Site Loader

Содержание

1. Сложение в позиционных системах счисления с основанием q

Нам привычнее всего выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, этому нас учат с детства. А как выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления в других позиционных системах счисления?

 

Так как все рассматриваемые нами системы счисления относятся к виду позиционных систем счисления, то правила сложения, вычитания, умножения и деления в них одинаковые. А также одинаковыми для всех являются правила арифметики.

 

Почему иногда возникают трудности с выполнением арифметических операций в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления?

 

Допустим, \(1+1\) в десятичной системе счисления равняется двум. А в двоичной?

В двоичной системе счисления нет цифры \(2\), поэтому \(1+1=10\). Трудности возникают из-за того, что непонятен принцип построения числового ряда в других позиционных системах счисления.

 

Давай вспомним.

 

Числовой ряд двоичной системы счисления: \(0\), \(1\). На этом разряд единиц заканчивается, начинается разряд десятков: \(10\), \(11\). На этом заканчивается разряд десятков. Далее добавляются сотни: \(100\), \(101\), \(110\), \(111\). И таким образом строится остальной числовой ряд.

 

Восьмеричная система счисления

 

Числовой ряд: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\). На этом единицы закончились, добавляются десятки: \(10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\). Закончился первый десяток, далее будет второй, третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой, после этого добавится разряд сотен: \(100, 101, 102, 103…\) и т. д.

 

Шестнадцатеричная система счисления

 

Единицы: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

После перечисления всех единиц добавляется первый десяток: 10,11,12…1B,1C,1D,1F.

Самое большое двузначное шестнадцатеричное число: \(FF\).

После него добавляется разряд сотен: 100,101,102…2AA,2AB…F00,F01,F02…FFE,FFF.

Самое большое шестнадцатеричное число \(FFF\) равняется \(4095\) в десятичной системе счисления.

 

Для удобства сложения чисел в разных позиционных системах счисления применяют таблицы сложения.

 

Рис. \(1\). Сложение в двоичной системе счисления

 

Рис. \(2\). Сложение в восьмеричной системе счисления

 

Рис. \(3\). Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Пример:

пользуясь таблицами, выполним сложение в разных системах счисления.

 

+1111111011110111101101¯1001011010+7216151036¯10323+12A025F¯14EF

Источники:

Рис. 1. Сложение в двоичной системе счисления. © ЯКласс.

Рис. 2. Сложение в восьмеричной системе счисления. © ЯКласс.

Рис. 3. Сложение в шестнадцатеричной системе счисления. © ЯКласс.

Сложение в столбик в любой системе

Сложение в столбик в любой системе счисления

Система счисления – это форма записи чисел по определенным правилам. Мы пользуемся в быту десятичной системой, но бывают и другие позиционные системы счисления (двоичная, пятеричная, восьмеричная, 16-ичная и т.д.).

Вы можете просмотреть цикл видеоуроков по системе счисления, чтобы понять, что к чему (автор видеоуроков – Максим Семенихин, администратор данного сайта):

  1. Введение в системы счисления.
  2. Перевод чисел из десятичной системы в недесятичную.
  3. Быстрый переход из двоичной системы в восьмеричную.
  4. Шестнадцатеричная система счисления.

Сложение в столбик в любой системе счисления производится по тому же принципу, что и в десятичной системе. Отличаются лишь сами по себе правила сложения цифр.

Если мы складываем две цифры в системе счисления с основанием, меньшим 10, и результат не превышает основания этой системы, тогда никаких отличий от десятичного сложения нет. Например, 15 + 25 = 35, точно так же, как и 110 + 210 = 310.

Если же результат сложения двух цифр превышает основание системы, в которой их складывали, тогда появляются отличия, обусловленные тем, что в n-ичной системе счисления всего n цифр. Например, 310 + 4

10 = 710, но 35 + 45 ≠ 75, поскольку символ «7» отсутствует в пятеричной системе. 35 + 45 = 125.

Онлайн калькулятор
для сложения чисел в столбик
в любой системе счисления

Вы можете получить подробное объяснение того, как складывать два числа в столбик в любой системе счисления. Для этого введите сами числа и выберите систему счисления, в которой будете их складывать (от 2-ичной до 16-ичной). Решение будет предоставлено пошагово.

Сложение, вычитание, умножение в двоичной системе счисления

1. Проверка домашнего задания

1. Выполните сложение, вычитание,
умножение в двоичной системе
счисления
12)
1111000
10111
10001111
2
2
2
1111000
10111
1100001
2
2
2
1111000
10111
2
2
101011001000
2
13)
11000
1101
100101
2
2
2
11000
1101
1011
2
2
2
1101
11000
100111000
2
2
2
15)
1100100
100011
10000111
2
2
2
1100100
100011
1000001
2
2
2
100011
1100100
110110101100
2
2
2

13.

Сколько учеников в классе?
Количество рядов – 3 8
В ряду – 616 парт
За одной партой – 102 учеников
Не заняты – 4 8 парты
Ответ: 28 учеников

15. Сколько компьютеров в 3 классе?

1000002
по 1011 2
?
1 класс
2 класс
3 класс
Ответ: 10
«Ум заключается не только в знании, но и
в умении прилагать знание в дело».
Аристотель

18. Арифметические операции в позиционных системах счисления

99910
87610
187510
9+6=15=10+5
9+7+1=18=10+7
9+8+1=18=10+8

20. Сложение в позиционных системах счисления

Цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то
он переносится влево
двоичная
система
1 1
восьмеричная
система
шестнадцатеричная
система
1 11
1
10101
1101
+
+
2154
736
3 1 12
1 00 0 10
4+6=10=8+2
1+1=2=2+0
1+0+0=1
1+1=2=2+0
1+1+0=2=2+0
5+3+1=9=8+1
1+7+1=9=8+1
1
+
1
8 D8
3 BC
C 94
8+12=20=16+4
13+11+1=25=16+9
8+3+1=12=C16
1+2=3
1+1=2=2+0
Ответ: 1000102
Ответ: 31128
Ответ: C9416

21.

Вычитание в позиционных системах счисления При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры
вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания
двоичная
система
1
восьмеричная
система
1
1
-1 0 1 0 1
1011

01 0 10
1
1
43506
5042
2-1=1
0-0=0
2-1=1
Ответ: 10102
1
— С 9 4
3 В С
36 4 44
1-1=0
шестнадцатеричная
система
8 4 8
6-2=4
8-4=4
4-0=4
16+4-12=20-12=8
16+8-11=24-11=13=D16
11-3=8
8+3-5=11-5=6
Ответ: 364448
Ответ: 84816

22. Умножение в позиционных системах счисления

При умножении многозначных чисел в различных позиционных системах
применяется алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом
результаты умножения и сложения записываются с учетом основания
системы счисления
двоичная
система
восьмеричная
система
2 2
4
1
х1
1011
1101
1
11011
1 1 1 0 1 1
11011
101011111
11
х
163
63
531
1262
13351
1
1+1+1=3=2+1
1+1+1=3=2+1
1+1=2=2+0
Ответ: 1010111112
Ответ: 133518

23.

Деление в позиционных системах счисления Деление в любой позиционной системе производится по тем же правилам,
как и деление углом в десятичной системе. При этом необходимо
учитывать основание системы счисления.
двоичная
система
восьмеричная
система
100011
1110
1110
1 0 ,1
1 11 0
1110
0
Ответ: 10,12
Примеры
3 5 38
+ 7 3 68
1311
1 3 5 38
+ 7 7 78
2352
Пример:
С В А16
+ A 5 916
1713
Примеры:
1011012
– 111112
1110
1100112
– 101012
11110
Примеры

6 6 28
1 5 68
504
1 1 5 68
– 6 6 28
274
Пример:
А 5 916
– 1 В А16
89F
Примеры:
11012
1112
1011011
Выполни действия, заданные в таблице
1 уровень: найди координаты 5,6,7 точки.
2 уровень: найди координаты 1,2,3,4 точки.
3 уровень: найди координаты 1,2,3,4,5,6,7,8 точки.
Переведи полученные значения в десятичную
систему счисления.
Результат занеси в таблицу
Отметь в системе координат найденные точки. Не
забудь проставить их порядковые номера.
Точки соедини последовательно по правилу:
1 уровень: 5-6-7-5
2 уровень: 1-2-3-4-1
3 уровень: 1-2-3-4, 5-6-7, 6-8.

32. Домашнее задание

1. Уровень знания:
Знать алгоритмы выполнения арифметических
действий в позиционных системах счисления
2.Уровень понимания:
Выполните действия:
А) Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011(2) — 101010111,1(2) = 110101011,111(2).
б) 1510,2(8) — 1230,54(8) = 257,44(8).
в) 27D,D8(16) — 191,2(16) = EC,B8(16).
Б) 3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).
В) Выполнить умножение:
а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2).
б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).
в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).
3.Творческий уровень: Восстановите двоичные
цифры:
**0*0*1**1+10111*1011=100*1*00010;
1*01+1**=10100.

Спасибо за внимание!

IKT-prosvet: Системы счисления

Позиционная система счисления

Позиционная система счисления это система счисления, в которой значение цифры зависит от разряда.

Разрядом числа называется место цифры в числе.
Наибольший вес имеет самый левый разряд, наименьший вес имеет самый правый разряд.
Нумерация разрядов увеличивается справа налево.
В позиционной системе одна и та же цифра в числе имеет различный вес.
Например: в числе 54510 цифра 5  имеет различный вес: первая цифра 5 — показывает количество сотен, вторая цифра 5 — показывает количество единиц.
  5      4      5
число сотен     число десятков      число единиц
У чисел в позиционной системе счисления имеется основание системы — n.
Основанием системы счисления  n называют количество цифр в числе используемых для записи чисел.
n принадлежит числовому промежутку от 0 до n-1 включительно.
Например: В десятичной системе счисления n=10. Первая цифра будет 0, последней будет 9 9=10-1.
Действительно в данной системе используется 10 цифр для записи различных чисел
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В двоичной системе будет всего два числа, т.к. n=2.
Сами цифры будут такими: 0 — первая цифра, 1 — вторая цифра (2-1=1).
А как будет в восьмеричной системе?

n=8. Восемь цифр, первая — 0, последняя — ???.   Верно — 7.
Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Давайте посмотрим, что происходит в шестнадцатиричной системе.
n=16. Цифр должно быть 16, первая — 0, последняя — какая??15? —  Ведь у нас всего десять цифр.
Здесь на помощь приходят буквы.
0, 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,   A,   B,    C,    D,    E,   F.
0, 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10,  11,  12,  13,  14,  15. Непозиционная система счисления  Непозиционная система счисления — это система счисления, в которой значение цифры не изменяется в зависимости от ее расположения.

Примером непозиционной системы счисления служит римская система, в которой вместо цифр используются латинские буквы.
Например: Число 242 можно записать  ССXLII (т.е. 100+100+(50-10) +1+1).

Число 96 запишем IXVI=(-1+10)+(5+1).
 Значение 1=I в данном случае не изменяется от ее местоположения.

Соответствие римской и арабской системы записи I     V     X     L      C       D        M
1    5    10    50    100   500    1000

Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо записать данное число в общем виде: anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+…+a2b2+a1b1+a0b0
Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления. 12568=1·83+2·82+5·81+6·80=1·512+2·64+5·8+6·1=68610

Правило перевода числа из десятичной системы счисления в другую систему.

1) Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число.
2) Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.
3) Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.
4) Выписываем остатки от деления в порядке от последнего к первому.

Например:

1 способ записи:
2425:8=303+(1остаток)
303:8=37+(7остаток)
4 Т. к. 4<8 деление прекращаем
2 способ записи:
4
Т.к. 4<8 деление прекращаем
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную 1) Разбиваем число по три цифры на группы начиная с младшего разряда.
   Если не хватает до целой тройки цифр, то добавляем необходимое количество нулей справа.
2) Каждую полученную тройку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.
   (Можно использовать «Таблицу Систем Счисления» — первым смотрим столбик А2, затем — столбик А8).
3) Дробную часть разбиваем на тройки вправо от запятой.
   Если не хватает цифр, то припысываем нули слева. Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную 1) Разбиваем число по четыре цифры на группы начиная с младшего разряда.
   Если не хватает до целой четверки цифр, то добавляем необходимое количество нулей справа.
2) Каждую полученную четверку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.
   (Можно использовать «Таблицу Систем Счисления» — первым смотрим столбик А2, затем — столбик А16).
3) Дробную часть разбиваем на четверки вправо от запятой.
   Если не хватает цифр, то припысываем нули слева. Правило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную Заменяем каждую цифру данного восьмеричного числа соответсвующим ей двоичным эквивалентом. 0=2·4096+10·256+3·16+12·1=1081210

Ответ: 2А3С16=1081210 Перевод  чиcла из двоичной системы счисления А2 в восьмериную А8 Задание. Перевести число 11110111012 в восмеричную систему счисления.

-Разбиваем данное число на группы по три цифры слева:

1 111 011 1012
-Используем таблицу систем счисления: в столбике А2 находим число 1, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8. Выписываем найденное число -1.
1 111 011 1012
1
-В столбике А2 находим число 111, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 — 7. Выписываем найденное число -7.
1 111 011 1012
7

-В столбике А2 находим число 011 или 11, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 — 3. Выписываем найденное число — 3.

1 111 011 1012
1  7   3

-В столбике А2 находим число 101, далее находим, соответствующее ему число из столбика А8 — 5. Выписываем найденное число — 5.

1 111 011 1012
1   7    3     5
Ответ: 17358. Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную Задание: Перевести число из 13468 в двоичную систему счисления.
Для перевода используем таблицу систем счисления.
Каждую цифру данного числа находим в столбике А8, выписываем ниже ее соответсвие из столбика А2, образовывая тройки чисел.
Если до тройки не хватает, то подписываем справа 0, например для 3 подписали один 0 и для 1 — два 0.
Первые 0 полученного числа можно удалить!  3    4    1     6
011 100 001 110
Ответ: 13468=11 100 001 1102 Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему Задание: Перевести число из В40Е16 в двоичную систему счисления.
Для перевода используем таблицу систем счисления.
Каждую цифру данного числа находим в столбике А16, выписываем ниже ее соответствие из столбика А2, образовывая четверки чисел.
Если до тройки не хватает, то подписываем справа 0, например, для 4 подписали один 0 и для 0 — четыре 0.
Первые 0 полученного числа можно удалить!   В      4      0     Е
1011 0100 0000 1110
Ответ: В40Е16=1011 0100 0000 11102

Сложение чисел в двоичной системе счисления

Выполните сложение чисел 1С5216+89116 :

Сложение двух чисел в восьмеричной системе счисления

Выполните сложение 63548+7058: Сложение в восьмеричной системе счисления Выполните сложение чисел 63548+7058: Сложение в шестнадцатиричной системе счисления Выполните сложение чисел 1С5216+89116 : Вычитание в двоичной системе счисления Выполните вычитание 10112-1012: Вычитание в восьмеричной системе счисления Выполните вычитание 63548-7058: Умножение в двоичной системе Выполните умножение 11012*1112. Умножение в восьмеричной системе счисления Выполните умножение чисел 63548*7058 в восьмеричной системе счисления. Умножение в шестнадцатиричной системе счисления Выполните умножение чисел 20А416+В1516. Таблица систем счисления
Восьмеричная
А8
Шестнадцатиричная
А16

Системы счисления — Арифметические операции

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
 

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

                 Сложение в шестнадцатиричной системе

 


При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
 
  Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.


     

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.  
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 
258 = 2. 81 + 5. 80 = 16 + 5 = 21, 
1516 = 1. 161 + 5. 160 = 16+5 = 21. 


  Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

 

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916
Проверка:
110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25,
318 = 3. 81 + 1. 80 = 24 + 1 = 25, 
1916 = 1. 161 + 9. 160 = 16+9 = 25. 


  Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

 


 
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
311,28 = 3. 82 + 181 + 1. 80 + 2. 8-1 = 201,25
C9,416 = 12. 161 + 9. 160 + 4. 16-1 = 201,25

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
     
     
 
  Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
     
     
 
  Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.


 
Ответ: 201,2510 — 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;
215,48 = 2. 82 + 1. 81 + 5. 80 + 4. 8-1 = 141,5;
8D,816 = 8. 161 + D. 160 + 8. 16-1 = 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
 
  Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

 


Ответ: 5. 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.
 
  Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.


Ответ: 115. 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1. 84 + 3. 83 + 3. 82 + 5. 81 + 1. 80 = 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
 
  Пример 9. Разделим число 30 на число 6.


Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
 
  Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638


Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6. 81 + 3. 80 = 51.
 
  Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168


Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2. 80 + 4. 8-1 = 2,5.

Системы счисления

Перед математиками и конструкторами в 50-х годах XX столетия встала задача найти такие системы счисления, которые бы отвечали требованиям разработчиков ЭВМ и программного обеспечения. В результате были созданы “машинные” системы счисления:
— двоичная;
— восьмеричная;
— шестнадцатеричная.
Каждая из этих систем использует определенный набор символов языка, которыми записываются данные — символы алфавита.
В двоичной системе счисления их всего два: 0 и 1.
В восьмеричной системе их восемь: 0,1,2,3,4,5,6,7.
В шестнадцатеричной — шестнадцать: арабские цифры 0-9, и символы латинского алфавита от А до F. Причем символ А соответствует 10, В =11 и т.д , F=15.

Каждая система счисления из машинной группы применяется в различных случаях, а именно, двоичная – для организации преобразования информации, восьмеричная и шестнадцатеричная – для представления машинных кодов в удобном виде.
Десятичная система применяется для ввода данных и вывода на устройства печати и на экран дисплея.

Двоичная система счисления

Обработка информации в ПК основа на обмене электрическими сигналами между различными устройствами компьютера. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. ПК “различает” два уровня этих сигналов – высокий (1) и низкий (0). Таким образом, любая информация в вычислительной технике представляется как набор (код) двух символов 0 и 1. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом. Количество информации, кодируемое двоичной цифрой – 0 или 1 – называется битом. Бит является единицей измерения информации.

Двоичная система счисления обладает такими же свойствами, что и десятичная, только для представления чисел используется не 10 цифр, а всего 2. Эта система счисления тоже является позиционной.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.
Из истории известен курьезный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной системой счисления, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть короля помешала осуществить столь необычное намерение.

Восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления

Двоичные числа – длинные последовательности 0 и 1 – очень неудобны для восприятия. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три (триада) или четыре (тетрада) разряда. Из трех нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырех – шестнадцать. Для кодирования 3 бит требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7, т.е. в соответствии с определением получили алфавит 8-ной системы счисления.

Восьмеричный алфавит

Двоичное число (триада)

0

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111

 

Для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используются 10 цифр десятичной системы и 6 первых букв латинского алфавита.

Шестнадцатеричный алфавит

Двоичное число (тетрада)

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

Представление чисел в различных системах счисления

10-ная

2-ная

8-ная

16-ная

0

00

0

0

1

01

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

 

 

 

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ N-РИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Перевод чисел из одной системы счисления в другую выполняет компьютер. Эти операции выполняются по определенным правилам.


Перевод числа из двоичной системы счисления в десятеричную:

1) пронумеровать двоичный код начиная с младшего разряда (его номер равен 0) к старшему;
2) записать двоичное число как сумму произведений веса каждого разряда на основание системы счисления исходного числа (2) в степени, соответствующей номеру разряда;
3) выполнить вычисление произведений и суммы.
Например,
1010112 = 1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20 = 32+0+8+0+2+1=4310

Перевод числа из любой n-ричной системы счисления в десятеричную выполняется с описанным выше правилом (следует учесть, что для каждой системы счисления основание системы свое).

Задание:
Выполните перевод следующих чисел в десятичную:
123708 — ?10

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В N-РИЧНУЮ

Перевод числа из десятеричной в двоичную систему счисления:

1) выполнить последовательное деление десятичного числа, а затем получаемых целых частных на основание системы счисления, в которую переводится число (2). Деление выполняется в записью целого частного и целого остатка от деления до тех пор, пока целое частное не будет равно 0.
2) записать код числа, записывая остатки от деления, начиная с последнего из целых остатков (в обратном порядке) символами алфавита требуемой системы счисления.

Например,4210 — ?2

4210 = 1010102

Перевод числа из десятеричной в n-ричную систему счисления:


1) выполнить последовательное деление десятичного числа, а затем получаемых целых частных на основание системы счисления, в которую переводится число (n). Деление выполняется в записью целого частного и целого остатка от деления до тех пор, пока целое частное не будет равно 0.
2) записать код числа, записывая остатки от деления, начиная с последнего из целых остатков (в обратном порядке) символами алфавита требуемой системы счисления.

Задание:
выполните перевод десятичных чисел 54 и 782
в 8-ричную и 16-ричную системы счисления каждое.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

 

Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную:


влево и вправо от запятой двоичное число разбивается на двоичные триады, при необходимости крайние группы дополняются нулями; каждая триада заменяется соответствующей цифрой восьмеричного алфавита (см. таблицу).

100010011,112 = ?8

100

010

011,

1102

=423,68

 

4

2

3

6

 

Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:


влево и вправо от запятой двоичное число разбивается на двоичные тетрады, при необходимости крайние группы дополняются нулями; каждая тетрада заменяется соответствующей цифрой шестнадцатеричного алфавита (см. таблицу).

11111100011,1010102 = ?16

0111

1110

0011,

1010

1000

= 7Е3,А816

 

7

Е

3

А

8

 


При переводе чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру соответственно двоичной триадой или тетрадой. При этом незначащие нули отбрасываются.
Примеры: 324,78 — ? 2
3 2 4, 78 = 11010100,1112

Е4А1, В516 — ?2
Е 4 А 1, В 516 = 1110010010100001,101101012

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ

При переводе чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру соответственно двоичной триадой или тетрадой. При этом незначащие нули отбрасываются.

Примеры:

324,78 — ? 2

3

2

4,

78 =

11010100,1112

 

 

011

010

100

111

   

 

Е4А1, В516 — ?2

Е

4

А

1,

В

516 =

1110010010100001,101101012

 

1110

0100

1010

0001

1011

0101

 

 

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ

С цифрами двоичного числа можно выполнять арифметические операции. При этом выполняются правила двоичной арифметики:

0+0=0

0*0=0

1+0=1

1*0=0

0+1=1

0*1=0

1+1= 0 (+ перенос единицы
в старший разряд)

1*1= 1

Все арифметические операции над двоичными числами можно свести к 2-м операциям: сложению и сдвигу кодов. Это позволяет технически реализовать четыре арифметических действия в одном арифметико-логическом устройстве, используя одни и те же электронные схемы. Впрочем, и в десятичной арифметике в конечном итоге выполняются те же действия – сложение и сдвиг.

Cложение двоичных чисел

Выполним сложение двух двоичных чисел 110012 и 100012

+

 

1

1

0

0

1

   

1

0

0

0

1

 

1

0

1

0

1

0

Задание:
Самостоятельно выполните сложение двоичных чисел:
111002 и 100111112

Вычитание двоичных чисел

Вычитание – обратная операция сложению так же может быть представлена в виде сложения, но только с отрицательным числом.
Выполним вычитание двух двоичных чисел 110012 и 100012

1

1

0

0

1

 

1

0

0

0

1

   

1

0

0

0


Задание:
выполните вычитание двух чисел 1011102 и 10012

Умножение и деление двоичных чисел

Умножение и деление производится поразрядно и сводятся к двум операциям: сложению и сдвигу.
Выполним умножение двоичных чисел 110012 и 10012

     

 

*

1

1

0

0

1

           

1

0

0

1

         

1

1

0

0

1

       

0

0

0

0

0

 
     

0

0

0

0

0

   
   

1

1

0

0

1

     
   

1

1

1

0

0

0

0

1


Задание:
самостоятельно перемножьте числа 11102 и 100012

Деление так же можно представить как выполнение операций сложения и сдвига.


Задание:
выполните самостоятельно деление двоичного числа 1100110 на двоичное число 110

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ВОСЬМЕТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ

Сложение и вычитание в 8-ной и 16-ной системах счисления

При выполнении действий сложения и вычитания в 8-ной системе счисления необходимо помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита;
основание восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде 8 единиц.
Примеры.
Сложить восьмеричные числа 7708 и 2368 .

 

 

1

1

 

 

+

7

7

0

   

2

3

6

 

1

2

2

6


Примеры на закрепление: выполнить действия в восьмеричной системе счисления.
7158 + 3738
5248 + 578

Выполнить вычитание восьмеричных чисел 7508 и 2368.

 

 

 

4

8

 

_

7

5

0

   

2

3

6

 

 

5

1

2

 

Примеры на закрепление: выполнить действия в восьмеричной системе счисления.
1378 — 72,38
4368 — 2578

При выполнении действий сложения и вычитания в 16-ной системе счисления необходимо помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры шестнадцатеричного алфавита (0-9, A-F)
Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, т.е. переполнение наступает, когда результат сложения больше или равен 16. В этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде 16 единиц.

Примеры.
Сложить шестнадцатеричные числа B0916 и EFA16

 

 

1

1

 

 

+

B

0

9

   

E

F

A

 

1

A

0

3


Примеры на закрепление: выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A1316 + 1CF16
F0B,816 + 1DA,C116

Выполнить вычитание шестнадцатеричных чисел B0916 и 7FA16.

 

 

10

15

16

 

_

B

0

9

   

7

F

A

 

 

3

0

F

Примеры на закрепление: выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A1316 — 1CF16
DFA,B816 — 1AE,9416

Арифметические действия над двоичными числами

3.3 Арифметические действия над двоичными числами

Арифметика двоичной системы счисления основана на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения. Эти таблицы чрезвычайно просты:

Таблица

сложения

0

+

0

=

0

0

+

1

=

1

1

+

0

=

1

1

+

1

=

10

Таблица

умножения

0

*

0

=

0

0

*

1

=

0

1

*

0

=

0

1

*

1

=

1

Таблица

вычитания

0

0

=

0

1

0

=

1

1

1

=

0

10

1

=

1


3.3.1 Двоичное сложение

Двоичное сложение выполняется по тем же правилам, что и десятичное, с той лишь разницей, что перенос в следующий разряд производиться после того, как сумма достигнет не десяти, а двух.

Пример 3.5 Сложение двоичных чисел и

+

101101

111110

010011

– поразрядная сумма без учета переносов

+

1011000

– переносы

0010011

1001011

– поразрядная сумма без учета повторных переносов

+

0100000

– повторные переносы

1001011

1101011

– окончательный результат

Легко произвести проверку:

,

,

,

.

Пример 3.6 Сложение двоичных чисел и

+

110,

1011

10111,

10101

10001,

00011

– поразрядная сумма без учета переносов

+

11 1,

1

– переносы

10001,

00011

11100,

01011

– поразрядная сумма без учета повторных переносов

+

1 ,

– повторные переносы

11100,

01011

11110,

01011

– окончательный результат

Сложение нескольких чисел вызывает некоторые трудности, так как в результате поразрядного сложения могут получится переносы, превышающие единицу.

3.3.2 Двоичное вычитание

Вычитание в двоичной системе выполняется аналогично вычитанию в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде приходится вычитать единицу из нуля, занимается единица из следующего старшего разряда. Если в следующем разряде нуль, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. При этом следует понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда, т. е. вычитание выполняется по следующему правилу:

Пример 3.7 Вычитание двоичных чисел и

11010,

1011

1101,

01111

1101,

00111

Конечно, математически вычитание выполнить несложно. Однако, если поступать таким образом, то к примеру в ЭВМ придется для выполнения сложения и вычитания иметь два блока: сумматор и вычитатель. Поэтому поступают следующим образом: вычитание можно представить как сложение положительного и отрицательного чисел, необходимо только подходящее представление для отрицательного числа.

Рассмотрим четырехразрядный десятичный счетчик, какие в автомобиле отсчитывают пройденный путь. Пусть он показывает число 2, если вращать его в обратном направлении, то сначала появится 1, затем 0, после 0 появится число 9999. Сложим, к примеру, 6 с этим числом:

Если пренебречь единицей переноса и считать 9999 аналогом –1, то получим верный результат: .

Число 9999 называется десятичным дополнением числа 1. Таким образом, в десятичной системе счисления отрицательные числа могут быть представлены в форме десятичного дополнения, а знак минус можно опустить.

Двоичное дополнение числа определяется как то число, которое будучи прибавлено к первоначальному числу, даст только единицу переноса в старшем разряде.

Пример 3.8 Двоичное дополнение числа

+

010101111

– число

101010001

– двоичное дополнение

1000000000

– сумма

 – единица переноса

Для получения двоичного дополнения необходимо:

  • получить обратный код, который образуется инвертированием каждого бита:

    010101111

    – число

    101010000

    – обратный код

  • прибавить к обратному коду единицу, образовав таким образом дополнительный код:

+

101010000

– обратный код

1

101010001

– дополнительный код

Пример 3.9 Вычитание в дополнительном коде

– обратный код,

– дополнительный код.

1001012=510 (верно).

3.3.3 Двоичное умножение

Умножение двух двоичных чисел выполняется так же, как и умножение десятичных. Сначала получаются частичные произведения и затем их суммируют с учетом веса соответствующего разряда множителя.

Отличительной особенностью умножения в двоичной системе счисления является его простота, обусловленная простотой таблицы умножения. В соответствии с ней, каждое частичное произведение или равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в соответствующем разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения в двоичной системе сводится к операциям сдвига и сложения.

Умножение производится, начиная с младшего или старшего разряда множителя, что и определяет направление сдвига. Если сомножители имеют дробные части, то положение запятой в произведении определяется по тем же правилам, что и для десятичных чисел.

Пример 3.10 Умножение двоичных чисел и

3.3.4 Двоичное деление

Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению десятичных чисел. Рассмотрим деление двух целых чисел, так как делимое и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем перениесения запятой в делимом и делителе на одиноаковое число разрядов и дописывания необходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, причем последняя целая цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны.

Пример 3.11 Деление двоичных чисел

1) 18:2

2) 14:4

10010

10

1110

100

10

1001=(9)10

100

11,1=(3,5)10

00

110

00

100

001

100

000

100

10

0

10

00

Таким образом, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Благодоря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.

4. Представление чисел в ЭВМ, кодирование

4.1 Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой

При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде записываются цифры 0 или 1. Так как в ЭВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЭВМ.

В качестве таких устройств, могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЭВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЭВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЭВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.

В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел: полулогарифмическая – с плавающей запятой и естественная – с фиксированным положением запятой.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором – только целые числа.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но представляет определенные трудности при программировании. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное только в микроконтроллерах.

В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с плавающей запятой. Широкий диапазон представления чисел с плавающей запятой удобен для научных и инженерных расчетов. Для повышения точности вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможность использования формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение затрат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.

Рассмотрим подробнее эти два формата.

4.1.1 Числа с фиксированной запятой

Формат для чисел с запятой, фиксированной перед старшим разрядом. В этом формате могут быть с точностью до представлены числа (правильные дроби) в диапазоне

.

Первые ЭВМ были машинами с фиксированной запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом числа. В настоящее время, как правило, форму с фиксированной запятой применяют для представления целых чисел (запятая фиксирована после младшего разряда).

Используют два варианта представления целых чисел: со знаком и без знака. В последнем случае все разряды разрядной сетки служат для представления модуля числа. В ЕС ЭВМ применяются оба указанных варианта представления целых чисел, причем каждый из вариантов реализуется как в формате 32-разрядного машинного слова этих машин, так и в формате 16-разрядного полуслова.

При выполнении арифметических действий над правильными дробями могут получаться двоичные числа, по абсолютной величине больше или равные единице, что называется переполнением разрядной сетки. Для исключения возможности переполнения приходится масштабировать величины, участвующие в вычислениях.

Достоинство представления чисел в форме с фиксированной запятой состоит в простоте выполнения арифметических операций.

Недостатки – в необходимости выбора масштабных коэффициентов и в низкой точности представления с малыми значениями модуля (нули в старших разрядах модуля приводит к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей частью модуля числа).

4.1.2 Числа с плавающей запятой

При использовании плавающей запятой число состоит из двух частей: мантиссы m, содержащей значащие цифры числа, и порядка р, показывающего степень, в которую надо возвести основание числа q, чтобы полученное при этом число, умноженное на мантиссу, давало истинное значение представляемого числа:

(4.1)

Мантисса и порядок представляются в двоичном коде. Обычно число дается в нормализованном виде, когда его мантисса является правильной дробью, причем первая значащая цифра (единица) следует непосредственно после запятой: например, где m=0,1010; р=10; q=2

Порядок указывает действительное положение запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: .

Точность представления значений зависит от количества значащих цифр мантиссы. Для повышения точности числа с плавающей запятой представляются в нормализованной форме, при которой значение модуля мантиссы лежит в пределах . Признаком нормализованного числа служит наличие единицы в старшем разряде модуля мантиссы. В нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого диапазона за исключением нуля.

Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой представляют значения модуля в диапазоне:

,

где – максимальное значение модуля порядка.

Так, при р=7 –1==63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел:

,

Таким образом, диапазон чисел:

Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине разрядной сетки (m) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетке, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16-ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне . Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до .

    1. Прямой, обратный и дополнительный коды.

При рассмотрении элементарных арифметических операций над двоичными числами мы уже коснулись темы отрицательных двоичных чисел. Теперь рассмотрим ее подробнее.

Для кодирования знака двоичного числа используется старший («знаковый«) разряд (ноль соответствует плюсу, единица – минусу).

Такая форма представления числа называется прямым кодом.

В ЭВМ прямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел применяется либо дополнительный, либо обратный код, так как над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифметические операции.

Правила для образования дополнительного и обратного кода состоят в следующем:

  • для образования дополнительного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить 1 на 0, а 0 – на 1), после чего прибавить 1 к младшему разряду;

  • для образования обратного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать;

  • при данных преобразованиях нужно учитывать размер разрядной сетки.

Прямой код можно получить из дополнительного и обратного по тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и обратного кодов.

В таблице 4.1 приведены десятичные числа и их двоичные представления в трех различных формах. Интересно в ней вот что. Если начать счет с числа 1000 (–8) и двигаться вниз по столбцам, то в дополнительном коде каждое последующее число получается прибавлением единицы к предыдущему без учета переноса за пределы четвертого разряда. Так просто эту операцию в прямом и обратном кодах не осуществить. Эта особенность дополнительного кода и явилось причиной предпочтительного применения его в современных микро и миниЭВМ.

Итак, числа, представленные в дополнительном коде, складываются по правилам двоичного сложения, но без учета каких либо переносов за пределы старшего разряда. Рассмотрим это на примерах 4.1.

Таблица 4.1 Прямой, обратный и дополнительный коды.

Десятичное

число

Прямой

код

Обратный

код

Дополнительный

Код

-8

1000

-7

1111

1000

1001

-6

1110

1001

1010

-5

1101

1010

1011

-4

1100

1011

1110

-3

1011

1100

1101

-2

1010

1101

1110

-1

1001

1110

1111

0

1000

0000

1111

0000

0000

1

0001

0001

0001

2

0010

0010

0010

3

0011

0011

0011

4

0100

0100

0100

5

0101

0101

0101

6

0110

0110

0110

7

0111

0111

0111

Пример 4.1 Двоичное сложение в дополнительном коде

1)

+

+2

+

0010

2)

+

-2

+

1110

3)

+

+5

+

0101

+5

0101

-6

1010

-4

1100

+7

0111

-8

1000

+1

0001

Еще одним достоинством дополнительного кода является то, что нуль, в отличие от прямого и обратного кодов, представляется одним кодом. Наличие 0 в знаковом бите при представлении нуля определяет его как величину положительную, что согласуется с математической теорией чисел и соглашениями, принятыми во всех языках программирования.

Из приведенных примеров следует, что положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах совпадают. В прямом и обратном коде нуль имеет два представления – «положительный» и «отрицательный» нуль.

Отметим, что при представлении с плавающей запятой отдельно кодируется мантисса и порядок числа. При этом возможно представление мантисс и порядков чисел в одном и том же или разных кодах. Например, порядок числа может быть представлен в прямом, а мантисса – в дополнительном кодах и т. п.

Таким образом, используя обратный и дополнительный коды, операцию алгебраического сложения можно свести к арифметическому сложению кодов чисел, которое распространяется и на разряды знаков, которые рассматриваются как разряды целой части числа.

При сложении чисел, меньших единицы, в машине быть получены числа, по абсолютной величине большие единицы. Для обнаружения переполнения разрядной сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами, причем знаку «плюс» соответствует комбинация 00, а знаку «минус» — комбинация 11.

Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифицированном дополнительном коде отбрасывается, а в модифицированном обратном коде передается в младший цифровой разряд.

Признаком переполнения служит появление в знаковом разряде суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положительное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отрицательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях содержит истинное значение знака суммы, а младший является старшей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому значению младшего знакового разряда. После корректировки переполнения мантиссы результата необходимо увеличить на единицу порядок результата.

РАЗДЕЛ I-11: Сложение и вычитание шестнадцатеричных чисел

При изучении вопросов, связанных с программным и аппаратным обеспечением компьютеров, часто бывает необходимо складывать или вычитать шестнадцатеричные числа. Шестнадцатеричное сложение и вычитание объясняются и демонстрируются ниже.

Добавление шестнадцатеричных чисел :

Начиная с младших значащих цифр, цифры складываются вместе. Если результат меньше 16, запишите эту цифру как сумму для этой позиции.Если оно больше 16, вычтите из него 16, чтобы получить цифру, и перенесите 1 на следующую цифру. Это показано в примере ниже.

 

Выполнить шестнадцатеричное сложение: 23D9 + 94BE  
     23D9 Д = 14 10 ЛСД: 9 + 14 = 23 23 — 16 = 7 с переноской
+   94BE Е = 13 10 , В = 11 10 1 + 13 + 11 = 25 25 — 16 = 9 с переноской
    B897   1 + 3 + 4 = 8  
  Б = 11 10 МСД: 2 + 9 = В  

 

Вычитание шестнадцатеричных чисел :

При вычитании двух шестнадцатеричных чисел, если вторая цифра больше первой, заимствуйте 16 из предыдущей цифры.Это показано на примере ниже.

 

Вычитание шестнадцатеричных чисел: 59F — 2B8
59F Ф = 15 10 ЛСД: 15 — 8 = 7
— 2B8 Б = 11 10 (9+16=25) , 25 — 11 = 14 (Е)
  2E7 Е = 14 10 (5 — 1 = 4), 4 — 2 = 2

 

 

 

Что такое шестнадцатеричное сложение? – идвотер.ком

Что такое шестнадцатеричное сложение?

Шестнадцатеричное сложение включает в себя вычисление основного десятичного сложения при преобразовании между шестнадцатеричным и десятичным числом, когда присутствуют значения больше 9 (цифры от A до F). В приведенном выше примере B + 8 в десятичном виде равно 11 + 8 = 19. Перенесите 1 в последний столбец, в результате чего 1 + 8 + B (11) = 20 десятичных, или 14hex.

Как добавить BCD?

BCD сложение заданных десятичных чисел

  1. Ввод: А = 12, В = 20.
  2. Вывод: 110010.
  3. Объяснение: Сумма A и B равна 12 + 20 = 32. Двоичное представление 3 = 0011. Двоичное представление 2 = 0010. Таким образом, двоично-десятичное сложение равно «0011» + «0010» = «110010»

Какое наибольшее десятичное число может содержаться в одном слове?

11111111
Максимальное десятичное число, которое может быть представлено 1 байтом, равно 255 или 11111111. 8-битное слово сильно ограничивает диапазон чисел, которые могут быть размещены.Но это обычно преодолевается использованием более крупных слов… Максимальное десятичное значение для N бит.

Количество битов Максимальное количество состояний
24 16 777 216 (16 М)
32 4 294 967 296 (4 ГБ)

Какие допустимые случаи добавления BCD?

В случае 1 результат сложения двух двоичных чисел больше 9, что недопустимо для двоично-десятичного числа. Но результат сложения в случае 2 меньше 9, что справедливо для двоично-десятичных чисел.

Как складывать шестнадцатеричные числа в калькуляторе?

Просто введите шестнадцатеричные числа в соответствующее поле ввода, и калькулятор шестнадцатеричного сложения автоматически добавит два числа и сообщит вам результаты. Сложение Вычитание Умножение Деление

Какой пример сложения в шестнадцатеричной арифметике?

Пример — сложение, шестнадцатеричное вычитание. Вычитание шестнадцатеричных чисел осуществляется по тем же правилам, что и вычитание чисел в любой другой системе счисления.Единственная вариация в заимствованном номере. В десятичной системе вы заимствуете группу из 10 10. В двоичной системе вы заимствуете группу из 2 10.

Нужна ли шестнадцатеричная таблица умножения?

Может быть полезно иметь шестнадцатеричную таблицу умножения (она представлена ​​ниже). В противном случае для каждого шага потребуется ручное преобразование между десятичной и шестнадцатеричной системами. Ниже приведен пример шестнадцатеричного умножения.

Как шестнадцатеричный калькулятор используется в математике?

Шестнадцатеричный калькулятор используется для сложения, вычитания, умножения и деления двух шестнадцатеричных чисел.В математике и информатике шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 16.

Шестнадцатеричная операция | Компьютерная организация и архитектура

(Подготовлено Чин Си Линг B031210152)

Шестнадцатеричная система счисления

В принципе, шестнадцатеричные числа работают точно так же, как и десятичные числа. Применяются почти все те же правила. Главное отличие в том, что символов больше.В случае шестнадцатеричного, латинского для 16, их 16. Первые десять — это старые верные 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Шесть новых — это A, B, C. , Д, Э, Ф.

Примеры:

Шестнадцатеричное сложение

Используйте следующие шаги для выполнения шестнадцатеричного сложения:

1. Добавляйте по одному столбцу за раз.

2. Преобразуйте в десятичную систему и добавьте числа.

3.(a) Если результат второго шага равен 16 или больше, вычтите результат из 16 и перенесите 1 в следующий столбец.

(b) Если результат второго шага меньше 16, преобразовать число в шестнадцатеричное.

Пример 1 : (используйте цветовой код на каждом этапе, чтобы увидеть, что происходит)

Пример 2 :

Шестнадцатеричное вычитание

Вычитание шестнадцатеричных чисел выглядит сложнее, чем есть на самом деле. В предыдущих разделах вы узнали все правила вычитания. Теперь вам нужно только применить эти правила к новой системе счисления.Символы могут быть другими и сумма займа может быть разной, но правила остаются прежними.

Пример 1 :

Пример 2 :

Шестнадцатеричное умножение

шагов для обеспечения шестнадцатеричного умножения:

Пример 1 :

Ссылка:

  1. demo.powerfullms.com/sites/default/files/HexAdd_1.doc
  2. http://CS.smith.edu/~thiebaut/ArtOfAssembly/CH01/CH01-2.html#HEADING2-26
  3. http://www.myhome.org/pg/numbers.html

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Шестнадцатеричная арифметика — VLSIFacts

Хотя компьютеры хранят все в двоичном формате, пользовательский интерфейс работает с шестнадцатеричным форматом для простоты понимания. Человеку проще разобраться с шестнадцатеричной, чем с потоком нулей и единиц.Итак, в этой статье мы изучим арифметику шестнадцатеричных чисел.

Один из способов выполнения шестнадцатеричной арифметики состоит в том, чтобы преобразовать шестнадцатеричные числа в двоичные числа, затем, используя правила двоичной арифметики, выполнить двоичные операции и, наконец, преобразовать двоичный результат обратно в шестнадцатеричный вид. Другой способ — напрямую выполнить операцию над шестнадцатеричными числами.

Шестнадцатеричная арифметика очень похожа на десятичную арифметику. Единственная разница в том, что десятичная система имеет дело с 10 числами (от 0 до 9), тогда как шестнадцатеричная система имеет дело с 16 числами (от 0 до 9 и A, B, C, D, E, F).Таким образом, в случае шестнадцатеричной системы перенос генерируется в 16, а не в 10. Давайте решим несколько примеров, чтобы привыкнуть к шестнадцатеричной арифметике.

Шестнадцатеричное сложение

Пример: (9B3 + 68) 16 = ? 16

Пример шестнадцатеричного сложения

(9B3 + 68) 16 = A1B 16

При сложении младших разрядов получается (3 + 8 =) 11. В шестнадцатеричном формате «11» равно «B». Следующее добавление места — B + 6 = 11 + 6 = 17. Здесь перенос генерируется, когда сумма достигает 16 или выше.Итак, после генерации переноса оставшееся значение равно 1 (17 – 16 = 1). Место MSB имеет 9 и перенос. Таким образом, он сгенерирует 9 + 1 = 10, что равно «А» в шестнадцатеричном формате. Таким образом, сгенерированная сумма равна A1B 16 .

Шестнадцатеричное вычитание

Пример: (9B3 – 68) 16 = ? 16

Пример шестнадцатеричного вычитания

При вычитании младших разрядов 3 меньше 8. Таким образом, он заимствует 1 из следующего разряда. Теперь займ 1 на месте LSB будет иметь значение 16.Таким образом, вычитание младших разрядов даст 16 + 3 — 8 = 11. В шестнадцатеричном формате «11» — это «B». На следующем месте, после заимствования LSB, остается B – 1 = A. Таким образом, вычитание равно A – 6 = 10 – 6 = 4. Старший разряд равен 9. Таким образом, сгенерированный результат равен 94B 16 .

Предыдущий           Содержание            Следующий

Нравится:

Нравится Загрузка…

Двоичный калькулятор — Побитовый калькулятор

Двоичный калькулятор

Это бесплатный онлайн бинарный калькулятор.Он поддерживает функции сложения, вычитания, умножения, деления и, или, не, xor, сдвига влево, сдвига вправо и заполнения нулями вправо для двоичных, десятичных и шестнадцатеричных чисел. Двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2. Он состоит только из 0, 1 цифры, а правила сложения, вычитания и умножения такие же, как и для десятичных чисел.

Как пользоваться двоичным калькулятором?

Чтобы использовать наш двоичный калькулятор, вам необходимо выполнить следующие шаги.

1. Откройте двоичный калькулятор.

2. Введите два числа, которые вы хотите реализовать операцию.

3. Выберите операцию сложения, вычитания, умножения, деления и т. д.

4. Поддерживает двоичные, десятичные и шестнадцатеричные вычисления.

5. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить результат.

6. Нажмите «Сброс», чтобы очистить значения.

Двоичное сложение:

Чемодан А + В Сумма Переноска
1 0 + 0 0 0
2 0 + 1 1 0
3 1 + 0 1 0
4 1 + 1 0 1

Двоичное вычитание:

Чемодан А-В Сумма Переноска
1 0-0 0 0
2 1 — 0 1 0
3 1 — 1 0 0
4 0 — 1 0 1

Двоичное умножение:

Чемодан А х В Умножение
1 0 х 0 0
2 0 х 1 0
3 1 х 0 0
4 1 х 1 1

Диапазон чисел и переполнение Шестнадцатеричные числа с плавающей запятой Цифровая логика Проектирование Электроника

CS302 — Цифровая логика и дизайн

Урок Нет.03

НОМЕР СИСТЕМЫ

Ассортимент Числа и Переполнение

Когда арифметическая операция, например Сложение, вычитание, умножение и Подразделение

ар исполняемый по номерам полученные результаты могут превышать диапазон значений указано

Бинарные представления. значения, которые превышают указанный диапазон не может быть правильно

представлены и считаются Значения переполнения.

Для например, 3-битный беззнаковый представление может правильно представлять без знака Двоичный

значения в диапазон от 0 до 23-1 (от 0 до 7). Добавление 3-битного беззнакового 010 (2) в другой 3-битный Беззнаковый

111 (7) результат 1001 (9) который превышает 3-битный беззнаковый диапазон и считается

Переполнение. Точно так же 1011 (-5) и Представлено 1100 (-4) значений в 4-битном дополнении до 2 форма

когда сложенные вместе приводят к 10111 (-9), что превышает 4-битное дополнение до 2 диапазон

значения (24-1-1) и -(24-1) (7 до -8) и считается Переполнение.

Определение Условия переполнения для 2-х Дополнительные номера

Состояние переполнения может быть легко определить, когда два числа, представленные в 2

Дополнение формы складываются вместе. Рассмотрим четыре примера описано ниже. Все

номера представлены в 4-битных двойках Дополненная форма.

Оба числа положительные

0101

+5

0100

+4

1001

-7

результат указывает на отрицательный номер как самый значащий бит равен 1. ответ

неверно как результат должен быть положительный. Результат указывает -7. Верное ответ +9

может не быть представленным с использованием 4-битная 2-х дополненная форма, таким образом, переполнение имеет произошел.

Оба числа отрицательные

1011

-5

1100

-4

10111

+7

сгенерированный перенос отбрасывается.Результат указывает на положительное число как большинство

значимый бит равен 0. Ответ неправильно в результате должно быть отрицательным. результат

указывает +7. Правильный ответ -9 нельзя представить с помощью 4-битное дополнение до 2

форма

, таким образом, переполнение имеет произошел.

Один число положительное и его величина больше, чем отрицательное число

0101

+5

1100

-4

10001

+1

сгенерированный перенос отбрасывается.Результат правильный.

Один число положительное и его величина меньше, чем отрицательное число

1011

-5

0100

+4

1111

-1

23

CS302 — Цифровая логика и дизайн

результат правильный. Как 1111 представляет -1.

Анализ операция сложения четырех указывает, что переполнение условия могут быть

определяется глядя на самые значащие биты знака два числа должны быть добавлено

вместе и самое значительное знаковые биты суммы результат. В первых двух примеры, когда

Переполнение произошел знак биты обоих чисел одинаковые, указывающие оба номера

будет положительным или отрицательное соответственно. знаковый бит суммы срок в обоих случаях напротив

к знаки двух чисел складываются вместе, которые никогда не может быть. Таким образом ошибочный

знак биты указывают на переполнение условия.

С плавающей запятой Номера

Модерн компьютеры могут обрабатывать большие двоичные числа, такие как 64-битный без знака номер,

максимальное десятичное число, которое можно представить с помощью 64-битный без знака

представительство 264-1, что почти равно 1.84 х 1019.

Как справляется ли компьютер числа больше 264-1 или 1,84 x 1019 десятичных знаков?

Во-вторых, числа, используемые обычно, не только целые числа а такие числа как 3.14

который имеют целую часть и дробная часть. В-третьих, как могут очень маленькие числа например

1,84 х 10-19 могут быть представлены в цифровых системах?

система счисления с плавающей запятой, на основе научных обозначений является способен на

представляет очень большой и очень небольшие числа без увеличить количество биты.

номера имеющий целую часть и дробная часть тоже легко представить с помощью

с плавающей запятой представление.

Плавающий номера точек определены с использованием определенных стандартов. Стандарт ANSI/IEEE

754 определяет 32-битный Формат с плавающей запятой для двоичные числа. 32-битный

одинарной точности Ф.P. формат показан в Рисунок 3.1.

С Показатель

Мантисса

бит с одним знаком (S) представляет собой знак число (0=положительное 1=отрицательный)

Экспонента (E) 8 бит представлять показатель степени

23 бита мантиссы представляют величина номер

Рисунок 3.1

одинарной точности 32-битное число с плавающей запятой Формат

Десятичный Число с плавающей запятой Формат

В помощь понять, как числа представлен в 32-битном Одинарная точность

Плавающий Формат точки. Рассмотрим аналогичный 15-значный десятичный Числовой формат для представления очень

большой и очень маленький десятичный числа.15-значный формат с плавающей запятой в представлять десятичное число

номера показано на рисунке 3.2.

С

Е

Е

М

М

М

М

М

М

М

М

М

М

М

М

Знак (S) 1 цифра означает знак числа (+/)

Показатель степени (E) 2 цифры представлять показатель степени

Мантисса 12 цифр представляет величина номер

24

CS302 — Цифровая логика и дизайн

Рисунок 3.2

15-значный Десятичное число с плавающей запятой Формат номера

номер 6918.3125 можно записывается как 6,9183125 x 103,

 69183125 представляет величину число (мантисса)

 3 представляет показатель степени

  десятичная точка перенесена на крайний левый из число (нормализованное) так, что

звездная величина представлен дробью часть.

число 0,69183125 x 104 представлено в десятичном виде ф.п. обозначение как

+

0

4

6

9

1

8

3

1

2

5

0

0

0

0

Использование эти 15 цифр (включая цифра знака) обозначение наибольшее число, которое может быть

представлено 0.999 999 999 999 х 1099

Представительство Отрицательный показатель Значения

15-значное десятичное число с плавающей запятой формат не позволяет отрицательные показатели равны

представлено. Есть два варианта в наличии

Увеличение поле Exponent на единицу цифра, позволяющая знак для обозначения положительного и

отрицательный экспоненты.Общее количество цифр увеличивается до 16.

Используется Схема смещенной экспоненты. Вместо того, чтобы писать значение экспоненты напрямую добавить

значение от 50 до показатель степени и напишите результат в экспоненте поле. Используя это предвзятый

схема максимально позитивный показатель степени, который может быть представлено 49 (49 + 50 =

99).Наименьший показатель, который может быть представлено -50 (-50 + 50 = 0).

После позволяет позитивно и отрицательные значения экспоненты должны быть представлены, ассортимент из

положительный и отрицательные десятичные числа что можно представить с помощью десятичного числа f.p. обозначение

это от 0,999 999 999 999 х 1049 до 0,999 999 999 999 х 10-50

Представительство Ноль и бесконечность Значения

Как должно ли число ноль и значение Бесконечность быть представлены с использованием 15-значный

десятичный плавающая точка формат?

число ноль может быть представлено установкой всех цифры мантиссы до 0. Предвзятый

экспонента поле можно установить любое номер и знак поле может быть установлено на + или

число бесконечности не может быть представлены.

решение для представления бесконечности состоит в том, чтобы отбросить смещенный показатель значение для представления

бесконечность. Есть два варианта в наличии

Разрешить числа, имеющие максимум и минимальные значения экспоненты быть 48 и -49

вместо 49 и -50.Таким образом Смещенные значения экспоненты диапазон между 98 (50 + 48

= 98) и 01 (-49 + 50 = 1). смещенное значение показателя степени 00 может использоваться для представления

номер ноль независимо от значения мантисса. предвзятый показатель степени 99 может быть

раньше представлять число бесконечность значение мантиссы.

Разрешить числа, имеющие максимум и минимальные значения экспоненты быть 49 и -48

вместо 49 и -50 и выбрав 49 как предвзятое число. Таким образом Смещенный показатель

значения будет варьироваться от 98 (49 + 49 = 98) и 01 (-48 + 49 = 1). предвзятый показатель степени

значение 00 может использоваться для представления номер ноль независимо от стоимость мантисса.

25

CS302 — Цифровая логика и дизайн

смещенное значение показателя степени 99 может использоваться для представления число бесконечность что бы то ни было

значение мантисса. Этот подход возможно, лучше, как диапазон максимальное положительное

экспонента остается 49, а ассортимент значения, имеющие отрицательное значение показатель был

уменьшено до -48.

Представляющий Число десятичной дроби в 32-разрядные с плавающей запятой одинарной точности Формат точки

32-битная одинарная точность Формат с плавающей запятой представляет экспоненту значение как

предвзятый Номер, резервирующий значения степени от 0 и 255 до представлять нулевое значение и

бесконечность соответственно.Ассортимент значение степени от +127 до -126.

пошаговое представление десятичное число 6918,3125 в 32-битный с плавающей запятой

формат

 Конвертировать Десятичное число в эквивалентное двоичное представление: Двоичный эквивалент

Десятичный номер 6918.3125 есть 1101100000110.0101

 Нормализация двоичное число: 1.1011000001100101 х 212

 Представитель показатель в Biased 127: показатель степени равен 12 + 127 = 139 = 10001011

0

10001011

10110000011001010000000

Мантисса равна 10110000011001010000000 вместо 110110000011001010000000 как

все двоичные числа, которые нормированные всегда имеют ведущий 1. В ф.п. отформатируй

ведущий 1 есть не написано, а так учитывать во всем расчеты.Ведущий 1

что это не написанное известно как скрыто 1.

Арифметика Операции с плавающей запятой Номера

Арифметика операции могут быть непосредственно выполняется с плавающей запятой номера по

манипулирование мантисса и экспонента части с плавающей запятой числа.

Два числа с плавающей запятой могут быть добавлено путем сложения вместе их мантиссы обеспечение

что показательные части обоих цифры такой же.Если бы представители два плавающих

балла числа, которые нужно добавить вместе не то то же, что десятичная точка должно быть

скорректировано для одного из плавучих номер точки, чтобы сделать оба показатели равны. Точно так же два

плавающий номера точек, имеющие одинаковые показатели могут быть вычитается путем вычитания их

соответствующий мантиссы.Если бы представители два числа должны быть вычитаются не равно,

тогда десятичная точка настроена на сделать два показателя степени равный.

Умножение выполняется путем умножения мантиссы вместе и добавив их

соответствующий экспоненты. Разделение осуществляет деление мантиссы на части и вычитая

соответствующие показатели. примеры иллюстрируют арифметику операции по плаванию точка

числа.

723

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 7.23

+ 134

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 1,34

857

Добавление вместе часть мантиссы результат

экспонента 2

мантисса 8.57

723

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 7.23

+ 2015

представлены в ф.п. как экспонента 3

мантисса 2,015

2738

Регулировка десятичная точка первый номер

экспонента 3

мантисса 0,723

Добавление вместе мантисса дерзкий результат

экспонента 3

мантисса 2.738

26

CS302 — Цифровая логика и дизайн

723

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 7.23

— 134

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 1,34

589

Вычитание вместе часть мантиссы результат

экспонента 2

мантисса 5.89

2015

представлены в ф.п. как экспонента 3

мантисса 2,015

— 723

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 7.23

1292

Регулировка десятичная точка второй номер

экспонента 3

мантисса 0,723

Вычитание результаты мантиссы в

экспонента 3

мантисса 1.292

723

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 7.23

х 34

представлены в ф.п. как показатель степени 1

мантисса 3.4

24582

Умножение части мантиссы и суммирование результатов экспоненты в

экспонента 4

мантисса 24.582

697

представлены в ф.п. как показатель степени 2

мантисса 6,97

41

представлены в ф.п. как показатель степени 1

мантисса 4.1

17

Разделение часть мантиссы и вычитание показателей результат

экспонента 1

мантисса 1,7

64-разрядная Двойная точность с плавающей запятой формат

32-битная одинарная точность представление с плавающей запятой может представлять наибольший положительный

или отрицательный номер приказа 2127 и наименьший положительный или отрицательный номер

заказ 2-126.Представлять числа больше 2127 и числа меньше 2-126, 64-битная

Двойной Точность с плавающей запятой используется формат.

64-битный формат двойной точности отводит 11 бит для представлять экспоненту как

Предвзятый-1023 и мантисса 52 бита. А один бит, самый значащий бит, установлен в сторону

Знак

.

Шестнадцатеричный Номера

Представительство даже небольшое количество, например 6918 требует длинного двоичного файла строка

(1101100000110) из 0 и 1. Большой десятичный цифры потребуют более длинный двоичный файл струны.

Письмо такая длинная строка утомительна и склонен к ошибкам.

Шестнадцатеричная система счисления – это система счисления с основанием 16 и поэтому имеет 16

цифры и используется в основном для представлять двоичные строки в компактный способ.Шестнадцатеричный

номер система не используется Цифровая система. Шестнадцатеричная система счисления для нашего

удобство длинные двоичные строки в краткая и лаконичная форма. Каждое шестнадцатеричное Номер

цифра может представлять 4-битный двоичный Количество. Двоичные числа и шестнадцатеричное

эквивалента перечислены в таблице 3.1

Десятичный

Двоичный

Шестнадцатеричный Десятичный Двоичный

Шестнадцатеричный

0

0000

0

8

1000

8

1

0001

1

9

1001

9

2

0010

2

10

1010

А

3

0011

3

11

1011

Б

4

0100

4

12

1100

С

5

0101

5

13

1101

Д

6

0110

6

14

1110

Е

7

0111

7

15

1111

Ф

27

CS302 — Цифровая логика и дизайн

Стол 3.1

Шестнадцатеричный Эквиваленты Decimal и Двоичные числа

Подсчет Шестнадцатеричный

Подсчет в Шестнадцатеричный похож на другие системы счисления уже обсуждалось.

максимальное значение, представленное одна шестнадцатеричная цифра F что эквивалентно

десятичный 15. Следующий выше десятичное значение 16 представлено комбинация из двух

Шестнадцатеричный цифры 1016 или 10 ч. индекс 16 указывает, что номер Шестнадцатеричный

10 и не десятичный 10. Шестнадцатеричный Номера также определены добавив персонаж

ч после номер. Шестнадцатеричный Числа для десятичных чисел от 16 до 39 перечислены в

Стол 3.2.

Десятичный

Шестнадцатеричный

Десятичный

Шестнадцатеричный

Десятичный

Шестнадцатеричный

16

10

24

18

32

20

17

11

25

19

33

21

18

12

26

34

22

19

13

27

35

23

20

14

28

36

24

21

15

29

37

25

22

16

30

38

26

23

17

31

1F

39

27

Стол 3.2

Подсчет используя шестнадцатеричный Номера

Двоичный в Шестнадцатеричное преобразование

Преобразование Двоичный код в шестнадцатеричный очень простая операция. Бинарный строка

разделены на небольшие группы по 4 бита начиная с наименьшего значимый бит. Каждый 4-битный бинарная группа

заменен на его шестнадцатеричный эквивалент.

11010110101110010110

Двоичный Номер

1101 0110 1011 1001 0110 Разделение на группы по 4 бита

Д

6

Б

9

6 Заменив каждую группу на его шестнадцатеричный эквивалент

Таким образом 11010110101110010110 представлена ​​в Шестнадцатеричный от D6B96

Двоичный строки, которых не может быть точно разделить на целое количество 4-битных групп

предполагается добавить 0 в наиболее значащие биты для заполнить группу.

1101100000110

Двоичный Номер

1 1011 0000 0110

Разделение в группы по 4 бита

0001 1011 0000 0110

Добавление три 0, чтобы завершить группа

1

Б

0

6

Замена каждая группа по своему Шестнадцатеричный эквивалент

От шестнадцатеричной до Двоичное преобразование

Преобразование из шестнадцатеричной обратно в бинарный также очень прост.Каждая цифра

Шестнадцатеричный номер заменяется эквивалентным двоичная строка 4-бит.

ФД13

Шестнадцатеричный Номер

1111 1101 0001 0011

Замена каждая шестнадцатеричная цифра на его 4-битный двоичный файл эквивалент

Десятичный до Шестнадцатеричное преобразование

28

CS302 — Цифровая логика и дизайн

Там два метода преобразования из десятичного в шестнадцатеричный.Первый метод

Косвенный метод и второй метод — это Повторный дивизион Метод.

1. Непрямой Метод

Десятичный число может быть преобразовано в его шестнадцатеричный эквивалент косвенно по первым

преобразование десятичное число в его двоичный эквивалент и затем преобразовать двоичный файл до

Шестнадцатеричный.

2. Повторный Метод деления на 16

Метод повторного деления имеет обсуждалось ранее и используется для преобразования

Десятичный Цифры в двоичные многократно деление десятичного числа на 2. Десятичное число

номер можно напрямую преобразовать в шестнадцатеричный с помощью повторное деление. десятичный

номер непрерывно делится на 16 (основание значение шестнадцатеричной система счисления).

преобразование десятичного числа 2096 в Шестнадцатеричный с использованием Повторное деление на 16

Метод показано в таблице 3.3. Шестнадцатеричный эквивалент 209610 это 83016.

Номер

Коэффициент после деления

Остаток после деления

2096

131

0

131

8

3

8

0

8

Стол 3.3

Шестнадцатеричный Эквивалент десятичных чисел используя Повторяющийся Подразделение

От шестнадцатеричной до Десятичное преобразование

Преобразование Шестнадцатеричные числа в десятичные делается двумя Методами. Первый

Метод косвенный метод и второй способ это Метод суммы весов.

1. Непрямой Метод

непрямой метод преобразования Шестнадцатеричное число в десятичное номер до первого

преобразовать Шестнадцатеричное число в двоичное а затем двоичный в Десятичная дробь.

2. Сумма весов Метод

Шестнадцатеричный номер может быть напрямую преобразовано в десятичное число используя сумму

веса метод. Шаги преобразования используя сумму весов показан метод.

СА02

Шестнадцатеричный номер

С х 163 + А х 162 + 0 х 161 + 2 х 160

Письмо число в выражение

(С х 4096) + (А х 256) + (0 х 16) + (2 х 1)

(12 х 4096) + (10 х 256) + (0 х 16) + (2 х 1)

Замена Шестнадцатеричный

значения

с

Десятичный эквиваленты

49152 + 2560 + 0 + 2

Суммирование Гири

51714

Десятичный эквивалент

Шестнадцатеричный Дополнение и Вычитание

номера представленный в шестнадцатеричном формате может быть добавлено и вычтено напрямую без

вынужден преобразовать их в десятичные или бинарные эквиваленты. правила сложения и

Вычитание которые используются для добавления и вычесть числа в Десятичное или двоичное число системы

применяется к Шестнадцатеричное сложение и Вычитание. Шестнадцатеричное сложение и вычитания позволяет

большой Двоичные числа, чтобы быть быстрым добавлено и вычтено.

29

CS302 — Цифровая логика и дизайн

1.шестнадцатеричный Дополнение

Носить

1

Номер 1

2

А

С

6

Номер 2

9

2

Б

5

Сумма

Б

Д

7

Б

2. Шестнадцатеричный Вычитание

Занять

1

1

1

Номер 1

9

2

Б

5

Номер 2

2

А

С

6

Разница

6

7

Е

Ф

30

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.