Site Loader

Содержание

Вычитание векторов / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Векторы
  5. Вычитание векторов
Разность векторов и — вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Разность векторов и обозначается так: .

Задача на построение разности векторов (1 способ)

Даны векторы и . Построить вектор .

Дано: и .

Построить: .

Решение:

От произвольной точки О откладываем векторы = и = .

По правилу треугольника + = или + = , то есть сумма векторов и равна .

По определению разности векторов это означает, что = , следовательно, вектор — искомый.

Противоположный вектор

Пусть — произвольный ненулевой вектор.

Вектор = является противоположным вектору = . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору , обозначается так: .

Теорема

Для любых векторов и справедливо равенство .

Доказательство

Дано: и .

Доказать: .

Доказательство:

По определению разности векторов . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор , получим:

или (т.к. ), следовательно, . Теорема доказана.

Задача на построение разности векторов (2 способ)

Даны векторы и . Построить вектор .

Дано: и .

Построить: .

Решение:

От произвольной точки О откладываем векторы = . Затем от точки А

отложим =.

По теореме о разности векторов , поэтому , следовательно, вектор — искомый.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сумма нескольких векторов

Произведение вектора на число

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 756, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 757, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 758, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 764, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 768, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 770, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 773, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 792, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 803, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1069, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Сумма нескольких векторов

Вам уже известны правила сложения двух векторов.

Cегодня мы будем учиться складывать несколько векторов.

Построим вектор суммы векторов , , . От некоторой точки А отложим вектор
. Далее от точки B отложим вектор . А от точки C отложим вектор

.

Будем последовательно складывать наши векторы, пользуясь правилом треугольника.

 

Сумма векторов , равна вектору .

Теперь к вектору  добавим вектор . В результате мы получаем вектор .

Тогда можем сказать, что сумма .

Так, последовательно складывая первый вектор со вторым, затем их сумму с третьим и так далее, можно найти суммы четырёх, пяти и большего числа векторов.

Такое правило построения суммы векторов называют правилом многоугольника.

Сформулируем его в общем виде.

Если А1, А2, …, An — произвольные точки плоскости, то сумма векторов

.

Это равенство справедливо для любых точек А1, А2, …, An. И, в частности, для случая, когда некоторые из них совпадают.

Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

Задача. Построить вектор суммы попарно неколлинеарных векторов , , ,  и .

Построение

 

 

 

 

 

.

Задача.

В соответствии с правилом многоугольника составить равенство,выражающее сумму нескольких векторов.

 Посмотрим на первый рисунок. Мы видим, что последовательно складывают векторы . Но, так как начало вектора  совпадает с концом вектора , то сумма данных векторов равна нулевому вектору .

Перейдём к следующему случаю.

Видим, что сумма состоит из векторов . А вот вектор , как раз таки, и равен ей.

На рисунке в последовательно, друг за другом, отложены векторы  Ну, а вектор  равен их сумме.

На последнем рисунке последовательно, друг за другом, отложены векторы . При этом Начало вектора К совпадает с концом вектора С. Поэтому сумма данных векторов равна нулевому вектору  .

Задача.  равнобокая трапеция. и  — её основания, боковая сторона равна . Построить вектор  и найти его длину.

Построение

Решение.

Ответ:

А теперь подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с правилом многоугольника, которое позволяет строить вектор суммы нескольких векторов.

Его суть заключается в том, что векторы-слагаемые последовательно откладывают друг от друга, суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора-слагаемого, а конец совпадает с концом последнего вектора-слагаемого.

Если эти точки совпадают, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B.

Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Примеры задач на коллинеарность векторов


Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к.   1  =  2
.
4 8
Вектора a и с не коллинеарны т.к.   1  ≠  2 .
5 9
Вектора с и b не коллинеарны т.к.   5  ≠  9 .
4 8
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

n =  by  =  6  = 2
ay 3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Значит:

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.


Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 14 = 28 = 312

Вектора a и с не коллинеарны т.к.  15 = 210 ≠ 312

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 54 = 108 ≠ 1212

Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

n =  by  =  6  = 2
ay 3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

Значит:

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Может ли сумма величин двух векторов когда-либо быть равна величине суммы этих двух векторов? – Restaurantnorman.com

Может ли сумма величин двух векторов когда-либо быть равна величине суммы этих двух векторов?

Вопрос: Может ли сумма величин двух векторов когда-либо быть равна величине суммы тех же двух векторов? б-Нет, невозможно, чтобы величина суммы равнялась сумме величин.

При каком условии величина суммы двух векторов равна величине разности между ними?

Когда они перпендикулярны, они имеют одинаковую величину равнодействующей независимо от того, какой вектор..

При каком угле модуль суммы двух векторов равен модулю их вычитания?

Если величина суммы двух векторов равна величине разности двух векторов, угол между этими векторами равен: \[

При каких условиях сумма величин векторов равнялась бы величине результирующего вектора?

Векторная сумма двух векторов с одинаковыми величинами будет иметь величину, равную любому вектору, если угол между ними равен 120 градусам.

Может ли сумма двух векторов равняться нулю?

Да, два вектора одинаковой величины, направленные в противоположные стороны, в сумме будут равны нулю. Два вектора разной величины никогда не могут в сумме равняться нулю. Если они указывают на одну и ту же прямую, то сумма не будет равна нулю, так как их величины различны.

Может ли сумма двух векторов быть скаляром?

Нет, невозможно, чтобы величина суммы равнялась сумме величин.

Когда сумма двух векторов максимальна и минимальна?

Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам избавиться от сомнений и получить отличные оценки на экзаменах.Сумма двух векторов максимальна, когда оба вектора направлены в одну сторону, и минимальна, когда они действуют в противоположных направлениях.

Всегда ли сумма двух векторов будет больше величины одного из векторов?

Величина суммы двух векторов всегда меньше суммы величин двух векторов. Компонент вектора никогда не может быть больше величины вектора. Вектор может быть равен нулю, в то время как компонент вектора не равен нулю.

Чему равна равнодействующая двух равных векторов?

Величина равнодействующей двух равных векторов равна величине любого вектора.

Могут ли 3 вектора одинаковой величины в сумме равняться нулю?

Ответ: Да, можно сложить три вектора одинаковой величины и получить ноль. Это может произойти, если равнодействующая двух векторов равна и противоположна по направлению третьему вектору. Таким образом, векторная сумма трех векторов равна нулю.

Когда сумма трех векторов может быть равна нулю?

Если модуль результирующего двух векторов точно равен модулю третьего вектора.Если направление равнодействующей этих двух векторов точно противоположно направлению третьего вектора. Если все вышеперечисленные условия выполнены, то равнодействующая трех векторов будет равна нулю.

Можно ли сложить два вектора одинаковой величины и получить ноль?

Да, можно сложить три вектора одинаковой величины и получить ноль. Возьмем три вектора одинаковой величины →A, →B и →C, учитывая, что эти три вектора составляют угол 120° друг с другом.

Какая длина необходима для трех векторов, чтобы их векторная сумма равнялась нулю?

Какие ограничения длины необходимы для трех векторов, чтобы их векторная сумма равнялась нулю? Объясните свои рассуждения.Нет Требуемое ограничение длины для трех векторов: сумма длин любых двух из них должна быть больше, чем длина третьего. Это называется неравенством треугольника.

Можете ли вы найти векторную величину, которая имеет нулевое значение?

Просто нет, вектор не может иметь нулевую величину, но если его компонента отлична от нуля. Этот случай справедлив для прямоугольных компонент вектора. Но в случае непрямоугольных компонентов вектор может иметь нулевую величину, даже если его компоненты отличны от нуля.∣=1.

Каковы свойства нулевого вектора?

Он определяется как вектор, который имеет нулевую длину или не имеет длины и не имеет длины, он не указывает ни на какое конкретное направление. Следовательно, у него нет определенного направления или, можно сказать, неопределенного направления. Единичный элемент векторного пространства называется нулевым вектором. Он также известен как нулевой вектор.

Существует ли нулевой вектор?

Нулевой вектор не существует.

Сколько компонентов может уменьшить один вектор?

Векторы можно разбить на две составляющие: величину и направление.Взяв анализируемый вектор за гипотенузу, можно найти горизонтальную и вертикальную составляющие, составив прямоугольный треугольник.

Решение «Загадки о слонах»

Решение «Загадки со слоном»

Единственное возможное решение состоит в том, что все слоны имеют одинаковый вес.

Если мы представим веса слонов как переменные, помеченные W 1 до W 13 , затем факты о слонах можно свести в линейную систему вида A*W=0 , где в каждой строке A диагональ запись равна нулю, 6 записей равны +1, а остальные 6 записей равны -1.

Отсюда мы видим, что A является сингулярной матрицей. Если мы посмотрим на A как на набор векторов-столбцов, то сумма векторов-столбцов является нулевым вектором. (первая запись в эта сумма является суммой записей в строке 1, например.) Но процесс суммирования элементов в строке матрицы эквивалентен к умножению матрицы на вектор всех единиц: A*1=0 , что означает, что A является единственным числом.И, возможно удивительно, что хорошо , потому что линейная система A*W=0 имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда матрица A вырождена.

Таким образом, кажется, что все, что мы установили с помощью этого аргумента, является очевидным, а именно, что существует хотя бы одно решение, в котором все веса слонов равны. (Они не должны весить 1 фунт, из курс. Если x является решением сингулярной линейной системы, то так же как и любое кратное x . )

Мы уже знали, что есть одно решение. Мы хотим узнать, есть ли другие решения. Ответ нет, и причину можно показать с помощью того же матричного анализа. Решение x , которые мы нашли, являются одним вектором в нулевом пространстве A . Существуют и другие решения (не кратные первому), если и только если это нулевое пространство имеет размерность 2 или больше. Если мы можем показать, что нулевое пространство имеет размерность 1, мы закончили.

Мы пытаемся показать, что нулевое пространство имеет размерность 1, показав, что существует некоторая второстепенная матрица 12 на 12, имеющая полный ранг. Мы будем думаю, что не имеет значения, на какой минор мы смотрим, поэтому мы просто удалить 13-ю строку и столбец исходной матрицы A создать новую матрицу B .

Теперь нам нужно использовать следующий факт:

Если матрица неособа по модулю 2, то она неособа.

Используя арифметику по модулю 2, наша матрица B эквивалентна матрица, равная 0 по диагонали и 1 везде. Эта матрица сингулярна по модулю 2, если существует некоторый вектор y из нулей. и 1, так что B*y=0, mod 2 . Это эквивалентно тому, чтобы сказать что мы можем добавить некоторое подмножество векторов-столбцов, чтобы получить нулевой вектор.

Если мы добавим все 12 столбцов, мы получим вектор из единиц (потому что в каждой строке 11 единиц, что в сумме дает 11, что равно 1 по модулю 2.) Так что это не способ получить ноль.

Теперь предположим, что мы сложим вместе k столбцов, где k меньше 12. Тогда, если k четно, то имеется ровно k записи суммы, где нечетное количество единиц было добавлено, чтобы получить 1, (потому что каждый столбец, который мы используем в сумме, имеет нуль, уникальный в его ряд). Поскольку k не равно нулю, мы знаем, что сумма не может быть нулевой вектор. Если k нечетно, то есть хотя бы одна строка сумма, в которой ни один из добавляемых столбцов не имел нуля.Следовательно значение этой записи суммы равно значению k единиц по модулю 2. А поскольку k нечетно, это значение будет равно 1.

Таким образом, нет возможности построить нулевой вектор, добавляя столбцы минорной матрицы по модулю 2. Следовательно, минорная матрица невырождена по модулю 2. Следовательно, минорная матрица невырожденна и имеет ранг 12. Следовательно, исходная матрица должна иметь ранг не менее 12. Но она не может имеют ранг больше 12, так как имеют нулевой вектор.Следовательно, он имеет ранг ровно 12, есть один нулевой вектор и нет других решений к проблеме.


Эта головоломка появилась в весеннем выпуске журнала PUrview за 2000 год. информационный бюллетень математического факультета Purdue. Появились решения в летнем номере 2000 г. Обсуждаемое здесь решение было дано профессор Майкл Голомб.

Последняя редакция от 19 декабря 2000 г.

Нулевой вектор (нулевой вектор) — определение, примеры

Нулевой вектор или нулевой вектор — это вектор, который имеет нулевую величину и не имеет направления.Прежде чем вдаваться в подробности о нулевом векторе, давайте сначала вспомним значение векторов. Вектор — это объект или геометрический объект, который имеет величину (длину) и направление. Теперь вектор, имеющий нулевую длину и неопределенное направление, называется нулевым вектором или нулевым вектором. Все его компоненты равны 0,

.

В этой статье мы изучим концепцию нулевого вектора, его определение и символ, а также решим несколько примеров с использованием нулевого вектора (нулевого вектора) для лучшего понимания концепции.

Что такое нулевой вектор?

Нулевой вектор — это векторный объект в n-мерном пространстве, который имеет величину, равную 0, и не указывает ни в каком направлении. Давайте рассмотрим пример из реальной жизни, чтобы понять это. Предположим, два человека тянут веревку за два конца с одинаковой силой, но в противоположных направлениях. Таким образом, чистая сила, приложенная к веревке, будет нулевым вектором (нулевым вектором), поскольку две равные силы уравновешивают друг друга, потому что они направлены в противоположные стороны.Давайте посмотрим на определение и на то, как представлять нулевой вектор в следующих разделах.

Определение нулевого вектора

Нулевой вектор или нулевой вектор определяется как вектор в пространстве с величиной, равной 0, и неопределенным направлением. Символ нулевого вектора задается \(\overrightarrow{0} = (0, 0, 0)\) в трехмерном пространстве, а в двумерном пространстве он записывается как \(\overrightarrow{0} = (0, 0) )\). Все компоненты нулевого вектора равны 0, поскольку он имеет нулевую длину и не указывает ни в каком направлении.Это также называется аддитивной идентичностью набора векторов, поскольку всякий раз, когда мы добавляем нулевой вектор к любому другому ненулевому вектору, результирующий равен данному ненулевому вектору.

Свойства нулевого вектора (нулевой вектор)

Теперь, когда мы поняли значение нулевого вектора , давайте пройдемся по некоторым его свойствам, чтобы лучше понять его. Ниже приведены некоторые важные свойства нулевого вектора (нулевого вектора):

  • Когда нулевой вектор добавляется к ненулевому вектору, результирующий вектор равен заданному ненулевому вектору, т.е.например, \(\overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0}\).
  • Когда нулевой вектор вычитается из ненулевого вектора, результирующий вектор равен заданному ненулевому вектору, т. е. \(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}\) .
  • Когда ненулевой вектор вычитается из нулевого вектора, результирующий вектор равен отрицательному значению данного ненулевого вектора, т. е. \(\overrightarrow{0} — \overrightarrow{a} = \overrightarrow{- а}\).
  • Скалярное произведение и перекрестное произведение нулевого вектора с ненулевым вектором всегда равно нулевому вектору, т. е. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}=\overrightarrow {0}.\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{0} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{0}\)

Значение нулевого вектора

Мы поняли концепцию нулевого вектора.Давайте теперь посмотрим на его значение в области векторной алгебры и в реальной жизни на примере. Рассмотрим человека, бегущего в восточном направлении 5 км. Пробежав 5 км в восточном направлении, он бежит обратно в западном направлении еще 5 км. Восток и запад находятся в противоположных направлениях, поэтому, пробежав на запад 5 км, человек оказывается в том же месте, откуда начал. Итак, технически он пробежал 10 км, но в векторной алгебре его перемещение считается равным 0 км, так как его конечная и начальная точки совпадают.

Перемещение является векторной величиной, тогда как расстояние является скалярной величиной. Таким образом, значение нулевого вектора заключается в том, что, хотя смещение является нулевым вектором, оно указывает произвольное направление (на запад), в котором смотрит человек.

Важные замечания по нулевому вектору :

  • Нулевой вектор не имеет длины и не указывает ни в каком конкретном направлении.
  • Нулевой вектор — это аддитивная идентичность в векторной алгебре.
  • Результат произведения нулевого вектора на любой другой вектор всегда равен нулю.

☛ Похожие темы:

Часто задаваемые вопросы о Zero Vector

Что такое нулевой вектор в векторной алгебре?

Нулевой вектор или нулевой вектор — это геометрическая сущность в n-мерном пространстве, имеющая величину, равную 0, и не указывающая ни в каком направлении. Все его компоненты равны 0,

.

Что такое ненулевой вектор?

Ненулевой вектор — это вектор с ненулевой величиной. Ненулевой вектор может иметь компонент, равный нулю, но все его компоненты не могут быть равны нулю одновременно.

Почему набор векторов с нулевым вектором линейно зависим?

По определению любой набор векторов, содержащий нулевой вектор, линейно зависим. Это связано с тем, что все скаляры линейной комбинации этих векторов не обязательно будут равны нулю, что сделает ее нетривиальной линейной комбинацией векторов. Следовательно, набор векторов с нулевым вектором становится линейно зависимым.

Как определить нулевой вектор?

Если все компоненты вектора равны 0, то вектор является нулевым вектором.Кроме того, нулевой вектор имеет модуль, равный 0, и не указывает направление.

Является ли нулевой вектор уникальным?

Да, нулевой вектор уникален, поскольку никакой другой вектор не может иметь все компоненты, равные нулю, кроме нулевого вектора.

Как записать нулевой вектор?

Нулевой вектор или символ нулевого вектора задается \(\overrightarrow{0} = (0, 0 , 0)\) в трехмерном пространстве, а в двумерном пространстве он записывается как \(\overrightarrow{0} = (0, 0)\).

Линейная независимость

Пусть A = { V 1 , V 2 , . .., V

6 R

} Быть коллекцией векторов от R N . Если r > 2 и хотя бы один из векторов в A может быть записан как линейная комбинация других, то A называется линейно зависимым . Мотивация для этого описания проста: по крайней мере один из векторов зависит (линейно) от других.С другой стороны, если ни один вектор в A не является линейно независимым набором . Также довольно часто говорят, что «векторы линейно зависимы (или независимы)», а не «множество, содержащее эти векторы, линейно зависимо (или независимо)».

Пример 1 : Векторы v 1 = (2, 5, 3), v 2 = (1, 1, 1) и v 3 − = (4, 5, 3 2, 0) линейно независимы?

Если ни один из этих векторов не может быть выражен в виде линейной комбинации двух других, то векторы независимы; в противном случае они зависимы. Если, например, V 3 были линейной комбинацией V 1 и V 2 , то там существуют скаляры K 1 и K 2 Такие к v + к 2 v 2b = v 3 . Это уравнение выглядит как

.

, что эквивалентно

.

Однако это непоследовательная система.Например, вычитание первого уравнения из третьего дает k 1 = −4, а подстановка этого значения в первое или третье уравнение дает k 2 = 12. Однако ( k 1 , k 2 ) = (−4, 12) не удовлетворяет второму уравнению. Вывод состоит в том, что v 3 не является линейной комбинацией v 1 и v 2 . Аналогичный аргумент будет отображаться, что V 1 не линейная комбинация V 2 и V 3 и что V 2 является NotA линейная комбинация V 1 и v 3 . Таким образом, эти три вектора действительно линейно независимы.

Альтернативное — но полностью эквивалентное и часто более простое — определение линейной независимости звучит следующим образом. Коллекция векторов V 1 , V 2 , …, V R от R N — линейно независимо, если только скаляры, которые удовлетворяют к 1 = к 2 = ⃛ = к r = 0.Это называется тривиальной линейной комбинацией . Если, с другой стороны, существует нетривиальная линейная комбинация, которая дает нулевой вектор, то векторы зависимы.

Пример 2 : Используйте это второе определение, чтобы показать, что векторы из примера 1: v 1 = (2, 5, 3), v 2 = (1, 1, 1) и v 3 = (4, −2, 0) — линейно независимы.

Эти векторы линейно независимы, если единственные скаляры, удовлетворяющие

   

равно к 1 = к 2 = к 3 = 0.Но (*) эквивалентно однородной системе

Сокращение строки матрицы коэффициентов дает

Эта ступенчатая форма матрицы позволяет легко видеть, что k 3 = 0, откуда следует k 2 = 0 и k 1 = 0. Таким образом, уравнение (**) — а значит, (*) — удовлетворяет только k 1 = k 2 = k 3 = 0, что доказывает линейную независимость заданных векторов.

Пример 3 : Векторы v 1 = (4, 1, −2), v 2 = (−3, 0, 1) и v 3 (1, 1, −2, 1) линейно независимы?

Уравнение K 1

7 V
K 2

7 V 2 + K 3 V 3 = 0 эквивалентно однородному система

 

Сокращение строки матрицы коэффициентов дает строку нулей:

  

Поскольку общее решение будет содержать свободную переменную, однородная система (*) имеет нетривиальные решения. Это показывает, что существует нетривиальное линейное сочетание векторов V 1 , 2 , и V 3 , которые дают нулевой вектор: V 1 , V 2 и v 3 являются зависимыми.

Пример 4 : Существует ровно одно значение c такое, что векторы

линейно зависимы. Найдите это значение c и определите нетривиальную линейную комбинацию этих векторов, которая равна нулевому вектору.

Как и прежде, рассмотрим однородную систему

   

и выполните следующие элементарные операции со строками над матрицей коэффициентов:

Для получения нетривиальных решений в этой ступенчатой ​​форме матрицы должна быть хотя бы одна строка нулей. Если c равно 0, это условие выполняется. Поскольку c = 0, вектор v 4 равен (1, 1, 1, 0). Теперь, чтобы найти нетривиальную линейную комбинацию векторов v 1 , v 2 , v 3 и v 4 , матричное уравнение

   

нужен.Из операций со строками, выполненных выше, это уравнение эквивалентно

Последняя строка подразумевает, что k 4 можно взять в качестве свободной переменной; пусть k 4 = t . Затем в третьей строке указано 

.

Вторая строка подразумевает

   

и, наконец, первая строка дает

Таким образом, общее решение однородной системы (**) — и (*) — есть

   

на любой т на р .Выбор T = 1 , например, дает K 1 , K 2 , K 3 , K 4 So

есть линейная комбинация векторов v 1 , v 2 , v 3 и v 4 , равная нулю. Чтобы убедиться, что

просто замените и упростите: 

бесконечно много других нетривиальных линейных комбинаций V 1 , V 2 , V 3 и V 4 , которые равны нулю вектор, можно найти просто выбрать любой другой Ненулевые значение T в (***) и заменяют полученные значения K 1 , K 2 , K 3 и K 4 в выражении K 1

7 V 1 + K 2

7 V 2 + K 3

7 V 3 + K 4

7 V 4 .

Если набор векторов из R n содержит более n векторов, то легко ответить на вопрос о его линейной независимости. Если C = {

7 V 1 ,

7 V 2 , …, V м } — это коллекция векторов от R N и м> н. , то C должны быть линейно зависимы. Чтобы понять, почему это так, обратите внимание, что уравнение

   

эквивалентно матричному уравнению

Поскольку каждый вектор v j содержит n компонентов, это матричное уравнение описывает систему с m неизвестными и n уравнений.Любая однородная система с большим количеством неизвестных, чем уравнений, имеет нетривиальные решения, результат, который применим здесь, поскольку m > n . Поскольку уравнение (*) имеет нетривиальные решения, векторы в C не могут быть независимыми.

Пример 5 : Коллекция векторов {2 I j j + j , — I + 4J } от R 2 — линейно зависит от любых набор из 3 (или более) векторов из R 2 должен быть зависимым.Аналогичным образом, коллекция { I + j K 2i 3J K , I 4k , — 2J , — 5i + г 3k } векторов из R 3 не может быть независимым, потому что любой набор из 4 или более векторов из R 3 является зависимым.

Пример 6 : любая коллекция векторов от R N , который содержит нулевой вектор, автоматически зависит от, для If { V 1 , V 2 , …, V r−1 , 0 } является таким набором, то для любых k ≠ 0,

   

— нетривиальная линейная комбинация, дающая нулевой вектор.

Линейная независимость

Цели
  1. Понимание концепции линейной независимости.
  2. Изучите два критерия линейной независимости.
  3. Понимание взаимосвязи между линейной независимостью и сводными столбцами/свободными переменными.
  4. Рецепт: проверить, является ли набор векторов линейно независимым / найти уравнение линейной зависимости.
  5. Изображение: является ли набор векторов в R2 или R3 линейно независимым или нет.
  6. Словарь: отношение линейной зависимости / уравнение линейной зависимости .
  7. Основные словарные слова: линейно независимые , линейно зависимые .

Иногда диапазон набора векторов «меньше», чем вы ожидаете от количества векторов, как на рисунке ниже. Это означает, что (по крайней мере) один из векторов является избыточным: его можно удалить, не затрагивая диапазон.В настоящем разделе мы формализуем эту идею в понятии линейной независимости .

Span{v,w}vwSpan{u,v,w}vwuFigure1Изображения наборов линейно зависимых векторов. Обратите внимание, что в каждом случае один вектор находится в диапазоне других, поэтому диапазон не увеличивается.
Определение

Набор векторов {v1,v2,…,vk} является линейно независимым , если векторное уравнение

x1v1+x2v2+···+xkvk=0

имеет только тривиальное решение x1=x2=···=xk=0.Множество {v1,v2,…,vk} линейно зависимо в противном случае.

Другими словами, {v1,v2,…,vk} линейно зависит, если существуют числа x1,x2,…,xk, не все равные нулю, такие, что

x1v1+x2v2+···+xkvk=0.

Это называется отношением линейной зависимости или уравнением линейной зависимости .

Обратите внимание, что понятия линейной зависимости и линейной независимости относятся к набору векторов . Нет смысла говорить что-то вроде «этот вектор линейно зависит от этих других векторов» или «эта матрица линейно независима».

Приведенные выше примеры приводят к следующему рецепту.

Рецепт: Проверка линейной независимости

Набор векторов {v1,v2,…,vk} линейно независим тогда и только тогда, когда векторное уравнение

x1v1+x2v2+···+xkvk=0

имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда матричное уравнение Ax=0 имеет только тривиальное решение, где A — матрица со столбцами v1,v2,…,vk:

А=Е|||v1v2···vk|||F.

Это верно тогда и только тогда, когда A имеет точку поворота в каждом столбце.

Решение матричного уравнения Ax=0 либо проверяет, что столбцы v1,v2,…,vk линейно независимы, либо создает отношение линейной зависимости, заменяя любые ненулевые значения для свободных переменных.

(Напомним, что Ax=0 имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда A имеет столбец без опорной точки: см. это наблюдение в разделе 2.4.)

Предположим, что A имеет больше столбцов, чем строк. Тогда A не может иметь опорную точку в каждом столбце (она имеет не более одной опорной точки на строку), поэтому ее столбцы автоматически линейно зависимы.

Широкая матрица (матрица с большим количеством столбцов, чем строк) имеет линейно зависимые столбцы.

Например, четыре вектора в R3 автоматически линейно зависимы. Обратите внимание, что длинная матрица может иметь или не иметь линейно независимых столбцов.

Факты о линейной независимости
  1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны, т. е. один скалярно кратен другому.
  2. Любой набор, содержащий нулевой вектор, линейно зависим.
  3. Если подмножество {v1,v2,…,vk} линейно зависимо, то {v1,v2,…,vk} также линейно зависимо.
  1. Если v1=cv2, то v1−cv2=0, поэтому {v1,v2} линейно зависимы. В другом направлении, если x1v1+x2v2=0 с x1A=0 (скажем), тогда v1=-x2x1v2.
  2. Легко построить отношение линейной зависимости, если один вектор является нулевым вектором: например, если v1=0, то

    1·v1+0·v2+···+0·vk=0.

  3. После переупорядочения мы можем предположить, что {v1,v2,…,vr} линейно зависима, причем r x1v1+x2v2+···+xrvr=0,

    хотя бы один из x1,x2,…,xr не равен нулю. Это также уравнение линейной зависимости между {v1,v2,…,vk}, поскольку мы можем считать коэффициенты vr+1,…,vk равными нулю.

Что касается первого факта, обратите внимание, что нулевой вектор кратен любому вектору, поэтому он коллинеарен любому другому вектору. Следовательно, факты 1 и 2 согласуются друг с другом.

В этом подразделе мы даем два критерия линейной независимости набора векторов. Имейте в виду, однако, что фактическое определение приведено выше.

Теорема

Набор векторов {v1,v2,…,vk} линейно зависим тогда и только тогда, когда один из векторов находится в промежутке других.

Любой такой вектор можно удалить, не затрагивая диапазон.

Доказательство

Предположим, например, что v3 находится в Span{v1,v2,v4}, поэтому у нас есть уравнение вида

Мы можем вычесть v3 из обеих частей уравнения, чтобы получить

Это отношение линейной зависимости.

В этом случае любая линейная комбинация v1,v2,v3,v4 уже является линейной комбинацией v1,v2,v4:

x1v1+x2v2+x3v3+x4v4=x1v1+x2v2+x3G2v1-12v2+6v4H+x4v4=(x1+2×3)v1+Gx2-12x3Hv2+(x4+6)v4.

Следовательно, Span{v1,v2,v3,v4} содержится в Span{v1,v2,v4}. Любая линейная комбинация v1,v2,v4 также является линейной комбинацией v1,v2,v3,v4 (с коэффициентом v3, равным нулю), поэтому Span{v1,v2,v4} также содержится в Span{v1, v2,v3,v4}, а значит, они равны.

В другом направлении, если у нас отношение линейной зависимости типа

, то мы можем переместить любой ненулевой член в левую часть уравнения и разделить на его коэффициент:

Это показывает, что v1 находится в Span{v2,v3,v4}.

Мы предоставляем читателю возможность обобщить это доказательство для любого набора векторов.

Предупреждение

В линейно зависимом множестве {v1,v2,…,vk} вообще неверно, что любой вектор vj находится в промежутке других, а только то, что хотя бы один из из них.

Например, множество CA10B,A20B,A01BD линейно зависимо, но A01B не находится в промежутке двух других векторов. Также см. этот рисунок ниже.

Предыдущая теорема уточняет, в каком смысле множество линейно зависимых векторов является избыточным.

Теорема (критерий увеличения диапазона)

Набор векторов {v1,v2,…,vk} линейно независим тогда и только тогда, когда для любого j вектор vj не лежит в Span{v1,v2,…,vj−1}.

Доказательство

Это эквивалентно тому, чтобы показать, что {v1,v2,…,vk} линейно зависимы тогда и только тогда, когда vj находится в Span{v1,v2,…,vj−1} для некоторого j. Импликация «если» является непосредственным следствием предыдущей теоремы. Предположим тогда, что {v1,v2,…,vk} линейно зависимы. Это означает, что некоторые vj находятся в промежутке других.Выберите наибольшее такое j. Мы утверждаем, что этот vj находится в Span{v1,v2,…,vj−1}. Если нет, то

vj=x1v1+x2v2+···+xj−1vj−1+xj+1vj+1+···+xkvk

, где не все xj+1,…,xk равны нулю. Предположим для простоты, что xkA=0. Затем мы можем переставить:

vk=−1xkAx1v1+x2v2+···+xj−1vj−1−vj+xj+1vj+1+···+xp−1vp−1B.

Это говорит о том, что vk ​​находится в промежутке {v1,v2,…,vp−1}, что противоречит нашему предположению, что vj является последним вектором в промежутке других.

Мы можем перефразировать это следующим образом:

Если вы создаете набор векторов, добавляя по одному вектору за раз, и если диапазон увеличивается каждый раз, когда вы добавляете вектор, то ваш набор является линейно независимым.

Набор, содержащий один вектор {v}, линейно независим, когда vA=0, так как xv=0 подразумевает x=0.

Набор из двух неколлинеарных векторов {v,w} линейно независим:

Набор из трех векторов {v,w,u} ниже линейно зависим:

На рисунке ниже обратите внимание, что v находится в Span{u,w}, а w находится в Span{u,v}, поэтому мы можем удалить любой из трех векторов, не уменьшая диапазон.

Span{v}Span{w}Span{v,w}vwu

Два коллинеарных вектора всегда линейно зависимы:

Эти три вектора {v,w,u} линейно зависимы: действительно, {v,w} уже линейно зависимы, поэтому мы можем использовать третий факт.

Два приведенных ниже вектора {v,w} линейно независимы, поскольку они не лежат на одной прямой.

Три приведенных ниже вектора {v,w,u} линейно независимы: диапазон увеличился, когда мы добавили w, затем еще раз, когда мы добавили u, поэтому мы можем применить критерий увеличения диапазона.

vwuSpan{v}Span{w}Span{v,w}

Три компланарных вектора {v,w,u} ниже линейно зависимы:

vwuSpan{v}Span{w}Span{v,w}

Обратите внимание, что три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны .Действительно, {v,w,u} линейно зависимы тогда и только тогда, когда один вектор находится в промежутке двух других, который является плоскостью (или линией) (или {0}).

Четыре приведенных ниже вектора {v,w,u,x} линейно зависимы: они являются столбцами широкой матрицы. Обратите внимание, однако, что u не содержится в Span{v,w,x}. См. это предупреждение.

vwuxSpan{v}Span{w}Span{v,w}Рисунок 20. Векторы {v,w,u,x} линейно зависимы, но u не содержится в Span{v,w,x}.

В свете этого важного замечания и этого критерия естественно задаться вопросом, какие столбцы матрицы избыточны, т.е.е., которые мы можем удалить, не затрагивая диапазон столбцов.

Теорема

Пусть v1,v2,…,vk — векторы в Rn, и рассмотрим матрицу

А=Е|||v1v2···vk|||F.

Тогда мы можем удалить столбцы A без опорных точек (столбцы, соответствующие свободным переменным), не меняя Span{v1,v2,…,vk}.

Сводные столбцы линейно независимы, поэтому мы не можем удалить другие столбцы без изменения диапазона.

Доказательство

Если матрица представлена ​​в виде редуцированного эшелона строк:

А=Е102001300001Ф

, то столбец без свода виден в промежутке между столбцами свода:

Э230Ф=2Э100Ф+3Э010Ф+0Э001Ф,

, а опорные столбцы линейно независимы:

E000F=x1E100F+x2E010F+x4E001F=Ex1x2x4F=⇒x1=x2=x4=0.

Если матрица не в сокращенной ступенчатой ​​форме строк, то мы уменьшаем строки:

A=E1723324160-1-2-84FRREF—→E102001300001F.

Следующие два векторных уравнения имеют один и тот же набор решений, поскольку они получены из эквивалентных строк матриц:

x1E12-1F+x2E74-2F+x3E2316-8F+x4E304F=0x1E100F+x2E010F+x3E230F+x4E001F=0.

Делаем вывод, что

E2316-8F=2E12-1F+3E74-2F+0E304F

и тот

x1E12-1F+x2E74-2F+x4E304F=0

имеет только тривиальное решение.

Обратите внимание, что необходимо уменьшить строку A, чтобы определить, какие столбцы являются его основными. Однако размах столбцов матрицы с уменьшенной строкой обычно равен 90 339, а не 90 340 и равен размаху столбцов A: необходимо использовать сводные столбцы исходной матрицы 90 340 из 90 339. См. теорему в Разделе 2.7 для переформулировки вышеуказанной теоремы.

Сводные колонны и размер

Пусть d будет количеством опорных столбцов в матрице

А=Е|||v1v2···vk|||F.

  • Если d=1, то Span{v1,v2,…,vk} является линией.
  • Если d=2, то Span{v1,v2,…,vk} является плоскостью.
  • Если d=3, то Span{v1,v2,…,vk} является 3-мерным пространством.
  • и так далее.

Число d называется размерностью. Мы обсуждали это понятие в этом важном примечании в разделе 2.4 и в этом важном примечании в разделе 2.4. Мы строго определим это понятие в разделе 2.7.

Что такое нулевой вектор (нулевой вектор)?

В этом уроке мы обсудим важную тему векторов.Который вы называете нулевым вектором или нулевым вектором. У многих людей есть неправильное представление об этом нулевом векторе или нулевом векторе.

Итак, я хотел бы привести несколько примеров перед тем, как подробно обсудить нулевой вектор.

Предположим, что полная внешняя сила, действующая на частицу, равна нулю. И который находится в стабильном состоянии. Тогда общее расстояние частицы будет

Поскольку расстояние частицы равно нулю, то и смещение частицы также будет равно нулю.Итак, тогда мы можем написать смещение

Многие из вас сочтут приведенное выше уравнение верным. Но уравнение, написанное выше, бессмысленно. Потому что вы не можете представить любую векторную сумму скаляром. Вы можете лучше понять, взглянув на приведенное выше уравнение, что смещение представлено вектором, а ноль представлен скаляром.

Итак, если вам нужно написать уравнение правильно, вы должны записать ноль как вектор. Тогда какой будет водоизмещение

Но вы всегда можете описать абсолютное значение вектора скаляром.Тогда я могу написать

Тогда вам может прийти в голову вопрос, в чем разница между скалярным нулем и векторным нулем.

Нуль-векторы представляют те измеримые физические величины, которые не имеют определенного направления и абсолютного значения.

Нулевой вектор

Проще говоря, нулевые векторы — это те векторы, которые не имеют определенного направления и абсолютное значение равно нулю.

Аналитически все эти векторы обозначены стрелками выше нуля.Предположим, здесь p нулевой вектор. Тогда мы можем написать p

И графически нулевой вектор представлен точками. Итак, посмотрите на эту цифру ниже

Значение нулевого вектора

Зеро существует в реальности. Но Зеро ничего не значит. Точно так же нулевой вектор действительно существует, но не имеет направления и значения.

И в этом случае начальная и конечная точки не различны, а встречаются в одной и той же точке. Таким образом, использование нулевых векторов векторной алгебры имеет важное значение.

Практическое применение нулевого вектора

Вот несколько реальных примеров, когда все время используются нулевые векторы.

Пример 1 Предположим, вы отправились в Лос-Анджелес из Калифорнии по какой-то работе и вернулись в Калифорнию точно таким же образом после того, как закончили свою работу. В этом случае, если вы посмотрите на свой путь, вы увидите, что ваше полное перемещение равно нулю.

Example2 Вы сидите в поезде, и поезд начал движение к месту назначения со скоростью v.За исключением нескольких моментов, другой поезд начал свой путь с вашей стороны. Когда вы смотрите на пассажиров другого поезда, его положение кажется вам постоянным.

То есть относительная скорость другого поезда относительно вас будет равна нулю. Для этого постоянно видишь положение пассажиров второго поезда.

И в этом случае скорость первого поезда и скорость второго поезда всегда будут равны.

Пример 3 Предположим, что частица находится в равновесном состоянии.То есть, поскольку частица движется в пространстве с постоянной скоростью, ускорение частицы будет равно нулю.

Пример 4 Приложение одинаковой горизонтальной силы с двух противоположных сторон к объекту. В этом случае суммарная сила, приложенная к объекту, равна нулю. Итак, посмотрите на рисунок ниже, чтобы вы могли лучше понять концепцию.

Тогда мы можем записать полную приложенную силу в виде нулевого вектора.

Пример 5 Предположим, вы берете систему из n частиц.И какова в этом случае будет полная внутренняя сила системы.

Если вы посмотрите на скорость системы, то увидите, что согласно третьему закону Ньютона полная внутренняя сила системы будет равна нулю.

Пример 6 Сила прилагается вместе с направлением, в котором движется частица. В этот момент вас спрашивают, каков крутящий момент частицы?

Сила приложена в направлении движения частицы. В этом случае сила не может преобразовать прямолинейное движение частицы во вращательное движение.А крутящий момент является основной причиной вращательного движения.

Кроме того, если вы посмотрите на векторную алгебру, вы увидите, что существует важная связь между силой и крутящим моментом.

Таким образом, когда сила приложена в направлении движения частицы, угол между вектором положения и силой будет равен нулю. Тогда полный крутящий момент частицы будет

Пример 7. Вы, должно быть, прочитали условие равновесия системы. То есть, если приложенная к системе внешняя сила и крутящий момент равны нулю, система будет находиться в состоянии равновесия.Тогда мы можем записать внешнюю силу и момент в виде нулевого вектора.

В случае состояния равновесия системы ускорение системы всегда будет равно нулю.

Пример 8. Предположим, вы едете по круговой дорожке на велосипеде. И после того, как вы совершили десять поворотов по круговой траектории, вас спросили: «Сколько у вас водоизмещение»?

Если вы посмотрите на свой круговой путь движения, вы увидите, что начальное положение и конечное положение одинаковы даже после выполнения десяти поворотов.Таким образом, ваше полное перемещение будет равно нулю.

Пример9 Предположим уравнение движения частицы

А если найти ускорение частицы с помощью двойных производных уравнения, то ускорение будет b

Часто задаваемые вопросы по Zero Vector

Question1 В чем разница между нулевым вектором и нулевым вектором?

Многие из вас думают, что нулевой вектор и нулевой вектор — это два разных понятия, но нет.Таким образом, нулевой вектор называется нулевым вектором.

Question2 Как нуль-вектор представляется аналитически?

Нулевой вектор отмечен стрелкой выше нуля.

Question3 Как нуль-вектор представлен графически?

Графически нулевые векторы представлены точками

Question4 В чем разница между нулевым вектором и единичным вектором?

Единичные векторы имеют указанные значения и направления, но нулевые векторы не имеют значений и направлений.Единичный вектор всегда указывает направление любого вектора. Однако нулевые векторы указывают на векторы, которые не имеют значения и не имеют заданного направления.

Заключение

Если у вас есть какие-либо комментарии об этом руководстве, сообщите нам об этом в поле для комментариев. Если концепция нулевого вектора ясна, вы поделитесь этим руководством со своими друзьями.

Физика: Векторы

Вектор формально определяется как элемент векторного пространства.
Нулевой вектор – это вектор длины 0, поэтому все его компоненты равны нулю.

Два основных определения:

  • Два вектора A и B равны, если они имеют одинаковую величину и направление, независимо от того, имеют ли они одинаковые начальные точки.
  •         Вектор, имеющий ту же величину, что и A  , но в направлении, противоположном A  , обозначается -A





Добавление графического вектора

Сложение двух векторов A и B графически можно представить как два последовательных обхода, где сумма векторов представляет собой векторное расстояние от начальной до конечной точки.Представляя векторы стрелками, нарисованными в масштабе, начало вектора B помещается в конец вектора A. Сумма векторов R может быть изображена как вектор от начала до конечной точки.


ПРИМЕР ЗАДАЧ

1. Вы двигаетесь со скоростью 3,0 м/с под углом 45 градусов (северо-восток), а затем продолжаете движение до 5,0 м/с, 135 градусов (северо-запад). Как далеко от того места, где вы начали, вы оказались? Нарисуйте вектор и укажите масштаб, который вы использовали.

Таким образом, ваш результирующий вектор будет 5.83 м/с, 104 град (северо-запад).

2. Вы бежите со скоростью 4,0 м/с, 135 градусов (северо-запад), а затем поворачиваете на юго-восток со скоростью 4,0 м/с, 315 градусов. Как быстро с того места, где вы начали, вы закончили? Нарисуйте вектор и укажите используемый масштаб.

Следовательно, ваш результирующий вектор будет равен 0 м/с, поскольку они имеют разные направления и одинаковую величину.

3. Я еду на велосипеде со скоростью 7,0 м/с на восток, а затем еду на север со скоростью 2.0 м/с. Как быстро с того места, где я начал, я закончил? Нарисуйте вектор и укажите используемый масштаб.

Я путешествовал со скоростью 7,28 м/с под углом 15,9 градуса, к северу от востока.

4. Моя сестра шла со скоростью 4,0 м/с на север и поворачивала на восток со скоростью 2,0 м/с. Затем она прошла дальше со скоростью 2,0 м/с под углом 210° (к югу от запада). Как быстро с того места, где она начала, она закончила?

Она шла со скоростью 3,01 м/с под углом 84,9 градуса, к северу от востока.


ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ

Вы можете рассмотреть возможность метания фрисби-диска или копья, хоккейный бросок с борта, динамику футбольного (футбольного) мяча, курс самолета и скорость по воздуху при ветре, игру в пул или бильярд, курс и скорость, на которые должен двигаться бейсбольный полевой игрок. перехват летящего мяча, и даже курс и скорость, на которой должен лететь перехватчик, чтобы встретить угнанный авиалайнер.

В повседневной жизни, когда вы ходите в школу, переходите улицу, только это имеет отношение к переносчикам.Кроме того, когда моя мама везет меня из школы по дороге домой, это также может быть применением векторов в повседневной жизни.

До сих пор так здорово! Это то, что я узнал о векторах. Спасибо за просмотр этого поста! 🙂

Источники:




.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.