Site Loader

Содержание

Скалярное произведение векторов 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

 

Урок: Скалярное произведение векторов

 

1. Тема урока, введение

 

 

Тема урока: «Скалярное произведение векторов». На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и решим задачи на вычисление скалярного произведения.

 

 

2. Напоминание основных сведений о векторах

 

 

Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.

 

1.  Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение 

2.  Операции с векторами.

а)   Сложение векторов.

Правило параллелограмма.

Правило треугольника.

б)   Умножение вектора на число.

3. Угол между векторами.

4. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Заметим, что  – это проекция вектора  на направление вектора  . Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.

 

 

3. Анализ формулы скалярного произведения векторов

 

 

Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.

 

1.  Перпендикулярные векторы.

Если , то   и  .

Сила в направлении  не совершает никакой работы, скалярное произведение Обратно: если , то   в силу равенства .

Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

2. Коллинеарные векторы.

Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

а) Сонаправленные векторы.

, поэтому Таким образом,

б) Противоположно направленные векторы.

, поэтому  

Таким образом,

3. Равные векторы. Рассмотрим случай, когда

Определение: Скалярное произведение  называется скалярным квадратом вектора и обозначается  ,  . Свойство: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины,  .

 

4. Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов

 

 

Следует научиться вычислять скалярное произведение векторов не только в частных, но и в общих случаях. Рассмотрим следующую задачу.

 

Задача. Вычислить скалярное произведение векторов  и  , если  , угол между ними равен:

а)    

б)   

в)  

 

а) Дано:

Найти: Решение: Ответ:

б)  Дано:

Найти: Решение: или  Ответ: 0.

в) Дано:

Найти:

Решение:Ответ:

 

 

5.

Вычисление скалярного произведения векторов в геометрических задачах

 

 

Векторы часто присутствуют и в различных геометрических фигурах. Рассмотрим следующую задачу.

 

Задача. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота  BD. Вычислить скалярное произведение векторов:

а)                       

б)  

в)  

г)  

Решение:

а)   Ответ:

б) Для определения угла между векторами отложим вектор  от точки

. Ответ: .

в)    Ответ: 0.

г)   Ответ:

 

 

6. Вычисление скалярного произведения векторов в физической задаче

 

 

Задача. К одной и той же точке приложены две силы  и  , действующие под углом  друг к другу, причем . Найти величину равнодействующей силы  .

 

Дано:

Найти: .

Решение:

Ответ:

 

7.

Заключение

 

 

Итак, мы рассмотрели разные задачи на вычисление скалярного произведения векторов. На следующем уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов в координатах.

 

 

Список литературы

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. Mathematics.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1041, 1042.

 

 

 

Скалярное произведение двух векторов — Энциклопедия по машиностроению XXL

Весьма важно правило, используемое для вычисления скалярного произведения двух векторов через их компоненты  [c. 20]

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что os 0°=v т. e. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Этот результат здесь использован мы будем пользоваться нм без оговорок н в дальнейшем.  

[c.303]

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов равно  [c.158]


Скалярное произведение двух векторов можно еще рассматривать как произведение модуля одного вектора на проекцию на него другого (рис. 17), й именно  [c.28]

Опираясь на распределительный закон скалярного умножения (30) и на формулы (34), получим выражение скалярного произведения двух векторов через их проекции. Имеем  [c.29]

Таким образом, мы находим, что скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений из одноименных (по индексу) проекций векторов на координатные оси  

[c.29]

Доказательство. В линейном пространстве Д» введем метрический тензор, матрица которого в базисе 1,. .., а совпадает с матрицей А кинетической энергии. Это можно сделать, так как матрица А симметричная и положительно определенная, а кинетическая энергия не зависит от выбора базиса в пространстве Д». С помощью этого тензора определим скалярное произведение двух векторов х,у Д»  [c.574]

Скалярным произведением, двух векторов а и 5 называется скаляр  [c.8]

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение двух векторов, один из которых является векторным произведением  

[c.9]

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ  [c.29]

Скалярное произведение двух векторов  [c.29]

Произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов  [c.48]

По определению скалярное произведение двух векторов А и В —это число, получаемое умножением абсолютного значения вектора А на абсолютное значение вектора В и на косинус угла  [c.49]

Вспоминая, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных проекций на осп координат  [c.

42]

Чтобы ввести в рассмотрение угол поворота ведущего вала X, составим теперь скалярное произведение двух векторов 1) вектора (Oi X 2, перпендикулярного к плоскости рисунка, и 2) вектора j X 1. перпендикулярного к плоскости ведущей вилки III. Косинус угла между этими векторами будет, очевидно, равен os получим  [c.322]

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними (рис. 1.6)  [c.20]

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число (скалярная величина ), равное произведению модулей векторов а и Ь на косинус угла между ними. Обозначается операция скалярного умножения символом (а, Ь). По определению  

[c.21]


Интеграл перекрытия — скалярное произведение двух векторов пространства состояний.  [c.267]

Вспоминая различные выражения для скалярного произведения двух векторов, циркуляцию можно представить в формах  [c. 50]

Умножение и деление векторов на скаляр. Скалярное произведение двух векторов. Умножение вектора а на скаляр т эквивалентно сложению т векторов а. Результативный вектор А = та имеет направление и линию действия вектора а и т — кратный модуль по сравнению с модулем а. Если m противоположное вектору а направление.  

[c.39]

Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус составленного векторами угла, не превышающего я  [c.39]

Скалярное произведение двух векторов обращается в н ль, если один или оба вектора обращаются в нуль или если векторы а и Ь взаимно перпендикулярны.  [c.39]

Скалярное произведение двух векторов коммутативно fi б = = 6 а) и дистрибутивно (а -Ь 6) с = а с -I- Ь с.  [c.39]

Но из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений соответствующих  

[c. 101]

Скалярное произведение двух векторов Я, и мы будем обозначать символом Pj Яг-  [c.19]

Согласно определению скалярного произведения двух векторов (п. 3), можно сказать, что инвариант LX МУ XZ есть скалярное произведение главного вектора и главного момента относительно  [c.29]

Аналитическое выражение элементарной работы мы получим, если напишем аналитическое выраискалярного произведения двух векторов Fn ds. Пусть X, Y, Z — проекции силы F на оси проекции вектора ds равны dx, dy, dz тогда будем иметь (п° 10)  [c.147]

Скалярное» произведение двух векторов Р и Q определяется ( Статика», 47), как произведение абсолютной величины любого из них на ортогональную проекцию второго на направление первого. Так, если Р и Q — абсолютные значения векторов, а 6 — угол между их направлениями, то  [c.52]

В соответствии с этим принято говорить, что векторное произведение является знакопеременным (в противоположность коммутативности, к>оторой обладает произведение двух чисел, произведение вектора на число и скалярное произведение двух векторов).[c.34]

Если учесть, 4Tods= drl, где dr — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (4J) можно представить в виде  [c.208]

Евклидова структура в линейном пространстве Я» задается скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими словами, скалярное произведение Г1 гз гьГ2 Я» — это операция, имеющая свойства  [c.15]

Произведения такого рода часто встречаются в МДТТ. Так, скалярное произведение двух векторов а-Ъ—Х (двух тензоров первого ранга) можно записать так  [c.18]

Скалярное произведение двух векторов приводится к алгебраическому умножению соответствующих проекций этих векторов п сложению, а потому оно обладает переместительным (коммутативность) и распределительным (дистрибутивность) свойствами  [c. 11]

Скалярное произведение двух векторов-, угол между ними. Рассмотрим два вектора Ру и Р . Их скалярным ) произведением (согласно мемуару Грассмана, Геометрический анализ, 1846) называется число  [c.18]

Скалярное произведение. — Скалярное произведение двух векторов Vj и Vj есть положительное или отрицательное число, равноэ произведению модулей этих  [c.16]

Работа постоянньге сил. В повседневной речи мы обыкновенно говорим, что человек работает, когда он совершает мускульное усилие, чтобы произвести то или шюе перемегцение материальных предметов таким образом, даже в разговорной речи мы свявываем понятие о работе с силой и перемещением. Имея в виду дать этому понятию точное механическое определение, мы начнем с того случая, когда материальная точка находится под действием постоянной силы. Если точка приложе ния постоянной силы Р получает перемеш ение то работой силы Р на этом смещении называют скалярное произведение двух векторов — силы и смеш ения.[c.330]



Скалярное произведение » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.1. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: .

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                         , .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

              или  или .

3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

                           .

4).  .

   Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

                     ,  .

2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

             , , .

   Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.

Второе свойство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате  множества векторов :

                                        ,

т.е. , .

Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:

1) , ;

2) , , .

Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

   В силу коммутативности,  скалярное произведение как функция двух переменных линейна и по второму аргументу, т. е. справедливы еще два свойства:

3) ,  ;

4) , , .

Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

   Другими словами, пусть , . Тогда

                             .                       (1)

   Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:

        

     

    

     

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть . Тогда .

   Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :

       ,

откуда и следует доказываемая формула.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть , . Тогда

.

   Доказательство. Очевидно.

Возможно найдутся ответы здесь:

Умножение на скаляр — объяснение и примеры

Умножение на скаляр — это способ изменить величину или направление вектора. Проще говоря, это

«Умножение векторной величины на скалярную величину».

Напомним, что скаляр — это просто действительное число. Умножение вектора на скаляр вызывает изменение масштаба этого вектора.

В этом разделе мы обсудим следующие аспекты скалярного умножения:

  • Что такое скалярное умножение?
  • Как умножить вектор на скаляр?
  • Умножение вектора на скаляр

Что такое скалярное умножение?

Скалярное умножение включает умножение заданной величины на скалярную величину.Если данная величина является скалярной, умножение дает другую скалярную величину. Но, если количество является вектором, умножение на скаляр дает выходной вектор.

Например, , умножение скаляра C на вектор A даст другой вектор. Мы запишем эту операцию как:

C* A   = C A

исходный вектор A .Его направление определяется значением C следующим образом:

  • Если C > 0, то результирующий вектор C A будет иметь то же направление, что и вектор A. 2

    Умножение вектора на скаляр

    В этом разделе мы обсудим некоторые важные свойства скалярного умножения.Обратите внимание, что эти свойства верны независимо от того, умножается ли скаляр на вектор или на другой скаляр.

    Давайте сначала рассмотрим два вектора, A и B, и два скаляра, c и d. Тогда выполняются следующие свойства:

    1. |c A | = |с|*| А|. Величина результирующего масштабированного вектора равна абсолютному значению скаляра, умноженному на величину.
    2. Ассоциативное свойство: c(d B ) = (cd)* B
    3. Коммутативное свойство: c* A = A *c
    4. Распределительное свойство: (c + 03 d) 90 C * A + D * A + D * A

    D * ( A + ( A + B ) = D * A + D * B

    Примеры

    В этом разделе мы будем обсудите некоторые примеры и их пошаговые решения, чтобы помочь лучше понять скалярное умножение.

    Пример 1 

    Автомобиль движется со скоростью V = 30 м/с в направлении на север. Определяет вектор, который в два раза больше этого вектора.

    Решение

    Из предоставленных данных мы имеем следующую информацию:

    В = 30 м/с Север.

    Чтобы определить вектор, равный удвоенному этому вектору, мы умножаем данный вектор на скалярное значение 2. Это дает нам:

    2* В = 2 * (30 м/с)

    2 В = 60 м/с, север

    Поскольку данное скалярное значение положительное, направление V не изменяется . Однако он изменяет свою величину в два раза по сравнению с исходным значением. Таким образом, автомобиль будет продолжать двигаться на север с удвоенной начальной скоростью.

    Пример 2

    Дан вектор S = (2, 3), определить и нарисовать 2* S. Каковы модуль и направление вектора 2 S ?

    Решение

    Данный вектор S является вектор-столбцом, а скалярная величина равна 2. Умножение вектора S на 2 дает нам:

    2 *S = 2* (2, 3)

    Умножение каждого из компонентов вектора S на 2 дает нам:

    2 *S = (2*2, 2*3)

    2 *S = (4, 6).2

    |2 S | = √16 + 36

    |2 S | = √52

    |2 S | = √4*13

    |2 S | = 2*(√13)

    Из последнего уравнения ясно видно, что в результате скалярного умножения величина вектора S удвоилась. С . Можно видеть, что направление вектора 2 S параллельно направлению вектора S .Это еще раз подтверждает, что масштабирование вектора положительной величиной изменяет только величину, но не направление.

    Пример 3

    Дан вектор S = (2, 3), определить и изобразить -2* S. Найти модуль и направление вектора -2 S .

    Решение

    Данный вектор S является вектор-столбцом, а скалярная величина равна 2. Умножение вектора S на 2 дает нам:

    -2 *S = -2* (2, 3 )

    Умножение каждого из компонентов вектора S на 2 дает нам:

    -2 *S = (-2*2, -2* 3)

    -2 *S = (- 4, -6).2

    |-2 S | = √16 + 36

    |-2 S | = √52

    |-2 S | = √4*13

    |-2 S | = 2*(√13)

    Из последнего уравнения ясно видно, что скалярное умножение удвоило величину вектора S . Также отрицательный знак не влияет на величину вектора -2 S.

    На приведенном ниже изображении показаны два вектора S и -2 S. Видно, что направление вектора -2 S противоположен вектору S .Это дополнительно подтверждает, что масштабирование вектора отрицательной величиной не влияет на его величину (т. е. векторы 2 S и -2 S имеют одинаковую величину), но меняет направление на противоположное.

    Пример 4

    Дан вектор A = (-4, 6), определите и зарисуйте вектор 1/2* A .

    Решение

    Данный вектор A представляет собой вектор-столбец, а скалярная величина равна 1/2. Умножение вектора A на 1/2 дает нам:

    1/2 *A = 1/2* (-4, 6).2

    |1/2 А | = √4 + 9

    |1/2 А | = √13

    Умножение на скаляр со значением, равным половине, таким образом, уменьшило величину исходного вектора наполовину.

    На приведенном ниже рисунке показаны два вектора A, и ½ A. Оба вектора имеют одинаковое направление, но разные величины.

    Пример 5

    Дан вектор м = 5i + 6j +3 в ортогональной системе, определить результирующий вектор, если м умножить на 7.

    Решение

    В этом сценарии результирующий вектор можно получить, просто умножив заданный вектор на 7: 7*5i + 7*6j + 7*3)

    7 м = 35i + 42j + 21

    Результирующий вектор имеет в 7 раз большую величину, чем исходный вектор м , но не меняет направление.

    Практические вопросы
    1. Дан вектор M = 10 м на восток, определить результирующий вектор, полученный путем умножения данного вектора на 3.
    2. Учитывая вектор N = 15 м северной широты, определите результирующий вектор, полученный путем умножения данного вектора на -4.
    3. Пусть и = (-1, 4). Найдите 5 и .
    4. Пусть v = (3, 9). Найти -1/3 против .
    5. Дан вектор b = -3i + 2j +2 в ортогональной системе, найти 5 b .

    Ответы

    1. 3 M = 30 м, восток.
    2. -4 N = -60 м, Юг.
    3. 5 и = (-5, 20), | и | = √17, |5 и | = 5*√17. Направление u и 5 u одинаково.
    4. -1/3 v = (-1, -3), | против | = 3*√10, |-1/3 v | = √10, направление вектора -1/3 v противоположно направлению вектора v .
    5. 5 b = -15i + 10j + 10
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Сложение и скалярное умножение векторов — концепция

    Сложение и скалярное умножение векторов являются основными операциями, которые можно выполнять, используя их геометрическое или алгебраическое представление.Глядя на геометрическое представление, мы можем понимать скалярное умножение векторов как масштабирование. Сложение векторов можно также выполнить двумя способами, используя геометрическое представление.

    Теперь, когда у нас есть понятие компонентов векторов, мы можем переопределить способ сложения векторов, а также ввести другую операцию, называемую скалярным умножением.
    Добавляя векторы алгебраически, предположим, что у нас есть два вектора, данные нам в компонентной форме, поэтому u — это u1, запятая u2, а вектор v — это v1, запятая v2. Какова будет их сумма? Ну, сумма равна u1+v1, вы добавляете первые компоненты, а затем u2+v2 вы добавляете вторые компоненты, поэтому вы добавляете компоненты двух векторов.
    Теперь я также хочу представить идею нулевого вектора. Нулевой вектор — это вектор с компонентами 0, 0 имеет длину 0. Этот вектор обладает тем свойством, что вы можете добавить его к любому другому вектору и получить этот вектор обратно, так что u плюс нулевой вектор равен u, а нулевой вектор плюс u равен u.
    Векторы во многом действуют как действительные числа с точки зрения их алгебры, но они не идентичны действительным числам с точки зрения их алгебры, но они немного отличаются. Одно из отличий заключается в том, что умножение векторов немного сложнее, поэтому первый вид умножения, о котором я хочу поговорить, — скалярное умножение. Теперь вы помните, что скаляр — это величина, которая имеет только величину, а не направление, поэтому мы собираемся умножать векторы на скаляры, и давайте посмотрим так: если k — действительное число, а u — некоторый вектор u1, u2, то скаляр несколько k раз u будет определено как ku1, ku2, поэтому вы просто умножаете скаляр на каждый из компонентов, таких как распределение.
    Давайте посмотрим, что делает скалярное умножение в примере, допустим, что u равно -3, 1, и я на самом деле нарисовал этот вектор здесь, так что -3, 1 выглядит так. Каким бы ты был в 3 раза? Ну, согласно этому определению, я умножаю 3 внутри и получаю -9, 3 умножить на 1 3, так что это 3 умножить на u. -2 умножить на u, я умножаю -2 на -3 и получаю 6, -2 на 1 -2, 6, -2 и 0 скаляр 0 на s вектор u будет равен 0 на -3 0 и 0 на 1 , 0, и это, конечно, вектор 0, поэтому скалярный ноль, умноженный на любой вектор, дает вам нулевой вектор.Просто имейте в виду, что эти два нуля различны, это действительное число 0, а это вектор 0.
    Теперь просто дам вам знать, как выглядят эти некоторые из этих векторов. Позвольте мне построить -2 раза u. Его компоненты равны 6, -2, поэтому я иду на 6 вправо и на 2 вниз, чтобы он закончился здесь, поэтому обратите внимание, что этот вектор в конечном итоге будет вдвое длиннее u, так что это -2 раза u, это вдвое больше длинный, но в противоположном направлении, потому что коэффициент k в этом случае отрицательный, и это всегда будет происходить всякий раз, когда вы умножаете вектор на отрицательное число, вы меняете его направление, поэтому скалярное умножение может удлинить или укоротить вектор, и это может изменить свое направление, но если мы умножаем на положительную константу, мы всегда получаем вектор в одном и том же направлении.

    Правила умножения матриц на скаляр

    Свойства скалярного умножения


    На уроке скалярного умножения мы говорили о больших различиях между этим видом операции и матричным умножением. Теперь пришло время подробно рассмотреть свойства этой простой, но важной операции.
    Что такое скалярное умножение
    Учитывая, что скалярное умножение — очень простая операция, и мы уже обсуждали ее ранее, этот раздел может показаться немного избыточным, но мы сохраняем его, чтобы вам не приходилось переключаться между этим и предыдущими уроками, если вы когда-нибудь захотите увидеть основные понятия.Скалярное умножение относится к операции, в которой действительное число умножается на алгебраический объект, такой как вектор или матрица. Мы, конечно, сосредоточены на случаях умножения скаляров и матриц вместе, учитывая, что мы работаем над операциями с матрицами.

    Помните, что скаляр — это действительное число, умноженное на векторное пространство, оно изменяет размер вектора (меняет его величину), не влияя на его направление. Название скаляр происходит от этой конкретной операции, потому что умножение действительного числа на вектор повторно масштабирует вектор без изменения других его основных характеристик, таких как направление и размеры.Но, как мы уже сказали, нас интересует случай, когда скаляр умножает матрицу.

    Таким образом, скалярное умножение матрицы дает аналогичный эффект по сравнению с умножением скаляра на вектор. Операция умножения матрицы на действительное число дает матрицу, которая сохраняет свои основные свойства, такие как: порядок, линейная зависимость, пропорция между ее элементами и эквивалентность между наборами линейных уравнений, которые могут ей соответствовать.

    Поскольку матрица представляет собой массив чисел, который можно рассматривать как массив упорядоченных векторов (либо векторов-столбцов, либо векторов-строк). Мы можем использовать это соотношение и увидеть, что умножение матрицы на скалярные числа приводит к массиву (результирующей матрице) упорядоченных векторов, которые изменились по величине (так же, как умножение изолированного вектора на скаляр), но они все еще сохраняют пропорцию между его различными переменными коэффициентами, или, другими словами, они сохраняют то же направление, которое они имели бы, если бы отображали их в евклидовых координатных плоскостях.

    В заключение, скалярное умножение оказывается одной из самых простых, если не самой простой из всех матричных операций внешнего характера, которые можно выполнить. И обозначение его имеет вид:

    Уравнение 1: Скалярное умножение
    Свойства скалярного умножения матриц
    Если мы определим две матрицы любого порядка (но равные среди них) как XXX и YYY, а затем определим ccc и ddd как скалярные, мы можем описать следующие свойства скалярного умножения: 1.\quad Свойство измерения для скалярного умножения При выполнении умножения матрицы на скаляр результирующая матрица всегда будет иметь те же размеры, что и исходная матрица при умножении. Например, если мы умножим c⋅Xc \cdot Xc⋅X, полученная матрица будет иметь размеры XXX.

    Это имеет полный смысл, если вы посмотрите на уравнение 1, единственное, что делается в скалярном умножении матриц, это умножение каждого из компонентов матрицы на скаляр снаружи, здесь нет добавленной функции, и поэтому элементы остаются на своих местах и ​​в результате получается матрица того же размера.

    2. \quad Перестановочное свойство При умножении матрицы на скаляр порядок расположения множителей в операции не влияет на результат. Другими словами, если мы должны вычислить скалярное и матричное умножение c и X или d и Y, результат этих операций не изменится, как бы вы ни расположили операции. Проще говоря: c⋅X=X⋅c c \cdot X = X \cdot c \, c⋅X=X⋅c и  d⋅Y=Y⋅d\, d \cdot Y = Y \cdot dd⋅Y= Y⋅д.

    Если мы определим матрицу X как:

    Уравнение 2: Матрица X
    Тогда свойство коммутативности говорит нам, что: Уравнение 3: Коммутативное свойство скалярного умножения 3. \quad Ассоциативное свойство Ассоциативность дает возможность выполнять длинное скалярное умножение пошагово. Ассоциативное свойство говорит нам о том, что даже если у вас задействовано много факторов, в данном случае много скалярных умножений на матрицу, вы можете сначала выполнить умножение между двумя факторами, а затем использовать результат этой операции для умножения на другой. множитель, который не использовался, и повторяйте этот процесс, пока не закончите умножение всех множителей в умножении, чтобы получить результат.

    Приведем краткий пример: допустим, вы умножаете скаляры бота ccc и ddd на матрицу XXX. Ассоциативное свойство дает возможность выбрать два из этих множителей (ccc, ddd и XXX) и сначала умножить их, а затем, используя результат этого, умножить его на оставшийся множитель и получить результат, а не выполнять два умножения. одновременно (что может осложниться, если присутствует более трех факторов). Проще говоря, ассоциативность говорит о том, что: c⋅d⋅X=c⋅(dX)=d⋅(cX)=(dc)Xc \cdot d \cdot X = c \cdot (dX) = d \cdot ( cX) = (dc)Xc⋅d⋅X=c⋅(dX)=d⋅(cX)=(dc)X

    4.\quad Распределительное имущество Распределительное свойство возникает, когда операция скалярного умножения матрицы сочетается с другой арифметической операцией, такой как сложение или вычитание. Другими словами, мы используем свойство дистрибутивности для упрощения задач, в которых одним из факторов умножения скалярной матрицы является сложение или вычитание.

    С математической точки зрения дистрибутивные свойства матричного умножения определяют, что если одним из множителей при умножении является сложение двух матриц, то: c⋅(X+Y)=cX+cYc \cdot (X+Y) = cX + cYc ⋅(Х+Y)=сХ+сY.

    С другой стороны, если одним из множителей при умножении является сложение скаляров, свойство распределения говорит, что: (c+d)X=cX+dX(c+d)X = cX + dX(c+ г)Х=сХ+дХ

    5. \quad Свойство умножения нулевой матрицы Это свойство описывает, что до тех пор, пока результат умножения на нулевую матрицу определен, это означает, что до тех пор, пока умножение может быть выполнено с соблюдением всех необходимых условий размерности, результатом такого умножения всегда будет сама нулевая матрица, не имеет значения, является ли это произведением скаляра и матрицы (в этом случае матрица будет нулевой матрицей) или произведением двух матриц (одна из них является нулевой матрицей).

    Поскольку все элементы нулевой матрицы являются нулями, независимо от того, какой скаляр вы на них умножаете, в матрице скалярного умножения все элементы будут равны результатам умножения на ноль, что равно нулю. Таким образом, умножение на нулевую матрицу всегда приводит к нулевой матрице.

    Следовательно, если произвести скалярное умножение матрицы 0, то получится: c⋅0=0c \cdot 0 = 0c⋅0=0.
    Пример:

    Уравнение 4: Пример скалярного умножения с нулевой матрицей
    Здесь матричное умножение скаляра 2 не имеет значения, был ли это любой другой скаляр, поскольку оно будет умножаться на все нулевые элементы, снова производя все нули.

    То же самое происходит, если вы умножаете нулевую матрицу на другую матрицу: 0⋅X=00 \cdot X = 00⋅X=0.

    Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, обратите внимание, что свойства сложения матриц и скалярного умножения очень похожи, что упрощает их запоминание и понимание. Как только вы достаточно попрактикуетесь, они станут для вас естественными, и мы рекомендуем вам вернуться к этим урокам и увидеть все другие способы (другой порядок шагов или другое использование свойств, описанных выше), с помощью которых вы можете решать задачи. упражнения е предоставляют, вы знаете, просто для удовольствия математики!

    Свойства примеров скалярного умножения

    Применим на практике полученные знания о свойствах матричного скалярного умножения и решим следующие примеры упражнений.
    Пример 1 Используя свойства скалярного умножения матриц, показанные выше, покажите, как скалярное умножение нуля или единицы с любой матрицей дает ноль (для умножения на ноль) или ту же матрицу (для умножения на 1), как показано в приведенных уравнениях. в частях а) и б).
    Используйте матрицу AAA, как определено ниже, чтобы доказать наше утверждение. Уравнение 5: Матрица А
    а) \quad Докажите, что 0⋅A=00 \cdot A = 00⋅A=0 Уравнение 6: Умножение нуля на матрицу A
    Итак, как вы можете видеть здесь, умножение скаляра на ноль приводит к нулевой матрице тех же размеров, что и исходная матрица.Поскольку матрица, умножающая нулевой скаляр, в этом случае имеет размерность 2 × 3, результирующая матрица также имеет размерность 2 × 3. б) \quad Докажите, что 1⋅A=A1 \cdot A = A1⋅A=A Уравнение 7: однократное умножение матрицы A
    Как отмечалось выше, мы доказали, что любая матрица, умноженная на скалярную, даст одну и ту же матрицу.
    Пример 2 Используя следующие заданные матрицы: Уравнение 8: Матрицы X и Y
    И скаляры c=5 c=5\, c=5 и  d=3\, d=3d=3. Покажите, что следующие уравнения выполняются из-за свойств скалярного умножения матриц: а) \quad c(X+Y)=cX+cYc (X+Y) = cX + cYc(X+Y)=cX+cY
    Приведенное выше уравнение определяет первое распределительное свойство, описанное в последнем разделе этого урока. Используя матрицы 3×3 XXX и YYY, мы можем наблюдать, что скалярное умножение является дистрибутивным и следует этому уравнению, работая с каждой стороной и сравнивая результаты, полученные от каждой из них.
    Чтобы решить эту проблему, мы будем использовать то, что мы знаем о сложении и вычитании матриц из прошлых уроков.Для начала решим левую часть уравнения: c(X+Y)c (X+Y)c(X+Y) Уравнение 9: Проверка распространяемого свойства (часть 1)
    Решение правой части уравнения: cX+cYcX + cYcX+cY Уравнение 10: Проверка распространяемого свойства (часть 2)
    Как видите, обе стороны дают одинаковый результат, и, таким образом, показанное свойство дистрибутивности доказано. б) \quad (c+d)Y=cY+dY(c+d)Y = cY + dY(c+d)Y=cY+dY

    Это конкретное уравнение определяет второе распределительное свойство, описанное во втором разделе этого урока. Как и раньше, чтобы доказать, что уравнение верно, мы решаем каждую часть уравнения отдельно, а затем сравниваем результаты. Начнем с решения левой части: (c+d)Y(c+d)Y(c+d)Y

    Уравнение 11: Проверка распространяемого свойства (часть 3)
    Теперь вычисляем правую часть уравнения: cY+dYcY + dYcY+dY Уравнение 12: Проверка распространяемого свойства (часть 4)
    И поскольку оба результата одинаковы, мы доказали, что (c+d)Y=cY+dY(c+d)Y = cY + dY(c+d)Y=cY+dY c) \quad (c+d)(X+Y)=c(X+Y)+d(X+Y)(c+d)(X+Y) = c(X+Y) + d(X+ Y)(c+d)(X+Y)=c(X+Y)+d(X+Y)
    Для этого случая мы еще раз докажем второе дистрибутивное свойство скалярного матричного умножения, с той лишь разницей, что вместо умножения сложения двух скаляров к уже определенной матрице мы теперь умножаем его на матрицу, полученную из добавление XXX и YYY.Помните, что при добавлении матриц результирующая матрица должна иметь те же размеры, что и матрицы, из которых она получена, и поэтому матрица X+YX+YX+Y оказывается такой: Уравнение 13: Проверка распространяемого свойства (часть 5)
    Имея это в виду, мы проверяем уравнение, данное в c), с помощью того же процесса, что и в частях a) и b): сначала мы решаем левую часть уравнения, затем правую часть и, наконец, сравниваем результаты оба. Начнем с левой части (c+d)(X+Y)(c+d)(X+Y)(c+d)(X+Y): Уравнение 14: Проверка распространяемого свойства (часть 6)
    Решение правой части c(X+Y)+d(X+Y)c(X+Y) + d(X+Y)c(X+Y)+d(X+Y): Уравнение 15: Проверка распространяемого свойства (часть 7)
    Как видите, результирующая матрица одинакова для обеих частей уравнения, и, таким образом, свойство дистрибутивности еще раз доказано.***
    Вот и все о свойствах скалярного умножения. Важно помнить, что название свойств дает основные подсказки по их использованию: коммутативное говорит о возможности перемещать множители при умножении; ассоциативный означает, что вы можете собрать несколько из них, чтобы затем продолжить работу; distributive говорит, что вы можете распределить один фактор среди других, и все это не повлияет на конечный результат.

    Если вы хотите продолжить изучение свойств скалярного умножения матрицы X на скаляр (под матрицей X подразумевается любая матрица), мы рекомендуем вам следующую ссылку по умножению матрицы на скаляр, которая содержит еще несколько примеров по теме.

    До встречи на следующем уроке!

    скалярное умножение | Примеры предложений

    скалярного умножения еще нет в Кембриджском словаре. Ты можешь помочь!

    Положительное скалярное умножение является преобразованием, сохраняющим знак. Положительное скалярное умножение является преобразованием, сохраняющим знак.Закон (4) очевиден, как и (5), а (6) и (7) следуют из нашего выше определения скаляра умножения . Более того, скаляр умножение больше не нужно рассматривать как еще одну операцию. Линейное пространство замкнуто относительно сложения и скалярного умножения . Они расположены в коническом сечении, где коническим сечением пространства является множество, замкнутое относительно сложения и умножения скаляра на положительные скаляры. Разновидности нулевого следа имеют лучшую производительность, чем эллиптические кривые. Из

    Википедия