства писала стихи.

Векторы в физике.

О, физика, наука из наук!
Все впереди!
Как мало за плечами!
Пусть химия нам будет вместо рук,
Пусть станет математика очами.
Не разлучайте этих трех сестер,
Познания всего в подлунном мире.
Тогда лишь будет ум и глаз остер,
И знанье человеческое шире.

Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу равна нулю. А сила, как известно, векторная величина.

2 –ой учащийся

В химии. Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца. Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее, основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

3 –ий учащийся

Вектором (в биологии) называется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы. Вектор (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

4-ый учащийся

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора. Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

5-ый учащийся

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов. Системно-векторная психология позиционируется не как отрасль классической психологии или определенное течение, а как отдельная наука изучения типологии личности.

Вектор – это симбиоз физиологических и психологических качеств человека. Это — характер, темперамент, здоровье, привычки индивида.

Векторы в повседневной жизни

Мы обратили внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются нам каждый день, т.е. повседневно. Векторы – указатели, которые помогают нам быстро найти тот или иной объект, отдел и сэкономить время, или стрелки дорожных знаков.

Слайд(10)

В курсе 9 класса вы изучали векторы на плоскости

Перед нами стоит задача – дать определение вектора в пространстве, научиться находить его длину по координатам начала и конца вектора и рассмотреть основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число, а также рассмотреть коллинеарные и компланарные векторы.

Поставленную перед нами задачу мы будем решать на основе сравнительного анализа и установления закономерностей: как давались определения вектора и операций над векторами на плоскости и как они формулируются для векторов в пространстве. На каждой парте лежат опорные конспекты, правую часть которых необходимо заполнить учащимся, пользуясь материалом учебника.

III. Изучение нового материала и применение знаний при решении типовых задач.

На прошлом уроке вы составляли опорные конспекты. где отмечали основные определения и действия с векторами на плоскости. Теперь я предлагаю вам в этих же конспектах заполнить вторую часть их

На плоскости

В пространстве

Определение. Вектором называется направленный отрезок

Длина этого отрезка называется длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора.

=

| | = АВ

Определение.

Координаты вектора.


2 – х1; у2 – у1)

Координаты вектора.

А11; у1; z1)

А22; у2; z2)

(________;_________;__________)

Длина вектора. (х; у)

= + у2

Длина вектора. (х; у; z)

= √

Коллинеарные векторы

Векторы .лежащие на одной прямой или на парраллельных прямых

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

.

Противоположнонаправленные векторы


Признак коллинеарности векторов

1; у1) (x2; y2)

=

Признак коллинеарности векторов

1; у1; z1) (x2; y2; z2)

Равные векторы. У равных векторов равны соответствующие координаты.


1; у1) х1 = х2

2; у2) у1 = у2

Векторы равны, если:

  1. Равны длины векторов

  2. Векторы сонаправлены

Равные векторы.

1; у1; z1)

2; у2; z2)

Векторы равны, если:

1.

2.

Противоположные векторы.

1; у1) x1 = — x2

(x2; y2) y1 = — y2

Противоположные векторы.

1; у1; z1)

(x2; y2; z2)

Сумма векторов


1; у1) и (x2; y2)

+ = (x1 + y1; x2 + y2)

Сумма векторов (х1; у1; z1) и (x2; y2; z2)

+ = (______; ______;_______)

Р азность векторов


1; у1) и (x2; y2)

— = (x1 — y1; x2 — y2)

Разность векторов1; у1; z1) и (x2; y2; z2)

— = (______; _______;________)

Умножение вектора на число


λ (х; у) = (λх; λу)

Умножение вектора на число


λ (х; у; z) = (λх; λу; λz)

Вопросы:

(слайд12)

Дайте определение вектора в пространстве и запишите его в таблицу.

(слайд 13)

Как найти координаты вектора, зная координаты точек начала и конца вектора., запишите в таблицу

(слайд 14)

Задача Найдите координаты вектора , если М(10; -4; 2) и К(16; 2 -5).

Ответ: (6; 6; -7)

(слайд 15)

Как вычислить длину вектора, зная его координаты, запишите в таблицу

(слайд 16)

Задача 2. Найдите модуль вектора ( — 5; 1; 2).

Ответ:

(слайд 17)

Любая точка пространства является нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна 0.

(слайды 18 -20 )

Коллинеарные вектора, сонаправленные, противоположнонаправленные, признак коллинеарности , записать в таблицу

(слайд21)

(слайд 22)

Устно решить задачу. Какие векторы на рисунке сонаправлены, противоположнонаправлены. Найти длины векторов

(слайд23,24)

Равенство векторов, противоположные векторы, записать в таблицу

(слайд25)

Могут быть ли равными векторы?

( слайд26)

Сколько равных векторов изображено на рисунках?

(слайд 27)

При каком значении n векторы (4; 2n — 1; -1) и (4; 9 – 3n; -1) равны?

Ответ: при n = 2

(слайд 28)

Лови ошибку.

(слайд 29)

Назовите векторы.

( слайды30-36)

Дайте определение суммы векторов. А если сложить несколько векторов в пространстве, какая фигура получится?

Заметили ли вы, что многоугольник, который получается при построении суммы нескольких векторов, может оказаться пространственным, т. е. не все его вершины лежат в одной плоскости?

(слайд 37)

Задача 5. Найдите сумму векторов и , если А(2; 3; -1), С(3; -2; 0), а В – произвольная точка пространства

Ответ: (1; -5; 1)

(слайды 38-39)

Дайте определение разности векторов.,запишите в таблицу

(слайд 40)

Задача 6. Найдите разность векторов и , если В(3; 7; 10), С(1; 9; -6), а А – произвольная точка пространства.

Ответ: (2; -2; 16)

(слайды 41-43)

Как умножается вектор на число?,запишите в таблицу

(слайд 44)

Задача 7. Найдите координаты вектора с = 2а -3b, если а(7; -3; 0) и b(4; 1; -2)

Ответ: (2; -9; 6)

(слайд 45)

Задача 8. Найдите абсолютную величину вектора 3 , если (4; -4; 2) Рассмотреть 2 способа решения.

Ответ: = 18

  1. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

(слайд 50)

Устный тест:

1.Что называется вектором?

а)любой отрезок

б)отрезок, обозначенный двумя заглавными латинскими буквами

в) отрезок с выбранным направлением

2. Какой вектор является нулевым?

а)длина вектора равна 0

б)вектор лежит на прямой

в)вектор обозначен одной буквой

3. Векторы коллинеарны, если…

а)лежат на прямых

б)лежат на параллельных прямых

в)один из векторов нулевой

5. Векторы называются равными, если …

а)их длины равны

б)их модули равны и векторы направлены в одну сторону

в)они отложены от одной точки

(слайд 52)

Даны векторы (-3; 0; 4) и (2; 4; -4)

Запишите:

  1. Длину вектора .

  2. При каких значениях k и m вектор (k; -3; m) коллинеарен вектору ?

  3. Из векторов (1; 1; -2), (-1; -2; 2), (2; -4; 4), (-4; -4; 2) укажите векторы противоположнонаправленные с вектором .

(Слайд53)

Дано:

Решение

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим координаты вектора

  1. Теперь находим аналогично координаты вектора

  1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

Ответ:

С учетом познавательных и когнитивных способностей необходимо учащимся раздать разноуровневые задания на применение навыков и умений действий над векторами (работа в тетрадях).

Вариант А

  1. Найдите координаты вектора , если

  2. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

Вариант В

  1. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

  2. Даны векторы Найдите координаты вектора

  3. Найдите длину вектора , если

Вариант С

  1. Даны векторы Найдите координаты вектора

  2. Найдите длину вектора , если

  3. Из точки построен вектор . Найдите координаты точки , если:

  1. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

Данный вид работы учащиеся выполняют в тетрадях, после чего учитель собирает тетради для проверки.

V. Задание на дом. (слайд 54)

VI. Рефлексия. (слад 55)

Закончи предложение: Я умею …, я могу …, я знаю ….

VII. Итог урока. Оценивание учащихся.

Векторы Действия над векторами Вектор А В

Векторы Действия над векторами

Вектор А В

Коллинеарность векторов a d b c e

Равенство векторов a b c

Правило треугольника a b

Правило треугольника В a a b А

Правило треугольника В a a b А b С

Правило треугольника В a b А c=a+b С

Правило параллелограмма a b

Правило параллелограмма В a a b А b С

Правило параллелограмма В a D a b А b С

Правило параллелограмма В a D a b А c=a+b b С

Правило многоугольника a b c

Правило многоугольника a a b c

Правило многоугольника a a b c b

Правило многоугольника a a b c

Правило многоугольника a a b c b d=a+b+c c

Вычитание векторов a b

Вычитание векторов a В b a А

Вычитание векторов a С -b b В a А

Вычитание векторов a С b c=a-b -b В a А

Вычитание векторов a b

Вычитание векторов a В a b А b С

Вычитание векторов a В a b c=a-b А b С

Умножение вектора на число a b c

Умножение вектора на число a b 2 a c

Умножение вектора на число a b -1, 5 b c

Умножение вектора на число a 3 c b c

Параллелепипед D 1 C 1 B 1 A 1 C D A B

Найти сумму векторов l l C A B AC+CD+DB l DB+AC+BA l D AB+BC+CD CD+AC+DA

Найти сумму векторов l AB+BC+CC 1+C 1 D 1 l BC+CD+D 1 A+DD 1 l C 1 DB+AC+BA+АА 1 A 1 B 1 D l CD+AC+DA C A B

Координаты вектора l Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала. l Например:

Длина вектора l Чтобы найти длину вектора, нужно вычислить корень квадратный из суммы квадратов координат вектора. l Например:

Сумма векторов l Чтобы найти координаты суммы векторов, нужно сложить соответствующие координаты. l Например:

Разность векторов l Чтобы найти координаты разности векторов, нужно вычесть соответствующие координаты. l Например:

Умножение вектора на число l Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить на это число соответствующие координаты. l Например:

Скалярное произведение векторов l Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. l Например:

Угол между векторами l Из определения скалярного произведения следует

Векторы и линейные операции над векторами | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

К линейным операциям над векторами относятся:

1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

2) сложение векторов (Суммой векторов называется вектор, обозначаемый , начало которого находится в начале первого вектора a1, а конец – в конце последнего вектора an, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма)

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Линейной комбинацией векторов ai называется вектор a, определяемый по формуле , где – некоторые числа.

Если для системы n векторов ai равенство

верно только в случае, когда эта система называется линейно независимой. Если же равенство (1) выполняется для , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов aі называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядочных линейно независимых вектора ē1, ē2, ē3 в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē1, ē2, ē3, т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē1 +2 + zē3, где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē1, ē2, ē3. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Пример 5. Векторы заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: a=(2;-1;8),  е1 = (1,2,3), е2 = (1,-1,-2), е3 = (1,-6,0). Убедиться, что тройка е123 образует базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если определитель , составленный из координат векторов е1, е2, е3, не равен 0, то векторы е123 линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что = -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е1, е2, е3 — базис.

Обозначим координаты вектора a в базисе е1, е2, е3 через x,y,z. Тогда а = (x,y,z) = хе1 + yе2 + zе3. Так как по условию а = 2i – j +8k , е1 = i +2j +3k , е2 = i – j -2k, е3 = i – 6j , то из равенства а = хе1 + yе2 + zе3 следует, что 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k..Как видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z:

Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е1 – е2 + е3 = (2,-1,1).

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

Векторы действия над векторами, стр.37

1. Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,…Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор — направленный отрезок. |AB|=|a| — длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то А­­В, l<0, то А­¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия над векторами.

а1i+y1j+z1k; b2i+y2j+z2k

l*a=l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k

a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k

ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+ z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2

ii=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.b. 3. тройка а,в,с-правая.

7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={ax,ay,az}

b={bx,by,bz}

c={cx,cy,cz}

Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c — правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c — левая

Векторы и списки

Атомные векторы

Полезно понимать списки как структуру данных, обобщающую атомарные векторы. Так что нам действительно нужно начать с этого.

Разновидность садового объекта R представляет собой атомный вектор , например:

  (v_log <- c(ИСТИНА, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ИСТИНА))
#> [1] ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА
(v_int <- 1:4)
#> [1] 1 2 3 4
(v_doub <- 1:4 * 1,2)
#> [1] 1,2 2,4 3,6 4,8
(v_char <- буквы [1:4])
#> [1] "а" "б" "в" "г"  

Атомные векторы однородны.Каждый атом имеет один и тот же аромат, под которым я примерно подразумеваю тип или режим хранения, и является скаляром, под которым я подразумеваю «имеет длину один». Вышеприведенные примеры охватывают наиболее распространенные разновидности R-векторов (логические, целочисленные, двойные, символьные), хотя со временем вы столкнетесь с более экзотическими.

Упражнения
  1. Определите векторы выше или аналогичные. Используйте семейство функций is.*() для подтверждения типа вектора, например. is.logical() . Вам нужно будет угадать или найти некоторые из них. В долгосрочной перспективе вы можете изучить семейство функций rlang::is_*() .
  2. Что возвращают is.numeric() , is.integer() и is.double() для векторов, содержащих числа с плавающей запятой по сравнению с целыми числами?

Вы можете построить вектор «вручную» с помощью функции c() . Мы использовали его выше для построения логического вектора. Все остальные векторы возникли другими способами, и это показательно из реальной жизни: большинство векторов не создаются явно с помощью c() .Они, как правило, создаются с помощью какого-либо генератора, такого как ярлык 1:n , или путем преобразования существующего объекта.

«Индексировать вектор» означает обращаться к определенным элементам или атомам либо для чтения, либо для записи. Мы индексируем вектор с помощью квадратных скобок, например: x[что-то] . Есть несколько способов указать, какие элементы вам нужны, т. е. есть несколько допустимых форм для что-то :

.
  • логический вектор: сохранить элементы x , для которых что-то равно ИСТИНА , и отбросить те, для которых ЛОЖЬ

      v_char[c(ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ИСТИНА, ИСТИНА)]
    #> [1] "с" "д"
    v_char[v_log]
    #> [1] "а" "г"  
  • целочисленный вектор, все положительные: элементы, указанные в и , сохраняются
  • отрицательных целых числа, все отрицательные: элементы, указанные в нечто , отбрасываются

      v_doub[2:3]
    #> [1] 2.4 3,6
    v_char[-4]
    #> [1] "а" "б" "в"  
  • вектор символов: предполагается, что x является именованным вектором, а элементы, имена которых указаны в и , сохраняются здесь не показаны, поскольку ни один из наших векторов не имеет имени

Упражнения
  1. Что происходит, когда вы запрашиваете нулевой элемент одного из наших векторов?
  2. Что происходит, когда вы запрашиваете элемент, который находится за концом вектора, т.е.е. запросить x[k] , если длина x меньше k ?
  3. Мы проиндексировали вектор x вектором положительных целых чисел, который короче x . Что произойдет, если вектор индексации на длиннее , чем x ?
  4. Мы проиндексировали x логическим вектором той же длины. Что произойдет, если вектор индексации на короче , чем x ?

Выполните упражнения, и вы увидите, что можно получить атомный вектор нулевой длины, а также получить элементы, которые NA .Обратите внимание, что в обоих этих сценариях базовый тип переменной сохраняется.

  v_int[0]
#> целое число (0)
тип(v_int[0])
#> [1] "целое число"
v_doub[100]
#> [1] Н/П
тип(v_doub[100])
#> [1] "двойной"  

Да, есть разные вкусы NA !

Принуждение

Несмотря на то, что векторы R имеют определенный тип, их довольно легко преобразовать в другой тип. Это называется принуждение . Как язык для анализа данных, эта гибкость работает в основном в наших интересах.Вот почему мы обычно не зацикливаемся на целых числах по сравнению с двойными в R. Именно поэтому мы можем вычислить пропорцию как среднее значение логического вектора (в этом случае мы используем автоматическое приведение к целому числу). Но неожиданное принуждение является богатым источником головоломок программирования, поэтому всегда учитывайте эту возможность при отладке.

Существует иерархия типов: более примитивные весело и бесшумно превращаются в тех, кто находится выше в пищевой цепочке. Вот заказ:

  1. логический
  2. целое число
  3. двойной
  4. символ

Для явного принуждения используйте as.*() функций.

  v_log
#> [1] ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА
как.integer(v_log)
#> [1] 1 0 0 1
v_int
#> [1] 1 2 3 4
как.numeric(v_int)
#> [1] 1 2 3 4
v_doub
#> [1] 1,2 2,4 3,6 4,8
как.character(v_doub)
#> [1] "1,2" "2,4" "3,6" "4,8"
as.character (as.numeric (as.integer (v_log)))
#> [1] "1" "0" "0" "1"  

Но принуждение также может быть вызвано другими действиями, такими как присвоение скаляра неправильного типа существующему вектору. Посмотрите, как легко я превращаю числовой вектор в символ.

  v_doub_copy <- v_doub
ул(v_doub_copy)
#> число [1:4] 1,2 2,4 3,6 4,8
v_doub_copy[3] <- "угу"
ул(v_doub_copy)
#> chr [1:4] "1.2" "2.4" "у-у-у" "4.8"  

Наш числовой вектор был автоматически преобразован в символ. Обратите внимание, что R сделал это тихо, без фанфар. Опять же, при отладке всегда серьезно размышляйте над этим вопросом: относится ли этот объект к тому типу, о котором я думаю? Насколько я в этом уверен?

Я заканчиваю обсуждение атомарных векторов двумя конкретными примерами «интенциональности в отношении типа».

  • Использование специфичных для типа NA при настройке.
  • Использование L для явного запроса целого числа. Это выглядит странно, но это дань уважения коротким и длинным целым числам. Просто примите, что именно так мы заставляем буквальное число интерпретироваться как целое число в R.
  (big_plans <- rep(NA_integer_, 4))
#> [1] НП НП НП НП
ул (большие_планы)
#> int [1:4] NA NA NA NA
big_plans[3] <- 5L
## обратите внимание, что big_plans по-прежнему является целым числом!
ул (большие_планы)
#> int [1:4] NA NA 5 NA
## обратите внимание, что пропуск L приводит к принуждению big_plans к удвоению
большие_планы[1] <- 10
ул (большие_планы)
#> число [1:4] 10 нет данных 5 нет данных  

По мере изучения руководства вы увидите, как пакет purrr упрощает намеренное и осторожное использование типов при программировании на R.

Упражнения
  1. Вспомните иерархию наиболее распространенных типов атомарных векторов: логический < целое < числовое < символ. Попробуйте использовать функции as.*() , чтобы пойти по неверному пути. Вызовите as.logical() , as.integer() и as.numeric() в векторе символов, таком как букв . Что просходит?

Списки

Что делать, если вам нужно удержать что-то, что нарушает ограничения, налагаемые атомарным вектором? Я.е. одно или оба из них верны:

  • Отдельные атомы могут иметь длину больше 1.
  • Отдельные атомы могут иметь разный вкус.

Вам нужен список!

Список на самом деле все еще является вектором в R, но это не атомарный вектор. Мы создаем список явно с помощью list() , но, как и атомарные векторы, большинство списков в реальной жизни создаются каким-то другим способом.

  (x <- список(1:3, c("четыре", "пять")))
#> [[1]]
#> [1] 1 2 3
#>
#> [[2]]
#> [1] "четыре" "пять"
(y <- список(логический = ИСТИНА, целое = 4L, двойное = 4 * 1.2  

У нас есть явное доказательство того, что компоненты списка могут

  • Быть неоднородным, т. е. могут иметь разные «ароматы». Черт возьми, они даже не должны быть атомарными векторами — вы можете вставить туда функцию!
  • Имеют разную длину.
  • Есть имена. Или не. Или и то, и другое.
Упражнения
  1. Составьте списки x , y и z , как показано выше. Используйте функции is.*() , чтобы познакомиться с этими объектами.Попытайтесь получить положительные и отрицательные результаты, т. е. установить несколько вещей, что x есть, а что нет. Обязательно попробуйте is.list() , is.vector() , is.atomic() и is.recursive() . В долгосрочной перспективе вы можете изучить семейство функций rlang::is_*() .

Должно быть ясно, что списки гораздо более общие, чем атомарные векторы. Но у них также много общих свойств: например, у них есть длина и их можно индексировать.

Индексация списка

Возникла новая проблема при индексации списка по сравнению с атомарным вектором. Есть 3 способа проиндексировать список, и различия между ними очень важны:

  1. С одинарными квадратными скобками, то есть точно так же, как мы индексировали атомарные векторы. Обратите внимание, что всегда возвращает список , даже если мы запрашиваем один компонент.

      х[с(ЛОЖЬ, ИСТИНА)]
    #> [[1]]
    #> [1] "четыре" "пять"
    у[2:3]
    #> $целое число
    #> [1] 4
    #>
    #> $двойной
    #> [1] 4.8
    z["трансцендентный"]
    #> $трансцендентный
    #> [1] 3.141593 2.718282  
  2. Новые для нас двойные квадратные скобки. Это можно использовать только для доступа к одному компоненту, и он возвращает «голый» компонент. Вы можете запросить компонент с положительным целым числом или по имени.

      х[[2]]
    #> [1] "четыре" "пять"
    у[["двойной"]]
    #> [1] 4.8  
  3. С $ , который вы уже можете использовать для извлечения одной переменной из фрейма данных (это особый вид списка!).Подобно [[ , его можно использовать только для доступа к одному компоненту, но он еще более ограничен: вы должны указать компонент по имени.

      z $ трансцендентный
    #> [1] 3.141593 2.718282  

Мое любимое объяснение разницы между индексацией с сохранением списка, обеспечиваемой [ , и всегда упрощающим поведением [[ , дается «перечными фотографиями» в R for Data Science. Настоятельно рекомендуется!

Упражнения
  1. Используйте [ , [[ , и $ , чтобы получить доступ ко второму компоненту списка z , который носит название «трансцендентный».Используйте функции length() и is.*() , изученные в другом месте, чтобы изучить результат. Какие методы индексирования дают одинаковый результат, а какие разные?
  2. Поместите те же данные в атомарный вектор и список:

      my_vec <- c(a = 1, b = 2, c = 3)
    my_list <- список (а = 1, б = 2, с = 3)  

    Используйте [ и [[ , чтобы попытаться получить элементы 2 и 3 из my_vec и my_list . Что удается по сравнению стерпит неудачу? Что, если вы попытаетесь получить только элемент 2? Работает ли [[ даже с атомарными векторами? Сравните и сопоставьте результаты различных комбинаций метода индексации и входного объекта.

Векторизованные операции

Многие люди были шокированы, узнав, что R-объект садовой разновидности является вектором. Связанный с этим факт заключается в том, что многие операции «просто работают» над векторами поэлементно, без особых усилий. Это часто требует корректировки для людей, говорящих на других языках.2 #> [1] 1 4 9 16 25

Поэлементные или векторизованные операции в удивительной степени «запечены» в R. И это здорово. К этому быстро привыкаешь.

А вот и разочарование. Это происходит для атомарных векторов, но не для списков. Это имеет смысл, потому что, как правило, нет оснований полагать, что одни и те же операции имеют смысл для каждого компонента списка. В отличие от атомарных векторов они неоднородны.

Вот демонстрация использования as.list() для создания версии списка атомарного вектора.

  ## поэлементное возведение числовых векторов в степень
exp(v_doub)
#> [1] 3.320117 11.023176 36.598234 121.510418
## поместите те же числа в список и ... это больше не работает :(
(l_doub <- as.list(v_doub))
#> [[1]]
#> [1] 1.2
#>
#> [[2]]
#> [1] 2.4
#>
#> [[3]]
#> [1] 3.6
#>
#> [[4]]
#> [1] 4.8
exp(l_doub)
#> Ошибка в exp(l_doub): нечисловой аргумент математической функции  

Итак, как применить функцию к списку поэлементно?! Что такое аналог списка exp(v_doub) ?

Использовать purrr::map() ! Первый аргумент — это список, с которым нужно работать.Во-вторых, функция для применения.

  библиотека (муррр)
карта (l_doub, опыт)
#> [[1]]
#> [1] 3.320117
#>
#> [[2]]
#> [1] 11.02318
#>
#> [[3]]
#> [1] 36.59823
#>
#> [[4]]
#> [1] 121.5104  

Словарь: мы говорим об этом как о «сопоставлении функции exp() со списком l_doub ». Концептуально мы перебираем элементы списка и применяем функцию.

  мой_список <- список(...)
my_output <- ## что-то подходящего размера и вкуса
для (я в seq_along (мой_список)) {
  my_output[[i]] <- f(my_list([[i]]))
}  

Основная цель этого руководства — показать вам, как избежать самостоятельного написания этих явных циклов for() .

Знакомство с векторами в R. Узнайте, как анализировать свои азартные игры… | Линда Нго

Узнайте, как анализировать результаты своих азартных игр с помощью векторов в R. Научитесь создавать векторы в R, давать им имена, выбирать из них элементы и сравнивать разные векторы.

Давайте отправимся в рай для статистиков , также известный как Вегас!

Благодаря R и вашим новым навыкам анализа данных вы научитесь улучшать свои результаты за столами и получать прибыль.После этого руководства вы сможете легко отслеживать прогресс ставок и анализировать свои прошлые действия.

Векторы — это одномерные массивы, которые могут хранить числовые данные, символьные данные или логические данные. Это простой инструмент для хранения данных. Например, вы можете хранить свои ежедневные выигрыши и проигрыши в казино.

В R вы создаете вектор с функцией объединения c() . Элементы вектора помещаются через запятую в круглые скобки.Например:

 numeric_vector <- c(1, 2, 3) 
character_vector <- c("a", "b", "c")

Создав эти векторы в R, вы можете использовать их для делать расчеты.

Попробуйте

Создайте вектор, содержащий три элемента: ИСТИНА , ЛОЖЬ и ИСТИНА (в указанном порядке)

Вам на пробу (2)

После недели в Вегасе вы все еще не валяетесь в тесте.Итак, вы решили начать использовать свои новые навыки анализа данных.

Прежде чем начать анализ, вы решаете собрать результаты за последнюю неделю:

Для покера:

  • В понедельник вы выиграли 140 долларов.
  • Во вторник вы потеряли 50 долларов.
  • В среду вы выиграли 20 долларов.
  • В четверг вы потеряли 120 долларов.
  • В пятницу вы выиграли 240 долларов.

Для рулетки:

  • В понедельник вы проиграли 24 доллара.
  • Во вторник вы потеряли 50 долларов.
  • В среду вы выиграли 100 долларов.
  • В четверг вы потеряли 350 долларов.
  • В пятницу вы выиграли 10 долларов.

Вы играли только в покер и рулетку. Назначьте выигрыши/проигрыши переменным.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)# Выигрыши в рулетке с понедельника по пятницу
roulette_vector <- c(-24, -50, 100 , -350, 10)
Выигрыши и проигрыши, присвоенные векторам.

Для аналитика данных важно иметь четкое представление об используемых данных.Таким образом, понимание того, к чему относится каждый элемент, имеет важное значение.

В предыдущем упражнении мы создали вектор с вашими выигрышами за неделю. Каждый векторный элемент относится к дню недели, но трудно сказать, какой элемент к какому дню относится.

Показать это в самом векторе, дав имена элементам вектора с помощью функции names() . Вот пример:

 some_vector <- c("Джон Доу", "игрок в покер" 
Пример использования функции named().

Этот код сначала создает вектор some_vector , а затем дает двум элементам имя. Первому элементу присваивается имя Имя , а второму элементу Профессия . Вывод содержимого на консоль дает следующий результат:

Первому элементу присваивается имя Имя, а второму присваивается Профессия.

Для вас, чтобы попробовать

Назовите элементы вашего вектора покера и рулетки из предыдущего упражнения с днями недели.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)# Выигрыши в рулетке с понедельника по пятницу
roulette_vector <- c(-24, -50, 100 , -350, 10)# Назначить дни как имена для poker_vector
names(poker_vector) <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")# Назначить дни как имена для roulette_vector
name(roulette_vector) <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
Доходы за каждый день рабочей недели для покера и рулетки теперь помечены.

Попробуйте (2)

В предыдущем упражнении ввод и повторный ввод информации, такой как дни недели, мог быть скучным и утомительным. Есть более эффективный способ сделать это, а именно присвоить вектор дней недели переменной .

Точно так же, как вы делали с доходами от покера и рулетки, вы также можете создать переменную, содержащую дни недели. Таким образом, вы можете использовать и повторно использовать его.

Создайте вектор, содержащий дни недели.Используйте этот вектор, чтобы установить имена ваших векторов покера и рулетки. Вы получите тот же результат, что и в предыдущем упражнении.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)# Выигрыши в рулетке с понедельника по пятницу
roulette_vector <- c(-24, -50, 100 , -350, 10)# Переменная days_vector
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")# Присвоить имена дня roulette_vector и poker_vector
имен( poker_vector) <- days_vector
name(roulette_vector) <- days_vector
Использование вектора для назначения дней недели является более эффективным способом.

Теперь, когда у вас есть имена, возвращаемые покером и рулеткой, вы можете начать анализ данных.

Вы хотите получить информацию следующего типа:

  • Какова была ваша общая прибыль или убыток за день недели?
  • Потеряли ли вы в целом деньги за неделю?
  • Вы выигрываете/проигрываете в покер или рулетку?

Чтобы получить ответы, нужно произвести арифметические вычисления над векторами.

Если вы суммируете два вектора в R, он берет поэлементную сумму.Например, следующие три оператора полностью эквивалентны:

 c(1, 2, 3) + c(4, 5, 6) 
c(1 + 4, 2 + 5, 3 + 6)
c(5, 7, 9)

Вы также можете выполнять вычисления с переменными, представляющими векторы:

 a <- c(1, 2, 3) 
b <- c(4, 5, 6)
c <- a + b

Для вас, чтобы попробовать

Общая дневная прибыль представляет собой сумму прибыли/убытка, полученного в покере за день, и прибыли/убытка, реализованного в рулетке за день.

Назначьте переменной, сколько вы выиграли/проиграли за каждый день в сумме (покер и рулетка вместе взятые).

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имён(poker_vector) <- days_vector
имён(roulette_vector) <- days_vector# Назначить total_daily сколько вы выиграли/ проигрышей за каждый день
total_daily <- poker_vector + roulette_vector# Распечатайте общее количество выигранных/проигранных за день
total_daily

Для вас, чтобы попробовать (2)

На основании предыдущего анализа, похоже, у вас было сочетание хорошего и плохого дней.Есть ли изменение, которое вы, возможно, потеряли деньги за неделю в целом?

Чтобы ответить на этот вопрос, используйте функцию sum() . Он вычисляет сумму всех элементов вектора. Например, чтобы рассчитать общую сумму денег, которую вы проиграли/выиграли в покере:

 total_poker <- sum(poker_vector) 

Подсчитайте общую сумму денег, которую вы выиграли/проиграли в рулетку.

После того, как вы подсчитали итоги игры в рулетку и покер, подсчитайте сумму всех выигрышей/проигрышей за неделю.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имён(poker_vector) <- days_vector
имён(roulette_vector) <- days_vector# Всего выигрышей в покер
total_poker <- sum(poker_vector)# Общий выигрыш в рулетке
total_roulette <- sum(roulette_vector)# Общий выигрыш в целом
total_week <- total_poker + total_roulette# Распечатайте total_week
total_week
Итоги для рулетки и покера представляют собой сумму всех выигрышей и проигрышей неделя.Похоже, вы потеряли деньги на этой неделе.

Похоже, вы теряете деньги. Вам понадобится более глубокий анализ, чтобы адаптировать свою стратегию.

Возможно ли, что вы лучше в одной игре, чем в другой? Возможно, ваш общий выигрыш в покере выше (или > ), чем в рулетке.

Для пробы

Рассчитайте общий выигрыш в покере и рулетке, как в предыдущем упражнении. Проверьте, выше ли ваш общий выигрыш в покере, чем в рулетке, с помощью сравнения.Распечатайте результат этого сравнения.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имен(poker_vector) <- days_vector
имен(roulette_vector) <- days_vector# Рассчитать общий выигрыш для покера и рулетки
total_poker <- sum(poker_vector)# Проверьте, больше ли ваш общий выигрыш в покере, чем в рулетке
total_poker > total_roulette
Проверьте, больше ли ваш общий выигрыш в покере, чем в рулетке, используя оператор >.Похоже, вам стоит сосредоточиться на покере.

Похоже, ты лучше играешь в покер, чем в рулетку.

Давайте сравним вашу производительность в начале рабочей недели с ее концом. Вы выпили пару «отпускных» напитков в конце недели…

Выбор одного элемента

Чтобы исследовать это, вы сосредоточитесь только на выборе total_vector . Другими словами, наша цель — выбрать определенные элементы вектора. Чтобы выбрать элементы вектора, вы можете использовать квадратные скобки (то же самое верно для матриц, фреймов данных и т. д.).В квадратных скобках укажите, какой элемент выбрать. Например, чтобы выбрать первый элемент вектора, вы используете poker_vector[1] . Чтобы выбрать второй элемент, используйте poker_vector[2] и так далее для остальных элементов. Обратите внимание, что первый элемент имеет индекс 1, а не 0 (как во многих других языках программирования).

Выбор диапазона (Метод 1)

Давайте проанализируем ваши результаты в середине недели.

Чтобы выбрать несколько элементов из вектора, укажите, какие элементы следует выбрать, используя вектор в квадратных скобках.Например, чтобы выбрать первый и пятый день недели, используйте вектор c(1,5) в квадратных скобках. poker_vector[c(1,5)] даст первый и пятый элементы poker_vector .

Выбор диапазона (метод 2)

Другой способ сделать это — определить вектор выбора как диапазон. То есть c(2,3,4) можно сократить до 2:4 . Затем мы можем использовать poker_vector[2:4] , чтобы найти результаты середины недели.

Выбор диапазона (Способ 3)

Вы также можете выбирать элементы, используя имена векторных элементов (например, понедельник, вторник,…) вместо их числовых позиций. Например, poker_vector["Monday"] выберет элемент с именем "Monday" . Это первый элемент poker_vector , поскольку «Понедельник» — это имя первого элемента.

Для вас, чтобы попробовать

Назначьте результаты покера в среду переменной.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имен(poker_vector) <- days_vector
имен(roulette_vector) <- days_vector# Определена новая переменная на основе выбора
poker_wednesday <- poker_vector[3]
Поскольку среда — третий день рабочей недели, мы будем использовать индекс 3.

Для вас, чтобы попробовать (2)

Назначить результаты покера во вторник, среду и четверг переменной.

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имен(poker_vector) <- days_vector
имен(roulette_vector) <- days_vector# Определить новую переменную на основе выбора (Способ 1 )
poker_midweek <- poker_vector[c(2,3,4)]# Способ 2 — сокращение диапазона векторов
poker_midweek <- poker_vector[2:4]# Способ 3 — использование имен элементов
poker_midweek <- poker_vector[ c("Вторник", "Среда", "Четверг")]
#Вторник, среда и четверг соответствуют индексам 2, 3 и 4.Вместо c(2,3,4) мы могли бы использовать 2:4. Вектор 2:4 помещается между квадратными скобками для выбора элементов от 2 до 4. Для выбора элементов вместо числовых значений можно использовать имена элементов.

(Логические) операторы сравнения, известные R:

  • < меньше
  • > больше
  • <= меньше или равно =
  • > 900 или равны
  • == для равных друг другу
  • != для не равных друг другу

Мы можем использовать эти операторы сравнения на векторах.Например,

 > c(4, 5, 6) > 5 
[1] ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА

Эта команда проверяет для каждого элемента вектора, соответствует ли условие, указанное операторами сравнения, ИСТИНА или ЛОЖЬ . В примере это проверяет, больше ли каждый элемент вектора, чем 5.

Для вас, чтобы попробовать

Проверить, какие элементы в векторе покера являются положительными (т.е. >0) .

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имён(poker_vector) <- days_vector
имён(roulette_vector) <- days_vector# В какие дни вы зарабатывали на покере ?
selection_vector <- poker_vector > 0# Распечатайте selection_vector
selection_vector
Мы получаем логический вектор, сообщающий нам, когда мы заработали деньги на покере в течение рабочей недели (отмечено как TRUE).

Работа со сравнениями облегчит анализ данных. Вместо того, чтобы выбирать подмножество дней для исследования себя (как раньше, когда вы выбирали между вторником, средой и четвергом), вы можете просто попросить R вернуть только те дни, когда вы получили положительный доход от покера.

Используя selection_vector <- poker_vector > 0 , вы можете найти дни, когда у вас был положительный доход от покера. Предположим, вы хотели бы знать не только дни, в которые вы выиграли, но и сколько вы выиграли в эти дни.

Вы можете выбрать нужные элементы, поместив selection_vector в квадратные скобки, следующие за poker_vector :

 poker_vector[selection_vector] 

R знает, что делать, когда вы передаете логический вектор в квадратных скобках: он будет только выберите элементы, соответствующие TRUE в selection_vector .

Чтобы вы попробовали

Назначьте суммы, которые вы выиграли в прибыльные покерные дни, переменной.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имён(poker_vector) <- days_vector
имён(roulette_vector) <- days_vector# В какие дни вы зарабатывали на покере ?
selection_vector <- poker_vector > 0# Выбираем из poker_vector в эти дни
poker_winning_days <- poker_vector[selection_vector]
Мы получаем вектор только наших выигрышных дней и соответствующих им выигрышей в покере.

Для вас, чтобы попробовать (2)

Как и в случае с покером, определите, в какие дни вы получили положительный доход от игры в рулетку. Создайте переменную, содержащую положительный выигрыш в рулетке.

Решение

 # Выигрыши в покер с понедельника по пятницу 
poker_vector <- c(140, -50, 20, -120, 240)
roulette_vector <- c(-24, -50, 100, -350, 10)
days_vector <- c("Понедельник", "Вторник", "Среда", "Четверг", "Пятница")
имён(poker_vector) <- days_vector
имён(roulette_vector) <- days_vector# В какие дни вы зарабатывали на рулетке ?
selection_vector <- roulette_vector > 0# Выбор из poker_vector в эти дни
roulette_winning_days <- roulette_vector[selection_vector]
У нас были положительные результаты только в среду и пятницу для рулетки.

Все изображения, если не указано иное, принадлежат автору. Изображение баннера было создано с помощью Canva.

Что такое вакцины на основе вирусных векторов и как их можно использовать против COVID-19?

Краткий обзор

Вакцины на основе вирусных векторов отличаются от большинства обычных вакцин тем, что они на самом деле не содержат антигенов, а скорее используют собственные клетки организма для их производства. Они делают это, используя модифицированный вирус (вектор) для доставки генетического кода антигена, в случае шиповидных белков COVID-19, обнаруженных на поверхности вируса, в клетки человека.Заражая клетки и заставляя их вырабатывать большое количество антигена, который затем запускает иммунный ответ, вакцина имитирует то, что происходит при естественном заражении некоторыми патогенами, особенно вирусами. Это имеет то преимущество, что вызывает сильный клеточный иммунный ответ Т-клетками, а также выработку антител В-клетками. Примером вирусной векторной вакцины является вакцина rVSV-ZEBOV против лихорадки Эбола.

Преимущества и недостатки вакцин на основе вирусных векторов

Хорошо зарекомендовавшая себя технология

Сильный иммунный ответ

Иммунный ответ включает В-клетки и Т-клетки

Предыдущее воздействие переносчика может снизить эффективность

Относительно сложный в производстве

Как такие вакцины вызывают иммунитет?

Вирусы выживают и размножаются, вторгаясь в клетки своего хозяина и захватывая их механизм производства белка, поэтому он считывает генетический код вируса и создает новые вирусы.Эти вирусные частицы содержат антигены, молекулы, которые могут вызывать иммунный ответ. Похожий принцип лежит в основе вирусных векторных вакцин — только в этом случае клетки-хозяева получают только код для создания антигенов. Вирусный вектор действует как система доставки, предоставляя средства для проникновения в клетку и введения кода антигенов другого вируса (патогена, против которого вы пытаетесь вакцинировать). Сам вирус безвреден, и, заставляя клетки производить только антигены, организм может безопасно вызвать иммунный ответ без развития болезни.

В качестве переносчиков были разработаны различные вирусы, включая аденовирус (вызывающий простуду), вирус кори и вирус коровьей оспы. Эти векторы лишены каких-либо болезнетворных генов, а иногда и генов, которые могут позволить им размножаться, что означает, что теперь они безвредны. Генетические инструкции для создания антигена из целевого патогена вшиты в геном вирусного вектора.

Существует два основных типа вакцин на основе вирусных векторов. Нереплицирующиеся векторные вакцины не способны образовывать новые вирусные частицы; они производят только вакцинный антиген.Реплицирующиеся векторные вакцины также производят новые вирусные частицы в клетках, которые они заражают, которые затем продолжают заражать новые клетки, которые также будут производить вакцинный антиген. В разрабатываемых вирусных векторных вакцинах против COVID-19 используются нереплицирующиеся вирусные векторы.

После введения в организм эти вакцинные вирусы начинают заражать наши клетки и внедрять свой генетический материал, включая ген антигена, в ядра клеток. Клетки человека производят антиген, как если бы это был один из их собственных белков, и он представлен на их поверхности вместе со многими другими белками.Когда иммунные клетки обнаруживают чужеродный антиген, они вызывают иммунный ответ против него.

Этот ответ включает В-клетки, продуцирующие антитела, а также Т-клетки, которые ищут и уничтожают инфицированные клетки. Т-клетки делают это, исследуя репертуар белков, экспрессируемых на поверхности клеток. Они обучены распознавать собственные белки организма как «свои», поэтому, если они заметят чужеродный белок, такой как антиген патогена, они вызовут иммунный ответ против несущей его клетки.

Одной из проблем этого подхода является то, что люди могли ранее подвергаться воздействию вируса-переносчика и вызывать иммунный ответ против него, снижая эффективность вакцины. Такой «противовекторный иммунитет» также затрудняет доставку второй дозы вакцины, если это необходимо, если только эта вторая доза не будет доставлена ​​с использованием другого вирусного вектора.

Насколько легко их изготовить?

Основным узким местом в производстве вакцин против вирусных векторов является масштабируемость.Традиционно вирусные векторы выращивают в клетках, прикрепленных к субстрату, а не в свободно плавающих клетках, но это трудно сделать в больших масштабах. В настоящее время разрабатываются суспензионные клеточные линии, которые позволят выращивать вирусные векторы в больших биореакторах. Сборка векторной вакцины также представляет собой сложный процесс, включающий несколько этапов и компонентов, каждый из которых увеличивает риск заражения. Поэтому требуется обширное тестирование после каждого шага, что увеличивает затраты.

векторов и матриц в диаграммах Stateflow - MATLAB & Simulink

Векторы и матрицы в диаграммах Stateflow

Векторы и матрицы объединяют скалярные данные в единый многомерный объект данных. Вы можете изменить отдельные элементы или выполнять арифметические действия над целыми векторами и матрицами. Дополнительные сведения см. в разделе Поддерживаемые операции для векторов и матриц.

Определить векторные и матричные данные

  1. Добавьте объект данных на диаграмму, как описано в разделе Добавление данных Stateflow.

  2. Установите свойство Size для объекта данных как размеры вектора или матрицы. См. Задайте Размер Данных Stateflow. Например:

    • Чтобы указать вектор-столбец 4 на 1, введите 4 .

    • Чтобы указать вектор-строку 1 на 4, введите [1 4] .

    • Чтобы указать матрицу 3 на 3, введите [3 3] .

  3. Установите свойство Начальное значение для объекта данных. См. Начальное значение.

    • Чтобы задать нулевое значение для всех элементов вектора или матрице, оставьте Начальное значение пустым. Если вы не указываете начальное значение, все элементы инициализируется значением 0.

    • Чтобы задать одинаковое значение для всех элементов вектора или матрица, введите скалярное значение.Все элементы инициализируются заданное вами скалярное значение.

    • Чтобы указать разные значения для каждого элемента вектора или матрица, введите массив действительных значений. Например:

      • Чтобы инициализировать вектор-столбец 4 на 1, вы можете введите [1; 2; 3; 4] .

      • Чтобы инициализировать вектор-строку 1 на 4, вы можете ввести [1 2 3 4] .

      • Чтобы инициализировать матрицу 3 на 3, вы можете ввести [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] .

  4. Установите имя, область, базовый тип и другие свойства для объекта данных, как описано в разделе Установка свойств данных.

Размер и начальное значение вектора или матрицы можно указать с помощью выражение. Выражения могут содержать набор числовых значений, констант, параметров, переменные, арифметические операции и вызовы функций MATLAB.Для большего информацию см. в разделе Задайте свойства данных с помощью выражений MATLAB.

Где можно использовать векторы и матрицы

Вы можете определить векторы и матрицы на этих уровнях государственного потока ® иерархия:

  • диаграммы

  • Subcharts

  • состояния

  • Функции

Вы можете использовать векторы и матрицы, чтобы определить:

    • Выходные данные 0

    • Локальные данные

    • Функциональные входы

    • Выходы

    Вы также можете использовать векторы и матрицы в качестве аргументов для:

    Правила для векторов и матриц в диаграммах Stateflow

    Использовать операнды равной размерности для поэлементных операций

    Если вы выполняете поэлементные операции над векторами или матрицами с неравными размеры, диаграмма генерирует ошибку несоответствия размера при моделировании модель.Дополнительные сведения см. в разделе Поддерживаемые операции для векторов и матриц.

    Не задавать векторы и матрицы с базовым типом
    ml

    Базовый тип ml поддерживает только скалярные данные. если ты определить вектор или матрицу с базовым типом мл , диаграмма генерирует ошибку при моделировании модели. Для получения дополнительной информации см. мл Тип данных.

    Не используйте комплексные числа для установки начальных значений векторов и матриц

    Если вы инициализируете элемент вектора или матрицы с помощью комплексного числа, диаграмма генерирует ошибку при моделировании модели.Вы можете установить значения векторов и матриц в комплексные числа после инициализации. Для большего информацию см. в разделе Сложные данные в диаграммах Stateflow.

    Не используйте векторы и матрицы в операторах темпоральной логики

    Поскольку время является скалярной величиной, вы не можете использовать вектор или матрицу в качестве аргумент для темпорального логического оператора. Для получения дополнительной информации см. Выполнение контрольной диаграммы с помощью временной логики.

    Похожие темы

    2.Векторы: определения, алгебра

    2. Векторы: определения, алгебра

    принтер Дружественный Копия

    Частица – это тело, размеры которого пренебрежимо малы или чьи размеры приближаются к нулю в математическом смысле, в том смысле, что можно рассматривать как точечную массу. Кроме того, когда размеры тела не имеют отношения к описанию его положения или последствий действие приложенных к нему сил, тело можно рассматривать как частицу.
        Статика частиц связана с эффектами концентрированных силы на частицы, сложение таких сил, их разложение на компонентов, определение равнодействующей системы сил, действующих на частицу, а также связь между силами, действующими на частица в состоянии равновесия. Для их выполнения мы будем необходимо применить правила векторной алгебры.

    Силы, действующие на частицу

    Сила – это действие/следствие, стремящееся изменить состояние покоя или равномерное движение тела.Сила полностью характеризуется своим величину и направление. Направление силы задается ее точкой приложения и линии действия, которая представляет собой прямую линию, лежащую на одной прямой с вектором силы.

    Обратите внимание, что, поскольку частицы идеализируются как точечные массы, система все силы, действующие на частицу, проходят через точку, занимаемую частица. Система сил, проходящая через общую точку, говорят, что они одновременны.

    Скаляры и векторы

        Механика имеет дело с двумя видами величин - скаляры и векторы.Скалярные величины - это те, величина которых только напр. расстояние, время, объем, плотность, скорость, энергия, масса, длина, температура и т. д. С другой стороны, векторные величины имеют как величина и направление (линия действия и смысл) и должны подчиняться параллелограмму закон сложения. Примеры векторов включают скорость, смещение, ускорение, сила, момент и количество движения.
        Вектор графически представлен стрелкой который определяет величину и направление вектора.Величина вектора обозначается длиной стрелки, направление определяется углом между базовой осью и линией действия стрелки а смысл указан стрелкой. В учебниках векторы представлены полужирными буквами, но в классе мы будем использовать подчеркивание для представления векторов, например. вектор A будет записан как A .

    Классификация переносчиков

        Векторы можно сгруппировать в три класса — бесплатно векторы, скользящие векторы и фиксированные векторы.Физические величины, которые векторы попадают в одну из этих трех категорий. Бесплатные векторы являются векторы, которые могут свободно перемещаться в пространстве, т. е. их линии действия не ограничен или не связан с уникальной линией в пространстве, например. пары, смещение вектор тела, движущегося в пространстве без вращения. Наоборот, скользящий вектор — это тот, для которого единственная линия в пространстве, вдоль которой векторные действия должны поддерживаться, например. внешнее действие силы на твердое тело (сила может быть приложена в любой точке вдоль его линии действия без изменения его действия на организм в целом — принцип трансмиссивности). Фиксированный вектор — это вектор, для которого определена уникальная точка приложения. указан, и поэтому вектор занимает определенную позицию в пространстве например действие силы на деформируемое или нежесткое тело или силы действует на данную частицу. Фиксированный вектор полностью характеризуется по его точке приложения, его величине и направлению (где направление определяется линией действия и смыслом). Потому что частица бесконечно мала, силы, действующие на него, имеют одну и ту же точку приложения, следовательно, силы, действующие на частицу, полностью характеризуются своей величиной и направление.
        Два вектора называются равными, если они имеют той же величины, направления и точки приложения. Если векторы являются свободными векторами, они могут не иметь одинаковой точки приложения или одна и та же линия действия, но их величина и направление должны быть одинаковыми, например рассмотрим векторы A , B и C , которые имеют одинаковая величина, но разные точки приложения.




    А = В = С тогда и только тогда, когда А , В , С являются бесплатные векторы
    А нет = Б нет = С если А , Б , С являются фиксированными векторами
    А не = Б а А = С если А , Б , С скользящие векторы

        Два вектора равны и противоположны , если они имеют одинаковую величину, но имеют противоположные направления.(т.е. их линии действия коллинеарны или параллельны, но их смысл противоположен). Нулевой вектор — это вектор с нулевой величиной в любом произвольном направлении.

    Сложение двух векторов : Закон параллелограмма

        Напомним из определения векторов, которые они добавляют по закону параллелограмма. Сумма двух векторов получается построив параллелограмм с векторами по обеим сторонам параллелограмм.Диагональ параллелограмма представляет собой сумму векторного сложения двух векторов. например


    Обратите внимание, что сложение векторов является коммутативным , т.е.
               P + О = О + Р

    Свойство коммутативности становится очевидным, если использовать треугольник . Правило сложения векторов.

    Вычитание вектора следует рассматривать как сложение соответствующих отрицательный вектор.Следовательно,
               P - Q = P + (- Q )
        Чтобы получить сумму трех или более векторов, примените закон параллелограмма многократно к последовательным парам векторов, пока все векторы заменяются одним вектором, результирующим .

    Правило треугольника/многоугольника для сложения двух и более Векторы

        Здесь указано, что сумма (т.е. результат) из два или более векторов, действующих на тело, можно получить графически, расположив заданные векторы в форме кончик-к-хвосту и соединяющие хвост первый вектор с вершиной последнего при условии, что все векторы компланарны (т.е. все они лежат в одной плоскости). Результирующий из нескольких одновременных копланарных сил также можно получить в этом способ. Система сил называется совпадающей, если все силы действовать через одну точку.Обратите внимание, что система сил должна быть компланарной. тоже потому, что рисунок должен быть на плоскости.
        Используя правило многоугольника, легко увидеть, что вектор сложение является одновременно коммутативным и ассоциативным ; то есть
               P + Q = Q + P   (коммутативный закон)
               P + Q + R = ( P + Q ) + R = P + ( Q + Р ) (ассоциативный закон)

    Произведение скаляра на вектор

        Произведение скаляра k и вектора P равно вектор k P , имеющий то же направление, что и P (если k положительное) или направление, противоположное направлению P (если k отрицательное), и величина которого равна произведению | Р | (и абсолютное значение k, где | Р | величина вектора P

    Результат двух сил

        Равнодействующая двух сил, действующих на частицу единая сила, которая действует на частицу так же, как две силы объединились.Такой результат можно получить из Закон параллелограмма сложения двух сил. Обратите внимание, что параллелограмм Закон основан на экспериментальных данных и не может быть доказан или выведен математически.

    Разложение вектора на компоненты

        Так же, как две или более сил, действующих на частицу, могут заменить одной силой (равнодействующей), которая имеет тот же эффект на частицу можно также заменить одну силу двумя или больше сил (называемых составляющими одной силы).То процесс называется разложением единой силы на составные части .
    Обратите внимание, что существует бесконечное число компонентов для любого отдельного сила Ф . Однако практическое значение имеет определение двух составляющих силы, когда (1) известна одна из двух составляющих и (2) известна линия действия каждого компонента. В этих и В других случаях необходимые компоненты могут быть получены с помощью треугольника правило или закон параллелограмма.

    Рассмотрим силу F , компонентами которой являются P и Q

    (a) F — заданная сила. P известен и только линия действия Q известна; Получите величину Q
      • Нарисуйте линию от кончика P до наконечника F
      • Перенести Q в место применения P и F
      • Получите величину Q либо графически, либо с помощью тригонометрии 90 030
     
      (b)  Учитывая F и линии действий оба компонента P и Q известны.Получить величины Р и Q
    - Построить параллелограмм с F в виде диагоналей и известных линий действия в качестве сторон Тригонометрические решения

    Использует правила синусов и косинусов


    a / sin A = b / sin B = c / sin C   (правило синусов)
     
    а 2 = б 2 + c 2 - 2bc Cos A \
    b 2 = a 2 + c 2 - 2ac Cos B (Правило косинуса)
    c 2 = a 2 + b 2 - 2ab Cos C /
    В основном,

        -- Когда проблема затрагивает только три силы , используйте силовой треугольник и правила синуса и / или косинуса, чтобы решить его.
        -- Когда проблема включает в себя более трех сил , разложите силы на их прямоугольные компоненты и решите с помощью вектора алгебра.

    Пример 2-1

    Кабели AB и AC на рис. ниже помогают поддерживать консольный крыша спортивного стадиона. Силы, с которыми тросы действуют на опору, к которой они прикреплены представлены векторами F AB и F AC , которые имеют величины 100 кН и 60 кН соответственно.Определить величину и направление суммы приложенных сил. (1) на пилоне за тросы (2) на стадионе за тросы. Получать ваше решение (а) графически и (б) с помощью тригонометрии.

    Учитывая : | F аб | = 100 кН
    | F ac | = 60 кН

    Требуется :    Величина и направление сумма сил, действующих на трос
    а) на пилоне Используйте     (1) графическое решение
    б) на стадионе (2) Тригонометрическое решение

    Пример задачи 2.1

    Учитывая : Две силы с величиной и направлением, как показано на диаграмме

    Требуется :    Величина и направление результирующая сила



    Пример задачи 2.2

    Дано : Две силы с величиной и направлением как показано на схеме




    Требуется :    Величина и направление результирующая сила






    Пример задачи 2.10

    Дано :    Автомобиль-инвалид, протянутый мимо две веревки АВ и АС. Напряжение в АВ = 4000 Н·а = 20 градусов Результирующая сила действует вдоль оси автомобиля.



    Требуется :
         а) Натяжение троса AC
         b) Величина равнодействующей силы приложены две силы
         c) Стоимость такого что напряжение в переменном токе минимально, пока R еще действует вдоль оси автомобиля.Какова величина Т ак а так же результирующая сила, которая все еще действует вдоль оси автомобиля.

    Прямоугольные компоненты силы в плоскости и в космосе

    ---    Компоненты силы, параллельные к прямоугольным/декартовым координатным осям. Такие компоненты перпендикулярны друг другу.

        Любая сила F в трехмерном пространстве может разложить на прямоугольные составляющие F x , F y и F z , которые параллельны осям x и z соответственно. Следовательно, F является суммой или равнодействующей прямоугольных компонентов F x , Ф у и F z , т.е.

    Ж = Ж x + Ж у + Ф з . . . (1) Концепция единичного вектора
        Единичный вектор — это вектор который имеет величину один (1). Этот вектор очень важен, потому что он устанавливает направление любого заданного вектора.Чтобы получить направление вектора, вычислить единичный вектор, который действует в том же направлении, что и вектор. Это делается путем деления заданного вектора на его величину. То направление единичного вектора обычно задается указанием направления углы, которые представляют собой углы, которые вектор образует с положительным x-, оси координат y и z.

        Если  i, j и k являются единичными векторами в x, y, направления и z и F x , F y и F z ортогональных скалярных компонентов F , где F x , Ф у и F z являются ортогональными компонентами вектора F и F x = | F x | ; Ф и =| Ф у | и F z = | Ф з | ,
    F x = F x i    F y = F y j F z = F z k
    Тогда уравнение 1 может быть выражено как

    F = F x i + F y j + F z k .. . (2) и величина F = | Ф | дан кем-то

      Сложение сил (вычисление равнодействующей)
    Использование прямоугольных компонентов

        Обратите внимание, что и закон параллелограмма, и треугольник правило позволяет добавить две силы с использованием графического подхода, в то время как Правило многоугольника позволяет добавить три или более сил.
        Силовой треугольник и тригонометрическое решение могут использоваться, когда задействованы только три силы .Когда более задействованы три силы, подход все еще может быть использован последовательным одновременно рассматривая тео сил и находя их равнодействующую. Однако, такой подход обычно утомителен. Когда сложение векторов включает более трех векторов, сложение лучше всего выполнять путем разрешения каждый вектор на его прямоугольные компоненты и сложение этих компонентов для получения прямоугольных составляющих результирующей силы, например. если р является равнодействующей сил А , В , С и D , т.е.е.

               Р = А + В + С + Г
    Где A
               B
               C
               D
               R =

    Тогда    R = где


    Обратите внимание, что скалярная составляющая R x , R y и R z результирующего R определяется алгебраической суммой соответствующие скалярные компоненты заданных векторов.Величина равнодействующей силы находится из выражения:


    Углы направления и косинусы направления

    Углы q x , q y и q z , которые вектор составляет с положительные концы осей x, y и z соответственно называются углы направления. Эти углы важны, потому что их косинусы - прямоугольные скалярные компоненты единичного вектора, действующие в одном и том же направление.Для любого вектора R = , направляющие косинусы связаны с его прямоугольными скалярными компонентами и величина следующим образом:

    Обратите внимание на соотношение выше, что
    , , 

    но  R =

    и

    , где должна быть единица вектор, поскольку величина вектора равно 1. Используя отношение
    R =

    У нас есть

    Следовательно,

        Заметим, что направляющие косинусы вектора прямоугольные скалярные компоненты (по трем координатным осям) единичный вектор, действующий в том же направлении, что и вектор.

    Обратите внимание, что скалярные компоненты единичного вектора вдоль трех декартовых системы координат равны направляющим косинусам вектора с отношение к осям. Также три угла направления q x , д д и q z не все независимы. Если известны два дирекционных угла, то третий можно определить из уравнение выше. Также

    Пример (см. пример задачи 2.7 Страница 44)

    Дано : Вектор известной величины | В | но линия действия которого определяется двумя точками (x 1 , y 1 , z 1 ) и (x 2 , y 2 , z 2 ).
    Требуется : для определения компонентов вектора В в трех ортогональных направлениях. Что такое направляющие косинусы?




    Пример задачи 2.59

    Дано : Пружина AB и стойка DA, с углом 30 градусов между стойкой и пружиной. Напряжение | Т | = 250 Н





    Обязательно :   (a) компоненты x, y, z сила, действующая на пластину в точке B
    (б) q x , q y и q z , определяющие направление сила в точке В





    Пример задачи 2.61

    Дано : F = (240Н)i - (270Н)j + (680Н)k

    Требуется : Величина и направление F

    Равновесие частиц

    Говорят, что частица находится в равновесии, если равнодействующая всех силы, действующие на него, равны нулю. Это означает, что если силовой многоугольник для всех сил, действующих на частицу, находящуюся в равновесии, силовой многоугольник замкнется, как показано ниже (см. учебник стр. 32, рис. 2.27 и 2.28). Алгебраически условие равновесия представляется как

    Ч = å Ф = 0
    ==> 
    ==>

    Задачи на равновесие лучше всего решать с помощью бесплатных схемы тела. Вы должны нарисовать свободные диаграммы тела для своих решений.

    Бесплатные диаграммы кузова

    Диаграмма свободного тела — это диаграмма, на которой показано тело (или частица) и все силы, как известные, так и неизвестные, действующие на него.

    Обратите внимание, что все соответствующие размеры, величины и направления должны показать на диаграмме свободного тела. Все уравнения должны быть написаны на основе на применимых диаграммах свободного тела

    Примеры

    Для каждой из приведенных ниже задач нарисуйте диаграмму свободного тела, которую можно решить. используется для решения проблемы.

    Вопрос 1

    Определить силы натяжения канатов AB и AC.

    Вопрос 2

    Определите горизонтальную силу "P", которую рабочий должен приложить к канат для размещения 50-килограммового ящика непосредственно над транспортным средством?



    Вопрос 3

    Определить натяжение тросов AC и BC.



    Вопрос 4

    Две веревки связаны вместе в точке С. Если максимально допустимое натяжение в каждая веревка 2,5 кН, что такое Fmax и соответствующий ей угол наклона, альфа?



    Вопрос 5

    Определите натяжение тросов AB, AC и AD, необходимое для

    удерживайте 60-фунтовый ящик в равновесии.




    Вопрос 6

    Вышка со срезными опорами используется для буксировки 200-килограммовой сети.

    рыбы на причал.Определить сжатие

    усилие в каждой из опор AB и CB и напряжение в

    кабель БД. Предположим, что сила каждой ноги действует вдоль ее

    ось.



    Вопрос 7

    Хомут А может свободно скользить по горизонтальному гладкому стержню. Весна прикреплен к Кольцо

    имеет константу 10 фунтов/дюйм и не деформируется, когда кольцо находится прямо под

    опора Б.Определить величину силы P, необходимой для удержания равновесие, когда (а) c = 9 дюймов; (б) с = 16 дюймов.

    ОБЗОР

    Учитывая систему сил в пространстве, действующих на частицу, определить величину и направление равнодействующей силы.

    • Получите прямоугольные компоненты каждой силы
    • Отдельно добавьте все компоненты x, y и z, чтобы получить компоненты равнодействующей силы по направлениям координат
    • Получите величину равнодействующей силы, используя ее прямоугольные компоненты 90 030
    • Вычислите направляющие косинусы и, следовательно, получите направляющие углы
    Даны модуль силы и две точки вдоль его линии действия, выразите силу через ее прямоугольные компоненты.
    • Используя данные две точки вдоль линии действия, получите единичный вектор вдоль линии действия ---
      • получить вектор смещения из одной точки в другую;
      • получить величину вектора смещения;
      • разделите вектор смещения на его величину, чтобы получить единичный вектор
    • Умножьте единичный вектор на величину силы, чтобы получить силу вектор

    •  





    Вернуться на страницу курса Статика принтер Дружественная копия





    Векторы и последовательности

    Знакомство с векторами и элементами

    В этом уроке вы узнаете, как создавать свои первые объекты данных в векторах R.Векторы — это одномерные «структуры», в которых хранятся данные. Например, если мы измерили рост 10 человек, то у нас может быть вектор из 10 высот в R, по одной записи (называемой «элементом») для каждого человека. Векторы — это наиболее распространенный объект данных, с которым вы будете работать в R.

    .

    Самый простой способ создать вектор — использовать функцию c() , что означает «конкатенация» или «объединение». Чтобы создать вектор, содержащий числа 1.1, 9 и 3.14, введите c(1.1, 9, 3.14) .Каждое число должно быть разделено запятой. Попробуйте прямо сейчас и сохраните результат в переменной с именем z .

      z <- c(1.1, 9, 3.14)  

    В любое время, когда у вас возникнут вопросы по определенной функции, вы можете получить доступ к встроенным файлам справки R через ? Команда . Например, если вам нужна дополнительная информация о функции c() , введите ?c без круглых скобок, которые обычно следуют за именем функции. Попробуйте.

      

    Введите z , чтобы просмотреть его содержимое.Обратите внимание, что запятые не разделяют значения в выходных данных.

      я  
      ## [1] 1,10 9,00 3,14  

    Вы можете комбинировать векторы, чтобы создать новый вектор. Создайте новый вектор, который содержит z, 555, затем снова z в указанном порядке. Не присваивайте этот вектор новой переменной, чтобы мы могли сразу увидеть результат.

      с(г, 555, г)  
      ## [1] 1,10 9,00 3,14 555,00 1,10 9,00 3,14  

    Работа с векторами

    Числовые векторы можно использовать в арифметических выражениях.Введите следующее, чтобы увидеть, что произойдет: z * 2 + 100 .

      г * 2 + 100  
      ## [1] 102,20 118,00 106,28  

    Сначала R умножил каждый из трех элементов в z на 2. Затем он добавил 100 к каждому элементу, чтобы получить результат, который вы видите выше. Это еще одна чрезвычайно полезная функция R, которая позволит вам невероятно легко и эффективно работать с очень большими наборами данных.2 означает «х в квадрате»).Чтобы извлечь квадратный корень, используйте функцию sqrt(), а чтобы получить абсолютное значение, используйте функцию abs().

    Возьмите квадратный корень из z-1 и присвойте его новой переменной с именем my_sqrt .

      my_sqrt <- sqrt(z - 1)  

    Прежде чем мы просмотрим содержимое переменной my_sqrt , как вы думаете, что она содержит? (Введите номер варианта, который вы считаете правильным, и нажмите Enter).

    1. вектор длины 3
    2. один номер (т.e вектор длины 1)
    3. вектор длины 0 (т. е. пустой вектор)

    вектор длины 3

    Распечатать содержимое my_sqrt .

      my_sqrt  
      ## [1] 0,3162278 2,8284271 1,4628739  

    Как вы уже догадались, R сначала вычитает 1 из каждого элемента z, а затем извлекает квадратный корень из каждого элемента. Это оставляет вам вектор той же длины, что и исходный вектор z.

    Теперь создайте новую переменную с именем my_div , которая получает значение z, деленное на my_sqrt.

      my_div <- z / my_sqrt  

    Какое утверждение вы считаете верным?

    1. Первый элемент my_div равен первому элементу z, деленному на первый элемент my_sqrt, и так далее…
    2. my_div — это одно число (т. е. вектор длины 1)
    3. my_div не определен

    Первый элемент my_div равен первому элементу z, деленному на первый элемент my_sqrt, и так далее…

    Продолжайте и распечатайте содержимое my_div .

      мой_дел  
      ## [1] 3.478505 3.181981 2.146460  

    При наличии двух векторов одинаковой длины R просто выполняет указанную арифметическую операцию ( + , - , * и т. д.) поэлементно. Если векторы имеют разную длину, R «перерабатывает» более короткий вектор, пока он не станет той же длины, что и более длинный вектор.

    Когда мы сделали z * 2 + 100 в нашем предыдущем примере, z был вектором длины 3, но технически 2 и 100 являются векторами длины 1.

    За кулисами R «перерабатывает» 2 для создания вектора из 2 и 100 для создания вектора из 100. Другими словами, когда вы просите R вычислить z * 2 + 100, на самом деле он вычисляет следующее: z * c(2, 2, 2) + c(100, 100, 100).

    Чтобы увидеть еще один пример того, как работает «переработка» вектора, попробуйте добавить c(1, 2, 3, 4) и c(0, 10) . Не беспокойтесь о сохранении результата в новой переменной.

      с(1, 2, 3, 4) + с(0, 10)  
      ## [1] 1 12 3 14  

    Если длина более короткого вектора не делится поровну на длину более длинного вектора, R по-прежнему будет применять метод повторного использования, но выдаст предупреждение, чтобы вы знали, что может происходить что-то подозрительное.

    Попробуйте c(1, 2, 3, 4) + c(0, 10, 100) для примера.

      с(1, 2, 3, 4) + с(0, 10, 100)  
      ## Предупреждение в c(1, 2, 3, 4) + c(0, 10, 100): большая длина объекта не является
    ## кратно меньшей длине объекта  
      ## [1] 1 12 103 4  

    Это предупреждение появляется только в том случае, если более длинный из двух векторов не кратен более короткому. В предыдущем примере c(1, 2, 3, 4) имеет длину = 4, что в два раза больше длины c(0, 10), т. е. длина = 2.Без предупреждения.

    Однако, когда мы добавляем вектор длины 4 и вектор длины 3, более короткий не полностью перерабатывается; отсюда и предупреждение.

    Уловки для экономии времени при работе с командной строкой

    Прежде чем продолжить этот урок, я хотел бы показать вам пару приемов, позволяющих сэкономить время.

    Ранее на уроке вы вычислили z * 2 + 100. Давайте представим, что вы ошиблись и хотели добавить 1000 вместо 100. Вы могли либо перепечатать выражение, либо…

    Во многих средах программирования стрелка вверх циклически переключает предыдущие команды.Попробуйте нажимать стрелку вверх на клавиатуре, пока не дойдете до этой команды z * 2 + 100 , затем измените 100 на 1000 и нажмите Enter. Если стрелка вверх у вас не работает, просто введите исправленную команду.

      г * 2 + 1000  
      ## [1] 1002.20 1018.00 1006.28  

    Наконец, давайте представим, что вы хотели бы просмотреть содержимое переменной, которую вы создали ранее, но вы, похоже, не можете вспомнить, как вы назвали ее: my_div или myDiv .Вы можете попробовать оба варианта и посмотреть, что сработает, или…

    … Вы можете ввести первые две буквы имени переменной, а затем нажать клавишу Tab (возможно, более одного раза). Большинство сред программирования предоставляют список созданных вами переменных, начинающихся с «мой». Это называется «автозаполнение» и может быть очень удобно, когда в вашей рабочей области много переменных. В RStudio это работает особенно хорошо, в том числе предлагает варианты функций (к которым мы вернемся позже). Попробуйте.(Если у вас не работает автозаполнение, просто введите my_div и нажмите Enter.)

      мой_дел  
      ## [1] 3.478505 3.181981 2.146460  

    Теперь вы знаете, как создавать векторы и работать с ними в R! Потрясающий!

    Как создавать последовательности чисел

    Теперь мы будем создавать последовательности чисел или символов в R. Последовательности используются во многих различных задачах, от построения осей графиков до создания смоделированных данных. Обратите внимание, что мы будем создавать больше векторов.

    Создавайте последовательности, используя

    :

    Самый простой способ создать последовательность чисел в R — использовать оператор : . Введите 1:20, чтобы увидеть, как это работает.

      1:20  
      ## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  

    Это дало нам каждое целое число от (включительно) 1 до 20 (целое число — положительное или отрицательное счетное число, включая 0).

    Мы также можем использовать его для создания последовательности действительных чисел (действительное число — это положительное, отрицательное или 0 с бесконечной или конечной последовательностью цифр после запятой).Например, попробуйте ввести pi:10.

      Пи:10  
      ## [1] 3.141593 4.141593 5.141593 6.141593 7.141593 8.141593 9.141593  

    Результатом является вектор действительных чисел, начинающийся с пи (3,142…) и увеличивающийся с шагом 1. Верхний предел 10 никогда не достигается, так как следующее число в нашей последовательности будет больше 10.

    Обратите также внимание, что pi — одна из немногих констант, встроенных в R. Введите ?pi, чтобы проверить остальные.

      ?пи  

    Что произойдет, если мы сделаем 15:1? Попробуйте узнать.

      15:1  
      ## [1] 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1  

    Обратный счет с шагом 1! Иногда это полезно для построения коэффициентов моделей в обратном порядке.

    Помните, что если у вас есть вопросы о конкретной функции R, вы можете получить доступ к ее документации с помощью знака вопроса, за которым следует имя функции: ?имя_функции_здесь. Однако в случае оператора, подобного двоеточию, использованному выше, вы должны заключить символ в обратные кавычки следующим образом: ? : .(ПРИМЕЧАНИЕ. Клавиша обратной кавычки (`) обычно находится в верхнем левом углу клавиатуры над клавишей Tab. Если у вас нет клавиши обратной кавычки, вы можете использовать обычные кавычки.)

    Откройте документацию для : сейчас же.

      ?`:`  

    Создание последовательностей с помощью

    seq()

    Часто нам требуется больший контроль над создаваемой последовательностью, чем дает нам оператор : . Этой цели служит функция seq() («последовательность»).

    Наиболее простое использование seq() делает то же самое, что и оператор : . Попробуйте seq(1, 20) , чтобы увидеть это.

      сл(1, 20)  
      ## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  

    Это дает нам тот же результат, что и 1:20. Проверьте файл справки для seq() .

      ?seq  

    В файлах справки показаны аргументы, перечисленные для функции seq() .Первые два аргумента — «от =» и «до =». В R вам не нужно указывать аргументы по имени, если вы записываете их значения в том же порядке, в котором они записаны в функции. Тем не менее, для сложных функций часто рекомендуется сделать это, и ваш код станет намного понятнее.

    Например, seq(from = 1, to = 20) даст тот же результат, что и seq(1, 20) . Попытайся!

      последовательность (от = 1 до = 20)  
      ## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  

    Хорошо, предположим, что вместо чисел от 1 до 20 нам нужен вектор чисел в диапазоне от 0 до 10, увеличенный на 0.5. seq(0, 10, by = 0,5) делает именно это. Попробуйте.

      последовательность(0, 10, по = 0,5)  
      ## [1] 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
    ## [15] 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0  

    Или, может быть, нам все равно, что такое приращение, и нам просто нужна последовательность из 30 чисел от 5 до 10. seq(5, 10, length = 30) делает свое дело. Попробуйте прямо сейчас и сохраните результат в новой переменной с именем my_seq .

      my_seq <- seq(5, 10, длина = 30)  

    Если вы еще раз внимательно посмотрите на файл справки для ?seq, вы увидите не аргумент «length=», а только «length.out=». На самом деле вы можете использовать любую аббревиатуру имени аргумента, если она отличается от любого другого аргумента. Вы даже можете использовать просто «l =»!

    Чтобы подтвердить, что my_seq имеет длину 30, мы можем использовать функцию length() . Попробуй это сейчас. Для этого вам нужно включить объект «my_seq» в качестве значения аргумента «x» length() .

      длина (my_seq)  
      ## [1] 30  

    Предположим, что мы не знаем длину my_seq , но хотим сгенерировать последовательность целых чисел от 1 до N, где N представляет длину вектора my_seq. Другими словами, нам нужен новый вектор (1, 2, 3,…) той же длины, что и my_seq.

    Есть несколько способов сделать это. Одна из возможностей состоит в том, чтобы объединить оператор : и функцию length() следующим образом: 1:length(my_seq) .Попробуйте.

      1: длина (my_seq)  
      ## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
    ## [24] 24 25 26 27 28 29 30  

    Другой вариант — использовать seq(along.with = my_seq) . Попробуйте.

      последовательность (вместе с = my_seq)  
      ## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
    ## [24] 24 25 26 27 28 29 30  

    Однако, как и в случае со многими обычными задачами, для этой цели в R предусмотрена отдельная встроенная функция, называемая seq_along() .Введите seq_along(my_seq) , чтобы увидеть его в действии.

      seq_along(my_seq)  
      ## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
    ## [24] 24 25 26 27 28 29 30  

    Часто существует несколько подходов к решению одной и той же проблемы, особенно в R. Как правило, лучше всего подходят простые подходы, требующие меньшего набора текста. Также важно, чтобы ваш код был читабельным, чтобы вы и другие могли без особых хлопот понять, что происходит.

    Если в R есть встроенная функция для конкретной задачи, скорее всего, эта функция хорошо оптимизирована для этой цели и является лучшим вариантом. Одна из философий R (и Unix в целом) состоит в том, чтобы иметь инструменты (или функции), которые очень хорошо делают определенные вещи, а затем связывать их вместе, а не один многоцелевой инструмент, который плохо справляется со многими задачами.

    Этот подход подобен использованию отдельных ножа, вилки и ложки, а не Spork… В большинстве случаев столовые приборы (США: «серебряная посуда») превосходят Spork.

    По мере того, как вы станете более продвинутым программистом на R, вы научитесь связывать и вкладывать эти, казалось бы, простые функции для выполнения невероятно мощных задач. Вы также будете разрабатывать свои собственные функции для выполнения задач, когда нет лучших вариантов. Мы рассмотрим написание собственных функций на следующих уроках.

    Создание последовательностей с помощью

    rep()

    Хорошо, вернемся к шоу. Еще одна функция, связанная с созданием последовательностей чисел, — это rep() , что означает «реплицировать».Давайте рассмотрим несколько применений.

    Если нам нужно создать вектор, содержащий 40 нулей, мы можем использовать rep(0, times = 40) . Попробуйте.

      реп(0, раз = 40)  
      ## [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    ## [36] 0 0 0 0 0  

    Если вместо этого мы хотим, чтобы наш вектор содержал 10 повторений вектора (0, 1, 2), мы можем сделать rep(c(0, 1, 2), times = 10) . Вперед, продолжать.

      повтор(с(0, 1, 2), раз = 10)  
      ## [1] 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2  

    Наконец, предположим, что вместо того, чтобы повторять вектор (0, 1, 2) снова и снова, мы хотим, чтобы наш вектор содержал 10 нулей, затем 10 единиц, затем 10 двоек.Мы можем сделать это с аргументом каждый . Попробуйте rep(c(0, 1, 2), each = 10) и сохраните его как новую переменную с именем my_rep .

      my_rep <- rep(c(0, 1, 2), каждый = 10)  

    Во-первых, давайте удостоверимся, что наш объект на самом деле является вектором. Иногда в R нам нужно знать, является ли объект тем, что мы о нем думаем — есть много функций, которые позволяют нам это сделать, и все они следуют формату is.object_type. Идите вперед и введите is.вектор(my_rep) сейчас.

      is.vector(my_rep)  
      ## [1] ИСТИНА  

    my_rep — это вектор!

    Давайте посмотрим, как выглядит этот вектор. Мы будем использовать функцию plot() , с которой вы со временем хорошо познакомитесь. Он может принимать множество типов и форм данных, а также множество аргументов для настройки вывода, но сейчас просто продолжайте и plot(my_rep) .

      сюжет(my_rep)  

    Вы можете видеть, что ось Y помечена как my_rep со значениями, охватывающими числовой диапазон вашего вектора.Поскольку мы отображаем только один источник данных, ось x — это просто индекс, показывающий, где вдоль вашего вектора встречаются эти значения. Позже мы узнаем, как отображать два источника данных, чтобы исследовать их взаимосвязь, делая полученные графики намного лучше.

    Функция rep() также работает с другими типами данных, такими как символы или факторы (символы или числа, представляющие категории данных, например карие или голубые глаза). Таким образом, использование rep часто полезно для добавления коэффициентов к вашим данным.Попробуйте повторить вектор c('a','b','c') 5 раз.

      респ(с("а","б","с"), 5)  
      ## [1] "а" "б" "в" "а" "б" "в" "а" "б" "в" "а" "б" "в" "а" "б" " в"  

    Поздравляем! Теперь у вас есть несколько мощных инструментов, которые вы можете использовать для создания последовательностей значений. Вы также научились использовать функцию length() , оператор : и построили свой первый график. Ваши навыки R растут!

    Отправьте протокол этого урока в Google Forms, чтобы Саймон мог оценить ваш прогресс.

    1. Давай, сделай мой день!

    Давай, сделай мой день!

    Photoshop- векторные изображения- растры, векторы и контуры, о боже (Photoshop 6)

    Инструменты формы Photoshop создают векторные изображения. Они состоят из линий и кривых на основе математической формулы, называемой вектором. Формула определяет форму как отдельный объект. В Photoshop контур векторной фигуры называется контуром. Мы можем перемещать, изменять размер и редактировать контуры независимо друг от друга без потери разрешения.Это ключевая характеристика векторных изображений.

    Когда дизайнер заканчивает векторный рисунок, он сохраняет копию в виде растрового изображения, иногда называемого растровым изображением. Растровые изображения представляют собой статическое расположение пикселей, и при изменении размера они теряют пиксели и разрешение. Кроме того, вы не можете перемещать отдельные фигуры в растровом изображении. Цифровые фотографии и большая часть веб-графики представляют собой растровые изображения.

    Параметры инструмента формы

    Давайте нарисуем несколько фигур.Откройте новый документ размером 400 x 400 пикселей. Сохраните файл как shape.psd. PSD — это собственный формат векторных файлов Photoshop.

    Щелкните цвет переднего плана на панели инструментов и выберите новый цвет для заполнения форм, которые вы создаете.

    На панели инструментов нажмите и удерживайте инструмент «Прямоугольник». Появится всплывающий выбор инструментов рисования фигур. Отпустите кнопку мыши, чтобы выбрать прямоугольник. Вы увидите, что в верхней части окна появляются параметры меню инструментов формы.

    Выберите параметр «Создать новый слой-фигуру».Оставьте стиль слоя по умолчанию: нет.

    Проложите свой собственный путь

    Теперь нарисуйте: Сначала нарисуйте прямоугольник, затем прямоугольник со скругленными углами, затем эллипс. Измените инструменты формы, щелкнув и удерживая значок текущего инструмента формы, пока не появится всплывающее меню. Каждая фигура имеет собственный набор параметров, расположенных под кнопкой со стрелкой в ​​верхней части окна.

    На панели инструментов Photoshop щелкните черную стрелку (инструмент выбора компонента контура).Нажмите, чтобы выбрать фигуру, затем переместите ее. Его векторная графика в действии. Чтобы переместить две или более фигур одновременно, удерживайте нажатой клавишу SHIFT при их выборе.

    Вы можете редактировать фигуры двумя способами. Сначала щелкните фигуру правой кнопкой мыши. Выберите путь свободного преобразования. Щелкните правой кнопкой мыши еще раз, выберите «Наклон» и используйте опорные точки фигур, чтобы изменить его. (Опорные точки — это маленькие прозрачные прямоугольники. Выбранные опорные точки отмечены черным цветом.) Щелкните правой кнопкой мыши еще раз, чтобы выбрать другой параметр преобразования. Дважды щелкните, когда вы удовлетворены.

    В качестве альтернативы щелкните инструмент «Прямое выделение» — белую стрелку на панели инструментов Photoshop. (Нажмите и удерживайте черную стрелку, чтобы отобразить этот параметр.) Щелкните контур фигуры, чтобы выбрать его, затем щелкните отдельную опорную точку для редактирования. Этот метод лучше подходит для редактирования кривых, так как вы можете потянуть за точку направления кривой, чтобы изменить ее форму. Точка направления — это маленькая черная точка, соединенная с опорной точкой.

    Комбинированные пути

    Комбинирование стандартных форм полезно для создания совершенно новой формы.(Помните рисование кругов и треугольников, чтобы создать своего первого котенка?) Используйте черную стрелку, чтобы перетащить и пересечь две или более ваших фигур. Теперь нажмите кнопку «Объединить» в меню инструментов формы. (Все в порядке, если это выглядит как капля. Мы тренировались здесь.)

    Для завершающего штриха выберите «Слой»/«Стиль слоя»/«Скос и тиснение». Нажмите «ОК». Создавайте новые слои в Photoshop, чтобы добавить больше фигур, новых цветов или текста.

    Сохранить путь

    Вы можете в любой момент вернуться к этому файлу PSD и отредактировать его.Но чтобы включить изображение в обычный электронный документ, такой как файл Microsoft Word или веб-страницу, вы должны сохранить его как растровое изображение; то есть преобразовать векторные формулы в статическое расположение пикселей. Хорошо сохраните наш файл в формате JPEG (Joint Photographic Experts Group), широко поддерживаемом формате растрового файла.

    Перейти к Слою/Свести изображение.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.