Site Loader

Содержание

Принцип Гаусса (наименьшего принуждения) — Энциклопедия по машиностроению XXL

Принцип Гаусса наименьшего принуждения  [c.417]

Теорема 5.4.1. (Принцип Гаусса наименьшего принуждения). Действительные ускорения и = .., Ы, системы мате-  [c.418]

Из соотношения (II. 126) видно, что при переходе от действительного движения к движению сравнения принуждение 2 возрастает. Следовательно, принуждение 2 для действительного движения имеет минимум. В этом заключается принцип Гаусса наименьшего принуждения. Остановимся теперь на механическом смысле принуждения.  [c.188]


Принцип Гаусса наименьшего принуждения ). Пусть заданы конфигурация и скорость системы в момент времени t. Напишем выражение  [c.56]

Оригинальное изложение принципа Гаусса наименьшего принуждения см. в работе К. Г а у с с, Об одном новом общем принципе механики, в сборнике Вариационные принципы механики под ред. Л. С. Полака, М.

, Физматгиз, 1959.  [c.56]

Если конечные силы рассматривать как совокупность бесконечно малых импульсов, действующих на систему, то получим следующую теорему, которую обычно называют принципом Гаусса наименьшего принуждения.  [c.332]

Принцип наименьшего принуждения допускает простое геометрическое истолкование. Он означает, что действительные ускорения системы минимально отклоняются от тех, которые имели бы место при полном отсутствии связей. Метрика, оценивающая отклонение, определена коэффициентами квадратичной формы принуждения по Гауссу.  [c.419]

Можно доказать, что принцип наименьшего принуждения не уступает в общности принципу Даламбера — Лагранжа. Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что из принципа Гаусса вытекают дифференциальные уравнения движения системы, на точки которой наложены голономные и неголономные связи. Ниже показано, как из принципа Гаусса вывести дифференциальные уравнения движения неголономных систем в форме, предложенной Аппелем.

[c.189]

Гаусс установил весьма интересный принцип механики — принцип наименьшего принуждения.  [c.223]

Если систему освободить от всех связей, последнее неравенство представит принцип наименьшего принуждения Гаусса выражение А df = Add)  

[c.225]

Гаусса принцип наименьшего принуждения 225  [c.364]

То, что ускорения обращают вторую из этих функций в минимум, является следствием принципа наименьшего принуждения Гаусса, к которому мы вернемся в конце следующей главы.  [c.342]

VII. Принцип наименьшего принуждения Гаусса  [c.420]

Гаусс сформулировал замечательную теорему, сводящую определение движения к задаче отыскания минимума, но минимума конечного выражения. Этот принцип применим во всех случаях, когда имеют место связи без трения, и имеет, следовательно, такую же общность, как принцип Даламбера или общее уравнение динамики, к которому он приводит, как мы это увидим.

Он получил название принципа наименьшего принуждения. Вот его формулировка  [c.316]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ ГАУССА  [c.279]

Гаусс называет свой новый основной закон принципом наименьшего принуждения . Меру принуждения он определяет как сумму произведений отклонения каждой точки от своего свободного движения на ее массу . Если мы снова (ср. стр. 90) пронумеруем материальные точки и их прямоугольные координаты, то получим в качестве меры принуждения для системы из п материальных точек выражение  

[c.279]


Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Принцип Даламбера не связан с понятием минимальности. В нем фигурирует бесконечно малая величина — виртуальная работа приложенных сил, к которой прибавлена виртуальная работа сил инерции, причем последняя величина не есть вариация какой-либо функции. Гаусс (1777—1855) предложил замечательную интерпретацию принципа Даламбера, вводящую в этот принцип понятие минимальности. Идею Гаусса можно изложить следующим образом.  [c.130]

Гауссов принцип наименьшего принуждения является, таким образом, истинно минимальным принципом, подобно принципу наименьшего действия притом гауссов принцип проще, так как он не требует интегрирования по времени. Это преимущество, однако, далеко не искупает того недо-  

[c.133]

Резюме. При помощи вариаций особого вида Гауссу удалось преобразовать принцип Даламбера в подлинно минимальный принцип, в котором отыскивается минимум некоторой скалярной величины, названной Гауссом мерой принуждения при этом ускорения рассматриваются как переменные вариационной задачи. Будучи принципом минимума, принцип наименьшего принуждения аналогичен принципу наименьшего действия. Он проще, чем этот последний, так как не требует вариационного исчисления, поскольку отыскивается не минимум определенного интеграла, а минимум обычной функции. Большим недостатком принципа наименьшего принуждения является то, что он требует вычисления ускорений.

Это, вообще говоря, приводит к гораздо более громоздким и трудоемким вычислениям. В то же время в принципе наименьшего действия все выводится- из скалярной функции, не содержащей производных выше первого порядка.  [c.135]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций  

[c.
392]

Мы будем предполагать во всех случаях, что речь идет о материальных системах исключительно с Двусторонними связями, так 4t i для этих систем будет справедливо общее уравнение динамики. M d начнем с изложения принципа наименьшего принуждения или наименьшего усилия Гаусса и принципа прямейшего пути Герца эти принципы не только равносильны принципу виртуальной работы, но й прямо могут быть сведены к тому общему уравнению динамики, для которого они составляют только две новые интерпретации.  [c.387]

I. Принцип наименьшего принуждения или наименьшего усилия Гаусса  [c.387]

S 1- ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ ГАУССА 389  

[c.389]

Таким образом, мы получили принцип Гаусса или, как часто говорят, принцип наименьшего принуждения среди сравниваемых ки-  [c.108]

Это утверждение аналогично принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил (см. 3 главы 3), функция (16) является аналогом принуждения Z.[c.440]

Эта теорема тесно связана с принципом наименьшего принуждения Гаусса ( 4.3). В самом деле, имеем  [c.218]

Доказательство на этом заканчивается. Полученный результат аналогичен неравенству (14.5.3), подобно тому как неравенство (12.4.6) аналогично принципу наименьшего принуждения Гаусса.  

[c.257]

Согласно принципу Гаусса действительное движение совершается с наименьшим принуждением (ускорения точек в действительном движении доставляют функции Z вида (1,138) наименьшее значение). Варьирование ускорений произво/щтся при фиксированном времени и неизменном состоянии. Необходимое условие минимума функции Z имеет вид  [c.60]


Принцип Журдена и принцип наименьшего принуждения, известный также как принцип Гаусса, принадлежат к дифференциальным принципам. Эти принципы вытекают из принципа Даламбера — Лагранжа при частных выборах движения сравнения.  [c.186]

Таким образом, мы получили принцип Гаусса или, как часто говорят, принцип наименьшего принуждения-, среди сравниваемых кинематически возможных движений (для которых r j = г з, Vvi = v 2, Swv =5 о) Зейст бигельиое движение выделяется тем, что для него принуждение Z минимально.

[c.90]

После Лагранжа принципиально новых мыслей было высказано не так много Гамильтон развил оптико-механическую аналогию Гаусс установил принцип наименьшего принуждения в работах Лагранжа, Лапла/са, Пуассона, Пуанкаре, Ляпунова через основные космогонические проблемы стихийно обнаружился принцип устойчивости.  [c.209]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени.  [c.420]

Гамильтона принцип 364, 386, 395, 420 Гаусса принцип наименьшего принуждения 342, 364, 420 Геодезическая линия 392 Геометрия масс 12 Герполодиограф Дарбу и Кёнигса 172 Герполодия 162, 165, 168, 199, 201, 202 Гироскоп 249  [c.484]

Вспомним (т. I, гл. XV, п. 7), что, как это уже отмечалось и в п. 3 предыдущей главы, при изложении принципа наименьшего принуждения Гаусса, двусторонние сряр голономные или неголономные,  [c.501]

Формулировка принципа Гаусса (принципа наименьшего принуждения). Вариационные принципы Даламбера-Лагранжа и Журдена не связаны с понятием экстремальности. Гаусс предложил замечательную модификацию принципа Даламбера-Лагранжа, которая вводит в этот принцип понятие минимальности некоторого выражения. Эта модификация принципа Даламбера-Лагранжа получила название принципа Гаусса, или принципа наименьшего принуждения.  [c.107]


Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Формулировка принципа

Содержание:

Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Формулировка принципа

  • Ученые искали различные способы свести уравнение движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые минимизируются относительно фактического движения системы по сравнению с возможным близким движением. Эта идея выражена главным образом в принципе минимальных действий пункт 486.Затем следует более общий принцип Гамильтона 483. Из этого принципа очень легко вывести уравнение Лагранжа голономной системы, но в случае неголономных систем эти аргументы и выводы уже неверны. Мы имеем дело с принципом минимального принуждения Гаусса. Этот принцип является наиболее распространенным и не вызывает проблем с его применением.

Преимущество этого принципа заключается в том, что он имеет простую аналитическую формулу, которая позволяет свести определение кинетического уравнения любой системы к голономному и неголономному, чтобы найти минимум функции 2 го порядка. Вот начальный перевод статьи Гаусса и Приложение I. комментарий Бертрана X vol. II, с. 357 воспроизвести. В Томе 4 журнала clerses Гаусс опубликовал прекрасную теорему, содержащую общие законы равновесия и движения. Очевидно, самое изящное выражение дано им. Читатели Франции будут благодарны нам, если мы приведем здесь перевод нескольких страниц, посвященных знаменитой геометрии, которая объясняет этот новый принцип.

Сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния, и она, по-видимому, вынуждает точку ее приложения описывать замкнутую кривую. Людмила Фирмаль

Как известно, по принципу виртуальной скорости статические задачи превращаются в чисто математические задачи Цитаты из русской версии LaGrange, analytical mechanics, Volume II, V. S. Goffman, G. N. Reporting by Doina Chiacu Editing by David Gregorio см. 411, State Technical Publishing House, 1950. Примечание, транс Принцип динамики Даррена Бейла меняется на статический.

Таким образом, один основной принцип равновесия или движения существенно не отличается от вышеупомянутых 2 принципов, и каким бы ни был этот основной принцип, его всегда можно рассматривать как более или менее прямой вывод из упомянутых 2 принципов. Поэтому это не означает, что новая теорема не заслуживает внимания. Напротив, всегда интересно и познавательно изучать законы природы с новой точки зрения, будь то для достижения более простой интерпретации конкретной проблемы или для достижения только более точной формулировки.

Великий геометр Лагранжиан, который очень много обосновал науку о движении на основе принципа виртуальной скорости, не упустил возможности усовершенствовать и обобщить принцип движения. mopelte. It речь идет о самом маленьком действии. И, как известно, этот принцип во многих случаях имеет огромное преимущество перед геометрией. Суть принципа виртуальной скорости заключается в том, что, так сказать, этот принцип является общей формулой, решающей задачу статики, и поэтому он может заменить другие принципы. Но он не несет никаких признаков абсолютного доказательства того, что вы будете убеждены, как только привыкнете к его представлению.

С этой точки зрения, основная теорема, которую я пытаюсь Она представляется мне приоритетной более того, она имеет то преимущество, что может одновременно охватывать общие проблемы равновесия и движения. С другой стороны, если кажется более удобным для развития науки и индивидуального исследования перейти от простого к более сложному и от простого закона к более сложному, то нашему уму необходимо обратное движение, чтобы достичь более высокой точки зрения, потому что вся статика представляется ему как частный случай динамики…

Новые принципы включают в себя: Движение системы произвольно связанных и затронутых материальных точек происходит в каждый момент, когда все эти точки свободны, так как принуждение, применяемое между ними и возможным, совершенно совпадает с ним. Э, это было бы бесплатно. т, т, т,… Масса точек а, а, а, а,… Каждая позиция во времени t б, б, б,… Места, где они заняли бы после бесконечно короткого периода dt, приобретенные ими в начале этого периода под влиянием силы и скорости, действующих на них.

Вышеприведенный принцип гласит, что позиции C, c , c , занимаемые этими пунктами, входят в число всех положений, допускаемых наложенными на них облигациями, и что сумма является суммой mbc2 4 t b s 2 + t b s 2 + … Минимальное значение. Равновесие это частный случай общего закона. Возникает, когда нет скорости и итога для точки n + t AI 2 + tpa 17 2 + … Если минимум или, другими словами, система удерживается в статическом состоянии, то соединение оказывается ближе к свободному перемещению всех точек системы в случае удаления соединения, чем движение, которое могло быть разрешено.

Доказательство. В момент времени t точка м занимает положение с координатами x, y и Z. Она имеет скорость, равную 1 го порядка производной X, у, Z, чьи проекции о времени х, г, р, а проекция которой равна 2 ой производной от X. г, з Из координат x, y, z времени наконец, в дополнение к реакции ограничения на нее действует данная сила, и результатом является проекция X, Y, Z. In фактическое движение системы, координаты x, y, z являются функциями времени.  t m занимает позицию a и занимает позицию c в момент t dt. Согласно формуле Тейлора, если вы ограничиваете ее первыми 3 членами, координаты точки c равны х + х ДТ + х ДП. г г Гумбольдт + г, ДП.

Если во времени t точка m становится свободной, то есть если связь внезапно уменьшается, то эта точка называется фундаментальным законом механики С. 69, причем ускорение проекции должно быть равно положению b после интервала Время dt определяется по той же формуле, что и предыдущее one. In Формула, x , y , z должна быть заменена на количество Итак, для координат точки b x + x dt + dt2, y y dt + dt2, z + z dt + dP существует проекция в векторе cb КБ Кроме того, проекция вектора mcb, полученного умножением cb на массу, равна г ст2 х МХ, г к МУ ст2, ст2 з МЗ. Поэтому на основе общего уравнения динамики С х МХ 8х + у му 6й + з МЗ 8з = 0.

  • То есть сумма работы вектора в формате mcb будет равна нулю для любых возможных перемещений, допускаемых ограничением.  г, г,…Позиция с, С, с,…Точка m, m , m , которая расположена бесконечно близко и без разрыва связи системы….Вы также можете сделать снимок с помощью камеры. работа вектора МКБ по возможному движению Св Т КБ Су. Количество этих штук необходимо Си Су. Равны нулю во всех положениях y, y , y Но это понятно yb2 уу + КБ 2 = yy2 + в FB2 2си КБ. И так оно и есть. м Б2 = 2lm кб2 + 2lm РФ 2С СВ с. Потому что последняя сумма равна нулю м yb2 СВ2 = м cy2 Отсюда и разница 2 С с, с,…Случай Всегда положительный.

Точка y, y , y , y ,…Если совпадают только точки С, то они равны нулю. Итого 2t cP1 всегда является минимальным значением по мере необходимости. Аналитическая формулировка принципа Гаусса.

Ту же теорему можно выразить в следующем виде: кинетический момент системы относительно точки о равен всей массе в предположении, что она сосредоточена в центре тяжести. Людмила Фирмаль

Исходя из приведенной выше формулы для проекции вектора cb, она выглядит следующим образом: В другом движении, которое допускают облигации, точкой того же периода dt является позиция m, y,…. Если ускорение достигнуто, другими значениями являются x, y и r .Для облигаций, вы найдете также Потому что 2m bcr всегда меньше, чем 2 m T2.Тогда вы можете сказать Из всех ускорений, вызванных сцеплением, фактическое ускорение x , y , r в каждый момент времени t Различные точки в системе будут точками для обеспечения минимальной функциональности х, г, г,…2 го числа Это аналитическая формулировка принципа Гаусса. А. из Лейпцига.

Майер заимствует следующую историко библиографическую информацию: аналитическая формулировка принципа Гаусса была упомянута Якоби в 1 из неопубликованных лекций. Независимо от Якоби, оно было дано компании Schaeffler Шеффлер, третья группа derbmir hichen З. С. С. 197.Он был воспроизведен компанией Mach Лейпциг, умереть механик Лейпциг, 1883, Герц gesammerte Верке, Иллинойс и Больцмана Лейпциг текстильных умереть Принсипи дер мечник, Лейпциг, 1897.

Это было очень давно.1 Уиллард Гиббс, основное уравнение динамики, американский журнал математики, Том II, 1879 в своей работе Уиллард Гиббс проиллюстрировал применение этой аналитической формулировки к различным проблемам, особенно к проблеме вращения твердого тела. Наконец, Мейер использовал эту фразу в интересной статье, озаглавленной Beibenchengen s Beeung der Aufstellung der Bewegung der Bewegung Rebeungslose Punktsysteme, beingungsungleichungen untcrworfen sind und zur Regulierung der Stbsse. physikalischen классе дер kbnigl. Сакс. Гезельшафт дер wissenschaften ЗУ Лейпциг. Sitzung vom 3 Jul 1889.

Вы также можете обратиться к статье Helder со сравнением различных принципов NoeIder, Ueber die Principien von Гамильтон и мауперти, K Gesellschaft der Wissen schaften zu Gottingen, 1896, Heft 2.Наконец, реконструкция бактоломед цвангских метаморфоз в Вене, Wis senschaften Kasenlichen Akademie der Kaiserlichen Akademie der Wien, vol. Обратите внимание на статью СХ, Часть II, 1901 4. Общая форма уравнения dynamics. In заключение следует отметить, что аналитическая формулировка принципа Гаусса позволяет связать общую форму уравнений вышеуказанной динамики стр. 

Наиболее распространенными возможными перемещениями, допускаемыми муфтой, являются изменения K 8ur 8y2…. . дайте любую систему, определенную adk. Для любой точки в системе существуют: 8х = fl1891H А28 2 + … + akZqk, 8У = 18 1 4 f 26 24… 4 ifc8 сказал он. 82 = c, 8, + cs 8 2… 4 ck bqk Для суммы возможных эффектов приложенных сил S 5 8×4 f, 83 4 28z = Ql8g 4 Q2 8 24 4 Q 4 Куда Ци = С. АИ 4 Ф ху 4 CjZ. Увеличение q, q2, с другой стороны, оборачивается фактическим движением системы за временной интервал dt.

Затем, чтобы на самом деле переместить точки x, y, z есть следующие: ДХ aldql a2dq2… akdqk АДТ, ды Би dqi 4 Б2 dq2 4… 4 БК dqk 4 Б, ДТ, ДЗ = Cidqi c2dq2… Джей СК dqk Джей с ДТ. Разделите эти уравнения на dt и примените к производным нотацию Лагранжа. Что взять х = Ми4 О2 4 4 М 4. = М14 4 4 М14. 2 = ки 4 ка 4 М 4 х Итак, если мы снова дифференцируемся во времени, мы получим следующее: =ми4 mJ4 4 МИ4 я 4 Мг4 + У4 4 2 = s19 4 Ma 4 4 M 4 1 2, М. 1959. См. также статью в книге вариационные принципы механики Подставляя значение 2 в сумму, представленную R 1, сумма q , q … это будет 2 я функция относительно в qk.

Возможное ускорение, основанное на Формуле 2 Точки x, y, z определяются различными значениями: q , g .. благодаря дь. Значение равно q , q … дь если уравнять частную производную суммы R к нулю относительно q, то получится значение, соответствующее действительному движению. вопрос.. вопрос к Это связано с тем, что фактическое ускорение точки минимизирует сумму R. запишем эту сумму. Р ИС я + Г Л Я 2 а с J = + ий + Ж + 3 Здесь неписаные термины не зависят от x, y и Z. S = I S Y = 7 2 + Z + Система ускоренной энергетики. Между тем, сформируйте сумму 2 х + о + зз. Если в нем вы заменили его на x , y и значение 2, то эта сумма будет в виде: Пр + + Qk4k Не Q членов, вопрос. дь не пишет.

Сейчас… Чтобы получить уравнение движения, q, q это о частной производной…. q k должно быть равно нулю = С. .. Qkqk. Таким образом, мы получаем уравнения, оцененные в 465, DR,= o. рр,=……….Д а=о о 1 oqi oqk Это справедливо для всех систем связи и параметров. Энергия ускорения s это функция, характеризующая систему. Объем Q Q2….

Смотрите также:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Если вам потребуется заказать теоретическую механику вы всегда можете написать мне в whatsapp.

ГАУССА ПРИНЦИП — это 📕 что такое ГАУССА ПРИНЦИП

ГАУССА ПРИНЦИП, принцип наименьшего принуждения, один из вариационных принципов механики, согласно к-рому для меха-нич. системы с идеальными связями (см. Связи механические) из всех кинематически возможных, т. е. допускаемых связями, движений, начинающихся из данного положения и с данными начальными скоростями, истинным будет то движение,

для к-poro «принуждение» Z является в каждый момент времени наименьшим. Установлен К. Гауссом (1829).

Физ. величина, наз. «принуждением», вводится следующим образом. Свободная материальная точка с массой т при действии на неё заданной силы F будет иметь ускорение F/mж если же на точку наложены связи, то её ускорение при действии той же силы F станет равным какой-то др. величине w. Тогда отклонение точки от свободного движения, вызванное действием связи, будет зависеть от разности этих ускорений, т. е. от Величину Z, пропорциональную квадрату этой разности, и наз. «принуждением». Для одной точки

а для механич. системы Z равняется сумме таких величин.

Рассмотрим, напр., точку, к-рая начинает двигаться вдоль гладкой наклонной плоскости из положения А без начальной скорости (см. рис.). Для неё кинематически возможно любое перемещение АВ, AB1, АВ2,… в этой плоскости с какими-то ускорениями w, w1, w2, …; при свободном же падении точка совершила бы перемещение AС вдоль вертикали с ускорением g. Тогда отклонения точки от свободного движения изобразятся отрезками СВ, СВ1, СВ2,…, наименьшим из к-рых будет отрезок СВ, перпендикулярный к наклонной плоскости. Следовательно, «принуждение» Z, пропорциональное квадратам СВ, СВ,, СВ2,. .., будет наименьшим при движении вдоль линии наименьшего ската AD. Это и будет истинное движение точки, происходящее с ускорением

Г. п. пользуются для составления ур-ний движения механич. систем и изучения свойств этих движений.

Лит. см. при ст. Вариационные принципы механики.

Теорема Гаусса и принцип суперпозиции

Теорема Гаусса является одним из фундаментальных законов электродинамики, структурно входящим в систему уравнений еще одного великого ученого – Максвелла. Она выражает связь между потоками напряженности как электростатических, так и электродинамических полей, проходящими через поверхность замкнутого типа. Имя Карла Гаусса звучит в научном мире не менее громко, чем, например, Архимеда, Ньютона или Ломоносова. В физике, астрономии и математике можно найти не так уж много сфер, развитию которых самым непосредственным образом не посодействовал этот гениальный немецкий ученый.

Теорема Гаусса сыграла ключевую роль в изучении и понимании природы электромагнетизма. По большому счету она стала неким обобщением и в некоторой степени интерпретацией известного закона Кулона. Это как раз тот случай, не такой уж редкий в науке, когда одни и те же явления можно описать и сформулировать по-разному. Но теорема Гаусса не только приобрела прикладное значение и практическое применение, она помогла взглянуть на известные законы природы в несколько другом ракурсе.

В некотором роде она поспособствовала грандиозному прорыву в науке, заложив фундамент современных знаний в области электромагнетизма. Так что же собой представляет теорема Гаусса и каково ее практическое применение? Если взять пару статичных точечных зарядов, то поднесенная к ним частица будет притягиваться или отталкиваться с силой, которая равна алгебраической сумме величин всех элементов системы. При этом напряженность общего совокупного поля, образованного в результате такого взаимодействия, будет суммой отдельных его компонентов. Это соотношение получило широкую известность в качестве принципа суперпозиции, позволяющего точно описать любую систему, созданную разновекторными зарядами, независимо от их общего числа.

Однако когда таких частиц очень много, у ученых поначалу при расчетах возникали определенные трудности, которые невозможно было разрешить применением закона Кулона. Преодолеть их помогла теорема Гаусса для магнитного поля, которая, впрочем, справедлива для любых силовых систем зарядов, имеющих убывающую напряженность, пропорциональную r −2. Суть ее сводится к тому, что произвольное число зарядов, окруженное замкнутой поверхностью, будет иметь полный поток напряженности, равный суммарной величине электрического потенциала каждой точки данной плоскости. При этом принципы взаимодействия между элементами в расчет не принимаются, что сильно упрощает вычисления. Таким образом, данная теорема позволяет рассчитать поле даже с бесконечным числом носителей электрического заряда.

Правда, в действительности это осуществимо лишь в некоторых случаях их симметричного расположения, когда имеется удобная поверхность, через которую легко вычисляется сила и напряженность потока. Например, пробный заряд, размещенный внутри проводящего тела шарообразной формы, не будет испытывать ни малейшего силового воздействия, поскольку показатель напряженности поля там равен нулю. Способность проводников выталкивать из себя различные электрически поля объясняется исключительно наличием в них носителей заряда. В металлах эту функцию выполняют электроны. Такие особенности сегодня широко используются в технике для создания различных пространственных областей, в которых не действуют электрические поля. Эти явления прекрасно объясняет теорема Гаусса для диэлектриков, влияние которых на системы элементарных частиц сводится к поляризации их зарядов.

Чтобы создать такие эффекты, достаточно окружить определенную область напряженности металлической экранирующей сеткой. Так предохраняют от воздействия электрических полей чувствительные высокоточные приборы и людей.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

| на главную | доп. материалы | физика как наука и предмет | электричество и электромагнетизм |

Организационные, контрольно-распорядительные и инженерно-технические услуги
в сфере жилой, коммерческой и иной недвижимости. Московский регион. Официально.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e0, т. е.

                                                  (81.1)

Знак потока совпадает со знаком заряда Q.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:  Поэтому

Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi /e0. Следовательно,

                                        (81.2)

Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0. Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью r=dQ/dV, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

                                                                       (81.3)

Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так:


§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса . Том 2. Электромагнетизм и материя

Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика[6] и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть х, у, z, ребро куба в направлении х равно ?x, ребро куба (а точнее, бруска) в направлении у равно ?y, а в направлении z равно ?z. Мы хотим найти поток векторного поля С через поверхность куба. Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фиг. 3.5).

Фиг. 3.5. Вычисление потока вектора С из маленького кубика.

Поток наружу сквозь нее равен x-компоненте С с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен

Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением Сх в центре грани 1эту точку мы обозначили (1), умноженным на площадь грани ?y?z:

Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен

Величины Cx(1) и Сх(2), вообще говоря, слегка отличаются. Если ?х достаточно мало, то можно написать

Существуют, конечно, и другие члены, но в них входит (?x)2 и высшие степени ?x, и в пределе малых ?x ими запросто можно пренебречь. Значит, поток сквозь грань 2 равен

Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем

Производную нужно вычислять в центре грани 1, т. е. в точке [x, y+(?y/2), z+(?z/2)]. Но если куб очень маленький, мы сделаем пренебрежимую ошибку, если вычислим ее в вершине (х, у, z).

Повторяя те же рассуждения с каждой парой граней, мы получаем

а

А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем, что

Сумма производных в скобках как раз есть ?·С, а ?x?y?z=?V (объем куба). Таким образом, мы можем утверждать, что для бесконечно малого куба

(3.17)

Мы показали, что поток наружу с поверхности бесконечно малого куба равен произведению дивергенции вектора на объем куба. Теперь мы понимаем «смысл» понятия дивергенции вектора. Дивергенция вектора в точке Р — это поток С («истечение» С наружу) на единицу объема, взятого в окрестности Р. Мы связали дивергенцию С с потоком С из бесконечно малого объема. Для любого конечного объема можно теперь использовать факт, доказанный выше, что суммарный поток из объема есть сумма потоков из отдельных его частей. Иначе говоря, мы можем проинтегрировать дивергенцию по всему объему. Это приводит нас к теореме, согласно которой интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности может быть представлен также в виде интеграла от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри поверхности. Теорему эту называют теоремой Гаусса.

ТЕОРЕМА ГАУССА

(3.18)

где S — произвольная замкнутая поверхность, V — объем внутри нее.

(PDF) Размышления о принципе наименьшего ограничения Гаусса

DOI: 10.1007/s10957-005-7496-7

журнал теории и приложений оптимизации: Vol. 127, № 3, стр. 475–484, декабрь 2005 г. (© 2005)

Размышления о принципе наименьшего ограничения Гаусса

Ю. Ю. Фан, 1Р. Э. Калаба, 2H. H. Natsuyama3 и F.E. Udwadia4

Abstract. Принцип наименьшего ограничения Гаусса выведен с новой точки зрения. Затем выводится расширенный принцип наименьшего ограничения

для случая неидеальных ограничений.Наконец, намечается версия

принципа для общих недоопределенных систем.

Везде понятие обобщенных

обратных матриц играет заметную роль.

Ключевые слова. Принцип наименьшего ограничения Гаусса, неидеальные неголономные ограничения, обобщенные обратные матрицы.

1. Введение

В своей эпохальной статье 1829 г. Гаусс (ссылка 1) начал с замечания

о том, что принцип Даламбера сводит всю динамику к статике и что

принцип виртуальных произведений сводит всю статику к математической задаче

.Таким образом, не может быть никакого нового принципа механики, который не включал бы уже

в эти два. Тем не менее, он заметил, что каждый новый принцип

не бесполезен, особенно если он может пролить новый свет на механические

процессы и, возможно, сделать решение некоторых задач более простым для

получения. Затем он сформулировал свой собственный новый принцип, принцип

наименьшего ограничения, сводящий всю механику, динамику и статику к единому принципу.С момента своего провозглашения он стал краеугольным камнем аналитической динамики. Его собственный вывод, основанный на двух вышеупомянутых

1 доцентах кафедры гражданского и экологического строительства Школы инженерии

Калифорнийского университета в Дэвисе, Калифорния.

2 Профессор кафедры биомедицинской инженерии и экономики Южного университета

Калифорния, Лос-Анджелес, Калифорния.

3 Почетный профессор кафедры системной инженерии Калифорнийского государственного университета, Фуллер-

тонн, Калифорния.

4 Профессор, аэрокосмическая промышленность и машиностроение, гражданское строительство, математика и

факультеты управления информацией и операциями, Университет Южной Калифорнии,

nia, Лос-Анджелес, Калифорния.

475

0022-3239/05/1200-0475/0 © 2005 Springer Science+Business Media, Inc. Вместо того, чтобы вычислять жесткие неприятные интегралы, мы можем использовать закон Гаусса, чтобы упростить вычисления для хороших симметричных случаев.

Поверхности Гаусса

Для начала определим поверхность Гаусса. Гауссова поверхность — это ЗАМКНУТАЯ поверхность, содержащая некоторый электрический заряд. Например, ниже у нас есть электрон, представленный знаком минус, и поверхность Гаусса, представленная пунктирными линиями.

Поверхность Гаусса не обязательно имеет геометрические ограничения; однако выбор высокосимметричных поверхностей помогает решить проблему. Если сценарий задачи одинаков со всех сторон (т. е. независимо от того, под каким углом вы смотрите на проблему, она одна и та же), сферические координаты и сферические поверхности Гаусса могут помочь уменьшить сложность задачи.Если сценарий задачи имеет круговую симметрию вдоль оси, могут помочь цилиндрические координаты и поверхности.

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции утверждает, что в линейной системе чистая реакция двух или более стимулов представляет собой сумму реакций на эти стимулы по отдельности.

Пример 1: (Прогрев)

Твердая изолирующая сфера с зарядом +q и радиусом a окружена проводящей оболочкой с неизвестным зарядом и радиусом b, где b > a.Электрическое поле вне оболочки равно 0. Найти электрическое поле внутри оболочки и плотность заряда оболочки. Предположим, что заряд +q равномерно распределен по объему шара.

Сначала начнем с более легкой части задачи. Мы можем сказать, что задача имеет сферическую симметрию (в конце концов, это однородные сферы). Следовательно, мы можем нарисовать сферическую гауссову поверхность радиуса r > b .

Мы также знаем, что электрическое поле вне оболочки равно 0, как указано в условии задачи (как удобно…).Следовательно, интеграл принимает вид:

И мы можем найти плотность заряда, как показано выше.

Далее мы хотим найти электрическое поле внутри проводящей оболочки. Начнем с рисования еще одной сферической поверхности внутри оболочки, но вне сферы заряда:

Мы понимаем, что заряд, заключенный в поверхности, всегда равен +q при b > r > a, а электрическое поле получено выше. Обратите внимание, что оно похоже на поле, создаваемое точечным зарядом (не слишком существенное для большинства приложений, но результат предполагает, что точечные заряды можно приблизительно получить, используя небольшие сферы заряда).

Наконец, мы хотим найти электрическое поле внутри сферы заряда (она тоже внутри оболочки). Начнем с рисования еще одной сферической поверхности внутри сферы заряда. Нам также нужно быстро рассчитать плотность заряда сферы, разделив заряд на объем сферы. Это необходимо, потому что, в отличие от предыдущих случаев, вся сфера не заключена в поверхность Гаусса; следовательно, заключенный заряд будет зависеть от того, насколько далеко мы находимся от центра сферы заряда.


Пример 2: (Сложнее)

(Подсказка — это принцип суперпозиции.)

Как вы понимаете, дырка немного усложняет задачу, но мы не можем с ней справиться. Мы должны быть в состоянии найти электрическое поле, создаваемое твердым цилиндром с равномерной плотностью заряда (надеюсь), поэтому мы хотим попытаться упростить нашу задачу, используя принцип суперпозиции, чтобы превратить задачу в простые цилиндры. Если дырка имеет нулевой заряд, мы можем просто добавить большой цилиндр с плотностью заряда ρ и маленький цилиндр с плотностью заряда ρ (представьте себе нейтральный атом.У него есть протоны и электроны, каждый из которых имеет свой индивидуальный заряд, но в сумме дает 0). Поскольку цилиндры имеют разные центральные оси, мы обозначаем их разными нижними индексами, как показано ниже.

Мы хотим найти электрическое поле внутри отверстия, поэтому начнем с рисования большего цилиндра и соответствующей поверхности Гаусса.

Используя закон Гаусса и вычисляя интеграл, мы находим электрическое поле: цилиндр будет иметь аналогичный интеграл, только с отрицательным знаком из-за плотности заряда и другой переменной радиуса.

Далее мы хотим связать векторы положения, чтобы мы могли сложить их вместе. Мы знаем, что центр отверстия смещен на расстояние b, поэтому мы находим следующее:

И, наконец, сложив электрические поля, мы получаем следующее:

Что является константой.

Резюме

Итак, в этой статье мы рассмотрели использование закона Гаусса в сферически и цилиндрически симметричных случаях. Мы также рассмотрели принцип суперпозиции и то, как его применить к несколько более сложным распределениям зарядов.{й масс.

Принцип Гаусса эквивалентен принципу Даламбера.

Принцип наименьшего ограничения качественно подобен принципу Гамильтона, который утверждает, что истинный путь, по которому движется механическая система, является экстремумом действия. Однако принцип Гаусса является истинным (локальным) «минимальным» принципом, тогда как другой принцип является «экстремальным».

Принцип наименьшей кривизны Герца

Принцип наименьшей кривизны Герца является частным случаем принципа Гаусса, ограниченным двумя условиями отсутствия приложенных сил и равенства всех масс.{2}

Поскольку sqrt{K} является локальной кривизной траектории в 3N-мерном пространстве координат, минимизация K эквивалентна нахождению траектории наименьшей кривизны (геодезической), которая согласуется с ограничениями. Принцип Герца также является частным случаем формулировки Якоби принципа наименьшего действия.

ee также

* Уравнение движения Аппеля

Литература

* Gauss CF. (1829) «Журнал Крелла ф.Math., 4 , 232.

* Гаусс CF. «Werke», 5 , 23.

* Hertz H. (1896) «Принципы механики», в «Miscellaneous Papers», vol. III, Макмиллан.

Внешние ссылки

* [ http://eom.springer.de/g/g043500.htm ] Принцип наименьшего ограничения Гаусса
* [ http://eom.springer.deom.dem.springer.de /H/h047140.htm ] Принцип наименьшей кривизны Герца

Фонд Викимедиа.2010.

Родственные слова — Найдите слова, связанные с другим словом

Как вы, наверное, заметили, слова, относящиеся к термину, перечислены выше. Надеемся, что сгенерированный список слов, связанных с терминами, приведенный выше, удовлетворит ваши потребности.

П.С. Есть некоторые проблемы, о которых я знаю, но не могу исправить в настоящее время (потому что они выходят за рамки этого проекта). Основная из них заключается в том, что отдельные слова могут иметь много разных значений (значений), поэтому, когда вы ищете такое слово, как означает , движок не знает, какое определение вы имеете в виду («хулиганы означают » против .«что вы имеете в виду ?» и т. д.), поэтому учтите, что ваш поисковый запрос для таких слов, как термин, может быть немного двусмысленным для движка в этом смысле, и возвращаемые связанные термины могут отражать это. Вам также может быть интересно: что за слово такое ~термин~?

Также проверьте ~term~ слова на relatedwords.io для другого источника ассоциаций.

Связанные слова

Related Words работает на нескольких разных алгоритмах, которые соревнуются, чтобы получить свои результаты выше в списке.Один из таких алгоритмов использует встраивание слов для преобразования слов в многомерные векторы, которые представляют их значения. Векторы слов в вашем запросе сравниваются с огромной базой данных предварительно вычисленных векторов, чтобы найти похожие слова. Другой алгоритм просматривает Concept Net, чтобы найти слова, которые имеют какое-то значимое отношение к вашему запросу. Эти и некоторые другие алгоритмы позволяют сервису Related Words давать вам… родственных слов, а не просто прямые синонимы.

Помимо поиска слов, связанных с другими словами, вы можете вводить фразы, и это должно дать вам связанные слова и фразы, если введенная вами фраза/предложение не слишком длинная.Вероятно, время от времени вы будете получать какие-то странные результаты — такова природа движка в его текущем состоянии.

Особая благодарность авторам открытого исходного кода, который был использован для составления этого списка тематических слов: @Planeshifter, @HubSpot, Concept Net, WordNet и @mongodb.

Предстоит еще много работы, чтобы заставить его давать неизменно хорошие результаты, но я думаю, что он находится на той стадии, когда он может быть полезен людям, поэтому я его и выпустил.

Обратите внимание, что Related Words использует сторонние скрипты (такие как Google Analytics и рекламные объявления), которые используют файлы cookie. Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с политикой конфиденциальности.

Принцип Гаусса с ограничениями-неравенствами для мультиагентной навигации и управления

Журнальная статья (Журнальная статья)

Многоагентные навигационные системы открывают возможности для многих приложений благодаря своей гибкости и взаимодействию.В любой многоагентной навигационной системе очень важно строго предотвращать фактические столкновения между агентами. В этой статье мы представляем решение задачи двухмерной многоагентной навигации с предотвращением столкновений. Наше решение этой проблемы основано на новом расширении принципа наименьшего ограничения Гаусса (GPLC), в котором фиксированный набор строгих ограничений равенства заменяется изменяющимся во времени набором активных ограничений неравенства. Насколько нам известно, это первый пример, который расширяет GPLC с динамическим включением и стабилизацией ограничений активного неравенства, а также с задержкой и насыщением исполнительного механизма.При этом динамика бесколлизионной мультиагентной системы удовлетворяет условиям Каруша-Куна-Таккера. Активные ограничения неравенства обеспечивают предотвращение столкновений, следование за лидером и поведение агломерации, и они стабилизируются с помощью подхода Баумгарте к стабилизации ошибок. Мы показываем, что в плотных конфигурациях позиционное расположение агентов может привести к линейно зависимым ограничениям, и мы предлагаем специализированные решения, включающие QR-разложение и регуляризацию. Действенность и эффективность предлагаемого метода демонстрируют анализ размерностей наихудшего сценария и численные исследования до 100 агентов, отслеживающих заданного виртуального лидера.

Полный текст

Герцог Авторы

Процитированные авторы

Дата публикации

Опубликовано в

Том/Выпуск

Начальная/конечная страница

Электронный международный стандартный серийный номер (EISSN)

Международный стандартный серийный номер (ISSN)

Цифровой идентификатор объекта (DOI)

Источник цитирования

© 2022 Университет Дьюка | Условия использования | Работает на ВИВО

Характеристика составного многопараметрического гамма-распределения Эрмита с помощью принципа Гаусса

Мы рассматриваем класс тех распределений, которые удовлетворяют принципу Гаусса (оценкой максимального правдоподобия среднего является выборочное среднее) и имеют параметр, ортогональный среднему значению.Показано, что этот так называемый «средний ортогональный класс» замкнут относительно свертки. Предыдущая характеристика составной гамма-характеристики случайных сумм пересматривается и уточняется. Получена новая характеристика составного распределения с многопараметрическим распределением счета Эрмита и распределением серьезности гамма-излучения.

1. Введение

Тема характеристик распределения по максимальному правдоподобию имеет давнюю историю и является активной областью современных математических наук.Он касается характеристики (класса) распределения (распределений) вероятностей посредством структуры оценки максимального правдоподобия (MLE) одного или нескольких интересующих параметров (например, местоположения, масштаба и т. д.). Отправной точкой является известный результат Гаусса [1] об основах теории наименьших квадратов (см., например, [2], [3, послесловие, стр. 208 и 215]). Дано семейство местоположений с непрерывной производной. Если оценкой максимального правдоподобия параметра местоположения является выборочное среднее, то распределение является нормальным.Этот важный результат обсуждался Пуанкаре [4, глава 10], Тейчером [5], Фергюсоном [6, 7], Маршаллом и Олкиным [8], Бондессоном [9], Аццалини и Гентоном [10], многими другими авторами. авторы. Свойство, состоящее в том, что MLE среднего является выборочным средним, было названо Кэмпбеллом [11] принципом Гаусса (см. также [12, 13] и ссылки в них). Ниже приводится краткий отчет о настоящем вкладе.

В рамках многопараметрических распределений рассмотрим «средний ортогональный класс» тех распределений, которые помимо принципа Гаусса имеют такую ​​параметризацию, что среднее ортогонально некоторому вектору параметров, свойству, которому всегда может удовлетворять Амари [14], Раздел 8.Этот класс был рассмотрен Спроттом [15]. Характеристика среднего ортогонального класса через кумулянтную производящую функцию (cgf) была сформулирована Хюрлиманном [16]. Обобщая результат Хадсона [17], в теореме 3 показано, что этот класс замкнут относительно свертки. Раздел 3 посвящен характеристике случайных сумм через средний ортогональный класс. Хюрлиманн [18] установил, что среднемасштабная тяжесть в сложной модели обязательно имеет гамма-распределение при условии, что распределение подсчета и распределение случайной суммы принадлежат среднему ортогональному классу, и может быть решено некоторое дополнительное дифференциальное уравнение с параметрами в частных производных.Продолжением этой конструкции для индивидуальной модели теории риска является Хюрлиманн [19]. Мы уточняем и упрощаем исходное доказательство, чтобы получить характеристику, которая далее используется в разделе 4. Основываясь на результате Пуига и Валеро [20], мы выводим в теореме 17 наиболее строгую характеристику, которая позволяет компаундировать гамма-распределение при семейство данных одиночного подсчета, а именно многопараметрическое распределение Эрмита. Это требует, чтобы распределение количества было закрытым при свертке и биномиальной подвыборке.

2. Распределения со средним ортогональным свойством

Позвольте быть случайной величиной, распределение которой зависит от вектора параметров, где среднее значение функционально не зависит от , то есть , . Логарифмическая вероятность обозначается . Всюду мы предполагаем, что кумулянтная производящая функция (cgf) существует и обозначает дисперсию через . Предполагается выполнение стандартных условий регулярности для оценки максимального правдоподобия. Вектор обозначает случайную выборку размера , которая реализует случайную величину , и обозначает среднее значение выборки.Нас интересует класс распределений, которые удовлетворяют принципу Гаусса (оценкой максимального правдоподобия среднего является выборочное среднее), то есть такие, что . Распределение принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда существуют функции , , , такие, что выполняются следующие эквивалентные уравнения в частных производных (например, [15–17]):

Определение 1. Среднее значение называется ортогональным вектору параметров , обозначаемому , если он имеет .

Первоначальной мотивацией для ортогональности параметров является улучшение оценки максимального правдоподобия путем репараметризации.В классе количество уравнений максимального правдоподобия уменьшается на единицу, а ортогональность параметров снижает часто высокую корреляцию между MLE параметров, поскольку MLE ортогональных параметров асимптотически некоррелированы. Действительно, ожидания в (2) являются элементами (ожидаемой) информационной матрицы Фишера, которая определяет асимптотическую ковариационную матрицу . В этом отношении нас интересует подкласс всех распределений, удовлетворяющих, кроме свойства ортогональности в среднем .Этот так называемый средний ортогональный класс характеризуется следующим.

Теорема 2 (Характеризация среднего ортогонального класса). Позвольте быть случайной величиной с cgf, удовлетворяющим вышеупомянутым предположениям. Тогда это имеет место тогда и только тогда, когда выполняется следующее квазилинейное уравнение в частных производных:

Доказательство. Это показано у Хюрлимана [16].

Хадсон [17, теорема 1] показал, что класс замкнут относительно свертки.На самом деле инвариантность свертки сохраняется при более строгом свойстве ортогональности в среднем.

Теорема 3 (Сверточная инвариантность среднего ортогонального класса). Если независимы, то . Точнее, если имеет cgf , с , то cgf , с , и , удовлетворяет (2) и каждый имеет , .

Доказательство. Без ограничения общности считаем, что . Так как и можно выразить как функцию через преобразование параметра , . Так как и , то получается откуда следует результат из (2) теоремы 2.

Пример 4. Биномиальные случайные величины и их свертки относятся к классу . Для двух биномов это показано у Хюрлимана [16, пример 2] (см. также [21]). Для произвольного числа биномов это выводится в Приложении Хадсона [17].

3. Средняя ортогональная характеристика составного гамма-распределения

Рассмотрим случайные суммы типа где s — независимые и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины, а — счетная случайная величина, определенная на неотрицательных целых числах, которая не зависит от s.Среднее значение и дисперсия , , и обозначаются, соответственно, через , , , , и , . Коэффициент вариации обозначается . В некоторых приложениях удобно масштабировать серьезность по среднему значению таким образом, чтобы средняя масштабированная серьезность имела среднее значение . Полученная сумма называется среднемасштабным соединением случайной суммы. Составная модель среднего масштаба имеет важные приложения для страхового риска. Это было изучено в Hürlimann [18], который установил, что средняя масштабированная тяжесть обязательно имеет гамма-распределение при условии, что случайные величины и принадлежат классу ортогональных средних значений, и может быть решено некоторое дополнительное дифференциальное уравнение с параметрами в частных производных.Продолжением этой конструкции для индивидуальной модели теории риска является Хюрлиманн [19]. Мы уточняем и упрощаем исходное доказательство, чтобы получить характеристику (4), которая будет использоваться в разделе 4. В частности, (3.20) в работе Хюрлимана [18] является не следствием, а предположением. Поскольку это уравнение выполняется в приведенных примерах, эта ошибка не вредит полученному результату, но должна быть исправлена ​​с математической логической точки зрения. Также там будет упрощено доказательство леммы 7 (доказательство леммы 8 ниже).

Теорема 5 (составная гамма-характеристика). Позвольте быть счетной случайной величиной с cgf . Предположим, что существует взаимно однозначное преобразование координат, отображающее такое, что , и установите . Предположим, что cgf серьезности существует, и пусть будет cgf случайной суммы . Предположим, что cgf средней серьезности по шкале функционально не зависит от , и устанавливается , и . Если и , то гамма распределена с cgf .

Чтобы показать это, необходимы некоторые предварительные действия. Сначала рассмотрим условия, при которых .Учитывая производящую функцию вероятности (pgf) , очень полезно рассмотреть связанный с ней так называемый кумулянт pgf, определяемый формулой Данное имя происходит от следующего серийного представления cgf:

Замечание 6. Последовательность , , является единственным решением системы уравнений (например, [22, следствие 2], [23] и [24, теорема 1]): Если , , распределение является составным пуассоновским с распределением параметров и серьезности , .В противном случае говорят о так называемом псевдосоставном представлении распределения Пуассона .

Лемма 7. Пусть — считающая случайная величина с cgf вида (7). Предположим, что существует однозначное преобразование координат, отображающее , и установите . Тогда with эквивалентно следующим условиям:

Доказательство. Условие (9) является переформулировкой теоремы 2. Применяя цепное правило дифференциального исчисления, это условие преобразуется в Теперь по приведенной ниже лемме 8 и цепному правилу имеем Подстановка в (12) показывает, что Утверждения (10) и (11) следуют с использованием представления (7).

Лемма 8. Если , то имеет место уравнение в частных производных с параметрами.

Доказательство. Из представления (7) следует, что , . Теперь, используя (7), видно, что (9) эквивалентно , . Следует, что .

Доказательство теоремы 5. Позвольте быть производящей функцией момента . Выражается в терминах средней серьезности по шкале. Соотношение (7) для cgf дает разложение в ряд: По теореме 2 имеет место тогда и только тогда, когда выполняется уравнение.При представлении в виде ряда для и предположении , это уравнение эквивалентно следующему условию (используйте не зависящее от ): Теперь по лемме 7 и (10) имеем тождество (используем правило дифференциальной цепочки) что вместе с означает, что Подставив в приведенное выше выражение, получим обыкновенное дифференциальное уравнение: единственное решение которого . Так как видно, что является cgf гамма-распределенной случайной величины.Доказательство завершено.

Доказательство использует так называемую естественную параметризацию составного гамма-распределения. Интересно получить явные параметры, ортогональные средним значениям и . По предположению у каждого есть , а так как гамма-распределение, у одного есть с . Остается построить вектор параметров, ортогональный среднему значению такой, что где надо определить. Эта задача может быть решена единым образом для многих счетных распределений (см. [18, § 4]).Для иллюстрации метода достаточно рассмотреть здесь один пример.

Пример 9 (составное отрицательное биномиальное гамма-распределение). Позвольте , , , быть отрицательной биномиальной случайной величиной. Его кумулянт pgf (6) читает , . Имеет место следующее тождество (см. [18, уравнение (4.7)]): что подразумевает для этого . Вместе это показывает, что (10) выполняется. Поэтому имеем и . Теперь по теореме 5 составной отрицательный бином будет составной отрицательной биномиальной гаммой, если и выполняется.Последнее уравнение, записанное через параметр , , эквивалентно условию . При этом получается дифференциальное уравнение, имеющее решение для некоторого . В координатах эта константа равна Так как надо иметь .

4. Средняя ортогональная характеристика составного многопараметрического гамма-распределения Hermite

Средняя ортогональная характеристика составного гамма-распределения допускает большое разнообразие распределений данных подсчета в среднем ортогональном классе.Чтобы еще больше сократить возможный набор распределений счетчиков, которые можно использовать, можно запросить характеристики в терминах дополнительных предположений. Например, Puig [25] и Puig и Valero [26] характеризуют распределения данных счета, удовлетворяющие принципу Гаусса и некоторым понятиям аддитивности, которые с помощью теоремы 5 могут быть переведены в характеристики составных гамма-распределений. Основываясь на результате Пуига и Валеро [20], мы получили наиболее строгую характеристику, которая позволяет скомпоновать гамма-распределение в рамках одного семейства данных счета, а именно многопараметрического распределения Эрмита.Чтобы показать это, необходимы некоторые дополнительные предварительные действия.

Определение 10. Пусть — считающая случайная величина, пусть — независимые и одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины с вероятностью успеха , и пусть не зависит от . Тогда называется независимым p-прореживанием .

Определение 11. Пусть F — семейство распределений счета. Она называется закрытой относительно биномиальной подвыборки , если для любой случайной величины с распределением в F все ее независимые p-прореживания для всех имеют распределения в F .

Определение 12. Пусть F — семейство распределений. Она называется замкнутой относительно свертки , если для любых двух независимых случайных величин с распределениями в F распределение суммы также принадлежит F .

Определение 13. Позвольте быть целочисленной случайной величиной с pgf и факториальной кумулянтной производящей функцией (fcgf) . Для любого целого числа th факториальный кумулянт определяется и обозначается .

Существует только одно семейство распределения подсчета, закрытое с помощью свертки и биномиальной подвыборки.

Теорема 14 (Характеризация многопараметрического распределения Эрмита). Позвольте быть семейством распределений количества, параметризованных его первыми факториальными кумулянтами, и предположим, что его pgf непрерывен в по его пространству параметров. Затем закрывается при свертке и биномиальной подвыборке тогда и только тогда, когда pgf имеет вид

Доказательство. См. Puig and Valero [20], доказательство теоремы 1.

Несколько комментариев по порядку. Случай соответствует распределению Пуассона, является распределением Эрмита (например, [27]). Для произвольного это распределение называется многопараметрическим распределением Эрмита порядка Милна и Уэсткотта [28]. В терминах кумулянта pgf (6) представление (24) можно переписать в виде где , решает систему (8), т.е. Случай (26) уже есть в А.В. Кемп и К.Д. Кемпа [29], а для произвольного это утверждение эквивалентно лемме 2 работы Пуига и Валеро [20]. Частный случай , , , является обобщенным Hermite Гуптой и Джайном [30]. Многопараметрический эрмит принадлежит также к семейству распределений Кумара [31]. В общем, условия на последовательность , , при которых (25) определяет истинное распределение вероятностей, были определены Леви [32]. Согласно Lukacs [33, стр. 252] и Johnson et al. [34, стр. 356], это тот случай, когда отрицательному значению предшествует положительное значение, а за ним следуют не менее двух положительных значений.В частности, если хотя бы отличны от нуля, то , являются необходимыми условиями того, что (25) является п.п.ф. [28, замечание 1]. Если для , то многопараметрический эрмит является составным пуассоновским с параметром и серьезностью , таким образом бесконечно кратными Феллеру [35, раздел XII.2]. Из-за следующего результата многопараметрический метод Эрмита представляет интерес в контексте принципа Гаусса, параметров, ортогональных среднему, и связанной с ними составной гамма-характеристики случайных сумм.

Лемма 15. Пусть , , – непрерывные вещественные функции в векторе параметров над некоторым пространством параметров, и положим , , для параметра .Предположим, что кумулянт pgf определяет допустимую многопараметрическую случайную величину Эрмита порядка в пространстве параметров. Тогда и .

Доказательство. Комплект. Тогда есть Вместе это показывает, что (10) выполняется. Результат следует из леммы 7.

Пример 16 (распределение Эрмита ()). Предположим, что распределение Эрмита параметризовано двумя первыми факториальными кумулянтами. Так как , , он может быть эквивалентно параметризован его средним значением и дисперсией .Рассмотрим параметризацию , такую ​​что , . Существует однозначное отображение между и . Поскольку , определяется преобразованием координат: Следовательно, кумулянт pgf определяет допустимое двухпараметрическое распределение Эрмита, такое что соответствующая случайная величина принадлежит и . Поскольку можно заметить, что распределение Эрмита обязательно сверхдисперсно. Как отметили Пуиг и Валеро [20], сверхдисперсия имеет место для всех безгранично делимых многопараметрических распределений Эрмита произвольного порядка.Следовательно, должно быть полезно анализировать данные с этим свойством (например, данные о количестве заявок в автомобильном страховании, современные Hürlimann [36, стр. 802] и многопараметрический Hermite для ).

Мы готовы к следующему новому результату характеристики.

Теорема 17 (составная многопараметрическая гамма-характеристика Эрмита). Позвольте быть счетной случайной величиной, параметризованной ее первыми факториальными кумулянтами, и предположим, что ее cgf непрерывна в по ее пространству параметров и набору , .Предположим, что cgf серьезности существует, и пусть будет cgf случайной суммы . Предположим, что cgf средней серьезности по шкале функционально не зависит от , и установите , . Предположим, что он замкнут относительно свертки и биномиальной подвыборки, и . Тогда это многопараметрическое распределение Эрмита порядка и гамма-распределение с cgf. Кроме того, существует такая параметризация, что ее кумулянт pgf читается как . Имеем при , , , а в координатах постоянная равна

Доказательство. Результат получается путем объединения теорем 5 и 14 с учетом того, что многопараметрическое распределение Эрмита всегда можно представить в форме леммы 15 (обобщение примера 16). Утверждение об ортогональных параметрах к средним следует по тем же рассуждениям, что и в примере 9, с использованием (27).

«Динамика и управление тросово-тормозной системой при воздушном восстановлении микроконтроллера» Лян Сунь, Рэндал В. Берд и др.

Ключевые слова

воздушная стыковка, БПЛА, беспилотный летательный аппарат

Аннотация

В этом документе представлена ​​новая концепция эвакуации микролетательных аппаратов (ARMAV) с воздуха с использованием большого корабля-носителя и спасательного тормоза.Корабль-база тащит тормоз, прикрепленный к кабелю, и тормоз управляется в соответствии с траекторией полета MAV. В этой статье используется принцип Гаусса для получения динамической модели тросово-тормозных систем. Управляемый тормоз играет ключевую роль в восстановлении MAV в ветреную погоду. Мы разрабатываем подход к управлению тормозом, используя его коэффициент лобового сопротивления. Результаты моделирования, основанные на многозвенных кабельно-тормозных системах, демонстрируют осуществимость концепции восстановления с воздуха и управляемость тормоза.

Ссылка на оригинальную публикацию

Сан, Л., Бирд, Р., Колтон, М., и Маклейн, Т. Динамика и управление тросово-тормозной системой при восстановлении с воздуха микролетательных аппаратов на основе принципа Гаусса. Материалы Американской конференции по контролю 2009 г., стр. 4729–4734, июнь 2009 г., Сент-Луис, штат Миссури.

BYU ScholarsArchive Citation

Сунь, Лян; Борода, Рэндал В.; Колтон, Марк Б.; и Маклейн, Тимоти В., «Динамика и управление тросово-тормозной системой при восстановлении с воздуха микролетательных аппаратов на основе принципа Гаусса» (2009 г.). Публикации факультета . 1538.
https://scholarsarchive.byu.edu/facpub/1538

Тип документа

Рецензируемая статья

Постоянный URL-адрес

http://hdl.lib.byu.edu/1877/3399

Колледж

Инженерно-технологический колледж Иры А. Фултон

Департамент

Электротехника и вычислительная техника

Статус университета на момент публикации

Аспирант

Статус авторского права

(с) IEEE 2009 г.Использование данного материала в личных целях разрешено. Разрешение IEEE должно быть получено для всех других пользователей, включая перепечатку/перепубликацию этого материала в рекламных или рекламных целях, создание новых коллективных работ для перепродажи или распространения на серверах или в списках, или повторное использование любых защищенных авторским правом компонентов этой работы в других работах. DOI: 10.1109/ACC.2009.5160527

Информация об использовании авторских прав

http://lib.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.